Cebir Notları Faktöryel - Soruhane.com

www.mustafayagci.com, 2003
Cebir
Cebir Notları
Mustafa YAĞCI, [email protected]
Faktöryel
Tanım: n, 1’den büyük bir doğal sayı olmak üzere;
1’den n’ye kadar olan doğal sayıların çarpımına
n’nin faktöryeli veya kısaca n faktöryel denir. (n!)
biçiminde gösterilir. Çok kullanılmamakla beraber
faktöryele çarpansal dendiği de olur.
1⋅2⋅3⋅4⋅…⋅(n – 2)⋅(n – 1)⋅n = n!
1’den (n – 1)’e kadar olan doğal sayıların çarpımına
da bu tanıma göre (n – 1)! deneceğinden n! = n⋅(n –
1)! olur. Bu durum benzer şekilde uzatılabilir:
0! teknik nedenlerden dolayı 1
diye tanımlanır. Böyle biliniz.
Yandaki tabloda 1’den 10’a kadar olan tamsayıların faktöryelleri yazılmıştır. En azından ilk 6
tanesini ezbere bilmenizde fayda
vardır. Konunun bundan sonraki
kısmını soru-cevap şeklinde anlatacağız.
Herkese kolay gelsin!
n! = n⋅(n – 1)!
= n⋅(n – 1)⋅(n – 2)!
= n⋅(n – 1)⋅(n – 2)⋅(n – 3)!
Aşağıda buna ait örnekleri bulacaksınız:
100! 100 ⋅ 99 ⋅ 98!
= 100 ⋅ 99 = 9900
=
98!
98!
6! 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3!
= 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120
ii) =
3!
3!
i)
+
+ ⋅ ⋅ −
iii) (n 1)! = (n 1) n (n 1)! = (n + 1) ⋅ n
(n − 1)!
(n − 1)!
n!
n!
1
=
=
(n + 1)! ( n + 1) ⋅ n! n + 1
v) 23! + 22! = 23⋅22! + 22!
= 22!⋅(23 + 1) = 22!⋅24
vi) 8! + 7! – 6! = 8⋅7⋅6! + 7⋅6! – 6!
= 6!⋅(56 + 7 – 1) = 6!⋅62
iv)
Doğal sayıların faktöryelleri kendilerinden kat be
kat hızlı arttığından ilk birkaç sayının faktöryelini
hesaplama olanağımız vardır. Biz de bu yüzden
10’a kadar olan doğal sayıların faktöryellerini vereceğiz, daha büyük sayıların faktöryellerini gerek
olmadığı gibi, gerek duyulursa da bulunması kolay
olduğundan vermeyeceğiz.
Soru 1. 17! tek midir, çift midir?
Çözüm: 17! sayısı 17⋅16⋅⋅15⋅14⋅⋅…⋅4⋅⋅3⋅2⋅⋅1 çarpımına eşit olduğundan ve çarpılan bu terimlerin
arasında çift sayılar olduğundan 17! çifttir.
O halde 1’den büyük tüm n doğal sayıları için n!
sayıları çifttir. Çünkü hepsi eni sonu gelip 2 ile
çarpılmak zorundadırlar.
Soru 2. 17! hesaplanırsa son rakamı kaç olur?
Çözüm: 17! sayısının 17⋅16⋅...⋅10⋅⋅9⋅…⋅3⋅2⋅1 çarpımına eşit olduğunu unutmayalım. 10 dışındaki
sayıların çarpımı kaç olursa olsun 10 ile çarpılacağından bu sayının sonuna sıfır geleceğini anlarız.
Aslında bir sayının sonuna sıfır gelmesi için illa
da 10 ile çarpılmasına gerek yoktur. Çift olan bir
sayı 5 ile çarpılırsa da sonunun sıfır olacağını
unutmayın. Ayrıca son rakamı 5 olan bir sayı düşünüp onu 2 ile çarpın bakalım. Yine sonu sıfır oldu değil mi? Bu tabii ki bir rastlantı değil. İçinde 5
ve 2 çarpanı olan her sayı aslında 10 ile çarpılmış
gibi davranmaz mı?
O halde şöyle bir genelleme yapalım:
Mustafa YAĞCI
Faktöryel
n > 4 olmak üzere n! sayısının son rakamı daima
sıfırdır.
Çünkü içinde mutlaka 2 ve 5 çarpanı vardır. 4!’in
sonunda sıfır olmaması da bir tesadüf değil yani.
Çözüm: 5 ile bölündüğünde bölüm olarak 3’ü
vermesi lazım. O halde 15, 16, 17, 18, 19 olmak
üzere 5 sayının sonunda 3 sıfır vardır.
0!, 1!, 2!, 3!, 4! sonunda sıfır yoktur,
5!, 6!, 7!, 8!, 9! sonunda 1 sıfır vardır,
10!, 11!, 12!, 13!, 14! sonunda 2 sıfır vardır,
15!, 16!, 17!, 18!, 19! sonunda 3 sıfır vardır,
20!, 21!, 22!, 23!, 24! sonunda 4 sıfır vardır,
25!, 26!, 27!, 28!, 29! sonunda 6 sıfır vardır.
Soru 3. 17! hesaplanırsa sondan kaç basamağı sıfır olur?
Çözüm: Nasıl ki bir tamsayıyı 10 ile çarptığımızda sonuna bir sıfır geliyor, 3 kere 10 ile çarparsak
da 3 tane sıfır gelir. O halde şu an bulmamız gereken; 1’den 17’ye varana kadar kaç tane 10 çarpanı
elde ederiz? Dikkat edin, 10’a bölünen sayı demiyoruz, 10 çarpanı diyoruz. Zira 10’dan başka 10’a
bölünen sayı yok ama 5 ve 2 çarpımından bir 10
çarpanı geldiği gibi 15 ve 4 çarpımından da bir 10
çarpanı geliyor. Sonuç olarak bu sayının sonunda
3 tane sıfır olduğunu söyleyebiliriz. Doğrudur da!
Buradan da anladığınız üzere sonunda 5 sıfır bulunan faktöryel yoktur. Benzer şekilde sonunda 11
sıfır olan faktöryel de yoktur. Bunun da sebebini
siz düşünüp, açıklayınız.
Peki, iki farklı sayının faktöryeli arasındaki dört
işlemler nasıl yapılır? Yani iki farklı sayının
faktöryelleri çarpılınca, bölününce, toplanınca, çıkarılınca, hatta bir faktöryelin üssü alınırsa neler
olacağına, bizim bunlara karşılık neler yapmamamız gerektiğine bir göz atacağız.
Demek ki bizim aslında bu çarpanlar arasında kaç
tane 10’a bölünen sayı olduğunu değil kaç tane 10
çarpanı olduğunu bulmamız gerekiyor. Bunun da
direkt 5 çarpanı ile ilgili olduğunu anlattık. Peki,
hiç mi 2 çarpanı ile ilgisi yok? Elinde 2 olmadan 5
olsa neye yarar? Öyle ya! Doğru, doğru ama zaten
2 çarpanı her iki sayıda bir geldiğinden elimizde
yeterince var. Ama 5 çarpanı her 5 sayıda bir gelir.
Yani daha azdır. Yani; elimizdeki her 5’e bir 2 bulabiliriz ama her 2’ye yetecek kadar 5 yok. Her
yerde olduğu gibi burada da az olan kıymetli. Bunun için faktöryeli verilen sayıyı hemencecik 5’e
böleriz. Bulduğumuz bölüm bizim o sayıya gelene
kadar kaç tane 5 ile bölünen sayı olduğunu verir.
Ama bazı 5 ile bölünen sayıların içinde 1’den çok
5 olamaz mı? Gözden bazı 5’ler kaçmaz mı? Haklısınız. Bunu da şöyle gidereceğiz: Eğer bölüm 5
veya 5’ten büyük çıkarsa (ki bu sadece sayının 25
veya 25’ten daha büyük olması halinde olur) o bölümü de tekrar 5’e böleceğiz. Böylelikle iki kere
5’e böldüğümüzden 25 ile bölmüş oluruz, dolayısıyla 25’in katlarında gözden kaçan 5’leri de kayıt
altına almış oluruz. Eğer ikinci bölüm de 5 veya
5’ten büyük çıkarsa onu da 5’e böleriz ki 125 veya
katlarında saymadığımız üçüncü 5’leri de saymış
oluruz. Ve bu böyle devam eder, etmelidir de!
Soru 5. 23!.24! çarpımının sonunda kaç tane sıfır
vardır?
Çözüm: 23 ve 24 sayılarını ayrı ayrı 5’e böldüğümüzde 4 elde ederiz ki bu da bu sayıların sonlarında 4’er tane sıfır olduğunu söyler. O halde x ve
y tamsayı olmak üzere; 23! = x⋅104 ve 24! = y⋅104
şeklinde birer sayıdır.
23!⋅24! = x⋅104⋅ y⋅104 = x⋅y⋅108
olduğundan çarpımın sonunda 8 sıfır vardır.
Bundan sonra iki sayının faktöryellerinin çarpımının sonunda kaç sıfır olduğu sorulursa, her iki
faktöryelin sonundaki sıfır adetlerini toplayacağız.
Soru 6.
33!
sonunda kaç tane sıfır vardır?
24!
Sözün özü: n! sayısının sonunda kaç sıfır olduğu;
n sayısı 5’e bölünerek değil, devamlı 5’e bölünüp
her bir bölüm toplanarak bulunur. Ta ki, bölünemeyene kadar!
Çözüm: 33 ve 24 sayılarını ayrı ayrı devamlı 5’e
böldüğümüzde sırasıyla 7 ve 4 elde ederiz ki bu da
33!’in sonunda 7, 24!’in sonunda 4 tane sıfır olduğunu söyler. O halde x, y ve z birer tamsayı olmak
üzere; 33! = x⋅107 ve 24! = y⋅104 şeklinde birer sayıdır.
33! x ⋅ 10 7 x
=
= ⋅ 10 3 = z⋅103
4
y
24! y ⋅ 10
olduğundan çarpımın sonunda 3 sıfır vardır.
Soru 4. Kaç doğal sayının faktöryelinin sonunda 3
tane sıfır vardır?
Bundan sonra iki sayının faktöryellerinin bölümünün sonunda kaç sıfır olduğu sorulursa, paydaki
2
Mustafa YAĞCI
Faktöryel
faktöryelin sonundaki sıfır adedinden paydadaki
faktöryelin sonundaki sıfır adedini çıkaracağız.
rının sonunda 1 tane sıfır olacak diye bir kaide
yok. İnanmıyorsan topla, bak! Fakat sonundaki sıfır adetleri farklı olan sayılar daima toplanınca küçük olanınki kadar sıfır verirler. Örneğin; 3900 +
40 =3940. Tabii ki tek bir örnek yetmez, hatta
1000 tane bile yetmez, ama bunu kanıtlamak da
size kalsın.
Şimdi de faktöryellerin toplamına farkına ilişkin
örnekler vereceğiz. Bu toplamların ya da farkların
sonlarındaki ardışık sıfır adetlerini ya da herhangi
bir çarpandan kaç tane olduğunu ve bunun gibi sorulara cevap arayacağız. Bu tip problemlerde sık
olarak kullanacağımız bir özelik var ki; onu burada öğrenip sorular üzerinde uygulamalar yapalım.
Unutmamamız gereken gerçek şu:
m < n olduğu sürece m!, daima n! içinde yer alır.
Bunu bildiğimizden verilen faktöryellerden büyük
olanını daima küçük olan cinsinden yazabileceğiz.
Soru 9. n ve p birer sayma sayısı olmak üzere;
23!
= p ise n en fazla kaç olabilir?
5n
Çözüm: p’nin bir sayma sayısı olması bize paydadaki 5’lerin paydakilerden çok olmadığını anlatmalı. Çünkü paydada 1 tane bile fazla 5 olsaydı,
sadeleşenler sadeleşir ve paydada 5 artardı. Pay
artık içinde 5 ihtiva etmediğinden 5’in katı olmayan bir sayı olurdu, dolayısıyla 5’e bölündüğünde
sonuç yani p sayma sayısı olmazdı. O halde n en
çok, 23!’in içinde kaç tane 5 çarpanı varsa o kadar
olmalı, yani 4.
Kısacası,
n!
‘’a, b, c, n∈ + iken b = c ise max(b) kaçtır?’’
a
sorusu; ‘’n!’in içinde kaç tane a çarpanı vardır?’’
sorusu ile aynıdır.
Uyarı. (2n)! ≠ 2n!
(2n)! ≠ 2!⋅n!
(2n)! = 2n⋅(2n – 1)⋅(2n – 2)!
Soru 7. 23! + 24! toplamının sonunda kaç sıfır
bulunur?
Çözüm: Yine bu sayının içinde kaç tane 5 çarpanı
olduğunu bulmamız lazım.
23! + 24! = 23! + 24⋅23!
= 23!⋅(1 + 24) = 23!⋅25
olduğundan hem 23!’in hem de 25’in içinde kaçar
tane 5 olduğunu bulup toplamamız gerekiyor.
23!’de 4, 25’te 2 tane 5 çarpanı olduğundan cevap
6’dır.
Soru 10. n ve p sayma sayıları için 23! = 6n⋅p ise
n en fazla kaç olur?
Çözüm: Nasıl ki bize 10 çarpanı sorulduğunda bile biz sayıyı devamlı 10’a değil, 5’e bölüyorduk,
şimdi de 6 çarpanı soruluyor diye hemen 6’ya bölmeyeceğiz. Çünkü her 2 ve 3’ten bir 6 elde edildiğinden ve her 3 ile eşleştirebileceğimiz bir 2 bulunup, her 2 ile eşleştirebileceğimiz bir 3 bulunmadığından 23’ü devamlı 3’e bölüp, çıkan bölümleri
toplamalıyız. 23’ü 3’e bölersek bölüm 7, 7’yi de
3’e bölersek bölüm 2 çıkar ki cevap 7 + 2 = 9 olur.
Soru 8. 23! + 72! toplamının sonunda kaç sıfır
vardır?
Çözüm: Bir önceki benzer soruda ifadeyi çarpanlarına ayırmıştık. Burada da öyle yapacağız. Sayıların büyüklüğü gözünüzü korkutmasın.
23! + 72! = 23!⋅(1 + 24⋅25⋅26⋅…⋅70⋅71⋅72)
Parantez içinde 1 ile toplanan sayının 5’in katı olduğuna dikkat ediniz. Çünkü içinde 25 var, yeter.
O halde bu sayıya 1 eklendiği için bu sayı 5’in katı olamaz, yani son rakamı sıfır değildir, o halde
sadece 23! sayısının sonundaki sıfır sayısı cevaptır, yani cevabımız 4 olmalıdır.
Yani; ‘’a!’in içinde kaç tane b çarpanı var?’’ diye
bir soru ile karşılaştığımızda, önce bir durup b’ye
bakacağız. Eğer b asalsa a’yı devamlı b’ye böleceğiz, fakat b bileşikse (yani asal değilse) a’yı devamlı b’nin en büyük asal çarpanına böleceğiz.
Acaba bu durumu genelleyebilir miyiz? Neden
olmasın?
Eğer toplanan faktöryellerin sonlarındaki sıfır
adedi sayısı aynı değilse sadece küçük olan sayının faktöryelini almak yeter. Eğer sıfır adedi aynıysa böyle yapamayacağımıza aslında bir önceki
sorumuz örnekti.
Bunun sebebini şöyle düşünebilirsiniz: Örneğin,
40 ile 60’ın sonunda birer sıfır var diye toplamla-
Soru 11. n ve p sayma sayıları için 23! = 4n⋅p ise
n en fazla kaç olur?
Çözüm: Ne kadar da üstteki soruya benziyor değil
mi? Evet ama çözümleri hiç de öyle değil. 4 asal
olmadığından 23’ü devamlı 4’ün en büyük asal
çarpanı olan 2’ye bölmeliyiz. Bölelim. Bölümleri
toplayalım. 19 çıkıyor. Fakat cevap 19 değil. Çünkü 2’leri 4 yapmak için eşleştireceğimiz diğer
3
Mustafa YAĞCI
Faktöryel
2’ler başka yerde yok. Alınacaksa bu 19 tanenin
içinden alınacak. O halde yeni bir soru çıktı karşımıza: ‘’19 tane 2’den kaç tane 4 çıkar?’’. Her 2
tane 2’den 1 tane 4 çıkacağından 19’u 2’ye bölersek 9 tane 4 yapabileceğimizi anlarız. Peki artan 1
tane 2 var, o n’olacak? Başka 2 kalmadı ne yapalım? O da öylece kalır.
münden kalan sorulur, bu yüzden ona da 3 diyeceğiz.
Soru 15. 1! + 2! + 3! + 4! + … + 2005! toplamının onlar basamağındaki rakam kaçtır?
Çözüm: Şimdi de 9’dan büyük doğal sayıların
faktöryellerinin önemi yoktur, çünkü onların daima son iki basamakları ‘’00’’dır. Bu yüzden son
iki rakama etki etmezler. Bu sebeple biz sadece ilk
9 sayının faktöryellerinin son iki rakamlarını toplayalım: 01 + 02 + 06 + 24 + 20 + 20 + 40 + 20 +
80 = 213. O halde bu toplamın son iki rakamı
13’tür, dolayısıyla onlar basamağındaki rakam
1’dir.
Yani; ‘’a!’in içinde kaç tane b çarpanı var?’’
diye bir soru ile karşılaştığımızda, önce yine bir
durup b’ye bakacağız. Tüm işlemlerimizi daha önce yaptığımız gibi yapacağız. Fakat b bir tamkare
ise bulduğumuz cevabı 2’ye böleceğiz, bir tamküp
ise 3’e böleceğiz, bir tam dördüncü kuvvet ise 4’e
böleceğiz ve bu böyle devam edecek…
Böyle toplamların 100 ile bölümünden kalan sorulduğunda da aynı çözümü yaparız. Çünkü bir
sayının 100 ile bölümünden kalan şey o sayının
son iki basamağıdır. 4, 20, 25, 50, 75 gibi sayılara
bölümlerinden kalanlar da son iki rakamla alakalıdır ama daha kolay çözümleri olduğundan onları
burada değil, ilerde başka örneklerde başka metotlarla anlatacağız.
17!
Soru 12. n sayısı tek ise n kaçtır?
2
Çözüm: 17! sayısının çift olduğunu kanıtladık.
Neden çiftti? İçinde bir sürü 2 çarpanı olduğu için.
Peki, bir sayı niye tek olur? İçinde hiç 2 çarpanı
olmadığı için. Demek ki 2n ifadesi 17!’in içinde ne
kadar 2 varsa almış götürmüş gibi düşünebiliriz.
17!’in içinde kaç tane 2 çarpanı var peki? Onu da
17’yi devamlı 2’ye bölerek buluruz. Ben böldüm,
15 çıktı. O halde n = 15.
Soru 13.
17!
2n
Soru 16. 1! + 2! + 3! + 4! + … + 2005! toplamının 3, 6, 7, 15, 20, 40 ile bölümlerinden kalanları
hesaplayınız.
Çözüm: 3 ve daha büyük doğal sayıların
faktöryelleri hem 3 ile hem de 6 ile tam olarak bölündüğünden kalan vermezler. 1! + 2! = 1 + 2 = 3
olduğundan bu toplam 3 ile tam bölünür ama 6 ile
bölümünden kalan 3 tür. Diğer yandan 5 ve daha
büyük doğal sayıların faktöryelleri hem 15 hem 20,
hem 40 ile tam bölünürler. Bunlar kalan vermediğinden, incelenmelerine gerek yoktur. 1! + 2! + 3! +
4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33 olduğundan toplamın 15,
20, 40 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 3, 13, 33
olur. 7 ile ilk bölünen faktöryel ise 7! olduğundan
bundan önceki faktöryelleri toplamak gerekir. 1 + 2
+ 6 + 24 + 120 + 720 = 873 olduğundan, 873 de 7
ile bölümünde 5 kalanını verdiğinden cevap 5’tir.
sayısı çift ise n en fazla kaç olabilir?
Çözüm: n = 15 olunca bu sayının tek olduğunu
kanıtladık. Çünkü kesrin payında da 15 tane 2 çarpanı vardı. Bunlar sadeleşince sayı tek oluyordu.
Burada da durum şöyle: Aşağıda yukarıdaki
2’lerin tamamını götürecek kadar 2 yokmuş ki bu
sayı çift kalmış. Yani n en fazla 14 olabilir.
n’nin alabileceği değerler toplamını sorar bazen.
O zaman 1’den 14’e kadar olan sayma sayılarını
toplayacağız. 1 + 2 + … + 14 =
14 ⋅15
= 105.
2
Soru 14. 1! + 2! + 3! + 4! + … + 2005! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?
Çözüm: 4’ten büyük olan doğal sayıların
faktöryellerinin sıfır ile sonlandığını kanıtlamıştık.
O halde sadece 1! + 2! + 3! + 4! toplamının son
rakamına bakmak yeterli olacaktır. 1 + 2 + 6 + 24
= 33 olduğundan sorunun cevabı 3’tür.
Soru 17. 20! + 21! sayısı 12!, 121, 69, 94, 86, 55
sayılarından kaç tanesine tam olarak bölünür?
Çözüm: 20! + 21! = 20! + 21⋅20!
= 20!⋅(1 + 21)
= 20!⋅22
olduğunu önce bir not edelim. 20!’in içinde 12!
olduğundan ilkine tam bölünür. 121 ile tam bölünebilmesi için içinde 2 tane 11 çarpanı olması lazım. 22’nin içinde 1 tane var ayrıca 20!’in içinde
de 1 tane var, o zaman bu da tamam. 20!’in içinde
Buradan şu anlaşılmaktadır: Yeterince büyük olduktan ve 1’den başlayıp ardışık olarak arttıktan
sonra nerede bittiğinin önemi yoktur. Aynı soru
2005! değil de 2006! ya da 74658!’de bitseydi de
cevap 3 olacaktı. Bazen bu toplamın 5 ile bölü4
Mustafa YAĞCI
Faktöryel
8 tane 3 çarpanı olduğundan ancak 8 tane 6 çarpanı olabilir. Bundan dolayı bu sayı 69 ile kalansız
bölünemez. 94 için de durum aynı, zira 94 = 38 tür.
Şimdi 20!’in içinde kaç tane 2 çarpanı var ona bakalım. Ben baktım, 18 tane çıktı. 6 tane 8 zaten 18
tane 2 yaptığından 20!’in içindekiler buna yeter.
Son olarak 55’i inceleyeceğiz. 20! sayısında sadece 4 tane 5 çarpanı var, 22’de ise hiç yok dolayısıyla 55 ile bölünmesine imkan yok. Yani, sadece
3’üne bölünür.
Soru 21. x = 22⋅19! olduğuna göre 20! + 21! toplamının x türünden ifadesi nedir?
Çözüm: 20! + 21! = 20⋅19! + 21⋅20⋅19!
= 19!⋅[20 + 21⋅20]
= 19!⋅[20⋅(1 + 21)]
= 19!⋅20⋅22
= 20⋅x
Soru 22. n tane 120’nin toplamı, n! olduğuna göre n değeri kaçtır?
Çözüm: n⋅120 = n!
n⋅5! = n⋅(n – 1)!
5=n–1
n=6
Şu an itibariyle faktöryelin ne olup ne olmadığına
ilişkin bir altyapınızın çoktan oluşmuş olması gerekiyor. Yanılıyor muyuz yoksa? Eğer tereddütleriniz varsa yukarıdaki örnekleri tekrar tekrar incelemenizi ve anlamadığınız her yeri tamamıyla idrak edene kadar sormanızı öneririz. Zira bundan
sonra, özellikle permutasyon kombinasyon derslerinde faktöryellerle epey bir işimiz olacak.
Soru 18. Aşağıdaki eşitliklerde n sayısını bulunuz.
i) n! = (2n+4)⋅(n – 2)!
ii) (n + 7)! = 720⋅(n + 4)!
Çözüm: Büyüğü küçük cinsinden yazıyoruz.
i) n⋅(n – 1)⋅(n – 2)! = (2n + 4)⋅(n – 2)! eşitliği düzenlenirse n2 – 3n – 4 = 0 olur, o halde n = 4.
ii) (n + 7)⋅(n + 6)⋅(n + 5)⋅(n + 4)! = 10⋅9⋅8⋅(n + 4)!
eşitliğinde gerekli işlemler yapılırsa n = 3 bulunur.
Soru 19. f: +→ , f(n) = n⋅f(n – 1) ve f(0) = 1 ise
∀n∈ için f fonksiyonunun faktöryel fonksiyonu
olduğunu gösteriniz.
Çözüm: n = 1 ⇒ f(1) = 1⋅f(0)
n = 2 ⇒ f(2) = 2⋅f(1)
n = 3 ⇒ f(3) = 3⋅f(2)
………
n = k ⇒ f(k) = k⋅f(k – 1)
Bulunan tüm bu eşitlikler taraf tarafa çarpılırsa;
f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅…⋅f(k) = 1⋅2⋅3⋅…⋅k⋅f(0)⋅f(1)⋅...⋅f(k–1)
f(k) = 1⋅2⋅3⋅....⋅k
f(k) = k!
Soru 23. 60! – 50! işleminde elde edilen sayının
sonunda kaç tane ardışık sıfır vardır?
Çözüm: 60! – 50! sonundaki sıfır
50 5
adedi, her ikisinin sonundaki sıfır
10 5
2
adetleri farklı olduğundan küçük olanın yani 50!’in sonundaki sıfır adedi
kadardır. O halde sıfır adedi 12 tanedir. Çıkarma
işlemini de aynı toplama gibi yapıyoruz yani.
Soru 24. 100! – 1 sayısının sonunda kaç tane ardışık 9 vardır?
Çözüm: 100! – 1 sonundaki 9
100 5
5
20
adedi, 100! sonundaki sıfır adedi
4
kadardır. O halde 100! – 1 sonundaki 9 rakamının adedi 24 tanedir.
Bazen de 100! + 1 toplamının sonundaki 1 adedini
sorar. Buna da hemen 24 demeyin sakın! Neden
diye bir düşünün bakalım.
Soru 25. m, n ve t pozitif tamsayı olmak üzere 40!
= 6m⋅10n⋅t eşitliğinde (m + n) toplamı en fazla kaç
olabilir?
Çözüm: 6 ve 10 asal olmadığından hemen bu ifadeleri asal çarpanlarına ayıralım.
40! = 6m⋅10n⋅t = 2m⋅3m⋅2n⋅5n⋅t = 2m+n⋅3m⋅5n⋅t olur.
40! içinde 38 tane 2, 18 tane 3, 9 tane 5 asal çarpanı olduğu bulunur. Bu yüzden max(n) = 9 ve
max(m) = 18 olduğundan max(m + n) = 27’dir.
x = 20⋅22⋅24⋅...⋅50
y = 19⋅21⋅23⋅...⋅49
olduğuna göre x⋅y çarpımının faktöryel olarak eşiti nedir?
Çözüm:
18! 50!
=
x⋅y = 19⋅20⋅21⋅22⋅...⋅49⋅50⋅
18! 18!
Soru 20.
Soru 26. (1! + 2! + 3! + ... + 33!)123 işlemi sonucunda birler basamağındaki rakam kaçtır?
Çözüm: 5! + 6! + 7! + ... + 33! ≡ 0 (mod 10) olduğunu biliyoruz.
1! + 2! + 3! + 4! ≡ 1 + 2 + 6 + 24 ≡ 3 (mod 10) olduğundan 3123 ≡ 33 ≡ 7 (mod 10) olur.
5
Mustafa YAĞCI
Faktöryel
Soru 27. (1 + 13!, 17 + 13!) açık aralığında asal
sayı olmadığını gösteriniz.
Çözüm: (1 + 13!, 17 + 13!) açık aralığında bir x
asal sayısı olsun;
1 + 13! < x < 17 + 13!
x = 2 + 13! = 2 1 +
= 2k
x=3
= 3k
x=4
13! 

2 

13!
+ 13! = 3 1 + 
3 

13!
+ 13! = 4 1 + 
4 

Çözüm: x = 1 için tamkare olduğu, x = 2 için de
olmadığı aşikar.
x = 3 olursa bu toplam 1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9
olduğundan yine tamkare olur.
x > 3 için bu toplamın son rakamının daima 3 olduğunu biliyoruz.
O halde bir tamkare olması imkansızdır. Çünkü
hiçbir tamkarenin son rakamı 3 olamaz.
Neler olabilir, onu da siz bulunuz…
= 4k
Soru 32. a! = b! + c! + d! eşitliğinde a, b, c, d birer pozitif tamsayı ise a kaçtır?
Çözüm: b ≤ c ≤ d olsun.
a > d olduğundan a ≥ d + 1 yazabiliriz.
(d + 1)⋅d! = (d + 1)! ≤ a! = b! + c! + d! ≤ 3⋅d! olduğundan d + 1 ≤ 3 olur. O halde d ≤ 2 dir.
d = 1 için dener ve sağlayan değerler bulamayız.
d = 2 için ise b = c = d = 2 ve buradan da a = 3
bulunur.
Aynı soruyu bir de doğal sayılar kümesinde çözünüz.
...
x = 16 + 13! = 16 1 +

13! 

16 
= 16k
olduğundan verilen aralıkta bir asal sayı yoktur.
Daha genel olarak; p bir asal sayı ve n bir doğal
sayı ise; n! + 1 ile n! + n arasında hiçbir asal sayı
yoktur. Bunun kanıtını ise sizlere bırakıyoruz.
Soru 28. 15! sayısının pozitif tam bölenleri sayısı
kaç tanedir?
Çözüm: 15! = 211⋅36⋅53⋅72⋅111⋅131 olduğundan,
15!’in pozitif bölen sayısı 12⋅7⋅4⋅3⋅2⋅2 = 4032 tanedir.
Soru 33. OBEB(n! + 1, (n + 1)! + 1) =?
Çözüm: n! + 1 ile (n + 1)! + 1 sayıları daima birbirine asal olduğundan OBEB’leri 1’dir.
Soru 29. 121! sayısının pozitif bölen sayısı, 120!
sayısının pozitif bölen sayısının kaç katıdır?
Çözüm: 121! = 121⋅120! = 112⋅120! olduğundan
121! içinde 120!’den farklı olarak 11 çarpanı 2 tane fazladır. 120! içindeki 11 çarpan sayısı 10 ve
121! içindeki 11 çarpan sayısı da 12 tanedir.
120!’in 11 dışındaki çarpanlarının üslerinin 1’er
fazlalarının çarpımı k olsun. 120!’in pozitif bölen
sayısı k⋅(10 + 1) ise 121! sayısının pozitif bölen
13
sayısı k⋅(12 + 1) olur. O halde buradan
katı ol11
duğunu anlarız.
Soru 34. 1⋅1! + 2⋅2! + 3⋅3! + … + n⋅n! sayısının n
cinsinden eşiti nedir?
Çözüm: Verilen bu toplama A diyelim.
A = 1⋅1! + 2⋅2! + 3⋅3! + … + n⋅n!
Eşitliğin her iki yanına 1! + 2! + 3! + … + n! ekleyelim.
A + 1! + 2! + … + n! = 2⋅1! + 3⋅2!+ …+ (n + 1)⋅n!
A + 1! + 2! + … + n! = 2! + 3! + …+ n! + (n + 1)!
A + 1! = (n + 1)!
A = (n + 1)! – 1
Yani,
1⋅1! + 2⋅2! + 3⋅3! + … + n⋅n! = (n + 1)! – 1.
Soru 30. (n!)! sayısı 3 basamaklı ise n kaç olabilir?
Çözüm: 3 basamaklı sayılardan sa37 5
dece 2 tanesi bir sayının faktörye5
7
line eşit olabilir. Bunlar 120 ve
1
720’dir. 120 = 5! ve 720 = 6! olduğundan n = 3’tür. n’nin hiçbir değeri için n! = 5
olamayacağına dayandık.
Soru 35. 1⋅1! + 2⋅2! + 3⋅3! +…+ 36⋅36! toplamı
hesaplandığında sondan kaç basamağında 9 olur?
Çözüm: Bir önceki soruda bulduğumuz formüle
göre bu toplam 37! – 1’dir. O halde 37!’in sonunda kaç tane sıfır varsa 37! – 1 sayısının sonunda
da o kadar 9 vardır. O halde yandaki bölme işleminden de gördüğünüz üzere cevabımız 8.
Soru 36.
Soru 31. 1! + 2! + 3! +… + x! toplamı kaç kere ve
hangi x değerleri için tamkare olur?
a!
= 5! eşitliğini sağlayan kaç farklı (a, b)
b!
ikilisi vardır?
6
Mustafa YAĞCI
Faktöryel
Çözüm: İlk önce a = 5 olduğunu düşünelim. Paydayı 1 yapmalıyız. Bu da 2 şekilde mümkün: b = 0
veya b = 1 ile.
Ayrıca 5! = 120 olduğundan a = 120 ve b = 119
olursa da eşitlik sağlanır.
Diğer yandan 5! = 120 = (1⋅2⋅3)⋅4⋅5 = 4⋅5⋅6 olduğundan a = 6 ve b = 3 de çözümdür.
Sonuç olarak (a, b) = {(5, 0), (5, 1), (120, 119), (6,
3)} olmak üzere 4 farklı şekildedir.
yan tek durumun a + b = 3 olduğu görülür. O halde (a + b – 3)! = 0! = 1 olur.
Soru 40.
sayma sayıları için b’nin alabileceği değerleri
toplamı 97 ise x kaçtır?
Çözüm: a ! = x2 – x = x⋅(x – 1) olduğundan a sayıb!
sı, b’nin ya 1 ya da 2 fazlasıdır. O halde a1 = b1 +
1 ve a2 = b2 + 2 olacak şekilde iki farklı a sayısı
vardır. b1 + b2 = 97 verildiğinden a1 + a2 =
100’dür.
a1!
a2 !
2
=
= x( x − 1) ⇒ a1 = a2 − a2
(a1 − 1)! (a2 − 1)!
a1 + a2 = a22 = 100 ⇒ a2 = 10
⇒ x⋅(x – 1) = 90
⇒ x = 10.
Soru 41. 1!⋅2!⋅3!⋅4!⋅...⋅100! çarpımından hangisi
atılırsa geriye kalan ifade bir tamkare olur?
Çözüm:
2! = 2⋅1!,
4! = 4⋅3!,
6! = 6⋅5!,
…
100! = 100⋅99!
olduğunu gözönünde tutarak verilen ifadeyi ikişerli ikişerli gruplayalım.
(1!)2⋅2⋅(3!)2⋅4⋅(5!)2⋅6⋅…⋅(99!)2⋅100
şeklinde bir eşitliğe ulaşırız. Tamkare ifadelerin
çarpımına A dersek bu eşitliğin aslında
A⋅2⋅4⋅6⋅…⋅100
yani A⋅250⋅50! olduğunu anlarız. A ve 250 zaten
tamkaredir, dolayısıyla atılması gereken sayının
50! olduğu çıkar.
Soru 37. 27! sayısı 7 tabanında yazılırsa sonunda
kaç tane sıfır olur?
Çözüm: 27! sayısı sadece 3 kere 7’ye kalansız bölünür, diğer bölümlerde kalanlar sıfırdan farklı
olur. Zaten 7 tabanında yazmak istediğimizde de
ilk başta sıfırdan farklıları yazarız, en sona 3 sıfır
kalır.
Soru 38. A = 2⋅4⋅6⋅8⋅…⋅48 sayısı 6 tabanında yazılırsa, A’nın sondan kaç basamağı sıfır olur?
Çözüm:
A = 2⋅4⋅6⋅8⋅…⋅48
= (2⋅1)⋅(2⋅2)⋅(2⋅3)⋅(2⋅4)⋅…⋅(2⋅24)
= 224⋅24!
olduğunu kaydedelim. 224 sayısının içinde hiç 3
çarpanı olmadığından 6 çarpanı yoktur. 24! sayısının içindeki 3 çarpanları bize 6 çarpanı adedini
verecektir. 24’ü devamlı 3’e bölüp, bölümleri toplarsak, cevabın 10 olacağını görürüz.
Soru 39.
( a + b)! (b − 2)!
+
= 7 eşitliğini sağlayan a
a!
(b − 3)!
ve b sayma sayıları için (a + b – 3)! kaçtır?
( a + b)!
Çözüm:
= (a + b) ⋅ (a + b − 1) ⋅ ... ⋅ (a + 1) ve
a!
diğer yandan
(b − 2)!
=b−2
(b − 3)!
Soru 42. n bir çift sayma sayısı olmak üzere;
1!⋅ 2!⋅ 3!⋅ ... ⋅ (2n)!
kesrinin daima bir tamkare oldun!
olduğundan,
(a + b)! (b − 2)!
+
(b − 3)!
a!
a!
= x2 – x eşitliğini sağlayan a, b, x
b!
ğunu kanıtlayınız.
Çözüm: 2! = 2⋅1!, 4! = 4⋅3!, 6! = 6⋅5!, … (2n)! =
2n⋅(2n – 1)! olduğunu gözönünde tutarak verilen
ifadeyi ikişerli ikişerli gruplayalım.
(1!)2⋅2⋅(3!)2⋅4⋅(5!)2⋅6⋅…⋅2n⋅(2n – 1)!
şeklinde bir eşitliğe ulaşırız. Tamkare ifadelerin
çarpımına A dersek bu eşitliğin aslında
A⋅2⋅4⋅6⋅…⋅(2n)
n
yani A⋅2 ⋅n! olduğunu anlarız.
A ve 2n zaten tamkaredir, dolayısıyla atılması gereken sayının n! olduğu çıkar.
=7
eşitliği
(a + b)⋅(a + b – 1)⋅…⋅(a + 1) + b – 2 = 7
yani
(a + b)(a + b – 1) … (a + 1) + b = 9
olur.
b’nin 3’ten büyük veya eşit olduğunu biliyoruz. O
halde
(a + b)(a + b – 1) … (a + 1)
çarpımı da 6’dan küçük veya eşittir. Bu çarpım
ardışık sayıların çarpımı olduğundan ya 6’dır ya
2’dir. a ve b birer sayma sayısı olduğundan sağla7
Mustafa YAĞCI
Faktöryel
Şimdi bu küp kök içindeki sayıları mümkün olduğunca az iki basamaklı sayıların çarpımı şeklinde
yazmalıyız.
A = C⋅ 3 (19 ⋅ 2) ⋅ (13 ⋅ 7) ⋅ (11 ⋅ 9) = 3 38 ⋅ 91⋅ 99
olduğundan çarpımdan bu üç tane iki basamaklı
sayı atılırsa A bir tam küp olur.
Soru 43. 1!⋅2!⋅3!⋅...⋅20! çarpımının bir kare olabilmesi için en az hangi sayma sayısı ile çarpılmalıdır?
Çözüm: Artık bu sayının 10! ile çarpılırsa bir kare
olacağını biliyoruz. Ama 10! içinde de zaten kareler var, çift sayıda çarpan olmayan sadece 7 çarpanı olduğundan cevabımız 7’dir.
Soru 48. n n! sayısı n cinsinden en fazla kaç olabilir?
Çözüm: n n! sayısı 1’den n’ye kadar olan sayıların geometrik ortalamasıdır. Geometrik ortalamanın, aritmetik ortalamadan daima küçük eşit olduğunu biliyoruz.
Soru 44. x, y, z pozitif tamsayılar olmak üzere;
2!⋅4!⋅6!⋅8!⋅...⋅32! = x3⋅y2⋅z ise x’in en büyük değeri
için z en az kaç olabilir?
Çözüm: 2!⋅4!⋅6!⋅8!⋅...⋅32! = A⋅216⋅16! olduğunu
kanıtlamıştık. A⋅216 çarpımı bir karedir. 16! içindeki kareleri de atalım.
2⋅3⋅5⋅6⋅7⋅8⋅10⋅11⋅12⋅13⋅14⋅15
kalır geriye.
n
2⋅3⋅5⋅2⋅3⋅7⋅2⋅2⋅2⋅2⋅5⋅11⋅2⋅2⋅3⋅13⋅2⋅7⋅3⋅5 = 29⋅34⋅53⋅72⋅11⋅13
1 + 2 + 3 + ... + n n + 1
=
n
2
Soru 49. x ve y tamsayılar olmak üzere 20 < x < y
< 40 veriliyor.
eşitliğinden kare ve küpleri de atarsak geriye sadece 11⋅13 kalır. O halde z en az 143 olabilir.
[x! + (x + 1)! + (x + 2)!]⋅[y! + (y + 1)! + (y + 2)!]
çarpımının bir tamkare olması için y’nin alabileceği değerleri bulunuz.
Çözüm:
[x! + (x + 1)! + (x + 2)!]⋅[y! + (y + 1)! + (y + 2)!]
= [1 + x + 1 + (x + 1)(x + 2)]⋅x!⋅[1 + y + 1 + (y +
1)(y + 2)]⋅y!
= x!⋅y!⋅(x + 2)2⋅(y + 2)2
olduğundan x!⋅y! çarpımının bir kare olması gerekir. Bu durum da y = x + 1 ile mümkün olup, artan
(x + 1) değerinin de bir kare olması lazım. O halde
y’nin alabileceği 2 değer var: 25 ve 36.
11!⋅12!⋅13!⋅... ⋅ 20!
Soru 45.
çarpımının bir tam ka1!⋅2!⋅3!⋅... ⋅ 10!
re olması için çarpılması gereken en küçük sayma
sayısı kaç olmalıdır?
11!⋅12!⋅13!⋅ ... ⋅ 20!
= A olsun.
1!⋅ 2!⋅ 3!⋅ ... ⋅10!
11!⋅12!⋅13!⋅ ... ⋅ 20!
A=
1!⋅ 2!⋅ 3!⋅ ... ⋅10!
11! 12! 13!
19! 20!
=
⋅
⋅
⋅ ... ⋅
⋅
10! 9! 8!
2! 1!
Çözüm:
= 11⋅(12⋅11⋅10)⋅…⋅(19⋅18⋅…⋅3)⋅(20⋅19⋅…⋅3⋅2⋅1)
= 21⋅32⋅43⋅54⋅…
diye yazıldığında sadece 7’nin kuvveti tek geliyor.
Bundan dolayı cevap: 7.
Soru 46.
n! ≤
Soru 50. 70! sayısının 71 ile bölümünden elde
edilen kalan kaçtır?
Çözüm: Wilson Teoremi, bir p asal sayısı için (p
– 1)! ≡ –1 (mod p) olduğunu söyler. Biz de buna
güvenerek cevabın –1 yani 70 olduğunu söyleyeceğiz.
2 4 6 8
2n
+ + + + ... +
= x ise
2! 3! 4! 5!
(n + 1)!
2
işleminin sonucu kaçtır?
2−x
Çözüm: Okuyucuya bırakılmıştır.
Soru 51. 61! sayısının 71 ile bölümünden elde
edilen kalan kaçtır?
Çözüm: Yukarda 70! ≡ 70 olduğunu bulmuştuk.
70! = 70⋅69⋅68⋅67⋅66⋅65⋅64⋅63⋅62⋅61!
70 ≡ (−1)(−2)(−3)(−4)(−5)(−6)(−7)(−8)(−9)⋅61!
(mod 71)
70 ≡ (−1)(−2)(−5)(−7)⋅(−3)(−4)(−6)⋅(−8)(−9)⋅61!
(mod 71)
70 ≡ 70⋅(−72)⋅72⋅61! (mod 71)
−1 ≡ (−1)(−1)⋅1⋅61! (mod 71)
olduğundan
61! ≡ −1 ≡ 70 (mod 71)
Soru 47. 1!⋅2!⋅3!⋅...⋅23! çarpımının bir tamküp
olabilmesi için bu çarpanlardan en az kaç tane iki
basamaklı faktöryel atılmalıdır?
Çözüm:
A = 3 1!⋅ 2!⋅ 3!⋅ ... ⋅ 22! = 3 221 ⋅ 212 ⋅ 203 ⋅ ... ⋅ 221 ⋅122
sayısında, üssü 3’ün katı olanlar, kök dışına tamsayı olarak çıkacaklarından onları ihmal edelim.
A=B 3 221.212.191.18 2.151.14 2.121.112.91.82.61.52.41.32
A = C⋅ 3 19 ⋅ 13 ⋅ 11 ⋅ 9 ⋅ 7 ⋅ 2
8
Mustafa YAĞCI
Faktöryel
Soru 52. a, b, c pozitif tamsayılar olmak üzere 2a
+ 2b = c! eşitliğini sağlayan kaç farklı (a, b, c) üçlüsü vardır?
Çözüm: Okuyucuya bırakılmıştır.
100.100! = ....ba0000…0000 (26 tane sıfır)
100! = ........ba00…0000 (24 tane sıfır)
+__________________________________
101! = .....baba00...0000 (24 tane sıfır)
c = a, b = d
Soru 53. x, y, z doğal sayılar olmak üzere
a–c+b–d=0
30!− 17 x ⋅ 20!
= z eşitliğinde z’nin en küçük değeri
2y
Soru 59. 100! – 1 sayısı 24 tabanında yazılırsa
sondan kaç basamağı 23 olur?
Çözüm: 100! sayısının içinde ne kadar 24 çarpanı
varsa, 24 tabanında yazılmış halinin sonunda o
kadar sıfır vardır. Buradan hareketle 100! – 1 sayısının 24 tabanında yazımlı halinde de o kadar 23
olacaktır.
100! = 24x⋅a = (23⋅3)x⋅a = 23x⋅3x⋅a
olduğundan x = 32 bulunur. Bundan dolayı cevabımız 32’dir.
için y en çok kaç olabilir?
Çözüm: Okuyucuya bırakılmıştır.
Soru 54. 23! sayısı ardışık doğal sayıların çarpımı şeklinde kaç farklı şekilde yazılabilir?
Çözüm: Okuyucuya bırakılmıştır.
0!
1!
2!
+
+
+ ...
(n + 1)! (n + 2)! (n + 3)!
Soru 55.
toplamının n
cinsinden eşitini bulunuz.
Çözüm: Okuyucuya bırakılmıştır.
Soru 56.
Soru 60. 40! + 50! + 60! = a⋅10n eşitliğinde a,
6 7 8 9 10 11
30 31
( − ) ⋅ ( − ) ⋅ ( − ) ⋅ ... ⋅ ( − )
7 8 9 10 11 12
31 32
n + ise a’nın en küçük değeri için n kaç olur?
Çözüm: a⋅10n sayısı sabit bir sayıya eşit olduğundan a küçüldükçe n büyür. O halde a’nın en küçük
değerinde n en büyük değerini alır. Bu durumda
40! + 50! + 60! sayısının içinde kaç tane 10 çarpanı olduğunu, yani sayının sonunda kaç tane sıfır
olduğunu bulmamız yetecek. Bunun içinde en küçüğü olan 40!’in sonundaki sıfır sayısını bulmak
yeter. 40’ı devamlı 5’e bölerseniz, bölümler toplamı 9 olduğundan cevabımız 9’dur.
çarpımının sonucu kaçtır?
Çözüm: 6 − 7 = (1 − 1 ) − (1 − 1 ) = 1 − 1 olduğunu göz
7
8
7
8
8 7
önünde tutarak diğer çarpanları da aynı bunun gibi
açacağız.
Sonuçta ifade ( 1 − 1 )( 1 − 1 )...( 1 − 1 ) şeklini ala8
7 10
cak. Sadeleştirirsek;
9
32 31
−1 −1
−1
⋅
⋅ ... ⋅
7.8 9.10
31.32
olacak.
Payda tek sayıda −1 olduğundan cevabımız
−1 −6! olur.
=
32!
6!
32!
1
Soru 57. C ( ,2) = ?
2
Çözüm:
1
1 −1 −3
−1
( )!
( ) ⋅ ( ) ⋅ ( )!
1
1
2
2
2
2
C ( , 2) =
=
= 4 =−
−3
−3
2
2!
8
( )!⋅ 2!
( )!⋅ 2!
2
2
Soru 58. 100! sayısının sondan 25 ve 26’ncı basamakları sırasıyla a ve b, 101! sayısının sondan
25 ve 26’ncı basamakları sırasıyla c ve d ise a – c
+ b – d kaçtır?
Çözüm: 100! sayısının sonunda 24 tane sıfır vardır.
100! = ...ba00...00 (24 tane sıfır)
101! = 101.100! = (100 + 1)100!
9
Mustafa YAĞCI
Faktöryel
13.
Alıştırmalar
23! sayısının içinde 10 çarpanı mı 15 çarpanı mı
daha fazladır? Neden?
1.
n bir doğal sayı ise
n!, (n + 1)!, (n + 2)!, n! + 1 ve n! + 2
sayılarından kaç tanesi daima çifttir?
14.
23! = 6n⋅p eşitliğinde n ve p sayma sayısı ise n en
çok kaç olabilir?
2.
n! iki basamaklı ise (n + 2)! kaç basamaklıdır?
15.
3.
23! = 6n⋅p eşitliğinde n ve p sayma sayıları için
n’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
0! + 4! + 8! toplamının birler basamağı kaçtır?
16.
4.
n! sayısı tek bir doğal sayı ise n! kaçtır?
26! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
17.
5.
26! – 1 sayısının sondan kaç basamağı 9’dur?
m, n, p ardışık çift sayılar olmak üzere; m! + n! +
p! toplamı bir tek sayı ise m – n + p kaçtır?
6.
18.
n! hesaplandığında sondan 7 basamağı sıfır ise n
kaç farklı değer alır?
23!
sayısı tek ise n sayma sayısı kaçtır?
2n
7.
19.
29!⋅30! çarpımının sonunda kaç sıfır vardır?
23!
sayısı çift ise n sayma sayısı en çok kaç ola2n
bilir?
8.
29! + 30! toplamının sonunda kaç sıfır vardır?
20.
9.
23!
sayısı çift ise n sayma sayısının alabileceği
2n
değerlerin toplamı kaçtır?
29! sayısını 12! sayısına böldüğümüzde bölümün
sonunda kaç sıfır olur?
10.
21.
30! – 29! farkının sonunda kaç sıfır vardır?
n! sayısı tek bir doğal sayı ise n2 – 3n + 3 sayısı
en çok kaç olabilir?
11.
30! – 12! farkının sonunda kaç sıfır vardır?
22.
n! sayısı 6 ile tam bölündüğüne göre n en az kaçtır?
12.
n > 100 iken
a = n!,
b = 2⋅n!,
c = (2n)!,
d = nn,
e = (n!)2,
f = 2n!
sayılarını küçükten büyüğe sıraya diziniz.
23.
n! sayısı 12 ile tam bölünüyorsa n en az kaçtır?
24.
n! sayısının son rakamı sıfır ise 2n + 3 en az kaç
olabilir?
25.
19! sayısı tek midir, çift midir?
10
Mustafa YAĞCI
Faktöryel
26.
41.
19! sayısı hesaplanırsa birler basamağındaki rakam kaç olur?
34!
bölümünün sonunda kaç tane sıfır bulunur?
17!
27.
42.
19! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Kaç tane doğal sayının faktöryelinin sonunda 2
tane sıfır bulunur?
28.
43.
19! – 1 sayısının sondan kaç basamağı 9’dur?
Kaç tane doğal sayının faktöryelinin sonunda 5
tane sıfır bulunur? Neden?
29.
19! + 1 sayısının sondan kaç basamağı 1’dir?
44.
30.
1! + 2! + 3! + 4!+ … + 2006! toplamının birler
basamağındaki rakam kaçtır?
19! sayısının içinde kaç tane 10 çarpanı vardır?
45.
19! sayısının içinde kaç tane 5 çarpanı vardır?
0! + 2! + 4! + … + 2006! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?
32.
46.
31.
1! + 2! + 3! + … + 2006! toplamının 3 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?
19! sayısının içinde kaç tane 3 çarpanı vardır?
33.
47.
51! sayısının içine kaç tane 7 çarpanı vardır?
34.
23! + 24! + 25! + … + 33! toplamının 17 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?
19! sayısının içindeki 14 çarpanı mı, 21 çarpanı
mı daha çoktur? Yoksa eşit midir?
48.
a! = b!⋅4! ise a + b en az ve en çok kaç olabilir?
35.
51! sayısının içindeki 4 çarpanının adedi kaçtır?
49.
36.
(a!)! sayısının sonunda 1 tane sıfır varsa, a kaçtır?
90! sayısının içinde kaç tane 27 çarpanı vardır?
50.
a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere; 30! = 5a⋅b
ise a’nın en büyük değeri kaçtır?
37.
25! + 26! sayısının içinde kaç tane 3 çarpanı
vardır?
51.
a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere; 82! = 8a⋅b
ise a’nın en büyük değeri kaçtır?
38.
4! + 5! + 6! toplamının içinde kaç tane 4 çarpanı
vardır?
52.
24!⋅25! çarpımının sonunda kaç tane sıfır bulunur?
a, b ve c pozitif tamsayılar olmak üzere; 40! =
2a⋅3b⋅c ise a + b toplamının alabileceği en büyük
değer kaçtır?
40.
53.
39.
x
13 x − 1
eşitliğinde x kaçtır?
− =
( x − 1)! x!
x!
x
27!⋅10 sayısının sonunda 27 tane sıfır olduğu bilindiğine göre x kaçtır?
11
Mustafa YAĞCI
Faktöryel
54.
65.
(n + 5)! (2n)!
çarpımını sadeleştiriniz.
⋅
(2n + 1)! (n + 4)!
6! + 7! = m⋅2x⋅3y eşitliğinde m, x, y sayıları birer
sayma sayısı ise x + y toplamı en fazla kaç olabilir?
55.
a bir tamsayıdır.
66.
( a − 5)!+ ( a − 4)!
( a − 3)!+ (5 − a )!
işleminin sonucu kaçtır?
67.
11! sayısının kaç tane negatif böleni vardır?
12! sayısının asal olmayan pozitif böleni kaç tanedir?
56.
OBEB(4! + 5! + 6!, 5! + 6! + 7!) kaçtır?
68.
C(n, r): n’nin r’li kombinasyonu, P(n, r): n’nin
r’li permutasyonu ise C(n, r) mi daha büyüktür
yoksa P(n, r) mi? Neden?
57.
OKEK(4! + 5! + 6!, 5! + 6! + 7!) kaçtır?
58.
69.
65! içinde kaç tane 12 çarpanı vardır?
10! – 8! + 6! sayısının en büyük asal çarpanı
kaçtır?
59.
x ve y pozitif tamsayılar olmak üzere;
1!⋅2!⋅3!⋅4!⋅…⋅39! = x⋅13y
olduğuna göre y en fazla kaç olabilir?
6! sayısı 9 tabanında yazılırsa kaç basamaklı bir
sayı elde edilir?
60.
71.
70.
x!+ ( y + 1)!
ifadesi bir tamsayı olduğuna göre, x +
x!
y toplamı en az kaç olabilir?
36! sayısı 9 tabanında yazılırsa sonunda kaç tane
sıfır bulunur?
72.
61.
19!’den 19! + 22 sayısına kadar kaç tane asal sayı vardır?
1⋅1! + 2⋅2! + 3⋅3! +…+ 360⋅360!
toplamının son rakamı kaçtır?
73.
62.
8! sayısı, en küçük hangi sayma sayısı ile çarpılırsa bir tamkare olur?
1⋅1! + 2⋅2! + 3⋅3! + 4⋅4! +…+ 26⋅26!
toplamının sonunda kaç tane 9 vardır?
74.
6! = 2a-2⋅(b – 3) eşitliğinde a ve b birer sayma sayısı ise a + b toplamı en az kaç olabilir?
63.
n > 1 iken
1⋅1! + 2⋅2! + 3⋅3! + … + n⋅n!
toplamının hiçbir zaman bir tamkare olamayacağını kanıtlayınız.
64.
x ve y sayma sayıları için,
29!
işleminin sonu3x ⋅ 5 y
cunun bir sayma sayısı olduğu bilindiğine göre,
2x – 5y ifadesinin en büyük değeri kaç olabilir?
12