Çarpanlara Ay*rma - video.eba.gov.tr

Çarpanlara Ayırma
1-) Ortak Çarpan Parantezine Alma:
Örnek-1)
5
4
3
a a a a
26.10.2010
2
İfadesini çarpanlara ayırınız.
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
2
Örnek-2)
a 2  ab  4a  4b
26.10.2010
İfadesini çarpanlara ayırınız.
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
3
2-) Özdeşliklerden Yararlanarak Çarpanlara Ayırmak
a-) İki Terimin Toplam ve Farkının Karesi:
(a  b)  a  2ab  b
2
2
2
(a  b)  a  2ab  b
2
26.10.2010
2
2
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
4
b-) İki Kare Farkı:
a  b  (a  b).(a  b)
2
26.10.2010
2
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
5
c-) İki Terimin Toplamının ve Farkının Küpü:
(a  b)  a  3a b  3ab  b
3
3
2
2
3
(a  b)  a  3a b  3ab  b
3
26.10.2010
3
2
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
2
3
6
d-) İki Küp Farkı ve Toplamı:
a  b  (a  b).(a  ab  b )
3
3
2
2
a  b  (a  b).(a  ab  b )
3
26.10.2010
3
2
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
2
7
**Özdeşlik:
n herhangi bir pozitif doğal sayı olmak üzere:
x n  y n  ( x  y).( x n1  x n2 y  x n3 y 2  ...  xy n2  y n1 )
26.10.2010
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
8
Örnek:
x y
7
7
İfadesini çarpanlara ayırınız
x7  y 7  ( x  y).( x6  x5 y  x 4 y 2  x3 y 3  x 2 y 4  xy 5  y 6 )
26.10.2010
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
9
Örnek:
x y
6
6
İfadesini çarpanlara ayırınız
x  y  ( x  y).( x  x y  x y  x y  xy  y )
6
26.10.2010
6
5
4
3
2
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
2
3
4
5
10
Örnek:
x  32
5
İfadesini çarpanlara ayırınız
x  2  ( x  2).( x  2 x  4 x  8 x  16)
5
26.10.2010
5
4
3
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
2
11
**Özdeşlik:
n tek doğal sayı ise;
x n  y n  ( x  y).( x n1  x n2 y  x n3 y 2  ...  xy n2  y n1 )
26.10.2010
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
12
Örnek:
x  32
5
İfadesini çarpanlara ayırınız
x  2  ( x  2).( x  2 x  4 x  8x  16)
5
26.10.2010
5
4
3
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
2
13
3-)
ax  bx  c
2
Biçimindeki Üç Terimlileri Çarpanlara Ayırma:
1.Durum:
x
2
nin katsayısı 1 ise, yani a=1 ise;
x  bx  c
2
26.10.2010
İfadesinde çarpımları c, toplamları b olan
iki sayı bulunur.
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
14
Örnekler:
x  13x  12
2
12
1
x  13x  12  ( x  1).( x  12)
2
( 12.1=12 =c
26.10.2010
ve 12+1=13=b olduğundan )
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
15
Örnekler:
x  7 x  12
x 2  7 x  10
x  16 x  60
x  10 x  16
2
2
2
x2  x  2
x  2x  8
2
26.10.2010
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
16
2.Durum:
x
2
nin katsayısı 1 den farklı ise:
Örnek:
6x  x  2
İfadesini çarpanlara ayırınız.
6x  x  2
-3x+4x=x olduğundan;
2
2
3x
2
2x
-1
26.10.2010
6 x  x  2  (3x  2).(2 x  1)
2
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
17
Örnekler:
5a  4a  12
12 x  20 x  25
8 x  2 x  15
6 x  5 x  25
2
2
2
26.10.2010
2
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
18
Değişken Değiştirerek Çarpanlara Ayırma:
Örnek:
x  10 x  21
4
2
İfadesini çarpanlarına ayırınız
Çözüm:
x  10 x  21  ( x )  10 x  21
4
2
2 2
2
x2  u
 u 2  10u  21  (u  3).(u  7)
3
7
 ( x 2  3).( x 2  7)
26.10.2010
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
19
Örnek:
(3x  1)2  (3x  1)  6 İfadesini çarpanlarına ayırınız
Çözüm:
3x 1  u
u  u  6  (u  3).(u  2)
2
-3
2
 (3 x  1  3).(3 x  1  2)
 (3x  4).(3 x  1)
26.10.2010
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
20
Polinomlarda E.K.O.K ve E.B.O.B
En az iki polinomun e.k.o.k. u bulunurken;
1-) Verilen polinomlar çarpanlara ayrılır
2-) Ortak olanların en büyük üslüleri ve ortak olmayanların çarpımı ile
e.k.o.k. bulunur.
Örnek:
P( x)  6.( x  1)2 .( x  1)
Q( x)  10.( x  1).( x  1)3
ise bu polinomların e.k.o.k. u:
E.k.o.k.[ P( x); Q( x)]  30.( x  1) .( x 1)
2
26.10.2010
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
3
21
En az iki polinomun e.b.o.b. u bulunurken;
1-) Verilen polinomlar çarpanlara ayrılır
2-) Ortak bölenlerin en küçük üslüleri alınıp çarpılarak e.b.o.b. bulunur.
Örnek:
P( x)  6 x.( x  1)
Q( x)  15 x 2 .( x  1) 2
İse bu polinomların e.b.o.b. u;
E.b.o.b.[ P( x); Q( x)]  3x.( x  1)
26.10.2010
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
22
Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi:
B ( x )  0 olmak üzere;
P( x)
B( x)
rasyonel ifadesinin
payı ve paydası ayrı ayrı çarpanlarına ayrılır.
Ortak çarpanlar sadeleştirilir.
26.10.2010
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
23
Örnek1:
x 2  25
x5
İfadesini sadeleştiriniz.
Çözüm:
x 5
x5
2
26.10.2010
2
( x  5).( x  5)
 x 5

( x  5)
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
24
Örnek2:
x3  1
x2  x  1
İfadesini sadeleştiriniz.
Çözüm:
x3  13
( x  1).( x 2  x  1)

 x 1
2
2
x  x 1
x  x 1
26.10.2010
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
25
Örnek3:
2 x3  16
( x 2  4).( x 2  2 x  4)
İfadesini sadeleştiriniz.
Çözüm:
2.( x3  8)
( x 2  4).( x 2  2 x  4)
2.( x3  23 )
 2 2
( x  2 ).( x 2  2 x  4)
2
2.( x  2).( x 2  2 x  4)


2
( x  2).( x  2).( x  2 x  4)
x2
26.10.2010
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
26
Örnek4:
2ax 2  2abx  2ax
ax  ab  a
ifadesini sadeleştiriniz.
Çözüm:
2ax 2  2abx  2ax
ax  ab  a
26.10.2010
2ax( x  b  1)

a.( x  b  1)
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
 2x
27
Örnek5:
a 3  b3
(a  b)2  ab
ifadesini sadeleştiriniz.
Çözüm:
a 3  b3
(a  b)2  ab
(a  b).(a 2  ab  b 2 )
 2
a  2ab  b 2  ab
(a  b).(a 2  ab  b 2 )
 a b

2
2
a  ab  b
26.10.2010
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
28
Örnek6:
2 x2  x 1 2 x 1
:
2
x 1
x 1
ifadesini sadeleştiriniz.
Çözüm:
2 x 2  x  1  (2 x  1).( x  2)
2x
-1
x
1
2 x 2  x  1 2 x  1  (2 x  1).( x  2) . x  1
:
2
( x  1).( x  1) 2 x  1
x 1
x 1
x2

x 1
26.10.2010
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
29
Örnek7:
a 2  2a  3 a  1
:
2
a  5a  6 a  2
ifadesini sadeleştiriniz.
Çözüm:
3
-1
a 2  2a  3 a  1
a 1
(a  3).(a  1) a  2
:


.
2
a  5a  6 a  2
a 1
(a  2).(a  3) a  1
2
26.10.2010
3
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
30
Örnek8:
x.( x  2)  4
x3  8
: 2
2
x x
x x2
ifadesini sadeleştiriniz.
Çözüm:
x 2  2 x  4 x3  23
x2  2 x  4 x2  x  2
: 2

. 3 3
x.( x  1) x  x  2
x.( x  1)
x 2
-2
1
2
x2  2 x  4
x2  x  2
x
 2x  4
( x  2).( x  1)

.

.
x.( x  1) ( x  2).( x 2  2 x  4)
x.( x  1) ( x  2).( x 2  2 x  4)
26.10.2010
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA

1
x
31
Rasyonel Denklemler:
P( x)
 0 denklemine
B ( x )  0 olmak üzere;
B( x)
rasyonel denklem denir.
ise ( P(x)=0 ve B(x)≠0 ) eşitliğini sağlayan x
sayılarının her birine denklemin kökü,
P( x)
0
köklerin oluşturduğu kümeye de çözüm
B( x)
kümesi denir.
26.10.2010
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
32
Örnek1:
x
2
4

 2
x  1 x  2 x  3x  2
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
x
2
4
x.( x  2)
2.( x  1)
4

 2



x  1 x  2 x  3x  2
( x  1).( x  2) ( x  1).( x  2) ( x  1).( x  2)
(x-2)
(x-1)
-2
-1
x2  2 x  2 x  2
4


( x  1).( x  2)
( x  1).( x  2)
26.10.2010
x 2 4
x2  6
x 6
Ç  { 6, 6}
2
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
33
Örnek2:
7x  3
x2  x  6
ifadesini basit kesirlerin toplamı biçiminde yazınız.
Çözüm:
7x  3
7x  3

x 2  x  6 ( x  3).( x  2)
3
A
B


x3 x2
x-2
-2
x+3
A.( x  2)  B( x  3)
A.x  2. A  B.x  3.B ( A  B).x  2. A  3.B



( x  3).( x  2)
( x  3).( x  2)
( x  3).( x  2)
A B  7
2. A  3.B  3
26.10.2010
17
5
18
B
5
A
7x  3
17
18


2
x  x  6 5 x  15 5 x  10
Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
İbrahim KOCA
34
Örnek3: (2001-ÖSS)
10 x  5
A
B


x2  4x  5 x  5 x  1
olduğuna göre, A – B kaçtır?
Çözüm:
10 x  5
10 x  5
A
B



2
x  4 x  5 ( x  5).( x  1) x  5 x  1
x+1
-5

A.( x  1)  B.( x  5)
( x  5).( x  1)
x-5
1
A.x  A  B.x  5B
( x  5).( x  1)
A  B  10
A  5B  5
26.10.2010


( A  B).x  A  5B
( x  5).( x  1)
15
15
2
A B 
5
2
B
2 Şehit Ahmet Altuncu 100.Yıl Lisesi
A
İbrahim KOCA
5 10
 
5
2 2
35