İçindekiler

Analiz 3 Ders Notları
Taylan Şengül
19 Ekim 2017
İçindekiler
İçindekiler
1
0
Ön Bilgiler
0.1 Supremum ve İnfimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2 Reel Diziler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3 Reel Seriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
8
1
Fonksiyon Dizileri
1.1 Giriş . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Noktasal Yakınsaklık . . . . . . . .
1.3 Düzgün Yakınsaklık . . . . . . . .
1.4 Düzgün Yakınsaklığın Özellikleri
1.5 Düzgün Yakınsama Örnekleri . .
1.6 Alıştırmalar . . . . . . . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
13
17
21
25
31
Fonksiyon Serileri
33
2.1 Fonksiyon Serilerinde Yakınsama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Kaynakça
41
1
Bölüm
0
Ön Bilgiler
Notasyon
• R: reel sayılar kümesi
• Q: rasyonel sayılar kümesi
• Z: tam sayılar kümesi
• N={1,2,3,. . . ,}: doğal sayılar kümesi
0.1 Supremum ve İnfimum
; 6= A ⊂ R kümesi için
s ≥ x, ∀x ∈ A
koşulunu sağlayan bir s sayısı varsa s’ye A kümesinin bir üst sınırı denir. Üst sınırı olan bir
kümeye üstten sınırlı küme denir. Benzer bir şekilde bir kümenin alt sınırı ve alttan sınırlı
kümeler de tanımlanabilir.
Tanım 1. s sayısı A kümesi için bir üst sınırsa ve s sayısından küçük hiçbir sayı A kümesi için bir
üst sınır değilse yani
∀² > 0, ∃x ∈ A, s < x + ²
koşulu sağlanıyorsa, s sayısına A kümesinin supremumu denir ve sup A = s yazılır. Eğer A kümesi
üstten sınırlı değilse kümenin supremumu yoktur ve sup A = ∞ yazılır.
Bir kümenin infimumu da benzer şekilde tanımlanır.
Reel sayıların tamlık aksiyomu reel sayıların boş olmayan üstten sınırlı her kümesinin bir
supremumu olacağını söyler. Bu tanımdan, supremumun varsa tek olduğu kolayca gösterilir.
Örnek 1. A = (0, 1) kümesi için sup A = sup0<x<1 x = 1 olur. Benzer şekilde
sup(0, 1) = sup(0, 1] = sup[0, 1) = sup[0, 1] = 1
3
4
BÖLÜM 0. ÖN BILGILER
Yukarıdaki örnek kümenin supremumunun kümenin elemanı olmayabileceğini gösterir. Eğer
sup A ∈ A ise sup A yerine max A yazılır. Benzer şekilde min A tanımlanır.
Bir fonksiyonun bir küme üzerindeki supremumu
©
ª
sup f (x) = sup f (A) = sup f (x) : x ∈ A
x∈A
olarak tanımlanır.
Örnek 2. n > 0 ise
sup |x|n = sup x n = 1
0≤x<1
−1<x<1
olur.
Bariz olarak sup0≤x<1 x n ≤ 1 olur. Şimdi herhangi bir ² > 0 için x n > 1 − ² şartını sağlayan bir
x ∈ [0, 1) olduğunu gösterelim. Bu ² ≥ 1 için barizdir. 0 < ² < 1 olsun. (1 − ²)1/n < 1 olduğundan
ve her iki farklı reel sayı arasında başka bir reel sayı olduğundan, (1 − ²)1/n < x < 1 sağlayan bir
x > 0 vardır.
f : (a, b) → R olsun. Eğer limx→a+ f (x) limiti varsa,
sup f (x) ≥ lim f (x) ≥ inf f (x)
x→a+
x∈(a,b)
x∈(a,b)
Benzer şekilde limx→b− f (x) limiti varsa
sup f (x) ≥ lim f (x) ≥ inf f (x)
x∈(a,b)
x→b−
x∈(a,b)
olur. Yukarıdaki önermelerde a = −∞ ve b = ∞ durumlarına izin vardır.
0.2 Reel Diziler
Limit Teoremleri
Her n ∈ N için a n ∈ R oluyorsa, {a n : n ∈ N} kümesine bir reel sayı dizisi deriz. artan, azalan, kesin
artan (strictly increasing), kesin azalan, sınırlı, sınırsız dizi kavramlarının bilindiğini varsayıyoruz. Dizilerde yakınsaklığı hatırlayalım.
Tanım 2. Her n ∈ N için a n ∈ R ve L ∈ R olsun. Eğer her ² ∈ R için
|a n − L| < ²,
∀n ≥ N
şartını sağlatacak bir N ∈ N bulunabiliyorsa, {a n } dizisinin limitine L denir ve limn→∞ a n = L ya
da a n → L yazılır. Eğer böyle bir L sayısı yoksa a n dizisinin limiti yok denir. Eğer dizinin limiti
yoksa ve verilen her M > 0 reel sayısı için
an ≥ M ,
∀n ≥ N
olacak şekilde bir N ∈ N sayısı bulunabiliyorsa, limn→∞ a n = ∞. Benzer şekilde limn→∞ a n = −∞
tanımlanabilir.
0.2. REEL DIZILER
5
Örnek 3. limn→∞ 2+n
= 1 olduğunu ² − δ tanımını kullanarak gösterin.
n
Şimdi dizilerle ilgili bir takım özellikleri aşağıda sıralayalım.
1. Eğer {x n }n∈N dizisi için öyle bir N varsa ki {x n }n≥N dizisi X özelliğini sağlıyorsa, {x n } dizisi
X özelliğini nihai olarak sağlar denir.
2. Bir dizinin limiti varsa tektir. (ispatlayın)
3. Yakınsak diziler sınırlıdır. (ispatlayın)
4. {a n }n∈N dizisi yakınsaksa her N ∈ N için {a n }n≥N dizisi yakınsaktır. Ters olarak da bir N ∈ N
için {a n }n≥N dizisi yakınsaksa, {a n }n∈N dizisi de yakınsaksaktır. Yani dizinin yakınsaklığı
dizinin sonlu sayıda elemanı dışında kalan elemanları tarafından belirlenir.
5. Artan üstten sınırlı diziler ve azalan alttan sınırlı diziler yakınsaktır.
6. Eğer limn→∞ a n = l ve limn→∞ b n = m ise
lim (a n ± b n ) = l ± m
n→∞
lim (a n b n ) = l m
n→∞
lim (
n→∞
an
l
)= ,
bn
m
eğer m 6= 0
7. Eğer nihai olarak a n ≤ b n ise ve limn→∞ a n = L, limn→∞ b n = M ve L, M ∈ [−∞, ∞] ise
L≤M
olur.
8. limn→∞ a n = L ∈ [−∞, ∞] olsun. Bir önceki önermenin bir sonucu olarak bir c sabiti ve bir
N ∈ N ve her n ≥ N için eğer a n ≥ c ise L ≥ c, eğer a n ≤ c ise ve L ≤ c olur.
9. Sıkıştırma Lemması: Eğer bir L ∈ [−∞, ∞] için limn→∞ a n = limn→∞ c n = L ise ve nihai
olarak a n ≤ b n ≤ c n ise limn→∞ b n = L olur.
Örnek 4. limn→∞ a n = 0 ve b n sınırlı bir dizi olsun. limn→∞ a n b n = 0 olduğunu gösterin.
10. limn→∞ a n = 0 ancak ve ancak limn→∞ |a n | = 0. (İspatlayın)
11. Dizilerde L’Hospital kuralı. Eğer f : [1, ∞) → R, a n = f (n), n ∈ N ve lim y→∞ f (y) = L limiti
var ise
lim a n = lim f (n) = L
n→∞
n→∞
olur. Eğer lim y→∞ f (y) yoksa, limn→∞ a n de yoktur. Eğer lim y→∞ f (y) = ∞ ise, limn→∞ a n =
∞ olur. Eğer lim y→∞ f (y) = −∞ ise, limn→∞ a n = −∞ olur.
Yani tek değişkenli bir ifade, ifadenin değişkeni reel sayılar üzerinde sonsuza giderken bir
limite yaklaşıyorsa, ifadenin değişkeni doğal sayılar üzerinde sonsuza giderken de aynı
limite yaklaşmalıdır. Ama bu önermenin tersi doğru değildir.
Bu kural sayesinde, eğer lim y→∞ f (y) limitini belirlemek için L’hospital kuralını kullanabiliyorsak, limn→∞ a n limitini belirlemek için L’hospital kuralını kullanabiliriz.
6
BÖLÜM 0. ÖN BILGILER
Örnek 5. L’hospital kuralından yararlanarak,
ln n
= 0,
n→∞ n
xn
lim
= ∞,
n→∞ n
lim
∀x > 1
olduğunu gösterin.
12. limn→∞ a n = L ve f , L’nin bir açık komşuluğunda sürekli bir fonksiyon ise
lim f (a n ) = f ( lim a n ) = f (L).
n→∞
n→∞
olur.
p
p
Örnek 6. limn→∞ x n = x ise limn→∞ x n = x olduğunu gösterin.
p
Örnek 7. x > 0 için limn→∞ n x = 1 olduğunu gösterin.
Çözüm. a n = x 1/n ve b n = ln a n = n1 ln x olsun. limn→∞ b n = 0 olur. exp heryerde sürekli bir
fonksiyon olduğundan
1 = exp(0) = exp( lim b n ) = lim exp(b n ) = lim a n .
n→∞
n→∞
n→∞
Çözüm (İkinci Çözüm). x > 0 için f (α) = x α her α için türetilebilir dolayısıyla her yerde
süreklidir.
lim f (1/n) = f ( lim 1/n) = f (0) = x 0 = 1.
n→∞
n→∞
p
Örnek 8. limn→∞ n n = 1 olduğunu gösterin.
Çözüm.
µ
¶
p
ln n
ln n
n
1/n
= exp lim
lim n = lim exp ln n
= lim exp
= exp 0 = 1
n→∞ n
n→∞
n→∞
n→∞
n
13. Geometrik Dizi.


0,



1,
lim x n =
n→∞
+∞,




yok,
|x| < 1
x =1
x >1
x ≤ −1
İspat.
|x| < 1 =⇒ ∃²x , 0 < ²x < 1,
(1 − ²x )(1 + ²x ) < 1 olduğundan
1 − ²x <
ve
|x| <
0 ≤ |x| < 1 − ²x < 1
1
1 + ²x
1
1 + ²x
0.2. REEL DIZILER
7
olur. Binom açılımından
µ
1
0 ≤ |x| <
1 + ²x
n
¶n
=
1
1
<
1 + n²x + pozitif terimler n²x
Sıkıştırma lemmasına göre limn→∞ |x|n = 0.
Eğer x > 1 ise
∃δx > 0, x > 1 + δx =⇒ x n > (1 + δx )n > nδx
limn→∞ nδx = ∞ olduğundan sonuç çıkar.
a n+1
= L olsun. O halde L ≥ 0 olur ve
n→∞ a n
14. Diziler İçin Oran Testi: a n pozitif bir dizi ve lim
lim a n =
n→∞
(
0,
+∞,
eğer 0 ≤ L < 1
eğer L > 1
Eğer L = 1 ise bu test sonuç vermez.
İspat. L ≥ 0 olduğu barizdir. L < 1 olsun. O zaman r := L + ² < 1 olacak şekilde bir ² > 0
vardır. Limit tanımı gereği
a n+1
∃N ,
− L < ², ∀n ≥ N
an
olur. Yani
a N +1 < r a N ,
∀n ≥ N
olur. Dolayısıyla 0 < a N +m < r m a N olur. Ama 0 < r < 1 olduğundan limm→∞ r m = 0 (bkz.
geometrik dizi) olur. Ve
lim r m a N = a N lim r m = 0,
m→∞
m→∞
olduğundan, sıkıştırma teoremi gereği limm→∞ a N +m = 0 olur. Dolayısıyla limn→∞ a n = 0
olur.
L > 1 durumunu siz gösterin.
Şimdi L = 1 olduğu durumda testin sonuç vermediğini görelim. a n = 3 sabit dizisi için L = 1
olur ve bu dizi yakınsar. a n = n dizisi için de L = 1 olur ama bu dizi ıraksar.
Örnek 9. Diziler için oran testini kullanarak,
lim n α x n = 0,
n→∞
ve
xn
= 0,
n→∞ n!
lim
|x| < 1,
α>0
x ≥0
olduğunu gösterin.
©
ª
15. Alt Diziler n k ∈ N dizisi kesin artan bir dizi olsun: n 1 < n 2 < · · · . Bu durumda a nk k∈N
dizisine {a n } dizisinin alt dizisi denir. Bir dizi için limn→∞ a n = L ∈ [−∞, ∞] ise o dizinin
her alt dizisinin limiti de L’dir (ispatlayın). Dolayısıyla bir dizinin yakınsak olmayan bir alt
dizisi varsa, o dizi yakınsak değildir. Veya bir dizinin iki farklı limite sahip alt dizisi varsa o
dizi yakınsak olamaz.
8
BÖLÜM 0. ÖN BILGILER
Örnek 10. a n = (−1)n dizisinin limitinin olmadığını gösterin.
Bir dizinin yakınsak hiçbir yakınsak alt dizisi olmayabilir. Örneğin a n = n. Ama BolzanoWeirstrass Teoremine göre sınırlı bir dizinin mutlaka yakınsak bir alt dizisi vardır.
Örnek 11. Eğer ; 6= E ⊂ R ve sup E ∈ (−∞, ∞] ise {a n } ⊂ E ve a n → sup E olan bir dizi vardır.
Benzer şekilde inf E ’ye giden bir b n ⊂ E vardır.
Çözüm. sup E < ∞ olsun. Her n ∈ N için sup E − 1/n < a n ≤ sup E olan bir a n ⊂ E vardır. Sıkıştırma Lemmasından sonuç çıkar.
Alıştırmalar
1. 2−n cos(n 3 − n 2 + n) dizisinin limitini bulun.
2. Aşağıdaki dizilerin limitlerini bulun.
a) x n = (1 + 2n − 3n 2 )/(3 − 2n + n 2 )
p
b) x n = 2n 2 + 5/(n + 1)
p
p
c) x n = n + 1 − n
d) x n = lnnn
e) x n = x 1/n , x > 0.
¡
¢n
f) x n = 1 + nx , x ∈ R
p
g) x n = n n
0.3 Reel Seriler
Aşağıdaki bilgilerin daha önceki analiz derslerinden bilindiğini varsayıyoruz.
P
P
1. Eğer s n = nk=1 a k kısmi toplamlar dizisi yakınsaksa ∞
a serisine yakınsak denir ve
k=1 k
∞
X
n
X
a k = lim s n = lim
k=1
n→∞
n→∞
ak
k=1
yazılır. Eğer kısmi toplamlar dizisi ıraksa, seriye de ıraksak denir.
P
n
Örnek 12. ∞
n=1 (−1) serisi ıraksaktır, çünkü kısmi toplam dizisi {−1, −1+1, −1+1−1, · · · } =
{−1, 0, −1, · · · } iki farklı limite sahip iki alt diziye sahiptir.
2.
serisi yakınsak ise her n ∈ N için r n =
0 olur. Çünkü
P∞
n=1 a n
P∞
k=n+1
r n = −s n +
∞
X
a k serisi de yakınsaktır ve limn→∞ r n =
ak
k=1
ve
lim r n = lim −s n +
n→∞
n→∞
∞
X
k=1
ak = −
∞
X
k=1
ak +
∞
X
k=1
ak = 0
0.3. REEL SERILER
3.
P∞
n=1 a n
ve
9
P∞
n=1 b n
serileri yakınsak ise
∞
X
P∞
n=1 (a n + b n ) serisi de yakınsak olur ve
(a n + b n ) =
n=1
olur. Ayrıca her c ∈ R için
∞
X
an =
n=1
P∞
n=1 c a n
∞
X
bn
n=1
serisi de yakınsak olur ve
∞
X
c an = c
n=1
∞
X
an
n=1
olur.
4.
P∞
n=1 a n − a n+1 serisine teleskopik seri denir. Teleskopik seriler eğer a n yakınsak bir dizi
ise a 1 − limn→∞ a n sayısına yakınsar. Eğer a n dizisi yakınsak değilse seri de ıraksar.
Örnek 13.
∞
X
∞
X
n(n + 2)
ln
(n + 1)2
n=2
1
,
n=1 n(n + 1)
µ
¶
serilerini teleskopik seri formuna getirerek toplamlarını bulun.
Örnek 14.
5.
P∞
n=0 x
k
P∞
n=1 3(x
k
− x k−1 )(x k + x k−1 ) serisini yakınsak yapan x değerlerini bulun.
serisine geometrik seri denir.
∞
X
(
k
x =
k=0
1
1−x ,
eğer |x| < 1
ıraksak,
eğer |x| ≥ 1
Bunu görmek için
1 + x + · · · + x n−1 =
n−1
X
k=0
xk =
1 − xn
,
1−x
∀x ∈ R, x 6= 1.
olduğuna dikkat edin ve geometrik diziler ile ilgili sonucu uygulayın.
Örnek 15.
∞ (−1)n+1
X
,
πn
n=1
∞ (−1)n + 4
X
,
5n
n=1
∞ 3n
X
,
n−1
n=1 7
∞
X
2n e −n
n=1
serilerinin yakınsak olduğunu gösterin ve değerlerini bulun.
P
6. n. terim testi ∞
n=1 a n yakınsarsa limn→∞ a n = 0. Yani limn→∞ a n 6= 0 ise seri ıraksaktır.
Ama bu önermenin tersi doğru değildir.
İspat.
P∞
n=1 a n
= L ise
lim a n = lim s n − s n−1 = lim s n − lim s n−1 = L − L = 0.
n→∞
olur.
n→∞
n→∞
n→∞
10
BÖLÜM 0. ÖN BILGILER
Örnek 16. Aşağıdaki serilerin ıraksak olduğunu gösterin.
∞
X
¶
1
cos 2 ,
n
n=1
µ
∞
X
µ
1
cos 1 −
n
n=1
¶n
,
∞ n +1
X
.
2
n=1 n
PN
7. a n ≥ 0 ise s N = n=1
a n kısmi toplam dizisi artan bir dizi olur. Artan bir dizi ya üstten
P
sınırlıdır ve bir limite sahiptir ya da üstten sınırlı değildir sonsuza gider. Eğer ∞
n=1 a n serisi
P∞
ıraksak ise n=1 a n = ∞.
P
P
b n yakınsak ise ∞
8. Karşılaştırma Ölçütü. Eğer 0 ≤ a n ≤ b n ise ∞
n=1 a n serisi de yakınsak
n=1
P∞
P∞
olur. Eğer n=1 a n ıraksak ise n=1 b n ıraksak olur.
Pn
P∞
P
İspat. Eğer ∞
n=1 b n serisi yakınsak ise s n = k=1 a k dizisi s n ≤ n=1 b n olduğündan üstten
sınırlı artan bir dizi olacağından yakınsamak zorundadır. İkinci önerme birinci önermenin
bir sonucudur.
9. Cauchy Sıklaştırma Teoremi. a n ≥ 0 ve a n azalan bir dizi yani a 1 ≥ a 2 ≥ a 3 · · · ≥ 0 ise
P∞
P∞ n
n
n=1 a n ancak ve ancak n=0 2 a 2 yakınsarsa yakınsar.
İspat.
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + · · · ≤ a1 + a2 + a2 + a4 + a4 + a4 + a4 + · · ·
P
P∞ n
P∞ n
P∞
n
n
yani ∞
n=1 a n ≤ n=0 2 a 2 olur. Yani
n=0 2 a 2 yakınsak ise
n=1 a n serisi de yakınsak
olur. Öte yandan
a 1 + a 2 + a 2 + a 4 + a 4 + a 4 + a 4 + · · · ≤ 2(a 1 /2 + a 2 + 2a 4 + · · · ) ≤ 2(a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + · · · )
yani
olur.
10.
P∞
n=0 2
1
n=1 n p
P∞
n
a 2n ≤ 2
P∞
n=1 a n
olur. Yani
P∞
n=1 a n
yakınsak ise
serisine p-serisi denir. p = 1 durumuna, yani
P∞
1
n=1 n
P∞
n=0 2
n
a 2n serisi de yakınsak
serisine harmonik seri de-
nir.
(
∞ 1
X
yakınsak,
=
p
ıraksak,
n=1 n
eğer p > 1
eğer p ≤ 1
İspat. Eğer p ≤ 0 ise limn→∞ n1p 6= 0 olduğundan (niye?) n. terim testi uyarınca
serisi ıraksak olur. p > 0 ise a n = n1p azalan pozitif bir dizi olur.
∞
X
n=0
2 n a 2n =
∞
X
n=0
2n
1
n=1 n p
P∞
∞
X
1
=
(21−p )n
(2n )p n=0
Son seri geometrik seridir ve 1− p ≥ 0 ise ıraksak 1− p < 0 ise ıraksaktır. Cauchy sıklaştırma
ölçütünü kullanırsak sonuç çıkar.
11. Limit Karşılaştırma Ölçütü. a n ≥ 0, b n > 0 ve L = limn→∞ a n /b n olsun. Eğer 0 < L < ∞ ise
P∞
P∞
n=1 b n ancak ve ancak n=1 a n yakınsarsa yakınsar.
0.3. REEL SERILER
11
İspat. Limitin tanımı gereği öyle bir N ∈ N vardır ki
3L
L
bn ≤ an ≤
bn ,
∀n ≥ N .
2
2
P
P∞
Limit karşılaştırma teoreminden ∞
n=N a n ve n=N b n serileri ya aynı anda yakınsaktır ya
da aynı anda ıraksaktır.
Örnek 17. Aşağıdaki serilerin yakınsaklıklarını inceleyin.
∞
X
∞ k −1
X
k −2
,
4
k=1 k + k + 4
k=1
k2k
,
∞ ln k
X
, (p > 1)
p
k=1 k
∞ k 2 + 2k + 3
X
k3 + 5
k=1
Not: a > 0 ise limx→∞ lnx ax = 0 olduğunu kullanın.
12.
P
P
a n serisine |a n | serisi yakınsaksa mutlak yakınsak denir. Eğer ∞
n=1 a n serisi yakınsak
P∞
ama mutlak yakınsak değilse n=1 a n serisini şartlı yakınsak denir.
13.
P∞
P
n=1 a n
serisi mutlak yakınsak ise yakınsaktır ve
¯∞
¯ ∞
¯X ¯ X
¯
|a n |
a n ¯¯ ≤
¯
n=1
n=1
olur.
P
İspat. ∞
n=1 |a n |Pyakınsak olsun. 0 ≤ |a n | + a n ≤ 2 |a n | olduğundan limit karşılaştırma teoremi uyarınca ∞
n=1 (|a n | + a n ) serisi de yakınsak olur. Ama
∞
X
an =
n=1
∞
X
(|a n | + a n − |a n |) =
n=1
∞
X
(|a n | + a n ) −
∞
X
|a n |
n=1
n=1
ve en sağdaki iki seri de yakınsak olduğundan en soldaki seri de yakınsaktır. Son olarak her
N için
¯
¯
¯X
¯ X
N
N
∞
X
¯
¯
|a n | ≤
|a n |
an ¯ ≤
¯
¯n=1 ¯ n=1
n=1
olduğundan her iki tarafın n → ∞ limitini alırsak sonuç bulunur.
14. Kök Testi. a n ∈ R, r = lim supn→∞ |a n |1/k olsun.
P∞
n=1 a n
serisi
• r < 1 ise mutlak yakınsak,
• r > 1 ise ıraksaktır.
Not: Eğer bir dizi için limn→∞ x n varsa lim supn→∞ x n = lim infn→∞ x n = limn→∞ x n olur.
15. Oran testi. a n ∈ R, a n 6= 0 (n yeterince büyükse), r = limn→∞
• r < 1 ise mutlak yakınsak,
• r > 1 ise ıraksaktır.
|a n+1 |
|a n |
olsun.
P∞
n=1 a n
serisi
12
BÖLÜM 0. ÖN BILGILER
Örnek 18. Aşağıdaki serilerin yakınsaklıklarını inceleyin.
∞ 1
X
a)
,
k=1 k!
e)
b)
∞ k2
X
k=1 π
,
k
∞ 1
X
k=1 k
f)
k
∞
X
k=1
,
µ
∞ 2k
X
c)
,
k=1 k!
k +1
2k + 3
d)
k=1
¶k
,
∞
X
g)
∞
X
µ
k
k +1
¶k 2
1
(π − )k −1 ,
k
k=1
Bölüm
1
Fonksiyon Dizileri
1.1 Giriş
© ª
Tanım 3. ; 6= A ⊂ R ve f n : A → R, ∀n ∈ N olsun. f n n∈N dizisine bir fonksiyon dizisi denir.
Fonksiyon dizileri için birçok farklı yakınsama türleri vardır. Biz bu derste bunlardan sadece
iki tanesi ile ilgileneceğiz.
1.2 Noktasal Yakınsaklık
Tanım 4. ; 6= A ⊂ R, f n : A → R olsun. Eğer her x ∈ A için { f n (x)} sayı dizisi yakınsak ise f (x) =
lim f n (x), x ∈ A fonksiyonuna { f n } dizisinin noktasal limit fonksiyonu denir.
1. Sürekli fonksiyonların noktasal limiti süreksiz yani
lim lim f n (x) 6= lim lim f n (x)
n→∞ x→a
x→a n→∞
olabilir.
Örnek 19. f n (x) = x n , 0 ≤ x ≤ 1 dizisinin noktasal limitinin
f (x) = lim f n (x) =
n→∞
(
0, 0 ≤ x < 1
1, x = 1
olduğunu gösterin. Dolayısıyla
1 = lim 1 = lim lim f n (x) 6= lim lim f n (x) = lim f (x) = 0
n→∞
n→∞ x→1−
x→1− n→∞
13
x→1−
14
BÖLÜM 1. FONKSIYON DIZILERI
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Şekil 1.1: f n (x) = x n , x ∈ [0, 1] dizisinin ilk 10 terimi.
2. Sürekli sınırlı fonksiyonların noktasal limiti sürekli ama sınırsız olabilir.
Örnek 20.
f n (x) =
(
n,
0 < x < 1/n
1/x, 1/n ≤ x < 1
olsun. Arşimed prensibi 0 < x < 1 için ∃N ∈ N, n1 ≤ x, ∀n ≥ N olduğunu (örneğin x = 0.11
ise N = 10 seçilebilir) yani f n (x) = 1/x, ∀n ≥ N olduğunu söyler. Dolayısıyla
f (x) = lim f n (x) =
n→∞
1
,
x
0 < x < 1.
3. Fonksiyonların türevinin noktasal limiti ile fonksiyonların noktasal limitinin türevi farklı
olabilir. Yani
d
d
f n (x) 6=
lim f n (x)
lim
n→∞ d x
d x n→∞
olabilir.
pnx , x ∈ R, n ∈ N.
Örnek 21. f n (x) = sin
n
f (x) = lim f n (x) = 0,
n→∞
ve
∞ = lim
n→∞
∀x ∈ R.
p
n cos 0 = lim f n0 (0) 6= f 0 (0) = 0.
n→∞
4. Fonksiyonların belirli integralinin noktasal limiti ile fonksiyonların noktasal limitinin belirli integrali faklı olabilir. Yani
Z
lim
n→∞ A
olabilir.
f n (x)d x 6=
Z ³
´
lim f n (x) d x
A n→∞
1.2. NOKTASAL YAKINSAKLIK
15
Örnek 22. f n (x) = n 2 x(1 − x 2 )n , 0 ≤ x ≤ 1, n ∈ N.
Önce f (x) = limn→∞ f n (x) = 0 olduğunu gösterin. Sonra
Z 1
n2
→∞
f n (x) =
2n + 2
0
Yani
Z
1
∞ = lim
n→∞ 0
f n (x)d x 6=
Z 1³
0
´
lim f n (x) d x = 0
n→∞
12
10
8
6
4
2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Şekil 1.2: f n (x) = n 2 x(1 − x 2 )n , x ∈ [0, 1] dizisinin ilk 10 terimi. Fonksiyon dizisi sıfıra noktasal
n2
olarak yaklaşırken altlarındaki alan 2n+2
olarak sonsuza gidiyor.
Alıştırmalar
¡
¢n
Örnek 23. f n (x) = 1 + nx , x ∈ R dizisinin noktasal limit fonksiyonunun f (x) = e x olduğunu
gösterin.
Çözüm. Bölüm 0.2, madde item 11 uyarınca, eğer
lim
f n (x)
lim
f n (x)
n→∞, n∈R
limiti varsa
n→∞, n∈N
limiti de vardır ve iki limit eşittir.
Birinci limiti bulmak için ifadenin logaritmasını alıp L’Hospital kuralını kullanabiliriz.

³
´³ ´
Ã
¡
¢!
1
−x
x
x
ln 1 + n
1+ n
n2 

x
lim f n (x) = lim exp ln f n (x) = exp
lim
=
exp
lim

=e .
1
−1
n→∞, n∈R
n→∞, n∈R
Örnek 24. f n (x) = n sin
³
n→∞, n∈R
xn
n
n
n→∞, n∈R
´
, 0 ≤ x ≤ 1 dizisinin noktasal limit fonksiyonunun
f (x) = lim f n (x) =
n→∞
(
0, 0 ≤ x < 1
1, x = 1
n2
16
BÖLÜM 1. FONKSIYON DIZILERI
olduğunu gösterin.
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
Şekil 1.3: f n (x) = n sin
0.4
³
xn
n
´
0.6
0.8
1
, x ∈ [0, 1] dizisinin ilk 10 terimi.
¯ ¯ ¯
¯
Çözüm. Ünlü ¯sin y ¯ ≤ ¯ y ¯, ∀y ∈ R eşitsizliğinden,
¯ n¯
¯
¯
¯
¯
¯x ¯
n
0 ≤ ¯ f n (x)¯ = n ¯sin(x /n)¯ ≤ n ¯¯ ¯¯ = |x|n
n
¯
¯
Bir önceki örnek ve sıkıştırma lemması nedeniyle, 0 ≤ x < 1 için limn→∞ ¯ f n (x)¯ = 0 olur. x = 1 için
limite bakalım.
sin(1/n)
=1
lim f n (1) = lim
n→∞
n→∞
1/n
çünkü limx→0 sinx x = 1.
Örnek 25. h n (x) = sin nπx, x ∈ [0, 1] dizisi (0, 1) aralığındaki hiçbir rasyonel x için yakınsak değildir.
k
Çözüm. x = m
, 0 < x < 1, k ve m aralarında asal doğal sayılar olsun. Örnek olarak x = 35 için
h n (3/5) dizisinin ıraksak olduğuna bakalım.
µ ¶
µ ¶
µ ¶
3
3
3
0 = h5
= h 10
= · · · = h 5n
5
5
5
µ ¶
µ ¶
µ ¶
µ ¶
3π
3
3
3
0 6= sin
= h 11
= h 21
= · · · = h 10n+1
5
5
5
5
¡3¢
¡ ¢
Yani {h n 5 } dizisinin iki ayrı limite sahip olan iki farklı alt dizisi vardır. Yani {h n 35 } dizisinin
limiti yoktur.
Yukarıdaki örneği genelleştirecek olursak
{h m (k/m), h 2m (k/m), h 3m (k/m), . . . }
sabit dizisinin limiti 0 ve
{h 1 (k/m), h 2m+1 (k/m), h 4m+1 (k/m), . . . }
sabit dizisinin limiti sin(kπ/m) 6= 0’dır (çünkü 0 < kπ
< π). Dolayısıyla {h n (k/m) : n ∈ N} dizisim
nin iki ayrı limiti olan iki farklı alt dizisi vardır ve dolayısıyla limn→∞ h n (x) limiti yoktur.
1.3. DÜZGÜN YAKINSAKLIK
17
Uyarı 1. 0 < x < 1 aralığındaki her irrasyonel sayı için yukarıdaki dizinin ıraksadığı daha zor bir
problemdir ve Dirichlet Teoremi yardımıyla gösterilebilir, bkz. [Erg15]. Dirichlet Teoremi q ∈ R\Q,
0 < q < 1 ise,
{sin(nqπ)}∞
n=1
kümesinin [−1, 1] aralığında yoğun olduğunu söyler.
1.3 Düzgün Yakınsaklık
f n , n ∈ N dizisindeki fonksiyonların süreklilik, Riemann integrallenebilirlik ve ekstra koşullar
altında türevlenebilirlik gibi bazı önemli özellikleri limit fonksiyonuna ancak yakınsama düzgün
olduğunda taşınır. Yakınsama sadece noktasal ise taşınmayabilir.
Tanım 5. ; 6= A ⊂ R olsun. f n : A → R, n ∈ N.
Eğer bir f : A → R fonksiyonu için
∀² > 0 ∃N (²) ∀n ≥ N (²)
¯
¯
sup ¯ f n (x) − f (x)¯ < ²
x∈A
d
koşulu gerçeklenirse { f n } dizisi f ’e A kümesi üzerinde düzgün yakınsar denir ve f n → f yazılır.
y
ε
f
ε fn
A
x
Uyarı 2.
¯
¯
¯
¯
1. Tanımdaki supx∈A ¯ f n (x) − f (x)¯ < ² ifadesi supx∈A ¯ f n (x) − f (x)¯ ≤ ² ile de değiştirilebilir.
2. Tanımdaki koşula eşdeğer başka bir koşul
∀² > 0 ∃N (²) ∀n ≥ N (²) ∀x ∈ A
¯
¯
¯ f n (x) − f (x)¯ < ²
koşuludur.
3. Yukarıdaki koşulun noktasal yakınsama koşulu olan
∀² > 0 ∀x ∈ A ∃N (², x) ∀n ≥ N (², x) ∀x ∈ A
koşulu ile farkına dikkat edin.
¯
¯
¯ f n (x) − f (x)¯ < ²
18
BÖLÜM 1. FONKSIYON DIZILERI
Tanım 6. f : A → R ise
° °
° °
¯
¯
° f ° = ° f ° = sup ¯ f (x)¯ ∈ [0, ∞]
A
x∈A
genişletilmiş sayısına f in sup normu denir.
° °
Örnek 26. f (x) = x 3 − 12x − 5 fonksiyonu için ° f °[−3,3] = 21 olduğunu gösterin.
f 0 (x) = 0 =⇒ x = ±2
f fonksiyonu max ve min değerlerini sınır noktaları olan x = ±3 ve kritik noktaları olan x = ±2
noktalarında alabilir.
° °
°f °
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ª ¯
¯
©¯
¯ f (−3)¯ , ¯ f (3)¯ , ¯ f (−2)¯ , ¯ f (2)¯ = ¯ f (2)¯ = 21
=
max
[−3,3]
Uyarı 3.
1. Tanım gereği her x ∈ A için
¯
¯ ° °
¯ f (x)¯ ≤ ° f ° .
A
° °
2. f : A → R fonksiyonu ancak ve ancak sınırlıysa, ° f ° A < ∞ olur.
3. Eğer f fonksiyonu,
¯ ¯
¯ [a, b]¯ üzerinde
° ° kapalı bir [a, b] aralığı üzerinde sürekli ise f fonksiyonu
° °
°
°
°
°
sınırlıdır ve f [a,b] < ∞ olur. Hatta öyle bir x 0 ∈ [a, b] vardır ki f [a,b] = ¯ f (x 0 )¯. Zira ¯ f ¯
fonksiyonu da süreklidir ve maksimum değerini [a, b] aralığı içindeki bir x 0 noktasında
almak zorundadır. (bkz. sürekli fonksiyonlar için ekstremum değer teoremi)
4. Sup norm,°mutlak
° değer
° °gibi °üçgen
° eşitsizliğini sağlar. Yani eğer f ve g A kümesi üzerinde
°
°
°
°
°
sınırlı ise, f + g A ≤ f A + g ° A olur.
İspat. Her x ∈ A için
¯
¯
¯
¯
¯
¯ ¯
¯
¯ f (x)¯ + ¯g (x)¯ ≤ sup ¯ f (x)¯ + sup ¯g (x)¯
x∈A
x∈A
olduğundan
¯ ¯
¯¢
¯
¯
¯
¯
¡¯
sup ¯ f (x)¯ + ¯g (x)¯ ≤ sup ¯ f (x)¯ + sup ¯g (x)¯
x∈A
x∈A
x∈A
olur. (Hatırlatma: her x ∈ A için h(x) ≤ M ise supx∈A h(x) ≤ M olur.)
°
°
¯
¯
¯ ¯
¯¢
¯
¯
¯
¯ ° ° ° °
¡¯
° f + g ° = sup ¯ f (x) + g (x)¯ ≤ sup ¯ f (x)¯ + ¯g (x)¯ ≤ sup ¯ f (x)¯ +sup ¯g (x)¯ = ° f ° + °g ° .
A
A
A
x∈A
x∈A
x∈A
x∈A
5. Benzer bir şekilde, f sınırlı bir fonksiyon ise ve a sabit bir sayı ise
° °
° °
°a f ° ≤ |a| ° f ° .
A
A
olduğu gösterilebilir.
Sup norm düzgün yakınsamanın kolay bir tarifini verir.
°
°
d
Teorem 1. A kümesi üzerinde f n → f ancak ve ancak limn→∞ ° f n − f ° A = 0.
1.3. DÜZGÜN YAKINSAKLIK
19
İspat. Her iki koşulun da
∀² > 0 ∃N (²) ∀n ≥ N (²)
°
°
° fn − f ° < ²
şartına eşdeğer olduğu görülebilir.
°
°
Yukarıdaki teoremde yer alan limn→∞ ° f n − f ° A = 0 koşulu daha açık olarak şöyle yazılabilir
¯
¯
lim sup{¯ f n (x) − f (x)¯ : x ∈ A} = 0
n→∞
Düzgün yakınsama ve noktasal yakınsama arasındaki ilişki aşağıda verilmiştir.
Teorem 2. { f n } dizisi f ’e A kümesi üzerinde düzgün yakınsıyorsa, noktasal olarak da f ’e yakınsar.
¯
¯ °
°
°
°
¯ f n (x) − f (x)¯ ≤ ° f n − f ° olduğundan ve limn→∞ ° f n − f ° = 0 olduğunİspat. x ∈ A olsun.
0
≤
¯
¯
dan, limn→∞ ¯ f n (x) − f (x)¯ = 0 olur. Yani limn→∞ f n (x) = f (x) olur.
Uyarı 4. Teorem 2’nin sonuçlarına bakalım.
1. { f n }n∈N dizisi ancak noktasal olarak yakınsadığı bir fonksiyona düzgün olarak yakınsayabilir.
© ª
2. f n n∈N dizisinin düzgün yakınsayıp yakınsamadığını bulmak için öncelikle
bu°dizinin
°
°
noktasal limit fonksiyonu olan f fonksiyonunu bulup daha sonra limn→∞ f n − f ° A limitine bakmalıyız.
Teorem 2’deki önermenin tersi doğru olmayabilir. Yani noktasal yakınsayan bir dizi düzgün
yakınsamayabilir. Bunun sebebi şudur: Eğer f n dizisi A kümesinde noktasal olarak f fonksiyonuna yakınsıyorsa, her x ∈ A için yakınsama hızı farklı olabilir.
Örnek 27. f n (x) = x n , x ∈ [0, 1) dizisinin noktasal limiti f (x) = 0 olur. Her n ∈ N için
¯ ¯
°
° ° °
° f n − f ° = ° f n ° = sup ¯x n ¯ = 1
x∈[0,1)
°
°
olduğundan (bkz. Bölüm 0.1) limn→∞ ° f n − f ° 6= 0 olur. Yani f n dizisi f ’e noktasal olarak yakınsar ama düzgün olarak yakınsamaz.
Teorem 3. f n : A ⊂ R → R olsun.
1. B ⊂ A ise ve f n dizisi A kümesinde f fonksiyonuna düzgün yakınsıyorsa B kümesi üzerinde
de f ’ye düzgün yakınsar.
2. Eğer f n dizisi hem A kümesinde hem B kümesinde f fonksiyonuna düzgün yakınsıyorsa
A ∪ B kümesi üzerinde de f fonksiyonuna düzgün yakınsar.
İspat. Bu ispatları gösterin.
d
d
d
Teorem 4. Eğer a, b sabit sayılarsa, f n → f ve g n → g ise a f n + bg n → a f + bg ve olur.
20
BÖLÜM 1. FONKSIYON DIZILERI
İspat. Sup normun özelliklerini kullanırsak
°
°
°
°
°
°
°a f n + bg n − (a f + bg )° ≤ |a| ° f n − f ° + |b| °g n − g °
olduğu görülür.
d
Teorem 5. A üzerinde f n → f olsun. Eğer f n ’ler sürekli ise ve {x n } ⊂ A, limn→∞ x n = x 0 ise
lim f n (x n ) = f (x 0 ) = f ( lim x n )
n→∞
n→∞
İspat.
¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ °
°
¯ f (x 0 ) − f n (x n )¯ ≤ ¯ f (x 0 ) − f (x n )¯ + ¯ f (x n ) − f n (x n )¯ ≤ ¯ f (x 0 ) − f (x n )¯ + ° f − f n °
Daha sonra göreceğimiz gibi sürekli f n fonksiyonları, f ’e düzgün
¯ yakınsarsa f¯ ’de süreklidir. f
sürekli olduğundan limx→x0 f (x) = f (x 0 ) ve dolayısıysla limn→∞ ¯ f (x 0 ) − f (x n )¯ = 0 olur. Ayrıca
°
°
d
yukarıdaki bağıntıda limit alıp, sıkışf n → f olduğundan limn→∞ ° f n − f °¯ = 0 olur. Dolayısıyla
¯
tırma teoremini kullanırsak limn→∞ ¯ f (x 0 ) − f n (x n )¯ = 0 çıkar.
Bir fonksiyon dizisinin noktasal limitine düzgün yakınsayamaması için bir
kriter
Bu teoremin kontrapozitifi, bir fonksiyon dizisinin noktasal limitine düzgün yakınsamadığını
göstermekte çok kullanışlı bir koşul sunar.
Teorem 6. f n : A ⊂ R → R, n ∈ N olsun.
1. limn→∞ f n (x) = f (x),
∀x ∈ A,
2. Her n ∈ N için, f n A üzerinde sürekli,
3. {x n } ⊂ A ve limn→∞ x n = x 0 ∈ A,
ama limn→∞ f n (x n ) yoksa veya limn→∞ f n (x n ) 6= f (x 0 ) ise f n dizisi f ’e A üzerinde düzgün yakınsamaz.
Teorem 7. Her sabit α ∈ R+ ve |x| < 1 için
lim n α x n = 0
n→∞
Bu yakınsama hiçbir 0 < a < 1 için (a, 1) aralığında düzgün değildir.
İspat. Bölüm 0.2’de verilen oran testini uygularsak limn→∞ |n α x n | = 0 buluruz.
Şimdi f n (x) = n α x n , f (x) ≡ 0, 0 < a < x < 1 tanımlayalım.
°
° ° °
¯
¯
° f n − f ° = ° f n ° = sup ¯n α x n ¯ = n α sup |x|n = n α · 1
|x|<1
ve
|x|<1
°
°
lim ° f n − f ° = lim n α = ∞
n→∞
n→∞
1.4. DÜZGÜN YAKINSAKLIĞIN ÖZELLIKLERI
21
80
60
40
20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Şekil 1.4: f n (x) = n 2 x n , x ∈ [0, 1] dizisinin ilk 10 terimi.
1.4 Düzgün Yakınsaklığın Özellikleri
Geçtiğimiz bölümde noktasal yakınsaklığın dizideki sürekliliği, integrallenebilirliği ve türevlenebilirliği limitte koruyamadığını gördük. Bu bölümde bu özellikleri koruyan daha güçlü bir yakınsama türü göreceğiz.
Süreklilik
Düzgün yakınsaklık sürekliliği korur. Yani dizideki her fonksiyon (nihai olarak) sürekli ise limit
fonksiyonu da süreklidir.
d
Teorem 8. Her n ∈ N için, f n : A → R fonksiyonu sürekli ve A üzerinde f n → f ise, f fonksiyonu
da A üzerinde süreklidir.
Bu teorem
²
3
argümanıyla ispatlanabilir.
İspat. x 0 ∈ A ve ² > 0 olsun.
¯
¯
|x − x 0 | ≤ δ =⇒ ¯ f (x) − f (x 0 )¯ < ²
koşulunu sağlayan bir δ > 0 bulmak istiyoruz.
1. f n ’ler f ’e düzgün yakınsadığından öyle bir N ∈ N vardır ki
°
°
° fN − f ° < ² ,
A
3
∀x ∈ A
2. f N x 0 ’da sürekli olduğundan öyle bir δ(²) > 0 vardır ki
¯
¯
|x − x 0 | < δ =⇒ ¯ f N (x) − f N (x 0 )¯ < ²
olur.
22
BÖLÜM 1. FONKSIYON DIZILERI
Şimdi |x − x 0 | < δ ise
¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
¯ f (x) − f (x 0 )¯ ≤ ¯ f (x) − f N (x)¯ + ¯ f N (x) − f N (x 0 )¯ + ¯ f N (x 0 ) − f (x 0 )¯
°
°
°
² °
≤ ° f − fN °A + + ° f − fN °A = ²
3
Bazen düzgün yakınsamanın bu özelliğini kullanarak, yakınsamanın düzgün olup olmadığına karar verebiliriz.
Örnek 28. Örneğin f n (x) = x n , x ∈ [0, 1] dizisi düzgün yakınsamaz zira f n ’ler süreklidir ama limit
fonksiyon
(
0, 0 ≤ x < 1
f (x) =
1, x = 1
süreksizdir.
Sınırlılık
Düzgün yakınsaklık sınırlılığı korur. Yani sınırlı fonksiyonlardan oluşan bir dizinin düzgün yakınsak limiti sınırlıdır.
d
Teorem 9. Her n ∈ N için, f n : A → R fonksiyonu sınırlı ve A üzerinde f n → f ise, f fonksiyonu da
A üzerinde sınırlıdır.
İspat. Düzgün yakınsaklık gereği,
∃N ∈ N,
°
°
° f − fN ° ≤ 1
A
° °
°
Ayrıca f N sınırlı olduğundan öyle bir M > 0 vardır ki, f N ° A ≤ M .
° °
°
°
° °
° f ° ≤ ° f − fN ° + ° fN ° ≤ 1 + M
A
A
A
Bu teoremin bir sonucu şudur: Eğer sınırlı fonksiyonlar sınırlı olmayan bir fonksiyona noktasal olarak yakınsarsa bu yakınsama düzgün olamaz.
n
Örnek 29. f n (x) =
, x ∈ (0, 1) dizisi f (x) = x1 fonksiyonuna noktasal olarak yakınsar ama
nx + 1
¯
¯
bu yakınsama düzgün olamaz. Çünkü her f n sınırlıdır (x ∈ (0, 1) için ¯ f n (x)¯ ≤ n olduğunu gösterin) ama limit fonksiyon sınırsızdır.
10
8
6
4
2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
Şekil 1.5: f n (x) = nx+1
, x ∈ (0, 1) dizisinin ilk 10 terimi.
1.4. DÜZGÜN YAKINSAKLIĞIN ÖZELLIKLERI
23
Bir önceki teoremde
° °dizideki her fonksiyonun aynı sayıyla sınırlı olduğunu
° °varsaymıyoruz.
°
°
Eğer her n ∈ N için f n A ≤ M olsaydı, noktasal limit fonksiyonu f için de ° f ° A ≤ M olurdu.
Yani f ’de sınırlı olurdu.
(Riemann) İntegrallenebilirlik
d
Teorem 10. [a, b] kapalı aralığı üzerinde f n → f ve her n ∈ N için f n , [a, b] aralığı üzerinde sürekli
olsun. Bu durumda
Z b
Z b³
Z b
´
lim
f n (x)d x =
lim f n (x) d x =
f (x)d x
n→∞ a
a
n→∞
a
olur.
(Aslında bu teorem f n ’ler sadece Riemann integrallenebilir ise de doğrudur. Ama teoremin bu
versiyonu daha az teknik detay içerir.)
İspat. Düzgün yakınsama nedeniyle f fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında sürekli olur. Kapalı bir
aralık üzerinde sürekli bir fonksiyonun integrallenebilir olduğunu önceki analiz derslerinden biliyoruz. (Eğer f n ’leri sürekli kabul etmemiş olsaydık, f ’in integrallenebilir olduğunu göstermemiz
gerekirdi.)
¯Z b
¯ Z
¯
¯
¯ ( f n (x) − f (x))d x ¯ ≤
¯
¯
a
°
°
° fn − f °
b¯
a
¯
¯ f n (x) − f (x)¯ d x ≤
Z
b°
a
°
°
° fn − f °
d
x
=
(b
−
a)
[a,b]
[a,b]
°
° fn − f °
¯R
¯
¯ b
¯
→
0
olduğundan
(
f
(x)
−
f
(x))d
x
¯
¯ → 0 olur.
n
a
[a,b]
Örnek 30. Aşağıdaki limitlerin önce var olduğunu ispatlayın ve sonra limitleri hesaplayın.
Z 1
2
e x /n d x
1. lim
n→∞ −1
Z
2. lim
n→∞ 0
2
nx 2 + 3
dx
x 3 + nx
Türevlenebilirlik
Türevlenebilir fonksiyonların düzgün yakınsak limiti genel olarak türevlenebilir olmayabilir. Zira
iki fonksiyonun grafikleri birbirine yakın olsa bile türevlerinin grafikleri yakın olmayabilir. Örneğin fonksiyonlardan biri sabit diğeri ondan uzaklaşmadan, etrafında hızlı bir şekilde salınıyorsa.
sin n 2 x
, x ∈ [0, 1], n ∈ N dizisi f (x) = 0 fonksiyonuna düzgün yakınsar ama
n
0
2
f n (x) = n sin(n x) fonksiyonu noktasal olarak bile yakınsamaz. Çünkü n ≥ 2 için, x n = nπ2 ∈ [0, 1]
ve
° 0°
0
°f °
n [0,1] = f n (x n ) = n → ∞
Örnek 31. f n (x) =
olur.
Yani düzgün yakınsak ve türetilebilir bir fonksiyon dizisinin, türev dizisi noktasal olarak bile
yakınsamayabilir.
24
BÖLÜM 1. FONKSIYON DIZILERI
x
, x ∈ R dizisi f (x) = 0 fonksiyonuna düzgün yakınsar. 2ab ≤ a 2 + b 2
1 + nx 2
eşitsizliğinden yararlanarak
Örnek 32. f n (x) =
¯
¯
¯ f n (x)¯ =
|x|
2 · 1 · n |x|
(12 + n 2 |x|2 )
1
=
≤
=
1 + n 2 x 2 2n(1 + n 2 x 2 ) 2n(1 + n 2 x 2 ) 2n
° °
d
1
olduğunu gösterebiliriz. Yani ° f n °R ≤ 2n
→ 0 ve f n → 0 olur.
2
1−nx
f n0 (x) = (1+nx
2 )2 türev dizisi noktasal olarak
(
g (x) =
0, x 6= 0
1, x = 0
fonksiyonuna yakınsar. Dolayısıyla f n0 → g yakınsaması (sürekli fonksiyonların düzgün limitinin
sürekli olması gerektiği için) düzgün olamaz.
¯
¯
¯
¯
d
d
¯
lim f n (x)¯
6= lim
f n (x)¯¯
=0
0=
n→∞ d x
d x n→∞
x=1
x=1
Yani düzgün yakınsak ve türetilebilir bir fonksiyon dizisinin, türev dizisi noktasal olarak yakınsasa bile türev dizisinin limiti (g fonksiyonu) ile dizinin limitinin türevi (f fonksiyonu) aynı
olmayabilir. Başka bir deyişle
d
d
lim f n (x) 6= lim
f n (x)
n→∞ d x
d x n→∞
Teorem 11. Her n ∈ N için f n : [a, b] → R türetilebilir ve f n0 sürekli olsun. Eğer [a, b] aralığındaki
bir x 0 noktası için { f n (x 0 )} dizisi yakınsak ve { f n0 } dizisi [a, b] üzerinde düzgün yakınsak ise
d
d fn
(x) =
lim f n (x)
n→∞ d x
d x n→∞
lim
olur.
(Aslında bu teorem f n0 sürekli olmasa da geçerlidir. Ama teoremin bu versiyonu daha az teknik
detay içerir. Teoremin bu şeklinin ispatı için bkz. [Erg15].)
d
İspat. limn→∞ f n (x 0 ) = c ∈ R ve [a, b] üzerinde f n0 → g ve f n0 fonksiyonları sürekli olsun. Her n ∈ N
için
Z
x
f n (x) = f n (x 0 ) +
x0
f n0 (t )d t
yazabiliriz.
µ
f (x) = lim f n (x) = lim f n (x 0 ) +
n→∞
n→∞
x
Z
x0
f n0 (t )d t
¶
d
olarak tanımlayalım. f n0 → g olduğundan
Z
lim
x
n→∞ x
0
f n0 (t )d t
Z
=
x
x0
lim f 0 (t )d t
n→∞ n
Z
=
x
g (t )d t
x0
1.5. DÜZGÜN YAKINSAMA ÖRNEKLERI
25
olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla
x
Z
f (x) = c +
g (t )d t
x0
olur.
Ayrıca { f n0 } dizisi sürekli fonksiyonlardan oluştuğundan
R x düzgün yakınsak limiti g de süreklidir. g sürekli olduğundan analizin temel teoremi bize x0 g (t )d t fonksiyonunun türetilebilir olduğunu ve
Z x
d
g (t )d t = g (x)
d x x0
olduğunu söyler.
Yani
d
d
lim f n (x) = f 0 (x) =
n→∞
dx
dx
Z
x
x0
g (t )d t = g (x) = lim
d
n→∞ d x
f n (x)
anlamına gelir.
Uyarı 5. Yukarıdaki
{ f n } dizisinin f fonksiyonuna düzgün yakınsadığı
R x ispatta
R x gösterilebilir. Bu0
nun için F n (x) = x0 f n (t )d t olarak tanımlanan fonksiyon dizisinin G(x) = x0 g (t )d t fonksiyonuna düzgün yakınsadığı gösterilmelidir. Bu durumda { f n } = { f n (x 0 ) + F n } dizisi de f = c + G
fonksiyonuna düzgün yakınsar.
1.5 Düzgün Yakınsama Örnekleri
Aşağıdaki fonksiyonların verilen aralık üzerindeki noktasal ve düzgün yakınsaklıklarını araştırınız.
Örnek 33. f n (x) =
1
, x ∈ [0, 1].
1 + (nx − 1)2
Çözüm. limn→∞ f n (0) = 21 .
0 < x ≤ 1 =⇒ nx → ∞ =⇒ nx − 1 → ∞ =⇒ 1 + (nx − 1)2 → ∞ =⇒
Yani
(
lim f n (x) = f (x) =
n→∞
1
2,
x =0
0,
0<x ≤1
f n ’ler sürekli ama f süreksiz olduğundan yakınsama düzgün olamaz.
1
→0
1 + (nx − 1)2
26
BÖLÜM 1. FONKSIYON DIZILERI
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
Şekil 1.6: f n (x) =
Örnek 34. g n (x) =
0.4
0.6
0.8
1
1
, x ∈ [0, 1] dizisinin ilk 10 terimi.
1 + (nx − 1)2
x2
, x ∈ [0, 1].
x 2 + (nx − 1)2
Çözüm. Her x ∈ [0, 1] için limn→∞ g n (x) = g (x) ≡ 0 olduğunu gösterin.
Her n ∈ N için
°
° ° ° ¯
¯
°g n − g ° = °g n ° ≥ ¯g n (1/n)¯ = 1
°
°
Dolayısıyla limn→∞ °g n − g ° 6= 0 olduğundan yakınsama düzgün değildir.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
Şekil 1.7: f n (x) =
0.4
0.6
0.8
1
x2
, x ∈ [0, 1] dizisinin ilk 10 terimi.
x 2 + (nx − 1)2
Örnek 35. h n (x) = x n (1 − x), x ∈ [0, 1].
Çözüm. Her x ∈ [0, 1] için limn→∞ h n (x) = h(x) ≡ 0 olduğunu gösterin.
h n0 (x) = x n−1 (n − (n + 1)x) olduğundan
h n0 (x) = 0 =⇒ x = 0 veya x =
n
n +1
n
n
Türevin işaretini inceleyerek h n ’lerin, (0, n+1
) aralığında artan, ( n+1
, 1) aralığında azalan olduğunu gösterin. Yani
³ n ´
max h n (x) = h n
0≤x≤1
n +1
1.5. DÜZGÜN YAKINSAMA ÖRNEKLERI
27
ve
kh n − hk = kh n k = sup |h n (x)| = sup h n (x) = max h n (x) = h n
0≤x≤1
hn
0≤x≤1
0≤x≤1
³ n ´
n +1
³ n ´ ³ n ´n ³
n ´
1
1
.
=
1−
=¡
¢n
1
n +1
n +1
n +1
n +1
1+
n
ve
lim h n
n→∞
³ n ´ 1
= ·0 = 0
n +1
e
Dolayısıyla limn→∞ kh n − hk = 0 ve yakınsama düzgün olur.
0.25
0.2
0.15
0.1
5 · 10−2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Şekil 1.8: f n (x) = x n (1 − x), x ∈ [0, 1] dizisinin ilk 10 terimi.
Aşağıda bazı f n (x) = n a x b (1 − x)c tipindeki fonksiyon dizilerinin [0, 1] aralığında düzgün yakınsaklığını inceleyeceğiz.
Örnek 36. f n (x) = nx n (1 − x), x ∈ [0, 1].
Çözüm. limn→∞ f n (1) = 0. Ayrıca 0 ≤ x < 1 için Teorem 7 sebebiyle limn→∞ f n (x) = 0. Dolayısıyla
limn→∞ f n (x) = f (x) ≡ 0, x ∈ [0, 1] olur.
n
f n0 (x) = nx n−1 (n − (n + 1)x) = 0 ancak ve ancak x = 0, x = n+1
. 1. türev analizi
³
´
¯
¯
¯
¯
°
°
n
1
° f n − f ° = sup ¯ f n (x)¯ = max ¯ f n (x)¯ = max f n (x) = f n n
=
¡
¢
0≤x≤1
0≤x≤1
n +1
n +1 1+ 1 n
0≤x≤1
n
olduğunu gösterir.
°
°
1
lim ° f n − f ° = 1 · 6= 0
n→∞
e
Yani yakınsama düzgün değildir.
28
BÖLÜM 1. FONKSIYON DIZILERI
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Şekil 1.9: f n (x) = nx n (1 − x), x ∈ [0, 1] dizisinin ilk 10 terimi.
Bir A kümesi üzerinde düzgün yakınsak olmayan bir fonksiyon dizisi, A’nın bir alt kümesi
üzerinde düzgün yakınsak olabilir. Bunu görmek için yukarıdaki örneği biraz değiştirelim.
Örnek 37. Sabit 0 < a < 1 için f n (x) = nx n (1 − x), x ∈ [0, a].
n
n
] aralığında artan bir fonksiyon olduğunu gördük. { n+1
} dizisi
bir diÇözüm. f n ’in [0, n+1
° artan
°
n
°
°
zidir ve limiti birdir. Yani öyle bir n ² ∈ N vardır ki, n+1 > a, ∀n ≥ n ² . Dolayısıyla f n = f n (a) =
d
na n (1 − a) ∀n ≥ n ² ve na n (1 − a) → 0 olduğundan f n → 0.
Örnek 38. g n (x) = n 2 x n (1 − x)3 , x ∈ [0, 1]
Çözüm. Öncelikle limn→∞ g n (x) = g (x) ≡ 0 olduğunu gösterin. Daha sonra
³
´
³ n ´2 1
°
°
1
1
3
°g n − g ° = g n n
= 33
→
3
·
1
·
0
·
=0
n +3
n + 3 (n + 3) (1 + n3 )n
e3
olduğunu gösterin. Yani yakınsama düzgündür.
0.1
8 · 10−2
6 · 10−2
4 · 10−2
2 · 10−2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Şekil 1.10: g n (x) = n 2 x n (1 − x)3 , x ∈ [0, 1] dizisinin ilk 10 terimi.
Örnek 39. f n (x) =
xn
(1 − x),
n
x ∈ [0, 1] olsun. { f n } ve { f n0 } dizilerinin yakınsaklığını inceleyin.
1.5. DÜZGÜN YAKINSAMA ÖRNEKLERI
Örnek 40. h n (x) =
29
nx 2
, x ∈ [0, 1].
1 + nx
Çözüm. limn→∞ h n (x) = h(x) = x, x ∈ [0, 1] olduğunu gösterin.
¯
¯
¯ nx 2
¯
x
¯
kh n − hk = sup ¯
− x ¯¯ = sup
= sup
0≤x≤1 1 + nx
0≤x≤1
0≤x≤1 1 + nx
1
1
x
+n
=
1
1+n
Yani kh n − hk → 0 olur ve yakınsama düzgündür.
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.2
Şekil 1.11: h n (x) =
0.4
0.6
0.8
1
nx 2
, x ∈ [0, 1] dizisinin ilk 10 terimi.
1 + nx
sin n 2 x
, x ∈ (0, 1).
nx
¯
¯ 1
Çözüm. 0 ≤ ¯ f n (x)¯ ≤ nx
olduğundan limn→∞ f n (x) = f (x) ≡ 0, ∀x ∈ (0, 1) olur.
Örnek 41. f n (x) =
¯
¯
¯ sin 1 ¯
°
° ¯
¯
¯
° f n − f ° ≥ ¯ f n (1/n 2 )¯ = ¯¯
¯ = n sin 1
¯ 1 ¯
n
°
°
Dolayısıyla limn→∞ ° f n − f ° = ∞ olur ve yakınsama düzgün olmaz.
6
4
2
0.2
Şekil 1.12: f n (x) =
0.4
0.6
0.8
1
sin n 2 x
, x ∈ [0, 1] dizisinin ilk 7 terimi.
nx
30
BÖLÜM 1. FONKSIYON DIZILERI
Örnek 42. g n (x) =
nx
n2x2 + x + e n
, x ∈ [0, 1] dizisinin düzgün yakınsaklığını inceleyin.
Çözüm.
¯
¯
¯g n (x)¯ = g n (x) ≤ nx ≤ n ,
en en
∀x ∈ [0, 1],
° °
d
olduğundan °g n °[0,1] ≤ enn → 0 yani g n → 0 olur.
Örnek 43. f n (x) =
x
x2 + n2
, x ∈ A = [0, 1] dizisinin düzgün yakınsaklığını inceleyin.
° °
d
Çözüm. ° f n ° ≤ n12 olduğundan f n → 0 olur.
Örnek 44. f n (x) =
x
x2 + n2
, x ∈ R dizisinin düzgün yakınsaklığını inceleyin.
Çözüm.
¯
¯
¯ f n (x)¯ ≤
|x|
n2 + x2
1
n |x|
≤
=
=
x 2 + n 2 n(x 2 + n 2 ) 2n(n 2 + x 2 ) 2n
° °
d
olduğu gösterilebilir. Yani ° f n °R → 0 ve f n → 0 olur.
¡
¢n
Örnek 45. f n (x) = 1 + nx , x ∈ R dizisinin düzgün yakınsaklığını inceleyin.
Çözüm. Örnek 23’de limn→∞ f n (x) = f (x) = e x olduğunu görmüştük.
¯
³ ´n ¯
¯
¯ ¯
¯
°
°
° f n − f ° ≥ ¯ f n (n) − f (n)¯ = ¯2n − e n ¯ = 2n ¯¯1 − e ¯¯ → ∞
R
2
Yani yakınsama düzgün değildir. Aynı dizinin bir M > 0 için [−M , M ] aralığı üzerinde yakınsaklığını inceleyin.
´
³
2
Örnek 46. f n (x) = n ln 1 + xn , x ∈ R dizisinin düzgün yakınsaklığını inceleyin.
Çözüm.
lim f n (x) = f (x) = x 2
n→∞
olduğunu gösterin. Bu yakınsama R üzerinde düzgün değildir. Çünkü
°
°
¯ p
p ¯
° f n − f ° ≥ ¯ f n ( n) − f ( n)¯ = |n ln 2 − n| = n ln(2 − 1) → ∞
R
Örnek 47. f n (x) = arctan
³
2x
x 2 +n 2
´
, x ∈ R dizisinin düzgün yakınsaklığını inceleyin.
Çözüm. Önce Ortalama Değer Teoremi
her x ∈ R için |arctan x| ≤ |x| olduğunu göste° yardımıyla
°
rin. Daha sonra Örnek 44 yardımıyla ° f n °R → 0 olduğunu bulun.
1.6. ALIŞTIRMALAR
31
1.6 Alıştırmalar
Aşağıdaki fonksiyonların noktasal ve düzgün yakınsaklığını inceleyin.
(1) f n (x) =
x
, x ∈ R.
n
(2) f n (x) = x n , x ∈ [0, 1].
(3) f n (x) = x n , x ∈ (0, 1).
(4) f n (x) = x n , x ∈ (0, 1 − ²), 0 < ² < 1 sabit.
(5) f n (x) = n α x n , x ∈ (−1, 1), α > 0 sabit.
1
, x ∈ (0, 1).
1 + nx
x
(7) f n (x) =
, x ∈ [0, ∞).
1 + nx
(6) f n (x) =
(8) f n (x) =
x2
, x ∈ R.
1 + nx 2
(9) f n (x) =
x3
, x ∈ R.
1 + nx 2
(10) f n (x) = (x − 1/n)2 , x ∈ [0, 1].
2
e −x /n
, x ∈ R.
(11) f n (x) =
n
(12) f n (x) = nxe −nx , x ∈ [0, 1].
¡
¢n
(13) f n (x) = 1 + nx , x ∈ [0, 1].
(
|x| ≥ 1/n
1,
(14) f n (x) =
, x ∈ R.
n |x| , |x| < 1/n
(15) f n (x) =
(16) f n (x) =
(
1 − nx, 0 ≤ x ≤ 1/n
1/n < x ≤ 1
0,
(
nx,
0 ≤ x ≤ 1/n
n
n−1 (1 − x),
(17) f n (x) = n sin
³
.
xn
n
1/n < x ≤ 1
.
´
, x ∈ [0, 1].
(18) f n (x) = sin(x + n1 ), x ∈ R.
µ
¶
x2
(19) f n (x) = n ln 1 + 2 , x ∈ [−M , M ], M > 0 sabit.
n
Bölüm
2
Fonksiyon Serileri
2.1 Fonksiyon Serilerinde Yakınsama
Fonksiyon serileri, açık tarifini bilmediğimiz bir fonksiyonu yazmanın yeni bir yoludur. Fonksiyonları, seriler tarafından yazmanın örneğin diferansiyel denklem çözümlerinde (doğayı anlamada) müthiş faydası vardır.
f k : A → R olsun. Her n ∈ N için
n
X
f k (x)
s n (x) =
k=1
kısmi toplam dizisi olsun.
1. Eğer s n dizisi A kümesi üzerinde bir s fonksiyonuna noktasal olarak yakınsıyorsa,
n
X
s(x) = lim s n (x) = lim
n→∞
n→∞
f k (x) =
k=1
∞
X
f k (x),
x∈A
k=1
P∞
serisine A üzerinde s fonksiyonuna noktasal yakınsar deriz.
P
Bir serinin A kümesi üzerinde noktasal yakınsaması, her x ∈ A için, ∞
n=1 f n (x) sayı serisinin yakınsaması anlamına gelir.
P
2. Eğer s n dizisi A kümesi üzerinde s fonksiyonuna düzgün yakınsaksa, ∞
n=1 f n serisine A
üzerinde s fonksiyonuna düzgün yakınsar denir.
P∞
f fonksiyon serisi A üzerinde bir s fonksiyonuna noktasal olarak yakınsasın.
k=1 k
yazarız ve
n=1 f n
∞
X
R n (x) = s n (x) − s(x) =
f k (x),
x∈A
k=n+1
olarak tanımlayalım. O halde
lim R n (x) = 0,
n→∞
olur.
P∞
f
k=1 k
∀x ∈ A
d
fonksiyon serisinin A üzerinde düzgün yakınsamasının tanımı s n → s yani
lim ks n − sk A = 0
n→∞
33
34
BÖLÜM 2. FONKSIYON SERILERI
veya başka bir deyişle
lim kR n k A = 0
n→∞
olmasıdır.
Örnek 48.
P∞
n=1 x
n
geometrik serisinin
a) R,
b) (−1, 1),
c) 0 < a < 1 için [a, 1),
d) −1 < a < 0, için (−1, a],
e) 0 < a < 1 için [−a, a],
kümeleri üzerinde noktasal ve düzgün yakınsaklığını inceleyin.
Çözüm. Biliyoruz ki
∞
X
k
x =
k=0

1


 1−x ,
eğer |x| < 1
∞,


ıraksak,
eğer x ≥ 1
eğer x ≤ −1
a) Seri R üzerinde noktasal ve dolayısıyla noktasal olarak yakınsamaz.
b) Seri (−1, 1) aralığında noktasal yakınsar. Hatta mutlak noktasal yakınsar.
Bu yakınsamanın düzgün olmadığını üç farklı yoldan görelim.
Birinci yol. Kısmi toplam dizisi s N = 1+· · ·+x N , (−1, 1) üzerinde sürekli ve sınırlıdır (|s N | < N )
1
ama limit fonksiyonu olan 1−x
, (−1, 1) aralığında sınırlı değildir. Dolayısıyla yakınsama düzgün
olamaz.
İkinci yol. x ∈ (−1, 1) için
∞
X
R n (x) =
x k = x n+1
k=n+1
∞
X
xk =
k=0
x n+1
1−x
İki tarafında limitini alırsak
x n+1
=∞
x→1− 1 − x
lim R n (x) = lim
x→1−
olduğundan R n fonksiyonu (−1, 1) aralığında sınırsız yani kR n k(−1,1) = ∞ olur.
lim kR n k(−1,1) 6= 0
n→∞
olduğundan geometrik seri (−1, 1) aralığında düzgün yakınsamaz.
Üçüncü yol.
¯
n ¯¯
¯
kR n k ≥ ¯R n (
)¯
n +1
ve
¯
n
n ¯¯
¯
lim kR n k ≥ lim ¯R n (
)¯ = lim ¡
¢ =∞
n→∞ 1 + 1 n
n→∞
n→∞
n +1
n
2.1. FONKSIYON SERILERINDE YAKINSAMA
35
olduğunu göstererek de görebilirdik.
c) Yukarıdaki analiz, her 0 < a < 1 için [a, 1) aralığında kR n k = ∞ olduğunu ve bu yüzden
geometrik serinin düzgün yakınsamadığını gösterir.
d)
x n+1 (−1)n+1
=
lim R n (x) = lim
x→−1+
x→−1+ 1 − x
2
ve her n için kR n k(−1,a] ≥ 12 olur.
lim kR n k(−1,a] 6= 0
n→∞
olduğundan yakınsama düzgün olamaz.
e) 0 < a < 1 için [−a, a] kümesinde yakınsamanın düzgün olduğunu aşağıda verilen WeirstrassM testini kullanarak görebiliriz.
Geometrik serinin (−1, 1) aralığında mutlak noktasal yakınsadığına ama düzgün yakınsamadığına dikkat edelim.
Weirstrass-M Testi
¯
¯
P
Teorem 12 (Weirstrass-M Testi). Eğer her n ∈ N ve her x ∈ A için ¯ f n (x)¯ ≤ M n ve ∞
n=1 M n serisi
P∞
yakınsak ise n=1 f n (x) serisi A üzerinde düzgün yakınsar.
İspat. x ∈ A ise
¯
¯
¯
¯ X
∞
∞ ¯
∞
X
X
¯
¯
¯
¯ f k (x)¯ ≤
|R n (x)| = ¯
Mk = r n
f k (x)¯ ≤
¯ k=n+1
¯k=n+1
k=n+1
P
Yani kR n k A ≤ r n olur. ∞
n=1 M n serisi yakınsadığına göre r n → 0 yani kR n k A → 0 olur.
P
n
Örnek 49. ∞
n=1 x serisinin (−1, 1) aralığında düzgün yakınsak olmadığını görmüştük. Şimdi
sabit 0 < a < 1 için aynı
A = [−a, a] aralığı üzerinde düzgün yakınsadığını gösterelim.
° serinin
°
P
f n (x) = x n olsun. ° f n ° = a n ve a n < ∞ olduğundan Weirstrass-M testine göre seri A üzerinde düzgün yakınsaktır.
Fonksiyon Serilerinin Sürekliliği
Teorem 13. f n : A ⊂→ R olsun. Eğer her n ∈ N için f n sürekli ise ve s(x) =
yakınsaksa, s(x) fonksiyonu A üzerinde süreklidir.
P∞
n=1 f n (x) serisi düzgün
İspat. İspat iki sürekli fonksiyonun toplamının sürekli olması ve sürekli fonksiyonlar dizisinin
düzgün yakınsak limitinin sürekli olmasının sonucudur.
Örnek 50.
s(x) =
∞ cos n 2 x
X
nx
n=1 2
şeklinde tanımlanan f fonksiyonunun (0, ∞) aralığında sürekli olduğunu ispatlayın.
Çözüm. x = 0 için seri ıraksar. Dolayısıyla (0, ∞) aralığında serinin düzgün yakınsak olmasını
beklemiyoruz. Ama sürekliliği göstermek için buna gerek yok.
Serinin (0, ∞) aralığında sürekli olduğunu göstermek için, herhangi bir x = x 0 > 0 noktasında
sürekli olduğunu göstermek yeterlidir. 0 < a < x 0 olacak bir a vardır. [a, ∞) aralığında serinin
36
BÖLÜM 2. FONKSIYON SERILERI
düzgün yakınsak olduğunu gösterebilirsek, serinin [a, ∞) aralığında sürekli ve bu yüzden x =
x 0 ’da sürekli olduğunu göstermiş oluruz. Şimdi bunu görelim.
¯ cos nx ¯
1
¯
¯
¯ nx ¯ ≤ an ,
2
2
ve
∀x ≥ a
∞ 1
∞ µ 1 ¶n
X
X
=
an
a
n=1 2
n=1 2
P
1
ve 21a < 1 olduğundan ∞
n=1 2an serisi yakınsak bir geometrik seridir. Weirstrass-M testi uyarınca
P∞ cos nx
n=1 2nx serisi [a, ∞) üzerinde düzgün yakınsak olur.
Teorem 13 sonucu olarak eğer seri [a, b] üzerinde düzgün yakınsak ve x 0 ∈ [a, b] ise
∞
X
lim
x→x 0
f n (x) =
n=1
∞
X
n=1
lim f n (x)
x→x 0
olur. Burada x 0 = a ise limx→x0 ifadesini limx→a+ ve x 0 = b ise limx→x0 ifadesini limx→b− ile
değiştirmek gerekir.
Örnek 51.
lim
∞
X
x→1− n=1
x n − x n+1 6=
∞
X
lim (x n − x n+1 )
n=1 x→1−
olduğunu gösterin. Neden eşitlik yoktur?
Fonksiyon Serilerinin İntegrallenebilmesi
Teorem 14. Eğer her n için f n fonksiyonu [a, b] kümesi üzerinde Riemann-integrallenebilirse, ve
P∞
P∞
n=1 f n serisi [a, b] üzerinde düzgün yakınsaksa n=1 f n serisi [a, b] üzerinde Riemann-integrallenebilir
ve
¶
Z bµX
∞
∞ Z b
X
f n (x) d x =
f n (x)d x
a
n=1
n=1 a
olur.
Fonksiyon Serilerinin Türetilebilmesi
Aşağıdaki teorem, türev ve toplam sembollerinin yer değiştirebilmesinin koşullarını söyler.
Teorem 15. Her n ∈ N için f n : [a, b] → R fonksiyonları türetilebilir olsun. Eğer
P
0
• ∞
n=1 f n (x) serisi [a, b] aralığında düzgün yakınsak ise ve
P
• ∞
n=1 f n (x) serisini yakınsak yapan bir x = x 0 ∈ [a, b] varsa
P∞
n=1 f n (x) serisi [a, b] aralığında düzgün yakınsaktır ve her x ∈ [a, b] için türetilebilir. Ayrıca,
∞
∞ d
X
d X
f n (x) =
f n (x)
d x n=1
n=1 d x
olur.
2.2. ÖRNEKLER
37
İspat. Fonksiyon dizilerindeki ilgili teoremi kullanarak gösterin.
P
Uyarı 6. Yukarıdaki teoremde ikinci şartın daha güçlü olan ∞
n=1 f n (x) serisinin [a, b] aralığında
düzgün yakınsak olması şartıyla değiştirilebileceğine dikkat edin.
Uyarı 7. Bir fonksiyonun sınırsız bir I aralığı üzerinde türetilebilir olduğunu göstermek için, her
kapalı ve sınırlı K ⊂ I aralığı üzerinde türetilebilir olduğunu göstermek yeterlidir.
Örnek 52. Verilen fonksiyon serisinin yanında verilen A kümesi üzerinde türetilebilir olduğunu
gösterin.
1)
2)
∞
X
1
n=1
n2 + x2
, A = R.
∞ sin(nx 2 )
X
, A = R.
3
n=1 n + 1
∞
X
n=1
np
1
serisi hangi p değerleri için her x ∈ R noktasında türetilebilirdir?
+ x2
Çözüm. Birinci örnek için hem serinin kendisinin hem de türev serisi olan
∞ d
∞
X
X
1
1
=
−2x
2
2
2
2 2
n=1 d x n + x
n=1 (n + x )
serisinin R üzerinde düzgün yakınsak olduğunu göstermek yeterlidir. Serinin R üzerinde düzgün
yakınsak olduğunu görelim.
¯
¯
¯ f n (x)¯ ≤ 1 ,
∀x ∈ R
n2
P∞
P
1
1
olur. ∞
n=1 n 2 serisi p=2 serisi olduğundan yakınsaktır. Weirstrass-M testinden n=1 n 2 +x 2 serisinin R üzerinde düzgün yakınsak olduğu görülür.
¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
¯ 0 ¯ ¯ −2x ¯ ¯
¯ ¯ n2 + x2 ¯ ¯
¯ 1
2nx
1
¯ f (x)¯ = ¯
¯=¯
¯≤¯
¯=¯
¯
n
¯ (n 2 + x 2 )2 ¯ ¯ n(n 2 + x 2 )2 ¯ ¯ n(n 2 + x 2 )2 ¯ ¯ n(n 2 + x 2 ) ¯ ≤ n 3
P
P∞ 0
3
olur. ∞
n=1 1/n serisi p = 3 serisi olduğundan yakınsaktır. Weirstrass-M testinden n=1 f n (x) serisinin R üzerinde düzgün yakınsak olduğunu buluruz. Düzgün yakınsak serilerin türetilebilmesi
P
1
ile ilgili teorem uyarınca ∞
n=1 n 2 +x 2 serisi R üzerinde türetilebilirdir ve
∞
∞
X
d X
1
−2x
=
2
2
2
2 2
d x n=1 n + x
n=1 (n + x )
olur.
2.2 Örnekler
Örnek 53. Verilen serinin belirtilen aralık üzerinde düzgün yakınsaklığını inceleyin.
a)
∞
X
n=1
1
x2 + n
,x ∈R
3/2
b)
∞ cos nx
X
x ∈R
4
5
n=1 x + n
c)
∞
X
1
n=1
e n|x|
x ∈ [1, ∞)
38
BÖLÜM 2. FONKSIYON SERILERI
d)
∞ xn
X
, x ∈ [−R, R],
n=0 n!
g)
∞
X
n=1
Çözüm.
a) f n (x) =
xn
, x ∈ [2, ∞),
2 2n
n=1 1 + n x
∞
X
1
n2e
1
x 2 + n 3/2
M testinden çıkar.
e)
, x ∈ R,
n|x|
h)
f)
∞ cos nx
X
,x ∈R
n=1 n(n + 1)
∞
X
1
, x ∈ (−1, ∞)
n
n=1 1 + x
° °
1
P 1
olsun. ° f n °R = 3/2 ve
< ∞ olduğundan sonuç Weirstrassn
n 3/2
e)
¯
¯
¯ f n (x)¯ ≤
µ ¶n
xn
xn
1
≤ 2 2 ≤
2
2n
0+n x
1 x n
2
µ ¶n
1
yakınsak olduğundan sonuç Weirstrass-M testinden çıkar.
n=0
2
P∞
1
h) Eğer −1 < x ≤ 1 ise limn→∞ 1+x
n 6= 0 olduğundan seri yakınsamaz. Herhangi bir a > 1 için
eğer x > a > 1 ise
¯
¯
¯ 1 ¯
1
1
1
1
¯
¯
¯ 1 + xn ¯ = 1 + xn ≤ xn ≤ an =
1 − a1
olur ve Weirstrass-M testine göre seri [a, ∞) aralığında düzgün yakınsar. Dolayısıyla her x >
1 için noktasal yakınsar. Yani (1, ∞) aralığında noktasal yakınsaktır. Ama (1, ∞) aralığında
düzgün yakınsamaz. Görelim.
kR n k ≥
∞
X
1
k=n+1 1 + x
ve
k
≥
1
,
1 + x n+1
∀x > 1
1
1
=
n+1
x→1+ 1 + x
2
kR n k ≥ lim
Yani yakınsama düzgün değildir.
Bu serinin (−∞, −1) aralığında noktasal yakınsak olduğu da gösterilebilir. Bkz. N.E. ders
notları.
Örnek 54.
∞ 1
X
serisinin yakınsaklığını inceleyin. Bu seriye Riemann zeta fonksiyonu denir.
x
n=1 n
Çözüm. Seri bir p-serisidir ve p-serisinin özellikleri nedeniyle (−∞, 1] aralığındaki her x için
ıraksak, (1, ∞) aralığında ise yakınsak olur. a > 1 olsun. Her x ≥ a > 1 için
¯ ¯ ∞
∞ ¯ 1 ¯
X 1
X
¯ ¯≤
<∞
¯ x¯
a
n=1 n
n=1 n
olduğundan Weirstrass-M testi uyarınca seri [a, ∞) aralığında düzgün yakınsar.
Serinin (1, ∞) aralığında düzgün yakınsamadığını görelim. Her N ∈ N, N ≥ n + 1 ve her x ∈
(1, ∞) için
N
X
1
kR n k ≥ |R n (x)| ≥
x
k=n+1 k
2.2. ÖRNEKLER
39
olur. İki tarafında x → 1+ limitini alırsak
N
X
1
1
=
x
x→1+
k=n+1 k
k=n+1 k
kR n k ≥ lim
N
X
olur. İki tarafın bu sefer N → ∞ limitini alırsak, her n ∈ N için
N
∞ 1
X
X
1
=
=∞
N →∞
k=n+1 k
k=n+1 k
kR n k ≥ lim
buluruz. Son seri toplamının sonsuz olması harmonik serinin ıraksak olmasından kaynaklanır.
Örnek 55. Riemann zeta fonksiyonun her x > 1 için türetilebilir olduğunu gösterin ve türevini
bir seri olarak ifade edin.
Çözüm. x 0 > 1 olsun. O halde 1 < a < x 0 < b olacak şekilde a ve b sayıları vardır.
d 1
1
=
−
ln n
d x nx
nx
P
d 1
olduğuna dikkat edelim. Eğer ∞
n=1 d x n x serisinin [a, b] aralığında düzgün yakınsak olduğunu
P∞ 1
gösterebilirsek, n=1 n x serisinin aynı aralık üzerinde yakınsak olduğunu bir önceki örnek dolaP
1
yısıyla bildiğimizden, ∞
n=1 n x serisinin her x ∈ [a, b] için türetilebilir olduğunu ve
∞ 1
∞ d 1
∞
X
X
1
d X
−
=
=
ln n
d x n=1 n x n=1 d x n x n=1 n x
P
ln n
olduğunu göstermiş oluruz. Şimdi ∞
n=1 − n x serisinin [a, b] aralığında düzgün yakınsak olduğunu görelim.
¯
¯ ¯
¯
¯ 0 ¯ ¯ ln n ¯ ¯ ln n ¯ ln n
¯ f (x)¯ = ¯
¯≤¯
¯
∀x ∈ [a, b]
n
¯ nx ¯ ¯ na ¯ = na ,
P∞ ln n
n=1 n a serisinin yakınsak olduğunu görelim. Her δ > 0 için
ln n δ ln n ln n δ
nδ
1
=
=
≤
=
a
a
a
a
n
δn
δn
δn
δn a−δ
olur. Burada her y > 1 için ln y ≤ y olduğunu kullandık. Burada 0 < δ < a − 1 olacak şekilde seP
1
çersek, δ1 ∞
n=1 a−δ serisinin p = a − δ > 1 yakınsak serisi olduğunu görürüz. Karşılaştırma kriteri
P∞ nln n
P
ln n
uyarınca n=1 n a serisi de yakınsaktır. Weirstrass-M testi uyarınca ∞
n=1 − n x serisi [a, b] üzerinde düzgün yakınsak olur.
∞ −x n
X
serisinin |x| < 1 için noktasal olarak ln(1 − x) fonksiyonuna yakınsadın=1 n
ğını gösterin.
Örnek 56.
ii)
∞
X
(−1)n+1
n=1
iii)
i)
xn
serisinin |x| < 1 kümesinde ln(1 + x) fonksiyonuna yakınsadığını gösterin.
n
n x 2n+1
n=0 (−1) 2n+1
P∞
terin.
serisinin |x| < 1 kümesi üzerinde arctan x fonksiyonuna yakınsadığını gös-
40
BÖLÜM 2. FONKSIYON SERILERI
Çözüm. İlk serinin yakınsaklığını gösterelim. |x| < 1 olsun.
x
Z
ln(1 − x) = ln(1 − x) − ln 1 =
P∞
n=0 t
0
d
ln(1 − t )d t =
dt
x
Z
0
−1
dt = −
1−t
Z
0
∞
xµX
t
n
¶
dt
n=0
n
serisinin t ∈ [− |x| , |x|] aralığında düzgün yakınsaklığını biliyoruz. Düzgün yakınsak serilerde toplam sembolleri ve seri yer değiştirebildikleri için
Z
0
∞
xµX
t
n
¶
dt =
n=0
∞ Z
X
n=0 0
x
tnd t =
∞ xm
∞ x n+1
X
X
=
m=1 m
n=0 n + 1
olur.
Diğer örneklerin çözümü benzerdir.
P
x
Örnek 57. ∞
n=1 n(x+n) serisinin x ≥ 0 kümesi üzerinde düzgün yakınsaklığını inceleyin.
Çözüm. Serinin her M > 0 için, [0, M ] aralığında düzgün yakınsadığını Weirstrass-M testi ile
gösterin. Bu yüzden seri [0, ∞) üzerinde noktasal olarak yakınsar. (Niye?) Ama seri [0, ∞) üzerinde
düzgün yakınsamaz. Görelim. Her N ∈ N, N > n + 1 ve her x ∈ [0, ∞) için,
kR n k[0,∞) ≥
N
X
x
x
≥
k=n+1 k(x + k)
k=n+1 k(x + k)
∞
X
olur. İfadenin iki tarafında x → ∞ limiti alırsak,
kR n k[0,∞) ≥
N
X
1
k=n+1 k
kR n k[0,∞) ≥
∞ 1
X
k=n+1 k
ve ardından N → ∞ limiti alırsak
buluruz. Son seri harmonik serinin kuyruk kısmı olduğundan ıraksar. (Veya Cauchy sıklaştırma
P
P
teoremi, bize bu serinin karakteri ile ∞
2n 21n serisinin aynı karakterli olduğunu söyler. ∞
2n 21n =
k=n+1
k=n+1
∞ olduğundan sonuç çıkar.)
Yani limn→∞ kR n k[0,∞) 6= 0 olduğundan yakınsama [0, ∞) üzerinde düzgün olamaz.
Kaynakça
[Erg15] Nurettin Ergun, Analiz 3 notları, 2015.
41