5 ikinci mertebeden lineer dif. denklemlerin seri çözümleri

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF.
DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ
Bir lineer denklemin genel çözümünü bulmak homojen kısmın temel
çözümlerinin belirlenmesine bağlıdır. Sabit katsayılı diferansiyel denklemlerin
temel çözümlerinin yapısı verilmişti. Eğer değişken katsayılı diferansiyel
denklemlerin geniş sınıfı ile ilgilenmek istiyorsak, bildiğimiz elementer
fonksiyonların ötesinde, çözüm için araştırmamızı genişletmeye ihtiyacımız
vardır. Bunun temel aracı verilen fonksiyonu kuvvet serisine açarak temsil
etmektir. Belirsiz katsayılar yöntemine benzer olarak verilen diferansiyel
denklemin çözümünün kuvvet serisine açılımını düşünüp, denklemi sağlayacak
katsayıları belirlemek amacımız olacaktır.
Bu bölümde kuvvet serilerini kullanarak ikinci mertebeden katsayıları
bağımsız değişkenin fonksiyonu olan lineer diferansiyel denklemlerin temel
çözümlerinin yapısını inceleyeceğiz.
5.1 Kuvvet Serileri
Analizden bildiğiniz kuvvet serileri için gerekli bilgileri özetleyelim:
∞
1) Bir kuvvet serisi
an ( x − x0 )n ’ nin bir x noktasında yakınsak olması o
∑
n =0
noktada
m
lim ∑ an ( x − x0 )n
m →∞
n =0
nin var olmasıdır. Bu seri x = x0 ’da kesinlikle yakınsaktır. Bir
kuvvet
serisi x = x0 ’ın dışındaki her noktada yakınsak olmayabilir veya her
noktada yakınsak veya belli bir aralıkta yakınsak olabilir.
∞
2)
Eğer
a (x − x )
∑
n =0
n
0
∞
n
bir x noktasında yakınsak ise
an ( x − x0 )n
∑
n =0
serisine x noktasında mutlak yakınsak denir. Eğer seri mutlak yakınsak ise
yakınsaktır. Fakat tersi doğru değildir.
3) Bir kuvvet serisinin mutlak yakınsak olup olmadığını test etmenin en
kolay yollarından biri oran testini kullanmaktır. Eğer an ≠ 0 ve sabit bir
x değeri için
a ( x − x0 ) n +1
a
lim n +1
= x − x0 lim n +1 = L
n
n →∞
n →∞ a
an ( x − x0 )
n
ve L < 1 ise seri mutlak yakınsak. L > 1 ise ıraksaktır. L = 1 ise serinin
yakınsak
olup olmadığı hakkında bir şey söyleyemeyiz.
∞
Örnek:
(−1)
∑
n =1
n +1
n 2 ( x − 3) n serisi yakınsak mıdır?
2
(−1) n + 2 (n + 1) 2 ( x − 3) n +1
⎛ n +1⎞
lim
= x − 3 lim ⎜
⎟ = x−3
n
n
+
1
2
n →∞
n →∞
(−1) n ( x − 3)
⎝ n ⎠
eğer
x − 3 < 1 ise yani 2 < x < 4 ise seri mutlak yakınsak, x − 3 > 1 ise
seri ıraksaktır. x − 3 = 1 ise yani x = 2 ve x = 4 ’de
terim sıfıra gitmediğinden seri ıraksaktır.
n → ∞ için genel
∞
4)
an ( x − x0 )n
∑
n =0
serisi x = x1 noktasında yakınsak ise x − x0 < x1 − x0 ’da
mutlak yakınsak, x = x1 noktasında ıraksak ise
x − x0 > x1 − x0 ’da
ıraksaktır.
∞
5)
an ( x − x0 )n
∑
n =0
serisi x − x0 < ρ için mutlak yakınsak, x − x0 > ρ için
ıraksak olacak şekilde negatif olmayan bir ρ sayısı vardır. Buna
yakınsaklık yarıçapı denir. Eğer seri yalnız x = x0 ’da yakınsak ise ρ = 0
olarak tanımlanır. Eğer seri her x için yakınsak ise ρ = ∞ denir. Eğer
ρ > 0 ise
x − x0 < ρ
aralığına
yakınsaklık aralığı denir.
∞
Örnek:
( x + 1) n
∑
n
n =1 n 2
serisinin
yakınsaklık yarıçapını belirleyiniz.
Oran testini uygularsak
x +1
( x + 1) n +1
n2n
⎛ n ⎞ x +1
lim
⋅
=
lim ⎜
⎟=
n
+
1
n
n →∞ ( n + 1)2
( x + 1)
2 n→∞ ⎝ n + 1 ⎠
2
elde edilir. Buna göre x + 1 < 2 , yani −3 < x < 1 için seri mutlak yakınsak,
x + 1 > 2 için ise seri ıraksaktır. Serinin yakınsaklık yarıçapı ρ = 2 dir.
∞
Uç noktaları incelersek
x = −3 ’de seri
∞
yakınsaktır. x = 1 ’de seri
1
∑
n =1 n
(−1) n
olur ki bu seri
∑
n
n =1
olur ki bu seri ıraksaktır. Buna göre
−3 ≤ x < 1 için seri yakınsaktır. Bu aralığın dışında seri ıraksaktır.
−3 < x < 1 ise seri mutlak yakınsaktır.
Eğer, ρ > 0 ve
∞
x − x0 < ρ için
an ( x − x0 )
∑
n =0
∞
n
ve
bn ( x − x0 ) n
∑
n =0
sırasıyla f ( x) ve g ( x) fonksiyonlarına yakınsıyorsa x − x0 < ρ için;
6) Seriler terim-terime toplanıp, çıkarılabilir ve
∞
f ( x) ± g ( x) = ∑ (an ± bn )( x − x0 )n
n =0
dır.
7) Seriler formel olarak çarpılabilir ve
⎡∞
⎤⎡ ∞
⎤ ∞
f ( x) g ( x) = ⎢ ∑ an ( x − x0 ) n ⎥ ⎢ ∑ bn ( x − x0 )n ⎥ = ∑ cn ( x − x0 ) n
⎣ n =0
⎦ ⎣ n =0
⎦ n=0
dir. Burada cn = a0bn + a1bn −1 + " + anb0 dır. Hatta eğer g ( x0 ) ≠ 0 ise
seriler bölünebilir ve
f ( x) ∞
= ∑ d n ( x − x0 )n
g ( x) n =0
dır. Çoğu durumda d n
∞
∞
⎡∞
⎤
n⎤⎡
an ( x − x0 ) = ⎢ ∑ d n ( x − x0 ) ⎥ ⎢ ∑ bn ( x − x0 ) n ⎥
∑
n =0
⎣ n =0
⎦ ⎣ n =0
⎦
n
∞
⎛ ∞
⎞
= ∑ ⎜ ∑ d nbn − k ⎟ ( x − x0 )n
⎠
n =0 ⎝ n = 0
bağıntısından kolayca elde edilir.
8)
f fonksiyonu, x − x0 < ρ aralığında sürekli ve her mertebeden türeve
sahiptir. Hatta f ′, f ′′,... seri terim-terime türetilerek hesaplanabilir.
Yani,
f ′( x) = a1 + 2a2 ( x − x0 ) + " + nan ( x − x0 ) n −1 + "
∞
= ∑ nan ( x − x0 )n −1
n =1
f ′′( x) = 2a2 + 6a3 ( x − x0 ) + " + n(n − 1)an ( x − x0 ) n − 2 + "
∞
= ∑ n(n − 1)an ( x − x0 )n − 2
n=2
dir ve her seri x − x0 < ρ aralığında mutlak yakınsaktır.
9)
an ’nin değeri,
f ( n ) ( x0 )
n!
f
ile verilir. Bu seriye x = x0 ’da fonksiyonunun Taylor serisi denir.
an =
∞
10)
Eğer her x için
∞
an ( x − x0 ) = ∑ bn ( x − x0 ) n
∑
n =0
n =0
n
an = bn , n = 0,1,... dir. Özel olarak her x için
ise
∞
an ( x − x0 ) n = 0
∑
n =0
ise a0 = a1 = " = an = " = 0 dır.
Bir f fonksiyonu x = x0 ’da Taylor serisine açılıyorsa
∞
f ( x) = ∑
n =1
f ( n ) ( x0 )
( x − x0 )n ,
n!
x − x0 < ρ
dır ve x = x0 ’da f ‘ye analitiktir denir. 6. ve 7. maddelere göre, eğer f ve
g,
x = x0 ’da
analitik ise f ± g, f ⋅ g ve
f
g
( g(x0 ) ≠ 0)
fonksiyonları da
x = x0 ’da analitiktir.
Bir seride toplam indisi, integrasyon değişkeninde olduğu gibi yapma
(taklit) değişkendir. Yani
∞
2n x n ∞ 2 j x j ∞ 2k x k
=∑
=∑
∑
n =1 n !
j =1 j !
k =1 k !
aynı toplamı ifade eder.
∞
Örnekler: 1)
an x n
∑
n =3
serisini n = 0 ’dan başlatarak yazınız.
m = n − 3 diyelim. n = m + 3 dür ve m ’nin sıfırdan başlaması n ’nin üçten
başlaması ile aynıdır. Buna göre
∞
∞
an x = ∑ am+3 x m+3
∑
n =3
m=0
n
dır. İndisler yapma değişkenler olduğundan m yerine n yazabiliriz. Buna göre
∞
∞
n =3
n =0
∑ an xn = ∑ an+3 xn+3
dır.
∞
2)
n(n + 1)an ( x − x ) n −2
∑
n=2
0
serisini
( x − x0 )n terimine göre yazınız.
n terimini n + 2 kadar ötelersek
∞
(n + 2)(n + 3)an + 2 ( x − x ) n
∑
n =0
0
yazarız.
∞
3) x
(r + n + 1)an x r + n +1
∑
n =0
serisini
x r + n terimine göre yazınız.
∞
x ’i içeri alırsak seri
(r + n + 1)an x r + n+ 2
∑
n =0
∞
olur. İndisi iki düşürürsek
(r + n − 1)an −2 x r + n
∑
n =2
elde edilir.
4) sin x ’i x0 = 0 ’da, ln x ’i x0 = 1 ’de Taylor serilerine açınız ve yakınsaklık
yarıçaplarını bulunuz.
f ( x) = sin x
π⎞
⎛
f ′( x) = cos x = sin ⎜ x + ⎟
2⎠
⎝
π⎞
π⎞
⎛
⎛
f ′′( x) = cos ⎜ x + ⎟ = sin ⎜ x + 2 ⎟
2⎠
2⎠
⎝
⎝
"""""
π⎞
⎛
f ( n ) ( x) = sin ⎜ x + n ⎟
2⎠
⎝
⎧0 , n = 2 k
⎛ π⎞ ⎪
(n)
f (0) = sin ⎜ n ⎟ = ⎨1 , n = 4k + 1
⎝ 2⎠ ⎪
⎩−1 , n = 4k + 3
k = 0,1, 2,...
∞
∑
n=0
f ( n ) (0)
x2
x3
xn
( x − 0) n = f (0) + f ′(0) x + f ′′(0) + f ′′′(0) + " + f ( n ) (0) + "
n!
2!
3!
n!
= 0 + 1⋅ x + 0 ⋅
x2
x3
+ (−1) + 0 + "
2!
3!
(−1) n 2 n +1
=∑
x
n = 0 (2n + 1)!
∞
(−1) n +1 x 2 n +3 (2n + 1)!
1
⋅
= x 2 lim
=0
n
2
n
+
1
n →∞
n →∞ (2n + 2)(2n + 3)
(2n + 3)! (−1) x
∀x ∈ \ için seri yakınsaktır. Yani ρ = ∞ dur.
lim
(−1) n 2 n +1
x
n = 0 (2n + 1)!
∞
sinx = ∑
g ( x) = ln x
1
g ′( x) = = x −1
x
g ′′( x) = −1 ⋅ x −2
g ′′′( x) = 1⋅ 2 ⋅ x −3
"""""
g ( n ) ( x) = (−1) n +11⋅ 2 ⋅" (n − 1) x − n
g ( n ) (1) = (−1) n +1 (n − 1)!
∞
g ( n ) (1)
(−1) n +1 (n − 1)!
n
(
x
−
1)
=
g
(1)
+
( x − 1) n
∑
∑
n
!
n
!
n=0
n =1
∞
1
= ∑ (−1) n +1 ( x − 1) n
n
n =0
∞
(−1) n + 2 ( x − 1) n +1
n
n
lim
⋅
= x − 1 lim
= x −1
n +1
n
n →∞
n
→∞
n +1
n +1
(−1) ( x − 1)
x − 1 < 1 aralığında seri mutlak yakınsak, ρ = 1 yakınsaklık yarıçapıdır.
∞
5)
nan x
∑
n =1
n −1
∞
+ 2∑ an x n = 0 denklemini sağlayan an katsayılarını
n =0
∞
belirleyiniz.
an x n
∑
n =0
serisini temsil eden fonksiyonu bulunuz.
∞
∞
(n + 1)an+1 x = ∑ −2an x n
∑
n =0
n =0
n
(n + 1)an +1 = −2an
an +1 =
−2
an
(n + 1)
n = 0,1, 2,...
n = 0,1, 2,...
a1 = −2a0 , a2 = ( −2) 2
∞
a0
a
a
, a3 = (−2)3 0 , ... , an = (−2) n 0 , ...
n!
2!
3!
∞
2n
an x = ∑ (−1)
a0 = a0e−2 x
∑
n!
n =0
n =0
n
n