ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ KOMPLEKS UZAY FORMLARINDA HOLOMORFİK HELİSLER SERTAÇ ERMAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her hakkı saklıdır. ÖZET Yüksek Lisans TEZİ KOMPLEKS UZAY FORMLARINDA HOLOMORFİK HELİSLER Sertaç ERMAN Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman : Doç. Dr. Nejat Ekmekci Beş bölümden oluşan bu tezin birinci bölümü genel bir değerlendirmeye, ikinci bölümü ise temel tanım ve kavramlara ayrılmıştır. Üçüncü bölümde; çalışmanın ilerleyen kısımları için temel teşkil etmesi düşünülerek Kompleks manifoldlar, Hermit manifoldları ve Kahler manifoldlarına ilişkin temel kavramlar, teoremler ve sonuçlar verilmiştir. Dördüncü bölümde; kompleks torsiyon ve kompleks uzay formalarında holomorfik helisin tanımları verilmiştir. Ayrıca holomorfik helislerle ilgili önermeler ve teoremler incelenmiştir. Beşinci bölümde ise üçüncü meretebeden bir helisin kompleks torsiyonunun ikinci ve üçüncü mertebeden diferensiyelleri incelenmiş ve bunlarla ilgili sonuçlar verilmiştir. Şubat 2009, 52 sayfa Anahtar kelimer : Kahler Manifoldu, kompleks uzay formu, kompleks torsiyon, holomorfik helis. i ABSTRACT Master Thesis HOLOMORPHIC HELİCES IN A COMPLEX SPACE FORM Sertaç ERMAN Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Nejat Ekmekci The thesis consist of five chapters, in the of which a general overview and in the second one fundemental concepts were given. In the third chapter; fundemental concepts, theorems and results about Complex manifols, Hermit manifold and Kahler Manifolds which are indispensable for the subsequent parts of the work were given. In The fourth chapter; definitions of complex torsion and holomorphic helix in a complex space form were given. Also propositions and theorems about the holomorphic helix were studied And in the fifth chapter; second and third differantion of complex torsion of a helix of order three were studied and results about that were given. Feb. 2009, 52 pages Key words : Kahler manifold, complex space form, complex torsion, complex helix. ii TEŞEKKÜR Bana araştırma olanağı sağlayan, çalışmamın her safhasında yakın ilgi gösteren ve önerileri ile beni yönlendiren danışman hocam, Sayın Doç. Dr. Nejat EKMEKCİ’ye, yardımlarından yararlandığım Sayın Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU’na teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca maddi ve manevi desteklerini hiç esirgemeyerek bu tezin yazılımında en büyük paya sahip olduklarına inandığım aileme ve Gülay Bayazıt’a teşekkür ederim. Sertaç ERMAN Ankara, Şubat 2009 iii İÇİNDEKİLER ÖZET ……………………………………………..……………………………….…… i ABSTRACT ………………...……………………………………….…………..……. ii TEŞEKKÜR ...…………………………...…………………………………………… iii İÇİNDEKİLER ………………………………………………………………………. iv SİMGELER DİZİNİ ...………………………………………………………………... v 1. GİRİŞ ...……………………………………………………………………………... 1 2. TEMEL KAVRAMLAR…………………………………………………………… 2 3. KOMPLEKS MANİFOLDLAR ………………………………………………... 13 3.1 Kompleks Yapı ...………………………………………………………………… 13 3.2 Kompleks Manifoldlar............…………………………………………………... 18 3.3 Hemen Hemen Kompleks Manifold……………..……………………………… 20 3.4 Hermit Manifoldları……………………………………………………………... 29 3.4.1 Hermit formu…………………………………………………………………... 29 3.4.2 Hermit skalar çarpımı…………………………………………………………. 29 3.4.3 Standart Hermit skalar çarpımı………………………………………………. 30 3.4.4 Hermit manifoldu ……………………………………………………………... 31 3.5 Kahler Manifoldları................…………………………………………………... 31 3.5.1 Kahler formu………………………………………………………………….... 31 3.5.2 Kahler manifoldu…………………………………………………………….... 31 4. KOMPLEKS UZAY FORMLARINDA HOLOMORFİK HELİSLER…….…. 34 4.1 Kompleks Torsiyon .……..……………………………….……………………… 34 4.2 Holomorfik Helis……...……………………..…………….……………………... 34 4.3 Kompleks Torsiyonun Diferensiyeli………………….….……………………… 34 4.4 Üçüncü Mertebeden Holomorfik Helisler……………....……………………… 38 4.5 Dördüncü Mertebeden Holomorfik Helisler…………………………...………. 41 5. KOMPLEKS TORSİYONUN 2. ve 3. MERTEBEDEN DİFERENSİYELLERİ............................................................................................ 44 KAYNAKLAR..……………………………………………………………………... 49 ÖZGEÇMİŞ………….……………………………………………………………… 52 iv SİMGELER DİZİNİ IR Reel sayılar cismi Kompleks sayılar cismi V Reel vektör uzayı V Kompleks vektör uzayı V* V vektör uzayının dual uzayı <,> Skalar çarpma χ(M) M manifoldu üzerindeki vektör alanları TM(P) P Є M noktasındaki tanjant uzay ∇ Riemann Koneksiyonu R Riemann eğrilik tensörü K Kesit eğriliği Ric Ricci eğrilik tensörü [,] Bracket operatörü kj j – inci asli eğrilik J Kompleks yapı N Nijenhuis torsiyon tensörü H Hermit formu Φ Kahler formu τij Kompleks torsiyon v 1. GİRİŞ 1933 yılında E. Kähler tarafından Kahler manifoldu ile ilgili ilk çalışma yapılmıştır. Daha sonra Hodge, Bochner, Nomizu, Chern, Ogiue, Yano gibi matematikçiler Kahler manifoldunun diferensiyel geometrisi üzerinde çeşitli çalışmalarda bulunmuşlardır. S. Maeda ve Y. Ohnita 1989 yılında yayınlamış oldukları yayında kompleks uzay formlarındaki helisler hakkında bazı temel sonuçlar verilmiştir. Ayrıca holomorfik Killing vektör alanları ile holomorfik helisler arasında çok yakın ilişki olduğu söylenmiştir. Kompleks yapısı J ile n boyutlu Kahler manifoldu M verilsin. Riemann metriği < , > olmak üzere M üzerinde bir d mertebeden γ helisinin Frenet çatısı {V1, V2, … , Vd} için τij(t) = <Vi(t), JVj(t)> ‘ye γ nın kompleks torsiyonu denir. Kahler manifoldlarında helisler üzerinde çalışırken kompleks torsiyonlar önemli bir rol oynamaktadır. S. Maeda ve T. Adachi 1997 yılında yapmış oldukları yayında eğer bir γ helisinin kompleks torsiyonu sabitse, γ helisine holomorfik helis denilmiştir. 1 2. TEMEL KAVRAMLAR Tanım 2.1. M bir topolojik uzay olsun. M için aşağıdaki önermeler doğru ise M bir nboyutlu topolojik manifold’ dur denir. (M1) M bir Hausdorff uzayıdır (M2) M nin her bir açık alt cümlesi En e veya En in bir açık alt cümlesine homeomorftur (M3) M sayılabilir çoklukta açık cümlelerle örtülebilir (Hacisalihoğlu 2000). Tanım 2.2. V ⊆ M üzerinde bir vektör alanı operatörü → X:V UT V ( P) P∈V biçiminde bir fonksiyondur., öyle ki πoX=I: V → V dönüşümü bir özdeşlik fonksiyonudur (Hacisalihoğlu 2000). r r Tanım 2.3. V vektör uzayı ile birleşen bir afin uzay A olsun. P Є A ve v Є V için (P, v ) sıralı ikilisine A afin uzayının P noktasındaki bir tanjant vektör uzayı denir. P Є A noktasındaki tanjant vektörlerinin cümlesini TA(P) ile r r göstereceğiz. Bundan sonra (P, v ) Є TA(P) tanjant vektörünü de v P ile göstereceğiz A afin uzayının, (Hacisalihoğlu 2000). Tanım 2.4. TA(P) de toplama ve skalar ile çarpma işlemleri, sırasıyla , ⊕ : TA(P) x TA(P) → TA(P) r r r r r r ((P, v P ), (P, u P )) → (P, v P ) ⊕ (P, u P ) = (P, v P + u P ) • : IR x TA(P) → TA(P) r r r ( λ ,(P, v P )) → λ • (P, v P ) = (P, λ v P ) biçiminde tanımlayalım. { TA(P), ⊕ , IR, +, . , • } altılısı bir vektör uzayıdır ve bu vektör uzayına, A afin uzayının P Є A noktasındaki tanjant uzayı denir ve kısaca TA(P) ile gösterilir (Hacisalihoğlu 2000). 2 r Tanım 2.5. f : En → IR diferensiyellenebilir ve vP ∈ TEn(P) olsun. Bu durumda → r vP = PQ olmak üzere; r d vP [f] = (f(P1 + t(Q1 – P1), … , (Pn + t(Qn – Pn)) |t = 0 dt r reel sayısına f nin vP ye göre türevi denir (Hacisalihoğlu 2000). Tanım 2.6. (r,s)- tipindeki tensör alanı ; M, C∞ manifoldunun vektör alanları uzayı, χ(M) ve onun dual uzayı da χ*(M) olmak üzere, + s −lineer Tsr = { f | f : χ*(M) × ...× χ*(M)× χ(M) × ...× χ(M) r → F(M)} = ( ⊗ r χ(M)) ⊗ ( ⊗ s χ*(M)) f ∈ Tsr için f ye r-mertebeden kontravaryant, s-mertebeden kovaryant tensör alanı adı verilir ve (r,s)-tipindedir denir (Yano and Kon 1984). Tanım 2.7. M bir C∞ n- manifold olsun. M manifoldu üzerindeki bir yarı- Riemannian yapı diye (i) g(X, Y) = g(Y, X) (ii) ∀ P Є M noktasında ∀ Yp Є TM(P) için gp(Xp,Yp) = 0 olması Xp = 0 olmasını gerektirir. (non- dejenere) aksiyomlarını sağlayan (0,2) tipindeki bir gp : TM(P) x TM(P) → IR tensörüne denir. g tensörü ∀ P Є M noktasında pozitif tanımlı ise yani (iii) gp(Xp ,Yp) > 0 ⇔ Xp ≠ 0 gp(Xp ,Yp) = 0 ⇔ Xp = 0 ise gp ye bir Riemannian yapı denir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Tanım 2.8. M, C∞ n-manifoldu üzerinde bir Riemannian yapı g olsun. (M, g) ikilisi bir Riemann manifoldu olarak adlandırılır (Yano and Kon 1984). 3 Tanım 2.9. M bir diferensiyellenebilir manifold ve M üzerindeki C∞ vektör alanlarının uzayı χ(M) olmak üzere ; ∞ ∇ : χ(M) x χ(M) C → χ(M) (X, Y) → ∇ (X,Y) = ∇ XY dönüşümü ∀ f Є C∞ (M, IR) ∀ X,Y,Z Є χ(M) için 1. ∇ X(Y + Z) = ∇ XY + ∇ XZ 2. ∇ X +YZ = ∇ XZ+ ∇ YZ 3. ∇ fXY = f ∇ XY 4. ∇ X(fY) = X[f]Y + f ∇ XY özeliklerini sağlıyorsa ∇ bir afin koneksiyon, ∇ X ise X yönünde kovaryant türev denir. 5. ∇ YX - ∇ XY = [X,Y] (sıfır torsiyon özeliği) 6. X [g(Y,Z)] = g( ∇ XY, Z) + g(Y, ∇ XZ) (koneksiyonun metrikle bağdaşması özeliği) sağlıyor ise ∇ ya M üzerinde bir Riemann Koneksiyonu denir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Tanım 2.10. M bir C∞ n-manifold ve M üzerinde bir afin koneksiyon ∇ olsun. Tor : χ(M) x χ(M) →χ(M) (X, Y) → Tor (X,Y) = ∇ XY - ∇ YX – [X, Y] şeklinde tanımlanan vektör değerli tensöre M üzerinde tanımlı ∇ koneksiyonunun torsiyon tensörü denir. M deki C∞ operatör ∇ olmak üzere, X,Y Єχ(M) diferensiyellenebilir vektör alanları olduklarından Tor(X, Y) de bir C∞ vektör alanıdır (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Teorem 2.1. M bir C∞ n-manifold ve M üzerinde bir afin koneksiyon ∇ olsun. ∇ nin torsiyon tensörü için aşağıdaki özelikler vardır. ∀ f Є C∞ (M, IR) ∀ X,Y,Z Є χ(M) için (i) Tor (X, Y) = - Tor (Y, X) (ii) Tor (X+Y, Z) = Tor (X, Z) + Tor (Y, Z) (iii) Tor (fX, Z) = f Tor (X, Z) (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). 4 Tanım 2.11. ∀ X,Y Є χ(M) için Tor(X, Y) ≡ 0 ise ∇ koneksiyonuna Sıfır torsiyonlu denir. O zaman sıfır torsiyonlu koneksiyon için ∇ YX - ∇ XY - [X,Y] = 0 ∇ YX - ∇ XY = [X,Y] dir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Tanım 2.12. M bir C∞ n-manifold ve M üzerinde iki farklı koneksiyon ∇ ve ∇ olsun. O zaman M üzerindeki vektör alanlarının uzayı χ(M) olmak üzere, B : χ(M) x χ(M) →χ(M) (X, Y) → B (X,Y) = ∇ XY - ∇ XY operatörüne ∇ ve ∇ koneksiyonlarının fark tensörü adı verilir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Tanım 2.13. M bir n-manifold ve M üzerinde bir afin koneksiyon ∇ olsun. ∀ X,Y Єχ(M) için ; →χ(M) R(X,Y) : χ(M) Z → R(X,Y)Z = ∇ X ∇ YZ - ∇ Y ∇ XZ – ∇ [X,Y]Z Şeklinde tanımlanan R fonksiyonuna M nin eğrilik tensör alanı, R(X, Y)ye eğrilik operatörü denir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Teorem 2.2. (M, g) n-boyutlu Riemann manifoldu ve ∀ f ,g ,h Є C∞ (M, IR) ∀ X,Y,Z Є χ(M) olmak üzere (i) R(X,Y)Z = - R(X,Y)Z (ii) R(fX, gY)hZ = fgh R(X,Y)Z (iii) χ(M) nin bir bazı {e1, e2, …, en} olmak üzere X = xiei Y = yjej Z = zkek için R(X,Y)Z = xiyjzk R(ei, ej) ek = xiyjzkRkij (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). 5 Teorem 2.3. M bir n boyutlu bir Riemann manifoldu olsun. ∀ X,Y,Z Єχ(M) için T = 0 olmak üzere. R(X,Y)Z + R(Z,X)Y + R(Y,Z)X = 0 ( ∇ X R)(Y, Z) + ( ∇ Z R)(X, Y) + ( ∇ Y R)(Z, X) = 0 eşitlikleri sağlanır. Bunlara, sırasıyla, birinci ve ikinci Bianchi özdeşlikleri denir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). 1700 yıllarda 3 – boyutlu Öklid uzayında bir yüzeyin bir birim küre ile karşılaştırılması sonucu Gauss anlamında eğrilik denen bir kavram Gauss tarafından ortaya konmuştur. Daha sonra bu kavram semi – Riemannian anlamındaki manifoldlara genelleştirilmiştir. Tanım 2.14. (M, g) bir yarı – Riemannian manifold ve üzerindeki Levi – Civita koneksiyonu ∇ olsun R : χ(M) x χ(M) x χ(M) → χ(M) (X, Y, Z) → RXYZ = [ ∇ X, ∇ Y]Z – ∇ [X,Y]Z fonksiyonu bir (1,3) tipindeki tensör alanıdır. Bu tensör alanına M üzerindeki Riemannian eğrilik tensör alanı denir. O halde R Є T31 (M) dir. (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Tanım 2.15. (M, g) bir yarı – Riemannian manifold üzerindeki Levi – Civita koneksiyonu ∇ olsun. RXY : TM(P) → TM(P) Z → RXYZ = [ ∇ X, ∇ Y]Z – ∇ [X,Y]Z şeklinde tanımlanan RXY operatörüne M üzerinde eğrilik operatörü denir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). 6 Tanım 2.16. (M, g) bir yarı – Riemann manifoldu, boyM ≥ 2 olsun. TM(P) tanjant uzayının iki boyutlu alt uzayı Π olmak üzere v,w Є Π tanjant vektörleri için Al alan fonksiyonu Al(v,w) = g(v,v) g(w,w) – g(v,w)2 Biçiminde tanımlansın. Böylece Al(v,w) ≠ 0 ise ∏ ye non – dejeneredir denir. K(v,w) = g ( R (v, w) w, v) Al(v,w)2 ile tanımlanan K ya Π nin kesitsel eğriliği denir ve K( Π ) ile gösterilir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Teorem 2.4. Bir P ЄM noktasında K=0 ise P de R=0 dır (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Tanım 2.17. (M, g) bir yarı – Riemannian manifold boyM ≥ 2 olsun. eğer M nin kesitsel eğriliği K bütün ∏ ⊂ TM(P) alt düzlemleri için ∀ P Є M noktasında sabit ise M ye sabit eğrilikli uzay denir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Örnek 2.1. Sn(r) hiperküresi sabit Riemann eğriliklidir. Çünkü Sn(r) nin Π düzleminin bir ortonormal bazı {X, Y} ise Al (X, Y) = <X, X> <Y, Y> - <X, Y>2 = 1 ve dolayısıyla kesitsel eğriliği K(X, Y) = C olduğundan K(X,Y) = < R XY X , Y > 1 ⇒ < R XY X , Y > = C olur (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Teorem 2.5. Eğer M nin sabit Riemann eğriliği C ise RXYZ = C (<Z, X>Y - <Z, Y>X) dir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). 7 Tanım 2.18. Bir (M, g) yarı – Riemannian manifoldu için ∀ P Є M noktasında R eğrilik tensörü özdeş olarak 0 ise M ye flat manifolddur denir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Tanım 2.19. Bir (M, g) yarı – Riemannian manifoldu için R = C (sabit) ve (M, g) tam irtibatlı ise M ye bir uzay formu denir. Bu sabit C değerine göre ; (i) C = 0 ise Mn (C) = En Öklid uzayı dır. (ii) C = 1 ise Mn (C) = S(n)(r) Hiperküre dir 2 r (iii) C = - 1 ise Mn (C) = H(n)(r) Hiperbolik uzay dır (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2 r 2003). Yarı (semi) – Öklidean veya Yarı – Riemann terimleri yeni birer terminolojidir. Daha eski terminoloji olarak semi yerine pseudo – Öklid veya pseudo – Riemann terimleri de aynı anlamdadır. Biz bu durumda yerine yarı – Öklid veya yarı – Riemann terimlerini kullanabiliriz. V bir n – boyutlu reel vektör uzayı ve g : VxV → IR bir simetrik bilineer dönüşüm olsun. Eğer bir ξ ≠ 0 vektörü için g( ξ , v) = 0 ise g ye dejenere’dir denir. Eğer ∀ v Є V için g(u, v) = 0 olması u = 0 olmasını gerektiriyorsa g ye non – dejenere denir. V üzerinde bir non – dejenere simetrik bilineer form, v nin bir w alt uzayına bir non – dejenere veya bir dejenere simetrik bilineer form olarak indirgenebilir. Bir g, simetrik bilineer formuna göre V nin bir altuzayı olan { ξ Є V | g( ξ , v) = 0, v Є V} uzayına Artin’e göre V nin radikal’i ve O’neil’e göre V nin null uzayı denir ve Rad V = Null V = { ξ Є V | g( ξ , v) = 0, v Є V} ile gösterilir. dim Rad V = g nin sıfırlık derecesi = null V denir. 8 g dejeneredir ↔ null V > 0. g non – dejeneredir ↔ null V = 0. Eğer ∀ v Є V, v ≠ 0 için g(u, v) > 0 ise, g ye pozitif definit tir denir. Eğer ∀ v Є V, v ≠ 0 için g(u, v) < 0 ise, g ye negatif definit tir denir. O halde pozitif veya negatif bir g formu non – dejenere’dir. Herhangi bir v Є V için g(v, v) ≥ 0 ise g ye V üzerinde pozitif yarı – definit ve g(v, v) ≤ 0 ise g ye V üzerinde negatif yarı – definit’ dir denir. O halde pozitif veya negatif yarı – definit g bir dejenere formdur. w ⊂ V bir altuzay ve g de bu altuzaya kısıtlanmış olsun, bu durumda g|w da w üzerinde bir simetrik bilineer formdur. Eğer w ⊂ V en büyük boyutlu bir altuzay ve boyw = q, ayrıca g|w da negatif definit ise bu q değerine g nin V üzerindeki indeks’i veya kısaca V nin indeksi de denir ve indV = q ile gösterilir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Sonuç 2.1. (i) Eğer g |∏ definit ise Al(v,w) pozitiftir. (ii) Eğer g |∏ indefinit ise Al(v,w) negatiftir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Tanım 2.20. M bir C∞ manifold olsun. M üzerinde (i) Simetrik (ii) 2 – lineer (iii) non – dejenere ( ∀ X Є χ(M) için g(X, Y) = 0 ise Y=0 gerektirir) özelliklerini sağlayan g tensörüne yarı – Riemann metriği ve (M, g) ikilisine de yarı – Riemann manifoldu denir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). V yerine bir Riemann M manifoldunun χ(M) vektör alanları uzayını alırsak indχ(M) ≥ 1 ise (M, g) ile gösterilen M Riemannian manifolduna yarı – Rieamann (pseudo – Riemann ) manifolddur denir. m – q = p dersek, χ(M) nin q boyutlu w negatif definit altuzayından başka p boyutlu bir diğer altuzayı da pozitif definittir, diyebiliriz. 9 Eğer p.q ≠ 0 ise χ(M) ye asli yarı – Riemann manifoldu (proper semi – Riemann manifold) ve g ye de asli yarı – Riemann metrik (proper semi – Riemann metrik) denir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Eğer indχ(M) = 1 ise M ye Minkowski Uzayı ve g ye de Minkovski Metriği denir. Minkowski yerine Lorentz de kullanılır. Ancak indχ(M) > 1 ise M ye Lorentz Manifoldu ve g ye de Lorentz metrik denir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). M üzerinde g dejenere ise M ye, g ye göre, dejenere (lightlike) manifold adı verilir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Tanım 2.21. (M, g) bir n – boyutlu Riemann manifoldu ve {X1, X2, … , Xn} χ(M) in bir bazı olsun. ~ S : χ(M) → χ(M) ~ X → S (X) = – n ∑ R(Xi, X)Xi i =1 ~ ~ Biçiminde tanımlanan S operatörüne M nin Ricci operatörü denir. S yardımı ile M nin Ric veya S ile gösterilen Ricci Eğrilik Tensörü Ric : χ(M) x χ(M) → C∞(M,IR) ~ (X, Y) → Ric(X,Y) = S(X, Y) = g( S (X), Y) n = - g ( ∑ R(Xi, X)Xi, Y) i =1 olarak tanımlanan bir (0,2) tensörüdür (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Ricci eğrilik tensörünün bir P Є M noktasındaki değeri hesaplanırsa ~ Ric(Xp, Yp) = g ( S (Xp), Yp) n = - g ( ∑ R(Xi|p, Xp)Xi|p, Yp) i =1 n =- ∑ i =1 olur. 10 R(Xi|p, Xp) g (Xi|p, Yp) Eğer {X1, X2, … , Xn} ortonormal baz ise g (Xi|p, Yp) değeri Yp nin Xi|p üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğudur. Buna göre Xi|p , 1 ≤ i ≤ n , ler üzerindeki Yp nin dik izdüşümlerinin R(Xi|p, Xp) katlarının toplamı olarak P deki Ricci eğriliği elde edilmiş olur (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Tanım 2.22. (M, g) n – boyutlu bir C∞ yarı – Riemann manifoldu ve {e1, e2, … , en} TM(P) nin bir bazı olsun. Bu takdirde bir Wp Є TM(P) tanjant vektörü M nin metriği g cinsinden n Wp = ∑ εi g(Wp, ei)ei i =1 Biçimde tek türlü yazılabilir. Buradaki εi lerin negatif olanlarının sayısına g metrik tensörünün indeksi denir. Bir yarı – Rieamann manifoldu üzerindeki metriğin indeksine yarı – Riemann manifoldun indeksi denir. s ile gösterilir ve 0 ≤ s ≤ n dir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Tanım 2.23. En , n – boyutlu Öklid uzayı verilsin. 0 ≤ s ≤ n olmak üzere s tamsayısı için, En üzerinde, n−s g(Xp, Yp) = ∑ n xiyi - i =1 ∑ xiyi i = n − s +1 ile verilen metrik tensör göz önüne alınırsa elde edilen uzay yarı – Öklid uzayı olarak adlandırılır ve E sn ile gösterilir. Eğer s = 0 ise E0n , En Öklid uzayıdır (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Tanım 2.24. n ≥ 2 ve 0 ≤ s ≤ n olsun. Bu durumda (i) S sn (r) = {P Є E sn+1 : g(P,P) = r2} hiperkuadratiğine E sn+1 de r > 0 yarıçaplı, n – boyutlu s – indeksli pseudo – küre denir (ii) E sn+1 de H sn (r) = {P Є E sn++11 : g(P,P) = - r2} ile verilen hiperkuadratiğe r > 0 yarıçaplı, n – boyutlu s – indeksli pseudo – hiperbolik uzay denir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). 11 Tanım 2.25. M ve N birer C∞ yarı – Riemann manifoldu olsun. f, M den N ye tanımlı bir C∞ fonksiyon olmak üzere (f*)p jakobiyen matrisine karşılık gelen dönüşüm M nin her bir P noktası için birebir ise f fonksiyonuna bir immersiyon denir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Tanım 2.26. M ve N birer C∞ yarı – Riemann manifoldu olsun. f, M den N ye tanımlı bir C∞ fonksiyon olmak üzere (f*)p jakobiyen matrisine karşılık gelen dönüşüm birebir ve f tek değişkenli ise f ye M den N ye bir imbeding adı verilir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Tanım 2.27. f bir immersiyon olmak üzere ∀ X,Y Є TM(P) için g(f(X), f(Y)) ≥ g(X, Y) ise f ye bir izometrik immersiyon adı verilir. Burada g, TM(P) den indirgenmiş metriktir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). Tanım 2.28. M ve N, sırasıyla, n ve n + d – boyutlu Riemann manifoldları olmak üzere M, N nin alt manifoldu D ve D, sırasıyla, M ve N de kovaryant türevler olsun. Böylece X ve Y, M üzerinde vektör alanları olmak üzere D XY = D XY + h(X, Y) biçiminde Gauss denklemi elde edilir. Burada D XY ve h(X, Y), D XY nin, sırasıyla, tanjant ve normal bileşenleridir. h ya M nin ikinci temel formu adı verilir. Eğer h = 0 ise M ye total geodeziktir denir (Hacisalihoğlu ve Ekmekci 2003). 12 3. KOMPLEKS MANİFOLDLAR 3.1 Kompleks Yapı V bir vektör uzayı olsun J : V lineer → V öyle ki J2 = - I endomorfizmine V üzerinde bir kompleks yapı denir. Burada I:V → V özdeşlik dönüşümüdür. Özel olarak ∀ X Є V için − 1 X = iX J(X) = tanımlarsak λ = a + i.b Є için • : xV → V (λ , X ) → λ .X = (a + ib)X = aX + ibX = aX + bJ(X) şeklinde bir çarpma tanımlanarak V reel vektör uzayı, bir kompleks vektör uzayına dönüştürülebilir. Bu biçimde elde edilen kompleks vektör uzayı V = (V, J) ile gösterilir. Bu durumda V reel vektör uzayına, V kompleks vektör uzayının temel uzayı denir. Buna göre V nin reel n boyutu çift olmak zorunda ve V nin kompleks boyutu 1 n dir. 2 Tersine, V kompleks vektör uzayı üzerinde JX = iX şeklinde tanımlı bir lineer endomorfizm J olsun. Eğer V, reel 2n - boyutlu bir reel vektör uzayı olarak göz önüne alınırsa J, V reel vektör uzayının bir kompleks yapısı olur. Böylece bu J kompleks yapısına V tarafından V üzerine indirgenmiş kompleks yapı denir (Küpeli 1996). 13 n Örnek 3.1. kompleks vektör uzayı ve Z Є n Z = (z1, z2 … , zn) zk = xk + i.yk 1≤ k ≤ n ve i2 = - 1 olsun. Jo : IR2n → IR2n (x1, x2, … , xn,y1, y2, … , yn) → ( y1, y2 … , yn -x1, -x2, … , -xn) Jo, IR2n in kompleks yapısıdır. Yani n = (IR2n , Jo ) dir. Gerçekten ; J o2 (x1, x2 … , xn,y1, y2 … , yn) = Jo ( Jo (x1, x2 … , xn,y1, y2 … , yn)) = Jo ( y1, y2 … , yn -x1, -x2 … , -xn) =(-x1, -x2 … ,-xn,-y1, -y2 … , -yn) = - I (x1, x2, … , xn,y1, y2, … , yn) ise, J2 = - I V, reel vektör uzayı olsun. VC/ = {(X + iY) | X,Y Є V , i2 = -1} kümesini göz önüne alalım. Bu küme üzerinde (+) ve ( • ) işlemi aşağıdaki şekilde tanımlayalım. (X + iY), (X`+ iY`) Є +: VC/ ve (a+ib) Є VC/ x VC/ olsun. → VC/ ((X + iY), (X`+ iY`)) → (X + iY) +(X`+ iY`) = (X +X`)+ i(Y +Y`) C/ ( V ,+) Bir Abel grubudur. • : x VC/ → VC/ ((a+ib), (X + iY)) → (a+ib). (X + iY) = (aX - bY) +i(bX +aY) C/ ( V ,+, • ) üzerinde bir vektör uzayıdır. VC/ nin birim elemanı 1 + i.0 dır 14 Önerme 3.1. V reel vektör uzayı VC/ nin bir alt uzayıdır. İspat : Her X Є V yi ( X + i.0) Є VC/ şeklinde ele alabiliriz. V, VC/ nin alt uzayıdır. Tanım 3.1. Z Є VC/ olmak üzere Z = (X + iY) nin eşleniği Z = (X - iY) dir ve ayrıca Z +W = Z +W λ.Z = λ.Z ; λ Є dir. Kabul edelim ki V n- boyutlu bir vektör uzayı olsun. Dolayısıyla V nin bir bazı {e1,e2, … ,en} olmak üzere X,Y Є V için ; X = ∑ a j e j , Y = ∑ b j e j ; j = 1,2, … ,n j j olsun. (X + iY) = ∑a j e j + i. ∑ b j e j = ∑ (a j j j + i.b j )e j = j ∑λ e j j j olur. VC/ nin bir elemanı olarak alırsak Burada λ j = a j + i.b j dir. Eğer {e1,e2, … ,en} ni {e1,e2, … ,en} üzerinde lineer bağımsızdır. Gerçekten ; ∑λ e j =0 ⇒ j j ∑ (a j + i.b j )e j = 0 j ⇒ ∑ a j e j + i. ∑ b j e j = 0 j j ⇒ ∑ a j e j = 0 ve j j j =0 j aj = 0 ve bj = 0 ⇒ ⇒ O halde ∑b e λj = 0 VC/ nin bir bazı olarak {e1,e2, … ,en} sistemini alabiliriz. V üzerinde J kompleks yapısını VC/ üzerine genişletebiliriz. J C/ : C/ VC/ → V X + iY → J C/ (X + iY) = J(X) + i J(Y) endomorfizmdir ve (J C/ )2 = - I dır. 15 Gerçekten ; (J C/ )2 (X + iY) = J C/ (J C/ (X + iY)) = J C/ (J(X) + i J(Y)) = J(J(X))+ i J(J(Y)) = J2(X) + iJ2(Y) = - X – iY = - (X + iY) = - I (X + iY) Her (X + iY) Є VC/ için eşitlik geçerli olduğu için (J C/ )2 = - I dir. VC/ nin bir bazı { α 1, α 2, … , α n, J C/ α 1, J C/ α 2, … , J C/ α n } için C/ V C/ = ( V , J C/ ) nin bir bazı {α1, α 2, … , α n } dir. Teorem 3.1. V , 2n-boyutlu reel vektör uzayı üzerinde bir kompleks yapı J olsun. O zaman {e1,e2, … ,en} V nin bir bazı olmak üzere {e1,e2,…,en, Je1,Je2, … ,Jen}, V nin bir bazıdır (Kobayashi and Nomizu 1969). Önerme 3.2. β k = 1 1 ( αk – i J(α k)) ve β k = ( αk + i J(α k)) k = 1,2,…,n diyelim. 2 2 VC/ nin bir bazıdır (Yano and Kon 1984). { β1 , β 2 , … , β n , β1 , β 2 , … , β n } Ayrıca ; 1 1 J C/ ( β k ) = J C/ ( ( αk – i J(α k))) = ( J(αk) – i J2(α k)) 2 2 = 1 ( J(αk) + iα k) 2 =i 1 ( αk – i J(α k)) 2 = i βk 16 Benzer şekilde ; J C/ ( β k ) = J C/ ( 1 1 ( αk + i J(α k))) = ( J(αk) + i J2(α k)) 2 2 = 1 ( J(αk) – iα k) 2 =-i 1 ( αk + i J(α k)) 2 = - i βk elde edilir. Önerme 3.3. V1,0 = { Z Є V0,1 = { Z Є VC/ | VC/ | J C/ (Z) = iZ }, J C/ (Z) = – iZ } kümeleri için VC/ = V1,0 ⊕ V0,1 dır. V C/ İspat : { β1 , β 2 , … , β n , β1 , β 2 , … , β n } nin bir bazı olduğundan Her Z Є için , n Z= n ∑ ak β k + ∑b β k k =1 k k =1 şeklinde yazılabilir. n n J C/ ( ∑ a k β k ) = ∑a = ∑a k =1 k J (β k ) k (iβ k ) k =1 n k =1 n = i ∑ ak β k k =1 olduğundan n ∑a β k k Є V1,0 k =1 dır. 17 VC/ Diğer taraftan n J C/ ( ∑ bk β k ) = k =1 n ∑ b J (β k k ) k ) k =1 n = ∑ b (−i β k k =1 n = –i ∑ bk β k k =1 olduğundan n ∑b β k k Є V0,1 k =1 dır. Dolayısıyla V C/ = V1,0 ⊕ V0,1 dir. Bir reel vektör uzayı V nin dual uzayı V* olsun. V reel vektör uzayının komplekslenmişi VC/ nin elde edilişine benzer şekilde V* dual uzayının, V *C kompleks uzayı elde edilebilir. V üzerinde bir kompleks yapı J olsun. J aynı zamanda V* dual uzayı içinde bir kompleks yapıdır ve <JX, X*> = <X, JX*> , X Є V, X* Є V* Ayrıca ; V1,0 = { X* Є V *C | <X, X*> = 0 , X Є V0,1 }, V1,0 = { X* Є V *C | <X, X*> = 0 , X Є V1,0 } kümeleri için V *C = V1,0 ⊕ V1,0 dir (Yano and Kon 1984). 3.2 Kompleks Manifoldlar Tanım 3.2.1. f : m → kompleks değerli bir fonksiyon olsun. Eğer f = f 1+ i.f 2 fonksiyonu her zm = xm + i.ym için ∂f ∂f 1 = 2m m ∂x ∂y ∂f ∂f 2 = - 1m m ∂x ∂y eşitliklerine Cauchy- Riemann eşitlikleri denir. 18 f her bir Z Є m için Cauchy- Riemann eşitliklerini sağlıyorsa f ye holomorfiktir denir. Burada Z = (z1, z2 … , zn) zk = xk + i.yk 1≤ k ≤ m ve i2 = - 1 dir. Genel olarak F: m n → 1 2 n dönüşümünde F = (f , f , … , f ) her bir f i holomorfik ise F holomorfiktir. 1 ≤ i ≤ n Tanım 3.2.2. M bir Hausdorff uzay ve M nin bir açık örtüsü {Uα} olsun. ∀ P Є M için φ α : Uα ⊂ M → Wα ⊂ n homeomorfizmi var ve Uα ∩ Uβ ≠ Ø olmak üzere ψαβ = φα o (φβ)-1 : φβ(Uα ∩ Uβ) ⊂ n → φα(Uα ∩ Uβ) ⊂ ψβα = φβ o (φα)-1 : φα (Uα ∩ Uβ) ⊂ n → φβ (Uα ∩ Uβ) ⊂ n ve n dönüşümleri holomorfik, yani ψαβ ve ψβα nin her bir koordinat fonksiyonu holomorfik ise M ye kompleks manifold’dur denir (Chern et al 1999). Burada n sayısı M manifoldunun kompleks boyutudur ve boyC M = n ile gösterilir. O halde M manifoldunun reel boyutu 2n olur ve boyR M = 2n şeklinde gösterilir. Uα Uβ M φα φβ n ψβα = φβ o (φα)-1 Wα 19 n Wβ 3.3 Hemen Hemen Kompleks Manifold M bir reel diferensiyellenebilir manifold olsun. M üzerinde bir J tensör alanı J : TM(X) → TM(X) lineer dönüşümü J2 = – I Şartını sağlıyorsa J dönüşümüne bir hemen hemen kompleks yapı denir. Bu yapı ile bir M manifoldu bir hemen hemen kompleks manifold olarak adlandırılır ve (M , J) ile gösterilir (Yano and Kon 1984). Önerme 3.3.1. Her kompleks manifold M, bir hemen hemen kompleks yapı bulundurur (Yano and Kon 1984). İspat: M kompleks manifold olmak üzere P Є M nin bir komşuluğu U üzerinde bir kompleks lokal koordinat sistemi (z1, z2, … , zn) olsun. Burada zj = xj + iyj, j = 1,2, … ,n dir. J : TM(P) → TM(P) endomorfizmi şöyle tanımlayalım; J( ∂ ∂ )= , j ∂x ∂y j J( ∂ ∂ )=– j , j ∂y ∂x j = 1,2, …, n olsun. Şimdi J nin kompleks lokal koordinat sisteminin seçiliminden bağımsız olduğunu göstereceğiz. TM(P) nin komplekslenmişi TMC (P) olsun. J yi TMC (P) ye genişletelim ve J( ∂ ∂ ) = i( j ) , j ∂z ∂z J( ∂ ∂ ) = - i( j ) , j ∂z ∂z j = 1,2, …, n olur. Buradan ; J( ∂ 1 ∂ ∂ ) = { ( j ) – i( j ) }, j 2 ∂z ∂x ∂y Böylece bir Z Є TMC (P) eğer eğer Z, J( ∂ 1 ∂ ∂ ) = { ( j ) + i( j ) } j 2 ∂z ∂x ∂y ∂ nin (j = 1,2, …, n) bir lineer terkibi ise JZ = iZ ve ∂z j ∂ nin (j = 1,2, …, n) lineer terkibi ise JZ = – iZ olur. ∂z j 20 Şimdi eğer (w1, w2, … , wn), P nin komşuluğu U üzerinde başka bir kompleks lokal koordinat sistemi ve wk = uk + ivk, k = 1,2, … ,n ise J ′ endomorfizmini tanımlarız öyleki J ′ : TM(P) → TM(P) ve J′ ( ∂ ∂ )= k , k ∂u ∂v J′ ( ∂ ∂ )=– k , k ∂v ∂u k = 1,2, …, n J ′ endomorfizminin TMC (P) ye genişlemesinden J′ ( ∂ ∂ ) = i( k ) , k ∂w ∂w J′ ( ∂ ∂ ) = – i( ), k ∂w ∂w k k = 1,2, …, n elde ederiz. Diğer taraftan, P Є M noktasında, ∂ = ∂wk ∂F j ∑ ∂w j dır. Bundan dolayı k (P) ∂ , ∂z j ∂ = ∂w k ∂F j ∑ ∂w j k (P) ∂ , ∂z j k = 1,2, …, n ∂ ∂ ∂ ∂ ve , sırasıyla, ve lerin lineer terkipleri olurlar. k j k ∂w ∂w ∂z ∂z j Böylece ; J( ∂ ∂ ) = i( k ) , k ∂w ∂w J( ∂ ∂ ) = - i( ), k ∂w ∂w k k= 1,2, …, n elde ederiz. Sonuç olarak, J ve J ′ P Є M noktasında çakışmaktadırlar ve bundan dolayı J kompleks lokal koordinat sisteminin seçiliminden, P nin komşuluğunda, bağımsızdır. Açıkça görülür ki J2 = - I dır. Böylece M kompleks manifoldu üzerinde J bir hemen hemen kompleks yapıdır (Yano and Kon 1984). Tanım 3.3.1 M1 ve M2 hemen hemen kompleks manifoldlar, sırasıyla, J1 ve J2 hemen hemen kompleks yapıları olsun. Eğer f: M1 → M2 fonksiyonu J2.f* = f*. J1 eşitliğini sağlıyorsa, f ye hemen hemen kompleks denir (Yano and Kon 1984). 21 Önerme 3.3.2. M1 ve M2 kompleks manifoldlar olsun. f:M1 → M2 fonksiyonu holomorfiktir ancak ve ancak f hemen hemen komplekstir (Yano and Kon 1984). İspat : M1 ve M2 hemen hemen kompleks manifoldlar, sırasıyla, J1 ve J2 hemen hemen kompleks yapıları olsun. (z1, z2, … , zn) ve (w1, w2, … , wm), sırasıyla, P ЄM1 in ve f(P) ЄM2 nin komşulukları üzerinde kompleks lokal koordinat sistemleri olsun. Burada zk = xk + iyk ve wj = uj + ivj dir. Eğer f*uj = αj(x1, x2, … , xn, y1, y2, … , yn) , f*vj = βj(x1, x2, … , xn, y1, y2, … , yn) ise f*( f*( ∂α j ∂β j ∂ ∂ ) (P)( ) + ( )(P)( )}, j k k ∂x ∂u ∂x ∂v j ∂ )= ∂x k ∑{( ∂ )= ∂y k ∑{( j j ∂α j ∂ ∂β j ∂ ) (P)( ) + ( )(P)( )} k j k ∂y ∂u ∂y ∂v j dir. f*(J1( ∂ ∂ ∂ ∂ )) ile J2(f*( k )) ve f*(J1( k )) ile J2(f*( k )) karşılaştırırsak görürüz ki f k ∂x ∂x ∂y ∂y hemen hemen komplekstir ancak ve ancak ∂α j ∂β j (P) = ( )(P) , ∂x k ∂y k ∂α j ∂β j (P) = ( )(P) ∂y k ∂x k dir. Fakat bu eşitlikler f*wj = f*uj + f*vj = αj + iβj nin Cauchy- Riemann eşitlikleridir. Böylece f hemen hemen komplekstir ancak ve ancak f holomorfiktir (Yano and Kon, 1984). Tanım 3.3.2. F (1,1) tipinde bir tensör alanı olsun. ∀ X,Y Є χ(M) için NF(X,Y) = F2[X,Y] + [FX,FY] – F[FX,Y] – F[X,FY] Şeklimde tanımlı NF tensör alanına F nin Nijenhuis torsiyon tensörü denir (Yano and Kon, 1984). F = J hemen hemen kompleks yapısı olması halinde de NJ(X,Y) = J2[X,Y] + [JX,JY] – J[JX,Y] – J[X,JY] = – [X,Y] + [JX,JY] – J[JX,Y] – J[X,JY] = [JX,JY]– J[X,JY] – J[JX,Y] – [X,Y] 22 Tanım 3.3.3. Hemen hemen kompleks yapısı J ile hemen hemen kompleks manifoldu M verilsin. NJ = 0 ise J dönüşümüne integrallenebilirdir denir (Yano and Kon, 1984). Teorem 3.3.1. Hemen hemen kompleks yapısı J ile hemen hemen kompleks manifoldu M verilsin. O zaman J bir kompleks yapıdır ⇔ NJ = 0 dır (Yano and Kon 1984). Teorem 3.3.2. Hemen hemen kompleks yapısı J ile 2n reel boyutlu hemen hemen kompleks manifoldu M verilsin. Kabul edelim ki M nin bir {U} açık örtüsü aşağıdaki şartları sağlasın : Her bir U açığı için (x1, x2, … , xn, y1, y2, … , yn) lokal koordinat sistemi vardır ve öyle ki U’nun her bir noktası için J( ∂ ∂ )= , j ∂x ∂y j J( ∂ ∂ )=– j , j ∂y ∂x j = 1,2, …, n dir. O zaman M bir kompleks manifolddur. İspat : (xj, yj) ve (uj, vj), sırasıyla, U ve V nin lokal koordinat sistemleri olsun ve U ∩ V ≠ Ø için uj = αj (xk, yk), vj = β j (xk, yk) eşitlikleri verilsin. O zaman ∂α k ∂ ∂β k ∂ ) ( ) + ( )( k )}, k j j ∂x ∂u ∂x ∂v ∂ = ∂x j ∑{( ∂ = ∂y j ∑{( ∂y k ∂α k k j )( ∂ ∂β k ∂ ) + ( )( k )} k j ∂u ∂y ∂v olur. Eşitliklerin her iki taraflarına da J uygulanılırsa J( ∂ ∂α k ∂ ∂β k ∂ ) = J( {( ) ( ) + ( )( k )}) ∑ j k j j ∂x ∂x ∂u ∂x ∂v k ∂ = ∂y j ∑{( k ∂α k ∂ ∂β k ∂ ) ( ) ( )( )} k j j ∂x ∂v ∂x ∂u k ve ∂ ∂α k ∂ ∂β k ∂ J( j ) = J( ∑{( j ) ( k ) + ( j )( k )}) ∂y ∂y ∂u ∂y ∂v k 23 - ∂ = ∂x j ∂ = ∂x j ∑{( k ∑{−( k ∂α k ∂β k ∂ ∂ ) ( ) ( )( )} k j j ∂y ∂v ∂y ∂u k ∂ ∂ ∂α k ∂β k ) ( ) + ( )( )} k j j ∂y ∂v ∂y ∂u k elde edilir. Bu eşitliklerden de ∂α k ∂β k = , ∂x j ∂y j ∂α k ∂β k = − ( ), ∂y j ∂x j j,k = 1,2, …, n elde ederiz. zj = xj + iyj , wj = uj + ivj alırsak (z1, z2, … , zn) ve ( w1, w2, … , wn), sırasıyla, U ve V nin kompleks lokal koordinat sistemleri olurlar ve Ayrıca wj = fk(z1, z2, … , zn), fk = αk + iβk, k = 1,2, …, n k olduğundan f holomorfiktir, M kompleks manifolddur (Yano and Kon 1984). Tanım 3.3.4. Bir M manifoldu üzerinde hemen hemen kompleks yapısı J verilsin. Eğer her X Є χ(M) için LXJ = 0 ise X vektör alanına J nin bir infinitezimal otomorfizmi (analatik vektör alanı) denir. Burada L Lie operatörüdür. (Yano and Kon, 1984) Her X ,Y Є χ(M) için (LXJ)Y = LXJY – JLXY = [X, JY] – J[X, Y] olur. Buradan aşağıdaki önermeyi söyleyebiliriz. Önerme 3.3.3. Bir M manifoldu üzerinde hemen hemen kompleks yapısı J verilsin. X Є χ(M) J nin bir infinitezimal otomorfizmidir ⇔ Her Y Є χ(M) için [X, JY] = J[X, Y] dir (Yano and Kon 1984). Önerme 3.3.4. Bir M manifoldu üzerinde hemen hemen kompleks yapısı J verilsin. X Є χ(M) J nin bir infinitezimal otomorfizmi olsun. JX de bir infinitezimal otomorfizmdir ⇔ Her Y Є χ(M) için NJ(X, Y) = 0 dir (Yano and Kon 1984). 24 İspat : NJ(X, Y) = [JX,JY] – J[X,JY] – J[JX,Y] – [X,Y] dir. Kabulümüzden X bir infinitezimal otomorfizm olduğundan J[X, JY] = J2 [X,Y] = – [X,Y] dir. Eğer JX bir infinitezimal otomorfizm ise [JX,JY] = J[JX,Y] dir. Buradan NJ(X, Y) = 0 elde edilir. Tersine eğer NJ(X, Y) = 0 ise NJ(X, Y) = [JX,JY] – J[JX,Y] olduğundan [JX,JY] = J[JX,Y] elde edilir. Tanım 3.3.5. Bir M kompleks manifoldu üzerinde bir kompleks vektör alanı Z olsun. Eğer f holomorfik fonksiyonu için Zf holomorfik ise Z vektör alanına holomorfiktir denir. ∂ Z = ∑ fj ∂z j alınırsa Z holomorfiktir ⇔ fj holomorfik fonksiyonlardır (Yano and Kon 1984). Önerme 3.3.5. Hemen hemen kompleks yapısı J ile kompleks manifold M verilsin. Eğer X, J nin bir infinitezimal otomorfizmi ise X – iJX bir holomorfik vektör alanıdır (Yano and Kon 1984). Teorem 3.3.3. Hemen hemen kompleks yapısı J olan bir hemen hemen kompleks manifoldu M olsun. O zaman M bir kompleks manifolddur ⇔ M manifoldu üzerinde ∇ J= 0 ve T = 0 olacak şekilde bir lineer koneksiyon ∇ vardır (Yano and Kon 1984). İspat : ( ⇐ ) : M üzerinde ∇ J= 0 ve T = 0 olacak şekilde bir lineer koneksiyon ∇ mevcut olsun. ∀ X,Y Є χ(M) için T(X,Y) = ∇ XY – ∇ YX – [X,Y] = 0 ⇒ [X,Y] = ∇ XY – ∇ YX dir 25 Ayrıca ; ( ∇ J)(X,Y) = 0 ⇒ ( ∇ XJ)(Y) = 0 dır. ( ∇ XJ)(Y) = ∇ X(JY) – J ∇ XY ∇ XY = 0 olduğundan ∇ X(JY) = J ∇ XY (2,1) elde edilir. O halde Nijenhuis torsiyonu eşitliğinden NJ(X,Y) = – [X,Y] + [JX,JY] – J[JX,Y] – J[X,JY] = – ∇ XY + ∇ YX + ∇ JX(JY) – ∇ JY(JX) – J ∇ JXY + J ∇ Y(JX) – J ∇ X(JY) + J ∇ JYX dir. ∇ lineer koneksiyonun tanımından; NJ(X,Y) = – ∇ XY + ∇ YX + J ∇ X(JY) – J ∇ Y(JX) – J2 ∇ XY + J ∇ Y(JX) – J ∇ X(JY) + J2 ∇ YX dir. (2,1) eşitliğinden; NJ(X,Y) = – ∇ XY + ∇ YX + J2 ∇ X(Y) – J2 ∇ Y(X) – J2 ∇ XY + J2 ∇ Y(X) – J2 ∇ X(Y) + J2 ∇ YX = – ∇ XY + ∇ YX – ∇ XY + ∇ YX + ∇ XY – ∇ YX + ∇ XY – ∇ YX =0 dır. Böylece ∀ X,Y Є χ(M) için NJ(X,Y) = 0 dır. O halde M bir kompleks manifolddur. ( ⇒ ) : M bir kompleks manifold olsun. O zaman ∀ X,Y Є χ(M) için NJ(X,Y) = 0 dır. Şimdi ∀ X,Y Є χ(M) için A(X,Y) = ( ∇ XJ)(Y) – ( ∇ YJ)(X) = – A(X,Y) S(X,Y) = ( ∇ XJ)(Y) + ( ∇ YJ)(X) = S(X,Y) ve ∇ ′ XY = ∇ XY + 1 [ A(X,JY) – J S(X,Y)] 4 kabul edelim. 26 O halde ∇ ′ için ∇′ J = 0 ve T = 0 dır. Gerçekten de ∀ X,Y Є χ(M) için ( ∇ ′ J)(X,Y) = ( ∇ ′ XJ)Y = ∇ ′ X(JY) – J ∇ ′ XY = ∇ XJY + 1 [ A(X,J2Y) – J S(X,JY)] 4 – J [ ∇ XY + = ∇ XJY + 1 ( A(X,JY) – J S(X,Y))] 4 1 [ A(X, –Y) – J S(X,JY)] 4 – J ∇ XY + 1 ( –JA(X,JY) + J2 S(X,Y))] 4 = ∇ XJY – J ∇ XY – 1 [ –A(X, –Y) + J S(X,JY) + JA(X,JY) + S(X,Y)] 4 = ∇ XJY – J ∇ XY – 1 [ A(X, Y) + JA(X,JY) + J S(X,JY) + S(X,Y)] 4 = ( ∇ XJ)Y – 1 [( ∇ XJ)(Y) – ( ∇ YJ)(X) + J( ∇ XJ)(JY) – J( ∇ JYJ)(X) 4 + J( ∇ XJ)(JY) + J( ∇ JYJ)(X) + ( ∇ XJ)(Y) + ( ∇ YJ)(X)] = ( ∇ XJ)Y – 1 [2( ∇ XJ)(Y) + 2 J( ∇ XJ)(JY)] 4 = ( ∇ XJ)Y – 1 1 ( ∇ XJ)(Y) – J( ∇ XJ)(JY) 2 2 = 1 1 ( ∇ XJ)(Y) – J( ∇ XJ)(JY) 2 2 = 1 [ ( ∇ XJ)(Y) – J( ∇ XJ)(JY)] 2 elde edilir. Ayrıca J( ∇ XJ)(JY) = J( ∇ X(J2Y) – J( ∇ X(JY)) 27 J( ∇ XJ)(JY) = – J( ∇ X(Y) + ∇ X(JY) = ( ∇ XJ)(Y) dir. Bu eşitliği yukarıda yerine yazılırsa ( ∇ ′ J)(X,Y) = 1 [ ( ∇ XJ)(Y) – ∇ XJ)(Y)] = 0 2 ∀ X,Y Є χ(M) için ( ∇ ′ J)(X,Y) = 0 olduğundan ∇′ J = 0 bulunur. T ′ (X,Y) = ∇ ′ XY – ∇ ′ YX – [X,Y] = ∇ XY + 1 1 [ A(X,JY) – J S(X,Y)] – ( ∇ YX + [ A(Y,JX) – J S(Y,X)] ) – [X,Y] 4 4 = ∇ XY + 1 1 [ A(X,JY) – J S(X,Y)] – ∇ YX – [ A(Y,JX) – J S(Y,X)] – [X,Y] 4 4 = ∇ XY – ∇ YX – [X,Y] + 1 [ A(X,JY) – J S(X,Y) – A(Y,JX) + J S(Y,X)] 4 = ∇ XY – ∇ YX – [X,Y] + 1 [ A(X,JY) – J S(X,Y) – A(Y,JX) + J S(X,Y)] 4 = 1 [ A(X,JY) – A(Y,JX)] 4 = 1 [ ( ∇ XJ)(JY) – ( ∇ JYJ)(X) – (( ∇ YJ)(JX) – ( ∇ JXJ)(Y))] 4 = 1 [ ( ∇ XJ)(JY) – J( ∇ YJ)(X) – ( ∇ YJ)(JX) + J( ∇ XJ)(Y)] 4 = 1 [ ∇ X(J2Y) – J ∇ X(JY) – J ∇ Y(JX) + J2 ∇ XY – ∇ Y(J2X) + J ∇ Y(JX) 4 + J ∇ X(JY) – J2 ∇ XY] =0 elde edilir. 28 3.4 Hermit Manifoldları 3.4.1 Hermit formu V ′ kompleks vektör uzayı olsun. V ′ üzerinde Hermit formu H : V′ x V′ → 1) H(v,w) lineer 2)H(v,w) = H ( w, v) 3) H non – dejenere şartlarını sağlıyorsa H ya bir Hermit formu denir. 3.4.2 Hermit skalar çarpımı V bir reel vektör uzayı, J kompleks yapısı olsun. g(JV, JW) = g(V, W) şeklinde tanımlanan g ye V üzerinde Hermit skalar çarpımı denir. V 2n-boyutlu reel vektör uzayı ile J kompleks yapısı VC/ ile gösterelim kompleksleştirilmişini → IR g:VxV dönüşümü g = Re(H) olarak tanımlarsak g , VC/ de Hermit skalar çarpımı olur. g (v, w) = Re (H(v, w)) 1 = ( H(v, w) + H(w, v)) 2 dir. Gerçekten , bir z Є için 1 1 z = (z + z)+ (z –z) 2 2 olduğundan Re(z) = 1 (z+ z) 2 29 verilsin. V nin Im(z) = 1 ( z – z ) dir. 2i H(v, w) Є olduğundan Re (H(v, w)) = 1 ( H(v, w) + H (v, w) ) 2 1 = ( H(v, w) + H(w, v)) 2 olur. 3.4.3 Standart Hermit skalar çarpımı Mn( ) cümlesi, cisminin elemanlarıyla oluşturulmuş bütün karesel matrislerin cümlesi olsun. h Є Mn( ) olmak üzere H : V′ x V′ → (z, w) → zh w t şeklinde tanımlı H bir Hermit formudur. Burada w t , w nın eşleniğinin transpozudur. Eğer h Є Mn( ) matrisini birim matris alırsak, H çarpımına standart Hermit formu denir ve zj = xj + iyj wj = uj + ivj olmak üzere H(z, w) = <z, w> = z w t n = ∑ zj w j t j =1 n = ∑ [(xjuj - yjvj) + i(yjuj + xjvj)] j =1 şeklinde tanımlanır. V 2n-boyutlu bir reel vektör uzayı üzerinde standart Hermit skalar çarpımı ise <z, w> = Re (H(z, w)) n = ∑ j =1 dir. 30 [(xjuj - yjvj)] 3.4.4 Hermit manifoldu M kompleks manifoldu üzerinde g Riemann metriği her bir p Є M ve X,Y Є TpM için g(JX, JY) = g(X, Y) ise g Hermit metriğidir. (M, g) ikilisine de Hermit manifoldu denir. Hermit metriğine göre JX vektörü X vektörüne ortogonaldir. Gerçekten ; g(JX, X) = g(J2X, JX) = - g(JX, X) ⇒ 2 g(JX, X) = 0 ⇒ g(JX, X) = 0 dir (Nakahara 2003). 3.5 Kahler Manifoldları 3.5.1 Kahler formu (M, g) Hermit manifoldu olsun. Φ tensör alanı ve X,Y Є TpM için Φ(X,Y) = g(JX, Y) bilineer formuna g Hermit metriğinin Kahler formu denir. Teorem 3.5.1.1 Φ(X,Y) Kahler formu anti-simetriktir. İspat : Φ(X,Y) = g(JX, Y) = g(J(JX), JY) = g(J2X, JY) = g(–X, JY) = –g(X, JY) = – g(JY, X) = – Φ(X,Y) 31 3.5.2 Kahler manifoldu (M, g) Hermit manifoldu ve Φ, g nin Kahler formu olsun. dΦ=0 ise g metriğine Kahler metriği ve (M, g) ikilisine Kahler Manifoldu denir. Önerme 3.5.2.1 Bir Kahler manifoldu M için aşağıdaki eşitlikler vardır. i) R(X, Y)J = JR(X, Y) R(JX, JY) = R (X, Y) ii) S(JX, JY) = S(X, Y) S(X, Y) = 1 (izJR(X, JY)) 2 Burada R ve S, sırasıyla, eğrilik tensörü ve Ricci tensör alanını göstermektedir. İspat: i) J paralel olduğundan birinci denklem açıktır. İkinci eşitliği ispatlayalım. ∀ X,Y Є χ(M) için g(R(JX, JY), Z, W) = g(R(W, Z)JY, JX) = g(JR(W, Z)Y, JX) = g(R(W, Z)Y, X) = g(R(X, Y)Z, W) ⇒ R(JX, JY) = R(X, Y) ii) M nin bir ortonormal bazı { e1, e2, … , en} olsun. S(JX, JY) = ∑ g(R(ei, JX)JY, ei) ∑ g(R(Jei, JX)JY, Jei) ∑ g(R(ei, X)JY, Jei) ∑ g(JR(ei, X)Y, Jei) ∑ g(R(ei, X)Y, ei) i = i = i = i = i 32 = S(X, Y) dir. Birinci Bianchi özdeşliğinden ∀ X,Y Є χ(M) için S(X, Y) = ∑ g(R(ei, X)Y, ei) i = – ∑ g(JR(ei, X)JY, ei) i = ∑ [ g(JR(X, Y)ei, ei) + g(JR(JY, ei)X, ei) ] ∑ [ g(JR(X, JY)ei, ei) + g(JR(JY, Jei)X, Jei) ] ∑ [ g(JR(X, JY)ei, ei) + g(R(Y, ei)X, ei) ] i = i = i = iz JR(X,Y) – S(X, Y) ⇒ 2 S(X, Y) = iz JR(X,Y) ⇒ S(X, Y) = dir. 33 1 (izJR(X, JY)) 2 4. KOMPLEKS UZAY FORMLARINDA HOLOMORFİK HELİSLER Tanım 4.1. k1, k2, …, kd-1 pozitif sabitler ve γ boyunca {V1= γ& , V2, … , Vd} ortonormal çatısı için ∇ t Vj(t) = -kj-1 Vj-1(t) + kj Vj+1(t) j = 1, 2, …, d (4,1) diferensiyel denklemi sağlanıyorsa γ ya d mertebeden bir helis adı verilir. Burada ∇ t, γ boyunca kovaryant türev kj sabitleri γ nın eğrilikleri {V1, V2, … , Vd} γ nın Frenet çatısıdır. 4.1 Kompleks Torsiyon (M, <,>) bir n boyutlu Kahler manifoldu ve J kompleks yapısı olsun. M üzerinde bir d mertebeden γ helisinin Frenet çatısı {V1, V2, … , Vd} için τij(t) = <Vi(t), JVj(t)> ye γ nın kompleks torsiyonu denir (Maeda and Adachi 1997). 4.2 Holomorfik Helis M, Kahler manifoldu üzerinde γ helisinin bütün kompleks torsiyonları sabitse, γ helisine holomorfik helis denir. Bir helisin kompleks torsiyon tanımından | τij(t) | ≤ 1 elde edilir (Maeda and Adachi 1997). 4.3 Kompleks Torsiyonun Diferensiyeli τij(t), γ helisinin kompleks torsiyonu olmak üzere, ∇ τij(t) = ∇ τij(t) = ∇ <Vi(t), JVj(t)> 34 d τij(t) için dt = <Vi`(t), JVj(t)> + <Vi(t), JVj`(t)> = <-ki-1 Vi-1(t) + ki Vi+1(t), JVj(t)> + < Vi(t),J(-kj-1 Vj-1(t) + kjVj+1(t)> = -ki-1 <Vi-1(t) + JVj(t)> + ki <Vi+1(t) + JVj(t)> - kj-1 <Vi(t) + JVj-1(t)> + kj <Vi(t) +JVj+1(t)> Buradan ; ∇ τij(t) = -ki-1 τi-1,j(t) + ki τi+1,j(t) - kj-1 τi,j-1(t) + kj τi,j+1(t) (4,2) elde edilir. Eğer γ holomorfik helis ise kompleks torsiyonu sabit olduğundan ∇ τij(t) = 0 dır. -ki-1 τi-1,j(t) + ki τi+1,j(t) - kj-1 τi,j-1(t) + kj τi,j+1(t) = 0 (4,3) elde edilir. Bununla birlikte i = j veya i = 0 veya j boyuttan büyük ise τij = 0 dır. Önerme 4.3.1. γ 2. mertebeden bir helis ve τij kompleks torsiyonu olsun. τij sabittir. İspat : Mertebe 2 olduğundan k0 = k2 = 0 ve ayrıca τ11 = τ22 = 0 dır. Ayrıca (4,2) eşitliğinde i = 1, j = 2 için ∇ τ12(t) = k1 τ22(t) - k1 τ11(t) = 0 ve i = 2, j = 1 için ∇ τ21(t) = - k1 τ11(t) + k1 τ22(t) = 0 ⇒ τij sabittir Lemma 4.3.1. γ holomorfik helisinin kompleks torsiyonu τij olsun. Eğer i + j çift ise τij = 0 dır. İspat : Tümevarım metodu ile ispat yapacağız. τ11 = <V1, JV1> = 0 dır. Bu bize iddamızın i+j = 2 için doğruluğunu verir. Kabul edelim ki i + j < 2m için idamız doğru olsun. 35 i + j + 1 = 2m ve i < j +1 alalım. Bu durumda i + j – 1 = 2m – 2 olur ki tümevarım kabulünden, τi-1,j = τij-1 = 0 denir. Şimdi τi+1,j = τij+1 = 0 olduğunu göstermeliyiz. γ holomorfik helis olduğundan ∇ τij = 0 dir. (4,3) eşitliğinden ; -ki-1 τi-1,j + ki τi+1,j - kj-1 τi,j-1 + kj τi,j+1 = 0 ⇒ ⇒ ki τi+1,j + kj τi,j+1 = 0 τi,j+1 = ( − ki )τi+1,j kj olur. Benzer şekilde; τi+1,j = ( − k i +1 )τi+2,j-1 k j −1 =( − k i +1 − k i + 2 )( )τi+3,j-2 k j −1 k j −2 =( − k i +1 − k i + 2 − k i +3 )( )( )τi+4,j-1 k j −1 k j −2 k j −3 .. . i = j = m için =( − k i +1 − k i + 2 − k i +3 −k )( )( ) … ( m −1 )τm,m km k j −1 k j −2 k j −3 =0 Önerme 4.3.2. Tek d mertebeden holomorfik helisin kompleks torsiyonu Kahler manifoldu üzerinde aşağıdaki şartları sağlar (Maeda and Adachi 1997). (i) τi,i+2k = 0 ; i = 1,2,…,d-2k , k = 1,2,…,(d-1)/2 (ii) k1 τ2,d = kd-1 τ1,d-1 (iii) k1 τ2,j + kj τ1,j+1 = kj-1 τ1,j-1 ; j = 3,5,…,d-2 (iv) ki-1 τi-1,d + kd-1 τi,d-1 = ki τi+1,d ; i = 3,5,…,d-2 (v) ki-1 τi-1,j + kj-1 τi,j-1 = kj τi,j+1 + ki τi+1,j ; i = 2,3,…,d-3, j = i+2, i+4,…,d-1 36 İspat : (4,3) eşitliğinden -ki-1 τi-1,j(t) + ki τi+1,j(t) - kj-1 τi,j-1(t) + kj τi,j+1(t) = 0 olduğunu biliyoruz. Buradan ki-1 τi-1,j + kj-1 τi,j-1 = kj τi,j+1 + ki τi+1,j olur. Bu da (v) eşitliğidir. (4,3) eşitliğinde j = d alırsak ki-1 τi-1,d + kd-1 τi,d-1 = kj τi,d+1 + ki τi+1,d elde ederiz. j > d için τij = 0 olduğundan τi,d+1 = 0 dır. O halde ki-1 τi-1,d + kd-1 τi,d-1 = ki τi+1,d (iv) eşitliğidir bulunur. (4,3) eşitliğinde i = 1 alınırsa k0 τ0,j + kj-1 τ1,j-1 = kj τ1,j+1 + k1 τ2,j elde edilir. i = 0 için τ0,j = <V0, JVj> = <0, JVj> = 0 dır. O halde k1 τ2,j + kj τ1,j+1 = kj-1 τ1,j-1 (iii) eşitliği bulunur. (4,3) eşitliğinde i = 1 ve j = d alınırsa da (ii) eşitliği elde edilir. Önerme 4.3.3. Çift d mertebeden holomorfik helisin kompleks torsiyonu Kahler manifoldu üzerinde aşağıdaki şartları sağlar (Maeda and Adachi 1997). (i) τi,i+2k = 0 ; i = 1,2,…,d-2k , k = 1,2,…,(d-2)/2 (ii) k1 τ2,d = kd-1 τ1,d-1 (iii) k1 τ2,j + kj τ1,j+1 = kj-1 τ1,j-1 ; j = 3,5,…,d-1 (iv) ki-1 τi-1,d + kd-1 τi,d-1 = ki τi+1,d ; i = 2,4,…,d-2 (v) ki-1 τi-1,j + kj-1 τi,j-1 = kj τi,j+1 + ki τi+1,j ; i = 2,3,…,d-3, j = i+2, i+4,…,d-1 Önerme 4.3.4. M Kahler manifoldunun bir p noktasında ortonormal vektörleri {V1,V2, … ,Vd} için τij = < Vi, JVj> (1 ≤ i ≤ j ≤ d) ve pozitif sabitler k1, k2, …, kd-1 önerme 4.3.2 ve önerme 4.3.3 de ki bağıntıları sağlıyorsa bir tek holomorfik helis vardır öyle ki eğrilikleri k1, k2, …, kd-1 ve Frenet çatısı {V1, V2, … , Vd} dir (Maeda and Adachi 1997). 37 Önerme 4.3.5. Bir M Kahler manifoldu üzerinde d mertebeden holomorfik helisin kompleks torsiyonu τij olsun. Her i için i −1 d ∑τ 2ji + j =1 ∑τ 2 ij ≤1 j = i +1 dir (Maeda and Adachi 1997). 4.4 Üçüncü Mertebeden Holomorfik Helisler Teorem 4.4.1. M Kahler manifoldu ve k1, k2, k3 pozitif sabitler olsun. {V1, V2, V3} ortonormal çatısı için k1, k2 eğrilikli 3. mertebeden bir holomorfik γ helisi vardır ⇔ k1 τ3,2 + k2 τ1,2 = 0 τ1,3 = 0 } (4,4) ve |τ1,2| ≤ τ1,2 = k1 } n ≥ 3 için k12 + k22 k1 n = 2 için k12 + k22 (4,5) (Maeda and Adachi 1997) İspat : γ holomorfik helisinin kompleks torsiyonu τij olsun. O halde ∇ τi,j = 0 ∇ τi,j = -ki-1 τi-1,j(t) + ki τi+1,j(t) - kj-1 τi,j-1(t) + kj τi,j+1(t) = 0 dir. Buradan ; ∇ τ1,2 = k2 τ1,3 ∇ τ1,3 = - k2 τ1,2 + k1 τ2,3 ∇ τ2,3 = - k1 τ1,3 } (4,6) elde edilir. ∇ τi,j = 0 olduğundan (4,6) eşitliklerinden 0 = k2 τ1,3 ⇒ τ1,3 = 0 38 ve 0 = - k2 τ1,2 + k1 τ2,3 olur. Buradan -k1 τ2,3 + k2 τ1,2 = 0 bulunur. Ayrıca τi,j = - τj,i dir. Gerçekten ; τij = <Vi, JVj> = <JVj, Vi> = <J2Vj, JVi> = <-Vj, JVi> = - <Vj, JVi> = - τj,i ⇒ k1 τ3,2 + k2 τ1,2 = 0 olur. Tersine k1 τ3,2 + k2 τ1,2 = 0 ve τ1,3 = 0 olsun. (4,6) eşitliklerinden ∇ τ1,2 = ∇ τ2,3 = ∇ τ1,3 = 0 elde edilir. O halde τi,j ler sabittir. Önerme 4.3.5 gereği i −1 ∑τ d 2 ji + ∑τ j =1 j = i +1 1 3 2 ij ≤1 i = 2 ve d = 3 için ∑τ 2j 2 + ∑τ 22 j ≤ 1 j =1 j =3 ⇒ τ 122 + τ 232 ≤ 1 ⇒ τ 122 ≤ 1 − τ 232 k1 τ2,3 = k2 τ1,2 olduğundan τ 122 ≤ 1 − ( k 2τ 12 2 ) k1 39 dir. (4,7) k 22τ 122 k12 ⇒ τ 122 ≤ 1 − ⇒ k12τ 122 ≤ k12 − k 22τ 122 ⇒ τ 122 (k12 + k 22 ) ≤ k12 ⇒ τ 122 ≤ ⇒ τ 12 ≤ k12 k12 + k 22 k1 k12 + k 22 Örnek 4.4.1. (M,<,>) bir n boyutlu Kahler manifoldu olsun. Üçüncü mertebeden bir holomorfik γ helisi için {V1, V2, V3} ortonormal çatısını oluşturabiliriz. Kabul edelim ki V1 = (1, 0, 0…, 0) V2 = (-i τ, 1 − τ 2 , 0, …, 0) ve τ pozitif sabit olsun. k1 τ3,2 + k2 τ1,2 = 0 ve τ1,3 = 0 olacak şekilde p pozitif sabit ve τ2 + p2 ≤ 1 için. V3 = (0, − ip 1−τ 2 , 1−τ 2 − p2 1−τ 2 , 0, …, 0) seçelim. {V1, V2, V3} γ helisinin ortonormal bir çatısıdır. Gerçekten ; τ12 = <V1, JV2> = <(1, 0, 0…, 0), J(-i τ, 1 − τ 2 , 0, …, 0)> = 1 τ + 0. 1 − τ 2 =τ τ13 = <V1, JV3> = 0 τ23 = <V2, JV3> = < (-i τ, 1 − τ 2 , 0, …, 0), J(0, − ip = -i τ.0 + 1 − τ 2 . p 1−τ 2 =p ⇒ τij ler sabit. 40 1−τ 2 , 1−τ 2 − p2 1−τ 2 , 0,…,0)> Ayrıca V1 = V2 = V3 = 1 ve < V1, V2> = <(1, 0, 0…, 0), (-i τ, 1 − τ 2 , 0, …, 0)> = <(1+i0, 0, 0…, 0), (0-i τ, 1 − τ 2 , 0, …, 0)> = 1.0 + i(0.τ) =0 Benzer şekilde < V1, V2> = 0 < V2, V3> = < (-i τ, 1 − τ 2 , 0, …, 0), (0, − ip 1−τ 2 , 1−τ 2 − p2 1−τ 2 , 0, …, 0)> =0 bulunur. 4.5 Dördüncü Mertebeden Holomorfik Helisler M Kahler manifoldu üzerinde 4. mertebeden bir helisin k1, k2, k3 pozitif sabitleri eğrilikleri ve τi,j ler kompleks torsiyonu olsun. Aşağıdaki eşitlikler sağlanır. } ∇ τ1,2 = k2 τ1,3 ∇ τ1,3 = - k2 τ1,2 + k3 τ1,4 + k1 τ2,3 ∇ τ1,4 = - k3 τ1,3 + k1 τ2,4 ∇ τ2,3 = - k1 τ1,3 + k3 τ2,4 ∇ τ2,4 = - k1 τ1,4 – k3 τ2,3 + k2 τ3,4 } ∇ τ3,4 = - k2 τ2,4 Buradan 4. mertebeden bir holomorfik helis için 41 (4,8) τ3,1 = τ4,2 = 0 k2 τ2,1 = k3 τ4,1 + k1 τ3,2 k2 τ4,3 = k1 τ4,1 + k3 τ3,2 } (4,9) eşitlikleri vardır. Sonuç 4.5.1. 4. mertebeden bir helis holomorfik helistir ⇔ τi,j kompleks torsiyon olmak üzere τ3,1 = τ4,2 = 0 k2 τ2,1 = k3 τ4,1 + k1 τ3,2 k2 τ4,3 = k1 τ4,1 + k3 τ3,2 dir. 2-boyutlu bir Kahler manifoldu üzerinde 4. mertebeden bir holomorfik helisi ele alalım. τ2 + p2 = 1 olacak şekilde τ ve p pozitif sabitleri verilsin. V1 = (1, 0) V2 = (i τ, p) V3 = (0, -i) V4 = m (ip, τ) vektörleri için {V1, V2, V3, V4}sistemi ortonormaldir ve τ12 = <V1, JV2> = τ τ23 = <V2, JV3> = p τ13 = <V1, JV3> = ± p τ13 = τ24 = 0 τ34 = <V3, JV4> = ± τ dir. O halde 2-boyutlu bir Kahler manifoldunda 4. mertebeden bir holomorfik helisin ortonormal çatısı için aşağıdaki teoremi söyleyebiliriz. 42 Teorem 4.5.1. M 2-boyutlu Kahler manifoldu olsun.M üzerinde k1, k2 ve k3 eğrilikli 4. mertebeden her holomorfik helisin kompleks torsiyonları aşağıdaki eşitliklerden birini sağlar (1) τ12 = τ34 = τ τ23 = τ14 = k 2τ k1 + k 3 τ13 = τ24 = 0 Burada (2) τ= ± k1 + k 3 dir. k 22 + (k1 + k 3 ) 2 τ12 = -τ34 = τ τ23 = -τ14 = k 2τ k1 − k 3 τ13 = τ24 = 0 Burada (2`) k1 ≠ k3 ve τ= ± k1 − k 3 2 2 k + ( k1 − k 3 ) 2 τ12 = τ34 = τ13 = τ24 = 0 τ23 = -τ14 = ± 1 Burada k1 = k3 dir (Maeda and Adachi 1997). 43 dir. 5. KOMPLEKS TORSİYONUN 2. VE 3. MERTEBEDEN DİFERENSİYELLERİ Ki ler pozitif değerli fonksiyonlar ve τij kompleks torsiyon olsun. (4,2) eşitliğinden ∇ τij = -Ki-1 τi-1,j + Ki τi+1,j - Kj-1 τi,j-1 + Kj τi,j+1 olduğunu biliyoruz. Bu bölümde i ,j = 1,2,3 ve K0 = K3 = 0 için kompleks torsiyonun 2. ve 3. mertebeden diferensiyellerini hesaplayacağız. i = j veya i = 0 için τij = 0 olduğundan τ11, τ22 ve τ33, ünde 2. ve 3. mertebeden diferensiyelleri sıfıra eşit olacaktır. Bu durumda τ12, τ13 ve τ23, ün 2. ve 3. mertebeden diferensiyellerini hesaplayacağız. i) (4,6) eşitliklerinden ∇ τ12 = K2 τ13 ∇ 2 τ12 = ∇ ( ∇ τ12) = ∇ (K2 τ13) = K 2′ τ13 + K2 ∇ τ13 = K 2′ τ13 + K2 (- K2 τ12 + K1 τ23) = K 2′ τ13 - K 22 τ12 + K1K2 τ23 (5,1) elde edilir. ∇ 3 τ12 = ∇ ( ∇ 2 τ12) = ∇ ( K 2′ τ13 - K 22 τ12 + K1K2 τ23) = K 2′′ τ13 + K 2′ ∇ τ13 - 2 K2 K 2′ τ12 - K 22 ∇ τ12+ ( K 1 K 2 )′ τ23 + K1 K2 ∇ τ23 Ayrıca K 2′ ∇ τ13 = K 2′ (- K2 τ12 + K1 τ23) = -K2 K 2′ τ12 + K1 K 2′ τ23 ( K 1 K 2 )′ τ23 = K 1′ K2 τ23 + K1 K 2′ τ23 K1 K2 ∇ τ23 = K1K2 (-K1 τ13) = − K 12 K 2 ∇ τ12 K2 = − K 12 ∇ τ12 44 dir. Buradan ∇ 3 τ12 = K 2′′ τ13 + K1 K 2′ τ23 - K2 K 2′ τ12 - 2 K2 K 2′ τ12 - K 22 ∇ τ12+ K 1′ K2 τ23 + K1 K 2′ τ23 − K 12 ∇ τ12 = K 2′′ τ13 +2 K1 K 2′ τ23 - 3K2 K 2′ τ12 + K 1′ K2 τ23 – ( K 12 + K 22 ) ∇ τ12 Diğer taraftan K1 τ23 = K2 τ12 - ∇ τ13 ⇒ τ23 = K2 1 τ12 + ∇ τ13 K1 K1 dir ve τ13 = 1 ∇ τ12 K2 ⇒ ∇ τ13 = ⇒ τ23 = K 2′ 1 ∇ 2τ12 ∇ τ12 + 2 K2 K2 K′ K 1 1 ∇ 2τ12 ) + 2 τ12 (- 22 ∇ τ12 + K1 K 2 K2 K1 ⇒ τ23 = - K K 2′ 1 ∇ 2τ12 + 2 τ12 ∇ τ12 + 2 K1 K 2 K1 K1 K 2 elde edilir. Buradan ∇ 3 τ12 = K 2′′ K 2′ K 1 ∇ 2τ12 + 2 τ12] - 3K2 K 2′ τ12 ∇ τ12 +2 K1 K 2′ [∇ τ12 + 2 K2 K1 K 2 K1 K1 K 2 + K 1′ K2 [- ∇ 3 τ12 = - K 2′ K 1 ∇ 2τ12 + 2 τ12] – ( K 12 + K 22 ) ∇ τ12 ∇ τ12 + 2 K1 K 2 K1 K1 K 2 K 2′′ (K ′ ) 2 K′ ∇ τ12 + 2 22 ∇ τ12 + 2 2 ∇ 2τ12 + 2K2 K 2′ τ12 - 3K2 K 2′ τ12 K2 K2 K2 K 1′K 2′ K′ K ′K 2 ∇ τ12 + 1 ∇ 2τ12 + 1 2 τ12 – ( K 12 + K 22 ) ∇ τ12 K1 K1 K 2 K1 45 ∇ 3 τ12 = K 2′′ (K ′ ) 2 K′ K ′K ′ ∇ τ12 + 2 22 ∇ τ12 + 2 2 ∇ 2τ12 - K2 K 2′ τ12 - 1 2 ∇ τ12 K2 K2 K2 K1 K 2 K 1′ 2 K 1′K 22 ∇ τ12 + τ12 – ( K 12 + K 22 ) ∇ τ12 + K1 K1 ∇ 3 τ12 = (2 +( K 2′ K′ K ′′ ( K ′ ) 2 K ′K ′ + 1 ) ∇ 2τ12 + [ 2 + 2 22 - 1 2 – ( K 22 + K 12 )] ∇ τ12 K2 K2 K1 K2 K1 K 2 K 1′K 22 - K2 K 2′ ) τ12 K1 (5,2) elde edilir. Sonuç 5.1. λ = 2 µ= K 2′ K′ K ′′ ( K ′ ) 2 K ′K ′ + 1 , θ = 2 + 2 22 - 1 2 – ( K 22 + K 12 ), K2 K2 K1 K2 K1 K 2 K 1′K 22 - K2 K 2′ dersek K1 ∇ 3 τ12 = λ ∇ 2τ12 + θ ∇ τ12 + µ τ12 eşitliği elde edilir. ii)(4,6) eşitliklerinden ∇ τ13 = - K2 τ12 + K1 τ23 ∇ 2 τ13 = ∇ ( ∇ τ13) = ∇ (- K2 τ12 + K1 τ23) = - K 2′ τ12 - K2 ∇ τ12 + K 1′ τ23 – K1 ∇ τ23 ∇ τ12 = K2 τ13 ve ∇ τ23 = - K1 τ13 olduğundan ∇ 2 τ13 = - K 2′ τ12 - K 22 τ13 + K 1′ τ23 – K 12 τ13 (5,3) elde edilir. ∇ 3 τ13 = ∇ ( ∇ 2 τ13) = ∇ (- K 2′ τ12 - K 22 τ13 + K 1′ τ23 – K 12 τ13) = - K 2′′ τ12 - K 2′ ∇ τ12 - 2 K2 K 2′ τ13 - K 22 ∇ τ13 + K 1′′ τ23 + K 1′ ∇ τ23 - 2 K1 K 1′ τ13 - K 12 ∇ τ13 46 ∇ 3 τ13 = - K 2′′ τ12 - K 2′ K2 τ13 - 2 K2 K 2′ τ13 - K 22 ∇ τ13 + K 1′′ τ23 + K 1′ K1 τ13 - 2 K1 K 1′ τ13 - K 12 ∇ τ13 ∇ τ12 = K2 τ13 ve ∇ τ23 = - K1 τ13 olduğundan ∇ 3 τ13 = - K 2′′ τ12 + K 1′′ τ23 – 3( K2 K 2′ + K 1′ K1 ) τ13 – ( K 22 + K 12 ) ∇ τ13 (5,4) elde edilir. Eğer τij kompleks torsiyonlar sabit ise Lemma 4.3.1 den dolayı τ13 = 0 dır. O halde aşağıdaki sonucu verebiliriz. Sonuç 5.2. Ki ler pozitif değerli fonksiyonlar olsun. Eğer τij kompleks torsiyonlar sabit (i,j = 1,2,3) ise } K 1′ τ23 - K 2′ τ12 = 0 K 1′′ τ23 - K 2′′ τ12 = 0 (5,5) dir. iii)(4,6) eşitliklerinden ∇ τ23 = -K1 τ13 ∇ 2 τ23 = ∇ ( ∇ τ23) = ∇ (-K1 τ13) = − K 1′ τ13 - K1 ∇ τ13 = − K 1′ τ13 – K1 (- K2 τ12 + K1 τ23) = − K 1′ τ13 + K1 K2 τ12 - K 12 τ23 (5,6) elde edilir. ∇ 3 τ23 = ∇ ( ∇ 2 τ23) = ∇ ( − K 1′ τ13 + K1 K2 τ12 - K 12 τ23) = − K 1′′ τ13 − K 1′ ∇ τ13 + ( K 1 K 2 )′ τ12 + K1 K2 ∇ τ12- 2 K1 K 1′ τ23 - K 12 ∇ τ23 47 Ayrıca K 1′ ∇ τ13 = K 1′ (- K2 τ12 + K1 τ23) = − K 1′ K2 τ12 + K 1′ K1 τ23 ( K 1 K 2 )′ τ12 = K 1′ K2 τ12 + K1 K 2′ τ12 K1 K2 ∇ τ12 = K1 K 22 τ13 = K 1 K 22 ∇ τ23 − K1 = − K 22 ∇ τ23 dir. Buradan ∇ 3 τ23 = − K 1′′ τ13 – ( − K 1′ K2 τ12 + K 1′ K1 τ23)+ K 1′ K2 τ12 + K1 K 2′ τ12+ − K 22 ∇ τ23 - 2 K1 K 1′ τ23 - K 12 ∇ τ23 = − K 1′′ τ13 + K 1′ K2 τ12 - K 1′ K1 τ23 + K 1′ K2 τ12 + K1 K 2′ τ12+ − K 22 ∇ τ23 - 2 K1 K 1′ τ23 - K 12 ∇ τ23 = − K 1′′ τ13 + 2 K 1′ K2 τ12 - 3 K 1′ K1 τ23 + K1 K 2′ τ12 – ( K 22 + K 12 ) ∇ τ23 Diğer taraftan K2 τ12 = K1 τ23 - ∇ τ13 ⇒ τ12 = K1 1 τ23 ∇ τ13 K2 K2 dir ve τ13 = - 1 ∇ τ23 K1 ⇒ ∇ τ13 = ⇒ τ12 = K1′ 1 ∇ 2τ23 ∇ τ23 2 K1 K1 K1 1 K1′ 1 ∇ 2τ23 ) τ23 ( 2 ∇ τ23 K1 K2 K 2 K1 elde edilir. Buradan 48 ∇ 3 τ23 = K 1′ K1′′ K 1 ∇ 2τ23 ] - 3 K 1′ K1 τ23 ∇ τ23 + 2 K 1′ K2 [ 1 τ23 ∇ τ23 + 2 K1 K2 K1 K 2 K 2 K1 + K1 K 2′ [ ∇ 3 τ23 = K1 K 1′ 1 ∇ 2τ23 ] – ( K 22 + K 12 ) ∇ τ23 τ23 ∇ τ23 + 2 K2 K1 K 2 K 2 K1 ( K 1′ ) 2 K1′′ K′ ∇ τ23 + 2 K 1′ K1 τ23 – 2 ∇ τ23 +2 1 ∇ 2τ23 - 3 K 1′ K1 τ23 2 K1 K1 K1 K ′K ′ K′ K 12 K 2′ τ23 - 1 2 ∇ τ23 + 2 ∇ 2τ23 – ( K 22 + K 12 ) ∇ τ23 + K2 K 2 K1 K2 ∇ 3 τ23 = (2 +( ( K 1′ ) 2 K 1′ K 2′ K ′′ K ′K ′ + ) ∇ 2τ23 + [ 1 – 2 - 1 2 – ( K 22 + K 12 )] ∇ τ23 2 K1 K1 K2 K1 K 2 K1 K 12 K 2′ – K 1′ K1 ) τ23 K2 (5,7) elde edilir. Sonuç 5.3. λ = 2 µ= K1′ K 2′ + , θ= K1 K 2 K1′′ ( K 1′ ) 2 K ′K ′ –2 - 1 2 – ( K 22 + K 12 ) ve 2 K1 K1 K 2 K1 K 12 K 2′ – K 1′ K1 dersek K2 ∇ 3 τ23 = λ ∇ 2τ23 + θ ∇ τ23 + µ τ23 eşitliği elde edilir. Sonuç 5.4. τij kompleks torsiyonlar olsun. Eğer Ki ler pozitif sabitler ise (i,j = 1,2,3) aşağıdaki eşitlikler vardır (i) ∇ 3 τ12 + ( K 22 + K 12 ) ∇ τ12 = 0 (ii) ∇ 3 τ13 + ( K 22 + K 12 ) ∇ τ13 = 0 (iii) ∇ 3 τ23 + ( K 22 + K 12 ) ∇ τ23 = 0 Sonuç 5.5. M Kahler manifoldunda 3. mertebeden bir γ helisinin kompleks torsiyonu τij ve k1, k2 pozitif sabitleri eğrilikleri olmak üzere ∇ 3 τij + ( k 22 + k12 ) ∇ τij = 0 dir. 49 KAYNAKLAR Adachi, T. 1996. Circles on quaternionic space forms, J.Math. Soc. Japan 48, 205 – 227 Adachi, T. and Maeda, S. 1999. A construction of closed helices with self-intersections in a complex projective space by using sub manifold theory, Hokkaido Math. J. 28, 133-145 Adachi, T., Maeda, S. and Udagawa, S. 2004. Geometry of ordinary helices in a complex projective space, Hokkaido Math. J.33, 233-246-114 Adachi, T. and Maeda, S. 2005. Holomorphic helix of proper order 3 on complex hiperbolic plane, Topology Appl. 146-147, 201-207 Berndt, J.B. 1991. Real hypersurface in quaternionic space forms, J.reine angew. Math. 419, 9-26 Chern, S. S.,Chen, W. H.and Lam, K.S. 1999. Lectures on Differential Geometry World Scientific Co. Pte. Ltd.,Singapore. Hacisalihoğlu, H.H. 1980. Yüksek diferensiyel geometriye giriş, Fırat üniversitesi fen fakültesi yayınları, 2, Elazığ. Hacisalihoğlu, H.H. 1980. Yüksek boyutlu uzaylarda dönüşümler ve geometriler, İnönü üniversitesi temel bilimler fakültesi yayınları, 1, Malatya. Hacisalihoğlu, H.H. 1982. Lineer cebir , Fırat üniversitesi fen fakültesi yayınları, 3, Elazığ. Hacisalihoğlu, H.H. 2000. Diferensiyel geometri, Ankara üniversitesi fen fakültesi yayınları, 4, Ankara. Hacisalihoğlu, H.H. ve Ekmekci, N. 2003. Tensör geometri, Ankara üniversitesi fen fakültesi yayınları, 1,Ankara. Hong, S. L. 1973. Isometric immersions of manifolds with planar geodesics into Euclidean space, J. Diff. Geom. 8, 259-278 MR 52: 9122 Kobayashi, S., Nomizu, K. 1969. Foundations of Differential Geometry, Vol. II, Interscience Publishers. Küpeli,N.D. 1996. Singular Semi-Riemannian Geometry,Kluwer Academic Publishers, The Netherlands 50 Maeda, S. and Ohnita, Y. 1983. Helical geodesic immersions into complex space forms, Geom. Dedicata 30, 93 Madea, S. and Ohnita, Y. 1989. Helical geodesic immersions into complex space forms, Geometriae Dedicate 30, 93-114 MR 90b:53067 Maeda, S. and Adachi, T. 1997. Holomorphic helices in a complex space form, Proc. A. M. S. 125, 1197-1202 Mashimo, K. and Tojo, K. 1999. Circles in Riemannian symmetric spaces, Kodai Math. J. 22, 1-14 Nakahara, M. 2003. Geometry, Topology, and Physics. CRC Pres, 573p, Japan. Özdamar, E. and Hacisalihoğlu, H.H. 1978. Higher order Gaussian curvatures and fundamental forms. J. of Fac. Sci. KTÜ, 99-115 Yano, K. and Kon, M. 1984. Structures on Manifolds, world Sci. Publishing Co. Ptc. Ltd. p.508 51 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Sertaç ERMAN Doğum Yeri : Kocaeli Doğum Tarihi : 18.11.1983 Medeni Hali : Bekar Yabancı Dili : İngilizce Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl) Lise : İzmit Lisesi 2001 Lisans : Uludağ Üniversitesi 2006 Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi 2008 52