Sunum 6

SERİLER
an bir reel sayı dizisi olmak üzere;
+….+
+……..
sonsuz toplamına seri denir. (
genel terimi belirtmektedir)
Serinin ilk n terimi toplamı olan Sn,
serinin n.kısmi toplamıdır ve Sn= (S1, S2, …, Sn, …) şeklinde ifade ettiğimiz diziye de kısmi toplamlar
dizisi denir. Bir serinin kısmi toplamlar dizisi yakınsak ise seri yakınsak aksi halde ıraksaktır.
1) limn→∞Sn = a
ise seri yakınsak ve lim an = 0’dır. [ Bu serinin sonulu olduğunu gösterir.]
2) lim an ≠ 0 ise (an dizisi sıfıra yakınsamıyorsa) limn→∞Sn = ±∞ olur seri ıraksaktır.
3) limn→∞Sn = a
limitine serinin toplamı denir.
NOT: lim an = 0 olması,
serisinin daima yakınsak olmasını gerektirmez.
SERİLERDE YAKINSAKLIK VE IRAKSAKLIK ÖZELLİKLERİ
1)
YAKINSAK ise
2)
ve
de YAKINSAKTIR. (c: sabit)
serileri YAKINSAK ve toplamları sırasıyla a ve b ise
de YAKINSAKTIR ve toplamı a+b’dir.
3) Bir serinin sonlu sayıda terimini kaldırmakla serinin karakteri değişmez.
ÖZEL SERİLER
1- ARİTMETİK SERİ
bir aritmetik dizi ise;
+
+…+
+….. bir aritmetik seridir.
→ n.kısmi toplamı
2- GEOMETRİK SERİ
bir geometrik dizi ise
→ geometrik seridir.
→ n.kısmi toplamı
i)
< 1
ii)
Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen Keser
olur. Seri yakınsaktır.
olur. Seri ıraksaktır. Limiti yoktur, seri toplamı bulunamaz.
Matematik I
3- HARMONİK SERİ
d≠0 olmak üzere,
+
+……
daima ıraksaktır.
4- p – SERİSİ p SABİT OLMAK ÜZERE ,
p > 1 → seri yakınsak
p < 1 → seri ıraksak
p=1→
→ harmonik seridir ve hep ıraksaktır.
SERİLERDE YAKINSAKLIK – IRAKSAKLIK TESTLERİ
Serilerin yakınsaklığını ve ıraksaklığını ölçmede bazı testlerden faydalanılabilir.
1- KARŞILAŞTIRMA TESTİ
ve
pozitif terimli iki seri olsun;
belirli bir n=n0 değerinden sonra,
0
an
i)
ii)
bn ise
serisi yakınsak ise,
serisi daima yakınsaktır. Bir diğer deyişle, büyük seri
yakınsak ise küçük seri de yakınsaktır.
serisi ıraksak ise,
serisi de ıraksak olur. Bir diğer deyişle, küçük seri ıraksak
ise büyük seri de ıraksaktır.
2- D’ALEMBERT TESTİ
serisi verilsin. Bu test dizinin ardışık iki teriminin oranının mutlak değerine dayanmaktadır.
olsun,
i)
A < 1 → seri yakınsaktır
Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen Keser
Matematik I
ii) A > 1 → seri ıraksaktır
iii) A = 1 → seri ne yakınsak ne ıraksaktır (belirsizdir. HAKKINDA BİRŞEY SÖYLENEMEZ)
3- CAUCHY (n.KÖK) TESTİ
Bu test
şeklinde pozitif terimli bir serinin karakterini belirlemek için aşağıdaki adımlar takip
edilerek uygulanır.
i) L < 1 → seri yakınsaktır
ii) L > 1 → seri ıraksaktır.
iii) L = 1 → seri belirsizdir.
4- POLİNOM TESTİ
şeklinde verilen serilerin yakınsak yada ıraksak yapısını belirlemek için kullanılan bir testtir. Bu
testte paydanın derecesi ile payın derecesinin farkına bakılır.
q-p > 1 → seri yakınsak aksi halde ıraksaktır.
Bu testte iki özel durum vardır:
i)
yakınsak ise
ii)
dır.
ise
ıraksaktır.
ALTERNATİF SERİLER KARAKTERLERİNİN İNCELENMESİ
Terimleri sırasıyla bir negatif bir pozitif olan serilere alternatif seriler denir.
Alternatif serilerin en önemli özelliği; terimlerin mutlak değerleri azalan ve genel teriminin
limiti 0 (sıfır) olan bir alternatif seri yakınsaktır. Buna Leibnitz Kuralı denir.
ve
yakınsak olur.
KUVVET SERİLERİ
c0 , c1, c2, … reel sabitler olmak üzere,
Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen Keser
Matematik I
şeklindeki verilere (x-c)’nin kuvvet serisi adı verilir. Kuvvet serilerinin yakınsaklık yada
ıraksaklık durumunu belirlemek için D’ALEMBERT testi uygulanır. X’in alabileceği değerlere
göre yakınsak yada ıraksak olurlar.
RAABE TESTİ
şeklinde pozitif terimli serisi için,
olsun.
i)
ii)
iii)
L > 1 → seri yakınsaktır.
L < 1 → seri ıraksaktır.
L = 1 → karar verilemez.
Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen Keser
Matematik I