tc inönü üniversitesi fen bilimleri enstitüsü lokal topolojik

T.C
İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
LOKAL TOPOLOJİK ALTGRUPOİDLER
EROL MUTLU
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİMDALI
HAZİRAN - 2013
T.C
İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
LOKAL TOPOLOJİK ALTGRUPOİDLER
EROL MUTLU
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİMDALI
HAZİRAN - 2013
Tezin başlığı : Lokal Topolojik Altgrupoidler
Tezi hazırlayan : Erol MUTLU
Sınav tarihi : 27.06.2013
Yukarıda adı geçen tez jürimizce değerlendirilerek Matematik Anabilim Dalında yüksek Lisans
Tezi olarak kabul edilmiştir.
Sınav jüri üyeleri
Tez Danışmanı :
Yrd. Doç. Dr. A. Fatih ÖZCAN
…………………….
İnönü Üniversitesi
Prof. Dr. İlhan İÇEN
…………………….
İnönü Üniversitesi
Yrd. Doç. Dr. M. Habil GÜRSOY
……………………
İnönü Üniversitesi
……/…../2013
Enstitü Müdürü
ONUR SÖZÜ
Yüksek lisans tezi olarak sunduğum ‘‘Lokal Topolojik Altgrupoidler’’ başlıklı
bu çalışmanın bilimsel ahlak ve geleneklere aykırı düşecek bir yardıma başvurmaksızın
tarafımdan yazıldığını ve yararlandığım bütün yapıtların hem metin içinde hem de
kaynakçada yöntemine uygun biçimde gösterilenlerden oluştuğunu belirtir, bunu
onurumla doğrularım.
Erol MUTLU
İmza
i
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
LOKAL TOPOLOJİK ALTGRUPOİDLER
Erol MUTLU
İnönü Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Bölümü
49+v sayfa
2013
Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. A. Fatih ÖZCAN
Dört bölümden oluşan bu tezin, birinci bölümünde gerekli olan temel tanım ve
teoremler verildi. Bu bölümde topolojik grup ve grupoidin temel kavramı olan, kategori
kavramı ile grupoidin tanımı ve bazı temel kavramlar verildi.
İkici bölümde demet(sheaf) temel tanım ve teoremleri verildi. Bu kavram öndemet,
kümelerin demeti, harita, atlas kavramları ile beraber incelendi.
Üçüncü bölümde topolojik grupoidler, grup-grupoidler ve topolojik grup-grupoidler
tanımları verildi. Ayrıca s ve r demetlerinin tanımları ile bu ifadeler arasındaki ilişkide
incelendi.
Son bölümde ise Lokal denklik bağıntısı ile lokal ve global altgrupoid tanımlarına yer
verildi. Bu tanımlardan yararlanılarak Lokal Alt grup-grupoidin inşaatı oluşturuldu.
ANAHTAR SÖZCÜKLER: Kategori, Grupoid, Esas grupoid, Demet, Lokal Denklik
Bağıntısı, Lokal Altgrupoid, Topolojik Grup-grupoid, Lokal ve Global altgrupoidler, Lokal
Alt grup-grupoid.
ii
ABSTRACT
Master's Thesis
LOCAL TOPOLOGICAL SUBGROUPOID
Erol MUTLU
Inonu University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
49+v pages
2013
Supervisor: Asst. Prof. Dr. A. Fatih OZCAN
This thesis is composed of four parts, the first part is the necessary basic definitions
and theorems. This section is the core concept of topological groups and groupoids, category,
description and some basic concepts were given to the concept of groupoid.
Sheaf is the second part of the theory of definitions and theorems. This concept
presheaves, sheaf of sets, maps, atlas is combined with the concepts.
In the third chapter of topological groupoids, group-groupoids and topological groupgroupoids given definitions. s and r sheaves also examined the relationship between the
definitions of these statements.
In the last section in the local equivalence relation given by the definitions of local and
global subgrupoid. These definitions are created using local sub group-groupoid construction.
KEY WORDS: Category, Groupoid, Fundamental groupoid, Sheaf, Local equivalence
relation, The local sub-groupoid, Topological group-groupoids, Local and Global subgroupoids, Local sup group-groupoid
iii
TEŞEKKÜR
Tez konumu veren ve çalışmalarımın her aşamasında bilgi ve tecrübesiyle hatalarımı
gören ve bu konuda yardımlarını esirgemeyen sayın danışman hocam Yrd. Doç. Dr. A. Fatih
ÖZCAN’a teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca ders aşamasında bilgilerini benimle paylaşan sayın
Prof. Dr. İlhan İÇEN’ e, Yrd. Doç. Dr. M. Habil GÜRSOY’a ve Yrd. Doç. Dr. M. Kemal
ÖZDEMİR’e ayrıca çalışmalarım sırasında desteklerini esirgemeyen sevgili eşime ve aileme
teşekkür ederim.
iv
İÇİNDEKİLER
1.
KABUL ve ONAY
ONUR SÖZÜ...............................................................................................................
ÖZET............................................................................................................................
ABSTRACT.................................................................................................................
TEŞEKKÜR……………………………………………………………………….
İÇİNDEKİLER.............................................................................................................
GİRİŞ.............................................................................................................................
TEMEL TANIM VE TEOREMLER......................................................................
i
ii
iii
iv
v
1
2
1.1. Topolojik Grup ....................................................................................................... 2
1.2. Kategori……………………................................................................................... 4
1.3. Grupoid ................................................................................................................... 6
1.4. Esas Grupoid ........................................................................................................... 9
2.
DEMETLER ........................................................................................................... 13
2.1. Öndemetler ............................................................................................................. 13
2.2. Demetler……………………………….................................................................. 14
3.
TOPOLOJİK GRUP-GRUPOİDİ .........................................................................
20
3.1. Topolojik Grupoidler………………………………………………………………………………………….. 20
3.2. Grup-Grupoidler ..................................................................................................... 23
3.3. Topolojik Grup-Grupoidler ..................................................................................... 26
3.4. Dahili Kategori ........................................................................................................ 28
3.5. r – demetleri ........................................................................................................... 32
3.6. s- demetleri ............................................................................................................ 34
4.
LOKAL ALT GRUP-GRUPOİD…………. ......................................................... 39
4.1. Lokal Denklik Bağıntısı ............................................................................................ 39
4.2. Lokal ve Global Altgrupoidler ................................................................................. 40
4.3.
Lokal Alt Grup-grupoid İnşaatı….........................................................................
5.
KAYNAKÇA........................................................................................................ . 46
6.
ÖZGEÇMİŞ ..........................................................................................................
v
44
49
GİRİŞ
Bu tezde amaç matematiğin iki temel teorisi; topolojik grup-grupoidler ile
demetler arasındaki ilişkiyi ve lokal topolojik alt grupoidleri incelemektir.
İlk bölümde temel kavramlar üzerinde durularak kategori ve grupoid kavramı
verildi. Grupoidlerle ilgili örnekler ele alındı.
İkinci bölümde öndemet ve demet tanımları ve bu iki ifade arasındaki ilişkiler
incelendi.
Üçüncü bölümde topolojik grupoidler, grup-grupoidler ve topolojik grupgrupoidler tanımları verildi. Ayrıca s ve r demetlerinin tanımları ile bu ifadeler
arasındaki ilişkide incelendi.
Son bölümde ise Lokal denklik bağıntısı ile lokal ve global altgrupoid
tanımlarına yer verildi. Bu tanımlardan yararlanılarak Lokal Alt Grup-grupoid İnşaatı
tanımı oluşturuldu.
G, X üzerinde bir grup-grupoid ve U ise X uzayının bir açık alt kümesi olsun.
,
| alt grup-grupoidinin U-geniş alt grup-grupoidlerinin ailesi olsun.
: ( )
→
→
( )
, X uzayı üzerinde bir öndemet olur.
funktoru elde edilir. Dolayısıyla
öndemetinden
ℒ
ℒ
=⋃
∈# ℒ
=⋃
∈#
( ,
) :
∈
⊆
ç !,
∈ℒ
( )"
demeti elde edilebir. Bu demetin global kesitinede G grup-grupoidin bir lokal alt
grup-grupoidi denir.
1
BÖLÜM 1
TEMEL KAVRAMLAR
1.1. Topolojik Grup
Tanım 1.1.1.: G bir grup ve (G, τ) bir topolojik uzay olsun. Eğer G grubundaki
m: G x G
G
( , b)
+b
grup işlemi ve
n: G
G
−
ters fonksiyonu sürekli ise (G, m, τ) üçlüsüne topolojik grup denir. Burada G x G
üzerinde çarpım topolojisi vardır[1 ,2 ,3 ].
Tanım 1.1.2.: G bir grup olsun
δ:GxG
G
( ,b)
-b
ile tanımlanan δ fonksiyonuna fark fonksiyonu denir[ 1 ].
Önerme 1.1.1.
Bir G grubu üzerinde bir topoloji verilsin. m ve n grup yapı
dönüşümlerinin sürekli olması için gerek ve yeter şart
δ:GxG
G
( ,b)
-b
fark fonksiyonunun sürekli olmasıdır[ 1 ].
Uyarı 1.1.1. Bir G topolojik grubunda
n: G → G
a → −a
fonksiyonu bir homeomorfizmdir.
Örnek 1.1.1. (IR,+) toplamsal grubu alışılmış topolojiye göre bir topolojik gruptur.
Burada IR deki bir ( ,b) açık aralığı için
δ( a ,b) = {x-y∈ IR| a <x-y<b}
olduğundan
2
$:
×
( , &) →
→
−&
fonksiyonu süreklidir.
Taım 1.1.3.:G ve H birer topolojik grup olsun. Eğer (:
→
dönüşümü sürekli ve
∀x, y ∈ G için f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ise f ye topolojik grupların morfizmi denir[1].
Tanım 1.1.4. G ve H topolojik gruplar, (:
açık
komşuluk
olsun.
Eğer
→
bir morfizm ve x0 ∈U ⊆ G bir
a + b ∈U
f (a + b) = f ( a ) + f (b ) oluyorsa, f : U → H
olacak
şekilde
a, b ∈ U için
sürekli dönüşümüne topolojik grupların
bir lokal homomorfizmi denir[ 1].
Tanım 1.1.5.:
noktaları
X
bir topolojik uzay olmak üzere başlangıç noktaları x ve bitiş
y olan ), * eğrileri verilsin
s, t ∈ [ 0,1] için +(,, 0)= )(,), +(0, ) = ,
+(,, 1) = *(,), +(1, ) = / olacak şekilde sürekli bir
+: 00,11 × 00,11 →
fonksiyonuna ) dan * ya (uç noktalarına göre) homotopi ve ), * eğrilerine de (uç
noktalarına göre) homotopik eğriler denir ve )~* yazılır[ 1].
Bir X topolojik uzayında eğrilerin uç noktalarına göre homotopik olma bağıntısı
bir denklik bağıntısıdır. Bu denklik bağıntısına göre bir ) eğrisinin denklik sınıfı 0)1 ile
gösterilir ve ) nın homotopi sınıfı olarak adlandırılır[ 1].
Önerme 1.1.2. Bir
topolojik uzayında homotopi bağıntısı ile ilgili aşağıdaki ifadeler
geçerlidir.
3) 456 ): 00,11 →
eğrisi ve 7(0) = 0 ve 7(1) = 1 olacak şekilde sürekli bir
7: (0,1) → 00,11 fonksiyonu için )7~ ) ,
33) ): ~ ); ve *: ~*; 5, *: ): ~*; ); ,
333) (<*)) ≠ <(*)) fakat (<*))~<(*)) ,
3>))(0) =
? ) (1) = / olan bir ): 00,11 →
eğrisi için )1x~)~ 1y) (Burada 1 ve
1@ sırasıyla x ve y noktalarındaki birim eğrileri temsil etmektedir).
>) ): ~); ise ):A; ~);A; ,
3
>3) )(0) =
? )(1) =y olan bir ): 00,11 →
eğrisi için )) A; ~1 y ve ) A; )~1 x
dir.
Tanım 1.1.6.: X bir topolojik uzay ve ∈X olsun.
noktasındaki tüm kapalı eğrilerin
sınıflarının B; ( , ) kümesi
B; ( , ) × B; ( , ) → B; ( , ),
(0*1,0)1) → 0*, )1
işlemine göre bir gruptur. Bu gruba
noktasındaki esas (temel) grup denir [ 2].
noktasındaki B; ( , ) esas grubunun
Burada bir X uzayının
noktasına bağlı
olduğuna dikkat edilmelidir. Ancak X eğrisel irtibatlı olması halinde X in tüm esas
grupları birbirine izomorftur[ 2].
1.2. Kategori
Tanım 1.2.1.: Bir C kategorisi, nesnelerin kümesi Ob(C), morfizmlerin (okların)
kümesi
Mor(C),
kaynak
dönüşümü
s:Mor(C)→Ob(C),
t:Mor(C)→ Ob(C) ,nesne dönüşümü 1x: &(F) → GH6(F),
hedef
dönüşümü
→1x ve
∙: Mor(C)s×tMor(C)= {(a, b) | s(b) = t (a)}
kümesi üzerinde tanımlı kısmi çarpma işleminden oluşur. Bu dönüşümler aşağıdaki
şartları sağlar.
KAT 1) ∀( , &) ∈ GH6(F)K ×L GH (F) için s(b.a)=s(a) ve t(b.a)=t(b)
KAT 2) ∀a, b, c ∈ Mor (C ) ile s(c)=t(b) ve s(b)=t(a) için c.(b.a)=(c.b).a
KAT 3) ∀x ∈ Ob(C ) için ,(1 ) =
KAT 4) ∀a ∈ Mor (C ) için 1K(M) =
= (1 )
ve 1L(M) =
dır[ 4].
Uyarı 1.2.1 Her bir nesne birim morfizmdir, yani Ob(C) ⊂ Mor(C) dir.
Örnek 1.2.1. Kümeler ve kümeler arasındaki dönüşümler Set kategorisini oluşturur. Bu
kategorinin
nesne
Mor(Set)=N(|(:
GH6(
kümesi,
→ Q bir fonksiyon ve , Q ∈ &(
)( , Q), Z ∈ GH6(
∙ (Z, () = Zo(:
Ob(Set)=N | &56 !üO P,
kümesi
tanımlıdır.
(∈
)(Q, [), olmak üzere ,(() = , (() = Q, 1 :
→ ,
→ Q şeklinde tanımlıdır.
4
)P
morfizmlerinin
ile
Örnek 1.2.2: Topolojik uzaylar ve onlar arasındaki sürekli dönüşümler, fonksiyonların
bileşke işlemi ile birlikte, Top kategorisi oluştururlar. Burada
Ob(TH7) = N | &56 H7H\H]5! ^_ /P
Mor(Top)= (`(: sürekli
uuuuuuur Y"
ile tanımlanır.
Örnek 1.2.3 Top kategorisinde, nesne kümesi topolojik gruplar ve morfizm kümesi de
topolojik grup morfizmi alınırsa, topolojik grupların TGrp kategorisi elde edilir.
Tanım 1.2.2.: C ve D birer kategori olsun. Aşağıdaki şartlar sağlanıyor ise D
kategorisine C’nin bir alt kategorisi denir.
1. Ob(D) ⊂ Ob(C)
2.
Her bir , /b &(c) için D( , /) ⊆ C( , /) dir.
3. D kategorisindeki morfizmlerin kompozisyonu, C kategorisindeki morfizmlerin
kompozisyonu ile aynıdır.
4. Her bir
b &(c) 5ç5d c deki lx birim morfizmi, C deki birim morfizm ile
aynıdır [ 4].
D kategorisi C kategorisinin bir alt kategorisi olmak üzere eğer, ∀x, y ∈ Ob ( D )
nesne çifti için GH6(c)( , /) = GH6(F)( , /) ise D ye tam (full) alt kategori ve
Ob(D)=Ob(C) ise D ye geniş alt kategori denir[ 4].
Tanım 1.2.3: C ve D iki kategori olsun. C nin her bir nesnesini D nin bir nesnesine, C
nin her bir morfizmini D nin bir morfizmine karşılık getiren ve aşağıdaki iki şartı
sağlayan F:C→ c dönüşümüne (kovaryant) funktor denir[ 4].
F1) ∀x ∈ Ob(C ) için F(1x)=1F(x)
x
F(x)
1x
1F(x)=F(1x)
x
F(x)
5
F2) ∀ , & ∈ GH6(C) için F (a.b)=F(b) F(a)
x
F(x)
F(a)
y
F(y)
b
F(b)
z
F(z)
Uyarı 1.2.2: F funktoru ∀a,b∈ F için F(a.b)=F(b)F(a) şartını sağlıyorsa F ye
kontravaryant funktor denir.
Örnek 1.2.4. ⋃: Grp →
dönüşümü bir funktordur. Her G grubunun grup yapısını
ihmal ederek ⋃G kümesine ve Her (:G→ H grup homomorfizmini, kümeler arasındaki
⋃(: ⋃G → ⋃
dönüşümüne götüren bu funktora unutkan funktor denir.
Örnek 1.2.5. C bir kategori olmak üzere C nin her bir x nesnesi için 1g(h) =X ve C nin
her bir f:X→ Y morfizmi için 1C(f)=f şeklinde tanımlanan 1C:C→ C dönüşümüne birim
funktor denir.
1.3. Grupoid
Tanım 1.3.1.: G bir kategori olsun. Her bir g∈ Mor(G) morfizmi için bir g-1 tersi var ve
aşağıdaki şartlar sağlanıyor ise G ye bir grupoid denir [ 5, 6, 7].
1.s(g)= t(g-1) ve t(g)=s(g-1)
2.g-1g=1s(g) ve gg-1=1t(g)
Yani bir grupoid, tersi olan morfizmlerin Mor(G) kümesiyle verilen bir kategoridir.
Nesnelerin Ob(G) kümesi ve dört yapı dönüşümü;
s
.
Mor(G)s×tMor(G) 
→ Mor(G)
t
1x
Ob(G) 
→ Mor(G)
s ve t dönüşümleri, her bir g∈Mor(G) morfizmi için; onun kaynağı s(g) ve hedefi t(g) ile
verilir. . dönüşümü, s(f)=t(g) şartını sağlayan f,g∈ Mor(G) morfizmlerinin herhangi
6
bir çifti için bu çiftlerin kısmi çarpması f.g şeklinde tanımlanır. Sonuç olarak Ix
dönüşümüne birim dönüşüm denir ve x∈ &( )/
1x:x 
→ 1x
özdeş morfizmi karşılık getirir.
Bu dönüşümler aşağıdaki özdeşlikleri sağlamalıdır.
1. s(1x)=t(1x)
2. (f.g).h=f.(g.h)
3. s(f.g)=s(g)
4. f.1s(f)=fy
5. t(f.g)=t(f)
6. 1s(f).f=f
ve her bir f∈ MorG(x, y) için f.g=1y ve g.f=1x olacak şekilde bir g∈ MorG(y, z) vardır
0241.
Tanım 1.3.2.: G bir grupoid ve N⊂G olsun. Aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa N’ye G’nin
altgrupoidi denir.
N1) s,t sırasıyla G ‘nin kaynak ve hedef dönüşümleri olmak üzere s(N)⊆Ob(N) ve
t(N) ⊆Ob(N)
N2) Her
∈Ob(N) için 1x∈Mor(N)
N3) N kısmi çarpma altında kapalıdır06,8,9,10,111.
Tanım 1.3.3.: N, G grupoidinin alt grupoidi olsun.
1) Eğer &(u) = &( ) ise N ye G nin geniş (wide) altgrupoidi denir.
2) Eğer her bir , / ∈ &(u)için Mor(N)(x,y)=Mor(G)(x,y) ise N ye G nin tam (full)
altgrupoidi denir.
3) Eğer N geniş ve her bir x,y∈ &(u), v ∈ GH6(u)( , ) ve Z ∈ GH6( )( , ) için
Z vZ-1∈ GH6(u)(/, /) ise N ye G nin normal altgrupoidi denir [6,8,9,10].
Tanım 1.3.4.: G=(Mor(G),Ob(G),s,t,1x,∙) bir grupoid olsun. Her x,y∈ &( ) için
Mor(G)(x,y) =
{ f ∈ Mor (G) | f : x → y}
kümesi boştan farklı ise G grupoidine
geçişmelidir denir[ 8].
7
Tanım 1.3.5.: Her x,y∈ &( ) için Mor(G)(x,y) bir tek elemana sahip ise G ye
tamamen geçişmelidir denir[ 8].
Tanım 1.3.6.: Ob(G), açık U kümelerinin bir tabanına sahip öyle ki G nin U ya
kısıtlanması geçişmeli ise G ye yerel geçişmelidir denir[ 8].
G=(Mor(G),Ob(G),s,t,1x,.) bir grupoid ve a∈ &( ) olsun. Mor(G)(a,y) ≠ φ
olacak şekildeki G nin bütün / ∈ &( ) nesnelerinin Ma tam alt grupoidini alalım.
, / ∈ &( ) olduğunda bazı ( ∈ GH6( )( , ) ve Z ∈ GH6( )( , /) için Z. (
fonksiyonu tanımlı olduğunda, GH6( )( , /) boştan farklıdır. Böylece Ga geçişmelidir
ve açıkça G nin en geniş geçişmeli alt grupoididir.
Tanım 1.3.7.: G1 ve G2 iki grupoid olsun. Grupoidlerin φ:
1→
G2 funktoru,
&(φ):
Ob(G1)→ Ob(G2) ve GH6(φ): Mor(G1) → Mor(G2) morfizminden oluşur. Bu funktora
Grupoid morfizmi denir ve aşağıdakiler sağlanır[10].
1) Her x∈ &( )5ç5d GH6(φ)( 1 x )=1y
2) Her
Z ∈ GH6(G1)
(GH6(φ)(t,( Z))=t2(GH6(φ)(Z))
3) Her (, Z ∈ Mor(G1) ∋ ,; (() =
z({)( )|
GH6(φ)(s1(Z))=s2(GH6(φ)(Z))
için
; (Z)
ve ,~ •GH6(€)(()• =
GH6(φ)((. Z) = GH6(φ)((). GH6(φ)(Z) şartlarını sağlar.
~ (GH6(€)(Z))
ve
için
Örnek 1.3.1. Gi ler birer grupoid olsun. Nesne kümesi Ob(Grd)= {Gi | Gi bir
→ G j , F bir funktor} olmak
grupoid}ve morfizmlerin kümesi Mor (Grd)={F|F: Gi 
üzere Grd bir grupoiddir. Burada kısmi çarpma işlemi; funktorların bileşke işlemi, özdeş
dönüşüm ise 1 ‚ :
→
dönüşümüdür[6].
Örnek 1.3.2. X bir küme, K bir grup olsun. X×K×X , X üzerinde bir grupoiddir.
Gerçekten kaynak dönüşümü üçüncü faktör üzerine izdüşümü ve hedef dönüşümü
birinci faktör üzerine izdüşüm olarak tanımlanır. Yani s(x,g,y)=y, t(x,g,y)=x şeklinde
tanımlıdır.
Birim
dönüşüm
1 ( , , )
ve
kısmi
çarpma
işlemi
ise
(z,h,y).(y,g,x)=(z,h.g,x) şeklinde tanımlanır. Ayrıca (y,g,x) in tersi (x, g -1 ,y) ile verilir.
Buna K grubu ile X üzerinde trival grupoid denir.
8
Örnek 1.3.3. X bir küme olmak üzere ƒ ⊆
×
denklik bağıntısı X üzerinde bir
grupoiddir. Burada morfizmlerin kümesi Mor(R)=R={( , /)| , / ∈ } ve nesnelerin
kümesi Ob(R)=X olmak üzere hedef ve kaynak dönüşümleri sırası ile
s:R→
(x,y)→ ,( , /) = ,
:ƒ →
( , /) → ( , /) = /,
ters dönüşüm
5: ƒ → ƒ
( , /) → ( , /)A; = (/, ),
nesne dönüşümü
„:
→ƒ
→1 ,
ve kısmi çarpma işlemi
O: ƒ × ƒ → ƒ
( , /), (/, _) → ( , _)
şeklindedir.
1.4. Esas Grupoid
X topolojik uzay ve r ∈ ƒ olmak üzere p:[0,r] → X, p(0)=x, p(r)=y sürekli
fonksiyonlarına x’i y’ye birleştiren, uzunluğu r olan eğri denir. Eğer q,y’yi z’ ye
birleştiren uzunluğu s olan diğer bir eğri ise
7( ),
0≤ ≤6
<=…
‡( − 6), 6 ≤ ≤ 6 + ,
fonksiyonu, uzunluğu r+s olan x’i z’ye birleştiren bir başka eğridir. Bu γ eğrisine p ve q
eğrilerinin çarpımı denir ve p.q ile gösterilir. Bu şekilde tanımlanan eğrilerin çarpımı
birleşimli ve birim elemanı sıfır eğrisidir. Dolayısıyla nesneler kümesi X olan PX
kategorisi tanımlanabilir, burada Ob(PX)=X ve her x,y ∈ X için Mor(PX)(x,y) kümesi
başlangıç noktası x ve bitim noktası y olan eğrilerin sınıfıdır. Kısmi çarpma işlemi ise
eğrilerin çarpım işlemidir[6,8].
9
Tanım 1.4.1.: π X ( x, y ), PX ( x, y ) ’nin denklik sınıflarının kümesi olsun. Aynı r
uzunluğundaki a,b ∈ PX(x,y) eğrilerini göz önüne alalım a’dan b’ye q uzunluğunda uç
noktalarına göre homotopi
i)
s ∈ [0,r] için F (s,0)=α(s) ve F(s,q)=β(s) ve
ii)
t ∈ [0,q] için F(0,t)=x ve F(r,t)=y
şartlarını sağlayan
F:[0,r]×[0,q] → X
dönüşümüdür. Böylece π X bir grupoiddir[8,12].
Dikkat edilmelidir ki her bir t ∈ [0,q] için Ft :s → F(s,t) eğrisi PX(x,y)’de bir
eğridir. ( Ft ) ailesi Fo =α ve F1 =β arasında
‘eğrilerinin sürekli ailesi’ olarak
düşünülebilir. Aksi takdirde F’nin α’dan β içinde bir ‘deformasyon’ olduğunu
düşünebiliriz.
F, a’dan b ye uç noktalarına göre homotopi ise F: a~b gösterimi kullanacağız.
a’dan a’ya sıfır uzunluğunda tek bir homotopi vardır. Eğer F: a~b, 1 uzunluğundaki bir
homotopi ise –F(s,t) → F(s,q-t) ile tanımlı b~a, bir homotopidir. Eğer a,b ve c eğriler r
uzunluğunda olduğunda F: ~b, G:b~c sırasıyla q ve ‡ ′ uzunluğunda ise F ve G’nin
çarpım G+F:[0,r]x[0,q+‡ ′ ] → X
(s,t) → …
+(,, ), 0 ≤ ≤ ‡
(,, − ‡), ‡ ≤ ≤ ‡ + ‡ ′
şeklinde tanımlıdır ve süreklidir.
Ayrıca
~c bir homotopidir.
ve b aynı uzaklıkta eğriler olmak üzere, eğer
F: ~b bir homotopi var ise uç noktalarına göre homotopiktir denir ve ~b şeklinde
gösterilir. Eğrilerin durumunda uç noktalarına göre homotopi yerine kısaca homotopi’yi
kullanacağız. Önceki paragraftan açıktır ki “~” bir eşdeğerlik bağıntısıdır.
F[0,r]x[0,q] → X, ~b bir homotopi olsun. Bu takdirde 1 uzunluğunda F 1 :a b
homotopisi vardır. Yani;
+ ′ : 00, 61 × ‰ →
(s,t) → F(s,qt)
Bundan sonra uzunluğu 1 olan homotopilerle ilgileneceğiz. Ft bir eğri ve t → Ft ,
Ft ’ye kısıtlanmış olduğunda 1 uzunluğunda bir F homotopisini bir t → Ft fonksiyon
olarak düşünürüz. Eğer Ft , ~b bir homotopi ise F1−t ’de b~ bir homotopidir.
10
Her bir r ≥ 0 reel sayısı ve x ∈ X için, x de r uzunluğundaki sabit eğriyi rx ile
gösterelim. Karışıklık olmaması için rx kısaca r ile gösterilir. Özellikle her bir a eğrisi
ve r ≥ 0 için a.r,r.a iyi tanımlıdır.
Lemma 1.4.1: | |=|b| ve |c|=|d| olmak üzere ,b ∈ PX( ,y) ve c,d ∈ PX (y,z) olsun
a) Eğer ~b ise
A;
~& A; ,
b) Eğer ~b ve c~d ise c. ~d.b,
c) Her biri r ≥ 0 için 6 ~ 6 [8].
Lemma 1.4.2: Eğer a ∈ PX(x,y) ve |a|=r ise
A;
~26 ve
A;
~26@ olur [8].
Şimdi değişik uzunluklardaki eğriler arasında bir denklik bağıntısı tanımlansın.
a,b ∈ PX(x,y) olsun.|a|+r=|b|+s ve ra ile rb homotopik olacak şekilde r,s>0 reel sayıları
varsa a ve b denktir denir. Bu bağıntı homotopiden dolayı açıkça yansıyan ve
simetriktir. Aynı zamanda geçişmelidir; a,b,c eğriler ve r,s,6 ′ , , ′ ≥ 0 olmak üzere verilen
r ~sb, , ′ b~tc homotopileri için
(, ′ +r) ~ (, ′ +s)b=(s+, ′ )b~ (s+t)c
homotopileri vardır[8].
Teorem 1.4.1: Yolların tersi ve çarpımı a ∈ PX(x,y) , b ∈ PX(x,y) olmak üzere
0 1A; =  a −1  ve [b ][ a ] = [ba ]
şeklinde tanımlıdır[8].
İspat:
ve ′ PX(x,y)’deki eş değer eğriler olsun. Bu takdirde r ve 6′ sabit eğrileri
vardır öyle ki ra ve 6′ ′ homotopiktir. Buradan
r a −1 ~
A;
6 = (r+ a ) −1 ~6 ‹
r a −1 ~ a −1 r = (r a ) −1 ~ (6′ ′)
bulunur. Böylece [ a ]
−1
−1
~6′ (6 ‹ ) −1
iyi tanımlıdır. b ve &′, PX(y,z)’deki eşdeğer eğriler sb ve ,′&′
homotopiktir ve s, , ‹ ≥ 0 olduğunda
rsb ~r,′&′ ~,′&′6 ~,′&′6′ ′~,′6′&′ ′
bulunur.
Teorem 1.4.2: Yolların çarpımı birleşimlidir. Ayrıca eğer
11
∈πX (x,y) ise
1 =1
A;
A;
=
=1
= 1@
eşitlikleri sağlanır[8].
İspat:
Birleşimlilik eğrilerin çarpımından dolayı açıktır. 1 = 1@
denklemleri a ∈
P(x,y) eğrileri için 1 = 1@ bağıntısından açıkça sağlanır.
Şimdi π X’in bir grupoid olduğunu söyleyebiliriz öyleki nesneleri X’deki
noktalar ve morfizmler x’den y’ye yollardır. Bu grupoide X’deki esas grupoid
denir[8,13].
12
BÖLÜM 2
DEMETLER
Bu bölümde demet teorisinin temel tanım ve teoremleri verilecektir. Bunun için
öndemet, kümelerin demeti, harita, atlas kavramları verilecek ve örneklendirileceklerdir.
2.1. Öndemetler:
Tanım 2.1.1.: X topolojik uzayında F öndemeti aşağıda şartları sağlayan bir sistemdir.
1) Her U ⊆ X açık kümesine bir F(U) kümesi karşılık gelir,
2) Her U,V ⊆ X açık kümeler için V ⊆ U olmak üzere + Œ :F(U) → F(V) dönüşümü var
öyle ki
i) +
= 1•(
ii) +ŒŽ H+
Œ
)
=+
Ž
(W⊆ V ⊆ U ) ‘dır.
Şu halde N+( ), + Œ , }, üzerinde bir öndemettir[14].
Örnek 2.1.1: X topolojik uzay, U ⊆ X açık küme E(U)={U üzerinde tanımlı bütün
denklik bağlantıları } olsun. V ⊆ U için
• Œ : •( ) → •(•)
ƒ → ƒ|Œ = ƒ ∩ (• × •)
olmak üzere funktor olma özellikleri,
i) •
(ƒ) = ƒ| = ƒ = 1’(
)
ve
ii) (•|ŒŽ H• Œ )(ƒ) = •ŒŽ (ƒ|Œ ) = (ƒ|Œ )|Ž = ƒ|Ž , •
• = N•( ), • Œ , } bir öndemettir.
Ž (ƒ)
= ƒ|Ž sağlanır. Böylece
Örnek 2.1.2. X bir topolojik uzay ve A bir küme olsun. X uzayı üzerinde bir “#
öndemeti şu şekilde tanımlıdır.
i) X uzayı üzerinde bir U açık kümesi için “# (U) = A
ii) X uzayı üzerindeki V ⊆ U açıkları için
+
Œ
= 1– = “# ( ) = “# (•)
Örnek 2.1.3. X ve Y topolojik uzaylar olsun X üzerindeki Y değerli fonksiyonların F —
öndemeti
i) X uzayı üzerindeki bir U açık kümesi için
13
F — (U)= N(:
→ Q|(, ,ü6 !\5}
ii) X uzayı üzerindeki V ⊆ U açıkları için
+ Œ : F — ( ) → F — (•)
( → (|Œ
şeklinde tanımlıdır[14].
Örnek 2.1.4. X, R n in bir açık alt kümesi ve r∈ ℕ olsun. X üzerinde r mertebeden
differansiyellenebilir ƒ- değerli fonksiyonların
C r öndemeti aşağıdaki şekilde
tanımlıdır.
i) X üzerindeki U açık altkümesi için
C r (U)={(:
→ ƒ|(, r. mertebeden diferansiyellenebilir fonksiyonların kümesi}
ii) V ⊆ U ⊆ X açıkları için
+ Œ : F z ( ) → 6( )
( → (|Œ [14].
Tanım 2.1.2.: X topolojik uzay olmak üzere x ∈ X noktasını içeren iki açık küme U ve
V olsun. F bir öndemet olmak üzere s ∈ F(U) ve t ∈ F(V) için
M= {(u, s ) | U ⊆ X açık küme s ∈ F (U )}
alınsın. M üzerinde bir denklik bağıntısı ,~
⟺ ∃œ ⊆ ( ∩ •) ∋ ,|Ž = |Ž ∈
+(œ) şeklinde tanımlansın. s’nin x noktasındaki denklik sınıfına s’nin hücresi denir ve
[ s ]x = germx s = (u, s) ile gösterilir.
+ = N(^, ,) = Z 6O ,|, ∈ +( ), ∈ ,
⊆
ç ! !üO }
kümesi X uzayı üzerindeki hücrelerin kümesidir. Bu Fx kümesine x noktasındaki sap
(stalks) kümesi denir. Böylece ℱ = ⋃
∈# +
bir demet tanımlar[8].
F
p
X
2.2. Demetler
Tanım 2.2.1.: X topolojik uzayı üzerinde bir demet(sheaf),
i) ž topolojik uzay,
14
ii) p: ž → X lokal homeomorfizm şartlarını sağlayan (ž,p) çiftidir [8,31]
Böylece şu sonuca ulaşılır;
Teorem 2.1.2. Bir X topolojik uzayı üzerindeki her öndemet yukarıdaki anlamda bir
demet tanımlar [10].
Tanım 2.2.2. ž, X topolojik uzayı üzerinde bir demet ve x ∈ X için x noktasını içeren X
uzayında bir açık küme U olsun. U kümesi üzerinde bir kesit (section); 7° ,=I u şartını
sağlayan s:U → ž dönüşümüdür [15].
ž demetinin kesitlerinin kümesi
ž
7A; ( )
s
p
X
U
s
Г( , ℱ )={s|s:X → ž, 7° ,:‰# } şeklinde tanımlıdır. Eğer
⊆
alınırsa, kesitlerin
kümesi Г( , ℱ )={, ‹ |, ‹ :U → ž,7° , ‹ =‰ }şeklinde yazılır. Böylece Г( , ℱ ) yardımıyla
bir öndemet tanımlar. • ⊆
açık kümeler olmak üzere
Г
Œ : Г(
, ℱ ) → Г(•, ℱ )
,‹ → Γ
Œ
(, ‹ ) = , ‹ |Œ
dönüşümü ile birlikte Γ bir öndemettir. Γ dönüşümünün bir funktor olduğu
i) Γ ¡ (, ‹ ) = , ‹ = \
Γ ( ¢)
ii) • Γ £¤ H Γ ¢£ •(, ‹ ) = Γ £¤ (, ‹ |Œ ) = (, ‹ |Œ )|Ž = , ‹ |Ž Γ ¢£ (, ‹ ) = , ‹ |Ž
özellikleri ile kolayca görülür.
Böylece şu sonuç elde edilir;
Teorem 2.2.2. Bir X topolojik uzayı üzerinde tanımlanan her demet bir öndemet belirler
[15].
15
Örnek 2.2.1. C y ve C r öndemetleri aynı zamanda birer demettir. Burada tanımlanan
uygun dönüşüm (sürekli, differensiyellenebilir) için demet olma özelliklerinin bir
noktanın bir komşuluğunda sağlanması yeterlidir [14].
Tanım 2.2.3. ž, X topolojik uzayı üzerinde bir demet ve p: ž → X olsun. Y ⊆ X ise p
−1
(Y)= ž |Y, Y üzerinde bir demet olur. Bu demete F demetinin alt demeti denir[15].
ž
¥|(¦|—)
Y
Tanım 2.2.4.: 7; : ℱ; → X ve 7~ : ℱ~ →
X
iki demet olsun. Eğer p2 oµ = p1 ise ¨: ℱ; →
ℱ~ dönüşümüne sapları koruyor denir. Burada ℱ; = ⋃
olmak üzere µ ((ℱ;) x )⊆ (ℱ~ ) olur [15].
∈#(ℱ; )
ve ℱ~ = ⋃
∈#(ℱ~ )
Tanım 2.2.5.: Sapları koruyan bir sürekli dönüşüme demet morfizmi denir. Sapları
koruyan homeomorfizme de bir demet izomorfizmi denir [15].
X topolojik uzayı üzerindeki bütün demetlerin kategorisi oluşturulabilir. Bu
kategoride; nesnelerin kümesi; Ob(Sh(X))={ž|p: ž → X bir demet}, morfizmlerin
kümesi
Mor(Sh(X))={ µ :ℱ; → ℱ~
sürekli
ve
sapları
koruyan
dönüşüm}
ile
tanımlıdır[15].
Tanım 2.2.6.: X,Y topolojik uzayları ve (:
→ Q sürekli dönüşümü olsun. X uzayı
üzerindeki ℱ demeti, Y uzayı üzerinde bir f* ℱ demetini tanımlar. V ⊆ Y açık kümesi
için
((∗ ℱ)(•) = ℱ(( A; (•))
olur. Bu demete ℱ demetinin direkt görüntü demeti denir. Burada f : X → Y sürekli
fonksiyonu,
16
(∗ : ℎ( ) → ℎ(Q)
funktorunu tanımlar[15].
Tanım 2.2.7.: ž demeti Y uzayı üzerinde tanımlı bir demet olsun. ℱ demetinin X uzayı
üzerindeki ( ∗ ℱ = N( , «) ∈
× ℱ: (( ) = 7(«)} şeklinde tanımlanır. Burada p: ℱ →
Y lokal homeomorfizmdir. f * ℱ üzerinde bir izdüşüm
p*: f *ℱ →
( , «) →
şeklinde verilir. Benzer şekilde , f : X → Y sürekli dönüşümü
( ∗ : ℎ(Q) → ℎ( )
funktorunu verir. Y uzayı üzerinde bir ℱ demeti için bu funktorun f* ℱ ∈ Sh(x) değerine
ℱ demetinin f altındaki ters görüntüsü denir[15].
Tanım 2.2.8.: +, X topolojik uzayı üzerinde bir öndemet olsun. F öndemetinde bir atlas
(veya F öndemetine karşılık gelen ℱ demetinin global kesiti)
= N( , , )|, ∈ ℱ( ), 5 ∈ ‰}
şeklinde tanımlanır. Bu aşağıda şartları sağlar;
i)
= ⋃ ∈-
,
⊆
açık
ii) Her i, j ∈ I , U i I U j kümesinin her açık örtüsü için en az bir œ ⊆ (⋃ ⋂⋃¯ ) vardır
öyle ki
|œ =
¯ |œ
’ dir.
U atlasındaki her bir ( , , ) elemanına harita denir[10].
Şimdi verilen bu tanımlardan hareketle aşağıdaki önermeyi verelim:
Önerme 2.2.1. F öndemetine karşılık gelen ℱ demetinin her s-global kesiti bir atlas ile
verilebilir. Tersine; F öndemetinde her atlas ℱ demetinde bir global kesit tanımlar[10].
ž
p
X
17
İspat: +: °( )
→
öndemetinin bir atlası
U= {(U i , si )i ∈ I ∈ F (U i )}
olsun. U atlası üzerinde bir denklik bağıntısı tanımlanabilir. Bunun için x ∈ X olsun
∈ ⋃ ⋂⋃¯ olacak şekilde U atlasının iki elemanı (U i , si ) ve (U j , s j ) olsun. (U i , si ) ve
(U j , s j ) nin denk olması için gerek ve yeter şart x ∈ W ⊆ U i I U j ve , |Ž = ,¯ |Ž
olacak şekilde bir W komşuluğunun olmasıdır. (U i , si ) x ile (U i , si ) nin denklik sınıfları
gösterilsin. Böylece bilinen
ℱ± = ² (U i , si ) x |x ∈ U³ , s³ ∈ F(U³ )´ , ℱ = µ ℱ±
±∈h
saplar ve demetler elde edilir.
Böylece her (U i , si ) x , sürekli bir ,¶ dönüşümü tanımlar.
,¶ :
→ž
→ (U i , si ) x
Burada U atlas olduğundan x ∈ U i için
,¶ ( ) = ,¶ ( )
formülü X topolojik uzayından ž demetine bir ,¶ dönüşümü tanımlar. ž demeti içinde
açık olan bir U için
,¶ A; ( ) = µ ,¶ A; ( )
∈-
dir. ,¶ A; ( ) kümesi U i de açıktır. Buradan ,¶ A; ( ) kümesinin X uzayı üzerinde de açık
olduğunu elde ederiz. Böylece
,¶ :
→ž
süreklidir.
Şimdi;
p:ž → X
lokal
homeomorfizm
olduğundan
gösterilmelidir. Herhangi bir x ∈ X için x ∈ U i açık kümesi vardır.
Böylece
po,¶ ( ) = po,¶³ ( ) = p•(U³ , s³ )• =
olur. Buradan ,¶ , ž demetinin global kesiti olur.
Tersine; bir demetin global kesiti bir atlas belirtir:
18
po,¶ = ‰#
olduğu
,¶ ,F öndemetinden elde edilen ž demetinin bir global kesiti olsun. Bu, p:ℱ→
lokal homeomorfizm ve po,¶ =‰# olacak şekilde bir ,¶ :
∈ , ,|
olduğu anlamına gelir. s sürekli olduğundan
,:
sürekli dönüşümü elde edilir. Her bir
→ž
‚
→ ž sürekli dönüşümünün
= , olsun. Böylece
→ ( ,, )
∈ X için, bu şekildeki kümeler üzerinde bir
∈
denklik bağıntısı vardır. Yani her ∈ X noktasında
ile birlikte bir
açığı var ve
üzerindeki her si dönüşümü bir ( , , ) verir. Böylece
U = {(U i , si ) | si ∈ F (U i ), i ∈ I }
bir atlas oluşturur[31].
Tanım 2.2.9 X topolojik uzayı üzerindeki demetlerin kategorisi Sh(X) olsun. Sh(X)
kategorisinin
¸# şeklinde gösterilen globol kesitlerinin kategorisi aşağıdaki gibi elde
edilir.
Nesnelerin kümesi Ob(
¸# ), Sh ( X ) kategorisinin globol kesitleridir.
kateorisindeki bir morfizm aşağıdaki diyagramı değişimli yapan
φ :ℱ; → ℱ~
demet morfizmidir[10]..
φ
ℱ;
,;
ℱ~
,~
X
19
¸#
BÖLÜM 3
TOPOLOJİK GRUP-GRUPOİDLER
Bu bölümde, topolojik grup-grupoidler ve bu kavramın temel tanım ve
teoremleri verilip, r-demetleri ve s-demetleri tanımlanmış ve ayrıntılı örnekler üzerinde
çalışmalar yapılmıştır.
3.1. Topolojik Grupoidler
Tanım 3.1.1. Tanım 3.1.1.: [16,17] Bir topolojik grupoid; nesne ve morfizm kümeleri
topolojilere sahip aşağıdaki grupoid dönüşümleri sürekli olan G grupoididir.
i)GH6( )K ×L GH6( )
indirgenmiş
topolojiye
sahip
olmak
üzere GH6( )K ×L GH6( ) → GH6( ), (&, ) → &° kompozisyon,
ii) u : Mor (G) → Mor (G ), a → a −1 ters dönüşüm,
iii) s, t : Mor (G ) → Ob (G ) kaynak ve hedef dönüşümü
iii)
1( ) : Ob(G ) → Mor (G ), x → 1x nesne dönüşümü
Örnek 3.1.1. G birim elemanı e olan bir topolojik grup olsun. Bu durumda G; nesne
kümesi &( ) = N }, morfizmleri topolojik grubun elemanları, kompozisyonu grubun
işlemi, a ∈ Mor (G ) olmak üzere kaynak ve hedef dönüşümleri s ( a ) = t ( a ) = e nesne
dönüşümü, 1( ) : &( ) = N } → GH6( ), → 1¹ =
ve ters dönüşümü de yine
topolojik grubun ters dönüşümü olan bir topolojik grupoiddir. Burada, nesne kümesi alt
uzay topolojisi ile verilir. Ayrıca, kaynak, hedef ve nesne dönüşümleri sabit dönüşüm
olduğundan süreklidir.
Örnek 3.1.2. X bir topolojik uzay olmak üzere x ∈ X için ( X , x ) çiftine bir noktalı
uzay denir. X üzerinde bir noktalı ( X , x) → ( X , y ) dönüşümü, iki noktalı uzay ve
f ( x) = y şartını sağlayan bir f : X → X dönüşümüdür. Böylece, noktalı uzayların PSp
kategorisi elde edilir. Bu kategoride bir eşdeğerlik bağıntısını aşağıdaki gibi
tanımlarız.′′~‹‹ homotopi bağıntısı olmak üzere f −1 : ( X , y) → ( X , x) dönüşümü var ise
f : ( X , x ) → ( X , y ) dönüşümüne homotopi eşdeğerdir denir. Açık olarak, bu bağıntı
Psp
üzerinde bir eşdeğerlik bağıntısıdır.
20
( X , x) → ( X , y )
homotopi eşdeğer
dönüşümlerinin bütün eşdeğerlik sınıflarını [( X , x ), ( X , y )] ile gösterilsin. „( )(
,@)
=
0( , ), ( , /)1, homotopi eşdeğer dönüşümlerinin noktalı homotopi sınıflarının
kümesidir. Yani ε ( X ) =
U [( X , x), ( X , y)] kısmi çarpımı altında bir grupoiddir. Şimdi,
x , y∈X
o : ε ( X ) ⊕ ε ( X ) → ε ( X ), ([ f1 ],[ f 2 ]) → [ f1 ][ f 2 ] = [ f1 o f 2 ]
işlemi tanımlansın. Buradan „( ) ⊕ „( ) = N(0(; 1, 0(~ 1)|,0(; 1 = 0(~ 1} bulunur.
Her bir [ f ] ∈ ε ( X )( x , y ) = [( X , x); ( X , y ) ] için kaynak ve hedef dönüşümleri
s ([ f ]) = x , (0(1) = / ve özdeş dönüşüm 1( ) : X → ε ( X ) , x → [1x ] ile tanımlıdır.
Açıkça {,, , 1(
, o }dönüşümleri süreklidir. Sonuç
)
olarak, ε ( X ) bir topolojik
grupoiddir [32].
Örnek 3.1.3. X bir topolojik uzay ise
×
de X üzerinde bir topolojik grupoiddir. x
’den y ’ye bir morfizm ( y , x ) çiftidir. Kaynak dönüşümü ,(/, ) = , hedef dönüşümü
(/, ) = /,
∈
için
nesne
dönüşümü
x → ( x, x ) ,
ters
dönüşümü
u ( y, x) = ( y, x)−1 = ( x, y ) ve kompozisyon ise (z,y)∙ (/, ) = (_, ) ile tanımlıdır. s, t ’nin
sürekliliği izdüşümü sürekliliğinden açıktır. Nesne dönüşümü birim dönüşümün 1 × 1
çarpımı olup süreklidir. Ters dönüşüm ise P1 , P2 sırasıyla birinci ve ikinci izdüşüm
dönüşümü olmak üzere ( P2 , P1 ) ile tanımlı olup süreklidir.
Son olarak kompozisyon, (¥; × ¥~ )•(_, /), (/, )• = (_, ) ile tanımlı olup
süreklidir.
Örnek 3.1.4. X bir uzay ve G ’de bir topolojik grup olsun. Örnek 1.3.2. den nesne
kümesi X ve morfizimleri kümesi
×
×
olan bir grupoid tanımlıdır. Nesne kümesi
X olup bir topolojik uzaydır. Morfizmleri kümesi
×
× , çarpım topolojisi ile
verilir. s,t sırasıyla P3 üçüncü ve P1 birinci izdüşümü olup süreklidir. Nesne
dönüşümlerin her biri sürekli olduğundan süreklidir. Ters dönüşüm ^ = (¥» , ^¼, ¥; ) ile
tanımlı olup süreklidir. Burada ^¼, topolojik grubun ters dönüşümüdür. Son olarak
kompozisyon işlemi de yine izdüşümler ve topolojik grubun işlemi ile tanımlı
olduğunda süreklidir. Böylece
×
× , bir topolojik grupoiddir [33].
21
Önerme 3.1.1. X evrensel örtüye sahip topolojik uzay ise π X esas grupoidi bir
topolojik grupoiddir[16].
İspat: X evrensel örtüye sahip topolojik uzay ise π X ’in grupoid olduğu esas grupoid
kısmında ispatlanmıştır. Şimdi π X ’in topolojik grupoid olduğunu gösterelim. Nesne
kümesi X olduğundan bir topolojik uzaydır. Şimdi X’in topolojisi yardımıyla π X ’in
üzerine topoloji koyalım. X evrensel örtüye sahip olduğundan, X’in U açık örtüsü, X’in
bütün açık ve yol bağlantılı U alt kümelerinden oluşur ve i : U → X dâhil etme
dönüşümleri U ’nun esas grubunu trival gruba dönüştürür U ’daki her bir U ve U ’daki
her bir x için λx : U → π X , seçilen bir
getirsin ve v ( ‹ ), B ( ,
, v ( ‹ )’ nin x ’den
‹
‹
‹
∈ U ’ya U ’da x ’den
ne bir yolu karşılık
)’ deki yolların bir denklik sınıfı olsun. U üzerindeki şartlar
ne U ’daki yolların seçilişinden bağımsız olmasını gerektirir.
½ = v ( ) ve [a ] ∈ π X ( x , y ) olsun. Bu durumda
kümeleri B
‹
, • ∈ ¾ ve y ∈ V için •¿@ 0 1 ½ A;
üzerin yükseltilmiş topolojinin temel komşularıdır.[5]. Böylece
∈
∈
¾, / ∈ • ∈ ¾, [a ] ∈ π X ( x , y ) ve [ a ] ’nın temel komşuluğu •¿@ 0 1 ½ A; olsun. Bu durumda ,
,(•¿@ 0 1 ½ A; ) ⊆
ve
(•¿@ 0 1 ½ A;) ⊆ • olup s , t : π X → X dönüşümleri süreklidir.
Benzer şekilde, nesne ve ters dönüşümlerinin sürekliliği de gösterilebilir. Şimdi
∙: B × B → B
kompozüyonunu
sürekliliğini
gösterelim.
[a] ∈ π X ( x, y )
ve
½À 0& ∙ 1 ½ A; , 0& ∙ 1’nın temel komşuluğu
[b] ∈ π X ( y , z ) için, 0&1 ∙ 0 1 = 0& ∙ 1 ve œ
olsun. Böylece, herhangi bir • ∈ ¾ ve y ∈ V için,
½À 0&1•¿ A; )K ×L ••¿@ 0 1 ½ A; • = œ
½À 0& ∙ 1 ½ A;
∙ ((œ
Olup kompozisyon işlemi süreklidir. Sonuç olarak B bir topolojik grupoiddir.
G bir topolojik grupoid olsun. Eğer G’nin temelini oluşturan grupoid
bağlantılı,1- bağlantılı, basit bağlantılı ise G’ye bağlantılıdır, 1- bağlantılıdır, basit
bağlantılıdır denir. [18]
Bir f : Mor ( H ) → Mor (G ) morfizmi, H ve G’nin temeli oluşturan grupoidlerin
bir morfizmi ve
f : Mor ( H ) → Mor (G ) ile
f o : Ob ( H ) → Ob(G ) sürekli ise
f ’ye
topolojik grupoid morfizmi denir.
GH6( )K ×L GH6( ) → GH6( ), (&, ) → &oa
kompozisyonunun
ve
Mor (G) → Mor (G), a → a −1 ters dönüşümünün sürekli olması için gerek ve yeter şart.
22
GH6( ) ×K GH6( ) = N(&, ) ∈ GH6( ) × GH6( )|,(&) = ,( )}
geri
çekmesi
GH6( ) × GH6( )’den indirgenmiş alt uzay topolojisine sahip olmak üzere
GH6( ) ×K GH6( ) → GH6( ), (&, ) → & ∙
A;
grupoid fark dönüşümünün sürekli
olmasıdır.
Yine s, t dönüşümlerinden biri ve ters dönüşümü sürekli ise diğeride süreklidir.
Ayrıca
bir
G
topolojik
ƒ : GH6( )@ → GH6( ) , & → & ∙
: GH6( ) → GH6( )@ , & →
grupoidinde
a ∈ MorG ( x, y )
sağ
(right
değişim
için
translation)
ve
∙ & sol değişim (left translation) dönüşümleri birer
homeomorfizmdir[18].
3.2. Grup-Grupoidler
Grupoidlerin kategorisinde bir grup nesne olan grup-grupoid ilk olarak 1976’da
R. Brown ve C.B. Spencer [20] tarafından tanımlandı. Daha sonra O. Mucuk doktora
tezinde [11] bu kavramı geliştirdi. Bu, grup-kategorinin, grupoid teoriye bir
uyarlamasıdır. Öncelikle grup-kategoriyi tanımlansın. Bütün küçük(small) kategoriler
ve onlar arasındaki funktorların kategorisi Cat olsun. Küçük kategori ile Ob(C) nesne
kümesi sadece kümeden oluşan bir C kategorisini kastediliyor.
Tanım 3.2.1. Bir grup-kategori; m : Mor (G ) xMor (G ) → Mor (G ) toplam , :* → Mor (G )
(*, bir nesneli ve birim morfizimli bir kategori) birim ve ŭ: Mor (G ) → Mor (G ) ters
funktorlarıyla donatılmış Cat’daki bir grup nesnedir[20].
Bir G grup-kategorisinde iki morfizm a ve b olsun. Grup işlemi m ( a , b ) = a + b ,
kategorideki kompozisyon
∙ & , grup işlemine göre tersi −a ,eğer varsa kategori
işlemine göre tersi a −1 ile gösterilir ve e (*)= e yazılır m bir funktor olduğundan,
∙
& ve ¸ ∙ Á tanımlı olmak üzere, ( ∙ &) + (¸ ∙ Á) = O•( , ¸) ∙ (&, Á)• = O( , ¸) ∙
O(&, Á) = ( + ¸) ∙ (& + Á) eşitliğinden, bilinen değiştirme kuralı elde edilir. e bir
funktor olduğundan e(1* ) = 1e (*) olup
= 1¹ ’dir. Eğer grup üzerinde değiştirme kuralını
sağlayan iki işlem varsa bunlar çakışıktır ve grupta değişimlidir[20].
Şimdi, sonra ki ispatlarda kullanacağımız bir önerme verelim.
23
Önerme 3.2.1. G bir grup-kategori,
∈ GH6 ( , /), & ∈ GH6 (/, _) ve g ∈ MorG{e}
olsun. Bu takdirde
1. & ∙
2.
A;
=
− 1@ +& = & − 1@ + ,
∙ •1@ + g• ∙
= 1 + g ve
+Z−
= 1 + Z − 1 [20].
Tanım 3.2.2. Bir G grup-kategorisinde her morfizmin bir tersi varsa G’ye grup-grupoid
denir. Yani kategori yerine grupoid alınarak elde edilir[21].
Böylece G’deki morfizmlerin kompozisyonu grup işlemiyle ifade edebilir. Eğer
y=e ise b + a = a +b olur. Buradan Ge ve G e grup işlemi altında değişimlidir.
Örnek 3.2.1. Yukarıdaki önermenin ilk şıkkından, eğer a : x → y ise
1@ elemanı + işlemine göre
A;
=1 −
+
‘nın tersidir. Böylece, her grup-kategori aynı zamanda bir
grup-grupoiddir.
Örnek 3.2.2. G bir grup olsun. Bu durumda, nesne kümesi Ob (G ) ve morfizm kümesi
Mor (GxG ) olan bir grup-grupoid elde ederiz. Yani, bir x nesnesinden y nesnesine
morfizm ( y , x ) çiftidir. Burada, kaynak dönüşümü s ( y , x ) = x hedef dönüşümü
(/, ) = /,
∈
için nesne dönüşümü
x → ( x, x), ( x, y ) ’nin tersi
( y, x)
ve
kompozisyon (/, ), (_, /) ∈ GH6( × ) için (_, /) ∙ (/, ) = (_, ) ile tanımlıdır.
G’nin birim elemanı
olmak üzere bu grubun birim elemanı (e, e) ve ( y , x ) ’nin
gruptaki tersi (-y,-x)’dir. Şimdi, Mor (GxG ) ’nin grup yapı dönüşümlerinin birer grupoid
morfizmi olduğunu gösterelim. O: GH6( × ) × GH6( × ) → GH6( × ) için
O Ã(_, /), (_ ′ , / ′ )Ä ∙ Ã(/, ), (/ ′ , ′ )Ä = O((_, /) ∙ (/, ), (_ ′ , ′ ) ∙ (/ ′ , ′ ))
= O((_, ), (_ ′ , ′ )
= (_ + _ ′ , +
′
)
ve
O(Ã(_, /), (_ ′ , / ′ )Ä) ∙ O(Ã(/, ), (/ ′ , ′ )Ä)=( (_, /) + (_ ′ , / ′ ) ∙ ((/, ) + (/ ′ , ′ ))
= (z+_ ′ ,y+/ ′ )∙( y+/ ′ ,x+ ′ )
=( z+_ ′ , x+ ′ )
24
olup m bir grupoid morfizmidir. Benzer şekilde grubun ters ve birim dönüşümünün de
grupoid morfizmi olduğu gösterilebilir. Sonuç olarak Mor (GxG ) bir grup-grupoiddir.
Böylece, aşağıdaki önerme verilebilir.
Önerme 3.2.2. Grupların kategorisinden GGd kategorisine Γ : Grp → GGd fuktoru
vardır[21].
İspat: G bir grup olsun. Bu durumda, Örnek 3.2.2.’den Mor (GxG ) bir grup-grupoiddir.
Eğer (: fOb (G ) → Ob ( H ) grupların bir morfizmi ise Г((): GH6( × ) → GH6( ×
)
de
grup-grupoidlerin
morfizmidir.
Gerçekten
Γ ( f )(( y , x) = ( f ( y ), f ( x )) ile
verildiğinde, f grupların morfizmi olduğundan,
Г(()((/, ) + (/ ′ , ′ ) = Г(()((/ + / ′ , +
=(((/ + / ′ ), (( +
′
)
′ ))
=(((/) + ((/ ′ ), (( ) + (( ′ )
=•((/), (( )• + (((/ ′ ), (( ′ ))
=Г(()(/, ) + Г(()(/ ′ , ′ )
olup grup yapısı korunur. Benzer düşünceyle,
Г(()•(_, /) ∙ (/, )• = Г(()(_, )
= ( f ( z ), f ( x ))
ve
Г(()•(_, /) ∙ (/, )• = •((_), ((/)• ∙ (((/), (( ))
= ( f ( z ), f ( x ))
olup,
Г(()•(_, /) ∙ (/, )• = Г(()(_, /) ∙ Г(()(/, _)
bulunur. Sonuç olarak Γ ( f ) grup-grupoidlerin morfizmidir.
Örnek 3.2.3. X bir topolojik uzay olduğunda, π X ’in bir grupoid olduğu göstermişti.
Eğer
, O:
)=
Å B ×B
×
→
işlemi ve ^¼: X → X tersi ile bir topolojik grup ise B( ×
olduğundan BO: B × B → B
nesneler üzerinde ( x, y ) → x +y ,
homotopi sınıfları üzerinde (0 1, 0&1) → 0 + &1 ve B^¼: B → B ’de nesneler üzerinde
25
x → − x homotopi sınıfları üzerinde [ a ] → [ − a ] ile tanımlı π ’den indirgenmiş
funktorlardır. Bununla beraber π m ve B^¼ grupoid yapı dönüşümleridir.
Eğer e, x üzerindeki grubun birimi ise [1¹ 1’de e’deki sabit yolların homotopi
sınıfıdır ve BO(0 1, 01¹ 1) = BO(01¹ 1, 0 1) = 0 1’dır. Böylece [1¹ ],B¼
üzerindeki
grubun birimidir. Sonuç olarak, π X bir grup-grupoiddir.
Bir G grup-grupoidinin temelini oluşturan grupoid bağlantılı, 1- bağlantılı veya
basit bağlantılı ise G’ye bağlantılıdır, 1- bağlantılıdır veya basit bağlantılıdır denir.
3.3. Topolojik Grup-Grupoid
Bu kısımda topolojik grupoidler kategorisinde bir grup nesne olan topolojik
grup-grupoid tanımı ile topolojik grup-grupoidlerinin kategorisi verilecektir.
Tanım 3.3.1.: Bir G topolojik grup-grupoidi, bir topolojik grup yapısıyla donatılmış ve
m : GxG → G , ( a, b ) → a +b toplama, e :* → G
∗→ (∗) = 1¹ birim ve ^¼:
→
, → − ters denen topolojik grubun yapı dönüşümleri birer topolojik grupoid morfizmi
olan bir G topolojik grupoiddir[21].
Açıkça, bir G topolojik grup-grupoidinde (& ∙ ) + (Á ∙ ¸) = (& + Á) ∙ ( + ¸)
değiştirme kuralı vardır.
Örnek 3.3.1. G bir topolojik grup olsun. Bu durumda Örnek 3.2.2.’den nesne kümesi
Ob (G ) ve morfizm kümesi GH6(G× ) olan bir grup-grupoid tanımlıdır. Ayrıca,
Örnek 3.1.3’den GH6(G× ) bir topolojik grupoiddir. G topolojik grubunun işlemi ile
tanımlı ( x, y )+(z,t)=(x+z,y+t) işlemi ve çarpım topolojisi ile GH6(G× )’de bir
topolojik gruptur G grup yapı dönüşümleri, G topolojik grubunun yapı dönüşümleri ile
tanımlı olduğundan süreklidir. Sonuç olarak, GH6(G× ) bir topolojik grup-grupoiddir.
Böylece bu örnek, topolojik grupların TGrp kategorisinden topolojik grupgrupoidlerin TGGd kategorisine bir funktor tanımlar. Bu aşağıdaki önerme ile
verilebilir.
26
Önerme 3.3.1. Topolojik grupların TGrp kategorisinden topolojik grup-grupoidlerin
TGGd kategorisine bir Γ : TGrp → TGGd funktoru vardır[21].
İspat: G bir topolojik grup olsun. Bu durumda, Örnek 3.3.1’den GH6(G× ) bir
topolojik grup-grupoiddir. Eğer
f : G → H topolojik grupların bir morfizmi ise
Г((): GH6( × ) → GH6( × )’de grup-grupoidlerin morfizmidir.
Gerçekten ( y , x ) → ( f ( y ), ( x) ) ile verildiğinden Önerme 3.2.2’ye göre Γ ( f ) , grup
yapısını korur ve f sürekli olduğundan Γ ( f ) = ( f , f ) ’de süreklidir. Ayrıca Önerme
3.2.2’den Г(()•(_, /) ∙ (/, )• = Г(()(_, /) ∙ Г(()(/, _) bulunur. Sonuç olarak Γ ( f )
topolojik grup-grupoidlerin morfizmidir.
Teorem 3.3.1. Bir G topolojik grup-grupoidinde, e birim elemanının bağlantılı bileşeni
topolojik grubun toplama işlemi ile birlikte topolojik normal altgrup yapısına sahip bir
topolojik grup-grupoiddir[21].
İspat:F¹ ( )’nin G’nin altgrupoidi olduğu gösterilmişti. &(F¹ ( ))’den seçilen her
nesne için TX ∈ Mor (G ( x, e)) morfizmi ve
olmak üzere
, & ∈ ( ) olsun. Böylece Æ − Æ ′ ∈ GH6( ( −
GH6( (/ − / ′ )) olmak üzere
−
′
, / − / ′ ∈ &(F¹ ( )) ve
altgruptur.
∈ GH6• ( , /)•, & ∈ GH6( ( ′ , / ′ ))
− & ∈ GH6( ( −
′
′
, )) ve Æ@ − Æ@ ′ ∈
, / − / ′ )) bulunur. Buradan
− & ∈ F¹ ( ) bulunur. Diğer bir değişle F¹ ( ) bir
&(F¹ ( )) ve GH6(F¹ ( )) üzerinde altuzay topolojisi vardır. Ayrıca
F¹ ( )’deki toplama işlemi G’nin toplama işlemi olup süreklidir. Böylece F¹ ( )
altgrupoidinin yapı dönüşümleri, G’deki yapı dönüşümlerinin kısıtlamaları olup
süreklidir. Dolayısıyla F¹ ( ) bir topolojik grup-grupoiddir. Şimdi de normal olduğunu
gösterelim. Bunun için a ∈ Mor (G ( x, y ) olmak üzere
∈ F¹ ( ) ve g ∈ Mor (G ( w, z ))
olsun. Böylece g ∈ Mor (G ( w, z )), TX ∈ Mor (G ( x, e)) ve − g ∈ Mor (G (− w, − z )) olmak
üzere g +TX − g ∈ Mor (G ( w+x-w,z+e-z)) ve buradan g+Tx − g ∈ Mor (G( w+x-w,e))
olup, g +a-g ∈ Mor(G(w+x-w,z+y-z))
bulunur.
olup, F¹ ( ) topolojik normal altgruptur.
Dolayısıyla,
Z+
− Z ∈ F¹ ( )
Teorem 3.3.2. Bir G topolojik grup-grupoidinde bütün karakteristik gruplar birbirine
lineer olarak homeomorfdur[21].
27
İspat: Her x ∈ Ob (G ) için G{ x} nesne grubunun G{e} verteks grubuna izomorf
olduğunu göstermek yeterlidir. Sol değişim (left translation)dönüşümünün tanımından
;Ç :
N } → ( ),
→1 +
;Ç (&
ve diğer taraftan değiştirme kuralından
∙ )=
1 + (& ∙ ) = (1 ∙ 1 ) + (& ∙ ) = (1 + &) ∙ (1 + ) yazılabilir. Bundan dolayı
;Ç
bir morfizmdir. Ayrıca + ve ∙ işlemleri sırasıyla topolojik grubun ve topolojik grupoidin
işlemleri olup süreklidir. Yani
;Ç
süreklidir. Ayrıca
A;
;Ç
tersi var ve süreklidir.
Bir G topolojik grup-grupoidi için, eğer onun temelini oluşturan topolojik
grupoidi sırasıyla bağlantılı, 1- bağlantılı veya basit bağlantılı ise G’ye bağlantılıdır,1bağlantılıdır veya basit bağlantılıdır denir.
G ve H topolojik grup-grupoid olsun. Topolojik grup-grupoidlerin bir
f : H → G morfizmi, G ve H’nin temelini oluşturan topolojik grupoidlerin, topolojik
grup yapısını koruyan morfizmidir. Yani a , b ∈ H için
f ( a +b ) = f ( a )+f (b ) ile
tanımlıdır.
3.4. Dâhili Kategori
Tanım 3.4.1.:
È geri çekmelere(pullback) sahip bir kategori olsun. È üzerinde
nesneler kümesi ve morfizmler kümesinden oluşan bir küçük kategoriye dahili kategori
denir. È kategorisi üzerindeki bir C dahili kategorisi, È kategorisinin iki nesnesinden
ve dört morfizmden oluşur. Buradaki nesneleri, nesnelerin Ob(C) nesnesi ve
morfizmlerin Mor(C) nesnesi meydana getirir. Morfizmleri ise bir m kısmi çarpma
işlemi, s, t kaynak ve hedef dönüşümleri ve 5 ters dönüşümü oluşturur[10,21].
s, t
GH6(F) ×ÉÊ(Ë) GH6(F)
m
GH6(F)
5
&(F)
Kısmi çarpım işlemi, kaynak ve hedef dönüşümleri ile morfizmlerin bileşke
çiftlerinin Mor(C)×Ob(C)Mor(C) nesnesini geri çekme olarak görebiliriz.
F~ = GH6(F) ×ÉÊ(Ë) GH6(F)
B;
B~
GH6(F)
GH6(F)
t
s
28
&(F)
Genelleşmiş C:X→Mor(C)×Ob(C)Mor(C) elemanı s(a)=t(b) olacak şekilde
a,b:X→Mor(C)
bileşke çiftleridir. Böylece görülür ki yukarıdaki diyagramda
m:C2=Mor(C) ×Ob(C)Mor(C)→Mor(C)
K kategorisindeki bileşke çiftlerinin kısmı çarpım işlemini temsil eden dördüncü
morfizmdir. Dâhili kategori aksiyomları, bileşke ve birim kuralını koruyan aşağıdaki
diyagramın değişimliliği ve si=ti=1 ile sm=sπ2 ve tm=tπ1 eşitlikleri ile sağlanır.
GH6(F) ×ÉÊ(Ë) GH6(F) ×ÉÊ(Ë) GH6(F)
1×O
GH6(F) ×ÉÊ(Ë) GH6(F)
O×1
m
GH6(F) ×ÉÊ(Ë) GH6(F)
GH6(F) ×ÉÊ(Ë) &(F) 1 × 5
GH6(F)
m
GH6(F) × GH6(F) 5 × 1
B;
m
&(F) ×ÉÊ(Ë) GH6(F)
B~
GH6(F)
Bu durumlar kategorinin standart tanımını oluştururlar:
Eğer C ve D iki dâhili kategori ise F:G→D dahili funktoru tanımlanabilir.
Burada
Ob(F):Ob(C)→Ob(D)
Mor(F):Mor(C)→Mor(D)
ile tanımlıdır.
Bu funktorların bileşkesi ile, K kategorisindeki dâhili kategorileri nesne ve dâhili
funktorlarıda morfizm kabul eden Cat(K) kategorisi oluşturulabilir.
Basit kategori teorisinde, iki küçük kategori arasındaki
F:C→D
funktorları, C kategorisinden bir küçük kategoriye tanımlanan
C→Set
funktorlarından farklıdır.
29
İkinci tür funktorlar Ob(C)→Set nesnelerin fonksiyonu ve Mor(C) →Fonk
morfizmlerin(ok) fonksiyonundan oluşurlar. Bu tanım Set kategorisi yerine geri
çekmelere sahip herhangi bir K kategorisi ve C yerine de K kategorisi üzerinde bir C
dâhili kategorisi alınsın.
K uzayına tanımlanan bu tür funktorların uygun bir tanımını elde etmek için
önce
uzayın
Set
kategorisi
olduğu
durumlar
yeniden
formüle
edilmelidir.
Ob(F):Ob(C)→Set nesne fonksiyonu her bir x∈Ob(C) için kümelerin Ob(C) dizinli
ailesi olarak görülebilir. Aynı dizinli kümelerde olduğu gibi Ob(C)- indeksli ailesi de
Ob(C) üzerindeki tekil bir nesne ile yer değiştirebilir.
p:F→Ob(C)
aşikar izdüşümü olmak üzere
F=U Ob(F)(x)
x∈Ob(c)
bütün Ob(F)(x) kümelerinin ayrık toplamıdır. Her bir Ob(F)(x) kümesi, p dönüşümünden
p-1(x) lifi gibi yeniden yapılandırılabilir. Benzer olarak
morfizm fonksiyonu için C kategorisinden her
f: x
y
morfizmi kümelerin bir
Ob(F)x
Ob(F)y
a
f.a
dönüşümünü verir.
Bütün bu dönüşümler, her f ∈ Mor(C) için her bir tekil dönüşüm f’’nin bir etkisi
olacak şekilde p:F
Ob(C) tarafından tanımlanabilir.
ϕ : Mor ( C) ×0b(C) F
F
(f,a)
f.a
Burada Mor ( C) ×0b( C) F,
s: Mor (C )
Ob(C)
boyunca p dönüşümünün geri çekmesidir.
K kategorisinde bir C nesnesi (C üzerinde bir dâhili diyagram) C kategorisinin
bir
ϕ : Mor (C ) ×0b(C)F
etkisi ile birlikte Ob(C) üzerine bir
p:F
Ob(C )
30
F
nesnesidir. Burada s:Mor(C)
Ob(C) geri çekmesi için Mor(C), Ob(C) üzerine
bir nesne olarak alınmıştır. Aşağıdaki diyagramların değişimli olması gerekir.
Mor (C ) ×0b(C)F
ϕ
B;
Mor (C ) ×0b(C)F
F
p
Mor (C )
t
B;
5 × 1 Mor (C ) ×0b(C)F
Ob(C)
ϕ
F
Mor(C )×0b(C)GH6(F) ×0b(C)F
1×€
GH6(F) ×0b(C)F
O×1
ϕ
GH6(F) ×0b(C)F
ϕ
F
Eğer F: (F, p, φ1) ve G = (G, q, φ2) K kategorisinde iki C-nesne iseler, F’den
G’ye C-nesnelerin bir morfizmi, ilgili yapıları koruyan basit bir
ψ :F
G
morfizmidir. Bunun anlamı;
F
η
p
G
q
Ob(C)
Mor(C )×0b(C)GH6(F) ×0b(C)F
1×€
GH6(F) ×0b(C)F
O×1
ϕ
GH6(F) ×0b(C)F
ϕ
diyagramlarının değişimli olması gerektiğidir.
31
F
bir topolojik dâhili kategori olsun. Burada Ob(C) nesnelerin uzayı, Mor(C)
morfizimlerin uzayı ve C2 de morfizmlerin bileşke çiftleridir. m kısmı çarpım işlemini,
s, t hedef ve kaynak dönüşümleri temsil etmektedir.
Tanım 3.4.2.: C bir topolojik kategori olsun. Bir C- demeti
diyagramını değişimli yapan bir p: ℱ
Mor(C )× GH6(F) ×F 1 × €
X demetidir. Ayrıca
Mor (C )×F
O×1
ϕ
ϕ
Mor (C )×F
F
Ob(C )× +
B;
5 ×1
Mor (C )×F
ϕ
F
diyagramları değişimli olur[25].
3.5. r-Demetleri
p:ℱ
X,
X uzayı üzerinde bir demet ve U kümesi de X de açık olsun. Ru
ve Su, U üzerinde denklik bağıntısı olmak üzere Q(U, ž) ve (Ru, Su) çiftleri verisin.
p: ž|u
U, Ru ve Su ile uygun olsun. Yani (e1, e2)∈Su ise ( p(e1) ,p (e2) ) ∈ Ru
olsun ve bir q lokal homeomorfizmi ile birlikte aşağıdaki geri çekme verilsin[24].
′
Bu demektir ki eğer p(e) = x ve
zaman ( ′ ,e ) ∈ Su ile birlikte
′
∈ [x], (x’in denklik sınıfı Ru ile temsil edilir) ise o
∈ p-1(x ) tektir. O zaman aşağıdaki teorem verilebilir.
32
Teorem 3.5.1. ℱ, X uzayı üzerinde bir demet olsun. O(X), X uzayının açık kümelerini
göstersin. O zaman
Q( - , ℱ): O(X)
Set
bir öndemettir[24].
V ⊆ U ∈O (X) ve Q (U, Y)
İspat:
Q ( Y, Y ) kısıtlama dönüşümü verilsin.
(RU,SU) ∈ Q (U, Y) olmak üzere RV = RU/V SV = SU/V olsun. Küçük kareler geri çekme
olduğundan aşağıdaki kare de geri çekmedir.
Buradan
bir geri çekme olur. Yukarıdaki kare bir geri çekme olduğundan
Y|v/Sv
V/Rv
bir lokal homeomorfizm olur. g monic olduğundan (Rv,Sv) ∈ Q(V, Y) dir[24].
QƑ bir demet olsun. O halde bir Qℱ
„
demetlerin unutkan funktoru
vardır. Bu demet X uzayı üzerinde lokal denklik bağıntılarının demetidir. r, X uzayı
üzerindeki lokal denklik bağıntısı olsun.
Tanım 3.5.1.: Bir ž demeti üzerindeki yapı; (r, t), Qℱ demetinin bir global kesiti
olmak üzere ℱ demeti üzerinde bir t lokal denklik bağıntısıdır [24].
33
(ℱ1, t1 ) ve (ℱ2, t2) r- demetler ise bir ℱ1
ℱ2 demet dönüşümü r-yapıları
lokal olarak koruyan, bir r-demet morfizmidir. Buradan r-demetlerin bir Sh (X;R)
kategorisi oluşturabilir.
Sh(X; R)= Sh(X; R\x) olduğundan her R- demeti bir r- demeti gibi görülebilir.
Geriye her r- demetin bir R- demetten oluştuğunu göstermek kalır. Eğer p:ℱ→X, ryapılı t ile birlikte bir r- demet ise aşağıdaki diyagramı değişimli yapan bir
ϕ: R×ℱ
ℱ
R- etkisi üretemeyiz:
p:ℱ
X bir demet olsun. Herhangi bir U⊆X açık kümesi için (Hİ, φİ) çiftlerinden
oluşan Ι ℱ (U) kümesini göz önüne alalım öyle ki Hi ∈ LG (Ui) ve φ, ℱ\Ui = p-1 (Ui)
üzerinde H ile birlikte bir transporttur. Uj ⊆ Ui için bir 1ℱ(Ui)
1ℱ (Ui)
kısıtlama dönüşümü vardır ve bu Ι ℱ öndemetini verir. Ayrıca ( Hi , Ui) tarafından
verilen bir
1ℱ
LG
unutkan funktoru vardır. Ι ℱ karşı gelen demet olsun. O halde 1ℱ
LG dönüşümü
bir
1ℱ
LG
demet dönüşümüdür[24].
3.6. s-Demetleri
Bir G grupoidinin bir lokal altgrupoidi s olsun. (Örneğin;ℒ G s, LG demetinin
global kesiti olsun.) Burada sembollerde karışıklık olmaması için kaynak dönüşüm s
yerine ) , hedef dönüşümünde t yerine β şeklinde kullanılacaktır[24].
Tanım 3.6.1. ž demeti
üzerindeki bir s-transportu p(t) = s olacak şekilde Iž
demetinin bir t-global kesitidir. X uzayı üzerindeki bir s-demet s-transportu ile birlikte
X üzerinde bir demettir[24].
34
X uzayı üzerinde iki s-demeti arasındaki transportu koruyan dönüşümün
rotasyonu aşağıdaki gibi tanımlanabilir.
Tanım 3.6.2.: G, X üzerinde bir topolojik grupoid olsun. φ1 ve φ2 etkileri ile birlikte
sırasıyla ℱ1 , ℱ2 s-demetleri verilsin. Ƒ1 demetinden Ƒ2 demetine tanımlanan bir smorfizmi
× žÍ
Î×η
€;
žÍ
× žÏ
€~
η
žÏ
diyagramını değişimli yapan bir
η : ℱ1 → ℱ2
demet dönüşümüdür [24].
Sh(X;s), s-demetlerinin ve s-morfizmlerinin kategorisini göstersin. Sh(X;s)
kategorisinden sh(X) kategorisine tanımlanan bir bağlı (faithfull) funktor vardır. Çünkü
X uzayı üzerinde her s-demeti X üzerinde bir demettir[24].
Tanım 3.6.3.: X uzayı üzerinde bir G grupoidini ve U ⊆ X açık kümesini için G
grupoidinin bir uygun lokal kesiti aşağıdaki özellikleri sağlayan bir
k:U→G
dönüşümdür:
i) Her
∈U için αk(x)=x’dir.
ii) βk (U), X üzerinde açıktır.
iii) βk dönüşümleri U kümesini βk(U)’ya homeomorftur[24].
Teorem 3.6.1.: [5,9](Aof-Brown Teoremi) Γ(H), H’nın bütün uygun yerel kesitlerinin
kümesi olsun. Γ(H) üzerinde k ve t uygun lokal kesitleri için
(tk)(x)=t(βk(x))k(x)
35
(*)
ile çarpım tanımlanır. Eğer k bir uygun lokal kesit ise o halde βk(U)→H uygun lokal
kesiti için k-1 ile
βk(x)→(k(x))-1
yazılır. Bu çarpımla Γ(H), bir ters yarı gruba dönüşür. Γc(W),W üzerinde değer alan ve
sürekli uygun lokal kesitlerden oluşan Γ(H)’nin alt kümesi olsun. Γc(H,W), Γ(H)’nin
yarı grubu olsun. O halde Γc(H,W) yine bir ters yarı grup olur. Sezgisel olarak bu, lokal
prosedürlerin tekrarı üzerinde bilgi içerir. j(H)’nın elemanı, k∈Γ(H) olacak şekildeki
(x,k) çiftlerinin denklik sınıflarıdır. Öyle ki
x∈U=dom(k)
ve (x,k), (y,t)’ye denktir ancak ve ancak x=y ve k ile t, x’in komşuluğu üzerinde çakışık
ise (x,k) denklik sınıfı [k]x şeklinde yazılır.
Γ(H) üzerindeki çarpımın yapısı J(H) üzerinde bir grupoid yapısı oluşturur.
Burada nesnelerin sınıfı X, kaynak ve hedef dönüşümleri de
[k]x
βk(x)
[k]x
c
c
ile tanımlıdır. J (H,W), Γ (H,W)’nın elemanının hücrelerinin Jc(W) demeti tarafından
üretilen J(H)’nin altgrupoidi olsun. Buradan Jc(H,W)’nın bir elemanı k=kn,…,k1,
[ki] ∈ Jc(W), xi+1=βki(xi), i=1,…,n ve x1=x∈U= dom(k) olmak üzere
[k]x=[kn]xn…[k1]x,
şeklindedir.
ψ : J(H)
H
ψ ([k]x)=k(x)
[k]x
varış dönüşümüdür. Burada k bir uygun lokal kesittir. O halde ψ , (Jc(H,W)) olur.
J0=Jc(W) I Kerψ
olsun. Buradan Jo, Jc(H,W)’nin bir normal altgrupoidi olur.
Hs=H0|(H,W) holonomy grupoidi Jc(H,W)/J0 bölüm uzayı olarak tanımlanır. p:Jc(H,W)
Hs bölüm morfizmi ve p([k]x), <k>x tarafından oluşturulmuş olsun. J0 ⊆ Ker ψ
olduğundan φp= ψ olacak şekilde bir
φ:Hs
H
örten morfizmi vardır. Hs holonomy grupoidi üzerindeki topoloji Hs üzerine yükseltilir.
Bu topoloji ile birlikte H bir topolojik grupoid haline dönüşür.
Tanım 3.6.4.: G, X üzerinde bir topolojik grupoid ve s, X üzerinde G’nin bir sabit
düzenli lokal altgrupoidi olsun. Ayrıca
36
glob(s)=H ve W=⋃
∈#
olsun. s lokal altgrupoidi ile tanımlanan (H,W) lokal altgrupoidin HS holonomy
grupoidine s lokal grupoidinin holonomy grupoidi denir[26,27].
Bir Hs holonomy grupoidini göz önüne alalım. Aşağıdaki gibi bir s- demet elde
edilebilir.
J(H) kaynak dönüşümünün uygun lokal kesitlerinin hücrelerinden elde edilen bir
demet olsun. * bileşkesi, J(H) demetini, X üzerindeki demetin topolojisi ile bir efule
topolojik grupoide dönüştürür. JC(W), k(U)⊆ œ olacak şekilde
k:U→H
kesitlerinin hücrelerinin altdemetini göstersin. JC(H,W), J(H) demetinin J(W) tarafından
üretilen altgrupoidi olsun. Bu bir demet olur ve bir
ψ :J(H)→H
[k]x →ψ ([k])=k(X)
dönüşümü vardır. Eğer
J0=J(W) I Kerψ
alınırsa, o zaman J0, JC(H,W)’nin normal altgrupoidi olacaktır.
Hs=Ho/(H,W)=Jc(H,W)/J0
bu bir topolojik grupoiddir ve X uzay üzerinde bir demet topolojisine sahiptir. Topolojik
grupoidlerin bu tür yapıları topolojik kategorilerin yapısında da görülür. Bu yapılardan
hareketle tekrar s lokal grupoidine dönelim. S bir değişmez, düzenli lokal altgrupoid ve
Hs,
αs,βs:HS → X
hedef ve kaynak dönüşümleri ile birlikte holonomy grupoidi olsun.
Pradines [27]tarafından ilk kez ortaya atılan ve Brown
[26] tarafından
tanımlanan H s holonomy grupoidi alınsın. Aşağıdaki gibi bir s-demet tanımlanabilir.
J ( H ) kaynak dönüşümünün uygun lokal kesitlerinin hücrelerinden elde edilen
bir demet olsun.
(∗ ) bileşkesi, J ( H ) demetini, X üzerindeki demet topolojisi ile bir
etale(durgun) topolojik grupoide dönüştürür. J c (W ), k (U ) ⊆ W olacak şekildeki
k :U → H
kesitlerinin
hücrelerinin
altdemetini
göstersin.
J c ( H ,W ), J ( H ) demetinin J (W )
tarafından üretilen altgrupoidi olsun. Bu bir demet olur ve bir
37
ψ : J (H ) → H
[ k ]x →ψ ([ k ]x ) = k ( x)
dönüşümü vardır. Eğer
J 0 = J (W ) I Kerψ
alınırsa, o zaman J 0 , J c ( H , W ) ’nın normal altgrupoidi olacaktır.
H s = Hol ( H , W ) = J c ( H , W ) / J 0
Bu bir topolojik grupoiddir ve X uzayı üzerinde bir demet topolojisine sahiptir
[5]. Topolojik grupoidlerin bu tür yapıları topolojik kategorilerin yapısında da görülür.
Bu yapılardan hareketle tekrar s lokal grupoidine dönelim.
s bir değişmez, düzenli lokal altgrupoidi ve H s ,
αs, β s : H s → X
hedef ve kaynak dönüşümleri ile birlikte holonomy grupoidi olsun. O zaman H s
aşağıdaki,
×
K
|
K| Ç
ϕ
Ç
)
)
s transportu ile birlikte bir s-demet olur. g ∈ Hx (x,y) ve [k]y ∈ Hs
Ux olsun.
O halde
x ∈ U ⊆ U X için bir
t:U
x
Hx
t(x) = g
uygun lokal kesiti vardır. Dolayısıyla
φ (g.[k]y ) = [ gk ]x
olacak şekilde bir s-transportu tanımlayabiliriz. Hatta burada Hs holomony grupoidi bir
s-demettir.
38
BÖLÜM 4
LOKAL ALT GRUP-GRUPOİD
Bu bölümde Lokal altgrupoid yapısı yardımı ile lokal alt grup-grupoid elde
etmeye çalışacağız.
4.1. Lokal Denklik Bağıntısı
Bu bölümde, Grothendieck ve Verdier [22] tarafından verilen lokal denklik
bağıntısı kavramı verilerek, Brown ve İçen tarafından nasıl lokal altgrupoid teorisine
genişletildiği incelenecektir.
Tanım 4.1.1.: •: ( )ÉÐ →
→ •( ) = Nƒ|ƒ,
,
üzerinde denklik bağıntısı}
şeklinde tanımlanan • = N•( , ), • Œ , } bir öndemettir. E öndemetine karşı gelen ε
demetinin r- global kesitine X topolojik uzayı üzerinde bir lokal denklik bağıntısı
denir[23].
„
p
r
X
Lokal denklik bağıntısı bir dönüşüm olarak görünse de yapısı hakkında şunlar
söylenebilir:
Bir r- lokal denklik bağıntısı; X topolojik uzayı,
∈ ⋃ ∈Ñ
∈
açık kümeler ve
olmak üzere ƒ ∈ •( ), ve ƒ ∈ •• ¯ • ise bir _ ∈ ( ,
_∈œ⊆( ,
¯ ),
için ƒ |Ž = ƒ¯ |Ž olur.
Bu koşula lokal bağdaşabilirlik şartı denir[23].
r → U r = {(U i , Ri ) | U i ⊆ X açık kümeler, ƒ ∈ •( )}
39
¯)
vardır ve
Örnek 4.1.1. Bir X uzayı, U i örtüsü ve gereken lokal bağdaşabilirlik şartı ile herhangi
bir Y uzayı alınsın.
(:
→Q
sürekli dönüşüm olmak üzere, X üzerinde bir denklik bağıntısı tanımlanabilir. Burada
( ( ) = ( (/) ⟺ ƒ/
şeklinde tanımlıdır. Ri ve R j , sırasıyla U i ve U j üzerinde denklik bağıntısı olsunlar.
∈
⋂
¯
için
∈
Ò
⊆
⋂
¯
alınırsa lokal bağdaşabilirlik şartı ile ƒ |
Ó
= ƒ¯ |
Ó
olur.
Tanım 4.1.2.: X bir topolojik uzay ve bu uzay üzerinde bir demet ž olsun. Her x ∈ X
için ℱ sapı bir grup ve 5: ℱ × ℱ → ℱ , (σ 1 , σ 2 ) → σ 1σ 2 sürekli ise ž demetine
grupların demeti denir[22].
Böylece, aşağıda önerme verilebilir:
Önerme 4.1.1. Grupların demeti bir grupoiddir[22].
İspat:
Ô
ℱ→X
Morfizmlerin
nesnelerin kümesi;
kümesi;
GH6(ℱ = ⋃±∈h ℱ± ) = Np(ℱ± )|p: ℱ → X},
&(ℱ) = X, kaynak ve hedef dönüşümleri; ,: ℱ → X , t: ℱ → X,
bileşke dönüşüm; O: ℱ × ℱ → X, nesne dönüşümü; „:
→ ℱ ve ters dönüşümde;
5: ℱ → ℱ alınırsa grupların demeti bir (ž,X,p=s,p=t,m,„, 5) grupoidini oluşturur.
4.2. Lokal ve Global Altgrupoidler
Tanım 4.2.1.: X bir topolojik uzay ve G de nesne kümesi &( ) =
grupoid ve U ise X uzayının bir açık alt kümesi olsun
olacak şekilde bir
( ); | tam altgrupoidinin
U- geniş altgrupoidlerinin ailesi olsun. Yani
| = , A; ( ) ∩
A;
( )
olsun. Şimdi V ⊆ U olacak şekildeki V,U⊆X açık kümelerini alalım. Eğer H,
U geniş altgrupoidi ise
|Œ ’de G|Œ ’nin geniş altgrupoididir. Dolayısıyla
Œ:
( )→
→
40
(•)
|Œ
|Œ ’nin
şeklinde bir kısıtlama dönüşümü vardır. Buradan
: ( )
→
kontravoryant funktoru elde edilir. Dolayısıyla
G,
X uzayı üzerinde bir öndemet olur.
öndemetinden
ℒG = ⋃
∈# ℒ
=⋃
∈#N(
ℒ G demeti elde edilebilir. Dolayısıyla
,
) :
∈
⊆
ç !,
∈ ℒ ( )}
p: ℒ G→X, p(ℒ x)= x
kanonik izdüşümü bir lokal homeomorfizmdir[22].
U ⊆ X açık kümesini ve U üzerinde tanımlı ℒ G demetinin ,:
→ ℒ kesitini
alalım. Bu tür kesitlerin oluşturduğu Г( , ℒ ) kümesi bir öndemet belirtir:
Γ : O( X )op → set
ℒ G demetinin global kesitlerinin kümesi de Г( , ℒ ) olur. Ayrıca her H ∈ LG (U )
elemanı bir , ∈ Г( , ℒ ) kesiti ile ilişkilidir. Eğer
∈
ve « ∈ ℒ ise o zaman
σ = (U , H ) x = germx H = s( x) = sx
olacak şekilde bir x ∈U ⊆ X açık komşuluğu ve s ∈ (U , LG ) vardır.
Tanım 4.2.2.:
Bir X uzayı üzerindeki G grupoidinin bir lokal alt grupoidi, ℒ G
öndemetinden elde edilen ℒ G demetinin global kesitidir[21].
Bir G grupoidinin bir lokal altgrupoidi
pos = I x
olacak şekilde, X uzayından ℒ G demetine tanımlı sürekli fonksiyonlardır. Fakat bir lokal
altgrupoid, bir kesitten çok G’ nin altgrupoidinin bir denklik sınıfı gibi görülebilir[21].
Örnek 4.2.1 X bir topolojik uzay olsun. X uzayı üzerindeki her lokal denklik bağıntısı
XxX uzayının lokal altgrupoididir. X uzayındaki U açığı için E(U), U üzerindeki bütün
denklik sınıflarının kümesi olsun. Bu ise X uzayı üzerindeki ε demetini oluşturan
E:O(x)op → Set
ön demetini verir. Buradan ε demetinin bir global kesitinin r lokal denklik bağıntısı
elde edilir.
41
E (U ), U × U üzerindeki bütün
U altgrupoidlerinin ailesidir. Dolayısıyla X
uzayı üzerindeki r lokal denklik bağıntısı X × X ’in bir lokal alt grupoididir.
Diğer taraftan, bir X topolojik uzayı üzerindeki herhangi bir G grupoidinin X
üzerinde xRG y şeklinde bir RG denklik bağıntısı belirtmesi için gerek ve yeter şart
G ( x, y ) kümesinin boştan farklı olmasıdır. Dolayısıyla bir G grupoidinin herhangi bir s
lokal alt grupoidi bir lokal denklik bağıntısı belirtir.
Örnek 4.2.2 Herhangi bir X topolojik uzayının, kendi üzerinde her elemanı birim olan
bir grupoid olduğu göz önüne alınsın. X uzayında U açık olacak şekilde
U (s) = {(U x ,U x ) : x ∈U x }
atlası ile X kümesinin bir s lokal altgrupoidi tanımlanabilir.
Örnek 4.2.3.
X bir topolojik uzay,
X ∗ = { xi | i ∈ I } da X üzerindeki ℛ denklik
bağıntısı tarafından oluşturulmuş bir ayrışımı olsun. È, X üzerinde bir grup olsun. O
zaman G = X × X , X uzayı üzerinde bir grupoid olur. Gerçekten s, t kaynak ve hedef
dönüşümleri ℛ üzerinde birer kanonik izdüşüm, kısmi çarpım işlemi ise
m(( x, y ), k1 )(( y, z ), k2 ) = (( x, z ), k1k2 )
şeklindedir. e , È grubunun birim elemanı olmak üzere nesne dönüşümü de;
ε (( x, y ), k ) = (( x, y ), e)
şeklinde tanımlıdır. Buradan (ƒ × È, , ,, , 5, „, O) X üzerinde bir grupoid olur.
Şimdi; U j ⊆ U i olacak şekilde U i , U j ⊆ X açık kümeler ve X uzayı üzerinde
aşağıdaki yapıların var olduğunu kabul edelim.
E (U i ) = { Ri | Ri , U i üzerinde denklik bağıntısı}
ve benzer olarak
L (U i ) = { H | H , G |Ui = Rx K | U i = R |Ui × K ' nın bir U i − geniş alt grupoidi}
Buradan X uzayı üzerinde E ve L öndemetlerinden
•, : ° ( x)op → set
funktorları tanımlanabilir. Hatta bunlar arasında her U i ⊆ X açık kümesi için
Ø: • →
42
Ø (U ) : E (U i ) → L(U i )
Ri → Ri × K
şeklinde bir doğal transformasyon tanımlanabilir. Diğer bir ifadeyle aşağıdaki
diyagramlar değişimlidir.
Ø( )
•( İ )
„
( )
ℒ
‚ Ü
Ø( )
•( ¯ )
( ¯)
ƒ ×Ý
ƒ
ƒ|
Bu
‚ Ü
Ü
da
ƒ|
Ø: • →
Ü
× Ý = ƒ × Ý|
Ü
dönüşümünün bir öndemet morfizmi olduğu anlamına
gelir. Bu morfizmler, demet morfizmlerine yükseltilebilir.
ε R ve ℒG,
ER ve
G
öndemetlerinden elde edilen demetler ise Ø ∗ : ε R → ℒ G morfizmi de
„Þ
Ø∗
7„
ℒ
7ℒ
X
diyagramını değişimli yapan uygun demet morfizmidir.
Eğer r ,
U = {(U i , Ri ) | i ∈ I }
atlası ile verilen
R denklik bağıntısının lokal denklik bağıntısı ise o zaman
Ø ∗ ( r )de X uzayı üzerinde G grupoidinin lokal altgrupoidi olur ve
43
U ∗ = {U i , Ri × K | i ∈ I }
atlası ile verilebilir. Diğer bir deyişle , X uzayı üzerinde bir denklik bağıntısının bir
lokal denklik bağıntısı, K bir grup olmak üzere X uzayı üzerindeki R × K grupoidinin
bir lokal altgrupoidini verir.
Böylece, şu sonuç verilebilir:
Sonuç 4.2.1. Bir lokal denklik bağıntısı
„
p
r
X
E :°( )
→,
E (U i ) = {R | Ri , U i ' denklik bağıntısı} ve bir lokal altgrupoid
ℒG
p
s
X
ℒ( İ)=
{H
İ
| H İ ⊆ G |U İ
}
ℒ G: O(x)op→ Set
özelliklerini sağlar. O halde her denklik bağıntısı bir lokal
altgrupoiddir. Fakat her grupoid bir denklik bağıntısı değildir [10].
4.3 Lokal Alt Grup-grupoid İnşaatı
X bir topolojik uzay ve G de nesne kümesi &( ) =
grupoid ve U ise X uzayının bir açık alt kümesi olsun
grupoidinin U- geniş alt grup-grupoidlerinin ailesi olsun. Yani
| = , A; ( ) ∩
44
A;
( )
olacak şekilde bir grup( ); |
tam alt grup-
|Œ ’nin
olsun. Şimdi V ⊆ U olacak şekildeki V,U⊆X açık kümelerini alalım. Eğer H,
U geniş alt grup-grupoidi ise
|Œ ’de G|Œ ’nin geniş alt grup-grupoididir. Dolayısıyla
Œ:
( )→
→
(•)
|Œ
şeklinde bir kısıtlama dönüşümü vardır. Buradan
: ( )
kontravoryant
→
funktoru elde edilir. Dolayısıyla
, X uzayı üzerinde bir öndemet
olur.
öndemetinden
ℒ
ℒ
=⋃
∈# ℒ
=⋃
( ,
∈#
) :
∈
⊆
ç !,
∈ℒ
( )"
demeti elde edilebilir. Dolayısıyla
p:ℒ
→X , p(ℒ x)= x
kanonik izdüşümü bir lokal homeomorfizmdir.
U ⊆ X açık kümesini ve U üzerinde tanımlı ℒ
alalım. Bu tür kesitlerin oluşturduğu Г( , ℒ
demetinin ,:
→ℒ
kesitini
) kümesi bir öndemet belirtir:
Γ : O( X )op → set
ℒ G demetinin global kesitlerinin kümesi de Г( , ℒ
elemanı bir , ∈ Г( , ℒ
) kesiti ile ilişkilidir. Eğer
) olur. Ayrıca her H∈ ℒ
∈
? « ∈ ℒ ise o zaman
( )
σ = (U , H ) x = germx H = s( x) = sx
olacak şekilde bir x ∈U ⊆ X açık komşuluğu ve , ∈ ( , ℒ
) vardır.
Bir X uzayı üzerindeki G grup-grupoidinin bir lokal alt grup-grupoidi,
öndemetinden elde edilen ℒ
demetinin global kesitidir.
Bir G grp-grupoidinin bir lokal alt grup-grupoidi
pos = I x
olacak şekilde, X uzayından ℒ
demetine tanımlı sürekli fonksiyonlardır. Fakat bir
lokal alt grup-grupoid, bir kesitten çok G’ nin alt grup-grupoidinin bir denklik sınıfı
gibi görülebilir.
45
KAYNAKLAR
[1]
PONTRJAGIN, L.S., Topological Groups, Translated from the Russian by Edha
Lehmer, Oxford University Pres, London (1946)
[2]
P. J. HIGGINS, Introduction to Topologıcal Groups, Cambridge University
Press, 1974.
[3]
BOURBAKI, N., Elements of Mathematick, General Topology 1. addison,
Wesley, London, 1966.
[4]
HIGGINS, P.J.,Categories and groupoids, Van Nostrand, New York, 1971.
[5]
AOF, M.E.-S.A.F., Topological aspects of holonomy grupoids, University of
Wales Ph. D. Thesis (1987), U.C.N.W. Maths Preprint 88.10 (with an Appendix
by J. Pradines)
[6]
NURUSEV H., Topolojik Grupoidler (Y.Lisans Tezi), Gazi Üniv. (1995).
[7]
ÖZCAN A.F., Topolojik Crossed Modüller (Y.Lisans Tezi), İnönü Üniv. (1998).
[8]
BROWN, R., Topology; A Geometric account of General Topology, Homotopy
Types and the Fundamental Grupoid, Ellis Horwood, Chichester, (1988)
[9]
BROWN, R, From groups to groupoids: A brief survey, Bull. London Math.
Soc. 19, (1987) 113-134
[10]
İÇEN, İ., Sheaves, Local Subgroupoids and Holonomy Groupoids, University of
Wales, Report (1996).
[11]
O. MUCUK, Covering groups of non-connected topological groups and the
monodromy groupoid of ct topological groupoid, PhD Thesis. University of
Wales England, 1993.
[12]
HIGGINS, P.J., and Taylor J., The Fundamental Groupoid and Homotopy
Crossed Complex of an Orbit Space, Category Theory Proceedings, Gummers
Bach. 1981 Lecture Notes in Math. 962 (ed. K.H. Kamps et Al., Springer,
Berlin) pp. 115-122 (1982).
[13]
BROWN, R. and DANESH-NARUIE, G. , The Fundamental Groupoid as a
Topological Groupoid, Proc. Edinb. Math. Soc., Vol. 19, (series 2), Part 3,
(1975), 237-244.
[14]
TENNISON, B.R., Sheaf Theory, London Math. Soc. Lecture Note Series 20,
Cambridge University Pres, (1975).
[15]
İÇEN, İ., Demetler üzerine, Y. Lisans Tezi, İnönü Üniversitesi, Malatya, 1989.
46
[16]
DANESH, G.,- Naruie, Topological groupoids, Ph. D. Thesis, Southampton
University, 1970.
[17]
EHRESMANN, C., Categories Topologiques et categories Difercntiables, Coll.
Geom. Diff. Globales, Bruxelles, 137-150, 1958.
[18]
SEDA, A.K., Topological Groupoids, Measures and Representation, Ph. D.
Thesis, University of Wales England, 1974.
[19]
O. MUCUK and İ. İçen, Holonomy, Extendibility, and Star Universal Cover of a
Topological Groupoid, Appl. Gen. Topol., Vol. 1, No 1, 79-89, 2003.
[20]
BROWN, R. and SPENCER, C. B., G-groupoids, Crossed Modules and the
Fundamental Groupoid of a Topological Group, Proc. Konn. Ned. Akad.v.Wet.,
(1976), 79: 196-302.
[21]
ÖZCAN, A. F., Topolojik örtü grupoidleri, Doktora tezi, İnönü Üniversitesi,
Malatya, 2004.
[22]
GROTHENDIECK, A., and Verdier, T.L., Thorie des Topos, Lectures Notes n
maths, Springer, 1972.
[23]
ROSENTHAL, K., Sheaves and Local Equivalence Relations, Cah. Geom. Diff
Cat. , 1984.
[24]
ERTAN, T, H,. Grupoidler ve Demetler, İnönü Üniv. Malatya 2008.
[25]
MACLANE, S., AND Moerdijk, I., Sheaves in Geometry and Logic. Springer
Verlag, 1992.
[26]
BROWN, R., Holonomy and Monodromy Groupoids, UCBW Maths Preprint,
82.02.1982.
[27]
PRADINES, J., Thorie de Lie Porles Groupoides Differentiables, Relation entre
Proprites Locales et Globales, Comptes Rendus Acad, Scı. Paris, 1966.
[28]
OLVER, P.J., Non-Associative Local Lie Groups, Journal of Lie Theory 6 23-51
1996
[29]
MASSEY, W., S., Algebraic Topology: An Introduction, Springer-Verlag New
York Inc., 1990.
[30]
AY DEĞİRMENCİ, H. Y., Covering groups of Topological Groups and Local
Topological Groups, Erciyes Üniversity, Kayseri, 2010.
[31]
BREDON, G.E., Sheaf Theory, Mc Graw-Hill Book Company 1976.
[32]
İÇEN, İ., AND YILDIZ, C., The topological grpupoids of the group s formed
by the H- groups over topological space, J. Institute of Science and Tecnology,
Gazi Üniv. Vol. 6, ( 1993).
47
[33]
MACKENZIE, K.C.H., Lie Groupoids and Lie Algebroid Differantial
Geometry, London Math. Soc. Lecture Notes Series 124, Cambridge University
Press. 1988.
[34]
İÇEN, İ., and ÖZCAN, A.F., Topological Crossed Modules and G-groupoids,
Algebras Groups Geom., (2001), 18: 401-410.
[35]
İÇEN, İ., ÖZCAN, A.F., and GÜRSOY, M.H., Topological Group-groupoids
and Their Coverings, Indian J. Pure Appl. Math., (2005), 36(9): 493-502.
[36]
MOERDIJK, I., Foliations, Groupoids and Grothendiec Etendues, Lectures
Notes, (1993)
[37]
BROWN, R, Symetry, Groupoids and Higher Dimensional Analogues,
Computers Math. Applic. 17, No. 1-3,(1989) 49-57.
[38]
BROWN, R, AND DANESH NORUIE, G., The fundamental groupoid a
topological groupoid, Proceeding of Edinburg Mathematical Society, 19 (series
II). Part 3. March (1975)
[39]
İÇEN, İ., On the sheaves and Bundles, (Eng. Sum.), İnönü Üniv., M.Sc. Thesis,
Malatya, (1989)
[40]
İÇEN. İ., Local subgroupoids and s-sheaves, (In preparation).
48
ÖZGEÇMİŞ
Ad Soyad: Erol MUTLU
Doğum Yeri ve Tarihi: Malatya, 13.04.1986
Adres: İsmet Paşa cad. Aşağı Bağlar Mah. Hasbahçe Apt. C blok kat 2 No:4 Malatya
E-Posta: [email protected]
Lisans: Dicle Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik bölümü (Mezuniyet
2008)
Yüksek lisans: İnönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilimdali
Topoloji
Meslek Deneyimi ve ödüller:
Yayın Listesi: İnönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilimdalı
Topolojik grup-gruupoidler Semineri, 2010.
49