Uploaded by User6322

Kinematik Doğrusal Hareket

advertisement
KİNEMATİK
Kinematik: Bir rijit cisme yada maddesel noktaya tesir eden dış kuvvetleri ve cismin kütlesini dikkate almaksızın hareket
denklemleriyle (yol, hız ve ivme) ilgilenen dinamiğin bir alt dalıdır.
1-Maddesel Noktalar Kinematiği
1. Doğrusal hareket
2. Düzlem Eğrisel hareket
a. Dik koordinatlar (Kartezyen)
b. Normal, teğetsel koordinatlar
c. Kutupsal koordinatlar
3. Uzayda eğrisel hareket
4. İzafi hareket
a. Eksenlerin ötelenmesi
b. Eksenlerin dönmesi
5. Sınırlandırılmış hareket
2-Rijit Cisimler Kinematiği
1.
2.
3.
4.
5.
Dönme (Rotasyon)
Mutlak hareket
İzafi hız
Ani dönme merkezi
İzafi ivme
3-Üç boyutlu rijit cisimlerin kinematiği
1.
2.
3.
4.
5.
Kaynaklar:
1. Engineering Mechanics DYNAMICS
JL Meriam, LG Kraige
2.Mechanics for Engineers
FP Beer, ER Johnston
3. Engineering Mechanics:Dynamics
Russell C. Hibbeler
Öteleme hareketi
Sabit eksen etrafında dönme
Paralel düzlem hareketi
Sabit nokta etrafında dönme
Genel hareket
TEMEL KAVRAMLAR
• Uzay: Cisimler tarafından işgal edilen geometrik bölgedir.
• Zaman: Birbirini izleyen olayların bir ölçüsüdür ve Newton mekaniğinde mutlak bir değer olarak kabul edilir.
• Kütle: Ataletin sayısal bir ölçüsüdür diğer bir ifadeyle hareketin değişimine gösterilen dirençtir.
• Kuvvet: Bir cismin diğer bir cisim üzerindeki vektörel etkisidir.
• Maddesel Nokta: İhmal edilebilir boyutlara sahip bir cisimdir. Hareketin tanımlanmasında veya üzerindeki
kuvvetlerin etkimesinde cismin boyutlarının bir önemi yok ise cisim maddesel bir nokta olarak kabul edilebilir.
• Rijit Cisim: Cismin tüm boyutlarıyla karşılaştırıldığında şeklindeki veya cismin bütün olarak konumundaki değişikliklerin
ihmal edilebilir seviyede olduğu bir cisimdir.
• Skaler büyüklük: Tek bir şiddetle ifade edilen büyüklüklerdir. (Zaman,enerji,yoğunluk,kütle)
• Vektörel büyüklük: Şiddetleri yanında yönlerinin de belirtilmesi gereken büyüklüklerdir. (yer vektörü, hız, ivme, moment,
ağırlık, momentum
BİRİMLER
NEWTON KANUNLARI
Newton’un 1.Kanunu (Eylemsizlik):
Üzerine bir kuvvet etkimiyorsa bir maddesel nokta duruyor ise durmaya, hareket ediyor ise üniform hız ile hareket etmeye
devam eder.
Newton’un 2.Kanunu (F=m.a):
Bir maddesel noktanın ivmesi üzerine etkiyen bileşke kuvvet ile orantılıdır ve bu kuvvet yönündedir.
Newton’un 3.Kanunu (Etki-Tepki Prensibi):
Temas eden cisimler arasındaki etki ve tepki kuvvetleri birbirine şiddetçe eşit, yönce ters ve aynı doğru üzerindedir.
ÇEKİM KANUNU
MADDESEL NOKTALAR KİNEMATİĞİ
Fiziksel boyutları yörüngesinin eğrilik yarıçapına kıyasla çok küçük P maddesel noktasının
herhangi bir t anındaki konumu dik koordinatlar (x,y,z), silindirik koordinatlar (r,θ,z) ve
kutupsal koordinatlar (R,θ,φ) belirtilerek tanımlanabilir. Ayrıca P’nin hareketi eğriye
teğet (t) ve normal (n) eksen takımı ile de tanımlanabilir.
Maddesel noktaların (veya rijit cisimlerin) hareketi, sabit referans eksenlerden (mutlak
hareket analizi) ölçülen koordinatları kullanılarak veya hareketli referans eksenlerden
(izafi hareket analizi) ölçülen koordinatları kullanılarak tanımlanabilir.
Mühendislikteki makinaların ve yapıların hareketlerinin önemli bir kısmı düzlemsel
hareket ile temsil edilebilir. Düz bir doğru boyunca hareket olan doğrusal hareket ile
düzlemsel hareket konumuza başlıyoruz ve düzlemsel bir eğri boyunca hareket tanımı ile
devam ediyoruz.
DOĞRUSAL HAREKET
Düz bir hat boyunca hareket eden P maddesel noktası dikkate alındığında herhangi bir t
anında P'nin konumu, hat üzerindeki uygun sabit bir O referans noktasından ölçülen s
mesafesiyle belirlenebilir. t+Δt anında maddesel nokta P` noktasına hareket etmekte ve
koordinatları s+Δs olmaktadır. Δt zamanı boyunca konum koordinatındaki değişim,
maddesel noktanın Δs yer değiştirmesi olarak adlandırılır.
Maddesel noktanın P’den P` noktasına Δt zaman aralığı hareketi esnasındaki ortalama hızı 𝜈
Δt zaman aralığı azaltılıp limitte sıfıra yaklaşırken, ortalama hız 𝜈 = 𝑙𝑖𝑚
→
Anlık hız= 𝑣 =
anlık hızına yaklaşır.
= 𝑠̇ (1) ile ifade edilir
Maddesel noktanın P’den P` noktasına Δt zaman aralığı hareketi esnasındaki ortalama ivmesi 𝑎
Δt zaman aralığı azaltılıp limitte sıfıra yaklaşırken, ortalama ivme a= 𝑙𝑖𝑚
→
Anlık ivme= 𝑎 =
=
= 𝑣̇
veya 𝑎 =
= 𝑠̈ (2) ile ifade edilir.
=
anlık ivmeye yaklaşır.
DOĞRUSAL HAREKET
(1) ve (2) denklemlerinde 𝑑𝑡 yok edilir ise;
𝑣𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑠 (3) denklemi elde edilir. Hareket değişkenlerindeki sonlu değişimleri içeren doğrusal
hareket problemleri bu temel diferansiyel bağıntıların integrasyonu ile çözülür.
Doğrusal hareketi yöneten diferansiyel denklemlerin yorumuna 𝒔, 𝒗, 𝒂 ve 𝒕 arasındaki
bağıntılarının grafik olarak gösterimi ile önemli ölçüde açıklık kazandırılmaktadır.
Yanda verilen şekil, bir doğrusal hareket için 𝑡 anından 𝑡 anına kadar s değişiminin
şematik çizimidir. Herhangi bir t anında eğriye teğet çizerek, 𝜈 = 𝑑𝑠/𝑑𝑡
hızını veren eğimi elde edilir. Böylece hız eğrinin tüm noktalarında belirlenebilir.
DOĞRUSAL HAREKET
Herhangi bir anda 𝒔 − 𝒕 eğrisinin eğimini veren 𝜈 = 𝑑𝑠/𝑑𝑡 eşitliğinden
faydalanılarak hız(𝝂)-zaman(𝒕 ) eğrisi elde edilebilir. Benzer şekilde 𝝂- 𝒕 eğrisinin
herhangi bir andaki 𝑑𝜈/𝑑𝑡 eğimi o andaki ivmeyi verir ve 𝒂- 𝒕 eğrisi buna bağlı
olarak elde edilebilir.
DOĞRUSAL HAREKET
Denklem (1) 𝑣 =
idi
Denklem (2) 𝑎 =
idi
∫ 𝑑𝑠 = ∫ 𝑣𝑑𝑡 veya 𝑠 − 𝑠 = 𝑣 − 𝑡 eğrisi altında
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑎𝑑𝑡 veya 𝑣 − 𝑣 = (a-t) eğrisi altında
kalan alan.
kalan alan.
DOĞRUSAL HAREKET
Denklem (3) 𝑣𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑠 idi
∫ 𝑣𝑑𝑣 = ∫ 𝑎𝑑𝑠
(𝑎-𝑠) eğrisi altındaki alan = (𝑣 − 𝑣 )
𝑣 hızı 𝑠 konum koordinatının bir fonksiyonu olarak çizildiğinde, herhangi bir A noktasındaki
eğrinin eğimi d𝑣/ds dir. Bu noktada eğriye AB normalini çizerek benzer üçgenlerden
𝐶𝐵/𝑣 = 𝑑𝑣/𝑑𝑠 olduğu görülebilir. Böylece ivme(𝑎) = 𝐶𝐵 = 𝑣( ) elde edilmiş olur.
DOĞRUSAL HAREKET
𝒔, konum koordinatı, 𝒕’nin tüm değerleri için biliniyorsa zamana göre ardışık matematiksel veya grafiksel türevler 𝒗 hızını ve 𝒂
ivmesini vermektedir. Pek çok problemde, konum koordinatları ve zaman arasındaki fonksiyonel bağıntı bilinmemektedir. Bu
bağıntının ivmeden ardışık integrasyon ile belirlenmesi gerekmektedir. İvme hareket eden cisimler üzerine etkiyen kuvvetlerden
belirlenmekte olup ivmenin kuvvetlerden elde edilmesi KİNETİK dersinde anlatılacaktır.
Kuvvetlerin doğasına bağlı olarak, ivme zamanın, hızın, veya konum koordinatlarının fonksiyonu veya bu büyüklüklerin
birleşiminden oluşan bir fonksiyon olarak belirtilebilir.
a) İVMENİN SABİT OLMASI HALİ: (𝑎=sabit)
Başlangıç şartları; 𝑠 = 𝑠 , 𝑣 = 𝑣 ve 𝑡 = 0
𝑎=
∫ 𝑑𝑣 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑡
𝑣 − 𝑣 = 𝑎𝑡
𝑣 = 𝑣 + 𝑎𝑡
𝑣=
∫ 𝑑𝑠 = ∫ 𝑣 𝑑𝑡
𝑠 − 𝑠 = ∫ (𝑣 + 𝑎𝑡)𝑑𝑡
𝑠 = 𝑠 + 𝑣 𝑡 + 𝑎𝑡
DOĞRUSAL HAREKET
b) İVMENİN ZAMANIN FONKSİYONU OLMASI HALİ: (𝑎= 𝑓(t))
Başlangıç şartları; 𝑠 = 𝑠 , 𝑣 = 𝑣 ve 𝑎 = 𝑎
𝑎=
= 𝑎(t)
𝑣=
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑎(t)𝑑𝑡
∫ 𝑑𝑠 = ∫ 𝑣 𝑑𝑡
𝑣 = 𝑣 + ∫ 𝑎(t)𝑑𝑡
𝑠=𝑠 +
(𝑣 + ∫ 𝑎(t)𝑑𝑡)𝑑𝑡
c) İVMENİN HIZIN FONKSİYONU OLMASI HALİ: (𝑎= 𝑓(𝑣))
Başlangıç şartları; 𝑠 = 𝑠 , 𝑣 = 𝑣 ve 𝑎 = 𝑎
𝑎=
=𝑓 𝑣
𝑣𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑠
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑓(𝑣)𝑑𝑡
𝑣𝑑𝑣 = 𝑓(𝑣)𝑑𝑠
( )
∫ 𝑑𝑠 =
= ∫ 𝑑𝑡
( )
𝑡=
( )
𝑠=𝑠 +
( )
DOĞRUSAL HAREKET
d) İVMENİN YOLUN FONKSİYONU OLMASI HALİ: (𝑎= 𝑓(s))
𝑣𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑠
∫ 𝑣𝑑𝑣 = ∫ 𝑓(𝑠)𝑑𝑠
𝑣 = 𝑣 + 2 ∫ 𝑓(𝑠)𝑑𝑠
Hız, yer değiştirmenin bir fonksiyonu olarak bulunur 𝑣 = 𝑓(𝑠)
𝑣=
𝑣=𝑔 𝑠 =
𝑣=𝑔 𝑠
𝑔(𝑠) = (𝑣 + 2 ∫ 𝑓(𝑠)𝑑𝑠)
∫ 𝑑𝑡 =
( )
ÖRNEK
DOĞRUSAL HAREKET
Düz bir doğru boyunca harekete zorlanan bir maddesel noktanın konum koordinatı 𝑠 = 2𝑡 − 24𝑡 + 6
denklemi ile tariflenmektedir. Burada s uygun bir orjinden ölçülmekte olup birimi metre, t’nin birimi
saniyedir. a)maddesel noktanın t=0’daki başlangıç koşulundan 72m/s hıza erişmesi için gereken zamanı
b) 𝑣=30 m/s iken maddesel noktanın ivmesini ve c) t=1 s’den t=4 s’ye olan zaman aralığı boyunca maddesel
noktanın net yer değiştirmesini belirleyiniz.
Çözüm
𝑣=
𝑑𝑠
= 6𝑡 − 24 𝑚/𝑠
𝑑𝑡
𝑎=
a)
𝑣 = 6𝑡 − 24=72
t= 4sn
b)
𝑣 = 6𝑡 − 24 = 30
t= 3sn
𝑎 = 12𝑡
c)
Δ𝑠 = 𝑠 − 𝑠
𝑑𝑣
= 12𝑡 𝑚/𝑠
𝑑𝑡
12.3 = 36𝑚/𝑠
Δ𝑠 = 2 4
− 24 4 + 6 − 2 1
− 24 1 + 6 = 54𝑚
ÖRNEK
Çözüm
DOĞRUSAL HAREKET
Bir doğru boyunca hareket eden maddesel noktanın yeri s = 𝑡 − 6𝑡 − 15𝑡 + 40 bağıntısıyla tanımlanmaktadır.
s metre ve t saniye ile ifade edilmek üzere;
a)Hızın 0 olduğu zamanı bulunuz
b)Bu andaki yeri ve gidilen uzaklığı bulunuz
c)Bu andaki ivmeyi bulunuz
d)t= 4sn’den t=6sn’ye kadar maddesel noktanın gittiği yolu bulunuz.
s = 𝑡 − 6𝑡 − 15𝑡 + 40
a)𝑣 = 3𝑡 − 12𝑡 − 15 = 0
𝑣=
c) 𝑎 = 6𝑡 − 12
𝑎=
= 6𝑡 − 12
𝑡 = −1𝑠 ve 𝑡 = +5𝑠
b) 𝑠 = (5) − 6(5) − 15(5) + 40
t=0 için
= 3𝑡 − 12𝑡 − 15
𝑠 = −60𝑚
𝑠 = 40𝑚
𝑎 = 6(5) − 12
𝑎 = +18𝑚/𝑠
t=0 ile t=5sn aralığında gidilen yol Δs=-60-40=-100m
Negatif yönde 100m
DOĞRUSAL HAREKET
d)
𝑠 = (4) − 6(4) − 15(4) + 40 = −52𝑚
𝑠 = (5) − 6(5) − 15(5) + 40 = −60𝑚
𝑠 = (6) − 6(6) − 15(6) + 40 = −50𝑚
4. ve 5. saniyeler arasında gidilen yol;
𝑠 −𝑠 = −60𝑚 − (−52𝑚) = −8𝑚
Negatif yönde 8m
5. ve 6. saniyeler arasında gidilen yol;
𝑠 − 𝑠 = −50𝑚 − (−60𝑚) = +10𝑚
Pozitif yönde 10m
DOĞRUSAL HAREKET
ÖRNEK
Bir top, binanın 18m yükseklikteki bir penceresinden 12m/s hızla düşey olarak yukarı
doğru atılmıştır. Topun ivmesi aşağı doğru 9,81 𝑚/ 𝑠 ’dir.
a)Herhangi bir t zamanında topun hızını ve yerden yüksekliğini bulunuz
b)Topun ulaşabileceği maksimum yüksekliği ve buna karşılık gelen t süresini bulunuz
c)Topun yere değeceği zamanı ve buna karşılık gelen v hızını bulunuz.
Çözüm
𝑎=
= =sabit
∫
/
𝑑𝑣 = ∫ 𝑎𝑑𝑡 = −9,81 ∫ 𝑑𝑡
18
a) 𝑣 − 𝑣 = −9,81𝑡
𝑣 = 12 − 9,81𝑡
𝑠 = 18 + 12𝑡 − 4,905𝑡 𝑚
;
b) Maksimum yükseklikte 𝑣 = 0 olur.
𝑣 = 12 − 9,81𝑡 = 0
𝑠 = 18 + 12(1,223) − 4,905(1,223)
𝑣=
∫
𝑠 = 25,74 𝑚
c) Top yere değdiğinde 𝑠 = 0 olur.
𝑠 = 18 + 12𝑡 − 4,905𝑡 =0
𝑡 = 3,496𝑠
𝑣 = 12 − 9,81𝑡
𝑣 = 12 − 9,81 3,496 = −22,3 𝑚/𝑠
𝑑𝑠 = ∫ 12 − 9,81𝑡 𝑑𝑡
𝑡=
,
s − 𝑠 = 12𝑡 − 9,81
𝑡 = 1,223 𝑠
DOĞRUSAL HAREKET
ÖRNEK
Bir maddesel nokta 𝑡 = 0 iken orijinde 𝑣 = 50 𝑚/𝑠 başlangıç hızı ile x-ekseni boyunca hareket etmektedir. İlk 4 saniye
ivmesiz olarak hareket etmektedir. Daha sonra 𝑎 = −10 𝑚/𝑠 ’lik ivmeye maruz kalır. Maddesel noktanın ivmesini ve
yer değiştirmesini 𝑡 = 8𝑠 𝑣𝑒 𝑡 = 12𝑠 için bulunuz. Ayrıca maddesel noktanın ulaşacağı maksimum yer değiştirmeyi bulunuz.
Çözüm 𝑎 =
= −10
∫ 𝑑𝑣 = −10 ∫ 𝑑𝑡
𝑣 − 50 = −10(𝑡 − 4)
𝑣=
∫
𝑣 = 90 − 10𝑡
𝑑𝑠 = ∫ (90 − 10𝑡)𝑑𝑡
𝑠 = 50(4) + ∫ (90 − 10𝑡) 𝑑𝑡 = −5𝑡 + 90𝑡 − 80𝑚
𝑡 = 8𝑠 𝑖ç𝑖𝑛
𝑡 = 12𝑠 𝑖ç𝑖𝑛
𝑥 = −5(8 ) + 90(8) − 80 = 320𝑚
𝑥 = −5(12 ) + 90(12) − 80 = 280𝑚
t = 9 s' den sonra, hareket negatif x- doğrultusunda olduğundan, t = 12 s anındaki x-koordinatı t = 8 s anındakinda en küçüktür.
Maksimum pozitif x-koordinatı bu nedenle t = 9 s anındaki x değeridir.
𝑠
= −5(9 ) + 90(9) − 80 = 325𝑚
DOĞRUSAL HAREKET
ÖRNEK
Yüklü bir vagon, yay ve damperli bir tamponla birleştiği sırada sabit bir hızla hareket
ediyor. Birleşmeden sonra 𝑥 𝑣𝑒 𝑡 𝑠𝚤𝑟𝑎𝑠𝚤𝑦𝑙𝑎 mm ve saniye(s) cinsinden ifade edilmek
üzere 𝑥 = 60𝑒 . sin 16𝑡 bağıntısıyla tanımlanmaktadır. 𝑡 = 0,3𝑠 iken vagonun
konumunu, hızını ve ivmesini bulunuz.
Çözüm
.
𝑥 = 60𝑒
𝑣=
𝑎=
sin 16𝑡
𝑑𝑥
= 60(−4.8)𝑒
𝑑𝑡
𝑑𝑣
= 1382.4𝑒
𝑑𝑡
.
𝑎 = −13977.6𝑒
.
si n 16 𝑡 + 60(16)𝑒
sin 16𝑡 − 4608𝑒
.
.
si n 16 𝑡 − 9216𝑒
.
co s 16 𝑡
cos 16𝑡 − 4608𝑒
.
co s 16 𝑡
.
co s 16 𝑡 − 15360𝑒
.
si n 16 𝑡
DOĞRUSAL HAREKET
Çözüm
𝑒
.
=𝑒
. ( . )
=𝑒
.
= 0.23692
si n 16 𝑡 = si n 16 (0.3) = si n 4.8 = −0.99616
co s 16 𝑡 = co s 16 0.3 = co s 4.8 = 0.08750
𝑥
𝑎
.
= 60 0.23692 −0.99616 = −14.16mm
= − 288 0.23692 −0.99616 + 960 0.23692 0.08750 = 87.9𝑚 𝑚⁄𝑠
𝑣
.
.
= −(13977.6)(0.23692)(−0.99616) − (9216)(0.23692)(0.08750) = 3108𝑚 𝑚⁄𝑠
DOĞRUSAL HAREKET
ÖRNEK
Dairesel hareketi gidip-gelme hareketine çeviren Scotch-yoke mekanizması üzerindeki A noktasının
ivmesi 𝑎 = −1.8sin(𝑘𝑡) bağıntısıyla tanımlanmaktadır. 𝑎 𝑣𝑒 𝑡 sırasıyla 𝑚⁄𝑠 ve saniye(𝑠) ve k=3rad/s olarak
verilmektedir. t = 0’da x = 0 ve 𝑣 = 0,6𝑚/𝑠 olduğuna göre t = 0,5𝑠 iken A noktasının hız ve konumunu
bulunuz.
Çözüm
𝑎=
𝑎 = −1.8si n 𝑘 𝑡
𝑣 = 0,6 m/s
𝑑𝑣
⇒ 𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑣−𝑣 =
𝑎𝑑𝑡 = −1.8
𝑣 − 0.6 =
𝑥 =0
𝑑𝑣 =
si n(𝑘 𝑡)𝑑𝑡 =
𝑎𝑑𝑡
1.8
co s(𝑘 𝑡)|
𝑘
1.8
(co s(𝑘 𝑡) − 1) = 0.6co s(𝑘 𝑡) − 0.6
3
𝑣 = 0.6 cos(𝑘𝑡)
𝑚 ⁄𝑠
𝑘 = 3𝑟𝑎 𝑑⁄𝑠
DOĞRUSAL HAREKET
Çözüm
𝑣=
𝑑𝑥
⇒ 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡 ⇒
𝑑𝑡
𝑥−𝑥 =
𝑥−0=
𝑣𝑑𝑡 = 0.6
𝑑𝑥 =
𝑣𝑑𝑡
co s(𝑘 𝑡)𝑑𝑡 =
0.6
si n(𝑘 𝑡)|
𝑘
0.6
(si n(𝑘 𝑡) − 0) = 0.2si n(𝑘 𝑡)
3
𝑥 = 0.2𝑠𝑖 𝑛(𝑘 𝑡) 𝑚
𝑘𝑡 = (3)(0.5) = 1.5𝑟𝑎𝑑
𝑣 = 0.6𝑐𝑜 𝑠 1.5 = 0.0424𝑚/𝑠
𝑥 = 0.2𝑠𝑖 𝑛(1.5) = 0.1995𝑚
DOĞRUSAL HAREKET
ÖRNEK
Yandaki Scotch-yoke mekanizmasında A noktasının ivmesi 𝑎 = −1.08sin(𝑘𝑡) − 1.44cos(𝑘𝑡) bağıntısıyla
verilmektedir. İvme(𝑎) birimi 𝑚⁄𝑠 - zaman(t) birimi ise saniye(s) ve k=3rad/s şeklinde olduğuna göre
𝑥 = 0.16𝑚 ve 𝑣 = 0.36 𝑚/𝑠 olduğuna göre 𝑡 = 0,5 𝑠’de A noktasının konumunu ve yerini belirleyiniz.
Çözüm
𝑎=
𝑎 = −1.08si n( 𝑘 𝑡) − 1.44co s( 𝑘 𝑡) 𝑚⁄𝑠
𝑑𝑣
⇒ 𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡 ⇒
𝑑𝑡
𝑣 − 0.36 =
𝑑𝑣 =
𝑎𝑑𝑡
𝑣 = 0.36 𝑚⁄𝑠
𝑣 − 𝑣 = −1.08
𝑥 = 0.16 m 𝑘 = 3𝑟𝑎 𝑑⁄𝑠
sin(𝑘𝑡)𝑑𝑡 − 1.44
1.08
1.44
1.08
1.44
co s(𝑘 𝑡)| −
si n(𝑘 𝑡)| =
(cos3𝑡 − 1) −
(sin3𝑡 − 0)
𝑘
𝑘
3
3
𝑣 = 0.36cos3𝑡 − 0.48sin3𝑡
𝑡 = 0.5𝑠 için
0.36 cos 1.5 − 0.48 sin 1.5
𝑣 = −0,453𝑚/𝑠
cos(𝑘𝑡)𝑑𝑡
DOĞRUSAL HAREKET
Çözüm
𝑑𝑥
⇒ 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡 ⇒
𝑑𝑡
𝑣=
𝑥−𝑥 =
𝑥 − 0.16 =
𝑣𝑑𝑡 = 0.36
𝑑𝑥 =
𝑣𝑑𝑡
co s(𝑘 𝑡)𝑑𝑡 − 0.48
si n(𝑘 𝑡)𝑑𝑡
0.36
0.48
0.36
0.48
si n(𝑘 𝑡)| +
co s(𝑘 𝑡)| =
(sin(3𝑡) − 0) +
(cos(3𝑡) − 1)
𝑘
𝑘
3
3
𝑥 = 0.12si n(3 𝑡) + 0.16co s(3 𝑡) 𝑚
𝑡 = 0.5𝑠
𝑖ç𝑖𝑛
𝑥 = 0.12si n(1.5) + 0.16co s(1.5) = 0.1310 𝑚
DOĞRUSAL HAREKET
ÖRNEK
Çözüm
Bir şilep motorları aniden durduğunda 𝑣 =8 deniz mili hızına sahiptir. Şilebin 𝑣=4 deniz mili hızına erişebilmesi için
𝑡 = 10 𝑑𝑘 geçmektedir. Bu süre içerisinde şilebin aldığı yolu ve hızını zaman cinsinden ifade ediniz. Denizin şilebe
uyguladığı kuvvetten dirençten dolayı şilep 𝑎 = −𝑘𝑣 şeklinde bir ivmeye sahiptir.
𝑎 = −𝑘𝑣 =
𝑣
𝑣=
1 + 𝑣 𝑘𝑡
𝑑𝑠
8
𝑣=
=
𝑑𝑡 1 + 6𝑡
𝑠=
8
6 𝑑𝑢
𝑢
𝑑𝑣
= −𝑘
𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑡
10 1
𝑡=
= 𝑠𝑎𝑎𝑡
60 6
𝑑𝑠 =
4
𝑠 = ln 𝑢
3
4=
8
𝑑𝑡
1 + 6𝑡
1 1
− + = −𝑘𝑡
𝑣 𝑣
𝑑𝑡
( ⁄ )
𝑠=
ise k=3/4 𝑚𝑖𝑙
8
𝑑𝑡
1 + 6𝑡
4
𝑡
𝑠 = ln(1 + 6𝑡)
0
3
1 1 + 𝑣 𝑘𝑡
=
𝑣
𝑣
𝑣=
1 + 6𝑡 = 𝑢
𝑠 = ln(1 + 6𝑡)
𝑣
8
=
1 + 𝑣 𝑘𝑡 1 + 8 3 𝑡
4
6𝑑𝑡 = 𝑑𝑢
𝑑𝑡 =
𝑑𝑢
6
DOĞRUSAL HAREKET
ÖRNEK
Bir aerodinamik test neticesinde arabanın hareketine araba fren yaptığı zaman 𝑎 = −𝐶 − 𝐶 𝑣
Şeklinde bir ivme kazandırdığı tespit edilmiştir. Gerçek harekette 𝑡 = 0 anında araba 𝑣 = 𝑣 hızına
sahipse motor devreden çıkartıldığı zaman arabanın durabilmesi için gereken mesafeyi beren ifadeyi
bulunuz.
Çözüm
𝑎𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣
𝑠=
𝑠=−
−
𝑑𝑢
2𝐶 𝑢
−𝐶 − 𝐶 𝑣 . 𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣
1
𝑠=−
ln 𝑢
2𝐶
1
𝐶 +𝐶 𝑣
ln
2𝐶
𝐶 +𝐶 𝑣
𝑣=0
𝑠=
𝑠=
𝑠=−
𝑑𝑠 =
1
ln 𝐶 + 𝐶 𝑣
2𝐶
1
𝐶 +𝐶 𝑣
ln
2𝐶
𝐶 +𝐶 𝑣
1
𝐶 +𝐶 𝑣
ln
2𝐶
𝐶
𝑣𝑑𝑣
−
𝐶 +𝐶 𝑣
𝑣
𝑣
𝑢 =𝐶 +𝐶 𝑣
𝑑𝑢 = 2𝐶 𝑣𝑑𝑣
𝑑𝑢
𝑣𝑑𝑣 =
2𝐶
DOĞRUSAL HAREKET
ÖRNEK
Bir sıvı tankının içerisine bir mermi 𝑣 hızı ile ateşleniyor. Sıvı mermiye bir direnç göstererek
𝑎 = −𝑘𝑣 şeklinde bir ivme kazanmasına neden oluyor. Merminin sıvı içerisinde başlangıç
hızının yarısı hıza sahip olduğu anda almış olduğu yolu ve bu yol için gereken 𝑡 zamanını bulunuz
Çözüm
𝑎 = −𝑘𝑣
1
𝑣 /2
𝑠 = − ln 𝑣
𝑣
𝑘
𝑑𝑣
𝑎=
𝑑𝑡
𝑣𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑠
1
𝑣
𝑠 = − ln
𝑘
2𝑣
𝑑𝑣
−𝑘𝑣 =
𝑑𝑡
𝑡=
1 2
1
−
𝑘 𝑣
𝑣
𝑡=
1
𝑘𝑣
−𝑘𝑣 𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣
𝑠=
1
𝑑𝑡 = −
𝑘
1
𝑑𝑠 = −
𝑘
/
1
ln 2
𝑘
𝑑𝑣
𝑣
𝑠=
0,693
𝑘
𝑡=−
1
1
−
𝑘
𝑣
𝑣 /2
𝑣
/
𝑑𝑣
𝑣
DOĞRUSAL HAREKET
ÖRNEK
Aeorodinamik direnç etkisi hesaba katıldığında bir topun ivmesi yukarı doğru hareket ederken 𝑎
aşağı doğru hareket ederken 𝑎 ’dir. Burada k bir sabit olup değeri k=0,0066 (1/m)’dir. Topun fırlatma
hızı 𝑣 = 30 𝑚/𝑠’dir. Maksimum h yüksekliğini ve yere çarpma hızını bulunuz.
Çözüm
𝑎𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣
𝑑𝑢 = 2𝑘𝑣𝑑𝑣
𝑢 = 𝑔 + 𝑘𝑣
ℎ=−
1
ln 𝑔 + 𝑘𝑣
2𝑘
0
𝑣
−𝑔 − 𝑘𝑣 𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣
𝑎 𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣
𝑣𝑑𝑣 =
𝑑𝑢
2𝑘
1
𝑔
ℎ = − ln
2𝑘
𝑔 + 𝑘𝑣
ℎ=−
ℎ=−
𝑑𝑠 =
1
2𝑘
−
𝑣𝑑𝑣
𝑔 + 𝑘𝑣
𝑑𝑢
1
= − ln 𝑢
𝑢
2𝑘
1
9,81
ln
2(0,0066)
9,81 + 0,0066.30
ℎ = 35,87 𝑚
DOĞRUSAL HAREKET
Çözüm
𝑎𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣
1
−ℎ =
ln −𝑔 + 𝑘𝑣
2𝑘
−𝑔𝑒
= −𝑔 + 𝑘𝑣
𝑑𝑠 =
𝑣𝑑𝑣
−𝑔 + 𝑘𝑣
−𝑔 + 𝑘𝑣
1
−ℎ =
ln
2𝑘
−𝑔
𝑣
0
𝑣
= 𝑔 − 𝑔𝑒
1
𝑘
−2𝑘ℎ = ln
−𝑔 + 𝑘𝑣
−𝑔
𝑣 = 23,68 𝑚/𝑠
DOĞRUSAL HAREKET
ÖRNEK
Bisikletlerin bazılarında şok emilimini sağlamak için yağ dolu bir silindirde hareket eden bir piston
kullanılır. Ön tekerlek bir tümsekten geçtiğinde silindir 𝑣 hızıyla hareket eder. Gidon çatalına takılan
piston daha sonra silindire göre hareket eder ve yağ pistonlardaki deliklerden akmaya zorlanır. Bu da
piston’un 𝑎 = −kv olacak şekilde yavaşlamasına sebep olur.
a) 𝑣 𝑦𝑖 𝑡 𝑐𝑖𝑛𝑠𝑖𝑛𝑑𝑒𝑛 b) 𝑥 𝑖 𝑡 𝑐𝑖𝑛𝑠𝑖𝑛𝑑𝑒𝑛 c)𝑣 𝑦𝑖 𝑥 𝑐𝑖𝑛𝑠𝑖𝑛𝑑𝑒𝑛 ifade ediniz.
Çözüm
a)
b)
𝑎 = 𝑑 𝑣 ⁄𝑑 𝑡
𝑣 𝑒
𝑑𝑥
=
𝑑𝑡
𝑑𝑣
= −𝑘
𝑣
𝑑𝑣
−𝑘𝑣 =
𝑑𝑡
𝑑𝑥 = 𝑣
𝑒
𝑑𝑡
ln
𝑑𝑡
𝑥=−
[𝑒
𝑣
= −𝑘𝑡
𝑣
𝑡
] =−
0
(𝑒
𝑣=𝑣 𝑒
− 1)
𝑥=
𝑣
(1 − 𝑒
𝑘
DOĞRUSAL HAREKET
Çözüm
c)
𝑎 = 𝑣𝑑 𝑣⁄𝑑 𝑥
−𝑘𝑣 = 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑣 = −𝑘𝑑𝑥
𝑑𝑣 = −𝑘
𝑣 − 𝑣 = −𝑘𝑥
𝑑𝑥
𝑣 = 𝑣 − 𝑘𝑥
DOĞRUSAL HAREKET
ÖRNEK
Çözüm
İki yay ile zemine tutturulmuş kayar eleman, sürtünmesi ihmal edilebilir yatay kılavuz içinde
hareket etmekte ve 𝑠 = 0 𝑣𝑒 𝑡 = 0’da ortadaki konumdan geçerken 𝑠 yönünde 𝑣 hızına
sahiptir. İki yay birlikte kayar elemanın hareketine, yer değiştirme ile orantılı fakat ters yönde
ve 𝑎 = −𝑘 𝑠 'e eşit ivme veren bir geciktirme kuvveti uygulamaktadır, burada k sabittir. 𝑠 yer
değiştirme ve 𝑣 hız bağıntılarını 𝑡'nin fonksiyonu olarak belirleyiniz.
𝑣𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑠
𝑣=
𝑣𝑑𝑣 = ∫ −𝑘 𝑠𝑑𝑠
𝑣 −𝑘 𝑠 =
∫ 𝑑𝑡 =
=−
𝑠
𝑣=
𝑡=∫
𝑎 −𝑥
x=a. sin 𝝧 𝑏𝑖ç𝑖𝑚𝑖𝑛𝑑𝑒
𝑠=
. sin 𝑢
𝑑𝑠 =
. cos 𝑢 . du
𝑣 −𝑘 𝑠
DOĞRUSAL HAREKET
Çözüm
.
𝑡=∫
𝑠=
𝑡=
.
. sin 𝑢
1
sin
𝑘
𝑘
𝑠
𝑣
𝑠=
. sin 𝑘𝑡
𝑣=
𝑣 −𝑘 𝑠
.
𝑡=∫
𝑢 = sin
𝑠
𝑘𝑡 = sin
𝑘
𝑠
𝑣
𝑣=
𝑣
𝑣 −𝑘
sin (𝑘𝑡)
𝑘
𝑡=
sin 𝑘𝑡 =
𝑘𝑠
𝑣
𝑣 = 𝑣 . cos(𝑘𝑡)
DOĞRUSAL HAREKET
ÖRNEK
𝑣 hızı ile düşen cisim yaylarla desteklenmiş platforma çarpmakta ve temasını
korumaktadır. Çarpmadan sonra cismin İvmesi 𝑎 = 𝑔 − 𝑐𝑦 olup
burada c pozitif bir sabittir ve y platformun orijinal konumundan ölçülmektedir.
Yayların maksimum sıkışması 𝑦 olarak gözlemleniyorsa c sabitini belirleyiniz.
Çözüm
𝑎 = 𝑔 − 𝑐𝑦 = 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑦
(𝑔 − 𝑐𝑦)𝑑𝑦 =
(𝑔𝑦 − 𝑐
𝑔𝑦 − 𝑐
𝑦
)|
2
𝑦
𝑣
=−
2
2
=
𝑣𝑑𝑣
𝑣
|
2
𝑐=
𝑣 + 2𝑔𝑦
𝑦
DOĞRUSAL HAREKET
ÖRNEK
𝑣 hızı ile düşen koni, paketlenen malzeme kütlesine çarpmakta ve içine
girmektedir. Çarpmadan sonra koninin ivmesi 𝑎 = 𝑔 − 𝑐𝑦 olup 𝑐 pozitif
bir sabit ve 𝑦 batma mesafesidir. Maksimum batma derinliği 𝑦 olarak
gözlemleniyorsa 𝑐 sabitini belirleyiniz.
𝑎 = 𝑔 − 𝑐𝑦 = 𝑣
(𝑔 − 𝑐𝑦 )𝑑𝑦 =
(𝑔𝑦 − 𝑐
𝑔y − 𝑐
𝑦
)|
3
𝑦
𝑣
=−
3
2
=
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑣 𝑑𝑣
𝑣
|
2
𝑐=
3𝑣 + 6𝑔𝑦
2𝑦
Download
Random flashcards
canlılar ve enrji ilişkileri

2 Cards oauth2_google_d3979ca9-59f8-451c-9cf7-08c5056d5753

En Mimar Architecture LTD ŞTİ XD

2 Cards asilyasar069

KIRIHAN GÜMÜŞ DEDEKTÖR

6 Cards oauth2_google_49cd8e53-7096-4be6-ba73-4ff7e4195b4b

KALPTE İLETİM NOKTALARI

3 Cards oauth2_google_cfd2531f-f18a-45fd-9d97-afe31596ce7b

Create flashcards