Tanım - Ninova

Örnek
2
1
5
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
6
3
4
7
1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 -1 -1 0 0 0 0 -1
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0
0 -1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0
0 0 -1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0
0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 -1 0 0
8
é
ê
ê
ê
ùê
úê
úê
úê
úê
úê
úê
úê
úê
úê
ûê
ê
ê
ê
êë
1-a) Şekildeki devrede 5 Gauss yüzeyi
belirleyin ve KAY yazın.
b) Tüm düğümler için KAY yazın.
c) Tüm elemanların gerilimlerini düğüm
gerilimleri cinsinden yazın.
d) 3, 4, 5 düğümden oluşan ikişer tane
kapalı düğüm dizisi belirleyin ve KGY’sını
yazın.
i1 ù
ú
i2 ú
ú
i3 ú
é
i4 ú ê
ú ê
i5 ú ê
i6 ú ê
ú=ê
i7 ú ê
ú
i8 ú ê
ê
i9 ú ê
ú ë
i10 ú
i11 ú
ú
i12 úû
0
0
0
0
0
0
0
0
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
êë
v1 ù
ú é
v2 ú
ú ê
v3 ú ê
ê
v4 ú ê
ú
v5 ú ê
ê
v6 ú ê
ú=
v7 ú ê
ú ê
v8 ú ê
ê
v9 ú ê
ú
v10 ú ê
ê
v11 ú êë
ú
v12 úû
1 0 0 0 -1 0 0 0 ù
ú
0 1 0 0 0 -1 0 0 úé e ù
1
ú
0 0 1 0 0 0 -1 0 úê
e
ê
ú
0 0 0 1 0 0 0 -1 úê 2 ú
ú
1 -1 0 0 0 0 0 0 úê e3 ú
0 1 -1 0 0 0 0 0 úê e4 ú
ê
ú
1 0 -1 0 0 0 0 0 úê e5 ú
ú
0 0 0 0 0 1 -1 0 úê e6 ú
0 0 0 0 0 0 1 -1 úê e ú
ê 7 ú
0 0 0 0 0 1 0 -1 úê
ú e8 ú
û
0 0 0 0 -1 1 0 0 úë
0 0 -1 1 0 0 0 0 úû
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits”, Mc.Graw Hill, 1987, New York
KAY ve KGY toplu parametreli devrelerde geçerli
KAY ve KGY elemanların özelliklerinden bağımsız
KAY ve KGY ile elde edilen denklemler katsayıları 1,-1,0 olan lineer
lineer, cebrik, homojen denklemler
Graf Teorisi
Pregel Nehri
http://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
Leonard Euler (1707-1783)
1736’da Königsberg’in yedi köprüsü problemini
graf teorisinden yararlanarak çözdü
1
1
3
2
4
3
2
4
Bir graf nasıl tanımlanır?
G  {V , E}
düğüm
kümesi
çizgi
kümesi
1
1
2
2
9
7
6
8
3
3
6
4
4
Elektrik devrelerine ilişkin çizeceğimiz
graflarda çizgi yönlüdür
5
5
GD  VD , ED   1,2,3,4,5,6 , 1,2,3,4,5,6,7,8,9
2-uçlu elemana ilişkin uç-grafı
1
+
1
İ1 (t)
Sadece ok yeterli,
neden?
v1 (t)
2
_
2
Tanım: (Ani Güç)
p(t ) ˆ v(t )i (t )
[Watt] [Volt] [Amper]
Ani güç, t anında elemanın bağlı olduğu devre tarafından elemana
aktarılan güç
3-uçlu elemana ilişkin uç-grafı
_
1
+
V21
İ1 (t)
İ2 (t)
3- uçlu
eleman
+_
1
2
2
3
1
2
3
İ3 (t)
_
+
1
2
3
Hangisini, nasıl seçeceğiz?
3
Referans nerede?
1
+
İ1 (t)
İ2 (t)
3- uçlu
eleman
+
2
1
2
İ1 (t)
İ2 (t)
_ _
3
Referans 3 düğümü
3
Referans nerede?
1
+
_
V1
İ1 (t)
3- uçlu
eleman
_
2
1
İ1 (t)
2
İ3 (t)
İ3 (t)
+
3
Referans 2 düğümü
3
Referans nerede?
_
1
V2
İ2 (t)
_
+
2
İ2 (t)
1
2
3- uçlu
eleman
İ3 (t)
+
İ3 (t)
3
Referans 1 düğümü
3
Bu graf gösterimleri ile birşeyler kayboldu, neler?
Kaybolanları nasıl bulacağız?
_
1
+
V21
İ1 (t)
İ2 (t)
3- uçlu
eleman
+_
G1
2
2
1
3
2
Kapalı düğüm dizisi için KGY
yazalım
v21(t )  v13 (t )  v32 (t )  0
G1 Gauss yüzeyi için KAY
yazalım
İ3 (t)
_
+
3
i1 (t )  i2 (t )  i3 (t )  0
n-uçlu elemana ilişkin uç-grafı
2
1
İ1 (t)
İ2 (t)
İk(t)
k
1
n- uçlu
eleman
İ1 (t)
2
k
İk(t)
İ2 (t)
İn-1 (t)
İn-1(t)
n
n
n-1
Tanım: (Ani Güç)
n 1
p(t ) ˆ  vk (t )ik (t )
k 1
n-1
2-kapılılar, çok kapılılar
S1 Gauss yüzeyi için KAY yazalım:
i1 (t )  i1' (t )  0
S2 Gauss yüzeyi için KAY yazalım: i2 (t )  i2' (t )  0
i1 (t )  i1' (t )
i2 (t )  i2' (t )
2-kapılıya ilişkin uç-grafı
Tanım: (Ani Güç)
p(t ) ˆ v1 (t )i1 (t )  v2 (t )i2 (t )
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits”, Mc.Graw Hill, 1987, New York
2- kapılı eleman içeren devre ayrık olmaz mı?
S1 Gauss yüzeyi için KAY yazalım:
ik (t )  0
S1
Devre grafı: Verilen bir devre için devredeki her elemana ilişkin uç grafı
çizilerek elde edilen grafa devre grafı denir.
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits”, Mc.Graw Hill, 1987, New York
Örnek
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits”, Mc.Graw Hill, 1987, New York
GrafTeorisine İlişkin Bazı Tanımlar
Tanım: (Derece)
Bir düğüme bağlı eleman sayısına o düğümün derecesi denir.
Tanım: (Yol)
G grafının aşağıdaki özellikleri sağlayan Gy alt grafına yol denir:
• Gy ‘nin n çizgisi, n+1 düğümü vardır.
• Gy ‘deki çizgiler e1, e2, ...,en düğümler d1,d2, ....,dn+1 olmak
üzere sırasıyla öyle numaralanabilirler ki ek çizgisinin düğümleri
dk ve dk+1 olur.
• d1 ve dn+1 düğümlerinin dereceleri bir diğer düğümlerin dereceleri
ikidir.
Tanım: (Birleşik Graf)
Verilen G grafında herhangi iki düğüm arasında en az bir yol
varsa buna birleşik graf denir.
Tanım: (Çevre)
G grafının aşağıdaki özellikleri sağlayan Ga alt grafına çevre denir:
• Ga birleşik bir graftır.
• Ga ‘daki bütün düğümlerin dereceleri ikidir.
Tanım: (Ağaç)
Birleşik bir G grafının aşağıdaki özellikleri sağlayan GT alt grafına
ağaç denir:
• GT , G’nin tüm düğümlerini kapsar.
• GT çevre içermez.
Tanım: (Dal)
Ağaç’ın elemanlarına dal denir.
Tanım: (Kiriş)
G grafından GT çıkarıldığında geriye kalan alt grafa kirişler kümesi
denir.
Sonuç: nd düğümlü bir G grafında seçilecek dal sayısı nd-1 dir.
Tanım: ( Temel Çevreler Kümesi)
ne elemanlı nd düğümlü birleşik bir G grafında GT seçilmiş bir ağaç olsun
Bu ağacın belirlediği (ne –nd +1) adet kirişin her birisi diğer elemanları dal
olmak üzere bir çevre tanımlar. Bu çevreye temel çevre, temel çevrelerin
oluşturduğu kümeye de temel çevreler kümesi denir.
Tanım: ( Kesitleme)
Birleşik bir G grafının aşağıdaki özellikleri sağlayan GK alt grafına
kesitleme denir:
• G grafından GK çıkarıldığında geriye kalan graf iki parçadır.
• GK ‘nın bir elemanını yerine koyarsak graf birleşik olur.
Tanım: ( Temel Kesitlemeler Kümesi)
ne elemanlı nd düğümlü birleşik bir G grafında GT seçilmiş bir ağaç olsun
nd-1 tane dalın her biri diğer elemanları kiriş olmak üzere bir kesitleme
tanımlar. Bu kesitlemeye temel kesitleme, temel kesitlemelerin oluşturduğu
kümeye de temel kesitlemeler kümesi denir.
1-a) Şekilde verilen devreye ilişkin grafı çiziniz.
b) 4 düğümden oluşan 10 tane kapalı düğüm dizisi belirleyiniz ve
KGY yazınız.
c) 7 tane Gauss yüzeyi belirleyiniz ve KAY yazınız.
d) 10 tane çevre seçip KGY yazınız.
e) 7 tane kesitleme seçip KAY yazınız.
f) Ağaç seçip ağacın belirlediği temel kesitleme ve temel
çevreler için KAY ve KGY yazınız.
g) 4 Düğüm için KAY yazınız.
3. Kirchhoff’un Akım Yasası (KAY)
Tüm toplu parametreli devrelerde, her t anında herhangi bir kesitlemeye
ilişkin akımların cebirsel toplamı sıfırdır.
Teorem:
Gauss Yüzeyleri için
KAY
Tanıt: (1)
Düğümler için
KAY
(2)
Gauss yüzeylerini düğümleri içerecek şekilde seç
(2)
(3)
(3)
(1)
Kesitlemeler için
KAY
Düğümler için KAY
Her kesitleme düğümleri iki gruba ayırıyor.
Gruplardaki her düğüm için yazılan KAY’ları toplanırsa
kesitleme için yazılan denklem elde edilir.
Her kesitlemeye ilişkin yazılan KAY’sına ilişkin denklem
kesitlemeye karşı düşen Gauss yüzeyine ilişkin yazılan
KAY’sına ilişkin denkleme denk gelmektedir .
nd düğümlü bir grafta nd düğüm için yazılan KAY ‘sına ilişkin denklemler
lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturur mu?
Hatırlatma
Lineer Bağımsız Denklem Takımı
fi ( x1, x2 ,..., xn )  i1 x1  i2 x2  i3 x3  ....  in xn  0
i  1,...m
n bilinmiyenli ........denklemin
m
f i (.) ‘lerin belirlediği ......
lineer bağımsız bir
denklem takımı oluşturduğunu nasıl anlarız?
m
 ki fi ( x1, x2 ,..., xn )  0
i 1
x1 , x2 ,..., xniçin sağlayan sıfırdan farklı ki‘ler varsa bu
lineer bağımlıdır.
denklem takımı ...................................
bazı denklemler diğerleri cinsinden ifade
m denklem lineer bağımlı ise .................................................................
edilir.
Örnek: f
1 ( x1 , x2 , x3 , x4 )
 x1  x2  x3  3x4  0
Lineer bağımsızlar mı?
f1 ( x1 , x2 , x3 , x4 )  2 x1  3x2  x3  4 x4  0
k1  2, k 2  3, k3  1
f1 ( x1 , x2 , x3 , x4 )  4 x1  11x2  5 x3  18 x4  0
nd düğümlü bir grafta nd düğüm için yazılan KAY ‘sına ilişkin denklemler
lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturur mu?
9
8
1
7
3
2
4
2
1
5
3
i
 i1 
Ø


5
4
i2 
 1 1 0 0 0 0 0  1 1  i3  0
n bilinmiyenli
 0 0  1 0 0 0 1 1 0  i  0
m denklem

 4   
var.
 0 0 0 1 1 0  1 0  1 i5   0

   
1 0 0 0  i6  0
Lineer bağımsız denklem  1  1 1  1 0
takımı oluşturup
 0 0 0 0  1  1 0 0 0  i7  0
 
oluşturmadıklarını nasıl
i8 
anlarız?
i 
Boyutu ne?
Aa
 9
6
...... bilinmiyenli ........denklem var ise lineer bağımsız bir denklem takımı
oluşturup oluşturmadıklarını nasıl anlarız?
rankı inceleriz sıfır satır oluşturacak şekilde satır/sütun işlemleri yaparız
Aa ‘nın rankı kaç?
2.d  0
3.d  0
0
0

4.d  1  1

5.d  0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1 0
1
1
0
1
0
0
0
0
1 1
0
0
Boyutu ne?
Rankı ne?
A
1
 i1 
i 
 2
i3  0
0    
i4  0


 
 1
i5   0
0    
 i6  0
0  
0
i7
 
i8 
i 
 9
1.d 1
0
2.d 
3.d 0

5.d 0
 i1 
i 
 2
i3  0
1 0 0 0 0 0 1 1    
i4  0


 
0 1 0 0 0 1 1 0 
i5   0
0 0 1 1 0  1 0  1    
 i6  0
0 0 0 1 1 0 0 0  
0
i7
 
i8 
Boyutu ne? A
i 
 9
Rankı ne?
İndirgenmiş düğüm matrisi A
Ai=0
Teorem: nd düğümlü birleşik bir grafta nd-1 düğüm için yazılan KAY’ları
lineer bağımsız bir denklem takımı oluşturur.
Tanıt: nd -1 tane denklemden k tanesi lineer bağımlı olsun:
k
  i fi (i1, i2 ,..., ine )  0
i 1
i1 , i2 ,..., ine
 i  0, i  1,2,..., k
Birleşik graf
k düğüm ve nd –k düğümü ayrı iki grup olarak
düşünelim. Bu düğüm gruplarını birleştiren bir
graf elemanı mutlaka vardır.
Bu graf elemanına ilişkin akım k denklemde sadece bir defa
gözükecektir.
Yazılan k denklemde bu akım diğer akımlar cinsinden ifade
edilemez.
k denklem lineer bağımlı olamaz.
nd-1 denklem lineer bağımlı olamaz.