Gerilme Dönüşümleri: Malzeme Mekaniği Sunumu

Third Edition
CHAPTER
7
MECHANICS OF
MATERIALS
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
John T. DeWolf
Gerilme
Dönüşümleri
Fatih Alibeyoğlu
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Gerilme ve Birim Deformasyon Dönüşümleri
• Yapıda veya makine elemanlarında birim alandaki gerilme
dağılımı aşağıda verilen 6 gerilme bileşeni ile tanımlanabilir:
• 3 adet Normal Gerilme:  x ,  y ,  z
• 3 adet Kayma Gerilmesi:  xy , xz ,  yz
• Ancak elemanın tanımlandığı koordinat sistemi belirli bir açı
kadar döndürüldüğünde (Şekil b) yukarıda verilen 6 gerilme
bileşenin değeri, dış yükleme aynı olmasına rağmen, değişir.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Düzlem Gerilmelerin Dönüşümü
• Düzlem gerilme durumunda:
• Aşağıda verilen döndürülmüş koordinat sisteminde ortaya
• çıkan gerilme bileşenlerin değerleri belirlenecektir.
Yukarıda verilen şekilden aşağıdaki eleman parçasını çıkartırsak:
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Düzlem Gerilmelerin Dönüşümü
• Aşağıda verilen elemanda statik denge şartlarını yazarsak x’y’
düzleminde oluşan normal ve kayma gerilmesi değerleri dış
yüklemeler cinsinden aşağıdaki gibi elde edilir:
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Soru
• Bir uçağın üzerinde bir noktadaki gerilme durumu verilmiştir.
30° yönlendirilmiş durumdaki gerilme değeri nasıl olur.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Asal Gerilmeler : Maksimum Kayma Gerilmesi
• Döndürülmüş koordinat sisteminde bir önceki bölümde verilen
gerilme değerleri bir çember üzerinde gösterilebilir. Bunu için;
 x 
 x  y
2

 x  y
2
cos 2   xy sin 2
• Aşağıda verilen kayma gerilmesi ile taraf tarafa toplanırsa ve her iki
tarafın karesi alındığında
2
2
2
2
 x  y 

  x  y 
2
  x 
   xy  
   xy 2




2
2




2


 
• Yukarıdaki ifade: ( x  h)  y  r
• Çember denklemini göstermektedir:
• Bu çemberin merkezi:  ort 
 x  y
2
 x  y
• Çemberin yarıçapı: R  
2

2

2
   xy


© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Asal Gerilmeler
 Bu çemberde A ve B noktaları önemlidir
zira bu noktalarda kayma gerilmesi değeri sıfırdır.
 A noktasında normal gerilme maksimum
B noktasında ise minimum değeri alır.
 Verilen elemanda sadece maksimum ve minimum
gerilmelerin bulunduğu düzlemin açısı:
İfadesi sıfıra eşitlenirse elde edilir:
 max ve  min
Gerilme değerlerine ASAL
GERİLMELER bulunduğu
düzleme ASAL DÜZLEM denir
 max   ort  R ve  min   ort  R
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Maksimum Kayma Gerilmesi
• Kayma gerilmelerin maksimum olduğu D ve E
• noktalarının apsisi
  y
 ort  x
  x aşağıdaki ifadeye yazılırsa:
2
  x  y 

 cos 2   xy sin 2  0 elde edilir ve kayma gerilmesinin


2


maksimum olduğu düzlemin açısı:
 
Maksimum kayma gerilmesi değeri:
2
  x  y 
2
   xy
 max  R  

2


Maksimum kayma gerilmesinin bulunduğu
 x  y





düzlemde normal gerilme sıfır değildir:
ort
2
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Kayma Gerilmesinin İşaretinin Tayin Edilmesi
• Kayma gerilmesi pozitiftir;
 eğer pozitif yöne doğru ise ve pozitif düzlemde etki ediyorsa
 veya negatif doğrultuda ve negatif düzlemde ise
• Kayma gerilmesi negatiftir;
 eğer negatif doğrultuda ve pozitif düzlemde ise
 veya pozitif doğrultuda ve negatif düzlemde ise
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Soru
• Şekilde verilen gerilme durumuna göre;
a) Asal düzlemleri ve asal gerilmeleri
b) Maksimum kayma gerilmesi düzlemlerini, maksimum kayma
gerilmesini ve normal gerilmeyi hesaplayınız.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Soru
• 600 N ‘luk bir yük manivelanın D
ucuna
uygulanmaktadır.
Manivelanın çapı 30 mm olduğuna
göre
a) H de yer alan x ve y eksenlerine
paralel kenarlara gelen normal ve
kayma gerilmelerini bulunuz.
b) H noktasında asal düzlemleri ve
asal gerilmeleri belirleyiniz.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Düzlem Gerilmeler için Mohr Çemberinin Kullanılması
• Mohr çemberi; basit geometrik kabuller kullanılarak herhangi bir
düzlemdeki gerilme dağılımı aşağıda belirtilen adımlar dikkate
alındığında kolaylıkla belirlenebilir:
 Normal gerilme x ekseninde ve kayma gerilmesi y ekseni olacak
şekilde bir koordinat düzlemi belirlenir.
 X noktası (x, -xy) ve Y noktası (y, xy) olacak şekilde koordinat
sisteminde işaretlenir ve X ile Y noktasını birleştiren doğru aynı
zamanda mohr çemberinin çapını da gösterir. Bu çemberin merkezi:
 ort 
 x  y
2
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Düzlem Gerilmeler İçin Mohr Çemberinin Kullanılması
 Çember üzerindeki A ve B noktası asal gerilmeleri gösterir.
 Eleman üzerindeki herhangi bir açı Mohr çemberinde 2 katı ile ve
aynı yönde gösterilir.
 Mohr çemberinden, Asal düzlem ile maksimum kayma
gerilmesinin bulunduğu düzlem arasında 450 lik (Mohr
çemberinde 900) bir açı farkı vardır.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Soru 3
• Altta verilen ve iki düzlem gerilme durumunun toplamından elde
edilen yeni düzlem gerilme durumu için asal gerilmeleri ve
düzlemlerini bulunuz.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.