1 Kümülatif Dağılım Fonksiyonu (Sürekli) • X sürekli bir rastgele değişken olsun. Bu durumda kümülatif dağılım fonksiyonu şu şekilde tanımlanır. FX ( x) = Pr[ X ≤ x] • Tipik bir KDF şu şekilde görünür: FX(x) 1.0 x 0 1 Kümülatif Dağılım Fonksiyonu (kdf), FX(x) FX ( x) = Pr[ X ≤ x] FX(x) 1.0 Özellikler 1. 00≤FFXX( (xx) )≤11 1. 2. lim F lim F FXX ((xx))=1;1; xlim lim FXX ((xx))=00 2. xx →∞ x →−∞ 0 3. Herhangi bir x 0increasing için monotonik artan fonksiyon 3. Monotonically function: FX ∆x ( x >x0, ) FFXX(x+ ( x ) ∆x) ≥ FX(x) For any 4. Pr Pr[[aa < X −XF(Xa)( a ) X ≤bb] ]=FFX X(b()b) F 4. 5. h 0 için FX ( x) sağdan süreklidir 5. FX(x) is continuous from the right FX (a ) lim FX (a h) FX (a ) FX ( a + h ) = FX ( a + ) for h > 0, FX ( ah)0= lim h →0 6. lim Pr[a X a x] lim[ FX (a x) FX (a )] 0 x 0 x 0 Pr [ a < X ≤ a + ∆x ] = lim FX ( a + ∆x ) − FX ( a ) = 0 6. ∆xlim ∆x →0 →0 x 2 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu (oyf), fX(x) dFXX( x()x) dF f Xf X((x) x) = dx dx x x x) = Pr[ FFXX((x) Pr[XX≤x]x] = f∫X (fzX)dz ( z) dz b −∞ Pr[a X b] f X ( x)dx b Pr[a < X ≤ b] =a ∫ f X ( x) dx a Özellikler: ff XX (( xx)) ≥ 00 fX(x) ∞ ∫ 1= 1 f X ( xx))dxdx ∆x −∞ x1 a+∆x Pr[a < X ≤ a + ∆x] = ∫ f X ( x) dx ≈ f X (a) ⋅ ∆x a Dikkat lim Pr[a < X ≤ a + ∆x] = 0 ∆x→0 x 3 Sürekli ve Kesikli Rastgele Değişkenler • Sürekli rastgele değişken X gibi bir girişe sahip olan bir analog sayısal çeviriciyi düşünün: X ADC K – Bu durumda çıkış, K, girişe karşılık gelen ve sonlu değerlerde örneklenmiş kesikli rastgele değişken olur. k A L-4 L-3-3 L-2-2 LL-1-1 0 -1 -2 -3 ∆ -4 3 2 1 x L0 L1 L2 B 4 OYF ve OKF: • OKF yaklaşık olarak şu şekilde yazılabilir: Lk Lk + ∆ ffKK[k Pr[L < X ≤Lk Lk + ( x) dx Pr[K [k] = Pr[ K =kk] ]=Pr[ Lk k X ] ∆]= f X∫ (fxX)dx Lk Lk • Küçük pozitif için f K [k ] ≈ f X ( x) ∆ – Sonuç olarak, fK[k] ≤ 1 için, fX(x) 1’den büyük değerler alabilir; ancak, her ikisi için de hala aşağıdaki eşitlikler sağlanmalıdır: ∞ ( x)dx 1 =1 f ∫ (fx)dx X X −∞ ∞ f [fk ] [k 1] = 1 ∑ k k 3-22 Lk ∆ K fK[k] =−∞ fX(x) A K B -3 -2 -1 0 1 2 3 © M. Tummala & C. W. Therrien 2004 6 Bazı Sürekli Rastgele Değişkenler Birbiçim Rastgele Değişken: parametreler a, b Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu: ⎪⎧ 1 1 , a ≤ x ≤ b ff XX ((xx))= b⎨ b a−,a a x b diğer otherwise. ⎪ ⎩ 0, 0, ∫ bb aa fX(x) 1/(b−a) )dxdx 1= 1 f XX ((xx) a b xx Kümülatif Dağılım Foksiyonu: x x xx 11 F ( x) = ≤ x] = f ( z) dz Pr[ X = X FX ( x) Pr[ X x] ∫−∞ Xf x ( z )dz ∫a dz dz a b b −aa xa 0, ⎪ xx −aa FX ( x) , a xb b − a ba ⎪1, x≥b xb ⎩ 1, FX(x) 1 a b x 7 Örnek: a = 0, b = 10 ise Pr[2 < X ≤ 6] nedir? fX(x) 1/10 x 0 2 6 10 11 dx 44 Pr[2 X 6] f ( x ) dx Pr [ 2 < X ≤ 6] =∫2 f XX ( x ) dx = ∫2 = 2 2 10 10 10 10 66 66 Alternatif olarak, Pr [ 2 < X ≤ 6] = FX ( 6 ) − FX ( 2 ) = 0.6 − 0.2 = 0.4 8 Üstel Rastgele Değişken: parametre Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu: xx < 00 0 ⎧ 0, ffXX (( x )) = ⎨ −λx ⎩λe , xx≥00 ∞ ∫ 00 fX(x) λe−λx ∞ x ffXX (( x))dx dx = λ∫0 ee − λ xdx dx=11 x 0 Kümülatif Dağılım Fonksiyonu: xx xx −λ zz 00 FFXX ((xx))= Pr[ Pr [XX ≤ x]] = ∫ f XX (( z ))dz dz = λ ∫ ee −∞ x0 0, x<0 FX ( x) ⎧ 0 x FX ( x ) =1⎨ e − λ,x x 0 x≥0 ⎩1 − e dz e dz = −e x − λ zz x 0 0 x =11−ee− λ x FX(x) 1−e−λx x Dikkat : −λ x Pr[ X > x] = 1 − Pr[ X ≤ x] = e 9 Örnek: Yazıcı kuyruğunda bekleme süresi üstel bir rastgele değişkendir. X =ˆ bekleme zamanı f X ( x ) = e− λ x x≥0 fX(x) (a) Pr [T < X ≤ 2T ] λe−λx − λT −2 λT = ∫ λ e − λu du = e − e 2T x T (b) Pr[T < X ≤ 2T ] = FX (2T ) − FX (T ) =1− e −2λT −1 + e −λT = e −λT − e −2λT 1 λ = . ise T Pr [T < X ≤ 2T ] = e−1 − e−2 ≅ 0.233 FX(x) 1−e−λx x 10 Hafızasızlık Özelliği t saniyesinde çalışır durumda olan bir sistem için bu zamandan sonra h saniye daha çalışır durumda olması olasılığı toplam h saniye çalışır durumda olması olasılığı ile aynıdır. • Sıralama (queuing) teorisinin uygulamaları; habelerşme ve bilgisayar ağları Pr X t h X t Pr X t h Pr X t h | X t Pr { X > t + h} ⋅ { X > t} Pr { X > t + h} Pr X > t + h X > t ⎤⎦ = =Pr X t Pr X t Pr { X > t} Pr { X > t} ) e −(tλ(ht +h ) h = e t e − λ h Pr X h = e − λt = e = Pr [ X > h ] e 11 Gausyen Rastgele Değişken: parametreler m, Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu: 2 ((xx−m m))2 − 1 1 f fX ( x) = ee ( x ) X 2π σ 2 2 2σ 2 2 −∞ <∞ < xx ,, fX(x) 1 2 0.607 2 x m−σ m m+σ 12 Kümülatif Dağılım Fonksiyonu: FX ( x ) = Pr [ X ≤ x ] = ∫ xx −∞ = 1 ∫ 2π σ − x −∞ f X ( z ) dz ( z −m )2 e 2σ 2 dz FX(x) 1 0.841 0.682 0.500 0.159 x m−σ m m+σ 13 Gausyen Rastgele Değişkenler İçin Olasılıkların Bulunması İlişki: xm xm FX ( x) Pr[ X x] ⎛ x − m1⎞ Q ⎛ x − m⎞ FX ( x ) = Pr [ X ≤ x] = Φ ⎪ ⎪ = 1 −Q ⎪ ⎪ ⎝ σ z2 dz 2 1 ( y ) e 1 Φ 2( y ) = 2π y ⎠ ⎝ σ ⎠ z2 dz 2 z2 1 Q( y ) 1 ( y ) ( y ) e ∞ − y 1 y Q ( y ) = 1 − Φ ( y )2= e 2 dz ∫ ∫−∞ e dz 2π y z2 − 2 Gausyen yoğunluk simetrik olduğundan: Φ ( − yy)) =QQ((yy)) ()z=) 1−1Q(Q QQ z )(.z). ( −z Bu fonksiyonlar tablolar halinde sunulmuştur. Yaklaştırma: y ≥ 2 olduğunda Q fonksiyonu söyle yazılabilir 2 ∞ 1 1 − y 2 /2y 1 1 z 2 − z / 2 Q( y) = Q( y) e ydze ≈ dz e e ∫ 2 2 2 y2 y 2 2 2 14 Tablolar 15 Örnek: X, ortalama değeri m, standart sapması olan Gausyen bir rastgele değişkendir. a) Pr [ m − 2 < X ≤ m + 2 ]=? Pr[ Pr[[ X Pr X ≤ m m − 22σ]]−Pr[ Pr [XX >mm+22σ]] [ mm−22σ <XX ≤ mm + 22σ ]] = 11− Pr m 2 m = 1 2 Pr[ X m 2 ] 1 2Q ⎛ m + 2σ − m ⎞ = 1 − 2 Pr [ X > m + 2σ ] = 1 − 2Q ⎪ ⎪ σ ⎝ ⎠ 2 2Q((2) 10 −2 0.9544 ==11−2Q 2) = 11 − 4.56 4.56 ×10 = 0.9544. b) m = 5 and variance 2 = 64 ise Pr[m – < X ≤ m + ]=? m = 5 and = 8 için Pr [ −3 < X ≤ 13] = 1 − Pr [ X ≤ −3] − Pr [ X > 13] = 1 − 2 Pr [ X > 13] − 5⎞5 ⎛ 13 13 = 1−12Q 2⎪Q 2(Q1(1) 0.159=0.682. 0.682 ) = 1 −1 2 ×2 0.159 ⎪ =1−12Q ⎝ 8 8⎠ 16 Örnek: α = 10−2 V Hab. Sistemi Y = αV + N N Gaussian r.d. mN = 0 Ν = 2 (a) V = 500 ise Pr[Y ≤ 0]=? PrY[Y≤0]0]=Pr[ Pr Pr [NN ≤−5 [αVV+NN ≤0]0]=Pr[ Pr[ 5]] ⎛−5 5 ⎞ = (2.5) Q(2.5) = Φ ( −2.5 ) = Q ( 2.5 ) N = Φ⎪ ⎪ ⎝σN ⎠ Q-fonksiyon tablosundan: Q ( 2.5 ) = 6.21×10−3. 17 (b) Pr[Y ≤ 0] = 10–6 yapacak V nedir? Pr [Y ≤ 0] = Pr [αV + N ≤ 0] = Pr [ N ≤ − αV ] = 10 −6 ⎛V−αV ⎞ V⎛αV ⎞ 6 10 −6 Q Q 10 = Φ ⎪N ⎪ = N⎪ ⎪ = ⎝ σN ⎠ ⎝ σN ⎠ Ters Q-fonksiyonu tablosundan: α V 10 102VV αV V ⎞ ⎛ V 6 ⇒ 4.7535 Q Q 10−6 = =4.7535 = 10 N 2 ⎪ N ⎪ σN 2 ⎝Vσ N ⎠950.70 ∴ V = 950.70 18 Gausyen r.d. ler İçin “Hata Fonksiyonu” nu Kullanarak Olasılıkların Belirlenmesi İlişkiler: x FF ((xx))= X x −∞ burada ( z 2−m ) 2 e e 2πσ 2 2 1 2 y erf ( y) 2 −ez dz erf ( y ) = ∫ e0 dz π 0 y z2 2 ⎛ ⎛ ⎞⎞ 1= 1 x mx− m dz dz 12 erf 1 + erf 2 ⎝ 2⎝ 2 σ ⎠ ⎠ ( z− m) 2 2σ 2 2 2 1 ve erf ( y) erf ( y) and erf ( − y ) = −erf ( y ) Zaman zaman kullanılan başka bir hata fonksiyonu tanımı: ∞ 2 1 − z2 erfc ( y ) = e dz = − erf ( y ) ∫ 2 πy Bu tanım Q fonksiyonu ile ilgilidir: 1 ⎛ y 1⎞ y Q( y) = erfc⎪ ⎪ 2 Q( y⎝ ) 22⎠ erfc 2 Both “erf” and “erfc” are available in MATLAB. Hem “erf” hem de “erfc” MATLAB da komut olarak mevcuttur 19 Örnek: X, ortalama değeri m=1, varyansı 2=6.25 olan Gausyen bir rastgele değişkendir. (a) Pr [ X ≤ 1.7 ] (b) Pr [ X ≤ 0.2] (c) Pr [ X > 3.5] 1 ⎡1 −1⎞1⎤ ⎛ 1.7 1.7 1 + erf (a) (a)Pr [Pr[ X ≤X1.7 = f ( x)dx = 0.6103 ] ∫ X f X ( x)dx ⎪ 1 erf⎪ ⎪⎪= 1.7] 0.6103 2.5 2 2 ⎣2 ⎝ 2.5 ⎠2⎦ −∞ 0.2 1 0.2 1 0.2 (b) Pr[ X 0.2] f X ( x) dx 1⎡ 1 erf −1 ⎞ ⎤ ⎛ 0.2 (b) Pr [ X ≤ 0.2] = ∫ fX ( x)dx = ⎪21 + erf ⎪ 2.5 ⎪2⎪ 2⎣ ⎝ 2.5 2 ⎠ ⎦ −∞ 1 1 0.2 1 erf 1 ⎡ 2 ⎛ 1 − 2.5 0.2 ⎞2⎤ 0.3745 0.3745 = = ⎪1 −erf ⎪ ⎪⎪ 2⎣ ⎝ 2.5 2 ⎠ ⎦ 1 3.5 1 (c) Pr[ X 3.5] 1 Pr[ X 3.5] 1 1 erf ⎤ 1 2⎡ 1 − ⎛ 3.5 ⎞ 2.5 2 (c) Pr [ X > 3.5] = 1 − Pr [ X ≤ 3.5] = 1 − ⎪1 + erf ⎪ ⎪⎪ 2 2.5 2 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 1 3.5 1 1 erf 0.1587 2 1 ⎡ 2.5 ⎛ 23.5 − 1 ⎞⎤ = ⎪1 − erf ⎪ ⎪⎪ = 0.1587 2⎣ ⎝ 2.5 2 ⎠ ⎦ 1.7 1.7 20 Kesikli Rastgele Değişken Gösterimi δ(x) impalsları sıfır kalınlık sonlu olasılıkl sağlar fX(x) p 1−p 0 1 x FX(x) 1 p x 0 1 21 Karışık Rastgele Değişken oyf de impalslar vardır ve oyf bir ya da birden fazla zaman aralığında süreklidir.