Tam Metin - Gazi Üniversitesi Açık Arşiv

GCD VE LCM MATRİSLERİ ARASINDAKİ BÖLÜNEBİLME PROBLEMİ
Mehmet Burak URGANCIOĞLU
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
OCAK 2015
MEHMET BURAK URGANCIOĞLU tarafından hazırlanan “GCD VE LCM MATRİSLERİ
ARASINDAKİ BÖLÜNEBİLME PROBLEMİ” adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından OY
BİRLİĞİ ile Gazi Üniversitesi Matematik Anabilim Dalında YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul
edilmiştir.
Danışman: Doç. Dr. Ercan ALTINIŞIK
Matematik, Gazi Üniversitesi
Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum
...…………………
Başkan: Prof. Dr. Adnan TERCAN
Matematik, Hacettepe Üniversitesi
Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum
…………………...
Üye: Prof. Dr. Dursun TAŞÇI
Matematik, Gazi Üniversitesi
Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum
Tez Savunma Tarihi:
…………………...
20/01/2015
Jüri tarafından kabul edilen bu tezin Yüksek Lisans Tezi olması için gerekli şartları yerine getirdiğini
onaylıyorum.
…………………….…….
Prof. Dr. Şeref SAĞIROĞLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
ETİK BEYAN
Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Tez Yazım Kurallarına uygun olarak hazırladığım
bu tez çalışmasında;

Tez içinde sunduğum verileri, bilgileri ve dokümanları akademik ve etik kurallar
çerçevesinde elde ettiğimi,

Tüm bilgi, belge, değerlendirme ve sonuçları bilimsel etik ve ahlak kurallarına uygun
olarak sunduğumu,

Tez çalışmasında yararlandığım eserlerin tümüne uygun atıfta bulunarak kaynak
gösterdiğimi,

Kullanılan verilerde herhangi bir değişiklik yapmadığımı,

Bu tezde sunduğum çalışmanın özgün olduğunu,
bildirir, aksi bir durumda aleyhime doğabilecek tüm hak kayıplarını kabullendiğimi beyan
ederim.
Mehmet Burak URGANCIOĞLU
20/01/2015
iv
GCD VE LCM MATRİSLERİ ARASINDAKİ BÖLÜNEBİLME PROBLEMİ
(Yüksek Lisans Tezi)
Mehmet Burak URGANCIOĞLU
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Ocak 2015
ÖZET
1992 yılında S kümesi bölen kapalı iken GCD matrisinin LCM matrisini böldüğü
ispatlanmıştır. 2002 yılında LCM matrisinin GCD matrisine bölünebilmesi için gcd kapalı
olan n elemanlı S kümesi üzerine konacak gerek ve yeter şartların bulunmasına ilişkin bir
açık problem ortaya atılmıştır. Bu tezde bu matrisler arasındaki bölünebilme problemi ile
ilgili çalışmalar sunulmuştur.
Bilim Kodu
: 204.1.025
Anahtar Kelimeler : GCD matrisi, LCM matrisi, bölünebilme, Euler’in fi fonksiyonu
Möbius fonksiyonu.
Sayfa Adedi
: 61
Danışman
: Doç. Dr. Ercan ALTINIŞIK
v
DIVISIBILITY PROBLEM BETWEEN OF GCD AND LCM MATRICES
(M. Sc. Thesis)
Mehmet Burak URGANCIOĞLU
GAZİ UNIVERSITY
GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
January 2015
ABSTRACT
In 1992, it was proven that the LCM matrix is divisible by the GCD matrix in the ring if they
are defined on a factor closed set. In 2002, an open problem to find necessary and sufficient
conditions on the gcd-closed set S with n elements such that the LCM matrix is divisible by
the GCD matrix was raised. In this thesis the works on this divisibility problem between
these matrices are presented.
Science Code
Key Words
Page Number
: 204.1.025
: GCD matrix, LCM matrix, divisibility, Euler phi function, Möbius
function.
: 61
Supervisor
: Assoc. Prof. Dr. Ercan ALTINIŞIK
vi
TEŞEKKÜR
Bu tez konusunu bana vererek çalışmalarımın her aşamasında yakın ilgisini esirgemeyen,
değerli yardımlarıyla beni yönlendiren hocam, Sayın Doç. Dr. Ercan ALTINIŞIK’a ve
manevi desteğini hiçbir zaman esirgemeyen aileme teşekkürü bir borç bilirim. Ayrıca, tez
dönemi boyunca bana burs veren TÜBİTAK’a (Türkiye Bilimsel ve Teknik Araştırma
Kurumuna) teşekkür ederim.
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET ..............................................................................................................................
iv
ABSTRACT ....................................................................................................................
v
TEŞEKKÜR ....................................................................................................................
vi
İÇİNDEKİLER ..............................................................................................................
vii
SİMGELER VE KISALTMALAR................................................................................. viii
1. GİRİŞ.......................................................................................................
1
2. ÖN BİLGİLER ..............................................................................................................................................
5
2.1. Aritmetik Fonksiyonlar .......................................................................................
5
2.2. Konumuzla İlgili Özel Kavramlar ve Sonuçlar ....................................................
8
3. GCD VE LCM MATRİSLERİ ARASINDAKİ BÖLÜNEBİLME ........ 13
3.1. Bölen Kapalı Kümeler Üzerinde Bölünebilme .....................................................
13
3.2. Gcd Kapalı Kümeler Üzerinde Bölünebilme ........................................................
15
3.3. Kat Kapalı Küme ve Bölen Zinciri Olan Kümeler Üzerinde Bölünebilme ........
26
4. ELEMAN SAYISI 5,6 ve 7 OLAN GCD KAPALI KÜMELER
ÜZERİNDE GCD VE LCM MATRİSLERİ ARASINDAKİ
BÖLÜNEBİLME ..................................................................................................... 47
5. SONUÇ VE ÖNERİLER .......................................................................................
55
KAYNAKLAR ...............................................................................................................
57
ÖZGEÇMİŞ ........................................................................................................................
61
viii
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aşağıda
sunulmuştur.
Simgeler
Açıklamalar

Euler’in fi fonksiyonu

Möbius fonksiyonu
I
Özdeşlik fonksiyonu

Birim fonksiyon
f ve g fonksiyonlarının Dirichlet çarpımı
f g
x , x 
i
j
 xi , x j 
xi ve x j nin en büyük ortak böleni
xi ve x j nin en küçük ortak katı
det  S 
S matrisinin determinantı
GS  x 
x in S içindeki en büyük tipten bölenlerinin kümesi
LS  x 
x in S içindeki en küçük tipten katlarının kümesi
Mn 
n  n boyutlu tamsayı elemanlı matrislerin kümesi

vp  x
x in standart gösterimindeki p asalının kuvveti
Kısaltmalar
Açıklamalar
GCD
En büyük ortak bölen
LCM
En küçük ortak kat
1
1. GİRİŞ
S  {x1 , x2 ,
, xn } elemanları pozitif tamsayılar olan bir küme ve f bir aritmetik fonksiyon
olsun. ij  elemanı, xi ve x j elemanlarının en büyük ortak böleninin f altındaki görüntüsü
olan n  n tipinden matrise S üzerinde f e bağlı en büyük ortak bölen (GCD) matrisi denir.
S 
f
veya
 f  x , x  ile gösterilir.
i
j
biçimde tanımlanır ve  S f  veya
f  x   x alınırsa  S f

f e bağlı en küçük ortak kat (LCM) matrisi benzer
 f  x , x  
i
j
ile gösterilir. Her x pozitif tamsayısı için
ve  S f  matrisleri sırasıyla klasik GCD matrisi  S  ve LCM
matrisi  S  adlarını alırlar. Benzer biçimde e bir pozitif tamsayı olmak üzere her x pozitif
e
tamsayısı için f  x   x alınırsa e. kuvvetten GCD matrisi  S e  ve e. kuvvetten LCM
matrisi  S e  elde edilir.
1876 yılında Smith [25], S  {x1 , x2 ,

f  xi , x j 

, xn } kümesi bölen kapalı ise S üzerindeki
n
matrisinin determinantını det  f  i, j      f    k  olarak hesaplamıştır.
k 1
Burada f   , f ve  Möbius fonksiyonunun Dirichlet çarpımıdır. Bu sonuç Lehmer [19],
Lindstrom [21], Wall [31], Apostol [2] ve Mc. Carthy [24] tarafından genellenmiştir.
İlk olarak 1989 yılında
S 
matrisi Beslin ve Ligh [4] tarafından GCD matrisi olarak
adlandırılmıştır. 1989 yılından sonra GCD ve LCM matrislerinin determinantları, tersleri,
matris normları, özdeğerleri ile ilgili birçok çalışma yapılmıştır. Bu çalışmalarda elde edilen
yapı teoremleri, determinant formülleri, ters formülleri, özdeğer eşitsizlikleri ve diğer birçok
sonuç, bu matrislerin soyut genellemeleri için de elde edilmiştir. Bu çalışmalara ve bu
çalışmalarda elde edilen sonuçlara, içeriğinde geniş literatür özeti sunulan Altınışık ve ark.
[1] ve Haukkanen, Wang, Sillanpaa’nın [10] makalelerinden ve 2014 yılında yayınlanan
Hong, Li, Wang [18]; Mattila, Haukkanen [22]; Zhao [34] ve Mattila’nın [23]
makalelerinden ve bu makalelerdeki kaynaklardan ulaşılabilir.
2
GCD ve LCM matrisleri ile ilgili araştırmalarda güncel konulardan biri de bu matrisler
arasındaki bölünebilme ilişkisidir. A, B  M n ( ) olmak üzere A  BC veya A  CB olacak
şekilde bir C  M n ( ) matrisi varsa B matrisi A yı böler denir ve kısaca B | A ile
gösterilir.
Bourque ve Ligh [5] S kümesi bölen kapalı ise  S  GCD matrisinin,  S  LCM matrisini
böldüğünü göstermiştir. Sonra S kümesi bölen kapalı ve f çarpımsal bir aritmetik
fonksiyon olmak üzere
S 
f
in,  S f  matrisini böldüğünü göstererek ilk sonuçlarını
genellemişlerdir [7].
Hong [12] S kümesi gcd kapalı küme ve S  3 olduğu durumda LCM matrisi  S  nin
GCD matrisi  S  ye bölündüğünü göstermiş ayrıca her n  4 tamsayısı için ( S ) ł  S  olacak
şekilde bir S gcd kapalı kümesinin var olduğunu ispatlamıştır. M. Li [20] ve W. Cao [8] gcd
kapalı kümeler üzerinde LCM matrisinin tekil olmadığına dair çalışmalar yapmışlardır.


Hong, Zhao ve Yin [17] S kümesi gcd kapalı ve max xS GS  x   1 olduğu durumda
GCD matrisinin LCM matrisini böldüğünü göstermişlerdir. Feng, Hong ve Zhao [9] e  1 bir




tamsayı ve S kümesi gcd kapalı olduğunda max xS GS  x   1 veya max xS GS  x   2
iken S kümesi 𝒞 şartını sağladığında  S e  |  S e  olduğunu ispatlamışlardır. Zhao [34]
S   x1 , x2 ,


, xn  kümesi gcd kapalı ve 5  S  7 olduğu durumda max xS GS  x   1


veya max xS GS  x   2 olmakla birlikte S kümesi 𝒞 şartını sağladığında M S
 
halkasında  S e  |  S e  olduğunu ispatlamıştır.
Hong [14], S kümesinin kat kapalı veya bölen zinciri olduğu durumda LCM matrisi  S 
nin GCD matrisi
S 
ye bölündüğünü göstermiştir. S kümesinin bölen zinciri olması
durumundaki Hong’un [14] bölünebilirlik sonuçları Tan, Xu, Li ve Liu tarafından S
kümesini aralarında asal iki bölen zinciri, aralarında asal üç bölen zinciri ve aralarında asal
sonlu sayıda bölen zinciri olması durumlarına genişletilmiştir [26-30, 32].
3
Tan ve Lin [27] gcd  S   S ve S kümesi sonlu sayıda yarı aralarında asal bölen zincirinden
oluştuğunda LCM ve GCD kuvvet matrislerinin determinantlarının bölünebilirliği üzerinde
çalışmalar yapmışlardır.
Bu tezde, öncelikle genel ve konumuza özel kavram ve sonuçlar, ön bilgiler bölümünde
özetlenmiştir. Sonra üçüncü bölümde S kümesinin bölen kapalı, gcd kapalı, kat kapalı ve
bölen zinciri olması durumlarında LCM matrisinin GCD matrisine bölünebildiğine ilişkin
literatürdeki sonuçlar verilmiştir. Daha sonra dördüncü bölümde eleman sayısı 5, 6 ve 7 olan
gcd kapalı kümeler üzerinde GCD matrisinin LCM matrisine bölünebildiğine ilişkin teorem
ve sonuçları ifade edilmiştir. Son olarak halen bir açık problem olan 8 veya daha çok
elemanlı olan gcd kapalı kümeler üzerinde GCD ve LCM matrisleri arasındaki bölünebilme
üzerindeki araştırmamızdaki girişimlerimizden bahsedilmiştir.
4
5
2. ÖN BİLGİLER
Bu bölümde, ilk olarak sayılar teorisinin temel konularından biri olan aritmetik
fonksiyonlara
ilişkin
konumuzda
kullanacağımız
temel
kavramlar
ve
sonuçlar
özetlenecektir. Sonra konumuzda kullanılan özel kavramlar tanıtılarak bazı özel sonuçlar
verilecektir.
2.1. Aritmetik Fonksiyonlar
Tanım kümesi pozitif tamsayılar kümesi, değer kümesi kompleks sayılar kümesinin bir alt
kümesi olan fonksiyonlara aritmetik fonksiyon veya teorik-sayı fonksiyonu denir. Möbius
fonksiyonu ve Euler’in  fonksiyonu aritmetik fonksiyon örnekleridir. n 

için  ( n) , n
ile aralarında asal ve n den küçük veya eşit olan pozitif tamsayıların sayısı olarak tanımlanır.
Ayrıca p asal sayı ve r  1 bir tamsayı olmak üzere  ( p r )  p r  p r 1 dir.
Euler fonksiyonu için her n 

olmak üzere
  (d )  n
(2.1)
d |n
olup bundan hareketle S   x1 , x2 ,


d | xi , x j

 (d )   xi , x j 
olduğu kolayca görülebilir [3].
, xn  kümesi için
(2.2)
6
p1 , p2 ,
, pk farklı asallar ve n pozitif tamsayı olsun. Möbius fonksiyonu;
1

 ( n )  0
(1) k

, n 1
, p 2 | n olacak biçimde bir p asalı varsa
, n  p1 p2
(2.3)
pk olacak biçimde yazılıyorsa
biçiminde tanımlanır ve her n 

için
1, n=1 ise
 n  1 ise
  (d )  0,
d |n
(2.4)
ve
n
  (d ) d    n 
(2.5)
d |n
dir.
f, sıfıra özdeş olmayan bir aritmetik fonksiyon olsun. Aralarında asal olan her m, n pozitif
tamsayı çifti için f (mn)  f (m) f (n) koşulunu sağlayan
f
aritmetik fonksiyonuna
çarpımsal fonksiyon; her m, n pozitif tamsayı çifti için f (mn)  f (m) f (n) koşulu
sağlanıyorsa f aritmetik fonksiyonuna tam çarpımsal fonksiyon denir. Özdeşlik fonksiyonu
ve birim fonksiyon tam çarpımsal, Möbius fonksiyonu ve Euler fonksiyonu çarpımsal
fonksiyon örnekleridir.
f aritmetik fonksiyon, c  0 sabit, a 

ve f ' ( n) çarpımsal fonksiyon olmak üzere
n
f (n)  cf '   olacak biçimde yazılabiliyorsa f fonksiyonuna yarı çarpımsal fonksiyon
a
denir.
7
x1 , x2 ,
, xn farklı pozitif tamsayı olmak üzere S  {x1 , x2 ,
, xn } küme ve f yarı çarpımsal
fonksiyon olsun. O zaman her xi , x j  S için
xi | x j  f ( xi ) | f ( x j )
(2.6)
dir.
f aritmetik fonksiyonu her m ve n için
f ( m, n ) f ( m, n)  f (m) f (n)
(2.7)
eşitliğini sağlıyorsa f fonksiyonu yarı çarpımsaldır denir.
Her n pozitif tamsayısı için
1, n  1
I (n)  
0, n  1
(2.8)
şeklinde tanımlanan fonksiyona özdeşlik fonksiyonu denir. Birim fonksiyon ise her n 

için  (n)  1 biçiminde tanımlı fonksiyondur.
f ve g aritmetik fonksiyonlarının Dirichlet çarpımı her n pozitif tamsayısı için
n
( f  g )(n)   f (d )g  
d 
d |n
ile tanımlanan f  g aritmetik fonksiyonudur. Burada e 
( f  g )(n) 
 f (d )g (e)
de  n
(2.9)
n
alınırsa
d
(2.10)
8
şeklinde de ifade edilebilir. Dirichlet çarpımı çarpımsallığı korur. Yani f ve g aritmetik
fonksiyonları çarpımsal fonksiyon ise o zaman f ve g fonksiyonlarının Dirichlet çarpımı
olan f  g aritmetik fonksiyonu da çarpımsal fonksiyondur.
2.2. Konumuzla İlgili Özel Kavramlar ve Sonuçlar
x1 , x2 ,......., xn farklı pozitif tamsayı olmak üzere S  {x1 , x2 ,
olmak üzere
x , x 
i
, xn } küme olsun. 1  i, j  n
ij -inci eleman olmak üzere elemanları
j
x , x 
i
j
olan matrise S
üzerindeki n  n tipinden GCD matrisi denir ve  S  ile gösterilir. Benzer şekilde 1  i, j  n
olmak üzere  xi , x j  ij -inci eleman olmak üzere elemanları  xi , x j  olan matrise S
üzerindeki n  n tipinden LCM matrisi denir ve  S  ile gösterilir.
x1 , x2 ,
d | xi
, xn farklı pozitif tamsayı olmak üzere S  {x1 , x2 ,
iken
d S
oluyorsa
, xn } olsun. Her 1  i  n için
kümesine bölen kapalı küme denir. Örneğin;
S
S  1, 2,3,5,6,10 kümesi bölen kapalı bir kümedir.
x1 , x2 ,
, xn farklı pozitif tamsayı olmak üzere S  {x1 , x2 ,
n
n
i=1
i=1
, xn } bölen kapalı küme ise
det(S)= ( xi ) ve det S = ( xi ) ( xi ) dir. Burada  fonksiyonu p asal olmak üzere
 ( p r ) = -p şeklinde tanımlanan çarpımsal fonksiyondur.
f bir aritmetik fonksiyon ve S  {x1 , x2 ,
, xn } farklı pozitif tamsayılardan oluşan bir küme
olsun. Eğer S kümesi bölen kapalı küme ve her x  S için ( f   )( x)  0 ise
aij 
1
 xk   xk
  
 i   xj
  f    ( x )  x
xi | xk
x j | xk
k
 
olmak üzere f xi , x j 



   a  dir [7].
1
ij
9
f bir aritmetik fonksiyon ve S  {x1 , x2 ,

, xn } kümesi bölen kapalı küme olsun. O halde

 {0} ve det f  xi , x j   0 ise
her x  S için f ( x) 
1
 1
  xk   xk 

1
aij 
     xk        

f ( xi ) f ( x j ) xi |xk  f

  xi   x j 
x |x
j
k

olmak üzere f  xi , x j 
x1 , x2 ,
1
ij
, xn farklı pozitif tamsayı olmak üzere S  {x1 , x2 ,
x , x S
i
   a  dir [7].
j
, xn } olsun. Her 1  i, j  n için
oluyorsa S kümesine gcd kapalı küme denir [3]. Örneğin; S  {1,3, 4,8,9}
kümesi gcd kapalı bir kümedir. Açıktır ki bölen kapalı küme aynı zamanda gcd kapalı
kümedir fakat tersi doğru değildir. Örneğin; S  {1, 2,3, 6,8} kümesi gcd kapalı kümedir
ancak bölen kapalı küme değildir.
S  {x1 , x2 ,
k 
, xn } kümesi gcd kapalı olsun. O zaman
  d 
(2.11)
d | xk
d ł xt
xt  xk
olmak üzere GCD matrisinin determinantı
n
det  S    k
(2.12)
k 1
şeklinde olup g  m  
k 
 g d 
d | xk
d ł xt
xt  xk
1
 d   d  ve
m d |m
(2.13)
10
olmak üzere LCM matrisinin determinantı ise
n
det S   xk2  k
(2.14)
k 1
şeklinde tanımlıdır [12].
Gcd-kapalı S  {x1 , x2 ,
bi 
  d  ,
cij 
, xn } kümesi üzerinde GCD matrisinin tersi
  d 
ve aij 
xi | xk
x j | xk
dxi | x j
dxi ł xt
xt  x j
d | xi
d łx t
xt  xi

cik c jk
(2.15)
bk
 
olmak üzere  S   aij matrisidir [5].
1
Benzer olarak gcd-kapalı S  {x1 , x2 ,
 e,k 
 
cij 
e    d  ,
  d 
, xn } kümesi üzerinde LCM kuvvet matrisinin tersi
ve wij 
dxi | x j
dxi ł xt
xt  x j
d | xk
d łxt
xt  xk

xi | xk
x j | xk
cik c jk
 e,k
(2.16)
olmak üzere  S e    wij  matrisidir [34].
1
S  {x1 , x2 ,
, xn } kümesinin tüm elemanlarının en büyük ortak bölenine Gcd ( S ) ve tüm
elemanlarının en küçük ortak katına Lcm( S ) denir. Örneğin; S  4,6,8,12 kümesi için
Gcd ( S )  2 ve Lcm( S )  24 dir.
Lcm( S )  S ve bir x  S için x | y ve y | Lcm( S ) iken y  S oluyorsa S kümesine kat
kapalı küme denir. Örneğin; S  2,3,6,10,15,30 kümesi kat kapalı bir kümedir.
11
x1 , x2 ,
, xn farklı pozitif tamsayılar ve S  {x1 , x2 ,
, xn } olsun. Her 1  i  n 1 için xi | xi 1
oluyorsa S kümesine bölen zinciri denir. Örneğin; S  1,3,9, 27,108 kümesi bir bölen
zinciridir.
S  {x1 , x2 ,
, xn } kümesinin S1  { y1 , y2 ,
, ym } ve S2  {z1 , z2 ,
, zr } alt kümeleri birer
bölen zinciri olmak üzere eğer S  S1  S2 ve her 1  i  m ve 1  j  r için  yi , z j   1 ise
S kümesi aralarında asal iki tane bölen zincirinden oluşur denir. k  2 bir tamsayı,
S1 , S2 ,
, Sk birer bölen zinciri ve S  S1  S2 
 Sk olsun. Her 1  i  j  k için S i nin
herbir elemanı S j nin bütün elemanları ile aralarında asalsa S kümesi aralarında asal k tane
bölen zincirinden oluşur denir.
S1 , S2 ,
, Sk birer bölen zinciri ve S  S1  S2 
 Sk olsun. Her 1  i  j  k için S i nin


herbir elemanı S j nin bütün elemanları ile aralarında asal ve max  Si  , max  S j   gcd(S )
ise S kümesi yarı aralarında asal k tane bölen zincirinden oluşur denir.
S elemanları pozitif tamsayılar olan sonlu bir küme, x, y  S , y  x ve y | x olsun. Eğer
y | z ve z | x iken z  x veya z  y oluyorsa y ye S de x in bir en büyük tipten böleni ve
x e de S de y nin bir en küçük tipten katı denir. x in S kümesi içindeki bütün en büyük
tipten bölenlerinin kümesi Gs ( x) ve bütün en küçük tipten katlarının kümesi Ls ( x ) ile
gösterilir. Örneğin; S  1, 2, 4,6,8,10,12, 40 kümesi için Gs (40)  8,10 , Gs (12)  4,6
ve Ls (8)  40 , Ls (6)  12 dır.
S kümesi farklı pozitif tamsayılardan oluşan bir küme x  S ve Gs ( x)  { y1 , y2 } olsun. Eğer
 y1 , y2   x
ve  y1 , y2   Gs ( y1 )  Gs ( y2 ) şartları sağlanıyorsa S kümesine 𝒞 şartını sağlar
denir. Örneğin; S  {10, 20,30, 60} kümesi 𝒞 şartını sağlar. Ancak S  {2, 4, 6, 24} kümesi
 4, 6  12  24 olduğundan 𝒞 şartını sağlamaz.
12
13
3. GCD VE LCM MATRİSLERİ ARASINDAKİ BÖLÜNEBİLME
Bu bölümde S kümesinin bölen kapalı, gcd kapalı, kat kapalı ve bölen zinciri olduğu
durumlar için GCD ve LCM matrisleri arasındaki bölünebilme problemi tanıtılacak ve daha
sonra GCD matrisinin LCM matrisine bölünebildiğine ilişkin literatürdeki sonuçlar
verilecektir.
3.1. Bölen Kapalı Kümeler Üzerinde Bölünebilme
, xn } kümesi bölen kapalı iken  S  ile  S  arasındaki bölünebilme
Bu kısımda S  {x1 , x2 ,
problemi üzerine yapılan çalışmalar verilecektir.
3.1.1. Teorem
S  {x1 , x2 ,
için
, xn } kümesi bölen kapalı ve f bir çarpımsal fonksiyon olsun. Eğer her x  S
 f    ( x)
sıfırdan farklı bir tamsayı ise o zaman
 f  x , x    A f  x , x  olacak
i
j
biçimde tamsayı elemanlı bir A matrisi vardır ve
aij 
  f    ( x )
k
1
 xk
x
 j

x j | xk

x 
  f  d , xi   k 
d 
 d | xk
olmak üzere A  (aij )nn dir [7].
İspat
S kümesi bölen kapalı küme ve her x  S için ( f   )( x)  0 olduğundan
aij 
 xk

xi | xk  f    ( xk )  xi
1
x j | xk

  xk
  
  xj



i
j
14
 
olmak üzere f xi , x j 
aij 
   a  olduğu bilinmektedir. O halde
1
ij
 f  x , x    f ( x , x ) 
1
i
j
i
j
ij
n
1  x
  f  xi , xm     f    ( xk )    k
x
m 1
xm | xk
 j
x |x
j

k
  f    ( x )
k
1
 xk
x
 j

x j | xk
olsun. Burada
  xk 
   
  xm 

x 
  f  xi , d   k 
d 
 d | xk
 f    ( x )   f  x , d   d  ifadesi ya sıfır ya da t   x , x 
 
xi
xk
1
k
i
d | xk
i
olmak
k
üzere f (t ) dir. Öyleyse her d  S için  f    (d ) tamsayı olduğundan f (t ) bir tamsayıdır.
Bu nedenle aij tamsayı olup böylece n  n tipinden A  (aij ) matrisi tamsayı elemanlıdır ve
 f  x , x    A f  x , x  şartını sağladığı açıktır.
i
j
i
j
3.1.2. Teorem
S  {x1 , x2 ,
, xn } bölen kapalı küme, f bir çarpımsal fonksiyon ve her xi  S için
 f    ( x) sıfırdan farklı bir tamsayı ise o zaman  S f  |  S f 
dir [11].
3.1.3. Teorem
S  {x1 , x2 ,
, xn } kümesi bölen kapalı küme ise  S  | S  dir [4].
İspat
Teorem 3.1.3, LCM matrisinin GCD matrisine bölünebilmesi ile ilgili ilk sonuç olup
Bourque ve Ligh [4] tarafından 1992 yılında verilmiştir. Teorem 3.1.1 in bir özel hali olup
ispatı için f (m)  m alınması yeterlidir.
15
S  {x1 , x2 ,
, xn } kümesi bölen kapalı değilse  S  ,  S  ile tamsayı elemanlı bir matrisin
çarpımı olmayabilir. Örneğin; S  {2, 3, 5} kümesi bölen kapalı küme değildir. Ayrıca S
kümesi üzerindeki GCD, LCM matrisi ve GCD matrisinin tersi sırasıyla
 2 1 1
 S    1 3 1 
 1 1 5


olup
 S   S  
1
 7
 11
 2 6 10 

1


 S    6 3 15  ve  S    2
11
10 15 5 



 1
 11

11
8

11
2
11
9
22
1
22
1 
11 

1 
22 

5 

22 
dir. Yani  S  ł  S  olduğu görülür.
3.2. Gcd Kapalı Kümeler Üzerinde Bölünebilme
Bu kısımda S  {x1 , x2 ,
, xn } kümesi gcd kapalı iken  S  ile  S  arasındaki bölünebilme
problemi üzerine yapılan çalışmalar verilecektir.
3.2.1. Teorem
n  1 bir tamsayı olmak üzere S  {x1 , x2 ,
, xn } gcd kapalı küme olsun. Buna göre
aşağıdaki ifadeler doğrudur.
i)Eğer n  3 ise M n 
ii)Eğer n  4 ise M n 

halkasında  S  |  S  dir.
 halkasında (S ) ł  S 
dir [12].
İspat
i ) S  {x1 , x2 ,
, xn } gcd kapalı küme olsun. Genelliği bozmadan 1  x1  x2 
 xn alalım.
n  1 ise S   x1 olup  S  | S  olduğu açıktır.
n  2 ise S  {x1 , x2 } olup S kümesi gcd kapalı olduğundan  x1 , x2   x1 dir. Yani x1 | x2
olup  x1 , x2   x2 olur.
16
Buradan
S  S 
olup
 0

 x2
x
 1
1
x
 1
 x2
x2

x1
0
1
x1 

   x2
x2 
x
 1
x2  x1

x2  x1
1

0 

olduğundan
1
 M
2
0 


olur ki bu da  S  |  S  olduğunu gösterir.
n  3 olsun. O halde S  {x1 , x2 , x3} olup S gcd kapalı olduğundan i  2, 3 için x1 | xi
yazabiliriz. Ayrıca  x2 , x3   x1 veya  x2 , x3   x2 olmak üzere iki durum mevcuttur.
1. Durum
 x2 , x3   x1 olsun. O halde


 x1

 S   S 1   x2


 x3

x2
x2
x2 x3
x1


x3 
 x1
x2 x3  
 x1
x1  
x
 1
x3 

x1
x2
x1


1
 1 1
x1 


x1    0 0

x3 

x3
0
x1

elde edilir. i  2, 3 için x1 | xi olduğundan  S   S   M 3 
1
2. Durum
 x2 , x3   x2 olsun. O halde
x2 | x3 olup  x2 , x3   x3 olur.


1
x2 

x1 

0


olup  S  |  S  elde edilir.
17
Buradan
S  S 
1
 x1

  x2
x
 3
x2
x2
x3
x3  x1

x3  x1
x3 
 x1
x1
x2
x2


1
0
x1 
x

x2    2
 x1
x3 
 x3

 x1


0 1

1 1 


0 0

olur ki i  2, 3 için x1 | xi olduğundan


0
 x2

 x1
 x3

 x1


0 1

1 1   M 3 ( )


0 0

elde edilir. Bu ise  S  |  S  olduğunu gösterir. Sonuç olarak n  3 için  S  | S  olduğu
gösterilmiş olur.
ii ) n  4 bir tamsayı olsun. Ayrıca a  1 ve  a,5   1 olacak biçimde a tamsayısını alalım
ve 1  k  n  3 için xk  a k 1 ve b  a n  4 olmak üzere xn 2  2b , xn 1  7b , xn  28b olsun.
Bu durumda S  {x1 , x2 ,
, xn } kümesi farklı pozitif tamsayılardan oluşan gcd kapalı küme
olur. Buradan  k ve  k sırasıyla (2.11) ve (2.13) eşitliğindeki gibi olmak üzere
 1  1  1 ve 2  k  n  3 için  k  ak 1  ak 2  ak 2 (a  1) ve  k 
olduğu kolayca görülür.
1
a
k 1

1
a
k 2

1 a
a k 1
18
Bu nedenle 2  k  n  3 için
xk2 k
k
2
n2
x
a k 1 (1  a)
 k 2
 a
a (a  1)
n2
 n2
xn21 n1
 n1
 1 1
4b2   
 2b b   2

2b  b
 1 1
49b2   
 7b b   7

7b  b
olur. xn  28b in S kümesindeki en büyük tipten bölenleri 2b ve 7b dir. O halde
x n
2
n
n

1
1 1
 1
   

 28b 2b 7b b   77
28b  2b  7b  b
7
 28b 
2
elde edilir.
Bu sonuçlardan hareketle
det  S n
det( S )n
n

k 1
xk2  k
k
 (a)n4 (2)(7)
olup  a,5  1 olduğundan
2.7 2.11.a n  4
77
= (1) n
5
5
2.7 2.11.a n  4

5
Determinantlar bölünmediğinden M n 
elde edilir. Dolayısıyla det( S )n ł det  S n dir.
 halkasında (S ) ł  S 
sonucuna ulaşılır.
Teorem 3.2.1 in ilk iddiası, Zhao ve ark. [33] ve ayrıca Haukkanen ve Korkee [11] tarafından
genelleştirilmiştir. Bu genelleştirilmeler sırasıyla aşağıdaki iki teoremde sunularak yalnızca
daha genelinin ispatı verilecektir.
19
3.2.2. Teorem
S  {x1 , x2 ,
, xn } elemanları pozitif tamsayılar olan gcd kapalı bir küme ve e  1 bir
tamsayı olsun. Buna göre n  3 ise M n 
 halkasında  S e  |  S e 
dir [33].
Teorem 3.2.2 nin ispatı aşağıdaki teoremin iddiasında f aritmetik fonksiyonunun her m
pozitif tamsayı için f (m)  m olarak alınması ile kolayca elde edilir.
3.2.3. Teorem
S  {x1 , x2 ,
, xn } gcd kapalı veya lcm kapalı küme, n  3 , f yarı çarpımsal fonksiyon ve
 
her xi , x j  S için f ( xi )  0 ise S f |  S f  dir [11].
İspat
Öncelikle S kümesi gcd kapalı olsun.
Eğer n  1 ise ( S f ) |  S f  olduğu açıktır. n  2 ise x1 | x2 olduğundan (2.6) dan
f ( x1 ) | f ( x2 ) yazılabilir ve buradan
 f ( x1 )
 S f  ( S f )  
 f ( x2 )
1
f ( x2 )  f ( x1 )

f ( x2 )  f ( x1 )
1
 0
1
f ( x1 ) 


   f ( x2 ) 0   M 2 ( )
f ( x2 ) 
 f (x )


1

olduğu görülür.
Şimdi n  3 olsun. O halde ( x2 , x3 )  x1 veya x1 | x2 | x3 dir. İlk olarak x1 | x2 | x3 olsun.
Buradan (2.6) yardımıyla f  x1  | f  x2  | f  x3  yazılabilir. Buradan
 f ( x1 )
1
 S f   S f    f ( x2 )
 f (x )
3

f ( x2 )
f ( x2 )
f ( x3 )
f ( x3 )   f ( x1 )

f ( x3 )   f ( x1 )
f ( x3 )   f ( x1 )
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x2 )
f ( x1 ) 

f ( x2 ) 
f ( x3 ) 
1
20









0
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x3 )
f ( x1 )


0 1

1 1   M 3 ( )


0 0

 
elde edilir ki bu da S f |  S f  olduğunu gösterir.
Şimdi ( x2 , x3 )  x1 olsun.
f
 x , x  
2
3
f
yarı çarpımsal fonksiyon olduğundan ve (2.7) den
f ( x2 ) f ( x3 )
ve (2.6) dan f ( x1 ) | f ( x2 ), f ( x3 ) yazılabilir. Buradan
f ( x1 )


 f ( x1 )

1
 S f   S f    f ( x2 )


 f ( x3 )



 1

 0


0

f ( x2 )
f ( x2 )
f ( x2 ) f ( x3 )
f ( x1 )
1
0
f ( x3 )
f ( x1 )


f ( x3 ) 
 f ( x1 )
f ( x2 ) f ( x3 )  
 f ( x1 )
f ( x1 ) 
f ( x1 )

f ( x3 ) 

f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x1 ) 

f ( x1 ) 
f ( x3 ) 
1


1 
f ( x2 ) 
  M3( )
f ( x1 ) 

0 

olduğu görülür ki bu da S kümesinin gcd kapalı olduğu durumda ispatı tamamlar.
Şimdi S kümesi lcm kapalı olsun. n  1 ve n  2 durumlarının ispatı S nin gcd kapalı küme
olması durumundaki gibidir. O halde n  3 olsun. Buradan x1 | x2 | x3 veya  x1 , x2   x3 dır.
x1 | x2 | x3 durumunun ispatı S nin gcd kapalı küme olması durumunda olduğu gibidir.
 x1 , x2   x3
olsun. O halde (2.7) den
f ( x1 ), f ( x2 ) | f ( x3 ) yazılabilir.
f ( x1 , x2 ) 
f ( x1 ) f ( x2 )
f ( x3 )
ve (2.6) den
21
Buradan
 S f   S f 
1
 f ( x1 )

  f ( x3 )
 f (x )
3










f ( x3 )
f ( x2 )
f ( x3 )
0
f ( x3 )
f ( x2 )
f ( x3 )
f ( x1 )
0
f ( x3 )
f ( x1 )
f ( x3 )
f ( x2 )

f ( x1 )

f ( x3 )  
  f ( x1 ) f ( x2 )
f ( x3 )  
f ( x3 )
f ( x3 )  

f ( x1 )



f ( x1 ) 


f ( x2 ) 

f ( x3 ) 


f ( x1 ) f ( x2 )
f ( x3 )
f ( x2 )
f ( x2 )
1

0


0   M3( )


1

olup böylece teoremin ispatı tamamlanmış olur.
2002 yılında Hong [12], “  S  |  S  olması için gcd kapalı S  {x1 , x2 ,
, xn } kümesi üzerine
konulacak gerek ve yeter şartlar nelerdir?” problemini ortaya atmıştır. Ayrıca ortaya attığı
bu problem için “ S  n  4 ve S gcd kapalı kümesi için  S  |  S  olması için gerek ve yeter
şart det  S  | det  S  dir [12].” konjektürünü vermiştir. Ancak bu konjektür “ S  1, 2,3, 24
için det  S   40 ve det  S   1440 olmasına rağmen ( S ) ł  S  dir.” karşıt örneğiyle hemen
çürütülmüştür. Bunun üzerine Hong [15] 2006 yılında S  {x1 , x2 ,

, xn } kümesi gcd kapalı

ve max xS Gs  x   1 olduğunda  S  |  S  olacağını iddia etmiş ve bu iddiasını, 2008
yılında Zhao ve Yin ile birlikte yaptıkları çalışmada [17] ispatlamıştır.
3.2.4. Teorem
i ) S  {x1 , x2 ,
S 
e 1
, xn } kümesi gcd kapalı ve
 S e   C olacak biçimde C  M n 



max xS Gs  x   1 olsun. O zaman
matrisi vardır.
22


ii ) Her bir r  2 tamsayısı için öyle bir S gcd kapalı kümesi vardır ki max xS Gs  x   r
ve e  1 bir tamsayı olmak üzere ( S e ) ł  S e  dir [17].
Hong, Zhao ve Yin’in elde ettiği bu sonuç, birkaç özel lemmaya dayandığından ve sonra
2009 yılında Feng, Hong ve Zhao [9] tarafından farklı bir yöntemle daha sade bir şekilde
ispatlandığından, ispatsız olarak sunulmuştur. Çalışmamızın bu kısmında Feng, Hong ve
Zhao’nun sonuçlarını verilecektir.
Şimdi ise cij ler (2.15) eşitliğinde tanımlandığı gibi olmak üzere bazı özel S kümeleri için
cij katsayıları hesaplanacaktır.
3.2.1. Lemma
S  {x1 , x2 ,
, xn } gcd kapalı bir küme ve n  2 olsun. O halde
1, r  1 ise
Eğer m  1 ise crm  cr1  
0 , aksi halde.
 
Eğer 2  m  n ve GS  xm   xm1

Eğer GS  xm   xm1 , xm2
dir [9].
 ve x
m3
1 , r  m1 ise

ise crm   1 , r  m ise
 0 , aksi halde.


 xm1 , xm2

1 , r  m1 veya m2 ise

ise crm   1 , r  m veya m3 ise
 0 , aksi halde.

23
3.2.2. Lemma
S gcd kapalı bir küme, x  S , GS  x   2 ve y  GS  x  olsun. Ayrıca z  S için z  x ,
z | x ve zły olsun. O zaman A  u  S : z | u | x, u  z kümesi 𝒞 şartını sağlarsa aşağıdaki
ifadeler doğrudur [9].
i ) A kümesi bir bölen zinciridir.
ii ) Herhangi bir u  A için GS  u   2 dir.
iii )
 y, z   x
dir.
3.2.3. Lemma
S  {x1 , x2 ,
𝒞
, xn } gcd kapalı küme ve S1  S \  xn    x1 , x2 ,
şartını
sağlarsa
 S1e   S1e   M n1 
1
 S e   S e   M n 
1

olması
, xn1 olsun. Eğer S kümesi
için
gerek
ve
yeter
şart
 olmasıdır [9].
3.2.4. Lemma
x, y , z 
, z | y ,  x, y   w ve  x, y   u olsun. O halde
 x, z   x  w
u, z  u y
dir [9].
3.2.5. Lemma
1  i, r  n tamsayılar ve Dr   x  S : xr | x, x  xr  olsun. Eğer her xk  Dr
xi | GS  xk  ise o zaman f r  i  
c
   c x , x 
e
rk
xk Dr
mk
i
m

için
dir [9].
e , k xm | xk
3.2.5. Teorem


S  {x1 , x2 ,
, xn } gcd kapalı bir küme, max xS Gs  x   1 ve e  1 bir tamsayı olsun. O
zaman M n 
 halkasında  S e  |  S e  dir [9].
24
İspat
Teoremin ispatı tümevarım yöntemi ile yapılacaktır. Eğer n  3 ise Teorem 3.2.2 den
 S  |  S
e
e
 olduğunu biliyoruz. O halde n  1 için teoremin iddiasının doğru olduğunu kabul


edip n için doğru olacağını gösterelim. max xS Gs  x   1 ve x1  x2 
birlikte S kümesi gcd kapalı olduğundan S1   x1 , x2 ,

 xn 1  xn ile
, xn1 kümesi gcd kapalıdır ve

max xS1 GS1  x   1 dir. O halde tümevarım hipotezi gereğince  S1e   S1e   M n1 
1
yazılabilir. Buradan Lemma 3.2.3 yardımıyla  S e   S e   M n 
1

 olup teoremin iddiasının
n için doğru olduğu gösterilmiş olur. Sonuç olarak teoremin ispatı tamamlanır.
3.2.6. Teorem


S  {x1 , x2 ,
, xn } gcd kapalı küme, e  1 bir tamsayı ve max xS Gs  x   2 olsun. O
zaman M n 
 halkasında  S e  |  S e  olması için gerek ve yeter şart
S kümesinin 𝒞 şartını
sağlamasıdır [9].
İspat
Teoremin ispatı adım adım özetlenerek verilecektir. Öncelikle S kümesi 𝒞 şartını sağlasın.
O zaman S  n olmak üzere  S e   S e   M n 
1
 olduğu gösterilmelidir. Teoremin ispatı
tümevarım yöntemiyle yapılacaktır. Eğer n  3 ise o zaman Teorem 3.2.1 ve Teorem 3.2.2
den istenen elde edilir. Şimdi n  4 olsun. İddia n  1 için doğru olsun. S kümesinin en
büyük elemanı xn olsun. O zaman S1   x1 ,

, xn1 kümesi gcd kapalı kümedir ve 𝒞 şartını



 G  x   2 olduğu
sağlar. Ayrıca burada max xS1 GS1  x   2 ve S1  n  1 dir. Eğer max xS1 GS1  x   1
ise Teorem 3.2.5 gereği  S1e   S1e   M n1 
1

yazılabilir. max xS1
durumda tümevarım hipotezi gereği  S1e   S1e   M n1 
1
den  S e   S e   M n 
1

S1
dir. Sonuç olarak Lemma 3.2.3
 olduğu elde edilir. Böylece ispatın ilk kısmı tamamlanır.
25
Şimdi S kümesinin 𝒞 şartını sağlamadığı durumda  S e   S e   M n 
1

olacağını
gösterilecektir. xt elemanı S kümesinin 𝒞 şartını sağlamayan en büyük elemanı olsun. O

GS1  xt   2 olup GS  xt   xt1 , xt2
halde


ve xt3  xt1 , xt2

olsun. 1  a  n için
Ea   xa   Da kümesini tanımlansın. Burada Da kümesi Lemma 3.2.5 de belirtildiği
şekildedir. Sonuç olarak burada iki durum mevcuttur.
1. Durum
 xt1 , xt2   xt olsun. O zaman  xt1 , xt2   xt dir. Ayrıca xt1 ł xt2 olduğundan  xt1 , xt2  ł xt2 elde


edilir. y  Et : en az bir x  GS  y  için  xt1 , xt2  ł x kümesi tanımlansın. Açıkça bu küme
boştan farklıdır. xr bu kümenin en büyük elemanı olsun. O halde her y  Dr için
 xt1 , xt2  | GS  y  ve  xt1 , xt2  | xt | xr dir. Şimdi GS  x r   2 olduğu gösterilecektir. Aksi
halde GS  x r   1 dir. O zaman xt | GS  x r  için xt  xr seçilebilir. Açık olarak  xt1 , xt2  | xt
dir. Bu nedenle  xt1 , xt2  | GS  x r  olup bu ise xr nin seçilişi ile çelişir. Sonuç olarak

GS  x r   2 olduğu ispatlanmış oldu. O halde GS  x r   xr1 , xr2
 ve

xr3  xr1 , xr2

olarak
alınabilir. Bu son durumda iki tane alt durumun varlığı söz konusudur.
Alt Durum 1.1:
xr  xt
 S e   S e   M n 
 olduğu görülür ve istenen elde edilmiş olur.
1
olduğu durumda Lemma 3.2.1 ve Lemma 3.2.5 den
Alt Durum 1.2: xr  xt olsun. Buradan xr  xt yazılabilir. Benzer şekilde Lemma [3.2.23.2.5] yardımıyla  S e   S e   M n 
1
 olduğu görülür ve istenen elde edilmiş olur.
Böylelikle 1. Durum için teoremin ispatı tamamlanmış olur.
26
2. Durum
 
  olsun. Genelliği bozmaksızın
 xt1 , xt2   xt ve xt3  GS xt1  GS xt2
Ayrıca

xt4  max u  S : xt3 | u | xt1 , xt3  u  xt1

 
xt3  GS xt1
olsun.
olarak alınsın. O halde buradan

xt1  xt4  xt3 olduğu görülür. xt4 | xt2 olduğundan xt4 | xt1 , xt2

olup buradan xt4 | xt3
yazılabilir. Bu ise xt4  xt3 olmasıyla çelişir.


Buradan xt4 ł xt2 olup y  Et : en az bir x  GS  y  için xt4 ł x kümesini tanımlanabilir. Açık
olarak bu küme boştan farklıdır. xl elemanı bu kümenin en büyük elemanı olsun. O zaman
buradan her y  Dl için xt4 | GS  y  ve xt4 | xt | xl yazılabilir. GS  xl   1 olsun. O halde
xt | GS  xl  için xt  xl seçilebilir. Bu nedenle xt4 | GS  xl  olur. Bu ise xl nin seçilişiyle

çelişir. Bu nedenle GS  xl   2 dir. O halde GS  xl   xl1 , xl2


ve xl3  xl1 , xl2

olsun.
Genelliği bozmaksızın xt4 | xl1 ve xt4 ł xl2 olarak alınabilir. Buradan xt1 ł xl2 ve xt ł xl2 elde edilir.
Şimdi xl1   xt4 , xl3  olduğu gösterilecektir. Eğer xl  xt ise iddianın doğru olduğu açıktır.
O halde xl  xt olsun. Gerekli işlemler yapılarak Lemma [3.2.1-3.2.5] yardımıyla
 S e   S e   M n 
1

olduğu görülür ve istenen elde edilmiş olur. Bu ise teoremin ispatını
tamamlar.
3.3. Kat Kapalı Küme ve Bölen Zinciri Olan Kümeler Üzerinde Bölünebilme
Bu kısımda S  {x1 , x2 ,
, xn } kümesi kat kapalı ve bölen zinciri iken  S  ile  S  arasındaki
bölünebilme problemi üzerine yapılan çalışmalar verilecektir.
S  {x1 , x2 ,
, xn } elemanları pozitif tamsayılar olan bir küme ve f bir aritmetik fonksiyon
olsun. O zaman
Ls   f : d | Lcm(S ) iken ( f   )(d ) 
ve

şartı sağlanıyorsa
27
Cs   f : x  S için d | x iken ( f   )(d )>0 şartı sağlanıyorsa
şeklinde tanımlanır. Burada

ile
 0 kastedilmektedir.
2003 yılında Hong [14] S kümesinin kat kapalı veya bölen zinciri olması durumlarında bir
f tam çarpımsal fonksiyonuna bağlı GCD ve LCM matrisleri arasındaki bölünebilme
problemini sonuçlandırmıştı. Tezimizin bu kısmında Hong’un bu sonucuna değinilecektir.
3.3.1. Lemma
f bir tam çarpımsal fonksiyon olsun. O halde  x, y  | z olacak biçimde x, y, z pozitif
z z
tamsayıları için f  x, y  f ( z )  f ( x) f ( y) f  ,  dir [14].
x y
3.3.1. Teorem
S  {x1 , x2 ,
, xn } kat kapalı küme ve f ; f (m)  0 ve f  Ls şartlarını sağlayan tam
 halkasında  f  xi , x j  |  f  xi , x j   dir [14].
çarpımsal bir fonksiyon olsun. O halde M n 
İspat
f (m)  0
ve

C  f  xi , x j 
tam
f
  f  x , x 
i
j
1
çarpımsal
olduğundan

cij    f  xi , xk  f  xk , x j 
k 1
n
  f  xi , xk 
k 1
için
olsun. Acaba her 1  i, j  n için cij 
1  i, j  n için
n
d |m

1
 xk x j 
, 
f ( m)
 xl xl 

f ( xk ) f ( x j ) xl | xk
m
xl | x j  f    

 xl 

f (d )  0
dır.
midir? Buradan her
28
 xj 

xl 
x 
1
f ( m)


f  xi , xk    k 


f ( x j ) xl | x j
f (x )
m
 xl 
 f      xl |xk k
 xl 

 xj 

xl 
f ( xi )
f (m)  xk 


 


f ( x j ) xl | x j
 m  xl | xk f ( xi , xk )  xl 
 f    
 xl 

yazılabilir. Buradan
xl | xk ve xk | m  dxl  xk ve xk | m olacak biçimde d 

vardır.
 dxl | m
 m  dxl u olacak biçimde u 


vardır.
m
 du
xl
 d|
m
xl
m m
olduğu elde edilir. Lemma 3.3.1 den f  xi , xk  f (m)  f ( xi ) f ( xk ) f  ,  yazılabilir.
 xi xk 
Buradan
1
1
 f ( m)
f  xi , xk 
f ( xi ) f ( xk )
1
m m
f , 
 xi xk 
elde edilir. Bu toplamda xk yerine dxl yazılıp d üzerinden toplam düzenlensin. O halde

d|
m
xl
 f ( m) 
2
f ( xi ) f ( xl )
 (d )
m m 
f (d ) f  ,

 xi dxl 
29

 f ( m) 
2

f (x ) f (x )
i
l
d|
m
xl
 (d )
m m 
f (d ) f  ,

 xi dxl 
olduğu görülür. f tam çarpımsal fonksiyon olduğundan Lemma 3.3.1 de a 
m
m
ve b 
xl
xi
alınırsa
 xj 
m
f ( xl )  f     
2

 f  m
f ( xi )
 xl 
 xl 
cij 

f ( x j ) xl |x j
 m  f ( x ) f ( xl )
m m
f ( m) f  , 
 f     i
 xl 
 xi xl 


f ( xi )
f ( xl )  x j


f ( x j ) xl | x j f ( xi , xl )  xl
 '
  l ,i

olduğu kolayca görülür.
Burada  l',i ifadesi
 l',i   m m
,
xl xi

0


1


m
m
m
için v p    v p   ise
xl
 xl 
 xi 
m
m
m
, her p |
için v p    v p   ise
xl
 xl 
 xi 
, bir p |
şeklinde tanımlansın.  l',i ifadesinde adı geçen v p ( x) kavramı aşağıdaki şekilde tanımlıdır.
x

ve p asal olmak üzere x in kanonik gösteriminde p asalının kuvveti v p ( x) ile
gösterilir. Örneğin; p nin bazı değerleri için v2 (28)  4 , v3 (54)  3 , v5 (50)  2 dir.
Açıkça bir asalın karesine bölünen
 xj 
için     0 dır.
xl
 xl 
xj
30
x


 j  l : 1  l  n , xl  x j , xl | x j ve j bir asalın karesine bölünmeyecek 
xl


kümesi tanımlansın. Bu durumda
cij 
f ( xi ) '
f ( xi ) f ( xl )  x j
 j ,i  

f ( xi , x j )
l j f ( xi , xl ) f ( x j )
 xl
 '
  l ,i

olduğu görülür.
Önce  j   olduğunu kabul edilsin. O zaman cij 
olduğundan
 xi 
f ( xi )
 f

 ( x , x ) 
f ( xi , x j )
i
j


f ( xi ) '
xi
 j ,i olur. Fakat
| xi | m
f ( xi , x j )
( xi , x j )
dir. Böylece cij 
olur.
Şimdi  j   olduğunu kabul edilsin.
x


 ' j  l   j : bir p | j için v p ( xi )  v p   xi , xl   
xl


x


 '' j  l  j : her p | j için v p ( xi )  v p   xi , xl   
xl


olsun. O halde  ' j   '' j   ve  j   ' j   '' j dir. Buradan
cij 
f ( xi ) '
f ( xi ) f ( xl )  x j  '
f ( xi ) f ( xl )  x j  '
 j ,i  
    l ,i  
    l ,i
' f (x , x ) f (x )
'' f ( x , x ) f ( x )
f ( xi , x j )
x
l j
l j
i l
j
i l
j
 l
 xl 
olur. İddia:  l',i  0 dır.
31
Eğer l   ' j ise o zaman bir tane p |
xj
xi
asalı vardır ve öyle ki vp ( xi )  v p   xi , xl   olur.
m
m
Bundan dolayı vp ( xi )  vp ( xl ) olup v p    v p   ise  l',i  0 dır.
 xi 
 xl 
Bu durumda
cij 
f ( xi ) '
f ( xi ) f ( xl )  x j  '
 j ,i  
    l ,i
f ( xi , x j )
l' j f ( xi , xl ) f ( x j )
 xl 
halini alır.
Şimdi l   '' j olsun. p ,
Bundan
dolayı
xj
xl
nin bir asal böleni olsun. O zaman vp ( xi )  v p   xi , xl   olur.
 xi 
v p 
  1
x
,
x


 i l 
Diğer
dir.
yandan
x
vp  j
 xl

 1

olduğundan
 xi xl 
xi xl
nin paydasında hiçbir asal yoktur.
vp 
 0 dır. p keyfi seçildiğinden

 x ,x  x 
x
,
x
x


i
l
j
i
l
j


Bu nedenle
xi xl

 xi , xl  x j
dir. f tam çarpımsal fonksiyon, f  Ls ve
çarpanı olduğundan dolayı

f  xi 
f
f  xl 
 x , x  f  x 
i
l


xi xl
m nin bir
 xi , xl  x j
dir. Dolayısıyla cij 
olup C  M n 

j

elde edilir. Sonuç olarak f  xi , x j  | f  xi , x j  olduğu gösterilmiş olur.
3.3.2. Teorem
S  {x1 , x2 ,
, xn } bir bölen zinciri ve f  Cs olsun. Eğer 2  i  n için f ( xi )  zi f  x1 
olacak şekilde zi tamsayıları varsa o zaman M n 
[14].
 halkasında  f  xi , x j  |  f  xi , x j   dir
32
İspat
 f  x , x 
f  Cs olduğundan
i
j
ve
 f  x , x  
i
j
tamsayılı matrislerdir. S bölen zinciri
olduğundan 1  i  j  n için xn  m alınsın. xi | x j olduğundan f ( xi , x j )  f ( xi ) ve
f  xi , x j   f ( x j ) yazılabilir. Eğer f  x1   0 ise her 2  i  n için f ( xi )  0 olur. Bu
yüzden
 f  x , x    f  x , x     0
i

G  f  xi , x j 







G 







j
i
  f  x , x 
i
0
f ( x2 )
f ( x1 )
0
0
1
0
f ( x3 )
f ( x1 )
0
1
f ( xn 1 )
f ( x1 )
0
0
f ( xn )
f ( x1 )
0
0
2  i  n için
f ( xi )

f ( x1 )
j
1
j
matrisi olur. O halde f ( x1 )  0 olsun. Buradan
olmak üzere G matrisi tanımlansın;
1

0 1


0 1




1 1 


0 0 

0
dir. Bu nedene G  M n 

olur. Dolayısıyla M n 

halkasında
 f  x , x  |  f  x , x   elde edilir.
i
j
i
j
2008 yılında Hong [16] bölen zinciri kümeler üzerinde GCD ve LCM kuvvet matrisleri
arasındaki bölünebilirlik üzerine çalışmalar yapmış ve bir takım sonuçlar elde etmiştir.
Şimdi Hong’un bu çalışmasındaki sonuçlar verilecektir.
33
3.3.2. Lemma
S  {x1  1, x2 ,
, xn } bir bölen zinciri olsun. O halde GCD matrisinin tersi
üçgenseldir. Üstelik 2  i  n için ri 
 x2 r2

 r2
1
S   

 0
 0

 S  
1
1
olmak üzere
xi  xi 1
r2
r2  r3
0
r3
0
0
0
0
0
0
rn 1  rn
rn
0 

0 


rn 
rn 
dir [16].
3.3.3. Lemma
S  {x1  1, x2 ,
, xn } bir bölen zinciri olsun. O halde LCM matrisinin tersi
üçgenseldir. Üstelik 1  i  n ve xn 1  0 için ui 
u1
 u1

 u1 u1  u2
 0
u2
1
S   

 0
0

0
 0
0
u2
u2  u3
0
0
0
0
0
un  2  un 1
un 1
1
olmak üzere
xi  xi 1






un 1 

un 1  un 
0
0
0
dir [16].
3.3.3. Teorem
a, b  1 tamsayılar ve S  {x1 , x2 ,
i ) Eğer a | b ise o zaman M n 
, xn } bir bölen zinciri olsun.
 halkasında üzerinde  S a  |  S b 
 S  
1
34
 halkasında  S a  ł  S b  dir [16].
ii ) Eğer a ł b ve n  2 ise o zaman M n 
İspat
i ) Önce a  1 durumu göz önüne alınsın. Lemma 3.3.2 yardımıyla burada 2  i  n için
x2  x2b
xib  xib1
t1 
ve ti 
olmak üzere
x2  1
xi  xi 1
1

0
1
b
S  S   

0
0

t1
t1
t1
t2 t2  t3 t2  t3
0
0
0
0
t1
t2  t3
0
0
tn 1
0
t1 

t2  t3 


tn 1  tn 
tn 
dir. Böylece  S 
elde edilir. Açıktır ki 1  i  n için ti 
1
 S   M   elde edilir. Bu
b
n
ise a  1 durumu için  i  kısmının ispatını tamamlar. Şimdi genel durum göz önüne alınsın.
O halde a  1 olsun. 1  i  n için yi  xia olmak üzere T  { y1 , y2 ,
, yn } olsun. S kümesi
bölen zinciri olduğundan T kümesi de bir bölen zinciridir. Dikkat edilmelidir ki herhangi

bir 1  i, j  n için yi , y j
 y ,y 
c
i
j
b
a

  xi , x j 

b
a a
  xi , x j  dır. Bu yüzden T üzerindeki
b
GCD matrisi, S üzerindeki a -yıncı kuvvetten GCD matrisine eşittir. Yani T    S a  dır.
c
b
olsun. O zaman a | b olduğundan c 
a
y ,y  y ,y 
c
i
j
i
j
b
a

  xi , x j 

b
a a
  xi , x j 
b
dir. Çünkü her 1  i, j  n için
olduğundan
T 
c
  
zamanda a  1 durumundan T  | T  olduğundan S a | S b
c
Böylelikle  i  durumu ispatlanmış olur.
  S b  elde edilir. Aynı
sonucuna ulaşılmış olur.
35

ii ) n  2 bir tam sayı ve a ł b olsun. O halde a  b dir. Çünkü x1a , x2a ,
bölen zinciridir. Lemma 3.3.2 yardımıyla burada 2  i  n için ri 
 x2a r2

 r2
 0
1
Sa   

 0

 0

r2
r2  r3
r3
0
r3
r3  r4
0
0
0
0
0
0
0
rn 1  rn
rn
elde edilir.  3.1 kullanılarak  S a 
İddia
edilsin
ki
 S 
a 1
1
 S 
1
olmak üzere
x  xia1
a
i






rn 

rn 
0
0
0
 S b  matrisinin

b
, xna  kümesi bir
dir.
Bu
 3.1

Sa 
1
Sb 
iddiayla


22
(ii )
x2b  1
elde edilir.
x2a  1
nin
ifadesi
olan
22
 S   S   M   ye hemen ulaşılır.
a 1
b
n
Şimdi söz konusu iddianın ispatı gösterilecektir;
Eğer a  b ise o zaman x2  1 olduğundan 0  x2b  1  x2a  1 dir. Buradan 0 
olup
 S 
a 1
 S 

b
x2b  1
1
x2a  1
sonucuna ulaşılır.
22
Eğer a  b ve a ł b ise o zaman b  a  2 dir. Buradan b  qa  r olacak şekilde q  1 ve
1  r  a 1 şartlarını sağlayan bir tek q, r tamsayıları vardır. Buradan
x2b  1
x2r  1
a q 1
r
a
 x2 1  x2  ....  x2
 a 
x2a  1
x2  1


x2r  1
 1 olduğunu
sonucuna ulaşılır. Çünkü x2  1 ile birlikte 0  r  a olması 0  a
x2  1
gösterir. Sonuç olarak (ii ) nin ispatı tamamlanmış olur.
36
3.3.4. Teorem
a, b  1 tamsayılar ve S  {x1 , x2 ,
i ) Eğer a | b ise o zaman M n 
, xn } bir bölen zinciri olsun. O zaman
 halkasında üzerinde
ii ) Eğer a ł b ve n  2 ise o zaman M n 
 S a  |  S b 
 halkasında
 S a  ł  S b  dir [16].
İspat
i ) Önce a  1 durumu göz önüne alınsın. Lemma 3.3.3 yardımıyla 1  i  n için
xib1  xib
vi 
xi 1  xi
ve x n+1  0 olmak üzere
v1


 v2  v1
 v v
1
 S   S b    3 2

 vn 1  vn  2

 vn  vn 1
0
v2
v3  v2
0
0
v3
0
0
0
vn 1  vn  2
vn  vn 1
vn 1  vn  2
vn  vn 1
vn 1
vn  vn 1
0

0
0


0

vn 
b
olduğundan  S   S   M n 
1
dir. Açıktır ki 1  i  n için vi 

elde edilir. Bu a  1
durumu için  i  şıkkının ispatını tamamlar. Şimdi genel durum olarak a  1 durumu göz
önüne alınsın. 1  i  n için yi  xia olmak üzere T  { y1 , y2 ,
, yn } olsun. Buradan S
kümesi bir bölen zinciri olduğundan T kümesi de bir bölen zinciridir. Dikkat edilmelidir ki
a
herhangi bir 1  i, j  n için  yi , y j    xia , x aj    xi , x j  dır. Böylece T kümesi üzerindeki
LCM matrisi, S kümesi üzerindeki LCM kuvvet matrisine eşittir. Yani T    S a  dır.
c
b
olsun. O zaman a | b olduğundan c 
a
b
a
b
a
dir. Çünkü her 1  i, j  n için
b
 yi , y j    yi , y j     xi , x j     xi , x j  dir. Bundan dolayı T c    S b  dir. Aynı


c
a
37
zamanda a  1 durumundan T  | T  olduğundan  S a  |  S b  sonucuna ulaşılır. Böylelikle
c
 i  durumu ispatlanmış olur.

, xna  kümesi bir bölen
zinciridir. Lemma 3.3.3 yardımıyla burada 1  i  n için ui 
1
ve xn 1  0 olmak
x  xia1
ii ) n  2 bir tamsayı ve a ł b olsun. O halde a  b dir. Çünkü 1, x2a ,
a
i
üzere
u1
 u1

 u1 u1  u2
 0
u2
1
 S a   

 0
0

0
 0
0
u2
u2  u3
0
0
0
0
0
un  2  un 1
un 1






un 1 

un 1  un 
0
0
0

 3.2 

x2b  1
elde edilir.  3.2  kullanılarak  S   S  matrisinin  S   S   a
elde edilir.
11
x2  1
1
a
İddia
edilsin
ki
1
 S a   S b   M n 
 S 
a

1
 S b 

b

dir.
Bu
1
a
iddiayla
b
(ii )
nin
ifadesi
olan
11
ye hemen ulaşılır.
Şimdi söz konusu iddianın ispatı gösterilecektir;
x2b  1
1
Eğer a  b ise o zaman x2  1 olduğundan 0  x  1  x  1 dir. Buradan 0  a
x2  1
b
2
olup
 S 
a 1
 S 

b
a
2
sonucuna ulaşılır.
22
Eğer a  b ve a ł b ise o zaman b  a  2 dir. Buradan b  qa  r olacak şekilde q  1 ve
1  r  a 1 şartlarını sağlayan bir tek q, r tamsayıları vardır. Buradan
x2b  1 r
 x2 1  x2a 
a
x2  1


 x2a q 1 
x2r  1

x2a  1
38
sonucuna ulaşılır. Çünkü x2  1 ile birlikte 0  r  a olması 0 
x2r  1
 1 olduğunu
x2a  1
gösterir. Sonuç olarak (ii ) nin ispatı tamamlanmış olur.
3.3.5. Teorem
a, b  1 tamsayılar ve S  {x1 , x2 ,
i ) Eğer a | b ise o zaman M n 
, xn } bir bölen zinciri olsun. O zaman
 halkasında üzerinde  S a  |  S b 
ii ) Eğer a ł b ve n  2 ise o zaman M n 
 halkasında  S a  ł  S b 
dir [16].
S kümesinin bölen zinciri olması durumundaki GCD ve LCM matrisleri arasındaki
bölünebilirlik S kümesinin iki tane bölen zincirinden oluşması durumunda 2010 yılında Tan
[26] tarafından ele alınmış ve bölünebilme üzerine sonuçlar elde edilmiştir. Şimdi Tan’ın bu
sonuçları sunulacaktır.
3.3.4. Lemma
 i  1, 2,
, n, j  1, 2,
S  {1, x1 , x1 x2 ,
, x1 x2
, m  pozitif tamsayılar ve
xn , y1 , y1 y2 ,
, y1 y2
 x1 x2
xn , y1 y2
ym   1 olmak üzere
ym } olsun. O zaman S kümesi üzerindeki
GCD matrisinin tersi
S 
1
A
  11
 A21
A12 

A22 
dir. Burada a1 
i 1
1
1
ve 2  i  n için bi   yi  1  yk1 olmak üzere
x1  1
k 1
39
1

a1
1  a1  y  1
1


a1
a1  a2

0
a2
A11  


0
0


0
0

0
0
a2
a2  a3
0
0
0
0
an 1  an
an

0 

0 

0 


an 
an 
dir. A12 matrisinin sıfırdan farklı tek elemanı 1,1 inci elemanı 
Ayrıca b1 
1
T
olup A12  A21
dir.
y1  1
i 1
1
1
ve 2  i  m için bi   yi  1  yk1 olmak üzere
y1  1
k 1
 b1  b2

 b2
 0
A22  

 0

 0
b2
0
b2  b3
b3
b3
b3  b4
0
0
0
0
0
0
0






bm 

bm 
0
0
0
bm 1  bm
bm
dir [26].
3.3.5. Lemma
 i  1, 2,
, n, j  1, 2,
S  {1, x1 , x1 x2 ,
, x1 x2
, m  pozitif tamsayılar ve
xn , y1 , y1 y2 ,
, y1 y2
 x1 x2
xn , y1 y2
ym } olsun. O zaman S kümesi üzerindeki
LCM matrisinin tersi
S 
1
T T 
  11 12 
 T21 T22 
dir. Burada t1 
1
ve 2  i  n için ti 
x1  1
ym   1 olmak üzere
1
i 1
 xi  1  xk
k 1
olmak üzere
40
1
1

t1
 1  x  1  y  1
1
1


t1
t1  t2

0
t2
T11  


0
0


0
0


0
0
t2
t2  t3
0
0
0
tn 1  tn
0
tn

0 

0 

0 


tn 
t 
 n 
xn 
dir. T12 matrisinin sıfırdan farklı tek elemanı 1,1 inci elemanı
Ayrıca r1 
1
ve 2  i  m için ri 
y1  1
1
i 1
 yi  1  yk
1
olup T21  T12T dir.
y1  1
olmak üzere
k 1
 r1  r2

 r2
 0

T22  
 0

 0


r2
r2  r3
r3
0
r3
r3  r4
0
0
0
0
0
rm 1  rm
0
0
rm






rm 

rm 

ym 
0
0
0
dir [26].
3.3.6. Teorem
a, b  1 tamsayılar, S kümesi aralarında asal iki tane bölen zincirinden oluşsun ve 1 S
olsun. O zaman
i ) Eğer a | b ise M S
  
  halkasında  S  ł  S  dir [26].
 
ii ) Eğer a ł b ise M S
halkasında S a | S b
a
b
41
3.3.7. Teorem
a, b  1 tamsayılar, S kümesi aralarında asal iki tane bölen zincirinden oluşsun ve 1 S
olsun. O zaman
i ) Eğer a | b ise M S
 
ii ) Eğer a ł b ise M S
 
halkasında  S a  |  S b 
halkasında  S a  ł  S b  dir [26].
3.3.8. Teorem
a, b  1 tamsayılar, S kümesi aralarında asal iki tane bölen zincirinden oluşsun ve 1 S
olsun. O zaman
i ) Eğer a | b ise M S
 
  halkasında  S  ł  S
 
ii ) Eğer a ł b ise M S
halkasında S a |  S b 
a
b
 dir [26].
2010 yılında Tan’ın bu çalışmasındaki sonuçlar, 2011 yılında Tan, Lin ve Liu [29] tarafından
iki tane bölen zincirinden oluşan S kümesi için genelleştirilmiştir.
3.3.6. Lemma
a  1 ,  i  1, 2,
, n, j  1, 2,
üzere S  {1, x1 , x1 x2 ,
S 
a 1
A
  11
 A21
dir. Burada t1 
, x1 x2
, m  için xi  1 , yi  1 ve  x1 x2
xn , y1 , y1 y2 ,
A12 
 D11
a 1
 ve  S   
A22 
 D21
, y1 y2
xn , y1 y2
ym } olsun. O zaman
D12 

D22 
y1a
ve 2  i  n için ti 
x1a y1a  1
1
x
a
i
i 1
 1  x
k 1
a
k
olmak üzere
ym   1 olmak
42
 t1  t2

 t2

A11  
 0
 0

 0
t2
t 2  t3
0
0
0
0
tn  2  tn 1 tn 1
tn 1
tn 1  tn
0
tn
0
0
0
0 

0 


0 
tn 

tn 
dir. A12 matrisinin sıfırdan farklı tek elemanı 1,1 inci elemanı 
1
T
olup A12  A21
x y 1
a a
1 1
dir.
r1 
x1a
ve 2  i  m olmak üzere
x1a y1a  1
 r1  r2

 r2

A22  
 0
 0

 0
 t1  t2

 t2

D11  
 0

 0

r2
r2  r3
0
0
0
0
rm  2  rm 1
rm 1
rm 1
rm 1  rm
0
rm
0
0
0
t2
t2  t3
0
0
0
tn 1  tn
0
tn
0 

0 


0 
rm 

rm 
0 

0 


tn 
tn 

xna 
olup D12 matrisinin sıfırdan farklı tek elemanı 1,1 inci elemanı
dir.
1
olup D21  D12T
x y 1
a a
1 1
43
Ayrıca
 r1  r2

 r2
 0

D22  
 0

 0


r2
r2  r3
r3
0
r3
r3  r4
0
0
0
0
0
rm 1  rm
0
0
rm






rm 

rm 
yma 
0
0
0
dir [29].
3.3.9. Teorem
a, b  1 tamsayılar, S kümesi aralarında asal iki tane bölen zincirinden oluşsun ve 1 S
olsun. O zaman
i ) Eğer a ł b ise M S
 
ii ) Eğer a | b ise M S
halkasında  S a  ł  S b 
 
halkasında
S  | S 
a
b
olması için gerek ve yeter şart
x1a y1b  1
x1b y1a  1
ve
birer tamsayı olmasıdır [29].
x1a y1a  1
x1a y1a  1
3.3.10. Teorem
a, b  1 tamsayılar, S kümesi aralarında asal iki tane bölen zincirinden oluşsun ve 1 S
olsun. O zaman
i ) Eğer a ł b ise M S
 
ii ) Eğer a | b ise M S
halkasında  S a  ł  S b 
 
halkasında  S a  |  S b  olması için gerek ve yeter şart
x1a y1b  1
x1b y1a  1
ve a a
birer tamsayı olmasıdır [29].
x1a y1a  1
x1 y1  1
44
3.3.11. Teorem
a, b  1 tamsayılar, S kümesi aralarında asal iki tane bölen zincirinden oluşsun ve 1 S
olsun. O zaman
i ) Eğer a ł b ise M S
halkasında  S a  ł  S b 
 
ii ) Eğer a | b ise M S
 
halkasında
 S  |  S
a
b
 olması için gerek ve yeter şart
x1a y1b  1
x1b y1a  1
ve a a
birer tamsayı olmasıdır [29].
x1a y1a  1
x1 y1  1
S kümesinin iki tane bölen zincirinden oluşması durumunda yapılan bu çalışmalar 2011
yılında Xu ve Li [32] tarafından daha da genel durum olan S kümesinin üç tane bölen
zincirinden oluşması durumuna taşınmış ve bu durumda da bölünebilmenin gerçekleştiği
ispatlanmış ve sonuçlar elde edilmiştir.
3.3.12. Teorem
a, b  1 tamsayılar, S kümesi aralarında asal üç tane bölen zincirinden oluşsun ve 1 S
olsun. O zaman
i ) Eğer a | b ise M S
  
  halkasında  S  ł  S  dir [32].
 
ii ) Eğer a ł b ise M S
halkasında S a | S b
a
b
3.3.13. Teorem
a, b  1 tamsayılar, S kümesi aralarında asal üç tane bölen zincirinden oluşsun ve 1 S
olsun. O zaman
i ) Eğer a | b ise M S
 
ii ) Eğer a ł b ise M S
 
halkasında  S a  |  S b 
halkasında  S a  ł  S b  dir [32].
45
3.3.14. Teorem
a, b  1 tamsayılar, S kümesi aralarında asal üç tane bölen zincirinden oluşsun ve 1 S
olsun. O zaman
i ) Eğer a | b ise M S
 
  halkasında  S  ł  S
 
ii ) Eğer a ł b ise M S
halkasında S a |  S b 
a
b
 dir [32].
Yapılan bu çalışmalardan sonra GCD ve LCM matrisleri arasındaki bölünebilirlik 2013
yılında S kümesinin aralarında asal ve sonlu sayıda bölen zincirinden oluşması durumunda
incelenmiş olup bölünebilme üzerine yeni sonuçlar bulunmuştur. Şimdi bulunan bu yeni
sonuçlar özetlenecektir.
3.3.15. Teorem
a, b  1 tamsayılar, S kümesi aralarında asal ve sonlu sayıda bölen zincirinden oluşsun ve
1 S olsun. O zaman
i ) Eğer a | b ise M S
 
  
 
halkasında S a | S b ,  S a  |  S b  ve S a |  S b 
ii ) Eğer a ł b ve S  2 ise M S
 
halkasında  S a  ł  S b  ,  S a  ł  S b  ,  S a  ł  S b  dir
[30].
3.3.16. Teorem
a, b  1 tamsayılar olsun. Eğer a | b , G cd  S   S ve S kümesi yarı aralarında asal ve sonlu
  
 
sayıda bölen zincirinden oluşuyorsa S a | S b ,  S a  |  S b  ve S a |  S b  dir [30].
3.3.17. Teorem
a, b  1 tamsayılar olsun. Eğer a | b , G cd  S   S ve S kümesi yarı aralarında asal ve sonlu
sayıda bölen zincirinin birleşiminden oluşuyorsa aşağıdaki ifadeler doğrudur:
  | det  S 
i ) det S
a
b
46
a
b
ii ) det  S  | det  S 
  | det S
iii ) det S
a
b
 dir [27].
47
4. ELEMAN SAYISI 5, 6 ve 7 OLAN GCD KAPALI KÜMELER
ÜZERİNDE
GCD
VE
LCM
MATRİSLERİ
ARASINDAKİ
BÖLÜNEBİLME
S  3 şartını sağlayan gcd kapalı kümeler üzerindeki GCD ve LCM matrisleri arasındaki
bölünebilme 2002 yılında Hong [12] tarafından ispatlanmıştır. İspatta kullanılan basit
tekniğin üçten fazla sayıda elemana sahip S kümesi üzerindeki matrislerin bölünebilmesinin
incelenmesinde işe yaramayacağı açıktır. Diğer yandan Zhao [34], 2014 yılında yayımladığı
makalesinde 5  S  7 koşulunu sağlayan gcd kapalı S kümeleri için elde ettiği sonuç ile
bölünebilme problemine kısmen de olsa bir cevap vermiştir. Çalışmamızın bu bölümünde
Zhao’nun sonucu ve ispatı yer almaktadır.
4.1. Lemma
S   x1 , x2 ,
, xn  gcd kapalı bir küme ve 1  k  n için xk elemanının S kümesindeki en

büyük tipten bölenlerinin kümesi GS  xk   yk ,1 , yk ,2 ,
lk
 e,k  xke    1
t
t 1
 x , y
1i1  it lk
k
k ,i1
,
, yk ,it


, yk ,lk olsun. O zaman
e
dir [34].
4.2. Lemma
S   x1 , x2 ,

, xn  gcd kapalı bir küme ve cij (2.15) deki gibi tanımlansın. Eğer
GS  xm   xm1 , xm2 ,
, xmk
 ise c
mm
 1 ve her 1  i  k için cmi m  1 dir [34].
48
4.3. Lemma
S   x1 , x2 ,
, xn 

gcd
kapalı
bir




GS  xm   xm1 , xm2 , xm3 ,
xm  S ,
küme

xm0  xm1 , xm2 , xm3 ve her 1  i  j  3 için xmij  xmi , xm j olsun. Eğer r  m, m1 , m2 , m3 
ise cmij m  1 dir.
Eğer xmij  xm0 ise o zaman
cm0m
 2 , eğer xm0  xm12  xm13  xm23 ise

1 , eğer her 1  i  j  3 için xm0  xmij ise

 1 , eğer xm0  xmij olacak şekilde bir tek mij varsa
 0 , eğer x  x olacak şekilde bir tek m varsa
m0
mij
ij

ve diğer durumlar için crm  0 dır [34].
4.4. Lemma

S  xm0 , xm1 , xm2 , xm3 , xm4 , xm , xt


gcd
kapalı


bir
küme

olsun.
Eğer
GS  xm   xm1 , xm2 , xm3 , xm4 ve xm0  xm1 , xm2 , xm3 , xm4 ise o zaman ctm  2 ve cm m  1 dir.
o

 olacak şekilde bir tek i, j, k  üçlüsü varsa
 2 dir ve aynı zamanda 0  i  j  4 için x   x , x  olacak şekilde bir
Ayrıca 1  i  j  k  4 için xt  xmi , xm j , xmk
ctm  1 ve cmom
t
mi
mj
tek  i, j  ikilisi varsa ctm  0 ve cmo m  3 dir [34].
4.5. Lemma
S   x1 , x2 ,
, xn  kümesi gcd kapalı ve x1  x2 
ise o zaman c1n  n  3 dir [34].
 xn olsun. Eğer GS  xn   S \  x1 , xn 
49
4.6. Lemma
gcd kapalı bir küme ve
S

Dr   x  S : xr | x, x  xr 

max xDr GS  x   1 ise o zaman f  i, r  
olsun. Eğer
c
   c x , x 
e
rk
xk Dr
mk
i
m

xi | xr
ve
dir [34].
e , k xm | xk
4.7. Lemma
S gcd kapalı bir küme olsun. Eğer

x
m1
, xm2 ,

, xml  GS  xm  ve her 1  i  j  l için

xm0  xmi , xm j ise o zaman
l  xme   xme   l  1 xme
1i l
i
0
ve
l  xme    xme , xme    l  1 xme
1i l
1
i
1
olmak üzere  l  l  0 dir [34].
4.1. Teorem
S   x1 , x2 ,
 S  |  S
e
e
, xn  gcd kapalı bir küme ve 5  S  7 olsun. O zaman M S


 
halkasında


 olması için gerek ve yeter şart max xS GS  x   1 veya max xS GS  x   2
ve S kümesinin 𝒞 şartını sağlamasıdır [34].
İspat
Teoremin ispatı adım adım özetlenerek verilecektir. S  7 olup en büyük tipten bölen




tanımından max xS GS  x   5 yazılabilir. Teorem 3.2.5 den max xS GS  x   1 veya
50


Teorem 3.2.6 dan max xS GS  x   2 ve S kümesi 𝒞 şartını sağladığında M S 

halkasında  S e  |  S e  olduğu biliniyor. Bu sonuçla teoremin yeter şart kısmı ispatlanmış
olur.


Şimdi teoremin gerek şart kısmı ispatlanacaktır. Eğer max xS GS  x   2 ve S kümesi 𝒞
şartını sağlamazsa Teorem 3.2.6 dan


max xS GS  x   2

olduğu

 S  ł  S
e
 e, j
c
sj
xs | x j
 xi , x j 
Bu
ise
5 S 7
ve
 halkasında  S e  ł  S e  olduğunun gösterilmesi
gerektiğini işaret eder. U   uij    S e   S e 
cij
 yazılabilir. Diğer yandan S  4 için
unutulmamalıdır.
3  max xS GS  x   5 olduğunda M S 
g  i, j  
e
1
olsun. O halde (2.15) den
e
ve
c jk
h  i, j  
   c x , x 
e
sk
x j | xk
x j  xk
i
s
e , k xs | xk
olmak üzere uij  g  i, j   h  i, j  yazılabilir. Burada herhangi 1  i, j  n tamsayıları için
U  MS 
 olduğunun gösterilmesi ispatın tamamlanması için yeterlidir.

xm  S ve 3  l  5 olmak üzere GS  xm   xm1 ,
, xml


ve xm0  xm1 ,
, xml

olsun. S
kümesi gcd kapalı küme ve 5  S  7 olduğundan xm0  S ve 2  S  l  4 yazılabilir. Bu
eşitsizlikten aşağıdaki üç durum ortaya çıkar.
1. Durum
l  S  2 olduğunda Lemma [4.1-4.2, 4.5, 4.7] gereği 0  g  m1 , m   1 olup istenen elde
edilir. Dolayısıyla Teorem, 1. Durum için ispatlanmış olur.
51
2. Durum
l  S  3 olsun. Buradan eğer

S  xm0 , xm1 ,
, xml , xm , xt

S  6 ise l  3 ve ayrıca
S  7 ise l  4 dir.
olsun. İddia edilsin ki GS  xt   1 dir. Kabul edilsin ki
GS  xt   2 olsun. O halde en büyük tipten bölen tanımı gereği xm  GS  xt  yazılabilir.
Dolayısıyla buradan
GS  xt   GS  xm   2
ve
 xm , xt   xm
dir. 1  i  j  l
için
xmi , xm j  GS  xt  olsun. S kümesi gcd kapalı küme olduğundan  xm , xt   S yazılabilir.
Buradan  xmi , xm j  |  xm , xt  | xm olup bu ise xmi , xm j  GS  xm  olmasıyla çelişir. Dolayısıyla


GS  xt   2 olması imkansız olup GS  xt   1 dir. Yani iddianın ispatı tamamlanmış olur.
Lemma 4.3 ve Lemma 4.4 den ctm  0,1, 2 olmasıyla birlikte üç alt durum ortaya çıkar.
Alt Durum 2.1: ctm  2 olsun. Buradan Lemma [4.1-4.4] yardımıyla gerekli işlemler
yapılırsa um1m 
olduğu elde edilir. Bu ise ctm  2 olması durumunda teoremin ispatını
sonlandırır.
Alt Durum 2.2: ctm  1 olsun. Buradan Lemma [4.1-4.4] yardımıyla gerekli işlemler yapılırsa
um1m 
olduğu elde edilir. Bu ise ctm  1 olması durumunda teoremin ispatını sonlandırır.
Alt Durum 2.3: ctm  0 olsun. Benzer şekilde Lemma [4.1-4.4, 4.6, 4.7] yardımıyla gerekli
işlemler yapılırsa um1m 
olduğu elde edilir. Bu ise ctm  0 olması durumunda teoremin
ispatını sonlandırır.
Sonuç olarak Teorem, 2. Durum için ispatlanmış oldu.
3. Durum
52
l  S  4 olsun. O halde max xS GS  xt   3 ile birlikte S  7 dir. xt  xr olmak üzere


S  xm0 , xm1 , xm2 , xm3 , xm , xt , xr kümesi ele alınsın.
Burada GS  xt   1 olması durumu için istenen ispat bir önceki durumda gösterildi. O halde
GS  xr   2 olduğu durumun ispatlanması yeterlidir. Kabul edilsin ki GS  xr   3 olsun. O
halde buradan GS  xr   GS  xm   2 yazılabilir. 1  i  j  3 için xmi , xm j  GS  xr  olsun.
Ancak S kümesi gcd kapalı küme olduğundan
 xm , xr   S

 xm , xm  |  xm , xr  | xm olup bu ise GS  xm   xm , xm , xm
1
2
3
 i j

olduğu açıktır. Buradan
olmasıyla çelişir. Bu nedenle
GS  xr   2 olur. Bu sonuç ise aşağıdaki üç alt durumun varlığını ifade eder.
Alt Durum 3.1: crm  ctm  1 olsun. Buradan Lemma [4.1-4.3] yardımıyla gerekli işlemler
yapılırsa um1m 
olduğu görülür bu da ispatı tamamlar.
Alt Durum 3.2: crm  ctm  1 olsun. Buradan Lemma [4.1-4.3, 4.6] yardımıyla gerekli
işlemler yapılırsa um1m 
olduğu görülür bu da ispatı tamamlar.
Alt Durum 3.3: crm  ctm  0 olsun. Benzer şekilde Lemma 3.2.1 ve Lemma [4.1-4.3, 4.6,
4.7] yardımıyla gerekli işlemler yapılırsa um1m 
olduğu görülür bu da ispatı tamamlar.
Sonuç olarak tüm durumlar için Teoremin ispatı tamamlanmış olur.
S kümesi gcd kapalı küme, S  7 ve max xS  GS  x    3 ise  S e  ł  S e  dir. Ancak


max xS GS  x   3 ve S  8 olacak şekilde öyle bir gcd kapalı S kümesi vardır ki
 S  |  S
e
 S  |  S
e
e
e


 olur. Örneğin; S  1, 2,3,5, 6,10,15,30 kümesi için max xS GS  x   3 olup
 dir.
53
 m
S bir gcd kapalı küme, S  n ve m  max xS  GS  x    4 olsun. n     m  2 olmak
2 
üzere  S e  |  S e  olacak şekilde gcd kapalı bir S kümesinin varlığı açık değildir. Bununla
ilgili olarak Zhao [34], S  {x1 , x2 ,


, xn } bir gcd kapalı küme ve max xS GS  x   m  4
 m
olsun. Eğer n     m  2 ise  S e  ł  S e  konjektürünü ortaya atmıştır. Teorem 4.1 için
2 
S  8 olması durumu halen açık bir problemdir. Yani S   x1 , x2 ,
, xn  gcd kapalı bir
küme ve S  8 olduğunda GCD ve LCM matrislerinin bölünebilirliği için kesin bir sonuç
yoktur. Bu açık problem üzerine çalışmalarımız devam etmektedir.
54
55
5. SONUÇ VE ÖNERİLER
Bourque ve Ligh [5] S bölen kapalı bir küme olduğunda GCD matrisinin LCM matrisini
böldüğünü 1992 yılında göstermişler ve S kümesinin gcd kapalı olduğu durumda da GCD
matrisinin LCM matrisini böleceğini iddia etmişlerdir. Bu iddia Hong [12] tarafından
çürütülmüştür. Bunun yanında Hong [12] bu konu ile ilgili olarak “gcd kapalı bir küme
üzerinde GCD matrisinin LCM matrisini bölmesi için gerek ve yeter şartlar nelerdir?”
problemini ortaya atmıştır.
Problem, Hong, Zhao ve Yin [17] ve Feng, Hong ve Zhao [9] tarafından




max xS GS  x   1 olduğu durum için çözülmüştür. Ayrıca “ e  1 bir tamsayı ve
max xS Gs  x   2 olmak üzere M n 
 halkasında  S e  |  S e  olması için gerek ve yeter


şart S kümesi 𝒞 şartını sağlar” teoremi ispatlanarak max xS Gs  x   2 olduğu durumda
da problem Feng, Hong ve Zhao [9] tarafından çözülmüştür. Son olarak Zhao [34] 5  S  7
olması durumu için probleme çözüm getirmiştir. Ancak S gcd kapalı kümesinin eleman
sayısı 7 den büyük olduğu durumda GCD ve LCM matrisleri arasındaki bölünebilirlik halen
açık bir problemdir. Ayrıca Zhao’nun konjektürü de halen ispatlanmış değildir.
Tez çalışmalarımızda söz konusu açık problem ve konjektür üzerinde tarafımızca çeşitli
araştırmalar yapılmış ve girişimlerde bulunulmuştur. Ancak problemin çözümüne ilişkin
öngörülerimizi çeşitli örneklerle desteklememize rağmen öngörülerimiz tarafımızca
ispatlanamamıştır. Çalışmalarımız
bu açık
problem
öngörülerimizi açıklayan örnekler sunulmayacaktır.
üzerinde devam
ettiğinden
56
57
KAYNAKLAR
1.
Altinisik, E., Sagan, B. E. and Tuglu, N. (2005). Gcd matrices, posets, and
nonintersecting paths. Linear and Multilinear Algebra, 53.2, 75-84.
2.
Apostol, T. (1972). Arithmetical properties of generalized Ramanujan sums. Pasific
Journal Mathematic, 41, 281-293.
3.
Beslin. S. and Ligh, S. (1989). Another generalization of Smith’s determinant. Bull.
Austral. Mathematics, 40, 413-415.
4.
Beslin, S. and Ligh, S. (1989). Greatest common divisor matrices. Linear Algebra
Applications, 118, 69-76.
5.
Bourque, K. and Ligh, S. (1992). On Gcd and Lcm matrices. Linear Algebra and Its
Applications, 174, 65-74.
6.
Bourque, K. and Ligh, S. (1993). Matrices associated with arithmetical functions.
Linear Multilinear Algebra, 34, 261-267.
7.
Bourque, K. and Ligh, S. (1995). Matrices associated with multiplicative function.
Linear Algebra and Its Applications, 216, 267-275.
8.
Cao, W. (2007). On Hong’s conjecture for power Lcm matrices. Czechoslovak
Mathematical Journal, 57, 253-268.
9.
Feng, W., Hong, S. and Zhao, J. (2009). Divisibility properties of power Lcm matrices
by power Gcd matrices on Gcd-closed sets. Discrete Mathematics, 309, 2627-2639.
10. Haukkanen, P., Wang, J. and Sillanpaa, J. (1997). On Smith’s determinant. Linear
Algebra and Its Applications, 258, 251-269.
11. Haukkanen, P. and Korkee, I. (2005). Notes on the divisibility of Gcd and Lcm
matrices. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 6, 925935.
12. Hong, S. (2002). On the factorization of Lcm matrices on Gcd-closed sets. Linear
Algebra and Its Applications, 345, 225-233.
13. Hong, S. (2002). Gcd-closed sets and determinants of matrices associated with
arithmetical functions. Acta Arithmetica, 101, 321-332.
14. Hong, S. (2005). Factorization of matrices associated with classes of aritmetical
functions. Colloquium Mathematicum, 98, 113-123.
15. Hong, S. (2006). Nonsingularity of associated with classes of arithmetical functions on
Lcm closed sets. Linear Algebra and Its Applications, 416 (1), 124-134.
58
16. Hong, S. (2008). Divisibility properties of power Gcd matrices and power Lcm matrices.
Linear Algebra and Its Applications, 428, 1001-1008.
17. Hong, S., Zhao, J. and Yin, Y. (Chengdu) (2008). Divisibility properties of Smith
Matrices. Acta Arithmetica, 132, 161-175.
18. Hong, S., Li, M. and Wang, B. (2014). Hyperdeterminants associated with multiple
even functions. Ramanujan Journal, DOI 10.1007/s11139-013-9548-1.
19. Lehmer, D.H. (1930). The p Dimensional Analogue of Smith's Determinant. American
Mathematical Monthly, 37(6), 294–296.
20. Li, M. (2007). Notes on Hong’s conjecture of real number power Lcm matrices. Journal
of Algebra, 315, 654-664.
21. Lindstrom, B. (1969). Determinants on semi-lattices. Proceedings of the American
Mathematical Society, 20, 207-208.
22. Mattila, M. and Haukkanen, P. (2014). On the positive definiteness and eigenvalues of
meet and join matrices. Discrete Mathematics, 326, 9–19.
23. Mattila, M. (2015). On the eigenvalues of combined meet and join matrices. Linear
Algebra and Its Applications, 466, 1–20.
24. Mc. Carthy, P. J. (1986). A generalization of Smith’s determinant. Canadian
Mathematical Bulletin, 29, 109-113.
25. Smith, HJS. (1876). On the value of a certain arithmetical determinant. Proceedings
London Mathematical Society, 7, 208-212.
26. Tan, Q. (2010). Divisibility among power Gcd matrices and among power Lcm
matrices on two coprime divisor chains. Linear and Multilinear Algebra, 58, 659-671.
27. Tan, Q. Lin, Z. (2010). Divisibility of determinants of power Gcd matrices and power
Lcm matices on finitely many quasi-coprime divisor chains. Applied Mathematics and
Computation, 217, 3910-3915.
28. Tan, Q. and Liu, L. (2010). Divisibility properties of determinants of power Gcd
matrices and power Lcm matrices on finitely many pairwise relatively prime divisor
chains (in Chinese). Scientia Sinica Mathematica, 40, 641-647.
29. Tan, Q.,Lin, Z. and Liu Liu (2011). Divisibility among power Gcd matrices and among
power Lcm matrices on two coprime divisor chains Π. Linear and Multilinear Algebra,
59, 969-983.
30. Tan, Q. and Li, M. (2013). Divisibility among power Gcd matrices and power Lcm
matrices on finitely many coprime divisor chains. Linear Algebra and Its Applications,
438, 1454-1466.
59
31. Wall, C. R. (1987). Analogs of Smith’s determinant. Fibonacci Quarterly, 25, 343345.
32. Xu, J. and Li, M. (2011). Divisibility among power Gcd matrices and among power
Lcm matrices on three coprime divisor chains. Linear and Multilinear Algebra, 59, 773788.
33. Zhao, J., Hong, S. Liao, Q. and Shum, K.P. (2007). On the divisibility of power Lcm
matrices by power Gcd matrices. Czechoslovak Mathematical Journal, 57, 115-125.
34. Zhao, J. (2014). Divisibility of power Lcm by power Gcd matrices on Gcd-closed sets.
Linear and Multilinear Algebra, 62(6), 735-748.
60
61
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: URGANCIOĞLU, Mehmet Burak
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri
: 08.08.1990, Kastamonu
Medeni hali
: Evli
Telefon
: 0 (543) 787 50 48
e-mail
: [email protected]
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Yüksek lisans
Gazi Üniversitesi /Matematik Bölümü 2015
Lisans
Gazi Üniversitesi/ Matematik Bölümü 2012
Lise
Kastamonu Kuzeykent Lisesi
Yabancı Dil
İngilizce
Yayınlar
-
Hobiler
Futbol, kitap okuma, sinema
Mezuniyet tarihi
2008
GAZİ GELECEKTİR...