trigonometrik fonksiyonların grafikleri

TRİGONOMETRİK
FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
Periyodik Fonksiyon
20.03.2011
İbrahim KOCA
1
Periyodik Fonksiyon:
A  R için
f : A  B bir fonksiyon olsun.  x  A için,
f ( x  T )  f (x)
eşitliğini sağlayan bir T reel sayısı varsa, f fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T
reel sayısına da f fonksiyonunun periyodu denir.
T pozitif reel sayılarından en küçük olanına, f fonksiyonunun esas periyodu denir.
20.03.2011
İbrahim KOCA
2
Trigonometrik Fonksiyonların Periyotları:
 x  R ve k  Z için
sin( x  k .2  )  sin x ve cos( x  k .2  )  cos x
olduğundan
sinüs ve kosinüs fonksiyonları periyodiktir. Bu fonksiyonların periyodu k .2 
esas periyodu 2 
ve
dir.
tan( x  k . )  tan x
cot( x  k . )  cot x
olduğundan,
Tanjant ve kotanjant fonksiyonları da periyodiktir. Bu fonksiyonların periyodu k . ve
esas periyodu
20.03.2011

dir.
İbrahim KOCA
3
s in
cos
tan
periyot: k .2 
periyot:
k .
esas periyot: 2 
esas periyot:

cot
sec
cos ec
20.03.2011
periyot: k .2 
esas periyot: 2 
İbrahim KOCA
4
Örnek-1)
f ( x )  4 sin 5 x
fonksiyonunun periyodunu ve esas periyodunu bulunuz.
Çözüm-1)
Periyodik fonksiyon tanımından;
f ( x  T )  f ( x )  4 sin(5.( x  T ))  4 sin 5 x
 sin(5 x  5T )  sin 5 x
 sin(5 x  5T )  sin(5 x  k .2  )
 5 x  5T  5 x  k .2 
 5 T  k .2 
T 
k .2 
esas periyot için
k=1 alınır;
2
5
fonksiyonun periyodu
5
20.03.2011
İbrahim KOCA
5
Örnek-2)
f ( x )  3  2 cot(4 x  8)
fonksiyonunun periyodunu ve esas periyodunu bulunuz.
Çözüm-2)
20.03.2011
İbrahim KOCA
6
Örnek-3)
f ( x )  6  2 cos 3 x
fonksiyonunun periyodunu ve esas periyodunu bulunuz.
Çözüm-3)
20.03.2011
İbrahim KOCA
7
Örnek-4)
f ( x )  tan(5 x  6)  3
fonksiyonunun periyodunu ve esas periyodunu bulunuz.
Çözüm-4)
20.03.2011
İbrahim KOCA
8
Kural:
n sıfırdan farklı bir tam sayı ve a, b, c, d birer reel sayı olmak üzere,
y  a  b . cos ( cx  d )
n
y  a  b .sin ( cx  d )
n
y  a  b .sec ( cx  d )
n
n tek ise:
n çift ise:
y  a  b . cos ec ( cx  d )
y  a  b . tan ( cx  d )
n

dir.
c
n
y  a  b . cot ( cx  d )
dir.
c
fonksiyonlarının
esas periyodu:
n
2
fonksiyonlarının
esas periyodu:

dir.
c
Bir ifade birden fazla trigonometrik ifade içeriyorsa; içerdiği fonksiyonların esas
periyotlarının o.k.e.k inin her bir tam katı, bu fonksiyonun bir periyodudur.
20.03.2011
İbrahim KOCA
9
Örnek-5)
Aşağıda verilen fonksiyonların esas periyotlarını bulunuz.
f ( x )  5  2 sin (7 x  3)
3
f ( x )  4  2 cos(5 x  4)
f ( x )  cos (3 x  2)
4
f ( x )   1  2 tan (1  2 x )
3
f ( x )  2 cot 3 x
6
20.03.2011
İbrahim KOCA
10
Örnek-6)
f ( x )  sin 3 x  2 cos 4 x
2
3
fonksiyonunun esas periyotunu bulunuz.
Çözüm-6)
2
sin 3 x
 T1 

3
o .k .e.k (T1 , T2 )  o .k .e .k (
esas periyot 
20.03.2011
2 cos 4 x  T 2 
3
 
,
3
2
4


2
)
2
dir.
İbrahim KOCA
11
Örnek-7)
f ( x )  sin 9 x  cos 6 x
2
A  10 ,130 , 250
20.03.2011

fonksiyonunun esas periyotunu bulunuz.
kümesi için f ( A )
görüntü kümesini yazınız.
İbrahim KOCA
12
1-) Kosinüs Fonksiyonunun Grafiği:
Örnek-1)
Çözüm:
Esas periyot
x
cos x
y  cos x
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
2  dir.  0, 2 
0
1


2

0
1
aralığını seçelim.
3
2
2
0
1
y
1
0
 /2

3 / 2
2
x
1
20.03.2011
İbrahim KOCA
13
2-) Sinüs Fonksiyonunun Grafiği:
Örnek-1)
Çözüm:
Esas periyot
y  sin x
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
2  dir.  0, 2 
x
0
sin x
0

2
1

aralığını seçelim.
3

0
2
2
1
0
y
1
3 / 2
0
 /2

2
x
1
20.03.2011
İbrahim KOCA
14
3-) Tanjant Fonksiyonunun Grafiği:
Örnek-1)
Çözüm:
Esas periyot
20.03.2011
y  tan x

dir.
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
   
 2 , 2 


aralığını seçelim.
İbrahim KOCA
15
20.03.2011
İbrahim KOCA
16