Özel Lineer Dirençler: Açık devre elemanı

Teorem: (Tellegen Teoremi)
ne elemanlı bir G grafında i1

sağlayan bir küme,
küme olsun
v1
i2 ... ine   i
T
Hatırlatma
KAY’sını
v2 ... vne   v KGY’sını sağlayan bir
T
vT i  0
Tellegen Teoremi ‘ne dikkat edersek:
v ve i birbirleriyle ilgili değil sadece G grafı için KGY ve KAY sağlamamları
Yeterli. G için v’ ve v’’ KGY, i’ ve i’’ KAY’yi sağlıyorsa
vT i  0
Tellegen Teoremi sadece devrenin topolojisine bağlıdır
vT i  0
vT i  0
vT i  0
Lineer bağımsız akım ve gerilim denklemlerini elde etmenin
başka yolu var mı?
KAY’sı ve KGY’sını başka nerede yazdık?
K1
K5
9
8
1
K6
7
3
2
KAY’den başlayalım
4
2
5
3
1
K3
6
K2
5
4
K7
K4
Burada aslında kaç tane lineer
bağımsız denklem var?
Bu sayı aynı zamanda neye eşit?
1
1

0

0
0

0
0

1
0
0
0
1 1
1
0
0
0
0
1
0
0
1 0
0
0
1
1
0 1
0
0
0
1 0
1
 i1 
0 0  1 1  i3  0
 1 0 0 0  i4  0
 
1 0 0 0  i5  0

 
1 1 0 1  i2   0
 
0  1 0  1 i6  0

 
0 1 1 0  i7  0
 

1 0  1 1  i8  0
i 
 9
Qa
Bir ağaç seçip temel kesitlemeleri belirleyelim
9
8
1
7
Ağaç: {1,3,4,5}
3
temel kesitlemeler
2
4
2
1
TK1: {1,2,8,9}
5
TK2: {3,7,8}
3
TK3: {4,6,7,9}
6
4
Qi  0
1
0

0

0
5
TK4: {5,6}
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
I
QL
Q
 i1 
i 
 3
i4 
1    0 
i5  0
0
 i2    
 1   0
 i6   
0    0 
i
 7
i8 
i 
 9
Şimdi de KGY’sına bakalım
9
8
1
7
3
Çevreleri belirleyelim
2
4
2
5
3
1
6
5
4
1
0

0

0
0

1
1

1
0

0

0
1 0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
Ç1 : {1,2}
Ç7 : {1,4,7,8}
Ç2 : {2,3,8}
Ç8 : {1,5,6,7,8}
Ç3 : {3,4,7}
Ç9 : {2,4,9}
Ç4 : {4,5,6}
Ç10 : {2,5,6,9}
Ç5 : {7,8,9} Ç : {2,5,6,9}
0
11
0
0
0
0
1
0   v1 
Ç6 : {1,3,8}
1
0
0
1
0
0  v2  0

1 1 1
0
0
0  v3  0
 
0
0
0
1  1  1 v4  0
Burada aslında

 


0
0
0
0
1
0  v5  0
kaç tane lineer
 

1 0
0 1 1
0 v6  0
bağımsız denklem var?



0 1 1 1 1
0  v7  0
5
 



1 0
0
0
0  1 v8  0

0 1 1
0
0  1 v9 

0
1 1 1
0
0
0
0
0
0
0
Şimdi de temel çevreleri belirleyelim
Ağaç: {1,3,4,5}
9
8
1
7
3
2
5
3
1
6
4
1
0

0

0
0
0
0
0
0
1 0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1 0
1
I
Bt
B
temel çevreler
Ç1 : {1,2}
4
2
5
 v2 
v 
 6  0 
0  v7  0
 
 1  v8  0
 
0  v9   0
 
0   v1  0
 
0   v3  0
 
v4  0
v 
 5
kirişler: {2,6,7,8,9}
Ç3 : {3,4,7}
Ç2 : {4,5,6} Ç4 : {1,3,8}
Ç5 : {1,4,9}
Bv  0
Dallar: {1,3,4,5}
1
0
Q
0

0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
Qi  0 QT vt  v
1
0

B  0

0
0
 i1 
i 
 3
i4 
1    0 
i5  0
0
 i2    
 1   0
 i6   
0    0 
i
 7
i8 
i 
 9
Kirişler: {2,6,7,8,9}
0
0
0
0
1 0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1 0
1
Bv  0 BT il  i
v2 
v 
 6  0 
0  v7  0
 
 1  v8  0
 
0  v9   0
   
0   v1 
0





0  v3
0
   
v4  0
v 
 5
Toplam Lineer Bağımsız Denklem Sayısı
Qi  0
nd -1 denklem
Bv  0
ne -nd +1 denklem
Toplam sayı
Bilinmiyen sayısı kaç?
2ne
ne
Eksik denklemleri nereden bulacağız?
Teorem: Bir birleşik G’ında seçilen T ağacı için Q ve B sırasıyla temel
kesitleme ve temel çevre matrisi olsun
QB T  0
Tanıt:
QT vt  v
Bv  0
BQ vt  0
T
vt
QB T  0
KGY kapalı düğüm dizileri, düğüm gerilimleri cinsinden eleman gerilimleri,
çevreler için yazılıyor
KAY Gauss yüzeyleri, kesitlemeler, düğümler için yazılıyor
KAY’na ilişkin bağımsız denklem takımı nd -1 düğüm için yazılan denklemler
KAY’na ilişkin bağımsız denklem takımı temel kesitlemeler için
yazılan denklemler
KGY’na ilişkin bağımsız denklem takımı temel çevreler için
yazılan denklemler
1
2
3
1
4
2
3
5
6
4
7
5
9
8
6
1-a) 4 düğümünü referans alıp A matrisini
yazınız.
b) 4 düğümü referans iken KGY’ye ilişkin
denklemleri yazınız.
c) {2,4,6,7,8} ağacına ilişkin temel çevre ve
temel kesitlemeleri belirleyiniz.
d) v2=2V, v4=4V, v6=6V, v7=7V, v8=8V ise
diğer elemanlara ilişkin gerilimleri
belirleyiniz.
e) i1=1A, i3=3A, i5=5A, i9=9A ise
diğer elemanlara ilişkin akımları
belirleyiniz.
f) Tellegen Teoreminin sağlandığını
gösteriniz.
Eleman Tanım Bağıntıları
f R (v, i, t )  0
v
i
fC (v, q, t )  0
q
i  q
v  
f m ( , q, t )  0
memristor
endüktans
Kapasite
direnç
f L ( , i, t )  0
Ø
Direnç Elemanı: v ve i arasında cebrik bağıntı ile temsil edilen eleman
Endüktans Elemanı: Ø ve i arasında cebrik bağıntı ile temsil edilen eleman
Kapasite Elemanı: v ve q arasında cebrik bağıntı ile temsil edilen eleman
Memristor Elemanı: Ø ve q arasında cebrik bağıntı ile temsil edilen eleman
2-Uçlu Direnç Elemanları
• lineer, lineer olmayan, zamanla değişen, değişmeyen, akım
ve/veya gerilim kontrollü dirençlerin tanım bağıntıları,
• seri, parallel bağlı dirençlere ilişkin uç bağıntıları,
• lineer olmayan dirençlere ilişkin dc (doğru akım) çalışma
noktasının belirlenmesi, küçük işaret analizi.
Lineer Direnç
+
()
v(t )  Ri (t )
direnç
i (t )  Gv(t )
iletkenlik, siemens
mho
v
v (t )
(S )
i (t )
v (t )
i (t )
i-v düzlemi
v-i düzlemi
Hatırlatma: Lineerlik
f ( x1 )  y1
f ( x2 )  y2
f (.) lineer
f (x1  x2 )  f ( x1 )  f ( x2 )
 y1  y 2
Özel Lineer Dirençler:
Açık devre elemanı
f (i, v)  i  0
v (t )
i (t )
R
G0
i (t )
i-v düzlemi
v (t )
v-i düzlemi
Kısa devre elemanı
f (i, v)  v  0
v (t )
i (t )
R  0 i (t )
i-v düzlemi
G
v (t )
v-i düzlemi
Açık devre elemanı ve kısa devre elemanının i-v,v-i karakteristiklerine
dikkat edelim !!!
v (t )
i (t )
R
G0
i (t )
i-v düzlemi
v (t )
v-i düzlemi