∫ ∫ - video.eba.gov.tr

1
1-) Bir f(x) fonksiyonun türevinin integrali kendisi ile
sabitin toplamıdır yani,  f '(x).dx =f(x)+c dir.
İNTEGRAL
dy  d(f(x))  f '(x).dx olduğu düşünülürse
 d(f(x)) =f(x)+c olduğuna dikkat edilmelidir.
f:AB fonksiyonu xA için türevlenebiliyorsa türevi:
y' 
Türevinden fonksiyonun kendisi oluşturulurken sabiti
dy
 f '(x) şeklindedir. Buradan elde edilen
dx
tam olarak bilinemeyeceğinden sabit yerine c yazılır.
/
dy  f (x).dx ifadesine f fonksiyonunun xA
Bazı sorularda c sabitini tam olarak bulmak için ek bilgi
noktasındaki diferansiyeli denir. Burada x’e bağımsız
değişken denir. O halde y=f(x) fonksiyonunun
verilebilir.
2-) Bir fonksiyonun integralinin türevi kendisidir. Yani
diferansiyeli dy  f / (x).dx dir.
/
 f(x)dx   d f(x)dx  f(x) tir. Bu ifade


dx 
ÖRNEKLER
d f(x)dx = f(x)dx şeklinde de kullanılır.
2
*
Bir fonksiyonun türevi alınırken sabit yok olur.
y=x ise dy=2x.dx
*
y=sinx ise dy=cosx.dx
*
y=lnx ise dy 
*
y  esin x ise dy  cos x.esin x.dx
1
.dx
x
3-)
 k.f(x)dx  k  f(x)dx
4-)
 f(x)  g(x) dx   f(x)dx   g(x)dx
5-)
 f(x).g(x) dx   f(x)dx. g(x)dx
(k  R)
6-) d(f(x))=dy=  f '(x).dx =f(x)+c
7-) d(f(x).dx)=f(x).dx
f(x)=x2+2x-5 fonksiyonunun diferansiyeli
*
nedir?
 2xdx=x
*
 6x dx=2x
*
 cos xdx=sinx  c
*
 (5x
*
 f(x)dx  x
c
(df(x)=(2x+2)dx)
3
2
*
y=2x -5x+4 ise dy=?
*
f(x)=ln(cosx) fonksiyonunun x 
difaransiyeli nedir?
*
2
*
(dy=(6x -5)dx)
3
için
4
2
c
(df(x)=-dx)
u= t  ln t ise t=1 için du=?
( du 
3
dt )
2
4
A) -1
*
BELİRSİZ İNTEGRAL

-3x-2+4x-2)dx=x5+3x-1+2x2 -2x+c
3
 3x 2  4x  3 ise f(-1)=?
B) 3
C) 5
D) 8
E) 10
d
tan xdx  ?
dx 
A) sinx B) tanx
Türevi belli olan asıl fonksiyonu bulma işlemine
integral denir. İntegral işareti
3
C) tan2x
D) cotx
E) 1
dir. dy  f '(x).dx
de her iki tarafın integrali alınırsa
y
 f '(x).dx =f(x)+c elde edilir. Burada f(x) e,
in integrali veya ilkel fonksiyonu denir.
c sayısına ise integral sabiti denir.
f  (x)
f(x)
dx  3ln x  3x 2  4 ise f fonksiyonunun x=1
x
noktasındaki teğetinin eğimi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) -6 B) 3
C) 9
D) 12 E) 18
*

2
*
*
d
(x3  2)dx  ?
dx 
*
 d(e
2x
 x.f
-1
2
(x)dx=x +3x ise f(3)=?
(3)
(x3  2)
(e2x  c)
)?
*
y
y=f(x)
f(4)
/
2
 sin (ln3x)dx   ?


*
x
sin (ln 3x)
2
4

d
dx
*
 x 
2
 xf
/
2 3
x  3x 2  c ve f(1)  5 ise f(x)=?
3
(x)dx 
f(x) 
dx  x.f 5x  20  ise f/(5)=?
x 
x
2
 6x  2

f(2x+1)=
x2
d
ise
x 1
dx
  f(x)dx  =?
  x  12 


 4x  6 


3x  1
ise
x2
 d f
-1

 2x  1 


 3x 
*
f(x)=
*
f(x)   d(x.ex ) ise f(x) fonksiyonu hangi
2
*
(10/51)
 8 ln x 
 3

x  2
4 ln x
dx  ?
3
2
x
*
*
5
f(x)   (x  2x  4)dx fonksiyonunun x=1
(x) =?
noktasındaki teğetinin eğimi nedir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
aralıkta artandır?
2
*
10x
*
*
5
3
 x .f(x)dx=2x +x +c
2
3
ise f(x)=?

/
/
 f (x).g(x)dx+  g (x).f(x)dx
x3
2
 (x +1).f(x)dx= 3 +x
f(x)
1
*
 x  1 dx  2 x
*
 x.d(2x)=?
2
(x-1)

*
f(x)=ln5x ise
g(x).f(x)+c
1
ise f(x)=?
 3x ise f / (x)=?
d(x2  2)
?
2x2
*
(2x+2)
(x2+c)
(ln|x|+c)
d
f -1(x)dx=?
dx 
 ex 
 
5 
3
TEMEL İNTEGRAL FORMÜLLERİ
n
xn1
c
n 1
1.
x
2.
 k.dx  kx  c
dx 
e
3.
4.
5.
mx  n
a
x
dx 
 cos
n tane
1
cos  mx  n   c
m
x
  sec 2 dx   (1  tan2 x)dx  tan x  c
x
  co sec2 dx   (1  cot 2 x)dx   cot x  c
dx
2
(
6 6 11 3 3 7
x 
x c)
11
7
 xn

 c

n!


3x  4x 4  5x5
dx  ?
x
( x5  x4  3x  c )
*

*
 x  1 dx  ?
*
x
*
 cos x dx =?
*
e
*

3x  5
dx  ?
x 1
( 3x  ln x  1  c )
*

x2  3x  4
dx  ?
x
( x2  3x  4ln x  c )
f (x)
8.
 f(x) dx  ln f(x)  c
*
 x
*

  ......
 dx=?


x( x  x)dx  ?
1
 sin
*
*
3
 cos xdx  sin x  c
2
*

amx  n
 c (a, m, n  R a  1)
m.lna
 sin xdx   cos x  c
dx
*
*
nR ve n-1
 cos  mx  n xdx  m sin mx  n  c
7.
x2  x  x)dx  ?
(
dx  e x  c
 sin  mx  n  dx  
6.
3
*
2
2
x2
(
x5 
x3 
c)
5
3
2
 6x  3 dx 
2
4
x3
 3x2  3x  c
3
 x  1
6
 dx  ln x  3  c
2 
x 
x
 
2
2x  2
dx  ?
 2x  3
sin x
( 4 ln x  1  c )
( ln x2  2x  3  c )
( ln sec x  c )
 7 cos xdx  7 sin x  c
 tan
2
ex
dx =?
2
x
( ln ex  2  c )
x.dx  tan x  x  c
 1
 

x2
 x dx  2 x 
c

2
x
4
*
*
5
 ln ex dx  ?
*
4
2x  5
/
3
f (x)  4x  3x  4 ve f(1)=5 ise f(x)=?
( 5ln x  c )
(
dx  ?
42x 3
)
ln2
f(x)  x
*
x
4
 x3  4x  1

f(x)= (x2 +x-3)dx fonksiyonunda f(-1)=1/6 ise
f(6) değeri kaçtır?
A) -23 B) 2
*
2
C) 13
D) 69
E) 85
( ex  x3  c )
2
 (e -3x )dx=?
*
y=f(x) için f(-1)=17, f/(1)=-4 ve
f//(x)=20x3-24x2+6x-8 ise f(0) değeri kaçtır?
A) -21 B) 17
*
 (6
3x 1
 3 x)dx  ?
(
C) 23
D) 24
E) 35
63x 1
 2 x3  c )
3ln 6
f : R  R, f/(x)=3x2+4 ve f(1)=7 olduğuna göre,
*
*


1
e 2x  4
( ex 2  c )
dx  ?
(
e-2lnx dx=?
1
c)
x
f(-1) değeri kaçtır?
A) -12 B) -5
*
C) -3
D) 12
E) 15
İkinci türevi, f//(x)=3x2+6 olan fonksiyon en
büyük değerini (-1,2) noktasında almaktadır. Buna
göre f(x) fonksiyonunun sabit terimi kaçtır?
A)
*
f/(x)=x(3x+4) ve f(1)=6 ise f(-1)=?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
f/(x)=6x2-4x ve f(2)=10 ise f(1)=?
A) 1
B) 2
D) 4
C) 4
D)
23
E) 6
4
E) 5
*
C) 3
15
9
B)
4
4
*
y=f(x) eğrisinin A(x,y) noktasındaki teğetinin
eğiminin aynı noktanın apsisiyle çarpımı yine o
noktadaki ordinatının iki katına eşittir. f(x) eğrisi B(1,8)
noktasından geçtiğine göre, f(2) kaçtır?
A) 4
B) 16 C) 32 D) 64 E) 128
E) 5
*
f//(x)=6x+12, f/(0)=5, f(0)=4 şartlarını
sağlayan f fonksiyonu için f(-1) değeri kaçtır?
A) -3 B) -1 C) 0
D) 1
E) 3
5
*
f///(x)=24x ve f fonksiyonunun A(1,1)
noktasında dönüm noktası vardır. Bu noktadaki
teğetinin eğimi 3 ise f(0) kaçtır?
A) -6 B) -5 C) 0
D) 1
E) 11
ln a
*
a2-b2=12 ve
 e dx  2
x
olduğuna göre a.b
ln b
çarpımı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
b
*
 4x  4dx  32
ve a+b=2 olduğuna göre a.b
a
kaçtır?
A) -3
B) -2
5
*
C) 1
D) 2
E) 3
5
 4 sin
2
2
x.dx   4 cos2 x.dx toplamının eşiti
2
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 28 B) 16 C) 12
D) 0
D) x4+2x+4
*
 x
2
E) x4+4
 4.f(x)dx  x3  6x2  mx  n ve f(1)=4
olduğuna göre m kaçtır?
A) -3 B) -1 C) 0
D) 1
E) 3
E) -15
d
x3  6x  dx integralinin sonucu
dx 
aşağıdakilerden hangisidir?
A) x3+3x
B) x3+6x
C) x2+5x
*
D) x2+2x
*
f//(x)=36x2, f/(-1)=-8, f(1)=9 şartlarını
sağlayan f fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) x4+2
B) x4+4x+2
C) x4+4x
*
y=f(x) eğrisinin (1,1) noktasındaki teğetinin
eğimi 2 dir. f//(x)=6x+4 olduğuna göre f(0) kaçtır?
A) 10 B) 7
C) 5
D) 2
E) 1
E) x3+3x+4
*
y=f(x) eğrisinin A(x,y) noktasındaki teğetinin
eğimi y dir. y=f(x) fonksiyonu B(-5,e) noktasından
geçtiğine göre f(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) ex B) ex-5 C) ex-6 D) ex-5 E) ex-6
*
f(x) 
 d x
2
 2x  4 dx ve f(0)=3 olduğuna
göre f(1) değeri kaçtır?
A) -4 B) 0
C) 3
D) 6
E) 8
*
Eğri üzerindeki (x,y) noktasında bir eğrinin
eğimi 6x olarak veriliyor. Eğri (1,5) noktasından
geçmektedir. Bu eğrinin x=-1 noktasındaki değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
A) -3 B) -1 C) 1
D) 3
E) 5
*
 3x .d 5  ln x
3
integralinin sonucu
aşağıdakilerden hangisidir?
A) x3+c
x3
D)
c
3
B) x2+c
3
E) ln(x )+c
C)
x3
c
5
*
(-2,6) noktasından geçen ve eğimi 3x2-4
olan eğrinin x=1 noktasındaki değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) -6 B) -1 C) 3
D) 6
E) 9
6
dy
*
 6x2  12x  1 ve x=1 iken y=2 değerini
dx
alan y fonksiyonunu bulunuz.
A) 2x3-6x2+x+5
B) 2x3-6x2+x+1
C) x3-3x2+x+5
*
f//(x)=6x-6 , f(1)=4 ve f(-1)=2 ise f(x)
fonksiyonunun x eksenini kestiği noktanın apsisi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 11 B) 6
C) 3
D) -2 E) -5
D)2x3-6x2+3x+5
E) 5x3-6x2-3x+15
*
f//(x)=24x, f(2)=37, f(-1)=-5 ise f(x)
fonksiyonunun x eksenini kestiği noktanın apsisi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) -4 B) -1 C) 0
D) 1
E) 4
*
f/(x)=2(3x-2) ve f(2)=6 koşulunu sağlayan
f(x) fonksiyonunu bulunuz.
A) 3x2+4x+5 B) 3x2+4x+2 C) 3x2-4x+2
D) 3x2+4x+5
E) 3x3-4x2+2
*
f/(x)=3-4x ve f(3)=-5 koşulunu sağlayan f(x)
fonksiyonunu bulunuz.
A) -2x2+3x+5 B) -2x2+4x+3 C) -2x2+3x+4
D) 3x2-4x+3
*
Eğri üzerindeki herhangi bir (x,y) noktasında
eğrinin eğimi (3x-2)(x+2) dir. Eğri (1,2) noktasından
geçtiğine göre eğrinin y eksenini kestiği noktanın
ordinatı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
E) x3+3x2+4
*
f(x) in analitik düzlemdeki eğrisinin x1=a , x2=b
noktalarındaki teğetlerinin eğim açıları sıra ile 300 ve
600 dir. f//(x) sürekli bir fonksiyon olduğuna göre
b
2
*
Eğrinin (x,y) noktasındaki eğimi 3x +6 dır.
2x-y-3=0 doğrusu ile eğri y eksenini aynı noktada
kesmektedir. Bu eğrinin denklemini bulunuz.
A) x2+6x-3
B) -3x2+6x+3 C) x3+3x2+4
3
D) x +6x-3
3
 f (x)f (x)dx
a
A) -6
B) 1
4
3
D) 2
E) 4
E) x +6x -3
*
f(x) fonksiyonunun x=5 noktasındaki teğeti
y=4x+a, x=-2 noktasındaki teğeti y=-3x+b ise
5
f
//
(x)dx integralinin sonucu aşağıdakilerden
2
hangisidir?
A) 3
B) 7
*
Eğrinin (x,y) noktasındaki eğimi 2x-4 olarak
veriliyor. y nin minimum değeri 2 ise bu eğrinin
denklemini bulunuz.
A) x2-4x-6
B) x2-4x+6
C) x3-4x2+6
D) 2x -4x+6
C)
2
*
Bir eğrinin eğimi 2x+3 olarak veriliyor. Bu
eğri x eksenini A(2,0) ve B noktasında kesmektedir.
Eğrinin denklemini ve B noktasının apsisini bulunuz.
A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -5
3
in değeri nedir?
3
2
E) x +4x -6
*
C) 9
D) 12
E) 15
d x5  3 dx ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 5x4 B) x5
C) 5x4+c
D) (x5+3)dx
E) x5+c
7
NOT:
f, [a,b] de tanımlı ve her noktada sürekli ve türevli bir
fonksiyon olmak üzere;
b
b
 f(x)dx  g(x)   g(b)  g(a)
a
integraline belirli integral
*
A)
x6
c
3
x
2
D)
B)
 5
3
3
C)
x
2
c
E)
x
2
x6  5
c
3
 3
 5
2
3
c
3
5
c
2
2
 
   
2
3
3
3
0 3x dx  x   2  0  8  0  8
0
*
ln5 x
.dx integralinin sonucu aşağıdakilerden
x
hangisidir?
*

2
 

1 1

 cos xdx   sin x     sin 2    sin 6   1  2  2

6
6

2
e3
*
 1 .2x.dx integralinin sonucu
2
aşağıdakilerden hangisidir?
a
denir.
*
 x
2

e2

A)
ln4 x
c
4
B)
ln6 x
c
6
D)
1
c
6x6
E)
ln6 x
c
5
C)
1
c
x5
e3
1
dx  ln x    ln e3  ln e2  1
x
e2

 

2
.dx integralinin sonucu aşağıdakilerden
x.ln x
hangisidir?
A) lnx+c
B) 2ln2x+c
C) 5ln2x+c
*

E) 2ex+c
D) 2lnx+c
İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ
4x
.dx integralinin sonucu
x2  1
aşağıdakilerden hangisidir?
x3
A)
 x  c B) ln(x2+1)+c
C) 2ln(x2+1)+c
3
*
 Değişken Değiştirme:
İntegral hesaplarında bazen uygun bir değişken
değiştirmesi ile ifadenin integrali kolay bir şekilde
çözülür. En çok kullanılan integral alma metodudur.
/
 f (x).f(x)dx biçimindeki integralleri direkt olarak
alamayabiliriz. Bu durumdaki integralleri değişken
değiştirerek yöntemini bildiğimiz integrallere benzetip
daha sonra sonucu bulabiliriz. İntegral hesaplandıktan
sonra tekrar eski değişkene dönüştür.
Genellikle; f(x)=u dönüşümü yapılır.
Değişken değiştirilirken;
a. türevi olan fonksiyona,
b. köklü sayının içine,
c. e fonksiyonunun üzerine,
d. derecesi büyük olan fonksiyonun içine,
e. trigonometrik fonksiyonun içine,
f. rasyonel ifadenin paydasına;
u denilir. u nun türevi alınıp du bulunur ve integralde
yerine yazılır.

D) 4ln(x2+1)+c
*
E) 1
 (x -3x+5) .(2x-3)dx
2
2
integralinin sonucu
x
2
aşağıdakilerden hangisidir?
*
e
x2  x
 3x  5
3
3
(2x  1)dx integralinin sonucu
aşağıdakilerden hangisidir?
2
ex
x
c
c
8
*
 sin
4
x.cos xdx integralinin sonucu
aşağıdakilerden hangisidir?
 5e x

  
 c


ln 5e

*
 5 e dx
*
f(a)=e2 ve f(b)=e8 olmak üzere,
x
x
sin5 x
c
5
b
*
 (x+3) dx
*
 (2x  2)
1

 .(x  3)6  c
 6

5
a
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2
B) 4 C) 6
D) 8
E) 10


1


 2(2x  2)  c
dx
2
f / (x)
1
.dx   3.dx eşitliği veriliyor. f(0) 
2
3
f(x)


olduğuna göre f(3) aşağıdakilerden hangisidir?
1
1
3
5
A)
B)
C)
D) 1
E)
4
2
4
4

*
*
*
1  tan2 x
 (tan x  2)
3

f / (x)
dx
f(x)

dx =?


1

 c
 2(tan x  2)2

(x2  1).ln(x3  3x  4)
dx
x3  3x  4
2
1

3
 . ln(x  3x  4)  c 
6

*
Bir f fonksiyonunun grafiğinin x=a noktasındaki
teğetinin eğimi 1, x=b noktasındaki teğetinin eğimi ise
3 tür. f//(x) fonksiyonu [a,b] aralığında sürekli
a
olduğuna göre
 2.f (x).f
/
//
(x).dx sonucu
b
aşağıdakilerden hangisidir?
A) -4 B) 0
C) 1
*
 (x
2
xdx
 1)[ln(x2  1)]3
D) 3
E) 4
1
c
[2ln(x2  1)]2
 x
2
*
 x  5 .2x  1dx integralinin sonucu
4
aşağıdakilerden hangisidir?
*

1
c
6(3ex  2)2
ex
dx
x
(3e  2)3
A)
D)
*

2x
2
 x
3
4
2x
2
c
 x  5
B)
2x
5
x
2
c
E)
x  1
10
c
5
5
5
 x
2
C)
 x  5
c
5
5
4
c
 1

 ln 3  2ex  c
 2

ex dx
3  2ex
 2x  3
5
*
.dx integralinin sonucu
aşağıdakilerden hangisidir?
*
 (2y +2y+5)
2
10
.(2y+1)dy
(2y2 +2y+5)11
c
22
A)
2x
2
 3
6
15
2x  5
2x  3
6
c
B)
6
5
D)
15
2x  3
C)
6
c
E)
2x  3
5
c
12
c
4
c
9
1
x
e
.dx integralinin sonucu aşağıdakilerden
x2
hangisidir?

*
1
x
A) 2x.e  c
1
x
1
x
B) 2x  e  c
1
C) e  c
ln x 

ln
 x 
e4
e
*
.dx integralinin sonucu aşağıdakilerden
e2
hangisidir?
A) 1
B) 3
C) 6
D) 8
E) 12
1
D) e x  c
E) 2x.e x  c
*
Reel sayılarda tanımlı sürekli, türevli ve azalan
5
f(x) fonksiyonu için
1

*
0
1
.dx integralinin sonucu
1  ex
aşağıdakilerden hangisidir?
 e  1
1
1
A)
B)
C) 1
D) ln 

 2 
3
2
 f (x).f
/
e
2x+4
.tan(e2x+4 )dx

deki teğetinin eğimi 3 ise f(x) in x=a daki teğetinin
eğimi kaçtır?
A) -2 B) -1 C) 1
D) 2
E) 3
E) ln(e+1)

*
*
1
 ln cos e2x  4   c
2

*
b3
f(x) dx=12 ise 3. f(3x) dx integralinin
a
a3
sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
B) 3
C) 4
D) 6
*
f(x) 
x4
ise
x 3
E) 12
1

sin(5x  )  c
5
8
 cos(5x  8 )dx
*
x3
.dx
x4
x  ln x  4  c
2
 df

2
f '(x)
dx integralinin
f(x)
sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4
B)ln4 C) ln3
D) 1
E) 0
(x) integralinin sonucu
aşağıdakilerden hangisidir?
y=f(x) eğrisi A(2,4) ile B(5,12) noktalarından
5
-1
0
A) -12 B) -10 C) 1
geçmektedir. Buna göre,
(x).dx  4 ve f(x) in x=5
a
b
*
//
d
dx
*
D) 14
E) 15
2

3
t2  2t dt integralinin sonucu
1
aşağıdakilerden hangisidir?
A) -3
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3

e2

*
1
cos(ln x)
dx integralinin sonucu
2x
f(x) 
*
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
5
B)
1
3
C)
3
4
4x  3
ise
3
2

1
d -1
f (x) dx integralinin
dx
sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
D) 1
E) 2
A)
1
4
B)
1
3
C)
3
4
D) 2
E) 3
10
f(x  h)  f(x)
f(x)= cosx veriliyor. g(x)  lim
h 0
h
*
 4
 g(x) dx
integralinin sonucu aşağıdakilerden
6
hangisidir?
A)
B)
3
1  3 
C) 1
2
D)
1  3 
2
E) 0
TRİGONOMETRİK İNTEGRALLERDE DEĞİŞKEN
DEĞİŞTİRME
NOT:
1
*
 sin ax  bdx   a cos ax  b  c
*
 cos ax  bdx  a sin ax  b  c
1
1 ax b
dx  e
c
a
ax b
*
e
*
 sin 6x  4dx   6 cos 6x  4  c
*
*
*
1
tan2 x  tan x  c
3
E) 
*
D) tan2 x 
1
tan x  c
3
1
tan3 x  c
3
 f x.dx  x.cos x  c
ise
 f 2x.dx
sonucu
aşağıdakilerden hangisidir?
1
A) 2x.cos 2x  c
B) x.cos x  c
2
D) x.cos x  c
C) 2x.sin2x  c
E)
1
x.cos 2x  c
2
1
1
 cos 5x  3dx  5 sin 5x  3  c
e
sin x
*
 sin
2
 cos x.d sin x
2
integralinin sonucu nedir?
A) sin x 
1
cos3 x  c
3
B) cos x 
1
sin3 x  c
3
C) sin x 
1
cos2 x  c
3
D) cos x 
1
cos3 x  c
3
E) sin x 
1
sin3 x  c
3
.cos x.dx  esin x  c
*
*
x  tan x.dx integralinin sonucu
2
aşağıdakilerden hangisidir?
1
1
A) tan3 x  c B)  tan3 x  tan x  c
3
3
C)
1  3 
 tan
4
x.cos x.dx 
3
sin x
c
3
 4 sin
2
2x.sin 4x.dx integralinin sonucu nedir?
A) sin x  sin 2x  c
2
C) cos 2x 
B) sin2 4x  c
4
sin2 2x  c
3
D) 
1
4
cos x  sin2 2x  c
4
3
E) sin4 2x  c
*
*
 tan x.dx   ln cos x

c
1
tan x  tan x.dx  2 tan2 x  c
3
*

sin2x
.dx integralinin sonucu nedir?
4  cos2 x
A) ln 4  cos2 x  c
B) ln cos2 x  c
C) 4 ln 4  cos2 x  c
D)  ln 4  cos2 x  c
E) 4ln 4  cos2 x  c
11
TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLERDEN
YARARLANARAK İNTEGRAL HESABI BULMA
Not:
 sin x.cos
n
m
x.dx integralinde m ve n den herhangi biri
tek ise; sin2x+cos2x=1 özdeşliği kullanılır.

2
*
 cos

2
x.dx   sin4 x.dx integralinin sonucu
4

4

4
nedir?
1
1
A)
B)
4
2
D) 
C) 0
1
1
E) 
2
4
Not:
 sin x.cos
n
sin2 x 
m
x.dx integralinde m ve n çift sayılar ise;
1  cos 2x
1  cos 2x
veya cos2 x 
yarım açı
2
2
formülleri kullanılır.
4
 tan5x.cot 5xdx
integralinin sonucu aşağıdakilerden
3
hangisidir?
Not:
n
 sin
A) 1
B) 2
C)
D) 3 5
5
5 3
E)
x.cosm x dx şeklindeki integralinde m ile n nin her
ikisi de tek ise bir tanesi seçilerek üssü bir azaltılır,
diğerinin cinsinden ifade edilir ve değişken değiştirme
uygulanır.

2
*
Not:
 sin x.cos
n
m
x.dx integralinde m ile n den biri tek diğeri
çift ise tek olan seçilerek yukarıdaki işlem uygulanır.
*
*
*
2
integralinin sonucu

6
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
B)
3 C) 2 3
D) 2
*
 2 sin
*

*
e
*
 sec x.(3+tanx) .dx
*

E)
1
2
x sin6x

c
2
2
 cos 3x.dx
2

 cos ec x.cot x.dx
sin2x
.dx
cos2 x
2
sin4 x  c
x.sin2x.dx
2ln sec x  c
 sin5x.cos 5x.dx

cos ln x  1
x 1
sin ln x  1  c
dx
cos10x
c
2
sinx+cosx
.(sinx-cosx)dx
esin x  cos x  c

2
*
 cos
2
x.sin2x.dx integralinin sonucu nedir?
1
1
A)
B)
16
8
3  tan x
5

4
1
C)
4
1
D)
2
2
4
5
c
E) 1
2  cos x
dx
sin2 x
2 cot x  cos ecx  c 
12
*

*

*
cos x  3
x3
x3.sin
3x4
dx
4
sin2x
dx
2
x  5)3
 (cos



1  tan2  3x  1 dx

 4 

*

*
 1  cot
*
dx

2


5x  2 

dx
 3 

8x  16
dx
cos2(x  2)2
*
 tan xdx
 ln cos x  c
*
 cot xdx
ln sin x  c
*
 1+cot (x +x+1) .(2x+1)dx
*
 tan(3x  3)dx
*
 
2 sin x  3  c

 3x4 
1
c
cos 
 4 
3
1
2.(cos2 x  5)2
 3x  1
4
.tan 
c
 4 
3
5x  2 
3
 .cot 
c
 3 
5
2
2

1

 ln cos(3x  )  c
3
3
2 2
2
 cos   ln x  
 dx
x
e 

e
4
4tan(x-2)2+c
*
0<x<

olmak üzere
2
c-cot2(x2+x+1)

1  sin2x dx
(sinx-cosx+c)
*

sin3xdx
cos3 x  3 cos x
c
3

4
*
 sec 5x  dx
*
 15.sin
2
2
x.cos3 x dx
tan 5x
5
*
c
5.sin3 x  3.sin5 x  c
 tan x+tan x dx
5
0
3
1
 
 4 
13
(müfredatta yok)
İçinde sinx ve cosx bulunan rasyonel ifadelerin
x
integralinde t= tan
dönüşümü yapılırak integral daha
2
kolay çözülebilir. Şekle
göre:
2 x
1  tan
ln 5
x
2
4x
 e2x )dx integralinde ex=u dönüşümü
ln 2
2
tan
 (e
*
x
2
yapılırsa, aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
5
A)

5
(u3  u).u.du
 (u
2
2
3
1
C)
x
t
x
1
sin 
, co s 
2
2
2
1t
1  t2
 u).du
3
B)
ln 5
 (e
3u
 eu ).eudu
 (u
2
D)
1
 u)du
ln 2
ln 5
E)
x
x
2t
sinx=2 sin co s =
2
2 1  t2
x
x 1  t2
cosx=cos2 -sin2 =
2
2 1  t2
 (ln3u  lnu)du
ln 2
1 x
 1
*
DÖNÜŞÜM İNTEGRALLERİ
x
dx integralinde u= x dönüşümü
yapılırsa integral ne olur?
4

*
x
e .
1
a
x
A)
2
.dx integralinde x=u dönüşümü
yapılırsa aşağıdaki intagrallerden hangisi elde edilir?
1 u
 1
D) 2
B)
du
u
1 u
1 u
1u
 1  u du
E) 2
du
1 1u
du
2  1u
C)
u(1  u)
du
1u
5
10. eu3.du
4
2
2
 sin(arccosx)dx
*
integralinde t=arccosx
1
3
*
9  x2 dx integralinde x=3.sint dönüşümü

dönüşümü yapılırsa integral ne olur?
0
yapılırsa aşağıdaki intagrallerden hangisi elde edilir?

2
A)
2
2
 sin

t dt
B)
 9(sin t  cos t) dt
2
t dt
C) 9 cos2 t dt
0
sin2tdt
B)

1
2
cos2 2tdt

2

4
 2 cos
2
tdt
1
E) 9. cos2 t.dt
 cos tdt
1

4
D)
C)
E)
  sin
2
tdt
0
0

6
*
2
 9 sin


4

4
1
2
1
2

D)
3
0

2

4
A)


4
6

sin x  cos x.dx integralinde t   x
2
dönüşümü yapılırsa aşağıdaki intagrallerden hangisi
elde edilir?

4
 cos t  sin t.dt

6
x2
3
dx integralinde x=
dönüşümü
cost
x2  9
yapılırsa integral ne olur?
*

3

3
3. sec3 t.dt
0
14
2
e
 PARÇALI (KISMİ) İNTEGRASYON:
.dx integralinde u=ex+3 dönüşümü
x+3
*
3
e
 du
yapılırsa integral ne olur?
 f(x).g(x) dx şeklindeki ifadelerin integralini
1
kolaylaştırmak amacıyla kullanılan yöntemdir.
u ile v, x değişkenine bağlı iki fonksiyon olmak üzere
5
 f(x).dx  T
*
u.v nin diferansiyeli d(u.v)=u.dv+v.du olur. Her iki
3
2
ise

T
4
f(4x  1).dx
1
4
0
tarafın integrali alınırsa
 d(u.v)= u.dv+ v.du
u.v= u.dv+ v.du
 u.dv  u.v- v.du
u denilecek ifadeyi tespit etmek için LAPTÜ
(Logaritmik, Arc, Polinom, Trigonometrik, Üstel)
4
3
 f(x).dx  45
*
 f(3x  5).dx
ise
1
integralinin
2
sözcüğünden faydalanılır. u denilecek ifade LAPTÜ
sıralamasında önce gelendir.
sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 15
e
*
 ln x.dx
integralinin sonucu aşağıdakilerden
1
hangisidir?
A) -e B) -1
38
18
 f(x  5).dx   f(x  2).dx
*
25
integralinin sonucu
C) 0
D) 1
E) e
*
 x.cos x.dx
x.sinx+cosx+c
*
 x .e .dx
x
*
 ln sin x.cos x.dx
 sin x 
sin x.ln 
c
 e 
31
aşağıdakilerden hangisidir?
A) -3
B) -1
C) 0

4
*
 cos
2

2
D) 1
E) 5
2
x
2
 2x  2.ex  c

2
4xdx  cos2 4xdx integralinin sonucu

4
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
2
B)
2
2 C) 0
D)  2
E) 
2
4
e
*

e
ln4 x.dx  9e olduğuna göre
1
 ln
5
x.dx
1
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 44e-9
B) 9e-44
C) -44e
D) 9e+44
E) 44e
15
1
 x  1 e .dx
x
*
integralinin sonucu
*
 x.e .dx
x  1 e
*
 5x .ln x.dx

1
x5 ln x    c

5 
x
x
c
0
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2e2
B) 2e2-1
C) 2e2-e
 x .sin x.dx
2
*
D) e
E) 1
4
integralinin sonucu
aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2.cos x  2x.sin x  2 cos x  c
B) x2.cos x  2x.sin x  2 cos x  c
e2
C) x2.cos x  2x.sin x  2 cos x  c
 ln x.dx
*
D) x .sin x  2x.cos x  2 sin x  c
2
e2+1
e0
E) x2.cos x  2x.sin x  x.cos x  c
e
*
 x.ln x.dx
ex
cos x  sin x
2
*
e
*
f(x) türevli bir fonksiyondur.
x
cos x.dx
integralinin sonucu aşağıdakilerden
1
hangisidir?
e2
e 1
A)
B)
2
4
C) 1
D)
1
2
E)
e
4
6
 f(x).dx  4
ve
0
6
*
 (x  2).sin x.dx
 x.f (x).dx  8
/
sinx-(x+2).cosx+c
A) -2
*
olduğuna göre f(1) değeri kaçtır?
0
B) -1
C) 0
D) 2
E) 4
 (4x  3).sin(x  2).dx
(4x  3).sin(x  2)  4 cos(x  2)  c
 RASYONEL İFADELERİN İNTEGRALİ:
*
 (x  3).e
x 3
.dx
(x  2).ex3  c
A-)
k
 ax+b dx
integrali ax+b=u şeklinde değişken
değiştirme yöntemiyle çözülür. Bu şekilde payı,
paydasının türevine eşit olan integrallerde aynı çözüm
yöntemi kullanılır.
*
 4x.ln x.dx
 x2 
x2.ln    c
 e 
Hatırlatma:

f /(x)
.dx  ln f(x)  c
f(x)
16
*
*
*
*
D-)

5
dx
2x  3

2
dx
4x  5
1
ln 4x  5  c
2

x3
dx
x2  6x  7
1
ln x2  6x  7  c
2

2x3  x  3
dx
x 4  x2  6x

1
dx
2
ax  bx  c
5
ln 2x  3  c
2
1
ln x4  x2  6x  c
2
ifadesi verildiğinde eğer
*

x
dx
x2  5x  6
3ln | x  3 | 2ln | x  2 | c
*

x 5
dx
x2  1
3ln | x  1 | 2ln | x  1 | c
*

x2  2
dx
x  x2  2x
*
 (x  1) .x
*
 16  sin
*
f(x) 
3
3
2
dx
co s x
2
x
dx
ln
x2  2x
c
x 1
3
x
 3ln
c
x 1
x 1
1
4  sin x
.ln
c
8
4  sin x
ax2+bx+c ifadesi çarpanlarına ayrılabiliyorsa ifade basit
kesirlere ayrılarak çözüm yapılır.
1
A
B


(x  a)(x  b)
x a x b
1
A
B
C
D




(x  a)3(x  b)
x  a (x  a)2 (x  a)3
x b
1
Ax  B
C


(x2  a)(x  b) (x2  a) x  b
*

6
dx
x 1
*

3
dx
x x6
2
2
a
olmak üzere,
(x  3).(x  1)
5
 f(x)dx  3ln2
olduğuna göre a değeri
4
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 6
B) 3
C) 1
D) -3
3ln
x 1
c
x 1
3 x2
ln
c
5 x 3
*
*
E) -6
x  3
3
x  1
4

x 5
dx
x2  4x  3
ln

10x
dx
x2  x  6
2 ln
c
x 3
c
x 2
17
8
*
 x2  4x  12 dx integralinin sonucu
aşağıdakilerden hangisidir?
A) ln x2  4x  12  c B) ln x2  4x  12  c
C) ln
x 2
c
x 6
E) ln
x2
c
x6
D) ln
x 6
c
x 2
dx
*
 x2  1 aşağıdakilerden hangisidir?
1 x 1
x
x3  x
A) ln
c
B) 2
c
C)
c
2 x 1
x 1
4
D) ln
2
c
x2  1
3
*
9x
 x  2.x  1 dx
*

2
integralinin sonucu
A) ln4
E) ln
x 1
c
x2  1
4
.dx aşağıdakilerden hangisidir?
x2  1
B) ln3
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3ln x  2  6 ln x  1  c
3 
C) ln  
 2
1 
D) ln  
 2
1 
E) ln  
 4 
B) 5ln x  2  3ln x  1  c
C) 6 ln x  1  6 ln x  2  c
D) 6 ln x  2  ln x  1  c
E) 6 ln x  2  3ln x  1  c
2x  3
dx integrali aşağıdakilerden
x2  3x  10
hangisine eşittir?
A) ln x  2  ln x  5  c
B) ln x  2  ln x  5  c
*

C) 2ln x  7  5ln x  2  c
x
 x  1
2
dx
1
ln x  1 
c
x 1
E) 3ln x  2  3ln x  5  c
*

6dx
x2  1
3ln
x 1
c
x 1
*

4dx
x2  x
4 ln
x
c
x 1
*

5
dx
x x6
ln
x 3
c
x 2
*

ln
ex  3
c
ex  2
12
dx integralinin sonucu
x3  2x
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 6 ln x  4 ln x2  2  c
*
D) ln x  2  2ln x  5  c

B) 6 ln x  3ln x2  2  c
C) 6 ln x  ln x2  2  c
D) 6 ln x  2 ln x2  2  c
E) 6 ln x  ln x2  2  c
6x  2
dx integralinin değeri aşağıdakilerden
x2  4
hangisine eşittir?
A) 4lnx-2+2lnx+2+c
B) 6lnx-2-2lnx+2+c
C) 4lnx-2+lnx+2+c
D) lnx-2+6lnx+2+c
E) 6lnx2-4+c
*
2

2x
e
ex
dx
 5ex  6
18

*
1
x 2
ln
c
4 x 2
dx
x2  4
1

*
0

*
3
dx
sin2 x  7 sin x  12
3ln
sin x  3
c
sin x  4
B-)
2x2  x
dx
x 1
k
  ax+b
n
ln2
integrali ax+b=u şeklinde değişken
dx
değiştirme yöntemiyle çözülür.
sayfa 6 sağ taraf
C-)

P(x)
dx ifadesinde der(P(x))≥der(P(x)) ise; pay
Q(x)
ÖRNEKLER
paydaya bölünür ve

P(x)
R(x)
dx= (T(x)+
)dx şeklinde düzenlenerek
Q(x)
Q(x)
5
*
 2x  3
*

*
 x  1
4

dx
5
c
6(2x  3)3
integral alınır.
*
*


x2  x  2
dx
x 1
4x2  2x  20
dx
x2  5
x2
 2 ln x  1  c
2
2
x2  6x  9
4
2x
4x  ln x2  5  c
Müfredat Dışı
*

x
dx
x3

dx
2

x  asinu dönüşümü yapılır.
x  3ln x  3  c
 a2  x2 dx   a 1  sin2 u.a cos udu
=a2cos2udu= a2 

2x 4  3x2  2x
dx
x3  1
x2  ln x3  1  c



3x3  3x2  5
dx
x 1
x3  5ln x  1  c
*
co s 2u  2 co s 2 u  1
1  co s 2u
co s 2 u 
2
1  cos 2u
du
2
2
a
x
u
a2
1
(u  sin 2u)  c
2
2
2
*
5
c
6(2x  3)3
a2  x2 dx integralinde
x=asinu  dx=a.cosudu
*
2
c
7(x  3)7
dx
a2  x 2
2
a
x x a x
(arcsin 
)c
2
a
a2

25  x2 dx
x 
x
25
25  x2 
arcsin    c
 5 
2
2
19

*
9  49x dx


x
9
7x
9  49x2 
arcsin 
  c
2
 9  49x 
2
14

x
x2  a2

 c  ln x  x2  a2  c

lna


a
a
c(sabit)
 ln x  x2  a2  c
13  6x  x2 dx
x  3.
sinu
cos2 u du
sinu
cosu
  secudu  ln secu  tanu  c
 ln
*
sinu
cos2 u du 

1
1
2
cos u
1
.a
a 
2
13  6x  x2 
 x  3 
1
arcsin 
c
 2 
2
 ax+b nin çeşitli kuvvetten köklerini bulunduran
integrallerde, kök kuvvetlerinin en küçük ortak katı n
n
olmak üzere ax+b=t
BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ
dönüşümü yapılır
f:a,b R integrallenebilir bir fonksiyon olsun.
Müfredat Dışı

1
dx
ax2 +bx+c
integralinde eğer
 f(x)dx  F(x)  c
ise f fonksiyonunun a dan b ye kadar
b
2
ax +bx+c ifadesi çarpanlarına ayrılamıyorsa terim
 f(x)dx  F(b) F(a) şeklinde tanımlanır.
belirli integrali
a
ekleyip çıkarma yaparak tamkare yapılır. Sonra;

Çıkarma işleminde integral sabitleri daima
k
dx ifadesinde ax+b=t.u dönüşümü
(ax+b)2+t2
sadeleşeceğinden C yazılmaz
yapılır
a
1.
a
 f(x)dx  F(x) a  F(a)  F(a)  0
a
Müfredat Dışı

1
a2  b2 x2
dx ifadesi bx=a.sinu
2.
b
a  b olmak üzere
(veya bx=a.u) formülüne benzetilir.
b
 f(x)dx  F(x) a  F(b)  F(a)
a
a
Müfredat Dışı

 [F(a)  F(b)]   f(x)dx
1
x a
2
2
b
dx integralinde x=a.tanu
b
3. c  R olmak üzere
dönüşümü yapılır.
Müfredat Dışı

a
x2  a2 . dx integralinde x 
a
cos u
b
4.
b
b
a
a
a  c  b olmak üzere
5.

a
 [f(x)  g(x)]dx  f(x)dx   g(x)dx
a
dönüşümü yapılır.
Müfredat Dışı
b
 c.f(x)dx  c. f(x)dx
x2  a2 . dx integralinde x=a.tanu
b

c
b
f(x)dx  f(x)dx   f(x)dx
a
a
c
6. f, g:[a, b]R integrallenebilen iki fonksiyon olmak
dönüşümü yapılır.
b
üzere,
b
f(x)  g(x) için f(x)dx  g(x)dx
a
Müfredat Dışı
x
x

1
x2  a2
dx integralinde
a
dönüşümü yapılır.
cos u
a
sinu
 dx  a.
du dönüşümü yapılırsa
cos u
cos2 u
a
7. f:[a, b]R integrallenebilen bir fonksiyon olmak
üzere
b

a
b
f(x)dx 

f(x) dx
a
a
8. f sürekli ve tek fonk ise
 f(x) dx=0
a
a
f sürekli ve çift fonk ise

a
a
f(x) dx=2 f(x) dx
0
20

4
*
 cos 2xdx
integralinin değeri nedir?
5
12
A) -1
B) 
1
4
C) 0
D)
1
4
E)
*
Şekilde y=f(x)
fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
f(x) fonksiyonunun x=3
noktasında dönüm vardır. Buna
2
f / / (x)
göre,  / /
dx değeri
0 f (x)
1
2
aşağıdakilerden hangisidir?
A) -6e B) -3
C) 0 D) 3e

4
*
e
tan x
E) 6
. 1  tan2 x dx integralinin sonucu
0
aşağıdakilerden hangisidir?
A) -e
B) e-2
C) e-1
D) e
E) 2e
5
*
Aşağıdaki şekle göre
f
//
(x)+f / (x).dx
3
*
integralinin sonucu
aşağıdakilerden hangisidir?
f(6)=1 ve f(-2)=2 olmak üzere,
6
f(x)  x.f / (x)
dx integralinin sonucu aşağıdakilerden
f 2 (x)
2

hangisidir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
A) -5
B) -3
*
 (x
3
*
f(1)=2 ve f(3)=4 olmak üzere,
 f (x).f (x).dx
3
1
/
1
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
a
b
C) -2
D) 0
b
+x a ).dx
integralinin sonucu kaçtır?
0
A) -3
B) -1
*
Şekilde y=f(x) fonksiyonu
verilmiştir. Buna göre,
5
d f 4 (x)
 f 4(x) .dx integralinin değeri
2
*
a=b.e2 ise
kaçtır?
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 20
A) 0
B) 32
B) 3
C) 42 D) 56
C) 12
D) 24
E) 5
C) 0
D) 1
E) 2
E) 60
E) 36
b

a
A) -6
B) -3
C) 1
3
dx integralinin sonucu
x
D) 3
E) 6
21

*
5
*
x5  sin x
 x4  co s x dx integralinin sonucu
 5
hangisidir?
A) 
B) -5
C) 0
D) 1
cos x dx integralinin sonucu aşağıdakilerden
0
aşağıdakilerden hangisidir?

A) 
5

E) 4
3
B) -1
2
C) 0
D) 1
E) 2
2,
x 1
f(x)  
olduğuna göre,  6x.f(x).dx
x  2, x  1
0
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) -8 B) -4 C) -2
D) 0
E) 2
2
*
e3
*
1
dx
3x  x ln x
e2

2
*


1
2
ln6
 x2  1   1 

f x-  dx integralinin değeri nedir?
 x2   x 
A) -2
B) 
1
2
C) 0
3
2
D)
E) 4
4x3 3  x  1
f(x)  
ise  f(x) dx
2
 3x 1  x  5
1
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
B) 2
C) 10
D) 26
E) 28
3
*
3
*
f(x)=2x2-4x+1 olduğuna göre,
 d f (x)
/
1
integralinin değeri kaçtır?
A) 16
B) 12
C) 8
D) 4
E) 0
2, x  0
f(x)  
olduğuna göre,  3x2.f(x).dx
 x, x  0
1
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
B) 7
C) 10
D) 12
E) 15
2
*
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN( TEK - ÇİFT
FONKSİYONLARIN, MUTLAK DEĞER VE PARÇALI
FONKSİYONLARIN) İNTEGRALİ
*
3
*

x2  2x dx integralinin sonucu
aşağıdakilerden hangisidir?
B) 2
C) 3
D) 4
2
 f(x  2).dx
1
A) 1

E) 5
hangisidir?
9
A)
B) 7
2
C)
2
x2  x dx integralinin sonucu aşağıdakilerden
 4x
3
D) 8
E) 15
 7x  3 .dx integralinin sonucu
aşağıdakilerden hangisidir?
A) -16 B) 0
C) 12
D) 28
hangisidir?
1
B)
2
*
15
2
2
0
A) 0
integralinin sonucu aşağıdakilerden
0
2
*
 5  x, x  3
f(x)  
olduğuna göre,
2x  2, x  3
C) 1
3
D)
2
E) 2
E) 64
22
5
*
f(x) çift fonksiyon,
 f(x).dx  12
olduğuna
0
0
göre
 2f(x).dx integralinin değeri aşağıdakilerden
5
hangisidir?
A) 0
B) 12
C) 18
D) 24
*
f(x) çift ve g(x) tek fonksiyonlar olmak üzere
3

0
f(x).dx=5 ve
3

g(x).dx=4 ise
3
0
 f(x)  g(x) dx
3
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 10 B) 8
C) 5
D) 4
E) 0
E) 36
3
*

x  2dx integralinin sonucu aşağıdakilerden
1
hangisidir?
A) -1 B) 1
İNTEGRAL ALTINDA TÜREV (LEİBNİTZ KURALI)
C) 3
D) 5
E) 7
u(x)
g(x) 
f(t)dt ise g/(x)  f u(x) . u/(x)  f v(x) . v/(x)

v(x)

3
*



3
x
x
sin .cos dx integralinin sonucu
2
2
2x1
aşağıdakilerden hangisidir?
1
1
A) -1 B) 
C) 3
D)
2
2
*
f(x) 

(t3  2)dt ise f/(1) sonucu
x
E) 1
aşağıdakilerden hangisidir?
A) -2 B) -1 C) 0
D) 1
E) 2
1
2
*

4x2  1 dx integralinin sonucu
0
aşağıdakilerden hangisidir?
1
1
1
A)  B) 0
C)
D)
6
3
2
E) 1
1
*
f(x)=x2x olduğuna göre
 df(x)
integralinin
1
sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) -1 B) 0
C) 1
D) 2
E) 4
1
*
 (1  x
2
 x 4 ) dx integralinin sonucu
x2 1
1
aşağıdakilerden hangisidir?
17
A) 0
B)
C) 2
D) 3
15
*
E)
46
15
f(x) 

t(t  1)dt ise f/(x) sonucu
x2
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4x5 B) 8x3
C) 4x3
D) x2+1
3
*
 (1  x  x
3
 .....  x17 ) dx integralinin sonucu
3
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
B) 3
C) 6
D) 9
e2 x
*
f(x) 

ln t dt ise f/(0) sonucu
ex 1
E) 12
aşağıdakilerden hangisidir?
A) -1 B) 0
C) 2
D) e
E) 2e
E) x2
23

ise f /   sonucu
 6 
cos x
*

f(x) 
1  t2 dt
0
aşağıdakilerden hangisidir?
1
1
A) -1 B) 
C) 0
D)
4
2
E) 1
d t


 .dt integralinin sonucu
cos
x.dx
  dt 


 2 
0
aşağıdakilerden hangisidir?
A) -2 B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
*
 x2 x

d 
2
lim
(t

3)dt
 limitinin değeri

x 1 dx  

 1
aşağıdakilerden hangisidir?
7
A) 0
B)
C) 7
D) 21
3
2
*
x
*
F(x) 
 t.e
2t
dt
0
değeri nedir?
A) -ln2 B) 1
C) ln2
x2
*
f(x) 
 e
t
 2.dt
ise
dF(x)
in x=ln2 için
dx
D) ln4
E) ln16
ise y=f(x) eğrisine
x3
*
f(x) 

3x2
E) 41
3  t2
dt fonksiyonunun x=1 apsisli
3t
noktasındaki teğetin eğimi nedir?
A) -8 B)-4
C) 1
D) 3
E) 9
x

 51t.dt 


 limitinin sonucu aşağıdakilerden
*
lim  1
2 
x 1
 1x 






hangisidir?
1
A) -2 B)
C) 4
D) 10
E) 18
2
BELİRLİ İNTEGRALİN UYGULAMALARI
x
üzerindeki x=1 apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi
nedir?
A) -e
B) e-2
C) e
D) e+1
E) e+2
Alan Hesabı:
ALAN HESABI :
x
 t
*
lim
3
 3t  3t  1 dt
0
x 2
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 27 B) 9
C) 0
D) -12
x 2
limitinin değeri
a
E) -18
x2
 tdt
0
limitinin değeri
3x  tan(x  )
aşağıdakilerden hangisidir?
A) -3 B) -2
C) -1
D) 0
E) 1
*
lim
x 0
b
a,b aralığında f0 ise A=  f(x)dx dir.
b
b
a,b aralığında f0 ise A=-  f(x)dx =  f(x)dx dir.
a
a
24
ÖRNEKLER
*
c
 f(x)dx  A1-A2
a
b
c
9
A=A1+A2=  f(x)dx   f(x)dx
a
9
 f(x)dx  6
b
ve
4
 f(x) dx  12 ise S2 değeri
4
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
B) 2
C) 3
D) 4
*
Şekildeki
alanı kaç br2 dir?
İki eğrinin arasında kalan alanı bulmak için önce
eğrilerin kesim noktaları bulunur. Bu noktaların
taralı
E) 6
bölgenin
b
apsisleri a ve b ise A=
 f(x)  g(x) dx
dır.
a
A) 0
b
A=

*
b
f(y) dy   x.dy


a
S2
a
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Şekilde ifade edilen S1 ve
S1
alanları
için
oranı
S2
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
B)
8
3
C)
16
3
D)
32
3
E)
D)
9
2
E) 3
İki eğrinin arasında kalan alanı bulmak için önce
eğrilerin kesim noktaları bulunur.
Bu noktaların apsisleri a ve b ayrıca bu aralıkta
b
f(y)≥g(y) ise, A=
 f(y)  g(y) dy
dir.
*
Şekildeki taralı
bölgenin alanı kaç br2 dir?
a
Not:
y
x=f(y)
d
d
A
c
d
A
x
c
c
A
c
d
 x dy  f(y) dy
y x=f(y)
x=g(y)
x
d
A
 f(y)  g(y) dy
c
A) 18
B)12
C)
19
3
64
3
25
*
Şekilde verilen fonksiyon
grafiğindeki taralı bölgenin alanı kaç
br2 dir?
*
Şekilde verilen fonksiyon
grafiğindeki taralı bölgenin alanı
kaç br2 dir?
A) 18
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
B) 9
C) 6
D) 3
E) 1
E) 4
*
Şekildeki taralı bölgenin
alanı kaç br2 dir?
*
f(x)  x3  x2  6x eğrisi ile x ekseni arasında
kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
A)
B)
C)
D)
E)
A) 5
B) ln5
C) ln3
D) ln2
E) 1
*
Şekildeki y=x ve y  x fonksiyonlarının
grafiği verilmiştir. Buna göre taralı bölgenin alanı kaç
br2 dir?
*
f(x)  x3  4x2  3x eğrisi ile x ekseni arasında
kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
12
7
23
A)
B)
C)
D) 6
E) 7
7
2
4
A)
B)
C)
D)
E)
Şekildeki y=f(x) fonksiyonunun
grafiği verilmiştir. Taralı alan 4
6
br2 ise
/
 x.f (x)dx
integralinin
2
sonucu aşağıdakilerden
hangisidir?
*
x  y2  3y eğrisi ile x=2y doğrusu arasında
kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
1
1
1
1
1
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
4
5
6
A) -8
B) -4
C) 0
D) 4
E) 8
*
Şekilde grafiği verilen
birebir ve örten f : 1,5  1,3
fonksiyonunun tersi f-1 dir.
5
3
 f(x)dx  7 olduğuna göre,  f
1
1
(x)dx
1
integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4
B)5
C) 6
D) 7
E) 8
*
y=x3-4x eğrisi ile apsisler ekseninin sınırladığı
alanlardan üst taraftakinin değeri nedir?
A) 8
B) 6
C) 4
D) 2
E) 1
26
*

y=sin 2x eğrisi x 
doğrusu ve OX ekseni ile
2
sınırlanan alan kaç birim karedir?
1
1
A) 0
B)
C)
D) 1
E) 2
2
4
*
Şekilde y=x2 nin grafiği
verilmiştir. Taralı S1 ve S2 alanları
arasında 7S1=S2 bağıntısı bulunduğuna
göre x1 apsisi kaçtır?
A) 3 8
*
Analitik düzlemde
yx2, y2x eşitsizlikleriyle belirtilen düzlemin alanı
nedir?
8
5
A) 8 B) 5 C) 3 D)
E)
3
3
B) 3 6
C) 3 4
D) 3 3
E) 3 2
a>0 koşulu ile, y=x3+ax eğrisi, x ekseni ve
7
x=1 doğrusu ile sınırlı alan
birim kare olduğuna
4
göre a nın değeri nedir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
*
*
y=3x2-3, x=0, y=0, x=2 eğrilerinin
sınırladığı bölgenin alanı kaç br2 dir?
A) 2
B) 3
C) 4 D) 5 E) 6
*
f, grafiğinin bir parçası
yandaki şekilde verilen bir
5
15
fonksiyondur.  f(x)dx  
ve
2
0
*
y=x2 parabolü, üzerindeki
A(3,9) noktasındaki teğeti ve Ox
ekseninin sınırladığı alan kaç birim
karedir?
99
A)
4
81
B)
4
C) 15
49
D)
4
S1 
göre, S2 kaç br2 karedir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Yandaki şekilde
x2  4
y
fonksiyonunun
x2
grafiği verilmiştir. Buna göre
taralı bölgelerin alanları
toplamı kaç birim karedir?
C)
D)
b>1 olmak üzere, y  lnx eğrisi, x ekseni ve
1
1
, x=b ile sınırlı bölgenin alanı 7  ln2  birim
b
2
olduğuna göre b kaçtır?
e
e2
A)
B) 2
C) e
D)
E) e3
2
2
*
B)
E) 5
E) 11
*
A)
19
birim kare olduğuna
2
x
E)
*
R den R ye, a>0 koşuluyla f:xf(x)=ax2
fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun grafiği ile Ox
ekseni ve x=a doğrusu arasında kalan alan 3 birim
kare olduğuna göre, a nın değeri nedir?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
*
Denklemi y=x2 ve y2=27x olan eğrinin
sınırladığı bölgenin alanı kaç birim karedir?
A) 16
B) 12
C) 9
D) 8
E) 6
27
x
*
Şekilde, y  4e , y  e
fonksiyonlarının grafikleri ve y
ekseniyle sınırlı olan taralı
bölgenin alanı kaç birim karedir?
x
A)
B)
C)
D)
*
y=x2+2x eğrisi ile x=-2 ve x=2 doğruları
arasındaki alanı bulunuz.
8
16
A)
B)
C) 6 D) 7 E) 8
3
3
E)
*
y
Şekle göre A alanı
3
aşağıdakilerden hangisidir?
x
A
3
*
y2=9-x parabolünün koordinat sisteminin I.
bölgesindeki (x0, y0) parçası ile x=0 ve y=0
doğrularıyla sınırlı olan bölgenin alanı kaç birim karedir?
A) 2
B) 4
C) 8
D) 12
E) 16
*
y2=x ve y=x2 eğrisi ile sınırlanan bölgenin
alanı kaç birim karedir?
5
2
3
1
1
A)
B)
C)
D)
E)
12
5
8
3
4
A) 3
6
3
D) 18
E) 27
y=3-x2 eğrisi ile y=1-x doğrusu arasındaki
bölgenin alanı nedir?
A)
fonksiyonunun tersi f-1 dir.
5
 f(x)dx   f
C) 9
*
y=-2x2+27 ve y=x2 eğrileri tarafından
sınırlanan alan aşağıdakilerden hangisidir?
A) 108 B) 96
C) 45
D) 30
E) 21
*
* Şekilde grafiği verilen birebir
ve örten f : 3,6   1,5
B) 6
1
2
B)
3
2
C)
5
2
D)
7
2
E)
9
2
1
(x)dx integralinin
1
sonucu aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 12 B) 15
C) 20
D) 27
E) 30
1 2
x eğrileri y=1 ve y=2
9
doğruları ile sınırlanan bölgenin alanı aşağıdakilerden
hangisidir?
*
A) 1
x  3y2 ve y 
B) 4 2
C) 9  4 2
D) 9 2  4
E) 9
2
*
 f(x).dx  12
y
ve
3
A2
6
 f(x).dx  8
ise A1+A2
-3
2
A1
alanları toplamı nedir?
A) 4
B) 12
C) 20
2
y=f(x)
6
1 2
y eğrisi ile y=1 ve y=3 doğruları ile
2
sınırlanan bölgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir?
13
7
A)
B) 4 C)
D) 2 E) 1
3
3
*
D) 30
E) 42
x
28
*
*
y
S1=10, S2=4 ise
b
S1
sonucu
 f(x)  g(x) dx
y=f(x)
Şekilde verilenlere göre taralı alan kaç birim
karedir?
S2
y=g(x)
a
aşağıdakilerden hangisidir?
a
A) -6
B) 0
C) 2
D) 4
c
b
x
E) 6
A)
y
*
y= x2
Şekilde verilenlere göre
4
3
B)
8
3
C)
10
3
D)
14
3
*
Şekilde verilenlere
göre A alanı kaç birim
karedir?
A alanı kaç birim karedir?
A
16
3
E)
y
x
1
6
B)
1
3
C)
1
2
D)
3
5
E)
5
6
A)
*
A
karedir?
B)
e2
4
C)
e2
6
y=e-x
x
D)
e
8
Şekilde verilenlere
E)
g(x)
karedir?
A
-2
A)
e 1
e
D)
e2  1
e
B)
A)
e 1
e
C)
e 1
e
4
3
B)
8
3
C) 4
D)
16
3
e  1
e
y=x2-4
y
*
Şekilde verilenlere
y
göre A alanı kaç birim karedir?
A
A)
B)
75
4
C) 7
D)
25
6
E)
5
2
y=x2-x
y=-x2+3x
x
y=x+2
125
6
E) 6
2
E)
*
Şekilde verilenlere göre
A alanı kaç birim karedir?
A)
x
1
x
x=2
2
e
4
y
f(x)
göre A alanı kaç birim
Şekilde verilenlere
göre A alanı kaç birim
e2
2
*
y=ex
y
x
A
y= -x+2
A)
y= ln(2x)
y=2x/e
8
3
B)
16
3
C) 8
D)
32
3
E)
40
3
A
3 x
2
29
*
Şekilde verilenlere göre A
*
y
/
 xf (x)dx
y=4/x
A
y=3/x
e3
B) 2
C) e
D) e2
e5
f(x)
2
aşağıdakilerden hangisidir?
B) 7
C) 9
D) 10
E) 11
4
*
Şekilde
y
 f(x)dx  13
f(x)
1
A
x
5
ise
f
1
5
(x)dx integralinin
C) 3
D) 6
E) 8
sonucu aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 1
x
2
2
B) 2
5
y= 3 x
6
A) 
x
S2
S1
A) 1
y
integralinin sonucu
0
x
E) e3
*
Şekilde yarıçapı 6 birim olan
yarım çember ile y  3x doğrusu
veriliyor. A alanı kaç birim karedir?
y
5
alanı kaç birim karedir?
A) 1
Şekilde S1=4, S2=3 ise
B) 3
C) 5
1
D) 7
4
E) 10
*
Şekilde taralı alan 8
birim kare ise
3
 x.f '(x)  x.g'(x) dx
4
integralinin sonucu
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 16 B) 8 C) 0 D) -4
E) -8
*
Şekilde f(x)
fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
1
Buna göre,
 f(x)dx   f
5
7
7
1
(x)dx
f(x)
4
4
integralinin sonucu
aşağıdakilerden hangisidir?
x
-5
*
Şekilde taralı alan 12 birim
kare ise 2 f(3x)dx integralinin
A) 19
B) 13
*
(
C) 12
D) 10
E) 8
sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 6
B) 8
C) 12
D) 16
E) 24
2
*
0
Şekilde verilenlere
aşağıdakilerden hangisidir?


4
7
A)
B)
C)
D)
4
2
9
9
göre taralı alan kaç birim
karedir?
A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
16  x2  3x)dx integralinin sonucu
E) 18
E) 
-1
30
0
*
( 16  x2  x)dx integralinin sonucu

2 2
aşağıdakilerden hangisidir?


A) 2
B) 
C)
D)
2
4
E)

6
4
*
 
4
16  x2  x  dx integralinin sonucu

aşağıdakilerden hangisidir?
A)   2
B)   2
D) 4  8
E) 8  16
C) 2  4
4
 
*
16  x2  (4  x) dx integralinin sonucu

0
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4
B) 2
C) 4  8
D) 2  8
E)   4
2
*
 x 

4  x2 .dx integralinin sonucu
2
2
*
4  x2  x  2)dx integralinin sonucu
(
aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 
B) 2  
2

D) 2 
E) 2  
2
C) 2
0
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2
B) 
C)   2
D) 2  2
E)   4
*
a>0 olmak şartıyla y=x3+ax eğrisi, x ekseni ve
x=2 doğrusu tarafından sınırlanan bölgenin alanı 72
birim kare ise a nedir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
2 2
*

( 16  x2  x)dx integralinin sonucu
0
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 8  2
B) 8 C) 2
D)   8
E) 2  8
*
y=x2 parabolü ile A(2, 4) noktasındaki teğeti ve
y ekseninin oluşturduğu bölgenin alanı kaç
birimkaredir?
8
28
38
A)
B) 6
C)
D)
E) 16
3
3
3
4
*
  x  2 
0
16  x2  dx integralinin sonucu

aşağıdakilerden hangisidir?
A) 18  4
D) 2  9
B) 9  2
E) 18  2
C) 18  2
2
*

0
4  y2 .dy integralinin sonucu
*
1
a0 olmak üzere,
  x
2

 4x dx integralinin
a
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
4
 3
3
B)
2
3

3
2
D)
2
3

3
2
E)
4
 3
3
C) 
alabileceği en büyük değer kaçtır?
4
8
16
32
64
A)
B)
C)
D)
E)
3
3
3
3
3
31
*
Şekildeki taralı bölgenin alanı aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
5
3
7
3
B)
C)
14
D) 5
3
*
Şekilde verilen
f(x) fonksiyonun
grafiğidir. Buna göre,
E)
16
3
y
6
y=f(x)
4
7
2
 f(x).dx
2
-2
integralinin
sonucu
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 12 B) 16 C) 18 D) 21
8
*
3

10
5
7
E) 27
10
 f(x)dx  6 ve
8
3
 f(x)dx  9
olduğuna göre,
3
3
f(x)dx   f(x)dx integralinin sonucu aşağıdakilerden
8
hangisidir?
A) -15 B) -9
*
C) -6
D) 6
E) 9
Şekilde y=f(x)
üçüncü dereceden bir
fonksiyon ise taralı kaç
birim karedir?
A)
2
3
B)
3
4
C)
4
3
D)
8
3
E)
8
5
Rafet ÖNAL
Matematik Öğretmeni
Samsun 2016
iletişim:
[email protected]