topolojideki modal tanımlanabilirlik üzerine

EGE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
(YÜKSEK LİSANS TEZİ)
TOPOLOJİDEKİ MODAL TANIMLANABİLİRLİK
ÜZERİNE
Okan AÇIKSÖZ
Matematik Anabilim Dalı
Bilim Dalı Kodu: 403. 05. 01
Sunuş Tarihi: 09. 05. 06
Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Tahsin ÖNER
Bornova - İZMİR
Okan AÇIKSÖZ tarafından yüksek lisans tezi olarak sunulan
“Topolojideki Modal Tanımlanabilirlik Üzerine” başlıklı bu çalışma
E.Ü. Lisansüstü Eğitim ve Öğretim Yönetmeliği ile
E.Ü. Fen
Bilimleri Enstitüsü Eğitim ve Öğretim Yönergesi’nin ilgili hükümleri
uyarınca tarafımızdan değerlendirilerek savunmaya değer bulunmuş
ve 09.05.2006 tarihinde yapılan tez savunma sınavında aday oybirliği
ile başarılı bulunmuştur.
Jüri Üyeleri:
İmza
Jüri Başkanı : Yrd. Doç. Dr. Tahsin ÖNER
.................................
Raportör Üye: Prof. Dr. Mehmet TERZİLER
.................................
Üye
: Yrd. Doç. Dr. Murat ATMACA .................................
ÖZET
TOPOLOJİDE MODAL TANIMLANABİLİRLİK
AÇIKSÖZ, Okan
Yüksek Lisans Tezi, Matematik Bölümü
Tez Yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. Tahsin ÖNER
MAYIS 2006, 79 sayfa
Bu tez temel olarak, topolojik uzaylar üzerinde modal lojiğin
yorumlanması durumundaki tanımlanabilirlik ile ilgilidir. GoldblattThomason teoreminin bir topolojiksel benzeri ispatlanmış. Bazı yeni
topolojik yapılar tanıtılmıştır. Bunlardan biri olan kompakt genişleme
kavramı, topolojide bilinen Stone-Čech kompaktifikasyonu fikrinin bir
genellemesidir. Uygun topolojik operatörlere göre modal geçerliliğin
korunması sunulmuştur.
Anahtar Kelimeler: Modal Lojik, semantikler, topoloji,
tanımlanabilirlik.
ABSTRACT
MODAL DEFINABILITY IN TOPOLOGY
AÇIKSÖZ, Okan
Master thesis in Mathematics Department
Supervisor: Yrd. Doç. Dr. Tahsin ÖNER
MAY 2006, 79 pages
This thesis is mainly concerned with the definability issue when
modal logic is interpreted on topological spaces. A topological analogon
of Goldblatt-Thomason theorem is proved. Some new topological
constructions are introduced. One of them, namely the notion of compact
extension, is a generalization of the concept of Stone-Čech
compactification known in topology. The preservation of modal validity
with respect to suitable topological operations is presented.
Keywords: Modal Logic, semantics, topology, definability.
TEŞEKKÜR
Bu çalışma süresince gerekli kaynakların sağlanmasında yardımcı
olan, görüşleriyle beni yönlendiren sayın Yrd. Doç. Dr. Tahsin Öner'e
teşekkür ederim.
İÇİNDEKİLER
Sayfa
I. GİRİŞ ..................................................................................................1
II. ÖN BİLGİLER ..................................................................................4
1. ALEXANDROFF TOPOLOJİSİ ......................................................15
1.1. Alexandroff Topolojilerinin Betimlemeleri ...................................15
1.2. Ön Sıralı Kümelerde Düalite ..........................................................18
1.3. Bir Topolojik Uzay Üzerindeki Özelleştirilmiş Ön Sıralama.........18
1.4. Ön Sıralamalarla Alexandroff Topolojileri Arasındaki Denklik.....19
1.5. Monotonluk ve Sürekliliğin Denkliği .............................................19
1.6. Düalitenin Kategorik Betimlemesi..................................................20
1.7. Modal Çatılardan Model Cebirlerin İnşasına Bağlantı ...................22
2. TOPOLOJİK SEMANTİKLER VE TAMLIK ..................................23
2.1. Ön Bilgiler .......................................................................................23
2.2. Çatılar ve Tamlık ............................................................................29
2.3. Topolojik Tamlık ............................................................................32
3. TANIMLANABİLİR UZAYLAR .....................................................36
3.1. Geçerliliği Koruyan Operatörler .....................................................37
3.2. İç Cebirler .......................................................................................47
3.3. Topolojik Goldblatt-Thomosan Teoremi .......................................54
4. DİĞER SONUÇLAR ........................................................................59
4.1. Dili Zenginleştirme ........................................................................59
4.2. Kompaktlık ve Kompaktifikasyonlar .............................................65
5. SONUÇ .............................................................................................75
KAYNAKLAR .....................................................................................76
ÖZGEÇMİŞ .........................................................................................79
I. GİRİŞ
Bu çalışmada modal lojiğin topolojik semantikleri incelenmiştir.
Modal diomand operatörü bir kapanış operatörü olarak yorumlanmıştır.
Modal diamond'ın bir topolojik uzay üzerinde bir operatör olarak çeşitli
yorumları mümkündür. Bunlardan ikisi olan kapanış operatörü olarak
diamond ve limit operatörü olarak diamond modal lojiğin semantiklerine
[McKinsey ve Tarski, 1944] den beri öncülük etmektedirler. S4 (ün
genişlemeleri) gibi iyi-bilinen modal sistem(ler)i için tamlık sonuçlarını
ispatlayarak, topolojik semantiklerdeki ispatlar daha kullanışlı hale
getirilmiştir. Bununla beraber, artık Modal Lojik için Kripke semantikleri
olarak bilinenin keşfedilmesinden sonra, topolojiksel yorumları gölgede
bırakarak, ağırlıklı olarak modal semantik araçların kullanılması gelir. Bu
muhtemelen Kripke semantiklerinin daha sezgisel ve açıklayıcı
doğasından kaynaklanır. Topolojik uzayların temel seviyede bile epeyce
gizemli olabilmelerinden ötürü, çatılar üzerinde düşünmek ve çalışmak
daha basittir. Yine de topolojik yapılar ardındaki uzaysal sezgiler, modal
lojik üzerinde epeyce şaşırtıcı bir görüş ispatlar, ve uzaylarla ilgili
düşünmek için iyi bir orta yol doğurur. Bu, iki olası yaklaşımı özetler. Bir
yaklaşım, modal lojikten türer. Abstract syntactic varlıklar gerçekleştirme
için, modal lojik gibi formal teoriler anlam ararlar. Cam Boncuk Oyunu
hepsinden öte, üzerinde oynanmak için bir zemine ihtiyaç duyar.
Topoloji, modal lojik için böyle bir zemindir. Diğerlerinin arasındadır,
fakat ilk ve tektir. Uzayın tekrar tecrübesi insanlara uzaysal sezgiler
bağışladı ve onlara topolojinin doğumu için zaman verdi. Topoloji, modal
lojiğe bir anlam verdi. Abstract syntactic nesneler bazı uzaysal
fenomanyaları gösterir ve aynı modal semboller altında ifade edilebilen
2
sonuçları resmetmek için sezgilerimizi tetikler. Bu nedenle ilk yaklaşım
kabaca, modal lojiğin topolojiksel dekorasyonudur. İkinci yaklaşım
uzaysal düşünmekten türer. Uzaylar hakkında düşünmek için uygun dil
nedir? En azından en ilgili topolojiksel özellikleri kodlamak için yeterince
zengin bir kaynağa sahip olmak istiyoruz. Uzayı ne çeşit lojiksel
kuralların yönettiğini anlamak istiyoruz. Düşünmek için formal bir
sisteme ihtiyacımız var. Sonuçlanan sistem aynı zamanda şeffaf, karar
verebilir, sonlu olarak erişilebilir, kısaca-bir yönün ya da başkasının
altında mümkün olmalıdır. Altın oran nerededir? Diğerlerinin arasında bu
görevi tamamlamak için modal lojik devreye girer. Bölgeler ya da metrik
uzaylar, Öklid uzayları, bağlantılı uzaylar, v.s. ve aralarındaki ilişkiler
hakkında düşünmek istiyor olmalıyız. Modal lojik, formal düşünmenin
açık, erişilebilir bir paradigmasını ve dilin etkileyici (anlamlı) gücünün
hoş-akordu için büyük bir esnekliği + belirli uzaysal ihtiyaçları
karşılamak için açıklama getirmeyi teklif eder. İkinci yaklaşım genel bir
ifade ile topolojik uzaylar için bir düşünme aracı olarak modal lojiği
almaktır. Bu iki akarsu adamakıllı etkileşirler. Tabi ki kesin olarak
birbirlerinden ayrılamazlar, ama modal lojiğin topoloji ile buluştuğu her
çalışma bu kategorilerden eğer ikisine de ait değilse, birisine ait olarak
sınıflandırılabilir. Örneğin [McKinsey ve Tarski 1944], [Shehtman 1999],
[Mints 1998], [Bezhanishvili and Gehrke 2001] gibi işler bu
kategorilerden daha çok ilkine düşerlerken, [Goldblatt 1980], [Shehtman
1983], [Aiello and van Benthem 2001] çalışmaları daha çok ikinciye
aiittir. Bu çalışmayı sınıflandırmayı okuyucuya bırakıyoruz. Bu tezin
başlıca katkısı topolojik Goldblatt-Thomason teoremidir. Bu teorem “Ne
çeşit topolojik uzaylar temel modal dilde bir modal formül tarafından
tanımlanabilirdir?” sorusunu cevaplar. Bu sonuca yaklaşmak amacı ile bir
çatı için ultrasüzgeç genişlemelerinin topolojiksel bir benzeri olarak
3
Alexandroff genişlemeleri diye adlandırılan yapıyı geliştirdik. Bir başka
ilginç yapı olan kompakt genişlemeyi de tanıttık. Bu iki yapı birbirlerine
sıkıca bağlı olarak ortaya çıkarlar. Aynı zamanda, ikinci yapı iyi-bilinen
Stone-Čech kompaktifikasyonunun topolojiksel fikrinin genellemesi iken,
ilk yapı tezin başlıca sonucu içinde önem taşır.
Sonuç olarak, modal olarak ifade edilebilen topolojiksel
özelliklerin, uygun topolojik dönüşümler altında değişmezliği ile tezde
içerilenler özetlenir.
Bu materyal sıradaki şekilde organize edilmiştir. Gerekli
önbilgiler verildikten
sonra, ilk
kısımda
Alexandroff uzaylarını
değiniyoruz, ikinci kısımda hem lojik hem de topolojiden gerekli olan
tanımları veriyor, modal diomand'ı bir kapanış operatörü olarak
yorumlayacak semantikleri tanıtıyor, topolojiksel semantiklere göre S4 ün
sağlamlığı ve kuvvetli tamlığı ispatlıyor ve Kripke çatıları ile Alexandroff
topolojileri arasında bir köprü inşaa ediyoruz, üçüncü kısımda
tanımlanabilirlik sonucuna değiyoruz, bu kısmın temel amacı olan bir
topolojiksel Goldblatt Thomason teoremini ispatlamak için topolojik
uzaylar üzerinde dört temel operatör geliştiriyor ve cebirsel dualiteyi
hazırlıyoruz; dördüncü kısımda çeşitli zenginleştirilmiş diller tartışılıyor,
Stone-Čech kompaktifikasyonu fikrinin genellemesi sunuluyor ve önceki
kısımların sonuçları topolojiksel değişmezliğe göre özetleniyor.
4
ÖN BİLGİLER
Burada tezin okunabilirliğini kolaylaştırmak için bazı tanım ve
kavramlar verilmiştir (Chagrov et al. , 1997; Rybakov, 1997).
Klasik Lojik
Her muhakemenin doğru ya da yanlış olduğu varsayımına dayalı
en basit muhakeme modelini temsil eden bir lojiktir. Diğer lojiklerin çoğu
bu lojik tarafından kapsanır ya da dili yeni bağlaçlarla zenginleştirilerek
onun üzerine inşaa edilir.
L aşağıdaki sembollerden oluşan belirli bir önermesel dil olsun:
(a) Önerme değişkenleri : p0 , p1 , ... ;
(b) Önerme sabiti
: ⊥ (yanlışlık);
(c) Önerme bağlaçları
:∧,∨,→,¬;
(d) Ayraçlar
:(,).
5
L nin formülleri , veya L - formüller, aşağıdaki gibi tanımlanır:
(1) L deki tüm değişkenler ve ⊥ sabiti birer L - formüldür ;
(2) ϕ ve ψ L - formüller ise ϕ ∧ ψ, ϕ ∨ ψ, ϕ → ψ, ¬ ϕ ler de
L - formüllerdir.
(3) L deki sembollerin bir dizisi bir formüldür eğer ve yalnız eğer bu dizi
(1) ve (2) nin sonlu kez uygulanmasının bir sonucudur.
Önerme değişkenleri p, q, ... ve indislileri ve formüller de ϕ, ψ, ...
ile gösterilecektir. L deki tüm değişkenlerin kümesi VarL ve L deki tüm
formüllerin kümesi de ForL ile gösterilir.
Türetim Kuralları
Modus Ponens: ϕ ve ϕ → ψ den ψ türetilebilirdir.
Substitution: ϕ den bir ϕs türetilebilirdir; burada bir s substitutionu,
VarL den ForL ye bir dönüşümdür ve
tümevarımla tanımlanır: Her p∈VarL
ϕs , ϕ nin inşaası üzerine
için ps = s(p) ; ⊥s = ⊥ ; Ө
∈ {∧ , ∨ , →} olmak üzere (ϕ Ө ψ)s = ϕs Ө ψs ve (¬ ϕ)s = ¬ ϕs dir.
Burada L dilindeki bir lojik, Modus Ponens ve substitution türetim
kurallarına kapalı herhangi bir L ⊆ ForL kümesidir.
6
Modal Lojikler
“İspatlanabilirdir”,
“gereklidir”,
“zorunludur”
v.d.
gibi
operatörleri içerecek türde modalize edilmiş önermeler modal lojiğin
konusudur.
Önermesel modal dili ML, L ye yeni bir 1- li  bağlacının
eklenmesiyle elde edilir. Tüm ML formüllerinin kümesi ForML ve ML
deki tüm değişkenlerin kümesi de VarML ile gösterilir. 1-li ◊ bağlacı
 ın duali olarak tanımlanır, yani her ϕ ∈ ForML için ◊ϕ = ¬ ¬ ϕ dir.
 gereklidir ve ◊ olasıdır olarak okunur, sırasıyla bunlara gereklidir ve
olabilirlik operatörü denir.
Klasik lojikte olduğu gibi her önermenin ya doğru ya da yanlış
olduğu varsayılacaktır. Örneğin, “Su 80ºC de kaynar” önermesini yanlış
olarak değerlendirmek doğaldır. Ancak bu önermenin yaşadığımız
dünyada yanlış olduğunu söylemek daha doğru olacaktır; fakat bu
önermenin başka koşullarda doğru olduğu düşünülebilir. Bu önermenin
doğru olduğu dünyaya bir alternatif veya olası dünya denilebilir.
Alternatiflik bağıntısı R ile gösterilir ve buna göre xRy y nin x
için bir alternatif dünya olduğunu ifade eder. Bir ϕ modal önermesi
ϕ , x e alternatif tüm dünyalarda doğru ise bir x dünyasında doğru olarak
kabul edilir.
7
Bir modal lojik modus ponens ve substitution kuralları altında
kapalı olan ve tüm klasik totolojileri içeren, herhangi bir modal formüller
kümesidir.
Modal Çatılar ve Modeller
Bir modal Kripke Çatı
=⟨W,R⟩ , boş olmayan bir W
kümesinden ve W üzerindeki keyfi bir 2-li R bağıntısından oluşur. xRy
ise y ye x den ulaşılabilirdir veya x, y yi görür denir.ML belirli bir
önermesel dil olsun. ML nin =⟨W,R⟩ deki bir υ valuasyonu VarML
den 2W ya bir dönüşümdür.
ML nin bir Kripke modeli bir M=⟨,υ⟩ ikilisidir. x, de bir
nokta olsun ϕ nin oluşumu üzerinde tümevarımla bir (M,x)╞ ϕ doğruluk
bağıntısı şöyle tanımlanabilir:
•
(M,x) p ⇔ ∀p∈VarML için x∈υ(p) dir,
•
(M,x) ϕ ∧ ψ ⇔ (M,x) ϕ ve (M,x) ψ dir,
•
(M,x) ϕ ∨ ψ ⇔ (M,x) ϕ veya (M,x) ψ dir,
•
(M,x) ϕ → ψ ⇔ (M,x) ϕ ise (M,x) ψ dir,
•
(M,x) ⊥ ,
8
•
(M,x) ¬ ϕ ⇔ (M,x) ϕ ,
•
(M,x) ϕ ⇔ ∀y∈W, xRy, (M,y) ϕ dir,
•
(M,x) ◊ϕ ⇔ ∃y∈W, xRy, (M,y) ϕ dir.
(M,x) ϕ yerine daha yalın olarak x ϕ yazılır.
Bir formül modelin her noktasında doğru ise o zaman bu noktaya
çatıda geçerlidir denir. Bir formülün bir çatılar sınıfında geçerli olması
için gerek ve yeter koşul bu formülün bu sınıfın her çatısında geçerli
olmasıdır.
= ⟨W,R⟩ bir Kripke çatı olsun. O zaman ;
geçişkendir ⇔ (∀x,y,z∈W)(xRy ∧ yRz → xRz)
yansıyandır ⇔ (∀x∈W)(xRx) dır.
Bir çatısı re : = p → p formülünü geçerli kılar eğer ve yalnız
eğer yansıyandır.
Bir çatısı tra : = p → p formülünü geçerli kılar eğer ve
yalnız eğer geçişkendir.
9
K Lojiği
Olası evren semantiğine göre sağlam ve tam olan ML dilinin
modal önermeler lojiği K nın aksiyomları ve türetim kuralları şunlardır:
Aksiyomları :
(A1) p → (q → r) ,
(A2) (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) ,
(A3) p ∧ q → p ,
(A4) p ∧ q → q ,
(A5) p → (q → p ∧ q ) ,
(A6) p → p ∨ q ,
(A7) q → p ∨ q ,
(A8) (p → r) → ((q → r) → (p ∨ q → r)) ,
(A9) ⊥ → p0 ,
(A10) p0 ∨ (p0 →⊥) ,
(A11)  (p0 → p1) → (p0 → p1) .
10
Türetim Kuralları : Modus Ponens ve substitution.
Gereklilik Kuralı : Bir ϕ formülünden ϕ türetilir.
Bazı önemli Modal Lojikler
Burada tanımlanacak lojiklerin çoğu semantik şekilde yani belirli
çatılarda geçerli formüllerin kümesi olarak tanımlanacaktır. Bazen
calculus biçimde, bir lojiği semantik olarak tanımlamak avantajlıdır.
Aşağıdaki kavramlar bu iki yöntemi birleştirme amacı gütmektedir.
Her ϕ formülü için C ϕ ⇒ ∀∈R , ϕ ise o zaman bir C
calculusuna, aksiyomatik sistemine, R çatılar sınıfına göre sağlamdır
denir. ϕ R deki her çatıda geçerli olduğunda C de türetilebilirse C ye
R ye göre tamdır denir.
Aynı lojik farklı çatı sınıflarıyla tanımlanabilir.
L = {ϕ ∈ ForML : ∀∈R , ϕ } ise L lojiğine R çatılar
sınıfı tarafından karakterize edilmiştir denir. L deki tüm formülleri geçerli
kılan bir çatısına L için bir çatı denir.
Artık bu kavramlarla donatılmış modal lojikler tanımlanabilir.
11
K4 lojiği : Tüm geçişken çatıların sınıfı ile karakterize edilir.
Buna göre,
K4 = K⊕p → p dir.
S4 lojiği : quasi-sıralı çatıların sınıfı tarafından belirlenen lojiktir.
S4 ün calculusu K ya re ve tra nın eklenmesiyle elde edilir. Böylece
S4 = K⊕re⊕tra = K4⊕re dir.
S4.1 lojiği : S4.1 = S4⊕ (.1) = S4⊕◊p→◊p
S4.2 lojiği : S4.2 = S4⊕ (.2) = S4⊕◊p→◊p
=⟨W,R⟩ bir Kripke çatı olsun. O zaman
McKinsey ⇔ (∀x ∈W)(∃y∈W)(xRy ∧ (∀z)(yRz → y=z)) dır.
Buna göre, S4.1
lojiği tüm quasi-sıralı McKinsey çatıların sınıfı
tarafından belirlenen lojiktir.
kuvvetli
yönlendirilmiş
⇔ (∀x,y,z
∈W)(xRy
∧ xRz
∧ (∃x×)(yRx×∧ zRx×)). Böylece S4.2 tüm quasi sıralı kuvvetli
yönlendirilmiş çatıların sınıfı tarafından belirlenen lojiktir.
12
Cebirsel Semantikler
A≠∅ olsun. n≥1 için A üzerinde bir n-li işlem bir o : An → A
dönüşümüdür.
A = ⟨A , ∧ , ∨ , → ,⊥ ⟩ ve B = ⟨ A , ∧ , ∨ , → , ⊥ , ⟩ tipli cebirlere
sırasıyla L-cebir ve ML-cebir adı verilir. A = ⟨A , ∧ , ∨ , → ,⊥ ⟩ cebiri bir
pseudo-Boole cebiridir eğer ve yalnız eğer her ∀x,y∈A için A
da
aşağıdaki koşullar geçerlidir:
(a) x∧y = y∧x , x∨y = y∨x ;
(b) x∧(y∧z) = (x∧y)∧z , x∨(y∨z) = (x∨y)∨z ;
(c) x∧(x∨y) = x , (x∧y)∨y = y ;
(d) z∧x ≤ y ⇔ z≤ x → y ;
(e) ⊥≤ x (⊥, A daki en küçük elemandır) .
p ∨ (p→⊥) = özdeşliğini geçerli kılan bir pseudo-Boole
cebirine bir Boole cebiri denir. Diğer bir deyişle, Boole cebirleri klasik
lojikte tüm formülleri geçerli kılan pseudo-Boole cebirleridir.
A =⟨A , ∧ , ∨ , → ,⊥ ⟩ bir pseudo-Boole cebiri olsun. Aşağıdaki koşullar
sağlanıyorsa bir ∇⊆ A kümesine A da bir süzgeçtir denir:
13
(a) ∈∇ ;
(b) ∀x,y∈A için x∈∇ ve x → y ∈∇ ise y ∈∇ dır.
A dan farklı bir süzgece öz süzgeç adı verilir.
A bir pseudo-Boole cebiri ve ∇, A da bir öz süzgeç olsun.
Her a ∈A için ya a ∈∇ ya da ⊥a ∈∇ ise ∇ ya bir ultrasüzgeç denir.
Topolojik Uzaylar
Bir topolojik uzay aşağıdaki aksiyomları sağlayan X in tüm
altkümelerinin bir Շ kolleksiyonuyla birlikte bir X kümesidir :
1. Boş küme ve X Շ dadır.
2. Շ daki herhangi bir kümeler kolleksiyonunun birleşimi de Շ
dadır.
3. Շ daki herhangi iki kümenin kesişimi de Շ dadır.
Շ kümesi X üzerinde bir topolojidir. Շ daki kümeler açık
kümelerdir ve X deki tümleyenleri kapalı kümelerdir. X in elemanlarına
noktalar adı verilir.
14
x∈X ve x∈O∈Շ ise o zaman O x in bir açık komşuluğu olarak
adlandırılır. Herhangi bir A⊆ X için ՇA = {O∩A|O∈Շ} olsun.
O zaman ⟨A, ՇA ⟩ ya X in bir altuzayı denir. Bir topolojik uzayın en basit
örneği bir-nokta uzayı X = {x} dir.
Genel olarak açık kümelerin keyfi kesişimleri açık olmayabilir.
Açıkların kesişimi her zaman bir açık küme olan uzaylara Alexandroff
Uzaylar
denir.
Özellikle,
herhangi
bir
sonlu
topolojik
uzay
Alexandroff'tur.
Herhangi bir A⊆ X altkümesi için I(A) içi A da içerilen en büyük
açık küme olarak tanımlanır. Diğer bir deyişle,
I(A) = ∪{O|O⊆A, O∈Շ} dır.
Dual olarak, bir A⊆ X kümesinin C(A) kapanışı A yı içeren en
küçük kapalı küme olarak tanımlanır; burada kapalı bir kümeyle açık
tümleyene sahip bir küme ifade edilmektedir.
T0 ayırma aksiyomu: Herhangi iki farklı x ve y noktasından biri
diğeri tarafından içerilmeyen bir açık komşuluğa sahipse o zaman bir topolojik uzayı T0 ayırma aksiyomuna uyar, deriz.
T1 ayırma aksiyomu: Herhangi iki farklı x ve y noktasından biri
diğerini içermeyen bir açık komşuluğa sahipse o zaman bir topolojik
uzayı T1 ayırma aksiyomuna uyar, deriz.
15
1. ALEXANDROFF TOPOLOJİSİ
Genel topolojide bir topolojik uzayın açık kümeleri tanım gereği
şu koşulları sağlar :
1. Keyfi çokluktaki açık kümelerin birleşimi açıktır.
2. Sonlu çokluktaki açık kümelerin arakesiti açıktır.
Bu koşullardaki belli simetrisizlik şu soruyu sormaya yöneltir:
“Keyfi çokluktaki açık kümelerin arakesiti açık olduğunda ne olur?”
Bunun yanıtı Alexandroff topolojisidir.
1.1. Alexandroff Topolojilerinin Betimlemeleri
Bu topolojilerin çok sayıda betimlemeleri vardır:
Tanım 1.1.1: X= ⟨X,T⟩ bir topolojik uzay olsun. Aşağıdakiler denktir:
•
Açık ve kapalı küme betimlemeleri:
o Açık küme betimlemesi: X deki açık kümelerin keyfi
arakesiti açıktır.
o Kapalı küme betimlemesi: X in her noktasının bir en
küçük komşuluğu vardır.
16
•
Komşuluk betimlemeleri:
o En küçük komşuluk betimlemesi: X in her noktasının bir
en küçük komşuluğu vardır.
o Komşuluk süzgeci betimlemesi: X deki her noktanın
komşuluk süzgeci keyfi arakesitlere kapalıdır.
•
İç ve kapanış cebirsel betimlemeleri:
o İç operatörü betimlemesi: X in iç operatörü alt kümelerin
keyfi arakesitleri üzerine dağılır.
o Kapanış operatörü betimlemesi: X in kapanış operatörü
alt kümelerin keyfi birleşimi üzerine dağılmalıdır.
•
Ön sıralama betimlemeleri:
o Özelleştirilmiş ön sıralama betimlemesi: T, X in
özelleştirilmiş ön sıralaması altında en ince topolojidir;
yani
≤
ön sıralama olmak üzere
x≤y ⇔ x∈cl{y}
şeklinde tanımlanan en ince topolojidir.
o Up-set betimleme: X in açık kümeleri yukarı-kapalı
kümeler olacak şekilde bir ≤ ön sıralaması vardır; yani x
kümede ve x≤y ise o zaman y de o kümededir.(Bu ön
sıralama özelleştirilmiş ön sıralama denir.)
17
o Down-set betimleme: X in kapalı kümeleri aşağı-kapalı
olacak şekilde bir ≤ ön sıralaması vardır; yani x kümede ve
y≤x ise o zaman y de o kümededir.(Bu ön sıralama
özelleştirilmiş ön sıralama olacaktır.)
o Yukarı iç betimleme: Bir x noktası X in bir S alt
kümesinin içine düşer (eye) x≤y olacak şekilde S de bir y
noktası vardır , burada ≤ özelleştirilmiş ön sıralamadır;
yani x, {y} nin kapanışına aittir.
•
Sonlu doğurulma ve kategori teorik betimlemeler:
o Sonlu kapanış betimlemesi: Bir x noktası X in bir S alt
kümesinin kapanışı içindedir (eye) S nin sonlu bir F alt
kümesi vardır öyle ki x, F nin kapanışı içindedir.
o Sonlu alt uzay betimlemesi: T, X in sonlu alt uzaylarının
topolojileriyle tutarlı en ince topolojidir.
o Sonlu içine dönüşüm betimlemesi: X in sonlu alt
uzaylarının fi : Xi → X içine dönüşümleri bir final sink
oluşturur.
o Sonlu doğurulma betimlemesi: X sonlu doğurulmuştur,
yani X sonlu uzayların final hull’undadır. (Bunun anlamı
18
şudur: Her bir Xi sonlu topolojik uzay olmak üzere bir
final sink fi : Xi → X vardır.)
Yukarıdaki denk betimlemeleri sağlayan topolojik uzaylara “sonlu
doğurulmuş uzaylar” veya “Alexandroff uzayları” ve T topolojilerine de
“Alexandroff topolojisi” denir. (Bunun ismi Rus matematikçi Pavel
Alexandroff dan ileri gelir; ilk olarak o incelemiştir.)
1.2. Ön Sıralı Kümelerde Düalite
X =
⟨X,T⟩
bir ön sıralama kümesi olsun. X üzerinde bir
Alexandroff topolojisini açık kümeleri up-set ler seçerek tanımlayabiliriz.
T = { S ⊆ X : her x,y ∈ X , x∈S ve x ≤ y ⇒ y∈S }.
Böylece bir T(X) = ⟨X,T⟩ topolojik uzayı elde ediyoruz. Karşılık gelen
kapalı kümeler down-set lerdir:
{ S ⊆ X : her x,y ∈ X , x∈S ve y ≤ x ⇒ y∈S }.
1.3. Bir topolojik uzay üzerindeki özelleştirilmiş ön sıralama:
Tanım 1.3.1:
X = ⟨X,T⟩ bir topolojik uzay olsun. X üzerinde
özelleştirilmiş ön sıralama şöyle tanımlanır:
19
x ≤ y (eye) x, {y} nin kapanışındadır.
Böylece bir W(X) = ⟨X, ≤⟩ ön sıralı küme elde ediyoruz.
1.4. Ön sıralamalarla Alexandroff topolojileri arasındaki denklik:
Her X = ⟨X, ≤⟩ ön sıralısı için her zaman W(T(X)) = X dir ; yani
X in ön sıralaması T(X) topolojik uzayından özelleştirilmiş ön sıralama
olarak yeniden elde edilir. Bundan başka her X Alexandroff uzayı için
T(W(X)) =X dir, yani X in Alexandroff topolojisi özelleştirilmiş sıralama
tarafından üretilen topolojisi olarak yeniden elde edilir.
Ancak bir topolojik uzay için, genelde, T(W(X)) = X yoktur.
1.5. Monotonluk ve sürekliliğin denkliği
İki ön sıralı küme arasında bir
f : X →Y
monoton fonksiyonu verilsin (yani (X deki) x ≤ y ⇒ (Y deki) f(x) ≤ f(y)).
T(f) : T(X) → T(Y)
karşılık gelen Alexandroff uzayları arasındaki bir dönüşüm olarak ele
alınan bir dönüşüm olsun. O zaman
fonksiyondur.
20
T(f) : T(X) → T(Y) sürekli bir
Tersine X ve Y topolojik uzayları arasında f: X →Y sürekli bir
dönüşüm olsun ve W(f) : W(X) → W(Y) karşılık gelen ön sıralılar
arasındaki dönüşüm olsun. O zaman W(f) : W(X) → W(Y) monotondur.
Böylece iki ön sıralı küme arasındaki bir dönüşümün monoton
olması için gerek ve yeter koşul bu dönüşümün karşılık gelen Alexandroff
topolojileri arasında sürekli bir dönüşüm olmasıdır. Tersine, iki
Alexandroff uzayı arasındaki bir dönüşümün sürekli olması için gerek ve
yeter koşul karşılık gelen ön sıralılar arasındaki bu dönüşümün monoton
bir fonksiyon olmasıdır.
Uyarı 1.5.1: Alexandroff topolojisi dışındaki topolojiler söz konusu
olduğunda; iki topolojik uzay arasında sürekli olmayan ama karşılık gelen
ön sıralılar arasında monoton olan bir dönüşüm olabilir. Bunun için
Alexandroff olmayan bir X uzayını ve
i : X → T(W(X)) birim
dönüşümünü göz önünde bulundurun.
1.6. Düalitenin Kategorik Betimlenişi
Set kümeler ve dönüşümlerin kategorisini; Top topolojik
uzayların ve sürekli dönüşümlerin kategorisini ve Pro ön-sıralı kümeler
ve monoton fonksiyonların kategorisini göstersin. O zaman
T: Pro → Top ve W: Top → Pro
Set üzerinde sol ve sağ adjoint somut funktorlardır.
21
Alx Top’un Alexandroff uzaylarından oluşan full alt kategorisini
göstersin. O zaman
T: Pro → Alx ve W: Alx → Pro
kısıtlamaları Set üzerinde ters somut izomorfizmalardır.
Alx, aslında, Top ’un bicoreflective alt kategorisidir; burada
bicoreflector T○W : Top → Alx dır.
Bunun anlamı şudur:
Bir X topolojik uzayı verildiğinde
i : T(W(X)) → X
birim dönüşümü süreklidir ve Y Alexandroff uzayı olmak üzere her
f : Y → X sürekli dönüşümü için
i-1○f : Y → T(W(X))
bileşkesi süreklidir.
22
1.7. Modal çatılardan model cebirlerin inşasına bağlantı
Tanım 1.7.1: X bir ön sıralama olsun. T(X) in iç operatörü ve kapanış
operatörü şöyle verilir: Her S ⊆ X için
Int(S) = {x ∈X : (∃y∈S)( y ≤ x )}
ya da denk olarak
Int(S) = {x ∈X : (∀y∈X)( x ≤ y ⇒ y ∈S )}
ve her S ⊆ X için
Cl(S) ={ x ∈X : (∃y∈S)( x ≤ y }
dır.
İç operatörünün ve kapanış operatörünün X in kuvvet kümesi
Boole cebiri üzerinde modal operatörler olarak kabulü altında bu inşaa,
bir model cebirin bir modal çatıdan itibaren inşaasının bir özel halidir,
yani birtek 2-li bağıntılı bir kümedir. Bir ön sıralama durumunda elde
ettiğimiz modal cebirlerin sınıfı iç cebirlerin sınıfı - topolojik uzayların
cebirsel soyutlamaları - dır.
M.C.McCord posetlerle Alexandroff’un tanıttığı uzayların T0
versiyonları olan uzaylar arasında bir düalitenin olduğunu gözlemiştir.
P.T.Johnstone bu tür topolojileri Alexandroff topolojileri olarak
adlandırmıştır.
23
İyi bilinen bir sonuç da şudur: Sonlu topolojik uzaylarla sonlu
kümeler üzerindeki ön sıralamalar (S4 modal lojiği için sonlu modal
çatılar) arasında bir düalite vardır. C.A.Naturman bu sonuçları
Alexandroff
uzayları
ile
ön
sıralılar
arasındaki
bir
düaliteye
genişletmiştir; bunun için ön sıralı betimlemeler kadar iç ve kapanış
cebirsel betimlemeler ortaya atmıştır.
2. TOPOLOJİK SEMANTİKLER VE TAMLIK
Bu bölümde bulunan sonuçların pek çoğu çeşitli yazarların eserlerinde
doğrudan veya dolaylı olarak verilmiştir. Bu bölümün amacı topolojik
uzayların modal dünyasında veya, tersine, modal lojiklerin topolojik
dünyasında bir gezinti yapmaktır.
2.1. Ön Bilgiler
Burada tezin okunabilirliğini kolaylaştırmak için bazı tanım ve
kavramlar ispatlarıyla birlikte verilmiştir (Engelking,1977; Blackburn et
al.2001). Modal lojik için topolojik semantiği tanımlayacağız ve
sağlamlık sonucunu göstereceğiz.
İlk önce bir topolojik uzayın ne tür bir yapı olduğunu ifade edelim.
Tanım 2.1.1 : Bir T = (X,Ω) topolojik uzayı aşağıdaki koşulları sağlayan
boştan farklı bir X kümesinin Ω alt kümelerinin bir koleksiyonudur:
24
T1 : ∅ ∈ Ω ve X ∈Ω,
T2 : O1 ∈ Ω ve O2 ∈Ω ise o zaman O1 ∩ O2 ∈ Ω dır,
T3 : I bir indeks kümesi olmak üzere her i ∈ I için Oi ∈Ω ise o
zaman ∪ i ∈ I Oi ∈Ω dır.
Ω nun elemanlarına açıklar denir. Açıklar sonlu kesişimler ve keyfi
birleşimler altında kapalıdır. Ayrıca boş küme ve evren açıklardır.
x∈ O∈ Ω ise o zaman O x in bir açık komşuluğudur denir. İnformal
olarak, verilen noktanın açık komşulukları seçilen bir noktanın hangi
noktalarında kapalı olduğunu belirlerler. O ⊆ X kümesinin açık olması
için gerek ve yeter koşul O deki her noktanın O de kapsanan bir açık
komşuluğa sahip olmasıdır. Evren içerdiği tüm noktaların (en büyük) açık
komşuluğudur. Açıkların tümleyenleri kapalılar olarak adlandırılır. Bir
küme üzerinde topolojik yapıları denk bir biçimde farklı şekillerde
tanımlamak mümkündür (kapalı kümelerin ailesini belirlemek bunlardan
biridir).
Her muhakemenin ya doğru ya da yanlış olduğu varsayımına
dayalı en basit muhakeme modelini temsil eden klasik lojiktir. Diğer
lojiklerin çoğu bu lojik tarafından kapsanır veya dili yeni bağlaçlarla
zenginleştirilerek onun üzerine inşa edilir.
Tanım 2.1.2 : Aşağıdaki sembollerden oluşan belirli bir önermesel dili
göz önünde bulunduralım.
25
(a) Önerme değişkenleri : p1, p2, p3, ….(sayılabilir çoklukta);
(b) Önerme sabiti :(doğruluk);
(χ) Önerme bağlaçları : ∧ , ¬
(d) Ayraçlar : ( , ) .
Temel modal dil yukarıda belirtilen dile yeni bir 1-li bağlacının
eklenmesiyle elde edilir. Modal formüller Yunan harfleriyle gösterilir ve
Ф : = pi | | Ф ∧ ψ | ¬ Ф | Ф
şeklinde inşa edilirler.
Şimdi temel modal dil için topolojik modelleri tanımlayabiliriz.
Topolojik uzay üzerinde topolojik valuasyon her bir önerme harfini
topolojik uzayın bir alt kümesine eşleyen fonksiyon olacaktır.
Tanım 2.1.3 : Bir topolojik M modeli bir (X,Ω,υ) üçlüsüdür, burada
T = (X,Ω) bir topolojik uzaydır ve υ valuasyonu önerme harflerini X in
alt kümelerine eşler. M , x Ф (veya x Ф ) notasyonu “Ф , x için
M modelinde doğrudur” olarak okunur. A, X in bir alt kümesi ise o
zaman AФ, her x ∈ A için xФ anlamını taşır.
Doğruluk bağıntısı aşağıdaki gibi tanımlanır:
x pi ⇔ x ∈ υ( pi ),
26
x (her zaman doğru),
xФ ∧ ψ ⇔ xФ ve x ψ,
x ¬ Ф ⇔ x Ф
xФ ⇔ ∃O ∈ Ω : x ∈ OФ.
Model
gerçekleme
ve
uzay
gerçekleme
tanımları
standarttır.Yukarıdaki tanım şunu ifade eder: Formülleri bu formülleri
doğru yapan noktaların kümesiyle birleştirirsek o zaman ¬ ve ∧
operatörleri sırasıyla küme-teorik tümleme ve kesişim operatörlerine
karşılık gelir. Doğrululuk bağıntısının tanımının son kısmından Ф
formülünün x de doğru olması için gerek ve yeter koşulun Ф nin x in bir
açık komşuluğunun her yerinde doğru olması olduğu sonuçlandırılır
.Daha yakından bakıldığında, υ(Ф)
Ф formülünü doğru yapan
noktaların kümesi olarak tanımlanabilir ve υ(Ф) bir Ф ⊆ υ(Ф) açık
komşuluğuna sahip tüm noktalardan oluşur. Bu υ(Ф) nin içidir.
Tanım 2.1.4 : Topolojik uzayın bir A altkümesi için I(A) ile gösterilen A
nın içi A da kapsanan tüm açık alt kümelerin birleşimidir. Diğer bir
deyişle, A nın içi A nın en büyük açık altkümesidir.
Önerme 2.1.5 : x noktasının I(A) ya ait olması için gerek ve yeter koşul
O ⊆ A olacak şekilde x in bir açık O komşuluğunun olmasıdır
(Engelking, 1977).
27
υ(Ф) = I(υ(Ф))
olduğu en son tanım ve önermeden dolayı
açıktır. Bu nedenle soyut  operatörü topolojik uzayların altkümeleri
üzerinde iç operatörü olur. Diğer lojiksel bağlaçların dilimizde topolojik
denklikler olarak tanımlanabileceklerini belirtebiliriz. Boole bağlaçlarının
geleneksel küme-teorik anlamlarını elde etmek kolaydır fakat ◊ model
bağlacının topolojik yorumu nedir? − küme-teorik tümleme operatörünü
göstermek üzere
υ(◊Ф) = −I− (υ(Ф)) dir. A topolojik uzayın bir
altkümesi olmak üzere −I(− A), A nın kapanış kümesinden başka bir şey
değildir. Böylece υ(◊Ф) = C(A) sonucuna ulaşırız. Burada C topolojik
uzayın her bir A altkümesini bu altkümeyi içeren en küçük kapalı kümeye
eşleyen, diğer bir deyişle, A yı genişleten tüm kapalı kümelerin kesişimi
olan, topolojik kapanış operatörünü gösterir.
Genel topolojiden belirli koşulları sağlayan I ve C hakkında bazı
bilgileri hatırlamış olduk. Aslında, bir küme üzerinde topolojik yapıyı
tanımlanın bir diğer yolu şudur: Bu operatör üzerinde iç – veya kapanış –
koşullarını sağlayan altkümeler üzerinde çalışan operatör ile donatılmış
verilen bir kümeyle gerçeklenir.
Önerme 2.1.6 : (X,Ω) herhangi bir topolojik uzay, I ve C topolojik olarak
tanımlanan iç ve kapanış operatörleri olsun o zaman aşağıdaki koşullar X
in herhangi bir altkümesi için korunur:
(I1) I(X) = X
(C1) C(Ф) = Ф
(I2) I(A) ⊆ A
(C2) A ⊆ C(A)
28
(I3) I(A∩B) = I(A) ∩ I(B)
(C3) C(A∪B) = C(A)∪C(B)
(I4) I(I(A))= I(A)
(C4) C(C(A))= C(A)
I
yerine  operatörü alındığında (I1)-(I4) koşulları S4 modal
sistemi aksiyomlarına benzerliğini görmek zor değildir.
Dual olarak, (C1)-(C4) koşulları C yerine ◊ alındığında S4
aksiyomlarına benzer herhangi bir topolojik model S4 modal lojiğini
geçerli kılar.
Tanım 2.1.7: Tüm klasik totolojileri içeren modal formüllerin en küçük
kümesi olan S4 modal lojiği aşağıdaki aksiyomlarla ifade edilir:
(N) 
(T) p → p
(R)  (p∧q) → p ∧q
(4) p → p
ve modüs ponens, substitution ve monotonluk altında kapalıdır.
Yukarıdaki aksiyomlar S4 e denktir. Tüm topolojik uzaylar
topolojik semantiğe göre S4 ün sağlamlığını kanıtlayan S4 deki tüm
modal formülleri geçerli kılar.
29
Teorem 2.1.8: S4 ün teoremleri tüm topolojik uzaylar üzerinde geçerlidir.
İspat: (N), (T), (R) ve (4) aksiyomlarının herhangi bir topolojik uzayda
geçerli olduğu (I1), (I2), (I3), (I4) koşullarıyla karşılaştırılarak elde edilir.
Türetim kurallarının geçerliliğinin korunmasını göstermek kolaydır.
S4 ün topolojik uzayların tam lojiği olduğu McKinsey ve Torski
tarafından ispatlanmıştır (McKinsey and Torski,1944).
2.2. Çatılar ve Tamlık
Bu bölümde topolojik ve Kripke semantikleri arasındaki
bağlantıları kuracağız. S4 çatılarını göz önünde bulunduracağız ve
Alexandroff uzaylar olarak adlandırılan topolojik uzayların özel sınıfına
bire-bir karşılık geldiğini göreceğiz. Yukarıdaki S4 modal lojiği için
topolojik semantik çatılar semantiğinin bir genellemesi olduğunu
göstererek, bu eşleşmeyle bazı tamlık ispatlarında kolaylık elde edilir. Bu
bölümü sonlandırırken S4.1 ve S4.2 modal lojiklerini göz önünde
bulunduracağız ve bunları karakterize eden topolojik uzaylar sınıfının ne
olduğunu göreceğiz.
Her topolojik modelin S4 için bir model olduğunu gördük. Bu
Kripke semantiğinde doğru değildir. S4 ün çatıda geçerli olması için
gerek ve yeter koşul çatı üzerindeki bağıntının yansıyan ve geçişken
olmasıdır.
Tanım 2.2.1: W boştan farklı bir küme ve R, W üzerinde yansıyan ve
geçişken bir bağıntı ise o zaman F =(W,R) çatısı bir qo-set (quasi-sıralı
küme) olarak adlandırılır.
30
Önerme 2.2.2: S4 modal lojiği tüm qo-set lerin sınıfına göre sağlam ve
kuvvetli tamdır.
Topolojik semantikle bağlantıyı açıklamak için bir F =(W,R) qoçatıların yukarı kapalı alt kümelerini inceleyelim. A⊆W alt kümesi
verilsin. w∈A ∧ Rwv ⇒ v∈A ise A yukarı kapalıdır. Yukarı kapalı
kümelerin keyfi bir birleşimi veya kesişimi tekrar yukarı kapalıdır. Bu
yukarı kapalı kümeler için W üzerinde açık kümelerin bir topolojik
yapısını oluşturmak için yeterlidir. Elbette bu şekilde elde edilen topoloji
özel bir tür topolojidir; açıklar keyfi kesişimler altında kapalı olur.
Tanım 2.2.3: Bir topolojik uzay aşağıdaki denk koşullardan birini
sağlıyorsa Alexandroff uzay (A-uzay) olarak adlandırılır.
1. Açıkların keyfi kesişimleri açıktır.
2. Her nokta en az bir açık komşuluğa sahiptir.
Yukarıdaki tanımın ikinci koşulu A-uzaylardan qo-kümelere bir yol
açar. Bir A-uzayı üzerinde bir yansımalı-geçişken bağıntı tanımlamak için
şunu ifade edebiliriz: Rxy nin korunması için gerek ve yeter koşul y nin x
in en az bir açık komşuluğunda içerilmesidir. Böyle bir bağıntının
yansımalılığı açıktır. Geçişkenliği için şunu belirtelim: y, x in en az bir Ox
açık komşuluğunun bir elemanı ise o zaman Ox y nin bir açık komşuluğu
olur ve böylece y nin en az bir açık komşuluğunun tüm elemanları aslında
içerilir. A-uzay-qo-küme dönüşümü birinden her iki yolla gerçeklenirse
başlangıç yapısı tekrar elde edilir.
31
Teorem 2.2.4: F =(W,R) bir qo-küme ve T =(W,Ω) karşılık gelen A-uzay
olsun. W üzerindeki herhangi bir υ valuasyonu, herhangi bir w∈W
noktası ve herhangi bir Ф modal formülü için F , υ,w Ф ⇔ T, υ,w Ф dir.
İspat : İspatı Ф nin karmaşıklığı üzerine tümevarımla yapacağız.
Önermesel durum ve Boole bağlaçları durumu açıktır. Herhangi bir
noktanın R-öncülü bu noktanın en az bir açık komşuluğunu meydana
getirir. A–uzaylarında Ф nin bir noktada doğru olması için gerek ve yeter
koşul Ф nin bu noktanın en az bir açık komşuluğunda doğru olmasıdır.
Böylece F , υ,wФ ⇔ T, υ,wФ dir.
Aşağıdaki teoremin yardımıyla S4 ün topolojik tamlığını
ispatlayabiliriz.
Teorem 2.2.5: S4 tüm topolojik uzayların sınıfına göre kuvvetli tamdır.
İspat: ∑ formüllerinin herhangi bir S4-tutarlı kümesini göz önünde
bulunduralım. ∑ bir qo-küme olan belli başlı çatıların bir modelinde
gerçeklenebilir. Valuasyonu koruyarak bu qo-kümeye karşılık gelen Auzayı alalım. Bu ∑ nın gerçeklendiği bir topolojik model olacaktır.
S4 ve S4 ün genişlemeleri için topolojik
semantiğin Kripke
semantiğinden daha genel olduğunu göstermiş olduk. S4 ü içeren modal
lojik çatıların (qo-kümelerinin) bir sınıfına göre (kuvvetli) tam ise o
zaman bu lojik A–uzaylarının karşılık gelen sınıflarına göre (kuvvetli)
32
tamdır. (Tüm sonlu topolojik uzayların A–uzay olmasına rağmen) en
ilginç topolojik uzaylar Alexandroff yapıya sahip değildir fakat yine de
A–uzaylarını tamlık sonuçları için kullanabiliriz. Örneğin, Γ formüllerinin
herhangi bir S4-tutarlı kümesini göz önünde bulunduralım. Γ, Γ daki tüm
formülleri geçerli kılan topolojik uzayların bir K sınıfını tanımlar. Ayrıca
S4 + Γ Kripke (kuvvetli) tam ise o zaman K ya göre topolojik (kuvvetli)
tam olacaktır. Bu genel bir ifadedir.
Topolojik tam olan S4 ün bir Kripke tam olmayan genişlemesi var
mıdır? Diğer bir deyişle, topolojik semantik, tamlık bakımından, çatı
semantiğinden
daha
genel
midir?
Cevap
olumludur.
S4
ün
genişlemelerinin (Gerson, 1975) komşuluk semantiğine göre tam fakat
Kripke semantiğine göre tam olmadığı gösterilmiştir. S4 ve genişlemeleri
için
komşuluk
semantiğinin
topolojik
semantiğe
denk
olduğu
ispatlanabilir. (Shehtman, 1988). Gerson tarafından verilen örnek
topolojik semantiğin Kripke semantiğinden daha genel olduğunu
ispatlamak için kullanılır.
2.3 Topolojik Tamlık
Topolojik semantik Kripke semantikten daha genel ise S4 ün
genişlemelerinin herhangi biri Kripke tam ve dolayısıyla topolojik tam
alınabilirdi. Bu durumda S4 ün Sahlquist formülleriyle aksiyomatize
edilen bir genişlemesi varsa kuvvetli tamlığı elde ederiz.
Tanım 2.3.1: S4.2 modal lojiği (.2) ◊p → ◊p aksiyomlu S4 ün
genişlemesidir.
33
(.2) formülü, bir Sahlquist formunda alındığında, kuvvetli Kripke
tam ve dolayısıyla (.2) yi karakterize eden topolojik uzayların sınıfına
göre kuvvetli topolojik tamdır. Bu sınıfı topolojik olarak ifade etmek için
aşağıdaki tanıma ihtiyaç vardır.
Tanım 2.3.2: Aşağıdaki iki denk koşuldan herhangi biri gerçeklenirse
topolojik uzay aşırı bağlantısızdır:
1. Herhangi bir açığın kapanışı açıktır.
2. Herhangi iki ayrık açıkların kapanışları ayrıktır.
Aşırı bağlantısız uzaylar (Stone, 1937) de tanımlanmıştır. (.2) aşırı
bağlantısız uzayları karakterize eder.
Teorem 2.3.3: S4.2 aşırı bağlantısız topolojik uzayların sınıfını tanımlar.
İspat: S4 ün herhangi bir topolojik uzayda geçerli olduğunu biliyoruz.
(.2) formülünün bir T =(X,Ω) topolojik uzayında geçerli olması için gerek
ve yeter koşul T nin bağlantısız olmasıdır.
(S4) de (.2) aksiyomu ◊p →◊p şeklinde yazılabilir. (.2) nin
bu denk formunda modal operatörleri topolojik yorumlarıyla yer
değiştirilirse X in keyfi bir P altkümesi için CI(P)= ICI(P) elde edilir. Bu
her açığın kapanışının açık olduğunu ifade eder. (P bir keyfi altkümeyi
gösterirse I(P) keyfi bir açıkaltkümeyi gösterir). Böylece T nin aşırı
34
bağlantısız olduğunu söylemekle T nin (.2) yi gerçeklediğini elde ederiz.
Buradan, aşırı bağlantısız A-uzaylarının kuvvetli yönlendirilmiş
Kripke çatılarına bire-bir karşılık geldiği sonucu çıkarılabilir.
Teorem 2.3.4: S4.2 aşırı bağlantısız topolojik uzayların sınıfına göre
sağlam ve kuvvetli tamdır.
İspat: Sağlamlık önceki teoremin bir sonucudur. Tamlık için S4.2 nin
Kripke tamlığını kullanacağız. Gerçekten, S4.2 yi gerçekleyen herhangi
bir Kripke çatısı Teorem 1.2.4 den dolayı S4.2 yi gerçekleyen bir Auzayıdır ve böylece önceki teoremden aşırı bağlantısızdır. O zaman ∑
modal formüllerininin herhangi bir tutarlı kümesi ∑ için S4.2 Kripke
modelinde bulunan çatıya karşılık gelen A-uzayında sağlanır. Şimdiki örneğimiz uzayların modal olarak tanımlanmış sınıfı
karakterize eden aşikar topolojik özelliği bulmanın her zaman mümkün
olmadığını ifade eder.S4 ün pek çok tutarlı genişlemeleri vardır ve
bazılarının oldukça ilginç topolojik özellikleri tanımlaması şaşırtıcı
değildir. ◊Ф → ◊Ф McKinsey formülü iyi bir örnektir.
Tanım 2.3.5: S4.1 modal lojiği (1.) ◊p → ◊p aksiyomlu S4 ün bir
genişlemesidir.
35
McKinsey formülünün geçişmeli olması çatılar için atomicity
anlamına gelir yani her nokta bir yansımalı maksimumu görür: ∀x∃y
(Rxy ∧∀z (Ryz → y=z )). Bu özelliğin topolojik karşılığı pek çok denk
biçimde tanımlanabilir.
Tanım 2.3.6: T =(X,Ω) bir topolojik uzay ve herhangi bir altkümesi A ⊆
X olsun. A nın sınır kümesi C(A) ∩ C(−A) kümesiyle tanımlanır. Fr sınır
operatörü Fr(A) = C(A) ∩ C(−A) denklemiyle ifade edilir.
Herhangi bir altkümenin sınırı bir boş içe sahip ise, yani herhangi
bir A için I Fr(A) = ∅ ise, topolojik uzaylarda hiçbir açık küme bir başka
kümenin sınırı tarafından içerilmez. (.1) in atomik uzayların sınıfını
karakterize ettiğini göstereceğiz.
Teorem 2.3.7: S4.1 atomik uzayların lojiğidir.
İspat: herhangi bir T =(X,Ω) için T ◊p → ◊p ⇔ T atomik
olduğunu ispatlamalıyız.
Modal bağlaçların yorumunu verelim. T nin (.1)i gerçeklemesi şu
anlama gelir.
Herhangi bir P altkümesi için
IC(P) ⊆ CI(P) ⇔ IC(P) ∩−CI(P) = ∅ ⇔ IC(P) ∩ − − I − −C(−P) = ∅
⇔ IC(P) ∩ I (−P) = ∅ ⇔ I ( C(P) ∩ C(−P) )= ∅ ⇔ I Fr(P) = ∅ dir.
36
Denk ifadelerin bu zincirindeki son denklem T nin bir atomik uzay
olduğunu gösterir.
Teorem 2.3.8: S4.1 tüm atomik uzaylara göre sağlam ve kuvvetli tamdır.
İspat: Sağlamlık önceki teoremden elde edilir. Kuvvetli tamlık için
(Lemman and Scott, 1966) da ispatlanan S4.1 için Kripke çatılara benzer
sonucu kullanılır.
(.2) gerekli topolojik özellikleri tanımlarken, (.1) ile karakterize
edilen uzaylar topolojik literatürde daha az ilgi çeker. Belirttiğimiz gibi,
bu temel dilde modal formüllerle tanımlanan büyük kısmı topolojik
özelliklerle gerçeklenir. Bunun bir yönü modal formülleri alarak ve bunun
uzaya ait anlamını vermek için karşılık gelen topolojik uzayı belirterek
yapılabilir. Diğer bir yaklaşım uygun bir topolojik sınıf almak ve bunun
hangi modal formüller için tanımlandığını görmekle mümkündür.
Gerçekten, topolojik uzayların bir sınıfında tümünde ne zaman
tanımlanabilir? Topolojik uzayların bir sınıfı üzerinde bir modal formül
tarafından karakterize edildiğinden emin olmak için bu sınıf üzerine
yüklenen şartlar nelerdir? Bu sonuca sonraki bölümlerde değineceğiz.
3. TANIMLANABİLİR UZAYLAR
Bu bölümde uzay tanımlanabilirlik sorusunu ele alacağız. Topolojik
uzayların bir sınıfı ne zaman modal tanımlanabilirdir? Bu sorunun
cevabını Kripke semantiği durumunda Goldblatt-Thomason teoremi
37
yardımıyla elde edebiliriz. Topolojik uzaylar için benzer bir ifade yararlı
olabilirdi. Bu teoremi hatırlayalım.
Teorem(Goldblatt-Thomason): Ultrasüzgeç genişlemeler altında
kapalı olan bir çatılar sınıfının modal tanımlanabilir olması için gerek ve
yeter koşul bu sınıfın sınırlı morfic imajlarının, doğrulmuş altçatıların ve
ayrık bileşimlerin oluşumu altında kapalı olması ve ultrasüzgeç
genişlemelerini yansıtmasıdır.
Birinci bölümde modal çatıyı topolojik çatıya dönüştüren topolojik
modeller tanımlamıştık fakat hangi topolojik operatörlerin uzay
geçerliliğini
doğrulmuş
koruduğundan
altçatı
ve
bahsetmemiştik.
ayrık
birleşim
Sınırlı
için
morfizmalar,
benzerlikler
uzay
tanımlanabilirlikte büyük bir önem taşır; bu bölümün ilk kısmı bu tür
araçları geliştirmeyi amaçlar. İkinci kısımda bazı cebirsel araçları
hazırlayacağız ve tanımlanabilirliğe yaklaşmak için cebirsel dualiteyi ele
alacağız. Topolojik Goldblatt-Thomason teoremini ispatlamak için
Alexandroff genişlemenin yeni kavramı ve çatılar için ultrasüzgeç
genişlemelerin topolojik denkliği yardımcı olacaktır.
3.1. Geçerliliği koruyan operatörler
Bir önceki bölümde Kripke
çatıları ve Alexandroff uzayları
arasında bir bağlantı kurmuştuk. Çatılar üzerindeki bazı operatörler modal
formüllerin geçerliliğini korur. Bu tür operatörler – sınırlı morfizma,
doğrulmuş altçatılar ve ayrık birleşimler – çatı tanımlanabilirlikte önemli
yer teşkil ederler.
38
Sınırlı morfizmalar, doğrulmuş altçatı kavramlarını topolojiksel
yönden yeniden göz önünde bulundururken, ayrık birleşimin oluşumu
topolojik denkliğe sahip olmayla ortaya çıkar.
Tanım 3.1.1: T i = (Xi, Ωi), i ∈ I, ayrık topolojik uzaylarının bir ailesi için
topolojik toplam X= ∪
i∈I
Xi ve Ω ={O ∈ X |∀i ∈ I : O ∩ Xi ∈ Ωi }
olmak üzere T = (X,Ω) topolojik uzayıdır.
A-uzaylarını kısıtlama yapıldığı zaman bu işlemin kendisinin olan
çatıların ayrık birleşimine karşılık gelen yapıyı oluşturduğunu gözlemek
kolaydır. Bu doğru yolda olduğumuz anlamına gelir ve sıradaki teorem
topolojik uzayların topolojik modal formüllerin geçerliliği koruduğunu
ispatlarken seçimimizin doğruluğunu ortaya çıkarır.
Teorem 3.1.2: (T i )i ∈I ayrık topolojik uzayların bir ailesi ve Ф her i∈I
için T i Ф olacak şekilde bir modal formül olsun o zaman T = ∪i∈I T
i
için T Ф dir.
İspat: Çelişkiye varmak için T Ф varsayalım. Bu T, υ, x Ф olacak
şekilde bir υ valuasyonu ve bir x∈X noktasının olduğu anlamına gelir.
Bazı i ∈ I için x∈ Xi olduğu açıktır. υi valuasyonunu υi(p)= υ(p) ∩ Xi
biçiminde tanımlayalım. Kolay bir tümevarımla her xi ∈Xi
modal formülü için
39
ve her ψ
T i, υ i, x iψ ⇔ T, υ, xiψ
olduğu gösterilebilir. Bu bir
çelişki verir çünkü T i, υ i, x i Ф elde ederiz. Basit bir muhakeme tersinin de korunduğunu gösterir. Topolojik
toplam bir modal formülü gerçeklediğinde bir uzaylar ailesinin her bir
üyesi bir modal formülü gerçekler.
Buradan şu sonucu çıkarabiliriz : Bazı topolojik özellikler ( ya da
karşılık gelen sınıflar) temel modal dilde modal formül (modal formül
kümeleri) ile tanımlanamaz. Örneğin bağlantılılık ve kompaktlık.
Tanım 3.1.3: Bir T = (W,Ω) topolojik uzayı için aşağıdakiler
vardır:
(i) X iki ayrık açık altkümenin birleşimi olarak gösterilemiyorsa o
zaman T bağlantılıdır.
(ii) Sonlu kesişim özellikli X in kapalı altkümelerinin herhangibir
(Fi)i∈I ailesi boştan farklı bir arakesite sahipse T kompakttır.
Bağlantılı ve kompakt topolojik uzaylar genel topolojide
önemli bir yer teşkil ederler. Ne yazık ki, bu özelliklerin hiçbiri dilimizde
tanımlanamaz.
Teorem 3.1.4: Bağlantılı topolojik uzaylar sınıfı ve kompakt topolojik
uzaylar sınıfı modal tanımlabilir değildir.
40
İspat: Sıradaki örnek iki sebepten dolayı önemlidir: i∈Ι = {1,2,...}, Ωi =
{Ф, X i} topolojilerine karşılık gelen sayılabilir çoklukta Xi ={i} ayrık
kümelerini göz önünde bulunduralım. Bunlar sadece olası topolojiye
sahip tek-noktalı kümelerdir. Bunların hepsi kompakttır (herhangibir
sonlu topolojik uzay için açıktır) ve bağlantılıdır. Bağlantılılık
(kompaktlık) bir Ф modal formülüyle tanımlabilseydi her bir T i = (Xi ,Ωi
) Ф yi gerçeklerdi ve topolojik toplam altında modal geçerliliğin
korunmasında T = ∪i∈I T
i
olacaktı. Bu T nin bağlantılı (kompakt)
olmasını gerektirirdi. Bu ise mümkün değildir. Nedenini görmek için
uzayların topolojik toplamı üzerindeki topolojinin tanımına bakmak
yeterli olacaktır. T discrete topoloji (yani her altkümesi açık (ve kapalı)
olan topoloji) ile donatılmış sayılabilir bir kümedir. Özellikle, her cofinite
küme kapalıdır. Cofinite kümeler sonlu kesişim özellikli bir kapalı
kümeler ailesini oluşturur fakat kesişimleri boştur. Bu T nin kompakt
olmadığını gösterir. Tümleyeniyle birlikte evrendeki farklı herhangibir
cofinite küme birleşimde evreni veren açıkların bir ayrık ikilisini
oluşturur. Böylece T nin bağlantılılığı yanlıştır. Global diamond ile modal dili zenginleştirme durumunda
bağlantılılığın nasıl tanımlandığını bu çalışmanın son bölümünde
göreceğiz.
Sıra doğrulmuş altçatı kavramına geldi. Doğrulmuş altçatının
bir çatının herhangibir elemanını tüm ardıllarıyla birlikte içeren bir
altkümeye dayandığını hatırlayalım. Fakat bu tam anlamıyla daha önce
gördüğümüz yukarı doğru kapalı kümeler olarak adlandırdığımız şeydir
ve açık altkümenin topolojik kavramının buna denk olduğunu gördük.
41
Nihayet bu bir qo-set den bir A-uzayı oluşturduğumuzda topolojiyi
meydana getiren A-uzaylar yukarı doğru kapalı kümeler durumuydu.
Sıradaki teorem topolojik uzayların açık altuzaylarının modal formüllerin
geçerliliğini miras aldıklarını gösterir, böylece açık altuzaylar doğrulmuş
altçatı kavramı için topolojiksel ikameyle ispatlanır.
Teorem 3.1.5: U, T = (W,Ω) topolojik uzayının açık altkümesi ve Ф bir
modal formül olsun. T Ф ve T U = (U,ΩU) ΩU = {O⊆U |O∈Ω} olmak
üzere topolojik uzay ise o zaman T U Ф dır.
İspat: U üzerindeki herhangibir υ valuasyonu için υ´ U üzerinde υ ile
uyuşan , X in tümü için υ nin bir genişlemesi olsun. Modal formüllerin
uzunluğu üzerine tümevarımla herhangibir u∈U noktası ve herhangibir ψ
formülü için
T, υ´,u ψ ⇔ U, υ,u ψ
olduğunu ispatlayacağız.
Önerme harfleri ve Boole bağlaçları herhangibir özel
incelemeye gereksinim duymadığı için ψ = ψ1 durumunu göz önünde
bulunduralım.
(⇒
⇒)T, υ´,uψ1 ⇔ T , υ´, Oψ1 olacak şekilde u nun bir açık O
komşuluğunun olması anlamına gelir. U üzerinde topoloji tanımı ve
42
tümevarım hipotezinden U, υ, O∩Uψ1 elde ederiz burada O∩U ΩU
daki u nun açık komşuluğudur. Bu U, υ, uψ1 anlamındadır.
(⇐
⇐) U, υ, uψ1 ,
U, υ, OUψ1 olacak şekilde U da u nun bir OU
açık komşuluğunun olması manasına gelir. ΩU nun tanımından OU∈Ω
sonuçlandırılır. Tümevarım hipotezinden T , υ´, OUψ1 dir; burada OU T
de u nun bir açık komşuluğudur. Böylece T, υ´,uψ1 dir.
Bağlantısız topolojik uzayların sınıfı bağlantılı topolojik
uzaylar sınıfının tümleyeninin sınıfıdır. İkincisinin modal olarak
tanımlanamaz olduğu ortaya çıkar. Sadece discrete topoloji ile iki- nokta
uzayını göz önünde bulunduralım - bu bağlantısızdır fakat bir-nokta açık
altuzayı
bağlantılıdır.
Açık
altuzaylar
geçerliliği
koruduğundan,
bağlantısızlık modal tanımlamazdır.
Bu nedenle açık altuzaylar doğrulmuş altçatıların topolojik
benzerleridir. A bir çatının herhangibir altkümesi ise A yı içeren en az bir
tane yukarı doğru kapalı küme daima vardır. Bu Alexandroff uzayları
durumundaki gibidir. Keyfi bir topolojik uzayda her zaman verilen bir A
altkümesini çevreleyen bu açık alt uzay alabiliriz fakat bu çeşit en küçük
açığı daima bulamayız.
Bu eşlemeyi göz önünde bulundurarak sınırlı morfizmaların
topolojik özelliğinin ne olduğunu anlamak zor değildir. Bu sınırlı
morfizmanın yukarıya doğru kapalı kümelerle bağlantısına bakalım. Bir
sınırlı morfizma tanımındaki dördüncü koşul sadece yukarıya doğru
43
kapalı kümelerin sınırlı-morfik preimajlarının yukarıya doğru kapalı
olduğunu ifade eden bir monotonluk gerektirir. Topolojik açıdan bu
açıkların preimajlarının açık olması anlamına gelir. Bu tür dönüşümler
genel topolojide süreklilik olarak adlandırılır.
Tanım 3.1.6: T 1= (X1 ,Ω1) ve T 2= (X2 ,Ω2) topolojik uzayları arasındaki
f : T 1 → T 2 dönüşümü verilsin. O2 ∈ Ω2 , f -1 (O2)∈Ω1 yi gerektirirse
o zaman f süreklidir şeklinde adlandırılır.
Sınırlı
morfizma
tanımındaki
arka
koşulunu
kısaca
kelimelerle ifade ettiğimiz zaman, yukarı doğru kapalı kümelerin yukarı
doğru kapalı olduğunu iddia ettiğini görürüz. Bu topolojide açık
dönüşümler kavramına karşılık gelir.
Tanım 3.1.7: T 1= (X1 ,Ω1) ve T2= (X2 ,Ω2) topolojik uzayları arasındaki
f : T 1 → T 2 dönüşümü verilsin. O1∈ Ω1 , f(O1)∈Ω2 yi gerektiriyorsa
f ye açıktır denir. Hem açık hem de sürekli bir dönüşüme bir iç dönüşüm
denir.
Böylece
iç
dönüşümler
Kripke
semantiğinde
sınırlı
morfizmaların oynadığı rolle topolojik semantikte oynadığı rol aynıdır.
Sıradaki teorem bu önermenin doğruluğunu gösterir.
Teorem 3.1.8: T 1= (X1 ,Ω1) bir topolojik uzay ve f , T 1 den T 2= (X2,
Ω2) ye bir iç dönüşüm olsun. Herhangibir Фmodal formülü için T 1 Ф
, T 2Ф yi gerektirir.
44
İspat: T2 üzerindeki herhangibir υ2 valuasyonu için υ valuasyonunu
aşağıdaki gibi tanımlayalım:
υ (p) ≡ f -1 (υ2 (p)) . Herhangibir x∈X1 için aşağıdakinin korunduğunu
iddia edelim:
T 1, υ, xψ ⇔ T 2, υ2, f(x) ψ .
f nin örtenliği kullanılarak geçerliliğin korunması sonuçlandırılabilir.
İspat önerme ve boole durumlarında tümevarımla yapılır. ψ = ψ
varsayalım.
(⇒
⇒) T1, υ1,xψ1 den x in bir Ux açık komşuluğu için T1, υ1, Ux ψ1
elde edilir. f nin açık olmasından dolayı f (UX) in f(x) in bir açık
komşuluğu olduğu sonuçlandırılır. Tümevarım hipotezinden T2, υ2,
f(Ux) ψ1 dir ve buradan T2, υ2, f(Ux) ψ1 dir.
(⇐
⇐) Yukarıdaki gibi f yerine f -1 alalım. f nin sürekliliği f -1 (O2) nin T 2
de açık olmasının O2 nin T 2 de açık olmasını gerektirir. Çatılar üzerindeki temel geçerlilik koruyan operatörler için
topolojik denklikler bulmayı neredeyse başardık. Tek bir adım olarak
ultrasüzgeç genişlemelerin oluşturulması kaldı. Öncelikle buraya kadar
tanımladığımız yapıları yerleştirmeye çalışalım. Şimdiki amacımız
özellikle ayırma aksiyomlarının modal formüller tarafından tanımlanabilir
olduklarını göstermektir. T0, T½ , T1, T2, T3, T3½, T4, T5, T6 ayırma
45
aksiyomlarını ana hatlarıyla bilmemiz yeterlidir. Ne yazık ki bu
aksiyomların hiç birisi modal formüller tarafından tanımlamaz ve iç
dönüşümler altında korunamaz.
Teorem 3.1.9: i ≤ 6 için Ti ayırma aksiyomları temel modal dilde
tanımlanamazlar.
İspat: Reellerden, antidiscrete topoloji (Sadece boş küme ve evreni içeren
topoloji) ile donatılmış X= {1,2} standart topolojisine, rasyonellri 1 e
irrasyonelleri 2 ye götüren iç dönüşümü göz önünde bulunduralım.
Reeller tüm ayırma aksiyomlarına uyarken X hiçbirine uymaz.
İç dönüşümler doğruluğu korurken, ayırma aksiyomlarının
hiçbiri temel modal dilde bir formülle tanımlanamaz. Diğer topolojik inşaalar: Bazı durumlarda iyi bilinen topolojik yapılar iç
dönüşümlere neden olur. Geçerliliğin korunması otomatik olarak bu
inşaalara taşır. Bir örnek olarak kısaca uzayların topolojik çarpımı ve
topolojik uzayların bölümünü tartışacağız. Topolojik uzayların çarpımı iki
şekilde tanımlanabilir. Her iki durumda da doğal projeksiyonlar iç
dönüşümlerdir. Bunun anlamı şudur: Topolojik uzayların çarpımı bazı
modal formülleri geçerli kılıyorsa o zaman bileşenleri bu formülü geçerli
kılmalıdır. Bir topolojik uzayın bölümü için şunu ifade edelim: Uzayın
evreni üzerinde tanımlı herhangibir denklik bağıntısı (doğal bölüm
dönüşümü sürekli olacak şekilde ) bunun üzerinde doğal topolojiye sahip
bir bölüm uzayı belirler. Bu (gerek ve yeter ) koşul altında herhangibir O
açık kümesi için O ile kesişen tüm denk sınıfların birleşimi açıktır ve
doğal bölüm dönüşümü bir iç dönüşüm olur. Bunun anlamı şudur:
46
Yukarıdaki koşul bir uzay ve üzerindeki bir denklik bağıntısı için
sağlandığında ve uzay Ф modal formülünü gerçeklediğinde bölüm uzayı
Ф yi de gerçekler. Bu topolojik inşaaların tam tanımları için (Engelking,
1977 ) ye başvurulabilir.
Topo-bisimulasyonlar:
Geçerliliği
koruyan
üç
operatörün
topo-
bisimulasyon kavramının belirtileri olduğunu belirtmek istiyoruz.
Topolojik modeller için Kripke modelleri arasındaki bisimulasyon
kavramını ilk kez (Aiello and Benthem, 2001) de ele almıştır. Topobisimulasyonlar topolojik uzaylar hakkında bir modal sonuç için güçlü
birer araçtır. İnşaaların herbiri – topolojik toplam, açık alt uzaylar ve iç
imajı – karşılık gelen modeller arasındaki doğal topo-bisimulasyonları
verir. Yukarıda sunulan geçerlilik koruma sonuçları, (Aiello and
Benthem, 2001) deki daha genel bir teorem olan topo-bisimulasyonların
modal
eşitlikleri
gerektirdiği
iddiası
ile
ispatlanabilir.
Topo-
bisimulasyonlarla ilgili sonuçlar için (Aiello and Benthem, 2001) ve
(Aiello et al. 2001) e başvurulabilir.
Topolojik invaryans: P modal dilimizi göstermek için yeterince güçlü
olan bir topolojik özellik olsun. Bu kesimin sonuçları şunu gerektirir:
P topolojik toplamlar, açık altuzaylar ve iç dönüşümlerin oluşturulması
için invaryanttır. Bu önceki teoremin bir açık sonucudur. Örneğin
atomicity' yi göz önünde bulunduralım. Bir atomik uzay
topolojik
toplamlar, açık altuzaylar ve iç dönüşümler altında invaryant olan bir
topolojik özelliktir. Genel topolojinin asıl amacı çeşitli topolojik
dönüşümler altında invaryant özellikleri tanımlamaktır. Bu kısmın ilk
teoremlerinin ışığı altında modal tanımlanabilirlik ve üç temel geçerlilik
47
koruyan topolojik operatörler invaryantı otomatiktir. Aynı şey aşırı
bağlantısızlık için de sağlanır.
Bu kısmı karşılık gelen qo-kümelere başvurarak A-uzaylara
kısıtladığımızda
topolojik
topolojik toplamlar, açık altuzay ve iç dönüşümün
kavramları ayrık birleşim, doğrulmuş altçatı ve sınırlı
morfizmanın küme teorik kavramlarıyla çakışmasından bahsederek
sonlandıracağız.
3.2. İç Cebirler
İlk olarak McKinsey ve Torski tarafından tanıtılan İç
Cebirleri topolojik operatörlü BAO (Boole cebir operatörleri ) lardır.
Gerçekten, modal lojiğin tamlık ispatı İç Cebirleri topolojik yorumları
yardımıyla yerine getirildi. Burada temel tanımların bazılarını tekrar
edecek ve tanımlabilirlik sonucumuzu üzerine kurmak için sağlam zemin
hazırlayacağız. Bir soyut iç cebri S4-operatörlü bir boole cebridir.
Tanım 3.2.1: Bir İç Cebri B bir boole cebri ve , B nin her bir
elemanını a∈B elemanına eşleyen bir operatör olmak üzere aşağıdaki
koşulları sağlayan bir (B, ) ikilisidir:
(I1)  (a∧b) = a ∧b ,
(I2) a ≤ a ,
48
(I3) a =a ,
(I4)  = .
Böyle bir cebirin bir açık örneği I operatörlü herhangibir
topolojik uzay üzerindeki dolu küme cebiridir. Gerçekten, I altında kapalı
olan topolojik uzay üzerindeki herhangibir küme cebiri de verilebilir.
Stone Gösterilim Teoremi ışığı altında, bazı topolojik uzaylar üzerinde
herhangibir soyut iç cebiri kuvvet kümesi cebiri içine gömülebilir. Boole
cebiri durumundaki gibi topolojik taşıyıcı cebirin tüm ultrasüzgeçlerinin
kümesidir. Bu küme üzerindeki topoloji, farklı yapıları vererek şekillerle
tanımlanabilir. Amacımız gösterilim uzayının bir Alexandroff topolojiye
sahip olması durumunda tanımı verir. Kısaca göreceğimiz gibi, bu doğal
bir şekilde yapılabilir.
Tanım 3.2.2: Bir (B, ) iç cebirinin bir F süzgeci verilsin. Herhangibir
a ∈B için a∈F, a∈F yi gerektiriyorsa F ye bir açık süzgeç adı verilir.
a = a ise o zaman bir iç cebirinin bir a elemanınına açık denir.
Teorem 3.2.3: Herhangibir A = (A,) iç cebiri bir A-uzayının tüm
altkümelerinin altcebirine izomorftur.
İspat: A nın tüm ultrasüzgeçlerinin A* ≡ Uf(A) kümesini göz önünde
bulunduralım. Cebirin keyfi bir F süzgeci için F* ile F yi genişleten tüm
ultrasüzgeçlerin kümesini göstereceğiz. Bu durumda F cebirin bir a
elemanı tarafından doğrulur, F = {b∈A |b≥a}. F* nin bir eleman olarak
a ya sahip tüm ultrasüzgeçlerden oluştuğu açıktır. Bu durumda
a* ≡ {u∈A* |a∈U } notasyonunu kullanabiliriz.
49
O herhangibir açık süzgeç olsun ve O yu genişleten tüm
ultrasüzgeçlerin O* kümesini ele alalım. Basit bir muhakemeyle tüm O* ın
kolleksiyonunun topolojik bazı için sınırlayabileceğimizi görebiliriz.
Sonuçlanan topolojik uzayı A * = (A*, Ω*) ile gösterelim ve buna A nın
Alexandroff genişlemesi diyelim.
Ω* ın bir Alexandroff topolojisi olduğunu göstermek için
herhangibir ultrasüzgecin en küçük açık komşuluğa sahip olduğunu
ispatlamak yeterlidir. u, A nın seçilen keyfi bir ultrasüzgeci olsun. (I1) e
göre sonlu meetler altında kapalı olan Ou1 ≡ {o∈u | o = o} kümesini
yani bu ultrasüzgeçten seçilen tüm açık elemanların kümesini göz önünde
bulunduralım. Böylece açık bir süzgeç olan Ou ≡ {a∈A |a≥o ∈ Ou1}
süzgecini doğurur. u nun Ou nun bir genişlemesi olması olgusundan şu
sonuç elde edilir: Ou*
u nun bir açık komşuluğudur; u daki tüm açık
süzgeçler Ou da içerilecek şekilde en küçük olanıdır.
Şimdi her a∈A için a* ≡ {u∈A* |a ∈u} kümelerini göz
önünde bulunduralım. Stone gösterilim teoreminden A nın (℘A* , I* ) ın
bir altcebiri olduğunu göstermek için her a∈A için (a)* = I* a* olduğu
gösterilmelidir.
İlk olarak (a)*
ın Ω* da bir açık küme olduğunu
gözleyelim. Gerçekten, önceden belirttiğimiz gibi, (a)*
a
ile
doğrulmuş süzgeci genişleten tüm ultrasüzgeçlerin kümesiyle çakışır. Bu
süzgeç açıktır çünkü a ≤ b , (I1) ve (I3) den a ≤ b yi gerektirir.
50
u∈(a)* ⇒ a ∈u ⇒ a ∈u ⇒ u∈ a* türetimi(a)* ⊆ a* ı gerektirir.
Böylece (a)* ın a* da içerilen bir açık küme olduğunu ispatlamış
olduk. İspatı tamamlamak için (a)* ın a* da içerilen en büyük açık
kümenin olduğunu göstermeliyiz.
Gerçekten, herhangibir O ⊆ a* açık kümesini alalım ve Ω*
ın tanımından herbir i∈I için bir açık süzgeç Oi* ile birlikte O = ∪i∈I
Oi* yi tekrar ele alalım. Her i∈I için Oi*⊆ a* olduğu açıktır. Bunun
anlamı şudur:
Oi
yi genişleten bir ultrasüzgeç a yı içermelidir ve
ultrasüzgeç teoreminden bu a ∈Oi demektir. Böylece herbir i∈I için
Oi*⊆ (a)* olması sebebiyle her i∈I için Oi nin açıklığı ile a ∈Oi
elde edilir. O zaman O = ∪i∈I Oi* ⊆ (a)* dir. O, a* da içerilen en büyük
açık olduğu sonuçlandırılır. Böylece (a)* = I* a* dır. Tanım 3.2.4: Bir A = (A, ) iç cebiri için A* üzerinde aşağıdaki gibi R*
bağıntısını tanımlayalım:
R*uv ⇔ v∈Ou .
Burada Ou , Ω* da u nun en küçük açık komşuluğunu gösterir.
Şimdi R* ın A için ultrasüzgeç çatıların R+ bağıntısıyla
çakıştığını göstereceğiz. Böylece Alexandroff uzayla bağlantılı olarak
kendi cebirinin ultrasüzgeç çatısıyla inşaa edilir.
Teorem 3.2.5: A = (A,) herhangibir iç cebir olsun. (A* , R*) çatısı A
nın A + ultrasüzgeç çatısıyla çakışır.
51
İspat: A boole cebiri üzerinde ◊ ≡ ──
operatörünü tanımlayarak A
yı BAO ya dönüştürelim. Bu A yı gözden geçirmenin diğer bir yoludur.
Keyfi iki u ve v ultrasüzgeçleri için aşağıdaki korunsun.
R*uv ⇔ her a∈v için ◊a∈u dır.
Bu
R* bağıntısının A
nın ultrasüzgeç çatısının
R+ bağıntısıyla
çakıştığını ifade eder. İspatı aşağıdaki gibidir:
(⇒
⇒) R*uv kabul edelim ve a∈v için ◊a∉u olsun. u bir ultrasüzgeç
olduğundan ─◊a∈u ⇒ ─ ── a∈u
⇒ ─ a∈u dır. ─ abir açık
elemandır. Önceki teoremin ispatından v u daki tüm açık elemanların açık
süzgecinin bir genişlemesidir. Bu nedenle ─ a∈v ve ─ a≤─ a dır. v
bir ultrasüzgeçtir ve ─ a∈v dır. Bu a∈v varsayımıyla çelişir.
(⇐
⇐) ◊a∈u her a∈v için korunsun ve R*uv nin başarısız olduğunu
varsayalım. O zaman u da en az bir açık elemanın olmadığı anlaşılır. o =
o
ve
o∉v olacak şekilde
o∈u
elemanı vardır. Ultrasüzgeçlerin
özelliklerinden ─ o∈v dir ve varsayımdan ◊─o∈u dur. Böylece ◊─o =
─ ─ ─o = ─ o olup ─o∈u dur. Buradan o∈u ile bir çelişki bulduk. Homomorfizmalar ve çarpımlarla ilgili bazı dualite sonuçlarına
ihtiyacımız vardır. Son teoremin ışığı altında iki iç cebiri arasındaki
homomorfizmanın, kendi ultrasüzgeç çatıları arasında sınırlı morfizmaya
52
ve böylece Alexandroff genişlemelerinin arasında iç dönüşümlere neden
olduğunu söyleyebiliriz. Bu ifadenin ispatı teorem 2.2.3 yardımıyla elde
edilebilir.
Tanım 3.2.6: h: A 1 → A 2 bir iç cebirler homomorfizması olsun. h*: A
→A
1
*
*
2
ı h*(u2) = {a1∈A1 |h(a1)∈u2} şeklinde tanımlayalım. Topolojik
olarak, h* bir iç dönüşüm olarak ele alınabilir.
Teorem 3.2.7: h: A
zaman h*: A
2
*
→A
1
1
→A
*
2
iç cebirlerin bir homomorfizması ise o
topolojik uzaylar arasında bir iç dönüşümdür.
Ayrıca h bire-bir (örten) ise o zaman h* örten (bire-bir) olur.
İspat: h* ın ultrasüzgeçleri ultrasüzgeçlere eşlediği, h bire-bir ise örtenliği
ve h örten ise bire-birliği kolaylıkla gerçeklenebilir. İspatlanacak aşikar
olmayan tek bölüm h* ın iç (yani açık ve sürekli) olmasıdır. Genel
topolojide bilindiği gibi bu sıralı bazıların elemanlarını kontrol etmek
yeterlidir. (Engelking, 1977 ). Bu amaç doğrultusunda ilerleyelim. h* ın
sürekli olduğunu ispatlamak için O1 açık süzgeç ile doğrulmuş bazın O1*
∈Ω1 elemanını göz önünde bulunduralım ve bir altküme olarak O1 i
içeren h* - imajların Α2 nin bu tür tüm ultrasüzgeçlerden veya diğer bir
deyişle h (O1 ) kümesini içeren Α2 nin tüm ultrasüzgeçlerinden oluşan
h*-1O1* ı alalım. h (O1 ) bir süzgeç olmamasına rağmen sonlu meetler
altında kapalıdır çünkü O1 sonlu meetler altında kapalıydı ve h boole
operatörlere uyar. Böylece h (O1 ) i içeren tüm ultrasüzgeçlerin kümesi h
(O1) ile doğrulmuş en küçük süzgeci içeren tüm ultrasüzgeçlerin
kümesiyle çakışır. Bu süzgeç bir açık süzgeçtir çünkü O1 bir açık süzgeçti
ve h  a uyar. Bu nedenle h*-1O1* = (h (O1 ))* ∈Ω2* dır.
53
h* ın açıklığı için O2* ile gösterilen Ω2 nin bazının bir
elemanını alalım ve h*(O2*)
kümesini göz önünde bulunduralım. Bu
kümenin bir tipik gösterilimi h*(u2) formuna sahiptir burada O2 ⊆ u2 dir.
h*(u2) ={a1∈A1 |h(a1)∈u2} olduğundan, h-1(O2) ⊆ h*(u2) olduğu açıktır. h
bir homomorfizma ve O2 bir açık süzgeç olduğundan h-1(O2) A1 in bir
açık süzgecidir ve bu h*(O2*) = (h-1(O2))* ∈Ω1* anlamını taşır.
Bu kısmı sonlandırırken iç cebirler kümesinin çarpımlarının
nasıl işlediğini göreceğiz.
Önerme 3.2.8: T i , I kümesiyle indeksli topolojik uzayların kolleksiyonu
olsun. Kendi iç operatörüyle T i üzerindeki kuvvet kümesi cebirini (T i )*
ile gösterelim (T i )* iç cebiridir ve
Πi∈I (T i )* ≅ (∪i∈I T i)*
korunur.
≅
IA-izomorfizmayı ve U topolojik uzayların topolojik
toplamını temsil eder.
İspat: f : Πi∈I (T i )* → (∪i∈I T i)* aşağıdaki gibi tanımlı bir dönüşüm
olsun. (ai) i∈I ∈ Π i∈I (T i)* için herbir ai ∈(Ji )*
karşılık gelir. O zaman
Ai ⊆ T
i
altkümesine
f((ai) i∈I) = (∪i∈I Ai)* tanımlayalım.Diğer bir
deyişle, tüm Ai lerin topolojik toplamını alalım ve f((ai) i∈I ) yi ∪ i∈I T i
nin tüm altkümelerinin iç cebirinin elemanına karşılık eşleyelim. f nin iç
cebirlerin bir izomorfizması olduğunu göstermek rutin bir inceleme
54
gerektirir. f nin iç operatörle niçin değiştiğini açıklamak için şunu
belirtebiliriz: Cebirlerin çarpımı üzerine iç operatörü componentwise
tanımlanır ve topolojik uzayların topolojik toplamı üzerine iç operatörü
componentwise çalışır.
3.3. Topolojik Goldblatt-Thomosan Teoremi
Ayrık birleşim, doğrulmuş altçatı ve sınırlı morfic imajın
temel çatı operatörleri için topolojik denklerini inceledik. Çatılar
üzerindeki dördüncü önemli operatör ultrasüzgeç genişlemenin teşkil
edilmesidir. Bunun topolojik denkliğine henüz ulaşamadık. A-uzaylarının
S4-çatılarına birebir karşılık gelmelerinden dolayı, böyle bir denklik bir
A-uzayına başvurulduğunda karşılık gelen çatının ultrasüzgeç genişlemesi
verilmelidir. Bunu yapacak birikime sahibiz. Topolojik uzayın tüm
altkümelerinin iç cebirini ele alalım ve bunun Alexandroff genişlemesini
göz önünde bulunduralım. Bir A-uzayından hareket edildiği zaman bu
yöntem bu çatı için ultrasüzgeç genişlemesinde sonuçlanır. Bu kısmın
tamamı Goldblatt – Thomosan teoreminin topolojik versiyonuna
başvurmadaki haklı seçimimizi gösterir.
Tanım 3.3.1: Verilen bir T =(X,Ω) topolojik uzayı için Alexandroff
genişlemesini X in tüm altkümelerinin iç cebirinin T *=(℘(X)*,Ω*)
A-uzayı olarak tanımlayalım.
Diğer bir deyişle, T nin kuvvet küme cebiri için ultrasüzgeç
çatı üzerindeki yukarı doğru kapalı küme topolojisini alalım ve aşağıdaki
gibi standart valuasyonu tanımlayalım.
55
Τanım 3.3.2: M =( T, υ) bir topolojik model ise T
∗
üzerinde standart
valuasyon υ∗ ı aşağıdaki gibi tanımlayalım:
u∈υ∗ (p) ⇔ υ(p)∈u .
Bu tanım Alexandroff genişlemenin modal geçerliliği korumadığını
göstermemize yardımcı olacaktır.
Teorem 3.3.3: T =(X,Ω) topolojik uzay; M = (T, υ) bu uzay üzerinde bir
topolojik model; T
∗
T nin Alexandroff genişlemesi ve υ∗ standart
valuasyon olsun. O zaman herhangibir Ф modal formülü için aşağıdaki
korunur:
u∈υ∗ (Ф) ⇔ υ(Ф)∈u .
İspat: Ф nin uzunluğu üzerine tümevarım uygulayalım. Önermesel
durum için υ∗ ın tanımına bakmak yeterlidir, boole bağlaçları durumları
açıktır. Bu nedenle sadece modalite durumu incelemek yeterlidir. Ф
biçimli bir formülü göz önünde bulunduralım:
(⇒
⇒) Tanımdan u∈υ∗ (Ф), u nun bir O*u açık komşuluğa sahip olması
anlamını taşır öyle ki vФ her v∈O*u
hipotezinden bu O
u
için korunsun. Tümevarım
⊆ v, her v için υ(Ф)∈v yi gerektirmesi şeklinde
yeniden ifade edilebilir. Bu υ(Ф) nin Ou nun bir elemanı olduğunu
gösterir. υ(Ф) ∉ Ou durumu olsaydı ultrasüzgeç teoreminden Ou
genişleten bir ultrasüzgeç bulunabilirdi ve hala
56
yu
υ(Ф) bir kenara
bırakılırdı. Bu nedenle υ(Ф)∈O u dır. Böylece Ou bir açık süzgeç olarak
alındığında I(υ(Ф))∈O u olur ve u nun O u yu genişletmesinden dolayı
I(υ(Ф))∈u elde edilir.
(⇐
⇐) υ(Ф)∈u varsayalım. O zaman I(υ(Ф))∈u dır. Bu tür herhangibir
ultrasüzgeç u dan alınan tüm açık elemanları içerir. Böylece I(υ(Ф))∈v
dir çünkü I(υ(Ф)) u nun bir açık elemanıdır. O zaman I(υ(Ф)) ⊆ υ(Ф) ,
υ(Ф)∈v yi gerektirir. Tümevarım hipotezinden v∈υ∗(Ф) dır. v nin u nun
en küçük açık komşuluğundan keyfi seçilişinden u∈υ∗ (Ф) elde ederiz.
Bu bölümün temel sonucu tanımlanabilir sınıflar hakkında
Goldblatt – Thomason teoreminin bir topolojik versiyonudur.
Teorem 3.3.4 ( Topolojik Goldblatt - Thomason ): Alexandroff
genişlemelerin oluşumu altında kapalı olan topolojik uzayların K sınıfının
modal tanımlanabilir olması için gerek ve yeter koşul bu sınıfın açıkları
alınarak altuzaylar, iç imajlar, topolojik toplamlar altıda kapalı olmasıdır
ve bu Alexandroff genişlemelerini yansıtır.
İspat: Sadece sağdan sola yönüyle ilgileneceğiz, diğer yön teorem 3.1.2,
3.1.5, 3.1.8, 3.3.3 ten aşikardır.
K nın teoremin koşullarını sağlayan uzayların herhangibir
sınıfı olduğunu kabul edelim ve T = (X,Ω)
K nın modal teorisini
gerçekleyen bir uzay olsun. T * ile gösterilen X in tüm alt kümelerinin iç
57
cebiri K daki uzaylara karşılık gelen cebirin denklemsel teorisini
gerçekler. Böylece Birkhoff teoreminden T * bu tür cebirlerin HSP sine
izomorftur. Bu nedenle aşağıdakiler sağlanacak şekilde H, S cebirleri ve
h, s dönüşümleri vardır:
(1) h: H → T * örten IA – homomorfizmadır.
(2) s: H → S
bire-bir IA – homomorfizmadır.
(3) Pi ∈K olmak üzere S = Π i∈I (Pi )* dır ve (Pi )* her i∈I için Pi nin tüm
altkümelerinin iç cebiridir.
(3), Alexandroff genişlemenin tanımı ve Önerme 3.2.8 den
S = (∪i∈I Pi )* elde edilir ve P = ∪i∈I Pi ile gösterirsek topolojik toplamın
oluşumu altında kapanışıyla P∈K elde edilir. Böylece S = P* dır. Şimdi s
yi Alexandroff genişlemelerine dönüştürmek için (2) yi kullanacağız ve S
bire-bir IA – homomorfizması olduğu sürece s*: (P*)* → H* ın bir örten iç
dönüşümü
olduğunu
elde ediyoruz. (P*)*
P
nin Alexandroff
genişlemesinden başka birşey değildir ve böylece bu sınıf üzerine
yüklediğimiz koşullardan K ya aittir; fakat o zaman H* , K daki uzayın iç
imajı olur. Buradan H*∈K dır.
Son olarak (1) e deyinelim ve h tekrar Alexandroff
genişlemelerine dönüştürsün ve h* bire-bir iç dönüşüm olmak üzere h* :
(T *)* → H* ı elde ederek h* ((T *)*) ın H* ın bir açık altkümesi olduğunu
sonuçlandırırız ve kapanış koşullarından h* ((T *)*)∈K dır. h* : (T *)* → h*
((T *)*) bire-bir örten (homomorfik) iç dönüşümdür. Bu (T *)*∈K yi
gerektirir. (T *)* T nin bir Alexandroff genişlemesi olduğunu hatırlamak
58
zorundayız, bu nedenle Alexandroff genişlemeleri yansıtan K ile
((T*)*)∈K T ∈K yi gerektirir. Alexandroff genişlemelerinin oluşumu altında kapalı olan
Alexandroff uzaylarının sınıfının modal olarak tanımlanamadığını
sonuçlandırabiliriz. Bu Alexandroff genişlemeleri yansıtmaz.
Üç temel topolojik geçerlilik koruyan operatörlerden farklı
olarak Alexandroff genişlemesi topoloji için yeni bir anlayıştır. Topolojik
toplamlar, açık altuzaylar ve iç dönüşümler genel topolojinin parçalarıdır.
Doğal topolojik bir yapıya sahip olmasıdır rağmen Alexandroff
genişlemeler Goldblatt – Thomason teoremini ispatlamamıza yardımcı
oldular fakat eğer bu teoremi kullanmak istiyorsak o zaman Alexandroff
genişlemesinin daha iyi bir topolojiksel anlayışına ihtiyacımız vardır.
Yeni bir yapının inşaasını tanımlamak için olası bir yol bir şekilde bilinen
ve araştırılmış yapılarla bağlantı kurmaktır. Alexandroff genişlemesi
durumunda, Stone-Čech kompaktifikasyonunun bir genellemesidir.
Alexandroff genişlemenin kompakt genişlemenin topolojisini içeren en
küçük Alexandroff topolojisi olduğunu göstereceğiz.
59
4. DİĞER SONUÇLAR
4.1. Dili Zenginleştirme
Bu bölümde başka türlü tanımlanamayan topolojik özelliklerden /
sınıflardan bazılarını tanımlamamıza yardımcı olan modal dili nasıl
genişleteceğimizi göreceğiz. Global modalite, fark operatörü ve
nominalleri eklemeyi ele alacağız. Global modalite durumu bağlantılılığın
da gösterildiği ( Shehtman 1999) da incelenmişti. Sırasıyla tüm bu
seçenekleri göz önünde bulunduralım.
Global Modalite: Dile global modalite topolojik box operatörünü
ekleyelim. Topolojik box ın özel bir türü olan ( A ile gösterilen ) global
box ı sabit antidiscrete topolojik yorumuyla inceleyebiliriz. Topolojik
modalite ile birleştirilmiş global modalite S4 * S5 lojiğiyle verilir ve
bağlantılılık A(◊Ф → ‫ٱ‬Ф) → ( AФ ∨ A¬Ф) modal formülüyle gösterilir
( Shehtman1999 ). Teorem 2.1.9 da gösterilen örnek ayırma
aksiyomlarının bu zenginleştirilmiş dilde gösterilebileceğini belirtir ve iç
dönüşümler burada geçerliliği korur.
Dilimize
global
diamond
operatörünü
eklediğimiz
zaman
tanımlanabilirlik ne oluyor? Kripke semantikleri durumunda GoldblattThomason
teoremindeki
kapanış
koşullarından
ikisinin
atıldığını
biliyoruz. Ayrık birleşimler ve doğrulmuş alt çatılar altında kapanış
zenginleştirilmiş dilde modal formüllerin geçerliliğini artık korumaz. Bu
topolojik toplam ve açık alt uzayların eklenmiş global modalitelerle
genişletilmiş dilde modal geçerlilik korunmaz. Bununla birlikte, iç imajlar
ve Alexandroff genişlemeler hala korunur.
60
Teorem 4.1.1: T 1 = ( X1 , Ω1 ) bir topolojik uzay ve f , T 1 den T 2 = (
X2 , Ω2) ye bir iç dönüşüm olsun. Global modalite eklenmiş dilde verilen
herhangi bir Ф formülü için ; T 1 Ф gerektirir T 2Ф dir.
Taslak ispat : X1 ve X2 leri antidiscrete topolojilerle donattığımızda f
bir örten dönüşüm olsun. A yı sabit antidiscrete yorumuyla verilmiş bir
topolojik box olarak düşünerek Teorem 2.1.8 i kullanırız.
Teorem 4.1.2 : T =(X,Ω) bir topolojik uzay , M=(T ,υ) bu uzay üzerinde
bir topolojik model , T
*
T nin Alexandroff genişlemesi ve υ* standart
valuation olsun. O zaman aşağıdaki eklenmiş global modaliteli modal
dildeki herhangi bir Ф modal formülü için korunur ;
u ∈ υ*(Ф) ⇔ υ(Ф)∈u
Taslak ispat : Formüllerin uzunluğu üzerine tümevarımla yapılır.
Aşağıdaki denk önermeler zincirini göz önünde bulundurun :
u∈υ*(AФ)⇔∀v(v∈υ*(Ф))⇔∀v(υ(Ф) ∈v) ⇔ υ(Ф) = X⇔ υ(AФ) =X∈u
.
Tahmin 4.1.3 : Alexandroff genişlemelerin alınması altında kapalı olan
topolojik uzayların bir K sınıfı eklenmiş global diamondla verilen dilde
modal tanımlanabilir olması için gerek ve yeter koşul K nın iç imajlarının
alınması durumunda kapalı olması ve Alexandroff genişlemelerini
yansıtmasıdır.
61
Fark Operatörü : Temel modal dili birşeylerin başka bir yerde doğru
olduğunu söyleyen D diamond operatörüyle zenginleştirelim.Global
diamond bu dilde EФ ↔ Ф ∨ DФ formülüyle tanımlanabilir.Buradan
bağlantılılıkda gösterilebilir. Ayrıca T0 ve T1 ayırma aksiyomları modal
tanımlanabilir olur.
İlk olarak bu aksiyomların topolojik tanımını verelim:
Tanım 4.1.4: Herhangi iki farklı x ve y noktasından biri diğeri tarafından
içerilmeyen bir açık komşuluğa sahipse o zaman bir T topolojik uzayı
T0 ayırma aksiyomuna uyar, deriz.
Herhangi iki farklı x ve y noktasından ikisi de diğerini içermeyen
bir açık komşuluğa sahipse o zaman bir T topolojik uzayı T1 ayırma
aksiyomuna uyar, deriz.
T0
ve
T1
ayırma
aksiyomlarının
fark
operatörüyle
zenginleştirilmiş modal dilde nasıl tanımlanabileceğini göstermeye sıra
geldi.
Teorem 4.1.5: D fark operatörü ve bir kapanış operatörü olarak
yorumlanan diamond ile zenginleştirilmiş temel modal dili göz önünde
bulunduralım.Aşağıdaki iki
formül sırasıyla
aksiyomlarını tanımlar.
t0 = Up ∧ DUp → ¬q ∨ D(q ∧ ‫¬ٱ‬q) ,
t1 = Up → A(p ↔ ◊p)
62
T0
ve T1
ayırma
Burada Up , p ∧ ¬Dp ve Ap , p ∧ ¬ D¬p ile tanımlanır.
İspat : Up nin bir modelin bir X evreninde doğru olması için gerek ve
yeter koşulun p nin X de ve sadece orada doğru olması gerektiğini
hatırlatalım.
T0 ⇒ t0 : Bir T = (X, Ω)
T0 topolojik uzayını ve üzerindeki
herhangi bir υ valuasyonunu alalım. Bir x1 noktası t0 dan öncekini doğru
yaparsa o zaman x2 ≠ x1 için υ(p) = {x1 } ve υ(q) = {x2} dir. x1 veya
x2 noktalarından en az biri diğerini içermeyen bir açık komşuluğa sahiptir
ve bu t0 ın sonucunun doğruluğu için gerekli olan şeydir.
t0 ⇒ T0 : T t0 herhangi bir valvation ve t0 ın herhangi bir
substition örneği için vardır. Herhangi iki farklı x1 , x2 ∈X noktaları için
υ(p) = {x1 } , υ(q) ={x2} valuationını ele alalım ve x1Up ∧ DUq →
¬q ∨ D(q ∧ ‫¬ٱ‬q) yi kullanalım. Önce gelen doğrudur. ( Bunun için
valuasyonu ifade ettik) ve sonucun doğru olması için x1¬q ∨ D(q
∧ ‫¬ٱ‬q) olmalıdır, yani x1 ¬q
veya
x1 D(q ∧ ‫¬ٱ‬q) dır. x1 ¬q
doğru ise o zaman x1 in her yerde ¬q yu doğru yapan açık komşuluğunu
elde ederiz. Böylece bu komşuluğun hiç bir noktası x2 olamaz. x1 D(q
∧ ‫¬ٱ‬q) ise bir x3 ∈X
için x3 q ∧ ‫¬ٱ‬q olur. q sadece
x2 de doğru
olduğu için x3 q den x3 = x2 elde ederiz. Böylece x2‫¬ٱ‬q olur. Bunun
63
anlamı ise x2 nin ¬q yi doğru yapan bir açık komşuluğa sahip olmasıdır.
Böylece x2 , x1 den ayrık bir açık komşuluğa sahiptir.
T1 ⇒ t1 : T1 singletonların kapalı olduğu, veya denk bir ifadeyle
her noktanın kapanışının bu noktanın kendisi olduğu bir uzaydır. T bu tür
bir uzay ve υ bu uzaydaki herhangi bir valuatıon ise o zaman t1 den önce
geleni doğru yapan herhangi bir x noktasını göz önünde bulunduralım. Bu
durumda
υ(p)={x}dir
ve
T1 den
υ(◊p)={x}dir. Böylece sonuç
doğrudur.
t1 ⇒ T1 : T t 1 ve x ∈X herhangi bir nokta ise o zaman
υ(p) = {x}noktasını alalım ve υ nin tanımından xUp yi göz önünde
bulundurarak x Up → A( p ↔ ◊p ) yi kullanalım. Böylece T nin
verilen keyfi bir x için T1 uzayı olduğunu belirten υ(◊p) = {x}= C{x}i
elde ederiz. Fark operatörlü modal dil ile ilgili daha ileri bir inceleme için ( de
Rijke 1922 ) ye başvurabiliriz. Bazı yönleri bir hybrid dili göz önünde
bulundurularak yapılan bir çalışmayı ( Blackburn et al 2001 ) de
bulabiliriz.
Hybrid dili : i, j,... ile gösterilen sayılabilir çoklukta eklenilen önerme
harfleri ile donatılmış temel modal dili göz önünde bulunduralım.
Teorem 4.1.6:
@ operatörlü hybrid modal dilde verilen aşağıdaki
formülleri göz önünde bulunduralım:
64
t0 = @ i ¬j → @j ‫ ¬ٱ‬i ∨ @i ‫¬ٱ‬j ,
t1 = i ↔ ◊i
i) T = (X, Ω) topolojik uzayı bir T0 uzayıdır ⇔ T t0
ii) T = (X, Ω) topolojik uzayı bir T1 uzayıdır ⇔ T t1
İspat :
(i) T0 ayırma aksiyomu şunu gerektirir : herhangi iki farklı noktadan biri
diğerini içermeyen bir açık komşuluğa sahip olmalıdır.
t0 ⇒ T0 : T t0 ise o zaman υ(i)={x} , υ(j)={y} olacak şekilde
υ valuasyonlu iki farklı x,y∈X noktası için T, υ, x @i ¬j dir.
O zaman T, υ, x @j ‫¬ٱ‬i  @i ‫¬ٱ‬j dir ve bunun anlamı ya T, υ, x ‫¬ٱ‬j
ya da
T, υ, y ‫¬ٱ‬i dir. Bu durumda ya x in y yi içermeyen bir açık
komşuluğa veya y nin x yi içermeyen bir açık komşuluğa sahip olması
gerektiği söylenir.
T0 ⇒ t0 : T bir T0 uzayı değilse o zaman bir açık küme ile
birbirlerinden ayrılmayan farklı x, y noktaları vardır. i yi x e ve j yi y
ye eşleyen herhangi bir valuasyon alalım. Bu durumda ;
65
T, υ, x@i ¬j dir ve aynı zamanda x(y) nin her açık komşuluğu y(x) i
içerdiğinden X, x◊j ve X, y◊i dir. Böylece X, x ‫¬ٱ‬j ve X, y‫¬ٱ‬i
elde edilir. Diğer bir deyişle, X, x @j‫¬ٱ‬i ∨ @i ‫¬ٱ‬j ve X t0 dır.
(ii) t1 formülü her singletonun kapalı olduğunu (diamondun kapanış
operatörü olarak yorumlandığını) ifade eder, bu T1 ayırma aksiyomuna
uyan T gösteriliminin denk bir şeklidir. Bu hybrid topolojik dili kapanış-diamond'un tek başına meydana
getiremediği bazı topolojik özellikleri ifade etmek için oldukça ümit
verici görünüyor.
4.2 Kompaktlık ve Kompaktifikasyonlar
Bu kesimde topolojideki kompaktlık olayını tartışacağız. Bu
özelliği
modal
terimlerle
tanımlamanın
beklendiği
gibi
sonuçlanmadığından bahsetmiştik. Kompaktlığın denk tanımı bir uzayın
herhangi bir açık örtüsünün bir sonlu alt örtüye sahip olmasını gerektirir.
Bu
yüksek
mertebeden
bir
ifadedir
ve
formüllerimiz
sonsuz
disjunctionlara olanak vermedikçe modal yasaklamayı hesaba katmak
mümkün değildir.
Yine de hepsinden öte, tanımlanabilirlik bir şeylere bakmak için
tek yol değildir. Bazı kompakt topolojik uzaylar üzerinde herhangi bir iç
cebirin dolu küme cebirine nasıl gömüldüğünü göstereceğiz. Bu inşaa
Stone-Čech
kompaktifikasyonunun
genelleştirilmesine olanak sağlayacaktır.
66
topolojik
kavramının
Aynı zamanda kompakt
genişlemenin bu yeni kavramı modal geçerliliğinin anti-koruma olduğunu
göstereceğiz. Alexandroff genişleme topolojik olarak daha sezgisel olan
kompakt genişleme açısından karekterize edicidir.
Kripke çatılarını topolojik olarak ele aldığımızda Kripke çatılar
için kompaktlığın ne anlama geldiğini göstereceğiz. Diğer bir deyişle,
kompaktlık Alexandroff uzaylar üzerine nasıl yansır? Alexandroff
uzayların her noktanın en küçük açık komşuluğu sahip olduğu topolojik
uzaylar olduğunu hatırlayalım. Alexandroff uzaylar quası sıralı Kripke
çatılara bire bir karşılık gelir. F =(W,R) bir Kripke çatı olsun. Evrenlerin
sonlu F kümesi şu özelliğe sahip ise o zaman T ye sonlu köklüdür denir.
Her bir evrene F nin elemanlarının birinden ulaşılabilirdir. Karşılık gelen
Alexandroff uzaylar aşağıdaki teoremde belirtilen benzer özelliğe
sahiptir.
Teorem 4.2.1: Alexandroff uzay (X,Ω) kompaktır ⇔ sonlu köklüdür ;
yani noktalarının sonlu sayısının en küçük açık komşuluklarıyla
örtülebilirdir.
İspat : Ox, bir x noktasının en küçük açık komşuluğunu göstersin.
(⇒
⇒) (X,Ω) bir kompakt A–uzay olsun. (Ox) x∈X açık bir örtüsünü göz
önünde bulunduralım. Kompaktlıktan (X,Ω) nun sonlu köklü olduğunu
ifade eden sonlu bir Ox1 ,Ox2 , ...,Oxn alt örtümleri vardır.
(⇐)
(⇐ Sonlu köklü bir (X, Ω) A uzayını ele alalım. x1 , ..., xn
X i örten en
küçük açık komşulukların noktaları olsun. X in (Os)s∈S açık örtüsü
x1 , ..., xn noktalarının her birini yakalar, buradaki s1 , ..., sn için x1 ∈Os1,
... ,
xn ∈Osn dir. Osi lerin herbiri karşılık gelen xi
67
nin en küçük açık
komşuluğundan daha büyük olduğu için Os1
,
..., Osn
açıklarının
kolleksiyonu X in bir örtümüdür. O halde X kompakttır. Bu nedenle kompakt Alexandroff uzaylara karşılık gelen qokümeler sonlu köklüdür. Bu durumda bir qo-küme sonlu bir derinliktedir
ve kompaktlık sonlu bir minimuma sahip olmaya denk olur. Şimdi iç
cebirleri
ve
bunların
kompakt
topolojik
uzaylarla
bağlantısını
inceleyeceğiz.
Her bir iç cebir ( Aiello et al 2001 ) de belirtildiği gibi bir kompakt
topolojik uzay üzerindeki bir küme cebirine izomorftur. Yazarlar bunun
için topolojik kanonik model tekniklerini kullanırlar. Topolojik kanonik
model topolojisi aynı küme üzerinde çıkan Stone ve Kripke
topolojilerinin bir kesişimidir. Bu kompaktlığı gerektirir çünkü Stone
uzaylar kompakt olarak bilinir ve alt topolojiler bu özeliği alırlar.
Teorem 4.2.2: Soyut bir A = (A,‫ )ٱ‬iç cebiri bir kompakt topolojik
uzayın tüm alt kümelerinin bir alt cebirine izomorftur.
İspat : İstenen topolojik uzay stone inşaasının bir değişiğidir. Daha açık
olarak, Uf(A) ile gösterilen, A nın tüm ultra süzgeçlerinin kolleksiyonunu
alalım ve (açık olarak adlandırılan) o = ‫ٱ‬o olacak şekilde her o ∈A için o#
={u∈Uf(A) |o∈ u} kümesini tanımlayalım. (o#)‫ٱ‬o=o∈A
kolleksiyonu
topoloji için bir baz oluşturur. Ω# sonuçlanan topoloji ve elde edilen A
nın kompakt genişlemesi olan topolojik uzay A # =(Uf(A), Ω# ) olsun. A#
nın bir kompakt topolojik uzay olduğunu ve A # nın tüm alt kümelerinin iç
68
cebirinin alt cebiri olarak A
yı içerdiğini iddia edelim. İlk önce
kompaktlığı ispatlayalım:
Sonlu kesişim özelliğine sahip Uf(A) nın kapalı alt kümelerinin
herhangi bir (Fi)i∈I
ailesini alalım. ve F ≡ ∩i∈IFi
yi göz önünde
bulunduralım. Her i∈I için oi açık olmak üzere Fi =Uf(A)\ oi dir. Bu oi =
∪j∈Ji oj# anlamına gelir ve de Morgon dan Fi = ∩j∈Ji Uf(A)\oj# dır. Şimdi
tanımdan f# j ≡ Uf(A)\oj# = {u∈Uf(A) | oj∉U}dır. Ultra süzgeçlerin
özelliklerini kullanarak, fj≡ -oj göstererek, f# j = {u∈Uf(A) | fj∈u} elde
ederiz. T ≡ ∪i∈I T i alırsak F = ∩j∈Jf j# elde ederiz. Bu durumda (f j#)j∈J
ailesinin sonlu kesişim özelliğine sahip olduğu açıktır yani A daki
elemanların (f j)j∈J kolleksiyonu sonlu meet özelliğine sahiptir ve böylece
A nın bir ultra süzgecinde içerilir. Bu ultra süzgece f diyelim. f∈F olduğu
açıktır, bu ise A # nın kompaktlığını doğrular.
Her a∈A için a# ={ u∈Uf(A)| a∈u} kümesi verildiğinde Ω# ile
sonuçlanan I# iç operatörünün D ile çakıştığını göstermeliyiz. Bu teorem
2.2.3 deki gibidir. Daha formal olarak, keyfi bir a∈A için I#a# = (‫ٱ‬a)#
olduğunu ispatlamalıyız.
İlk önce (‫ٱ‬a)# nin bir açık küme olduğunu söyleyebiliriz. u∈(‫ٱ‬a)# ⇒
‫ٱ‬a∈u ⇒ a∈u ⇒ u∈a# dan (‫ٱ‬a)# ⊆ a# elde ederiz. Herhangi bir o⊆a#
açığını aldığımızda Ω# nın tanımından o = ∪i∈I oi# yazabiliriz. Burada her
i∈I için ‫ٱ‬oi = oi∈A dır. Ultra süzgeçlerin özellikleri her i∈I için oi≤ a yı
gerektirir. Şimdi i∈I için herhangi bir u∈o≤ a# ultra süzgecini alalım. Bu
durumda u∈oi# , veya diğer bir deyişle oi∈u elde ederiz. oi≤ a ve ‫ٱ‬oi = oi
69
den ((I1)i kullanarak) ‫ٱ‬oi ≤ ‫ٱ‬a dır. Böylece ‫ٱ‬a∈u olup , u∈(‫ٱ‬a)# dır. Bu
(‫ٱ‬a)# ın a# da içerilen en büyük açık olduğunu gösterir. Ω# topolojisi teorem 2.2.3 ün Ω# topolojisinde içerilir. Gerçekten,
Ω*
aynı açık süzgeci paylaşan kümeler üzerine dayanırken, Ω# da
cebirden alınan aynı açık elemanları paylaşan tüm ultra süzgeçleri kapsar.
Ayrıca kısaca göstereceğimiz gibi, Ω*, Ω# yı içeren en kaba Alexandroff
topolojidir. Genel olarak Ω# bir Alexandroff topolojisi değildir. Aşağıdaki
sonuç bu ifadenin kesin şeklini vermektedir.
Teorem 4.2.3: A bir iç cebir, A
#
= (Uf(A),Ω# ) A nın kompakt
genişlemesi ve Ω, Ω# ⊆ Ω olacak şekilde Uf(A) üzerinde bir Alexandroff
topolojisi olsun. O zaman
Ω# ⊆ Ω korunur. Burada
Ω# , A
nın
Alexandroff genişlemesinin topolojisini ifade eder.
İspat : Herhangi bir u∈Uf(A) ultra süzgeci için Ω# da u nun en küçük Ou
açık komşuluğunun Ω nın bir elemanı olduğunu göstermek yeterlidir.
Biliyoruz ki Ou
u dan alınan tüm açık elemanlara sahip tüm ultra
süzgeçlerden oluşur. Teorem 2.2.3 den o* ı iki denk şekilde gösterebiliriz.
Bunlardan biri o* ın o elemanı ile doğrulmuş açık süzgecini genişleten
tüm ultra süzgeçlerden oluşmalıdır. Diğeri o* ın bir eleman olarak o ya
sahip tüm ultra süzgeçleri içermesidir. Bu aynı zamanda o* ın o# ile aynı
kümeyi göstermesi anlamına gelir. O zaman Ou = ∩‫ٱ‬o=o∈u o# dır.
Varsayımlardan her bir o#
Ω da açıktır ve Ω keyfi kesişimler altında
kapalıdır. O halde Ou ∈Ω dır. 70
Yukarıdaki teorem Alexandroff genişleme ve kompakt genişleme
kavramlarını birbirine bağlar. Bu iki yapıyı daha iyi anlayabilmek için
kompakt genişlemenin topolojik doğasını araştırmaya devam edeceğiz.
Tanım 4.2.4: Verilen bir
T =(X,Ω) topolojik uzayı için kompakt
genişleme X in tüm alt kümeleri üzerinde iç cebirin kompakt T
#
=
(Uf(℘(X), Ω# ) genişlemesi olarak tanımlanır. (T, υ) bir topolojik model
olsun. Kompakt genişleme için valuationu ;
u ∈υ#(p) ⇔ υ(p)∈u şeklinde tanımlayalım.
Teorem 4.2.5: Keyfi bir Ф modal formülü için
u∈υ#(Ф) ⇔ υ(Ф)∈ u
dır.
İspat : Ф nin uzlunluğu üzerine tümevarım uygulayalım. Önermesel
durum υ# nin tanımı dikkate alınarak ve boole bağlaçları durumu ultra
süzgeçlerin
özelliklerini
kullanarak
sonuçlandırılır.
Modaliteyi
#
inceleyelim. I ve I bu uzaylardaki iç operatörleri göstersin. Bu durumda
υ(‫ٱ‬Ф )∈u ⇒ I(υ(Ф))∈u ⇒ u∈(I(υ(Ф))# ∈ Ω# dır. v∈(I(υ(Ф))) ⇒
I(υ(Ф))∈v ⇒ I(υ(Ф))⊆υ(Ф) ⇒ υ(Ф) ∈v alalım ve tümevarım
hipotezinden uФ dir ve υ, u nun açık komşuluğundan keyfi seçildiği
için u‫ٱ‬Ф dır.
Diğer yönü için u‫ٱ‬Ф olsun yani u nun bir açık komşuluğu için o#
Ф dir. Tümevarım hipotezinden oФ dir ve o, X de açık olduğundan o
71
⊆ Ι(υ(Ф)) elde ederiz. u∈ο#
tanımdan o∈u anlamına gelir. Böylece
Ι(υ(Ф))∈u dur. Bir uzayın kompakt genişlemesi temel modal dildeki bazı
formülleri gerçeklerse o zaman uzayın kendisini de gerçekler. Topolojik
uzaylar arasındaki bir homeomorphism iç bijeksiyon yani bire bir örten
bir dönüşümdür ve bu dönüşümün tersiyle birlikte süreklidir.
Bir topolojik uzayın bir A altkümesinin kapanışı evrenini verirse o
zaman A bu uzayda yoğundur denir.
Tanım 4.2.6 : T 1 bir kompakt uzay ; c : T → T 1 bir homeomorphic
gömme ve c(T ), T 1 de yoğun ise o zaman (T 1 ,c) ikilisi T topolojik
uzayının bir kompaktifikasyonu olarak adlandırılır.
Genel topolojide kompaktifikasyon sadece T 1 uzayının bir T2
uzayı
olması
durumunda
göz
önünde
bulundurulur.
Bu
tür
kompaktifikasyonlara sahip uzaylar T3½ ayırma aksiyomunu sağlayan
uzaylardır. Bu uzaylar Tychanoff uzaylar olarak da bilinirler. Tychanoff
uzaylar ele alındığında verilen bir uzayın tüm kompaktifikasyonları doğal
olarak sıralanabilir ve her zaman en büyüğü vardır, buna Stone-Čech
kompaktifikasyonu denir. Stone-Čech kompaktifikasyonu kesin bir
evrensel özelliğe sahiptir.
Önerme 4.2.7 : T bir Tychanoff uzay, (T 1 , c) T 1 li bir T2-uzayının
kompaktifikasyonu ve T den keyfi bir kompaktı T 2 T2-uzayına herhangi
bir sürekli dönüşüm T
1
den T
2
72
ye olan dönüşüme sürekli olarak
genişletilebilirse o zaman (T1 , c) T nın Stone-Čech kompaktifikasyonuna
denktir.
Bu Stone-Čech kompaktifikasyonunun temel özelliklerinden
birisidir. Yukarıdaki önermede geçen
“denk “
kelimesi bu kısımda
değinmek istemediğimiz pek çok topolojik terim tarafından yüklenmiş
olan doğal topolojik anlama sahiptir.
Teorem 4.2.8 : T
bir
topolojik
uzay olsun. ( π , T #) ikilisi bir
kompaktifikasyondur, burada π noktaları karşılık gelen esas süzgeçlere
eşleyen bir doğal dönüşümdür. Ayrıca T bir Tychonoff uzay ise o zaman
T # uzayı T 'nin Stone-Čech kompaktifikasyonuna denktir.
İspat : İlk önce T = (X,Ω) uzayının kompakt genişlemesinin bir
kompaktifikasyon olduğunu ispatlayacağız. T
#
nin bir kompakt uzay
olduğunu biliyoruz. π dönüşümünün bir homeomorphic gömme ve
π(X) in T
#
de yoğun olduğunu göstermeliyiz. π(X)={A⊆ X | x∈A}
veriliyor. F(X) in tüm esas süzgeçlerinin T # deki alt uzayını göz önünde
bulunduralım. O∈Ω olmak üzere Ω# deki her esas açık O# formundadır.
Elbette O#
x∈O noktalarına karşılık gelen tüm esas süzgeçleri içerir. O
halde F(X) T
#
de yoğundur ve Ω# deki her açık küme bir esas açığı
içerir. Sonuçlandırılan topolojili F(X) in T ye homeomorphic olduğunu
ispatlamak için keyfi bir esas açık O# da içerilen tek esas süzgeçlerin
x∈O⊆ X elemanlarıyla doğrulduğunu göz önünde bulundurmalıyız.
Şimdi herhangi bir T 1 = (Y, Ω1) T2 kompakt uzayı ve herhangi bir
sürekli f: T → T
1
dönüşümü için f in sürekli f#: T
73
#
→ T
1
e
genişletilebileceğini gösterelim. Bu T nin bir Tychonoff uzay olması
durumunda T
#
nin Önerme 4.2.7 den dolayı T nin Stone-Čech
kompaktifikasyonuyla çalıştığını ifade edecektir. T
#
dönüşümünü
aşağıdaki gibi tanımlayalım :
f# (u) = ∩A∈u C(f(A))
Burada C T 1 in kapanış operatörüdür.
f#
iyi tanımlıdır. Gerçekten, (C(f(A)))A∈u
ailesi sonlu meet
özelliğine sahip kapalı kümelerin bir ailesidir. Çünkü herhangi bir ultra
süzgeçteki tüm kümeler kolleksiyonu sonlu kesişim özelliğine sahiptir ve
bu kolleksiyonun f-imajı onu miras olarak alır oysa bir kümenin kapanışı
kendi kümesinden her zaman daha büyüktür. T
1
kompakt olduğundan,
kesişimi boştan farklıdır. Kesişimin bir singleton olduğunu göstereceğiz.
y1, y2 ∈ f# (u) olsun. T 1 bir T2 uzayı olduğundan herhangi iki farklı nokta
ayrık açık komşuluklara sahiptir.
O1 ve O2 sırasıyla y1 ve y2 nin bu tür açık komşulukları olsun.
f-1(O1) ve f-1(O2) kümelerini göz önünde bulunduralım. Bu kümeler
ayrıktır. O zaman f-1(O1) veya f-1(O2) lerden en az biri u ultrasüzgecine
aittir çünkü aksi durumda ayrık f-1(O1) ve f-1(O2) kümeleri u da yer alırdı.
Bu u nun bir ultra süzgeç olmasıyla çelişir. ─ f-1(O1)∈u olsun.y1 ∈f# (u)
olduğundan
y1∈C(f(─f-1(O1))) elde ederiz. Bunun anlamı ise y1 in
herhangi bir açık komşuluğunun (f(─ f-1(O1)) kümesiyle kesişmesidir. O1
y1 in bir açık komşuluğudur ve dolayısıyla ;
74
O1 ∩ f(─ f-1(O1)) ≠ Ø dır. Bu bir çelişkidir. Böylece f# (u) her bir
u ultra süzgeci için tek bir noktadan oluşur. O halde f# iyi-tanımlı bir
dönüşümdür. Sürekli olduğunu da iddia edelim. Gerçekten, herhangi bir
O∈Ω1 açık kümesini alalım.u∈f#-1(O) ultra süzgecini alalım. Bu durumda
f#(u)∈O dır. T1 bir kompakt T2-uzayı olduğundan, f# (u) nun
C(O1)⊆ Ο olacak şekildebir açık O1 açık komşuluğu vardır. f-1 (O1)
kümesini göz önünde bulunduralım. Bu küme f in sürekliliğinden Ω da
açıktır. O zaman (f-1(O1))#
u nun bir açık komşuluğudur. Bu açık
kümedeki her ultra süzgeç O içinde f# ile eşleşir. Böylece f#
sürekliliğini göstermiş oluruz. v∈(f-1(O1))#
nin
alalım. f-1(O1)∈v dır. O
zaman f# (v)∈C(f(f-1(O1)))=C(O1)⊆Ο dır. Böylece bir Tychonoff uzayın Alexandroff genişlemesi bu uzayın
Stone-Čech
topolojisidir.
kompaktifikasyonunu
Discrete
uzayların
içeren
en
Stone-Čech
kaba
Alexandroff
kompaktifikasyonları
kümeler teorisiyle yakından bağlantılıdır. Alexandroff genişleme kavramı
Stone-Čech kompaktifikasyonunun iyi kurulmuş kavramı vasıtasıyla daha
açık topolojik bir anlama sahip olur.
T topolojik uzayın βJ Stone-Čech kompaktifikasyonunu göz
önünde bulunduralım βJ (.2) formülünü geçerli kılıyorsa o zaman T (.2)
korunur. Bunun anlamı şudur: Bir uzayın Stone-Čech kompaktifikasyonu
aşırı bağlantısız ise o zaman uzayın kendisi aşırı bağlantısızdır. Bu iyi
bilinen bir topolojik olgudur.
75
Önerme 4.2.9 : P temel modal dilde ifade edilebilir bir topolojik uzay
olsun. O zaman P topolojik toplamlar, açık alt uzaylar ve iç imajların
oluşumuna göre invaryanttır.
P Alexandroff genişlemeler, kompakt genişlemeler ve Stone-Čech
kompaktifikasyonların oluşumuna göre ters-invaryanttır.
İspat : Önceki sonuçlardan elde edileceği açıktır. 5. SONUÇ
Son önerme bu çalışmada gösterilmek istenen esas sonuçtur.
Bununla birlikte, modal lojiğin belli dönüşümlere göre uzaya ait özellikler
sınıfının otomatik invaryans sonuçlarının nasıl elde edileceğinin iyi bir
perspektifini sağlar.
Bu tezde temel olarak topolojik uzaylar üzerinde modal lojiğin
yorumlanması durumundaki tanımlanabilirlik ile ilgilendik. GoldblattThomason teoreminin bir topolojiksel benzerini ispatladık ve bazı yeni
topolojik yapılar tanıtttık. Bunlardan biri olan kompakt genişleme
kavramının, topolojide bilinen Stone-Čech kompaktifikasyonu fikrinin bir
genellemesi olduğunu gösterdik.
76
KAYNAKLAR
(Aiello and van Benthem 2001) M.Aiello and J. Van Benthem, “
Logical patterns in space”, D.Barker-Plummer and Etchemendy, J. and
Scotto di Luzio, P.and van Benthem, J.(editors), Logic Unleashed:
Language, Diagrams, and Computation, Forthcoming, CSLI Publications,
Stanford, 2001.
(Aiello et al.2001) M. Aiello, J. van Benthem, G.Bezhanishvili,
Reasoning about space: the Modal Way, Manuscript, Univ. Amsterdam
and New Mexico, 2001.
(Bezhanishvili and Gehrke 2001 ) G. Bezhanishvili and M.
Gehrke, A New Proof of Completeness of S4 with respect to the Real
Line, submitted, 2001.
(Blackburn et al. 2001) P.Blackburn, M. de Rijke and Y.
Venema, Modal Logic, Cambridge University Press, 2001.
(Chagrov, A. and Zakharyaschew, M.), Modal Logic, Clarendon
Press, Oxford, 60 sp, 1997.
(Engelking 1977) R.Engelking, General Topology, Polish
Scientific Publishers, Warszawa, 1977.
(Esakia 1979 ) L. Esakia
“On the theory of modal and
superintuitionistic systems “, in Logical Inference, Moscow, Nauka, 1979,
pp. 147-171 ( In Russian).
77
(Gerson 1975 ) M. Gerson, “ An extension of S4 complete for the
neighbourhood semantics but incomplete for the relational semantics “,
Studio Logicia, 34 (1975), pp. 333-342.
(Goldblatt 1980 ) R. Goldblatt, ” Diodorean Modality in
Minkowski Space time “, Studio Logica, 39(1980 ), pp. 219-236.
(Lemmon and Scott 1966 ) E. Lemmon and D. Scott, Intentional
Logics, Stanford 1966.
(McKinsey and Tarski 1944 ) J.C.C. McKinsey and A. Tarski, “
The algebra of topology “, Annals of Mathematics, 45(1944), pp.141-191.
(McKinsey 1945 ) J.C.C McKinsey, “ On the syntactic
construction of systems of modal logic “, Journal of Symbolic Logic,
10(1945), pp. 83-94.
(Mints 1998) G. Mints, “ A completeness Proof for Propositional
S4 in Cantor Space “, In E.Orlowska (editor), Logic at Work: Essays
Dedicated to the Memory of Helena Rasiowa, Physica-Verlag,
Heidelberg, 1998.
(Kripke 1959 ) S. Kripke, “ A completeness theorem in modal
logic “, Journal of Symbolic Logic, 24(1959), pp. 1-14.
78
(Rasiowa and Sikorski 1963 ) H. Rasiowa and R. Sikorski,
Metamathematics
of
Mathematics,
Polish
Scientific
Publishers,
Warszawa, 1963.
(Rybakov,v. v.), Admissibility of logical inference rules, Studies
in Logic and Foundations of Mathematics, Elsevier Publ., Amsterdam,
NewYork, 136, 617 p, 1997.
(de Rijke 1992) M. De Rijke, “ The Modal Logic of Inequality “,
Journal of Symbolic Logic, 57(1992), pp. 566-584.
(Shehtman 1983 ) V. Shehtman, “ Modal Logics of Domains on
te real plane “, Studio Logica, 42(1980), pp. 63-80.
(Shehtman 1998) V. Shehtman, “ On Strong Neighbourhood
Completeness of Modal and Intermediate Propositional Logics ( Part I ) “,
in Marcus Kracht, Maarten de Rijke, Heinrich Wansing and Michael
Zakharyaschev ( editors), Advances in Modal Logic, Vol. 1, CSLI
Publications, Stanford, 1998, pp. 209-222.
(Shehtman 1999 ) V. Shehtman “ 'Everywhere' and ' Here' “,
Journal of Applied Non-Classical Logic, 9(1999), pp. 369-380.
(Stone 1937 ) M.H. Stone, “Algebraic characterizations of special
Boolean rings “, Fundamenta Mathematicae, 29(1937), pp. 223-302.
(Venema 1993 ) Y. Venema, “ Derivation rules as anti-axioms in
modal logic “, Journal of Symbolic Logic, 58(1993), pp. 1003-1054.
79
ÖZGEÇMİŞ
05.08.1980 yılında İzmir de doğdu. İlk öğrenimine Kemal Reis İlk
Okulunda başladı. Orta Okulu Dokuz Eylül Orta Okulunda ve lise
öğrenimini Karataş Lisesinde tamamladı. 28.06.2002 tarihinde Ege
Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, Bilgisayar Ağırlıklı
Matematik Lisans öğretim programından mezun oldu. 2003-2004 yılları
arasında Çankaya Değişim Dersanesinde çalıştı. 11.02.2004 tarihinde
Dokuz Eylül Üniversitesi Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Fen ve Matematik
Alanlar Eğitimi anabilim dalında tezsiz yüksek lisansını tamamladı ve
Matematik Öğretmeni ünvanını aldı. Halen Ege Üniversitesi Fen
Fakültesi Matematik Bölümünde yüksek lisans öğrencisi olarak eğitimini
sürdürmektedir.
80