PowerPoint Sunusu - Antakya Ata Koleji

TÜREV KAVRAMI
TÜREV ALMA KURALLARI
TÜREVĠN GEOMETRĠK YORUMU
TÜREVĠN FĠZĠKSEL YORUMU
BĠLEġKE FONKSĠYONUN TÜREVĠ
TRĠGONOMETRĠK FONKSĠYONLARIN TÜREVĠ
ÖZEL TANIMLI FONKSĠYONLARIN TÜREVĠ
KAPALI FONKSĠYONLARIN TÜREVĠ
RASYONEL ÜSLÜ FONKSĠYONLARIN TÜREVĠ
TERS FONKSĠYONLARIN TÜREVĠ
TERS TRĠGONOMETRĠK FONKSĠYONLARIN TÜREVĠ
LOGARĠTMA FONKSĠYONLARIN TÜREVĠ
ÜSTEL FONKSĠYONLARIN TÜREVĠ
YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER
DĠFERANSĠYEL KAVRAMI
ARTAN VE AZALAN FONKSĠYONLAR
EXTREMUM NOKTALAR VE EXTREMUM DEĞERLER
ĠKĠNCĠ TÜREVĠN YEREL EXTREMUM NOKTALARIYLA ĠLġKĠSĠ
ĠKĠNCĠ TÜREVĠN GEOMETRĠK ANLAMI
L’’HOSPĠTAL KURALI
FONKSĠYONLARIN GRAFĠKLERĠ
TÜREV KAVRAMI
TANIM: f : A
olmak üzere
lim
x a
R , y=f(x) fonksiyonu ve a  A da sürekli
f ( x)  f ( a )
xa
limiti bir reel sayı ise bu değere f fonksiyonunun
x=a noktasındaki türevi denir. f’(a) veya
gösterilir.
df
(a)
dx
sembolleri ile
x  a  ( x  a)  0
h > 0 olmak üzere, x=a+h ise x - a =h dır.
 h0
lim
x a
f ( x)  f ( a )
xa
lim
=
h0
f ( a  h)  f ( a )
h
olur.
ÖRNEK: f: R
R
türevini bulalım.
, f(x)=x2 fonksiyonunun x=2 noktasındaki
ÇÖZÜM= f(x)=x2 fonksiyonu x=2 de süreklidir
f (2)  lim x2
f ( x)  f (2)
x2
f (2)  lim x2
x2  4
( x  2)( x  2)
 lim x2
4
x2
x2
SOLDAN SAĞDAN TÜREV
TANIM:
A  R, a  A
1. lim x  a _ f ( x)  f (a) Limitinin bir reel sayıdeğeri varsa
xa
bu değere f fonksiyonunun a noktasındaki soldan türevi denir ve
f’(a-) Ģeklinde gösterilir.
2.
lim x  a

f ( x)  f (a)
Limitinin bir reel sayı değeri
xa
varsa bu değere f fonksiyonu, a noktasındaki sağdan türevi denir
ve f’(a+) Ģeklinde gösterilir.
f’(a-)= f’(a+) ise , f fonksiyonu a noktasında türevlidir. Bu durumda f’(a-)
= f’(a+) = f’(a) dır.

f’(a-)
f’(a+) ise fonksiyonun a noktasında türev yoktur.
ÖRNEK: f: R
R , f(x)=
4 x  2, x  2ise
 2

 x  2, x < 2ise 
a)f’(2-)=?
b)f’(2+)=?
ÇÖZÜM: f(2) = 6 olduğundan fonksiyon x=22de süreklidir.
a)
b)
lim x2
lim x2


4
f ( x)  f (2)
 x
= lim x  2
= lim x2 ( x  2)= 4
x2
x2
 4x  8
f ( x)  f (2)
= lim x2
=
x

2
x2
lim 4  4
TÜREVĠN SÜREKLĠLĠKLE ĠLĠġKĠSĠ
Teorem:
A  R, a  A
olmak üzere;
f : AR
fonksiyonu a
noktasında türevli ise bu noktada süreklidir.
1. y=f(x) a A , da türevli ise x=a da süreklidir.
2.f '(a) =f(a) ve f(x) x=a da sürekli olmalıdır ki
olsun
f(x) , x =a da türevli
3.Bir fonksiyonun kritik noktalarında türevi araĢtırılırken bu
noktalarda süreksiz ise türevsizdir. Sürekliyse sağdan ve soldan
türevlerini eĢitliğine bakılır.
x 2
f ( x)  2
x 22
2
Örnek:
hangi noktalarda türevsizdir?
Çözüm: f fonksiyonu paydanın 0 olduğu noktalarda tanımsız dolayısıyla
süreksizdir.
x2  2
f ( x)  2
x 22
x=-1 ve x=2 noktalarında
süreksiz dolayısıyla türevsizdir.
BĠR ARALIKTA TÜREVLENEBĠLME
TANIM: a,b olmak üzere
f : (a, b)  R
fonksiyonunun (a,b) aralığının her noktasında
A  Rtürev varsa f
fonksiyonu (a,b) aralığında türevlidir.
olmak üzere
f : A R
fonksiyonu A tanım kümesinin her noktasında türevli
ise f fonksiyonu tanımlı kümesinde türevlidir.
TÜREV ALMA KURALLARI
1) f(x)= c
f’(x) = 0
2) f(x) = xn
f’(x) = n . xn-1
3) (c . f (x) )’ = c . f’(x)
4)
5)
 f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)

 f ( x).g ( x)

 f ( x).g ( x)  g ( x). f ( x)
6)  f ( x)   f ( x).g ( x)  g ( x). f ( x)
 g ( x) 
2


g
(
x
)


TÜREVĠN GEOMETRĠK YORUMU
Y=f(x)
F(a+h)
F(a)

a
kesen
teğet
a+h
mAB=tan  =
f ( a  h )  f ( a ) f ( a  h)  f ( a )
BC


( a  h)  a
AC
h
AB kiriĢinin eğimi h
mAT =
lim h0

0 için AT teğetinin eğimine eĢit olacağından
f ( a  h)  f ( a ) f ' ( a )

( a  h)  a
O halde y= f(x) fonksiyonunun grafiğini x=a noktasındaki teğetinin
eğimi f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevine eĢittir. B noktası,
B(a-h , f(a-h)) Ģeklinde alınarak da yukarıdaki yorum yapılabilir.
TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERĠ
y
f(a)
t
Y=f(x)
.
n
a
x
A (a, f(a)) noktasından çizilen teğet denklemini
bulmak için önce eğim bulunur. Fonksiyonun bu
noktadaki türevi eğimi vereceğinden
y-f(a) =f'(a) . (x- a) teğet denklemi bulunur.
m t .mn  1
A noktasındaki
normal denklemi ise
Ģöyle olur:
1
1
mn  

mt
f ' (a )
1
y  f (a )  
f ' (a )
. (x-a)
Örnek: f(x) -x2 +2x -3 parabolünün x=3 apsisli noktasındaki
teğetinin ve normalinin denklemini bulalım.
Çözüm: x=3, y=-6 olur. f '(x)= -2x +2 olduğundan
teğetin eğimi: mı =f'(3)=-2 . 3+2 =-4
1
1
1


normalin eğimi : mn = 
mt
f ' (3) 4
teğet denklemi: y-(6)=-4(x-3) y=-4x +6
normal denklemi : y-(6)=1/4(x-3) y=x/4- 27/4
TRĠGONOMETRĠK FONKSĠYONLARIN TÜREVĠ
f(x) =sinx , f'(u)=cosu . (u')
f(x) =cosx , f'(u) = -sinu . (u')
f(x) =tan u , f'(u)=u’ / cos 2u = u' . Sec 2u =u ' . (tan 2u +1)
f(x) =cot u , f'(u)= -u’ / sin 2u = -u' . Cosec 2u = -u ' . (cot 2u +1)
ÖZEL TANIMLI FONKSĠYONLARIN TÜREVĠ
MUTLAK DEĞER FONKSĠYONUNUN TÜREVĠ
g(x), g(x)>0
y=|g(x)|=
0 , g(x)=0
-g(x) , g(x)<0
{
y'=
{
g'(x)
araĢtırılır
-g'(x)
, g(x)>0
, g(x)=0
, g(x)<0
ÖRNEK:|x2-9| x=3 deki türevi nedir?
ÇÖZÜM:
türevi
-3
+ |
x2-9 |
2x |
9-x2
-2x
+3
| +
| x2 -9
| 2x
x= 3 de sürekli f'(3) =6 f'(3)=-6
türevsiz.
Kritik noktayı araĢtıdık ve sağdan türevinin soldan türevine eĢit
olmadığını dolayısıyla x=3 de tüğrevsiz olduğunu gördük.
TAM KISIM FONKSĠYONUN TÜREVĠ
f: A R y=||f(x)|| fonksiyonu için ;
sürekli olduğu noktalarda sonucu sayı çıktığından türevi 0 dır.
Süreksiz olduğu noktalarda ise türevsizdir.
ÖRNEK: f(x)=||x/ 2 -3|| fonksiyonunda f '(1) değerini bulalım.
ÇÖZÜM: x=1 için tamdeğerin içi -5/2 çıkar. Bu da dıĢarı -3 olarak
çıkar. Bu da bir tamsayı olduğu için türevi 0 dır. Yani f '(1)=0 olur.
Eğer sonuç tamsayı çıksaydı. Türevsiz olurdu, çünkü sağdan ve soldan
türevleri birbirine eĢit olmazdı.
ĠġARET FONKSĠYONUNUN TÜREVĠ
f: A  R , y=sgn (f(x) )fonksiyonunda içini 0 yapan değerler
türevsizdir. (soldan (+) sağdan (-) çıkar.) diğer durumlarda
tamsayı çıkacağından türevin sonucu 0 olur.
ÖRNEK: f(x)=sgn ( x2-x-6) fonksiyonunun türevsiz olduğu
değerleri bulun.
ÇÖZÜM: Türevsiz olduğu noktalar içini 0 yapan değerler olduğu
için, içinin kökleri bulunur.
(x2-x-6)=(x-3)(x+2) , olduğundan cevap : x1=3 , x2=-2 dir.
KAPALI FONKSĠYONLARIN TÜREVĠ
TANIM:x ve y değiĢken olmak üzere F(x,y)=0 denklemiyle verilen
bağıntılara kapalı fonksiyon denir.
1. YÖNTEM: örnek olarak F(x,y)=x2+y2-2x-24=0 ise dy/dx=?
2x+2y(dy / dx)-2-0=0 Buradan y'=
F ' x ( x, y )
dy
II.YÖNTEM: y'=

dx
F ' y ( x, y )
dy
2x  2 1  x
bulunur.


dx
2y
y
förmülü ile soınuca gidilir.
ÖRNEK: 3xy-x+y-5=0 ise dy/dx=?
F ' x ( x, y )
dy
1  3y
ÇÖZÜM:


dx
F ' y ( x, y )
3x  1
RASYONEL ÜSLÜ FONKSĠYONLARIN TÜREVĠ
R ve n  N
TEOREM: x
+
olmak üzere y=
x
1
n
1
fonksiyonunun türevi
1 n 1
y'  x
n
PARAMETRĠK FONKSĠYONLARIN TÜREVĠ
y=f(x) fonksiyonunda x ve y değiĢkenleri t R olmak üzere t
parametresine bağlı olarak x=h(t) biçiminde tanımlanırsa
y=g(t)
bu fonksiyona parametrik fonksiyon denir.
dy dy dt g ' (t )
 . 
dx dt dx h' (t )
ÖRNEK: x=t-2
y=t2 -t +3
ÇÖZÜM
}
parametrik fonlksiyonu veriliyor. y'=?
dy
dy dt 2t  1
y' 


 2t  1
dx dx
1
dt
x=t-2 ise t=x+2 olur ve y'=2(x+2) -1 =2x+3 olur.
TERS FONKSĠYONUN TÜREVĠ
KURAL:f’(x)

0 ise
ÖRNEK: f(x)=x3-1
1
1

f ' ( x) f ' ( f 1 ( y ))
, (f-1)’(-9)=?
ÇÖZÜM: y=-9 , x=-2
1
1
1
 2 
f ' (2) 3x
12
TERS TRĠGONOMETRĠK FONKSĠYONLARIN TÜREVĠ
1.(arcsinu)'=
2.(arccosu)'=
u'
1 u
2
 u'
1 u
u'
3.(arctanu)'=
2
1 u
2
u'
4.(arccotu)'= 
2
1 u
LOGARĠTMA FONKSĠYONUNUN TÜREVĠ
1.f(u)=logau
2.f(u)=ınu
, f’(u)
, f’(u)
u'

u
u'

u
logae
ÜSTEL FONKSĠYONUN TÜREVĠ
1.f(x)=au
, f’(x)=au . u’ . lna
2.f(x)=eu
, f’(x)=eu . u’
LOGARĠTMĠK TÜREV ALMA
y=xx
ıny=ınxx
ıny= x . Inx
y'
1
 ln x  .x
y
x
y’= (lnx+1).y
y’= (lnx+1).xx
YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER
y
(n)
n
n
d
y
d
f
(n)
 f ( x)  n  n
dx
dx
y=x -x+4
y'=2x-1
y''=2
y'''=0
Fonksiyonunun n.
Mertebeden türevi
(1.Mertebeden türev)
(2.Mertebeden türev)
(3.Mertebeden türev)
DĠFERANSĠYEL KAVRAMI

TEOREM: A
R , f: A
R , y=f(x) fonksiyonu A da
türevlenebilen bir fonksiyon olsun. X deki değiĢimi
x buna
karĢılık gelen y deki değiĢimi
y ile gösterelim. X in
diferansiyeli dx=
x olmak üzere y nin diferansiyeli

dy= f’(x).dx


ARTAN VE AZALAN FONKSĠYONLAR
a
azalan
f(a,b)
b
a

b
artan
a
b
sabit
fonksiyonu sürekli ve türevli ise
f’(x)>0  f(x) , (a,b) aralığında artandır.
f’(x)<0  f(x) , (a,b) aralığında azalandır.
f’(x)=0 
f(x) , (a,b) aralığında sabit fonksiyondur.
ÖRNEK f(x)=x3-9x2+24x-7 fonksiyonunun artan veya azalan olup
olmadığını inceleyelim.
ÇÖZÜM:f’(x)=3x2-18x+24 f’(x)=0 , x1=2 x2=4
x
f’(x)
-

2
+
f(x)
f(2)
artan
4


+
f(4)
azalan
artan
EXTREMUM NOKTALAR VE EXTREMUM DEĞERLER
Mutlak Extremum Noktası ve Değeri
TANIM(a,b) aralığında f(b)
büyük değerdir.
(a,b) aralığında f(b)
değerdir.
lim x1
a
 f(x) ise f(b) mutlak maximum veya en
 f(x) ise f(b) mutlak minumum veya en küçük
1
x.ınx  x.  1
0
ınx
f ( x)
f ' ( x)
x
  lim x1
 lim xa
 lim xa
1
ınx  1 
g ( x)
g ' ( x)
ınx  ( x  1) 0
x
c
b
a,c mutlak min
b, mutlak max
YEREL EXT NOKTASI VE DEĞERĠ
Yerel max
Yerel max
Yerel min
Mutlak max
Yerel min
ġekilde görüldüğü gibi
artandan azalana geçen
noktalar yerel max veya
min dir
Yerel min
Mutlak min
EXT NOKTASI ĠLE TÜREVĠN ĠLĠġKĠSĠ
TANIM: Yerel ext noktalarında f’(x)=0 dır.fakat türevi 0 olan her
nokta ext noktası değildir;olması için f’(x) in iĢaret
değiĢtirmesi(artandan azalana geçmesi) gerekir. Fonksiyonun türevinin
0 olduğu veya türevinin olmadığı noktalara kritik noktalar denir. Yerel
ext değerleri k.n.ların içindedir.
X
f’(x)
f(x)

-
0

1
-

+
Yerel min
TÜREVĠN EXT ĠLE ĠLĠġKĠSĠ
ĠKĠNCĠ TÜREVĠN GEOMETRĠK ANLAMI
DÖNÜM (BÜKÜM) NOKTASI
KONVEKS
KONKAV
(DIġBÜKEY)
(ĠÇBÜKEY)
f’’(x)=0 ın dönüm noktası olması için
Konveks
GeçiĢ
konkav
Max (f’)
d.n
min (f’)
MAX MĠN PROBLEMLERĠ
Problemin denklemi kurulur.türevi 0 a eĢitlenir. Çıkan kök f(x) de
yerine konulur. Ġstenilen değer bulunur.
Örnek:
3X +6
MAX ALAN?
6-X
ÇÖZÜM:A(x)=(3x +6 ) (6-x)
A(x)=18x+36-3x2-6x
A(2)=48
A’(x)=12-6x
x=2
L’ HOSPĠTAL KURALI
lim xa
0

f ( x)
f ' ( x)
f ( x).g ( x)  0.  veya   lim xa
 lim xa
0

g ( x)
g ' ( x)
0.  Veya
 -
belirsizlikleri 0 veya
0
Örnek :
lim x2
2x
4
1
lim x2


2x
4
1
a çevrilir.
0.
 BELĠRSĠZLĠĞĠ
lim xa f ( x).g ( x)  0.
Örnek :


veya


veya
0
0
a çevrilir.
5
sin 5 / 2 x 5
lim x x. sin( )  lim x

2x
1/ x
2
0
0

-

BELĠRSĠZLĠĞĠ
a çevrilir.
 x.ınx  x  1 0
1 
 x
Örnek : lim x1  x  1  ınx   lim x1  ( x  1)ınx   0




1
x.ınx  x.  1
0
ınx
0
1/ x
1
x
lim x1
  lim x1
  lim x1

2
1
1 0
0
1
/
x

1
/
x
2
ınx  ( x  1)
ınx  1 
x
x
FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
Bir fonksiyonunun grafiği, bir doğru veya eğridir. Bir fonksiyonun
grafiği, fonksiyonun kuralını sağlayan bütün noktaların koordinat
düzlemine işaretlenmesiyle elde edilir. Fakat bir fonksiyon sonsuz
çoklukta noktadan oluşabilir. Bu sonsuz boşluktaki noktanın
koordinat düzleminde işaretlenmesi mümkün değildir. Bu nedenle
eğrinin karakterini belirten bazı özel noktalarını ve bazı özelliklerini
bulursak, bunlardan faydalanarak eğriyi aslına uygun bir biçimde
çizebiliriz.. Grafiğe ait özel noktalar; grafiğin eksenleri kestiği
noktalar, ekstremum noktaları ve dönüm noktalarıdır. Grafiiğn
karakterini belirleyen özellikler ise; artan ya da azalan olması,
çukurluğun yönü, sonsuza uzanabilen kolunun bir doğru ya da eğriye
asimptot olmasıdır.
Düşey Asimptot
Tanım: y=f(x) fonksiyonunun x=a noktasındaki soldan ya da sağdan
limitlerinde en az biri + ya da -  ise , x=a doğrusuna, y=f(x)
fonksiyonunun bir düşey asimptotudur.
y
P
H
x
a
y=f(x)
Örnek:
olduğunu
fonksiyonunun düşey asimptotunun x=2 doğrusu
gösterelim.
Çözüm:
3x  4
f ( x) 
x2
lim x2
3x  4 2
   
x2 0
Yatay Asimptot
Tanım: y=f(x) fonksiyonu için lim x f ( x)  b veya lim x f ( x)  b ise
y=b doğrusuna, y=f(x) fonksiyonunun yatay asimptotu denir.
y
b
H
P
x
y=f(x)
Örnek:
Çözüm:
y
3x  2 fonksiyonunun yatay asimptotunun y=3 doğrusu olduğunu
x 1
gösterelim.
lim x 
3x  2
 3 veya
x 1
lim x 
3x  2
 3 olduğundan,
x 1
y=3 doğrusu yatay asimptottur.
Eğik ve Eğri Asimptot
Tanım: y=f(x) eğrisi ve y=g(x) doğrusu verilsin. lim x  f ( x)  g x  0 Veya
lim x  f ( x)  g x  0 ise, y=g(x) doğrusuna, eğrinin eğik asimptotu denir.
y  f (x)
y  f (x)
y  g (x)
y  g (x)
Eğer, y=g(x) in grafiği bir eğri ise; buna, eğrinin eğri asimptotu denir.
y  f ( x) 
P( x)
Q( x)
biçiminde rasyonel fonksiyon verilsin. (P(x) ve Q(x) polinom
fonksiyonudur.)
1. Payın derecesi paydanın derecesinden 1 fazla ise; y=f(x)=mx+n+
C
Q(x)
biçiminde yazılabilir. Bu durumda, lim x  f ( x)  mx  n   lim x
olacağından, y=mx+n doğrusu fonksiyonun eğik asimptotu olur.
C
0
Q( x )
2. Payın derecesi paydanın derecesinden 2 fazla ise; f x   ax 2  bx  c  K ( x)
Q( x)
der[K(x)]<der[Q(x)] şeklinde yazılabilir.



lim x f x   ax 2  bx  c  lim x
K ( x)
 0Olacağından, y=ax 2 + bx+c
Q( x)
fonksiyonunun grafiği eğri asimptotu olur.
O halde, eğik veya eğri asimptotları bulmak için; pay, paydaya bölünür ve bölüm
asimptot denklemi olarak alınır.
POLĠNOM FONKSĠYONLARIN GRAFĠKLERĠ
1. f(x)=x3-12x
‘i inceleyelim.
2. Tanm kümesi: R
3.
4.x=0, y=0
2 3
y=0, x1= 2 3
lim x f ( x)  
x 2= - 2 3
5.f’’(x)=6x, (0,0) d.n
x
-

- 2 3 -2
0
2
Pol. Fonk.
Larda
asimptot
yoktur.per
iyodik
değildir.

2 3
f’(x)
+
+
-
-
+
+
+
f’’(x)
-
-
-
+
+
+
+
f(x)
2
-1
 3
2x  4
1
b
y' 
 0)vey2   a  ( x  )
2
2a
2 x  4x  3

0
-2
3
RASYONEL FONKSĠYONLARIN GRAFĠKLERĠ
DÜġEY ASĠMTOTLARI VARDIR, YATAY ASĠMPTOT
OLMAYABĠLĠR.PERĠYODĠK DEĞĠLDĠR.
1.
f(x)= x  1
x2
2. T . K. =R- (-2)
3.pay için. (D. A.) , x-2=0 x=2
4.payda için (Y. A. ) ,paydanın derecesi payın derecesinden büyük
eĢit olduğu için Y.A. vardır. Dereceler eĢit olduğu için
YA=katsayılar oranı=1 der(payda) > der(pay) olduğu durumlarda
ise YA=0 olur.
5.(0,-1/2) , (-1,0)
x
-1
0
f’(x) f(x) 1
2
0
-1/2
-

1
-1
-1/2
2
ĠRRASYONEL FONKSĠYONLARIN GRAFĠĞĠ
f(x)=
a<0, asimptot yok
ax 2  bx  c
a>0 , asimptot var ve eğik
b
b
y1  a  ( x  )vey2   a  ( x  )
2a
2a
1.y=
x2  4x  3
2.y1=x-2(EA) y2=2-x(EA)
1
3x2-4x +3  0
+
3.(0, 3) , (1,0) .
4,
y' 
-
T=R-(1,3)
+
(3, 0)
2x  4
2 x  4x  3
2
3
0
x=2 tanım kümesinin
elemanı olmadığı için
bu noktada ext yoktur.
X
Y’
Y
1
-
2
+
0
3
-
+
0
1
2
3
TRĠGONOMETRĠK FONKSĠYONLARIN GRAFĠĞĠ
1.y=sinx+3
2.T . R. = R
3.periyodu(T)=2  olduğu için fonksiyonu (0, )aralığıda inceleyelim.
4. Asimptot yok.
5.f’(x)=cosx =0 için (x 1=  , y1=4 ) (x2= 3
2
2
6.f(0)=3 , f( 2  )=3
7. F’’(x)=-sinx=0 için
DN ları
(0,3) , (  ,3)
,y2=2)
X
f’(x)
0
+
/2
+
3/2 2

-
-
+
+
f’’(x)
f(x)
3
4
3
2
DN
yer
DN
yerel
max
min
3
DN