9. Uygulama Đki Değişkenli Sürekli Dağılımlar 1. 1

9. Uygulama
Đki Değişkenli Sürekli Dağılımlar
1. X 1 ve X 2 rasgele değişkenleri (0,1) × (0,1) ⊂ R 2 birim kare üzerinde düzgün dağılıma sahip
olsun. Gösterim olarak ( X 1 , X 2 ) ∼ U ( (0,1) × (0,1) )
değişkenleri’nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,
1 ,
f X1 , X 2 ( x1 , x2 ) = 
0 ,
yazabiliriz.
X 1 ve X 2
rasgele
0 ≤ x1 ≤ 1 , 0 ≤ x2 ≤ 1
d . y.
dır. X 1 ve X 2 rasgele değişkenleri’nin ortak dağılım fonksiyonu,
0
x x
 1 2
FX1 , X 2 ( x1 , x2 ) = P( X 1 ≤ x1 , X 2 ≤ x2 ) =  x1
x
 2
1
,
x1 < 0 veya x2 < 0
,
0 ≤ x1 < 1 , 0 ≤ x2 < 1
,
0 ≤ x1 < 1, x2 ≥ 1
,
x1 ≥ 1, 0 ≤ x2 < 1
,
x1 ≥ 1, x2 ≥ 1
dır.
Dağılımın destek kümesi DX1 , X 2 = (0,1) × (0,1) = (0,1) 2 olup, bu kare üzerinde yoğunluk
fonksiyonu’nun ve dağılım fonksiyonu’nun grafikleri aşağıdaki gibidir.
X 1 ve X 2 ‘nin marjinal dağılımları U ( 0,1) olup, X 1 ile X 2 bağımsızdır..
2. X 1 ve X 2 rasgele değişkenleri’nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,
2
2
2
 , x1 + x 2 ≤ 1 , x2 ≥ 0
f X1 , X 2 ( x1 , x2 ) =  π
0 , d . y.
olsun.
{
}
Dağılımın destek kümesi DX1 , X 2 = ( x1 , x2 ) : x12 + x 22 ≤ 1, x 22 ≥ 0 ⊂ R 2 olup, bu yarım
daire üzerinde ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu’nun grafiği aşağıdaki gibidir.
X 1 ve X 2 ‘nin ortak dağılım fonksiyonu ve grafiği oldukça karmaşıktır. X 1 ve X 2
rasgele değişkenleri’nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları,
 1− x12 2
 2 1 − x2
1


dx
,
−
1
≤
x
≤
1
1
f X1 ( x1 ) =  ∫ π 2
= π
0

0
, d . y.

0
 1− x22 2
2


dx1 , 0 ≤ x2 ≤ 1  4 1 − x2
∫
f X 2 ( x2 ) = 
= π
π
− 1− x22

0

, d . y.
0
dır.
, − 1 ≤ x1 ≤ 1
,
d . y.
, 0 ≤ x2 ≤ 1
,
d . y.
Koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonlar,
 2/π
, − 1 − x22 ≤ x1 ≤ 1 − x22

2
f X , X ( x1 , x2 )  4 1 − x
2
f X1 / x2 ( x1 ) = 1 2
=
f X 2 ( x2 )
 π
0
, d . y.
1


=  2 1 − x22
0

,
1 − x22 ≤ x1 ≤ 1 − x22
,
d . y.
 2/π
, 0 ≤ x2 ≤ 1 − x12

2
f X , X ( x1 , x2 )  2 1 − x
1
f X 2 / x1 ( x2 ) = 1 2
=
f X1 ( x1 )
 π
0
, d . y.
 1

=  1 − x22
0

, 0 ≤ x2 ≤ 1 − x12
,
d . y.
dır.
X 2 rasgele değişkeninin X 1 üzerindeki regresyon denklemi,
1− x12
∫
E ( X 2 / x1 ) =
x2
0
1 − x12
dx2 =
1
1 − x12
2
ve X 1 rasgele değişkeninin X 2 üzerindeki regresyon denklemi,
1− x22
∫
E ( X 1 / x2 ) =
−
dır.
1− x22
x1
1
2 1 − x22
dx1 = 0
3. X 1 ve X 2 rasgele değişkenleri’nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,
1
, 0 ≤ x1 ≤ π / 2 , 0 ≤ x2 ≤ 10

f X1 , X 2 ( x1 , x2 ) =  5π
0
, d . y.
olsun.
Dağılımın destek kümesi DX1 X 2 = {( x1 , x2 ) : 0 ≤ x1 ≤ π / 2 , 0 ≤ x2 ≤ 10} ⊂ R 2 dır.
A = {( x1 , x2 ) : 0 < x1 < π / 2 , 0 < x2 < 7sin x1} ⊂ DX1 X 2
olayının olasılığı,
P (( X 1 , X 2 ) ∈ A) =
π /2 7sin x1
∫ ∫
0
0
1
1
dx2 dx1 =
5π
5π
π /2
∫ 7 sin x dx
1
0
1
=
7
14
π /2
(− cos x2 ) 0 =
5π
10π
dır. Böyle bir olay gerçek dünyada söz konusu olabilir mi?
Aralarındaki uzaklık 20 cm olan paralel doğruların bulunduğu bir düzleme, uzunluğu
14 cm olan bir iğne rasgele atılması deneyinde (Buffon’un Đğne Deneyi),
X 1 : ignenin doğrultusu ile paralel doğrular arasındaki dar açının büyüklüğü (radyan
cinsinden),
X 2 : iğnenin orta noktasının en yakın olan doğruya uzaklığı (cm cinsinden)
olsun.
π
X 1 rasgele değişkeni (0, ) aralığında düzgün dağılıma sahip olup, olasılık yoğunluk
2
fonksiyonu,
 1
 π / 2 , 0 ≤ x1 ≤ π / 2

f X1 ( x1 ) = 
0
, d . y.


ve X 2 rasgele değişkeni (0,10) aralığında düzgün dağılıma sahip olup, olasılık yoğunluk
fonksiyonu,
1
10

f X 2 ( x2 ) = 
0


, 0 ≤ x1 ≤ 10
, d . y.
dır. X 1 ile X 2 bağımsız iki rasgele değişken olarak düşünülebilir. Buna göre, X 1 ve X 2 ‘nin
ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,
1
, 0 ≤ x1 ≤ π / 2 , 0 ≤ x2 ≤ 10

f X1 , X 2 ( x1 , x2 ) =  5π
0
, d . y.
olur.
A = {( x1 , x2 ) : 0 < x1 < π / 2 , 0 < x2 < 7sin x1} ⊂ DX1 X 2
olayı, iğne ile doğruların kesişmesi olayı olup
P ( A) =
14
= 0.4456
10π
dır.
Paralel doğrular arasındaki uzaklık 2a ve iğnenin uzunluğu 2l (l<a) olmak üzere, iğne
ile doğruların kesişmesi olayının olasılığı,
p=
dır. l =
2l
πa
a
olması durumunda,
2
1
p = = 0.3183
π
dır.
4) ( Z1 , Z 2 ) iki değişkenli standart normal dağılıma sahip olsun.
X 1 = Z1
X 2 = Z1 + Z 2
dönüşümü ile tanımlı ( X 1 , X 2 ) ‘nin dağılımını bulalım.
M X1 , X 2 ( t1 , t2 ) = E (et1Z1 +t2 Z2 ) = E (et1Z1 +t2 ( Z1 + Z2 ) )
= E (e(t1 +t2 ) Z1 +t2Z 2 ) = E (e(t1 +t2 ) Z1 et2 Z 2 )
= M Z1 (t1 + t2 ) M Z 2 (t2 )
(t1 +t2 )2 t22
=e 2 e2
1
[t1 t2 ]
1
2
=e
t12 + 2t1t2 + 2t22
2
=e
1  t1 
 t 
2
 2
olmak üzere, ( X 1 , X 2 ) rasgele vektörü,
E ( X 1 ) = 0 , E ( X 2 ) = 0 , Var ( X 1 ) = 1
Var ( X 2 ) = 2 , Cov ( X 1 , X 2 ) = 1
1 1 

 2
∑ = 1
olan normal dağılıma sahiptir. ( X 1 , X 2 ) ‘nin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
−1
 1
−∞ < x1 < ∞
1 1   x1  
1
,
f ( x1 , x2 ) =
exp  − [ x1 , x2 ] 




−∞ < x2 < ∞
2π
1 2   x2  
 2
 1
 2 −1  x1  
1
=
exp  − [ x1 , x2 ] 
 
2π
 −1 1   x2  
 2
=
dır.
1
 1

exp  − (2 x12 − 2 x1 x2 + x22 ) 
2π
 2

Y1 = 2 Z1 + 10
Y2 = 3Z1 + Z 2 + 15
olmak üzere (Y1 , Y2 ) ‘nin dağılımını bulalım. “Normal dağılıma sahip rasgele vektörlerin lineer
dönüşümleri de normal dağılıma sahiptir” bilgisini kullanarak,
 µY1 
Y1 
N
∼
(
 
 
Y2 
 µY2 
Cov(Y1 , Y2 ) 
 Var (Y1 )
,
)
Cov(Y2 , Y1 ) Var (Y2 ) 
yazabiliriz.
E (Y1 ) = 10
Var (Y1 ) = Var (2 Z1 + 10) = 4
E (Y2 ) = 15
Var (Y1 ) = Var (3Z1 + Z 2 + 15) = Var (3Z1 + Z 2 ) = 9Var ( Z1 ) + Var ( Z 2 ) + 2Cov(3Z1Z 2 ) = 10
Cov( Z1 , Z 2 ) = Cov(2 Z1 + 10,3Z1 + Z 2 + 15) = Cov(2 Z1 , 3Z1 + Z 2 )
= 6Cov( Z1 , Z1 ) + 2Cov( Z1 , Z 2 ) = 6
Y1  10 
E (  ) =  
Y2  15 
Y1   4 6 
Cov(   ) = 

Y2   6 10 
olmak üzere,
Y1 
10 
Y  ∼ N ( 15 
 
 2
4 6 
,
)
6 10 
dır. Y1 ile Y2 arasındaki Pearson korelasyon katsayısı,
ρY1 ,Y2 =
dır.
Cov(Y1 , Y2 )
6
=
= 0.9487
Var (Y1 )Var (Y2 )
4 × 10
6) Đki Değişkenli t-Dağılımı
T1 , T2 rasgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,
Γ(
fT1 ,T2 (t1 , t2 ) =
2+r
)
2
r
r πΓ( )(det R )1/ 2
2
t1  − 2+r
1
(1 + [t1 t2 ]R   ) 2
t 2 
r
 
,
−∞ < t1 < ∞
−∞ < t2 < ∞
biçiminde olduğunda, (T1, T2 ) rasgele vektörüne r , R parametreli iki değişkenli t-dağılımı
denir.
7) Đki Değişkenli Beta Dağılımı
( X 1 , X 2 ) rasgele vektörü θ 0 > 0, θ1 > 0, θ 2 > 0 parametreli iki değişkenli D (θ 0 , θ1 , θ 2 )
Beta (Dirichlet) dağılımına sahip olsun. X 1 ve X 2
yoğunluk fonksiyonu,
rasgele değişkenlerin ortak olasılık
 Γ(θ 0 + θ1 + θ 2 )
(1 − x1 − x2 )θ0 −1 ( x1 )θ1 −1 ( x2 )θ2 −1 , 0 ≤ x1 ≤ 1 , 0 ≤ x2 ≤ 1 , x1 + x2 ≤ 1

f X1 , X 2 ( x1 , x2 ) =  Γ(θ 0 )Γ(θ1 )Γ(θ 2 )
0
, d . y.

dır.
8) Đki Değişkenli Gamma Dağılımı
α > 0, β > 0, γ > 0 olmak üzere, ( X 1 , X 2 ) rasgele vektörünün olasılık yoğunluk
fonksiyonu,
 β α +γ
x1α −1 ( x2 − x1 )γ −1 e β x2

f X1 , X 2 ( x1 , x2 ) =  Γ(α )Γ(γ )
0

olsun. Bu durumda, X 1 ve X 2
sahiptir denir.
,
,
0 < x1 < x2
d . y.
rasgele değişkenlerine iki değişkenli Gamma dağılımına
Not: Bazı çok değişkenli dağılımların birden çok türü olduğunu hatırlatalım.