nümerik analiz ders notları

SAYISAL YÖNTEMLER
DERS NOTLARI
Yrd. Doç. Dr. Hüseyin Bayıroğlu
İSTANBUL 2006
İÇİNDEKİLER
SAYFA
1-GİRİŞ
…………………………………………………….. 4
1.1 SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ ………....4
1.2 HATA TANIMI………………………………………………………….. 4
2 SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRILMASI ……….… 5
3 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI…………………. 7
3.1 GRAFİK METODU……………..……………………………………….. 7
3.2 ORTA NOKTA METODU……………………………………………….. 7
3.3 HATALI KONUM METODU (Lineer interpolasyon yöntemi)…………... 9
3.4 BASİT TEK NOKTALI ARDIŞIK METOD…………………………….. 10
3.5 NEWTON-RAPHSON METODU………………….……………………… 12
3.5.1 Newton-Raphson yönteminde hata analizi……….……………………….12
3.5.2 Newton-Raphson yönteminin iki bilinmiyenli lineer olmayan denklem
sisteminin çözümüne uygulanması ……………………..……………………….13
3.6 SEKANT METODU……………..………………………………………… 15
3.7 KATLI KÖKLER …………………………………………......................... 16
4 LİNEER DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMÜ….…………….……. 19
4.1 GRAFİK METODU……………………………………………………….. 20
4.2 DETERMİNANTLAR VE CRAMER KURALI ………………………….. 21
4.3 BİLİNMİYENLERİN ELİMİNASYONU ( yok edilmesi) YÖNTEMİ…… 22
4.4 GAUSS ELİMİNASYONU METODU…………………………………… .. 23
4.5 GAUSS-JOURDAN METODU ……………….………….….……………. ..27
4.6 TERS MATRİS METODU ……………………………………………… . 29
4.6.1 Gauss-Jordan yönteminin matrislerin tersinin bulunmasına uygulanışı…….29
4.7 ALT ÜST ÜÇGEN MATRİSLERE AYIRMA METODU………………… 35
4.7.1 Gauss eliminasyon yöntemi ile alt üst üçgen matrislere ayırma işlemi ……35
4.7.2 Crout Bileşenlere ayırma yöntemi (Crout decomposition)………….. …….38
4.8 KAREKÖK METODU (Cholesky yöntemi)………………………………. 42
4.9 İTERASYON YÖNTEMİ (Gauss-Seidel yöntemi)….……………………… 46
5 EĞRİYE UYDURMA…………………………………………………….. 47
5.1 YAKLAŞTIRMA (Regresssion ) METODU……….………………………. 47
5.1.1 Doğruya yaklaştırma metodu........................................................................ 47
5.1.2 Polinoma yaklaştırma metodu.………………………..………………...... . 50
5.1.3 İki değişkenli lineer bağıntılarda tablo değerlerini lineer denkleme çekmek 52
5.1.4 Çok değişkenli lineer bağıntılarda tablo değerlerini lineer denkleme
çekmek……………………………………………………………………..53
2
5.2 İNTERPOLASYON……..…………………………………………………. 55
5.2.1. Lineer interpolasyon (ara değeri bulma)................................................. .. 55
5.2.2. Kuadratik interpolasyon.………………………..……………….. …..…. 56
5.2.3. Newton interpolasyon polinomunun genel formu:………………..……. ..57
5.2.4. İnterpolasyon polinomlarının katsayılarını bulmak için diğer bir yöntem. 58
5.2.5. Lagrange interpolasyon polinomu.…………………..……………………59
6 SAYISAL İNTEGRAL…………..………………………………………......62
6.1 NEWTON-KOT İNTEGRAL FORMÜL..…………………………………. 62
6.2 Trapez (yamuk kuralı)..................................................................................... 62
6.2.1 İntegral bölgesini n eşit parçaya bölerek yamuk kuralının uygulanışı…….. 63
6.3 Simpson’un 1/3 kuralı..................................................................................... 64
6.4 IMPROPER İNTEGRAL (sınırları sonsuz olan integral)………………..….68
7 SAYISAL TÜREV…………………………………………………………69
7.1 İLERİ DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER…………………. 70
7.2 GERİYE DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER………….... 71
7.3 MERKEZİ FARKLAR METODU İLE TÜREVLER……………………. 71
8 ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER…………………………….. 73
8.1 EULER METODU………………………………………………………….. 73
8.1.1 İyileştirilmiş Euler metodu …………………………………………………74
8.2 HEUN METODU……………………………………………………………75
8.3 RUNGE-KUTTA METODU…………........................……………………76
8.3.1 İKİNCİ DERECEDEN RUNGE-KUTTA METODU…...........…………76
8.3.2 ÜÇÜNCÜ DERECEDEN RUNGE-KUTTA METODU…..........…………76
8.3.3 DÖRDÜNCÜ DERECEDEN RUNGE-KUTTA METODU….........……76
8.4 DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMİ YÖNTEMİ………………………79
8.5 SINIR DEĞER PROBLEMLERİ……….........................……………………81
8.5.1 ATIŞ YÖNTEMİ…...............…….........................................……………82
8.5.2 SONLU FARKLAR YÖNTEMİ...……....................................……………83
9 KIMİ TÜREVLİ DENKLEMLER....................................................................85
9.1 SONLU FARKLAR YÖNTEMİ.......................................................................86
9.1.1 LAPLACE DENKLEMİ...............................................................................86
9.1.2 ÇÖZÜM TEKNİĞİ.......................................................................................87
EK A Taylor Serisi..………………………………………………... 91
EK B Daha önceki senelere ait sınav soruları ve çözümleri………....94
3
1-GİRİŞ
Mühendislikte doğadaki olayların ve oluşumların bilimsel yöntemlerle anlaşılan işleyiş
kuralları çok önemlidir. Bu kurallar insanlığın kullanımına sunulacak alet, cihaz, makine, yapı ve
sistemlerinin oluşturulmasında, işletilmesinde ve geliştirilmesinde kullanılmaktadır.
Doğadaki olaylar ve oluşumlar bilimsel yöntemlerle incelenirken değeri değiştikçe olayların
seyrini veya oluşumların sonucunu etkileyen büyüklüklere değişkenler denir. İnceleme
sonucunda değişkenler arasındaki ilişkilerden tablo değerleri çeşitli grafikler veya cebirsel,
diferansiyel ve integral denklemler veya sistemleri elde edilir.
İkinci dereceden cebirsel denklemler sayısı fazla olmayan cebirsel denklem sistemleri lineer
diferansiyel denklemler ve sistemleri , düzgün geometriye sahip kısmi türevli lineer diferansiyel
denklemler ve sistemlerinin analitik yöntemlerle çözüme gidilmesine karşılık diğer durumlarda
pek kolay olmamaktadır. Hatta çoğu kere bu imkansızdır. Bundan dolayı büyük denklem
sistemleri, lineer olmama durumu ve karmaşık geometri durumlarında sayısal yöntemler veya
deneysel yöntemler uygulanmaktadır. Son yıllarda bilgisayar teknolojisindeki gelişmeler sayısal
yöntemlerin yoğunluğunu ve etkinliğini artırmıştır.
1.1 SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ
Sayısal yöntemlerde oluşabilecek hataları kesme , yuvarlatma hatası ve seçilen matematik
modelden kaynaklanan hatalar olarak sayabiliriz.
Kesme hatası, yüksek matematik fonksiyonları hesaplanırken kullanılan serilerde alınan
terim sayısına bağlıdır.
Yuvarlatma hatası, yapılan işlemlerde ger çel sayılarda virgülden sonra alınan rakam
sayısına bağlıdı.
Matematik modelden kaynaklanan hata Gerçek durum ile matematik model arasındaki farka
bağlıdır.
1.2 HATA TANIMI
Doğru değer = yaklaşık değer + Hata
Hata = Doğru değer - yaklaşık değer
Et = Doğru değer - yaklaşık değer
Bağıl hata = hata / doğru değer
Bağıl gerçek yüzde hata
εt = (gerçek hata / doğru değer ) 100 %
Bağıl yaklaşık yüzde hata εa = ( yaklaşık hata / yaklaşık değer) 100 %
Ardışık metotlarda uygulanışı
εa = (( şimdiki yaklaşık değer – bir önceki yaklaşık değer)/ (şimdiki yaklaşık değer )) 100 %
4
2 SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRIMASI
2.1 Denklemlerin kökleri
f(x) = 0
denklemini sağlayan x değerlerinin
hesabı
f (x)
x
kök
2.2 Lineer denklem sistemlerinin çözümü
A11 x1 + A12 x2 = C1
A21 x1 + A22 x2 = C2
x2
çözüm
x1
2.3 Eğri uydurulması
f (x) 20
f (x) 4
15
3.5
10
3
5
2.5
5
10
Regresyon
(yaklaştırma)
15
x
20
1
2
3
4
2.4 Nümerik integral
f (x)
b
I = ∫ f ( x ) dx
I = eğri altındaki
a
alan
x
5
5
6
Interpolasyon
(ara değeri bulma)
7
x
2.5 Nümerik türev
Türev:
df ( x )
f ( x + Δx ) − f ( x )
= Lim Δx →0
dx
Δx
f (x)
sayısal türev
türev
∆y
Nümerik türev :
df ( x ) Δy f ( x + Δx ) − f ( x )
≅
=
dx
Δx
Δx
∆x
x
2.6 Adi diferansiyel denklemler
dy Δy
= f ( t ,y)
≅
dt Δt
y
tg θ = f (ti ,yi )
y nin t ye bağlı çözümü:
θ
y i +1 = y i + f ( t , y ) Δt
ti
∆t
t i+1
t
2.7 Kısmi türevli diferansiyel denklemler
y
∂ u ∂ u
+
= f (x,y)
∂x 2 ∂y 2
2
2
x ve y ye bağlı olarak u hesaplanır.
x
6
3 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI
f (x) = 0 denklemini sağlayan x değerlerine bu denklemin kökleri denir.
Örnek olarak 2. dereceden
f (x) = a x2 + b x + c
− b ± b 2 − 4ac
x=
2a
denkleminin kökleri
eşitliği ile kolaylıkla bulunur.
Herhangi bir f (x) = 0 denkleminin kökleri her zaman bu kadar kolay hesaplanamaz. Bunun için
sayısal yöntemler geliştirilmiştir.
3.1 GRAFİK METODU
Bu yöntemde f(x) denklemi ölçekli bir
Şekilde çizilir. Eğrinin x eksenini kestiği
noktalar okunmaya çalışılır.
f(c)
40
Örnek olarak paraşütün inişini karakterize
eden denklemi ele alalım.
[
gm
v=
1 − e −( c / m )t
c
50
30
20
]
10
5
-10
Burada v hızı, g yerçekimi ivmesini , m
Kütleyi ve c de havanın direncini gösteriyor.
10
15
20
25
c
Verilen v = 40 m/s , m=68,1 kg , g=9.8 m/s2 , t =10 s değerleri ile c hava direncini hesaplamak
için
gm
1 − e − ( c / m ) t − v şeklinde yukarıdaki denklemi düzenleyip bunu sıfır yapan c
f (c ) =
c
değerini yukarıdaki grafikten c = 14,7 değerini okuyabiliriz.
[
3.2
]
ORTA NOKTA METODU
f (xl ) * f (xu ) < 0 ise f (x) denkleminin
(xl , xu ) aralığında en az bir kökü vardır.
f (x)
xr = (xu +xl )/2
xl
(– )
xr
(+)
xu
xr = (xl +xu )/2
x
f (xl) * f (xr ) < 0 ise xu = xr
f (xl) * f (xr ) > 0 ise xl = xr
f (xl) * f (xr ) = 0 ise xr köktür.
7
Örnek 3.2.1
f (x) = x2 -2x -3 “çözüm x1 = -1 x2 = 3 “
( xl = 2 xu =5 )
xr =(2+5)/2
f (2)= -3
xr = 3,5
( xl = 2 xu =3,5 )
f(5) =12
f(3,5)=2,25
xr =(2+3,5)/2
f(2) * f(5) = -36 <0
f(2)* f(3,5) < 0 xu =3,5
xr = 2,75
f (2,75)= -0.93
f(2) * f(2,75) >0 xl =2,75
( xl = 2,75 , xu =3,5 ) xr =3,125 f (3,125) = 0.516
| εa | = | (3,125-2,75)/3,125| 100 %
( xl = 2,75 , xu =3,125 ) xr =2,94
| εa | =6,3 %
f(2,75) * f( 3,125) < 0 xu=3,125
| εa | =12 %
f (2,94)= -0,24
f(2,75) * f( 2,94) > 0 xl = 2,94
( xl = 2,94 , xu =3,125 ) xr =3,03 f (xr )= 0.12 f( x l ).f( x r ) < 0 xu = 3,03 | εa | =2,97 %
( xl = 2,94 , xu =3,03 ) xr =2,985 f (xr )= -0.06 f( x l ).f( x r ) > 0 xl =2,985 | εa | =1,5 %
( xl = 2,985 , xu =3,03 ) xr =3,0075 f (xr )= -0.03 f( x l ).f( x r )< 0 xu =3,0075 | εa | =0,75 %
( xl = 2,985 , xu =3,0075 ) xr =2,99 f (xr )= -0.0399 f( x l ).f( x r )> 0 xl =2,99 | εa | =0,59 %
( xl = 2,99 , xu =3,0075 ) xr =2,999
| εa | =0,3 %
8
3.3 HATALI KONUM METODU ( Lineer interpolasyon yöntemi )
f (x l )
f (x u )
=
xr − xl xr − xu
f (x)
f (xu)
xr = xu −
xl
xr
xu
f ( x u ) (x l − x u )
f (x l ) − f (x u )
x
f (xl)
Örnek 3.3.1
f (x) = x2 -2 x – 3
“ ( çözüm x1 = -1 , x2 = 3 )
xl =2 xu = 5 için f(xl) = -3 f(xu) = 12 f(xl) f(xu) < 0 olduğundan f(x) denkleminin
( xl , xu ) aralığında en az bir kökü vardır.
xr = 5 – 12 ( 2-5) / (-3-12) xr = 2,6
|εa | = | (2,6 – 2 ) / 2,6 | 100 % = 23 %
xl =2,6 f(xl) = -1,44 xr = 5 – 12 ( 2,6 - 5) / (-1,44-12) xr = 2,86
xl =2,86 f(xl) = -0,54 xr = 5 – 12 ( 2,86 - 5) / (-0,54-12) xr = 2,95
|εa | = 9,1 %
|εa | = 3,05 %
xl =2,95 f(xl) = -0,1975 xr = 5 – 12 ( 2,95 - 5) / (-0,1975-12) xr = 2,983
|εa | = 1,1 %
xl =2,983 f(xl) = -0,068 xr = 5 – 12 ( 2,983 - 5) / (-0,068-12) xr = 2,994
|εa | = 0,37 %
xl =2,994 f(xl) = -0,024 xr = 5 – 12 ( 2,994 - 5) / (-0,024-12) xr = 2,983
|εa | = 0,13 %
|εa | = | (2,998 – 2 ,994) / 2,998 | 100 % =0,13 %
9
3.4 BASİT TEK NOKTALI ARDIŞIK METOD
Bu yöntemde f(x) fonksiyonu f1(x) = f2(x) olacak şekilde iki parçaya ayrılır.
Bu ayırım xi+1 = g (xi) şeklinde olabilir.
f (x)
y2 =f2(x)
xi+1 = g (xi)
y1=f1(x)
| εa | = | ( xi+1 – xi ) / xi+1 | 100 %
| εt | = | ( xt – xi ) / xt | 100 %
x
kök
Örnek 3.4.1
f(x) = e-x – x
f2(x) = e-x
f1(x) = x
1
0.75
f(x) = e-x - x
0.5
0.25
kök = 0,56714329
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.25
-0.5
1
f2(x) = e-x
f1(x) = x
0.8
0.6
kök
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
10
1
Yukarıdaki eşitliklerle aşağıdaki tablo yazılabilir.
xi
0
1
0,36789
0,6922
0,500473
0,60624
0,545396
0,57961
0,560115
0,571143
0,564879
0,568428
0,566415
0,567557
0,56691
0,56728
-Xi
xi+1 = e
1
0,36789
0,6922
0,500473
0,60624
0,545396
0,57961
0,560115
0,571143
0,564879
0,568428
0,566415
0,567557
0,56691
0,56728
0,567066
| εt |
%
100
76,3
35,1
22,1
11,8
6,89
3,83
2,2
1,24
0,705
0,399
0,226
0,128
0,07
0,04
0,014
11
| εa |
%
100
171
46,9
38,3
17,4
11,2
5,9
3,48
1,93
1,102
0,624
0,355
0,2
0,11
0,065
0,038
3.5 NEWTON – RAPHSON METODU
f (x)
f (x i )
x i − x i +1
eğim = f ′( x i )
f ′( x i ) =
f(xi)
x i +1 = x i −
f(xi)
kök
xi+1
xi
f (x i )
f ′( x i )
x
Newton- Raphson yöntemini ayrıca Taylor serisinden çıkarabiliriz ve bu yolla hata analizi de
yapılır. Ek 1 deki tek değişkenli f(x) fonksiyonun x0 noktasında Taylor serisine açılımını göz
önüne alalım. Buradaki açılımda x0 yerine xi , x yerine xi+1 yazarsak aşağıdaki eşitliği elde
ederiz.
1
f ( x i + 1 ) = f ( x i ) + f ′( x i ) ( x i +1 − x i ) + f ′′(ξ ) ( x i +1 − x i ) 2
2
Burada ξ , xi ile xi+1 arasında bir değerdir.
1.
mertebeden türevi içeren terimlerden sonrakiler alınmaz ve f(xi+1) = 0 alınırsa
0 ≅ f ( x i ) + f ′( x i ) ( x i + 1 − x i )
eşitliği yazılır. Buradan Newton-Raphson yönteminden elde edilen aşağıdaki denklemi elde
edilir.
f (x i )
x i +1 = x i −
f ′( x i )
3.5.1 Newton-Raphson yönteminde hata analizi
xr : kökün gerçek değeri Taylor serine yerleştirilip bundan yaklaşık denklem çıkarılırsa
1
0 = f ( x i ) + f ′( x i ) ( x r − x i ) + f ′′(ξ ) ( x r − x i ) 2
2
_ 0 ≅ f ( x i ) + f ′( x i ) ( x i +1 − x i )
_________________________________________
1
0 = f ′( x i ) ( x r − x i +1 ) + f ′′(ξ ) ( x r − x i ) 2
2
E t ,i = x r − x i
E t ,i + 1 = x r − x i +1 ( gerçek hata )
(önceki gerçek hata )
eşitliklerini yukarıdaki denkleme yerleştirirsek
1
2
0 = f ′( x i ) E t ,i + 1 + f ′′(ξ ) E t ,i
2
eşitliğini elde ederiz. Çözümün yakınsadığı düşünülürse xi ve ξ , xr gerçek kök değerine
yakınsar ve böylece
12
E t ,i + 1 ≅
− f ′′( x r )
2
E t ,i
2f ′( x r )
denkleminden hatanın kabaca önceki hatanın karesiyle orantılı olduğu görülür. ( Kuadratik
yakınsaklık )
Örnek 3.5.1.1
f(x) = x2 – 2 x – 3
x i +1 = x i −
( Gerçek çözüm x1 = -1 , x2 = 3 )
f (x i )
f ′( x i )
f ′( x ) = 2 x − 2
| εa | = | (xi+1 – xi ) / xi+1 | 100 %
2
x i +1
x − 2x i − 3
= xi − i
2x i − 2
xi
0
-1,5
-1,05
-1,000609756
-1,000000093
xi+1
-1,5
-1,05
-1,000609756
-1,000000093
-1
| εa | , %
100
43
4,94
0,061
0,000009
3.5.2 Newton – Raphson yönteminin iki bilinmiyenli lineer olmayan denklem
sisteminin çözümüne uygulanması
Ek 1 deki iki değişkenli fonksiyonların Taylor serisinde x0 yerine xi , y0 yerine yi , x yerine
xi+1 , y yerine yi+1 alıp birinci mertebeden türevli terimlerden sonraki terimleri almazsak
aşağıdaki denklemi elde ederiz
f ( x i +1 , y i +1 ) = f ( x i , y i ) +
∂f ( x i , y i )
∂f ( x i , y i )
( x i +1 − x i ) +
( y i +1 − y i )
∂x
∂y
İki bilinmiyenli lineer denklem sistemini
u( x , y ) = 0
v( x, y ) = 0
şeklinde gösterirsek yukarıdaki Taylor serisinden elde edilen eşitliği bu her iki denkleme ayrı
ayrı uygulamamız gerekir.
∂ u( x i , y i )
∂u( x i , y i )
( y i +1 − y i )
( x i +1 − x i ) +
u( x i + 1 , y i + 1 ) = u( x i , y i ) +
∂x
∂y
∂v ( x i , y i )
∂v ( x i , y i )
( y i +1 − y i )
( x i +1 − x i ) +
v ( x i + 1 , y i + 1 ) = v( x i , y i ) +
∂x
∂y
Sistemin çözümünü aradığımız için
13
u( x i + 1 , y i + 1 ) = 0
v( x i + 1 , y i +1 ) = 0
olmalıdır. Ayrıca
u( x i , y i ) = u i
v( x i , y i ) = v i
alınırsa denklem sistemini aşağıdaki gibi düzenlenebilir.
∂u
∂u
∂u
∂u i
x i +1 + i y i +1 = −u i + x i i + y i i
∂y
∂x
∂y
∂x
∂v
∂v
∂v
∂v i
x i +1 + i y i +1 = − v i + x i i + y i i
∂y
∂x
∂y
∂x
Böylece xi+1 ve yi+1 büyüklüklerini bilinmiyen kabul eden iki bilinmiyenli lineer denklem
sistemini elde edilir. Bu sistem Kramer kuralına göre çözülürse aşağıdaki eşitlikler bulunur.
x i +1 = x i −
∂v i
∂u
− vi i
∂y
∂y
∂u i ∂v i ∂u i ∂v i
−
∂x ∂y
∂y ∂x
y i +1 = y i −
∂v i
∂u
− vi i
∂x
∂x
∂u i ∂v i ∂u i ∂v i
−
∂x ∂y
∂y ∂x
ui
ui
Örnek 3.5.2.1
u(x,y) = x2 + x y -10 = 0
v(x,y) = y + 3 x y2 – 57=0
y
50
u(x,y) = 0
40
30
20
v(x,y)
10
0.5
∂u
=x ,
∂y
∂u
= 2x + y ,
∂x
∂v
= 3y 2 ,
∂x
∂v
= 1 + 6xy
∂y
2
x i +1 = x i −
1
2
( x i + x i y i − 10)(1 + 6x i y i ) − ( y i + 3x i y i − 57 )x i
2
( 2x i + y i )(1 + 6x i y i ) − x i ( 3y i )
14
1.5
2
2.5
x
3
2
y i +1 = y i −
2
2
( x i + x i y i − 10)3y i − ( y i + 3x i y i − 57 )( 2x i + y i )
2
( 2x i + y i )(1 + 6x i y i ) − x i ( 3y i )
xi
1
2,176470588
1,900833044
1,999127152
1,999999679
yi
4
1,941176471
3,215237987
2,997166652
3,000002741
xi+1
2,176470588
1,900833044
1,999127152
1,999999679
2
yi+1
1,941176471
3,215237987
2,997166652
3,000002741
3
3.6 SEKANT METODU
Newton-Raphson yöntemi için gerekli olan türev alma işlemi bazı polinom ve fonksiyonlarda
zordur. Bu yöntemde türev yerine sonlu farklar türev formülü kullanılır.
xi = xi −
f (x i )
f ′( x i )
( Newton – Raphson Yöntemi )
buradaki f ′( x i ) yerine
f ′( x i ) ≅
f ( x i −1 ) − f ( x i )
x i −1 − x i
yaklaşık değeri alınır. Bu denklemden xi+1 aşağıdaki şekilde elde edilir.
f ( x i ) ( x i −1 − x i )
x i +1 = x i −
f ( x i −1 ) − f ( x i )
iki değer xi ve xi-1 başlangıçta verilmelidir. Bu başlangıçta verilen iki değer kökün ayrı
taraflarında olmak zorunda değildir.
f(x)
f(xi)
f(xi-1)
kök
xi+1 xi-1
xi
15
x
Örnek 3.6.1
f(x) = x2 - 2 x – 3
( çözüm x1= -1 , x2 = 3 )
2
x i +1 = x i −
İ
1
2
3
4
5
6
( x i − 2x i − 3 ) ( x i −1 − x i )
(x
2
i −1
2
− 2 x i − 1 − 3) − ( x i − 2x i − 3)
xi-1
,
| εa | =
xi
0
-3
-0.6
-0,8571428571
-1,016528926
-0,9993904297
x i +1 − x i
100 %
x i +1
xi+1
-0,6
-0,8571428571
-1,016528926
-0,9993904297
-0.9999974911
-1
-3
-0,6
-0,8571428571
-1,016528926
-0,9993904297
-0.9999974911
| εa | , %
400
30
15,7
1,715
0,061
0,00025
3.7 KATLI KÖKLER
f(x)
1
f(x) = (x-3) (x-1) (x-1)
iki katlı kök
1
f(x) = x3 – 5 x2 + 7 x -3
2
3
x
4
Burada x = 1 iki katlı köktür.
-1
-2
-3
f(x)
f(x) = (x-3) (x-1) (x-1) (x-1)
2
1
üç katlı kök
1
f(x) = x4 – 6 x3 + 12 x2 – 10 x + 3
2
3
x
4
Burada x = 1 3 katlı köktür.
-1
f(x)
3
2
f(x) = (x-3) (x-1) ( x-1) (x-1) (x-1)
dört katlı kök
f(x) = x5 - 7 x4 + 18 x3 – 22 x2 + 13 x - 3
1
1
2
3
x
-1
-2
-3
16
4
Burada x = 1 4 katlı köktür.
f (x)
fonksiyonu ile f ( x) fonksiyonunun kökleri aynıdır.
f ′( x )
Bu durumda f(x) yerine u(x) fonksiyonunun kökleri araştırılır. Örnek olarak NewtonRaphson yöntemi uygulanırsa aşağıdaki denklem elde edilir.
u( x ) =
x i +1 = x i −
u( x i )
u ′( x )
Bu denklemde u ′( x) yerine
u( x ) =
f ( x)
f ′( x )
ifadesinin x ‘e göre türevi alınıp konursa
f ′( x ) f ′( x ) − f ( x ) f ′′( x )
[f ′( x)] 2
f ( x i ) f ′( x i )
= xi −
[f ′( x i )] 2 − f ( x i ) f ′′( x i )
u ′( x ) =
x i +1
katlı kökler için yeniden düzenlenmiş Newton –Raphson yönteminin yaklaşım denklemi elde
edilir.
Örnek 3.7.1
f(x) = x2 - 2 x + 1
f(x) = (x-1) (x-1)
( x = 1 iki katlı köktür. )
Standart Newton-Raphson yöntemi ile çözüm
x i +1 = x i −
f (x i )
f ′( x i )
f ′( x ) = 2 x − 2
,
2
x i +1
x − 2x i + 1
= xi − i
2x i − 2
xi
xi+1
0
0,5
0,75
0,875
0,9375
0,96875
0,984375
0,5
0,75
0,875
0,9375
0,96875
0,984375
0,9921875
0,9921875
0,99609375
0,99609375
0,9980468709
0,9980468709
0,9990234353
| εa | %
100
33,33
14,29
6,67
3,226
1,587
0,7874
0,3922
0,1957
0,0978
17
Örnek 3.7.2
f(x) = (x-3) (x-1) (x-1)
f(x) = x3 – 5 x2 + 7 x – 3
Standart Newton-Raphson yöntemi ile çözüm için
f ′( x ) = 3x 2 − 10x + 7 ,
f ′′( x ) = 6x − 10
eşitliklerini [3.1.5. (1) ]denkleminde yerine yazarsak
3
x i +1 = x i −
2
x i − 5x i + 7 x i − 3
2
3x i − 10x i + 7
denklemini elde ederiz. Bu denklemi kullanarak aşağıdaki tabloyu düzenleyebiliriz.
xi
0
0,4285714286
0,6857142857
0,8328654005
0,9133298932
0,9557832929
0,9776551012
0,9887661674
0,9943674405
0,9971797707
0,9985888917
xi+1
0,4285714286
0,6857142857
0,8328654005
0,9133298932
0,9557832929
0,9776551012
0,9887661674
0,9943674405
0,9971797707
0,9985888917
0,9992941948
| εa | , %
100
37,5
17,668
8,81
4,441
2,237
1,1237
0,5633
0,282
0,1411
0,0706
Geliştirilmiş Newton-Raphson yöntemi için elde edilen
3
x i +1 = x i −
2
2
( x i − 5x i + 7 x i − 3) ( 3x i − 10x i + 7 )
2
3
2
( 3x i − 10x i + 7) 2 ( x i − 5x i + 7 x i − 3) (6x i − 10)
eşitliğini kullanarak aşağıdaki tablo oluşturulur.
xi
0
1,105263158
1,003081664
1,000002393
xi+1
1,105263158
1,003081664
1,000002393
1,000002393
| εa | , %
100
10,1868
0,308
0
18
4 LİNEER DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMÜ
Önceki bölümde tek bir f ( x ) = 0 denklemini sağlayan x değerlerinin bulunuşu anlatıldı.
Şimdi ise
f i ( x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n ) = 0
( i = 1,2,3,..., n )
şeklinde n adet denklemi aynı anda sağlayan x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n değerleri araştırılacaktır.
Eğer bu f i ( x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n ) = 0 denklemleri aşağıdaki gibi olursa bu denklem sistemine
lineer denklem sistemi denir.
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · , + a1n xn = c1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · , + a2n xn = c2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + · · · , + a3n xn = c3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
an1 x1 + an2 x2 + an3 x3
· · ·
·
·
· · ·
·
·
· · ·
·
·
+ · · · , + ann xn = cn
Burada aij , ci sabitlerdir.
Lineer denklem sisteminin matris gösterilimi
[ A ] {x } = { C } şeklindedir.
Buradan çözüm matrisi
{ x } = [ A ] -1 {C}
şeklinde yazılır. Bu matrisler aşağıdaki gibi açık şekilde yazılabilir.
⎡ a 11
⎢a
⎢ 21
⎢a 31
[A ] = ⎢⎢ .
⎢ .
⎢
⎢ .
⎢a
⎣ n1
a 12
a 13
a 22
a 23
a 32
.
a 33
.
.
.
.
.
an2
an3
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
⎢ 2⎥
⎢x 3 ⎥
[x] = ⎢⎢ . ⎥⎥ ,
⎢ . ⎥
⎢ ⎥
⎢ . ⎥
⎢x ⎥
⎣ n⎦
. . . a 1n ⎤
. . . a 2n ⎥⎥
. . . a 3n ⎥
⎥
. . . . .⎥ ,
. . . . ⎥
⎥
. . . . ⎥
. . . a nn ⎥⎦
19
⎡c1 ⎤
⎢c ⎥
⎢ 2⎥
⎢c 3 ⎥
[C] = ⎢⎢ . ⎥⎥
⎢.⎥
⎢ ⎥
⎢.⎥
⎢c ⎥
⎣ n⎦
Lineer denklem sisteminin çözümünde aşağıdaki metodlar uygulanır.
1.Grafik metodu.
2.Determinantlar ve Cramer kuralı.
3. Bilinmiyenlerin eliminasyonu (yok edilmesi)
4. Gauss Eliminasyon metodu
5. Ters matris metodu (Gauss – Jordan yöntemi).
6. İterasyon yöntemi (Gauss – Seidel yöntemi )
7. Alt üst üçgen matrislere ayırma metodu.
8. Karekök metodu ( Cholesky yöntemi , simetrik bant matrisler için).
4.1 GRAFİK METODU
Bu yöntem ikiden fazla bilinmiyen içeren denklem sistemlerine uygulanamaz. Fakat çözümün
geometri yardımı ile yorumu yapılabilir.
Örnek 4.1.1
X2 8
3 X1 + 2 X2 = 18
- X1 + 2 X2 = 2
3X1 + 2 X2 = 18
6
Çözüm X1 = 4 , X2 = 3
4
-X1 + 2 X2 = 2
2
X2
1
2
4
X2
-(1/2) X1 +X2 =1
3
3
5
4
3
2
4
1
1
2
3
4
-X1 + 2 X2 = 2
1
5
X1
6
-1
1
4
X2
-(2,3/5) X1 + X2 = 1,1
3
2
1
-1
-(1/2) X1 + X2 = 1
1
2
3
4
6
-(1/2) X1 +X2 =1
2
-(1/2) X1+ X2 =1/2
X1
5
6
X1
20
2
3
4
5
6
X1
4.2 DETERMİNANTLAR VE CRAMER KURALI
Bu yöntem 3 den fazla bilinmiyenli denklem sistemleri için kullanışlı değildir.
Üç Bilinmiyenli denklem sistemi için bu yöntemi aşağıdaki gibi uygulanır.
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = c 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = c 2
a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = c 3
a 11
a 12
a 13
D = a 21
a 31
a 22
a 32
a 23
a 33
x1 =
c1
c2
c3
a 12
a 22
a 32
a 13
a 23
a 33
D
x2 =
,
a 11
a 21
a 31
c1
c2
c3
a 13
a 23
a 33
D
x3 =
,
a 11
a 21
a 31
a 12
a 22
a 32
c1
c2
c3
D
Örnek 4.2.1
0,3x 1 + 0,52x 2 + x 3 = 0,01
0,5x 1 + x 2 + 1,9x 3 = 0,67
0,1x 1 + 0,3x 2 + 0,5x 3 = −0,44
0,3 0,52 1
D = 0,5
1
1,9 = −0,0022
0,1 0,3 0,5
x2 =
0,3 − 0,01 1
0,5 0,67 1,9
0,1 − 0,44 0,5
D
=
x1 =
0,0649
= −29,5
− 0,0022
x3 =
21
− 0,01 0,52 1
0,67
1
1,9
− 0,44 0,3 0,5
D
0,3 0,52 − 0,01
0,5
1
0,67
0,1 0,3 − 0,44
D
=
=
0,03278
= −14,9
− 0,0022
− 0,04356
= 19,8
− 0,0022
4.3 BİLİNMİYENLERİN ELİMİNASYONU (yok edilmesi) YÖNTEMİ
Bu yöntemi iki bilinmiyenli lineer denklem sistemleri üzerinde gösterelim.
(1) a 11 x 1 + a 12 x 2 = c1
(2) a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2
(1) denklemi a 21 , (2) denklemi − a 11 ile çarpılıp toplanırsa x 1 yok edilmiş olur.
a 21 ∗ (1) − a 11 ( 2)
a 21 ∗ (1)
=
a 21 a 11 x 1 + a 21 a 12 x 2 = a 21 c 1
− a 11 ∗ ( 2)
=
− a 11 a 21 x 1 − a 11 a 22 x 2 = a 11 c 2
+___________________________
a 21 ∗ (1) − a 11 ( 2) = (a 21 a 12 − a 11 a 22 ) x 2 = a 21 c 1 − a 11c 2
x2 =
a 21c 1 − a 11 c 2
a 21 a 12 − a 11 a 22
Bu x 2 değeri (1) denkleminde yerine yerleştirilirse
x1 =
a 21 c 1 − a 21 a 12 x 2
a 21 a 11
Örnek 4.3.1
3x 1 + 2x 2 = 18
− x 1 + 2x 2 = 2
x2 =
− 1(18) − 3( 2)
=3
− 1( 2) − 3( 2)
,
x1 =
− 1(18) − ( −1)2( 3)
=4
− 1( 3)
22
4.4 GAUSS ELİMİNASYONU METODU
Bilinmiyenlerin eliminasyonu yönteminin sistematik hale getirilmiş şeklidir.Bu yöntem lineer
denklem sistemlerine aşağıdaki şekilde uygulanır.
(1)
(2)
(3)
.
.
.
(n )
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +
a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 +
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a n1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 +
⋅
⋅
⋅
.
.
.
⋅
⋅
⋅
⋅
.
.
.
⋅
⋅
⋅
⋅
.
.
.
⋅
+ a 1n x n = c 1
+ a 2n x n = c 2
+ a 3n x n = c 3
.
.
.
.
.
.
+ a nn x n = c n
İlk önce (1) denklemi dışındaki bütün denklemlerde x 1 yok edilir. Bunun için (1) dışındaki
bütün denklemlere aşağıdaki işlem uygulanır.
(i ) − a i1 ∗ (1)
a 11
i = 2,3,..., n
Bu işlem uygulandıktan sonra denklem sistemi aşağıdaki duruma gelir.
(1)
(2′ )
(3′ )
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +
a′22 x 2 + a′23 x 3 +
a′32 x 2 + a′33 x 3 +
.
.
.
.
.
.
(n′ )
a′n 2 x 2 + a′n 3 x 3 +
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
. .
. .
. .
⋅ ⋅
⋅ + a 1n x n = c 1
⋅ + a′2n x n = c′2
⋅ + a′3n x n = c′3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
⋅ + a′nn x n = c′n
Benzer şekilde ikinci denklemden itibaren sonraki denklemlerde sıra ile x 2 , x 3 , . . . , x n
bilinmiyenleride yok edilirse aşağıdaki denklem sistemi elde edilir.
(1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +
(2′ )
a′22 x 2 + a′23 x 3 +
(3′′ )
a′33′ x 3 +
(n
( n −1 )
)
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
. .
.
⋅ + a 1n x n = c 1
⋅ + a′2n x n = c′2
⋅ + a′3′n x n = c′3′
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a (nnn −1) x n = c (nn −1)
Bu sistemde x n bilinmiyeninden başlayarak geriye doğru yerine koyma işlemi ile bütün
bilinmiyenler aşağıdaki formüller ile hesaplanır .
23
c (nn −1)
x n = ( n −1 )
a nn
c (i i −1) −
xi =
n
∑a
j= i + 1
( i −1 )
ij
xj
a (iii −1)
i = n−1,n− 2 , ...,1
Örnek 4.4.1
(1)
(2)
(3)
3x 1 − 0,1x 2 − 0,2x 3 = 7,85
0,1x 1 + 7 x 2 − 0,3x 3 = −19,3
0,3x 1 − 0,2x 2 + 10 x 3 = 71,4
0,1
∗ (1)
3
3x1 − 0,1x 2 − 0,2x 3 = 7,85
Bu denklem sistemine (2) −
(1)
(1)
(2′)
(3′)
(1)
(2′)
(3′)
ve
(3) −
0,3
∗ (1)
3
0,2 x 3
= 7,85
3 x 1 - 0,1 x 2
0,1
0,1
0,1
0,1
(0,1 −
∗ 3) x 1 + [7 −
∗ (−0,1)]x 2 + [−0,3 −
∗ (−0,2)]x 3 = −19,3 −
∗ 7,85
3
3
3
3
0,3
0,3
0,3
0,3
(0,3 −
∗ 3) x 1 − [0,2 −
∗ (−0,1)]x 2 + [10 −
* (−0,2)]x 3 = 71,4 −
∗ 7,85
3
3
3
3
3x 1
− 0,1x 2 −
0,2x 3 = 7,85
7,00333x 2 − 0,293333x 3 = −19,5617
10,02x 3 = 70,6150
− 0,19x 2 +
denklem sistemi elde edilir. Bu sistemde son satıra (3′) −
(1)
(2′)
(3′′)
işlemleri yapılırsa
3x 1
(−0,19)
∗ (2′) işlemi yapılırsa
7,0033
− 0,1x 2 −
0,2x 3 = 7,85
7,00333x 2 − 0,293333x 3 = −19,5617
10,012x 3 = 70,0843
Bu son elde edilen sistemden bilinmiyenler son denklemden ilk denkleme doğru yerine koyma
ile elde edilir.
70,0843
Son (3′′) denkleminden x 3 =
= 7,00003 bulunur. Bu x 3 değeri ile (2′)
10,0120
denklemine gidilip oradan x 2 hesaplanır
7,00333 x 2 − 0,293333 (7,00003) = −19,5617
x 2 = −2,5
24
Bulunan bu x 2 ve x 3 değerlerini (1) denkleminde yerine yerleştirerek x 1 bilinmiyenide
çözülür.
3x 1 − 0,1 (− 2,5) − 0,2 (7,00003) = 7,85
x1 = 3
Örnek 4.4.2
(x 1 = 3
, x 2 = −1 , x 3 = 5 , x 4 = 2 )
4x 1 − 2 x 2 − x 3 + 3x 4 = 15
3x 1 + x 2 − 2x 3 + x 4 = 0
2x 1 + 3x 2 + 5x 3 − x 4 = 26
x 1 − x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 27
⎡4 − 2 − 1 3 ⎤ ⎡ x 1 ⎤ ⎡15 ⎤
⎢3 1 − 2 1 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎥ ⎢ 2⎥ = ⎢ ⎥
⎢
⎢2 3
5 − 1⎥ ⎢ x 3 ⎥ ⎢ 26⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
4 ⎦ ⎣ x 4 ⎦ ⎣27⎦
⎣1 − 1 3
⎡4 − 2 − 1 3 15 ⎤
⎢3 1 − 2 1 0 ⎥
⎢
⎥
⎢2 3
5 − 1 26⎥
⎢
⎥
4 27⎦
⎣1 − 1 3
−2
−1
3
15
⎡ 4
⎤
3
3
3
3
3
⎢
⎥
0 − ∗ 15 ⎥
⎢3 − 4 ∗ 4 1 − 4 ∗ (− 2 ) − 2 − 4 ∗ (− 1) 1 − 4 ∗ 3
4
⎢
⎥
2
2
2
2
2
5 − ∗ (− 1) − 1 − ∗ 3 26 − ∗ 15⎥
⎢2 − ∗ 4 3 − ∗ (− 2 )
4
4
4
4
4
⎢
⎥
1
1
1
1
1
⎢1 − ∗ 4 − 1 − ∗ (− 2 )
3 − (− 1)
4 − ∗ 3 27 − ∗ 15⎥
4
4
4
4
⎣⎢ 4
⎦⎥
3
15 ⎤
−1
⎡4 − 2
⎢0 2,5 − 1,25 − 1,25 − 11,25⎥
⎢
⎥
⎢0
4
5,5
18,5 ⎥
− 2,5
⎢
⎥
3,25
23,25 ⎦
⎣0 − 0,5 3,25
25
−2
−1
3
15
⎡4
⎤
⎢0
⎥
− 1,25
− 1,25
− 11,25
2,5
⎢
⎥
4
4
4
4
⎢0
∗ 2,5
∗ (− 1,25)
− 2,5 −
∗ (− 1,25)
∗ (− 11,25) ⎥
4−
5,5 −
18,5 −
⎢
⎥
2,5
2,5
2,5
2,5
⎢
(− 0,5) ∗ 2,5 3,25 − (− 0,5) ∗ (− 1,25) 3,25 − (− 0,5) ∗ (− 1,25) 23,25 − (− 0,5) ∗ (− 11,25)⎥
⎢0 − 0,5 −
⎥
2,5
2,5
2,5
2,5
⎣
⎦
3
15 ⎤
−1
⎡4 − 2
⎢0 2,5 − 1,25 − 1,25 − 11,25⎥
⎢
⎥
⎢0 0
7,5
36,5 ⎥
− 0,5
⎢
⎥
3
3
21 ⎦
⎣0 0
3
15
−1
⎡4 − 2
⎤
⎢0 2,5
⎥
− 1,25
− 1,25
− 11,25
⎢
⎥
⎢0 0
⎥
7,5
36,5
− 0,5
⎢
⎥
3
3
3
∗ 7,5 3 −
∗ (− 0,5) 21 −
∗ (36,5)⎥
⎢0 0 3 −
7,5
7,5
7,5
⎣
⎦
−1
3
15 ⎤
⎡4 − 2
⎢0 2,5 − 1,25 − 1,25 − 11,25⎥
⎢
⎥
⎢0 0
− 0,5
7,5
36,5 ⎥
⎢
⎥
0
3,2
6,4 ⎦
⎣0 0
3,2x 4 = 6,4 ,
7,5x 3 − 0,5 ∗ 2 = 36,5 ,
2,5x 2 − 1,25 ∗ 5 − 1,25 ∗ 2 = −11,25
4 x 1 − 2(− 1) − 1 ∗ 5 + 3 ∗ 2 = 15
6,4
,
3,2
36,5 + 0,5 ∗ 2
x3 =
,
7,5
− 11,25 + 6,25 + 2,5
x2 =
,
2,5
15 − 2 + 5 − 6
x4 =
,
4
x4 =
Elde edilen çözüm değerlerinin sağlanması
⎡4 − 2 − 1 3 ⎤ ⎡ 3 ⎤ ⎡4 ∗ 3 + (−2) ∗ (−1) + (−1) ∗ 5 + 3 ∗ 2⎤ ⎡15 ⎤
⎢3 1 − 2 1 ⎥ ⎢− 1⎥ ⎢ 3 ∗ 3 + 1 ∗ (−1) + (−2) ∗ 5 + 1 ∗ 2 ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢
⎥⎢ ⎥=⎢
⎥=⎢ ⎥
⎢2 3
5 − 1⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎢ 2 ∗ 3 + 3 ∗ (−1) + 5 ∗ 5 + (−1) ∗ 2 ⎥ ⎢26 ⎥
⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
4 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 1 ∗ 3 + (−1) ∗ (−1) + 3 ∗ 5 + 4 ∗ 2 ⎦ ⎣27 ⎦
⎣1 − 1 3
26
x4 = 2
x3 = 5
x 2 = −1
x1 = 3
4.5 GAUSS-JOURDAN METODU
Bu yöntemde [A ]{x} = {c} denklem sistemi her iki tarafı [A ]
−1
[I]{x} = [A]−1 {c}
ile soldan çarpılarak
Sistemine dönüştürülür.
Örnek 4.5.1
4x 1 − 2 x 2 − x 3 + 3x 4 = 15
3x 1 + x 2 − 2x 3 + x 4 = 0
2x 1 + 3x 2 + 5x 3 − x 4 = 26
x 1 − x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 27
⎡4 − 2 − 1 3 ⎤ ⎡ x 1 ⎤ ⎡15 ⎤
⎢3 1 − 2 1 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢
⎥ ⎢ 2⎥ = ⎢ ⎥
⎢2 3
5 − 1⎥ ⎢ x 3 ⎥ ⎢ 26⎥
⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
4 ⎦ ⎣ x 4 ⎦ ⎣27 ⎦
⎣1 − 1 3
⎡4 − 2 − 1 3 15 ⎤
⎢3 1 − 2 1 0 ⎥
⎢
⎥
⎢2 3
5 − 1 26⎥
⎢
⎥
4 27⎦
⎣1 − 1 3
⎡4 / 4 − 2 / 4 − 1 / 4 3 / 4 15 / 4⎤
⎢ 3
−2
1
1
0 ⎥⎥
⎢
⎢ 2
−1
3
5
26 ⎥
⎢
⎥
−1
3
4
27 ⎦
⎣ 1
− 0,5
− 0,25
0,75
3,75
⎡ 1
⎤
⎢ 3 − 3 ∗ 1 1 − 3 ∗ ( −0,5) − 2 − 3 ∗ (− 0,25) 1 − 3 ∗ 0,75
0 − 3 ∗ 3,75 ⎥⎥
⎢
⎢2 − 2 ∗ 1 3 − 2 ∗ (− 0,5) 5 − 2 ∗ (− 0,25) − 1 − 2 ∗ (0,75) 26 − 2 ∗ 3,75⎥
⎢
⎥
4 − 1 ∗ (0,75) 27 − 1 ∗ 3,75 ⎦
⎣ 1 − 1 ∗ 1 − 1 − 1 ∗ (− 0,5) 3 − 1 ∗ (− 0,25)
3,75 ⎤
⎡1 − 0,5 − 0,25 0,75
⎢0 2,5 − 1,25 − 1,25 − 11,25⎥
⎢
⎥
⎢0
− 2,5
4
5,5
18,5 ⎥
⎢
⎥
3,25
23,25 ⎦
⎣0 − 0,5 3,25
⎡1 − 0,5 + 0,5 ∗ 1 − 0,25 + 0,5(− 0,5 ) 0,75 + 0,5(− 0,5 ) 3,75 + 0,5 ∗ (− 4,5 )⎤
⎢0
⎥
− 0,5
− 0,5
− 4,5
1
⎢
⎥
⎢0
4 − 4 ∗1
5,5 − 4 ∗ (− 0,5) − 2,5 − 4 ∗ (− 0,5) 18,5 − 4 ∗ (− 4,5) ⎥
⎢
⎥
⎣0 − 0,5 + 0,5 ∗ 1 3,25 + 0,5 ∗ (− 0,5) 3,25 + 0,5(− 0,5) 23,25 + 0,5(− 4,5) ⎦
27
⎡1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣0
0 − 0,5 0,5
1,5 ⎤
1 − 0,5 − 0,5 − 4,5⎥⎥
0 7,5 − 0,5 36,5 ⎥
⎥
0
3
3
21 ⎦
⎡1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣0
0 − 0,5 + 0,5 ∗ 1 0,5 + 0,5 ∗ (− 0,06667 )
1,5 + 0,5(4,86667 ) ⎤
1 − 0,5 + 0,5 ∗ 1 − 0,5 + 0,5 ∗ (− 0,06667 ) − 4,5 + 0,5 ∗ 4,86667 ⎥⎥
⎥
− 0,06667
0
1
4,86667
⎥
0
3 − 3 ∗1
3 − 3(− 0,06667 )
21 − 3 ∗ 4,86667 ⎦
⎡1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣0
0
1
0
0
0 0,46665
3,9333 ⎤
0 − 0,5333 − 2,0666⎥⎥
1 − 0,06667 4,86667 ⎥
⎥
0
3,2
6,4 ⎦
⎡1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣0
0
1
0
0
0 0,46665 − 0,4665 ∗ 1
3,9333 − 0,4665 ∗ 2 ⎤
− 0,5333 + 0,533 ∗ 1
− 2,0666 + 0,533 ∗ 2 ⎥⎥
0
1 − 0,06667 + 0,0667 ∗ 1 4,86667 + 0,0667 ∗ 2⎥
⎥
0
1
2
⎦
⎡1 0 0 0 3 ⎤
⎢0 1 0 0 − 1⎥
⎢
⎥
⎢0 0 1 0 5 ⎥
⎢
⎥
⎣0 0 0 1 2 ⎦
Bu elde edilen arttırılmış matris aşağıdaki arttırılmış matrise eşit olduğundan
⎡ x1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣0
0
x2
0
0
0
0
0
x3
0
0
0
x4
3⎤
−1⎥⎥
5⎥
⎥
2⎦
böylece
x1 = 3 ,
x 2 = −1 ,
x3 = 5 ,
x4 = 2
çözüm değerleri bulunmuş olur.
28
4.6 TERS MATRİS METODU
Ters matris yönteminde aynı katsayılar matrisine sahip lineer denklem sistemlerinde farklı İkinci
taraf vektörleri için çözümler daha kolay elde edilir.
4.6.1 Gauss-Jordan yönteminin matrislerin tersinin bulunmasına uygulanışı
denklem sisteminin her iki tarafı [A ]
[A]{x} = {c}
−1
{x} = [A]−1 {c}
[A]
⎡ a 11
⎢a
⎢ 21
⎢ .
⎢
⎢ .
⎢⎣a n1
⎡ a 11
⎢a
⎢ 21
⎢ .
⎢
⎢ .
⎢⎣a n1
ile çarpılırsa
elde edilir.
matrisi ile aşağıdaki gibi n tane denklem sistemi elde edilir.
a 12
a 22
.
.
a n2
a 12
a 22
.
.
a n2
. . . a 1n ⎤ ⎧ y11 ⎫ ⎧1⎫
. . . a 2 n ⎥⎥ ⎪⎪ y12 ⎪⎪ ⎪⎪0⎪⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
.. .
. ⎥⎨ . ⎬ = ⎨ . ⎬ ,
⎥
. ..
. ⎥⎪ . ⎪ ⎪ . ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
. . . a nn ⎥⎦ ⎪⎩ y1n ⎪⎭ ⎪⎩0⎪⎭
⎡ a 11
⎢a
⎢ 21
⎢ .
⎢
⎢ .
⎢⎣a n1
a 12
a 22
.
.
a n2
. . . a 1n ⎤ ⎧ y 21 ⎫ ⎧0⎫
. . . a 2 n ⎥⎥ ⎪⎪ y 22 ⎪⎪ ⎪⎪1⎪⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
.. .
. ⎥⎨ . ⎬ = ⎨ . ⎬ , . . . ,
⎥
. ..
. ⎥⎪ . ⎪ ⎪ . ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
. . . a nn ⎥⎦ ⎪⎩ y 2 n ⎪⎭ ⎪⎩0⎪⎭
a 1n ⎤ ⎧ y n1 ⎫ ⎧0⎫
. . . a 2 n ⎥⎥ ⎪⎪ y n 2 ⎪⎪ ⎪⎪0⎪⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
.. .
. ⎥⎨ . ⎬ = ⎨ . ⎬
⎥
. ..
. ⎥⎪ . ⎪ ⎪ . ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
. . . a nn ⎥⎦ ⎪⎩ y nn ⎪⎭ ⎪⎩1⎪⎭
...
Bu n tane sistem
⎡ a 11
⎢a
⎢ 21
⎢ .
⎢
⎢ .
⎢⎣a n1
a 12
a 22
.
.
a n2
a 1n ⎤ ⎡ y11
. . . a 2 n ⎥⎥ ⎢⎢ y12
.. .
. ⎥⎢ .
⎥⎢
. ..
. ⎥⎢ .
. . . a nn ⎥⎦ ⎢⎣ y1n
...
[ A] [Y ] = [ I ]
→
y 21
y 22
.
.
y 2n
. . . y n1 ⎤ ⎡ 1 0 . . . 0 ⎤
. . . y n 2 ⎥⎥ ⎢⎢0 1 . . . 0⎥⎥
... . ⎥ = ⎢. . ... .⎥
⎥ ⎢
⎥
... . ⎥ ⎢. . ... .⎥
. . . y nn ⎥⎦ ⎢⎣0 0 . . . 1⎥⎦
[Y ] = [ A]
−1
şeklinde gösterilebilir. Buradan yazılacak
[A I]
arttırılmış matrisi
[I K ]
(yani
[ I ] [Y ] = [ K ] → [Y ] = [ K ] ) matrisine dönüştürülürse [K ] = [A]−1 elde edilir.
−1
Çünkü [A ][Y ] = [I] olduğuna göre [I][Y ] = [K ] olur . Ayrıca [Y ] = [A ] ve
bir matrisin çarpımı kendisine eşit olduğundan [I][Y ] = [Y ] dır.
−1
buradan [Y ] = [K ] ve sonuç olarak [K ] = [A ] bulunur.
29
birim matrisle
⎡ a 11
⎢a
⎢ 21
⎢a 31
⎢
⎢ .
⎢ .
⎢
⎢ .
⎢a
⎣ n1
⎡1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎢.
⎢.
⎢
⎢.
⎢0
⎣
a 12
a 22
a 13
a 23
. . . a 1n
. . . a 2n
a 32
a 33
. . . a 3n
.
.
. . .
.
.
.
. . .
.
.
.
a n2
a n3
. . . .
. . . a nn
1 0 0 . . . 0⎤
0 1 0 . . . 0⎥⎥
0 0 1 . . . 0⎥
⎥
. . . . . . .⎥
. . . . . . .⎥
⎥
. . . . . . .⎥
. . . . . . 1⎥⎦
0 0 . . . 0
k 11
k 12
k 13
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
k 21
k 31
k 22
k 32
k 23
k 33
.
.
.
.
. . . . . .
. . . . . .
0 0 . . . 1
.
.
.
.
.
.
k n1
k n2
k n3
.
.
. . .
. . . k 1n ⎤
. . . k 2 n ⎥⎥
. . . k 3n ⎥
⎥
. . . . ⎥
. . . . ⎥
⎥
. . . . ⎥
. . . k nn ⎥⎦
Örnek 4.6.1.1
3x 1 − 0,1x 2 − 0,2 x 3 = 7,85
0,1x 1 + 7 x 2 − 0,3x 3 = −19,3
0,3x 1 − 0,2 x 2 + 10x 3 = 71,4
3x 1 − 0,1x 2 − 0,2 x 3 = 20
0,1x 1 + 7 x 2 − 0,3x 3 = 50
0,3x 1 − 0,2x 2 + 10x 3 = 15
denklem sistemlerini çözünüz.
⎡ 3 − 0,1 − 0,2⎤
[A] = ⎢⎢ 0,1 7 − 0,3⎥⎥
⎢⎣0,3 − 0,2 10 ⎥⎦
⎡ 3 − 0,1 − 0,2
⎢ 0,1
7
− 0,3
⎢
⎢⎣0,3 − 0,2 10
1 0 0⎤
0 1 0⎥⎥
0 0 1⎥⎦
30
⎡3 / 3 − 0,1 / 3 − 0,2 / 3
⎢ 0,1
7
− 0,3
⎢
⎢⎣ 0,3 − 0,2
10
1 / 3 0 0⎤
0 1 0⎥⎥
0 0 1⎥⎦
⎡ 1 − 0,0333333 − 0,0666667
⎢ 0,1
7
− 0,3
⎢
⎢⎣0,3
− 0,2
10
0,333333 0 0⎤
0
1 0⎥⎥
0
0 1⎥⎦
1
− 0,0333333
− 0,0666667
⎡
⎢ 0,1 − 0,1 * 1
7 − 0,1 * (−0,0333333)
− 0,3 − 0,1 * (− 0,0666667 )
⎢
⎢⎣0,3 − 0,3 * 1 − 0,2 − 0,3 * (− 0,0333333)
10 − 0,3(− 0,0666667 )
⎡1 − 0,0333333 − 0,0666667
⎢0
7,00333
− 0,293333
⎢
⎢⎣0 − 0,190000
10,0200
0 0⎤
− 0,0333333 1 0⎥⎥
− 0,1
0 1⎥⎦
0,333333
− 0,0333333
− 0,0666667
⎡1
⎢0 7,00333 / 7,00333 − 0,293333 / 7,00333
⎢
⎢⎣0
− 0,190000
10,0200
⎡1 − 0,0333333 − 0,0666667
⎢0
1
− 0,0417061
⎢
⎢⎣0 − 0,190000
10,0200
0⎤
− 0,0333333 / 7,00333 1 / 7,00333 0⎥⎥
− 0,1
0
1⎥⎦
0,333333
− 0,068057
⎡1 0
⎢0 1
− 0,0417061
⎢
⎢⎣0 0 10,0121 / 10,0121
⎡1 0 − 0,068057
⎢0 1 − 0,0417061
⎢
⎢⎣0 0
1
0
0⎤
− 0,00473933 0,142180 0⎥⎥
− 0,1
0
1⎥⎦
0,333333
0
⎡1 − 0,033 + 0,033 * 1 − 0,067 + 0,033 * (− 0,0417 )
⎢0
1
− 0,041706
⎢
⎢⎣0 − 0,19 + 0,19 * 1
10,02 + 0,19 * (− 0,0417 )
⎡1 0 − 0,068057
⎢0 1 − 0,0417061
⎢
⎢⎣0 0
10,0121
0 0⎤
0 − 0,1 * 0,333333 1 0⎥⎥
0 − 0,3 * 0,333333 0 1⎥⎦
0,333333
0,333 + 0,033
0,033 * 0,142 0⎤
0,142180
0⎥⎥
− 0,0047393
− 0,1 + 0,19 * (−0,0047) 0,19 * 0,142 1⎥⎦
0,004739329 0⎤
0,142180
0⎥⎥
− 0,00473933
− 0,10090
0,0270142 1⎥⎦
0,333175
⎤
⎥
0,142180
0
− 0,00473933
⎥
− 0,10090 / 10,0121 0,0270142 / 10,0121 1 / 10,0121⎥⎦
0,333175
0,004739329
0,333175
0,004739329
− 0,00473933
0,142180
− 0,0100778
0,0026981
31
⎤
⎥
0
⎥
0,0998791⎥⎦
0
0
⎡1 0 − 0,068 + 0,068
⎢0 1 − 0,0417 + 0,0417
⎢
⎢⎣0 0
1
⎡1 0 0
⎢0 1 0
⎢
⎢⎣0 0 1
[A ]
−1
0,333 + 0,068 * (−0,01)
− 0,0047 + 0,0417 * (− 0,01)
− 0,01008
0,0047 + 0,068 * 0,0027 0,068 * 0,1⎤
0,142 + 0,0417 * 0,0027 0,417 * 0,1⎥⎥
0,0027
0,099879 ⎥⎦
0,00492297 0,00679813⎤
− 0,0051644 0,142293 0,00418346⎥⎥
− 0,0100779 0,00269816 0,0998801 ⎥⎦
0,332489
0,00492297 0,00679813⎤
⎡ 0,332489
⎢
= ⎢− 0,0051644 0,142293 0,00418346⎥⎥
⎢⎣− 0,0100779 0,00269816 0,0998801 ⎥⎦
Böylece katsayılar matrisi [A ] olan Bütün sistemlerin çözümü:
{x} = [A]−1 {c}
denklemi ile elde edilir.
İlk sistemin çözümü:
⎧ x1 ⎫
⎪ ⎪
⎨x 2 ⎬ =
⎪x ⎪
⎩ 3⎭
0,00492297 0,00679813⎤ ⎧ 7,85 ⎫
⎡ 0,332489
⎢− 0,0051644 0,142293 0,00418346⎥ ⎪− 19,3⎪ =
⎬
⎢
⎥ ⎨
⎪
⎢⎣− 0,0100779 0,00269816 0,0998801 ⎥⎦ ⎩ 71,4 ⎪⎭
ikinci sistemin çözümü:
0,00492297 0,00679813⎤ ⎧20⎫
⎧ x 1 ⎫ ⎡ 0,332489
⎪ ⎪ ⎢
⎥ ⎪ ⎪
⎨x 2 ⎬ = ⎢− 0,0051644 0,142293 0,00418346⎥ ⎨50 ⎬ =
⎪ x ⎪ ⎢− 0,0100779 0,00269816 0,0998801 ⎥ ⎪15 ⎪
⎦ ⎩ ⎭
⎩ 3⎭ ⎣
32
⎧ 3,0004118 ⎫
⎪
⎪
⎨− 2,488016⎬
⎪ 7,0002531 ⎪
⎭
⎩
⎧ 6,9979 ⎫
⎪
⎪
⎨7,07411⎬
⎪1,43955 ⎪
⎭
⎩
Örnek 4.6.1.2
⎡4 − 2 − 1 3 ⎤
⎢3 1 − 2 1 ⎥
⎥
[A] = ⎢
⎢2 3
5 − 1⎥
⎢
⎥
4⎦
⎣1 − 1 3
⎡4 − 2 − 1 3
⎢3 1 − 2 1
⎢
⎢2 3
5 −1
⎢
4
⎣1 − 1 3
1
0
0
0
0
1
0
0
⎡15 ⎤
⎢0⎥
{c} = ⎢ ⎥
⎢ 26⎥
⎢ ⎥
⎣27⎦
0
0
1
0
0⎤
0⎥⎥
0⎥
⎥
1⎦
− 0,5
− 0,25
0,75
0,25
⎡ 1
⎢ 3 − 3(1) 1 − 3(− 0,5) − 2 − 3(− 0,25) 1 − 3(0,75) 0 − 3(0,25)
⎢
⎢2 − 2(1) 3 − 2(− 0,5) 5 − 2(− 0,25) − 1 − 2(0,75) 0 − 2(0,25)
⎢
4 − 1(0,75) 0 − 1(0,25)
⎣ 1 − 1(1) − 1 − 1(− 0,5) 3 − 1(− 0,25)
0,25
⎡1 − 0,5 − 0,25 0,75
⎢0 2,5 − 1,25 − 1,25 − 0,75
⎢
⎢0
− 2,5 − 0,5
4
5,5
⎢
3,25 − 0,25
⎣0 − 0,5 3,25
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0⎤
0⎥⎥
0⎥
⎥
1⎦
0⎤
0⎥⎥
0⎥
⎥
1⎦
⎡1 − 0,5 + 0,5(1) − 0,25 + 0,5(− 0,5) 0,75 + 0,5(− 0,5) 0,25 + 0,5(− 0,3) 0 + 0,5(0,4 )
⎢0
− 0,5
− 0,5
− 0,3
1
0,4
⎢
⎢0
− 2,5 − 4(− 0,5)
− 0,5 − 4(− 0,3)
4 − 4(1)
5,5 − 4(− 0,5)
0
⎢
⎣0 − 0,5 + 0,5(1) 3,25 + 0,5(− 0,5) 3,25 + 0,5(− 0,5) − 0,25 + 0,5(− 0,3) 0 + 0,5(0,4 )
0
0
1
0
⎡1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣0
0 − 0,5 0,5
0,1
0,2
1 − 0,5 − 0,5 − 0,3 0,4
0 7,5 − 0,5 07 − 1,6
0
3
3
− 0,4 0,2
⎡1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣0
0 − 0,5 + 0,5 0,5 + 0,5(− 0,0667 ) 0,1 + 0,5 * 0,0933 0,2 + 0,5(− 0,213) 0,5 * 0,133
1 − 0,5 + 0,5 − 0,5 + 0,5(− 0,0667 ) − 0,3 + 0,5 * 0,933 0,4 + 0,5(− 0,213) 0,5 * 0,133
− 0,0667
− 0,213
0
1
0,933
0,133
0 3 − 3 *1
3 − 3(− 0,0667 )
− 0,4 − 3 * 0,0933 0,2 − 3(− 0,213) 0 − 3 * 0,133
0
0
1
0
0⎤
0⎥⎥
0⎥
⎥
1⎦
0⎤
0⎥⎥
0⎥
⎥
1⎦
33
0⎤
0⎥⎥
0⎥
⎥
1⎦
⎡1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣0
0
1
0
0
0 0,4667
0,1466
0,0933 0,0666 0⎤
0 − 0,533 − 0,2533 0,2933 0,0666 0⎥⎥
1 − 0,0667 0,0933 − 0,2133 0,1333 0⎥
⎥
0
3,2
0,84
− 0,68
− 0,4 1⎦
⎡1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣0
0
1
0
0
0 0,47 − 0,47 0,146 − 0,47(0,21) 0,093 − 0,47(0,26) 0,06 − 0,47(− 0,12) 0,47 * 0,31 ⎤
− 0,533
− 0,253
0
0,293
0,06 + 0,53(− 0,12) 0,53 * 0,31 ⎥⎥
− 0,067
− 0,213
1
0,093
0,13 + 0,067(− 0,12) 0,067 * 0,31⎥
⎥
0
1
0,2625
0,3125 ⎦
− 0,2125
− 0,125
⎡1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣0
0
1
0
0
0
0
1
0
[A ]−1
0 0,2458 − 0,0292 0,125 − 0,1458⎤
0 − 0,3666 0,43335
0
0,1666 ⎥⎥
0 0,0788 − 0,1958 0,125
0,0208 ⎥
⎥
1 − 0,2125 0,2625 − 0,125 0,3125 ⎦
⎡ 0,2458 − 0,0292 0,125 − 0,1458⎤
⎢ − 0,3666 0,43335
0
0,1666 ⎥⎥
⎢
=
⎢ 0,0788 − 0,1958 0,125
0,0208 ⎥
⎢
⎥
⎣− 0,2125 0,2625 − 0,125 0,3125 ⎦
⎧ x1 ⎫
⎪x ⎪
⎪ 2⎪
⎨ ⎬=
⎪x 3 ⎪
⎪⎩x 4 ⎪⎭
⎡ 0,2458 − 0,0292 0,125 − 0,1458⎤
⎢ − 0,3666 0,43335
0
0,1666 ⎥⎥
⎢
⎢ 0,0788 − 0,1958 0,125
0,0208 ⎥
⎢
⎥
⎣− 0,2125 0,2625 − 0,125 0,3125 ⎦
⎧15 ⎫
⎪0⎪
⎪ ⎪
⎨ ⎬
⎪26⎪
⎪⎩27 ⎪⎭
⎧ x 1 ⎫ ⎧ 0,2458 * 15 − 0,0292 * 0 + 0,125 * 26 − 0,1458 * 27 ⎫ ⎧ 3 ⎫
⎪x ⎪ ⎪ − 0,3666 * 15 + 0,43335 * 0 + 0 * 26 + 0,1666 * 27 ⎪ ⎪− 1⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ 2⎪ ⎪
⎬ = ⎨ ⎬
⎨ ⎬=⎨
x
−
+
+
0
,
0788
*
15
0
,
1958
*
0
0
,
125
*
26
0
,
0208
*
27
3
⎪ ⎪5⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎩x 4 ⎪⎭ ⎪⎩− 0,2125 * 15 + 0,2625 * 0 − 0,125 * 26 * 0,3125 * 27 ⎪⎭ ⎪⎩ 2 ⎪⎭
34
4.7 LİNEER DENKLEM SİSTEMİNİN ALT ÜST ÜÇGEN MATRİSLERE
AYIRMA METODU İLE ÇÖZÜMÜ:
[A] {x} = {C}
,
[A] {x} − {C} = {0}
[U] {x} = {D}
,
[U] {x} − {D} = {0}
[L] { [U] {x} − {D} } = [A] {x} − {C}
[L][U] = [A]
(Burada [L] alt üçgen matris ,
[L] {D} = {C}
Bu son denklemden
[U] {x} = {D}
denkleminde yerine konup
{D}
[U ]
ise üst üçgen matristir.
çözülüp.
{x}
bilinmeyen vektörü bu denklemden
hesaplanır.
4.7.1 Gauss eliminasyon yöntemi ile alt üst üçgen matrislere ayırma işlemi
⎡ a 11
⎢a
⎢ 21
⎢a
[A ] = ⎢ 31
⎢ .
⎢ .
⎢
⎣⎢a n1
⎡ 1
⎢f
⎢ 21
⎢f
[L] = ⎢. 31
⎢ .
⎢ .
⎢
⎣⎢ f n1
a 12
a 13
a 22
a 23
a 32
.
a 33
.
.
.
an2
an3
0
1
0
0
f 32
.
.
1
.
.
fn2
fn3
. . . a 1n ⎤
. . . a 2n ⎥⎥
. . . a 3n ⎥
⎥
. . . . ⎥
. . . . ⎥
⎥
. . . a nn ⎦⎥
. . . 0⎤
. . . 0⎥⎥
. . . 0⎥
⎥ ,
. . . .⎥
. . . .⎥
⎥
. . . 1⎦⎥
⎡a 11
⎢0
⎢
⎢0
[U] = ⎢
⎢ .
⎢ .
⎢
⎣⎢ 0
a 12
a ′22
0
.
.
0
a 13
a ′23
a ′33′
.
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. a 1n ⎤
. a ′2n ⎥⎥
. a ′3′n ⎥
⎥
.
. ⎥
.
. ⎥
( n −1 ) ⎥
. a nn ⎦⎥
[A] = [L][U] =
⎡ a 11
⎢f a
⎢ 21 11
⎢f 31 a 11
⎢
⎢ .
⎢ .
⎢
⎢⎣f n1a 11
a 12
f 21 a 12 + a ′12
f 31a 12 + f 32 a ′22
f n1a 12 + f n 2 a ′22
a 13
f 21 a 13 + a ′23
f 31a 13 + f 32 a ′23 + a ′33′
L
a 1n
f 21a 1n + a ′2n
f 31a 1n + f 32 a ′2n + a ′3′n
L
L
.
.
L
L
f n1a 13 + f n 2 a′23 + f n 3 a′33′ L f n1a 1n + f n 2 a ′2n + f n 3 a′3′n + L + f n ( n −1) a (( nn −−12))n
35
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
+ a (nnn −1) ⎥⎦
a 21
a 11
a
= 31
a 11
f 21 a 11 = a 21
⇒ f 21 =
f 31 a 11 = a 31
⇒ f 31
Bu durumu diğer bütün f i1 ler için genelleştirirsek
f i1 a 11 = a i1
⇒ f i1 =
a i1
a 11
Burada i = 2,3,..., n dir.
elde ederiz.
a 31
a 12 ) / a ′22
a 11
a
= (a 42 − 41 a 12 ) / a ′22
a 11
f 31 a 12 + f 32 a ′22 = a 32
⇒ f 32 = (a 32 − f 31 a 12 ) / a ′22
⇒ f 32 = (a 32 −
f 41 a 12 + f 42 a′22 = a 42
⇒ f 42 = (a 42 − f 41 a 12 ) / a ′22
⇒ f 42
Bu işlemler f i 2 için genelleştirilebilir.
f i1 a 12 + f i 2 a ′22 = a i 2
⇒ f i 2 = (a i 2 − f i1 a 12 ) / a ′22
⇒ f i 2 = (a i 2 −
a i1
a 12 ) / a ′22
a 11
Burada i = 3,4,..., n dır.
f 41a 13 + f 42 a ′23 + f 43 a ′33′ = a 43
⇒ f 43 = (a 43 − f 41 a 13 − f 42 a ′23 ) / a ′33′
Bu eşitlik genelleştirilirse
f i1 a 13 + f i 2 a ′23 + f i 3 a ′33′ = a i 3
⇒ f i 3 = (a i 3 − f i1 a 13 − f i 2 a ′23 ) / a′33′
Burada i = 4,5,..., n dır.
Benzer şekilde devam edilirse sonunda
⎡ a 11
⎢f a
⎢ 21 11
⎢f 31 a 11
⎢
⎢ .
⎢ .
⎢
⎣⎢f n1a 11
a 12
f 21 a 12 + a ′12
f 31a 12 + f 32 a ′22
f n1a 12 + f n 2 a ′22
a 13
f 21 a 13 + a ′23
f 31a 13 + f 32 a ′23 + a ′33′
L
a 1n
f 21a 1n + a ′2n
f 31a 1n + f 32 a ′2n + a ′3′n
L
L
.
.
L
L
f n1a 13 + f n 2 a′23 + f n 3 a′33′ L f n1a 1n + f n 2 a ′2n + f n 3 a′3′n + L + f n ( n −1) a (( nn −−12))n
matrisi elde edilir.
36
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
( n −1 ) ⎥
+ a nn ⎦⎥
Örnek 4.7.1.1
⎡4 − 2 − 1 3 ⎤
⎢3 1 − 2 1 ⎥
⎥
[A] = ⎢
⎢2 3
5 − 1⎥
⎢
⎥
4⎦
⎣1 − 1 3
⎡15 ⎤
⎢0⎥
{C} = ⎢ ⎥
⎢ 26⎥
⎢ ⎥
⎣ 27⎦
[A] = [L][U]
−1
3 ⎤
⎡4 − 2
⎢0 2,5 − 1,25 − 1,25⎥
⎥
[U] = ⎢
⎢0 0
− 0,5 ⎥
7,5
⎢
⎥
0
3,2 ⎦
⎣0 0
0⎤
0⎥⎥
0⎥
⎥
1⎦
⎡1
⎢f
[L] = ⎢ 21
⎢f 31
⎢
⎣f 41
0
1
f 32
f 42
f 21 4 = a 21
⇒ f 21 =
3
= 0,75
4
f 31 4 = a 31
⇒ f 31 =
2
= 0,5
4
f 41 4 = a 41
⇒ f 41 =
1
= 0,25
4
0
0
1
f 43
f 31 ( −2) + f 32 2,5 = a 32
⇒ f 32 = [3 − 0,5( −2)] / 2,5 ⇒ f 32 = 1,6
f 41 ( −2) + f 42 2,5 = a 42 ⇒ f 42 = [−1 − 0,25( −2)] / 2,5 ⇒ f 42 = −0,2
f 41 (− 1) + f 42 (− 1,25 ) + f 43 7,5 = a 43 ⇒ f 43 = ( 3 + 0,25 − 0,2 * 1,25) / 7,5 ⇒ f 43 = 0,4
0
0
⎡ 1
⎢0,75
1
0
[L] = ⎢
⎢ 0,5
1,6
1
⎢
⎣0,25 − 0,2 0,4
0⎤
0⎥⎥
0⎥
⎥
1⎦
0
0
⎡ 1
⎢ 0,75
1
0
⎢
⎢ 0,5
1,6
1
⎢
⎣0,25 − 0,2 0,4
[L] {D} = {C} ,
0⎤
0⎥⎥
0⎥
⎥
1⎦
⎧ d 1 ⎫ ⎧15 ⎫
⎪d ⎪ ⎪ ⎪
⎪ 2⎪ ⎪ 0 ⎪
⎨ ⎬=⎨ ⎬
⎪d 3 ⎪ ⎪ 26⎪
⎪⎩d 4 ⎪⎭ ⎪⎩ 27 ⎪⎭
d 1 = 15
0,75d 1 + d 2 = 0
⇒
d 2 = −0,75 * 15 ⇒ d 2 = −11,25
37
0,5d 1 + 1,6d 2 + d 3 = 26 ⇒ d 3 = 26 − 0,5 * 15 − 1,6 * ( −11,25) ⇒ d 3 = 36,5
0,25d 1 − 0,2d 2 + 0,4d 3 + d 4 = 27 ⇒ d 4 = −0,25 * 15 − 0,2 * 11,25 − 0,4 * 36,5 + 27 ⇒ d 4 = 6,4
[U] {x} = {D}
−1
3 ⎤ ⎧ x1 ⎫
⎡4 − 2
⎧ 15 ⎫
⎪
⎪
⎢0 2,5 − 1,25 − 1,25⎥ ⎪ x ⎪
⎢
⎥ ⎪⎨ 2 ⎪⎬ = ⎪⎨ − 11,25⎪⎬
⎢0 0
− 0,5 ⎥ ⎪ x 3 ⎪
7,5
⎪ 36,5 ⎪
⎢
⎥ ⎪ ⎪
⎪⎩ 6,4 ⎪⎭
0
3,2 ⎦ ⎩ x 4 ⎭
⎣0 0
⎧ x1 ⎫ ⎧ 3 ⎫
⎪ x ⎪ ⎪ − 1⎪
⎪ 2⎪ ⎪ ⎪
⇒ ⎨ ⎬ =⎨ ⎬
⎪x 3 ⎪ ⎪ 5 ⎪
⎪⎩ x 4 ⎪⎭ ⎪⎩ 2 ⎪⎭
4.7.2 Crout Bileşenlere ayırma yöntemi : (Crout decomposition)
n=4 üzerinde gösterilişi :
⎡ l 11
⎢l
⎢ 21
⎢ l 31
⎢
⎣ l 41
0
l 22
l 32
l 42
u1j =
a 12
l 11
a1j
l 11
⎡1 u 12
⎢0 1
⎢
⎢0 0
⎢
⎣0 0
l 21 = a 21 ,
u 13
u 23
1
0
u 14 ⎤ ⎡a 11
u 24 ⎥⎥ ⎢⎢a 21
=
u 34 ⎥ ⎢a 31
⎥ ⎢
1 ⎦ ⎣a 41
l 31 = a 31 ,
a 12
a 13
a 22
a 32
a 42
a 23
a 33
a 43
a 14 ⎤
a 24 ⎥⎥
a 34 ⎥
⎥
a 44 ⎦
l 41 = a 41
, i = 1,2, . . . , n
l 11 u 12 = a 12
u 12 =
0
0
0
l 33
l 43
l 11 = a 11 ,
l i1 = a i1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
l 44 ⎦
0
0
l 11 u 13 = a 13
u 13 =
l 11 u 14 = a 14
a 13
l 11
u 14 =
a 14
l 11
, j = 2,3, . . . , n
l 31 u 12 + l 32 = a 32 ,
l 21 u 12 + l 22 = a 22 ,
l i1 u 12 + l i2 = a i 2
⇒
l i2 = a i 2 − l i1 u 12
l 41 u 12 + l 42 = a 42
, i = 2,3, L , n
l 21 u 13 + l 22 u 23 = a 23
⇒ u 23 = (a 23 − l 21 u 13 ) / l 22
l 21 u 14 + l 22 u 24 = a 24
⇒ u 24 = (a 24 − l 21 u 14 ) / l 22
l 21 u 1 j + l 22 u 2 j = a 2 j
⇒ u 2 j = (a 2 j − l 21 u 1 j ) / l 22
38
,
j = 3,4, L , n
l i3 = a i 3 − l i1 u 13 − l i2 u 23
, i = 3,4,L , n
u 3 j = (a 3 j − l 31 u 1 j − l 32 u 2 j ) / l 33
, j = 4,5,L , n
l i4 = a i 4 − l i1 u 14 − l i2 u 24 − l i3 u 34
, i = 4,5,L , n
Crout alt üst üçgen matrislere ayırma yönteminin herhangi bir n sayısı için formülleri:
l i1 = a i1
u1j =
a1j
l 11
, i = 1,2, . . . , n
, j = 2,3, . . . , n
j = 2,3,L , n − 1 için
j− 1
l ij = a ij − ∑ l kj u kj
, i = j, j + 1, j + 2, . . . , n
k =1
j− 1
u kj =
a jk − ∑ l ji u ik
i =1
l jj
, k = j + 1, j + 2, L , n
n −1
l nn = a nn − ∑ l nk u kn
k =1
Örnek 4.7.2.1
⎡ l 11
⎢l
⎢ 21
⎢ l 31
⎢
⎣ l 41
0
l 22
0
0
l 32
l 33
l 42
l 43
l i1 = a i1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
l 44 ⎦
0
0
0
⎡1 u 12
⎢0 1
⎢
⎢0 0
⎢
⎣0 0
u 13
u 23
1
0
u 14 ⎤
⎡4 − 2 − 1 3 ⎤
⎥
⎢3 1 − 2 1 ⎥
u 24 ⎥
⎥
= ⎢
⎢2 3
u 34 ⎥
5 − 1⎥
⎥
⎢
⎥
1 ⎦
4⎦
⎣1 − 1 3
, i = 1,2,3,4
l 41 = a 41 = 1
l 11 = a 11 = 4 , l 21 = a 21 = 3 , l 31 = a 31 = 2 ,
a1j
u1j =
, j = 2,3,4
l 11
a
a
−2
−1
u 12 = 12 =
⇒ u 12 = −0,5
u 13 = 13 =
⇒ u 13 = −0,25
4
4
l 11
l 11
a
3
u 14 = 14 =
⇒ u 14 = 0,75
l 11 4
39
j = 2,3 için
j− 1
l ij = a ij − ∑ l kj u kj
, i = j, j + 1,4
k =1
j− 1
u kj =
a jk − ∑ l ji u ik
i =1
l jj
, k = j + 1,4
3
l 44 = a 44 − ∑ l 4 k u k 4
k =1
j = 2 ve i = 3 için
j = 2 ve i = 3 için
j = 2 ve i = 4 için
l 22 = a 22 − l 21 u 12 = 1 − 3(− 0,5 ) ⇒ l 22 = 2,5
l 32 = a 32 − l 31 u 12 = 3 − 2(− 0,5) ⇒ l 32 = 4
j = 3 ve i = 3 için
j = 3 ve i = 4 için
j = 2 ve k = 3 için
l 33 = a 33 − l 31 u 13 − l 32 u 23 = 5 − 2(− 0,25) − 4(− 0,5) ⇒ l 33 = 7,5
l 43 = a 43 − l 41 u 13 − l 42 u 23 = 3 − 1(− 0,25) − (− 0,5)(− 0,5) ⇒ l 43 = 3
u 23 = (a 23 − l 21 u 13 ) / l 22 = [( −2 − 3( −0,25)] / 2,5 ⇒ u 23 = −0,5
j = 2 ve k = 4 için
j = 3 ve k = 4 için
u 24 = (a 24 − l 21 u 14 ) / l 22 = [1 − 3(0,75)] / 2,5 ⇒ u 24 = −0,5
l 42 = a 42 − l 41 u 12 = −1 − 1(− 0,5 ) ⇒ l 42 = −0,5
u 34 = (a 34 − l 31 u 14 − l 32 u 24 ) / l 33 = [ −1 − 2( 0,75 ) − 4( −0,5)] / 7,5 ⇒ u 34 = −0,06667
son olarak
l 44 = a 44 − l 41 u 14 − l 42 u 24 − l 43 u 34 = 3 − 1(0,75) − (− 0,5)(− 0,5) − 3(0,06667) ⇒ l 44 = 3,2
bulunur.
0
0
0 ⎤
⎡4 − 2 − 1 3 ⎤
⎡4
⎢3 1 − 2 1 ⎥
⎢ 3 2,5
0
0 ⎥⎥
⎢
⎥ = ⎢
⎢2 3
⎢2
5 − 1⎥
4
7,5 0 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
4⎦
⎣1 − 1 3
⎣1 − 0,5 3 3,2⎦
0,75 ⎤
⎡1 − 0,5 − 0,25
⎢0
1
− 0,5
− 0,5 ⎥⎥
⎢
⎢0
0
1
− 0,6667⎥
⎢
⎥
0
0
1
⎣0
⎦
Bu elde edilen alt ve üst üçgen matrislerin denklem sisteminin çözümüne uygulanışı
⎧15 ⎫
⎡4 − 2 − 1 3 ⎤ ⎧ x 1 ⎫
⎪ ⎪
⎢3 1 − 2 1 ⎥ ⎪x ⎪
⎢
⎥ ⎪⎨ 2 ⎪⎬ = ⎪⎨ 0 ⎪⎬
⎢2 3
5 − 1⎥ ⎪ x 3 ⎪
⎪ 26⎪
⎢
⎥ ⎪ ⎪
⎪⎩ 27 ⎪⎭
4 ⎦ ⎩x 4 ⎭
⎣1 − 1 3
40
0
0
0 ⎤
⎡4
⎢ 3 2,5
0
0 ⎥⎥
⎢
⎢2
4
7,5 0 ⎥
⎢
⎥
⎣1 − 0,5 3 3,2⎦
⎧ d 1 ⎫ ⎧15 ⎫
⎪d ⎪ ⎪ 0 ⎪
⎪ 2⎪ ⎪ ⎪
⎨ ⎬ = ⎨ ⎬
⎪d 3 ⎪ ⎪ 26⎪
⎪⎩d 4 ⎪⎭ ⎪⎩ 27 ⎪⎭
4d 1 = 15 d 1 = 15 / 4 ⇒ d 1 = 3,75
3d 1 + 2,5d 2 = 0
d 2 = −3 * 3,75 / 2,5 ⇒ d 2 = −4,5
2d 1 + 4d 2 + 7,5d 3 = 26
d 3 = [26 − 2 * 3,75 − 4 * ( −4,5)] / 7,5 ⇒ d 3 = 4,86667
d 1 − 0,5d 2 + 3d 3 + 3,2d 4 = 27
0,75 ⎤
⎡1 − 0,5 − 0,25
⎢0
1
− 0,5
− 0,5 ⎥⎥
⎢
⎢0
0
1
− 0,6667⎥
⎢
⎥
0
0
1
⎣0
⎦
d 4 = ( 27 − 3,75 − 0,5 * 4,5 − 3 * 4,86667 ) / 3,2 ⇒ d 4 = 2
⎧ x1 ⎫
⎧ 3,75 ⎫
⎪x ⎪
⎪ − 4,5 ⎪
⎪
⎪
⎪ 2⎪
⎨ ⎬ = ⎨
⎬
⎪x 3 ⎪
⎪4,86667⎪
⎪⎩ x 4 ⎪⎭
⎪⎩ 2 ⎪⎭
x4 = 2
x 3 − 0,06667 * x 4 = 4,86667
x 3 = 4,86667 + 0,06667 * 2 ⇒ x 3 = 5
x 2 − 0,5x 3 − 0,5x 4 = −4,5
x 2 = −4,5 + 0,5 * 5 + 0,5 * 2 ⇒ x 2 = −1
x 1 − 0,5x 2 − 0,25x 3 + 0,75x 4 = 3,75 x 1 = 3,75 + 0,5 * ( −1) + 0,25 * 5 − 0,75 * 2 ⇒ x 1 = 3
41
4.8 KAREKÖK METODU ( Cholesky yöntemi) :
Bu yöntem simetrik ve pozitif tanumlı katsayılar matrisi için uygulanır. Özellikle bu
durumdaki bant matrislerde uygulanır.
[A ]
pozitif tanımlı olmalıdır.
⎧ x 1 ⎫ ⎧0⎫
⎪ x ⎪ ⎪0⎪
⎪⎪ 2 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪
Yani bütün ⎨ . ⎬ ≠ ⎨ . ⎬
⎪ . ⎪ ⎪.⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎩ x n ⎪⎭ ⎪⎩0⎪⎭
Q = {x} [A ]{x} Q > 0
T
A2 =
A 1 = a 11 ,
vektörleri için
olmalıdır veya
a 11
a 12
a 21
a 22
,
a 11
a 12
a 13
A 3 = a 21
a 22
a 23 , .
a 31
a 32
a 33
.
. , A n = det[A ]
hepsinin pozitif olması gerekir.
[A] = [L][U]
[A] T = [U] T [L] T
Simetrik matrislerde
[A] = [L][L] T
⎡ l 11
⎢l
⎢ 21
⎢ l 31
⎢
⎢ .
⎢ .
⎢
⎢⎣ l n1
[A] = [A] T
olduğundan
olur.
0
0
. . .
l 22
0
. . .
l 32
l 33
. . .
.
.
. . .
.
.
. . .
l n2
l n3
. . .
0⎤
0 ⎥⎥
0⎥
⎥
. ⎥
. ⎥
⎥
l nn ⎥⎦
l 11 l 11 = a 11
⇒ l 11 = a 11
l 11 l 21 = a 21
⇒ l 21 =
⎡ l 11
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎢0
⎢
⎢⎣ 0
l 21
l 22
l 31
l 32
0
l 33
0
0
0
0
0
0
. . . l n1 ⎤ ⎡ a11
. . . l n 2 ⎥⎥ ⎢⎢ a 21
. . . l n 3 ⎥ ⎢ a 31
⎥ =⎢
. . . . ⎥ ⎢ .
. . . . ⎥ ⎢ .
⎥ ⎢
. . . l nn ⎥⎦ ⎢⎣a n1
a 21
l 11
42
a 21
a 22
a 31
a 32
a 33
.
.
.
.
a n2
a n3
. . . a n1 ⎤
. . . a n 2 ⎥⎥
. . . a n3 ⎥
⎥
. . . . ⎥
. . . . ⎥
⎥
. . . a nn ⎥⎦
l 11 l i 1 = a i 1
⇒ l i1 =
2
2
l 21
+ l 22
= a 22
a i1
l 11
, i = 2, 3, L , n
2
⇒ l 22 = a 22 − l 21
l 21 l 31 + l 22 l 32 = a 32
⇒ l 32 = (a 32 − l 21 l 31 ) / l 22
l 21 l i 1 + l 22 l i 2 = a i 2
⇒ l i 2 = (a i 2 − l 21 l i 1 ) / l 22 ,
2
2
2
l 31
+ l 32
+ l 33
= a 33
i = 3,4, L , n
2
2
⇒ l 33 = a 33 − l 31
− l 32
l 31 l 41 + l 32 l 42 + l 33 l 43 = a 43
⇒ l 43 = (a 43 − l 31 l 41 − l 32 l 42 ) / l 33
l 31 l i 1 + l 32 l i 2 + l 33 l i 3 = a i 3
⇒ l i 3 = (a i 3 − l 31 l i 1 − l 32 l i 2 ) / l 33
k = 1,2, L , n
i = 4, L , n
için genel formül:
k −1
l kk = a kk − ∑ l kj2
j =1
i −1
l ki = (a ki − ∑ l ij l kj ) / l ii
,
j =1
i = 1,2, L , k − 1
Bu işlemlerin sonucunda elde edilen [L] matrisi denklem sisteminin çözümünde aşağıdaki
eşitlikler yardımıyla kullanılır.
[L] {D} = {C }
[L] T {x} = {D}
d1 =
{D}
denkleminden elde edilen
denkleminde yerine konup
{x}
c1
l 11
i −1
d i = (c i − ∑ l ij d j ) / l ii
,
j =1
lnn xn = d n → xn =
xi = [d i −
n
∑l
j = i +1
ji
i = 2, 3, L , n
dn
lnn
x j ] / lii
,
i = n − 1, n − 2,L ,1
43
sütun matrisi
istenen çözüm matrisi bulunur.
Örnek 4.8.1
⎡4
⎢3
⎢
⎢2
⎢
⎣1
⎡ l 11
⎢l
⎢ 21
⎢ l 31
⎢
⎣ l 41
3 2 1⎤
6 4 2⎥⎥
4 5 1⎥
⎥
2 1 3⎦
0
0
l 22
l 32
0
l 33
l 42
l 43
⎧ x1 ⎫
⎧ 21⎫
⎪x ⎪
⎪ 27⎪
⎪ 2⎪
⎪ ⎪
⎨ ⎬ = ⎨ ⎬
⎪ x3 ⎪
⎪ 29⎪
⎪⎩ x 4 ⎪⎭
⎪⎩12 ⎪⎭
0⎤
0 ⎥⎥
0⎥
⎥
l 44 ⎦
⎡ l 11
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣0
l 21
l 22
l 31
l 32
0
l 33
0
0
l 41 ⎤
⎡4
⎥
⎢3
l 42 ⎥
= ⎢
⎢2
l 43 ⎥
⎥
⎢
l 44 ⎦
⎣1
3 2 1⎤
6 4 2⎥⎥
4 5 1⎥
⎥
2 1 3⎦
l 112 = 4 ⇒ l 11 = 2
l 11 l 21 = 3 ⇒ l 21 = 1,5 ,
l 11 l 31 = 2 ⇒ l 31 = 1 ,
2
2
l 21
+ l 22
= 6 ⇒ l 22 = 6 − (1,5) 2
⇒
l 11 l 41 = 1 ⇒ l 41 = 0,5
l 22 = 1,9365
l 21 l 31 + l 22 l 32 = 4 ⇒ l 32 = (4 − 1,5 * 1) / 1,9365
⇒ l 32 = 1,291
l 21 l 41 + l 22 l 42 = 2 ⇒ l 42 = ( 2 − 1,5 * 0,5) / 1,9365
2
2
2
l 31
+ l 32
+ l 33
= 5 ⇒ l 33 = 5 − 1 2 − (1,291) 2
⇒
⇒
l 42 = 0,6455
l 33 = 1,5275
l 31 l 41 + l 32 * l 42 + l 33 l 43 = 1 ⇒ l 43 = (1 − 1 * 0,5 − 1,291 * 0,6455) / 1,5275 ⇒ l 43 = −0,2182
l 412 + l 422 + l 432 + l 442 = 3 ⇒ l 44 = 3 − 0,5 2 − 0,6455 2 − ( −0,2182) 2
0
0
0 ⎤
⎡ 2
⎢1,5 1,9365
0
0 ⎥⎥
⎢
⎢1
1,291
1,5275
0 ⎥
⎥
⎢
⎣0,5 0,6455 − 0,2182 1,5119⎦
⇒
l 44 = 1,5119
⎧d1 ⎫
⎧ 21⎫
⎪d ⎪
⎪ 27 ⎪
⎪ 2⎪
⎪ ⎪
⎨ ⎬ = ⎨ ⎬
⎪d 3 ⎪
⎪ 29⎪
⎪⎩d 4 ⎪⎭
⎪⎩12 ⎪⎭
2d 1 = 21 ⇒ d 1 = 10,5
1,5d 1 + 1,9365d 2 = 27 ⇒ d 2 = ( 27 − 1,5 * 10,5) / 1,9365
⇒
d 2 = 5,81
d 1 + 1,291d 2 + 1,5275d 3 = 29 ⇒ d 3 = ( 29 − 10,5 − 1,291 * 5,81) / 1,5275 ⇒ d 3 = 7,2
44
0,5d 1 + 0,6455d 2 − 0,2182d 3 + 1,5119d 4 = 12 d 4 = 3,02
1,5
1
0,5 ⎤
⎡2
⎢0 1,9365 1,291
0,6455 ⎥⎥
⎢
⎢0
0
1,5275 − 0,2182⎥
⎥
⎢
0
0
1,5119 ⎦
⎣0
1,5119 x 4 = 3,02 ⇒
⎧ x1 ⎫
⎧10,5 ⎫
⎪x ⎪
⎪ 5,81⎪
⎪
⎪ 2⎪
⎪
⎬
⎨ ⎬ = ⎨
⎪ x3 ⎪
⎪ 7,2 ⎪
⎪⎩ x 4 ⎪⎭
⎪⎩ 3,02⎪⎭
x4 = 2
1,5275 x 3 − 0,2182 x 4 = 7,2 ⇒
x 3 = (7,2 + 0,2182 * 2) / 1,5275
1,9365 x 2 + 1,291 x 3 + 0,6455 x 4 = 5,81 ⇒
x 2 = −1
2 x1 + 1,5 x 2 + x 3 + 0,5 x 4 = 10,5 ⇒
⇒
x3 = 5
x 2 = (5,81 − 1,291 * 5 − 0,6455 * 2) / 1,9365
x1 = (10,5 − 1,5( −1) − 5 − 0,5 * 2) / 2 ⇒ x1 = 3
45
4.9 İTERASYON YÖNTEMİ (Gauss – Seidel yöntemi ) :
a 11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 +
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +
a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 +
.
.
.
.
.
.
.
.
a n1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 +
⋅ ⋅ ⋅ + a1n x n = c1
⋅ ⋅ ⋅ + a 2n x n = c 2
⋅ ⋅ ⋅ + a 3n x n = c 3
. . .
.
. . .
.
⋅ ⋅ ⋅ + a nn x n = c n
Denklem sisteminde her i . denklemden xi leri çözüp aşağıdaki eşitlikler elde edilir.
x 1 = (c1 − a 12 x 2 − a 13 x 3 − ⋅ ⋅ ⋅ − a 1n x n ) / a11
x 2 = (c 2 − a 21 x 1 − a 23 x 3 − ⋅ ⋅ ⋅ − a 2 n x n ) / a 22
x 3 = (c 3 − a 31 x 1 − a 32 x 2 − ⋅ ⋅ ⋅
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
. .
x n = ( c n − a n1 x 1 − a n 2 x 2 − ⋅ ⋅ ⋅
ε a ,i
− a 3 n x n ) / a 33
.
.
.
.
.
.
− a n( n −1) x n −1 ) / a nn
x ij − x ij −1
=
100%
x ij
Örnek 4.9.1
3 x 1 − 0,1 x 2 − 0,2 x 3 = 7,85
0,1 x 1 + 7 x 2 − 0,3 x 3 = −19,3
0,3 x1 − 0,2 x 2 + 10 x 3 = 71,4
Denklem sisteminin iterasyon yöntemi ile çözümü için aşağıdaki denklemler kullanılır.
x1 = (7,85 + 0,1 x 2 + 0,2 x 3 ) / 3
x 2 = ( −19,3 − 0,1 x1 + 0,3 x 3 ) / 7
x 3 = (71,4 − 0,3 x1 + 0,2 x 2 ) / 10
Bu denklemler yardımı ile aşağıdaki tablo oluşturulur.
1
1
1
2
2
2
x1
2,61666666
2,61666666
2,61666666
2,99055650
2,99055650
2,99055650
x2
0
-2,7945238
-2,7945238
-2,7945238
-2,4996246
-2,4996246
| εa,1| , %
x3
0
0
7,005609524
7,005609524
7,005609524
7,000290811
46
| εa,2|, %
| εa,3|, %
12,5
11,8
11,8
5 EĞRİYE UYDURMA
f(x)20
f(x)
3.75
3.5
15
3.25
3
10
2.75
2.5
5
2.25
x
Doğruya yaklaştırma lineer regression
5
10
15
20
1
2
3
4
5
6
x7
Lineer interpolasyon
4
f(x)
3.5
3
2.5
1
2
3
4
5
6
x
7
Eğrisel interpolasyon
5.1 YAKLAŞTIRMA (Regression) METODU
5.1.1 Doğruya yaklaştırma (Lineer regression) yöntemi:
Bu yöntemde doğruya yaklaşımdaki hataların karelerinin toplamını minumum yapacak doğru
denklemi araştırılır.
Hatayı içerecek şekilde doğru denklemi:
y = a 0 + a1x + E
seklindedir. Burada E hatayı gösterir.
E = y − a 0 − a1x
Hataların karelerinin toplamı:
n
n
i =1
i =1
S r = ∑ E i2 = ∑ ( y i − a 0 − a 1 x i ) 2
47
şeklinde yazılır. Bu elde edilen hataların karelerinin toplamını minumum yapacak a 0 ve a 1
değeri bunlara göre alınacak türevleri sıfıra eşitliyerek bulunur.
n
∂S r
= − 2∑ ( y i − a 0 − a 1 x i ) x i = 0
∂a 1
i =1
n
∂S r
= − 2∑ ( y i − a 0 − a 1 x i ) = 0
∂a 0
i =1
n
n
n
i =1
i =1
i =1
∑ y i − ∑ a 0 − ∑ a1 x i = 0
n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
∑ y i x i − ∑ a 0 x i − ∑ a 1 x i2 = 0
n
na 0 + ∑ x i a 1 = ∑ y i
i =1
i =1
n
n
∑x a + ∑x a
i
i =1
a1 =
0
i =1
2
i
n
1
= ∑ xi y i
i =1
n
n
n
i =1
i =1
n
i =1
n
n∑ x i y i − ∑ x i ∑ y i
n
n∑ x − ( ∑ x i )
i =1
2
i
Sy / x =
i =1
y=
n
Sr
n−2
Sy =
r2 =
St − Sr
St
∑y
i =1
1
2
3
4
5
6
7
∑
i =1
i
n
n
Tahmini standart sapma :
n
Toplam standart sapma : Burada S t = ∑ ( y i − y ) 2
i =1
tanım katsayısı :
r correlation katsayısı:
Aşağıdaki tablo değerlerini bir doğruya yaklaştırın.
yi
0,5
2,5
2,0
4,0
3,5
6,0
5,5
24
− a1
∑x
i
Örnek 5.1.1.1
i
n
i
n
∑ xi
St
n−1
i =1
i =1
n
x=
a0 =
2
∑y
n
(y i − y ) 2
8,5765
0,8622
2,0408
0,3265
0,0051
6,6122
4,2908
22,7143
y i − a 0 − a1x
0,1687
0,5625
0,3473
0,3265
0,5896
0,7972
0,1993
2,9911
48
Bu tablodaki verilerden ve aşağıdaki eşitliklerden
7
7
∑ x i y i = 119,5 ,
n=7 ,
i =1
7
∑y
i =1
i
= 24 ,
y=
7
∑ x i2 = 140 ,
∑x
i =1
i =1
i
= 28 ,
x=
28
=4
7
24
= 3,428571429
7
elde edilen bu değerleri kullanarak doğru denklemi için gerekli katsayılar hesaplanır.
a1 =
7 * 119,5 − 28 * 24
⇒ a 1 = 0,839285714
7 * 140 − ( 28) 2
a 0 = 3,428571429 − 0,839285714 * 4
a 0 = 0,07142857
⇒
ve doğru denklemi aşağıdaki gibi yazılır.
y = 0,07142857 + 0,839285714 x
Bu doğrunun grafiği ve tablo değerleri aşağıdaki şekilden izlenebilir.
6y
5
4
3
2
1
2
Sy =
Sy / x =
22,7143
= 1,9457
7−1
4
x
6
8
( Toplam standart sapma)
2,9911
= 0,7735 ( Standart tahmini hata)
7−2
Sy / x < Sy
olduğundan bu örnek için doğruya yaklaştırma uygun bir seçimdir.
49
5.1.2 Polinoma yaklaştırma metodu
y = a 0 + a1x + a 2 x 2 + L + a m xm + E
Burada E hata veya resüdü
E = y − a 0 − a1x − a 2 x 2 − L − a m x m
n
S r = ∑ ( y − a 0 − a1x − a 2 x 2 − L − a m x m ) 2
i =1
Bu hataların karelerinin toplamı a 0 , a 1 , a 2 , L , a m katsayılarına göre ayrı ayrı türevleri alınırsa
aşağıdaki denklemler elde edilir.
n
∂S r
= −2∑ ( yi − a0 − a1 xi − a2 xi2 − L − am xim ) = 0
∂a0
i =1
n
∂S r
= −2∑ xi ( yi − a0 − a1 xi − a2 xi2 − L − am xim ) = 0
∂a1
i =1
n
∂S r
= −2∑ xi2 ( yi − a0 − a1 xi − a2 xi2 − L − am xim ) = 0
∂a2
i =1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
n
∂Sr
= −2∑ xim ( yi − a0 − a1 xi − a2 xi2 − L − am xim ) = 0
∂am
i =1
Türev işlemi sonunda bulunan bu denklemler sıfıra eşitlenip tekrar düzenlenirse aşağıdaki
denklem sistemi elde edilir.
n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
n
n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
n
n
n
n
n
a 0 n + a 1 ∑ x i + a 2 ∑ x i2 + L + a m ∑ x im = ∑ y i
a 0 ∑ x i + a 1 ∑ x i2 + a 2 ∑ x 3i + L + a m ∑ x im +1 = ∑ x i y i
a 0 ∑ x i2 + a 1 ∑ x 3i + a 2 ∑ x i4 + L + a m ∑ x im + 2 = ∑ x i2 y i
i =1
·
·
·
n
i =1
·
·
·
·
·
·
i =1
·
·
·
n
a 0 ∑ x + a1 ∑ x
i =1
m
i
i =1
i =1
·
·
·
m +1
i
·
·
·
n
+ a2∑x
i =1
·
·
·
m+ 2
i
i =1
·
·
·
·
·
·
n
+L + a m ∑ x
i =1
2m
i
= ∑ x im y i
Bu denklem sisteminden a 0 , a 1 , a 2 ,L, a n çözülür.
50
n
i =1
Sr
n − (m + 1)
Sy / x =
St − Sr
St
r2 =
Standart tahmini hata.
korelasyon (ilişki ,bağlantı) katsayısı
n
S t = ∑ ( y i − y) 2
i =1
Örnek 5.1.2.1
Aşağıdaki tabloda bulunan x i , y i değerlerini 2.dereceden polinoma yaklaştırın.
xi
0
1
2
3
4
5
∑
( y i − y) 2
544,44
314,47
140,03
3,12
239,22
1272,11
2513,39
yi
2,1
7,7
13,6
27,2
40,09
61,1
152,6
( y i − a 0 − a 1 x i − a 2 x i2 )
0,14332
1,00286
1,08158
0,80491
0,61951
0,09439
3,74657
m = 2 , n = 6 , x = 2,5 , y = 25,433 ,
5
∑ x i = 15 ,
i =1
5
5
∑ x i2 = 55 ,
5
∑ x 3i = 225 ,
i =1
∑ x i4 = 979 ,
i =1
i =1
n
n
n
n
i =1
n
i =1
n
i =1
n
i =1
n
i =1
n
i =1
n
i =1
n
i =1
i =1
i =1
i =1
5
5
∑y
i =1
i
= 152,6
∑ x i y i = 585,6 ,
i =1
5
∑x
i =1
2
i
y i = 2488,8
a 0 n + a 1 ∑ x i + a 2 ∑ x i2 = ∑ y i
a 0 ∑ x i + a 1 ∑ x i2 + a 2 ∑ x i3 = ∑ x i y i
a 0 ∑ x i2 + a 1 ∑ x i3 + a 2 ∑ x 4i = ∑ x i2 y i
Yukarıda bulduğumuz a i bilinmiyenlerinin katsayılarını bu denklem sisteminde yerine
konursa aşağıdaki denklem sistemi elde edilir.
6a 0 + 15a 1 + 55a 2 = 152,6
15a 0 + 55a 1 + 225a 2 = 585,6
55a 0 + 225a 1 + 979a 2 = 2488,8
Bu denklem sisteminin çözümünden bulunan
a 0 = 2,47857 ,
a 1 = 2,35929 ,
a 2 = 1,86071
değerleri ile aşağıda çizilen 2. derecen polinom yazılır.
51
y = 2,47857 + 2,35929x + 1,86071x 2
y80
60
40
20
1
2
3
4
5
6
x
3,74657
= 1,12 (Standart tahmini hata)
6−3
2513,39 − 3,74657
r2 =
(kararlılık katsayısı)
2513,39
Sy / x =
r = 0,99925 (Bu sonuç uyumun çok iyi olduğunu gösterir. )
5.1.3 İki değişkenli lineer bağıntılarda tablo değerlerini lineer denkleme
çekmek
Burada doğru denklemi düzlem denklemi haline dönüşür.
y = a 0 + a1 x1 + a 2 x 2 + E
E = y − a 0 − a1 x1 − a 2 x 2
hatasının karelerinin toplamı
n
S r = ∑ ( y i − a 0 − a 1 x 1i − a 2 x 2 i ) 2
i =1
şeklinde yazılır. Bu denklemin aynı şekilde a 0 , a 1 , a 2
türevleri alınıp sıfıra eşitlenirse
n
∂S r
= −2∑ ( yi − a0 − a1 x1i − a2 x2i ) = 0
∂a0
i =1
n
∂S r
= −2∑ x1i ( yi − a0 − a1 x1i − a2 x2i ) = 0
∂a1
i =1
n
∂S r
= −2∑ x2i ( yi − a0 − a1 x1i − a2 x2i ) = 0
∂a2
i =1
52
bilinmiyen katsayılarına göre
denklemleri elde edilir. Bu denklemler sıfıra eşitlenip a katsayılarına göre düzenlenirse 3
bilinmiyenli 3 tane lineer denklem yazılır.
n
n
n
i =1
i =1
i =1
n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
a 0 n + a 1 ∑ x 1i + a 2 ∑ x 2 i = ∑ y i
a 0 ∑ x 1i + a 1 ∑ x 12i + a 2 ∑ x 1i x 2i = ∑ x 1i y i
a 0 ∑ x 2 i + a 1 ∑ x 1i x 2i + a 2 ∑ x 22i = ∑ x 2 i y i
Bu denklem sistemi aşağıdaki gibi matris formunda yazılabilir.
⎡ n
⎧ ∑ yi ⎫
∑ x 1i ∑ x 2i ⎤⎥ ⎧⎪a 0 ⎫⎪
⎢
⎪
⎪
2
∑ x 1i ∑ x 1 i x 2 i ⎥ ⎨ a 1 ⎬ = ⎨ ∑ x 1 i y i ⎬
⎢ ∑ x 1i
⎪ x y ⎪
⎢ ∑ x 2 i ∑ x 1i x 2 i
∑ x 22i ⎥⎦ ⎪⎩a 2 ⎪⎭
⎣
⎩∑ 2i i ⎭
5.1.4 Çok değişkenli lineer bağıntılarda tablo değerlerini lineer denkleme
çekmek
y = a 0 + a1x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + L + am x m + E
denklemindeki E hatasının karelerinin toplamı ve türevleri yukarıdaki gibi düzenlenirse
aşağıdaki matris formundaki denklem sistemini elde ederiz.
⎡ n
⎢
⎢ ∑ x 1i
⎢ ∑ x 2i
⎢
⎢ .
⎢ .
⎢
⎢⎣ ∑ x mi
Sy / x =
∑x
∑x
∑x x
1i
2
1i
2i
∑x
∑x x
∑x
2i
1i
1i
.
.
∑x
mi
2i
2
2i
.
.
x 1i
Sr
n − (m + 1)
∑x
mi
x 2i
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∑x
∑x x
∑x x
⎤
⎥
1i mi ⎥
⎥
2 i mi
⎥
.
⎥
⎥
.
⎥
2
x
∑ mi ⎥⎦
mi
( standart tahmini hata)
53
⎧ ∑ yi ⎫
⎧ a0 ⎫
⎪
⎪
⎪a ⎪
⎪ ∑ x 1i y i ⎪
⎪ 1⎪
⎪⎪ ∑ x 2i y i ⎪⎪
⎪⎪ a 2 ⎪⎪
⎬
⎨ ⎬ = ⎨
.
⎪
⎪
⎪ . ⎪
⎪
⎪
⎪ . ⎪
.
⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪⎩a m ⎪⎭
⎪⎩ ∑ x mi y i ⎪⎭
Örnek 5.1.4.1
Aşağıdaki iki değişkenli tablo değerlerini iki değişkenli lineer denkleme uydurun.
⎡ n
⎢
⎢ ∑ x 1i
⎢∑ x 2i
⎣
y
x1
0
2
2,
1
4
7
∑ 16,5
x2
0
1
2
3
6
2
14
∑x
∑x
∑x x
∑x
∑x x
∑x
1i
5
10
9
0
3
27
54
⎤
⎥
1i 2 i ⎥
2
⎥
2i ⎦
1i
2
1i
2i
2i
x 12
0
4
6,25
1
16
49
76,25
⎧a 0 ⎫
⎪ ⎪
⎨a 1 ⎬ =
⎪a ⎪
⎩ 2⎭
x 22
0
1
4
9
36
4
54
x1x 2
0
2
5
3
24
14
48
x1y
0
20
22,5
0
12
189
243,5
x2y
0
10
18
0
18
54
100
⎧ ∑ yi ⎫
⎪
⎪
⎨ ∑ x 1i y i ⎬
⎪ x y ⎪
⎩∑ 2i i ⎭
16,5 14 ⎤ ⎧a 0 ⎫
⎡ 6
⎧ 54 ⎫
⎢16,5 76,25 48⎥ ⎪ a ⎪ = ⎪ 243,5⎪
⎬
⎨
⎢
⎥ ⎨ 1⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎢⎣ 14
48
54⎥⎦ ⎩a 2 ⎭
⎩ 100 ⎭
Bu denklem sisteminin çözümünden
a0 = 5 ,
a1 = 4 ,
a 2 = −3
elde edilen değerleri ile aşağıdaki denklem yazılır.
y = 5 + 4x 1 − 3x 2
Verilen tablo değerleri ile Bulunan düzlem denkleminin uyumu aşağıdaki grafik üzerinden
izlenebilir.
y
20
6x2
0
4
0
2
2
4
x1
6
8
0
54
5.2 İNTERPOLASYON
5.2.1 Lineer interpolasyon (ara değeri bulma )
f ( x)
f (x 1 )
f 1 (x)
f (x 0 )
x
x0
x
f 1 ( x) − f ( x 0 ) f ( x 1 ) − f ( x 0 )
=
x − x0
x1 − x 0
,
x1
f 1 ( x) = f ( x 0 ) +
f (x1 ) − f (x 0 )
(x − x 0 )
x1 − x 0
Örnek 5.2.1.1
ln 1 = 0
ln 2 = ?
ln 6 = 1,7917595
ln 4 = 1,3862944
( ln 2 = 0,69314718 )
1. Çözüm:
x0 = 1 ,
f 1 ( 2) = 0 +
2. Çözüm:
f 1 ( 2) = 0 +
x1 = 6
1,7917595 − 0
( 2 − 1) ⇒ f 1 ( 2) = 0,35835190 ,
6−1
x0 = 1 ,
x1 = 4
1,3862944 − 0
( 2 − 1) ⇒ f 1 ( 2) = 0,46209813 ,
4−1
f ( x)
ln 2
0,46209813
0,3583519
1
| εt | = 48,3 %
2
x
55
| εt | = 33,3 %
5.2.2 Kuadratik interpolasyon
f 2 ( x) = b 0 + b 1 ( x − x 0 ) + b 2 ( x − x 0 )( x − x 1 )
(3.3.2.2.-1)
f 2 (x) = b 0 + b 1 x − b 1 x 0 + b 2 x 2 + b 2 x 0 x 1 − b 2 x x 0 − b 2 x x 1
(3.3.2.2.-2)
f 2 ( x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2
(3.3.2.2.-3)
a 0 = b 0 − b1x 0 + b 2 x 0 x1
(3.3.2.2.-4)
a1 = b1 − b 2 x 0 − b 2 x1
(3.3.2.2.-5)
a2 = b2
(3.3.2.2.-6)
(3.3.2.2.-1) denkleminde x yerine x 0 yazılırsa
b 0 = f (x 0 )
(3.3.2.2.-7)
elde edilir.
Bu bulunan (3.3.2.2.-7) eşitliği ve x yerine x 1 değişkeni (3.3.2.2.-1) denkleminde yerine
yazılırsa
b1 =
f (x1 ) − f (x 0 )
x1 − x 0
(3.3.2.2.-8)
denklemi bulunur. Bu (3.3.2.2.-8) ve (3.3.2.2.-7) denklemi (3.3.2.2.-1) de yerine konur ve
ayrıca x yerine x 2 yazılırsa aşağıdaki denklem elde edilir.
f (x 2 ) − f (x1 ) f (x1 ) − f (x 0 )
−
x 2 − x1
x1 − x 0
b2 =
x2 − x0
Örnek 5.2.2.1
x0 = 1
f (x 0 ) = 0 ,
x1 = 4
(3.3.2.2.-9)
f ( x 1 ) = 1,3862944 , x 2 = 6
f ( x 2 ) = 1,7917595
f ( 2) = ?
b0 = 0
b1 =
1,3862944 − 0
⇒ b 1 = 0,46209813
4−1
1,7917595 − 1,3862944
− 046209813
6
−
4
⇒ b 2 = −0,051873116
b2 =
6−1
56
f 2 ( x ) = 0 + 0,46209813( x − 1) − 0,051873116( x − 1)( x − 4)
f 2 ( 2) = 0,56584436
εt = 18,4 %
5.3 Newton interpolasyon polinomunun genel formu
n. mertebeden polinom n + 1 adet veri noktaları gerektirir.
f n ( x ) = b 0 + b 1 ( x − x 0 ) + L + b n ( x − x 0 )( x − x 1 )L ( x − x n −1 )
b 0 = f (x 0 )
b 1 = f [x 1 , x 0 ]
b 2 = f [x 2 , x 1 , x 0 ]
·
·
·
b n = f [ x n , x n −1 , L , x 1 , x 0 ]
Burada
f [x i , x j ] =
f (x i ) − f (x j )
xi − x j
f [x i , x j , x k ] =
f [x i , x j ] − f [x j , x k ]
xi − xk
f [ x n , x n −1 , L , x 1 , x 0 ] =
f [ x n , x n −1 , L , x 1 ] − f [ x n −1 , x n − 2 , L , x 0 ]
xn − x0
f n ( x ) = f ( x 0 ) + ( x − x 0 ) f [x 1 , x 0 ] + ( x − x 0 )( x − x 1 ) f [x 2 , x 1 , x 0 ]
+ L + ( x − x 0 )( x − x 1 )L( x − x n −1 ) f [x n , x n −1 , L , x 0 ]
Örnek 5.3.1
x0 = 1
x1 = 4
x2 = 6
x3 = 5
f ( x 0 ) = ln 1 = 0
f ( x 1 ) = ln 4 = 1,3862944
f ( x 3 ) = ln 5 = 1,6094379
f ( x 2 ) = ln 6 = 1,7917595
3. dereceden polinom n = 3
f 3 ( x ) = b 0 + b1 ( x − x 0 ) + b 2 ( x − x 0 )( x − x 1 ) + b 3 ( x − x 0 )( x − x 1 )( x − x 2 )
57
b 0 = f ( x 0 ) = ln 1 ⇒ b 0 = 0
1,3862944 − 0
⇒ b1 = 0,46209813
b1 = f [ x 1 , x 0 ] =
4 −1
f [x 2 , x1 ] =
1,7917595 − 1,3862944
= 0,20273255
6−4
1,6094379 − 1,7917595
= 0,18232160
5−6
0,20273255 − 0,46209813
⇒ b 2 = −0,051873116
b 2 = f [x 2 , x 1 , x 0 ] =
6 −1
f [x 3 , x 2 ] =
f [x 3 , x 2 , x 1 ] =
0,18232160 − 0,20273255
= −0,020410950
5−4
b 3 = f [x 3 , x 2 , x 1 , x 0 ] =
− 0,020410950 − (−0,051873116)
⇒ b 3 = 0,0078655415
5 −1
f 3 ( x ) = 0 + 0,46209813( x − 1) − 0,051873116( x − 1)( x − 4) + 0,0078655415( x − 1)( x − 4)( x − 6)
f 3 (2) = 0,62876869
ε t = 9,3%
5.4 İnterpolasyon polinomlarının katsayılarını bulmak için diğer bir yöntem
f ( x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + L + a n x n
Bu polinomdaki a 0 , a 1 , a 2 , L , a n
noktası gerekir.
n+1
tane katsayıyı bulmak için n + 1 tane veri
Örnek olarak n = 2 için 3 bilinmiyenli denklem elde edilir. Bu gereken veri noktaları
[x 0 , f ( x 0 )]
,
[x 1 , f ( x 1 )]
,
[x 2 , f ( x 2 )]
şeklindedir.Bunlar f ( x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2
denklem sistemi elde edilir.
denkleminde yerine ayrı ayrı konursa aşağıdaki
f ( x 0 ) = a 0 + a 1 x 0 + a 2 x 02
f ( x 1 ) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 12
f ( x 2 ) = a 0 + a 1 x 2 + a 2 x 22
Bu denklem sisteminden bilinmiyen a 0 , a 1 , a 2 katsayıları bulunur.
58
Örnek 5.4.1
x0 = 1
ln x
f (x 0 ) = 0 ,
x1 = 4
f ( x 1 ) = 1,38629 ,
x2 = 6
f ( x 2 ) = 1,79176
0 = a 0 + a1 + a 2
1,38629 = a 0 + 4a 1 + 16a 2
1,79176 = a 0 + 6a 1 + 36a 2
Bu denklem sisteminin çözümünden
a 0 = −0,669586 , a 1 = 0,721458
,
a 2 = −0,0518723
f ( x) = −0,6696 + 0,72146 x − 0,0518723 x 2
x=2
f ( x) = 0,5658
( ln 2 = 0,69315 )
f(x)
ln (x)
2
1.5
f(x)
1
0.5
2
4
6
8
x
10
5.5 Lagrange interpolasyon formülü
Newton interpolasyon formülünün daha kullanışli hale getirilmiş şeklidir. Burada bölünmüş
farkların hesabına gerek kalmaz.
n
f n ( x) = ∑ L i ( x) f ( x i )
i =1
n
Burada L i ( x) = ∏
j= 0
j≠ i
x − xj
xi − x j
Birinci dereceden ( n = 1 için ) Lagrange interpolasyon polinomu :
59
f 1 ( x) = L 0 ( x) f ( x 0 ) + L 1 ( x) f ( x 1 )
1
x − xj
x − x1
⇒
L 0 ( x) =
L 0 (x) = ∏
x 0 − x1
j= 0 x0 − x j
j≠ 0
1
L 1 ( x) = ∏
j= 0
j≠ 1
f 1 ( x) =
x − xj
⇒
x1 − x j
L 1 ( x) =
x − x0
x1 − x 0
x − x0
x − x1
f (x1 )
f (x 0 ) +
x1 − x 0
x 0 − x1
İkinci dereceden n = 2 için Lagrange interpolasyon polinomu :
f 2 ( x) = L 0 ( x) f ( x 0 ) + L 1 ( x) f ( x 1 ) + L 2 ( x) f ( x 2 )
2
L 0 (x) = ∏
j= 0
j≠ 0
2
L 1 ( x) = ∏
j= 0
j≠ 1
2
L 2 ( x) = ∏
j= 0
j≠ 2
f 2 ( x) =
x − xj
x0 − x j
x − xj
x1 − x j
x − xj
x2 − xj
⇒
L 0 ( x) =
x − x1 x − x 2
x 0 − x1 x 0 − x 2
⇒
L 1 ( x) =
x − x0 x − x2
x1 − x 0 x1 − x 2
⇒
L 2 ( x) =
x − x 0 x − x1
x 2 − x 0 x 2 − x1
x − x 0 x − x1
x − x0 x − x2
x − x1 x − x 2
f (x 2 )
f (x1 ) +
f (x 0 ) +
x 2 − x 0 x 2 − x1
x1 − x 0 x1 − x 2
x 0 − x1 x 0 − x 2
Üçüncü dereceden n = 3 için Lagrange interpolasyon polinomu :
f 3 ( x) = L 0 ( x) f ( x 0 ) + L 1 ( x) f ( x 1 ) + L 2 ( x) f ( x 2 ) + L 3 ( x) f ( x 3 )
3
L 0 (x) = ∏
j= 0
j≠ 0
3
L 1 ( x) = ∏
j= 0
j≠ 1
3
L 2 ( x) = ∏
j= 0
j≠ 2
3
L 3 ( x) = ∏
j= 0
j≠ 3
x − xj
x0 − x j
x − xj
x1 − x j
x − xj
x2 − xj
x − xj
x3 − xj
⇒
L 0 (x) =
x − x1 x − x 2 x − x 3
x 0 − x1 x 0 − x 2 x 0 − x 3
⇒
L 1 ( x) =
x − x0 x − x2 x − x3
x1 − x 0 x1 − x 2 x1 − x 3
⇒
L 2 ( x) =
x − x 0 x − x1 x − x 3
x 2 − x 0 x 2 − x1 x 2 − x 3
⇒
L 3 ( x) =
x − x 0 x − x1 x − x 2
x 3 − x 0 x 3 − x1 x 3 − x 2
60
f 3 ( x) =
x − x0 x − x2 x − x3
x − x1 x − x 2 x − x 3
f (x1 )
f (x 0 ) +
x1 − x 0 x1 − x 2 x1 − x 3
x 0 − x1 x 0 − x 2 x 0 − x 3
+
x − x 0 x − x1 x − x 2
x − x 0 x − x1 x − x 3
f (x 3 )
f (x 2 ) +
x 3 − x 0 x 3 − x1 x 3 − x 2
x 2 − x 0 x 2 − x1 x 2 − x 3
Lagrange interpolasyon polinomunun Newton interpolasyon polinomundan çıkarılışı.
f 1 ( x ) = f ( x 0 ) + ( x − x 0 ) f [x 1 , x 0 ]
f [x 1 , x 0 ] =
f (x1 ) − f (x 0 )
f (x 0 )
f (x1 )
=
+
x1 − x 0
x1 − x 0 x 0 − x1
f 1 ( x) = f ( x 0 ) +
f 1 ( x) =
x − x0
x − x0
f (x 0 )
f (x1 ) +
x 0 − x1
x1 − x 0
x − x0
x − x1
f (x1 )
f (x 0 ) +
x1 − x 0
x 0 − x1
Örnek 5.5.1
ln x
x0 = 1
f (x 0 ) = 0 ,
x1 = 4
f ( x 1 ) = 1,38629 ,
x2 = 6
f ( x 2 ) = 1,79176
Birinci dereceden Lagrange polinomu için çözüm:
x − x0
x − x1
f (x1 )
f (x 0 ) +
x1 − x 0
x 0 − x1
x−4
x −1
f1 ( x) =
*0 +
*1,3862944
1− 4
4 −1
f 1 ( x) =
f 1 ( 2) =
2−1
2−4
* 1,3862944
*0+
4−1
1− 4
f 1 ( 2) = 0,4620981
⇒
İkinci dereceden Lagrange polinomu için çözüm:
x − x 0 x − x1
x − x0 x − x2
x − x1 x − x 2
f (x 2 )
f (x1 ) +
f (x 0 ) +
x 2 − x 0 x 2 − x1
x1 − x 0 x1 − x 2
x 0 − x1 x 0 − x 2
x−4 x−6
x −1 x − 6
x −1 x − 4
f 2 ( x) =
*0 +
*1,3862944 +
*1, 7917595
1− 4 1− 6
4 −1 4 − 6
6 −1 6 − 4
f 2 ( x) =
f 2 ( x) =
2−1 2−4
2−1 2−6
2−4 2−6
* 1,7917595 ⇒ f 2 ( x ) = 0,565844
* 1,3862944 +
*0+
6−1 6−4
4−1 4−6
1− 4 1− 6
61
6 SAYISAL İNTEGRAL
f(x)
b
I = ∫ f ( x ) dx
a
a
b
6.1 NEWTON-KOT İNTEGRAL FORMÜLÜ
b
b
a
a
I = ∫ f ( x ) dx ≅ ∫ f n ( x ) dx
f n ( x ) = a 0 + a 1 x + L + a n −1 x n −1 + a n x n
6.2 Trapez (yamuk ) kuralı
f(x)
f(b)
f(a)
a
b
b
b
a
a
I = ∫ f ( x ) dx ≅ ∫ f 1 ( x ) dx
f 1 ( x ) = f (a ) +
f ( b ) − f (a )
( x − a)
b−a
62
x
x
b
I ≅ ∫ [f (a) +
a
f (b ) − f (a )
( x − a )] dx
b−a
f (b ) − f (a ) x 2
f (b ) − f ( a )
ax+
I ≅ [f (a )x −
b−a
2
b−a
I ≅ f (a )b −
b
]
a
f (b ) − f ( a ) b 2
f ( b ) − f (a ) a 2
f (b ) − f (a )
f ( b ) − f (a )
ab+
aa−
− f (a )a +
b−a
2
b−a
2
b−a
b−a
I ≅ f (a )b − f (a )a +
f (a )[ab + ( −a 2 − b 2 ) / 2] − f (b )[ab + ( −a 2 − b 2 ) / 2]
b−a
(b − a) 2 [f (b ) − f (a)]
I ≅ f (a ) ( b − a ) +
2(b − a)
(b − a)[f (b ) − f (a)]
2
2f (a)(b − a) + (b − a)[f (b ) − f (a)]
I≅
2
I ≅ f (a )(b − a) +
I ≅ (b − a )
f (a ) + f ( b )
2
6.2.1 İntegral bölgesinin n eşit parçaya bölünerek yamuk kuralının
uygulanışı:
I=
x1
x2
xn
x0
x1
xn −1
∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx + L + ∫ f (x)dx
n+1
Burada ( x 0 , x 1 , x 2 , L , x n )
h=
b−a
n
I≅h
adet noktadır.
Parçaların genişliğidir.
f (x 0 ) + f (x1 )
f ( x n −1 ) + f ( x n )
f (x1 ) + f (x 2 )
+h
+L+ h
2
2
2
n −1
h
I ≅ [f ( x 0 ) + 2 f ( x i ) + f ( x n )]
2
i =1
∑
f (x 0 ) + 2
I = (b − a )
n −1
∑ f (x ) + f (x
i
n)
i =1
2n
63
Et = −
(b − a ) 3
12n 3
n
f ′′(ξ i )
∑
i =1
n
∑ f ′′(ξ )
i
f ′′ ≅
i =1
n
Burada f ′′ ikinci türevin bütün bölge içinde ortalama değeridir.
Böylece yaklaşık hata aşağıdaki gibi yazılabilir.
Ea = −
(b − a ) 3
12n 2
f ′′
Örnek 6.2.1.1
f ( x ) = 0,2 + 25x − 200x 2 + 675x 3 − 900x 4 + 400x 5
0,8
I=
∫ f (x) dx
0
Bu integral analitik olarak çözülürse I=1,64053334
bulunur.
Burada a = 0 , b = 0,8 dır.
0,8 − 0
= 0,1
8
x 6 = 0,6 x 7 = 0,7
n = 8 için h =
ve x 0 = 0
x 5 = 0,5
x 8 = 0,8
f (x 0 ) + 2
f (0) = 0,2
x 3 = 0,3
x 4 = 0,4
değerleri aşağıdaki formülde yerine konursa
n −1
∑ f (x ) + f (x
i
n)
2n
f (0) + 2 [ f (0,1) + f (0,2) + f (0,3) + f (0,4) + f (0,5) + f (0,6) + f (0,7 ) ] + f (0,8)
2*8
f (0,1) = 1,289
f (0,5) = 3,325
I ≅ 0,8
x 2 = 0, 2
i =1
I ≅ (b − a )
I ≅ (0,8 − 0)
x 1 = 0,1
f (0,2) = 1,288
f (0,3) = 1,607
f (0,6) = 3,464 f (0,7) = 2,363
f (0,4) = 2,456
f (0,8) = 0,232
0,2 + 2 [1,289 + 1,288 + 1,607 + 2,456 + 3,325 + 3,464 + 2,363 ] + 0,232
16
I ≅ 1,6008
E t = 1,64053334 − 1,6008 ⇒ E t = 0,03973334
64
εt =
1,64053334 − 1,6008
* 100 ⇒ ε t = 2,42 %
1,64053334
Ea = −
(b − a ) 3
12n 2
f ′′
b
f ′′ =
∫a f ′′(x) dx
b−a
f ′( x ) = 25 − 400x + 2025x 2 − 3600x 3 + 2000x 4
f ′′( x ) = −400 + 4050x − 10800x 2 + 8000x 3
0,8
∫0
0,8
f ′′( x )dx =
∫0 ( − 400 + 4050x − 10800x
2
+ 8000x 3 ) dx
0,8
∫ f ′′(x)dx = −400 * 0,8 + 4050 * (0,8)
2
/ 2 − 10800 * (0,8) 3 / 3 + 8000 * (0,8) 4 / 4
0
0,8
∫
f ′′( x )dx = −48
f ′′ = −60
Ea = −
0
Ea = −
εa =
(0,8) 3
12 * 8 2
( −60) ⇒ E a = 0,04
Ea
* 100 ⇒ ε a = 2,499 %
1,6008
65
(b − a ) 3
12n 2
f ′′
6.3 Simpson’un 1/3 kuralı
Buradaki 1/3 , h üçe bölündüğü içindir.
b
b
∫
∫
I = f ( x ) dx ≅ f 2 ( x ) dx
a
a
b+a
ve f 2 ( x)
2
polinomu alınırsa integral aşağıdaki şekle gelir.
Eğer x 0 = a
x1
∫
I≅ [
x0
x2 = b
x1 =
yerine ikinci dereceden Lagrange
( x − x 0 )( x − x 2 )
( x − x 0 )( x − x 1 )
( x − x 1 )( x − x 2 )
f (x 0 ) +
f (x1 ) +
f ( x 2 ) ] dx
( x 0 − x 1 )( x 0 − x 2 )
( x 1 − x 0 )( x 1 − x 2 )
( x 2 − x 0 )( x 2 − x 1 )
Bu ıntegral işlemi sonucunda elde edilen ifadede gereken kısaltmalar yapıldıktan sonra
integral formülü aşağıdaki şekli alır.
I≅
h
[f ( x 0 ) + 4f ( x 1 ) + f ( x 2 )]
3
Eğer (a , b ) aralığı n eşit parçaya bölünürse
I=
x2
x4
0
2
xn
∫x f (x)dx + x∫ f (x)dx + L + x ∫ f (x)dx
f (x 0 ) + 4
I ≅ (b − a )
n− 2
n −1
∑
f (x i ) + 2
i = 1, 3 , 5
n−2
∑ f (x ) + f (x
j
j= 2 , 4 , 6
3n
formülü bulunur.
66
n)
Örnek 6.3.1
f ( x ) = 0,2 + 25x − 200x 2 + 675x 3 − 900x 4 + 400x 5
0,8
I=
∫0 f (x) dx
Bu integral analitik olarak çözülürse I=1,64053334
bulunur.
Burada a = 0 , b = 0,8 dır.
0,8 − 0
= 0,1
8
x 6 = 0,6 x 7 = 0,7
n = 8 için h =
ve x 0 = 0
x 5 = 0,5
x 8 = 0,8
f (x 0 ) + 4
f (0) = 0,2
x 3 = 0,3
x 4 = 0,4
değerleri aşağıdaki formülde yerine konursa
n−2
∑ f (x ) + f (x
j
n)
j= 2 , 4 , 6
f (0) + 4 [ f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7)] + 2[f (0,2) + f (0,4) + f (0,6) ] + f (0,8)
3*8
f (0,1) = 1,289
f (0,2) = 1,288
f (0,3) = 1,607
f (0,6) = 3,464 f (0,7 ) = 2,363
f (0,4) = 2,456
f (0,8) = 0,232
0,2 + 4 [1,289 + 1,607 + 3,325 + 2,363 ] + 2[1,288 + 2,456 + 3,464] + 0,232
24
I ≅ 1,6428
E t = 1,64053334 − 1,6428 ⇒ E t = −0,00226666
εt =
x 2 = 0,2
3n
f (0,5) = 3,325
I ≅ 0,8
∑
f (x i ) + 2
i = 1, 3 , 5
I ≅ (b − a )
I ≅ (0,8 − 0)
n −1
x 1 = 0,1
1,64053334 − 1,6428
* 100 ⇒ | ε t |= 0,138 %
1,64053334
67
6.4 IMPROPER İNTEGRAL (Sınırları sonsuz olan integral)
b
1/ a
a
t2
1/ b
1
∫ f (x)dx = ∫
f (1 / t ) dt
b
−A
b
−∞
−∞
−A
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
x=
1
t
dx = −
⇒
b
1
t
2
x = −A
dt ,
0
⇒
t=−
1
A
,
x = −∞
⇒
t=−
1
=0
∞
⇒
t=−
1
A
,
x = −∞
⇒
t=−
1
=0
∞
1
A
,
x = −∞
⇒
t=−
1
=0
∞
b
∫ f (x)dx = 1∫/ A f (x)dx + ∫Af (x)dx
−∞
−
−
∞
−A
B
∞
−∞
−∞
−A
B
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
x=
1
t
dx = −
⇒
∞
0
1
∫ f (x)dx = ∫
t
−1 / A
−∞
2
1
t
2
x = −A
dt ,
B
f (1 / t )dt +
1/ B
∫ f (x)dx + ∫
−A
0
1
t2
f (1 / t )dt
Örnek 6.4.1
x
N( x ) =
∫
−∞
1
2π
e −x
2
/2
dx
N(1) = ?
N(1) =
x=
1
t
1
2π
⇒
−2
(
∫e
− x2 / 2
−∞
dx = −
1
dx +
∫e
− x2 / 2
dx )
−2
1
t
2
dt ,
x = −A
⇒
68
t=−
−2
∫
e −x
2
0
/2
dx =
−∞
1
∫e
∫
−1 / 2
− x2 / 2
1
t2
2
e −1 / 2t dt ≅ 0,0556
dx ≅ 2,0523
−2
1
N(1) =
2π
(0,0556 + 2,0523) ⇒ N(1) = 0,8409
7 SAYISAL TÜREV
Türevin tanımı:
f(x)
f (x 2 )
f (x 1 )
x1
f ′( x ) =
x
x2
f (x 2 ) − f (x1 )
df ( x )
= Lim ( x 2 − x1 ) → 0
dx
x 2 − x1
Bir fonksiyonun Taylor serisine açılımından faydalanılarak aşağıdaki bağıntı yazılabilir.
f ′′( x i ) 2
h +L
2
Buradan f ′( x i ) çözülebilir.
f ( x i + 1 ) = f ( x i ) + f ′( x i )h +
f ′( x i ) =
h = x i +1 − x i
f ( x i +1 ) − f ( x i ) f ′′( x i )
−
h + O (h 2 )
h
2
f ( x i +1 ) − f ( x i )
+ O (h )
h
Şeklinde yazılabilir. Veya
f ′( x i ) =
69
f ′′( x i ) =
f ( x i + 2 ) − 2f ( x i +1 ) + f ( x i )
+ O (h )
h2
bu ikinci türev formülü ile birlikte aşağıdaki gibi oluşturulabilir.
f ′( x i ) =
f ( x i +1 ) − f ( x i ) f ( x i + 2 ) − 2f ( x i + 1 ) + f ( x i )
−
h + O (h 2 )
2
h
2h
f ′( x i ) =
− f ( x i + 2 ) + 4f ( x i +1 ) − 3f ( x i )
+ O (h 2 )
2h
7.1 İLERİ DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER
Birinci mertebeden türev:
f ′( x i ) =
f ( x i +1 ) − f ( x i )
h
f ′( x i ) =
− f ( x i + 2 ) + 4f ( x i +1 ) − 3f ( x i )
2h
İkinci mertebeden türev:
f ′′( x i ) =
f ( x i + 2 ) − 2f ( x i +1 ) + f ( x i )
h2
f ′′( x i ) =
− f ( x i + 3 ) + 4f ( x i + 2 ) − 5f ( x i + 1 ) + 2f ( x i )
h2
Üçüncü mertebeden türev:
f ′′′( x i ) =
f ( x i + 3 ) − 3f ( x i + 2 ) + 3f ( x i +1 ) − f ( x i )
h3
f ′′′( x i ) =
− 3f ( x i + 4 ) + 14f ( x i + 3 ) − 24f ( x i + 2 ) + 18f ( x i + 1 ) − 5f ( x i )
2h 3
Dördüncü mertebeden türev:
f ( 4) (x i ) =
f ( x i + 4 ) − 4f ( x i + 3 ) + 6f ( x i + 2 ) − 4f ( x i +1 ) + f ( x i )
h4
f ( 4) (x i ) =
− 2f ( x i + 5 ) + 11f ( x i + 4 ) − 24f ( x i + 3 ) + 26f ( x i + 2 ) − 14f ( x i + 1 ) + 3f ( x i )
h4
70
7.2 GERİYE DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER
Birinci mertebeden türev:
f ′( x i ) =
f ( x i ) − f ( x i −1 )
h
f ′( x i ) =
3f ( x i ) − 4f ( x i −1 ) + f ( x i − 2 )
2h
İkinci mertebeden türev:
f ′′( x i ) =
f ( x i ) − 2f ( x i −1 ) + f ( x i − 2 )
h2
f ′′( x i ) =
2f ( x i ) − 5f ( x i −1 ) + 4f ( x i − 2 ) − f ( x i − 3 )
h2
Üçüncü mertebeden türev:
f ( x i ) − 3f ( x i −1 ) + 3f ( x i − 2 ) − f ( x i − 3 )
h3
5f ( x i ) − 18f ( x i −1 ) + 24f ( x i − 2 ) − 14f ( x i − 3 ) + 3f ( x i − 4 )
f ′′′( x i ) =
2h 3
Dördüncü mertebeden türev:
f ′′′( x i ) =
f ( 4) (x i ) =
f ( x i ) − 4f ( x i −1 ) + 6f ( x i − 2 ) − 4f ( x i − 3 ) + f ( x i − 4 )
h4
f ( 4) (x i ) =
3f ( x i ) − 14f ( x i −1 ) + 26f ( x i − 2 ) − 24f ( x i − 3 ) + 11f ( x i − 4 ) − 2f ( x i − 5 )
h4
7.3 MERKEZİ FARKLAR METODU İLE TÜREVLER
Birinci mertebeden türev:
f ′( x i ) =
f ( x i + 1 ) − f ( x i −1 )
2h
f ′( x i ) =
− f ( x i + 2 ) + 8f ( x i +1 ) − 8f ( x i −1 ) + f ( x i − 2 )
12h
İkinci mertebeden türev:
f ( x i +1 ) − 2f ( x i ) + f ( x i −1 )
h2
− f ( x i + 2 ) + 16f ( x i +1 ) − 30f ( x i ) + 16f ( x i −1 ) − f ( x i − 2 )
f ′′( x i ) =
12h 2
f ′′( x i ) =
Üçüncü mertebeden türev:
f ′′′( x i ) =
f ( x i + 2 ) − 2f ( x i +1 ) + 2f ( x i −1 ) − f ( x i − 2 )
2h 3
f ′′′( x i ) =
− f ( x i + 3 ) + 8f ( x i + 2 ) − 13f ( x i + 1 ) + 13f ( x i −1 ) − 8f ( x i − 2 ) + f ( x i − 3 )
8h 3
71
Dördüncü mertebeden türev:
f ( 4) (x i ) =
f ( x i + 2 ) − 4f ( x i +1 ) + 6f ( x i ) − 4f ( x i −1 ) + f ( x i − 2 )
h4
f ( 4) (x i ) =
− f ( x i + 3 ) + 12f ( x i + 2 ) − 39f ( x i + 1 ) + 56f ( x i ) − 39f ( x i −1 ) + 12f ( x i − 2 ) − f ( x i − 3 )
6h 4
Örnek 7.3.1
f ( x) = ln x
Analitik çözüm:
1
f ′( x ) =
x
Sayısal çözüm:
f ′( 5 ) = ?
f ′′( x) = −
1
x2
f ′′(5) = ?
f ′(5) = 0,2
f ′′(5) = −0,04
f ′( 5 ) =
ln( 5 + 0,01) − ln( 5) 1,6114435915 − 1,609437912
=
5,01 − 5
0,01
f ′′(5) =
ln( 5,02) − 2 ln( 5,01) + ln( 5) 1,613429934 − 2 * 1,611435915 + 1,609437912
=
0,0001
(0,01) 2
f ′′(5) = −0, 0398405
72
⇒
f ′(5) = 0,199800266
8 ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER
y = −0,5x 4 + 4 x 3 − 10x 2 + 8,5x + 1
Şeklinde verilen denklem aşağıdaki diferansiyel denklemin gösterdiği eğrilerden sadece birisidir.
dy
= −2x 3 + 12x 2 − 20x + 8,5
dx
y = ∫ [−2x 3 + 12x 2 − 20x + 8,5] dx
integralinin sonucu aşağıda gibi bir eğri ailesini gösterir.
y = −0,5x 4 + 4 x 3 − 10x 2 + 8,5x + C
y
6
c=3
4
c=2
c=1
c= 0
c=-1
c = -2
2
1
2
3
4
x
-2
Bu durumda tek bir eğrinin belirli olması için C integral sabitinin hesaplanabileceği koşulların
verilmesi gerekir.
Diferansiyel denklemlerin sayısal çözümünde geliştirilen yöntemlerden bazıları aşağıda
verilmiştir.
8.1 EULER METODU
y
dy
= f ( x , y)
dx
y i +1 = y + f ( x i , y i )h
yi+1
hata
yeni değer = eski değer + eğim * adım
yi
h
x
xi
73
xi+1
Örnek 8.1.1
dy
y
=−
dx
x
y(4) = 0,75
Analitik çözüm:
x
dy
dx
=
−
∫ y ∫C x ⇒
y(7) = ?
ln y = −(ln x − ln c)
y(4) = 0,75 koşulunu kullanırsak
ve böylece y =
0,75 =
c
4
⇒
ln y = ln
c
x
⇒
y=
c
x
⇒ c=3
3
3
bulunur. Buradan y(7) = = 0,4285714
x
7
Sayısal çözüm:
y i +1 = y + f ( x i , y i )h
y
f (x i , y i ) = − i
xi
ve h = 1 alınırsa
y(5) = y(4) + (- y(4) / 4 ) *1 = 0,75 –(0,75/4)
⇒
y(6) = y(5) + (- y(5) / 5 ) *1 = 0,5625 –(0,5625/5)
y(7) = y(6) + (- y(6) /64 ) *1 = 0,45 –(0,45/6)
εt =
y(5) = 0,5625
⇒
⇒
y(6) = 0,45
y(7) = 0,375
0,42857 − 0,375
100 % = 12,5 %
0,42857
8.1.1 İyileştirilmiş Euler metodu
y i +1 / 2 = y i + f ( x i , y i )
h
2
yi +1 = yi + f ( xi +1/ 2 , yi +1/ 2 )h
Örnek 8.1.1.1
Yukarıdaki örnek iyileştirilmiş Euler yöntemi ile çözülürse
Yine aynı şekilde h = 1 alınırsa
y(4,5) = y(4) + (- y(4) / 4 ) *0,5 = 0,75 –(0,75/4) * 0,5
y(5) = y(4) + (- y(4,5) / 4,5 ) *1 = 0,75 –(0,65625/4,5)*1
⇒
⇒
y(4,5) = 0,65625
y(5) = 0,6041666667
y(5,5) = y(5) + (- y(5) / 5 ) *0,5 = 0,6041667 –(0,6041667/5) * 0,5
y(6) = y(5) + (- y(5,5) / 5,5 ) *1 = 0,6041667 –(0,54375/5,5) *1
74
⇒
⇒
y(5,5) = 0,54375
y(6) = 0,505303
y(6,5) = y(6) + (- y(6) / 6 ) *0,5 = 0,505303 –(0,505303/6) * 0,5
⇒
y(6,5) = 0,4631944
y(7) = y(6) + (- y(6,5) / 6,5 ) *1 = 0,505303 –(0,4631944/6,5) *1
⇒
y(7) = 0,434042
εt =
0,4285714 − 0,434142
100 %
0,4285714
ε t = 1,28 %
8.2 HEUN METODU
Bu metotta Euler metodundaki i inci noktadaki türev yerine i ve (i+1 ) inci noktadaki
türevlerin aritmetik ortalaması alınır.
y ′i + y ′i +1 f ( x i , y i ) + f ( x i +1 , y i0+1 )
y′ =
=
2
2
y i0+1 = y i + f ( x i , y i )h
y i +1 = y i +
f ( x i , y i ) + f ( x i +1 , y i0+1 )
h
2
Örnek 8.2.1
dy
y
=−
dx
x
y(4) = 0,75
y(7) = ?
( analitik çözümde y(7) =
h = 1 alınırsa
y
y 50 = y 4 + (− 4 ) * 1 = 0,5625
4
y0
y
(− 4 ) + (− 5 )
4
5 * h ⇒ y = 0,6
y5 = y4 +
5
2
y
y 06 = y 5 + (− 5 ) * 1 = 0,48
5
y
y0
(− 5 ) + (− 6 )
5
6 * h ⇒ y = 0,5
y6 = y5 +
6
2
y
y 07 = y 6 + (− 6 ) * 1 = 0,4166667
6
y
y0
(− 6 ) + (− 7 )
6
7 * h ⇒ y = 0,4285714286
y7 = y6 +
7
2
εt = 0 %
75
3
= 0,4285714 )
7
8.3 RUNGE-KUTTA METODU
Runge-Kutta metodu, Taylor serileri ile yaklaşımdaki hassasiyeti, yüksek mertebeden türevlere
ihtiyaç duymadan yakalayabildiğinden, yüksek hassasiyetin arandığı durumlarda tercih edilir.
Runge-Kutta metodu aşağıdaki formda yazılabilir.
yi +1 = yi + φ ( xi , yi , h)h
Burada
φ ( xi , yi , h) fonksiyonuna artım fonksiyonu denir.Bu söz konusu aralıktaki eğimi gösterir.
Artım fonksiyonu genel formda aşağıdaki gibi yazılabilir.
φ = a1k1 + a2 k2 + ⋅⋅⋅ + an kn
Burada a lar sabit k lar ise aşağıdaki gibidir.
k1 = f ( xi , yi )
k2 = f ( xi + p1h, yi + q11k1h)
k3 = f ( xi + p2 h, yi + q21k1h + q22 k2 h)
.
.
.
kn = f ( xi + pn −1h, yi + qn −1,1k1h + qn −1,2 k2 h + ⋅⋅⋅ + qn −1,n −1kn −1h)
Burada p ve q lar sabitlerdir.
8.3.1. İkinci dereceden Runge-Kutta metodu
yi +1 = yi + (a1k1 + a2 k2 )h
k1 = f ( xi , yi )
k2 = f ( xi + p1h, yi + q11k1h)
yi +1 için yi ve f ( xi , yi ) terimleri ile ikinci mertebeden Taylor serisi yazılırsa
f ′( xi , yi ) 2
yi +1 = yi + f ( xi , yi )h +
h
2!
Burada f ′( xi , yi ) zincir kuralı ile belirlenmelidir.
∂f ( x, y ) ∂f ( x, y ) dy
+
f ′( xi , yi ) =
∂x
∂y dx
Bu ikinci türev Taylor formülünde yerine yazılırsa
⎛ ∂f ∂f dy ⎞ h 2
yi +1 = yi + f ( xi , yi )h + ⎜ +
⎟
⎝ ∂x ∂y dx ⎠ 2!
(2)
İki değişkenli fonksiyonlarda Taylor serisi
∂g
∂g
+s
+ ⋅⋅⋅
g ( x + r , y + s ) = g ( x, y ) + r
∂x
∂y
Bu formül yukarıdaki iki değişkenli fonksiyon içeren k2 eşitliği için uygulanırsa
∂f
∂f
k2 = f ( xi + p1h, yi + q11k1h) = f ( xi , yi ) + p1h + q11k1h + O(h 2 )
∂x
∂y
Bu k2 eşitliği k1 = f ( xi , yi ) eşitliği ile birlikte ilk yi +1 de yerine yazılırsa
76
yi +1 = yi + a1h f ( xi , yi ) + a2 h f ( xi , yi ) + a2 p1h 2
ve terimler bir araya toplanırsa
yi +1 = yi + [a1 f ( xi , yi ) + a2 f ( xi , yi )]h + [a2 p1
Bu denklem 2 denklemiyle
∂f
∂f
+ a2 q11h 2 f ( xi , yi ) + O(h3 )
∂x
∂y
∂f
∂f
+ a2 q11 f ( xi , yi ) ]h 2 + O(h3 )
∂x
∂y
dy
= f ( x, y ) olduğu göz önüne alınarak karşılaştırılırsa
dx
a1 + a2 = 1
1
a2 p1 =
2
1
a2 q11 =
2
bulunur. Burada 3 denklem 4 bilinmeyen olduğundan çok sayıda çözüm elde edilebilir.
Tek düzeltme katsayılı Heun yöntemi ( a2 = 1/ 2 )
a2 = 1/ 2 , a1 = 1/ 2 , p1 = q11 = 1
Bu parametreler yerine konursa
1
1
yi +1 = yi + ( k1 + k2 )h
2
2
k1 = f ( xi , yi )
k2 = f ( xi + h, yi + k1h)
Orta nokta metodu ( a2 = 1 )
a2 = 1 , a1 = 0 , p1 = q11 =
1
2
yi +1 = yi + k2 h
k1 = f ( xi , yi )
1
1
k2 = f ( xi + h, yi + k1h)
2
2
Ralston yöntemi ( a2 = 2 / 3 )
2
1
3
a2 = , a1 = , p1 = q11 =
3
3
4
1
2
yi +1 = yi + ( k1 + k2 )h
3
3
k1 = f ( xi , yi )
3
3
k2 = f ( xi + h, yi + k1h)
4
4
8.3.2. Üçüncü dereceden Runge-Kutta metodu
1
yi +1 = yi + (k1 + 4k2 + k3 )h
6
k1 = f ( xi , yi )
1
1
k2 = f ( xi + h, yi + k1h)
2
2
k3 = f ( xi + h, yi − k1h + k2 h)
77
8.3.3. Dördüncü dereceden Runge-Kutta metodu
1
yi +1 = yi + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )h
6
k1 = f ( xi , yi )
1
1
k2 = f ( xi + h, yi + k1h)
2
2
1
1
k3 = f ( xi + h, yi + k2 h)
2
2
k4 = f ( xi + h, yi + k3 h)
Örnek 8.3.3.1
dy
= 4e0.8 x − 0.5 y , y0 = 2 , x = 0 dan x = 0.5 , h = 0.25
dx
f ( x, y ) = 4e0.8 x − 0.5 y
k1 = f (0.25, yi ) = 4e0.8*0.25 − 0.5 yi
y0.25 = y0 + f (0, 2)0.25 = 2 + (4e0.8∗0 − 0.5 ∗ 2)0.25 = 2.75
k1 = f (0.25, 2.75) = 4e0.8*0.25 − 0.5 ∗ 2.75 = 3.510611
0.25
1
k2 = f (0.25 +
, 2.75 + 3.510611∗ 0.25)
2
2
k2 = f (0.375,3.188826) = 4e0.8∗0.375 − 0.5 ∗ 3.188826 = 3.80502
0.25
1
k3 = f (0.25 +
, 2.75 + 3.80502 ∗ 0.25)
2
2
k3 = f (0.375,3.22563) = 4e0.8∗0.375 − 0.5 ∗ 3.22563 = 3.78662
k4 = f (0.25 + 0.25, 2.75 + 3.78662 ∗ 0.25)
k4 = f (0.5,3.69665) = 4e0.8∗0.5 − 0.5 ∗ 3.69665 = 4.11897
1
y0.25 = 2 + (3.510611 + 2 ∗ 3.80502 + 2 ∗ 3.78662 + 4.11897)0.25 = 2.95054
6
y0.5 = y0.25 + f (0.25, 2.95054)0.25 = 2.95054 + (4e0.8∗0.25 − 0.5 ∗ 2.95054)0.25 = 3.8031
k1 = f (0.5,3.8031) = 4e0.8*0.5 − 0.5 ∗ 3.8031 = 4.06575
0.25
1
k2 = f (0.5 +
,3.8031 + 4.06575 * 0.25)
2
2
0.8∗ 0.625
k2 = f (0.625, 4.31132) = 4e
− 0.5 ∗ 4.31132 = 4.43922
1
1
k3 = f (0.5 + 0.25,3.8031 + 4.43922 ∗ 0.25)
2
2
0.8∗ 0.625
k3 = f (0.625,4.358) = 4e
− 0.5 ∗ 4.358 = 4.4159
k4 = f (0.5 + 0.25,3.8031 + 4.4159 ∗ 0.25)
k4 = f (0.75, 4.9071) = 4e0.8∗0.75 − 0.5 ∗ 4.9071 = 4.83492
1
y0.5 = 2.95054 + (4.06575 + 2 ∗ 4.43922 + 2 ∗ 4.4159 + 4.83492)0.25 = 4.0593
6
78
8.4 DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMİ METODU
n inci mertebeden bir diferansiyel denklem n tane birinci mertebeden diferansiyel denklemden
oluşan bir sisteme dönüştürülebilir.
dy1
= f 1 ( x , y1 , y 2 , L , y n )
dx
dy 2
= f 2 ( x , y1 , y 2 , L , y n )
dx
·
·
dy n
= f n ( x , y1 , y 2 , L , y n )
dx
Bu sistemin çözümü için x in bir noktasındaki y1 , y 2 , L , y n değerlerinin (koşullarının )
verilmesi gerekir.
Örnek 8.4.1
a = − λs
d 2s
+ λs = 0
dt 2
t = 0 da s = s 0
v = v0
Analitik çözüm :
s = ACos λ t + BSin λ t
v = − A λ Sin λ t + B λ Cos λ t
v
A = s0 B = 0
λ
s = s 0 Cos λ t +
v0
λ
Sin λ t
Örnek 8.4.2
d 2s
π2
+
s=0
t = 0 da s 0 = 8
dt 2 36
v1 = ?
t = 1 de s 1 = ?
Analitik çözüm :
v=−
s = 8Cos
v 0 = 12
π
72
π
t + Sin t ⇒ s 1 = 18,38735913
6
π
6
8π
π
π
Sin t + 12Cos t ⇒
6
6
6
v 1 = 8,297909743
Euler yöntemi ile nümerik çözüm:
π2
s=0
ikinci mertebeden diferansiyel denklemi aşağıdaki gibi iki
dt 2 36
tane diferansiyel denklemden oluşan bir diferansiyel denklem sistemine dönüştürülür.
Bu yöntemde
d 2s
+
79
ds
=v ,
dt
s i +1 = s i + (
dv
π2
=−
s
dt
36
ds
)i h ,
dt
v i +1 = v i + (
s i +1 = s i + v i h ,
v i +1 = v i −
dv
)i h
dt
π2
si h
36
h = 0 ,1 alınırsa aşağıdaki tablo değerleri bulunur.
t
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
si
8
9,2
10,37806755
11,53091277
12,65530593
13,74808644
14,80617171
15,82656582
16,80636797
17,74278069
vi
s i +1
12
11,78067546
11,52845223
11,24393162
10,9278051
10,5808527
10,20394111
9,798021503
9,364127215
8,903371094
80
9,2
10,37806755
11,53091277
12,65530593
13,74808644
14,80617171
15,82656582
16,80636797
17,74278069
18,6331178
v i +1
11,78067546
11,52845223
11,24393162
10,9278051
10,5808527
10,20394111
9,798021503
9,364127215
8,903371094
8,416942688
8.5 SINIR DEĞER PROBLEMLERİ
dy1
dy
= f1 (t , y1 , y2 ) , 2 = f 2 (t , y1 , y2 )
dt
dt
Başlangıç koşulları: t = 0 da y1 = y1,0 , y2 = y2,0
Dif. denk.
y
y1
y1,0
Başlangıç koşulları
y2,0
y2
0
t
(a)
d2y
= f ( x, y )
dx 2
Sınır koşulları: x = 0 da y = y0
x = L de y = yL
Dif. denk :
y
Sınır koşulları
Sınır koşulları
yL
y0
0
(b)
L
81
x
8.5.1 Atış Yöntemi
Bu yöntemde sınır değer problemi başlangıç değer problemine
dönüştürülür. Bu yöntem örnek üzerinde gösterilecektir.
Örnek 8.5.1.1
Uzunluğu boyunca izole edilmemiş ve sürekli rejimdeki ince ve uzun bir
çubuktaki sıcaklık dağılımı aşağıdaki denklemle verilir.
d 2T
+ h′(Ta − T ) = 0
dx 2
Burada h′ ısı transferi
karakterize eder.
Ta
katsayısıdır( cm−2 ) . Bu çevreye giden ısı oranını
etraftaki havanın sıcaklığı ( 0 C )
T (0) = T1
T ( L) = T2
Eğer, çubuğun boyu
Analitik çözüm:
L = 10m
,
h′ = 0.01
,
Ta = 20
,
T (0) = 40 , T (10) = 200
T ( x) = 73.4523 e0.1x − 53.4523 e −0.1x + 20
Sayısal Çözüm:
dT
=z
dx
dz
= h′(T − Ta )
dx
Sayısal çözüme başlayabilmek için
Atış metodu için z (0) = 10 diyelim.
Ti +1 = Ti + zi h
zi +1 = zi + h′(Ti − Ta )h
h = 2m alalım
Ti + 1 = Ti + 2 z i
zi +1 = zi + 0.02(Ti − 20)
T2 = 40 + 2 ∗ 10 = 60
z2 = 10 + 0.02(40 − 20) = 10.4
T4 = 60 + 2 ∗ 10.4 = 80.8
z4 = 10.4 + 0.02(60 − 20) = 11.2
T6 = 80.8 + 2 ∗ 11.2 = 103.2
z6 = 11.2 + 0.02(80.8 − 20) = 12.416
T8 = 103.2 + 2 ∗ 12.416 = 128.032
z8 = 12.416 + 0.02(103.2 − 20) = 14.08
T10 = 128.032 + 2 ∗ 14.08 = 156.192
82
z (0)
’ın bilinmesi gerekir.
z (0) = 14
alalım
T2 = 40 + 2 ∗ 14 = 68
z2 = 14 + 0.02(40 − 20) = 14.4
T4 = 68 + 2 ∗ 14.4 = 96.8
z4 = 14.4 + 0.02(68 − 20) = 15.36
T6 = 96.8 + 2 ∗ 15.36 = 127.52
z6 = 15.36 + 0.02(96.8 − 20) = 16.896
T8 = 127.52 + 2 ∗ 16.896 = 161.312
z8 = 16.896 + 0.02(127.52 − 20) = 19.0464
T10 = 161.312 + 2 ∗ 19.0464 = 199.4048
z10 = 19.0464 + 0.02(161.312 − 20) = 21.87264
8.5.2 Sonlu Farklar Yöntemi
Bu yöntemde Türevler yerine sonlu fark ifadeleri konur. Bu yöntem
aşağıdaki örnek üzerinde açıklanabilir.
8.5.2.1Örnek
Örnek 8.4.1.1 deki ince uzun çubuktaki ısı yayılması problemi ele
alınırsa
d 2T
+ h′(Ta − T ) = 0
dx 2
Burada ikinci türev ifadesi yerine
d 2T Ti +1 − 2Ti + Ti −1
=
dx 2
Δx 2
sonlu farklar ifadesi konursa
Ti +1 − 2Ti + Ti −1
+ h′(Ta − T ) = 0
Δx 2
Gerekli işlemler yapılırsa
−Ti −1 + (2 + h′Δx 2 )Ti − Ti +1 = h′Δx 2Ta
eşitliği elde edilir.
x=0
T (0) = 40 0C
x = 2m
x = 4m
83
x = 6m
x = 8m
x = 10m
T (10) = 200 0C
−T0 + (2 + h′Δx 2 )T1 − T2 = h′Δx 2Ta
−T1 + (2 + h′Δx 2 )T2 − T3 = h′Δx 2Ta
−T2 + (2 + h′Δx 2 )T3 − T4 = h′Δx 2Ta
−T3 + (2 + h′Δx 2 )T4 − T5 = h′Δx 2Ta
h′Δx 2 = 0.01* 22 = 0.04
2.04T1 − T2 = 0.04 ∗ 20 + 40 = 40,8
−T1 + 2.04T2 − T3 = 0.8
−T2 + 2.04T3 − T4 = 0.8
−T3 + 2.04T4 = 200.8
Bu denklemleri aşağıdaki gibi düzenliyebiliriz.
0
0 ⎤ ⎧T1 ⎫ ⎧ 40.8 ⎫
⎡ 2.04 −1
⎢ −1 2.04 −1
0 ⎥⎥ ⎪⎪T2 ⎪⎪ ⎪⎪ 0.8 ⎪⎪
⎢
⎨ ⎬=⎨
⎬
⎢ 0
−1 2.04 −1 ⎥ ⎪T3 ⎪ ⎪ 0.8 ⎪
⎢
⎥
−1 2.04 ⎦ ⎪⎩T4 ⎪⎭ ⎩⎪200.8⎭⎪
0
⎣ 0
Bu denklem sisteminin çözümünden
⎧T1 ⎫ ⎧ 65.9698 ⎫
⎪T ⎪ ⎪ 93.7785 ⎪
⎪ 2⎪ ⎪
⎪
⎨ ⎬=⎨
⎬
⎪T3 ⎪ ⎪124.5382 ⎪
⎪⎩T4 ⎪⎭ ⎪⎩159.4795 ⎪⎭
elde edilir.
84
9 KISMİ TÜREVLİ DENKLEMLER
Verilen bir u fonksiyonunun keyfi bir (x,y) noktasında x ve y ye göre kısmi türevleri aşağıdaki
gibi tanımlanabilir.
∂u
u ( x + Δx, y ) − u ( x, y )
= lim
∂x Δx → 0
Δx
∂u
u ( x, y + Δy ) − u ( x, y )
= lim
∂y Δy → 0
Δy
Eğer bir denklem iki veya daha fazla bağımsız değişkene göre kısmi türevleri içeriyorsa, bu
denkleme kısmi türevli denklem denir. Aşağıdaki denklemler kısmi türevli denklemlerdir.
∂ 2u
∂ 2u
+ 2 xy 2 + u = 1
∂x 2
∂y
∂ 3u
∂ 2u
+ x 2 + 8u = 5 y
∂x 2∂y
∂y
3
⎛ ∂ 2u ⎞
∂ 3u
6
+
=x
⎜ 2⎟
∂x∂y 2
⎝ ∂x ⎠
∂ 2u
∂u
+ xu
=x
2
∂x
∂y
Kısmi türevli denklemin derecesi denklemdeki en yüksek mertebeden türeve eşittir. Yukarıdaki
birinci ve sonuncu denklem ikinci dereceden diğer ikisi ise üçüncü derecedendir.
Kısmi türevli denklem bilinmiyen fonksiyon u ve bunun türevlerine göre lineer ise bu denkleme
kısmi türevli lineer denklem denir.
Buna göre yukarıdaki ilk iki denklem lineer son iki denklem ise lineer olmayan kısmi türevli
diferansiyel denklemdir.
Mühendislikte ikinci dereceden kısmi türevli lineer diferansiyel denklemlerin geniş bir uygulama
alanı vardır.
İki bağımsız değişkene göre bu denklemlerin genel formu aşağıdaki gibi yazılabilir.
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
A 2 +B
+C 2 + D =0
∂x
∂x∂y
∂y
∂u
∂u
ve
nin fonksiyonudur.
∂x
∂y
Bu denklemler A,B,C nin değerlerine bağlı olarak aşağıdaki gibi sınıflandırılır.
Burada A,B,C x ve y nin fonksiyonlarıdır. D ise x, y, u,
B 2 − 4 AC
<0
=0
>0
Kategori
Eliptik
Örnek
∂T ∂T
+
= 0 Laplace denklemi ( iki boyutlu kararlı durum)
∂x 2 ∂y 2
2
2
Parabolik
∂T
∂ 2T
= k ′ 2 Isı iletimi denklemi(tek boyutta zaman değişkenli)
∂t
∂x
2
Hiperbolik ∂ y 1 ∂ 2 y
=
Dalga denklemi(tek boyutta zaman değişkenli)
∂x 2 c 2 ∂t 2
85
9.2. Sonlu Farklar : Eliptik denklemler
9.2.1. Laplace denklemi
y
q( y + Δy )
q ( x + Δx)
q( x)
Δy
q( y)
x
Δz
Δx
Kalınlığı Δz olan ince bir plaka ve içinde ısı dengesinin gösterildiği bir eleman
Kenarları haricinde izole edilen bir plakada ısı transferi x ve y doğrultularında olabilir. Kararlı
rejimde bir elemanda Δt zamanında olabilecek ısı akışı aşağıdaki denklemle ifade edilebilir.
q( x)ΔyΔzΔt + q( y )ΔxΔzΔt = q( x + Δx)ΔyΔzΔt + q( y + Δy )ΔxΔzΔt
Burada q( x) ve q( y ) , x ve y doğrultusundaki ısı akısını ⎡⎣ cal /(cm 2 .s) ⎤⎦ göstermektedir.
Eşitlik ΔzΔt ye bölünüp terimler bir tarafta toplanırsa
[q ( x) − q( x + Δx)]Δy + [q( y ) − q( y + Δy )]Δx = 0
Bu denklemin birinci terimi
Δx
Δy
, ikinci terimi
ile çarpılırsa
Δx
Δy
[q( x) − q ( x + Δx)]
[q( y ) − q( y + Δy )]
ΔxΔy +
ΔxΔy = 0
Δx
Δy
Denklemi elde edilir. Bu denklem ΔxΔy ile bölünüp limiti alınırsa aşağıdaki denklem elde edilir.
−
∂q ∂q
−
=0
∂x ∂y
Bu ısı enerjisinin korunumu denklemidir. Plakanın kenarları boyunca genellikle ısı akısı yerine
sıcaklık koşulları belli olduğundan bu denklemin sıcaklık cinsinden yazılması gerekir. Isı akısı
sıcaklıklara Fourier’ in ısı iletimi yasası ile bağlanabilir.
qi = − k ρ C
∂T
∂i
86
Buırada qi = i doğrultusundaki ısı akışıdır.[cal/(cm2 .s)] ,
k = Isı yayınım katsayısı (cm2/s) ,
ρ = Malzemenin yoğunluğu (g/cm3)
C = Malzemenin ısı kapasitesi (özgül ısısı)[cal/(g . 0C)]
T = Sıcaklık (0C)
Fourier’in ısı iletimi bağıntısı ısı enerjisinin korunumu denkleminde yerine yazılırsa aşağıdaki
Laplace denklemi elde edilir.
∂ 2T ∂ 2T
+
=0
∂x 2 ∂y 2
Eğer Plaka içinde ısı kaynağı veya kuyusu varsa sıcaklıklar arasındaki bağıntı
∂ 2T ∂ 2T
+
= f ( x, y )
∂x 2 ∂y 2
Bu denklem Poisson denklemi olarak bilinir.
9.2.2. Çözüm tekniği
Sayısal çözümde plaka ayrık noktaların köşelere yerleştiği bir ızgara şeklinde düşünülür ve kısmi
türevli denklem yerine fark denklemleri yazılıp her bir noktaya uygulanarak lineer cebirsel
denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sisteminin çözümünden ayrık noktalardaki sıcaklıklar
bulunur.
y
m + 1, n + 1
0, n + 1
i, j + 1
i, j
i − 1, j
i + 1, j
i, j − 1
x
0,0
m + 1, 0
87
Merkezi farklar uygulanırsa Laplace denklemi aşağıdaki gibi fark denklemine dönüştürülür.
∂ 2T Ti +1, j − 2Ti , j + Ti −1, j
∂ 2T Ti , j +1 − 2Ti , j + Ti , j −1
,
=
=
∂x 2
Δx 2
∂y 2
Δy 2
Ti +1, j − 2Ti , j + Ti −1, j Ti , j +1 − 2Ti , j + Ti , j −1
+
=0
Δx 2
Δy 2
Eğer ızgara birimleri kare şeklinde olursa Δx = Δy olacağından sonlu farklar denklemi
Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j +1 + Ti , j −1 − 4Ti , j = 0
şeklinde yazılabilir.Bu denklem Laplace fark denklemi olarak bilinir. Çözüme ulaşmak için
plakanın bütün iç noktalarında bu denklemi uygulamak gerekir.
Örnek 9.2.2.1:
100 0C
75 0C
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(1,1)
(2,1)
(3,1)
50 0C
0 0C
Ti +1, j + Ti −1, j + Ti , j +1 + Ti , j −1 − 4Ti , j = 0 Sonlu farklar denklemi (1,1) noduna uygulanırsa
T2,1 + T0,1 + T1,2 + T1,0 − 4T1,1 = 0 elde edilir . ve T0,1 = 75 0C , T1,0 = 0 0C yerine yazılırsa
T2,1 + T1,2 − 4T1,1 = −75
⇒
4T1,1 − T1,2 − T2,1 = 75
denklemi bulunur.
Sonlu farklar denklemi (2,1) noduna uygulanırsa
T3,1 + T1,1 + T2,2 + T2,0 − 4T2,1 = 0 elde edilir. T2,0 = 0 yerine yazılırsa −T1,1 + 4T2,1 − T2,2 − T3,1 = 0
denklemi bulunur.
Sonlu farklar denklemi (3,1) noduna uygulanırsa T4,1 + T2,1 + T3,2 + T3,0 − 4T3,1 = 0 elde edilir.
T4,1 = 50 0C , T3,0 = 0 yerine yazılırsa −T2,1 + 4T3,1 − T3,2 = 50 elde edilir.
Sonlu farklar denklemi (1,2) noduna uygulanırsa T2,2 + T0,2 + T1,3 + T1,1 − 4T1,2 = 0 elde edilir.
T0,2 = 75 0C yerine yazılırsa −T1,1 + 4T1,2 − T1,3 − T2,2 = 75 elde edilir.
88
Sonlu farklar denklemi (2,2) noduna uygulanırsa
T1,2 + T2,1 − 4T2,2 + T2,3 + T3,2 = 0 elde edilir.
Sonlu farklar denklemi (3,2) noduna uygulanırsa T4,2 + T2,2 + T3,3 + T3,1 − 4T3,2 = 0
T4,2 = 50 0C yerine yazılırsa −T2,2 − T3,1 + 4T3,2 − T3,3 = 50 elde edilir.
Sonlu farklar denklemi (1,3) noduna uygulanırsa T2,3 + T0,3 + T1,4 + T1,2 − 4T1,3 = 0
T0,3 = 75 0C ve T1,4 = 100 0C yerine yazılırsa
−T1,2 + 4T1,3 − T2,3 = 175 elde edilir.
Sonlu farklar denklemi (2,3) noduna uygulanırsa T3,3 + T1,3 + T2,4 + T2,2 − 4T2,3 = 0
T2,4 = 100 0C yerine yazılırsa −T2,2 − T1,3 + 4T2,3 − T3,3 = 100 elde edilir.
Son olaral sonlu farklar denklemi (3,3) noduna uygulanırsa T4,3 + T2,3 + T3,4 + T3,2 − 4T3,3 = 0 elde
edilir. T4,3 = 50 0C ve T3,4 = 100 0C yerine yazılırsa −T3,2 − T2,3 + 4T3,3 = 150 elde edilir.
Bu denklemler toplu olarak aşağıdaki gibi yazılabilir.
4T1,1 − T2,1 − T1,2 = 75
−T1,1 + 4T2,1 − T3,1 − T2,2 = 0
−T2,1 + 4T3,1 − T3,2 = 50
−T1,1 + 4T1,2 − T2,2 − T1,3 = 75
T2,1 + T1,2 − 4T2,2 + T3,2 + T2,3 = 0
−T3,1 − T2,2 + 4T3,2 − T3,3 = 50
−T1,2 + 4T1,3 − T2,3 = 175
−T2,2 − T1,3 + 4T2,3 − T3,3 = 100
−T3,2 − T2,3 + 4T3,3 = 150
⎡ 4 −1 0 −1
⎢ −1 4 −1 0
⎢
⎢ 0 −1 4 0
⎢
⎢ −1 0 0 4
⎢0 1 0 1
⎢
⎢ 0 0 −1 0
⎢ 0 0 0 −1
⎢
⎢0 0 0 0
⎢
⎣0 0 0 0
0
−1
0
−1
−4
−1
0
−1
0
0 ⎤ ⎧ T1,1 ⎫ ⎧ 75 ⎫
⎪ ⎪
0 0 0 0 ⎥⎥ ⎪T2,1 ⎪ ⎪⎪ 0 ⎪⎪
−1 0 0 0 ⎥ ⎪ T3,1 ⎪ ⎪ 50 ⎪
⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪
0 −1 0 0 ⎥ ⎪T1,2 ⎪ ⎪ 75 ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
1 0 1 0 ⎥ ⎨T2,2 ⎬ = ⎨ 0 ⎬
⎥
4 0 0 −1⎥ ⎪T3,2 ⎪ ⎪ 50 ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
0 4 −1 0 ⎥ ⎪ T1,3 ⎪ ⎪175 ⎪
⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪
0 −1 4 −1⎥ ⎪T2,3 ⎪ ⎪100 ⎪
−1 0 −1 4 ⎥⎦ ⎪⎩T3,3 ⎪⎭ ⎩⎪150 ⎭⎪
0
0
0
Mathematica programı ile bu denklem sistemi aşağıdaki gibi kolaylıkla çözülebilir.
A={{4,-1,0,-1,0,0,0,0,0},{-1,4,-1,0,-1,0,0,0,0},{0,-1,4,0,0,1,0,0,0},{-1,0,0,4,-1,0,-1,0,0},{0,1,0,1,-4,1,0,1,0},{0,0,-1,0,1,4,0,0,-1},{0,0,0,-1,0,0,4,-1,0},{0,0,0,0,-1,0,-1,4,1},{0,0,0,0,0,-1,0,-1,4}};
b={75,0,50,75,0,50,175,100,150};
x=LinearSolve[A,b];
89
Print["T=",MatrixForm[x]];
Print["T=",MatrixForm[N[x]]];
i
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
T=j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
k
300
7
3725
112
475
14
7075
112
225
4
5875
112
550
7
8525
112
975
14
y
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
{
42.8571 y
i
j
z
j
z
j
z
33.2589
j
z
j
z
j
z
j
z
33.9286
j
z
j
z
j
z
j
z
63.1696
j
z
j
z
j
z
56.25 z
T=j
j
z
j
z
j
z
j
z
52.4554
j
z
j
z
j
z
j
z
78.5714
j
z
j
z
j
z
j
z
76.1161
j
z
j
z
69.6429
k
{
90
EK A TAYLOR SERİSİ
EK A.1 TAYLOR FORMÜLÜ
f ( x) : Aradığımız fonksiyon
P( x) : Yaklaşık fonksiyon
P ( x) = C0 + C1 x + C2 x 2 + C3 x3 + C4 x 4 + C5 x5 + L + Cn x n
x = 0 da bu iki fonksiyonun değerleri ve türevleri birbirine eşitlenerek n + 1 koşul oluşturulur.
P(0) = f (0) , P ′(0) = f ′(0) , P ′′(0) = f ′′(0) , . . . , P ( n ) (0) = f ( n ) (0)
oluşturulan bu koşullar yardımı ile Ci , (i = 0,L , n) katsayıları bulunur.
x = 0 da P(0) = C0 → C0 = f (0)
P ′( x) = C1 + 2C2 x + 3C3 x 2 + 4C4 x 3 + 5C5 x 4 + L + nCn x n −1
x = 0 da P ′(0) = C1 → C1 = f ′(0)
P ′′( x) = 2C2 + 2 * 3C3 x + 3* 4C4 x 2 + 4 * 5C5 x3 + L + (n − 1)nCn x n − 2
1
f ′′(0)
2
P ′′′( x) = 2 * 3C3 + 2 * 3* 4C4 x + 3* 4 * 5C5 x 2 + L + (n − 2)(n − 1)nCn x n −3
x = 0 da P ′′(0) = 2C2 → C2 =
x = 0 da P ′′′(0) = 2 * 3C3 → C3 =
1
f ′′′(0)
2*3
P ıv ( x) = 2 * 3* 4C4 + 2 * 3* 4 * 5C5 x + L + (n − 3)(n − 2)(n − 1)nCn x n − 4
x = 0 da P ıv (0) = 2 * 3* 4C4 → C4 =
Bu işlemler devam edilirse Ck =
n
konursa P( x) = ∑
k =0
f ( k ) (0) k
x
k!
1
f ıv (0)
2 * 3* 4
1 (k )
f (0) bulunur. Bu katsayılar P( x) polinomunda yerine
k!
Taylor polinomu elde edilir.
Sıfırdan farklı noktalarda da benzer formüller bulunabilir.Bunun için için Polinomu ( x − x0 ) ın
kuvvetlerine göre yazılır.
P ( x) = C0 + C1 ( x − x0 ) + C2 ( x − x0 ) 2 + C3 ( x − x0 )3 + C4 ( x − x0 ) 4 + C5 ( x − x0 )5 + L + Cn ( x − x0 ) n
Bu polinomun x değişkenine göre türevleri alınıp gerekli düzenlemeler yapılırsa aşağıdaki gibi
bir f ( x) fonksiyonunun x0 civarında Taylor polinomuna açılım formülü elde edilir.
n
P ( x) = ∑
k =0
f ( k ) ( x0 )
( x − x0 ) k
k!
f ( x) fonksiyonu ile P( x) fonksiyonu arasındaki farka n inci kalan denir.
Rn ( x) = f ( x) − P( x) → f ( x) = P( x) + Rn ( x)
n
f ( x) = ∑
k =0
f ( k ) ( x0 )
( x − x0 ) k + Rn ( x)
k!
Bu eşitliğe kalanlı Taylor formülü denir. Eğer x0 = 0 ise çoğu kere bu formüle Maclaurin
formülü denir.
91
Kalan formülünü yazmak için ortalama değer teoremi uygulanır.
f ( x)
Eğim
f ( x)
f ( x) − f ( x0 )
( x − x0 )
Eğim f ′(ξ )
f ′(ξ ) =
f ′( x0 )
x0
f ( x) − f ( x0 )
x − x0
x
ξ
x
Lineer yaklaşım için P0 ( x) = f ( x0 ) ve fark f ( x) − P0 ( x) = f ( x) − f ( x0 ) olur.
f ( x) − f ( x0 )
f ′(ξ ) =
→ f ( x) − f ( x0 ) = f ′(ξ )( x − x0 )
x − x0
x
Analizin temel teoreminden f ( x) − f ( x0 ) =
∫ f ′(t )dt
eşitliği yazılabilir.
x0
x
f ( x) − P0 ( x0 ) =
∫ f ′(t )dt
bu eşitliğe entegral formundaki kalan denir.
x0
Yukarıdaki integrale kısmi integrasyon işlemi uygulanırsa
u = f ′(t ) , dv = dt burada v = t − x olmalıdır.
x
x
f ( x) − f ( x0 ) = f ′(t )(t − x ) x − ∫ f ′′(t )(t − x) dt = − f ′( x0 )( x0 − x) + ∫ f ′′(t )( x − t ) dt
x
0
x0
f ( x) − [ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x0 − x)] =
x0
x
∫ f ′′(t )( x − t ) dt
x0
Bu eşitliğin sol tarafı f ( x) − P1 ( x) farkına eşittir.
Aynı şekilde kısmı integrasyon uygulanırsa
(t − x) 2
u = f ′′(t ) , dv = ( x − t )dt burada v =
olur.
2
x
( x − t )2 x
( x − t )2
′′′
(
)
+
f ( x) − [ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x0 − x)] = − f ′′(t )
f
t
dt
∫
x0
2
2
x0
( x − t )2
]=
f ( x) − [ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x0 − x) + f ′′(t )
2
x
∫
x0
( x − t )2
f ′′′(t )
dt
2
aynı şekilde devam edilirse integral formundaki kala formülü elde edilir.
x
( x − t )n
( n +1)
(t )
Rn ( x) = ∫ f
dt
n!
x0
Entegral formundaki kalan, aşağıdaki gibi, Lagrange formunda yazılabilir.
x > x0 kabul edilirse işlemler basitleşir.
f ( n +1) (t ) nin x0 ≤ t ≤ x aralığında minimum değeri m , maksimum değeri M ile gösterilsin.
92
( x − t )n
( x − t )n
( x − t )n
( n +1)
m
≤ f
(t )
≤M
n!
n!
n!
x
x
x
n
n
(x − t)
(x − t)
( x − t )n
( n +1)
(
)
m
dt
f
t
dt
M
dt
≤
≤
∫ n!
∫
∫
n!
n!
x0
x0
x0
sınır değerlere ait entegraller kolayca alınabilir.
( x − t ) n +1
( x − t ) n +1
m
≤ f ( x) − Pn ( x) ≤ M
(n + 1)!
(n + 1)!
(n + 1)!
ile çarpılırsa
Bütün terimler
( x − x0 ) n +1
(n + 1)!
m≤
[ f ( x) − Pn ( x)] ≤ M
( x − x0 ) n +1
elde edilir. f ( n +1) (t ) m ile M arasında bir değer olduğuna göre, ξ de x0 ile x arasında öyle bir
(n + 1)!
f ( n +1) (ξ ) =
değer olur ki
[ f ( x) − Pn ( x)] yazılabilir.
( x − x0 ) n +1
Böylece Lagrange formundaki kalan elde edilir.
f n +1 (ξ )
( x − x0 ) n +1
Rn ( x) =
(n + 1)!
Eğer fonksiyonun [a,b] aralığındaki (n + 1) inci türevi sınırlı ise yani
a ≤ t ≤ b nin her yerinde
R( x) =
M
x − x0
(n + 1)!
n +1
f ( n +1) (t ) ≤ M
ise
elde edilir.
TAYLOR SERİSİNİ KULLANARAK ELDE EDİLEN ÖZEL AÇILIMLAR
x 2 x3
xn
ex = 1 + x +
+ +L+
+ Rn
2! 3!
n!
x3 x5 x 7
(−1) n −1 x 2 n −1
sin x = x − +
− L+
+ Rn
3! 5! 7!
(2n − 1)!
cos x = 1 −
x2 x4 x6
(−1) n −1 x 2 n − 2
+
− L+
+ Rn
2! 4! 6!
(2n − 2)!
x 2 x3 x 4
(−1) n −1 x n
ln(1 + x) = x −
+ −
+L+
+ Rn
n
2
3
4
x3 x5 x 7
(−1) n −1 x 2 n −1
tan −1 x = x − +
−
+L+
+ Rn
3
5
7
2n − 1
İKİ DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR İÇİN TAYLOR SERİSİ
∞
∞
f ( x, y ) = ∑∑
k =0 l =0
∂ ( k +l ) f ( x0 , y0 ) 1
( x − x0 ) k ( y − y0 )l
k
l
k !l !
∂x ∂y
1
[ f ( x0 , y0 )( x − x0 ) 2 +
2!
2 f x y ( x0 , y0 )( x − x0 )( y − y0 ) + f yy ( x0 , y0 )( y − y0 )2 ] + L
f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) + f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 ) +
93