Doç. Dr. Mehmet Emin Bozhüyük - Genel Topoloji'ye Giriş

GENEL TOPOLOJİYE GİRİŞ
(UZAYLAR BÎLÎMİ)
Doç. Dr. Mehmet Emin BOZHÜYÜK
Atatürk Üniversitesi
Fen - Edebiyat Fakültesi
Matematik Bölümü
Topoloji Anabilim Dalı Başkanı
Atatürk Üniversitesi Basımevi — ERZURUM, 1984
ÖNSÖZ
Topoloji, Üniversitelerde Lisans seviyesinde üçüncü sınıf öğrencilerine
okutulan bir matematik dersidir. Türkiye’de doçentlik ünvanı için bir matematik
anabilim dalı olarak kabul edilen topoloji, ilgili problemleri en genel şekilde
incelediği için matematiğin birçok dalını etkileyerek büyük bir önem kazanmış­
tır.
1971 yılından beri okutmakta olduğum Genel Topolojiye Giriş dersinin
notları Atatürk Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Kuru­
lunca adı geçen dersin kitabı olarak kabul edilmiş ve Fen-Edebiyat Fakültesi
yayınları arasında basılmasına karar verilmiştir.
Bu kitabın amacı topolojinin temel kavramlarını öğrencilere kolay öğrenile­
bilir bir şekilde sunmaktır. Kitap hazırlanırken esas itibari ile E. M. Paterson’un
Topology kitabından ve Kaynaklar kısmında yazılı diğer kitaplardan faydalanılmıştır.
Bu kitapta birkaçı çözülmüş pek çok problem vardır. Bunların bazıları halka
mal olmuş ilginç problemlerdir. Bazıları ise, öğrencinin konuyu anlayıp anla­
madığını ortaya koyan türdendir.
Büyük bir çalışmanın sonucu olan bu kitabın matematik öğrencilerine ve diğer
okuyuculara yararlı olacağına inanıyorum.
Kitabı yayınları arasına alan Atatürk Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi
Kuruluna, kitabın basılmasında büyük emeği geçen Atatürk Üniversitesi Matbuası
Müdürü Cafer Tekerli’ye ve personeline ayrıca bana yardımcı olan Dr. Y. Altın
ve öğrencilerime teşekkür ederim.
Doç. Dr. Mehmet Emin Bozhüyük
Mart 1978, Erzurum.
İÇİNDEKİLER
Sayfa No.
ÖNSÖZ ........................................................................
f
İÇİNDEKİLER
..................................................
BİRİNCİ BÖLÜM. GİRİŞ
IH
v
....................................................................
1
* 1. Topolojik denklik ..................................................................................
» 2. Yüzeyler ..................................................................................................
t
3. Yönlendirme v e İki taraflılık...................................................................................
2
5
^
4. Bağlantılılık ..........................................................................................
• 5. Topolojik sabitler ..................................................................................
• 6.Çokyüzlüler üzerineEulcr teoremi ....................................................
11
14
15
7. Haritaları boyam a..................................................................................
18
İKİNCİ BÖLÜM. TOPOLOJİK UZAYLAR ......................................
23
' 8. Kümeler teorisinin simgeleri ve tanımları ..........................................
(*"9. Fonksiyonlar ........ .T!...........................................................................
» î 10. Denklik bağıntıları ............................................................................
rh~ÖR!I<!L~dbgrusu üzerinde süreklilik......................................................
12. Öklid düzleminde süreklilik .............................................................
13. n-Boyutlu. Öklid uzayı .........................................................................
23
28
29 31 >32 33 —
* 4 . Metrik uzaylar ..................................................................................... Ç35*Y~
15. Metrik uzaylarda süreklilik................................................................. 36 —
• 16. Metrik uzaylarda açık kümeler ve ilgili kavram lar................................ 38—
* 17. Metrik uzaylar hakkında teoremler ...................................................
{ 18.
/ T9.
r~J 20.
■■'■'^'21.
I' —^22.
~ 23.
^24.
40 .
Topolojik uzaylar"?}............................................................................. 4 i —
Topolojik uzaylar hakkında bazı teoremler ................................... 46
Bir topolojik uzay tanımlamanın değişik yöntemleri ....................... ,49
Tabanlar^..........................................................
Etkilenmiş (Rölatif) topoloji .............................................................. '$£)
özdeşleme topolojisi-Bölüm u zay ı....................................................... 53
Topolojik çarpım .............................................................
^5__.
~ 25. Topolojik gruplar ............................................................................... 57
1
ÜÇÜNCÜ BÖLÜM. ÖZEL TOPOLOJİK U Z A Y L A R ......................
9 26.
27.
28.
29.
Hausdorff uzayları .............................................................................
Normal uzaylar .....................................................................................
Yakınsaklık, süzgeçler ve limitler ......................................................
Topak uzaylar .....................................................................................
59
59
61
66
30. Bağlantılı uzaylar .................................................................................
71
76
DÖRDÜNCÜ BÖLÜM. HOMOTOPİ TEORİSİ
81
............
31- G iriŞ.........................................................................................................
32. Homotopi üzerine teoremler ..............................................................
33. Homotopi tipi .................................................................................
81
g3
gg
34. Eğriler......................................................
g7
35. Esas grup .................................................................................................. 36. Homotopi grupları ............................................................................. 98
BEŞİNCİ BÖLÜM, SİMPLEKSEL KOMPLEKSLER ...................... 101
37. G iriş ........................................................................................................ 101
38. Öklid uzayının lineer alt uzayları ...................................................... 101
39. Simplcksler ............................................................................................. 103
40. Simplckslcrin yönlendirilmesi .............................................................. 104
41.
42.
43.
44.
Simplcksel kom pleksler.........................................................................
Değme .....................................................................................................
Üçgcnlcme .............................................................................................
Üçgcnlcme örnekleri.............................................................................
105
106
108
109
ALTINCI BÖLÜM. HOMOLOJİ TEORİSİ ..........................................
45. G iriş.........................................................................................................
46. Sonlu doğurulmuş Abel grupları ......................................................
47. Zincirler .................................................................................................
48. Sınırlar.....................................................................................................
49. Devirler .................................................................................................
50. Homoloji grupları
.............................................................................
51. Betti sayıları .........................................................................................
52. Keyfi bir Abel grubu üzerinde zincirler ..........................................
53. Kohomoloji g rupları.............................................................................
54. Homoloji gruplarınının hesaplanması ..............................................
KA YN AK LAR.............................................................................................
İNGİLİZCE-TÜRKÇE SÖZLÜK ..........................................................
İNDEKS
113
113
114
120
120
121
122
126
127
130
130
135
137
142
B İR İN C İ
BÖLÜM
v
GİRİŞ : Topoloji, Yunanca uzay (bir yer) anlamındaki tojtoct (topos) ve
bilim anlamındaki koyoa (logos) kelimelerinden Lefschetz tarafından uydurulmuş
topology kelimesinin Türkçe okunuşudur. Dolayısıyle topoloji uzaylar bilimi demek
tir. Bu dersin adı bundan böyle Uzaylar Bilimidir. Topololoji matematikte konum
çalışması olarak tanımlanırdı. Diğer bir adı konum analizi idi. Konu geometrinin
bir dalı olarak ortaya çıkmıştı. Fakat son yıllarda o kadar genelleştirildiki matema­
tiğin diğer bir çok dallarına girdi. Şimdiki devir matematikçilerinin hemen hepsi
topolojinin bir süreklilik çalışması olduğunda anlaştılar. Süreklilik matematik
analizde çok önemli rol oynadığından topolojinin bu sağlam bilim dalının etkisi
altında kaldığı şaşırtıcı değildir. Bunun bir sonucu gerekli ön bilgilerle başla tılmıyan topolojinin yeni başlayanlara zor gelmesidir. Bu zorluğu yenmek için bu
yapıtın birinci bölümü topolojinin temel kavramlarının aydınlatıcı bir açıkla­
masına ayrılmıştır. Bu ileri bölümlerdeki incelemeye isteklilik kazandırmaya
yardım edecektir.
Uzay deyince aklınıza ne geliyor?
1. Etrafımızdaki boşluk.
2. Güneş sistemini ve diğer gök cisimlerini içine alan sonsuz boşluk, ev­
ren.
3. Bir küme ve bir topolojik yapı. Diyenler oluyor. Meselâ
1
Çember ve doğru bir boyutlu uzaylardır. Şekil la,b. Kare ve düzlem iki bo­
yutlu uzaylardır. Şekil 2a, b. Evren ve simit üç boyutlu uzaylardır. Şekil 3a, b.
Şekil 3a b. Simit.
1.
TOPOLOJİK DENKLİK. Basit Öklid (Euclides) Geometrisi'nin önemli
bir kısmı üçgenlerin ve diğer şekillerin eşitliğini konu alır. Eşitlik geometrik
şekiller arasındaki denkliğin bir çeşididir. Gerçekten bu, uzayda yerleri farklı
olan iki şeklin özdeşliğidir.
AB = A jB j , B = B ı , C = C!
ise, A jB ıC ı, ABC nin üstüne kaydırı­
lır. K.A.A. teoremine göre
ABC = A 1B 1C 1 dir. Şekil. 4
Benzerlik, Basit Öklid geometrisinde
A = Â,B = D, C = E.
Üç
açısı eşit olan üçgenler benzerdir teore­
mine göre ABC ~ ADE dir. Burada,
benzerlik simgesidir. Şekil 5.
Bütün kareler benzerdir. Fakat
bütün dikdörtgenler benzer değildir.
Şekil 6. da iki benzır dikdörtgen vardır.
Kenarları bir sabitle orantılı olan dik­
dörtgenler benzerdir.
2
bilinen diğer bir denklik örneğidir.
A
Kb
b
A
a
B
Ka
Şekil 6. (A: a, b), (B: Ka, Kb).
Bütün çemberler (küreler) benzerdir. Şekil 7.
Benzer şekiller eş şekillidir. Fakat
onların aynı büyüklükte olması gerek­
mez. Benzerlik eşitlikten daha zayıf bir
denkliktir. Eşit şekiller benzerdir. Fakat
benzer şekiller eşit olmayabilir.
Sayılar teorisinde geçen kongruans,
İL, tam sayılar kümesi üzerinde bir denk­
liktir. Denklik sınıfları a = b (mod m)
için
0
e
( 0, m....... ± km j,
k bir tam sayıdır.
T as { 1, 1+m, ... , 1 ± km j
m-1 = | m-1, m -l+ m , ... , (m-1) ± km J
ile gösterilen Z nin alt kümeleridir. Bunlar ayrıktır.
İzdüşel geometride, görünüş (Perspective) kavramı üzerine kurulan tamamıyla
farklı bir denklik önemli bir rol oynar. Bu halde denk şekillerin büyüklüğü
ve biçimi aynı olmak zorunda değildir. Fakat şekiller bazı ortak özelliklere sahip­
tirler. Örnek verirsek şekillerin birindeki bir doğru, diğer denk şekillerdeki bir doğ­
ruya karşılık gelir. Topolojide denkliğin temel çeşidine topolojik denklik veya
topolojik eşyapılılık (homcomorphism) denir.
İki şekilden biri, diğeri üzerine sürekli bir değişme ile getirilebiliyorsa, bu iki
şekil topolojik olarak denktirler veya topolojik olarak eşyapılıdırlar denir.
Meselâ parçalama, kırma ve yapıştırma yapmadan bir plastik parçasından elde
edebileceğimiz bir çok farklı şekiller topolojik olarak denktirler. Böylece bir küre,
bir elipsoid bir küp ve bir düzgün dörtyüzlü topolojik olarak denktirler.
Fakat bu şekillerden hiç biri bir zincir halkasına veya simite benzeyen bir
katı Tora (Solid torus) topolojik olarak denk değildir. Şekil 3.
3
Bir çember ile üç doğru parçasından oluşan bir üçgenin topolojik cşyapılı
olduğu ışın fonksiyonu yardımıyla gösterilebilir. Önce çemberin merkep üçgenin
ağırlık merkezi ile çakışacak şekilde üçgenin üzerine kaydırılır. Bu durumda
çemberin herhangi bir yarıçap ışını çizildiğinde yarıçapın uç noktası üçgenin
bir ve yalnız bir noktasına, ışının üçgeni kestiği noktaya, karşılık gelir. Bu eşlemeye
ışın fonksiyonu denir. Işın fonksiyonunun birebir ve sürekli bir değişme olduğu
açıktır. Şekil 8’c bakınız.
A
Şekil 8. Işın fonksiyonu.
Tanım; Bir çemberin çevrelediği düzlem parçasına, çemberle birlikte, bir
daire denir. Şekil 9.
Teorem: Bir daire, bir küre ile topolojik cşyapılı değildir.
ispat: ödev.
Topoloji, şekillerin özellikle öze ait özelliklerini, yani şeklin kendisinin özel­
liklerini inceler. Bunlar şeklin içinde bulunduğu herhangi bir uzayla olan ilgisi
ile ilgili özellikler değildir. Bundan önceki paragrafta anlatılan deneyler fiziksel
uzayda yapılmıştır. Burada uzay önemli bir rol oynadığından bunlar topolojik
denklik fikrinin tamamlanmış bir tanımını verirler. Örnek olarak, Şekil 10’da
gösterilen düğüm sürekli bir dönüşüm ile uzayda bir çembere çevrilemezken bu iki
şekil topolojik olarak denktirler. Dört boyutlu Öklid uzayında bu düğüm sürürekli bir değişme ile bir çember üzerine getirilebilir. Bu iddianın ispatı zordur.
4
ÖDEVLER
i
5.1. Sınırlı ve sınırsız uzaylara örnekler veriniz.
5.2. a s b (möd m) olması için m’nin a-b yi bölmesi gerek ve yeterdir önermesinde
geçen kongruansın, s , tam sayılar üzerinde bir denklik bağıntısı olduğunu göste­
riniz.
S.3. Kare ile çemberin eşyapılı olduğunu ışın fonksiyonunu kullanarak göste­
riniz.
5.4. Küre ile çemberin eşyapılı olmadığını ispat ediniz.
5.5. Küre ile dairenin eşyapılı olmadığını ispat ediniz. 9
2. YÜZEYLER. Topolojide karşılaşılan bazı fikirleri aydınlatmak için bazı
yüzeyleri göz önüne alacağız. Üç boyutlu Öklid geometrisinde tanıdığımız yüzeyler
daire, küre, çembersel silindir, çembersel koni, elipsoid bir veya iki kanatlı hiperboloidler ve paraboloidlerdir. Bütün küreler eşyapılı olduklarından herhangi
bir küreden ziyade küreden söz ederiz. Gerçekte, verilen bir küre ile eşyapılı
tüm yüzeylerin bir sınıfını göz önüne alıyoruz ve bu sınıfın bir özel üyesini temsilci
olarak kullanıyoruz. Merkezi (a,b,c) ve yarıçapı r olan küre
(x - a)2 + (y - b)2+ (z - c)2 = r2
denklemi ile bilinir ve S2 ile gösterilir. Şekil 11.
Benzer bir anlaşma diğer uzaylar için kabul edilir.
Daha az bilinen yüzeyler tor, iki-katlı tor ve
bunların örnek olduğu genel n-katlı tordur. Bunlar
şekil 12 de gösterilmiştir, n-katlı tor benzer bir yü­
zeydir. Fakat onun bir yerine n tane deliği vardır.
Şekil 12 a, b. Tor ve 2-katlı tor.
Silindir ve tor bir dikdörtgenin karşı kenarlarının yapıştırılması (birleştiril­
mesi) ile elde edilir. Bu birleştirme özdeşleme olarak bilinir.
ABCD bir dikdörtgen olsun. Şekil 13 de gösterildiği gibi A ile D ve B ile
C çakışmak üzere AB ile DC yi birleştirelim. Elde edilen yüzey bir sonlu
silindirdir.
5
A
A-D
B
B=C
Şekil 13.
Silindir, iki k?.rşı kenarı özdeşlenen bir dikdörtgen ile temsil edilir. Bu kenar­
lar üzerindeki oklar, bunların şekil 14 de gösterildiği gibi doğrudan doğruya
birleştirildiğini gösterir.
Şekil 14. Özdeşleme ile silindirin elde edilmesi.
Bundan başka başlangıçtaki dikdörtgenin kalan iki kenarının doğrudan doğ­
ruya özdeşlenmesi ile tor elde edilir. Bu özdeşleme için uygun dikdörtgen şekil
15 de gösterilmiştir. Bu dikdörtgenden torun inşası şekil 16 da gösterilmiştir.
6
Torun başkabir inşası: Bir çemberi kendi düzlemi içerisinde kendini kesmeyen
bir eksen etrafında 360° döndürmekle tor, bir dönel yüzey olarak elde edilir.
Böyle elde edilen torun denklemi silindirik koordina.t sistemine (r-b)2 + z 2= a 2
dir. Bu denklemdeki a ve b sabitleri torun inşa.smı resmeden şekil 17 de belirtil­
miştir.
Şekil 17. Dönel yüzey olarak tor.
Burulmalı Özdeşleme: Aynı ABCD dik dörtgeninden başlıyarak farklı bir
özedeşleme kullanarak başka yüzeyler elde edebiliriz. Eğer A ile C, B ile D ça­
kışacak şekilde AB ve CD yi özdeşlersek, Möbius şeridi olarak bilinen bir yüzey
elde ederiz. Bu halde AB ve CD zıt yönde özdeşlenir. Böylccc şekil 18 a da verilen
Sekide oklar zıt yöndedir. Okuyucuya dikdörtgen şeklinde uzunca bir kağıt parça­
sının bir ucunu 180° kıvırıp diğer ucuna yapıştırarak bir Möbius şeridi ya.pması
tavsiye edilir. Elde edilecek yüzey şekil 18 b de gösteriliyor:
Şekil 18. a, b, Möbius şeridi.
Silindir ile Möbius şeridi topolojik eşyapılı mıdır?
Topolojik olarak Möbius şeridi silindirden farklı bir yüzeydir. Yani, bu iki yüzey
eşyapılı değildir. Bu, az önce anlatılan işlemle iki yüzeyin kağıt modelleri inşa edi­
lerek ve sonra her iki yüzey dikdörtgenin AB ve CD kenarlarının orta noktalarım
7
birleştiren bir doğru boyunca kesilerek görülebilir. Bir tam kesme silindiri iki par­
çaya ayırır fakat Möbius şeridi bir tek parça olarak kalır. Bu parçada tam iki
yarı kıvrım vardır. Bunun gerçekte silindirle eşyapılı olduğu kesme ve yatış­
tırma ile gösterilebilir.
İlk dikdörtgenin şekil 19 da gösterdiği gibi diğer iki kenarımnda özdeşlenmesi
ile Klein şişesi olarak bilinen yüzey elde edilir. Bu haldeki özdeşleme dolaysızdır.
Fakat uzayda Klein şişesinin kesmeyen bir modelini yapmak imkansızdır; Üç bo­
yutlu uzayda, bu yüzey bir yerde kendisini keser. Bu kendini kesme özelliği Klein
şişesinin özüne ait bir özellik değildir. Eğer dört boyutlu uzayda Klein şişesini yapabilseydik kendisini kesmezdi. Klein şişesinde iki tane Möbius şeridi vardır.
Yukarıdaki Klein şişesinin yapımında bir dikdörtgenin karşı kenar çiftleri
özdeşlenmişti. Bir çift doğrudan doğruya diğer çift zıt yönde özdeşlendi. Eğer iki
çift kenar da zıt yönde özdeşlenirse, elde edilen yüzey izdüşel düzlem olarak bililinir. Şekil 20 a da izdüşel düzlemin yapılışı gösterilmiştir. Bu yüzey de üç boyutlu
uzayda kendisini keser. Şekil 20 b.
İzdüşel düzlemden bir daireye eşyapılı bir parça kesildiğinde bir Möbius
şeridi elde edilir. İzdüşel düzlemi P 2, Möbius şeridini M ve parçayı D ile gösterirsek
p 2 — D = M veya P 2 = D + M dir.
Şekil 19. Klein şişesi.
8
Bu son şekil de iki farklı köşe olduğu görülür. Halbuki Toru ve Klein
şişesini gösteren şekillerde yalnız bir köşe vardır. İzdüşcl düzlcnT bir çok yol
larla elde edilebilir. Alışılmış tanım aşağıdaki gibidir.
P üç boyutlu Öklid uzayında herhangi bir nokta olsun. P den geçen her­
hangi bir doğruya izdüşcl düzlemin bir noktası denir. İzdüşcl düzlemin kendisi
bu çeşit tüm noktalardan oluşur. P merkezli herhangi bir küre P den geçen her
doğruyu, çap uçları olan tam iki noktada kestiğinden gerçek izdüşcl düzlem küre
yüzeyinde çap uçlarında karşı noktaların özdeşlenmesi ile elde edilen bir yüzey,
olarak gözönünc alınabilir. Şekil 20 a da verilen temsili elde etmek için bir ya­
rım küreyi ve ekvator dairesini gözönünc alalım. Ekvator üzerinde olmayan
fakat yarı küre üzerinde olan her nokta gerçek izdüşcl düzlemin bir noktasını
tekten temsil eder. Yarı küre üzerindeki böyle her noktayı o noktadan ekvator
düzlemine indirilen dikmenin ayağının yerine koyarak, çevresi üzerinde çap uçları
karşılıklı olarak özdeşlenmiş bir dairenin noktalarından oluşan gerçek izdüşel
düzlemin bir temsilini elde ederiz. Bu hemen hemen şekil 20 a daki temsilin
aynısıdır. Bir dikdörtgen yerine bir daire konulmuştur. Fakat daire ile dikdörtgen
topolojik eşyapılı olduğundan iddia ispatlanmıştır.
Bu kısımda tanımlanan yüzeyler topolojide gözönünc alınan uzayların çok
özel örnekleridir. İkinci bölümde genel topolojik uzayları inceleyeceğiz. Bunlar
için yukarıdaki gibi geometrik şekiller bulunmayabilir.3
3. YÖNLENDİRME VE İKİ TARAFLILIK.
Yüzeyler bir veya iki taraflı olabilirler. Küre, silindir ve tor iki taraflı yüzey
örnekleridir. Onların hem iç hem de dış tarafları vardır. İki taraflı bir yüzeyin fi­
ziksel kavramı yüzeyin bir tarafındaki noktaların diğer tarafındaki noktalara
yüzeyi kesmeyen veya kenarlarının üzerinden (altından) geçmeyen sürekli bir eğri
ile birlcştirilcmiycceğidir. Silindirinin iç tarafındaki bir noktayı dış taraftdaki
bir noktaya birleştiren sürekli bir eğri ya silindir yüzeyini keser veya silindirin iki
kenarının birinin üzerinden geçer.
Möbius şeridi, Klein şişesi ve gerçek izdüşcl düzlem tek taraflı yüzey örnek­
leridir. Bunların üzerinde iç tarafı dış taraftan ayırmak mümkün değildir. Örnek
olarak yapılışı ikinci paragrafta anlatılan Möbius şeridinin bir kağıt modeli üzerin­
deki herhangi bir nokta, diğer herhangi bir noktaya bir kalemle sürekli olarak
kağıdı tcrkctmcdcn birleştirilebilir.
Yönlendirme kavramı iki taraflılığın fiziksel kavramından çıkarılır. Eğer
kenar varsa, kenar noktaları dışında kalan, yüzeyin her noktası etrafında bir küçük
kapalı eğri çizildiğini ve bunların belirli bir yönle-ya saa.t yelkovanının dönüş
yönü veya pozitif yön diye bilinen saat yelkovanının dönüş yönünün zıddı-yön-
9
lcndirildiğini kabul edelim. Eğer bir birine yeter derecede yakın olan tüm noktalar
için bu küçük kapalı eğrilere aynı yön seçilebiliyorsa, o yüzeye yönlendirile­
bilir denir. Aksi halde yüzeye yönlendirilemez denir.
Bir tek taraflı yüzeyin yönlendirilemiyeccği kolayca görülür. Örnek olarak,
şekil 21 a da ABCD dikdörtgeninin AB ve CD kenarlarının orta noktalarım
birleştiren xy doğru parçası şekil bir Möbius şeridi yapıldığı zama.n bir kapalı
eğri olur. Bu eğrinin hiç bir noktası yüzeyin kenarı üzerinde değildir. Bu eğrinin
her noktası etrafında, her komşu iki çember aynı yönlü olacak şekilde çember­
ler çizmek mümkün değildir.
Şekil 21 a, b Möbius şeridi yönlendirilemez.
Bu en kolayca şu şekilde görülür. Söz konusu eğri boyunca eğrinin her
hangi bir noktası etrafında çizilen çember hareket ettirilir. Çember başlangıçtaki
yerine döndüğü zaman yönlendirilmesi tersine çevrilmiştir. Şekil 21.
Eğer bir yüzey şimdi anlatılan fiziki anlamda iki taraflı ise, o zaman onun
yönlendirilebilir olduğu da gösterilebilir.
ÖDEVLER
1. Analitik geometriden bildiğiniz yüzeylerin isimlerini ve denklemlerini yazı­
nız. Bu yüzeyler topolojik olarak denk midir?
2. Tor nasıl elde edilir? Verilen iki yöntemi resimlerle anlatınız. n = 7 için n-katlı
torun resmini çiziniz.
3. İzdüşel düzlem nedir? İki yöntemle tanımla.yınız. Bu tanımlardan elde edilen
uzayların gerçekten topolojik olarak eşyapılı olduğunu ispat ediniz.
4. Klein şişesi nedir ? Kağıttan yapılmış bir Klein şişesi modelini keserek iki tane
'M'öoıus'şciuiı '¿Aie "cütAîz.
5. Bir yüzeyin yönlendirilebilir olması ne demektir? Möbius şeridinin, izdüşel
düzlemin ve Klein şişesinin yönlendirilmediğini gösteriniz.
6. İki taraflı yüzeylerin yönlcndirilebildiğini gösteriniz.
10
4. BAĞLANTILIL1K. Öklid geometrisinde karşılaşılan yüzeylerin çoğu bağlan­
tılıdır. Bu böyle bir yüzeyin herhangi iki noktasının sürekli bir eğri ile birleştirile­
bileceği anlamındadır. Topolojide bu özelliği sağlayan uzaylara eğrisel bağlan­
tılı denir. İki kanatlı hiperboloid bağlantılı olmayan bir yüzeydir Şekil 22.
Şekil 22. İki kanatlı hiperboloid.
Bağlantısız yüzeyler bir cok hallerde farklı iki veya daha çok bağlantılı yüzey­
lerin bir terkibidir. Rıı yüzeylere bâsîtgcometride karşılaşıldığı için, genellikle yaF~
nız bağlantılı yüzeyleri incelemekle genellikten birşoy kaybedilmez.
Bununla beraber bağlantılılığın bir çok farklı çeşitleri vardır. Örnek olarak,
küre üzerinde herhangi bir kapalı eğri gözönüne alalım. Böyle bir eğri, yüzeyi
terk etmeden sürekli olarak bir noktaya büzülebilir. Bu, tor üzerinde mümkün
olmayabilir. Örnek olarak şekil 12 deki torun C çemberi, yüzeyi terk etmeden sü­
rekli olarak bir noktaya büzülemez.
Tanım: Her hangi kapalı bir eğrisi yüzeyi terketmeden sürekli olarak bir nokta­
ya büzülebilen bağlantılı bir yüzeye basit bağlantıdır denir.
Böylecc küre basit bağlantılıdır. Fakat tor basit bağlantılı değildir. Basit
bağlantılı yüzeyleri, basit bağlantılı olmayan yüzeylerden ayıran benzer bir özellik
birinciler üzerindeki herhangi basit kapalı bir eğri diğer birisi üzerine sürekli
olarak bozunabildiği halde, ikinci yüzeyler için bu doğru değildir. Bu, homotopi
kavramındaki ana düşüncedir. Bir eğri diğer bir eğri üstüne sürekli olarak bozunabiliyorsa, homotopturlar denir. Şekil 12 de tor yüzeyi üzerindeki C ve C t
ep&kisu'inmıûropnthar. Fakat C ile C 2 homotop değildir. Homotopi, Cebirsel
Topolojide önemli bir rol oynar.
Jordan eğri teoremi, küre ile tor yüzeylerinin bağıntılılığının farklı tipte
olduğunu veren diğer bir gerçektir.
11
4- Aşağıdaki yüzeylerin cşyapılı olup olmadıklarını, sınırlı olup olmadıklarını
araştırınız.
a) Bir düzlem,
b) Tor yüzeyi,
c) İzdüşel düzlem.
5. TOPOLOJİK SABİTLER.
Sınıflandırma problemleri, Matematiğin, bir çok dallarında önemlidir.
Topolojide temel problem topolojik uzayları, topolojik olarak cşyapılı olanları
beraberce bir araya toplayıp, sınıflandırmaktır. Bu sınıfları kareterize etmenin bir
yolu uzaylarla belli şeyleri genellikle sayıları veya grupları birleştirmektir. Bunlar
verilen bir sınıftaki uzaylar için aynıdır. Böyle şeylere topolojik sabitler denir.
Çünkü onlar topolojik olarak denk olan uzaylar için eşit olabilir. Tam bir sınıf­
landırmaya tüm sabitleri eşit olan iki farklı sınıf olmadığı zaman ulaşılır. Bu sınıf­
landırma problemi ilk kez Fransız matematikçisi Poincare tarafından ciddi olarak
incelenmesinden beri çok ilgi çekici olmuştur. O günümüzde yapılan araştırmala­
rın çoğunun hedefidir. Bu problem topak (compact) iki boyutlu katmerler için
tamamen çözülmüştür. Bu uzaylar küre, tor, Klein şişesi ve gerçek izdüşel düzlem
gibi bilinen kenarsız kapalı ve sınırlı yüzeylerdir.
Tanım (Bağlantılı toplam) : İki yüzeyden basit bağlantılı iki bölge kesilip
atılır ve yüzeyler kesitlerin kenarları boyunca yapıştırılırsa elde edilen yüzeye,
verilen iki yüzeyin bağlantılı toplamı denir.
Şekil 24 de iki tor yüzeyinden basit bağlantılı iki bölge kesilerek bir iki-katlı
tor, iki torun bağlantılı toplamı olarak elde edilmiştir.
Şekil 24. Bağlantılı toplam.
Yüzeylerin temel teoremi : a) Yönlendirilebilir iki boyutlu, topak her yüzey
ya bir küreye yada belli bir m doğal sayısı için bir m-katlı tora cşyapılıdır.
b) Yönlcndirilemiycn topak iki-boyutlu bir yüzey, belli bir n doğal sayısı için
n tane izdüşel düzlemin bağlantılı toplamına cşyapılıdır.
Bu teoremin ispatı dördüncü bölümde verilecektir.
Daha karmaşık uzaylar için sınıflandırma problemi çözülmemiştir. Bir çok topo­
lojik sabitler bulunmuştur. Fakat genel olarak sabitleri eşit olan iki uzayın gerekli
14
olarak topolojik denkliği için yeterli olduğu bilinen bir sınıflandırma keşfedil­
memiştir.
6. ÇOKYÜZLÜLER ÜZERİNE EULER TEOREMİ.
Tanım: Çokgenlerden oluşmuş bağlantılı uzaylara çokyüzlü denir.
Küp, Düzgün dörtyüzlü, Piramit birer çok yüzlüdür.
Topolojik sabitlerin bir örneği aşağıda ispat edeceğimiz Euler teoreminde
ortaya çıkar. Bu sabit, teoremde söz konusu olan çokyüzlünün yüz, ayrıt ve köşe
sayılarının almaşık toplamıdır.
Euler Teoremi: Yüzleri basit kapalı poligona! düzlem parçalan olan
hangi basit bağlantılı ve kapalı, bir çokyüzlünün köşe, ayrıt ve yuz sayısı
her
ise, K—A + Y = 2 dir.
Teoremin ispatına geçmeden bir k?.ç çokyüzlü üzerinde teoremin doğrul
ğunu görelim. Bir küpün 8 köşesi, 12 ayrıtı 6 yüzü vardır. Dolayısı ı
K—A + Y = 8—12 + 6 = 14— 12 = 2 dir. Şekil 25.
Bir düzgün dörtyüzlünün 4 köşesi, 6 ayrıtı ve 4 yüzü olduğundan yine
K—A + Y = 2 dir. Şekil 25a.
Bir üçgen pirizmanın 6 köşesi, 9 ayrıtı ve 5 yüzü olduğundan yine
K—A + Y = 2 dir. Şekil 26.
Şekil 25. Küp.
Şekil 25 a.
Şekil 26.
Şekil 27 de resmedilen dikdörtgenler ve yamuklardan oluşmuş çokyüzlünün
16 köşesi, 32 ayrıtı ve 16 yüzü vardır. Bu çokyüzlü için K A + Y = 0 dir. Fakat
bu çok yüzlü şekil 12 a da verilen tora cşyapılı olduğundan basit bağlantılı değil­
dir.
Bir üçgensel düzlem parçasının 3 köşesi, 3 ayrıtı (kenarı) ve bir yüzü vardır.
K—A + Y = 3—3 + 1 = 1 ^ 2 dir. Fakat bu çokyüzlü kapalı değildir. Ayrıca
kenarlıdır (It has a boundry). Şekil 28.
15
Teoremin ispatı: Çokyüzlüyü yüzlerini birbiri ardı sıra yapıştırarak inşa
edelim. (Bu Eulcrin çokyüzlüyü yüzlerine parçalama yönteminin aksidir.) Çok­
yüzlüyü yaparken yeni eklenen her yüzün sadece ardışık kenarlarla eski yüzlerin
kenarlarına yapıştırılabildiğini kabul edelim.
K—A + Y —1 = G olsun.
Birinci yüz n-kcnarlı bir poligon olsun, bunun için K = n, A = n, ve Y = 1
olduğundan G = 0 dır.
İkinci yüz birinci yüz ile b kenarı ortak m-kcnarlı bir poligon olsun. Buhalde
K = m + n —2, A = m + n —1 ve Y — 2 olduğundan yine G = 0 dır.
Şimdi çokyüzlünün tamamlanmadığı müddetçe G = 0 olduğunu ispat etmek
için matematiğin tümevarım yöntemini kullana.lım. Çok yüzlünün yapıştırılacak
hiç olmazsa iki yüzü kalan bir inşa adımında, G = 0 olduğunu kabul edelim. Bir son­
raki adıma geçişte bir p kenarlının q ardışık kenar ve dolayısı ile q + l ardışık
köşe ile eski yüzlere yapıştırıldığını kabul edelim. Üssüz harfler önceki adıma
üslü harf 1er yeni adıma ait olsun.
’
O
zaman K ' = K + (p—q—1), A' = A + (p—q)vc Y' = Y + l dolayısı ile
G' = K '-A '+ Y '-l = K + (p-q-l) - A- (p-q) + Y + 1 —1 = K -A + Y -l = G = 0
elde edilir. Buradan, çokyüzlü tamamlanmadığı müddetçe G = 0 olduğu çıkar.
Şekil 29. Düzgün oniki yüzlünün inşasında son iki yüzün eklenmesini gösterir.
Son yüz yapıştırıldığı zama.n hiç bir yeni köşe veya kenar eklenmez fakat
yüzlerin sayısı bir artar. Buradan tamamlanmış çok yüzlü için K—A + Y —1 = 1
veya K—A + Y = 2 olduğu çıkar.
Bu teoremin bir genelleştirmesi, Enler karekteristiği olarak
k = K—A + Y sabitini daha açık olarak ortaya çıkarır.
16
bilinen
Şekil 29. Düzgün oniki yüzlü (Dodecahedron), p = 5 , q = 4 .
Teorem: Eğer herhangi kapalı bir yüzey, K tane noktasını (köşesini) ikişer
ikişer birleştiren A,-tane yay (ayrıt) ile Y tane bölgeye (yüz) bölünürse, öyleki
her köşede cnaz iki ayrıt birleşmiş olsun, o zaman k = K—A + Y değeri yüzeyin bö­
lünme yönteminden bağımsızdır.
I
Bu teoremi ispa.t etmek için önce bir yüzeyin verilen herhangi iki bölünmesinin
yüz, ayrıt ve köşelerini ihtiva eden bir üçüncü bölünmenin kurulabileceğini görme­
liyiz. Bu, iki bölünmeye ait ayrıtların kesim noktalarını yeni köşeler olarak ekle­
mekle yapılır. Bu işlem yeni köşeler ve yeni yüzler verir. Şimdi teoremi ispat et­
mek için yapılacak iş verilen bir bölünmeye yeni köşlcr, ayrıtlar ve yüzler eklenme­
siyle elde edilen herhangi bir bölünmede de k = K—A + Y değerinin aynı olduğu­
nu ispat etmektir. Yeni bir köşenin eklendiğini ve bu köşenin öne; var olan
köşelerin bazılarına n yeni ayrıt ile birleştirildiğini kabul edelim. Yüzlerin sayısı
(n—1) tane artar. Çünkü ilk yüzlerden birisi yerine n tane yüz konulmuş olur.
Şekil 30.
O
halde bu işlemle k = K—A + Y değişmez. Eğer biz yeni köşeler eklcmcksizin yeni ayrıtlar eklersek, k = K—A + Y yine değişmez. Çünkü herbir yeni ayrıt
yeni bir yüz oluşturur. Netice olarak k = K—A + Y verilen herhangi bir bölünmeye
17
yeni köşeler ayrıtlar ve yüzler ekliycrck bulunan bölünme için aynı kalır. Bu sebep­
ten yüzeyin bütün bölünmeleri için bu değer sabittir. Tor için k = 0 olduğunu hesap­
ladık. İzdüşcl düzlem için k = l olduğu şekil 20 a dan hesaplanır. İzdüşel
düzlemin bu modelinde iki köşe, iki ayrıt ve bir yüz vardır.
Cebirsel topoloji başlangıçta bir topolojik uzayı bir çokyüzlünün köşeleri
kenarları ve yüzlerine karşılık gelen parçalara (Element) bölme ve bunu daha yük­
sek boyutlara genelleştirme fikri üzerine kurulmuştur. Uzayların böyle alt bölme­
lerini inccliycrck aralarında Euler karakteristiği de bulunan bir çok topolojik sa­
bitler bulunabilir. Bunlardan bazıları ilerideki bölümde incelenecektir.
ÖDEVLER
1. Bir iki katlı torun Euler k?.rcteristiğini hesaplayınız.
2. Klein şişesinin Euler karekteristiğini hesaplayınız.
3. Silindir şeklinde bir reçel kutusunun iki ayrıtı, üç yüzü ve sıfır köşesi vardır.
Buna göre k = K - A + Y = l çıkmaktadır, küreye topolojik eş yapılı olan reçel
kutusunun Euler karekteristiğinin de iki olması gerekmez miydi?
4. Jordan ve Euler teoremlerini başka bir şekilde ispat ediniz.
7. HARİTALARI BOYAMA.
Yaklaşık olarak bir küre olan dünyamız kıtalara ve denizlere bölünmüştür.
Kıtalar ise, ayrıca devletlere, devletler ise, eyaletlere veya şehirlere bölünmüştür.
Bu bölünmeleri ka.ğıt üzerinde belirterek harita.la.r elde ederiz. Herhangi bir harita­
da bölünmeleri hemen görmek için birbiri ile ortak sınırı olan iki devleti (iki
eyaleti v.s) ayrı renkte boyarız. Bu ilkeye dayanarak küresel veya düzlemsel
bir haritayı boyr.mak için cnçok dört rengin gerektiği henüz çözülmemiş bir
problemdir. (Elektronik beyinin kullanılması ile çözüm vardır.)
Küresel veya düzlemsel bazı haritalar için üç renk yetersizdir. Dört renk
gereklidir. Şekil 31 böyle bir haritayı göstermektedir.
Şekil 31. Dört renk gerektiren bir harita.
Teorem : Küresel veya düzlemsel bir haritayı boyamak için bej renk her
zaman yetcrlidir.
İspat: Küresel (veya düzlemsel) bir haritanın kürenin tüm yüzeyini kapladı­
ğını düşünelim. Haritanın bölgelerinin sayısını Y, ayrıtlarının sayısını A ve köşe­
lerinin sayısını K ile gösterelim.
k = x(S2) = Y -A + K = 2 olduğu bilinmektedir. Her bölgenin ortalama ayrıt
sayısını n ile gösterelim. n.Y = 2A bağıntısı bölgeleri yüzey yüzerinde ayrı parça­
lar halinde görmekle elde edilir. Burada n bir tam sayı olmıyabilir. Şimdi her köşe­
den en az üç ayrıt çıktığını kabul edelim. O zaman 3K <i 2A elde ederiz.
Buradan,
A + 3 K <; 3A veya A <; 3(A-K) veya k = Y -A + K olduğundan A <; 3(Y-k)
ve buradan da
n -
2A
—y -
. ,,
k .
<; 6 (1 ------ y )
n ^ 6 ( 1 ------- L
)
2
elde ederiz. Küre için k = 2 olduğundan n <i 6 (1------ ——) veya n < 6 dır.
Eğer küresel haritanın bölge sayısı beşten az ise, haritayı boyamak için beş
renk yetcrlidir. Bölge sayısı fazla olan haritalar için tümevarım yöntemini kulla­
nırız. Önce bölge sayısı Y-l olan tüm haritalar için beş rengin yeterli olduğunu
kabul edelim. Ve bölge sayısı Y olan bir haritayı gözönüne alalım. Bu haritanın
bölgelerinden hiç olmazsa birinin ayırtları sayısı beş veya daha küçük bir sayıdır.
Çünkü yukarıda n < 6 olduğu ispat edildi. Şimdi küre üzerinde bu bölgeyi P
gibi bir noktaya büzelim. Bölge sayısı Y-l olan bir harita elde ederiz. Bu harita,
tümevarım hipotezinden beş renk ile boyanır. P noktasının etrafında eğer dört
veya daha az renk varsa, büzülen bölge açıldığında beşinci renkle boyanır. Eğer
P ys büzülen bölge (buda P ile gösterilsin) beş kenarlı ise, bu bölgeye komşu
bölgeleri sıra ile r,s,t,u,v ile gösterelim. Şekil 32.
Buna göre ya r ile t nin veya s ile u nun ortak sının yoktur. Harfleri yer
değiştirerek s ile u nun ortak sınırı olmıyan bölgeleri göstermelerini sağhyalım.
P ile s ve P ile u nun arasındaki ortak sının silerek daha az bölgeli bir harita
elde edelim. Yine tümevarım hipotezinden bu harita beş renk ile boyanabilir.
Şimdi P beşgeni yeniden yerine konursa, P ile komşu s ve u bölgeleri aynı renkle
boyanmış olur.
19
Şekil 32.
Bunun neticesi olarak P nin etrafında en çok dört renk olacağından beşinci
renkle P boyanır. Böylccc teoremin küresel haritalar için ispatı biter. Teoremin
düzlem için ispatı bu teoremin ve kuzey kutbu çıkarılmış bir kürenin düzleme eşyapılı olduğunu gösteren kuzey kutupsal izdüşüm fonksiyonunun (Stcrcographic
Projection) bir sonucudur. Şekil 33.
Yukarıdaki teoremin dört renk için ispatı mümkün gibi görülüyorsa di
bu problemin ilk incelenmesinden teri 100 yıldan fazla zaman geçtiği halde hcniU
bulunamamıştır. Eğer dört rengin yetersiz olduğu her hangi bir küresel harit*
var olsaydı, bu harita çok karmaşık olacaktı.
Düzlemden a.yrı olarak diğer yüzeyler içinde harita boyama problemle!*
vardır. Bu problem basit bağlantılı kenarlı veya kenarsız herhangi bir yüzey içi*
aynıdır. Fakat durum basit bağlantılı olmayan tor gibi bir yüzey için oldukç*
farklıdır. En basit hal hala çözülmemesine rağmen yüzeyler için harita boyam*
problemlerinden çoğu çözülmüştür.
Teorem: Tor üzerindeki bir haritayı boyamak için yedi renk yctcrlidir.
Bu teoremin ispatı ödev olarak bırakılmıştır. Tor üzerindeki bazı haritalar içi*
20
yedi renk gerektir. Şekil 34 de verilen harita tor yüzeyini temamen örten bir hari­
tadır. Bu haritada her bölge diğer altı bölge ile bitişik olduğundan tam yedi renge
ihtiyaç vardır.
Harita boyama bir topolojik problemdir, çünkü bu problem bir topolojik
cşyapı dönüşümü altında yüzey üzerindeki bölgeler arasında bulunan değişmiyen
bağıntılarla ilgilidir.
Tanım: Herhangi bir yüzey üzerindeki haritadan boyamak için gerekli olan
renklerin sayısının en küçüğüne o yüzeyin renkleme sayısı denir. Herhangi bir
yüzey için renkleme sayısı o yüzeyin bir topolojik sabitidir. Torun renkleme
sayısı yedidir.
•
ÖDEVLER
1.
Üç eve aynı düzlem üzerinde su, elektirik ve ga.z bağlanabilir mi?
Yol gösterme: Jordan veya Euler toremini kullanarak iki şekilde çözünüz.
2. Tam fccş tane düzgün çok yüzlü mevcut olduğunu Euler teoremini kullanarak
ispat ediniz.
3. Bir futbol topu eşit kenarlı düzgün beşgen ve düzgün altıgenlerden, her beşgen
altıgenlerle çevrili ve her altıgen ardışık beşgen ve altıgenlerle çevrili olmak üzere
dikilir. Bir top için kaç tane beşgen ve kaç tane altıgen gereklidir? Yol gösterme:
Küre için Euler teoremini kullanınız.
4. Bir tor üzerindeki herhangi bir haritanın yedi veya daha az renkle boyana­
bileceğim ispatlayınız.
5. Bir tor üzerinde tam beş renkle boyanabilecek bir harita çiziniz.
21
İKİNCİ BÖLÜM
TOPOLOJİK UZAYLAR
Bu bölümde topolojik uzay fikrini çok genel bir şekilde inccliycccğiz. To­
poloji verilen herhangi bir kümeye konulabildiğindcn, bir çok matematikçiler
topolojiye kümeler teorisinin bir dalı olara.k bakarlar. Bu bölümde bu görüş
benimsenmiştir. Birinci bölümün sezgiye dayanan fikirleri bazan uzak gelebilir.
Aksiyomların (axioms) ve tanımların oluşturuluş yollarını dikkatli bir şekilde
Çalışmak onların ma.n?.sını iyi a.nlamak için gereklidir.
Kümeler teorisinin bazı simgeleri ve tanımla.« ile işe başlayacağız. Gerçek
değişkenli fonksiyonların süreklilik kavramından bir metrik uzay fikrini elde ederiz.
Böyle bir uzayda süreklilik ’’uzaklığa” (distance) bağlıdır. Fakat, sürekliliğin
incelenebileceği ve uzaklığın tanımlanmadığı diğer uzaylarda süreklilik, daha ge­
niş ve genelleştirmeğe uygun olan diğer kavramlarla ifa.de edilir. Böyle uzaylara
topolojik uzaylar denir.
8. KÜMELER TEORİSİNİN SİMGELERİ VE TANIMLARI.
Tanım : Bazı özelliklerle belirtilmiş tekrarsız nesnelerin bir topluluğuna (colIcction) bir küme denir.
Eğer a bir A kümesinin elemanı ise, a ;, A ile gösterilir. Eğer bir x değişkeni
A kümesinin bütün elemanlarını tarıyorsa, A = jxj şeklinde yazlır.
Tanım : Eğer A ve B iki küme ve B nin her elemanı A nın da elamanı ise,
B ye A nın bir alt kümesi denir ve B <= A veya A => B yazılır. Eğer B, A nın bir
bir alt kümesi ise, A ya da B nin bir üst kümesi denir. Şekil 35. de A büyük daire
vc B de küçük daire ile gösterilmiştir. Kümelerin böyle düzlemsel bölgelerle tem­
sillerine Venn diyagramları denir.
Tanım : Her kümenin üst kümesine evrensel küme denir, E ile gösterilir.
Tanım : İki A ve B kümelerinin A U B birleşim (union) kümesi ya A ya ait,
ya B ye ait veya her ikisine ait tüm elamanların kümesidir.
A U B = J x : x s A veya x e B J s
23
(
Şekil 35. B c
Şekil 36. A U B ve A O B.
A.
Tanım : A nB , arakesit (intcrscction) kümesi A vc B nin her ikisine ait
tüm clcm?.nlarm kümesidir. Şekil 36 da düşey çizgilerle taranan bölge AUB
yi, yatay vc düşey çizgilerle taranan bölge A n B yi göstermektedir.
A o B= { x : x e A v c x e B j
Tanım : Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.
Bu küme 0 ile gösterilir. 0 = | x : x ^ x |. 0 , her kümenin bir alt
kümesidir vc tektir.
Tanım : Eğer A vc B kümelerinin hiç bir ortak elemanı yok ise, A n B = 0
dir. Bu halde A ve B kümelerine ayrık kümeler denir.
Tanım : A herhangi bir küme olsun. A‘ == E—A ya A nın tümliyeni denir.
Tanım: Eğer B e A ise, B nin A ya göre tümliyeni {.farkı) A nın B de olmayan ele­
manlarının kümesidir. Bu A—B şeklinde gösterilir. Şekil 35 de A—B büyük daire
ile küçük daire arasında kalan parçadır.
A—B = j x : x
e
A ve x i B]
Kümeler üzerinde birleşim bir toplama, arakesit bir çarpma işlemi gibi düşü­
nülürse kuralları aşağıda verilen Kümeler Aritmetiği ortaya çıkar. Kümeler aritme­
tiğine Boole Cebiri de denir.
Kümeler Aritmetiğinin Bazı Kuralları :
Tanım (Eşitlik) : Elemanları ayni olan iki küme eşittir denir.
Teorem: A = B olması için gerek vc yeter şart A c B vc B c A olmasıdır.
İspatı hemen eşitlik tanımından çıkarılan bu teorem bazan tenim olarak alın­
maktadır.
1. Aynılık kuralları :
a) A U A = A
b) A n A = A
2. Ycrdcğiştirme kuralları :
a)AUB = BUA
24
b)AnB = B n A
3. Birleşme kuralları :
a) A U (BUC) = (AUB) U C
b) A n (BnC) = (AnB) n C
4. Dağılma kuralları :
a) A U (BnC) = (AUB) n (AUC) b) A n (BUC) = (AnB) U (AnC)
5. Özdeşlik kuralları :
a) A U 0 = A
e) A U E = E
b) A n E = A
d) A n 0 = 0
6. Tümlcmc kuralları :
a) A U A1 = E
e) (A*)‘ = A
b) A n A‘ = 0
d) E‘ = 0 ve 0 ‘ = E
7. De Morgan kuralları :
a) (AUB)1 = A ' n B*
b) (AnB)1 = A* U B‘
Tanıttı: Bir önermede U yerine n , n yerine U, E yerine 0 ve 0 yerine E
konularak elde edilen önermeye verilen önermenin Duali denir.
Dualite İlkesi: Kümeler teorisinde bir önerme doğru ise, onun dualidc doğ­
rudur. Yukarıda verilen kura.]
\ (b) ve (d) ile g- irilmiş ol?.ı ı (a) ve (e) ile
gösterilmiş olanların dualidir. Dualite ilkesinden dolayı (a) ve (e) ile verilen
kuralları ispat etmek yctcrlidir. İspatlarda eşitlik tanımı ve ilgili teoremler veya „
Venn diyagramları kullanılabilir. 4 a nın ve 7 a nın eşitlik teoremi ile ispatları
aşağıdadır. Diğer kuralların ispatı okuyucuya bırakılmıştır.
(4a). A U (BnC) = (AUB) n (AUC) nın ispatı:
i. x e A U (BnC) olsun. x, A nın veya B nC nin bir elemanıdır. x e A
ise, x e AUB ve x e AUC olacağından x e (AUB) n (AUC) dir. Eğer x e BnC
ise, x e B ve x e C olur. Dolayısı ile x e AUC ve x e AUC olacağından yine
x e (AUB) n (AUC) olur. O halde A U (BnC) e (AUC) n AUC) dir.
ii. Benzer şekilde
(AUB) n (AUC) e A U (BnC)
olduğu gösterilir.
(i) ve (ii) den eşitlik elde edilir.
A U (BnC) kümesi şekil 37 de
Ventı diyağramı ile belirtilmiştir.
7a). (AUB)1, = A1 n B* eşitliği­
nin ispatı : x e (AUB)‘ olsun. x $ AUB
Şekil 37. A U (BnC) kümesi taralıdır.
25
ve dolayısıyla x $ A ve x ş§ B dir. Yani x e A‘ ve x e B‘ dir. Buradan,
(i). (AUB)* c a * n B1 dir. Diğer taraftan x e A‘ o B‘ olsun, x e A‘ ve
x e B* dir. Dolayısıyla x
A ve x $ B dir. Buradan x £ (AUB) dir. Yani
x e (AUB)* dir. (ii). A* n B* <= (AUB)* dir. (i) ve (ii) den eşitlik çıkar.
Bu ispat Venn diyagramı kullanılarakta yapılır. Şekil 38 de
(AUB)* = A* o B* kümesi taranmıştır.
Şekil 38. (AUB)* *=» A‘OB* kümesi taralıdır.
Teorem:
dır.
A n B ^ A c A U B
dir.
İspat : x e A n
B ise, x e A ve x e B dir. O halde A n B <= A
x eA ise, şüphesiz x e A U B dir. O halde A <= A U B dir.
Teorem : Aşağıdaki bağıntılar bir birine denktir.
^ j A c B, ¡r k A n B = A, = E_ A
(iv). B* c
A*, (v). A n B* =
U B = B,
0 , (vi). B U A* = E
İspat
: Ödev.
Teorem : E — (E — A) = A n E dir.
İspat
: Aşikârdır.
İNDİSLİ KÜMELER İÇİN BİRLEŞİM VE ARAKESİT
Tanım : K sonlu veya sonsuz bir
indis kümesi ve k e K olsun.
U Ak = { x : x e Ak, bazı k e K için j
keK
n Ak = j x : x e Ak, her k e K
keK
ile tanımlanır.
Teorem {Genelleştirilmiş dağılma kuralları):
(i) B n ( u Aj ) = u ( BnAj )
i el
i el
(ii) B U ( n A i ) = n ( B U A l )
ie l
iel
26
ve
dir.
için }
ispat
: Ödev.
Teorem : I bir indis kümesi ve J <= I
O) U Xj c
j eJ
U X; ve (ii)
i el
İspat 1. x e U
j eJ
olsun. Bu durumda
n Xj c n Xj
i el
j eJ
bağıntıları vardır,
X,- olsun. Bazı j e J için x e Xj dir.
Fakat J c i olduğundan j e 1 olup x e U X;: dir. Bundan dolayı (i) bağıntısı vardır.
i el
2. x e
n Xj olsun. Her i e I için x e X-, dir. J <= I olduğundan her
i el
J e J için de x e Xj dir Bundan dolayı x e n Xj dir. O halde (ii) bağıntısı
j eJ
vardır.
Teorem (Genelleştirilmiş De Morgan Kuralları) :
fc ( U AO* = n Ai*.
iel
iel
'
( n A )* = U A;1 dir.
iel
iel
ispat {i): x e (U A;) ‘olsun. O halde x £ U A; dir. Yani her i e Iiçinx £ A;
iel
iel
dir. Dolayısı ile her i e I için x e A;*, yani x e n A;* dir. Bundan dolayı
iel
(U A;)1 e o A;* dir. Benzer şekilde n Aj‘ <= (U AO* olduğu gösterilir. Buradan
*EI
iel
iel
iel
(0 nin doğru olduğu çıkar.
Benzer bir muhakeme ile (ii) nin doğru olduğu gösterilir.
Tanım (Çapraz Çarpım): A ve B iki küme olsun, a e A ve b e B olacak şe­
kilde (a,b) sıralı çiftlerinin kümesine A ve B nin çapraz çarpımı denir ve
A X B =
{ (a, b) : a e A ve b e B j
ile gösterilir.
A = B değilse, genel olarak A X B ve B X A kümeleri eşit değildir. Sıralı çift
kavramının elemanter analitik geometriden bilindiğini kabul ediyoruz.
örnekler:
1- A gerçek sayılar kümesi ise, Euclid düzlemindeki bir noktanın karteziyen (Cartesian) koordinatları AXA nin elemanları ile gösterilir.
2- Benzer olarak, eğer B pozitif gerçek sayılar kümesi ve C, 0 ^ v < 2 t: olan
gerçek sayılar kümesi ise, o zaman başlangıç noktası hariç, Euclid düzlemindeki
noktalar kutupsal koordinatlarla BXC nin elemanları olarak gösterilir.
27
3. Z tam sayılar ise, Z x Z düzlemin kafes noktalarını verir.
Çapraz çarpım kavramı kolayca herhangi sonlu sayıda A! x A2x ... x A„
kümelerine sıralanmış (ab a2 ,..., an), aj e Ai (i = 1, 2, ..., n), n-lileri ile genişletilebilir.
9. FONKSİYONLAR.
Fonksiyon veya dönüşüm kavramı topolojide çok önemlidir. Bir fonksiyon her
zaman iki küme ile tanımlanır. Bu kümelerin çakışması mümkündür. Analiz
derslerinde bir gerçek değişkenli fonksiyonlarla karşılaşırız. Bunlar gerçek sayıların
bir kümesi üzerinde tanımlanırlar ve yine gerçek sayıların başka bir kümesi üzerin­
de değer alırlar.
Tanım : Bir A kümesinin her bir elemamını bir B kümesinin bir elemanına
eşlemeye A dan B ye bir fonksiyon veya bir dönüşüm deir.
A,B kümeleri bilindiği zaman, fonksiyon f: A -> B, y = f (x) olarak kısaca
yazılır. Bu şekilde tanımlanan bir fonksiyona tek değerli veya çoğa-bir bir fonksiyon
denir.
de .
Tek değerli fonksiyon kavramı genelleştirilebilir. Bu halde B nin farklı ele­
manları A nın aynı elemanına karşılık gelebilir, Böyle fonksiyonlara çok değerli
fonksiyon denir. Tek değerli fonksiyon altında A nın farklı elemanları B nin aynı
elemanına gidebilir. A nın her bir elemanının B de en az bir karşılığı vardır. Fa­
kat B nin bir elemanı A nın herhangi bir elemanına karşılık gelmeyebilir. Biz çoğabir fonksiyonları inceleyeceğiz.
Tanım: Eğer f: A-*B bir fonksiyon ve a, A nın bir elemanı ise, B nin a ya
karşılık gelen f (a) elemanıma a nın f altındaki görüntüsü (resmi) denir. Eğer C,
A nın bir alt kümesi ise, f (C) kümesine C nin f altındaki görüntüsü denir, f (C),
C nin her a elamanı için f (a) ların kümesidir. Yani, f (C )= { f (a) : a e C |
dir.
Tanım : Eğer b e B ise, A kümesinin b = f (a) olan bütün a elemanlarının küme­
sine b nin f altındaki ters görüntüsü denir. Eğer b, f (A) da değilse, onun f altın­
daki ters görüntüsü boş küme olarak tanımlanır.
f (A) nın bir b elemanının f altındaki ters görüntüsü f-1 (b) ile ve H <= B
alt kümesinin f altındaki ters görüntüsü ise, f-1 (H) = jx : f (x) e H) ile
gösterilir.
Tanım : f: A -> B verilmiş ve f (A) = B ise, f fonksiyonuna A dan B üstüne,
aksi halde A dan B içine bir fonksiyon denir.
Tanım: B nin her elemanını f altındaki teıs görüntüsüne bağlayan fonksiyona
f nin tersi denir ve f-1: B -»■ A ile gösterilir, f-1, f fonksiyonu üstüne ise
çok değerli bir fonksiyondur.
28
. Tanım (Sabit fonksiyon) : f: A -* B bir fonksiyon ve f (A)— b ise, f ye
bir şahit fonksiyon denir. Çünkü f, A nın her elemanını B nin bir tek b elemanına
eşlemektedir.
Tanım (Bire-bir fonksiyon) : f: A -> B fonksiyonu f (A) nın her bir elemanı­
nın ters görüntüsü A nın bir tek elemanı ise, yani f (x) = f (y) olması x = y olmasını
gerektiriyorsa., f ye bire-bir bir fonksiyon denir.
Tanım : Eğer A <= B ise, I : A -> B, I (a) = a ile tanımlanan bire-bir I
dönüşümüne, içerme fonksiyonu denir.
Tanım {Özdeşlik fonksiyonu) : A = B ise, 1 : A -> A, içerme fonkiyonuna
özdeşlik fonksiyonu denir.
Not : f : A -> B bire-bir ve üstüne bir dönüşüm ise, f-1 : B -> A dönüşünıüde bire-bir ve üstüne bir dönüşümdür.
Örnek 1 : A = R gerçek sayılar kümesi B = [ -1, 1 ] kapalı aralığı olsun,
f: A
B, f (a) = Sina, ile tanımlaman fonksiyon A da.n B üstüne çoğa-bir bir
dönüşümdür, f-t; B -> A, f (b) = aresinb, ters fonksiyonu çok değerli bir
fonksiyondur.
Örnek 2: A = R ve B = R+ , pozitif gerçek sayılar olsun f: A —►B,
f (x) = cx ile tanımlanan fonksiyon A dan B üstüne bire-bir bir dönüşümdür.
f '1: B -> A ters fonksiyonu bildiğimiz logaritma fonksiyonu olup bire-bir ve
üstünedir.
Tanım : f : A -> B, g : B -> C iki fonksiyon olsun. Bu iki fonksiyonun
birleşimi h : A -+ C, h (x) = g(f(x)) ile tanımlanır. Bu genellikle h = gof
ile gösterilir.
Not : Bir fonksiyon ile, bir x e A noktasının görüntüsünü karıştırmamak gere­
kir. Yani f : A ->■ B ve f (x) simgeleri farklı şeylerdir. Bununla beraber bir fonksiyo­
nu göstermek için f (x) yazmak adet olmuştur. Bundan dolayı f (x) in ne zaman
bir fonksiyon ve ne zaman x in görüntüsünü temsil ettiğini ayırt edebilmek gerekir.
10. DENKLİK BAĞINTILARI.
Tanım: A bir küme ve A X A, nın kendisiyle çapraz çarpımı olsun. A X A
nın her hangi bir B alt kümesine bir bağıntı denir. B = { (x,y) : x e A , y e A j
de gösterilir.
Tanım {Bir bağıntının tersi) : B, (x,y) sıralı çiftleri ise,
B-1 = { (y,x) : (x,y) e B |
’yc> B nin tersi denir.
Şu halde bağıntı A üzerinde tanımlanmış bir fonksiyona çok benzemektedir.
x ve y bir birine B ile bağlıysa, (x,y) e B veya xBy, yazarız. yB->x olması için gerek
ve yeter şart xBy olmasıdır.
29
Tanım (İki bağıntının birleşimi) : R ve S iki bağıntı olsun. R ve S nin birle­
şimi diye RoS = J (x,y) : bazı z 1er için (x,z) e S ve (z,y) e R j kümesine denir.
Örnek : S = { (1,3) } , R =
dur. O halde RoS ^ SoR dir.
{ (3,0) j ise, RoS =
{ (1,0) } dir. SoR = 0
Tanım : Özdeşlik bağıntısı (köşegen) , I = j (x,x) : x e A) } ile tanımlanır.
Sol = S ve IoS = S olduğu hemen görülür.
Teorem : R,S,T, bir A kümesi üzerinde verilen üç bağıntı olsun. Aşağıdaki
özellikler doğrudur.
i) (R-i)-ı = R
ii) (RoS)-1 = S-1 o R-'
iii) R o (SoT) = (RoS) o T
İspat : i). (x,y) e (R -1)-1 olması için gerek ve yeter şart (y,x) e R-ı olmasıdır.
Bu ise, (x,y) e R ile mümkündür. O halde (R -1)-1 = R dir.
ii)
. (x,y) e (RoS)-1 olması için gerek ve yeter şart (y,x) e (RoS) olmasıdı.r
Yine (y,x) e (RoS) olması için gerek ve yeter şart bazı z 1er için (y,z) e S ve
(z,x) e R olmasıdır. Buradan (x,z) e R -1 ve (z,y) e S-1 ve dolayısiylc
(x,y) e S-1 o R -1 dir. O halde (RoS)-1 = S-1 o R -1
iii) (x,y) e Ro (SoT) olması için gerek ve yeter şart bazı z 1er için
(x,z) e (SoT) ve (z,y) e R olması dır. Bu ise, bazı v 1er için (v,z) e S ve (x,v) e T
ve (z,y) £ R olmasıdır. O halde (x,v) e T ve (v,s) e S ve (z,y) e R yazabiliriz.
Bu ise, (x,v) e T ve (v,y) e (RoS) dolayisiyle (x,y) e (R oS)oT dir. Böylcce
ispa.t biter.
Tanım : R bir bağıntı olsun. T — (x : bazı y 1er için (x,y) e Rj kümesine
R nin tanım kümesi, D = j y : bazı x 1er için (x,y) e R j kümesine R nin
değer kümesi denir.
Tanım : A = T U D olsun. Eğer her x e A için xRx ise, R bağıntısının
yansıma (reflexive) özelliği vardır denir.
R yansıma özelliğine sahip ise, özdeşlik bağıntısının ihtiva eder. Yani
I <= R dir.
Tanım : xRy iken yRx ise, R ye bakışımlı (simetrik) bir bağıntı denir. R
bakışımlı ise, R = R *1 dir. xRy olması yRx olmasını gerektirmiyorsa, R=£ R-ı
dir.
Tanım : xRy ve yRz olması, xRz olmasını gerektiriyorsa, R ye geçişmeli
(transitive) bağıntı denir. Yani RoR <=■ R dir.
30
Sonuç 1 : R geçişmcli ise, R-t’inde geçişmeli olduğu hemen görülür. Çünkü
R-ı o R-ı =* (RoR)-ı <= R-ı dir.
Sonuç 2 : Bir bağıntı hem geçişmeli hem yansımadı ise, yani RoR c R ve
v c l c R ise, R = RoR dir. Çünkü R = IoR <= R o R c R den, R = RoR
çıkar.
Tanım (Denklik bağıntısı) : Yansımalı, bakışımlı ve geçişmeli bir bağıntıya
denklik bağıntısı denir.
Problem : x,y doğal sayılar olsun. Aşağıdakilerdcn her biri nasıl bir bağın­
tıdır?
i) x < y.
ii) x , y yi tam olarak böler.
iii) x — y.
iv) m doğal bir sayı olsun, m, x - y yi böler. Yani x s y (mod m) dir.
Teorem : A herhangi bir küme ve A nın elemanları arasında bir R denklik
bağıntısı varsa, yani R
(E. 1) aRa,
(E. 2) aRb den bRa elde edilir,
(E. 3) aRb ve bRc den aRc elde edilir.
özelliklerini sağlıyorsa R, A kümesini ikişer ikişer ayrık alt kümelere böler.
İspat : Okuyucuya bırakılmıştır.
Tanım : [a], [b], ... ile göstereceğimiz bu ayrık alt kümelere denklik sı­
nıfları denir.
[a] = j x : xRa , x s A j dır. Yani [a] , A nın a elemanı ile bağıntılı
bütün elemanlarıdır.
Matamatiğin tüm dallarında denklik bağıntısının pek çok örnekleri vardır.
Geometride şekillerin eşitliği ve benzerliği ; Gruplar teorisinde elemanların bir­
birlerinin eşleniği olma bağıntısı gibi.
11. ÖKLİD DOĞRUSU ÜZERİNDE SÜREKLİLİK
öklid doğrusunu veya aynı şey demek olan gerçek (real) sayılar kümesini R
ile gösterelim. R nin bir A alt kümesini R nin içine dönüştüren bir f : A -*• R
fonksiyonunu gözönüne alalım.
Tanım : f : A ->■ R bir fonksiyon ve a e A bir sayı (nokta) olsun. Eğer
istenildiği kadar küçük bir e > 0 gerçek sayısı verildiğinde
0 < | x-a | < d
31
eşitsizliğini sağlayan her x sayısı için | f (x) - f (a) | < e olacak şekilde bir d > 0
sayısı varsa, f yc a noktasında süreklidir denir.
Bu tanımı aşağıdaki kavramlarla yeniden yapmak mümkündür.
Tanım (Komşuluk) : a e A olsun.
| x-a | < d
eşitsizliğim sağlayan x noktalarının kümesine a noktasının d komşuluğu denir ve
Kd (a) = j x : a-d < x < a + d }
ile gösterilir.
Tanım : f : A -»■ R bir fonksiyon, K d (a), a nın bir komşuluğu ve
Ke (b), b = f (a) nm bir komşuluğu olsun. Eğer istenildiği kadar küçük bir e > 0
gerçek sayısı verildiğinde her x e Kd (a) noktası için f (x) e Ke (b) olacak şekilde
a mn bir K d (a) komşuluğu bulunabiliyorsa (varsa) f, fonksiyonuna a da süreklidir
denir.
Eğer f her a e A da sürekli ise, f, A da süreklidir yada sadece, süreklidir denir.
Komşuluk kavramı ile yakından ilgili bir kavram açık küme kavramıdır.
Sürekliliği daha sonra açık küme kavramı ile tanımlayacağız.
Tanım (Açık Küme) : G <= R bir küme olsun. Her a s G noktasının
tamamen G nin içinde kalan bir Kd (a) komşuluğu varsa, G kümesine açıktır
denir.
Örnek : K d (a) komşuluğu bir açık kümedir. Her açık aralığı bir komşuluk
olarak yazabiliriz.
Örnek : 1 < x < 2 aralığı K 2 (2) = j x : ) x-2 | < 1 } komşuluğudur.
Fakat her açık küme bir komşuluk olamaz.
Örnek : (0,1) u (3,5) açık bir kümedir, fakat komşuluk değildir. R de
en genel açık küme, keyfi sayıda açık aralıkların birleşimidir.
12. ÖKLİD DÜZLEMİNDE SÜREKLİLİK.
Düzlem üzerinde tanımlı gerçek değerli bir fonksiyon iki bağımsız değişkene
bağlıdır ve düzlemin noktalarını Öklid doğrusuna dönüştürür. Böyle bir fonksiyo­
nun gra.fiği üç boyutlu uzayda bir yüzeydir.
Tanım : Düzlemde bir P = (a,b) noktasımn bir c-komşuluğu diye P mer­
kezli, e yarıçaplı, kenarsız bir daireye denir. Eğer X — (x,y) ise,
Ke (P) = { X : | X - P | < e }
ile gösterilir.
Tanım : f : R 2 -> R, bir fonksiyon ve P = (a,b) düzlem içinde bir nokta
olsun. Eğer istenildiği kadar küçük e > 0 sayısı verildiğinde,
0 < | X — P | < d
32
eşitliğini sağlayan her X = (x,y) noktası için
| f (X) -
f (P) 1 < e
olacak şekilde bir d = d (e,P) > 0 sayısı varsa, f ye P noktasında süreklidir de­
nir.
| X — P | < d eşitsizliğini geometrik olarak canlandırmak istersek;
X = (x,y) noktasının x ve y koordinatlarını bir birine dik x ve y eksenleri yardı­
mıyla düzlemde belirtebiliriz. [(x-a)2 + (y-b)2] 1<2 ifadesi X = (x,y) ve P = (a,b)
noktalan arasındaki uzaklıktır. Bu, Öklid doğrusu üzerinde |x-a | ifadesine karşılık
gelir. |X—P | < d ifadesi ise, X noktasının P ye olan uzaklığının d den küçük
olduğunu belirtir.
Tanım (Komşuluk kavramıyla süreklilik) ; f : R 2 ->R bir fonksiyon
Kd (P), P nin ve Ke (Q), Q == f (P) nin bir komşuluğu olsun. Eğer istenildiği kadar
küçük bir e > 0 gerçek sayısı verildiğinde her X e Kd (P) noktası için
f(x) e Ke (Q) olacak şekilde P noktasının bir Kd (P) komşuluğu varsa, f ye P nok­
tasında süreklidir denir.
Düzlemde açık küme tanımı öklid doğrusundakinc benzer şekilde yapılır.
Örnek : Bir çokgenle sınırlandırılmış düzlemsel bir kümenin iç kısmı düzle­
min bir açık alt kümesidir.
Yukarıda verilen süreklilik tanımı geometrik olarak iki nokta arasındaki uzaklık kavramına bağlıdır. X,Y düzlemde veya bir doğru üzerinde iki nokta olsun.
X ve Y noktalan arasındaki uzaklık d (X,Y) ile gösterilir. Uzaklık, (X,Y)
nokta çiftleri üzerinde tanımlı pozitif değerli bir d fonksiyonudur, d nin aşağıdaki
özellikleri, sağladığı kolayca ispat edilir.
i)
d (X,X) = 0
ü) d (X,Y) 2> 0
iii) d (X,Y) = 0 olması X = Y olmasını gerektirir.
iv) d (X,Y) = d (Y,X)
v) d (X,Y) + d (Y,Z) ;> d (X,Z)
Not : Düzlemde yukarıda verilen beşinci özellik, bir üçgenin iki kenarının uzunluk­
ları toplamının, üçüncü kenar uzunluğundan daha küçük olamıyacağını ifade
eder. Eşitlik halinde üçgen bir doğruya bozunur. Yani X,Y,Z, noktalan bir doğru
üzerinde bulunur. Bu nedenle v. özelliğe üçgen eşitsizliği de denir.
13. n - BOYUTLU ÖKLİD UZAYI.
n doğal sayısı için n-boyutlu öklid uzayı iki ve üç boyutlu öklid uzaylarının
genelleştirilmesi olarak tanımlanabilir. Bunun için dik koordinatlar yardımıyla
33
gösterme yöntemini kullanırız. E„ ile göstereceğimiz n-boyutlu Öklid uzayının
bir P noktası n tane gerçek sayının sıralı (xı,
xn) kümesi ile temsil edilir. Xj
lere ( i= l, 2, 3,....n) P nin koordinatları denir. Kısa olması bakımından
P = (x;) yazarız.
P = (xj) ve Q = (yf) noktaları arasındaki uzaklık, d (P,Q) şu formül ile
tanımlanır.
d (P,Q) = i 2 (Xi— yj)2 }l/2
i=l
Bu fonksiyon yukarıda verilen i—v özelliklerini sağlar.
0
xı = yi ise, d ( P,Q) = 0 dır.
ii) (Xi — ys) 2 ;> 0 olduğundan d (P,Q) ;> 0 dır.
iii) d (P,Q) =
j 2 (Xi — yO2 J 1/2 = 0 ise, (x4 — yO2 = 0
i=l
veya x; = y; olmalıdır. Yani P = Q dur.
iv) (xî — yi)2 = (yi — X;)2 olduğundan
d (P , Q) = d (Q,P) dir.
v) Bunun doğruluğu pek aşikâr değildir.
R = (Zi) olsun, d (P,Q) + d (Q,R) ^ d (P,R) olduğunu gösterelim, ö n ­
ce Uı = Xi — yi ve v; = ^ — z; diyelim.
d (P,Q) + d (Q,R) = ( 2 u ;2) 1' 2 + ( 2 vı2 y n ve
d (P,R) = ( 2 (Ui + Vi)2)!/2 fakat
(d (P,R) )2 =
2 (u, + vd2 =
2 «i2 + 2 2 UiV, +
2 Vi2
ve dolayısıyle
(d (P,R))2 -
(d (P,Q) + d (Q,R))2 = 2 2
u,v, -
2(( 2 Ui2) ( 2 Vi2) ) i/ 2
Şimdi x’e göre ikinci dereceden bir polinom olan aşağıdaki ifadenin yan diskriminantmın pozitif olmadığına dikkat edelim.
2
(uj + xv;)2 =
2 U;2 + 2x 2 u^i + x2 2 v? ^ 0
A /2 = ( 2 UiVt) 2 -
( 2 u?) (2v?) £ 0
dır. Buradan
2 (^ tt)2 - 2
2u? .
2 v? £ 0
dır. Bundan dolayı yukarıdaki ifadenin sol tarafı sıfırdan küçük veya sıfıra eşittir.
?4
Yani
(d (P,R))2 -
(d (P,Q) + d (Q,R))2 £ O
veya
(d (P,R))2 <£ (d(P,Q) + d (Q ,R ))2
dir. İki tarafın aritmetik karekökünii adalım.
d (P,R) <£ d (P,Q) + d (Q,R)
elde edilir.
Tanım (n-boyutlu Öklid uzayında süreklilik) : E„ ve Em sırayla o e ra
boyutlu Öklid uzayları olsun. A <= En ve B<=Em olsun. Bir f : A ---- >-B çoğa-bir
fonksiyonunun bir P e A noktasında sürekli olması şöyle tanımlanır. İstenildiği
kadar küçük bir c > 0 sayısı verildiğinde d (X,P) < e' eşitsizliğini sağlayacak
şekilde her X noktası için d' (f (X) , f (P) ) < e olmasını sağlayan bir
e' — e' (c,P) > 0 sayısı varsa, f ’yc P noktasında süreklidir denir.
Burada d ve d' sırasıyla En ve Em uzaylarının uzaklık fonksiyonlarıdır. Bu
süreklilik tanımı daha önce verilen süreklilik tanımlarının bir dolaysız genelleş­
tirilmesidir. Sürekliliğin butammına dayanarak Öklid uzayları için topolojik
kavramlar geliştirebiliriz. Bununla beraber, genel bir inceleme için, Öklid uzay
larımn istediğimiz özellikleri daha geniş bir uzaylar sınıfı tarafından sağlanır,
d fonksiyonunun önemi, tamım formülünden ziyade sağladığı (i) — (v) özelliklcrindcdir. Şimdi daha genel uzayları inceleyeceğiz.
14. METRİK UZAYLAR.
Tanım'. A her hangi bir küme, ve d : AXA —►R, çoğa-bir bir fonksiyon
olsun. Böylcce d, A nın elemanlarının bütün sıralı çiftleri üzerinde tanımlanmış
gerçek değerli bir fonksiyon olur, d aşağıdaki iki şartı da sağlarsa, A da bir
metriktir denir.
M .l. d (a,b) = 0 olması için için gerek ve yeter şart a = b
olmasıdır,
M.2. d (a,b) + d (a,c) ^ d (b,c).
Burada a,b ve c, A nın keyfi elemanlarıdır.
Tanım : A kümesi ile birlikte bir d metriğine bir Metrik uzayı denir.
Hangi kümenin hangi metrikle ilgili olduğunu belirtmek için M = [A,d] yazarız.
Her hangi bir d metriği için, d (a,b) diğerine a ve b noktaları arasındaki uzaklık
denir.
Aynı kümeye farklı metrikler verilebilir. Her farklı metrik bir özel metrik
uzay tayin eder.
35
M .l ve M.2 aksiyomları, paragraf 12 de verilen (i) — (v) özellikleri tarafın­
dan gerektirilir. M .l, (i) ve (iii) nin bir tekrarıdır. M.2 de c = a koyar­
sak d (a,b) > d (b,a) elde ederiz. Benzer şekilde a ve b yerdeğiştirilirse,
d (b,a) > d (a,b) elde ederiz. Buradan (iv) sağlanır. M.2. de b = c koyar ve M.l i
kullanırsak d (b,a) > 0 elde ederiz. Böylcce (ii) sağlanır. Son olarak şimdi ispat­
lanmış olan d (a,c) = d (c,a) yi kullanarak (v) özelliğini M.2 den çıkarırız.
Böylcce M .l ve M.2, (i) — (v) özelliklerini gerektirir. Karşıt olarak (i) ve
(v) özellikleri de M .l ve M.2 yi gerektirir. Böylcce En Öklid uzayı, tanımla­
nan d metriği ile birlikte bir metrik uzaydır.
Her kümeye bir metrik verilebilir. Çünkü
0
a = b ise,
1
a ^ b ise,
dQ (a,b)
ile tanımlanan d0 fonksiyonu M .l ve M.2 aksiyomlarım sağlar fakat A kümesi
üzerine hiçbir kısıtlama getirmediğinden dQmetriğine aşikar metrik denir. Bu met­
riğin özellikleri oldukça garip olmasına rağmen, kullanıldığı yerler vardır. Bu
metriği z?.man zaman a.ydınlatıcı örnekler de kullanacağız.
Metrik uzayları oluşturan kümeler arasındaki dönüşümlerden bahsederken
bu dönüşümlere kümelerden ziyade uzaylar arasında dönüşümler olarak bakmak
daha uygundur. Çünkü hemen hemen her zaman dönüşümleri ve metrikleri
birbirine bağlayan bağıntılar ile ilgileneceğiz. Böylcce eğer M j= £Aı,dı] ve
M 2= [A 2, d 2] iki metrik uzayı ise, bir f :A ı -* A 2 dönüşümünü sık sık
f : M j -> M 2 şeklinde göstereceğiz.
15. METRİK UZAYLARDA SÜREKLİLİK.
Bu kısımda verilen süreklilik tanımı esas itibariyle uzaklık kavramına bağ­
lıdır. Daha sonra sürekliliği daha genel kavramlarla ifade edeceğiz.
Bir metrik uzaydan diğerine bir sürekli dönüşüm, Öklid uzaylarının alt küme­
leri arasında sürekli dönüşüm tanımının bir dolaysız genelleştirilmesi ile tanımla­
nır.
Tanım : M ] ve M 2 sırasıyla metrikleri dj ve d 2 olan iki metrik uzay ol­
sun. Bir f : M ı ---- ►M 2 çoğa-bir dönüşümü, bir xQ e M ı noktası verilsin
Eğer verilen herhangi bir e > 0 gerçek sa.yısına karşı bir 8 > 0 gerçek
sayısı varsa, öyleki d ı (x,x0) < 5 yı sağlayan her x için
¿ 2(f W , f (x0)) < e oluyorsa, f, xQ da süreklidir denir.
Tanım : M ı uzayının her noktasında sürekli olan bir dönüşüme bir sürekli
dönüşüm veya tasvir denir. (Bazı yazarlar tasvir kelimesini sadece bir çoğa-bif
dönüşüm anlamında kullanır. Bu eserde tasvir daima çoğa-bir sürekli dönüşün1
anlamındadır. Bazen sürekliliği ısrarla belirtmek için sürekli tasvir yazacağız.)
36
Sürekliliğin matematiksel tanımına olan ilgimiz, topolojide sürekli değiş­
menin (deformation) sezişle olan kavramının önemine dayanır. Bununla beraber
sadece sürekliliğin, topolojik denkliğin bir matematiksel tanımını vermediği açık­
tır. Çünkü bir sürekli dönüşüm birc-bir olmaya bilir. Böylccc gorckli bakışım
(Symmetry) elde edilemez. Gerçekten herhangi bir metrik uzay sürekli olarak
diğer birine dönüştürülebilir. Çünkü bir sabit dönüşüm daima süreklidir. Dikka­
timizi sürekli birc-bir dönüşümler üzerine toplasak bile aşağıda örnekte görüle­
bileceği gibi istenilen bakışımı elde edemeyiz.
Örnek : A gerçek sayılar kümesi, d, d(x,y) = | x - y 1 ile tanımlanan
Öklid doğrusu metriği ve d0 paragraf 14’ün sonunda tanımlanan metrik olsun.
Yani x = y için d 0 (x,y) = 0 ; x # y için d 0 (x,y) = 1 olsun. M vc M 0
sırasiylc A kümesiyle bu metrikler olsun. Yani M = [A,d] , M 0 = [A,d0] olsun.
Önce her f: M 0 ---- »- M fonksiyonunun sürekli olduğunu gösterelim. 8, 1 den
büyük olmayan bir pozitif sayı olsun. Bu takdirde dQ (x,y) < 8, d 0 (x,y) = 0
olmasını gerektirir. Çünkü d 0 fonksiyonunun mümkün olan değerleri sadece
0 ve 1 dir. Bundan dolayı d 0 (x,y) < 8 olması x = y olmasını gerektirir.
Burada 8 > 0 verildiğinde her zaman bir 8 > 0 bulunabilir, öyleki
d0 (x,y) < 8 , d (f (x), f (y) ) < e olmasını gerektirir. Çünkü 8 <, 1 seçerek daima
d (f(x), f (y)) = 0 olmasını sağlayabiliriz. O halde f süreklidir. Örnek olarak
f (x) = x ile ta.nimla.nan özdeşlik fonksiyonu da süreklidir. Böylccc Mc bir bire-bir
dönüşüm ile sürekli olarak M üzerine tasvir edilir. Şimdi M nin bir birc-bir g
dönüşümü ile sürekli olarak M 0 üzerine tasvir edildiğini kabul edelim,
g (x) = g (y) olması x — y olmasını gerektirir, g sürekli olduğundan s = 1 alı­
nıp süreklilik şartı uygulanırsa, d(x,y) < 8 iken d 0(g(x), g(y)) < 1 olmasını gerektiren bir 8 > 0 sayısı bulunabilir. |x — y i ~ 6/2 olacak şekilde x ve y
yi seçelim, x ^ y fakat d(x,y) < 8 dır. Bundan dolayı d 0 (g (x), g (y) ) < 1
dir. Buradan g (x) = g (y) ve böylccc x — y dir. Bu bir çelişkidir. Bundan
dolayı M den M 0 üstüne sürekli, bire-bir hiç bir fonksiyon yoktur. Özel olarak
g (x) = x ile tammlanan g : M — > M 0 dönüşümü sürekli değildir.
Bir denklik bağıntısı için istenen şartlara uyan dönüşümleri tanımlamak için
hem dönüşümün hem de ters dönüşümün sürekli olmasını isteriz.
Tanım : M ı den M 2 üzerine bir bire-bir f : M ! ---- >• M 2 fonksiyonuna;
eğer f vc f*1 in her ikisi birden sürekli ise, bir topolojik eşyapı dönüşümü
(homeomorphism) veya bir topolojik tasvir (topological mapping) denir.
Tanım : Eğer M ı den M 2 üzerine bir topolojik eşyapı dönüşümü varsa,
M ı, M 2 ye topolojik olarak cşyapılı veya topolojik olarak denktir denir.
Topolojik denkliğin paragraf 10 da verilen denklik bağıntısı anlamında bir
denklik bağıntısı olduğu kolayca görülür. Yansıma şartı bir metrik uzayı kendi
üzerine dönüştüren özdeşlik fonksiyonunun sürekliliğinden hemen çıkar. Eğer
37
M j, M 2 ye topolojik olarak eşyapılı ise, bir f : M ı ---- >• M 2 topolojik tasviri
vardır. Bundan dolayı f-1 : M 2 ---- ►M ı de bir topolojik tasvirdir. Böylece
M 2, M ı e topolojik olarak cşyapılıdır. O halde topolojik denklik bakışımlıdır.
Son olarak bağıntının geçişme özelliği şu şekilde gösterilebilir: Eğer
f : M ı ---- >■ M 2, g : M 2 ---- ►M 3 topolojik tasvirler ise, h (x) = g (f (x) )
ile tanımlanan h = g o f bileşik fonksiyonuda bir topolojik tasvirdir. Bu sürekli
bir fonksiyonun sürekli bir fonksiyonuda süreklidir, teoreminden çıka.r. Bu teore­
min ispatı topolojik uzayların ve topolojik uzaylar arasında sürekli dönüşüm­
lerin tanımlarının verilmesine kadar geri bırakılacaktır.
16. METRİK UZAYLARDA AÇIK KÜMELER VE İLGİLİ KAVRAMLAR.
Tanım : Bir M metrik uzayında bir x noktasının e - komşuluğu, d(x,y) < e
yi sağlayan y e M noktalarının kümesidir.
Paragraf 15 de verilen metrik uzaylar için süreklilik tanımı komşuluk kavramı
ile paragraf 11 de Öklid doğrusu için verilen yolla, tekrar ifade edilebilir.
ipTamm : Bir M metrik uzayında X, M nin bir alt kümesi olsun. Eğer x e M
noktasının her e — komşuluğu x den başka X in en az bir noktasını ihtiva ediyorsa(
x’e X’in bir yığılma noktası denir.
Tanım : X ’in yığılma noktalarının kümesine X ’in
X' ile gösterilir.
türev kümesi denir ve
Örnek : x = 0 ve x = 1 noktadan Öklid doğrusunun X = | x : 0 < x < 11
alt kümesinin yığılma noktalarıdır. Ayrıca X ’in her noktası da X in bir yığılma
noktasıdır.
Bu halde türev kümesi 0 <. x <L 1 kümesidir. Bununla beraber aşağıdaki
örnek 3 de görüleceği üzere bir X kümesinin noktaları X in yığılma noktaları
olmayabilir. Çünkü paragraf 14 ün dQmetriği altında her hangi bir kümenin hiÇ
bir yığılma noktası yoktur. Bunun nedeni e <; 1 olduğunda herhangi bir noktamîi
e — komşuluğu kendisinden ibarettir.
Tanım : X, M nin bir alt kümesi olsun. M içindeki bir x noktasına, eğri
x e X veya x, X in bir yığılma noktası ise, X in bir kapanış noktası denir. X ii
kapanış noktaları kümesine X in kapanışı denir, ve X ile gösterilir. Bu tanımdan
hemen X = X U X' olduğu çıkar.
Örnek 1: X iki boyutlu Öklid uzayında x 2 + y 2 < 1 yi sağlayan (x,y)
noktalarının kümesi olsun. Böylece X, merkezi başlangıç noktası olan birim daire'
nin iç kısımıdır. X in yığılma noktadan ya X in noktadandır yada x 2 + y 2 = '
birim çemberinin noktalarıdır. Bunlar aynı zaman da X in kapanış noktalandı
Böylece X = X' = { (x,y) : x 2 -f- y 2
38
1 J dir.
Örnek 2 • X Öklid doğrusu üzerindeki rasyonel sayılar kümesi olsun, yani
X, p bir tamsayı! q bir pozitif tam sayı olmak üzere p/q şeklindeki noktaların
kümesi olsun. Bu takdirde Öklid doğrusunun her noktası X ın bir yıgılmanokt
sidir. Çünki fer komşuluk sonsuz çoklukta rasyonel sayı ihtiva eder. Yine X = X'
dir. Bu halde her iki küme bütün uzaydır. Yani X, Öklid doğrusudur.
Tanım : X, bir M metrik uzayının alt kümesi olsun. Eğer X = M ise,
X, M içinde her yerde yoğundur denir.
Rasyonel noktaların kümesi Öklid doğrusu içinde her yerde yoğundur.
Örnek 3 : X, Öklid doğrusu üzerinde apsisleri 1/n şeklinde olan noktalar küme­
si olsun. Burada n ^ O , bir tamsayıdır. x = 0 hariç X içinde olmayan her no a
nın 1/n şeklinde bir nokta ihtiva etmeyen bir komşuluğu vardır. Bundan o ayı
sadece x = 0, X in yığılma noktasıdır. Böylcce X ', bir tek noktadan ibaret ir.
X, bu nokta ve X in noktalarından oluşur.
M de
Tanım : Bir M metrik uzayında,
kapalıdır denir.
Yani X, kendisinin tüm yığılma noktalarını ihtiva eder. Kolaylık için boş
küme kapalı olarak düşünülür. Yukarıda ki tamımdan hemen M uzayının kendi
içinde kapalı olduğu çıkar.
Tanım : Bir M metrik uzayında bir X alt kümesinin her noktasının sadece
X in noktalarından ibaret bir e — komşuluğu varsa, X’ e M içinde açıktır
denir.
Bu daha dnen öklid doğrusu için verilen açık küme teımrndın
°!atak_diistoûlür. Tanımdan M uzayının kendi içinde açık ° 8
B ^ Z t û m e ve M hem açık hem kapalı olduklarından kapalılık vc açıklık
kavramları biribirinden ayrık değildir.
••
¡.
- t n0 /^ »x /^ i1 kümesi
Örnek
4 : Öklid
doğrusu üzerinde
Kümesi ve Öklid düzleminde
x 2+ y 2 ^ ı kümesi kapalıdır. ^ yerine < koymak suretiyle
meler açıktırlar.
Örnek 5 : Öklid doğrusu üzerinde 0 < x ^
palıdır.
Örnek 6 : Her e -
1 kümesi ne açık ne de ka
komşuluğu açıktır. Bu, paragraf 11 de Öklid doğrusu
için yapılana benzer şekilde ispatlanır.
Örnek 7 : d 0 metriği
do (x,y)
0,
x = y için,
1,
x =£ y için,
39
ile tanımlansın, M = [A, d0] seklindeki bir M metrik uzayının her alt kümesi
hem açık hem kapalıdır. Çünki, eğer X her hangi bir alt küme ise, X in hiç bir yığılma
noktası yoktur. Böylccc X == X dir. Buradan X kapalıdır. Keza e < 1 için
x noktasının her e — komşuluğu yalnız x den ibarettir. Böylccc X in içinde
ola.n bir komşuluğu vardır. Bu sebepten X açıktır.
Bu örnek, öklid uzaylarının bilinen ba.zı özelliklerinin bir genel metrik uzay­
da sağlanmadığını gösterir. Çünki Öklid uzayının bir alt kümesi boş küme veya
uzayın tamamı olmadıkça, uzay içinde hem açık hem kapadı olamaz.
Yığılma noktasının, kapanış noktasının, kapalı ve açık kümelerin yukardaki
tanımlarında M metrik uzayı önemli bir rol oynar. Bu kavramlar, tasvir ettikleri
kümeler için asli değil fakat M uzayına göre izafidirler. Bir X kümesi birden fazla
metrik uzayın bir alt kümesi olabilir. Aynı metrik kullanılmış olsa bile bir X küme­
sinin, bir metrik uzayda açık (veya kapalı) olması diğer bir metkrik uzay içinde
açık (veya kapalı) olmasını gerektirmez.
17. METRİK UZAYLAR HAKKINDA TEOREMLER.
I e^T eorem 2.1
JfM de açıktır.
Bir M metrik uzayında sonlu sayıda açık kümelerin arakesiti
ispat : X j ,..., Xn, M de açık kümeler ve X bunların arakesiti olsun.
Eğer X boş küme ise, tanım gereğince açıktır. X in boş olmadığını kabul edelim.
x e X olsun. Bu takdirde x s X, ve X; açık olduğundan x in sadece Xj nin nok­
talarından oluşan bir e — komşuluğu vardır. Bu her i = 1, 2 ..., n için doğ­
rudur. e — larin en küçüğüne T) diyelim. Bu takdirde x in r| — komşuluğu
X 1 ,X2, ..., Xn kümelerinin herbirinde bulunur. Dolayısıylc bu t) — komşuluğu
X in içindedir... Buradan X in açık olduğu hemen çıkar.
Uyarma : Bu sunuç, aşağıdaki örnekte görüleceği gibi, M nin sonsuz sa­
yıda açık alt kümeleri için doğru olmayabilir. Xm, Öklid doğrusu üzerinde
— 1/m < x < 1/m kümesi olsun. Xm açıktır. Fakat, bu şekildeki bütün
kümelerin arakesiti x = 0 noktasıdır. Çünki x = 0 açıkça bu kümelerin hep­
sinin içinde bulunur. Eğer m > l /|k | ise, k ^ 0 için x = k noktası Xm nin
içinde bulunma-z. Öklid doğrusunda x = 0 noktasından ibaret küme açık değil­
dir. Böylcce sonsuz sayıda Xm kümelerinin arakesiti açık değildir.
^
Teorem 2.2 : M de herhangi sayıda açık kümelerin birleşimi açıktır.
İspat : { X } açık kümelerin bir yığını ve x bunların birleşimi içinde her hangi
bir nokta olsun. Bu takdirde x, açık kümeler yığınının en az bir X üyesine
aittir. X açık olduğundan x in tamamen X içinde bulunan bir komşuluğu vardır.
JBu komşuluk yine tamamen birleşimin içinde bulunur. Buradan birleşim açıktır.
40
Teorem 2.1 in tersine olarak Teorem 2.2 nin sonsnz sayıda kümeler için de
doğru olduğunu görürüz.
Teorem 2.3 : Bir X'kümesinin M içindeki X‘ = M — X tümleyeninin kapalı
olması için gerek ve yeter şart X in M de açık olmasıdır.
İspat : X ‘ = M — X = j x : x e M , x £ XJ, M de kapalı olsun. O
halde X‘ kendisine ait bütün yığılma noktalarını ihtiva eder. Böylccç, X in her
komşuluğu X 1 nin bir noktasını ihtiva eden hiç bir noktası yoktur. Buradan X in
her noktası X‘ den hiç bir nokta ihtiva etmeyen yani tamamen X içinde kalan bir
komuşuluğa sahiptir. Netice olarak X açıktır.
Karşıt olarak X in açık olduğunu kabul edelim Yukarıdaki düşüncenin ter­
sine çevrilmesi ile X* nin X içinde hiç bir yığılma noktası olmadığı gösterilir.
Bundan dolayı X‘ kapalıdır.
Teorem 2.4 : Bir x e M noktasının bir X er M alt kümesinin bir yığılma
noktası olması için gerek ve yeter şart x’i ihtiva eden her açık kümenin X in x den
farklı bir noktasını ihtiva etmesidir.
aldı
İspat : x, X in bir yığılma noktası olsun. Bu takdirde x in her e — komşu­
luğu X in x den farklı bir noktasını ihtiva eder. x’i ihtiva eden her açık küme
x in bir komşuluğunu da tamamen ihtiva edecektir. Böylece x’i ihtiva eden her
aÇik kümenin x den başka X in bir noktasını ihtiva edeceği hemen açıkar.
Karşıt olarak, bu şartın sağlandığını kabul edelim. Yığılma noktasının
tanımından ve e — komşuluklarının açık olmasından x in X’in bir yığılmanoktası olduğu çıkar.
ry^Teorem 2.5 : Bir çoğa-bir f: M j ---- ►M 2 dönüşümünün sürekli olması
JÇİn gerek ve yeter şart; M 2 içindeki açık her X 2 kümesi için X ı = f-1 (X2)
alt kümesinin M ı de açık olmasıdır.
İspat : f: M j
M 2 dönüşümünün sürekli olduğunu kabul edelim. Bu
takdirde M j in herhangi bir x noktası ve M 2 de f (x) in bir e — komşuluğu
Ne verildiğinde M ı içinde x in bir 8 — komşuluğu N§ vardır, öyleki eğer
y e Ng ise, f(y)
e
Ne dur. Bu paragraf 15 te verilen süreklilik tanımının bir
tekrarıdır. Şimdi X 2, M 2 içinde bir açık küme olsun. Onun ters görüntüsü
^ 1 = f"1 (X2) yi göz önüne alalım. x 1( X ı içinde bir nokta olsun. O halde
f (xı) 8 X 2 dir. X2 açık olduğundan f (xı) in tamamen X 2 içinde bulunan bir N£
komşuluğu vardır. Süreklilik şartından dolayı x 1 in bir Ng kumşuluğu vardır
Vc bu komşuluk içindeki her hangi bir noktanın görüntüsü N_ içindedir. Fakat N_
^2 nin içindedir.
Böylece Ng daf-*(X2) nin içindedir. Bundan dolayı f-I(X2), M j de açıktır.
41
Karşıt olarak f: M ı ---- >- M 2 ye çoğa-bir dönüşümünün M 2 de açık her
X 2 kümesi için M 1 de f-1 (X2) kümesinin açık olması şartını sağladığını kabul
edelim, f nin sürekli olduğunu göstereceğiz.
x, M ı in bir noktası ve N£> f (x) in bir komşuluğu olsun. N£> M 2 içinde
açıktır, ve hipotezden dolayı f-1 (N£), M ı içinde açıktır. Sonuç olarak x’in
tamamen f -1 (N£ ) içinde bulunan bir 8 — komşuluğu Ng vardır. Böylccc Ng
nin her noktasının görüntüsü N£ içindedir. Buradan f süreklidir.
Teorem : Bir çoğa-bir f: M ı ---- ►M 2 fonksiyonunun sürekli olması için
gerek ve yeter şart M 2 de kapalı her U kümesi için f-1 (U) ters görüntüsünün
M 1 de kapalı olmasıdır.
İspat : Okuyucuya bırakılmıştır.
ÖDEVLER
1. Yukarıdaki teoremi ispat ediniz.
Çh;
— (x,d) bir metrik uzay olsun, e (x,y) = d (x,y) / 1 + d (x,y) ile t?.mmlanan e: X x X ---- ►R — R_, fonksiyonunun bir metrik olduğunu ve d
ile e nin X üzerinde oluşturduğu topolojilerin denk olduğunu yani d ye göre bir
kümenin açık olması için gerek şart o kümenin e ye göre açık olmasıdır teoreminin
doğru olduğunu gösteriniz. R_, negatif gerçek sayılardır.
3. d , X üzerinde bir metrik olsun, a, b e X olmak üzere,
e (a,b) = min (1, d (a,b) ) ile tanımlanan fonksiyonun da X üzerinde bir
metrik olduğunu gösteriniz.
4. M ı = [X i,d î ] ve M 2 = [X 2,d2] iki metrik uzay olsun,
d
( Xı,x2), (yı,y 2> ) = d ı (*ı,yı) + d 2 (x 2,y 2) de tanımlanan fonksiyo­
nun X[ x X 2 üzerinde bir metrik olduğunu gösteriniz.
5. Mj = [X;, d;] , i = 1,2, ..., m, metrik uzaylar olsun, a = (aj,a 2, ...,am)
b = (b 1; b 2,...,bm) olmak üzere d(a,b) = d ^ a ^ b ı ) + . . . + dm(am,bm)
ile tanımlanan d fonksiyonunun X = X j x X 2 x ... x Xm üzerinde bir metrik
olduğunu ispat ediniz. (Bu, yukarıdaki problemin genel halidir).
6. M = [X, d] bir metrik uzay ve A e X bir alt küme olsun.
 = {x : x e X ve d (x, A) = 0} olduğunu gösteriniz. Burada
d (x, A) = inf (d (x, a) : a e A) ile tanımlanır.
18. TOPOLOJİK UZAYLAR.
Metrik uzaylar, açıkça topolojik özelliklerin incelenmesinde büyük önemi
olmayan uzaklık kavramına bağlıdır. Çünkü uzaklık bir topolojik sabit (invariant)
42
değildir. Böylccc, incelediğimiz uzaylar çok genel türden olmasına rağmen, onları
tanımlama yöntemi bir dereceye kadar tatmin edici değidir. Çünkü onların yapıları
topolojik olmr.yan bir kavramla belirtilir. Mümkün olan en iyi şekilde bir topolojik
uzayı tanımlamak için, topolojik sabit olacağından emin olabileceğimiz bir yapıyla
tanımı ifade etmek gereklidir. Bütün topolojik kavramlarımızı bu yapı ile
ifade edebilir ve uzaklık gibi topolojik olmayan bir kavrama hiçbir zaman
dönmeyiz.
Böyle bir yapıyı anlatmak için açık küme ka.vra.mının uygun olarak kullanı­
labileceği bulunmuştur. Metrik uzaylarda açık kümeler topolojik sabitlerdir.
Çünkü eğer iki uzay topolojik olarak eş yapılı ise, bir topolojik cşyapı dönüşümü
altında bir açık kümenin görüntüsü yine bir açık alt kümedir. Bu Teorem 2.5'in
bir sonucudur.
Paragraf 17 nin 2.3, 2.4 ve 2.5 teoremlerini ispat etmemizin amacı, kapadı
küme, yığılma noktası ve sürekli dönüşüm ka.vramlarını tamamen açık küme kav­
ramı ile ifade etmekti. Bu teoremlerin her biri bir gerek ve yeter şa.rtı ifade eder
Ve dolayısıyla bir alma.şık (alternativc) tanım yapmak için kullanılır. Her bir halde
bu almaşık tanım uzaklık ka.vramından dolaysız söz edilmesinden kaçınır, ve
onun yerine açık küme kavramına dayanır.
Bundan dolayı bu tanımlarla topolojik uzaylar diyeceğimiz daha geniş uzay­
larda açık kümelerin başlıca özelliklerini kullanırız. Bunlar 2.1 ve 2.2 teoremle­
riyle verilmiştir.
fAj'amm : A herhangi bir küme ve [U j, A nın alt kümelerinin aşağıdaki şart­
ları sağlayan bir yığını olsun.
(T.l) Boş küme ve A, [UJ nun içindedir.
(T.2) [UJ nun iki elemanının arakesiti {U | nun içindedir.
(T.3) [Uj nun herhangi sayıdaki elemanının birleşimi [UJ ya aittir.
Böyle bir [U j alt kümeler yığınına A için bir topoloji dcniı;. A kümesine bir
jU j, topolojisiyle birlikte bir topolojik uzay denir ve T = [A, [Uj ] ile gösterilir.
A nm elemanlarına T nin noktaları ve j U J yığınının elemanlarına da T nin açık
kümeleri denir. A nm bir alt kümesi T nin bir alt kümesi olarak söylenecektir.
(T.2) nin hemen bir sonucu şudur: Sonlu .sayıda açık kümelerin arakesiti
açıktır. Teorem 2.1 e göre, açık kümeler paragraf 16 daki gibi tanımlandığında
bu sonuç metrik uzaylar için de doğrudur. Bunun gibi, Teorem 2.2 den dolayı
(T.3) metrik uzaylar için de doğrudur. Kalan (T.l) şartıda metrik uzaylarda
aÇik küme tanımının bir sonucu olarak metrik uzaylar tarafından sağlanır. Böylccc
bir metrik uzay, paragraf 16 da tanımlanan açık kümeler yığını bir topoloji olarak
alınırsa, bir topolojik uzaydır. Gerçekten (T.l), (T.2), (T.3) aksiyomları bunun
böyle olmasından emin olmak için seçilmiştir. *-
43
Tanım : T = [A, 21» 2 = {U j bir topolojik uzay olsun. Eğer A küme
sine bir metrik verilebilirse, ve bu metrik tarafından belirtilen açık kümeler
ile, topolojiyi teşkil eden açık kümeler aynı ise, T ye bir ölçü konabilir
(metrisable) uzay denir.
Her topolojik uzayın ölçü konabilir olmasının gerekmediğini daha sonra ispat
edeceğiz. Eğer bir topolojik uzay, bir tek noktadan ibaret bir uzay olması hali
dışında, ölçü konabilir bir uzay ise, verilebilecek metrik tek değildir.
Örnek 1 : A kümesini ve boş kümeyi açık kümeler olarak alıp herhangi
bir A kümesinde bir topoloji tanımlanabilir.
T = [ A, ¡A, 0 } ] dır.
Örnek 2 : Bir A kümesinin kuvvet kümesi, yani A’nın bütün alt kümelerinin
kümesi, A kümesi için en kuvvetli topolojidir. Bu topoloji gerçekten paragraf 14
te incelen d 0 metriğinden doğan topolojinin aynısıdır. Çünkü ora.da gördüğümüz
gibi d 0 metriği ile bir metrik uzayın her alt kümesi açıktır. A için bu topolojiye
ayrımlı topoloji (diserete topology) denir.
Örnek 3 : A = jx : 0 <; x < 1 | olsun. A üzerine a.çık kümeler olarak boş
küme \ ve 0 < k <Ç 1 olmak üzere U = jx : 0 <Ç x < kj kümelerini alıp bir
topoloji koyalım. Gerçekten A açıktır ve (T. 1) aksiyomu sağlanır. Eğer k t < k 2
ise, U ı = {x : 0 <; x < k ıj ve U 2 = ¡x : 0 <; x < k^J kümelerinina.rakesiti U ı
kümesidir ve böylcce (T.2) sağlanır. Son olarak analitik bir düşünce kullanarak
bu şekildeki kümelerin birleşiminin de yine bu şekilde olduğu gösterilebilir. Böylece (T.3) sağlanır.
Örnek 4: A sonsuz bir küme olsun. Açık kümeler A nin. kendisi, boş küme
ve tümleyeni sonlu olan kümeler olsun. (T.l) ve (T.3) şartları aşikar olarak sağ­
lanır. (T.2) nin sağlandığını göstermek için De Morgan kuralını kullanırız, (parag­
raf 8 e bakınız). Yani iki kümenin arakesitinin tümleyeni kümelerin tümleyenlerinin birleşimidir gerçeğini kullanırız. Eğer her iki tümleyen de sonlu ise, onların
birleşimı'de sonludur. Bu topolojiye kofinit topoloji denir.
TOPOLOJİK UZAYLARDA BAZI TANIMLAR.
■^TaHfm : Eğer bir T topolojik uzayında bir X kümesinin X‘ tümleyeni T de
açık ise, X ’e T içinde kapalıdır denir.
T nin topolojisi bir metrikten elde edildiği zaman bu tanımın paragraf 16 daki
tanıma uymasını teorem 2.3 sağlar.
Taıyj)}-: Eğer x ’i ihtiva eden her açık küme, x den başka X in en az bir nok­
tasını ihtiva ederse, x noktasına X alt kümesinin bir yığılma noktası denir.
Bu tanımı teorem 2.4 akla getirir. Bu aym zamanda paragraf 16 da metrik
uzaylar için verilen tanıma uygundur.
44
Tanım : Eğer x’ ihtiva eden her açık küme, X den bir nokta ihtiva ediyorsa,
x e T noktasına X alt kümesinin bir kapanış noktası denir. X in kapanış noktaları­
nın' X kümesine X in kapanışı denir.
Yine X = X' U X dir. Burada X', X in yığılma noktaları kümesi, X in
türev kümesidir. X in hiç bir yığılma noktası yoksa, X = X dir.
Tanım : T j ve T 2 iki topolojik uzay olsun. Eğer T 2 de açık her U kümesi­
nin ters görüntüsü f_1(U) , T ı de açık iss, bir çoğa-bir f : T j ---- >- T 2 dönüşümü­
ne süreklidir denir.
T j ve T 2 nin topolojileri metriklerden elde edildiği zaman bu tanımın ev­
velce metrik uzaylar için verilen tanıma uygun olmasını teorem 2.5 sağlar. Topo­
lojik uzaylar arasındaki bir sürekli dönüşüme bir tasvir de denir.
Tanım : Eğer bir f : T j ---- >■ T 2 üzerine dönüşümü bire-bir, f ve) f-1 in her
ikisi sürekli ise, f dönüşümüne bir topolik tasvir (homeomorfizm) veya topolojik
eşyapı dönüşümü d e n ire
Metrik uzaylar için olduğu gibi topolojik uzaylar arasındaki topolojik tasvir
topolojik uzaylar kümesi üzerinde bir denklik bağıntısıdır. Yansıma ve bakışım
(simetri) özellikleri hemen sağlanır. Geçişme özelliği aşağıda verilen teorem 2.6
ya dayanılarak gösterilir. Bir topolojik tasvirin temel özelliği onun topolojiyi
koruyan birc-bir bir dönüşüm olmasıdır. Çünkü topolojik tasvir altında açık
kümelerin görüntüleri ve ters görüntüleri açık kümelerdir.
ÖDEVLER
X = ja,b,c,d,ej kümesi ile X ’in alt kümelerinin
-fi) U = ¡X, .0 , jaj , {a,bf, |a ! Î c j
^ i i ) V = |X , 0 , {a,^,c}, {a,b,d}, {ad>,c,d}
-f-iii) W == {X, 0 , {a), {afb j, ja.c.dj, {a,b,c,dj \ ^ /
kümeleri veriliyor. U, V ve W, X üzerinde birer topoloji midir?
U ve V, X üzerinde herhangi iki topoloji olsun. (Lf Q_ V itin de X__üzerinde
bir topoloji olduğunu gösteriniz. Bu problemi genelleştiriniz.
o ^ - Bir X kümesi üzerindeki iki topolojinin birleşiminin X üzerinde bir topoloji
olması gerekmediğini bir misalle gösteriniz.
i
<^4. X = {a,b,c} olsun. X üzerine kaç şekilde topoloji konabilir? Bu topolojileri
sırayla yazınız.
5. X bir küme ve U = jX, 0 , A, Bj olsun. U nun X üzerinde bir topoloji ol­
ması için_X in boş olmayan A, B has alt kümeleri hangi şartları sağlamalıdır?
45
6. X = ja,b,c,dj kümesi veriliyor. X üzerinde dört clcmanlı topolojileri sırayla
yazınız. (Beşinci probleme bakınız).
■/^7yN doğal sayılar kümesinin bir En alt kümesi,
E„ = J n, n + 1 , n + 2 ,... } , n
e
N
ile tanımlanıyor.
i) U =
[N, 0 , En, n e Nj
kümesinin N üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.
ii) 7 yi ihtiva eden açık kümeleri bulunuz.
8. X bir sonsuz küme ve U, X in bütün sonsuz alt kümelerini ihtiva eden bir topo­
loji olsun. U nun X üzerinde ayrımlı (diserete) topoloji olduğunu gösteriniz.
9. X bir sonsuz küme ve U, X ’i, 0 yi ve X in tümleyeni sayılabilir bütün alt küme­
lerini ihtiva eden bir küme olsun.
i) T — [X,U] nun bir topolojik uzay olduğunu gösteriniz.
ii) Eğer X sayılabilir bir küme ise, U nasıl bir kümedir, açıklayınız.
10. X = {aı, a 2,...,a n| ve T = [X,U] bir topolojik uzay olsun. Her a; e X için
Jajj e U ise, U nun X üzerinde en kuvveti topoloji (ayrımlı topoloji) olduğunu
gösteriniz.
19. TOPOLOJİK UZAYLAR HAKKINDA BAZI TEOREMLER.
Bu kısımda verilen teoremler, genel topolojide kullanılan muhakeme çeşidini
aydınlatır. Bu teoremler 2.6 hariç paragraf 20 de bir topolojik uzayın tanımına
almaşık yaklaşımları incelemekte kullanılacaktır.
Teorem 2.6 : Eğer f: T ı ---- »- T 2 ve g: T 2 ---- >■ J j sürekli dönüşümler
ise, h = gof : T ı ---- >- T 3 birleşik dönüşümü de süreklidir.
İspat : f sürekli olduğudan T 2 de açık bir kümenin f altındaki ters görüntüsü
T ı de açıktır, g sürekli olduğundan T 3 de açık bir kümenin g altındaki ters gö­
rüntüsü T 2 de açıktır. X, T 3 içinde açık bir küme olsun, h -1 (X), T 1 in f ile
g-ı (X) içine resmettiği elemanlardan ibarettir. Bu nedenle
h - ı (X) = f - ı (g—1 (X))
dir. Faka.t X, T-¿de açık olduğundan g-1 (X), T 2 de açıktır. Buradan h-> (X),
T ı de açıktır. Böyîccc h süreklidir.
Teorem 2.7 : Eğer X ve Y bir topolojik uzayın iki alt kümesi ise,
X u Y = X u Y dir. Yani iki kümenin birleşiminin kapanışı onların kapa­
nışlarının birleşimidir.
46
İspat : Eğer z e X U Y ise, z yi ihtiva eden her açık küme X u Y nin
bir noktasını ihtia eder. Bu ya X in ya da Y nin bir noktasıdır. Eğer z yi ihtiva
eden her açık küme X in bir noktasını ihtiva ediyorsa, z e X dır. Eğer
z yi ihtiva eden fakat X in bir noktasını ihtiva etmeyen bir açık V kümesi varsa
ve U, z yi ihtiva eden diğer bir açık küme ise, (T.2) aksiyomu gere­
ğince U n V açıktır ve z yi de ihtiva eder. Bundan dolayı U n V, X u Y
nin bir noktasını ihtiva eder. V,X in bir noktasını ihtiva etmediğinden U n V
de X in bir noktasını ihtiva etmez ve buradan U n V, Y nin bir noktasını ih­
tiva eder. Böylccc z yi ihtiva eden her açık küme Y nin bir noktasını ihtiva eder,
böylece z e X u Y dır. Buradan eğer z e X u Y ise, ya z e X ya da
2
e
Y veyahut z her ikisinin de içindedir. Bundan dolayı X u Y
e
X u Y dir.
Eğer z e X U Y ise, z yi ihtiva eden açık küme ya X in ya da
Y nin bir noktasını ihtiva eder ve böylccc X u Y nin bir noktasını ihtiva eder.
Buradan z e X u Y dir. Dolayısiylc X u Y e X u Y dir. Bunu X u Y
c X u ~Y ile birlikte düşünürsek X u Y =
X U Y olduğunu görürüz.
Teorem 2.8: X ’in kapanışı, X nin içindedir. Yani X e X dir.
İspat : z, a nin bir kapanış noktası olsun, z. yi ihtiva eden her
açık U kümesi X nin bir noktasını ihtiva eder.: y, X nin U içinde bulunan bir
noktası olsun. O halde y’ yi ihtiva eden her açık küme X in bir noktasını ihtiva eder.
Fakat U, y yi ihtiva eden bir açık küme, olduğundan U, X in bir noktasını ihtiva
eder. Buradan z yi ihtiva eden her açık küme X in bir noktasını ihtiva eder. Böy­
lece z e X dir. Yani X <= x dir.
^T eorem 2.9 : Bir X kümesinin kapalı olması için gerek ve yeter şart X = X
olmasıdır.
•i
İspat : X in kapalı olduğunu kabul edelim. ■'Bu durumda X* = X—T
açıktır, z, X' nin herhangi bir noktası olsun, z yi ihtiva eden fakat X
in bir noktasını ihtiva etmiyen bir açık küme, yani-XV' vardır. Buradan z, X in
bir kapanış noktası değildir. Ve böylece A,' X in içindedir. Fakat X her zaman X nin
içindedir. Buradan X =*= X dir..
Karşıt olarak, X = X olduğunu kabul edelim, z, X 1 nin herhangi bir noktası
olsun, z, X in bir kapanış noktası değildir. Ve böylece z yi ihtiva eden
fakat X’i kesmeyen bir açık U kümesi vardır, z, X 1 yi tararken bütün U kümelerinin
birleşimi V olsun. V açık kümelerin birleşimidir. ( T. 3 ) aksiyomundan dolayı
açıktır. Ayrıca X 1 nin her noktası U kümelerinin birinin içinde bulunduğun­
dan V, X* yi ihtiva eder. Aynı zamanda hiç bir U, X’i kesmediğinden V nin hiçbir
noktası X içinde değildir. Bundan dolayı V = X‘ dir. Böylccc X 1 — T — X
aÇiktır. Buradan X kapalıdır.
47
Sonuç : Teorem 2.8 den X = X olduğu çıkar. Çünkü tanım gereğince
bir kümenin kapanışı daima kümenin kendisini ihtiva eder. Böylcce X e x dir.
Bundan dolayı Teorem 2.9 u kullanarak herhangi bir X kümesinin X kapanışının
kapalı olduğunu görürüz.
Teorem 2.10 : Bir çoğa-bir f: T j ---- >■ T 2 dönüşümünün sürekli olması
için gerek ve yeter şart her X <= T 1 -alt kümesi için f (X) <= f (x) olmasıdır.
İspat : f: T ı ---- »■ T 2 dönüşümünün sürekli olduğunu kabul edelim. Eğer
U, T 2 de herhangi bir açık küme ise, f-I(U), T ı de açıktır. X, T ı
in herhangi bir alt kümesi ve y, X nin bir noktası olsun. Bu durumda y’yi ihtva
eden her açık küme X in bir noktasını ihtiva eder. V, T 2 içinde f (y) yi ihtiva eden bir
açık küme olsun. O halde f-1 (V), X in bir noktasını ihtiva eder ve böylcce V,
f (X) in bir nokta-sım ihtiva eder. Bundan dolayı f (y) e f (X) ve böylcce
f (X) <= “ (X) dir.
Karşıt olarak f : T ı -> T 2,
T j in her X alt
kümesi için
f (X) e
yi sağlayan bir dönüşüm olsun. U, T 2 de bir açık küme olsun W = f-ı (U)
diyelim. Bu durumda f (W‘) = f (Tı — W) = f (Tı) n TJ* dir. Buradan
U‘ = T 2 — U dur. Hipotezden dolayı f (W*) <= f (W‘) ve böylcce f (W')
<= f (Tı) n TJ! dir. y, W* nin bir kapanış noktası olsun. Eğer y, W nin içinde
ise, fty), TJ dadır. Fakat az önceki ispatımıza göre f (y), f (Tı) n TJ*
içindedir. Bu sebeple f (y) yi ihtiva eden her açık küme f (T,) n U*
nin bir noktasını ihtiva eder ki bu,
TJ nun f (y) yi ihtiva eden bir açık küme olmasına
aykırıdır. Çünkü U, U* nin bir noktasını ihtiva edemez. Bundan dolayı W* kendi
kapamş noktalarının hepsini ihtiva eder. Teorem 2.9 a göre W* kapalıdır. Buradan
W = f-1 (U) açıktır ve böylcce f süreklidir.
Teorem .2.11: T j den T 2 üzerine bir birc-bir f: T ; ---- >■ T 2 dönüşümünün
bir topolojik tasvir olması için gerek ve yeter şart T j in her X alt kümesi için
f (JC) = r (X) olmasıdır.
İspat : f : T j ---- > T 2 bir topolojik tasvir olsun. Bu durumda f süreklidir,
Bundan dolayı Teorem 2.10 gereğince T j in her X alt kümesi için f(X) e: f(X)
dir. f' 1 sürekli olduğundan herhangi bir Y <= T 2 alt kümesi için
f-i(Y) e f-i(Y) dir. Y = f(X) olsun. Bu durumda f_1(Y) = X dir ve önceki şart
f-1 ( f (X )) e X şeklinde yazılabilir veya buna f nin uygulanması ile f(X) <= f(X)
yazılabilir. Buradan hemen f(X) =
f(X) çıkar.
Ka.rşıt olarak f, T j den T 2 üzerine her X <= T j alt kümesi için f(X) = f(X)
yi sağlayan bir birc-bir dönüşüm olsun, f (X) <= f (X) olduğundan f süreklidir.
48
Y = f (X) diyelim, f-ı (Y) c f-ı (Y) olduğundan f-1 süreklidir. Buradan f bir
topolojik tasvir (homcomorfizm) dir.
Kapanış işleminin topolojik tasvir altında korunmasına rağmen sürekli dönü­
şümler altında korunamadığını aşağıdaki örnek gösterir.
Örnek : A gerçek sayıların bir alt kümesi olsun. A ya sırayla d (x,y) =
|x - y | metriğine karşılık gelen alışılmış topolojiyi ve ayrımlı topolojiyi vererek
T ı ve T 2 topolojik uzaylarını inşa edelim. Bu durumda f(x) = x ile tanımlanan
f: T ! ---- ►T 2 dönüşümü süreklidir. Fakat T 2 nin herhangi bir alt kümesi T 2
de kapalıdır. Bundan dolayı, örnek olarak, 0 < x < 1 ile tanımlanan X kü­
mesi T 2 de kapalıdır. Onun f altındaki resmi aynı kümedir, fakat bu T ı de kapalı
değildir ve böylccc f (X) # f (X) dir. Bu bir bire-bir sürekli dönüşüm için bile
bir alt kümenin kapanışının resminin, bu kümenin resminin kapanışı olması gerek­
mediğini gösterir.
20. BİR TOPOLOJİK UZAY TANIMLAMANIN DEĞİŞİK YÖNTEMLERİ.
Tamın: A herhangi bir küme olsun. A nın her X alt kümesi ile X in kapanışı
denilen bir başka X alt kümesini bağlayalım, öyleki aşağıdaki Kuratowski aksi­
yomları sağlansın :
(K .l) X e X
(K.2) 0 =
0
(K.3) XÜ~Y =
X uY
K.4) X c x
Bu takdirde, kapanış işlemiyle birlikte A kümesine bir Kuratowski uzayı
denir.
Her X için X - = X ve  = A olması (K .l) den (K.4)’c kadar bu dört aksi­
yomun sonuçlarıdır. Kapanış paragraf 18 deki gibi tanımlandığı takdirde ilk iki
(K.l) ve (K.2) şartları aşikâr olarak her topolojik uzay tarafından sağlanır. (K.3)
ve (K.4) şartlarıda Teorem 2.7 ve 2.8 den dolayı gene her topolojik uzay tarafın­
dan sağlanır. Buradan kapanış alışılan şekilde tanımlanınca her topolojik uzay
bir Kuratowski uzayı olur.
Bir Kuratowski uzayında bir kümeye eğer küme kapanışına eşitse, kapalıdır
diyelim (Teorem 2.9 a bakınız). Yine tümleyeni kapalı olan bir kümeye açıktır
diyelim. Bu yolla tanımlanan açık kümeler yığını bir topoloji teşkil eder.
Bunu ispat etmek için (T.l), (T.2) ve (T.3) şartlarını sağlamalıyız. (T.l)
Şartı (K.2) ve  = A dan hemen çıkar. (T.2) yi ispatlamak için V j ve V 2 açık
kümeler olsun. Bu durumda, V‘j ve V‘2 kapalıdır. Bundan dolayı V'ı = V'ı ve
49
V*2 = V*2 dir. Fakat (K.3) den
U V‘2 =
U V‘2 dir. Buradan
V‘ı U V‘2 = V*j U V*2 dir ve böylccc V‘ı U V‘2 kapalıdır. Fakat
V‘ı U V‘ 2 = (Vj n V 2)‘ olduğundan V ! n V 2 açıktır. Bundan dolayı (T.2)
sağlanır. (T.3)’ü ispat etmek için önce tamamlayıcı şartı, yani herhangi sayıda
kapalı kümenin arakesitinin kapalı olduğunu ispat edeceğiz. X bir kapalı kümeler
yığınının karakesiti olsun. Bu durumda eğer C, bu yığının herhangi bir kümesi ise,
X <=C dir.Bu nedenle C = X u C ve böylccc (K.3) ve göre C = C ü X = C U >£
dir. O halde X <= C dir. Fakat C kapalı olduğundan C = (J dir. Bundan
dolayı X e C dir. Yani X, yığınının Her kümesi tarafından ihtiva edilir. O halde
X onların arakesiti olan X tarafından da ihtiva edilir, yani X c X dir. (K.l) e
göre X <= X olduğundan X = X dir. Bundan dolayı herhangi sayıda kapalı
kümenin arakesiti kapalıdır. Bu kümelerin tümlcyenlcri alınarak herhangi sayıda
açık kümenin birleşiminin açık olduğu görülür. Böylccc her Kuratovvski uzayı bir
topolojik uzaydır.
Şimdi bu topolojiye göre herhangi bir X kümesinin kapanışının X ye eşit
olduğunu gösterelim. X = X olduğundan X kapalıdır. Buradan, eğer x e A
ve x ’i ihtiva eden her açık küme X ’in bir noktasını ihtiva ediyorsa,
x e X dir. Çünkü aksi halde, X nin tümleyeni x’i ihtiva etmeyen ve X’i
kesmeyen bir açık küme olduğundan çelişki doğar. Karşıt olarak x s a ve U,
x’i ihtiva eden herhangi bir açık küme ise, U ’nun tümleyeni Y, bir kapalı kümedir.
Eğer U, X’i kesmiyorsa, Y ^ X dir. Böylccc, (K.3)’c göre Y = T = X U Y
= X U Y dir. Buradan Y ^ X dir. Bu x e X olması ile çelişir. Böylccc
(K .l) den (K.4)’c kadar olan aksiyomlar bir topolojik uzayı tanımlayan almaşık
aksiyomlar olarak gözönünc alınabilir. Teorem 2.10 ve 2.11 sürekli dönüşümünün
ve topolojik tasvirin, (K.l) — (K.4). aksiyomları (T.l) — (T.3) aksiyomlarına
tercih edildiğinde kullanılabilen almaşık tanımları verir.
(T.l), (T.2) ve (T.3)’c denk olan başka aksiyomlarda vardır, örnek olarak,
aksiyomlar kapalı küme kavramı üzerine kurulabilir. Bunlar (T.l), T.2) ve
(T.3) aksiyomlarında birleşim ve arakesit kelimeleri birbiriylc değiştirilerek elde
edilir.
21 . TABANLAR.
Metrik uzaylarda e — komşulukları açık kümelerin bir özel çeşididir.
Bunlar uzay için, taban denen şeyi teşkil ederler.
Tanım : Herhangi bir topolojik uzay içinde açık.kümelerin bir kümesi |U j
olsun. Eğer her açık küme, {U j nun elemanlarının bir birleşimi ise, {U | ya bir
taban denir.
50
Metrik uzaylarda taban için doğal bir seçiş e — komşuluklarıdır. Fakat
her topolojik uzay ölçükonabilir (metrisable) olmadığından bu seçme her zaman
mümkün olmaz. Herhagi bir topolojik uzay için taban, basitçe bütün açık kü­
fe le r a.hnarak seçilebilir.
Aşağıdaki teorem verilen bir dönüşümün sürekli olduğunu ispat etmek için
kazan kullanışlıdır.
^ Teorem 2.12 : Eğer, (N j bir topolojik T 2 uzayı için bir taban ise,
/ : Tı —
T 2 dönüşümünün sürekli olması için gerek ve yeter şart, {Nj nin
her elemanı için f-1(N) nin T j de açık olmasıdır.
İspat : Eğer f sürekli ise, sürekliliğin tanımından ve her N açık olduğundan
f"1 (N) açıktır.
Karşıt olarak, her N için f-*(N) nin açık olduğunu kabul edelim. U, T 2
de herhangi bir açık küme olsun. U, {Nj deki kümelerin bir birleşi­
midir. Bundan dolayı f_1(U), f_1(N) şeklindeki kümelerin bir birleşimidir.
(T.3) e göre herhangi sayıda açık kümelerin birleşimi açık olduğundan f-i(U)
açıktır. Bu sebepten f süreklidir.
22. ETKİLENMİŞ (RELATİVE) TOPOLOJİ.
Tanım : X _bir T=? [A, {U j ] topolojik uzayının bir sabit alt kümesi olsun.
Bu durumda, X’c aşağıdaki gibi bir topoloji verilebilir. U, T de herhangi bir açık.
küme olsun. Bu durumda, X n U ya X içinde açıktır denir. Bu şekildeki bütün
kümelerin yığını X içiiTbir topolojidir. Bu topolojiye T den elde edilmiş topoloji
vcya X in T nin topolojisinden etkilenmiş topolojisi denir. {X n U j nun X içinde
bir topoloji olduğunu göstermek için paragraf 18 deki (T.l) — (T.3) şartlarını
gcrçeklemcliyiz. (T.l) hemen gerçeklenir. Çünkü X n 0 = 0 ve aynı zamanda
A açık olduğundan X = X n A olup X açıktır. (T.2) yi ispatlamak için
U 1 ve U 2, T içinde açık kümeler olmak üzere X n U ı ve X n U 2 , T dc
aÇik olduğundan bunların arakesiti (X n U 1) n (X n U 2) = X n (U j n U 2),
X içinde açıktır. Son olarak U, T de açık olmak üzere X n U şeklindeki
kümelerden ib?.ret X in herhangi bir açık kümeler yığınının birleşimi X D V
Seklindedir. Burada V, U ların birleşimidir vc açıktır. Bundan dolayı X O V,
X içinde açıktır. Böylccc (T.3) sağlanır.
Tanım : T = [A, {U {] bir topolojik uzay X <= A plsun. X ’e T nin topolo­
jisinden etkilenmiş {X n UJ topolojisi ile birlikte T nin bir alt uzayı denir ve
S = [ X, { X n U j ] ile gösterilir.
Üç boyutlu Öklid uzayında bir yüzeyin topolojisi genellikle Öklid uzayının
topolojisinden etkilenmiş topoloji olarak alınır.
51
Bir S alt uzayında açık bir U kümesinin T uzayı içinde açık olması ge­
rekmez. Benzer şekilde S de kapalı bir kümenin T de kapalı olması gerekmez.
Bununla beraber, eğer X, T içinde açıksa, S nin bütün kümeleri T de açıktır. Çün­
kü U, X O V şeklindedir. X ve V nin her ikisi de T de açık olduğundan
U = X n V de T de açıktır.
Eğer T bir metrik uzay ise, herhangi bir S ait uzayına basitçe T nin metriği
verilebilir. S nin bu metriğine T nin metriğinden etkilenmiş metrik denir. Etki­
lenmiş metrik ile tanımlaman topolojinin, etkilenmiş topoloji olduğunu göstermek
kolaydır.
Teorem 2.13 : Eğer {Nj, bir T topolojik uzayının bir tabam ve S, T nin
bir alt uzayı ise, {X n N j, S için bir tabandır.
ispat : Her N açık olduğundan X n N , S de açıktır. Buradan S nin her
açık kümesinin X n N şeklindeki kümelerin bir birleşimi olarak ifade edilebi­
leceğini göstermemiz gerekir. S nin her açık kümesi, U, T içinde açık olmak üzere,
X n U şeklindedir. Halbuki ¡N j , T için bir taban olduğundan U, N lerin bir
birleşimidir. Böylece X n U, X n N şeklindeki kümelerin bir birleşimidir.
Örnek : Öklid düzleminin topolojisi için bir taban, e ’ nun her değeri
için e — komşulukları denilen bütün dairelerin içlerinden ibarettir. C,
x 2 -f y 2 = ı ’ i sağlayan (x,y) noktalarından ibaret olan çember olsun. Yani
C = { (x ,y ):x 2 + y2 = 1 j birim çember olsun. Düzlemde bir dairenin içi C yi
kesmez veya uç noktaları hariç C yi bir çember yayı boyunca keser. Buradan C
nin topolojisi için bir taban bütün böyle yayların bir yığınından ibarettir. Şüphe­
siz bu yaylar düzlemde açık değildir.
DEVLER
1. U = jX, 0 , ja j, { c,d j, [ a,c,d j, { b,t,d,e J } kümesi X = { a.b/.d.e }
üzerinde „„bir topolojidir. X i n ‘A = {(a,b,c } alt kümesinin türev kümesini
bulunuz. J
2. T — [X, U] bir topolojik uzay ve A,B<=X olsun. (AUB)' = A 'U B' ol­
duğunu gösteriniz.
3. T = [X,U] ve U kofinit topoloji olsun. Her A<=X için [A 'türev kümesinin
kapalı olduğunu ispat ediniz.
4. U = {X, 0 , {a}, { c,d }, { a,c,d }, { b,c,d,e } } kümesi, X = { a,b,c,d,e }
üzerinde bir topolojidir.
i) X ’in kapalı alt kümelerini bulunuz.
'J ty p i ’in hem açık hem kapalı bir alt'kümesini bulunuz,
iji) X ’in ne açık ne kapalı bir alt kümesini bulunuz.
52
5. T — [X,U] bir topolojik uzay ve A,B <= X olsun.
i) A r> B <= Â o B olduğunu gösteriniz.
ii) A n B ^ Â n S yi sağlayan A,B kümelerini bulunuz.
23. ÖZDEŞLEME TOPOLOJİSt-BÖLÜM UZAYI
Tanım : A herhangi bir küme ve R, A içinde bir denklik bağıntısı olsun.
Denklik sınıfları kümesini B = A /R ile gösterelim. B nin herbir elemanı, A nın
elemanlarının bir sınıfından ibarettir. B ye bölüm kümesi denir. A nın her elemanım
içinde bulunduğu sınıfa götüren f: A ---- ►B dönüşümüne de doğal dünüşüm denir.
Tanım : T = [A, {U}] bir topolojik uzay R, A içinde bir denklik bağıntısı
ve f: A ---- ►B doğal dönüşüm olsun. Eğer f-1 (V) ters görüntüsü A içinde
açık ise, V <= B alt kümesine B nin içinde açıktır diyerek B içinde bir topoloji
tanımlayalım. Bu topolojinin (T.l) — (T.3) aksiyomlarını sağladığı kolayca
görülür.
1. (T.l) aksiyomu sağlanır. Çünkü f-1 ( 0 ) = 0 = U; e { U } olduğundan
0 e V dir ve f-1(B) = A e {U } olduğundan B e {V } dir.
2. (T.2) aksiyomu sağlanır. Çünkü V j, V 2 e {V} ise, f '1 (V t) = U ı,
f-1 (V2) = U 2 dir. Bu durumda f-1 (V ın V 2) = f '1 (Vt) n f-ı (V2) = U ı n U 2
açık olup V 1 n V 2 e V dir.
3. (T.3) aksiyomu sağlanır: i e I, Vj e {V} için UV) e {V} olduğunu göstere-,
i el
lim. f-ı (Vj) = Ui dir. f-ı ( U Vf) = U f-ı (Vj) = U Us e {U} açıktır. O halde
ie l
ie l
iel
U Vj e {V} dir, yani açıktır,
iel
Bu topolojiye, bölüm uzayı topolojisi veya özdeşleme topolojisi denir.
S = [B, {V}] uzayına da bölüm uzayı denir. A içindeki denk noktaların bir
kümesi, B içinde bir tek nokta olarak düşünüldüğünden, A nm bu noktaları özdeşlenmektedir. Bu nedenle S bölüm uzayına T den topolojik özdeşleme ile elde
edilmiştir denir.
Örnek : Hepsi birden sıfır olmayan sıralı (x,y,z) üçlülerinin kümesi A olsun.
A da şu şekilde bir R denklik bağıntısı tanımlayalım: Eğer.
X2 = X Xj
yı =
yı
Z2 — k Zj
olacak şekilde sıfırdan farklı bir X sayısı varsa, (xı,yı,Zı) R (x 2.y 2.Z2) olsun. Bu
denklik bağıntısı ile tanımlanan denklik ^sınıflarının P 2 kümesine izdüşel
53
düzlem denir. Bu tanımı 1. Bölüm 2. paragrafta verilen tanımla karşılaş­
tıralım. P 2 nin topolojisi aşağıdaki gibi tanımlanmıştır. A nın, x2+ y 2+ z 2 = 1
denklemini sağlayan elemanlarını düşünelim. Bunlar, üç boyutlu Öklid uzayında
birim küre yüzeyi üzerindeki noktalar olarak gözönüne alınabilir. P2 nin her
noktası A nın iki elemanıyla gösterilmiştir. Çünki, eğer (xI,yı,zı). A içinde her
hangi bir nokta ise, bu durumda (Xxİ5 Xy 1, kzj) noktalarının istenilen şartı
sağlaması için gerek ve yeter şart, X. =
(xj + y \
+
zf) -1/2 alınmp.sıdır.
Böylccc, P 2 nin noktadan ile birim küre üzerindeki çap ucu nokta çiftleri arasında
birebir tcka.bül vardır. Kürenin, adi topolojiye sahip olduğunu, yani kürenin topo­
lojisinin üç boyutlu Öklid uzaymd?.n elde edilen etkilenmiş (relative) topoloji
olduğunu kabul edelim. P 2 nin topolojisi, birim kürenin topolojisinden
özdeşleme ile elde edilen topolojidir. Bu durumda, küre üzerindeki denklik
bağıntısı şu şekildedir. İki noktanın denk olması için gerek ve yeter şart, bu nokta­
ların bir çapın uçlarında bulunmasıdır.
ÖDEVLER
1. Bir [T, U] topolojik uzayı için aşağıda verilen iki taban tanımının denk oldu­
ğunu gösteriniz:
i) Her Uj e U açık kümesi, U nun taban denilen bir B alt kümesinin ele­
manlarının bir birleşimi olarak yazılabilir.
ii) Her Uj açık kümesine ait herhangi bir P noktası için p £ B, e U | ola­
cak şekilde B tab?.nının bir Bi elemanı vardır.
cx(l. X = { a,b,c } ve B = { { a,b }, { b,c } } veriliyor. B nin X üzerinde hiç bir
topoloji için bir taban olmayacağını gösteriniz.
3. U nun X üzerinde sonlu bir topoloji olması için gerek ve yeter şart U nun
bir sonlu tabana malik olmasıdır. İspatlayınız.
4. X = { a,b,c,d,c } olsun. B = { { a } , { a,b,c } , { e,d } } tabanının X üze­
rinde doğurduğu U topolojisini bulunuz.
5. Açık aradıkların R üzerinde, açık dairelerin R 2 üzerinde alışılmış topoloji için
taban teşkil ettiğini gösteriniz.
'6. T = [X, U] ayrımlı (diserete) topolojik uzay olsun. B = { { P } : P e X} küme­
sinin U için bir taban olduğunu gösteriniz.
ALT UZAY VE BÖLÜM UZAYI ÜZERİNE ÖDEVLER
1. X = {a,b,c,d,c} kümesi üzerinde
U — {X, 0 .£ a } , {a,b}, {a,e,d}, {a,b,c,d}, {a,b,c}} topolojisi tanımlanıyor.
X in A = ({a,Cyc} alt kümesi üzerine U yardımıyla konulan rölatif topolojinin
elemanlarıriUDulunuz.
54
A; $ P î -*
A
..
2. T = [ R, U ], U = { Ui = açık aralıkların birleşimi } alışılmış topolojisi verili­
yor. N, doğal sayılar kümesi, üzerinde U nun oluşturduğu rölatif topolojiyi be­
lirtiniz.
/
3. T = [R,U] veriliyor. I - f e D
R üzerine konan rölatif topoloji içinde
i) (1/2, mT İi) (1/2, 4 /3 ), iii) (0^1/2] kümelerinin(açık)olup olmadığım
tayin ediniz.
f V e.
4. [X,U], [Y, V] nin alt uzayı_ye [Y V] de [Z,W] nin alt uzayı ise, [X, U] nun
[Z,W] nin bir alt uzayı olduğunu gösteriniz.
5. Doğal dönüşümün sürekli olduğunu gösteriniz.
6. R gerçek sayılar kümesi üzerinde bir S denklik bağıntısı şöyle tanımlanıyor:
x ve y her ikisi de bir n, tam sayısı için soldan açık sağdan kapalı (n, n+ 1]
aralığının içinde bulunuyorsa, x S y dir.
d: R ---- ►R / S
doğal dönüşümünün, R nin açık kümelerini açık kümelere dönüştürmediğini
gösteriniz.
24. TOPOLOJİK ÇARPIMLAR.
T j = [A, {U}], T 2 = [B, {V}] iki topolojik uzay olsun. A x B çapraz (direct) çarpımının bir W alt kümesine, U ve V sırası ile T ı ve T 2 açık kümeler"
olmak üzere eğer W nin her noktası tamamen W içinde kalan U x V şeklinde
bir kümeye ait ise, A x B de açıktır denir. Şu halde, eğer boş küme, A x B de açık
olarak düşünülürse, bu yolla tanımlanan açık kümeler yığını A x B için bir topoloji
teşkil eder. Bu yığın için (T.l) şartı aşikar olarak sağlanır. (T.2) yi sağlamak için
W ı, W 2, kümeleri AxB de açık olsunlar. W t n W 2 nin herhangi bir noktası
U ı x V , e W j ve U2 x V 2 c W 2 şeklindeki kümelerin içindedir. Bura­
dan o nokta, (U ı n V2) x (V 1 O V 2) c W ) n W 2 şeklindeki kümenin içinde
bulunur.
U ı n U 2 ve V[ n V2 kümeleri açık olduğundan W ı n W 2 açıktır.
Son olarak (T.3), W kümelerinin bir birleşiminin herhangi bir noktası hiç olmazsa
bir W kümesi içinde bulunması ve bu sebepten U x V
W içinde olması gerçe­
ğinden çıkar.
Bu topoloji için bir taban (U x V ) kümesidir.
Tanım : AxB kümesi ile yukarıda tanımlanan {W} topolojisine T ı ve T 2
nin T ı x T 2 topolojik çarpım uzayı denir. Topolojik çarpım kavramı herhangi
sonlu sayıda topolojik uzaylara kolayca genelleştirilebilir.
55
Teorem 2.14 : T ı x T 2, T j = [A, {U}] ve T 2= [B {V}] uzaylarının topolojik
çarpımı olsun, p: T ı x T 2 ---- »- T ı, p (xı, x2) = xj v e q : T ı x T 2 ---- ►T 2,
<1 ( xı, x2 ) = x2 ile tanımlanan dönüşümler süreklidir.
İspat : U, Tı içinde bir açık küme olsun. Bu durumda x t e U ve x2 e T 2
olmak üzere p-1 (U), (xı, x2) sıralı çiftlerinin kümesidir. Buradan p-1 (U) = UxB
dir. Bu küme, sırası ile T ı ve T 2 içinde açık olan iki kümenin çarpımı olduğundan
T ı x T 2 içinde açıktır. Bundan dolayı p süreklidir. Benzer şekilde q nun sürekli
olduğu gösterilir.
Tanım : p: T ı X T 2 ---- ►T ı, p (xı, x2) = x t ve q: T t x T 2 ---- >- T 2)
<1 (x ı, x2) = x2 dönüşümlerine izdüşüm dönüşümleri (projeetions) denir.
Tanım : Eğer f: A ---- >■ B çoğa-bir bir dönüşüm ise, AxB~nin (x, f (x) )
şeklindeki noktaların kümesine f ’nin grafiği denir.
A ve B kümelerine topoloji verildiğinde f ’ nin, G ile göstereceğimiz grafiği,
ilgili topolojik uzayların topolojik çarpımının bir alt uzayı olur.
Teorem 2.15 : Sürekli bir f : T ı ---- ►T 2 dönüşümünün
ile topolojik eşyapılıdır.
G
grafiği, T ı
İspa.t: Xı e T ı olmak üzere G, T ı x T 2 nin (x,f (x )) şeklindeki elemanları­
nın alt uzayından ibarettir.
h ( x ) = ( x , f ( x ) ) ile h : T ı ---- ►G dönüşümünü tanımlayalım. Bu du­
rumda her x e T ı için h ( x ) tek olarak tanımlanır. G nin verilen her hangi bir
(x , f (x) )
elemanı için İv1( x , f ( x ) ) de tek ola.rak tanımlıdır. Çünkü
( x , f ( x ) ) = (y, f (y)) olması, x = y olmasını gerektirir. Bundan dolayı h, T j
den G üzerine bire-bir dönüşümüdür.
Şimdi h ve h-1 dönüşümlerinin sürekli olduğunu gösterelim. U, G içinde açık
bir küme olsun. Bu durumda U, U j, T ı içinde açık ve U2, T 2 içinde açık olmak
üzere (U j x U 2) n G şeklindeki kümelerin bir birleşimidir. Bu nedenle
h-1 (U), U ı n f-1 (U 2) kümelerinin birleşimi olduğundan açıktır. Böylcce h sürek­
lidir.
V, T ı içinde bir açık küme olsun. Bu durumda h (V), G içinde açıktır. Çünkü
p-1 (V), T ı x T 2 içinde açıktır, h (V) = p-1 (V) n G dir. Bundan dolayı
h-1 süreklidir. Buradan h bir topolojik tasvirdir.
ÖDEVLER
1. U = {X, 0 , {a}, {b,c} }, X = {a,b,c} üzerinde ve V = {Y, 0 , {d}},
Y = {d,e) üzerinde birer topoloji olsun. XxY topolojik çarpımının topolojisi
için bir taban bulunuz.
56
2. Bir f : X ---- >- Y fonksiyonunun, Y — Y ıx Y 2 ... x Yn topolajik çarpımı
olmak üzere, sürekli olması için gerek ve yeter şart her pf: Y ---- ►Y; izdüşüm
fonksiyonu için p;of: X ---- >• Yj birleşik fonksiyonunun sürekli olmasıdır.
3. T ile T' ve S ile S' topolojik cşyapılı ise, T x S ile T' x S' nün topolojik
eşyapılı olduğunu gösteriniz.
25. TOPOLOJİK GRUPLAR.
Alt kümelere, çapraz çarpıma ve bölün *:ümclcrine ' ğal bir şc' " ie nasıl
topolojiler verildiğini gördük. Şimdi, bir çeşit yapıya sanip olan Kümelere,
topolojilerin bu yapıya göre anlamlı olacak şekilde vermenin bir örneğini görece­
ğiz.
Tanım : Bir A kümesi içinde bir grup işlemi aşağıdaki dört aksiyomu sağla­
yan ve bir nokta ile gösterilen bir işlemdir:
i) a, b e A ise, a.b
tanımlanır ve A nm bir elemanıdır.
ii) a.(b.c) = (a.b).c dir
iii) A nın özdeşlik elemanı denilen bir e elemanı vardır ve her a e A için
a.c = a dır.
iv) A nm her a elemanı için, a nın tersi denilen ve a.a-1 = e yi sağlayan bir
a-ı elemanı vardır.
Tanım : A kümesine bir grup işlemi ile birlikte bir grup denir.
Grup işlemlerinin kendi başlarına hiç bir topolojik anlamı yoktur. Bir küme,
bir birinden bağımız olarak bir topolojiye, bir grup işlemine malik olabilir. Bunların
birbirine göre herhangi bir anlamı olması gerekmez. Fakat bu iki tip yapı bir topo­
lojik grup kavramı içinde birbirine bağlanabilir.
Tanım : Bir grup işlemi ve bir topoloji ile birlikte bir A kümesine, eğer
f : A x A ---- ►A, f (a,b) = a.b ve
i
g : A ---- ►A, g (a) = a-ı
ile tanımlanan dönüşümler sürekli ise, bir topolojik grup
g nin sürekliliği A nm topolojisi iledir.
denir. Burada f ve
Örnek 1. A bütün gerçek sayılar kümesi ve grup işlemi toplama olsun. Bu
takdirde f (x,y) = x + y ve g (x) = — x dir. Eğer A ya alışılmış topoloji
verilirse, f ve g açıkça süreklidir. Böylece A bu iki yapı ile birlikte bir topolojik
gruptur.
57
Örnek 2. : A = {a, b, c} ve a,b,c elemanlarından oluşan eleman çiftleri­
nin çarpımı
a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
a
c
c
a
b
tablosuyla tanımlansın. Bu işleme göre A bir gruptur. A kümesinin açık küme­
leri A, 0 , {a,b}, {a} ve {b} olsun. Bu açık kümeler A için bir topoloji tayin
eder, g nm = a, g X == c ve g ^ ı, = b olduğundan g-1 [{b}] = {c} dir. Fakat
sadece c yi ihtiva eden {c} kümesi açık değildir. Böylece g sürekli değildir.
Bundan dolayı A, bir topolojik grup değildir.
Grup işleminin sürekliliği, grup yapısıyla topolojiyi bağlamak için gerekli
değildir. Örnek 2, rastgele seçilen bir grup işlemi ile, bir topolojinin istenilen
şartın sağlanmasının gerekmediğini gösterir. Gerçekten, topolojik gruplarda kar­
şılaşılan topoloji tipleri, oldukça kısıtlıdır. Bununla beraber, herhangi bir grup,
ayrımlı (diserete) topoloji ile bir topolojik grup olur.
Tawm : Bir T topolojik uzayı içinde verilen herhangi iki a ve b elemanı için
h : T ---- >- T, h (a) = b gibi bir topolojik tasvir varsa, T uzayına homojendir
denir.
Teorem : Her topolojik grup, homojendir.
İspat : f: T x T -----» T, f (x,y) = x.y şeklinde tanımlanan dönüşüm sürekli­
dir. Buradan h: T ---- ►T, h (x) = f (x, a*1.b) ile tanımlanan h süreklidir. Bun­
dan başka h bire-birdir ve h-1 sürekli olduğundan h bir topolojik tasvirdir. Son
olarak
h (a) = a.(a-hb) = (a.a-t).b = b olup h istenilen şartı sağlar.
ÖDEVLER
1. R, gerçek sayılar kümesi, U alışılmış topolojisiyle veriliyor. R, adi toplama
işlemi ile bir gruptur.
f (x, y) = x + y ve g (x) = — x
ile tanımlanan fonksiyonların sürekli olduğunu gösteriniz.
2. İki topolojik grubun topolojik çarpımı da bir topolojik gruptur, gösteriniz.
58
ÜÇÜNCÜ BÖLÜM
ÖZEL TOPOLOJİK UZAYLAR
26. HAUSDORFF UZAYLARI.
Paragraf 1 8 ^ verilen örneklerin bazılarında olduğu gibi 2. Bölümde verilen
bir topolojik uzay tanımı pek çok amaçlar için çok geneldir. Bunun neticesi olarak
topoloji üzerine ilave şartlar sık sık konulur. Bunlar arasında ayırma aksiyomlarım
söyleyebiliriz. Bu aksiyomların en önemlisi aşağıda (H) ile gösterilen Hausdorff
aksiyomudur.
(H ) aksiyomu : Eğer x ve y herhangi iki nokta ise, biri x i diğeri y yi ihtiva
eden ayrık ve açık iki küme vardır.
Tanım : (H) aksiyomunu sağlayan topolojik uzaya Hausdorff uzayı denir.
2.
Bölüm paragraf 18 deki örneklerin sadece İkincisindeki uzay bir Hausdorff
uzayıdır. Örnek 1 de sadece boş olmayan açık küme bütün uzaydır. Böylccc
hiç bir ayırma şartı mümkün değildir. Bununla beraber örnek 3 ve 4 deki uzaylar,
(H) dan daha zayıf ayırma şartlarını sağlar. Örnek 3 deki uzay (a) yı sağlar.
(a) aksiyomu : Eğer x ve y herhangi iki nokta ise, onlardan birini ihtiva eden
fakat diğerini ihtiva etmeyen bir açık küme vardır.-T «
Örnek 4 deki uzay aşağıdaki ( p) aksiyomumu sağlar.
(p) aksiyomu : Eğer x ve y herhangi iki nokta ise, x’i ihtiva eden fakat y’yi
ihtiva etmeyen ve y’yi ihtiva eden fakat x’i ihtiva etmeyen iki açık küme vardır. ~Tj
Açıkça (P) aksiyomu (a) dan daha kuvvetlidir, örnek 3 deki uzay (P) yı
sağlamaz, fakat (P) yı sağlıyan herhangi bir uzay (a) yı sağlar.
Tanım : (a), (P) ve (H) ayırma aksiyomları bazan, sıra ile T0, T j ve T 2
ile gösterilir. T|, i= 0 ,l,2 aksiyomunu sağlayan uzaya T; — uzayı, i = 0,1,2
denir.
Örnek 2 deki uzayın bir Hausdorff uzayı olduğunu henüz ispatlamadık. Bu,
kolayca yapılabilirdi, fakat daha genel bir sonuç aşağıdadır.
^
Teorem 3.1 : Her metrik uzay bir Hausdorff uzayıdır.
59
İspat : x ve y bir metrik uzayın iki noktası olsun. Bu durumda, eğer
( e = 1/2 d (x, y) ise, x ve y nin e — komşulukları ayrıktır. Çünkü aksi halde, z
bir ortak nokta olsa,
d (x,z) < 1/2 d (x, y) ve d (y,z) < 1/2 d (x, y)
olacağından d (x,z) + d (y,z) < d (x, y) olurdu. Bu (M.2) aksiyomu ile çe­
lişir. e — komşulukları açık kümeler olduğundan her metrik uzayın bir Hausdorff uzayı olduğu hemen çıkar.
Teorem 3.1 in bir sonucu şudur: Bir topolojik uzayın ölçü verilebilir (metrisable) olması gerekmez. Çünkü, gördüğümüz gibi Hausdorff olmayan topolojik
uzaylar vardır. Teorem 3.1 den, bir topolojik uzayın ölçü verilebilir olması için bu
uzayın bir Hausdorff uzayı olması gerek şartı çıkar. Faka.t bu şa.rt yeter değil­
dir. Bu konuyu, da.ha ileriye götürcmiyeceğiz. Çünkü konu çok karma.şıktır ve
burada incelenemez.
Tekrar ayırma aksiyomlarına dönelim. Aşağıdaki teorem (P) aksiyomunun
önemini açıklar.
Teorem 3.2 Bir topolojik uzayın (P) aksiyomunu sağlaması için gerek ve ye­
ter şart, bir tek noktadan ibaret olan her alt kümenin kapalı olmasıdır.
ispat : 1. Şart gerektir: x, (P) yi sağlayan bir T topolojik uzayının bir noktası
ve y, T— {x} in bir noktası olsun. (P) şartından dolayı, y’yi ihtiva eden fakat x’i
ihtiva etmeyen bir açık küme vardır. x’i sabit tutup y’ yi değiştirerek elde edilen
açık kümelerin birleşimi B, açıktır. Bu açık küme T— {x}’i ihtiva eder, fakat
x’i ihtiva etmez. Çünkü birleşim içindeki hiç bir küme x’i ihtiva etmez. Buradan
B c T — {x} olacağından B = T — {x} dir. Bu nedenle T — {x} açıktır.
"Buradan {x} kapalıdır.
2.
Şart yeterdir: T, tek nokta ihtiva eden her alt kümesi kapalı olan bir topo­
lojik uzay olsun. x,y farklı iki nokta olsun. Bu durumda T— {x} ve T— {y}
kümeleri açıktır. T— {x}, y’yi ihtiva eder fakat x’i ihtiva etmez ve T— {y}, x’i
ihtiva eder fakat y ’yi ihtiva etmez. Bundan dolayı (P) şartı sağlanır.
(H) a-ksiyomu (P) yı gerektirdiğinden Teorem 3.2 nin bir sonucu şudur:
Bir Hausdorff uzayında tek nokta ihtiva eden her alt küme ka.palıdır.
(H), (a) ve (P) aksiyomlarında ifade edilen özellikler açıkça topolojik sabit­
lerdir. Çünkü onlar açık kümeler ile ifade edilmiştir. Böylece bu şartlardan birini
sağlayan bir uzaya topolojik cşyapılı olan herhangi bir uzayda aynı şartı sağlar.
Daha genel bir sonuç aşağıdaki teoremdir.
Teorem 3.3 : f: T ı ---- ►T 2 bire-bir, sürekli ve T 1 den T 2 üstüne bir dönü­
şüm olsun. Eğer T 2 uzayı (H), (a) veya (P) aksiyomlarını sağlıyor ise, T ı de
(H), (a) veya (p) aksiyomlarını sağlar.
60
ispat : Teoremi, T 2 nin bir Hausdorff uzayı olması hali için ispat edeceğiz.
Diğer haller için benzer ispatlar verilebilir. x ve y, T ı in farklı iki noktası olsun,
f birc-bir olduğundan f (x) ve f (y), T 2 nin farklı noktalarıdır. T 2 bir Hausdorff
uzayı olduğundan sırayla f (x) ve f (y) yi ihtiva eden T 2 içinde ayrık ve açık U,
V kümeleri vardır.
Bu kümelerin ters görüntüleri T! ’in ayrık ve açık f-1 (U) ve f-ı (V)
kümelerdir. Bunlar sırayla x ve y yi ihtiva ederler. Buradan, Tj bir Hausdorff
uzayıdır.
Aşağıdaki iki teorem, Hausdorff özelliğinin alt uzaylara ve topolojik çarpım­
lara nasıl geçtiğini gösterir.
Teorem 3.4 : T bir Hausdorff uzayı ve S, T nin bir alt uzayı ise, S de bir
Hausdorff uzayıdır.
İspat : x ve y, S nin farklı iki noktası olsun. Bu durumda onlar T nin de fark­
lı iki noktasıdır. T bir Hausdorff uzayı olduğundan sıra ile x ve y yi ihtiva eden ay­
rık ve açık U veV kümeleri vardır. Bu durumda U n S ve V n S sıra ile
x ve y yi ihtiva eden S içinde açık ve ayrık iki kümedir. Bundan dolayı S bir
Hausdorff uzayıdır.
* Teorem 3.5: Eğer T j ve T 2 Hausdorff uzayları ise, onların topolojik çarpım­
ları da bir Hausdorff uzayıdır.
İspat : T ı x T 2 nin farklı iki noktası (xı, x2) ve (y j, y2) olsun. Eğer X ı^ y 1
ise, sırasıyla X! ’i ve yı ’i ihtiva eden ayrık ve açık U ı,
kümeleri vardır. Bu dü­
rümda (xı, x2) ve (yı, y2) yi ihtiva eden U ı x T 2 v c V ı x T 2 kümeleri T j x T 2
de ayrık ve açıktır. Eğer Xı = yı ise, x2 # y2 dir. Aksi halde (xı, x2) ve (yı, y2)
noktaları farklı olmayacaktır. Bu halde, sırayla x2 ve y2 yi ihtiva eden ayrık ve açık
U 2, V2 kümeleri vardır. T ı x U 2 ve T t x V2 kümeleri sırayla (xı, x2) ve (yı, y 2)
yi ihtiva ederler ve T ı x T 2 içinde ayrık ve açıktırlar. Buradan istenilen açık küme­
ler daima vardır. Böylcce T j x T 2 bir Hausdorff uzayıdır.
27. NORMAL UZAYLAR.
Aşağıdaki önemli ayırma aksiyomu (H) ile yakından ilgilidir. Fakat noktalar­
dan ziyade kapalı kümeleri ayırır.
(AO aksiyomu : Eğer X ve Y ayrık ve kapalı iki küme ise, X <= U ve Y <= V
°lacak şekilde ayrık ve açık U, V kümeleri vardır.
Tanım ; (N) yi sağlayan bir topolojik uzaya bir normal uzay denir.
İhtar : Bir normal uzayın bir Hausdorff uzayı olması gerekmediği gibi,
bir Hausdorff uzayının da bir normal uzay olması gerekmez.
61
(Bu bölümün sonunda verilen l.,2.,3. örneklere bakınız). Bununla beraber
eğer uzayın tek noktadan ibaret her kümesi kapalı ise (H), (N) nin bir sonucudur.
Böylece, eğer bir topolojik uzay (P) ve (N) yi sağlarsa, (H) yi de sağlar.
Aşağıdaki sonuç, Teorem 3.1 ’e karşılık gelir:
-j- Teorem 3.6 : Her metrik uzay bir normal uzaydır.
J İspat : Bir metrik uzayda A herhangi bir küme ve x herhangi bir nokta olsun.
x in A kümesine olan uzaklığım her â e A için d (x,a) uzaklıklarının en büyük
alt sınırı olarak tanımlar ve d (x, A) ile gösteririz. Bu durumda eğer A kapalı
ise, d (x,A) = 0 olması için gerek ve yeter şart x e A olmasıdır. Çünkü, eğer
x e A ise, açıkça d (x,A) = 0 dır. Eğer d (x,A) = 0 ise, e > 0 verildiğinde
bazı a e A için d (x,a) < e olacağından x, A nın bir kapanış noktasıdır. Böy­
lece A kapalı olduğundan x s A dır.
Şimdi, A ve B bir metrik uzayda ayrık ve kapalı iki küme olsun,
d (x, A) < d (x, B) eşitsizliğini sağlayan x noktalarının kümesini gözönüne
alalım. Bu kümenin bir x elemanı için x ’e bağımlı bir p sayısı vardır ve
d (x, A) = d (x, B) — p
dır.
x inp/2 komşuluğunu gözönüne alalım. (M.2) den
d (y, a) <; d (x, y) + d (x, a)
dır. Buradan
d (y, A) <; d (x, y) + d (x, A)
ve böylece
d (y, A) ^ d (x, y) + d (x, B) — p
dir. Fakat
d (x, B) <; d (x, y) + d (y, B)
dir. Bundan dolayı
d (y, A) <; 2 d(x, y) — p + d (y, B)
dir. d (x,y) < p/2 olduğundan d (y, A) < d (y, B) elde edilir. Böylece
d (x, A) < d (x, B)
eşitsizliğini sağlayan x noktalarının kümesi açıktır ve A yı ihtiva eder. Çünkü
x e A ise, A ve B nin ayrık ve B nin kapalı olmasından dolayı
(i) d (x, A) = 0 ve ii) d (x, B) > 0
dır. Benzer şekilde
d (x, B) < d (x, A)
62
yı sağlayan x noktalarının kümesi açıktır ve B yi ihtiva eder. Aşikar olarak bu
iki küme ayrıktır ve böylece teorem ispat edilir.
Teorem 3.7 : Bir topolojik uzayın normal olması için gerek ve yeter şart
herhangi bir kapalı A alt kümesi ve A yı ihtiva eden açık bir U kümesi
verildiğinde
A e V e U
yi sağlayan başka bir açık V kümesinin var olmasıdır.
İspat : T nin bir normal uzay olduğunu kabul edelim. A bir kapalı küme
ve U, A yı ihtiva eden bir açık küme olsun. U açık olduğundan T—U kapalıdır.
A c U olduğundan T—U, A yı kesmez. (N) aksiyomundan sırayla A ve T—U
yu ihtiva eden açık ve ayrık V, V! kümeleri vardır. V nV ! = 0 ve V ı, T—U
yu ihtiva ettiğinden U, V yi ihtiva eder. x, V nin bir kapanış noktası olsun. Bu
durumda, x i ihtiva eden her açık küme V nin bir noktasını ihtiva eder. Bundan
dolayı x, T—U nun içinde olamaz. Eğer x, T—U nun içinde olsaydı, V 1 ’inde
içinde olurdu vc V[ n V = 0 olmazdı. Buradan x e U dur ve böylcce
V C U dur.
Karşıt olarak, T teoremin şartlarını sağlayan bir topolojik uzay olsun. X
ve Y, T nin ayrık vc kapalı herhangi iki alt kümesi olsun. U, X i ihtiva eden fa­
kat Y yi kesmeyen bir açık küme, mesela T—Y olsun. Bu durumda, hipotezden
dolayı X<= V <= U olan bir açık V kümesi vardır. V kap?.lı olduğundan, T—V
açıktır. X«=V olduğundan T—V, X i kesemez. Bundan başka U iie Y nin hiç
bir ortak noktası olmadığından T—V, yi ihtiva eder ve V U dur. Buradan açık
ve ayrık V, T—V kümeleri sırayla X ve Y yi ihtiva eder. Bundan dolayı T bir
normal uzaydır.
Normal uzayların mühim bir özelliği Urysohn’nın ön teoremi (lemma) olarak
bilinir. Bu ön teoremin sürekli fonksiyonların inşası ile ilgili problemlerde uygu­
lamaları vardır.
Teorem 3.8 : (Urysohn Lemması) C = { x : 0 < ^ x ^ l } öklid metriğin­
den aldığı topoloji ile verilsin. Bir T topolojik uzayımn normal olması için gerek
ve yeter şart her bir ayrık ve kapalı A, B küme çiftine karşılık bir sürekli f: T— *-C
fonksiyonunun f (A) = 0 vc f (B) = 1 olacak şekilde var olmasıdır.
İspat : Şartın yeterliliği : Eğer böyle bir fonksiyon varsa, T uzayı normaldir.
Çünkü C içinde N ı = {x e C : 0 ^ x < 1/4} ve N 2 = {x e C : 3/4 < x
1}
ile tanımlanan N t, N2 kümeleri C içinde açıktır, f sürekli olduğundan f*1(N 1)
ve f-1 (N 2) kümeleri T içinde açıktırlar. N ı ve N 2 nin ortak noktası olmadığı
için f*1 (N 1) vc f-1 (N 2) nin de ortak noktaları yoktur. Bundan başka f (A) = 0
olduğundan A<= f-ı (N ı) ve f (B) = 1 olduğundan B<= f-ı (N 2) dir. O halde
T normaldir.
63
Şartın gerekliği: T norma,! bir uzay ise, böyle bir f fonksiyonunun var olduğunu
göstermek daha güçtür. Bunun ispatım iki kısma bölelim Birinci kısımda f yi
inşa edelim. İkinci kısımda f nin sürekli olduğunu gösterelim.
(I) Önce 0 < p < 2m olan pozitif tamsayısı için t = p/ 2m
sayılarına birebir karşılık gelen U (t) açık kümeler ailesini teşkil edelim. Bu kü­
meler 11 < 12 ise, Ü (tj) <= u (t2) şartını sağla.r ve herbiri A yı ihtiva eder
fakat B yi kesmez. U ların inşası birkaç adımda aşağıdaki gibi yapılır.
U (I), B nin tümleyeni olarak tanımlanır. Yani U (1) == T—B dir. B, ka­
palı olduğundan U (1) açıktır. A o B = 0 olduğundan U (1), A yı ihtiva
eder. Bundan dolayı Teorem 3.7 ile A yı ihtiva eden bir V açık kümesi vardır
ve V e U (1) dir. V için U (1/2) yazalım. Birinci adım böyle biter.
İkinci adımda (A, TJ (1/2)*) ve (O (1/2), B) kapalı çiftlerini gözönünc akı­
lım, A e TJ (1/2) ve U (1/2) e U (1) = B* olduğundan bu çiftlerin her
ikisi de a.yrık ve kapalı kümelerden ibarettir. Bundan dolayı yine Teorem 3.7 den
sırasıyla TJ (1/4) ve TJ (3/4) ile göstereceğimiz iki açık küme daha vardır. Ve
bunlar
A <= TJ (1/4), Ü (1/4) e U (1/2), O (1/2) e U(3/4), Ü (3/4) e U ( 1 )
bağıntılarını sağlar.
Üçüncü adımda TJ (1/8), TJ (3/8), TJ (5/8), TJ (7/8) açık kümelerini sırayla
(A,TJ./l/4)), (Ü (1/4), U (1/2) ), (Ü (1/2), U (3/4)) ve (Ü (3/4), U (1)) küme çift­
lerine teorem 3.7 yi uyguluyara'k tanımlayabiliriz. Bu durumda A <= u (1/8),
Ü ( 1 / 8) e U (1/4), Ü (1/4) e TJ (3/8)...v.b. dir.
Bu yolla devam edelim n. adımda TJ (l/2 n), U (3/2n), TJ (5/2n)...v.b. küme­
leri sırayla (A, U (l/2 n_I) ), (Ü O ^"-1), U (2/2n-x))... v.b. küme çiftlerine
Teorem 3.7 yi uygulayarak tanımlayabiliriz. Böylece t= p /2 m şeklindeki her sayı
için A y ı ihtiva eden ve eğer t ı < t 2 ise, Ü (t j) <= TJ (t2) olan U (t)
açık kümelerini tanımlayabiliriz. Bundan başka her TJ (t), U (1) in içindedir ve B yi
kesmez.
Şimdi f : T
-> C fonksiyonunu şu şekilde tanımlayalım,
cbas {t}
x e U (t)
ise,
1
x 0 TJ (t)
ise.
f (x) =
Bu durumda, eğer x e A ise, f (x) = 0 ve eğer x e B ise, f (x) = 1 dir.
(II) f nin sürekli olduğunu ispatlamak için şunları ispat ederiz.
i) Eğer f (x) < b ise, bazı t < b değerleri için x e TJ (t) dır.
Karşıt olarak eğer t < b olmak üzere x e U (t) ise, f (x) < b dir.
64
f (X) < b olduğunu kabul edelim. Herhangi iki gerçek sayı arasında p/ 2m
şeklinde bir sayı vardır. Buradan f(x) < ^ < b yi sağlayan bir tı = p/2m
sayısı vardır. Bu durumda x e U (tı) dir. Aksi halde f(x) > t x olacaktı.
Karşıt olarak, t2 < b olmak üzere x e U (t2) olduğunu kabul edelim.
Bu durumda, f (x) < t 2 < b dir.
ii) Eğer f (x) > a ise, bazı t > a değeri için x e (Ut(t) ) dir.
Karşıt olarak, t > a olmak üzere eğer x e (U(t))1 ise, f (x) > a dır.
f (x) > a olduğunu kabul edelim. 13, p/ 2m şeklinde ve f (x) > 13 > a ’yı
sağlayan bir sa.yı olsun. Bu durumda x e (U(t 3))1 dir. t4, p/2m şeklinde ve
13 > t4 > a’yı sağlayan bir sayı olsun. Bu durumda U(t ) <= U (t 3) olacağından
x e (U(t4) )»olduğu çıkar. Karşıt olarak t 5 > a iken, x e ~(U(t5) ) ‘ olduğunu
kabul edelim. Bu durumda x e (U(t5))‘ ’dir. Böylecc f (x) > t 5 > a dır.
(i) ve (ii) den C içinde, a ^ 0 ve b < 1 olmak üzere, a < u < b
kümesinin ters görüntüsünün X n Y gibi bir küme olduğu çıkar. Burada X,
t < b olmak üzere bütün U(t) kümelerinin ve Y, t > a olmak üzere bütün
(U(t))* kümelerinin birleşimidir. Herhangi sayıda açık kümelerin birleşimi açık
olduğundan X ve Y açıktır. Bundan dolayı C içinde a < u < b şeklindeki her­
hangi e — komşuluklarının ters görüntüsü açıktır. Bu şekilde olmayan e —
komşulukları a < u <; 1 veya 0 < u < b şeklindeki kümelerdir, a < u < 1
kümesinin ters görüntüsü açıktır. Çünkü, eğer f (x) <, 1 ise, x, T nin herhangi
bir noktasıdır. Bundan dolayı a < f (x) < 1 olan x e T noktalarının kümesi
t < a için (Ü(tj)t kümelerinin birleşimidir ve açıktır.
Benzer şekilde 0 <; f (x) < b kümesinin ters görüntüsünün açık olduğu
görülür.
Böylecc C içinde her e — komşuluğunun ters görüntüsünün açık olduğu
gösterilmiş olur. Bura.dan e — komşulukları C nin topolojisi için bir taban teşkil
ettiğinden Teorem 2.12 yi kullanarak f nin sürekli olduğunu buluruz. Bu, teorem
3-8 in ispatını tamamlar.
Teorem (Tictzc): K, bir T = [X, U] normal topolojik uzayının kapalı bir
alt kümesi ve f : K ---- >- C sürekli olsun. Bu durumda, F yi X ’e genişleten
bir F : X ---- >■ C sürekli fonksiyonu vardır.
H
T
A<
ÖDEVLER
1. A = {a,b,c,}, U = (X, 0 , {a} , {b,c,}} 1
.
i) U nun X üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.
ii) T = {A,U} olsun. T nin bir normal uzay olduğunu fakat bir Hausdorff
uzayı olmadığını gösteriniz.
2. X = { x e R : 0 < x < 1/2, 1/2 < x < 1} = (0, 1/2) u (1/2, 1) ve
Ua p = {x e X : a < x < P, 0 <; a <; 1 / 2, 1/2 ^ P <; 1} olsun.
i) U = ( U a p} nın X üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz
ii) T = [X,U] olsun. T nin bir normal uzay olduğunu, fakat bir Hausdorff
uzayı olmadığını isp?.t ediniz.
3. A = [0,1] = (x e R : 0 < x ^ 1} olsun. Bir U c: A alt kümesine açık­
tır diyelim eğer U nun her x noktası için bir n tamsayısı varsa, öyleki A içindeki,
x e U ya olan uzaklığı 1/n den daha küçük olan bütün rasyonel sayılarda U içinde
bulunsun
1
i) U = {Un} nun A üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.
ii) T = [A,U] olsun. T nin bir Hausdorff uzay^ehhığunu fakat bir normal
uzay olmadığını ispat ediniz.
J
s/4. Her Hausdorff uzayının bir T ı — uzı$i öldüğünü gösteriniz.
5. T, R üzerinde kofinit topoloji ise, yapi
dorff uzayı, olmadığım gösteriniz. /•?
topolojisi ise, [R,T] nin Haus­
V.
6. X = {a,b,c} üzerinde T = {X, 0 , {a}, {b} {a,b}} topolojisini düşünelim.
[X,T] bir normal uzay mıdır? [X,T] nin bir T j uzayı olmadığım gösteriniz.
7. Tbtze genişletme teoremini ispat ediniz.
28. YAKINSAKLIK, SÜZGEÇLER VE LİMİTLER.
Bu bölümde süzgeç ta.banı kavramım verip belli konuları inceleyeceğiz. Süz­
geç tabanını kullanarak matematikte kullanılan çeşitli limit kavramlarım birleşik
bir yöntemle sunabiliriz.
Tanım : P (X), X in kuvvet kümesi olsun. B <= P (X) alt kümesine aşa­
ğıdaki şartları sağlarsa, X üzerinde bir süzgeç tabam denir.
(5.1) B #
0 ve 0 £ B.
(5.2) A ı ve A 2, B nin içinde ise, A 3 <= A ı n A 2 yi sağlayan bir A 3 e B
vardır.
Uyarma : Eğer Bı, B 2,...,Bn e B ise, Bn+ı <= Bı n ... n B„ yi sağlayan
bir B„+ı e B kümesinin varlığı (S.2) den çıkar.
66
Örnekler :
1.
X bir küme ve (xn), X in elemanlarının bir dizisi olsun. Her p e N
için Ap = {xn : n ;> p} olsun. Bu durumda, B = {Ap : p e N } , X üzerinde
bir süzgeç tabanıdır.
Gerçekten Ap boş değildir. Dolayısı ile 0 ^ B dir. N ^
ve böylece (S.l) sağlanır.
0
dan B # 0
Ap n Aq = Ama|c (p
olduğundan (S.2) de sağlanır. Böylece B, X üzerinde bir süzgeç tabanıdır.
B ye (xn) dizisi ile ilgili süzgeç ta.banı denir.
2. [X,T] bir topolojik uzay, a e X ve B, a nm bir komşuluklar sistemi olsun,
bu durumda B, X üzerinde bir süzgeç tabanıdır.
3. X ve Y iki küme f : X ---- ►Y bir sürekli fonksiyon olsun. Eğer B, X üzerinde
bir süzgeç tabanı ise, f (B) = {f (A ): A e B}, Y üzerinde bir süzgeç tabanıdır.
B boş olmadığından f (B) # 0 dir. A # 0 dan f (A) ¥= 0 dir. Yani (S.l)
sağlanır. Bı e f (B) ve B 2 e f (B) olsun. Bu durumda, B içinde
Bj = f (A,) ve
B2 = f (A2)
yi sağlayan A ı ve A 2 vardır. B, bir süzgeç tabanı olduğundan
A 3 <= A j n A 2 yi sağlayan bir A 3 vardır. B 3 =
f (A 3) diyelim.
B 3 = f (A 3) c f ( A , n A 2) c f (Aı) n f (A2) = Bj n B 2
dır. Buradan f (B), (S.2) yi sağlar ve f (B), Y üzerinde bir süzgeç tabanıdır.
Tanım : B ve F, X üzerinde iki süzgeç tabanı olsun. Aşağdaki iki şart sağ­
lanırsa B, F ye denktir denir ve B ~ F yazılır.
i) Her Aj e B, bir Aj e F kümesini ihtiva eder.
ii) Her Aj e F, bir Aj e B kümesini ihtiva eder.
Örnek : X ve Y iki küme f: X ---- >- Y sürekli bir fonksiyon, B ve F, X
üzerinde denk iki süzgeç tabam olsun. Bu durumda, f (B) ve f (F) denktirler.
LİMİTLER :
jS ıa n ım : [X,T], bir topolojik uzay ve a e X olsun. Ayrıca B, X üzerinde
oir süzgeç tabam ve N (a), a nm komşuluklar ailesi olsun. Eğer her Y e N (a)
için V de ihtiva edilen bir B, e B varsa B, a ya yakınsar veya a, B nin bir limit
noktasıdır denir ve lim B = a yazılır.
B, a ya yakınsaktır deriz.
67
Uyarma : Bir süzgeç tabanı herhangi bir noktaya yakınsamayabilir oldu­
ğu gibi, bir süzgeç tabanı birden fazla noktaya da yakınsayabilir. Eğer X bir
Hausdorff uzayı ise, X üzerinde en çok bir noktaya yakınsar.
Teorem : B ve F, X üzerinde biribirine denk iki süzgeç tabam ise, şu iki ifade
eşdeğerdir.
(i) lim B = a,
(ii) lim F = a
İspat : lim B = a olduğunu kabul edelim. V e N (a.) olsun. Bu durumda
Bj c V olan Bj e B elemanı vardır. B, F ye denk olduğundan B 2 <= Bj
olan bir B 2 e F vardır. Buradan B 2
V dır. V e N (a) keyfi alındığından
lim F == a çıkar. Buradan (i), (ii) yi gerektirir.
(ii) nin (i)’i gerektirdiği benzer şekilde gösterilir.
Tanım : B ve F, X üzerinde iki süzgeç tabanı olsun. Eğer her A; e B
kümesi bir Aj e F kümesi ihtiva ediyorsa, B < F (veya F > B ) diyece­
ğiz.
Teorem : B ~ F olması için gerek ve yeter şart, B < F ve F < B
olmasıdır.
İspat : Okuyucuya bırakılmıştır.
Teorem : [X, T] bir topolojik uzay ve N (a), a e X’in komşuluklar ailesi
olsun. Bir B süzgeç tabanının a’ya yakınsaması için gerek ve yeter ş?.rt B < N (a)
olmasıdır.
İspat : Okuyucuya bırakılmıştır.
Teorem : B ve F, X üzerinde iki süzgeç tabamı, B < F ve eğer lim B = a
ise, lim F = a dır.
İspat : Bir önceki teoremden hemen çıkar.
Teerem : [X, T] bir Hausdorff uzayı ve B, a j ve a 2 ye yakınsayan bir süzgeç
tabamı olsun. Bu takdirde a j = a 2 dir.
İspat : s ı ¥= a 2 ise, [X,T] bir Hamsdorff uzayı olduğundan V) n V 2 = 0
ola.cak şekilde V j e N (a j) ve V 2 e N (a 2) olan V j ve V 2 komşulukları
vardır.
Lim B = a ı olduğundan Vj içinde ihtiva edilen bir Bj e B vardır. Yine
lim B = a 2 olduğundam V 2 içinde ihtiva edilen bir B 2 e B vardır. B, bir
süzgeç tabanı olduğundam E 3 = B ı n B2 yi sağlayan bir B 3 e B vardır.
B3 c B j o B2
c
Vj
o
V2
olup B 3 # 0 ola.cağından Vj n V 2 ^
a j = a 2 dir.
68
0
dir. Bu bir çelişkidir. Buradan
Hausdorff uzaylarının bu özelliği başka bir şekilde Teorem 3.9 da ifade
ve ispat edilecektir.
Teorem : ([Xj, Tj]), i e I bir topolojik uzaylar ailesi, [X,T] bunların topolo­
jik çarpımı olsun. X üzerinde bir B süzgeç tabanının a = (a ¡) i e I ya yakınsaması
için gerek vc yeter şart her i e I için P; (B) nin ?.j ye yakınsamasıdır.
İspat : B nin a ya yakınsadığını kabul edelim,
a e I, U e Nxa (aa ) olsun. Ua = U ve i ^
a ise, Uj = Xj olmak üzere
v = n u,
i el
olsun. Bu durumda, V e N (a) dır. B, a ya yakınsadığından V içinde ihtiva edi­
len bir A e B vardır.
P a (A) c
Pa (V) =
U a <=U dır.
Pa (A) e Pa (B) ve U e Nxa ( &a ) keyfi olduğundan Pa (A) nm a a ya yakınsa­
dığını çıkarırız.
Karşıt olarak, her i e I için Pf (B) nin a; ye yakınsadığını kabul edelim.
U = 17 Uj, a yı ihtiva eden X in bir elemanter kısmı olsun. Yani
i el
J = { i : Uj * X, }
sonludur. Her i eJ içinPj (AO <= Uj olanAj e B lcri gözönüne alalım. A e B,
0 Aj nin içinde bulunsun. Bu durumda,
1 el
A c n P fi (Pı (AO ) c n Pj-ı (Uj) = U
i el
i el
dır. X in a yı ihtiva eden elementer kısımları a nm komşuluklar ailesini ih­
tiva edeceğinden B nin a ya yakınsadığı sonucunu çıkarırız.
Tanım : (xn), T topolojik uzayı içinde bir dizi olsun. Eğer x e T nok­
tasını ihtiva eden herhangi bir açık U kümesi yeteri kedar büyük n 1er için bütün
xn noktalarını ihtiva ediyorsa, (xn) dizisi x noktasına yakınsaktır denir.
Eğer (x„) dizisi, x ’e yakınsak ise, n ---- >- co, xn ---- ►x yazarız. Bu ta­
nım, gerçek sayı dizilerinin yakınsaklık tanımının dolaysız bir genelleştirilmesidir.
Genel olarak topolojik uzalarda yakınsaklıkla ilgili pek çok kurallar yanlış olabilir.
Mesela bir dizi birden fazla noktaya yakınsayabilir. Bununla beraber topolojik
uzaylar üzerine uygun kısıtlamalar koyarak bilinen özelliklerin çoğu korunabilir.
Buna bir örnek, aşağıdaki teoremdir.
69
A Teorem 3.9 : Bir Hausdorff uzayında bir (xn) dizisi birden fazla noktaya
yakmsayamaz.
ispat : T bir topolojik uzay x,y e T, x ^ y ve n ---- »■ oo xn ---- ►x
ve xn ---- >- y olduğunu kabul edelim. Yakınsaklık tanımı gereğince x’i veya y’yi
ihtiva eden her açık küme yeteri kadar büyük n’lcr için xn noktalarının hepsini
ihtiva eder. Buradan x’i ihtiva eden her açık kümenin y’yi ihtiva eden her açık
kümeyi kesmesi gerekir. Bundan dolayı T bir Hausdorff uzayı olamaz.
Metrik uzaylarda bir (xn) dizisinin yakınsak olması için gerek bir şart
e > 0 verildiğinde p, q > k için d (xp, xq) < e olan bir k tamsayısının
var olmasıdır.
Çünkü, (xn) nin yakınsak ve xn ---- ►x olduğunu kabul edelim. Bu durum­
da e > 0 veridiğinde p > k için d (xp, x) < e / 2 olan bir k tamsayısı
vardır. Yani x ’in e/2 komşulukları yeteri kadar büyük n 1er için bütün xn leri
ihtiva etmektedir. Buradan p, q > k için
d
( x p,
Xq) < d
( x p, x )
+ d
( x q, x )
<
e
dir.
y^T am m : Yukarıdaki şartı, yani e > 0 verildiğinde p, q < k için
d
( x p, x q)
< e
olmasını gerektiren bir k tamsayısı vardır şartını, sağlayan bir (xn) dizisine bir
Cauchy dizisi denir.
Böylccc, yukarıdaki iki paragraftan her yakınsak dizinin bir Cauchy dizisi
olduğu görülür. Fakat her Cauchy, dizisinin yakınsak olması gerekmez.
y 0 m e k : Her zaman ki gibi d (x,y) = |x—y| metriği ile 0 < x < 1 kümesi­
nin oluşturduğu metrik uzayı düşünelim. Bu uzay içinde x„ = l/( n + l) dizisi
bir Cauchy dizisidir. Fakat bu dizi, bu metrik uzay içinde yakınsak değildir. Çünkü
x = 0 uzayın bir noktası değildir.
~ T a n ı m : M bir metrik uzay olsun. Eğer M nin her Cauchy dizisi M içinde
akınsak ise, M uzayına bir tam metrik uzay denir.
Örnek : d (x, y) = |x — y| metriği ile 0 < x < 1 uzayı tam değildir.
Fakat analiz (kümeler) derslerinden bilindiği gibi ayni metrik ile Öklid doğrusu tam­
dır. Çünkü, xn dizisinin yakınsak olması için bir gerek ve yeter şart, e > 0
verildiğinde p, q > k için |xp — xq| < e olmasını gerektiren bir k tamsayısının
var olmasıdır. Bu sağlanır. Fa.kat alışılmış metrik topoloji ile Öklid doğrusu,
0 < x < 1 aralığına topolojik eşyapılı olduğundan tamlık bir topolojik invaryant
değildir.
ÖDEVLER
1. t
70
e
R
ve
e
> 0 olmak üzere,
B -
{ (t— e, t) U ( t, t +
e ) }
olsun. B nin R üzerinde bir süzgeç tabanı olduğunu gösteriniz.
2. T, 18. paragrafta 3. örnekte verilen uzay olsun. Bu uzay içinde Xn = ■— ^ ^
dizisinin her noktaya yakınsadığını gösteriniz.
3. T = [R, U] alışılmış metrik topoloji ile verilsin. Aşağıdakileri ispat ediniz.
i) &a
--►a, bn ---- ► b ise, (a„ + bn) dizisi, (a+ b) ye yakınsaktır.
ii) an ----- ►a, bn ---- ► b ise, (an . b„) dizisi, ab ye yakınsaktır.
iii) an- —>■ a, bn ■— *■b, bn ^ 0, b ¥= 0 ise, an/bn dizisi, a/b ye yakınsaktır.
iv) an
--»- a ise, an nin
her alt dizisi de a ya yakınsaktır.
v) an ---- >■ a ise, an-a dizisi sıfıra yakınsaktır.
vi) a „ ---- ►0 ve bn sınırlı ise, anb„ dizisi sıfıra yakınsaktır.
4. Gerçek sayıların her an Cauchy dizisinin sınırlı olduğunu gösteriniz.
29. TOPAK UZAYLAR.
Küre, tor gibi bazı kapalı yüzeyler üç boyutlu öklid uzayının sonlu bir parça­
sında bulunurlar. Fa.kat ba.zıl?.rı paraboloid gibi böyle değildir. Topak terimi
birinci tür yüzeyler için akla getirilir. Topolojik topaklık kavramı da buna dayanır.
Bununla beraber yukarıdaki gibi sezgiye dayanmayan bir tanım istenilir. Bu tanım
uzayın kendisine hastır ve içinde bulunabileceği daha geniş uzaya dayanmaz.
Önce Öklid uzaylarında hem kapalı hem de sınırlı alt kümeleri gözönünc alı­
rız. Bu alt kümeleri inceliyerek topaklık kavramının karakterizasyonu açık küme­
lerle yapılır. Böylecc genel topolojik uzaylara uygulanabilen uzayın kendine has
bir topaklık tanımına ulaşılır.
Herhargi bir M metrik uzayında rölatif topoloji veya M nin metriğiyle bir X
alt uzayına, eğer X içindeki her P,Q nokta çifti için d (P, Q) < k olan bir k sayısı
varsa sınırlıdır denir.
Örnek: Üç boyutlu öklid uzayında x2 + y 2 + z 2 = l denklemiyle ta­
nımlı birim küre sınırlıdır, çünkü bu küre yüzeyi üzerindeki herhangi iki nokta
arasındaki uzaklık en fazla 2 dir.
Sınırlılığın bir genel topolojik uzayda bir anlamı olmadığı gibi sırnırlılık bir
topolojik sabit de değildir. Böylecc sınırlılık topaklığın bir genel tanımının elde
edilmesinde doğrudan doğruya kullanılmaz. Öklid uzayında kapalı kümelerin
sınırlılığı, Borel’in örtm ; teoremi kullanılarak açık örtüler olarak bilinen açık
kümelerin belirli sistemlerine bağlanabilir ve bunlar istenen için temel teşkileder.
71
Tanım : Bir T topolojik uzayının alt kümelerinin bir sistemi {W} olsun.
Eğer bu alt kümelerin birleşimi T yi ihtiva ediyorsa {W}, T yi Örter denir.
Böylece T nin her noktası, sistemin bazı kümeleri tarafından ihtiva edilir.
Tanım : {W}, T yi örtüyorsa, {W} ya T nin bir örtüsü denir. Özel olarak, eğer
{W} nin her elemanı açık ise, örtü açıktır denir ve örtü sonlu sayıda kümelerden
ibaret ise, 0 sonlu bir örtüdür denir. Bir topolojik uzayda bütün açık kümelerin
sistemi bir açık örtüdür. Daha genel olarak herhangi bir taban bir açık örtü­
dür.
Teorem (BOREL) 3.10 : EğcrX, n—boyutlu Öklid uzayının kapalı ve sınırlı
bir alt uzayı ise, X in her açık {U} örtüsü sonlu bir açık örtü ihtiva eder. Yani X’i
örten açık kümelerden yine X’i örten bir sonlu örtü seçilebilir.
Bu teoremin ispatı verilmemiştir. Eğer verilmiş olsaydı bir çok detaylara giri­
lebilirdi. Bir çok Analiz kitaplarında bu teorem ispatıyla verilmiştir. Meselâ, istiycnlcr W.W. Rogosinski ’nin Volüme and Intcgral adlı kitabına baksın.
Tanım : T bir topolojik uzay olsun. T nin herhangi bir açık örtüsü, bir sonlu
açık örtü ihtiva ediyorsa, T’ye topaktır denir.
Böylece Öklid uzaylarının kapalı ve sınırlı alt uzayları topaktırlar.
Sezgisel topaklık fikrinin, biraz evvel verilen tanımla uyuştuğunu göstermek
için Teorem 3.10 un karşıtını ispat etmek gerekmektedir. Eğer X bir Öklid uzayı­
nın bir topak alt uzayı ise, X kapalı ve sınırlıdır. Bu aşağıdaki iki teoremdençıkacaktır.
Teorem 3.11 : Bir Hausdorff uzayının bir topak alt uzayı kapalıdır.
İspat : T bir Hausdorff uzayı ve X, T nin bir topa.k alt uzayı olsun. Eğer
y e T—X ve x e X ise, (H) aksiyomundan dolayı, sırasıyla x ve y
yi ihtiva eden ayrık ve a.çık U ve V kümeleri vardır. x, X de değiştiğinde U r> X
kümeleri X in bir açık örtüsünü teşkil eder. X topak olduğu için bu örtüden sonlu
ve açık bir örtü seçilebilir. Bu sonlu örtünün bir tipik kümesi U+ n X ve V+
y yi ihtiva, eden mütekabil küme olsun V+ kümelerinin hepsi y yi ihtiva ettiğinden
arakesitleri W, boş değildir. (T.2) aksiyomundan W açıktır. Aynı zamanda W,
X’i kesmez. Çünkü, aksi halde W, U + n X kümelerinden birini keserdi.
U+ n X, V+ yi kesmediğinden W yi de kesmez. Buradan T—X in herhangi bir nok­
tası X i kesmeyen bir açık küme tarafından ihtiva edilir. Bundan dolayı X bütün
limit noktalarını ihtiva edeceğinden, kapalıdır.
Teorem 3.12 : Bir M metrik uzayının bir X topak a.lt uzayı sınırlıdır.
İspat : N, M içinde bir noktanın 1 yarıçaplı bir komşuluğu olmak üzere
N n X şeklindeki kümelerden oluşan X in bir açık örtüsünü gözönünc adalım.
X topak olduğundan bu örtüden sonlu bir örtü seçilebilir. Böylece seçilen açık
72
örtünün p ı, p 2 ... pm noktalarının 1 - komşuluklarından ibaret olduğunu kabul
edelim, k, (i, j = 1 , 2,..., m) için d (pİ5 pj) uzaklıklarının en büyüğü olsun.
Eğer p, pj nin 1-komşuluğunun ve q, Pj nin 1-komşuluğu içinde ise,
d (p, q)
d (p, pj) + d (pj, pj) + d (p^ q) ^ k + 2
olur. Bundan dolayı X sınırlıdır.
Bir metrik uzay bir Hausdorff uzayı olduğundan, teorem 3.11 ve 3.12 den
bir metrik uzayın bir topak alt uzayının kapalı ve sınırlı olduğunu anlaşılır. Böylece
özel olarak öklid uzayının topak alt uzayları kapalı ve sınırlıdır. O halde bir Öklid
uzayının bir alt uzayının topak olması için gerek ve yeter şart onun kapalı ve
sınırlı olmasıdır. Bununla beraber genel metrik uzaylarda bu netice doğru değildir.
Çünkü Borcl’in teoremi Öklid olmayan uzaylar için doğru olmayabilir. Örnek
olarak, II. Bölüm 14. paragrafta verilen d0 metriği ile bütün uzay sınırlıdır.
Çünkü herhangi iki farklı nokta arasındaki uzaklık l ’e eşittir. Bu uzay aynı
zamanda kapalıdır. Fakat, eğer uzay bir sonsuz küme ise, topak değildir. Çün­
kü bir açık örtü bir tek elemanlı bütün kümelerden meydana gelir ve açıkça
bundan sonlu bir açık örtme seçilemez.
Aşağıdaki üç teorem, bir uzayın topaklığının diğer uzayların topaklığını
hangi hallerde gerektirdiği üzerine örnekler veriyor.
Teorem 3.13 : Topak bir uzayın kapalı bir alt uzayı topaktır.
X
İspat : X, T topak uzayının bir kapalı alt kümesi olsun X in topolojisi
den aldığı rölatif topoloji olsun. ( U ) nun X in bir açık örtüsü olduğunu kabul
/ edelim. Bu takdirde her U kümesi V,T içinde açık bir küme olmak üzere V n X
/ şeklindedir. X kapalı olduğundan T—X açıktır ve V lcrlc beraber T nin bir açık
I örtüsünü verir. T topak olduğundan, bu örtüden bir sonlu açık{V +) örtüsü se­
çilebilir. Buradan {V+nX} ninX in sonlu bir örtüsü olduğu görülür. O halde
X topaktır.
/
1
\
t
Topaklığın tanımından dolayı topaklık bir topolojik sabittir. Aşağıdaki
önermede daha kuvvetli bir netice ispat edeceğiz. Yani topaklık sürekli foksiyonların bir sabitidir.
Teorem 3.14 : Eğer f: T! ---- ►T 2 sürekli ve T ı topak ise, f (Tı) de
topaktır.
İspat : ( U ) , f(T 0 in bir açık örtüsü olsun. Bu durumda her f’ 1 (U) kümesi
f sürekli olduğundan, T ı de açıktır. { f*1 (U)}, T ı in bir açık örtüsüdür. Aksi halde,
f (Tı) in U kümelerinin biri içinde olmayan bir noktası olacaktır. Fakat T ı
topaktır. Böylece bu örtüden sonlu bir {f-’(U+)} açık örtüsünü seçebiliriz. O
halde {U +}, f (Tı) in bir sonlu açık örtüsü ve dolayısıylc f (Tı) topaktır.
Netice : Bir topak T uzayından topolojik özdeşleme ile elde edilen bir T+
uzayı topaktır.
73
İspat : f: T — > T+ doğal fonksiyonu, T nin her elemanım bu elemanın
içinde bulunduğu denklik sınıfına götürür ve süreklidir. Buradan teorem 3.14
gereğince eğer T topak ise, T+ da topaktır.
Örnek : Küre üç boyutlu Öklid uzayının bir kapalı ve sınırlı alt kümesi ol­
duğundan topaktır. Gerçek izdüşcl düzlem de küreden topolojik özdeşleme ile
elde edildiğinden topaktır.
Teorem 3.15 : T { x T 2 topolojik çarpımının topak olması için gerek ve
yeter şart, T t ve T 2 niri topak olmasıdır.
İspat : T ı x T 2 topak ise, Teorem 2.14 de p: T ı x T ı ---- *- T 2 ile tanım­
lanan dönüşüm süreklidir. Dolayısıyle Teorem 3.14 den p (Tj x T 2) = T j
topaktır. Benzer şekilde T 2 de topaktır.
Karşıt olarak T ı ve T 2 ran topak olduğunu kabul edelim. Eğer
{ Wa }, T 1 x T 2 nin bir açık örtüsü ise, U p , V p sıra ile T ı ve T 2 de açık olmak
üzere her Wa kümesi U p x Vp şeklindeki kümelerin birleşimidir. Her y e T 2
için Sy, y e
Vp için U p açık kümelerinin yığını olsun. T ı topak oldu­
ğundan Sy den T ı nin sonlu açık örtüsü U p ^ ,..., U pn seçilebilir. V+, U p lere
karşılık gelen V p ^ ..., Vpn kümelerinin arakesiti olsun. Bu durumda, V+, T 2
de açıktır vc y e V+ dır. Eğer S+ ile her y e T 2 için bu şekilde elde edilen
tüm V+ kümelerini gösterirsek S+, T 2 nin bir açık örtüsü olur. T 2 topak ol­
duğundan S+ de T 2 nin sonlu bir örtüsü V |, ...,
vardır.
rin herbirisi için karşılık gelen kümeleri U p ı x V p ı
Bu kümele­
Up^ x Vp
ve
bunların herbiri için içinde bulundukları Wa kümesini gözönüne alalım. Böylcce elde edilen Wa ların sonlu kümesi T ! x T 2 yi örter. Dolayısıyle T j x T 2
topaktır.
Topaklığın önemli bir özelliği bu kısmın son teoreminde ispat edilir.
Teorem 3.16 : Eğer f : T j ---- ►T 2 bir topak T 1 uzayından bir Hausdorff
uzayı T 2 üstüne sürekli ve bire-bir bir dönüşüm ise, f bir topolojik eşyapı
dönüşümüdür.
İspat : C, T içinde kapalı herhangi bir küme olsun. Teorem 3.13 den C topak-tır. Buradan Teorem 3.14 gereğince onun f altındaki resmi f (C) topaktır. Teorem
3.11 den dolayı f(C), T 2 içinde kapalıdır. Böylcce f, T 1 in kapalı kümelerini T 2
nin kapalı kümeleri üstüne dönüştürür. Eğer U, T 1 içinde herhangi açık küme ise,
f (U) nun açık olduğunu gösterelim. U açık olduğundan X = T j — U kapa­
lıdır. Dolayiıylc f (X) kapalıdır. Buradan f (U) = f (T 1 — X) = T 2 — f (X)
açıktır. Böylcce f, T 1 in açık kümelerini T 2 nin açık kümeleri üstüne resmeder.
O halde f-1 süreklidir. Fakat f varsayıma göre T 1 den T 2 üstüne sürekli vc bire-bir
dir. Bundan dolayı o bir eşyapı dönüşümüdür.
74
T t in topaklığı, bu teoremde önemli bir rol oynamaktadır. İkinci bölümün
15. paragrafında verilen örnekteki dönüşüm sürekli ve birc-bir fakat topolojik
eşyapı dönüşümü olayan bir dönüşümdür. Bu örnektedeki dönüşüm topak
olmayan bir uza.y üzerinde tanımlanmıştır.
YEREL TOPAK UZAYLAR
Tanım : A bir Hausdorff uzayı olsun. Eğer A nın her noktasının kapanışı
topak olan bir komşuluğu varsa, A ya bir yerel topak uzay denir.
Örnek : Teorem 3.13 den dolayı her topak uzay yerel topaktır Bunun karşıtı
doğru değildir. Çünkü Rn, n ;> 1 Öklid uzayları yerel topak olduğu halde topak
değildir. Çünkü Un = (—n,n), n doğal sayı, açık aralıkları R yi örter. Fakat
{Un} nun hiç bir sonlu alt örtüsü R yi örtmez. Dolayısıyîc R topak değildir.
P : Rn ---- >- R, P (( xj ..., xn)) = xı izdüşüm fonksiyonu sürekli ve üstüne­
dir. Rn topak olsaydı, teorem 3.14 gereğince P (Rn) = R nin de topak olması
gerekirdi.
Örnek : H = {(x,y) : xy = 1} ve C — {(x,y) : xy ^ 1} kümeleri R 2
nin yerel topak, fakat topak olmayan alt uzaylarıdır.
ALEXANDROFF TOPARLAMASI
Teorem : [A, T], T = {T;}, yerel topak bir uzay olsun. Bir topak [B, U]
uzayı bir x e B noktası için bir f : A ----»■ B — {x} topolojik eşyapı dö­
nüşümü vardır.
ispat : x herhangi bir şey olsun. B = A U {x} alalım. B nin topolojisi
U şu şekildeki açık kümeler olsun. Her Uj e: B ya bir Tj e T dir. Yani
Uj = T; veya Uğ, A mn bir topak alt kümesidir. U, B üzerinde bir Hausdorff
topolojisi tanımlar. [B, U] nun topak olduğunu gösterelim. {V;}, i e I , A nın
bir açık örtüsü olsun. Bir Vx e {Vi}, x’, ihtiva etsin. O zama.n Vx‘ topaktır.
{Vi—Vx},i e I, Vx‘ yi örter. Vx*topak olduğundan V i , ..., Vn, Vx sonlu alt örtüsüde
Vxl yi örter. Buradan Vj,..., Vn, Vx sonlu örtüsü B yi örter. Böylccc B topaktır,
f : A ---- >■ B — {x} olarak f(a) = a özdeşlik fonksiyonunu alabiliriz.
Tanım : Yukarıdaki teoremde tanımlanan B uzayına A nın bir bir-nokta
veya Alexandroff topuklaması denir.
Alexandroff topaklamasınm tek olduğu açıktır.
Örnek : S = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 1 } küresi,
f (x, y) = (
____2x__
x 2+ y 2+ l
2y
x 2+ y 2+ l
’
x 2+ y 2—1 ^
x 2+ y 2+ l
ile tanımlanan f kuzey kutupsal izdüşüm fonksiyonu (Stereographic projection)
ile düzlemin bir bir-nokta (Alexandroff) topakla masıdır. (0,0,1) Kuzey Kutup
noktası ideâl nokta denilen ve oo ile gösterilen teoremin içinde geçen x’e karşılık
gelir.
30. BAĞLANTILI UZAYLAR.
Tanım : Eğer topolojik bir T uzayında X ı ve X 2 gibi iki ayrık ve açık
küme varsa, öyleki T = X t U X 2 olsun, bu durumda T ye bir bağlantısız
uzay ve {Xj, X 2} kümesine de T nin bir parçalanışı (partition) denir.
X 2, X ı açık kümesinin tümlcyeni olduğu için hem kapalı hem de açıktır. Benzer
şekilde X ı de hem kapalı hem açıktır.
Tanım : Hiçbir parçalanış kabul etmeyen topolojik bir uzaya bağlantılıdır
denir.
Tanım : Bir T topolojik uzayının bir alt kümesi rölatif topolojisine göre
bağlantılı ise, bağlantılıdır denir.
Tanım : Bir T topolojik uzayında bağlantılı bir alt küme içinde bulunan
iki noktaya T içinde bağlantılıdır denir.
Teorem 3.17 : Bir topolojik uzayın bağlantılı olması için gerek ve yeter
şart uzayda hem açık hem kapalı boş olmayan alt kümenin, uzayın kendisinin
olmasıdır.
İspat : T nin bağlantılı topolojik bir uzay olduğunu ve X in hem açık hem
kapalı boş olmayan bir alt kümesi olduğunu kabul edelim. Bu durumda X1 = 0
dur. Çünkü X ve X,‘ T nin bir parçalanışım oluşturur. Buradan X = T dir.
Karşıt olarak, eğer boş olmayan hem açık hem kapalı altküme T nin kendisi
ise, T nin parçalanışı yoktur. Böylece T bağlantılıdır.
Teorem 3.18 : Eğer A, bir topolojik uzayın bağlantılı bir alt kümesi ve B,
A <= B <= Â
yı sağlayan bir alt küme ise, B bağlantılıdır, özel olarak  bağlantılıdır.
İspat : X boş olmayan, B içinde hem açık hem kapalı bir altküme olsun.
B
 olduğundan X, A mn en az bir noktasını ihtiva eder. Çünkü B nin her
noktası Â mn bir noktasıdır ve X açık bir kümedir. Benzer şekilde X‘ boş değilse,
A yı keser. X n A kümesi A içinde hem açık hem kapalıdır ve boş değildir. A
bağlantılı olduğundan Teorem 3.17 den X n A = A olduğu çıkar. Bu sebepten
A <= X dir. Böylece A n X ' = 0. Buradan X* = 0, dolayısıyle X = B
dir. Teorem 3.17 ye göre B bağlantılıdır.
Teorem 3.19 : Eğer {A} arakesitleri boş olmayan bağlantılı kümelerin bir
ailesi ise, A ların birleşimi bağlantılıdır.
İspat : B, ailenin içinde bulunan tüm kümelerin birleşimi ve X, B nin boş
olmayan açık ve kapalı bir alt kümesi olsun. X boş olmadığından ailenin en az
bir A! kümesini keser. X n A ı boş değildir ve A! içinde hem açık hem kapalıdır.
A j bağlantılı olduğundan X O A x = A , dir. Buradan A j <= X dir. Fakat A x
ailenin herhangi bir başka kümesini keser. Buradan şimdi kullanılan düşünce ile
ailenin her ferdi A için A <= X bulunur. Buradan B <= X ve böylcce X = B
çıkar. Teorem 3.17 den B bağlantılıdır.
C■
Teorem 3.20 : Eğer bağlantılı kümelerin bir ailesinde ailenin bir üyesi
diğerlerinin hepsini keserse, kümelerin birleşimi bağlantılıdır.
İspat : Eğer A j ailenin her elamanını kesen küme ve A herhangi bir üye ise,
Teorem 3.19 dan A ı U A bağlantılıdır. { A ı U A} ailesinin boş olmayan bir ara­
kesiti vardır. Çünkü A ı her üyenin bir parçasıdır. Dolayısıylc teorem 3.19 uygula­
nır ve kümelerin birleşimi bağlantılıdır. Bu birleşim A ların birleşimi ile aynıdır.
Aşağıdaki iki teorem 3.14 ve 3.15 ile karşılaştırılabilir.
Teorem 3.21 : Eğer T t bağlantılı topolojik bir uzay ve f: T t ---- ►T 2, T x
den T 2 topolojik uzayı içine sürekli bir dönüşüm ise, f (T ı) de bağlantılıdır.
İspat : X , f (Tı) in boş olmayan açık ve kapalı bir alt kümesi olsun.
f-i(X), T nin boş olmayan açık ve kapalı bir altkümesidir. Dolayısıylc T ı in bağlan­
tılı olması f-1 (X) = T x verir. Buradan X = f (Ti) ve böylece f (Tj) bağlan­
tılıdır.
Teorem 3.22 : T j x T 2 topolojik çarpımının bağlantılı olması için gerek
ve yeter şart, T j ve T^ nin her ikisinin-de-bağlantılı-olmasıdır.
İspat : x ve y sıra ile T! ve T 2 nin birer noktaları olsun. T 1 x { y } v c { x } x T 2
kümeleri sıra ile T j ve T 2 yeeşyapılı olduklarından, bağlantılıdır. Aynı zamanda
bunların boş olmayan bir arakesiti vardır. Yani (x,y) noktası. Böylcce Teorem
3.19 a göre bunların birleşimi
E*y = (Tı x {y} ) U ( {x} x T 2)
bağlantılıdır. Fakat T j x T 2 bu şekildeki kümelerin birleşimidir. Exy, Eab
yi (a,y) noktasında keser. Eğer (a,b) , T i x T 2 nin sabit bir noktası ise, Eab sabit
bir altkümcdir. Buradan 3.20 yi kullanarak T ı x T 2 nin bağlantılı olduğu görülür.
Karşıt olarak, Tı x T2 nin bağlantılı öldüğü kabul edilirse,
p : T, x T2 ---- ►T, ve q : Tj x T 2 ---- >- T 2 izdüşüm dönüşümleri sürekli ol­
duğundan teorem 3.21 den T t ve T 2 nin her ikisi de bağlantılıdır.
Örne/c : E„ öklid uzayının bağlantılı olduğunu ispat etmek için sadece
E ı ’in bağlantılı olduğunu ispat etmek yeterlidir. Çünkü,
.77
En = E„.ı x E!
dir. E t in bağlantılı olduğunu ispat için Önce 0 < x < k alt kümesinin bağ­
lantılı olduğunu gösterelim [0,k] nın bağlantılı olmadığını kabul edelim. Bu
durumda [0,k] ayrık, boş olmayan hem açık hem kapalı X, Y kümelerinin birleşi­
midir. X, x = 0 noktasını ihtiva eden küme olsun.
h, bütün y e Y için x < y olan x e X sayılarının en küçük üst sının
olarak tanımlanırsa, h e X olur. Çünkü X kapalıdır ve h en küçük üst sınındır. Fakat h nın her e - komşuluğu Y nin bir noktasını ihtiva eder. Çünkü, aksi
halde h, her y e Y için x < y olan sayıların bir en küçük üst sınırı olamaz.
Buradan h e Y ve böylcce Y kapalı olduğundan h e Y dir. Bu X ve Y nin
ayrık olduğu kabulü ile çelişir. Böylcce [0,k] bağlantılıdır. Benzer şekilde f-k, 0]
bağlantılıdır. Burada.n E ı, bu şekildeki kümelerin birleşimi olduğundan, bağ­
lantılıdır.
Teorem 3.23 : Eğer bir A kümesinin her hangi iki noktası A içinde bağlantılı
ise, A bağlantılı bir kümedir.
İspat : X, Y boş olma.yan ayrık hem açık hem kapalı iki küme ve A = XUY
olsun. Eğer x e X ve y e Y ise, hipotezden x ve y nin her ikisini de ihtiva
eden bağlantılı bir B alt kümesi vardır. Bunda.n dolayı B n X ve B n Y
boş değildir. X ve Y ayrık olduğundan B n X ve B n Y ayrıktırlar, aynı za­
manda B n X ve B n Y, B içinde hem açık hem kapalıdır. Çünkü Xve.Y, A
da hem açık hem kapalı ka.bul edilmişti. Bu sebepten B bağlantılı değildir. Bu
bir çelişkidir. A bağlantılıdır.
Eğer x ve y, A kümesinin herhangi iki noktası ise, onların A içinde bağ­
lantılı olma bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. Bu bağıntının yansımalı ve bakı­
şımlı olduğu hemen görülür. Geçişli olduğunu ispat etmek için teorem 3.19 u
kullanınız. x ile y nin ve y ile z nin A içinde bağlantılı olduğunu kabul edelim.
Bu durumda x ile y ve y ile z yi ihtiva eden bağlantılı X <= A ve Y e a alt
kümeleri vardır. X ve Y her ikisi de y yi ihtiva ettiğinden onların arakesiti
X n Y boş değildir. Buradan, teorem 3.19 dan X U Y birleşimi bağlantılıdır.
Faka.t X U Y, x ile z yi ihtiva ettiğinden x ile z, A içinde bağlantılıdır.
Bu denklik bağıntısı ile belirtilen denklik sınıflarına A kümesinin birleşenleri
denir.
Böylcce her A kümesi {C} gibi ayrık bir alt kümeler ailesine parçalanır.
Her C kümesi A içinde bağlantılı nokta.lardan oluşur. Teorem 3.23 den A nın
her birleşeninin bağlantılı olduğu çıkar. Çünkü verilen bir C birleşeninin herhangi
iki noktası C içinde bağlantılıdır.
Teorem 3.24 : Bir A kümesinin birleşenleri A da kapalıdır.
78
İspat : Eğer x e C ve y e C ise, x ve y yi ihtiva eden bağlantılı bir küme
vardır. Yani C nin kendisi. C nin bağlantılı olduğu teorem 3.18 den görülür. Bura­
dan C c C v c böylece C kapalıdır.
Tanım : Eğer her x e T noktası için ve x’i ihtiva eden her açık U kümesi
için x’i ihtiva eden bir açık V kümesi ve V <= s <=■ U olan bir bağlantılı S
kümesi varsa, T topolojik uzayına yere/ bağlantılıdır denir.
Teorem 3.25 : Bir [A, T] topolojik uzayının yerel bağlantılı olması için gerek
ve yeter şart, A da açık bir kümenin her bir birleşeninin açık olmasıdır.
İspat : C, A da açık bir kümenin bir birleşeni olsun. Eğer A yerel bağlantılı
ve x e C ise, o zaman tanım gereğince x ’i ihtiva eden bir açık V kümesi ve
V c S c U olan bağlantılı bir S kümesi vardır. Bu sebepten V nin her noktası C
birleşeninin içindedir. (x e C ye C bağlantılı olduğunda S <= C dir.) Buradan, C
açık kümelerin bir birleşimi olacağından açıktır.
Diğer taraftan bir A topolojik uzayının herhangi açık bir kümesinin birleşen­
lerinin açık olduğunu kabul edelim. x e U <= A verilsin. x’e a it olan birleşen
V, x i ihtiva eder. Ve her nokta bağlantılı bir S <= U kümesinin içindedir. Dolayısıyle A yerel bağlantılıdır.
Teorem 3.26 : Eğer f : T ı ---- *• T 2 bir yerel bağlantılı T 1 uzayından bir
T 2 topolojik uzayı üstüne sürekli bir dönüşüm ve T j deki her açık U kümesi için
f (U), T 2 de açık ise, T 2 yerel bağlantılıdır.
İspat : T 1 yerel bağlantılı olduğundan her x e T j noktası ve x e U açık
kümesi için x ’i ihtiva eden bir açık V kümesi ve V <= S «= U olan bağlantılı
bir S kümesi vardır, f (x) e T 2 noktasını gözönünc alalım.
W, f (x) noktasını ihtiva eden açık bir küme olsun, f sürekli olduğundan
f-1 (W), x’i ihtiva eden açık bir kümedir. Bundan dolayı x’i ihtiva eden açık bir V
kümesi ve V c s c f-> (W) olan bağlantılı bir S kümesi vardır, f (V) ve
f (S) kümelerini gözönünc alalım. Hipotezden, yani f sürekli olduğundan, f (V)
açık ve f (S) bağlantılıdır. V <= S <= f-ı (W) olduğundan f (V) <= f (S) <= W
olup T 2 yerci bağlantılıdır.
Tanım : Her hangi iki noktası, alışılmış topolojisi ile verilen [0,1] aralığına
eşyapılı olan bir küme ile birleştirilebilen bir topolojik uzaya eğrisel bağlantılı
denir. Bu tanımın dayandığı sezgiye dayanan düşünce eğrisel bağlantılı bir uzayın
herhangi iki noktasının bir yay yani sürekli bir eğri ile birleştirilebileceğidir.
Bilinen topolojik uzayların çoğu eğrisel bağlantılıdır.
ÖDEVLER
1) i. Her sınırlı ve kapalı [a, b] aralığı, R içinde topaktır.
ii.
(?, b)
açık aralığının topak olmadığını gösteriniz.
79
2) Bir T topolojik uzayının herhangi sonlu alt kümesinin
gösteriniz.
topak
olduğunu
3) T = [X, U], kofinit topoloji ile bir topolojik uzay olsun. T nin topak
olduğunu gösteriniz.
4) [X, U] topak ve [X, V] Hausdorff uzayı olsun. Eğer V <= U ise, V =
olduğunu gösteriniz.
U
5) Eğer E topak ve F kapalı ise, E n F topaktır, ispat ediniz.
6) Bir topak Hausdorff uzayının normal olduğunu gösteriniz.
7) Alışılmış topoloji ile R 2 düzleminin A = {(x,y) : x 2 — y 2 i> 4} ile verilen
A alt kümesinin bağlantısız olduğunu gösteriniz.
8) Alışılmış topoloji ile R 2 düzleminde A = { ( 0 , y ) : l / 2 < y <; 1},
B = {(x,y) : y = Sin 1/x vc 0 < x <
bağlantılı olduğunu gösteriniz.
1} ve T = A U B veriliyor. T nin
9) U = {X, 0 , {a,b,c}, {c,d,e}, {c}}, X = {a,b,c,d,e}, üzerinde bir topolo­
jidir. X ’in A = {a, d, c} alt kümesinin bağlantısız olduğunu gösteriniz.
10) Bir karşıt örnek bularak bağlantılı bir uzayın her alt uzayının da bağlantılı
olmadığı ispat ediniz.
,
11) Paragraf 18, örnek 2 de verilen topolojik uzayın birleşenlerin bulunuz.
12) Paragraf 18, örnek 4 de verilen topolojik uzayın birleşenlerini bulunuz.
13) X bir topolojik uzay olsun. Aşağıdaki ifadelerin denk olduğunu ispat ediniz.
(i) X bağlantısızdır.
(ii) X ’in hem açık hem kapalı boş olmayan bir has alt kümesi vardır.
14) Paragraf 27 ödev 2 de verilen uzayın bağlantısız olduğunu gösteriniz.
15) Bir T topolojik uzayının bağlantılı olması için gerek ve yeter şart, T den birden
fazla noktadan oluşan ve ayrımlı topoloji ile verilen bir S uzayı içine her f: T ---- >■S
sürekli dönüşümünün bir sabit fonksiyon olmasıdır, teoremini ispat ediniz.
16) Problem 15’i kullanarak 3.19, 3.21 ve 3.22 nolu teoremleri yeniden ispat
ediniz.
80
DÖRDÜNCÜ BÖLÜM
HOM OTOPİ TEORİSİ
31. GİRİŞ.
Homotopi kavramı, birinci bölüm dördüncü paragrafta zikredildi. Şimdi
bunu daha detaylı olarak inceliyecsğiz. Kabaca söylersek bir T topolojik uza­
yının iki alt uzayı+ sürekli bir bozunma ile biri diğeri üzerine dönüştürülebiliyorsa, homotopturlar denir. Örnek olarak; T içindeki basit eğrileri göz önüne ala­
lım. Burada basit bir eğri (yay) C ı = [a, b] kapalı aralığının üzerine
d(u,v) = | u - v | metriği ile tayin edilen a.lışılmış topolojiyi koyma.k üzere elde
edilen topolojik uzay olmak üzere, f: Q ---- >■T sürekli fonksiyonunun resmidir.
Eğer a , p iki basit eğri ise, ve a, p ya sürekli olarak dönüştürülebiliyorsa,
a , p ya homotoptur denir. Şekil 39 da gösterildiği gibi bu şu demektir : a , p
arasında noktalı çizgilerle belirtilen eğriler vardır ve bunlar bozunmanm çeşitli
adımlarına karşılık gelirler. Bozunma sürekli olduğundan bu eğriler ailesinin sürekli
olarak değişmesini isteriz. Bu kavramı matematik olarak ifade etmek için aradaki
bu eğrilerin 0 ve 1 arasındaki gerçek sayılar kümesi ile bire bir karşılık geldiğini
kabul ederiz.
Böylcce, 0 <; v <. 1 ve a 0 = a,
= p olmak üzere v ile sürekli
olarak değişen a v eğri ailesini tanımlarız. Bu süreklilik T içine sürekli bir F dönüşü­
mü ile matema.tik olarak ifade edilmektedir. Burada F,Cı nin noktalarına olduğu
kadar V ye de bağlıdır. F nin verilen bir V değerine karşı gelen resmi a v olmalıdır.
F nin C [X C den T ye bir dönüşüm olduğunu kabul edelim. Burada C alışılmış
topoloji ile 0 <; v <; 1 olm?.k üzere v gerçek sayılarının uzayıdır. Bu durumda
F sürekli ise, ve F (u,v), V ’nin her değeri için bir a v eğrisini tammlar (özel olarak
F (u,0), a ’yı ve F (u,l), P ’y1 tanımlar).
F fonksiyonu a v eğriler ailesi yardımı ile a nm p ya sürekli bir bozunmasını
tayin eder. F fonksiyonu tek değildir. Çünkü F için, a 0 = a ve a j = p
olmak üzere, her hangi bir sürekli a v eğri ailesi kullanılabilir. Bu, basit
eğrilerin homotopisinin matamatiksel tanımına nasıl ulaşıldığıdır. Açıkça genel
durumda aynı yöntem uygulanır. Ya.ni Cı özel uzayı yerine bir genel uzay konulur.
Bununla beraber homotopinin kesin tanımı fonksiyonların resimleri yerine fonk­
siyonlar arasında bir bağıntıdır. Böylcce a, p basit eğrileri verildiğinde bunların
+ : D ar anlamda homotopi, alt uzaylar arasında değil fonksiyonlar arasında bir bağıntıdır.
81
biribirine homotop olduğunu söylemiyeccğiz, fakat bu eğrileri tantml ayan fonksi­
yonların homotop olduğunu söyleyeceğiz.
Bazı durumlarda, özel olarak da.ha sonra tanımlanacak esas grup kavramında,
daha kısıtlı bir homotopi türü göz önüne alınacaktır. Bunda T nin bir alt kümesi­
nin bozunma süresince sabit kalması istenir. Örnek olarak T içinde aynı
Xi ve X2 uç noktalarına sahip olan y , 8 basit eğrilerini göz önüne alalım
(Bir eğrinin uç noktaları eğriyi tanımlayan, C j den T ye giden bir fonksiyon
altında a,b nin resimleridir). Eğer y yukarıdaki yöntem ile fakat aradaki eğriler
ailesinin her üyesinin Xj ve x 2 uç noktalarına sahip olmak ek kısıtlaması altında 8
üzerine sürekli olarak bozunursa (şekil 40 a bakınız), T nin Xj ve x 2 den ibaret
alt kümesine nazaran a ve p yı tanımlayan fonksiyonlar homotoptur deriz.
Bu durumda F: C j X C ---- ►T fonksiyonu, 0 < v <; 1 olmak üzere, v ’nin
her değeri için F (a, v) = x t ve F (b, v) = x 2 ek şartları ile kısıtlanır.
V
lim.
Tanım : S ve T iki topolojik uzay olsun, f ve g, S den T içine iki fonksiyon
olsun. Eğer her x e S noktası için
F (x,0) = f (x),
F (x,l) = g (x)
olacak şekilde, SxC den T yc süreki bir F: S x C ---- >- T fonksiyonu varsa,
/ , g ye homotoptur denir ve f ~ g yakılır.
F fonksiyonuna f den g içine bir homotopi denir. Fu simgesi x e S olmak
üzere F u (x) = F (x,u) ile tanımlanan, F u: S ---- >- T sürekli fonksiyonunu
göstermede kullanılır. Özel olarak F 0 = f ve F j = g dir.
Örnek: Eğer S bir çember, (şekil 41), T bir tor ve S nin f ve galtındaki görün­
tüleri C, C' çemberleri ise, f ve g yi bağlayan bir homotopi, bir silindiri şekil
82
42 dc gösterilen torun taralı bölgesine resmeder. Bu silindirin kenarlarının resim­
leri, S nin f ve g altındaki görüntüleri ile karşılıklı olarak çakışır. Silindirin diğer
kesitlerinin (eross - seetions) görüntüleri, F u ara fonksiyonlarının görüntüleridir.
Bunlar f (S) den g (S) ye sürekli olarak haraket ederler.
Tanım : Eğer XQ <= S alt kümesindeki her xQ noktası için
f(x0) = g(xQ) olacak şekilde f ve g, S den T içine sürekli fonksiyonlar ise, her
x e S için F (x,0)=f (x), F (x,l) = g (x) ve her xQ s XQiçin F (x0,u) = f (x0)= g (x0)
olacak şekilde sürekli bir F : S x C ---- >- T fonksiyonu varsa, f, X„ ’a
göre g ’ ye homotoptur deriz ve f ~ g (göre X0) yazarız. Eğer X0, boş küme ise,
f ~ g dir. Böylcce adi homotopi, izafi (relative) homotopinin özel bir halidir.
32. HOM OTOPİ ÜZERİNE TEOREMLER.
Aşağıdaki teorem homotop fonksiyonların incelemesinde sık sık kullanılır.
Teorem 4.1 : Eğer bir S topolojik uzayı kapalı A,B alt kümelerinin birleşimi
ve f : A ---- >- T, g : B ---- >■ T, ve her x e A n B elemanı için
f(x) = g (x) olacak şekilde sırayla A ve B den T içinde sürekli fonksiyonlar
ise,
f (x),
x e A ise,
g (x),
x e B ise,
I
ile tanımlanan h : S ---- ►T dönüşümü süreklidir.
ispat : X, S nin bir alt kümesi olsun. X[ = X a A ve X 2 = X n B
yi tanımlıyalım. Bu durumda, X = X j U X 2 dir. BöylecC
h (X) ■= h (Xj) U h (X2)
dir. Teorem 2.7 den dolayı X = X ı U X 2 dir. Buradan
h (X) = h (X!) U h (X2) olur.
83
x, X ı = X n A ’in bir noktası olsun. Bu durumda, x ’i ihtiva eden her
açık küme X n A nın bir noktasını ihtiva eder. Bundan dolayı A nm bir noktasını
ihtiva eder. Böylece x e À dir. Fakat A kapalıdır. Böylece x e A dır. Böylece
X[ c A dır. Buradan h (Xj) = f (X\) dir. Benzer şekilde X 2 B ve buradan
h (X2) = g (X 2) dir. Faka t f ve g süreklidirler ve böylece teorem 2.10 dan dolayı
f (Xı) c f (Xj) ve g (X2) c g ( x 2) dir. Bundan dolayı
h (X)
= h (X 0 u h (X2) «= f p T ö
dir. Tekrar teorem 2.7 yi kullanarak
u g Tx7) = hlxT) u hlxl)
İT(X7) U h "(X ^ = h (Xi) U h (X2) = İT(X)
elde edilir. Bundan dolayı h (X) <= h (X) dir. Buradan h süreklidir.
Teorem 4.2: Bir XQ alt kümesine göre homotop olma bağıntısı bir denklik
bağıntısıdır.
İspat : Bu bağıntının yansımalı (reflexive), bakışımlı (symmetric) ve geçişmeli (transitive) olduğunu göstermeliyiz.
1) Yansıma : F (x,u) = f (x) diye tanımlansın. Bu durumda, F = f o p
dir. Burada p, S x C nin S üzerine izdüşümüdür. Böylece Teorem 2.6 ve teorem
2.14 den dolayı F süreklidir. Açıkça F (x, 0) = f (x) = F (x, 1) ve herhangi bir
x e S için
F (x, u) = f (x)
dir. Buradan X0, S ’nin bir has alt kümesi olmak üzere
f ~ f (göre XQ)
dir.
2) Bakışım : f ~ g (göre Xc) ise,
F (x, 0) = f (x),
F (x, 1) = g (x)
ve ilaveten x 0 e XQ ise,
F (xc, u) = f (x0) = g (x0)
olacak şekilde sürekli bir
F : S x C ---- >• T
fonksiyonu vardır. G : S x C ---- ►T
yi
G (x, u) = F (x, 1-u)
ile tanımlıyalım. Bu durumda, teorem 2.6 dan G nin sürekli olduğu anlaşılır.
Ayru zamanda
84
G (x, 0) = g (x)
G (x, 1) = f (x)
ve eğer *
e X„ ise,
G (xOÎ u) = f (xc) = g (x0)
dir. Bundan dolayı
g ~ f (göre XQ) dir.
3) Geçişme : Eğer f ~ g (göre X0) ve g ~ h (göre X0) ise,
F (x,0) = f (x), F(x,l) = g (x), F (x0,u) = f (x0) = g(xG) (x0 sX 0), G(x,0) = g(x),
G (x,l) = h (x), G (x0,u) = g (x0) = h (x0), (x0 e X0) olmak üzere sürekli
F, G : S x C -----* T fonksiyonları vardır.
H (x, u) = F (x, 2u),
(u fS 1/2)
H (x, u) = G (x, 2u-1),
(u ^ 1/2)
ile bir H: S x C ---- >• T dönüşümü tanımlıyalım. Bu takdirde teorem 4.1 den dolayı
H süreklidir ve x0 e XQ için H (x,0) = f (x), H (x,l) = h (x),
H(x0,u) = f (x0) = h (xG) dır. Bundan dolayı f ~ h (göre XQ) dır.
Teorem 4.2 den şu çıkar: Bütün f : S ——►T sürekli fonksiyonlarının kümesi,
verilen bir x0 e XD noktasının resmi, T nin aynı noktası olmak üzere, ikişer
ikişer ayrık sınıflara bölünebilir. İki fonksiyonun aynı sınıfta olması için gerek
ve yeter şart bunların Xc a göre homotop olmasıdır. Fonksiyonların bu sınıflarına
homotopi sınıfları denir.
Tanım : f: S ---- >■ T fonksiyonu eğer görüntüsü bir tek nokta olan bir sa­
bit g: S ---- ►T fonkisiyonuna homotop ise, f ye bir sabite homotoptur, denir.
özel olarak, eğer i : S ---- ►S özdeşlik fonksiyonu bir sabite homotop ise,
S bir noktaya bozunabilir veya büzülebilir bir uzaydır denir.
Örnek : Sn, katı ve kapalı birim küresi, yani En Öklid uzayındaki
X l2 +
X22 +
... +
X2n ^
1
eşitliğini sağlayan (xt, x2,..., xn) noktalarının kümesi bir noktaya büzülebilir.
Çünkü x = (xı, x2, ..., xn), Sn nin bir noktası olmak üzere,
F (x, u) = ((1-u) xı, (1-u) x2,..., (l-u)xn)
ile tanımlanan F: S„xC ---- >- Sn dönüşümü süreklidir, aynı zamanda F (x,0) = x
ve F (x,l) = (0, 0,...,0) dır. Bundan dolayı i: Sn ---- >- Sn özdeşlik dönüşümü
bir sabite homotoptur.
Sezgisel olarak, bir noktaya büzülebilir bir uzay kendi üzerinde bir noktaya
bozunabilir bir uzaydır. Küre yüzeyi bir noktaya büzülemiyen bir uzaydır. Çünkü
küre yüzeyi, kendi üzerinde bir noktaya büzülemez.
oc
Teorem 4.3: Eğer T büzülebilir bir topolojik uzay ise, her sürekli f: S
fonksiyonu bir sabite homotoptur.
T
İspat : T büzülebilir oluduğundan F (y,0) = y, F (y,l) = yQ c ¿a'ak şe­
kilde sürekli bir F: T x C ---- ►T fonksiyonu vardır. Burada y, T nin keyfi bir nok­
tası ve y0) T nin bir sabit noktasıdır. F: S ---- ►T sürekli bir fonksiyon ol­
sun.
G (x, u) — F (f (x), u),
x e S
ile G : S x C ---- >- T yi tanımlıyalım. Bu durumda, Teorem 2.6 dan dolayı G
süreklidir. Aynı zamanda
G (x, 0) = F (f (x),0) -
f (x), G (x,l) = F (f (x), 1) = y0
dır Bundan dolayı f, g (x) = yQ ile tanımlanan sabit g : S ---- ►T dönüşümüne
homotoptur. Böylece büzülebilir bir uzay için, her sürekli fonksiyon bir sabite
homotoptur.
Özel olarak, büzülebilir bir uzayın kendi içine sürekli fonksiyonlarının
yalnız birhomotopi sınıfı vardır.
Teorem 4.4 : f, g ; T ı den T 2 içine homotop sürekli fonksiyonlar ve h, T 2 den
T 3 içine sürekli bir fonksiyon olsun, hof ve hog, T 1 den T 3 içine homotop sü­
rekli fonksiyonlardır. Benzer şekilde; f, T ı den T 2 içine sürekli birfonksiyon
ve g', h'; T 2 den T 3 içine homotop, sürekli fonksiyonlar ise, g' o f' ve h' o f \ T 1
den T 3 içine homotop sürekli fonksiyonlardır.
İspat : f ~ g olduğundan, bir sürekli F: T t x C -— *- T 2 fonksiyonu var­
dır, öyleki x e T ı içinF (x, 0) = f (x)ve F (x, 1) = g (x) dır.
G (x, u) = h (F (x, u)) ile G : T 1 x C ---- ►T 3 yi tanımlıyalım. F ve h
sürekli olduklarından, teorem 2.6 dan dolayı G süreklidir. Aynı zamanda
G (x, 0) = h (F (x 1 , 0 )) = h (f (x)) ve
h (x, 1) = h (F (xı, 1) = h (g (x))
dir. Bundan dolayı hog ~ hof dir.
Teoremin ikinci kısmının ispatı benzer şekilde yapılabilir.
33. HOMOTOPİ TİPİ.
Tanım (Homötopi Tipi) : S ve T iki topolojik uzay olsun, gof: S ---- ►S,
i: S ---- ►S özdeşlik fonksiyonuna homotop ve fog: T ---- ►T, j: T ---- >■ T
özdeşlik fonksiyonuna homotop olacak şekilde f : S ---- > T, g : T ---- >■ S sü­
rekli fonksiyonları varsa, S uzayı T ile ayni homotopi tipindendir denir. Açıkça
S, T ye topolojik olarak cşyapılı ise, S, T nin homotopi tipindedir. Fakat aynı
homotopi tipindeki uzayların topolojik cşyapılı olması gerekmez.
Örnek : Büzülebilir bir uzay bir noktadan ibaret bir uzay ile aynı homotopi
tipindedir. Bunun ispatı, büzülebilirliğin tanımından çabukça çıkar. Fakat,
büzülebilir bir uzay, bir noktadan ibaret bir uzaya, eğer uzayın kendisi bir
noktadan ibaret ise, eşyapılı olabilir. Aksi halde değildir.
Aynı homotopi tipinde olma bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. Yansıma ve
bakışım tanımdan derhal çıkar. Bağıntının geçişmeli olduğunu ispat etmek için
T 2 ve T 3 ün sırası ile T ı ve T 2 ile aym homotopi tipinde olduğunu kabul edelim.
f :
T!
►T 2.
g : T 2 ---->■ T ı
f' : T 2 ---- ►T 3
g' : T 3 —
T2
sürekli fonksiyonları va.rdır, öyleki g o f, f o g, vef' o g' g' o f' uygun özdeşlik dö­
nüşümlerine homotopturlar. Teorem 2.6 dan dolayı f" (x) = f' (f (x) ) ve
g" (x) = g (g' (x) ) ile tanımlanan f" : T ı ---- ►T 3 ve g" : T 3 ---- >- T ı dönü­
şümleri süreklidir.
g' o f' özdeşlik dönüşümüne homotop olduğundan Teorem 4.4 den dolayı
g o (g' o f'), g ye homotoptur. Buradan g" o f" = g o ((g' o f') of), g o f ye homotoptur.
Bu ise, yine özdeşlik dönüşümüne homotoptur. Benzer şekilde f" o g", T 3
ün kendi üzerine özdeşlik dönüşümüne homotoptur. Böylccc T ı, T 3 ile aynı homo­
topi tipindendir. Bundan dolayı bağıntı geçişmelidir.
Bu gösterirki bütün topolojik uzayların kümesi, onların homotopi tiplerine
göre ikişer ayrık sınıflara ayrılabilir. Bu sınıflar, topolojik olarak denk olan uzayla­
rın sınıflarından geniştir. Çünkü topolojik denklik homotopi ile tayin edilen denk­
likten daha kuvvetlidir. Bir homotopi sabiti (invaryant) aynı homotopi tipindeki
bütün uzaylar için aym değere sahip olan şeydir ve O, bir topolojik sabittir. Fakat
bir topolojik sabitin bir homotopi sabiti olması gerekmez. Bu bölümün kalan kıs­
mı çok önemli homotopi sabitlerinden bazılarına, yani esas grupların ve
homotopi gruplarının incelenmesine ayrılmıştır.
34. EĞRİLER.
Tanım : T topolojik uzayında, bir eğri, sürekli bir a : C ---- >- T fonk­
siyonudur. Burada C, 0 <. u ^ 1 yı sağlayan u gerçek sayılarının alışılmış to­
polojisi ile verilen uzayıdır.
a (0) ve a ( 1 ) noktalarına eğrinin sırası ile başlangıç ve bitim noktaları de­
nir. Verilen bir eğrinin a-ı, ters eğrisi a -1 (u) = a (1-u) ile tamamlanan eğridir.
Bu 2. Bölüm 9. paragrafta verilen bir dönüşümünün tersi ile karıştırılmamalıdır.
Bir eğrinin tersi daima yukarda tanımlanan ters eğri olarak alınacaktır.
a
aP
P
a(l) = P(0)
0
C
1
Şekil 43.
Açıkça bir eğrinin bitim noktası ile tersinin başlangıç ve bir eğrinin
başlangıç noktası ile tersinin bitim noktası çakışır. Bir eğri ve onun tersi, T
içinde aynı noktaların kümesini tayin eder. Faka.t, onlar zıt yönlerde dolaşılır.
Eğer a : C ---- >- T ve p : C ----->■ T iki eğri ve a (1) = p (0) ise, yani
a nın bitim noktası ile P nin başlangıç noktası çakışık ise, a p çarpım eğrisi,
(Şekil. 43),
Y (u) = a (2u),
Y (u) = p (2u-l),
(0 ^ u ^ 1/2)
(1/2 <; u ^ 1)
ile verilen y : C ---- ►T eğrisi olarak tanımlanır. Bu şekilde tanımlanan y fonk­
siyonu teorem 4.1 den dolayı süreklidir. 0, C den T ye sürekli bir fonksiyon
olduğundan T içinde bir eğridir. İki eğrinin çarpımı 2. bölüm 9. paragrafta tanım­
lanan iki foksiyonun çarpımı ile karıştırılmamalıdır. Sezgisel ola.rak a p, a eğrisi
ile a yı takip eden p eğrisinin birleşimi olarak düşünülebilir.
S
Bir a eğrisi, bir sabit fonksiyon ise, yani a (C), T nin bir tek noktası ise, sı­
fır eğri (bir noktadan ibaret eğri) diye adlandırılır. Bir eğrinin başlangıç ve bitim
noktaları çakışıyorsa, bu eğri kapalıdır. Böylece a (0) = a (1) dir
Örnek : a a-ı ve a -1 a kapalı eğrilerdir.
Tanım : a ve P, T içinde başlangıç ve bitim nokta.l?.rı aynı olan, yani
a (0) = P (0), a (1) = p (1), iki eğri olsun. Eğer a, C nin u = 0 ve u = 1
noktalarından iba.ret alt kümesine nazaran p ya homotop ise, a, p ya homotoptur denir ve a ~ p yazılır. (Burada, paragraf 31 deki tanım uygulanır.
Tammdan dolayı eğrilerin C üzerinde sürekli fonksiyonlar olduğunu hatırlayınız).
Aşağıdaki teoremler (teorem 4.10 hariç) esas grubun grup özelliklerinin
ispatında kullanılacaktır. Bu özelliklerin ispatı geometrik olarak aşikar ise de,
analitik tabiatlı kusursuz ve tam ispatlar yapılmalıdır. İspatların inşasında
geometrik şekiller (rehberler gibi) faydalıdır.
Teorem 4.5 : Eğer a, p, y, 5, a ~ y ve p ~ 8 olacak şekilde eğriler ise,
ve a p mevcutsa, yS mevcuttur ve aP — yö dır.
İspat : a p tanımlı olduğundan a(l) = P(0) dır. a ~ yve P ~ 5 oldu­
ğundan a(l) = y(l) ve p(0) = 8(0) dır. Bundan dolayı y(l) = 8(0) dır. Böylecc y8 mevcuttur, a ~ y olduğundan
F (u, 0)
= a(u),
F (0, v)
= a(0) - y(0),
F (u,l) = y(u),
F (1, v) = a(l) = y(l)
olacak şekilde bir F : C x C ---- >- T sürekli fonksiyonu vardır.
Benzer şekilde p ~ 8 olduğundan
G : C x C ---- v T
sürekli fonksiyonu vardır ve
G (u, 0) =
G (0, v) = P(0) -
P(u),
G (u, 1) = S(u),
5 (0), G ( 1 , v) = P(l) = 8(1)
sağlanır. H : C x C ---- ►T dönüşümünü,
H (u, v) = F (2u, v),
(0 < u < 1/2)
H (u, v) = G (2u-1, v),
(1/2 < u <; 1)
dönüşümü ile tanımlıyadım. Bu durumda, teorem 4.1 den dolayı H süreklidir ve
aşağıdakiler sağlanır.
(0 <Ç u
1 / 2)
( 1/2 ^ u ^ 1)
(0 ^ u ^ 1 / 2)
( 1/2 ^ u ^ 1 )
H (u, 1) = 8 (2u-1),
H (0, v) = F (0, v) = a (0) = y (0),
H (1, v) = G (1, v) = p (1) = 8 (1),
H (u, 0) = a (2u),
H (u, 0) = p (2u-1),
H (u, 1) = y (2u),
Bundan dolayı aP ~ y8 dır.
Teorem 4.6: Eğer a ve p, a ~ P olarak şekilde iki eğri ise, e r 1 ~ p - i’dir.
İspat : a ~
P olduğundan
F (u, 0) = a (u),
F (u, 1) — P (u),
F (O, u) - a (0) « p (0),
F (1, v) - a (1) - p (1)
olacakşekilde bir F :
G (u,v) =
C x C ----- ►T sürekli fonksiyonu vardır.
F (1-u, v) il; G : C x C ----- >■ T yi tammlıyalım. G süreklidir.
G (u, 0) «
a(u-l),
G (u, v) = F (1,
G (1, v) = F (0,
dır. Bundan dolayı a -1 ~
G (u, 1) = p(l-u),
v) = a(l) = P(l),
x) = o(0) = P(0)
P-1 dir.
Teorem 4.7 : Eğer a her hangi bir eğri ve P, a P mevcut olacak şekilde bir
sıfır eğri ise, a p ~ a dır. Benzer şekilde eğer y, ya mevcut olacak şekilde bir
sıfır eğri ise, ya ~ a dır.
İspat : a p mevcut ve P bir sıfır eğri olduğundan
P(u) = a(l)
F (u, v) = o(2u/(l -j-v) ),
(0 <; u <£ ~ ( 1 + v) )
F (u, v) = a(l),
( y - (1+v) ^ u ^ 1)
dir.
ile F : C x C ---- ►T yi tammlıyalım.
F (u,
0)= o(2u),
(0 ^
u <; 1/2)
F (u,
0)= a(l),
(1/2^ u
F (0,
v)= a(0),
F (1,
v)= a(l)
^
1)
dir ve F süreklidir. Bundan dolayı a p ~ a dır. Benzer şekilde ya ~ a dır.
Şekil 44.
-
Şekil 44. Birim elamanının varlığı.
Teorem 4.8 : Eğer aP ve Py mevcut olacak şekilde a, p, f, üç eğri ise,
(ap)y ve a(Py) mevcut ve
(ap)y ~ a(Py)
dır.
İspat :
0< u< i-
a (4u/l+ v),
F (u, v)
P (4u-l-v),
- j-
(1+v)
(1+v) ^ u ^ -i- (2+v)
-j- (2+v) ^ u ^ 1
y (l-4(l-u)/(2-v)),
ile tanımlanan F: C x C ---- *■ dönüşümü teorem 4.1 den dolayı süreklidir.
Şekil. 45 ’e bakınız. Ayrıca
0 < u < 1/4
1/2
u
1
1/2
u
a (4u),
P (4u-l),
Y (2u- 1),
1/4
a (2u),
p (4u-2),
Y (4u-3),
0 < u < 1/2
1/2
u
3/4
1
3/4
u
dir.
1
2
3
4
(1,1)
0
_L JL
4
2
1
U
Şekil 45. Birleşme özelliği.
Buradan 80 — (aP)y ve 8, = a(Py)
F (u, 1) = 8 j (u) dur. Keza
olmak üzere
F (u, 0) = S0(u) ve
F (0, v) = a (0) = 80 (0)
F (1, v) = a (1) = 8 x (1)
Al
dir. Bundan dolayı (aP)y ~ a(Py)
dır.
Teorem 4.9 : Eğer a herhangi bir eğri ise, a a -1 ve a -1 a sıfır eğrilere
homotoptur.
İspat :
F (u, v) = a (2u(l-v)),
0 < u ^ 1/2
F (u, v) = a (2(l-u)(l-v)),
1/2
u <£ 1
ile F : C x C ---- >■ T yi tanımlıyalım. Şekil 46.
1
Şekil 46. Ters elamanın varlığı.
F süreklidir, ve
F (u, 0) = a (2u),
0 ^ u ^ 1/2
F (u, 0) = a (2-2u),
1/2 ^ u ^ 1
F (u, 1) = a (0),
F (0, v) = a (0) = F (1, v)
dir. Bundan dolayı aa*1, resmi a(0) olan sıfır eğriye homotoptur. Benzer şekilde
a*!a, resmi a(l) olan sıfır eğriye homotoptur.
y 0' Terom 4.10 : aP -1 mevcut ve kapalı bir eğri olmak üzere a, p iki eğri
olsun, a p-1 in bir sıfır eğriye homotop olmasi için gerek ve yeter şart, a ~ P
olmasıdır.
İspat : a p -1 mevcut olduğundan a ( 1 ) = P ( 1 ) dir. a p -1 kapalı olduğun­
dan a(0) = P(0) dır. a p-1 in bir sıfır eğriye homotop olduğunu kabul edelim.
Teorem 4.5 ve teorem 4.7 den dolayı (a P '^ P . P ya homotoptur. Fakat
teorem 4.8 den (a P'OP,
a /p -1P) ya homotoptur. Teorem 4.9 ve teorem 4.7
den dolayı bu a ya homotoptur. Buradan a ~ P dır.
Karşıt olarak a ~ p olduğunu kabul edelim. Teorem 4.5 den
a P ' 1 ~ pp-ı dir ve teorem 4.9 dan dolayı pp -1 bir sıfır eğriye homotoptur.
Buradan a p -1 bir sıfır eğriye homotoptur. Şekil 47 ye bakınız.
a
35. ESAS GRUP.
T bir topolojik uzay vc x0, T nin bir sabit noktası olsun. Başlangıç ve bi­
tim noktası xQda olan bütün kapalı eğrilerin kümesini düşünelim. x0 noktasına
bu eğrilerin taban noktası denir. Bu eğrilere de x0 daki kapalı eğriler denir. Eğer
a, x0 da bir kapalı eğri ise, a ya homotop xQ daki bütün k a p Jı eğriler sınıfım
[a] ile gösterelim. Eğrilerin bu sınıflarının çarpımı
[a] . [PJ = [ap]
kurabile tanımlanır. Teorem 4.5 den dolayı bütanım [a], [PJ nın temsilcilerinin se­
çiminden bağımsızdır. Çünkü a ~ y ve P ~ 5 ise, a p ~ yS dır. Böylece
[y] . [5] = [yS] = [ap] dır. Böylece [a] . [P]çarpımı [a]ve[p] ile bir tek
şekilde tanımlanır.
34. paragraftaki teoremleri kullanarak, bu işlemin x0 daki eğrilerin homotopi
sınıf lam ın kümesi içinde bir grup yapısı tanımlandığını gösterelim. 1 . Bölüm,
25. paragrafta verilen dört grup akşiyomunu gerçekliyelim.
i) Tanımdan dolayı, [a] . [p] çarpımı, x0 daki eğrilerin bir homotopi sınıfıdır.
ü) ([a] [PD M = [ a p ] [y]=[(aP) Yİ=[a (Py)]=[a] ([py])=[a] ([p] [y])
vc teorem 4.8 den dolayı (aP)y
a(Py) olduğundan işlem birleşme aksiyo­
munu sağlar.
iii) [1 ] , x0 daki sıfır eğrinin homotopi sınıfını göstersin.
Teorem 4.7 den dolayı [a] [1] = [a]
birim elemanıdır.
= [1] [a] dır. Böylece [1], grubun
93
iv)
Teorem 4.9 dan dolayı [a] [a-1] = [aa_1] = [1] dir. Böylccc grup içinde
her elemanın bir tersi vardır. Böylecc başlangıç ve bitim noktası xQda olan eğri­
lerin bütün homotopi sınıflarının kümesi, bu şekilde tanımlanan çarpma işlemi
ile bir gruptur. Bu grup, x0 tabanlı esas grup diye adlandırılır ve n ı (T, x0) ile
gösterilir.
G ı ve G 2 grupları arasında bir 0 izomorfizmi, G ı den G 2 üstüne, bire­
bir bir 0 : G j ---- ►G 2 dönüşümüdür, öylcki, o grup işlemini korur. Yani
G ı in herhangi iki g, h elema.ni için 0(gh) = 0(g) 0(h) dır. Şimdi cğriscl
bağlantılı bir uzayın herhangi iki noktası üzerindeki esas grupların izomorf ol­
duğunu gösterelim. O halde, böyle uzaylar için esas grup taban noktasından bağım­
sızdır ve grup 7t 1 (T) ile de gösterilir.
ESAS GRUBUN TOPOLOJİK SABİT OLUŞU
Teorem 4.11 : T eğrisel bağlantılı topolojik bir uzay; xQ ve x b T nin
herhangi iki noktası olsun.
izi (T, x0) ^ 111 (T,xO dir. Yani n y (T,x0), jrx (T, xı)’c izomorftur.
ispat : a , xD noktasında kapalı bir eğri olsun. T eğrisel bağlantılı olduğun­
dan T içinde başlangıç noktası xQ da, bitim noktası xj de olan bir eğri vardır.
Bu eğriyi y ile gösterelim. Böylccc P = ( y *u) y, xj noktasında başlayan ve bi­
ten kap J ı bir eğridir. xGnoktasındaki eğrilerin homotopi sınıfları içinde,
0 ([a]) — [P] ile bir 0 dönüşümünü tanımlayalım. 0 ([a]), [a] ile tek olarak
belirlenir. Karşıt olarak [a] da, tek olarak 0 ([a]) ile belirlenir. Çünkü eğer
(y-Ja 1) y
( y ^ ) y ise, teorem 4.8 ve teorem 4.9 dan dolayı
~ a 2 dır,
Bundan başka x ı’de her hangi bir P eğrisi verildiğinde, p eğrisi y 1 ( ( y P ) y 1) y
eğrisine homotoptur. Böylece x, deki eğrilerin her bir homotopi sınıfı, bazı [a]
lar için 0 ([a]) şeklindedir.
O halde 0 , ir 1 (T, xQ) dan 71 j (T, x 0 üstüne, birebir bir dönüşümdür.
[“ 1 ] ve [a2], ıtı (T, xQ) ın iki elemanı oİsud. Teorem 4.8 ve teorem 4.9 dan do­
layı,
0 ([aı]) • 0 ( [a 2]) = [(y -1 a j) y ] [(y-1 a 2) y] = 0 ([a ıa 2])
olduğundan 0 bir özyapı dönüşümü, dolayısı ile bir eşyapı dönüşümüdür
(isomorphism).
Şimdi farklı uzayların esas grupları arasındaki ilişkileri inceliyclim. önce
verilen bir uzayda sürekli bir dönüşümün etkilerini araştıralım.
Bu sürekli dönüşümün görüntüsünün esas grubunun, başlangıçtaki uzayın
esas grubuna eşyapılı olması gerekmez. Bununla beraber bu iki grubun yapıları
arasında bağıntılar vardır. Gerçekten bu gruplar arasında bir özyapı dönüşümü
vardır. G ı ve G 2 grupları arasında bir özyapı dönüşümü 0 : G j ---- >- G 2
gibi bir çoğa-bir dönüşümdür, öyleki g, h e G j için 0(gh) = 0 (g) 0(h)
dır. Bunu izomorfizm tanımı ile karşılaştırırsak, bir izomorfizmin G i den G 2
üstüne birebir bir özyapı dönüşümü olduğunu görürüz.
Teorem 4.12 : Eğer f: T ı ---- ►T 2, T ı den T 2 içine sürekli bir dönüşüm
ve x0 e T ı herhangi bir nokta ise,
f , : ıtı (T ı, xc) ---- ►tc1 (T2, f (x0))
gibi bir özyapı dönüşümü vardır.
ispat : a, P,
yi sırası ile
x0
e
T noktasında kapalı eğriler olsun, y, S : C ---- ► T 2
T = f o a,
S *= f o p
denklemleri ile tanımlıyalım.
dır.
a ~
Böylece
y (u) =
f o a(u), 8(u) = f o p(u)
Bu durumda y ve 8, T 2 içinde f (xQ) noktasındaki kapalı eğrilerdir. Eğer
P ise, F: C x C ---- ►T x sürekü dönüşümü vardır, öyleki
F (u,
0) = a(u),
F (u,
1) = p(u),
F (0,
v) = ct(0), = P(0) = x0,
F (1,
v) = a(l), = P(l) = xQ
dır.
G : C x C ---- ► T 2 fonksiyonunu, G (u,v) = f (F(u,v)) ile tanımlı­
ydım. G, bir fonksiyon fonksiyonu olduğundan süreklidir. Bundan başka
G (u, 0) = f o a(u) = y(u),
G (u, 1) = f o P(u) = ö(u),
G (0, v) = f (x0),
G (1, v) = f (xQ)
dır. Dolayısı ile
y ~ 8 dır.
Bundan dolayı, Eğer f* [a] = [ f o a ] tanımım yaparsak, f fonksiyonu T ı in xQ
daki eğrilerin homotopi sınıflarını, T 2 nin f (xG) daki eğrilerin homotopi sınıfla­
rına dönüştürür, öyleki f„ ( [a ]) , [a] ile bir tek şekilde tanımlanır.
95
Bu dönüşüm, f tarafından oluşturulmuştur (induced) denir. Böylece, bu oluş­
turulmuş f* dönüşümü xcı (T b x0)’ın her elemanım 7iı (T2, f (xQ) )’m bir tek
elemanı ile eşler.
Şimdi f* in bir özyapı dönüşümü olduğunu gösterelim, a, p, T j içinde xG
tabanlı iki eğri ve y = f o a , S = f o p d a T 2 içinde, bunlara karşılık gelen eğri­
ler olsun, a p eğrisi,
8 (u) = a (2u),
8 (u) = p (2u-l),
0 <; u <; 1/2
1/2 <£ u £ 1
ile tanımlanan 8 : C ---->- T ı eğrisidir. Bundan dolayı f o 8 eğrisi a : C ----->■ T 2,
er (u) = f (a (2u)),
o (u)
= f
(P (2u -l)),
0 < u ^ 1/2
1/2 ^ u <C 1
ile tanımlanan eğridir. Bu eğri ise, gerçekte yS eğrisidir. Dolayısı ile
f* ([«]) f* (tPD = M tS] = [y5] = f* ([ap]) olup f*, 7ir (Tı,x0) dan
jtı (T2, f (x0)) ya bir özyapı dönüşümüdür.
Şimdi göstereceğiz ki belli şartlar altında yukarıdaki teorem 4.12 deki özyapı
dönüşümü bir izomorfizm olur. Özci olarak eğer f bir özyapı dönüşümü ise,
f* bir izomorfizmdir. Bu daha genel bir teoremin sonucu (corollary) olatak
ispat edilecektir. Bu sonuç ise, ispatını yapmıyacağımız şu teoremin bir özel hali­
dir.
Teorem : Ayni
homotopi tipindeki uzayların esas grupları izomorftur.
Teorem 4.13 : T j ve T 2 iki topolojik uzay olsun. Eğer aşağıdaki şartlan
sağlayan f : T ı ---- >- T 2 ve g : T 2 ---- >- T ı sürekli fonksiyonları varsa,
ttı (Tı, xD) ile tiı (T2, y0) izomorftur.
1 . x0, T ı in sa.bit bir noktası ve y0 = f (x0) olmak üzere g (y0) = x0
2. g o f, x0 ’a göre i : T ı -----> T ı özdeşlik fonksiyonuna homotoptur.
3. f o g, yD’a göre j : T 2 ---->- T 2 özdeşlik fonksiyonuna homotoptur.
İspat : Teorem. 4.12 den dolayı f,g, g o f ve f o g sürekli fonksiyonları sırası ile
f* : ıtı (Tı, x0) ---- ►k ı (T2, y0)
g* : ıtı (T2, yQ) ---- »■ ıtı (Tı, x0),
(g o f)* : ıtı (Tı, xQ) ---- >- Tiı (Tı, xQ) ve •
(fog)* : 7tı (T2, y0) ---- >■ tij (T2, y0)
özyapı dönüşümlerini oluştururlar.
a, T ı içinde x0 tabanlı herhangi bir eğri olsun, g c f (xQ) = g (y0) = xQ
olduğunda.n (g o f)oa da T ı içinde yine xQ tabanlı bir eğridir. Fakat
96
g o f, xD * a göre i : T ı ---- >■ T t özdeşlik fonksiyonuna homotoptur.
Bundan dolayı (gof)oct, a ya homotoptur. Buradan (g o f)*, it! (T h xQ) ’in
kendisi üstüne özdeşlik dönüşümüdür. Benzer şekilde (f o g)*, jtj (T2, y0) ’ın
kendisi üstüne özdeşlik dönüşümüdür.
(g o f)oa : C ---- >■ T ı eğrisini düşünelim. Bu, g o (f o a) : C ---- >- T ı eğrisi
ile aynıdır.
Bundan dolayı eğer f* [a]=[P] ise, g* fPJ=(g o f) [a] dır. Simgesel
olarak ■ (g o f)* = g* o f* dır. Benzer şekilde, (f o g)* = f* o g* dır.
Bu sebeple g* of* ve f* o g* sırayla jci (Tı, xQ) ve tci (T 2,y0) nin özdeşlik
dönüşümle ridir.
f* [«] = [PJ olduğundan, g* o f* [a] = g* [P] dır ve böylece
[a] = g* [P] dır. Eğer f* [ a j = f* [a2] ise, [Pı] = [p2] dır ve böylcce,
[a t] = [a2] dır. Bundan dolayı f*, birc-bir bir dönüşümdür. Benzer şekilde
g*, birc-bir bir dönüşümdür. Bundan başka n ı (T2, y0)’m her elemam,
tcı ( T ı, x„ ) ’ın bazı [y] elemanları için f* [y] şeklindedir. Buradan f*,
îr ı (T ı,x 0) dan Jtı (T2, y0) üstüne birc-bir bir özyapı dönüşümüdür. Böylcce
f* bir izomorfizmdir. Benzer şekilde g*, ıtı (T2, yQ) dan ıtı (Tı, xc) üstüne
bir izomorfizmdir. zrı (Tı, x0) ile zrı (T2, yD) izomorftur.
Sonuç : Eğer T ı ile T 2 topolojik cşyapılı ise, ıtı (Tı, x0) ile ıtı (T2, yc)
izomorftur. Burada y0, xQ ’ın (homcomorfizm altında) resmidir.
Bunu ispat etmek için f: T ı ---- *■ T 2 yi bir homeomorfizm, g yi g = f_ 1
olarak seçeriz.
Örnek 1. Küre: Kürenin esas grubu yalnız bir elemandan, özdeşlik elemanın­
dan ibarettir. Çünkü küre üzerinde ki bütün kapalı eğriler bir sıfır eğriye homo­
toptur.
Genel olarak csa.s grubu bir tek elemandan, yalnız özdeşlik elemanından ibaret
olan uzaya basit bağlantı uzay denir.
Örnek 2. Çember: p, çember üzerinde herhangi bir nokta olsun. Başlangıç
ve bitim noktası p de olan bir kapalı eğri, ya bir sıfır eğriye yada çemberi
bir veya daha fazla tam olarak dolaşan bir eğriye homotoptur. a ve p
nın sırayla çemberi r ve s defa dolaşan iki eğri olduğunu kabul edelim.
Eğer r > s ise, a, p ya homotop değildir. Çünkü a p -1 çemberi r-s defa dolaşan
bir eğridir. Böyle bir eğri sıfır eğriye homotop değildir. Bundan dolayı çember
üzerindeki eğrilerin homotopi sınıfları ile tam sayıların toplam grubu arasında bir
eşleme vardır. Bu eşlemenin bir izomorfizm olduğunu görmek kolaydır. Böylcce
çemberin esas grubu bir sonsuz devirli gruptur. Yani bu grup bir sabit elemanın
tam kuvvetleri ve birim elemandan ibaret bir gruptur.
97
Örnek 3. Tor: Tor üzerinde başlangıç ve bitim noktalan bir P noktasında olan
eğrilerin sonsuz çoklukta homotopi sınıfları vardır. Çünkü şekil 48 da görülen eğri
türünden iki'eğri, toru farklı sayılarda tam olarak sararlarsa homotop değildirler.
Bu durumda, esas grup iki doğruylı bir Abcl grubudur.
Yani bu grup grhs şeklindeki elemanlardan ibarettir. Burada r, s pozitif tam
sayılar, g ve h, gh = hg yi sağlayan sabit iki elemandır.
g ve h elemanları şekil 49 da gösterilen C j ve C 2 eğrilerine (P den
geçen meridiyen ve p&relele) karşılık gelir. Şekil 49 da tor karşılıklı kenarları öz­
deşlenen bir dikdörtgenle temsil edilmiştir, gh = hg gerçeği, C 1 C 2 nin C 2 C j’c
homotop olması gerçeği ne karşılık gelir.
Şekil 49 daki C' ve C" eğrileri C 1C 2 nin C 2C 1 üstüne sürekli olarak bozunmasmı
sağlıyan eğri ailesinin tipik üyeleridir.
Yukarıdaki örneklerde esas gruplar Abcl gruplarıdır. Bununla beraber bu özel­
lik genel olarak doğru değildir. Örnek olarak, çift katlı torun esas grubu bir Abel
grubu değildir.
36.
HOM OTOPİ GRUPLARI. Esa.s grubun elemanları, Öklid doğrusunun
bir parçasının resmi oldukları için bir boyutlu olarak düşünülen eğrilerin homotopi
sınıflarıdır. Homotopi grupları, esas grubun herh?.ngi bir n > 1 boyutuna ge­
nelleştirilmesidir. Sadelik için yalnız m uthk homotopi gruplarım tanımlıyacağız.
Da.ha genel olan izafi homotopi gruplarını tanımlamıya.cağız.
Tanım : n boyutlu In küpü; alışılmış topoloji ile birlikte i = l,2,...n için
0 <; u; <, 1 bağıntısını sağlayan En, Öklid uzayındaki (u 1( U2....... un) noktaları­
nın alt kümesidir.
In ’nin Jn sınırı, U; koordina.tlarından biri 0 veya 1 ol?.n In nin bütün noktalarımn kümesidir. O halde, eğer n = 2 ise, I 2 birim kare ve J 2 çevresidir (perimeter).
98
T herhangi bir topolojik uzay, a ve P, a (Jn) = (5 (Jn) = x0 olacak şe­
kilde, In den T içine sürekli fonksiyonlar olsunlar.
Burada x0, T nin sabit bir noktasıdır. Eğer n = 1 ise, a ve p, T içinde
x0 tabanlı kapalı eğrilerdir, y : I„ ---- ►T dönüşümürü,
y (uı, ..., un) = a (2u !, u2, .... un),
y (ut,..., un) = P (2u ı—l, u 2,...,un),
0 ^ u j ^ 1/2
1/2 Ş u j g 1
ile tanımlıyalım. Teorem 4.1 den dolayı y süreklidir. Aynı zamanda y (J„) = xQ
dır. Böylece, eğer n = l ise, y, 34. paragrafta tanımlandığı gibi a ve p eğrile­
rinin çarpımıdır. Eğer n > 1 ise, y = a -f p diye tanımlıyalım. Toplam
simgesi sadece n > 1 iken uygundur.
Şimdi a, P,y,S yı bunlardan hırbiri altında Jn nin resmi x0 olacak şekilde
I„ den (n > 1 ), T içine sürekli fonksiyonlar olarak kabul edelim. Eğer
a ~ y (göre J„) ise,
F (uı, .... u», 0) -
a (U!....... u j ,
F (u ı....... un, 1) = y (Uı,..., un),
F (İli, .... Un, V) = X0,
(Ûj, ..., lin) E J„,
olacak şekilde sürekli bir F : ID X C ---- ►T fonksiyonu vardır. Benzer şekilde,
eğer p ~ 5 (göre Jn) ise, v = 0 iken p ile ve v = l iken 8 ile uyuşan ve
G (In X C) = xQ’y1 sağlayan sürekli bir G : I , X C ---- > T fonksiyonu var­
dır.
H (Uı,..., Un, v) = F (2u ..... Un, V),
H (uj, ..., u„, v) = G (2uj-l,..., un, v),
0 ^ U! ^ 1/2
1/2 ^ uj < 1
ile H : In X C — ►T yi tanımlarsak,
H (Uı..... U0, 0) = (O + P) (U!,...,Un)
H (uı,..., u„, 1) = (y + 5) (uı,..., un)
H (İl!, ..., ûn, v) — x0 ,
yı sağlayan sürekli bir H dönüşümü elde ederiz. O halde, eğer a ~ p (göre Jn)
ve p ~ 5 (göre J„) ise, (a + P ) ~ (y-f-5) (göre Jn) dir. a (J„) = x0 olmak
üzere a : Ia ---- ►T sürekli fonkisiyonlarınm Jn ye göre bütün homotopi sı­
nıflarının kümesini gözönüne alalım. Eğer n,l den büyük bir sabit tam sayı ise, böy­
le iki [a] , [P] sınıfın toplamını
(«] + [p] = [a + p]
ile tanımlıyalım. Bu toplam, [a] ve [P] ile bir tek şekilde tanımlıdır. Çünkü
yukarda gösterildiği gibi, eğer a ~ y (göre Jn) ve p ~ 5 (göre J J ise,
(a + P) ~ (y + 5) (göre Jn) dir.
Bu yolla tanımlanan toplamaya göre, her n > 1 İçin homotopi sınıflarının kü­
mesi bir rrn (T, xQ) grubunu teşkil eder. Bu gruba T nin xQ da ki n — boyutlu
homotopi grubu denir. Tanımı tamamlamak için esas grup, bir boyutlu homotopi
grubu diye adlandırılır.
nn (T, xQ) ’m grup özellikleri, esas grupta olduğu gibi, gerçeklenebilir.
Eğer T, bir eğrisel bağlantılı topolojik uzay ise, T nin herhangi iki x0 ve x j nok­
tadan için 7tn (T, xQ) ile 7rn (T, xj) ’in izomorf olduğu gösterilir. Ayni zamanda
homotopi gruplarının, homotopi tipinin sa.bitlcri (invariants) olduğu da gösterilir.
Böylecc a.yni homotopi tipinde iki uza.y izomorf homotopi grupla.rına sahiptir,
n = 1 olması halinde yukarıda daha zayıf bir teorem, teorem 4.13 ispat edildi.
Eşya.pılı (homeomorphic) uzayların izomorf homotopi gruplarına sa.hip olduğu
bu genel teoremin bir sonucudur. Esas gruplar A tel olmak zorunda değilsede n > 1
için bütün 7in (T, xD) grupla.rı Ateldir. n > 1 olması halinde toplam simgesinin
kullanılmasının nedeni budur.
Bu grupların, A tel olduğunun ispatı ve homotopi grupları h?.kkmda daha
fazla bilgi için, özel olarak bu grupkrı hesaplama probleminin zorluğu hakkında
okuyucu, P. J. Hilton’un, An Introduction to Homotopy Theory ve N.E.
Stccnrod’ın, The Toplogy of Fibre Bundles adlı eserlerine başvurabilir.
N O T: Bir boyutlu homotopi gruplarının hesaplanması için çok faydalı fa­
kat pek kullanışlı olma.yan bir teorem vardır. Scifcrt-van Kampen Teoremi diye
bilinen bu teoremin, ispatı uzun olduğu için, sadece ifadesi aşağıdadır.
Teorem : X !, X 2 ve Xa = X] r\ X 2 boş olmayan,eğrisel ba.ğlantılı kü­
meler ve p e X 0 bir nokta olmak üzere X = X j u X j olsun. (X0 =£ 0
olduğundan X de eğrisel bağlantılıdır).
G == Ttt (X, p) ve Gj = 711 (Xi, p), i = 0,1,2
diyel’m. G grubu G0, G t ve G 2 gruplarının direkt limitidir. Şekil 50. Bu teoremin
bir ispatı R.H. Crowell ve R.H. Fox’un Introduction to Knot Theory kitabında
vardır.
0\
Gi
\
w0
\ u 2
\
G2
Wl \
Şekil 50. wQ = wjuj = w2u2
jtj
ÖDEVLER: 1. x ve y sırayla S ve T topolojik uzaylarının noktaları olsun.
(S X T, (x, y)) = ti ! (S, x) © Kı (T, y) olduğunu gösteriniz.2
2. Birinci bölüm şekil 20. a deki temsili kullanarak gerçek izdüşel düzlemin esas
grubunun mertebesi iki olan bir devirli grup olduğunu gösteriniz.
100
BEŞİNCİ BÖLÜM
SİMPLEKSEL KOMPLEKSLER
35. GİRİŞ. Bu ve bundan sonraki bölümlerin konusu cebirsel topolojidir.
Cebirsel topolojinin ana konuları homoloji ve bunun duali olan kohomoloji
kavramlarıdır. Bunlar, Poincare’nin katmerleri (manifolds) bir hesabcdilir sabitler
kümesi ile sınıflandırma teşebbüsünden orta.ya çıkmıştır.
Tanım (katmer) : Bir katmer, herbir noktası Öklid uzayında bir noktanın
komşuluğu ile eşyapılı açık bir küme içinde bulunan bir topolojik uzaydır.
Homoloji teorisinin tedarik ettiği sabitler pek çok hallerde fazla zorlukla
karşılaşılmadan hesap edilebilir. Faka.t bu sabitlerin istenilen sınıflandırma için
yetersiz olduğu ispat edilmiştir.
Basit homoloji teorisinin arkasındaki fikir, üçgenlcmedir. üçgenleme, bir
uzayı, bir üçgenin veya onun diğer boyutlardaki benzerlerinin içleri ile eşyapılı
parçalara bölme işidir. Bu bölümün amacı, üçgenleme ka.vramını simpleksel komp­
leksler ile sunmaktır. Homoloji bundan sonraki bölümün konusudur.
38.
ÖKLİD UZAYININ LİNEER ALT UZAYLARI,
a = 0,1,...,m için Pa 1ar n > m olmak üzere En Öklid uzayında (m + 1 )
nokta olsun. Pa nın koordinatlarını
pa j , i = 1,2 ....... n ile gösterelim.
Tanım : aa 1ar gerçek sayılar olmak üzere eğer,
m
2 aa pai = 0,
a =0
m
2 aa
=0
a =0
denklemleri her a için aa = 0 olmalını gerektiriyorsa, POJ P j,..., Pm noktalarına
lineer bağımsızdır denir. (Bakınız:
j 27)
Aitken, A.C. Dcterminants and Matriccs
Eğer P 0,...,Pm lineer bağımsız ise, bu takdirde i. satırı, i = 1,..., n için
(Poi ..... Pmi) ve son satırı (1,1,...,1) olan bir (n + 1) x (m + 1) matrisinin
rangı (m + 1) dir. Buradan h ı, h 2 ..... h„, k için
n
2
i= l
denklemleri
Pai hi “
k
(n—m) lineer bağımsız çözüme sahiptir. Böylcce Pa noktaları,
bu şekildeki (n—m) bağımsız denklemi sağlar, örnek: n =■ 3 ve m = 2 ise,
lineer bağımsız üç nokta vardır. Bunlar bir tek lineer denklemi sağlar ve böylece
de E 3 içinde bir düzlem tanımlanır. Eğer n = 3 ve m = 1 ise, iki lineer denk­
lemi sağlayan, iki lineer bağımsız nokta vardır. Bunlar E 3 içinde bir doğru ta­
nımlar.
Tanım : E„ nin bir L lineer alt uzayı, En nin bir alt kümesidir, öyleki eğer
P = (Xi) ve Q = (yO noktadan L içinde ise, A + p = 1 için AP + PÖ
noktadan da L içindedir. Burada AP + pQ, koordinatları (A xf + jı y^ olan
noktayı gösterir.
X = (xf) noktalarının kümesi, bazı ta gerçek sayıları için
Xj =
m
2 ta • Pai
m
2
a =0
ta = 1 yı sağlarsa, En nin bir lineer
a =0
alt uzayını oluşturur. Çünkü eğer X ve X ' böyle iki nokta ve A + p = 1 ise,
m
Ax, + px'i = 2
a =0
Pai + Pt'a Pa i) =
m
2 ( ^ a + p t'a) pai
a =0
ve
m
m
m
2 (^ta + pt'a ) = A 2 ta + p 2 t ’a = ^ + P a=0 '
a=0
a=0
1
dir. Böylece AX + pX' istenilen şekildedir. Bundan başka bu lineer alt uzay bü­
tün P0,...,Pm noktalarını ihtiva eder. Aslında Pa> tp = 0 (P ^ a) ve ta = 1
ile verilmiştir. Bu nedenle bu alt uzay P0, P ı,..., Pm ile gerilen lineer alt uzay
diye adandırılır.
ta sayılarına, X noktasının Pa noktalarına göre merkezil (barycentric) ko­
ordinatları denir. P0, P lt..., Pm ile gerilen alt uzaydaki noktaların kümesi
ile onların merkezil koordinatları arasında açıkça birebir bir eşleme vardır. Çünkü
eğer t 1er verilirse,
xı =
102
m
2 ta paj
a=0
tek bir şekilde tanımlıdır. Karşıt olarak, eğer
2 ta Paî “
2 t a Pai
ise, ta = t ' a dür. Çünkü Pa Iar bağımsızdır.
m = 1 halinde merkezil koordinatlar Joachimsthal’in (Yoaşimtal) oran
denklemlerindeki parametrelerdir, m = 2 olması halinde merkczil koordinatlar,
P 0P jP 2 üçgeninin, üçgenin kendisi refereans düzlemi olmak üzere, yüzeysel koor­
dinatlarıdır.
Tanım : En nin bir dış bükey {konveks) lineer alt uzayı, En nin bir alt kümesi­
dir, öybki, eğer P = (x;) ve Q = (y;) kümenin içinde ise, kP + pQ
noktası da küme içindedir. Burada k + p = 1 ve k, p nün ikisi de negatif
değildir. Böyîece, eğer bir dışbükey (konveks) lineer alt uzay P ve Q noktalarını
ihtiva ediyorsa, P ve Q yü birleştiren PQ doğru parçasını da ihtiva eder. Bir dairenin
iç kısmı veya bir kare E 3 içinde dışbükey lineer alt uzay örnekleridir. Dışbükey
lineer a.lt uzayların diğer örnekleri, lineer uzayların merkezil koordinatları
0 < ta < 1 veya almaşık (altcrnative) olarak 0 < ta <£ 1 ’i sa.gla.yan (m + 1 )
lineer bağımsız nokta ile gerilen, alt kümeleridir.
39. SİMPLEKSLER.
Bir geometrik m-simpleksi, o» (m > 0) (m + 1)
m
lineer bağımsız P0, P j,..., Pm noktaları ile X; = 2 ta Paj 0 = l,-.-,n) şeklinde
a —o
tanımlanan X == (xf) noktalarının bir kümesidir. (Aritmetik tanım). Burada
m
2 t = 1 ve 0 < t < 1 (a = 0,1,...,m) dir. Böylecc bir geometrik ma=oa
a
simpleks POJ..., Pm ile gerilen lineer alt uzayda, bir dışbükey lineer alt uzayıdır.
Bir geometrik o -simpleks, o°, basit bir noktadır. Bu m sayısına simpleksin
boyutu denir.
m = 1, 2, 3 olması halinde bir geometrik m-simpleks sırasıyla bir açık
aralık, bir üçgenin içi ve bir düzgün dörtyüzlünün (tetrahedronun) içidir.
Bir geometrik m-simpleks, bazen bir açık geometrik m-simpleks diye adlan­
dırılır. Bir kapalı geometrik m-simleks a.ynı yolla tanımlanır. Yalnız 0 < t < 1
şartı yerine 0 <; t
< 1 konulur. Eğer cj™, verilen bir açık geometrik m-simp-
leksi gösterirse, buna karşılık gelen kapalı geometrik m-simpleks a m ile gösterilir.
Öklid uzayı, alışılmış topolojiye sahip olduğunda, crm, a m nin kapamışıdır. Bir
crm geommetrik m-simpleksinin bir q-yüzü (q
m) crm nin bir a.lt kümesidir ki
onun X noktaları
m
*1
0 < t
t
aq+l
2 ta
a= 0
Ct0
m
2 ta
a=0
a ı'
< 1, 0 < t
Ct 1
= 0 = ... = t
1
< 1 , ..., 0 < t
Clq
< 1
am
şartlarını sağlar. Burada ao, a ı,..., am belli bir sırada 0,1..... m tamsayılarıdır.
Böylccc bir q - yüzü bir geometrik q-simplckstir. Çünkü
‘ 'p = la p VC P'p = P«p yazarsak ^
x, =
q
2 t' p' .
a = 0 “ aı’
q
2 t'
a=0
= 1, 0 < t'
<
1 ile tam olarak
ifade edilir, o1« nin 0 — yüzleri P0, P ı,...,P m noktalarından ibarettir. Bunlara
simpleksin köseleri denir. 1 - yüzeylerine simpleksin ayrıtları (kenarları) denir.
40. SİMPLEKSLERİN YÖNLENDİRİLMESİ.
Bir geometrik m-simpleks P0,P ı,..., Pm köşeleriyle tek olarak belirlidir
ve paragraf 39 daki tanımla ilgili olarak bu noktaların alınma sırası önemli de­
ğildir. Fakat bazı amaçlar için köşelerin sırasını dikkate almak (hesaba katmak)
gerekir. crm nin bir permütasyonu, ba.sitçc köşelerinin bir permütasyonudur. Bun­
dan dolayı a m nin (m + 1)1 mümkün permütasyonu vardır. İki permütasyon,
ikisi de çift veya tek ise denktirler denir. Aksi halde bu iki permütasyon zıt
işaretlidir, denir.
Bu, om nin pcrmütasyonlan kümesinde bir denklik bağıntısıdır ve bu kümeyi
iki sınıfa ayırır. Bu iki sınıfa crm nin yönlendirilmeleri denir. Bir geometrik
m-simpleks bu yönlendirilmelerinden birisi ile bir yönlendirilmiş geometrik msimpleks diye adlandırılır. Böylccc her geometrik m-simpleks iki yönlendirilmiş
geometrik m-simpleks belirtir. -
Örnek : P0, P ı,P 2 noktalarıyla belirtilen iki tane yönlendirilmiş 2- simpleks,
şekil 52 deki diyaframlar ile temsil edilebilir. Bu diyagramlarda köşelerin sırala­
nışı oklar ile gösterilmiştir.
Po
PQ
CJ2 = P0PlP2
- CT2 = P!P0P2
Şekil 52.
Bir yönlendirilmiş geometrik m-simpleksini, yönlendirilmesini de belirtmek
için P„ P„ ... P„ şeklinde yazacağız. Bu yönlendirmenin a0, a u ..., am
sırasına göre belirtildiği anlamında olacaktır. Sadece iki farklı durum oldu­
ğundan ve 1 ,0,2,3,..., m; 0, 1 ,2,3,..., m nin tek bir permütasyonu olduğundan
Po, P ı,
Pm gibi ( m + 1 ) köşe ile belirtilen herhangi bir yönlendirilmiş ge­
ometrik m-simpleks P0 P ı P 2...Pm veya Pı Po P 2 ••• Pm seklinde yazılabilir.
—P0 P! P 2 ... Pm y iP ı P0 P 2 ••• Pm Şeklinde tanınlıyalım. O halde verilen
(m + 1) köşenin bir kümesine a m = Po P ı...P mvc — am = + P ı Po P 2-..Pm
gibi iki yönlendirilmiş m-simpleks ka.rşılık gelir.
Bundan sonra bu yönlendirilmiş açık geometrik m-simpleks bir m-simpleks
olarak anılacaktır. Simpleks kelimesi iki mümkün yönlendirmeden biri ib bir açık
geometrik simpleks anlamında kullanılacaktır.
41. SİMPLEKSEL KOMPLEKSLER.
Bir K geometrik simpleksel kompleksi (bundan böyle sadece kompleks
denecek) n boyutlu Öklid uzayında ayrık m-simplekslcrin (m = 0, 1 ,... p) sonlu
bir kümesidir, öyleki eğer a m e K ise, a m nin bütün yüzleri de K içindedir!p sayısına K nin boyutu denir.
K içindeki bütün simplekslcrin birleşiminin nokta kümesine, yani K içindeki
her simplekse ait bütün noktaların kümesine bir polihidron denir ve |K | ile gös­
terilir. K kompleksi, |K | polihidronunun bir örtü kompleksi diye adlandırılır.
Bir kompleks, polihidron ile karıştırılmamalıdır. (Her ikisi de aynı noktaların kü­
mesi ile tanımlanmasına rağmen). Bir kompleks, simplekslcrin bir birleşimidir,
fakat bir polihidron nokta.la.rm bir kümesidir. Farklı iki kompleksin her ikisi de
aynı polihidronun örtü kompleksi olabilir.
Örnek : Şekil 53 üç boyutlu bir kompleksin bir örneğini gösterir.
1
ve 2- simplckslcrinin yönlendirilmesi oklarla işaret edilmiştir. Onlar keyfi
bir şekilde seçilmiştir ve birinin diğeri ile ilgili olması gerekmez. Bir 3-simplcks var­
dır, EFGH dörtyüzlüsü (tetrahedron), 2- simpleksler BAC, EFH, FHG, EGH,
ve EFG üçgenleridir. Bunlardan birincisi BAC hariç hepsi EFGH nin yüzleridir.
1-simplcksîcri BA, CA, BC, ED, EF, EH, EG, FH, GF, HG dir. O-simplcksleri
A,B,C,D,E,F,G ve H dır. Bu kompleks ile örtülü olan polihidron bu durumda
bağlantılı değildir.
Tanım : Bir K geometrik simpleksel kompleksinin bir alt kompleksi, K
nın simplekslerinin bir alt kümesidir, öyleki onlar kendileri bir kompleks teşkil
ederler. Örnek şekil 53 de BAC üçgeninin içi, BC, CA, BA kenarları ve A,B,C
köşlcri ih birlikte bir alt kompleks teşkil eder.
Tanım : Bir K kompleksinin q- boyutlu iskeleti (veya q-kısmı) m <, q
olmak üzere o™ simplekslerindcn ibaret alt kompleksdir. Buna göre şekil 53 deki
kompleksin 1-iskelcti BA, CA, BC, ED, EF, EH,EG,FH,GF, HG kenarlarından
ve A,B,C,D,E,F,G,H köşelerinden ibarettir. Bu, dörtyüzlünün ve üçgenlerin iç
kısımları verilen kompleksden atılarak elde edilir.
Verilen bir crm, m-simpleksi ve onun bütün yüzleri bir m-boyutlu kompleks­
dir. Bu, bazen clo m ile gösterilir. Bu durumda karşılık gelen polihidron ka.palı
o m kompleksidir. a m = |clcrm|.
Bir K geometrik simpleksel kompleksi, simplckslerin sonlu bir kümesinden
ibarettir. Herbir simpleksin yüzleri K içinde olduğundan |K | polihidronu, sonlu
sayıda kapalı simplckslerin birleşimi olarak kabul edilebilir. Buradan | K |, Öklid uza­
yının kapalı ve sınırlı bir alt kümesidir. Böylcce |K |’ya Öklid uzayının alışılmış
topolojisinden doğan rölatif topoloji verildiğinde, |K | bir top?.k uzaydır.
42.
DEĞME. om ve ,cm+1 bir K kompleksi içinde yönlendirilmiş iki geo­
metrik simpleks olsun. Bu iki simpleksin [xm+1, crm] değme sayısı aşağıdaki gibi
106
tanımlanır. Eğer crm, xm+1 in bir yüzü değilse, [tm+1, cr™] = O dır. Eğer crm, xm_I
in bir yüzü ve crm = P0P ı...P m ise, bir ilave Q köşesi için
Tm+ı =
± QP0P j... Pm
dir. Eğer xm+1 = Q P0P ı ... Pm ise,
xm+ı = — Q p0p^..Pn, ise,
[xm+1, c m] = 1 ve eğer
[xm+I, c m] = — 1 dir.
İki simleksin değme sayısı sıfır değilse, bu iki simpleks birbirine değmektedir
deriz.
Örnek : Şekil 54 de olduğu gibi eğer x 2 = ABC ve o l = BA ise,
x2 = BCA = — CBA ve böylcce [x2, ct>] = — 1 dir,. Şekil 54 deki diyag­
ramda biri diğerinin tersine bir yönlendirmeyi gösteren iki ok bulunduğuna
dikkat ediniz.
A
Eğer okların yönü uyuşsaydı verilen simplekslerin değme sayısı + 1 ola­
caktı.
Eğer verilen bir K kompleksinin m-simpleksleri a™,...,a™ ve (m + 1) -simplekslcri x1m+I,..., x™rl ise, [xjn+1, er]”], (i= l,...,r; j = l,...,s), değme sayısı için
rılj’ yazalım, i. satır ve j. sütünunundaki elemanı p™ olan r satır ve s sütunlu
matrise bir değme matrisi denir ve Im ile gösterilir.
Teorem 5.1: Değme matrisleri m = 1, 2, .... p için
• Im-ı = 0
eşitliğini sağlarlar.
İspat : Im nin sütun sayısı m-simlekslcrin sayısına ve böylece de Im.! in
satır sayısına eşittir. Buradan Im . Im.! çarpımı tanımlıdır, m-simplekslerin
s
sayısı s olsun. ImIm.ı in i. satır ve j. sütundaki elemanı 2
k==l
• üS '1 dir. Eğer.
x™+1, o™ ye değmezse, rı-JJ sıfırdır. Eğer a™, pj"-1, (m-l)-simpleksine değmezse, r^ ' 1
sıfırdır. Buradan o™, xm+1 ve p™"1 nin her ikisine değmedikçe 2 Tl!k-Tl2"1 toP'a"
mında verilen bir p,™ t )™]1 terimi sıfırdır. Eğer bu şartlar sağlanmıyorsa ve eğer
P f ' 1 = Qo Q ı - Qm-1 ise,
a™ = n ^]1 P pm-! ve r r 1 =
j
RPpf 1' 1
dir. Burada P, a™ nin p™*1 ye eklenen köşesi ve R, x™+1 nin eklenen köşesi­
dir Bundan dolayı
T-+1 = - T ,” îi-j-1 PRpf 1-1 = —ti” ]1 P a™
dir. Burada ajj1 , r)]£ Rp ™'1 m-simpleksi olarak tanımlanır. O hadde t™+! ve p ” "1
nin her ikisine değen ve sırayla değme sayıları—r^*1 ve
olan bir o™, m-simp­
leksi vardır. Bundan başka K içinde verilen bir simpleksin bütün yüzleri
K
içinde olduğundan ve ± 0™, xn]+1 nin bir yüzü olduğundan ± o ™ ,K komplek­
sinin bir simpleksidir. Açıkça K içinde x7+1 ve p™'1 nin her ikisine değen iki
s
2 ü™ üS *1 içinde sıfırdan
k=l
farklı her terime, büyüklükçe aynı, işaretçe zıt sıfırdan farklı başka bir terim
karşılık gelir. Bundan dolayı toplamın değeri sıfırdır. Böylece Im Im.ı = 0
dır.
simpleks sadece cif ve ± 0 ™ dir. Bunda.n dolayı
43.
ÜÇGENLEME. Bir K geometrik simpleksel kompleksi verildiğinde
K ile ilgili |K | poühidronu bir tek şekilde tanımlanır. Yukarda gördüğümüz gibi
bu, Öklid uzayının bir topak alt kümesidir. Verilen bir polihidron ile başlarsak
K kompleksi bir tek şekilde belirtilmemiştir. Gerçekten |K] nin tam bir noktadan
ibaret olması aşikar hali dışında bir polihidron için sonsuz çoklukta örtü komp­
leksleri inşa edilebilir.
Tanını : Bir polihidronu örten bir geometrik simpleksel kompleks inşa etmek
işine polihidronun iıçgenlemesi denir.
ı rvo
Simplcksler yerine bunlara topolojik olarak denk olan kümelerin alınması
- ile üçgenîeme kavramı genişletilebilir.
Örnek : Üç boyutlu Öklid uzayındaki topak yüzeyler, noktalar, eğriler ve
cğrisel üçgenler ile üçgenlenebilir.
Açıkça, eğer bir Öklid uzayının bir S topak alt kümesi bir P polihidronuna
eşyapılı ise, P nin bir örtü kompleksinin simpleksleri yerine, onların sabit bir
f : P ---- > S eşyapı dönüşümü altındaki görüntüleri alınarak S üçgenlenebilir.
Bir uzayı üçgcnlcmck için en önemli neden topolojik sabitler elde etmektir.
VI. bölümde simpîckscl komplekslerin homoloji grublarım ve bunlarla ilgili
Euler karakteristiği, Betti sayıları ve burulma katsayıları (Torsion coefficient)
olarak bilinen çeşitli sayılar tanımlayacağız. Bütün bunlar simpleksel kompleksler
ile ilgili polihidronların topolojik sabitleridir. Bunun anlamı şudur; Eğer K ve
L kompleksleri |K | ve |L | polihidronları eşyapılı olan iki kompleks ise, bunlara
karşılık gelen homoloji grubla.rı izomorftur. Yine bunlara karşılık gelen
ilgili sayılar eşittir. Özel olarak, verilen bir polihidronun iki örtü kompleksi izo­
morf homoloji gruplarına ve eşit ilgili sayılara sahiptir.
Böyle topolojik sabitlerle ilgili üç ana özellik göze çarpar.
Birincisi; Bu topolojik sabitler üçgenlemcîer ile tanımlanır.
Örnek : İki boyutlu yüzeîerde Euler karakteristiği
X (S) = F — E + V
dir. Burada F, E ve V sırayla bir üçgenlemenin yüzeleri, ayrıtları ve köşeleri sa­
yısıdır.
İkincisi; Onlar aslında üçgenîeme yönteminden bağımsızdırlar. Yani onlar polihidronlarm üçgenlcmclcrine göre değişmezler.
Üçüncüsü;
Bu değişmeme topolojiktir.
VI. bölümde bu üç özellikten sadece birincisi ile ilgileneceğiz. Homoloji
gruplarının topolojik sabitler olduğunun ispatı verilmediği gibi bir uzayın üçgenle­
nebilmesi için üzerine konulacak kisitlama.la.rda incelenmedi. Bu problemler
bu çapta bir kitab içinde incelcncmiyecck derecede karışıktır. Okuyucuya VI. Bö­
lümü okudukta.n sonra daha ileri eserleri incelemesi tavsiye edilir. Homoloji
gruplarının topolojik sa.bitler olduğunun bir ispatı L. Pontrajagin'in Foundations of Combinatonial Topology adlı eserinde vardır.
' 44. ÜÇGENLEMENİN ÖRNEKLERİ.
ÖRNEK I : Şekil 55 dc görüldüğü gibi sekiz tane ABE, AED, ADF, AFB,
BCE, CED, DCF, BFC cğrisel üçgenleri kürenin bir üçgenlemesini tayin
109
eder. Her üçgen ve ayrıta (kenara) mümkün iki yönlendirmeden, birisi verilme­
lidir.
A
Şekil 55. Kürenin üçgenlenmesi.
ÖRNEK 2: Tor için, bir dikdörtgenin karşı kenarlan özdeşlenerek elde cdilen bir temsil kullanılabilir. Şekil 56 da torun bir üçgenlcmcsi verilmiştir. Bu
üçgcnlcme 7 köşe, 21 ayrıt ve 14 üçgenden ibarettir. Bu üçgenlcmc içinde her bo­
yuttan mümkün en az sayıda simpleks vardır. Eğer F üçgen, E ayrıt ve V köşe sa­
yısı ise,
X (T) = F — E + V = 0
olduğunu görürüz.
A
110
B
C
A
ÖRNEK 3 : Gerçek izdüşel düzlem için şekil 20 a da verilen temsili kullana­
biliriz. Bu uzay için bir mümkün üçgenlense simplckslerinin yönlendirilmeleri ile
tam olarak şekil 57 dc verilmektedir.
Şekil 57. Gerçek izdüşel düzlemin üçgenlenmesi.
Bu üçgcnlemcde 0- simplcksleri A , B, C, D, E, ve F dir.
c = AB
f = ED
g = CD
h = CF
d = FE
i = BF
O
II
ö
*Tİ
1 - simplckslcıi:
j = AF
o*
II
o
>
a = BC
k = AE
1 = CE
m = BE
n = BD
0 = AD
dir.
a = DFE
rc
II
!>
m
2- simplckslcri:
p = ACD
y = CFD
5 = BFC
T! = EAC
0 = BEC
ı = BDE
£ = BAF
X = ADB
dir. I0 ve Iı değme matrisleri aşağıda şekil 58 ve 59 da verilmiştir. Kolaylık
olsun diye her satır ve sütunun başına simpîckslcrin kendileri yazılmıştır. Bu örnek
biraz ayrıntılı olarak verildi. Çünkü VI. bölümde bu örnekten zaman zaman söz
edilecektir.
111
a
b
e
d
e
f
g
h
A
B
C
/ •
1
-1
-ı
1
-1
a
b
.
.
-1
e
P
Y
5
,
.
#
.
E
K
-1
•
.
.
-1
-1
%
.
-1
.
.
•
1
1
1
. 1
1
1
1
Şekil 58. I0 değme matrisi.
-1
d
1
-1
-1
.
•
-1
-1
1
-1
-1
,
.
•
i
1
,
<*
1
-1
f
1
.
-1
B
0
I
!
-1
1
1
-1
-1
-1
-1
.
.
-1
F
.
!
j
k
1
m
n
0
E
1
i
a
D
-
.
.
.
-1
g
1
1
1
.
h
i
j
k
1
m
n
o
.
.
.
1
-
.
.
1
1
- 1
.
.
.
. .
1 .
-1
1
. -1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•
•
•
•
•
...............................
-1
1
-1
1
.
-1
.
1
-1
1
Şekil 59. I j Değme matrisi.
ÖDEVLER
1. Şekil 19 d?, verilen temsili kullanarak Klein şişesinin bir üçgenlemcsini inşa
ediniz. I„ ve I] değme matrislerini yazınız.
2. Şekil 57 de verilen gerçek izdüşcl düzlemin üçgenlcmcsinin her boyuttan müm­
kün olan en az sayıda simpleks ihtiva ettiğini ispat ediniz.
3. İki katlı torun bir üçgenlemcsini inşa ediniz.
4. Her topak yüzeyin üçgenlenebilir olduğunu ispat ediniz.
5. Bir n-simpleksin k-yüzlerinin sayısını bulunuz.
6. K herhangi bir simplckscl kompleks olsun. JKJ, polihidronunun bir normal
Hausdorff uzayı olduğunu gösteriniz.
7. Bir K simplckscl kompleksinin sonlu olması için gerek ve yeter şart, [K ] polihid­
ronunun topak olmasıdır teoremini ispat ediniz.
8. Bir topa.k polihidronun bir açık alt kümesinin de bir polihidron olduğunu
ispatlayınız.
112
ALTINCI BÖLÜM
HO M OLO Jİ TEORİSİ
45. GİRİŞ, Bu bölüm, simplcksel komplekslerin homoloji teorisine kısa
bir girişi kapsar. Bunun çeşitli homoloji teorilerinden sadece biri olduğu anlaşılma­
lıdır. Detaylı bir inceleme bu kitabın hacminin dışına taşar. Homolojinin dayandığı
fikir, mod 2 . denilen homoloji gruplarının aşağıdaki tanımı ile uygun bir şekilde
aydınlatılabilir. Kabul edelimki bir yüzey, bölgelere, eğrilere ve köşelere ayrılmış­
tır. Örnek olarak, bir yüzey bölüm 5 de anlatılan şekilde üçgenlenmiştir. Yüzeyin
bu alt bölünmesi içinde herhangi bir eğri düşünelim. Onun uç noktalan bu alt
bölünmenin köşeleri olabilir. Fakat diğer taraftan o. kapalı olabilir. ( § 34 deki
anlamda) ve onun uç noktları yoktur. Bu son durumda bu eğriye bir 1—devir
(1-Cycle), bir boyuılu devir, denir. Verilen herhangi bir 1- devir yüzeyin alt bölme
lerindcn biri olan bir bölgenin sınırı olabilir, veya olmayabilir.. F.ğcr bir 1—devir
bir bölgenin sınırı ise, ona bir -mirlivan 1—devir denir. Eğer iki tane 1—devir ikisi
birden bir smırlıvan 1-devir reşkil ederse, bunlar homologdurlar denir. Yani Iıer
ikisi bir bölge sınırlarsa, homologdurlar denir. Bu, bütün 1-devirlerin kümesi
üzerinde bir denklik bağıntısı tayin eder. Bundan dolayı bu kuma ayrık sınıflara
aynla.bilir, öylcki verilen bir sınıftaki iki 1-dcvir homologdur. Bu sınıflara homo­
loji sınıfları denir.
Homoloji sınıflarının toplamını doğal bir yolla tanımlayarak 1-boyutlu
homoloji grubları diye bilinen bir grup elde ederiz.
Homoloji gruplan başka boyutlarda da. tenzer bir şekilde tanımlanabilir.
Bu kavramlar yüzeylerden daha geniş bir uzaylar sınıfına genişletilebilir. Genel
olarç.k, homoloji gruplarını tanımlamak için yönlendiriri! kavramım vermek
gereklidir, mod 2 . homoloji teorisine ıkı yönlendirmen
önemi yoktur. Bunun
nedeni 52. paragrafta verilmiştir. Homoloji gruplarının önemi onların toj olojik
sabitler olması gerçeğidir. Bunun anlamı şudur; eşyapılı uzaylar, izomorf homoloji
grublarına sahiptirler. Gerçekte homoloji grubları, homotopi grubları gibi, homotopi tipinin sabitlerinden olma kuvvetli şartını sağlar (Ba.k. Bölüm 4). Bununla
beraber bu teoremlerin hiçbiri bu kitapta ispat edilmeyecektir.
Homoloji pek çok şekilde homotopiyi andırır. Örneğin tor üzerinde iki
1 -devirin homolog olması için gerek ve yeter şart onların homotop olmasıdır.
Fakat bu özellik genel olarak yüzeyler için doğru değildir.
113
Örnek : Şekil 60 da gösterildiği gibi bir tor yüzeyinden bir basit bağlantılı bölgenin
içinin çıkarılmasıyla elde edilen yüzeyi düşünelim. Şekilde çıkarılan bölge taralı­
dır. Bu yüzey üzerinde taralı bölgeyi sınırlayan eğri sıfıra homotop değildir. Çünkü
0, yüzsy üzerindeki bir notaya sürekli olara-k büzülemez; fakat o sıfıra homolog
dur. Çünkü o, bütün yüzeyin sınırıdır. Bir örnek daha, yine şekil 60 da gösterilen
C ı ve C 2 eğrileri homotop olmamalarına rağmen homologdurlar.
46. SONLU DOĞURULMUŞ ABEL GRUPLARI. Bu bölümün esasının an­
laşılması için A tcl gruplarının a.şağıda. özetlenen teorisi ve bilhassa sonlu doğurulmuş a.bol grupları hakkında bazı bilgilere ihtiyaç vardır. Bu hususta okuyucuya
W. Lcdcrmann’ın ’’Introduction to thc Thcory of Finite Groups” adlı kitabının
6. bölümünü okuması tavsiye edilir. Bukitabda, ispr.t edilmeyen bazı teoremlerin,
tanımların ve sonuçların bir özetini de vereceğiz. Cebirsel ön bilgilerle ilgilenmeyen
okuyucu ispatları atlaya.bilir. Fakat hiç olmazsa sonuçların ifadesini bilmeli­
dir.
ABEL GRUBLARI
Tanım : G bir grup olsun. G üzerindeki işlem yerdeğişme teli tini (axiom)
de sağlıyorsa G ye bir Abel grubu denir. Bu grup işlemini -f ile göstereceğiz.
Bu halde herhangi a., b, d e G için
(i) a + b = e e G dir. Ka.pa.hhk özelliği sağlanır.
(ü) a + b = b + a dır. Yerdeğişme özelliği sağlanır.
(iii) a + (b +_ = (a -)- b) -j- ^ = a.
b -f- d dır.
Sv) G nin özdeşlik elemanı 0 (sıfır) ile gösterilirse, a + 0 = 0 + a = a
sağlanır. Sıfır G nin x + x = x denklemini sağlayan tek elemanıdır.
(.) a elemanının tersi —a ile gösterilirse a + (—a) = (—a.) + a. = 0 dır.
Ayrıca
(vi) a + (—b) = a—b,
(vii) a + a = 2a
(viii) a + ... + a = n a
114
(ix) -(na) = - na
(x) (k + ıı) a = ka + na
(xi) n (a + b) = na + nb olduğu kolayca gösterilir.
(i) — (xi) özelliklerini sağlayan cebirsel yapılara Z, tam sayılar halkası
üzerinde bir modül denir. O halde her A tcl grubu ayni zamanda bir modüldür.
Tanım : a e G elemanının mertebesi ma = 0 denklemini sağlayan en kü­
çük m pozitif tam sayısıdır.
Bu halde a nın mertebesi sonludur. O’m mertebesi 1 dir. a ve -a’nın mertebeleri
eşittir. Eğer a’nm mertebesi m ve ka = 0 ise, m, k ’yi böler.
Tanım : A, G ninbir alt grubu olsun. A + g = { a + g : a e A} ya A nın
bir sağ yankümesi denir. A nın sağ yankümeleri G nin bir parçalanışı verir,
a j = 0 olmak üzere .
G = (A + a j) U (A + a 2) U ... U (A + an)
dir. Buradaki n sayısına, yani A nın sağ yankümeleri sayısına, A nın G içindeki
indeksi denir.
A + g ve A + h sağ yankümeleri, g-h e A ise, eşittirler.
A nın A + g sağ ve g + A sol yankümeleri eşittir. Yani G Abcl grubunun
bütün alt grubları normaldir. A alt grubunun sağ yankümeleri bir grup teşkil
ederler. Bu gruba bölüm grubu (fark grubu) denir, G — A ile gösterilir.
G — A içinde işlem
(A +g) + (A + h) = A + (g + h)
ile verilir.
—(A +g) = A-g dir. Kısaca, G den G-A ya, G nin elemanlarını modülo A ya
göre indirgeyerek geçeriz. Bu iş sabit bir m tam sayısına göre kalan smıflanrınm bulunmasına benzer. Bu halde, G = Z ve A = {0, + m, + 2m,...} ise,
G—A = {A + r : r = 0,1, ..., m- 1 )
dir. A ve B, G nin alt grupları ise,
A + B — {a + b : a e A, b e B)
de G nin bir alt grubudur.
A + B = B + A dır,
(A + B) + (A + B) = A + A + B + B = A + B .
A ve B, G yi doğurabilir. Bu halde, G = A + B dir.
115
Eğer A nB = {0} ve G = A + B ise, G ye A ve B alt grublarınm direkt
toplamı denir, G = A ® B yazılır. Yani, her g e G için g = a + b , a e A, b e B
ve eğer a + b = O ise, a = b = 0 dır. Burada g nin bileşenleri a ve b tek olarak
belirlidir. Aksi hadde
g = a + b = c + d olsaydı, a—e = d—b
e
A n B, o halde
a—e = d—b = 0 v o a = c, b = d oluyor.
Daha genel olarak, eğer her g e G, G nin A; alt grublarınm ai elemanları
ile g = a j + a2 + ... a t olarak yazılabilir ve eğer a ı + a 2 + ... + ar = 0
olması i = 1,2,..., r için aj = 0 olmasını gerektirirse G, A; lerin direkt toplamı­
dır denir ve
G = A ı © A 2 © ... © A r
yazılır. A-, nin mertebesi m i= |A i|= {A i nin elema.n sayısı} ise, |G |= m ı. m 2...m r
dir. G nin alt grublarmın direkt toplamı olarak bu şekilde ayrışması birbirini
takip eden birkaç adımda yapılır.
Yani G = A © A[ vc A ı = B©C ise G = A © B © C dir.
Eğer bir G toplamsal Abcl grubunun gı, ..., gs elemanları varsa öyleki,
G nin her elemanı U !g ı+ u 2g 2 + . . . + u sgs şeklinde ifade edilebilsin, bu takdirde
G ye sonlu doğurulmuş bir Abcl grubu denir. Bura.da u 1( u 2,...,us tam sayılardır.
Bu tür grubların a.şağıdaki özelliklerine ihtiyacımız olacaktır.
Teorem A: Eğer G sonlu doğurulmuş bir Abcl grubu ve H, G nin bir alt
grubu ise, H sonlu doğurulmuş bir Abcl grubudur.
ispat : Farzedelim ki s = 1 dir. G nin her elemanı ug şeklindedir.
Burada, u bir tam sayı vc g, G nin bir elemanıdır. H,G nin bir alt grubu olsun.
H nin her clemanıda ug şeklindedir. H nin elemanlarına karşılık gelen u’nun
mümkün değeri sadece u = 0 ise, H özdeşlik elemanından ibarettir. Ve teoren
aşikar olarak sağla.nır. Eğer u + 0 olace.k şekilde ag e H elemanları varsa,
u pozitif olmak üzere ug e H elemanları da vardır. Çünkü, eğer ug e H ise,
H nin bir grup olmasından -ug e H dir. ug e H olmak üzere u’nun en küçük
pozitif değeri v olsun, uge H olmak üzere u’nun sıfırdan farklı herhangi bir
uQ değeri için uQ = qv + r yazabiliriz. Burada q,r tamsayılardır veO <, r < v
dir. H nin u 0g, vg elemanlarını düşünelim. H bir grup olduğundan q (vg), H nin
bir elemanıdır ve böylece
u0g—qvg = (uo —dv) g = rg,
H’nin bir elemanıdır. Fa.kat ug e H olmak üzere u’nun en küçük pozitif değeri
v dir. Bundan dolayı r = 0 dır. Buradan uDg = q (vg) vc böylece H nin
herhangi bir elemanı q (vg) şeklindedir. Bundan dolayı H, bir tek vg e H elc-
116
manı iîc sonlu doğurulmuştur. Böylece s = 1 olması halinde teoremin doğru
olduğunu ispat ettik. Genci halde teoremin doğru olduğunu ispat etmek için tü­
mevarım yöntemini kullanırız, s = m için teoremin doğru olduğunu kabul edelim,
G, (m + 1) tane g u g2,..., gm+ı elemanlarıyla doğurulan bir Afcel grubu ol­
sun. u 1ar tam sayılar olmak üzere u ıg ı+ u 2g2 + ---+uragm şeklindeki ele­
manlar G nin bir G° altgrubunu teşkil ederler. H ile G° ’m arakesiti H°, G° ’m
bir alt grubudur. G° sonlu doğurulduğundan tümevarım hipotezinden dolayı H°
da sonlu doğurulmuştur.
h = vjg! + ... + vm+ı gm+„ H nın bir elemanı olsun. Eğer H nm
bütün elamanları için vm+1 sıfır ise, H, G° nin içindedir. Böylcce tümevarım
hipotezinden dolayı H sonlu doğurulmuştur. Eğer H nın bazı elamanları
için vm+I sıfırından farklı ise, vm+1 in pozitif olduğu bazı elemanları vardır.
Çünkü H bir grup olduğundan h e H oldukça, —h e H dır. vm+1 in mümkün
olan en küçük pozitif değeri aldığı, H nin elemanı h' olsun. vm+1 in bu değerini
v'm+ı üç gösterelim. Eğer vm+1 # 0 ise,
Vm+ı = q V'm+1 + r
yazabiliriz. Burada q ve r tam sayılardır veO
r < v 'm+1 dir.
h—qh' = (vj—qv',) gı + ... + (vm+1 —qv'm+i) gm+ı
elemanını düşünelim, h ve h', H nın içinde olduğundan bu eleman H dadır.
Fakat gm+1 in katsayısı r dir. Ve r, v'm+I den daha küçük negatif olmayan
bir tam sayıdır. Bundan dolayı r = 0 dır. Buradan h—qh', G° ’ın bir
elemanıdır ve böylcce h—qh', H° ’ a aittir. Fakat H° sonlu doğurulmuştur.
Dolayısı ile H, h' ve H° ’ın doğurayları ile sonlu doğurulmuştur. Bundan dolayı,
eğer teorem s = m için doğru ise, s = m + 1 için de doğrudur. Fakat teorem
s = 1 için doğrudur. Buradan teoremin her s için doğru olduğu çıkar.
Teorem B : Eğer G sonlu doğurulmuş bir Atol grubu ve H, G nin bir alt
grubu ise, G-H bölüm grubu da sonlu doğurulmuş bir Afcel grubudur.
îspat : G-H, G nin elemanlarının sınıflarından ibarettir. G nin iki elemanı­
nın ayni sınıftan olması için gerek ve jeter şart onların farkının H da olması­
dır. (Ledermann, ayni eser, sayfa 138’e b?.k). Böyle sınıfların toplamı
[g] + Cg'] = [g+ g’J
ile tanımlanır. Burada g,g' c G dir. Eğer u 1 ,u 2,...,us tam sayılar ise, G nin
herhangi g u g2, ..., g5 elemanları için
[u,g! + u 2g 2 + ... + usgs] = u ^ g j] + u 2 [g2] + ... + Us [gs]
olduğu çıkar. Bu nedenle, eğer G, gı,...,gs i!e doğurulmuş ise, G—H da [gj]..... [gs]
ile doğurulur.
117
Teorem C (Taban teoremi): Eğer G sonlu doğurulmuş bir Abel grubu ise,
mertebeleri sır?, ile m ı,...,m q olan e ı,..., eq elemanları vardır. (Öyleki m^mjCi
= 0 denklemini sağlayan sıfırdan farklı enküçük pozitif tam sayıdır.) Öyleki m;,
mj.j ’i böler (i = 2, 3,
q) ve yine mertebeleri sonsuz olan fj, f 2,
fr ele­
manları vardır, öyleki G,
G = (Cl) © (e2) © ... © (cq) © (fi) © ... © (fr)
şeklinde bir direkt toplam olarak ifade edilebilir. Burada (cj), Ci ile doğurulan,
mertebesi m; ol?.n devirli gruptur ve (fj), fj ile doğurulan sonsuz devirli gruptur,
m j, ..., mq ve r sayıları, G ile bir tek şekilde belirlidir.
Bu teorem, sonlu doğurula.n Abel grupla.rı üzerinde temel teoremdir. Teo­
remin bir ispatı Ledcrm?.nn’m kitabında, sayfa 155 de bulunmaktadır, m ı..... m,
sayılarına G nin burulma katsayıları (torsion coefficients) ve r ye G nin rank't
denir.
Teorem D: Eğer H, sonlu doğurulan bir G Abel grubunun bir alt grubu ise,
G nin rankı, H nin ve G-H nm rankları toplamına eşittir.
ispat : Bir Abel grubunun gı,...,gs elemanlarının bir kümesine lineer bağım­
sızdır denir. Eğer Ujg! -f ...+ usgs = 0 denklemi i = 1,2,...,s için Ui = 0
olmasını gerektiriyorsa. (Burada u 1ar tamsayıdır). Sonlu doğurulan bir Abel
grubunun rankının lineer bağımsız elemanların maksimum sayısına eşit olduğu­
nu gösterelim, i = l,...,r için f; b r yukarıda ifadesi bulunan taban teoremindeki
gibi mertebesi sunsuz olan elemanlar olsun, f ’ler lineer bağımsızdır. Çünkü
G, (eı), ..., (eq), (fı), ..., (fr) nin direkt toplamıdır. Eğer
Ujf! + . . . + u rfr = 0
ise, bu durumda, i = l,...,r için u ^ = 0 dır. Fakat f, nin mertebesi sonsuz
olduğundan Ujf; = 0, u; = 0 olmasını gerektirir. Bu nedenle G nin cn?.z r tane
lineer ağımsız elemanı vardır. Şimdi, g, G nin herhangi bir elemanı olsun. Bu
durumda bazı Vı,...,vq, wı,...,wr tam sayıları için
g = v jcj + v 2c 2+ ...+ vqeq +
+ . . . + wrfr
yazabiliriz. Buradan, ej nin mertebesi m; ve mj, m;_ ı ile bölünebildiğinden
mqg = mq W ıfı+ .. + mqwrfr
dir. Bundan dolayı g /j,.../,. elemanları lineer bağımlıdırlar. Buradan (r+ ı)
clcmanlı her kümenin lineer bağımlı olduğu hemen çık?.r. Buradan G nin lineer
bağımsız elemanlarının maksimum sayısı G nin rankidir.
r, s, t sırayla G, H ve G-H nin rankla.rı.olsun, h ^ ..., hs, H ’nin lineer
bağımsız elemanlarının bir sistemi ve k j, .... kt, G-H ’nin lineer bağımsız ele­
manlarının bir sistemi olsun. Her kj, G nin elemanlarının bir sınıfıdır; gi; k-.
118
sınıfının bir temsilcisi olsun. O halde g;, G nin k; = [g;] olan bir elemanıdır.
Eğer u 1ar ve v lcr tamsayılar olmak üzere
U]gı + ...+ u tgt+ v 1h 1+ . . . + vshs = 0
ise, Teorem B nin ispatında sözcdilen özellikten dolayı bir elemanının
u ı [gj] + . . . + u t[gt] + vı [ h ı] + ...+ v s[hs] = 0
dır. Fakat H nin bir elemanının sınıfı, sıfır sınıfı olduğundan u ^ + ...+ ut kt = 0
dır. Buradan k’lar lineer bağımsız olduklarından i = l,2,...,t için Uj = 0 dır.
Bundan dolayı Vjhı + ...+ v shs = 0 dır. Fakat h ’lar lineer bağımsızdırlar ve
bu nedenle i = 1 , ...,s için Vj = 0 dır. Bu, gı,...,gt, h 1 (...,hs nin G nin lineer
bağımsız elemanları olduğunu gösterir. Böylece r
s + t dir.
g, G nin herhangi bir elemanı ve k, G-H içinde g’ye karşılık gelen G nin
elemanları sınıfı olsun, k = [g]. Bu takdirde hepsi bir den sıfır olmayan bazı u ı,...,u t
tam sa.yıları için
u k + u ık ! + ...+ utkt = 0
dır. k ı,..,,k t lineer bağımsız olduklarından u = 0 dır. G nin h = u g + u 1g 1 ...utgt
elemanını gözönüne adalım. Bu elemanın G-H içindeki sınıfı u k + u jk j + ...+ utkt
olduğundan, ki o varsayımdan sıfırdır, h e H olduğu çıkar. Buradan hepsi birden
olmayan v, vı,...,vs tamsayılar için vh + v ^ ı + ...+ vshs — 0 dır. h ı,...,h,
lineer bağımsız olduğundan v + 0 dır. Buradan
uvg+ m vg! + ...+ utvgt + v jll 1 + > ..+ vshs = 0
dır ve g nin uv olan katsayısı sıfırdan farklıdır. Böylece G nin s + t+ 1 eîemanlı
her alt kümesi lineer bağımlıdır ve buradan r <. s + t dir. Bu önceki sonuçla birleştirilirse, r = s + t olduğu görülür.
Sonlu doğurulmuş Abel gruplarının yukardaki özelliklerine ilaveten aşağı­
daki teoreme de ihtiyacımız olacak:.
Teorem E : G herhangi bir toplumsal grup olsun. Bbir H<=G, alt küme­
sinin G nin bir alt grubu olması için gerek ve yeter şart a,b e H iken, a-b e H
olmasıdır.
İspat : H, verilen şartı sağlasın. Yani a,b e H iken, a-b e H olsun,
(i), a-a = 0 olduğundan 0 e H dır. (ii) a e H, -a e H olmasını gerektirir. Çün­
kü (i) den 0 e H dır. Böylece 0-a = -a e H dır. (iii). (ii) den dolayı a., b e H,
ve a, -b e H olmasını gerektirir. Böylece a + b = a- (-b) e H dır. (iv) H
içinde birleşme (associative) özelliği sağlanır. Çünkü G bir grup ve H, G nin bir
alt kümesidir.
Karşıt olarak H, G nin bir alt grubu olsun. a,b e H olması a, -b
olasını ve böylece a - b e H olmasını gerektirir.
e
H
119
47.
ZİNCİRLER. K, r-boyutlu bir geometrik simpleksel kompleks ve
(xp (p = 0,1,...,n) K içindeki p- simplekslerin sayısı olsun. Bir cp tam p- zinciri
aptaneuı,U 2, .... u
tam sayılarının sırasıya, K nm op, op ...... o p ,
öp
Ctp
p — simplcksleriyle birleştirilmiş bir toplamıdır. Simgesel olarak
cp
= uxap + u 2o p
+ ... + u
op
UP
UP
=
«P
2 U; o p
j_ J
•
yazarız ve cp yi tam sayı katsayıları ile K nm p-simpleksleri üzerinde bir lineer
form olarak düşünürüz, - o p simpleksini (-1) o p şeklinde yazarız.
Eğer cp = 2 ui ° f ve c£ =
toplamını 2 (ui + v0
2 vi öf iki tam p-zinciri ise, bunların cj + cf
tam p-zinciri olarak tanımlarız. Bu şekilde tanım­
lanan toplama göre K nm bütün p-zincirilerinin kümesi bir Cp Abcl grubu teş­
kil eder. Çünkü
i. İki p-zincirin toplamı bir p- zincirdir.
ii. Birleşme (associative) özelliği sağlanır, çünkü tam sayıların toplamı
birlcşimlidir.
iii. Bütün katsayıları sıfır olan p-zinciri (sıfır p-zinciri) grubun sıfır elama­
nıdır.
iv. 2 uî a ? nin tersi 2 (-uO öf dir.
v.
Yerdeğişme (comutative) özelliği sağlanır, çünkü tam sayılarının toplamı
yerdcğişimlidir.
Örnek : Şekil 57 nin kompleksine bakalım. Burada A + C + 2E bir tam
0-zinciridir. 2a — 3c — f bir tam 1 — zinciridir.
A + C + 2E zinciri için İA -f- 0B + İC + OD -f 2E + OF yaz­
mak daha doğru olacaktır. Faka.t, Iop yer ne op yazmak, katsayıları sıfır olan
terimleri ihmal etmek ve p nin değerine bakmaksızın sıfır p-zinciri için sıfır yazmak
daha uygundur. Gerçekten sıfır p-zinciri sıksık 0 olarak alınır.
48.
P
SINIRLAR. Bir K kompleksi içinde p > 0 için bir o , p-simpleksi-
2 hy’ 1 v f'1, tam (p-l)-zinciridir. Burada r ı f 1, of ve r f ' 1
j
arasındaki değme sayısıdır. Bir O-simplcksinin sınırı sıfır olarak tanımlanır.
nin sınırı A üf =
120
Sınır tanımı, zincirlen; şu şekilde genişletilir, p > O için
cp
=
2^?
tam
p-zincirinin Acp sınırı
A cp = 2 u, A <*f =
i
2 u, pR'1 tP-1
i,İ
tam (p-l)-zinciridir. Bir O-zincirinin sınırı sıfırıdır. Sınırların esas özelliği aşağıdaki
teorem ile ifade edilir.
Teorem 6.1 : Bir p-zincirinin sınırının sınırı sıfırdır,
yani A (A cp) =
O
dır.
ispat : Eğer p > O ise, Acp = A Iıp of = 2«. P f j1 T[ '‘ zinciridir. Bunun
da sınırı, p = 1 ise, tanım gereğince sıfırdır ve p > 1 ise, 2 tp p f_1 p j£ 2co£-2’
y,k
bir tam (p-2) -zinciridir. Burada co£~2 1er (p-2)-simpleksleridir. Fakat Teorem
5.1 den dolayı 2pj]_1 P fk_2 = 0 Buradan A (Acp) =
0 dır.
Örnek : Şekil 57 deki kompleksin içinde a + 2 p + 38 + 0 tam 2-zincirinin sınırı A (a + 2 P + 38 + 0) = (d + e + f) + 2 (-b + q — o) -f3 (—a — h + i) + (—a — 1 + m) = — 4a — 2b + d + e + f +
+ 2g — 3h — 1 + m + 3i — 2o dur. Hcrbir 2-simpleksin sınırı 1 1 değme
matrisinden kolaca elde edilir. Mesela a nın sınırı a nın bulunduğu satırdaki sı­
fırdan farklı elemanlara karşılık gelen 1-simplekslcrinin toplanması ile elde edilir.
Eğer cj ve c£ iki p-zinciri ise, A (cp +
Bundan dolayı A> CP den
c£) =
A d, + A c!| dir.
CP 1 içine bir homomorfizmdir.
49. DEVİRLER.
Tanım:
bir
Bir K
p-zinciridir.
kompleksi
Bütün
içinde
p-devirlerin
bir
tam p-devir
sınırı
sıfır olan
kümesi, Cp nin ZP ile gösterilen bir
alt grubudur. Çünkü, eğer cp ve cp iki p-devir ise, A ^ = A c! = 0
olup A (e? — cp)
=
A
—
A c, =
0 dır. Böylccc, cp — c£ de bir
p-devirdir. Bundan dolayı teorem E gereğince bütün p-devirlerinin kümesi, Cp nin
bir alt grubunu teşkil eder.
Teorem 6.l ’in hemen bir sonucu, bir (p+l)-zincirinin sınırı bir p-deviridir.
Çünkü, cğcrcP — A cp+ i ise, A cp = A (A cp+i) = 0 dır. Bununla bera­
ber, bir p-devirin bir (p-l)-zincirinin sınırı olması gerekmez.
121
Örnek : Şekil 57 nin kompleksinde Act = d + e + f dir. Bundan dolayı
bir 2-simplcksin sınırı olan d + e + f, bir 1 -devirdir.
A (d + e + f) = (E — F) + (—D + F) + (D — E) = 0
olup d + e + f nin bir 1 -devir olduğu kolayca gerçeklenir.
Örnek : Şekil 57 nin kompleksi içinde a + b + c de bir 1-devirdir.
Çünkü A (a + b + c) = (—B + C) + (A — C) + (—A + B) = 0 dır.
Fakat a + b + c bir tam 2-devirin sınırı değildir. Çünkü, eğer öyle olsaydı
v ı>v 2v . v ı o tam sayıları için
a + b + c = A (vı « + v 2 p + ... + v 10 x) = vj (d + c + f) + v 2 (—b + g —o)
+ V3 (—e—g + h ) + v4 (—a—h + i) + vj (—c—i+ j) + V6 (—d—j+ k ) + V7
(—b—k + 1) + v8 (—a —1 + m ) + v9 (—f—m + n) + v 10 (—c—n + o ) elde
ederdik. Bu denklemi düzenleyip aynı 1-simplekslcrin katsayıları eşitlenirse
d, c,f, g, ..., o ’nun katsayılarından bütün v lerin eşit olduğu görülür. Bu du­
rumda, denklem
a + b + c = — 2vj (a + b + c)
olur. Bu da 2vj = 1 olmasını gerektirir. Fakat Vj bir tam sayı olduğundan bu
eşitlik imkansızdır.
Örnek : Ayni kompleks içinde sıfırdan farklı tam 2-devirler yoktur. Çünkü,
Yutardaki örnekte kullanılan yöntem ile
A (vı « + v2p + ... + v 10 X) = 0
denklemi bütün v’lerin sıfır olmasını gerektirir. Böylece bu uzay için Z 2 grubu
bir tek elemandan, sıfır 2-zincirinden ibarettir.
Tanım : cp+1 bir (p + 1)-zinciri olmak üzere
vire bir sınırlayan p-devir denir.
A cp+1
şeklindeki bir p-de-
Verilen bir K kompleksi içindeki bütün sınırlayan p-devirlerin kümesi, Bp>
Zp nin bir alt grubudur. Çünkü, eğer cf = A cf +1 ve c^ = A cf+ 1 ise, cj — c£
= AcJ +1 — A cf +1 = A(c[+1— cPf l ) olup cj — c£ bir sınırlayan p-devirdir.
Böylece Bp nin, Zp nin bir alt grubu olduğu teorem E den çıkar.
Böylece herhangi bir simpleksel K kompleksine iliştirilen grupların, CP>
Zp ve Bp ü ç ailesi vardır. Bunlar Bp <= Zp c Cp bağıntısını sağlarlar. Ger­
çekten A dönüşümü, CP den BP*1 üstüne bir özyapı dönüşümüdür (homomorp­
hism). A altında Zp nin resmi sıfırdır.
50. HO M OLO Jİ GRUPLARI, cj ve cf iki tam p-zinciri olsun. Eğer
bir sınırlayan p-devir ise,
— c£
c£ ye homologdur denir, c, ~ clj yazılır, özel ola­
rak, eğer
deriz.
cp
bir sınırlayan p-dcvir ise,
Teorem :
cp
~
O yazar ve
cp ,
sıfıra homologdur
bağıntısı, bir denklik bağıntısıdır.
İspat : (i) cp — cp = 0 olduğundan herhangi bir p-dcvir kendisine homo­
log olup ~ , yansıma özelliğini sağlar.
(ii)
—
= Ac p+1 olması,
c£
c£
—
— A (—cp+1) olmasını gerektirdi­
ğinden ~ , bakışım özelliğini sağlar.
(iii) Eğer cp — c£ = Ac ?+1 ve cp — cp = A c£+1 ise,
cp —
=
A
(cf+I + cp+1) olup ~ , geçişme özelliğini sağlar. Böylece bu
bağıntı, bütün p-zincirlerinin kümesini, p-boyutlu tam homoloji sınıfları denilen
ikişer ikişer ayrık sınıflara parçalar Özel olarak
bütün p-devirlcrin küme­
sini ayrık sınıflara parçalar. Eğer [cp[ ve [cp] p-devirlerin böyle iki sınıfı ise,
bunların toplamı
[c?] +
[c$] =
K + <£]
ile tanımlanır. Bu toplamanın birtek şekilde tanımlandığını göstermek kolaydır.
Çünkü, toplam sınıfların temsilcilerinden bağımsızdır. Eğer [0], sınırlayan devir­
lerin sınıfını gösterirse,
[c p ] +
[0 ] =
tCP] v e [cp] +
[—
cp]
=
[0 ]
dir. Bundan başka p-devirlerin toplamı birleşimli (associativc) olduğundan bu
işlem birleşimlidir. Bu nedenle p-boyutlu homoloji sınıflarının kümesi bir HP
Abel grubu teşkil eder. Bu gruba K nin p. tam homoloji gruba denir. Şüphesiz
bu grup, ZP — BP bölüm grubudur.. (Bazan ZP — BP grubu Zp /BP ile gösterilir.
Fakat bu gösterimi çarpımsal gruplar için ayırmak ve Abel grupları için devamlı
toplama simgesini kullanmak daha uygundur.)
Cp — Zp bölüm grubunun anlamı aşağıdaki teoremle gösterilir.
Teorem 6.2 : p = 1,2,... için Cp — Zp bölüm grubu, BP_I ile izomorftur.
İspat : p > 0 için her
cp,
p-zincirine birtek Acp, (p-l)-zinciri - karşılık
gelir. İki tane c\ ve c £ , p-zincirlerinin aynı (p-l)-zincirinc karşılık gelmesi için
gerek ve yeter şart A (c? — cp) = 0 olması veya cp — cp nin bir p-devir ol­
masıdır. Cp — ZP nin elemanları p-zincirlerinin sınıflarıdır. Dolayısı ile iki
zincirin aynı sınıf içinde olması için gerek ve yeter şart onların farkının bir
123
p-devir olmasıdır. Eğer
[cp] böyle bir sınıfı gösterirse, bir bire-bir
f : CP — Zp ---- >■ Bp dönüşümü, f ([cp]) = Acp ile birtek şekilde tanımlanır.
Bundan başka
f ([cÇ] +
[<$]) = A (cf + c") = Ac? + Ac$ = f [cp + f [cp
dir. Böylcce f bir izomorfizmdir.
Tanım : Boş olmayan ve hiçbir ortak simpleksi bulunmayan iki alt komplek­
sin birleşimi olarak yazılmayan bir K kompleksine bağlantılıdır denir. K nin
bağlantılı olması için gerek ve yeter şart, |K | nin bağlantılı olmasıdır. Bağlantılı
bir kompleksin 0-boyutlu homoloji grubunun tam sayıların toplamsal sonsuz
devirli grubuna izomorf olduğunu göstereceğiz. Bunun için önce aşağıdaki
teoreme ihtiyacımız vardır.
Teorem 6. 3 : Bir K kompleksinin bağlantılı olması için bir gerek ve yeter
şart, her P, Q köşe çifti için P; ve Pi+ı K ’nin bir 1-simplcksinin köşeleri
olacak şekilde P yi Q ya bağlayan bir
P j = P, P 2, P ,..... Pr = Q
köşelerinin dizisinin var olmasıdır.
İspat : K bağlantılı bir kompleks olsun. Eğer P, K nin her hangi bir köşesi
ve Kp, teoremin ifadesindeki gibi, bir dizi köşe ile P ye birleştirlebilen K nin bütün
köşelerinin kümesi ise, köşeleri K 0 içinde olan K nin tüm simplckslcrinin kümesi
K nin bir L alt kompleksini teşkil eder. Eğer varsa, L içinde olmayan bütün simplekslcrin kümesi L yi kesmeyen ikinci bir M alt kompleksi teşkil eder. Fakat
K bağlantılı oluğundan M boştur. Buradan bütün köşe çiftleri anlatılan şekilde
birleştirilebilir.
Karşıt olarak, köşelerin bütün çiftlerinin bu yolla birleştirilebildiğini kabul
edelim. Eğer K bağlantılı değilse, boş olmayan ve ayrık iki L ve M alt kompleksin
birleşimidir. P, L nin ve Q, M nin bir köşesi olsun. P yi Q ya bağlayan bir P j,
P 2,--> P m , Pr dizisini düşünelim. P], bu dizinin M de bulunan birinci terimi ol­
sun. Bu durumda i > 1 ve böylece P,^ vardır ve L nin içindedir. Bundan dola­
yı Pj. j Pi. 1-simpleksi K nin olamaz. Böylece K nin bağlantlı olmadığı kabulü
yanlıştır.
Teorem 6.4 : Eğer K bağlantılı bir kompleks ise, H° tam homoloji grubu,
tam sayıların toplamsal grubuna izomorftur.
İspat: P ve Q, K nin herhangi iki köşesi olsun. Bu durumda Pb Pi+ x bir 1-simpleksin köşeleri olacak şekilde K nin köşelerinin bir P x = P, P 2... Pr.ı, Pr = Q
dizisi vardır, cr/, Pi+ı Pj, 1-simpleksi olsun. Bu durumda,
Aa* __ p. — p.+1 djr. Buradan, u herhangi bir tamsayı olmak üzere
A
i=l
u c 1 = uP — uQ dur. Bundan dolayı uP, uQ ya homologdur. Böy1
lece eğer 2«i cr? bir 0-dcvir ise, o, ( 2uı) P, O-devirine homologdur. O halde
K nin her 0-deviri bir uP ye homologdur. Burada u bir tam sayıdır. Bu şekil­
deki farklı iki uP ve vP, O-devirİeri homolog değildir. Çünkü, eğer homolog ol­
salardı, (u—v) P, bir sınırlayan 0-devir olacaktı, u =£ v olduğundan bu im­
kansızdır. Bundan dolayı K nin û-devirlerinin homoloji sınıfları ile tam sayılar
kümesi arasında bir birc-bir eşleme vardır. Bu eşleme altında eğer, u ve v iki
holmoloji sınıfına karşılık gelirse, u + v de onların toplamına karşılık gelir.
Buradan H°, tam sayıların toplamsal grubuna izomorftur.
Örnek : Şekil 57 deki kompleks için H° grubu, teorem 6.4 den ve kompleksin
bağlantılı, olmasından dolayı tam sayıların toplamsal grubuna izomorftur. Şimdi,
dolays.z yöntemlerle H 1 ve H 2 gruplarını bu kompleks için tayin edelim.
H 1 grubu : c 1 =
2 ui°! bir tam 1-devir olsun. Bu durumda A c 1 = 0 dır.
i
Böylecc j = 1,2,..., 6 için 2 uiPy = 0 dır. Eğer c 1 bir sınırlayan 1-devir ise,
i
bir c2 =
2 vht h 2-zinciri için c> = A e2 dir. Buradan Suho£ = 2 vht|Ji aj
h
h
h,i
dir. Bu denklemde katsayıları eşitliyerek v„ ...,vl0 bilinmiyenlerine göre aşağıdaki
onbeş denklemi elde ederiz.
2 Vıdlhi ~ ui (i — I,---» 15, h = 1 ,..., 10)
h
Bu denklemlerin daha önceki altı denklem ile birlikte incelenmesi, bu denk­
lemlerin tutarlı olması için gerek ve yeter şartın
—2vl0 — tı3 + u l0 + u„ + u 12 + u l3 + u 14
denkleminin v,o için bir çözümü olması, olduğunu gösterir. Çözümün olması
için gerek ve yeter şart denklemin sağ tarafının çift olmasıdır. Buradan, bir boyutlu
tam iki farklı homoloji sınıfının varlığı çıkar. Bunların biri sınırlayan 1-devirlere
ve diğeri sınırlamayan e 1 devirlerine karşılık gelir. 2c* bir sınırlayan bir 1 -devirdir.
Bu halde H* mertebesi 2 olan bir devirli gruptur.
H 2 grubu: Eğer c2 == 2 uiCTi bir 2-dcvir ise, bazı hesaplamalardan sonra
i
bütün u’ların eşit ve 2 u, = 0 olduğunu buluruz. Buradan u’lar tamsayı olduğun­
dan kompleksin birtek 2-deviri sıfır 2-deviridir. Bu nedenle H2, sadece özdeşlik
elemanından ibarettir. Yani H 2 aşikar gruptur.
125
51.
BETTİ SAYILARI. Bir K kompleksi üzerinde herhangi bir tam p-zin-
ciri, a ? , ..., crp p-simplekslerinin tamsayı katsayılaıı ile sonlu bir toplam olarak
Up
ifade edilebilir. Bu p-simpleksleri p-zincirlerinin bir doğuraylar kümesidir. Bu ne­
denle CP grubu sonlu doğurulmuş bir Abel grubudur. Böylece pragraf 46 daki teo­
rem A ve B den dolayı Zp , Bp ve HP = ZP — Bp grupları da sonlu doğu­
rulmuş Abel gruplarıdır. O halde p. homoloji grubu HP) teorem C nin şartlarını
sağlar. HP nin rankına K nin p. Betti sayısı denir ve bp ile gösterilir. HP nin
m,, m2,...,m q burulma katsayılarına K ninp-boyutlu burulma katsayıları denir. HP
nin ifadesinde görülen sonlu devirli grupların direkt toplamına p. burulma grubu
denir. HP nin ayrışımında görülen sonsuz devirli grupların direkt toplamına da
p. Betti grubu denir. Eskiden Betti grubu, p. homoloji grubu anlamında alın­
mıştı.
Aşağıdaki teorem, Betti sayılarının değme matrisinden nasıl hesaplanabilece­
ğini gösterir.
Teorem 6.5 : Eğer n-boyutlu bir K kompleksinin p-simplekslerinin sayısı
cip ve Ip değme matrisinin rankı rp ise, p. Betti sayısı bp, bö = a„ — r„ ve
p = 1 ,2,..., n için bp = ap — rp — rp., ile verilir.
İspat : Cp grubu, o j , . . . , op
Cip simplekslerinin tamsayı katsayılı bütün
lineer bileşimlerinden oluşur. Buradan Cp nin rankı ap dir. Bp grubu, cp+ i
bir ( p + 1 ) -zinciri olmak üzere A cp+1 şeklindeki bütün p-zincirlerinden oluşur.
Buradan Bp nin her elemanı.
'
2 uflS of
i.j
şeklindedir. Böylece Bp grubu T, t)j] o[ elemanları ile doğurulur. Bu nedenle
Bp nin rankı, Ip matrisinin rankı olan rp dir. (Ip matrisleri sadece p = 0, 1 ,...,
n-1 için mevcuttur. Bununla beraber p ¡> n için rp rankım sıfır olarak tanımla­
rız.) p. Betti sayısı, bp, tanım gereğince Zp — Bp nin rankıdır. Fakat paragraf
46 daki teorem D gereğince Zp nin rankı Bp ve Zp — Bp nin rankları toplamına
eşittir. Yani rp + bp ye eşittir. Eğer 0 < p < n ise, Cp — Zp> teorem 6.2
gereğince Bp l e izomorftur. Bundan dolayı tekrar teorem D yi kullanırsak Cp
nin rankı Zp ile BP 1 in rankları toplamına eşittir. Buradan Zp nin rankı,
cip — fp-ı’e eşittir böylece
cip
rp.x — bp -j- rp
dir. Eğer p = 0 ise, CP = Zp dir ve böylece b0 = a0 — r„ dır. Eğer p = n
ise, hiçbir ( p + 1) -zinciri olmadığından sınırlayan hiçbir p-zinciri yoktur. Buradan
126
bn, Z“ nin rankına eşittir. rn = Oalındğmdan bn = an — rn — rn.t dır.
Eğer p > n ise , bp, ap, rp ve rp., in
hepsisıfırdır. Bu durumda
formül aşikard
Örnek ; Şekil 57 deki komplekste ct0 = 6, ccı = 15, ct2 = 10, rQ = 5
ve r x = 10 dur. Buradan bG = 1, bı = O ve b2 = 0 dır.
Yukarıdaki bağıntılarda r„ ,iı,..., r„ nin yok edilmesi, 2 (-l)pbp ve 2 (-l)pap
P
P
ifadelerinin aynı değere sahip olduğunu gösterir. Bu değere K nin Euîer Karak­
teristiği denir ve x (K) ile gösterilir. Yani
% (K) =
2 (-Dp hp = 2 (-Dp «p
P
P
Örnek : Şekil 57 deki kompleks için
Euler karekteristiği % (K) = 1 dir.
Çünkü x (K) = a 0 — «ı + a 2 =
6 15 + 10 = 1 dir.
İki boyutlu yüzeyler için Euler Karakteristiği
X
(K) = F -
E + V
dir. Burada F, E ve V sırasıyla yüzeyin bir üçgenlemesinin yüzleri, ayrıtları (kenar­
ları) ve köşeleri sayısıdır. Çünkü, aa = V,
= E ve a2 = F dir.
52. KEYFİ BİR ABEL GRUBU ÜZERİNDE ZİNCİRLER.
Tam zincirler paragraf 47 de tanımlandı. Zincirlerin pekçok özellikleri eğer
katsayılar tam sayılardan daha genel karakterli elemanlarla değiştirilirse de mu­
hafaza edilir. Eğer G toplamsal o!a:ak yazılan bir Abel grubu ise, G üzerinde
bir p-zinciri G nin ap tane gı,g 2,...,g„ elemanları ile birleştirilmiş K nin a p tane
tip
p-simplekslerinin bir kümesidir. Böyle bir p-zinciri uygun olarak
cp
= gı<rp + g2 o 2 + - + SQp <*pp
ile temsil edilir. G üzerindeki p-zincirlerinin toplamı tam p-zincirlerinde olduğu
gibi doğal bir şekilde tanımlanır. Bu taplamaya göre G üzerindeki bütün p-zincir­
lerinin kümesi C p(K,G) ile gösterilen bir Abel grubu teşkil eder.
Eğer G, rasyonel sayıların toplamsal grubu ise, G üzerindeki bir p-zincirine
bir rasyonel p-zinciri denir. Benzer şekilde gerçek (real) p-zinci.terinden ve modulo
bir 7t asal sayısı p-zincirinden (bu durumda katsayılar Z^ devirli grubundan
almır.) söz edebiliriz. Eğer n — 2 ise, —op = a p dir. Böylece mod 2 p-zincirleri gözönüne alındığında simplekslerin yönlendirilmesi hesaba katılmaz.
G üzerindeki bir p-zincirinin sınırı tam p-zinciılerinde olduğu gibi, aynı
yolla, tanımlanır.
Bir crp p-simpleksinin sınırı öncelikle Er|Pj~1 t?-1
(p-1) -zinciri olarak tanımlanır.
tam
Sonra E giof p-zincirinin sınırı, G üzerinden
127
S giTijV- 1 tP_1 , (p- 1 ) -zinciri olarak tanımlanır. Burada g; 1 ve gj (- 1 ) alışıldığı
ij
üzere g; ve -g; olarak alınır.
Herhangi bir G Abel grubu için bir p-zincirinin sınırının sınırı sıfırdır. G üze­
rinde bir p-deviri, G üzerinde sınırı sıfıı olan bir p-zinciridiı. G üzerinde sınırlayan
bir p-deviri G üzerinde A cp+1 şeklindeki bir p-zinciıidir. Bütün p-devirlerinin
kümesi Cp (K,G) grubunun bir Zp (K,G) alt grubudur. Bütün sınırlayan p-dcvirlerinin kümesi Zp (K,G) nin bir Bp (K,G) alt grubunu oluşturur. ZP (K,G) — BP(K,G)
bölüm grubuna G üzerinde K nin p. homoloji grubu denir ve HP (K,G) ile gös­
terilir.
Teorem 6.2 ve teorem 6.4 keyfi bir G Abel grubu haline derhal genelleştiri­
lebilir. Teorem 6.2 nin ispatı düzeltilmeye ihtiyaç duyulmadan geçerlidir. Teorem
6.4 ün genelleştirilmedi şöyledir..
Teorem : K bir bağlantılı kompleks ise, H° (K,G) grubu, G ile izomorf­
tur.
Örnek : Tekrar şekil 57 deki komplekse dönelim. Hp (K,G) homoloji
gruplarını, G tam sayıların grubu olduğundaki gibi, aynı yolla, hesaplayabiliriz.
E ununla beraber tamsayıların daha önce kullanılan bütün özelliklerinin G nin
elemanlarınca sağlanması gerekmediğini hatırlatırız.
H° (K,G) = G dir.
H 1 (K,G) grubunun hesabı : Bu grubun hesabı
—2v 10 = u 3 + u ıo + u n + u 12 + u 13 + u l4
denkleminin v 10 için bir çözümü bulunup bulunmadığına dayanır. Eğer G rasyo­
nel sayıların toplamsal grubu ise, denklemin daima v 10 için bir çözümü vardır.
Bundan dolayı, bu halde her bir devir bir sınırlayan 1-devirdir ve böylece
H 1 (H,Q) sadece özdeşlik elemanından ibarettir.
H 2 (K,G) grubunun hesabı: Önceki durumda G tamsayıların grubu iken
H 2 (K,G) nin özdeşlik elemanından ibaret olduğu gösterildi. Bu, bir yerde
u + u = 0 denklemini sağlayan sıfırdan faiklı hiçbir u tam sayısının var olmadığı
gerçeğine dayanır. Bununla beraber her Abel grubu mertebesi iki olan elemanlar
ihtiva edebilir. Yani, öyle g elemanları ki g + g = 0 dır. Mesela, mod 2 tam sayı­
larının toplamsal grubunun her elemanı bu şartı sağlar. (Bu grup iki elemandan,
tek ve çift sayıların sınıflarından oluşur.) Bu durumda sıfırdan farklı bir tane
2-devir vardır. Yani 2 o f deviri vardır. Bu devir bir sınırlayan 2-devir değildir,
i
Çünkü, K nin hiçbir 3-simpleksi yoktur. O halde tam olarak iki farklı homoloji
sınıfı vardır. Bu sınıfların her biri bir tek devirden ibarettir. O halde H 2 (K,G),
mertebesi iki olan bir devirli gruptur.
128
G üzerinde c\ , ,
cp p-zincirlerinin bir kümesine, eğer G nin hepsi bir­
den sıfır olmayan g .......gs elemanları varsa, öyleki 2 &cf , G üzerinde sınırlai
yan bir p-devirdir, homolojiye göre lineer bağımsızdır denir. G üzerinde homolojiye
göre lineer bağımsız p-devirlerinin maksimum sayısına K nın G ye göre p. Betti
sayısı denir ve bp (K,G) ile gösterilir. G tam sayılar grubu iken bu p. Betti sayısı­
dır.
Eğer G bir n asal sayısına göre tam sayıların kalan sınflarının toplamsal grubu
ise, teorem 6.5’in yine doğru olduğu gösterilebilir. Böylece mod ir ye göre Betti
sayıları mod n ye göre değme matrislerinin Tanklarından hesap edilebilir.
Örnek : Tekrar şekil 57 deki komplekse dönelim, n = 2 ise, ^ değme
matrisinin rankı 9 dur. n =£ 2 ise, Iı nın rankı 10 dur. Yine n # 2 iken,
b ı (K,G) ve b 2 (K,G) nin her ikisi de sıfıra ve n = 2 iken, her ikisi de 1 e eşittir.
2 (-I)p bp Euler karakteristiği bütün bu gruplar için aynidir.
p
Çünkü teorem 6.5 deki formüle göre o, E (-l)p ctp ya eşittir.
p
X (K.,G) =
Aşağıdaki teorem tam ve rasyonel haller için Betti sayılarının aynı olduğunu
gösterir.
Teorem 6.6 : Homolojiye göre lineer bağımsız tam p-devirlerinin bp maksi­
mum sayısı, yine homolojiye göre lineer bağımsız rasyonel p-devirlerinin bp*
maksimum sayısına eşittir.
İspat : c j,...,c° rasyonel p-devirlerini o şekilde seçelim ki u 1 (...,ur rasyo­
nel sayılar olmak üzere, u ların hepsi sıfır olmadıkça 2 «¡c? bir sınırlayan p-dei
vir olmasın, özellikle tam p-devirlerinin r elemanlı hiçbir kümesi yoktur Öyleki
onların hepsi sıfır olmayan tamsayı katsayıları ile herhangi bir lineer birleşimi
*
bir sınırlayan p-devir değildir. Böylece bp ;> b dır.
p
Şimdi, C p...,cp rasyonel p-devirleri için yp =
E UjC? sıfır olmayan ve sıi
nırlayan p-devirinin var olduğunu kabul edelim, c 1er rasyonel p- devirleri oldu­
ğundan u ve v tamsayılar olmak üzere e lerin katsayıları u/v şeklindedir. Uj katsa­
yıları da bu şekildedir, k, Uj lerin ve p-devirler içindeki katsayıların bütün paydala­
rının en küçük ortak katı olsun, kcj, kcp
kcp tam p-devirlcridir.
129
ŞkUiCf bir sınırlayan tam p-devirdir. Bu nedenle bp <; b p dir. Bunu
i
önceki
*
sonuçla birleştirirsek bp = b
elde elderiz.
p
Not : Teorem 6.6 homolojinin tam ve rasyonel haller arasında fark yapmadığı
anlamında alınmamalıdır. Betti sayıları aynı olmasına rağmen homoloji grupları­
nın aynı olması gerekmez.
Örnek : Şekil 57 deki kompleks için H 1 homoloji grubunun tam sayılar
grubu için mertebesi iki olan bir devirli grup olduğu ve rasyonel sayıların grubu
için özdeşlik elemanından ibaret aşikar grup- olduğu göterilmişti. Bu farklılık
Betti sayıları ile değil, fakat burulma katsayıları ile ifade edilir.
53. KOHOM OLOJİ GRUBU. cp bir K kompleksi içinde 2 ui°f p-zinciri ol­
sun. Scp eşsımrt (coboundary) diye 2 ui r|j’ifl rP+1 , (p+ 1) -zincirine denir.
i,j
Bu tanım A cp sınır tanımına benzeıdir. Fakat 8 dönüşümü boyutu 1 yükseltirken,
A boyutu 1 azaltır. 5 nın özellikleri A nmkine benzerdir.
Teorem : 5 (S cp) = 0 dır.
Tanım : Eşsmırı sıfır olan bir zincire bir eşdevir (cocycle) denir.
Her eşsınır bir eşdevirdir. Fakat bir eşdevirin bir eşsmır olması gerekmez. K
içindeki eşdevirlerin kümesi Zp, C p nin bir alt grubudur. Eşsmırlayan eşdevirlerin kümesi Bp, Zp nin bir alt grubunu oluşturur. Zp — Bp bölüm grubuna
K nin p. kohomoloji grubu denir. Bu grubun elemanlarına eşdevirlerin kohomoloji sınıfları denir.
Kohomoloji grupları homoloji gruplarmınkine benzer özelliklere sahiptir.
Homoloji grupları gibi, kohomoloji grupları da topolojik sabitlerdir.
54. HOM OLOJİ GRUPLARININ HESAPLANMASI.
Teorik olarak üçgenlenebilir bir topolojik uzayın homoloji gruplan, uzayın
herhangi bir üçgcnlcmcsi içindeki devirler ve sınırlar incelenerek hesaplanabilir.
Fakat bu yöntem çok az kullanılır. Çünkü, hesaplamalar çok karışık olabilir.
Daha iyi bir yöntem simpleksel kompleksler yerine hücre komplekslerinin kullanıl­
masıdır. Bir hücre kompleksi karakteri bakımından bir simpleksel komplekse
benzerdir. Fakat o, simpleksler yerine hücrelerden oluşur. Bir açık n-hücresi n-boyutlu bir Öklid uzayının Y„ = { (x!,...,Xq) : 2 x,2 < 1 J alt kümesi ile topolojik
i
eşyapılı bir uzaydır.
Hücrelerin değmesi ve yönlendirilmesi simpleksel duruma benzetilerek
tanımlanabilir. Fakat çeşitli teorik zorluklarla karşılaşılır. (Eilenberg ve Stecnrod,
130
Foundations of Algebraic Topology, sayfa 181 ve Stecnrod, The topology of
Fibre Bundels, sayfa 155’e bakınız.) Burada hücre komplekslerinin teorisi ile de­
ğil, uygulanış değeri ile ilgileniyoruz. Bu bakımdan aşağıdaki örneklerde kullanılan
yöntemleri doğrulamaya gitmeyeceğiz. Bu örneklerde hücre komplekslerinin kulla­
nılışı gösterilmektedir. Bununla beraber bir uzayın hücresel parçalanışından hesap­
lanan homoloji grubunun, uzayın simpleksel parçalanışından hesaplanan homoloji
grubuna izomorf olduğunu söylemek gerekir. Bu, üçgenlenebilir uzaylar için homo­
loji teorilerinin teklik teoreminden çıkar. (Eilcnbcrg ve Stcenrod’m yukardaki
eserinde III. Bölüme bakınız.)
Örnek : Torun Homoloji Grupları. Şekil 61 de gösterildiği gibi bir dikdört­
genin karşılıklı kenarlarının doğrudan özdeşlenmesi ile meydana gelen torun bir
temsilinden torun bir hücresel parçalanışı elde edilir.
Bu durumda, sınırı a — b — a + b = 0 olan bir 2-hücre vardır, a ile
gösterilen bu hücre sınırın sıfır olması nedeni ile bir 2-devirdir. Bu parçalanışta
3-hücre yoktur ve böylcce a bir sınırlamayan 2-dcvirdir. Eğer k sıfırdan farklı
bir tam sayı ise, ka da bir sınırlamayan 2-devirdir ve ka bu şekildeki bir başka
2-devire homolog değildir. Bundan başka sadece bunlar tam 2-dcvirlerdir. Dolayısı
ile H 2 tam homoloji grubu bir sonsuz devirli gruptur ve ikinci Betti sayısı b 2= 1 dir.
İki tane, a ve b 1 -dcviri vardır ve a, 2-hücrcsinin sınırı sıfır olduğundan bunlar sınır­
lamazlar. Bu H 1 tam homoloji grubunun iki sonsuz devirli grubun direkt toplamı
olduğunu ve birinci Betti sayısının, b i = 2, olduğunu gösterir. Son olarak tek
sıfır hücresi olan A bir sınırlamayan O-devirdir. Bu nedenle H° tam homoloji
grubu bir sonsuz devirli gruptur ve b0 = 1 dir.
X (Tor) == x (S1 x S 1) = b0 — b! + b2 = 1 — 2 + 1 = o dır.
Örnek : Gerçek izdüşcl düzlemin homoloji grupları. Gerçek izdüşel düzlem
için şekil 62 deki temsili kullanalım. Sınırı 2 (a-fb) olan bir a, 2-hücresi vardır.
131
Bundan dolayı sıfır olmayan 2-dcvirler yoktur. H 2 tam homoloji grubu aşikar
gruptur ve b j = 0 dır. a ile gösterilen 1-hücresi bir 1 -devir değildir. Çünkü, onun
sınırı B — A olup sıfırdan farklıdır. Fakat a + b bir 1-devirdir. Bu 1-devir,
bir 2-hücrcnin sınırı değildir. Bununla beraber 2 (a + b), a nın sınırıdır. Bu neden­
le H 1 tam homoloji grubu mertebesi iki olan bir devirli gruptur. Aynı zamanda
birinci Betti sayısı bj = 0 dır ve 2 ye eşit olan bir 1-boyutlu burulma katsayısı
vardır. Son olarak H° tam homoloji grubu sonsuz devirli gruptur Çünkü, k bir tam
sayı olmak, üzere kA şeklindeki O-dcvirleri homolog değildirler. Fakat B, A’ya
homologdur. Sıfırıncı Betti sayısı bQ = 1 dir.
X (İzdüşcl düzlem) = 1 dir.
Örnek : Klein şişesinin homoloji grupları. K bin şişesi şekil 63 de temsil
edilmiştir. Burada a nın sınırı 2b dir ve böylccc sıfırdan farklı 2-devir yoktur.
Buradan H 2 aşikar gruptur ve b 2 = 0 dır. a ve b, 1-hücrelerinin her ikisi
■132
de sınırlamayan 1 -devirdir, ka şeklindeki her devir bu şekildeki diğer 1 -devirlere
homolog olmayan bir sınırlamayan 1 -dcvirdir. Fakat 2b sınırlayan 1-devirdir.
Çünkü o, a nın sınırıdır. Buradan H 1 tam homoloji grubu bir sonsuz devirli grup
ile mertebesi iki olan bir devirli grubun direkt toplamıdır. Böylcce b j = 1 dir
ve 2 ye eşit olan bir 1 -boyutlu burulma katsayısı vardır. Son olarak önceki
örnekte olduğu gibi H° bir sonsuz devirli gruptur ve bQ = 1 dir.
ÖDEVLER
1. Bölüm 5, ödev 1 de bulduğunuz üçgcnlcmcyi kullanarak Klein şişesinin tam
homoloji grupla.rmı ve bir n asal sayısına göre tam sayıların kalan sınıflarının top­
lamsal grubunu G alarak H p(K,G) homoloji gruplarını hesaplayınız.
2. Şekil 64 de gösterildiği gibi, küreden başka yönlendirilebilir bir kapalı yüzey, ke­
narları çevre üzerinde
aj b ^ .71 b-j1 ... a.pbpa^b;1
planına göre özdeşlenen 4p kenarlı bir çokgenle (poligon) temsil edilebilir. (Lefsehetz, Introduction to topology, sayfa 78 e bakınız). Bunun anlamı şudur: Çok­
genin a ı,...,a P,b 1 ,...,bp ile gösterilen 2p tane farklı kenarı vardır. Çokgenin çevresi
saat yönünde dolaşıklığında a b sonra bı, daha sonra tersinden a j, daha sonra
tersinden b j, vs... gelir. Bu temsil yüzeyin bir hücre kompleksini verir. Bunu
kullanarak yüzeyin tam homoloji gruplarını, Betti sayılarını ve burulma katsayı­
larını hesaplayınız.3
3. Bir yönlendirilcmeyen kapalı yüzey, kenarları çevre üzerinde
&
ı2 > 2 < İ2 * * * ^ p ^ p
planına göre özdeşlenen 2p kenarlı bir çokgenle temsil edilir. (Lefsehetz, aynı
eser). Bu yüzeyin tam homoloji gruplarını, Betti sayılarını ve burulma katsayılarını
hesaplayınız.
4. Bir tor yüzeyinden basit bağlantılı bir bölge çıkarılarak bir Sı yüzeyi inşa
ediliyor. S! in tam homoloji gruplarını bulunuz. Şekil 60 ’a bakınız.
5. Bir tor yüzeyinden basit bağlantılı ve ayrık iki bölge çıkarılarak bir S 2 yüzeyi
inşa ediliyor. S 2 nin tam homoloji gruplarını bulunuz.
6. Bir tor yüzeyinden n tane basit bağlantılı ve ayrık bölge çıkarılarak elde edilen
S„ yüzeyinin tam homoloji gruplarını hesap ediniz. Bu ödev 4 ve 5 ’i genelleşti­
rir.
7. Öklid düzlemi içinde x 2 + y 2 <. 1 dairesinden x 2 4- y 2 = 1 çevresi üzerinde P ve P' noktaları özdeşlenerek T 3 ile gösterilen bir uzay inşa ediliyor. Şöyleki PP’ yayı dairenin merkezinden 2ıt/3 veya 4n/3 lük bir açı ile görülmektedir.
T 3 ün Betti sayılarının, gerçek izdüşel düzlemin Betti sayılarına eşit olduğunu ve
sıfırdan farklı ve 3 ’e eşit olan 1-boyutlu bir burulma katsayısı olduğunu göste­
riniz.
8. Ödev 7 deki T 3 uzayını genelleştirerek Tn ile gösterilen bir uzay elde ediniz.
T„ nin Betti sayıları, gerçek izdüşel düzlemin Betti sayılarına eşittir gösteriniz.
Tn nin n ye eşit olan bir 1-boyutlu burulma katsayısı olduğunu gösteriniz.
9. Bir delikli bir dairenin homoloji gruplarını hesaplayınız.
10. n delikli bir dairenin homoloji gruplarını hesaplayınız.
11. Şekil 10 de verilen düğümün S 3 küresi içindeki tümliyeninin tam homoloji
gruplarını hesaplayınız.
KAYNAKLAR
1. Bourbaki, N., Topologie générale, Paris 1948 (İngilizce tercümesi).
2. Crowell, R.H. ve Fox, R.H., Introduction to Knot theory. Boston, Ginn,
1963 (5. bölüm ve appendix III).
3. Eilcnfccrg, S. ve Stccnrod, N. Foundations of Algebraic topology, Princeton,
Princeton University Press, 1952.
4. Fréchct, M. ve Fan, K., Initiation to Combinatorial Topology. Howard W.
Ives’in İngilizce tercümesi, Prindle, Weber ve Schmidt, Boston, 1971.
5. Hilton, P.J., An Introduction to Homotopy Theory, Cambridge, 1953.
6. Lefschetz, S., Introduction to Topology. Princeton, 1949.
7. -------------- , Algebraic Topology, New York, 1942.
8. Massey, W.S., Algebraic Topology: An Introduction. Harcourt, Brace ve World,
New York, 1967.
9. Newman, M.H., Elcmants of the Topology of Plane Sets of Points. Cambridge,
1951.
10. Ore, O., Theory of Graphs (Colloquium Publications, Cilt 38) Providence,
AMS, 1962.
11. Patterson, E.M. Topology, Oliver ve Boyd, Edinburgh, 1956.
12. Pontrjagin, L., Topological Groups, Princeton, 1946.
13. -------------- , Foundations of Combinatorial Topology, Rochester, 1952.
14. Seifert, H. ve Thrclfall, W., Lchrbuch der Topologie, Leipzig, Teubner, 1934.
15. Sierpinski, W., General Topology, Toronto, 1952.
16. Spanier, E. H., Algebraic Topology, McGraw-Hill, New York, 1966.
17. Stccnrod, N., Topology of Fibre Bundles. Princeton, 1951.
18. Veblen, O., Analysis Situs, New York, 1931.
İNGİLİZCE - TÜRKÇE SÖZLÜK
Analysis Situs: Konum analizi
arc-wise connected: eğrisel bağlantılı
barycentric co-ordinates: merkezil koordinatlar
base point: taban noktası
basis: taban
Betti number: Betti sayısı
biuniform trasformation: birebir dönüşüm
boundary of a chain: bir zincirin sınırı
bounded: sınırlı
bounding cycle: sınırlayan devir
Cauchy sequence: Koşi dizisi
celi kompleks: hücre kompleksi
chain: zincir
chromatic number: renkleme sayısı
closed path: kapalı eğri
closed simplex: kapalı simpleks
closure: kapanış
cocycle: eşdevir
cohomology: kohomoji
compact: topak
complement: tümleyen
compleks: kompleks
component: bileşen
connection: bağlantı
connected: bağlantılı
connected compleks: bağlantılı kompleks
continuous function: sürekli fonksiyon
contractible: büzülebilir
convergence: yakınsaklık
convex linear subspace: dışbükey (konveks) lineer altuzay
covering: örtü
cycle: devir
deformable to apoint: bir noktaya büzülebilir
devived set: türev kümesi
direct product: çapraz çarpım
disconnected: bağlantısız
discrete topology: ayrımlı topoloji
disjoint sets: ayrık kümeler
double torus: ikikatli tor
edge: kenar, ayrıt
equivalence class: denklik sınfı
equivalence relation: denklik bağıntısı
Euclidean line: Öklid doğrusu
Euclidean plane: Öklid düzlemi
Euclidean sapece of n dimensions: n boyutlu öklid uzayı
Euler characteristic: Euler karakteristiği
face: yüz
four-colour problem: dört-renk problemi
function: fonksiyon, dönüşüm
fundamental group: esas grup
geometric simplex: geometrik simpleks
geometric simplicial complex: geometrik simpleksel kompleks
graph: grafik
group: grup
Betti—: Betti grubu
cohomology—: kohomoloji grubu
finitely generated Abelian—: sonlu doğrulan Abel grubu
fundamental—: esas grup
homology—: homoji grubu
homotopy—: homotopi grubu
integral homology—: tam homoloji grubu
topological—: topolojik grup
torsion—: burulma grubu
Hausdorff sapace: Hausderrff uzayı
homeomorphism: topolojik eşyapı dönüşümü, topolojik tasvir
homology: homoloji
homology class: homoloji sınıfı
homology group: homoloji grubu
homomorphism: homomorfizm (özyapı dönüşümü)
homotopy: homotopi
138
homotopy class: homotopi sınıfı
homotopy group: homotopi grubu
homotopy type: homotopi tipi
identification: özdeşmleme
identity: özdeşlik (elemanı)
image: resim, görüntü
incidence matrix: değme matrisi
incident: değen
inclusion: içerme (dahil etme)
induced topology: rölatif topoloji, etkilenmiş topoloji
induced transformation: oluşturulmuş dönüşüm
integral chain: tam zincir
integral cycle: tam devir
integral homology group: tam homoloji grubu
intersection: arakesit
inverse image: ters görüntü
inverse path: ters eğri
isomorphism: eşyapı dönüşümü (izomorfizm)
Jordan curve theorem: Jordan eğri teorimi
Klein bottle: Klein şişesi
Kuratowski space: Kuratowski uzayı
Limit point: limit noktası, yığılma noktası
linear subpace: lineer altuzay
linearly independent: lineer bağımsız
locally compact: yerel topak
locally connected: yerel bağlantılı
mapping: tasvir, sürekli dönüşüm
metric: metrik
metric space: metrik uzay
metrisable: ölçü verilebilir, ölçü konabilir
Möbius band: Möbius şeridi
natural mapping: doğal dönüşüm
neighbourhood: komşuluk
non-orientable: yönlendirilemez
normal space: normal uzay
null path: sıfır eğri
null set: boş küme
one-sided.' bir taraflı
open cell: açık hücre
open set: açık küme
orientable: yönlendirilebilir
orientation: yönlendirme
partition: parçalanma, bölünme
path: eğri
permutation: permütasyon
point of closure: kapanış noktası
polyhedron: polihidron
product of transformations: fonksiyonların birleşimi
projection: izdüşüm,
projective plane: izdüşel düzlem
rank of a group: bir grubun rankı
real projektive plane: gerçek izdüşel düzlem
relative topology: etkilenmiş topoloji
section of a complex: bir kompleksin kısmı
separation axioms: ayırma aksiyomları
set: küme
connected—: bağlantılı küme
derived—: türev kümesi
open— : açık küme
simple arc: basit eğri
simply connected: basit bağlantılı
simplex: simpleks
simplicial complex: simpleksel kompleks
skeleton: iskelet
space: uzay
complete—: tam uzay
homogeneous—: homojen uzay
topological—: topolojik uzay
subcompleks: alt kompleks
subset: alt küme
subspace: alt uzay
topological equivalence: topolojik denklik
—identification: topolojik ödeşleme
—invariant: topolojik sabit
—mapping: topolojiktasvir
—producut: topolojik çarpım
140
topology: topoloji
torsion coefficients: burulma katsayılar»
torus: Tor
transformation: dönüşüm, fonksiyon
constant—: sabit dönüşüm
continuous—: sürekli dönüşüm
induced—: doğrulmuş, oluşturulmuş dönüşüm
into—: içine dönüşüm
many-one—: çağabir dönüşüm
onto—: üstüne dönüşüm
triangulation: üçgenleme
union: birleşim
vertex: köşe
İN D E K S
Abel grubu 98,100,114
açık aralık 32,103
-hücre 130
-küme 32,39,43
-m-simplek 104
Aitken 101
aksiyom 23
a ------------- u 59
p ------------- u 59
H --------------u 59
N --------------u 61
almaşık — 1ar 50
Alexandroff 75
alt grup 115,116,119
-küme 23
-kompleks 106
-uzay 51
alternative 103
Analiz, Matematik 1
Analysis Situs 135
apsis 39
arakesit 24
arcsinüs 29
aritmetik 24
associative 120
aşikar grup 125
-metrik 36
axiom 23,114
ayrık kümeler 24,59,61
ayrımlı topoloji 44
ayrıt 15,104
Bağımsız, lineer 101
bağıntı 29
bakışımlı— 30
birleşik— 30
denklik — sı 29
geçişli— 30
simetrik— 30
ters — 29
yansımalı— 30
bağlantılı 11
-kompleks 124
-toplam 14
-uzay 76
-yüzey 11
basit — 11,97
eğrisel— 11,79
yerel— 79
baryentric 102
benzenlik 2
beş renk teoremi 19
Betti grubu 126
-sayısı 109,126
birleşimi 23
iki bağıntının — 30
iki fonksiyonun — 29
iki kümenin — 23
birleşen 78
Boole cebiri 24
Borel 71,72
Bourbaki 135
boyut 2
kompleksin - u 105
simpleksin -u 103
n- - lu iskelet 106
143
Cauchy dizisi 70
cartesian 27
cebirsel topoloji 1 1 , 101
cobourdary 130
cocycle 130
coefficient, torsion 109
collection 23
compact 14
commutative 120
corolary 96
cross section 83
Crowell 100, 135
cycle 113
Çarpım 27, 88
çapraz— 27
topolojik— 55
çember 1, 4
-in esas grubu 97
çevre 98
çokgen 15
çokyüzlü 15
devir 120
-li grup 97
sınırlayan— 122
tam p-boyutlu— 121
dışbükey 103
dikdörtgen 2
direkt limit 100
-toplam 116
discrete topology 44
diskriminant 34
distance 23
dizi 67
dodecahedron 17
doğal dönüşüm 53
doğru 1, 31
dönel yüzey 7
dönüşüm 28
çoğa-bir— 28
doğal— 53
izdüşüm— ü 56
oluşturulmuş — 96
özyapı — ü 94
sürekli - 36, 45
dualité ilkesi 25
düğüm 4
düzgün dürt yüzlü 3, 15
-on iki yüzlü 17
düzlem 2
gerçek izdüşel- 8,53,111,131
Dağılma kuralları 25
genelleştirilmiş— 26
daire 4
kenarsız— 32
De Morgan kuralları 25
deformation 37
değer kümesi 30
değme matrisi 107
-sayısı 106
denk süzgeçler 67
denklik bağıntısı 29
-sınıfları 31
Eğri 11, 87
-sel bağlantılı 11
homotop- 1er 88
Jordon - si 12
Jordon-teoremi 12
kapalı - 88
poligonal - 12
sıfır - 88
ters - 88
Eilenberg 131
element 18, 122
elipsoid 3
bölge 12,17
bölüm grubu 115
-kümesi 53
-uzayı 53
burulma 7
—katsayılar: 119, 118
büzülebilme 85
144
esas grup 93, 94
eşitlik 2, 24
eşdevir 130
eşlenik eleman 31
eşsımr 130
eşyapı dönüşümü 45, 94
eşyapılı uzay 37
etkilenmiş topoloji 51
Euclides 2
-doğrusu 31
-düzlemi 32
-geometrisi 2
Euler karakteristiği 16, 127
-teoremi 15
Fan 135
fark grubu 115
- kümesi 24
fonksiyon 28
birleşik - 29
bire-bir - 29
çoğa -bir - 28
çok değerli - 28
gerçek değerli- 28
ışın- u 4
içerme - u 29
içine - 28
izdüşüm - u 20, 56
kutupsal izdüşüm - u 20
özdeşlik - u 29
sabit - 29
sinüs -u 29
sürekli - 32
tek değerli - 28
ters - 28
uzaklık-u 33
üstel- 29
üstüne - 28
Fox 100
Fransız 14
Fréchet 135
Geçişli bağıntı 3Ö
genelleştirilmiş dağılma 26
geometrik simpleks 104
-simpleksel kompleks 105
gerçek sayılar 31
-izdüşel düzlem 8, 53, 111, 131
görünüş 3
görüntü 28
ters- 28
grafiği, bir fonksiyonun 56
grup 57
-aksiyomları 57
- işlemi 57
-lar teorisi 31,
alt- 115, 116, 119
aşikar- 125
Betti-u 126
bölüm -u 115
burulm a-u 126
devirli- 97
esas- 93, 94
hom oloji-u 123
hom topi-u 98
kohomoloji- 130
n-boyutlu hom otopi-u 100
normal alt- 115
topolojik- 57
Halkası, tam sayılar 115
zincir- 3
harita 18
-boyama 18
düzlemsel- 18
küresel - 18
tor üzerindeki- 20
Hausdorff 59
- aksiyomu 59
- uzayı 59
heryyerde yoğun 39
Hilton 100
hiperboloid 5, 11
homeomorphism 3, 37
homeomorfizm 45
homojen uzay 58
homolog 122
homoloji 122
-grubu 123
-sınıfları 123
izdüşel düzlemin-grupları 131
Klein şişesinin-132
to ıu n - 131
tam-grubu 123
homomorphism 122
homotop 82, 83
-eğriler 88
-fonksiyonlar 82, 83
sabite - fonksiyon 85
homotopi 1 1 , 82
-grupları 98
izafi - 83
n-boyutlu - grubu 100
-sınıfları 83, 93
-tipi 86
X e göre- 83
hücre 130
-komplekseleri 130
açık n-boyutlu- 130
Işın fonksiyonu 4
lves 135
İlkesi, dualite 25
iki bağıntının birleşimi 30
-boyutlu uzay 2
-fonksiyonun birleşimi 29
-kanatlı hiperboloid 11
-kümenin birleşimi 23
-taraflılık 9
indis kümesi 26
-li kümeler 26
indeks 115
induced 96
İngilizce 135
146
intersection 24
invariant 42
iskelet, p-boyutlu 106
isomorphism 94
izafi homotopi 83
izdüşel düzlem 8, 53, 111, 131
gerçek- 8, 53, 131
izdüşüm fonksiyonu 20, 56
kutupsal - 20
izomorf gruplar 94, 96
izomorfizm 95
Joachimsthal oran 103
Jordan eğrisi 11, 12
-teoremi 12
Kafes noktası 28
kapalı aralık 39
-küme 39, 44
-m-simpleks 104
kapanış kümesi 38, 45
-noktası 38, 45
kare 2
kartezyen koordinatları 27
katı tor 3
katmer 14, 101
iki boyutlu-14
katsayısı, burulma 109
kenar 194
Klein şişesi 8, 132
-nin homoloji grupları 132
kofinit topoloji 44
kohomoloji 130
-grubu 130
-sımfı 130
kompleks 105
-in boyutu 105
alt- 106
bağlantılı- 124
geometrik- 105
örtü-i 105
simpleksel- 105
komşuluk 32, 38
kongruans 3
koni 5
konum analizi 1
konveks 103
-lineer alt uzay 103
koordinatlar 27
kartezyen-ı 27
kutupsal-ı 27
silindirik -sisteminde 7
köşe 9, 12, 104
-sayısı 15
-gen 30
kuralları, 24
aynılık-24
birleşme - 25
dağılma - 25
De M organ-25
özdeşlik-25
tümleme - 25
yerdeğiştirme - 24
Kuratowski 49
-aksiyonları 49
-uzayı 49
küme 23
açık- 32, 39, 43
alt- 23
ayrık- 24
arakesit-si 24
birleşim-si 23
boş-24
bölüm-si 53
çapraz çarpım-si 27
değer-si 30
evrensel- 23
fark-si 24
indisli- 26
indis-si 26
kapalı - 39
kuvvet-si 44
sağ yan- 115
sonlu- 26
sonsuz- 26
tanım -si 30
tümliyen- 24
türev-si 38, 45
üst - 23
küp 3
n-boyutlu- 98
küre 3, 110
Ledermann 114
Lefschetz 1, 135
lemması, Urysohn 63
limit 67
-noktası 67
direkt- 100
lineer, alt uzay 102
-bağımsız 101
dışbükey-alt uzay 103
logos 1
Manifold 101
mapping 37
Massey 135
matematikçi 1, 23
matrisi, değme 107
meridyen 98
merkezil koordinatlar 102
mertebe 115
metrik 35
-uzaylar 35
tam-uzay 70
metrisable 51, 60
-uzay 44
modül 115
Möbius şeridi 7
Newman 135
normal uzay 61
-alt grup 115
nokta 35
bir-da süreklilik 32, 33, 35
bir-topaklaması 75
kafes-lan 28
kapanış-si 38, 45
limit-si 67
yığılma-si 38, 44
Oniki yüzlü 17
Ore 134
öklid 2,
-doğrusu 31
-düzlemi 32
n-boyutlu-uzayı 33
ölçü konabilir-uzay 51, 60
örtme teoremi 71
örtü 72
açık- 72
sonlu- 72
uzayın-sü 72
özdeşleme 5, 7
- topolojisi 53
buru İmalı - 7
ödeşlik bağıntısı 30
-fonksiyonu 29
-kuralları 25
özyapı dünüşümü 94
Paraboloid 5
paralel 98
parçalanış 75, 115
Patterson 135
perimeter 98
permütasyon 104
perspective 3
piramit 15
pirizma 15
PoincarĞ 14
poligon 15
poligonal eğri 12
polihidron 105
polinom 34
Pontrijagin 109
projection 56
148
stereographic - 20
Rank 126
rasyonel sayı 39, 128
real 31
reklexive 30
relative 51
renkleme sayası 21
Rogosinski 72
Sağ yanküme 115
sayılar 3
- teorisi 3
gerçek-31
rasyonel-39, 128
renkleme-ı 21
tam-halkası 3, 115
sabit, topolojik 14
Seifert 100, 135
- Van Kampen teoremi 100
sınıflandırma problemi 14
sınıfları, denklik 31
homoloji- 123
homotopi - 83
sınır 120
-layan devir 120
-h alt uzay 71
eş-130
Sierpinski 135
silindir 4
-ik koordinat 7
simetri 45
simetrik bağıntı 30
simit 2
simpleks 103
- el kompleks 105
-in boyutu 103
açık - 104
geometrik -104
kapalı -104
sinüs fonksiyonu 29
sonlu küme 26
-örtü 72
-silindir 5
sonsuz, devirli grup 97
-küme 26
Spanier 135
Steenrod 100, 135
stereographic projection 20, 76
sürekli dünüşüm 36, 45
-fonksiyon 32, 45
süreklilik 1, 32, 45
bir noktada-32, 33, 35
süzgeç tabanı 66
symmetry 37
Şeridi, Möbius 7
şişesi, Klein 8
Taban 50
-noktası 93
-teoremi 118
süzgeç-ı 66
tam homoloji grubu 123
-metrik uzay 70
-p-boyutlu devir 121
- p- boyutlu zincir 120
-sayılar halkası 3, 115
tanım kümesi 30
tasvir 36, 45
toplojik-37, 45
tek değerli fonksiyon 28
- taraflı yüzey 9
ters bağıntı 29
-fonksiyon 28
tetrahedron 103, 106
Therelfafl 135
Tietze teoremi 64
topak 14
-terimi 71
-uzaylar 71
Alexandroff-lamasi 75
bir nokta-75
yerel-uzay 75
toplam, bağlantılı 14
topoloji 1, 43
ayrımlı - 44
bölüm uzayı-si 53
etkilenmiş - 51
özdeşleme-si 53
relative - 51
topolojik çarpım uzayı 55
-denklik 3
-eşyapı dünüşümü 37
- eşyapılı 37
-grup 57
-invariant 42
- sabit 14, 42
-tasvir 37, 45
-uzay 43
-uzaylar 42
özel t - 59
Topology 1
topological mapping 37
topos 1
tor 5
-u n homoloji grupları 131
-un inşası 6, 7
-un ügenlenmesi 110
- yüzeyi 7
iki katlı-5
n-katlı - 5
poligonal - 16
torsion coefficients 109
torus, solid 3
transitive 30
tümevarım 16, 19
tümleme kuralları 25
tümliyen küme 24
türev kümesi 38
Türkçe I
Union 23
Urysohn lemması 63
uzaklık 23, 35
-fonksiyonu 33
ı
Uzay 1
-lar bilimi 1
- m örtüsü 72
a lt-51
bağlantılı - 76
bölüm -ı 53
çarpım -ı 55
cşyapılı - 37
Hausdorff - 1 58
homojen - 58
Kuratowski - 1 49
lineer -102
gerilen-103
metrik - 35
normal - 61
Öklid-ı 33
tam m etrik-70
T 0- ı 59
T! — ı 59
T 2— ı 59
topak—71
topolojik — 23, 43
yerel topak — 75
Üçgen 4, 15
-eşitsizliği 33
-iniçi 103
- leme 108
-prizma 15
üst küme 23
üstel fonksiyon 29
üstüne fonksiyon 28
Van Kampen 100
Veblen 135
Venn diyagramı 23
Yakınsaklık 66
yakınsak dizi 69
-süzgeç tabanı 66
yansımalı bağıntı 30
yay 81
yerdegiştirme 24, 98
yerel bağlantılı 79
-topak uzay 75
yığılma noktası 38, 44
yığın 40
yoğun, her yerde 39
yönlendirme 9
yönledirilebilir 10
yönlendirilemez 11
yönlendirilmiş simpleks 104
yüz 15, 104
-sayısı 15
çok-lü 15
d ö r t- 15
oniki-17
yüzey 5
-lerin temel teoremi 14
bağlantılı -11
dönel - 7
iki taraflı-9
tor - i 7
yönlendirilebilir -10
yönlendirilemiez -10
Zincir 120
- halkası 3
tam p-boyutlu-120
Not: İndeks hazırlanırken terim ve kavramların tanımlandığı veya Yazar adla
rında olduğu gibi ilk geçtiği sayfa yazılmıştır. Kitap içindeki İngilizce karşılık
lar bazan alınmamıştır, fakat bir sözlük halinde verilmektedir.
150