kümeler konu anlatımı

ERDİNÇ BAŞAR
KÜME NEDİR :
İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Buradaki
iyi tanımlanmış, herkes tarafından aynı şekilde bilinen, belirli
olan varlıklar demektir. Kümeler genellikle büyük harflerle
isimlendirilir ve gösterilirler.
 Küme belirtmez
• Çalışkan öğrenciler
• Uzun boylu insanlar
• Haftanın birkaç günü
 Küme belirtir
• Yıllık mevsimler
• Çift rakamlar
• P harfi ile başlayan günler
KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI
Kümeyi oluşturan varlıklara veya sembollere eleman denir.
Bir A kümesinin eleman sayısı s(A) sembolü ile gösterilir.
ÖRNEK:
A kümesi, haftanın C harfi ile başlayan günleri olsun.
A={Cuma , Cumartesi} olur ve s(A)=2 dir.
KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
Kümeler üç şekilde gösterilir.
 Liste yöntemi
 Ortak özellik yöntemi
 Venn şeması yöntemi
NOT:
Küme içinde aynı eleman sadece bir kez yazılır.
Örneğin; MATEMATİK kelimesinin harflerinin oluşturduğu
küme { M,A,T,E,İ,K} olur.
 Liste Yöntemi:
Kümenin elemanlarının küme parantezi içine yani { }
sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak
yazılmasına liste yöntemi denir.
ÖRNEK:
A = { a,b,c }
B = { 1907,fb,gs,6,0}
Ortak Özellik Yöntemi:
Kümenin elemanlarını; daha somut ya da daha kolay algılanır
biçimde, gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir
ifade olarak ortaya koyma biçimidir.
A = {x : (x in özeliği)}
Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.
Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.
Venn Şeması Yöntemi :
Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile
gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.
Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.
A



a
b
c
A = { a, b, c } kümesi Venn şeması ile gösterilmiştir.
Şema ile gösterilirken her elemanın başına nokta konulur ve
kümenin adı şeklin hemen yanına yazılır.
ALT KÜME :
A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A
kümesine B nin alt kümesi denir ve A Ϲ B sembolü ile
gösterilir. Yada;
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini
kapsıyor denir ve B Ͻ A sembolü gösterilir.
C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C ₡ D sembolü ile
gösterilir.
ÖRNEK : A={1,2,3} kümesinin alt kümelerini bulalım.
 0 elemanlı alt küme sayısı (boş küme)
{ } olup
sayısı=1 dir.
 1 elemanlı alt küme sayısı {1},{2},{3} olup
sayısı=3tür
 2 elemanlı alt küme sayısı {1,2}{1,3},{2,3} olup
sayısı=3 tür.
 3 elemanlı alt küme sayısı
{1,2,3} olup sayısı=1 dir
Toplamda 1+3+3+1=8 tane alt kümesi vardır.
elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı
2𝑛 formülü ile hesaplan𝚤r.
n elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı 2𝑛 −
1 formülü ile hesaplan𝚤r.
n
ÖRNEK: A ={a,b,{b,c},c,{b},{a,c}} alt küme ve özalt küme
sayısı kaçtır ?
• Kümenin elaman sayısı s(A)=6
• Kümenin alt küme sayısı 2𝑛 =26 =64
• Kümenin özalt küme sayısı 2𝑛 -1=26 -1=64-1=63
n elemanlı sonlu bir kümenin r elemanlı her alt kümesine
n’nin r’li kombinasyonu denir.
𝑛!
(n,r)=
(𝑛−𝑟)!.𝑟!
Formülünü ile hesaplanır.
ÖRNEK: A={a,b,c,d,e} kümesinin 4 elemanlı alt küme
sayısı,
𝑛!
(𝑛−𝑟)!.𝑟!
(n,r)=
5!
(5,4)=
(5−4)!.4!
5.4!
(5,4)=
=5
4!
5 tane 4 elemanlı alt kümesi vardır.
ÖRNEK: A={a,b,c,d,e,f,g} kümesi için aşağıdaki soruları
birlikte cevaplayalım
a) Alt kümelerinin kaç tanesinde a eleman olarak bulunmaz.
cevap:26=64
b) Alt kümelerinin kaç tanesinde b eleman olarak bulunur.
cevap:26=64
c) Alt kümelerinin kaç tanesinde c veya d eleman olarak
bulunmaz.
cevap: Burada hepsinden c ve d nin elaman olarak bulunduğu
durumu çıkartırsak
27-25=128-32=96
ÖRNEK: A={1,2,3,4,5,6,7} kümesinin;
 3 elemanlı alt kümeleri kaç tanedir?
Cevap: (7,3)’lü kombinasyonu (7,3)=35
 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 bulunur.
Cevap: (6,3)’lü kombinasyonu (6,3)=20
 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunmaz.
Cevap: (6,4)’lü kombinasyonu (6,4)=15
 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 bulunur
ve 6 bulunmaz?
Cevap: (4,3)lü kombinasyonu (4,4)=5
KÜMELERDE İŞLEMLER
 İki kümenin kesişimi ve ayrık iki küme,
 İki kümenin birleşimi,
 Fark kümeleri,