Slayt 1 - Altunizade Hafize Özal Primary School

Küme, kesin ifadelerle, iyi tanımlanmış, kişiden kişiye değişiklik
göstermeyen nesne veya kavramların oluşturduğu topluluktur.
Kümelerin içinde bulunan kavram veya nesnelere, içinde bulunduğu
kümenin elemanı denir.
!
Unutulmamalıdır ki bir kümede bir eleman sadece bir kez bulunabilir.
Örnek: ADANA kelimesini oluşturan harflerin küme şeklinde
gösterilmesi için A,D,N harfleri kullanılır.
Burada kelime içinde
içine bir kez yazılır.
A
üç kez kullanılmasına rağmen, küme
Kümelerin Gösterilişi:
Liste Yöntemi: Elemanların, aralarına virgül
koyularak { } (küme parantezi) içerisinde
gösterilmesidir.
Şema Yöntemi (Venn Şeması): Elemanların
bir düzlem parçası içinde gösterilmesidir.
Elemanları belirlemek için her elemanın
önüne nokta koyulur.
Ortak Özelik Yöntemi: Bu yöntem bir
anlamda kümeyi oluşturan elemanların
tanımlamasını yapmaktır. Elemanların ortak
özeliğini küme parantezi içerisine yazarsak
bu yöntemi kullanmış oluruz.
Hangi yöntem kullanılırsa kullanılsın kümeler büyük
harflerle isimlendirilir.
Örnek: ADANA kelimesini oluşturan harflerden bir küme meydana
getirelim.
E
E={A,D,N}
Liste Yöntemi
.A
.D
E={ADANA kelimesinin harfleri}
Ortak Özelik Yöntemi
.N
Şema Yöntemi
P, E kümesinin
bir elemanı mı?
Burada E kümesinin P diye bir
elemanı yoktur. Yani P, E
kümesinin elemanı değildir ve bu
durum:
P
E
şeklinde gösterilir.
Burada A, D ve N, E kümesinin
elmanıdır bu durum:
A
E
D E
N
E şeklinde gösterilir.
EVRENSEL KÜME:
Söz konusu bir toplulukta, elemanlar farklı özelikler gösterse bile tüm
elemanları içine alan kümeye Evrensel Küme denir.
A={2009/2010 yılı Altunizade Hafize Özal İlköğretim Okulu müdürü}
B={2009/2010 yılı Altunizade Hafize Özal İlköğretim Okulu müdür baş yardımcısı}
C={2009/2010 yılı Altunizade Hafize Özal İlköğretim Okulu müdür yardımcıları}
E={2009/2010 yılı Altunizade Hafize Özal İlköğretim Okulu idaresi}
Boş Küme:
Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir.
Yukarıdaki resimde bulunan öğrencilerin kümesi istendiğinde, nasıl bir
küme oluşturursunuz?
Boş küme; { } veya Ø sembollerinden biriyle gösterilebilir.
!
Verilen bir ifadenin boş küme anlatmasıyla, küme anlatmaması durumu
karıştırılmamalıdır.
Örnek: “Kanatlanıp uçabilen ağaçlar.” kümesi istendiğinde:
Neyim ben? Kuş mu? Ağaç mı?
Burada kanatlanıp uçma özeliğine sahip
ağaçlardan bahsedilmekte olup istenen nesne,
kesin bir ifade ile iyi tanımlanıp, kişiden kişiye
değişiklik göstermeyecek bir şekilde ortaya
konmuştur.
Yani bu ifade bir küme belirtir ancak içine
eleman yazılamayacağından bu küme boş
kümedir.
Örnek: “Lezzetli yemekler.” kümesi istendiğinde:
“En lezzetli yemek
makarnadır.”
Lezzetli olan yemeklerden
bahsedilmekte olup istenen
nesne kesin bir ifade ile iyi
tanımlanmıştır ancak ne var ki
lezzet kavramı kişiden kişiye
değişiklik göstereceğinden
(benim için lezzetli olan bir
yemeği sen beğenmeyebilirsin)
bu ifade küme belirtmez.
ALT KÜME
D
Bir A kümesi, bir B kümesinin
içinde bulunuyorsa yani A
kümesinin tüm elemanları aynı
zamanda B kümesinin de
elemanıysa A kümesi B kümesinin
alt kümesidir ya da B kümesi A
kümesini kapsar.
Bu durumlar:
T
A
B
B
A
şeklinde gösterilir. Şema olarak
aşağıdaki durum ortaya çıkar.
B
A
Türkiye’de yaşayan her insan aslında Dünya’da yaşamaktadır. Türkiye’de
yaşayan insanlar kümesi T, Dünyada yaşayan insanlar kümesi D’nin bir
alt kümesidir.
Örnek: Türkiye Cumhuriyeti’nde 70 milyon civarında insan yaşıyor, Çin Halk
Cumhuriyeti’nde ise 1 milyar civarında insan yaşıyor.
T={Türkiye Cumhuriyeti’nde yaşayan insanlar}
Ç= {Çin Halk Cumhuriyeti’nde yaşayan insanlar}
kümeleri verildiğinde,
T Ç durumu söz konusu değildir. Çünkü Ç’deki eleman sayısının T’dekinden fazla
olması Ç’nin T’yi kapsamasını gerektirmez.
Örnekler:
1.) A={1,2,3} kümesi aşağıdakilerden hangisinin alt kümesi olabilir?
a)K={a,b,1}
b) L={p,r,1,3}
c) B={a,1,b,2,c,3} d) E={1}
2.) E={a,b,3} kümesini kapsayan bir küme yazınız.
3.) F={d,k,r} kümesinin iki tane alt kümesini yazınız.
4.) L={m,l,k,n} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerini yazınız.
1.) Boş küme her kümenin alt
kümesidir.
2.) Evrensel küme ilgili her
kümeyi kapsar.
3.) Her küme kendisinin alt
kümesidir.
k,l,m} kümesinin tüm alt kümelerini yazınız.
Örnek: A={
0 elemanlı alt küme (Boş küme)
1 elemanlı alt küme
2 elemanlı alt küme
B1={
k}
C1={
k,l}
Ø
!
l
B2={ }
C2={
k,m}
B3={
m}
C3={
l,m}
Küme içerisinde elemanların yerinin değişmesi yeni bir küme meydana
getirmez. Bu anlamda C1={k,l}; C2={k,m}; C3={l,m} kümelerinin içindeki
elemanların yer değiştirmesi bizi yeni alt kümelere götürmeyecektir.
3 elemanlı alt küme
(Kendisi)
A={k,l,m}
1.) Boş küme her kümenin alt kümesidir.
3.) Her küme kendisinin alt kümesidir.
KÜMELERDE İŞLEMLER
Birleşim İşlemi: İki kümenin tüm elemanlarının bir araya gelmesiyle
oluşan yeni kümeye bu iki kümenin birleşimi adı verilir. Birleşim işlemi U
sembolüyle gösterilir.
A={ P , R , S
}
B={ 1, 2 , P
AUB
}
P’nin yaptığı hareket
dikkatinizi çekti mi?
Yukarıda S(A)=3 (A kümesinin eleman sayısı 3) ve S(B)=3
olmasına karşın birleşimin eleman sayısı 5 oldu bu durumu
açıklar mısınız?
Kesişim İşlemi: İki kümenin tüm elemanları incelendiğinde her iki kümede
bulunan ortak elemanların oluşturduğu yeni küme bu iki kümenin kesişimidir.
Kesişim işlemi ∩ simgesiyle gösterilir.
A={ P, R, S}
A ∩B={P} olur.
B={1, 2, P}
Fark İşlemi: Her hangi iki kümenin biri A diğeri B olsun. A kümesinde olup
B kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin B
den farkı adı verilir. Fark işlemi \ veya – sembollerinden biriyle gösterilir.
Yukarıdaki A ve B kümeleri için A\B ve B\A kümelerini inceleyiniz.
İşlemleri şema üzerinde inceleyecek olursak;
AUB
A ∩B
A \B
Örnekler:
1-) A={1,2,3,4} ve B={a,b,1,2,5} ise AUB kümesini yazınız.
2-) A={1,2,5,9,a} ve B={1,5,a,b,c} ise A∩B kümesini yazınız.
3-) K={a,b,3,5} ve L={Latin alfabesindeki harfler} ise K\L kümesini yazınız.
Kümelerle İlgili Problemler
1.) Bir sınıftaki tüm öğrenciler ya Müzik ya da tiyatro kulübünde
görev almıştır. 17 kişi müzik, 15 kişi tiyatro, 8 kişi ise hem müzik
hem tiyatro kulübünde görev aldığına göre bu sınıfta kaç öğrenci
vardır?
Çözüm: Bu tip problemlerin çözümünde bir kümede bir elemanın
sadece bir kez bulunabileceği durumunu aklımızdan çıkarmamalıyız.
Şöyle ki:
Her iki kulüpte görev alan 8 kişi hem 17 öğrenciye hem de 15
öğrenciye zaten dahildir.
Bu durumda toplam 17+15=32 öğrenci olduğu sonucuna gidilirse
ortak olan 8 kişi iki defa sayılmış olur.
Oysa az önce de belirttiğimiz gibi her eleman bir kez kullanılmalıdır.
Buradan 17+15=32’nin içinde iki kez alınmasından dolayı 8 fazlalık
olduğu açıktır. Dolayısıyla 32 içindeki 8 fazlalık atılmalıdır.
Sonuçta 32–8=24 öğrenci sınıf mevcudunu verir.
Bu durumu şema ile anlatırsak daha iyi anlaşılabilir.
Bunun için birleşim işleminin şema üzerindeki gösterimini hatırlayalım:
T
M
17-8= 9
Sadece
Müzik
+
15-8= 7
Sadece
Tiyatro
Hem müzik
hem tiyatro
17
+
8
= 24
15
2.) Bir uçakta 38 yolcu bulunmaktadır. Yapılan bir ankette 20
yolcunun İngilizce, 23 yolcunun ise Almanca konuşabildiği
belirlendiğine göre her iki dili konuşabilen kişiler var mıdır?
Varsa kaç kişidir?
3.) Sadece BJK ve Türk Milli takım futbolcularının bulunduğu
bir davette BJK futbol takımının kadrosunda bulunan 16
futbolcu ile Türk Milli takımının kadrosunda bulunan 16
futbolcu bir araya geliyor. Tüm futbolcuların katılım gösterdiği
bu davette toplam 28 futbolcu olduğuna göre milli takım
kadrosunda Beşiktaş’tan kaç futbolcu bulunmaktadır?
4.) Bir adam film arşivi yapmaktadır. Elindeki komedi filmlerinde ya Kemal
Sunal ya da Şener Şen mutlaka oynamaktadır. Bu adamın filmlerinden 60
tanesinde Kemal Sunal, 40 tanesinde Şener Şen oynamaktadır. Arşivdeki
15 filmde Şener Şen ve Kemal Sunal birlikte oynadığına göre bu adamın
toplam 124 tane filminin kaç tanesi komedi filmi değildir?