esas periyodu - files.eba.gov.tr

TRİGONOMETRİK
FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
Periyodik Fonksiyon
20.03.2011
İbrahim KOCA
1
Periyodik Fonksiyon:
A R
için
f :AB
bir fonksiyon olsun.
x  A
için,
f ( x  T )  f ( x)
eşitliğini sağlayan bir T reel sayısı varsa, f fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T
reel sayısına da f fonksiyonunun periyodu denir.
T pozitif reel sayılarından en küçük olanına, f fonksiyonunun esas periyodu denir.
20.03.2011
İbrahim KOCA
2
Trigonometrik Fonksiyonların Periyotları:
x  R
ve
k Z
için
sin( x  k .2 )  sin x
ve
cos( x  k .2 )  cos x
olduğundan
sinüs ve kosinüs fonksiyonları periyodiktir. Bu fonksiyonların periyodu
esas periyodu
2
k.2
dir.
tan( x  k . )  tan x
cot( x  k . )  cot x
olduğundan,
Tanjant ve kotanjant fonksiyonları da periyodiktir. Bu fonksiyonların periyodu
esas periyodu
20.03.2011

ve
k.
ve
dir.
İbrahim KOCA
3
sin
cos
tan
cot
sec
cosec
20.03.2011
periyot:
periyot:
periyot:
k.2
k.
esas periyot:
esas periyot:
k.2
esas periyot:
İbrahim KOCA
2

2
4
Örnek-1)
f ( x)  4sin 5 x
fonksiyonunun periyodunu ve esas periyodunu bulunuz.
Çözüm-1)
Periyodik fonksiyon tanımından;
f ( x  T )  f ( x)  4sin(5.( x  T ))  4sin 5 x
 sin(5 x  5T )  sin 5 x
 sin(5 x  5T )  sin(5 x  k .2 )
 5x  5T  5x  k.2
 5T  k.2
k .2
T 
5
20.03.2011
esas periyot için
k=1 alınır;
2
5
fonksiyonun periyodu
İbrahim KOCA
5
Örnek-2)
f ( x)  3  2 cot(4 x  8)
fonksiyonunun periyodunu ve esas periyodunu bulunuz.
Çözüm-2)
20.03.2011
İbrahim KOCA
6
Örnek-3)
f ( x)  6  2 cos 3 x
fonksiyonunun periyodunu ve esas periyodunu bulunuz.
Çözüm-3)
20.03.2011
İbrahim KOCA
7
Örnek-4)
f ( x)  tan(5 x  6)  3
fonksiyonunun periyodunu ve esas periyodunu bulunuz.
Çözüm-4)
20.03.2011
İbrahim KOCA
8
Kural:
n sıfırdan farklı bir tam sayı ve a, b, c, d birer reel sayı olmak üzere,
y  a  b.cosn (cx  d )
y  a  b.sin n (cx  d )
y  a  b.secn (cx  d )
y  a  b.cos ec (cx  d )
y  a  b.cot n (cx  d )
2
dir.
c
n çift ise:

c
fonksiyonlarının
esas periyodu:
n
y  a  b.tan n (cx  d )
n tek ise:
fonksiyonlarının
esas periyodu:

c
dir.
dir.
Bir ifade birden fazla trigonometrik ifade içeriyorsa; içerdiği fonksiyonların esas
periyotlarının o.k.e.k inin her bir tam katı, bu fonksiyonun bir periyodudur.
20.03.2011
İbrahim KOCA
9
Örnek-5)
Aşağıda verilen fonksiyonların esas periyotlarını bulunuz.
f ( x)  5  2sin 3 (7 x  3)
f ( x)  4  2 cos(5 x  4)
f ( x)  cos4 (3x  2)
f ( x)  1  2 tan 3 (1  2 x)
f ( x)  2cot 6 3x
20.03.2011
İbrahim KOCA
10
Örnek-6)
f ( x)  sin 2 3x  2cos3 4 x
fonksiyonunun esas periyotunu bulunuz.
Çözüm-6)
sin 3x  T1 
2

3
2 

2 cos 4x  T2 
4
2
3
 
o.k.e.k (T1 , T2 )  o.k .e.k ( , )  
3 2
esas periyot
20.03.2011

dir.
İbrahim KOCA
11
Örnek-7)
f ( x)  sin 9 x  cos2 6 x
fonksiyonunun esas periyotunu bulunuz.
A  10 ,130 , 250  kümesi için f ( A) görüntü kümesini yazınız.
20.03.2011
İbrahim KOCA
12
1-) Kosinüs Fonksiyonunun Grafiği:
Örnek-1)
Çözüm:
Esas periyot
x
cos x
y  cos x
2
0
1
dir.
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
0, 2  aralığını seçelim.

2

3
2
0
1
0
2
1
 /2

1
0
y
3 / 2
2
x
1
20.03.2011
İbrahim KOCA
13
2-) Sinüs Fonksiyonunun Grafiği:
Örnek-1)
Çözüm:
Esas periyot
x
sin x
y  sin x
2
0
0
dir.
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
0, 2  aralığını seçelim.

2
1
3
2

1
0
1
2
0
y
3 / 2
0
 /2

2
x
1
20.03.2011
İbrahim KOCA
14
3-) Tanjant Fonksiyonunun Grafiği:
Örnek-1)
Çözüm:
Esas periyot
20.03.2011
y  tan x

dir.
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
  
  2 , 2 
aralığını seçelim.
İbrahim KOCA
15
20.03.2011
İbrahim KOCA
16