ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
SASAKİAN MANİFOLDLARDA EĞRİLER TEORİSİ
Ufuk ÖZTÜRK
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2006
Her hakkı saklıdır.
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
SASAKİAN MANİFOLDLARDA EĞRİLER TEORİSİ
Ufuk ÖZTÜRK
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU
Bu yüksek lisans tezi dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına
ayrılmıştır. İkinci bölümde, gerekli kavramlar verilmiş ve bazı sonuçlar da elde
edilmiştir. Üçüncü bölümde, kontak manifold, hemen hemen kontak yapı ve hemen
hemen kontak metrik yapısının tanımlarını verdik. Ayrıca hemen hemen kontak
manifoldların Torsiyon tensörünü, Killing vektör alanını, K-kontak yapı ve K-kontak
manifoldu tanımladık. Son bölümde, bir Sasakian manifoldu çalıştık.
ϕ -kesit eğriliğini tanımladık. Ayrıca Sasakian uzay
formlarının bazı standart
modellerini verdik. Sasakian manifoldlarda Einstein ve η - Einstein manifoldu
inceledik. Bir
( ϕ , ξ ,η , g )
hemen hemen kontak metrik yapısının S 3 ⊂ E 4 de bir
örneğini verdik.
2006, 76 sayfa
Anahtar Kelimeler: Kontak manifold, Hemen hemen kontak yapı, hemen hemen
kontak metrik manifold, Torsiyon tensör alanı, Killing vektör alanı, K-kontak manifold,
Sasakian manifold, uzay formu, Ricci tensör alanı, η - Einstein.
i
ABSTRACT
Master Thesis
CURVES THEORY OF SASAKİAN MANİFODLS
Ufuk ÖZTÜRK
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Prof.Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU
This thesis consists of four chapters. The first chapter has been devoted to the
introduction. In the second chapter, some main concepts for this study have been given
and some results have been obtained. In the third chapter, we give the definitions of
contact manifold, almost contact structure and almost contact metric structure. We also
define Torsion tensor of almost contact manifolds, Killing vector field, K-contact
structure and K-contact manifold. In the final chapter, we study a Sasakian manifold.
We define ϕ -sectional curvature. We also give some standart models of Sasakian space
forms. We investigate Einstein and η - Einstein manifold on Sasakian manifolds. We
give an example of an (ϕ , ξ ,η , g ) almost contact metric structure in S 3 ⊂ E 4 .
2006, 76 pages
Key Words : Contact manifold, Almost contact structure, Almost metric manifold,
Torsion tensor field, Killing vector field, K-contact manifold, Sasakian manifold, Space
form, Ricci tensor field, η -Einstein
ii
TEŞEKKÜR
Yüksek Lisans çalışmalarımın yönetimini kabul ederek bana bu tezi hazırlama olanağı
sağlayan, çalışmalarımı yönlendiren, araştırmalarımın her aşamasında bilgi, öneri ve
yardımlarını esirgemeyerek akademik ortamda olduğu kadar beşeri ilişkilerde de engin
fikirleriyle yetişme ve gelişmeme katkıda bulunan danışman hocam sayın Prof. Dr. H.
Hilmi HACISALİHOĞLU (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’na, çalışmalarım
süresince desteklerini esirgemeyen sayın Prof. Dr. Yusuf YAYLI (Ankara Üniversitesi
Fen Fakültesi)’ya, çalışmalarım sırasında önemli katkılarda bulunan ve yönlendiren
Araş. Gör. Çetin CAMCI (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’ya ve çalışmalarım
süresince birçok fedakarlıklar göstererek beni destekleyen aileme en derin duygularla
teşekkür ederim.
Ufuk ÖZTÜRK
Ankara, Kasım 2006
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET........................................................................................................................... i
ABSTRACT................................................................................................................
ii
TEŞEKKÜR................................................................................................................ iii
SİMGELER DİZİNİ..................................................................................................
v
1.GİRİŞ.......................................................................................................................
1
2. TEMEL KAVRAMLAR…...................................................................................
2
2.1 Giriş…………………………………………………….......................................
2
2.2 Lineer Dönüşümler ve Simetrik Bi-Lineer Formlar......................................... 4
2.3 Riemann Manifoldu, Riemann Konneksiyonu,
6
İkinci Temel Form………………………….....................................................
3. KONTAK GEOMETRİ………............................................................................. 12
3.1 Kontak Manifoldlar…………….……..............................................................
12
3.2 Hemen Hemen Kontak Manifoldlar…..............................................................
19
3.3 Hemen Hemen Kontak Metrik Manifold……..................................................
24
3.4 Kontak Manifoldlarda İkinci Temel Form…..................................................
31
3.5 Hemen Hemen Kontak Manifoldların Torsiyon Tensörü................................ 34
3.6 K-Kontak Manifoldları………………..............................................................
53
4. SASAKİAN MANİFOLDLAR.............................................................................
60
4.1 Sasakian Manifoldlar.…………….……............................................................. 60
4.2 M ( c ) Sasakian Form…………..…….............................................................
65
4.3 Sasakian Manifoldlarda Ricci Tensör Alanının
Özelikleri..………………………………………................................................. 71
KAYNAKLAR…....................................................................................................... 75
ÖZGEÇMİŞ................................................................................................................ 76
iv
SİMGELER DİZİNİ
S3
E 4 be birim küre
O (n)
Ortogonal matrisler ailesi
D
Riemann koneksiyonu
K
Kesitsel eğrilik
S
Ricci operatörü
S
Ricci eğrilik tensörü
δ
Ricci eğrilik operatörü
g
Metrik tensör
LV
Lie türevi
[,]
Lie parantez operatörü
Γism
Christoffel sembolleri
η
1-form
∧
Dış çarpma operatörü
D
Öklid anlamında koneksiyon
∇
Gradient fonksiyonu
Δ
Laplace operatörü
κ
Birinci eğrilik
τ
İkinci eğrilik
H
Ortalama eğrilik
M
Diferensiyellenebilir reel manifold
TM ( P )
P ∈ M noktasındaki tanjant uzay
γ
Diferensiyellenebilir ve birim hızlı eğri
v
1. GİRİŞ
Çift boyutlu uzaylarda, Simplektif ve Kompleks manifoldlar sayesinde bu uzayların
geometrisini inceleyebiliyoruz.
Tek boyutlu uzaylarda ise Kontak yapılar kurup, bu uzayların geometrisini
inceleyebilmekteyiz.
Tek boyutlu manifoldlardan olan Sasakian Manifoldlar, Kontak Manifoldlara ait
konuların bir devamı ve uygulama alanıdır. Sasakian Manifoldlara, normal kontak
metrik manifoldlar da denir.
Bu yüksek lisans tezinde, Sasakian Manifoldların temelini oluşturan kavramlar üzerinde
durulmuştur.
1
2. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde, ilerleyen bölümlerde sıkça kullanacağımız bazı temel tanım ve sembolleri
tanıtacağız.
2.1 Giriş
Tanım 2.1.1. ( X ,τ ) bir topolojik uzay olmak üzere eğer, bu topolojik uzaya bir metrik
ekleyebiliyorsak,
( X ,τ )
topolojik uzayına metrikleşebilen topolojik uzay denir
(Camcı 2003).
Teorem 2.1.1. Metrikleşebilmek topolojik bir özeliktir (Camcı 2003).
Tanım 2.1.2. ( X ,τ ) bir topolojik uzay olmak üzere ∀x, y ∈ X
(x ≠ y ) için,
x ve y nin
ayrık açık komşulukları bulunabiliyorsa ( X ,τ ) topolojik uzayına Hausdorf uzay denir
(Camcı 2003).
Tanım 2.1.3. ( X ,τ ) bir topolojik uzay olmak üzere; A = {Ai }i∈Ι ailesi de, X cümlesinin
alt cümlelerinin ailesi olsun. Eğer ∀x ∈ X için “ x ” in bir komşuluğu vardır öyle ki A
ailesinin her elemanı ile arakesitinde sonlu sayıda eleman bulunuyorsa A ailesine lokal
sonlu aile denir (Camcı 2003).
Tanım 2.1.4.
( X ,τ )
bir topolojik uzay olup A = {Ai }i∈Ι ve B = {B j }j∈Ι ailesi, X
cümlesinin alt cümlelerinin aileleri olmak üzere eğer,
i. ∀B j ∈ B için B j ⊂ Ai olacak şekilde ∃ Ai ∈ A var ise B ailesine A nın inceltilmesi
ii. B ailesinin her elemanı açık cümleler ise B ailesine A ailesinin açık inceltilmişi
denir (Camcı 2003).
2
Tanım 2.1.5.
( X ,τ )
bir Hausdorf uzayı olmak üzere; eğer X in A açık örtüsünün
lokal sonlu bir B inceltilmesi X cümlesini örtüyorsa
( X ,τ )
topolojik uzayına
parakompakt uzay denir (Camcı 2003).
Tanım 2.1.6. ( X ,τ ) bir topolojik uzay olmak üzere ∀x ∈ X için, alt uzay topolojisine
göre “ x ” elemanının bir metrikleşebilen U komşuluğu bulunabiliyorsa ( X ,τ ) topolojik
uzayına lokal olarak metrikleşebilen uzay denir (Camcı 2003).
Sonuç 2.1.1. Manifold tanımından ve Teorem 2.1.1 den, bir manifoldun lokal olarak
metrikleşebilen uzay olduğunu söyleyebiliriz (Camcı 2003).
Teorem 2.1.2 (Stone Teoremi) Metrikleşebilen her uzay parakompakt uzaydır (Camcı
2003).
Teorem 2.1.3 (Smirovin Metrikleşebilme Teoremi) Bir
( X ,τ )
topolojik uzayının
metrikleşebilmesi için gerek ve yeter koşul bu uzayın Parakompakt ve lokal olarak
metrikleşebilen uzay olmasıdır (Camcı 2003).
Sonuç 2.1.2. Sonuç 2.1.1 ve Teorem 2.1.3 dan manifoldların metrikleşebilmesi için
gerek ve yeter koşul parakompakt olmalarıdır (Camcı 2003).
Teorem 2.1.4. Parakompaktlık topolojik özeliktir, fakat uzayın parakompakt olması alt
uzayların da parakompakt olmasını gerektirmez (Camcı 2003).
Ayrıca iki parakompakt uzayın çarpım uzayı parakompakt olmak zorunda değildir
(Camcı 2003)▪
Teorem 2.1.5. C ∞ diferansiyellenebilir bir manifold parakompaktdır (Camcı 2003).
Sonuç 2.1.3. Sonuç 2.1.2 ve Teorem 2.1.5 den C ∞ diferansiyellenebilir her manifoldun
metrikşebildiğini söyleyebiliriz (Camcı 2003).
3
2.2 Lineer Dönüşümler ve Simetrik Bi-Lineer Formlar
Tanım 2.2.1. V1 ,V2 ,...,Vr ve W uzayları aynı K cismi üzerinde tanımlı birer vektör
uzayı ve kartezyen çarpımları da V1 × V2 × ... × Vr olsun.
L : V1 × V2 × ... × Vr ⎯⎯
→W
dönüşümü için aşağıdaki özellik varsa bu dönüşüme r-lineer dönüşüm denir
(Hacısalihoğlu 1980).
α1 ∈ V1 , α 2 ∈ V2 ,..., α i −1 ∈ Vi −1 , ε , μ ∈ Vi , α i +1 ∈ Vi +1 ,..., α r ∈ Vr ve ∀a, b ∈ K için
L(α1 , α 2 ,...α i −1 , aε + bμ , α i +1 ,..., α r ) = aL(α1 , α 2 ,...α i −1 , ε , α i +1 ,..., α r )
+bL(α1 , α 2 ,...α i −1 , μ , α i +1 ,..., α r )
(2.2.1)
Özel Haller:
i. V ve W aynı K cismi üzerinde tanımlı vektör uzayları ve L , V den W ya tanımlı
bir fonksiyon olsun. L fonksiyonu aşağıdaki iki önermeyi sağlarsa L ye bir lineer
dönüşüm denir.
a) ∀α , β ∈ V için L(α + β ) = L(α ) + L( β )
b) ∀α ∈ V ve ∀c ∈ K için L(cα ) = cL(α )
ii. V1 ,V2 ve W aynı K cismi üzerinde tanımlı vektör uzayları ve L, V1 × V2 den W ya
tanımlı bir fonksiyon olsun.
L : V1 × V2 → W
dönüşümü, ∀α1 , α 2 , α ∈ V1 ve ∀β1 , β 2 , β ∈ V2 ve ∀a1 , a2 ∈ \ için
L(a1 x1 + a2 x2 , y ) = a1 L( x1 , y ) + a2 L( x2 , y )
L( x, a1 y1 + a2 y2 ) = a1 L( x, y1 ) + a2 L( x, y2 )
biçiminde tanımlı ise L ’ye V1 × V2 üzerinde tanımlı bi-lineer dönüşüm adı verilir.
V nin seçilmiş bir bazı {V1 , V2 ,..., Vn } ve
L(Vi , V j ) = aij
olsun. Bu durumda L bi-lineer formuna karşılık gelen matris
4
(2.2.2)
⎡ L(V1 ,V1 ) L(V1 ,V2 )... L(V1 ,Vn ) ⎤
⎢
⎥
L(V2 ,V1 ) L(V2 ,V2 )... L(V2 ,Vn ) ⎥
⎢
L=⎢
⎥
#
#
⎢
⎥
⎢⎣ L(Vn ,V1 ) L(Vn ,V2 )... L(Vn ,Vn ) ⎥⎦ nXn
(2.2.3)
olur (Hacısalihoğlu 1980).
Teorem 2.2.1. A : V ⎯⎯
→W dönüşümü sonlu boyutlu bir V vektör uzayından bir W
vektör uzayına bir lineer dönüşüm ise
rankA+sıfırlıkA=boyV
(2.2.4)
dır (Hacısalihoğlu 1985).
Teorem 2.2.2. V ve W aynı F cismi üzerinde n-boyutlu birer vektör uzayı olsunlar.
Bir
A : V ⎯⎯
→W
lineer dönüşümü için aşağıdaki önermeler denktir.
1)
A : V ⎯⎯
→W bir lineer izomorfizimdir.
2)
A injektifdir.
3)
∀α ∈ V için A(α ) = 0 ⇒ α = 0
4)
A nın sıfırlık derecesi =0
5)
rank A = 0
6)
A örten
dir (Hacısalihoğlu 1985) .
Tanım 2.2.2. Metrik tensörü g olan Riemann manifoldu M olsun. Bir X p ∈ TM ( P)
tanjant vektörünün normu(uzunluğu)
X p = g(X p , X p )
şeklindedir (Hacısalihoğlu 1980).
5
(2.2.5)
Tanım 2.2.3. V bir reel vektör uzayı olsun.
bi −lineer
L : V X V ⎯⎯⎯⎯
→V
dönüşümü ∀X , Y ∈ V için
L( X , Y ) = L(Y , X )
(2.2.6)
oluyorsa L dönüşümüne simetrik bi-lineer form denir (Hacısalihoğlu 1980).
Tanım 2.2.4. V bir reel vektör uzayı olsun. V üzerinde simetrik bi-lineer dönüşüm L
olmak üzere sıfırdan farklı ∀α ∈ V için
L(α , α )⟩ 0
(2.2.7)
ve ∀α , β ∈ V için
L(α , β ) = 0 ⇔ α = 0
(2.2.8)
oluyorsa L ye pozitif tanımlıdır denir (Hacısalihoğlu 1985) .
Tanım 2.2.5. V bir reel vektör uzayı olsun. V üzerinde simetrik bi-lineer dönüşüm L
olmak üzere ∀α ∈ V için
L(α , α ) = 0 ⇒ α = 0
(2.2.9)
oluyorsa L ye non-dejeneredir denir (Hacısalihoğlu 1985) .
Teorem 2.2.6. V , W sırasıyla n ve m boyutlu iki reel vektör uzayı olsun.
A : V ⎯⎯
→W
dönüşümü lineer ise bu dönüşüm Α ∈ Fnm tipinde bir matrise karşılık gelir ve tersine her
Α ∈ Fnm tipinde matrise bir lineer dönüşüm karşılık gelir (Hacısalihoğlu 1998).
2.3 Riemann Manifoldu, Riemann Konneksiyonu, İkinci Temel Form
M bir manifold ve M de bir komşuluk V olsun. Bir p∈V noktasındaki tanjant uzay
TV ( p ) olsun. V nin bütün noktaları üzerindeki tanjant uzayların birleşimi U TV ( p ) ile
p∈V
gösterilsin. Bir
π : U TV ( p ) ⎯⎯
→ V
p∈V
6
dönüşümü ∀t p ∈TV ( p ) tanjant vektörü için
π (t p ) = p
biçiminde tanımlansın. O zaman V komşuluğu üzerindeki bir vektör alanı operatörü
X :V ⎯⎯
→ U TV ( p )
p∈V
biçiminde bir fonksiyondur, öyleki
π D X = Ι :V ⎯⎯
→ V
dönüşümü bir özdeşlik dönüşümüdür. M üzerinde vektör alanları cümlesi χ ( M ) ile
göstereceğiz (Hacısalihoğlu 1993).
Tanım 2.3.1. E n nin p∈ E n noktasındaki kotanjant uzayı T * E n ( p ) olsun. Buna göre, bir
η : E n ⎯⎯
→ U T *E
p∈ E n
n
( p)
fonksiyonu için
özdeşlik
π Dη : E n ⎯⎯⎯→
En
olacak şekilde bir
π : U T *E
p∈ E n
n
( p)
⎯⎯
→ En
fonksiyonu mevcut ise η ya E n üzerinde bir 1-form denir(Hacısalihoğlu 1993).
Tanım 2.3.2. ( r , s ) - tipindeki tensör alanı
r + s − lineer
Tsr = { f | f : χ * ( M ) × ...× χ * ( M ) × χ ( M ) × ...× χ ( M ) ⎯⎯⎯⎯
→ χ (M )}
= ( ⊗r χ ( M ) ) ⊗ ( ⊗s χ * ( M ) )
f ∈Tsr için f ye r - mertebeden kontravaryant, s - mertebeden kovaryant tensör
alanı adı verilir, ( r , s ) - tipindendir denir (Hacısalihoğlu 1993).
Tanım 2.3.3. M bir C ∞ manifold olsun. M üzerinde tanımlı bir g simetrik bi-lineer
formu pozitif tanımlı ise
g : χ ( M ) × χ ( M ) → C ∞ ( M , \)
7
(2.3.1)
şeklinde tanımlı (0, 2) tipindeki g metrik tensörüne M de Riemann metriği adı verilir
(Hacısalihoğlu 1980).
Tanım 2.3.4. Bir C ∞ M manifoldu üzerinde bir g Riemann metriği tanımlanabili-
yorsa ( M , g ) ikilisine bir Riemann manifoldu denir. Eğer g Riemann metriğinde
pozitif tanımlılık aksiyomu yerine non-dejenere aksiyomu alınırsa
( M , g ) ikilisine
Yarı- Riemann manifoldu denir (Hacısalihoğlu 2003) .
Tanım 2.3.5. V vektör uzayının ortonormal bir bazı {e1 , e2 ,..., en } olsun.
ε i = g (ei , ei )
(2.3.2)
olmak üzere ∀X ∈ V vektörü
n
X = ∑ ε i g ( X , ei )ei
(2.3.3)
i =1
olacak şekilde tek türlü yazılabilir (O’Neill 1983).
Tanım 2.3.6. Bir Riemann manifoldu M ve M üzerinde bir Riemann koneksiyonu D
olsun. D ’nin M ’ye ait bir bölge üzerindeki ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) ve ∀f , h ∈ C ∞ ( M , \)
için,
D : χ (M ) × χ (M ) → χ (M )
( X ,Y )
→ D ( X , Y ) = DX Y
bi-lineer dönüşümü
i. DX (Y + Z ) = DX Y + DX Z
(2.3.4)
ii. DX +Y Z = DX Y + DY Z
(2.3.5)
iii. D fX Y = fDX Y
(2.3.6)
iv. DX ( fY ) = fDX Y + X ( f )Y
(2.3.7)
özeliklerini sağlıyorsa D ye M üzerinden tanımlı bir afin koneksiyon veya kovaryant
türev; DX e ise X yönünde kovaryant türev adı verilir (Hacısalihoğlu 2003 ) .
8
Teorem 2.3.1. Bir Riemann (veya yarı Riemann) manifoldu üzerinde bir tek Riemann
koneksiyonu vardır (Hacısalihoğlu 2003).
Tanım 2.3.7. M üzerinde bir afin uzay koneksiyon D verilsin. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
T : χ ( M ) × χ ( M ) ⎯⎯
→ χ (M )
( X ,Y )
⎯⎯
→ T ( X , Y ) = DX Y − DY X − [ X , Y ]
şeklinde tanımlanan fonksiyona M nin torsiyon tensörü denir(Hacısalihoğlu 2003 )
Özel olarak T = 0 olamsı durumunda yani
[ X , Y ] = DX Y − DY X
(2.3.8)
ise D ye M üzerinde sıfır torsiyonlu koneksiyon adı verilir
Tanım 2.3.8. ( M , g ) bir Riemann manifoldu ve D de M üzerinde tanımlı bir afin
koneksiyonu olsun. O zaman ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) olmak üzere D dönüşümü
i. DX Y − DY X = [ X , Y ] (zero tensör özeliği)
(2.3.9)
ii. DZ g ( X , Y ) = g ( DZ X , Y ) + g ( X , DZ Y ) ( D ’nin metrikle bağdaşabilme özeliği) (2.3.10)
şartlarını sağlıyorsa D ye M nin Levi-Civita koneksiyonu denir (Hacısalihoğlu 2003).
Ayrıca
2 g ( DX Y , Z ) = Xg (Y , Z ) + Yg ( X , Z ) − Zg ( X , Y )
+ g ([ X , Y ] , Z ) + g ([ Z , X ] , Y ) + g ( X , [ Z , Y ])
(2.3.11)
ifadesi Kozsul eşitliği olarak bilinir(Hacısalihoğlu 2003).
Tanım 2.3.9. ( M , g ) bir Riemann manifoldu ve D de M üzerinde tanımlı bir afin
koneksiyonu olsun. ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) için
R ( X , Y ) : X ( M ) ⎯⎯
→ X (M )
Z
⎯⎯
→ R ( X , Y ) Z = DX DY Z − DY DX Z − D[ X ,Y ] Z
(2.3.12)
şeklinde tanımlanan R fonksiyonuna M nin eğrilik tensör alanı, R ( X , Y ) ye eğrilik
dönüşümü denir(Hacısalihoğlu 2003).
Açıklama: ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) için R ( X , Y ) = − R (Y , X ) dır.
9
(2.3.13)
Teorem 2.3.2. n-boyutlu bir Riemann manifoldu M olsun. ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) için
T = 0 olmak üzere
R ( X , Y ) Z + R (Y , Z ) X + R ( Z , X ) Y = 0
(2.3.14)
( D R ) (Y , Z ) + ( D R ) ( Z , X ) + ( D R ) ( X , Y ) = 0
(2.3.15)
X
Y
Z
eşitlikleri sağlanır. Bunlar, sırası ile birinci ve ikinci bianchi özdeşlikleri adı verilir
(Hacısalihoğlu 2003).
Tanım 2.3.10. M bir Riemann manifoldu ve M , M nin alt manifoldu olsun. M ve
M nin Riemann koneksiyonları, sırasıyla, D ve D olmak üzere
V : χ (M ) × χ (M ) → χ (M )⊥
χ ( M ) ⊥ , χ ( M ) in ortogonal komplemanı olmak üzere
( DX Y ) = D X Y + V ( X , Y )
(2.3.16)
denklemine Genelleştirilmiş Gauss Denklemi denir (Hacısalihoğlu 2003).
Tanım 2.3.11. n-boyutlu bir Riemann manifoldu M ve M nin k-boyutlu alt manifoldu
M olsun. O zaman χ ( M ) ⊥ in
ψ = {N1 , N 2 ,..., N n −k }
ortonormal bazı yardımıyla, ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) için,
Bi ( X , Y ) = ⟨V ( X , Y ), N i ⟩
;
1≤ i ≤ n − k
n−k
V ( X , Y ) = ∑ Bi ( X , Y ) N i
(2.3.17)
i =1
şeklinde tanımlı Bi bi-lineer formlarına M nin ψ ye göre ikinci temel formları denir.
Eğer V = 0 ise M ye total geodeziktir denir (Hacısalihoğlu 2003).
Tanım 2.3.12. M ve M , sırasıyla, n ve n + k boyutlu Riemann manifoldları olmak
üzere M , M nin alt manifoldu olsun. M de normal bir birim vektör alanı ε olsun.
DX ε nin teğet ve normal bileşenleri, sırasıyla, − Aε ( X ) ve ∇ X⊥ olmak üzere ,
A : χ ( M ) × χ ⊥ ( M ) ⎯⎯
→ χ (M )
dönüşümü iyi tanımlıdır. Böylece ;
10
DX ε = − Aε ( X ) + ∇X⊥ ε
biçiminde tanımlı denkleme Weingarten denklemi adı verilir. Burada
(2.3.18)
Aε ya şekil
operatörü, ∇ ⊥ e de M nin T ⊥ ( M ) normal demetindeki koneksiyon adı verilir.
M nin şekil operatörü Aε ile ikinci temel form V arasında
g ( Aε ( X ), Y ) = gi (V ( X , Y ), ε )
bağıntısı vardır (Hacısalihoğlu 2003).
11
(2.3.19)
3. KONTAK GEOMETRİ
Bu bölümde, Kontak Geometri ile ilgili bazı temel tanım ve sembolleri tanıtacağız.
3.1 Kontak Manifoldlar
Tanım 3.1.1. (2n+1)-boyutlu diferensiyellenebilir bir Riemann manifoldu M olsun. M
üzerinde her noktada,
η ∧ (dη) n ≠ 0
(3.1.1)
koşulunu sağlayan bir η diferensiyel 1- formu varsa η ya kontak form, (M, η )
ikilisine de kontak manifold denir. Ayrıca η ∧ (dη) n ≠ 0 bağıntısı M manifoldu
üzerinde bir hacim elementine karşılık gelir.
Burada (dη) n , dη nın kendisi ile n-defa dış çarpımını gösterir, yani
(dη ) n = dη ∧ dη ∧ ... ∧ dη
n - defa
dir. η , 1-form olduğundan dη , 2-form ve η ∧ (dη) n ifadesi (2n+1)-form olur.Bu
sebepten dolayı kontak manifoldlar (2n+1)-boyutlu manifoldlardır (Blair 1986, Blair
2002).
Teorem 3.1.1. (Darboux’un Klasik Teoremi) n-boyutlu diferensiyellenebilir Riemann
manifoldu M ve bu manifold üzerinde diferensiyel 1-form ω olsun. M üzerinde,
ω ∧ (dω) p ≠ 0, (dω) p +1 = 0
p
ω = dy p +1 − ∑ y i dxi
i =1
olacak şekilde M nin her noktası civarında bir ( x1 , x 2 ,..., x p , y1 , y 2 ,..., y n − p ) kordinat
sistemi vardır (Yano and Kon 1984).
Böylece Darboux teoremine göre: (2n+1)-boyutlu M kontak manifoldunun her noktası
civarında,
n
η = dz − ∑ y i dx i
i =1
12
olacak şekilde ( x1 , x 2 ,..., x n , y1 , y 2 ,... y n , z ) koordinatları vardır (Blair 1976, Yano and
Kon 1984) .
Örnek 3.1.1. (2n+1)-boyutlu kontak manifold M olsun. Bu durumda M manifoldu
üzerinde diferensiyel 1-form
n
η = dz − ∑ y i dx i
i =1
olmak üzere η ∧ (dη) n ≠ 0 olduğunu gösterelim. ( x1 , x 2 ,..., x n , y1 , y 2 ,... y n , z )∈ \ 2 n +1 dır.
n = 1 için M 3 de η ∧ dη ≠ 0 olduğunu gösterelim:
η = dz − y1 dx1
olmak üzere
dη = d (dz ) − dy1 ∧ dx1 − y1 d (dx1 )
dır.
d (dz ) = 0 , d (dx1 ) = 0 olduğundan
dη = - dy1 ∧ dx1
= dx1 ∧ dy1
olur. O zaman
η ∧ dη = ( dz − y1 dx1 ) ∧(dx1 ∧ dy1 )
= [dz ∧ (dx1 ∧ dy1 )] − [ y1 dx1 ∧ (dx1 ∧ dy1 )]
= dx1 ∧ dy1 ∧ dz
≠ 0
dır. Böylece ( M 3 , η ) ikilisi 3-boyutlu bir kontak manifold dur.
n = 2 için M 5 de η ∧ (dη) 2 ≠ 0 olduğunu gösterelim:
2
η =dz − ∑ y i dx i = dz − y1 dx1 − y 2 dx 2
i =1
olmak üzere
dη =d (dz ) − dy1 ∧ dx1 − y1 d (dx1 ) − dy 2 ∧ dx 2 − y 2 d (dx 2 )
dır.
13
d (dz ) = 0 , d (dx1 ) = 0 , d (dx 2 ) = 0 olduğundan
2
dη = dx1 ∧ dy1 + dx 2 ∧ dy 2 = ∑ dxi ∧ dy i
i =1
olur. Buradan
(dη) 2 = dη ∧ dη
= (dx1 ∧ dy1 + dx 2 ∧ dy 2 ) ∧ (dx1 ∧ dy1 + dx 2 ∧ dy 2 )
= [(dx1 ∧ dy1 ) ∧ (dx1 ∧ dy1 )] + [(dx1 ∧ dy1 ) ∧ (dx 2 ∧ dy 2 )]
+[(dx 2 ∧ dy 2 ) ∧ (dx1 ∧ dy1 )] + [(dx 2 ∧ dy 2 ) ∧ (dx 2 ∧ dy 2 )]
= 2(dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 )
= 2!(dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 )
dır. O zaman
η ∧ (dη) 2 = (dz − y1dx1 − y 2 dx 2 ) ∧ [2!(dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 )]
= 2!(dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ∧ dz )
≠0
elde edilir. O halde ( M 5 , η ) ikilisi 5-boyutlu kontak manifold dur.
n=3 için M 7 de η ∧ (dη)3 ≠ 0 olduğunu gösterelim:
3
η = dz − ∑ y i dx i = dz − y1 dx1 − y 2 dx 2 − y 3 dx 3
i =1
olmak üzere
dη =d (dz ) − dy1 ∧ dx1 − y1 d (dx1 ) − dy 2 ∧ dx 2 − y 2 d (dx 2 ) − dy 3 ∧ dx3 − y 3 d (dx3 )
dır. d (dz ) = 0 , d (dx1 ) = 0 , d (dx 2 ) = 0 , d (dx 3 ) = 0 olduğundan
3
dη = dx1 ∧ dy1 + dx 2 ∧ dy 2 + dx 3 ∧ dy 3 = ∑ dxi ∧ dy i
i =1
ve
(dη) 2 = dη ∧ dη
= (dx1 ∧ dy1 + dx 2 ∧ dy 2 + dx 3 ∧ dy 3 )
∧ (dx1 ∧ dy1 + dx 2 ∧ dy 2 + dx 3 ∧ dy 3 )
= 2! (dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ) + 2! (dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx3 ∧ dy 3 )
+ 2! (dx1 ∧ dy1 ∧ dx 3 ∧ dy 3 )
dir.
14
Ayrıca
(dη)3 = dη ∧ (dη) 2
⎛ 2!(dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ) ⎞
⎜
⎟
= (dx1 ∧ dy1 + dx 2 ∧ dy 2 + dx 3 ∧ dy 3 ) ∧ ⎜ +2!(dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx3 ∧ dy 3 ) ⎟
⎜ +2!(dx1 ∧ dy1 ∧ dx 3 ∧ dy 3 ) ⎟
⎝
⎠
=3!( dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx 3 ∧ dy 3 )
ve buradan da
η ∧ (dη)3 = (dz − y1dx1 − y 2 dx 2 − y 3 dx 3 ) ∧ [3!(dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx3 ∧ dy 3 )]
= 3!(dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx3 ∧ dy 3 ∧ dz )
≠0
olur. O halde ( M 7 , η ) ikilisi 7-boyutlu kontak manifold dur.
n>3 için M 2 n +1 de η ∧ (dη) n ≠ 0 olduğunu gösterelim.
n
η = dz − ∑ y i dx i = dz − y1dx1 − y 2 dx 2 − ... − y n dx n
i =1
olmak üzere
n
dη =d (dz ) − ∑ [dy i ∧ dx i − y i d (dx i )]
i =1
d (dz ) = 0 ve d (dx i ) = 0 , 1 ≤ i ≤ n olduğundan
n
dη = ∑ dx i − dy i
i =1
dır. Buradan
(dη) 2 = dη ∧ dη
= (dx1 ∧ dy1 + dx 2 ∧ dy 2 + ... + dx n ∧ dy n )
∧ (dx1 ∧ dy1 + dx 2 ∧ dy 2 + ... + dx n ∧ dy n )
= 2! (dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ) + 2! (dx1 ∧ dy1 ∧ dx3 ∧ dy 3 )
+...+2! (dx1 ∧ dy1 ∧ dx n ∧ dy n ) + 2! (dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx3 ∧ dy 3 )
+2! (dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx 4 ∧ dy 4 ) + ... + 2! (dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx n ∧ dy n )
+2! (dx 3 ∧ dy 3 ∧ dx 4 ∧ dy 4 ) + 2! (dx 3 ∧ dy 3 ∧ dx5 ∧ dy 5 )
+...+2! (dx 3 ∧ dy 3 ∧ dx n ∧ dy n ) + ... + 2! (dx n −1 ∧ dy n −1 ∧ dx n ∧ dy n )
ve
15
(dη)3 = dη ∧ (dη) 2
= 3!(dx1 ∧ dy1 + dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx3 ∧ dy 3 )
+...+3! (dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx n ∧ dy n )
+3! (dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx 3 ∧ dy 3 ∧ dx 4 ∧ dy 4 )
+...+3! (dx 2 ∧ dy 2 ∧ dx 3 ∧ dy 3 ∧ dx n ∧ dy n )
+...+3! (dx n − 2 ∧ dy n − 2 ∧ dx n −1 ∧ dy n −1 ∧ dx n ∧ dy n )
olduğu görülür. Buradan da
(dη) n = dη ∧ dη ∧ ... ∧ dη
= n!(dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ∧ ... ∧ dx n ∧ dy n )
veya
n
η ∧ (dη) = (dz − ∑ y i dx i ) ∧ [n !(dx1 ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ∧ ... ∧ dx n ∧ dy n )]
n
i =1
= n !(dx ∧ dy1 ∧ dx 2 ∧ dy 2 ∧ ... ∧ dx n ∧ dy n ∧ dz )
1
≠0
elde edilir. O halde ( M 2 n +1 , η ) ikilisi (2n+1)-boyutlu bir kontak manifold dur.
Örnek 3.1.2. 3- boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold M 3 olsun. Her (x,y,z) noktası
civarında
η = cos z dx + sin z dy
diferensiyel 1-formu için,
η ∧ dη ≠ 0
olduğunu gösterelim. Burada
dη = − sin z dz ∧ dx + cos z d (dx) + cos z dz ∧ dy + sin z d (dy )
d (dx) = 0 , d (dy ) = 0 olduğundan
dη = sin z dx ∧ dz + cos z dz ∧ dy
dır. Dolayısı ile
η ∧ dη = ( cos z dx + sin z dy ) ∧ (sin z dx ∧ dz + cos z dz ∧ dy )
= cos 2 z dx ∧ dz ∧ dy + sin 2 z dy ∧ dx ∧ dz
= − cos 2 z dx ∧ dy ∧ dz − sin 2 z dx ∧ dy ∧ dz
= ( cos 2 z + sin 2 z )(−dx ∧ dy ∧ dz )
= − (dx ∧ dy ∧ dz )
≠0
16
dır. Böylece ( M 3 , η ) ikilisi 3-boyutlu bir kontak manifold dur.
Tanım 3.1.2. (2n+1)-boyutlu diferensiyellenebilir Riemann manifoldu M ve η da
M üzerinde diferensiyel 1-form olsun.
dif . bilir
D = { X ∈ χ ( M ) η : χ ( M ) ⎯⎯⎯⎯
→ C ∞ ( M , R ) , η(X ) = 0}
lineer
(3.1.2)
cümlesine η kontak formunun kontak distribüsyonu denir (Blair 1976).
Tanım 3.1.3. ( M , η) kontak manifoldu üzerinde X ≠ ξ için ,
η(ξ )=1
(3.1.3)
dη(ξ , X )=0
(3.1.4)
olacak şekilde bir tek ξ ∈ χ ( M ) vektör alanı varsa ξ ye η kontak yapısının
karakteristik vektör alanı denir. Burada
1:1
ξ : M ⎯⎯⎯
→ χ (M )
örten
şeklinde tanımlı (1,0) tipinde tensör alanıdır (Blair 1976).
Örnek 3.1.3. M 3 3-boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold olsun. Her ( x1 , y1 , z )
noktası civarında η = cos z dx + sin z dy diferensiyel 1-formu için Tanım 3.1.3 deki
şartları sağlayan bir tek ξ ∈ χ ( M ) vektör alanı
ξ = cos z
∂
∂
+ sin z
∂x
∂y
dır. Gerçekten ,
dη = sin zdx ∧ dz + cos zdz ∧ dy
olmak üzere,
17
dη(X ,ξ ) = [sin zdx ∧ dz + cos zdz ∧ dy ]( X ,ξ )
= sin z[dx( X )dz (ξ ) − dx(ξ )dz ( X )] + cos z[dz ( X )dy (ξ ) − dz (ξ )dy ( X )]
⎡
⎤
∂
∂
∂
∂
= sin z ⎢ dx( X )dz (cos z + sin z ) − dx(cos z + sin z )dz ( X ) ⎥
∂x
∂y
∂x
∂y
⎣
⎦
⎡
⎤
∂
∂
∂
∂
+ cos z ⎢ dz ( X )dy (cos z + sin z ) − dz (cos z + sin z )dy ( X ) ⎥
∂x
∂y
∂x
∂y
⎣
⎦
∂
∂
∂
= − sin 2 zdx( X )dz ( ) + sin z cos zdx( X )dz ( ) − sin z cos zdx( )dz ( X )
∂x
∂y
∂x
∂
∂
∂
− sin 2 zdx( )dz ( X ) + cos 2 zdz ( X )dy ( ) + cos z sin zdz ( X )dy ( )
∂y
∂x
∂y
∂
∂
+ cos z sin zdz ( )dy ( X ) − cos 2 zdz ( )dy ( X )
∂x
∂y
∂
∂
= − sin z cos zdx( )dz ( X ) + cos z sin zdz ( X )dy ( )
∂y
∂x
= − sin z cos zdz ( X ) + cos z sin zdz ( X )
dη( X , ξ ) = 0
olur.
η(ξ ) = [cos zdx + sin zdy ](ξ )
∂
∂
+ sin z )
∂x
∂y
∂
∂
∂
∂
= cos 2 zdx( ) + cos z sin zdx( ) + sin z cos zdy ( ) + sin 2 zdy ( )
∂x
∂y
∂x
∂y
= [cos zdx + sin zdy ](cos z
ve dx(
∂
∂
∂
∂
) = 1, dx( ) = 0, dy ( ) = 0, dy ( ) = 1 olduğundan
∂x
∂y
∂x
∂y
η(ξ ) = 1
dir. Dolayısıyla ξ , η kontak yapısının karakteristik vektör alanı olur.
Sonuç 3.1.1. ( M , η) ikilisi (2n+1)-boyutlu kontak manifold, D ise η kontak formunun
kontak distribisyonu olmak üzere M , D ile D ⊥ in direk toplamı olarak yazılabilir.
Yani,
M = D ⊕ D⊥
dır.
18
(3.1.5)
Sonuç 3.1.2. ( M , η) ikilisi (2n+1)–boyutlu kontak manifold ve Ker η , η kontak
formunun çekirdeği olmak üzere aşağıdaki önermeler denktir.
i. η kontak formu bire birdir.
ii. Ker η = {0}
Sonuç 3.1.3. ( M , η) ikilisi (2n+1)–boyutlu kontak manifold ve Ker η , η kontak
formunun çekirdeği olmak üzere
Ker η=D
(3.1.6)
dir.
3.2 Hemen Hemen Kontak Manifoldlar
Bu kısımda hemen hemen kontak manifoldları tanımlayacağız ve bazı özeliklerini ele
alınacağız.
Tanım 3.2.1. (2n+1)-boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold M ve φ, ξ , η , sırasıyla,
M üzerinde (1,1), (1,0), (0,1) tipinde tensör alanları olsun. φ, ξ , η için ∀X ∈ χ ( M )
olmak üzere
η(ξ ) = 1
(3.2.1)
φ 2 (X ) = − X + η( X )ξ
(3.2.2)
koşullarını sağlayan ( φ, ξ , η ) üçlüsüne M
de hemen hemen kontak yapı ve
( M , φ,ξ , η ) dörtlüsüne de hemen hemen kontak manifold denir (Yano and Kon
1984).
Burada
lineer
φ : χ (M ) ⎯⎯⎯⎯⎯
→ χ (M )
anti − simetrik
; (1,1) tensör
lineer
η : χ (M ) ⎯⎯⎯→
C ∞ (M , \) ; (1,0) tensör
dif .bilir
1:1
ξ : M ⎯⎯⎯
→ χ (M )
örten
; (0,1) tensör
dır.
19
Örnek 3.2.1 \ 3 de standart koordinatlar ( x, y, z ) olmak üzere
η kontak formu ,
1
η = (dz − ydx)
2
ξ vektör alanı,
ξ = 2(
∂
) ∈ χ (\3 )
∂z
φ lineer dönüşümü,
lineer
φ : χ (\ 3 ) ⎯⎯⎯
→ χ (\3 )
olsun. φ lineer dönüşümüne karşılık gelen matris,
⎛ 0 1 0⎞
⎜
⎟
φ = ⎜ −1 0 0 ⎟
⎜ 0 y 0⎟
⎝
⎠
olmak üzere,
1
∂
η(ξ ) = (dz − ydx)(2( ))
2
∂z
∂
∂
∂
∂
= dz ( ) − ydx( )
; dz ( ) = 1, dx( ) = 0
∂z
∂z
∂z
∂z
=1
olur. Ayrıca
X = x1 (
∂
∂
∂
) + x2 ( ) + x3 ( ) ∈ χ (\ 3 )
∂x
∂y
∂z
; X = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ \ 3 olmak üzere
1
∂
∂
∂
η( X ) = (dz − ydx).( x1 + x2 + x3 )
2
∂x
∂y
∂z
1
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= [dz ( x1 + x2 + x3 ) − ydx( x1 + x2 + x3 )]
2
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
1
= ( x3 − yx1 )
2
dır.
⎡ x1 ⎤
⎡0 ⎤
⎢
⎥
3
ξ vektör alanına karşılık gelen matris ξ = ⎢0 ⎥ ve X ∈ χ (\ ) in matris formu X = ⎢⎢ x2 ⎥⎥
⎢⎣ x3 ⎥⎦
⎢⎣ 2 ⎥⎦
olduğundan
20
⎛ 0 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 0 ⎞ ⎡ x1 ⎤
⎜
⎟⎜
⎟
φ ( X ) = φ(φ( X )) = ⎜ −1 0 0 ⎟ . ⎜ −1 0 0 ⎟ . ⎢⎢ x2 ⎥⎥
⎜ 0 y 0⎟ ⎜ 0 y 0⎟ ⎢x ⎥
⎝
⎠⎝
⎠ ⎣ 3⎦
⎛ −1 0 0 ⎞ ⎡ x1 ⎤
⎜
⎟
2
φ ( X ) = ⎜ 0 −1 0 ⎟ . ⎢⎢ x2 ⎥⎥
⎜ − y 0 0⎟ ⎢x ⎥
⎝
⎠ ⎣ 3⎦
2
⎡⎛ −1 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 0 ⎞ ⎤ ⎡ x1 ⎤
⎢⎜
⎟ ⎜
⎟⎥
φ 2 ( X ) = ⎢⎜ 0 −1 0 ⎟ + ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎥ . ⎢⎢ x2 ⎥⎥
⎢⎣⎜⎝ 0 0 −1⎟⎠ ⎜⎝ − y 0 1 ⎟⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦
0
⎡
⎤
⎢
⎥
0
= − I3 ( X ) + ⎢
⎥
⎢⎣ − yx1 + x3 ⎥⎦
⎡0⎤
= − X + ( x3 − yx1 ) ⎢⎢0 ⎥⎥
⎢⎣1 ⎥⎦
⎡0 ⎤
1
= − X + ( x3 − yx1 ) ⎢⎢0 ⎥⎥
2
⎢⎣ 2 ⎥⎦
= − X + η( X )ξ
Böylece (\ 3 , φ, ξ , η) dörtlüsü hemen hemen kontak manifold olur.
Teorem 3.2.1. ( M , φ,ξ , η ) dörtlüsü hemen hemen kontak manifold olmak üzere
X,ξ ∈ χ ( M ) , X ≠ ξ ve
lineer
→ χ (M )
φ : χ (M ) ⎯⎯⎯
için
i. φ (ξ ) = 0
(3.2.3)
ii. ηo φ = 0
(3.2.4)
iii. rank φ = 2n
(3.2.5)
dir (Yano and Kon 1984).
21
İspat :
i. ∀X ∈ χ ( M ) için (3.2.2) den φ 2 (X ) = − X + η( X )ξ eşitliğinde X = ξ alınırsa
φ 2 (ξ ) = − ξ + η(ξ )ξ
= −ξ +ξ
=0 ,
; η(ξ ) = 1
Öncelikle φ (ξ ) = 0 eşitliğini 0lmayana Ergi Yöntemi ile ispatlayalım.
Kabul edelim ki φ (ξ ) ≠ 0 olsun. φ 2 (ξ ) = 0 ifadesinde ξ yerine φ (ξ ) alınırsa (3.2.2)
den
φ 2 (φξ ) = 0
φ 2 (φξ ) = − φ (ξ ) + η(φ (ξ ))ξ = 0
φ (ξ ) = η(φ (ξ ))ξ
(3.2.6)
olur. Burada η(φ (ξ )) = 0 ve η(φ (ξ )) ≠ 0 olmak üzere iki durum ortaya çıkar.
η(φ (ξ )) = 0 olduğunda φ (ξ ) = 0 olur. Bu ise φ(ξ ) ≠ 0 kabulümüz ile çelişir. Demek
ki kabulümüz yanlış olup φ (ξ ) = 0 olmak zorundadır.
η(φ (ξ )) ≠ 0 olduğunda (3.2.6) eşitliği soldan φ ile çarpılırsa
φ 2 (ξ ) = η(φ(ξ ))φ(ξ )
olur. φ 2 (ξ ) = 0 ve η(φ (ξ )) ≠ 0 dolayısı ile φ (ξ ) = 0 olur. Bu ise φ(ξ ) ≠ 0 kabulümüz
ile çelişir. Demek ki kabulümüz yanlış olup φ (ξ ) = 0 olmak zorundadır.
Sonuç olarak her iki durumda da φ (ξ ) = 0 olur.
ii. (3.2.2) den ∀X ∈ χ ( M ) için φ 2 (X ) = − X + η(X)ξ olduğundan X = φ(X) alınarak
φ3 (X ) = φ 2 (φX ) = φ(φ 2 ( X ))
= φ( − X + η( X )ξ )
; φ lineer olduğundan
= −φ(X ) + φ(η( X )ξ )
= −φ(X ) + η( X )φ(ξ )
φ3 (X ) = −φ(X ) + η(φ( X ))ξ
(3.2.7)
elde edilir. φ(ξ ) = 0 olduğundan
φ3 (X ) = −φ(X )
22
(3.2.8)
(3.2.7) ve (3.2.8) den
η(φ(X ))ξ = 0
olur. Ayrıca ξ ≠ 0 olduğundan
η(φ(X )) = 0
dır. Bu ise
(ηoφ)(X ) = 0( X )
olur ki ∀X ∈ χ ( M ) için doğru olduğundan
ηoφ = 0
olur.
lineer
iii. φ:χ (M ) ⎯⎯⎯
→ χ (M ) dönüşümünün çekirdeği Ker φ olmak üzere
Ker φ={X ∈ χ (M ) φ ( X ) = 0}
şeklindedir. ∀X ∈ Kerφ için
φ(X ) = 0
, eşitliğin her iki tarafına φ uygulanırsa
φ(φ(X )) = φ(0)
φ 2 (X ) = 0
(3.2.2) den
− X + η(X )ξ = 0
X = η(X )ξ
olur. Böylece ∀X ∈ Kerφ için X ∈ Sp{ξ } olur ki bu da
Ker φ ⊂ Sp{ξ }
(3.2.9)
demektir. ∀X ∈ Sp{ξ } için
X = λξ
φ( X ) = λ φ(ξ )
; φ(ξ ) = 0
φ( X ) = 0
olur. Böylece ∀X ∈ Sp{ξ } için X ∈ Kerφ olur ki bu da
Sp{ξ } ⊂ Ker φ
(3.2.9) ve (3.2.10) dan Ker φ = Sp{ξ } demektir.
23
(3.2.10)
Sonuç olarak
rank φ+sıfırlık φ = boy χ ( M ) = 2n + 1
olur ve sıfırlık φ = boy ( Ker φ) = 1 olduğundan
rank φ=2n
dır.
3.3 Hemen Hemen Kontak Metrik Manifold
Bu kısımda hemen hemen kontak manifoldlar üzerinde bir metrik tanımlayacağız ve
bazı özeliklerini ele alınacağız.
Tanım 3.3.1. (2n+1)-boyutlu M diferensiyellenebilir Riemann Manifoldunu ele alalım.
(φ, ξ , η) hemen hemen kontak yapısıyla birlikte M nin bir P noktasındaki g Riemann
metriği
2-lineer
g : TM ( P ) × TM ( P ) ⎯ ⎯simetrik
⎯⎯⎯
→\
poz. tanımlı
dir. ∀X , Y ∈ χ ( M ) ve ξ ∈ χ ( M ) için
η( X ) = g ( X , ξ )
(3.3.1)
g (φ( X ), φ(Y )) = g ( X , Y ) − η( X ) η(Y )
koşullarını sağlayan g metriğine M
(3.3.2)
üzerinde hemen hemen kontak metrik,
(φ, ξ , η, g) yapısına da hemen hemen kontak metrik yapı, ( M , φ, ξ , η, g) beşlisine de
hemen hemen kontak metrik manifold denir (Yano and Kon 1984).
(3.3.2) eşitliğinde Y = ξ alınırsa
g (φ( X ), φ(ξ )) = g ( X , ξ ) − η( X ).η(ξ )
η( X ) = g ( X , ξ )
olur. φ anti-simetrik olduğundan φ* = −φ dır.
24
; φ(ξ ) = 0, η(ξ ) = 1
g (φ( X ), φ(Y )) = g ( X , φ* (φ(Y )))
= g ( X , − φ(φ(Y )))
; φ 2 (Y ) = − Y + η(Y )ξ
= − g ( X , φ 2 (Y ))
= − g ( X , −Y + η(Y )ξ )
; g lineer
= g ( X , Y ) − η(Y ) g ( X , ξ )
; g ( X , ξ ) = η( X )
= g ( X , Y ) − η( X ) η(Y )
olur.
Örnek 3.3.1. Örnek 3.2.1 deki (\ 3 , φ, ξ , η) hemen hemen kontak manifoldunda bir g
metriği şöyle tanımlansın.
1
g = ((1 + y 2 )dx 2 + dy 2 + dz 2 − 2 ydxdz )
4
\3 de g metriğinin matris yazılımı
g = a11dx 2 + a22 dy 2 + a33 dz 2 + 2a12 dxdy + 2a13 dxdz + 2a23 dydz
dir. Ayrıca g ye karşılık gelen matris simetrik olduğundan g metriğinin matris yazılımı
⎛1 + y 2
1⎜
g= ⎜ 0
4⎜
⎝ −y
0 −y⎞
⎟
1 0 ⎟
0 1 ⎟⎠
şeklinde olup (\3 , φ, ξ , η, g ) beşlisi bir hemen hemen kontak metrik manifold dur.
⎛ 0 1 0 ⎞ ⎡ x1 ⎤ ⎡ x2 ⎤
⎜
⎟
φ( X ) = ⎜ −1 0 0 ⎟ . ⎢⎢ x2 ⎥⎥ = ⎢⎢ − x1 ⎥⎥
⎜ 0 y 0 ⎟ ⎢ x ⎥ ⎢ yx ⎥
⎝
⎠ ⎣ 3⎦ ⎣ 2⎦
⎛ 0 1 0 ⎞ ⎡ y1 ⎤ ⎡ y2 ⎤
⎜
⎟
φ(Y ) = ⎜ −1 0 0 ⎟ . ⎢⎢ y2 ⎥⎥ = ⎢⎢ − y1 ⎥⎥
⎜ 0 y 0 ⎟ ⎢ y ⎥ ⎢ yy ⎥
⎝
⎠ ⎣ 3⎦ ⎣ 2⎦
1
η( X ) = ( x3 − yx1 )
2
1
η(Y ) = ( y3 − yy1 )
2
g (φ( X ), φ(Y ) = (φ X )T g (φ Y )
olduğundan
25
⎛1 + y 2
1⎜
g (φ( X ), φ(Y )) = ⎡⎣ x2 -x1 yx2 ⎤⎦ . ⎜ 0
4⎜
⎝ −y
0 − y ⎞ ⎡ y2 ⎤
⎥
⎟ ⎢
1 0 ⎟ . ⎢ − y1 ⎥
0 1 ⎟⎠ ⎢ yy2 ⎥
⎣
⎦
⎡ y2 ⎤
⎢
⎥
1
= . ⎣⎡ x2 -x1 0 ⎦⎤ . ⎢ − y1 ⎥
4
⎢ yy ⎥
⎣ 2⎦
g (φ( X ), φ(Y )) =
1
( x2 y2 + x1 y1 )
4
η( X ) η(Y ) =
1
1
( x3 − yx1 ). ( y3 − yy1 )
2
2
η( X ) η(Y ) =
1
( x3 y3 − yx3 y1 − yx1 y3 + y 2 x1 y1 )
4
1
((1 + y 2 ) x1 y1 − yx1 y3 + x2 y2 − yx3 y1 + x3 y3 )
4
1
1
= ( x1 y1 + x2 y2 ) + ( x3 y3 + y 2 x1 y1 − yx1 y3 − yx3 y1 )
4
4
g( X ,Y ) =
g (φ( X ), φ(Y )) = g ( X , Y ) − η( X ) η(Y )
g ( X , Y ) = g (φ( X ), φ(Y )) + η( X ) η(Y )
dır.
Şimdi η( X ) = g ( X , ξ ) olduğunu gösterelim.
⎛1 + y 2
1⎜
g ( X , ξ ) = [ x1 x2 x3 ] . ⎜ 0
4⎜
⎝ −y
⎡ −2 y ⎤
1
= [ x1 x2 x3 ] . ⎢⎢ 0 ⎥⎥
4
⎢⎣ 2 ⎥⎦
0 − y ⎞ ⎡0 ⎤
⎟
1 0 ⎟ . ⎢⎢0 ⎥⎥
0 1 ⎟⎠ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
1
g ( X , ξ ) = ( x3 − yx1 )
2
1
η( X ) = ( x3 − yx1 )
2
olduğundan
η( X ) = g ( X , ξ )
olup (\3 , φ, ξ , η, g ) beşlisi bir hemen hemen kontak metrik manifold olur.
26
Teorem 3.3.1. (φ, ξ , η) hemen hemen kontak yapısıyla birlikte (2n+1)–boyutlu
M diferensiyellenebilir manifoldu verilsin. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
g (φ(X),φ(Y)) = g ( X , Y ) − η( X ) η(Y )
olacak şekilde bir g Riemann metriği daima vardır (Blair 1976).
İspat:
Her manifold da bir Riemann metriği vardır. O halde h' , M de herhangi bir Riemann
metrik olsun ve h metriği de ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
h( X , Y ) = h' (φ 2 ( X ), φ 2 (Y )) + η( X ) η(Y )
şeklinde tanımlansın. Önce h nın Riemann metriği olduğunu gösterelim. ,
i. h metriği simetriktir.
ii. h nın bi-lineer olduğunu gösterelim.
∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) ve ∀a, b ∈ \ için h' , φ ve η nın lineerliği kullanılarak,
h(aX + bY , Z ) = h ' (φ 2 (aX + bY ), φ 2 ( Z )) + η(aX + bY ) η( Z )
= h ' [a φ 2 ( X ) + b φ 2 (Y ), φ 2 ( Z )] + a η( X ) η( Z ) + b η(Y ) η( Z )
= ah ' (φ 2 ( X ), φ 2 ( Z )) + bh' (φ 2 (Y ), φ 2 ( Z )) + a η( X ) η( Z ) + b η(Y ) η( Z )
= a[h' (φ 2 ( X ), φ 2 ( Z )) + η( X ) η( Z )] + b[h' (φ 2 (Y ), φ 2 ( Z )) + η(Y ) η( Z )]
h(aX + bY , Z ) = ah( X , Z ) + bh(Y , Z )
dır. h simetrik olduğundan ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) ve ∀a, b ∈ \ için
h( X , aY + bZ ) = ah( X , Y ) + bh(Y , Z )
olur. O halde h bi-lineerdir.
iii. ∀X ∈ χ ( M ) için
h( X , X ) = h' (φ 2 ( X ), φ 2 ( X )) + η( X ) η( X )
= h ' (φ 2 ( X ), φ 2 ( X )) + η2 ( X )
dir. h' Riemann metrik olduğundan h' (φ 2 ( X ), φ 2 ( X )) ifadesi X ≠ 0 için pozitiftir.
Ayrıca η2 ( X ) de pozitif olduğundan
h( X , X ) ⟩ 0
olur.
27
; X ≠0
h( X , X ) = 0
ise
η( X ) = 0
g( X ,ξ ) = 0
; η( X ) = g ( X , ξ )
⇒ X =0.
Demek ki h metriği pozitif definit dir. O halde h bir Riemann metriği olur.
Şimdi g yi ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
1
g ( X , Y ) = [h( X , Y ) + h(φ( X ), φ(Y )) + η( X ) η(Y )]
2
(3.3.3)
şeklinde tanımlayalım ve g nin Riemann metriği olduğunu gösterelim.
g simetrik:
1
g ( X , Y ) = [h( X , Y ) + h(φ( X ), φ(Y )) + η( X ) η(Y )]
2
1
g ( X , Y ) = [h(Y , X ) + h(φ(Y ), φ( X )) + η(Y ) η( X )]
2
g ( X , Y ) = g (Y , X ) .
; h simetrik
g bi-lineer:
∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) ve ∀a, b ∈ \ için
1
g (aX + bY , Z ) = [h(aX + bY , Z ) + h(φ(aX + bY ).φ( Z )) + η(aX + bY ) η( Z )]
2
1
= [ah( X , Z ) + bh(Y , Z ) + h(a φ( X ) + b φ(Y ), φ( Z ))
2
+ a η( X ) η( Z ) + b η(Y ) η( Z )
= ag ( X , Z ) + bg (Y , Z ) .
Ayrıca g simetrik olduğundan
g ( X , aY + Z ) = ag ( X , Y ) + bg ( X , Z )
yazılabilir.
g pozitif-definit:
∀X ∈ χ ( M ) için g ( X , X ) = 0 olsun.
1
g ( X , X ) = [h( X , X ) + h(φ( X ), φ( X )) + η( X ) η( X )]
2
η( X ) = 0
g( X ,ξ ) = 0
; η( X ) = g ( X , ξ )
⇒ X = 0.
28
X ≠ 0 için h( X , X ) ⟩ 0 , h(φ( X ), φ( X )) ⟩ 0 ve η2 ( X ) ⟩ 0 olduğu için g ( X , X ) ⟩ 0
olur. O halde g Riemann metriği olur.
(3.3.3) eşitliğinde X = φ( X ) ve Y = φ(Y ) alınırsa
1
g (φ( X ), φ(Y )) = [h(φ( X ), φ(Y )) + h(φ 2 ( X ), φ 2 (Y )) + η(φ( X )) ηφ(Y )] ; η o φ = 0
2
1
= [h(φ( X ), φ(Y )) + h(− X + η( X )ξ , −Y + η(Y )ξ )] ; h lineer
2
1
g (φ( X ), φ(Y )) = [h(φ( X ), φ(Y )) + h( X , Y ) − η(Y )h( X , ξ ) − η( X )h(ξ , Y ) + η( X ) η(Y )h(ξ , ξ )]
2
h( X , ξ ) = η( X ) , h(ξ , Y ) = η(Y ) ve h(ξ , ξ ) = η(ξ ) = 1 olduğundan
1
g (φ( X ), φ(Y )) = [h(φ( X ), φ(Y )) + h( X , Y ) − η( X ), η(Y )]
2
1
= [h(φ( X ), φ(Y )) + h( X , Y ) − η( X ) η(Y ) + 2η( X ).η(Y )]-η( X )η(Y )
2
1
= [h( X , Y ) + h(φ( X ), φ(Y )) + η( X )η(Y )]-η( X )η(Y )
2
= g ( X , Y )-η( X )η(Y )
dır.
Sonuç 3.3.1. (2n+1)–boyutlu M Riemann manifoldu ve (φ, ξ , η, g ) hemen hemen
kontak metrik yapı olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
g (φ( X ), Y ) = -g( X , φ(Y ))
(3.3.4)
Yani, φ g ye göre anti-simetrik tensör alanıdır (Yano and Kon 1984).
İspat:
∀X , Y ∈ χ ( M ) için
g (φ( X ), φ(Y )) = g ( X , Y ) − η( X ) η(Y )
eşitliğinde X yerine φ( X ) alınırsa
g (φ 2 ( X ), φ(Y )) = g (φ( X ), Y ) − η(φ( X )) η(Y )
; ηoφ = 0
g (− X + η( X )ξ , φ(Y )) = g (φ( X ), Y ) + 0.η(Y )
; g lineer
g (− X , φ(Y )) + η ( X ) g (ξ , φ(Y )) = g (φ( X ), Y )
; g (ξ , φ(Y )) = η(φ(Y ))
− g ( X , φ(Y )) + η ( X )η (φ(Y )) = g (φ( X ), Y )
; η(φ(Y )) = 0
− g ( X , φ(Y )) + η ( X ).0 = g (φ( X ), Y )
g (φ( X ), Y ) = − g ( X , φ(Y ))
29
olur. Bu ise φ dönüşümünün g ye göre anti-simetrik bir tensör alanı olması demektir.
Sonuç 3.3.2. g metriğine karşılık gelen matris A ise ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
g ( X , Y ) = X Τ ΑY
(3.3.5)
olmak üzere
lineer
φ : χ ( M ) ⎯⎯⎯
→ χ (M )
X ⎯⎯⎯
→ φ( X ) = BX
Y ⎯⎯⎯
→ φ(Y ) = BY
için
BT Α = −ΑB
(3.3.6)
dır.
İspat:
g ( BX , Y ) = − g ( X , BY )
( BX )T ΑY = − X T Α( BY )
X T BT ΑY = − X T ΑBY
; soldan ( X T ) −1 , sağdan Y −1
BT Α = −ΑB
dır. Özel olarak Α = I olursa
BT = − B
olur. Buda φ ye karşılık gelen matris anti-simetrik olur demektir.
Teorem 3.3.2. (2n+1) –boyutlu bir hemen hemen kontak manifoldu M verilsin. M nin
kontak formu verildiğinde, ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
g ( X , φ(Y )) = d η( X , Y )
(3.3.7)
olacak şekilde bir (φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik yapısı vardır (Yano and Kon
1984).
İspat:
η kontak formu için ∀X ∈ χ ( M ) noktasında d η(ξ , TX ( M )) =0 olacak şekilde bir ξ
vektör alanı vardır. φ anti-simetrik (1.1) tensör alanı olsun. η( X ) = h( X , ξ ) olacak
30
şekilde bir h Riemann metriği her zaman vardır. Diğer yandan d η öyle bir simplektif
formdur ki ξ nın ortogonal tümleyeni üzerindedir ve bu tümleyen üzerinde
g ' ( X , φ(Y )) = d η( X , Y )
ve
φ2 = I
olacak şekilde bir g ' metriği ve bir φ endomorfizmi vardır.
φ(ξ ) = 0 koşulunu sağlayan φ yi genişleterek ve ξ nın doğrultusunda h ile uyumlu g
metriğine g ' genişletilirse
φ : ξ ⊥ ⎯⎯
→ξ ⊥
dönüşümü için (φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik yapısına sahip oluruz. Bu ise
g ( X , φ(Y )) = d η( X , Y )
demektir.
3.4 Kontak Manifoldlarda İkinci Temel Form
Tanım 3.4.1. M üzerinde bir (φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik yapısı verilsin.
∀X , Y ∈ χ ( M ) için
Ф( X , Y ) = g ( X , φ(Y )) = d η( X , Y )
(3.4.1)
şeklinde tanımlı Ф dönüşümüne (φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik yapısının II.
Temel Formu denir. Burada η kontak formu için yazılan η∧ (d η) n ≠ 0 koşulu
η∧ (Ф) n ≠ 0 halini alır (Yano and Kon 1984).
Örnek 3.4.1. Örnek 3.3.1 deki (\ 3 , φ, ξ , η, g ) beşlisi bir hemen hemen kontak manifold
olsun. Daha önce bu manifoldun hemen hemen kontak metrik manifold olduğunu
gösterdik. Şimdi (φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik yapısının II. Temel Formunu
bulalım.
1
η = (dz − ydx)
2
1
d η = [d (dz ) − ydy ∧ dx − yd (dx)]
2
31
; d (dz ) = 0, d (dx) = 0
veya
1
d η = (dx ∧ dy )
2
dan elde edilen
Ф=
1
(dx ∧ dy )
2
ifadesi (\ 3 , φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik manifoldunun II. Temel Formudur.
Tanım 3.4.2. (2n+1)-boyutlu hemen hemen kontak metrik manifoldu ( M , φ, ξ , η, g )
olsun. Eğer, ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
d η( X , Y ) = g ( X , φ(Y )) = Ф( X , Y )
oluyorsa (φ, ξ , η, g ) dörtlüsüne kontak metrik yapı ve ( M , φ, ξ , η, g ) ye de kontak
metrik manifold denir (Yano and Kon 1984).
Sonuç 3.4.1. Ф = d η eşitliğini sağlayan (φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik yapısı
aynı zamanda kontak metrik yapıdır (Yano and Kon 1984).
Sonuç 3.4.2. Her kontak metrik manifold aynı zamanda kontak manifold dur (Yano and
Kon 1984).
Önerme 3.4.1. w bir r-form olmak üzere ∀ X 0 , X1 ,..., X r ∈ χ ( M ) için
dw (X 0 , X1 ,..., X r ) =
1 r
(−1)i X i ( w(X 0 , X1 ,..., X i ,..., X r ))
∑
r + 1 i =0
n
1
+
∑ (−1)i + j w([Xi , X j ],X0 , X1 ,..., Xi ,..., X j ,..., X r )
r + 1 0≤i ≤ j ≤ r
dir. Özel olarak w bir 1-form ise
2dw( X , Y ) = X ( w(Y )) − Y ( w( X )) − w([ X , Y ])
(3.4.2)
dir.
Teorem 3.4.1. M üzerinde (φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik yapısı için
1
Φ( X , Y ) = [ g ( DX ξ , Y ) − g ( DY ξ , X )]
2
32
(3.4.3)
dir (Yano and Kon 1984).
İspat :
η 1-form olduğundan ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
2d η( X , Y ) = X (η(Y )) − Y (η( X )) − η([ X , Y ])
(3.4.4)
dır. (φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik yapı olduğundan
η( X ) = g ( X , ξ ) , η(Y ) = g (Y , ξ ) , η([ X , Y ]) = g ([ X , Y ], ξ )
ifadeleri (3.4.4) de yerine yazılırsa
2d η( X , Y ) = X ( g (Y , ξ )) − Y ( g ( X , ξ )) − g ([ X , Y ], ξ )
(3.4.5)
elde edilir. Burada
X ( g (Y , ξ )) = g ( DX Y , ξ ) + g (Y , DX ξ )
Y ( g ( X , ξ )) = g ( DY X , ξ ) + g ( X , DY ξ )
eşitlikleri (3.4.5) de yerlerine yazılırsa
2d η( X , Y ) = g ( DX Y , ξ ) + g (Y , DX ξ ) − g ( DY X , ξ ) − g ( X , DY ξ ) − g ([ X , Y ], ξ )
= g ( DX Y − DY X , ξ ) + g (Y , DX ξ ) − g ( X , DY ξ ) − g ([ X , Y ], ξ )
= g (Y , DX ξ ) − g ( X , DY ξ )
ve d η( X , Y ) = Φ( X , Y ) olduğundan
1
Φ( X , Y ) = [ g ( DX ξ , Y ) − g ( DY ξ , X )]
2
olur.
Teorem 3.4.2. (2n+1)-boyutlu diferensiyellenebilir Riemann manifoldu M , (φ, ξ ,η , g )
kontak metrik yapısıyla verilsin. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
d η( X , ξ ) = 0
(3.4.6)
d η(φ( X ), Y ) + d η( X , φ(Y )) = 0
(3.4.7)
ve
dır (Yano and Kon 1984).
İspat:
(3.3.7) den ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
d η( X , Y ) = g ( X , φ(Y ))
33
eşitliğinde Y = ξ alınırsa
d η( X , ξ ) = g ( X , φ(ξ ))
; φ(ξ ) = 0
d η( X , ξ ) = 0
olur. Ayrıca (3.3.7) den
d η(φ( X ), Y ) = g (φ( X ), φ(Y ))
d η( X , φ(Y )) = g ( X , φ 2 (Y ))
(3.4.8)
; φ anti-simetrik
d η( X , φ(Y )) = − g (φ( X ), φ(Y ))
(3.4.9)
(3.4.8) ve (3.4.9) dan
d η(φ( X ), Y ) + d η( X , φ(Y )) = 0
dır.
3.5 Hemen Hemen Kontak Manifoldların Torsiyon Tensörü
Bu kısımda hemen hemen kontak manifoldların torsiyon tensörü ile ilgili bazı özelikler
ele alınacaktır.
Tanım 3.5.1. V bir reel vektör uzayı olmak üzere
J :V → V
lineer dönüşümü
J 2 = −I
koşulunu sağlıyorsa J ye V üzerinde bir kompleks yapı denir (Yano and Kon 1984).
M , (2n + 1) -boyutlu hemen hemen kontak manifoldu verilsin. Bu manifold üzerinde
hemen hemen kontak yapısı (ϕ , ξ ,η ) oluşturalım. Reel bir doğruyu \ ile gösterirsek
\ bir manifold olduğundan M × \ de bir manifold dur.
χ (\) = { f
d
: f ∈ C ∞ ( M , \)}
dt
χ ( M × \) = {( X , f
d
) X ∈ χ (M ) ,
dt
f
d
∈ χ (\)}
dt
olmak üzere X , M ye teğet bir vektör alanı, t de \ nin bir koordinatı ve f
34
d
, M ×\
dt
üzerinde tanımlı bir fonksiyondur. M × \ nin tanjant uzayındaki bir J lineer
dönüşümü
lineer
J : χ ( M × \) ⎯⎯⎯
→ χ ( M × \)
(X , f
d
d
) ⎯⎯→ J ( X , f )
dt
dt
olmak üzere
J(X , f
d
d
) = (φ( X ) − f ξ , η( X ) )
dt
dt
(3.5.1)
şeklinde tanımlanır (Yano and Kon 1984).
Teorem 3.5.1. Yukarıdaki şekilde tanımlı J dönüşümü
i. Lineer bir dönüşümdür.
ii. J 2 = − I
dır (Yano and Kon 1984).
İspat:
i. ∀a, b ∈ \ ve ∀( X , f
J (a( X , f
d
d
), (Y , g ) ∈ χ ( M × \) için
dt
dt
d
d
d
) + b(Y , g )) = J (aX + bY , (af + bg ) )
dt
dt
dt
= (φ(aX + bY ) − (af + bg )ξ , η(aX + bY )
d
)
dt
; φ ve η lineer
d
d
+ b η(Y ) )
dt
dt
d
d
= (a φ( X ) − af ξ , a η( X ) ) + (b φ(Y ) − bgξ , b η(Y ) )
dt
dt
d ⎞
d ⎞ ⎛
⎛
= a ⎜ φ( X ) − f ξ , η( X ) ⎟ + b ⎜ φ(Y ) − gξ , η(Y ) ⎟
dt ⎠
dt ⎠ ⎝
⎝
d
d
= a J ( X , f ) + bJ (Y , g )
dt
dt
= (a φ( X ) + b φ(Y ) − af ξ − bgξ , a η( X )
O halde J lineer bir dönüşümdür.
35
ii. ∀( X , f
d
) ∈ χ ( M × \) için
dt
J 2(X , f
d
d
d
) = J ( J ( X , f )) = J (φ( X ) − f ξ , η( X ) )
dt
dt
dt
d ⎞
⎛
= ⎜ φ(φ( X ) − f (ξ ) − η( X )ξ , η(φ( X ) − f ξ ) ⎟ ; η lineer
dt ⎠
⎝
d
d ⎞
⎛
= ⎜ φ 2 ( X ) − f φ(ξ ) − η( X )ξ , (η o φ)( X ) − f η(ξ ) ) ⎟
dt
dt ⎠
⎝
Tanım 3.2.1 ve Teorem 3.2.1 den
J 2(X , f
d
d
) = (φ 2 ( X ) − η( X )ξ , − f )
dt
dt
= (− X + η( X )ξ − η( X )ξ , − f
;
φ 2 ( X ) = − X + η( X )ξ
d
)
dt
d
)
dt
d
= −I ( X , f )
dt
= (− X , − f
∀( X , f
d
) ∈ χ ( M × \) için
dt
J 2(X , f
d
d
) = −I ( X , f )
dt
dt
olduğundan
J 2 = −I
olur.
Sonuç 3.5.1. ( M × \) nin tanjant uzayında tanımlı J dönüşümü ( M × \) üzerinde bir
hemen hemen kompleks yapı oluşturur (Yano and Kon 1984).
Teorem 3.5.2. (2n + 1) -boyutlu ( M , φ, ξ , η) hemen hemen kontak metrik manifoldu
verilsin. Teorem 2.2.6 uyarınca
lineer
J : χ ( M × \) ⎯⎯⎯
→ χ ( M × \)
(X , f
d
d
d
) ⎯⎯⎯
→ J ( X , f ) = (φ( X ) − f ξ , η( X ) )
dt
dt
dt
lineer dönüşümüne (2n + 2) × (2n + 2) tipinde bir matris karşılık gelir ve bu matris
36
⎡0
⎢- I
J =⎢ n
⎢0
⎢
⎣0
I n 0 0⎤
0 0 0 ⎥⎥
0 0 1⎥
⎥
0 -1 0 ⎦
şeklindedir (Yıldırım 2004).
İspat:
χ ( M ) = Sp{e1 , e2 ,..., en , φ(e1 ), φ(e2 ),..., φ(en ), ξ } dır. Burada
Ei = (ei , 0)
; 1≤ i ≤ n
φ (Ei ) = (φ(ei ), 0)
; 1≤ i ≤ n
E2 n +1 = (ξ , 0)
E2 n + 2 = (0,
d
)
dt
denilirse
χ ( M × \) = Sp{E1 , E2 ,..., En , φ( E1 ), φ( E2 ),..., φ( En ), E2 n +1 , E2 n + 2 }
olur. Buna göre
J ( Ei ) = J (ei , 0) = (φ(ei ) − 0.ξ , η(ei )
d
)
dt
; 1≤ i ≤ n
J ( Ei ) = (φ(ei ), 0)
J ( Ei ) = φ( Ei )
; 1≤ i ≤ n
(3.5.2)
J φ(( Ei )) = (φ(ei ), 0)
= (φ 2 (ei ) − 0.ξ , η ( φ(ei ))
d
)
dt
; ηο φ = 0
= (−ei + η(ei )ξ , 0)
= (−ei , 0)
J (φ( Ei )) = − Ei
; 1≤ i ≤ n
37
(3.5.3)
J ( E2 n +1 ) = J (ξ , 0)
= (φ(ξ ) − 0.ξ , η(ξ )
= (0,
d
)
dt
d
)
dt
J ( E2 n +1 ) = E2 n + 2
J ( E2 n + 2 ) = J (0,
(3.5.4)
d
)
dt
= (φ(0) − ξ , η(0)
d
)
dt
= (−ξ , 0)
J ( E2 n + 2 ) = − E2 n +1
(3.5.5)
(3.5.2) , (3.5.3) , (3.5.4) ve (3.5.5) eşitlikleri yardımıyla J lineer dönüşümüne karşılık
gelen matrisi bulalım.
J ( E1 ) = 0.E1 + 0.E2 + ... + 0.En + 1.φ( E1 ) + 0.φ( E2 ) + ... + 0.φ( En ) + 0.E2 n +1 + 0.E2 n + 2
J ( E2 ) = 0.E1 + 0.E2 + ... + 0.En + 0.φ( E1 ) + 1.φ( E2 ) + ... + 0.φ( En ) + 0.E2 n +1 + 0.E2 n + 2
#
#
#
#
J ( En ) = 0.E1 + 0.E2 + ... + 0.En + 0.φ( E1 ) + 0.φ( E2 ) + ... + 1.φ( En ) + 0.E2 n +1 + 0.E2 n + 2
J (φ( E1 )) = −1.E1 + 0.E2 + ... + 0.En + 0.φ( E1 ) + 0.φ( E2 ) + ... + 0.φ( En ) + 0.E2 n +1 + 0.E2 n + 2
J (φ( E2 )) = 0.E1 − 1.E2 + ... + 0.En + 0.φ( E1 ) + 0.φ( E2 ) + ... + 0.φ( En ) + 0.E2 n +1 + 0.E2 n + 2
#
#
#
#
J (φ( En )) = 0.E1 + 0.E2 + ... − 1.En + 0.φ( E1 ) + 0.φ( E2 ) + ... + 0.φ( En ) + 0.E2 n +1 + 0.E2 n + 2
J ( E2 n +1 ) = 0.E1 + 0.E2 + ... + 0.En + 0.φ( E1 ) + 0.φ( E2 ) + ... + 0.φ( En ) + 0.E2 n +1 + 1.E2 n + 2
J ( E2 n + 2 ) = 0.E1 + 0.E2 + ... + 0.En + 0.φ( E1 ) + 0.φ( E2 ) + ... + 0.φ( En ) − 1.E2 n +1 + 0.E2 n + 2
Buna göre
⎡0
⎢- I
J =⎢ n
⎢0
⎢
⎣0
I n 0 0⎤
0 0 0 ⎥⎥
0 0 1⎥
⎥
0 -1 0 ⎦
38
olur.
Tanım 3.5.2. (2n + 1) -boyutlu bir M manifoldu (φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak
yapısı ile verilsin. M × \ de Braket operatörü
→ χ ( M × \)
[ , ] : χ ( M × \) × χ ( M × \) ⎯⎯
(( X , f
d
d
d
d ⎤
⎡
), (Y , g )) ⎯⎯
→ ⎢( X , f ), (Y , g ) ⎥
dt
dt
dt
dt ⎦
⎣
olmak üzere
d
d ⎤
d
⎡
⎢⎣ ( X , f dt ), (Y , g dt ) ⎥⎦ = ([ X , Y ], ( X ( g ) − Y ( f ) dt )
(3.5.6)
dır (Camcı 2003).
Tanım 3.5.3. M diferensiyellenebilir bir manifold olmak üzere F, (1,1) tipinde tensör
alanı olsun.
∀X , Y ∈ χ ( M ) için
N F : χ ( M ) × χ ( M ) ⎯⎯
→ χ (M )
( X ,Y )
⎯⎯
→ NF ( X ,Y )
olmak üzere
N F ( X , Y ) = F 2 ([ X , Y ]) + [ F ( X ), F (Y )] − F ([ F ( X ), Y ]) − F ([ X , F (Y )])
(3.5.7)
şeklinde tanımlanan (1,2) tipinde ki N F tensör alanına F nin Nijenhuis torsiyon
tensörü denir.
Özel haller:
i. F = φ olması durumunda ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
N φ ( X , Y ) = −[ X , Y ] + η[ X , Y ]ξ + [φ( X ), φ(Y )] − φ[φ( X ), Y ] − φ[ X , φ(Y )]
(3.5.8)
şeklinde tanımlanan N φ tensör alanına φ nin Nijenhuis torsiyon tensörü denir.
ii. F = J olması halinde
N j ( X , Y ) = J 2 [ X , Y ] + [ J ( X ), J (Y )] − J [ J ( X ), Y ] − J [ X , J (Y )]
= − [ X , Y ] + [ J ( X ), J (Y )] − J [ J ( X ), Y ] − J [ X , J (Y )]
veya
39
(3.5.9)
N j (( X , f
d
d
d
d
d
d
), (Y , g )) = −[( X , f ), (Y , g )] + [ J ( X , f ), J (Y , g )]
dt
dt
dt
dt
dt
dt
(3.5.10)
d
d
d
d
− J [ J ( X , f ), (Y , g )] − J [( X , f ), J (Y , g )]
dt
dt
dt
dt
şeklinde tanımlı N j tensör alanına J hemen hemen kompleks yapısının Nijenhuis
torsiyon tensörü denir (Yano and Kon 1984).
Sonuç 3.5.2. N F Nijenhuis torsiyon tensörü bi-lineer ve antisimetrik tensördür
(Kocayiğit 2004).
Tanım 3.5.4. ( M × \, J ) hemen hemen kontak manifoldu verilsin. N j ≡ 0 ise J
hemen hemen kompleks yapısına integrallenebilirdir denir (Yano and Kon 1984, Blair
2002).
Tanım 3.5.5. Eğer
M ×\
üzerinde bir
J
hemen hemen kompleks yapısı
integrallenebilir ise (φ, ξ , η) hemen hemen kontak yapısına normaldir denir (Yano and
Kon 1984, Blair 2002).
Tanım 3.5.6. M diferensiyellenebilir bir manifold olmak üzere
∞
c
ϕ : \ × M ⎯⎯
→M
c
→ ϕt ( p )
( t , p ) ⎯⎯
∞
dönüşümü aşağıdaki şartları sağlıyor ise ϕ ye M nin diferensiyellenebilir bir 1parametreli grubu adı verilir (Yano and Kon 1984).
i. ∀ t ∈\ için
ϕt : p ⎯⎯
→ ϕt ( p )
bir diffeomorfizim
ii. ∀ t , s ∈ \ ve p ∈ M için
ϕ t + s ( p ) = ϕ t (ϕ s ( p ) )
dir.
40
Tanım 3.5.7. M üzerinde bir vektör alanı X ve X ile gerilmiş lokal dönüşümlü 1-
parametreli grup φt olsun. X vektör alanına göre bir K tensör alanının X yönünde
Lx K ile gösterilen Lie türevi ;
1
[ K x − (ϕt K ) x ]
t →0 t
Lx K = lim
Lx K = [ X , K ]
(3.5.11)
olarak tanımlanır (Kobayashi and Nomizu 1963).
Önerme 3.5.1. Lx K = 0 olması için gerek ve yeter koşul ∀t ∈ \ için φt nin K yı
invaryant bırakmasıdır (Kobayashi and Nomizu 1963).
Önerme 3.5.2. X vektör alanı yönünde Lx ile gösterilen Lie türevi, ∀ X , Y ∈ χ ( M ) ve
∀ f ∈C ∞ ( M , \) aşağıdaki özelikleri sağlar:
i. Lx ( K ⊗ K ') = ( Lx K ) ⊗ K '+ K ⊗ ( Lx K ')
; ( K , K ' herhengi tensör alanları)
ii. Lx f = X [ f ] = df ( X )
;
f ∈ C ∞ ( M , \)
iii. LxY = [ X , Y ]
;
X , Y ∈ χ (M )
r − lineer
T : χ ( M ) × χ ( M ) × ... × χ ( M ) ⎯⎯⎯→
C ∞ (M , \)
iv.
( X 1 , X 2 ,..., X r )
r − lineer
T ( X 1 , X 2 ,..., X r )
⎯⎯⎯→
olmak üzere T , (1, r ) -tipinden tensördür. Burada
r
( LX T )( X 1 , X 2 ,..., X r ) = X (T ( X 1 , X 2 ,..., X r )) − ∑ T ( X 1 ,...,[ X , X i ],..., X r )
i =1
şeklindedir.
v. ( Lx F )(Y ) = X ( F (Y )) − F ([ X , Y ]) , ∀X , Y ∈ χ ( M ) ve F , (0,1) -tipinden tensör
vi. ( Lx g )(Y , Z ) = X ( g (Y , Z )) − g ([ X , Y ], Z ) − g (Y ,[ X , Z ] , ∀X , Y , Z ∈ χ ( M )
Burada g , (0, 2) -tipli metrik tensördür.
vii. ( LX T )(W 1 ,W 2 ,...,W p , X 1 , X 2 ,..., X q ) = X (T (W 1 , W 2 ,..., W p , X 1 , X 2 ,..., X q ))
p
− ∑ T (W 1 ,..., LX W i ,...,W p , X 1 , X 2 ,..., X q )
i =1
41
p
−∑ T (W 1 ,..., W p , X 1...,[ X , X i ],..., X q )
i =1
Burada T , ( p, q) -tipli bir tensör alanıdır (Yano and Kon 1984).
Teorem 3.5.4. (2n + 1) -boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold M, (φ, ξ , η) hemen
hemen kontak yapısı verilmiş olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için,
( Lφ( x ) η)(Y ) = φ( X )(η(Y )) − η([φ( X ), Y ])
(3.5.12)
( Lξ η)( X ) = ξη( X ) − η([ξ , X ])
(3.5.13)
( Lξ φ)( X ) = [ξ , φ( X )] − φ([ξ , X ])
(3.5.14)
dır (Camcı 2003).
Teorem 3.5.5. ( M , φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik manifoldu verilsin.
( Lφ( x ) η)(Y ) = ( Lφ(Y ) η)( X )
(3.5.15)
dir (Yano and Kon 1984).
İspat:
∀X , Y ∈ χ ( M ) için,
2d η (φ( X ), Y ) = φ( X )η (Y ) − Y (η φ( X )) − η[φ( X ), Y ]
; η Dφ = 0
2d η ( X , φ(Y )) = X (η( φ( X )) − φ(Y )η( X ) − η[ X , φ(Y )]
; η Dφ = 0
eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa
2 {d η (φ( X ), Y ) + d η ( X , φ(Y ))} = φ( X )η(Y ) − η[φ( X ), Y )] − φ(Y )η( X ) − η[ X , φ(Y )]
d η (φ( X ), Y ) = −d η ( X , φ(Y )) olduğundan
φ( X )η(Y ) − η[φ( X ), Y ] − φ(Y )η( X ) − η[ X , φ(Y )] = 0
eşitliği (3.5.12) e göre düzenlenirse
( Lφ( x ) η)(Y ) − ( Lφ( y ) η)( X ) = 0
ve dolayısıyla
( Lφ( x ) η)(Y ) = ( Lφ( y ) η)( X )
olur.
42
Teorem 3.5.6. ( M , φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik manifoldu verilmiş olsun.
→ χ (M )
h : χ ( M ) ⎯⎯
1
1
X ⎯⎯
→ h( X ) = ( Lξ φ)( X ) = ( Lξ φ( X ) − φ Lξ ( X ) )
2
2
şeklinde tanımlı h metriği
i. Lineerdir.
ii. h, φ ile anti-komutatiftir (Yıldırım 2004).
İspat :
i. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
1
h( X + Y ) = ( Lξ φ)( X + Y ),
2
1
= ( Lξ (φ( X + Y ) − φ Lξ ( X + Y ) ) ; φ ve Lξ lineer
2
1
= ( Lξ (φ( X ) + φ(Y )) − φ Lξ ( X ) − φ Lξ (Y ) )
2
1
1
= ( Lξ (φ( X )) + φ Lξ ( X ) ) + ( Lξ (φ(Y )) − φ Lξ (Y ) )
2
2
(3.5.16) eşitliğinden
1
1
h( X + Y ) = ( Lξ φ)( X ) + ( Lξ φ)(Y )
2
2
ve dolayısıyla
h( X + Y ) = h( X ) + h(Y )
olur. ∀ k ∈ \ ve ∀ X ∈ χ ( M ) için
1
( Lξ φ)(kX )
2
1
= {Lξ φ(kX )) − φ Lξ (kX )} ; φ ve Lξ lineer
2
1
= {k ( Lξ φ( X )) − k φ Lξ ( X )}
2
k
= {Lξ φ( X )) − φ Lξ ( X )}
2
h(kX ) =
(3.5.16) eşitliğinden
h(kX ) = kh( X )
olur.
43
(3.5.16)
ii. ∀ X , Y ∈ χ ( M ) için
g ( X , φ(Y )) = d η ( X , Y )
1
= { X η(Y ) − Y η( X ) − η[ X , Y ]}
2
1
= {g ( DX Y , ξ ) + g (Y , DX ξ ) − g ( DY X , ξ )
2
− g ( X , DY ξ ) − g ( DX Y , ξ ) + g ( DY X , ξ )}
1
= {g ( Dxξ , Y ) − g ( DY ξ , X )
2
1
= {g (− φ( X ) − φ(h( X )), Y ) − g (− φ(Y ) − φ(h(Y )), X )}
2
1
= {g ( X , φ(Y ) − g (φ(h( X )), Y ) + g ( X , φ(Y )) + g (φ(h(Y )), X )}
2
1
1
= g ( X , φ(Y )) − g (φ(h( X )), Y ) + g (φ(h(Y )), X )
2
2
olur. Buna göre
g (φ(h( X ), Y ) = g (φ(h(Y )), X )
= − g (h(Y ), φ( X ))
= − g (Y , h(φ( X ))
= g (−h(φ( X )), Y )
olduğundan
φ(h( X )) = −h(φ( X ))
(φ h)( X ) = (− h φ)( X )
ve sonuç olarak
φ h = −h φ
olur.
Teorem 3.5.7. (2n + 1) -boyutlu ( M , φ, ξ , η) hemen hemen kontak manifoldu verilsin.
∀X , Y ∈ χ ( M ) için,
d ⎞
⎛
N j (( X , 0)(Y , 0)) = ⎜ N (1) ( X , Y ), N (2) ( X , Y ) ⎟
dt ⎠
⎝
ve
d ⎞ ⎛
d⎞
⎛
N j ⎜ ( X , 0), (0, ) ⎟ = ⎜ N (3) ( X ), N (4) ( X ) ⎟
dt ⎠ ⎝
dt ⎠
⎝
dir.
44
Burada
N (1) ( X , Y ) = N φ ( X , Y ) + 2d η( X , Y )ξ
N (2) ( X , Y ) = ( Lφ( x ) η) (Y ) − ( Lφ(Y ) η) ( X )
N (3) ( X ) = ( Lξ φ ) ( X )
N (4) ( X ) = ( Lξη ) ( X )
şeklindedir (Blair 2002).
İspat:
d ⎞
⎛
N j (( X , 0), (Y , 0)) ve N j ⎜ ( X , 0), (0, ) ⎟ torsiyon tensörlerini hesaplayalım.
dt ⎠
⎝
N j (( X , 0), (Y , 0)) = −[( X , 0), (Y , 0)] + [ J ( X , 0), J (Y , 0)] − J [ J ( X , 0), (Y , 0)]
− J [( X , 0), J (Y , 0)]
= −([ X , Y ], 0) + [(φ( X ), η( X )
− J [(φ( X ), η( X )
d
d
), (φ(Y ), η(Y ) )]
dt
dt
d
d
), (Y , 0)] − J [( X , 0), (φ(Y ), η(Y ) )]
dt
dt
d⎞
⎛
= − ([ X , Y ], 0 ) + ⎜ [φ( X ), φ(Y )], ( φ( X )η(Y ) − φ(Y )η( X ) ) ⎟
dt ⎠
⎝
d ⎞
d ⎞
⎛
⎛
− J ⎜ [φ( X ), Y ], −Y η( X ) ⎟ − J ⎜ [ X , φ(Y )], X η(Y ) ⎟
dt ⎠
dt ⎠
⎝
⎝
d⎞
⎛
= − ([ X , Y ], 0 ) + ⎜ [φ( X ), φ(Y )], ( φ( X )η (Y ) − φ(Y )η ( X ) ) ⎟
dt ⎠
⎝
d ⎞
⎛
− ⎜ φ[φ( X ), Y ] + Y η( X )ξ , η([φ( X ), Y ]) ⎟
dt ⎠
⎝
d⎞
⎛
− ⎜ φ[ X , φ(Y )] − X η(Y )ξ , η([ X , φ(Y )]) ⎟
dt ⎠
⎝
= ( −[ X , Y ] + [φ( X ), φ(Y )] − φ[φ( X ), Y ] − φ[ X , φ(Y )]
+ ( X η(Y ) − Y η( X ) ) ξ , φ( X )η(Y ) − φ(Y )η( X )
−η([φ( X ), Y ]) − η([ X , φ(Y )])
45
d
dt
)
= (−[ X , Y ] + [φ( X ), φ(Y )] − φ[φ( X ), Y ] − φ[ X , φ(Y )] + ( X η(Y ) − Y η( X ))ξ
+η[ X , Y ]ξ − η[ X , Y ]ξ , (φ( X )η(Y ) − φ(Y )η( X ) − η([φ( X ), Y ]) − η([ X , φ(Y )])
d
) (3.5.17)
dt
Ayrıca
2d η( X , Y ) = X (η(Y )) − Y (η( X )) − η[ X , Y ]
( Lφ X η)Y = φ( X )(η(Y )) − η([φ( X ), Y ])
( Lφ Y η) X = φ(Y )(η( X )) − η([φ(Y ), X ])
oldukları düşünülür ve
N φ ( X , Y ) = −[ X , Y ] + η[ X , Y ]ξ + [φ( X ), φ(Y )] − φ[φ( X ), Y ] − φ[ X , φ(Y )])
(3.5.17) da yerine yazılırsa
⎛
⎞
d ⎟
⎜
N j (( X , 0), (Y , 0)) = ⎜ N φ ( X , Y ) + 2d η( X , Y )ξ , (( Lφ( X ) η)Y − ( Lφ(Y ) η) X ) ⎟ .
dt ⎟
⎜ 1
2
N ( ) ( X ,Y )
N ( ) ( X ,Y )
⎝
⎠
Benzer mantıkla
N j (( X , 0), (0,
d
d ⎤ ⎡
d ⎤
d ⎤
⎡
⎡
)) = − ⎢ ( X , 0), (0, ) ⎥ + ⎢ J ( X , 0), J (0, ) ⎥ − J ⎢ J ( X , 0), (0, ) ⎥
dt
dt ⎦ ⎣
dt ⎦
dt ⎦
⎣
⎣
d ⎤
⎡
− J ⎢( X , 0), J (0, ) ⎥
dt ⎦
⎣
d
d
d ⎤
⎡
⎤
⎡
= ⎢(φ( X ), η( X ) ), (−ξ , 0) ⎥ − J ⎢ (φ( X ), η( X ) ), (0, ) ⎥
dt
dt
dt ⎦
⎣
⎦
⎣
− J [ ( X , 0), (−ξ , 0) ]
= (−[φ( X ), ξ ], ξη( X )
d
d
) − J ([φ( X ), 0], (φ( X )(1) − 0) )
dt
dt
− J (−[ X , ξ ], 0)
= (−[φ( X ), ξ ), ξη( X )
d
d
) − (− φ[ X , ξ ], −η[ X , ξ ] )
dt
dt
d⎞
⎛
= ⎜ (φ[ X , ξ ] − [φ X , ξ ]), (ξη( X ) + η[ X , ξ ]) ⎟
dt ⎠
⎝
r
( LX ω )(Y1 ,..., Yr ) = LX (ω (Y1 ,..., Yr )) − ∑ ω (Y1 ,...,[ X , Y1 ],..., Yr ) olduğundan dolayı
i =1
46
(3.5.18)
( Lξ η) X = Lξ (η( X )) − η[ξ , X ]
(3.5.19)
ve
( Lξ φ) X = Lξ (φ X ) − φ[ξ , X ] = [ξ , φ X ] + φ[ X , ξ ]
= φ[ X , ξ ] − [φ( X ), ξ ]
(3.5.20)
olur. (3.5.19) ve (3.5.20) eşitlikleri (3.5.18) de yazılırsa
N j (( X , 0), (0,
d
d
)) = (( Lξ φ) X , ( Lξ η) X )
dt
dt
N ( 3) ( X )
N ( 4) ( X )
olur. Sonuç olarak
N (1) ( X , Y ) = N φ ( X , Y ) + 2d η( X , Y )ξ
(3.5.21)
N (2) ( X , Y ) = ( Lφ( X ) η)Y − ( Lφ(Y ) η) X
N (3) ( X , Y ) = ( Lξ η) X
N (4) ( X , Y ) = ( Lξ η) X
eşitlikleri göz önüne alınırsa
N j (( X , 0), (Y , 0)) = ( N (1) ( X , Y ), N (2) ( X , Y )
d
)
dt
ve
N j (( X , 0), (0,
d
d
)) = ( N (3) ( X ), N (4) ( X ) )
dt
dt
olur.
Teorem 3.5.8. M , (2n + 1) boyutlu Riemann manifoldunda (φ, ξ , η) hemen hemen
kontak yapısı verilsin. Bu yapının normal olabilmesi için gerek ve yeter şart
N (1) , N (2) , N (3) , N (4) tensörlerinin sıfır olmasıdır (Camcı 2003).
İspat:
Hip: (φ, ξ , η) hemen hemen kontak yapısı normal olsun.
Hük: N (1) , N (2) , N (3) , N (4) tensörlerinin sıfırdır.
N j (( X , f
d
d
d
d
), (Y , g )) = ( N j ( X , 0) + (0, f ), (Y , 0) + (0, g ))
dt
dt
dt
dt
Burada J nin lineerliği, N j ’nin bi-lineer ve antisimetrik oluşunu kullanırsak
47
N j (( X , f
d
d
d
), (Y , g )) = N j (( X , 0), (Y , 0)) + gN j (( X , 0), (0, ))
dt
dt
dt
− fN j ((Y , 0), (0,
elde edilir. N j ((0,
N j (( X , f
d
d
d
)) + fgN j ((0, ), (0, ))
dt
dt
dt
d
d
), (0, )) = 0 olduğundan
dt
dt
d
d
d
d
), (Y , g )) = N j (( X , 0), (Y , 0)) + gN j (( X , 0), (0, )) − fN j ((Y , 0), (0, ))
dt
dt
dt
dt
= ( N 1 ( X , Y ), N 2 ( X , Y )) + g ( N 3 ( X ), N 4 ( X )) − f ( N 3 (Y ), N 4 (Y ))
= ( N 1 ( X , Y ) + gN 3 ( X ) − fN 3 (Y ), N 2 ( X , Y ) + gN 4 ( X ) − fN 4 (Y ))
olur. Şayet N j = 0 ise
N 1 ( X , Y ) + gN 3 ( X ) − fN 3 (Y ) = 0
(3.5.21)
N 2 ( X , Y ) + gN 4 ( X ) − fN 4 (Y ) = 0
(3.5.22)
olur. Nϕ , d η, N 1 ve N 2 antisimetrik olduğunu kolayca gösterebiliriz. (3.5.21)
eşitliğinde X = Y alırsak
N1( X , X ) = ( f − g)N 3 ( X )
( f ≠ g)
elde edilir. N 1 anti-simetrik olduğundan
N1( X , X ) = 0
( f − g)N 3 ( X ) = 0
N3(X ) = 0
( ∀X ∈ χ ( M ) için)
;
N3 = 0
(3.5.22) eşitliğinde X = Y alırsak
N 2 ( X , X ) = ( f − g)N 4 ( X )
elde edilir. N 2 anti-simetrik olduğundan
N 2(X , X ) = 0
( f − g)N 4 ( X ) = 0
N 4(X ) = 0
N4 = 0
48
;
( ∀X ∈ χ ( M ) için)
( f ≠ g)
Dikkat edilirse bu ispatı yaparken f ≠ g aldık.
Şimdi de f = g olsun. (3.5.21) ve (3.5.22) eşitliklerinde Y = − X ve f = g alınırsa
N 1 ( X , − X ) + fN 3 ( X ) − fN 3 (− X ) = 0
N1( X , X ) = 0
; N 1 anti-simetrik
2 fN 3 ( X ) = 0
∀X ∈ χ ( M ) ve f ≠ 0 olduğundan N 3 = 0 olur.
N 2 ( X , − X ) + fN 4 ( X ) − fN 4 (− X ) = 0
N 2(X , X ) = 0
; N 2 anti-simetrik
2 fN 4 ( X ) = 0
∀X ∈ χ ( M ) ve f ≠ 0 olduğundan N 4 = 0 olur.
Hip: N 1 ( X , Y ) = N 2 ( X , Y ) = N 3 ( X ) = N 4 ( X ) = 0 olsun.
Hük: (φ, ξ , η) hemen hemen kontak yapısı normaldir.
N J (( X , f
d
d
),(Y , g )) = ( N 1 ( X , Y ) + gN 3 ( X ) − fN 3 (Y ), N 2 ( X , Y ) + gN 4 ( X ) − fN 4 (Y ))
dt
dt
eşitliğinde N 1 ( X , Y ) = N 2 ( X , Y ) = N 3 ( X ) = N 4 ( X ) = 0 olduğu göz önüne alınırsa
N J (( X , f
elde edilir. Bu ∀(( X , f
d
d
),(Y , g )) = (0,0)
dt
dt
d
d
),(Y , g )) ∈ χ ( MX \) için sağlandığından dolayı
dt
dt
NJ ≡ 0
olur. Dolayısıyla (φ, ξ , η) hemen hemen kontak yapısı normaldir.
Teorem 3.5.9. (2n+1)-boyutlu ( M , φ, ξ , η) hemen hemen kontak manifoldu verilsin.
N 1 = 0 ise N 2 = N 3 = N 4 = 0 dır (Camcı 2003).
İspat:
∀X , Y ∈ χ ( M ) için
N 1 ( X , Y ) = N φ ( X , Y ) + 2dη ( X , Y )
49
ve Y = ξ alınırsa
N 1 ( X , ξ ) = N φ ( X , ξ ) + 2dη ( X , ξ )
olur. (3.5.21) ve (3.5.8) den
N 1 ( X , ξ ) = [ X , ξ ] + φ[ξ , φ( X )] − (ξη ( X ))ξ
(3.5.23)
dır. Hipotezden için N 1 = 0 olduğundan
[ξ , X ] + φ[ξ , φ( X )] − (ξη ( X ))ξ = 0
(3.5.24)
elde edilir. Her iki tarafı “η ” altında görüntüsünü alırsak
η[ξ , X ] + η (φ[ξ , φ( X )] − (ξη ( X ))η (ξ ) = 0
(3.5.25)
olur. (3.2.1) ve (3.2.4) den
η[ξ , X ] − (ξη ( X )) = 0
(3.5.26)
olur.
( Lξη )( X ) = 0
N 4(X ) = 0
∀X ∈ χ ( M ) için doğru olduğundan
N4 = 0
(3.5.26) da X yerine φ( X ) alırsak
η[ξ , φ( X )] = 0
olur. (3.5.24) de her iki tarafa φ yi uygularsak
φ[ξ , X ] + φ 2 [ξ , φ( X )] − (ξη ( X )) φ(ξ ) = 0
;
φ(ξ ) = 0
;
η[ξ , φ( X )] = 0
φ[ξ , X ] − [ξ , φ( X )] + η[ξ , φ( X )]ξ = 0
φ[ξ , X ] − [ξ , φ( X )] + η[ξ , φ( X )] = 0
φ[ξ , X ] − [ξ , φ( X )] = 0
ise
N 3 ( X ) = ( Lξ φ) X = φ[ξ , X ] − [ξ , φ( X )] = 0
elde edilir. Ayrıca N 1 = 0 dan N 1 (φ( X ), Y ) = 0 dır. Böylece
50
N 1 (φ( X ), Y ) = −[φ( X ), Y ] + η[φ( X ), Y ]ξ + [− X + η ( X )ξ , φ(Y )]
− φ[− X + η ( X )ξ , Y ] − φ[φ( X ), φ(Y )] + φ( X )η (Y )ξ
− Yη (φ( X ))ξ − η[φ( X ), Y ]ξ
0 = −[φ( X ), Y ] − [ X , φ(Y )] + [η ( X )ξ , φ(Y )] − φ[− X + η ( X )ξ , Y ]
− φ[φ( X ), φ(Y )] + φ( X )η (Y )ξ
0 = −[φ( X ), Y ] − [ X , φ(Y )] − φ(Y )η ( X )ξ + η ( X )[ξ , φ(Y )] − φ[− X + η ( X )ξ , Y ]
− φ[φ( X ), φ(Y )] + φ( X )η (Y )ξ
her iki tarafa η yı uygulayıp η[ξ , φ( X )] = 0 ’ı göz önüne alırsak
φ( X )η (Y ) − φ(Y )η ( X ) − η[φ( X ), Y ] − η[ X , φ(Y )] = 0
elde edilir. Dolayısıyla N 2 ( X , Y ) = 0 dır. Böylece ispat biter.
Sonuç 3.5.3. (2n + 1) -boyutlu M kontak manifoldunda (φ, ξ ,η ) hemen hemen kontak
yapısı verilsin. Şayet N 2 = 0 ise (φ, ξ ,η ) hemen hemen kontak yapısı φ altında dη ‘yı
invaryant bırakır (Camcı 2003) .
İspat :
(3.4.4) de X yerine φ( X ) alırsak
2dη (φ( X ), Y ) = φ( X )η (Y ) − Yη (φ( X )) − η[φ( X ), Y ]
(3.5.27)
olur. Benzer şekilde Y yerine φ(Y ) alırsak
2dη ( X , φ(Y )) = Xη (φ(Y )) − φ(Y )η ( X ) − η[ X , φ(Y )]
(3.5.28)
(3.5.27) ve (3.5.28) eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa
2dη (φ( X ), Y ) + 2dη ( X , φ(Y )) = φ( X )η (Y ) − φ(Y )η ( X ) − η[φ( X ), Y ] − η[ X , φ(Y )]
2dη (φ( X ), Y ) + 2dη ( X , φ(Y )) = N 2 ( X , Y )
∀X , Y ∈ χ ( M ) için N 1 = 0 iken N 2 = 0 olduğundan
51
dη (φ( X ), Y ) + dη ( X , φ(Y )) = 0
olur. Burada Y yerine φ(Y ) alırsak
dη (φ( X ), φ(Y )) + dη ( X , φ 2 (Y )) = 0
dη (φ( X ), φ(Y )) + dη ( X , −Y + η (Y )ξ ) = 0
dη (φ( X ), φ(Y )) − dη ( X , Y ) + η (Y )dη ( X , ξ ) = 0
(3.5.29)
(3.4.4) eşitliğinde Y yerine ξ alınırsa
2dη ( X , ξ ) = X η (ξ ) − ξη ( X ) − η[ X , ξ ]
2dη ( X , ξ ) = −ξη ( X ) + η[ξ , X ]
;
η (ξ ) = 1 ve X(1)=0
= −( Lξη ) X
=0
olur. Bu sonuç (3.5.29) da yerine yazılırsa
dη (φ( X ), φ(Y )) = dη ( X , Y )
olur ki bu da (φ, ξ ,η ) hemen hemen kontak yapsının φ altında dη yı invaryant
(değişmez) bırakması demektir.
Sonuç 3.5.4. (2n + 1) -boyutlu ( M , φ ξ ,η ) hemen hemen kontak manifoldu verilsin.
(φ, ξ ,η ) yapısının normal olabilmesi için gerek ve yeter şart N 1 = 0 olmasıdır (Yano
and Kon 1984, Blair 2002 ).
Sonuç 3.5.5. (2n + 1) -boyutlu ( M , φ, ξ ,η ) hemen hemene kontak manifoldu verilsin.
(φ, ξ ,η ) yapısının normal olabilmesi için gerek ve yeter şart ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
N φ ( X , Y ) + 2dη ( X , Y )ξ = 0
olmasıdır (Yano and Kon 1984, Blair 2002 ).
Teorem 3.5.10.
(2n + 1) -boyutlu
( M , φ, ξ ,η , g )
hemen hemen kontak metrik
manifoldunda
2 g (( DX φ)Y , Z ) = g ( N 1 (Y , Z ), φ( X )) + 2dη (φ(Y ), X )η ( Z ) − 2dη (φ( Z ), X )η (Y )
ve özellikle herhangi bir kontak metrik yapı için
52
Dξ φ = 0
olur (Yano and Kon 1984).
Sonuç 3.5.6. Teorem 3.5.10 da ξ nın integral eğrileri geodeziklerdir. Çünkü Dξ ξ = 0
olduğu kolaylıkla gösterilebilir (Yano and Kon 1984).
3.6 K-Kontak Manifoldları
Tanım 3.6.1. Bir M Riemann manifoldu bir g Riemann metriği ile verilsin. Ayrıca
M üzerinde bir X vektör alanını ele alalım. M nin her bir noktasının bir komşuluğunda
X
ile meydana gelen lokal dönüşümlerin lokal 1-parametreli grubu lokal
izometrilerden oluşuyor ise X vektör alanına Killing vektör alanı denir (Kobayashi
and Nomizu 1963).
Böylece ; X bir Killing vektör alanıdır. ⇔ LX g = 0 ’dır, yani g metrik tensörünün
X vektör alanı yönündeki Lie türevi sıfırdır (Yano and Kon 1984, Kocayiğit 2004).
Tanım 3.6.2. (2n + 1) -boyutlu bir M
kontak metrik manifoldu
verilsin. Eğer
(φ, ξ , η, g ) hemen hemen kontak metrik yapısında yer alan ξ vektör alanı g ye göre
bir Killing vektör alanı ise o zaman M üzerindeki kontak yapıya K-kontak yapı ve M
ye de K-kontak manifold denir (Yano and Kon 1984).
Teorem 3.6.1. (2n + 1) -boyutlu M manifoldu, (φ, ξ , η, g ) kontak metrik yapısı ile
verilsin. Bu durumda aşağıdaki önermeler denktir.
i. M bir K-kontak manifolddur.
ii. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
g ( DX ξ , Y ) + g ( DY ξ , X ) = 0
(3.6.1)
dır.
iii. ∀X ∈ χ ( M ) için
DX ξ = − φ( X )
53
(3.6.2)
dır (Yano and Kon 1984, Camcı 2003) .
İspat:
(i ) ⇒ (ii ) M bir K-kontak manifold olsun. Dolayısıyla ξ bir Killing vektör alanıdır.
M aynı zamanda kontak metrik manifold olduğundan
d η( X , Y ) = g ( X , φ(Y )) = − g (φ( X ), Y )
(3.6.3)
dır. Ayrıca
2d η( X , Y ) = X η(Y ) − Y η( X ) − η([ X , Y ])
= Xg (Y , ξ ) − Yg ( X , ξ ) − g ([ X , Y ], ξ )
= g ( DX Y , ξ ) + g (Y , DX ξ ) − g ( DY X , ξ )
− g ( X , DY ξ ) − g ( DX Y , ξ ) − g ( DY X , ξ )
gerekli sadeleştirmeler yapılırsa
2d η( X , Y ) = g ( DX ξ , Y ) − g ( X , DY ξ )
(3.6.4)
elde edilir. Ayrıca ξ Killing vektör alanı olduğundan
Lξ g = 0
(3.6.5)
olur. Burada ( Lξ g )( X , Y ) ’yi hesaplarsak
( Lξ g )( X , Y ) = ξ g ( X , Y ) − g ([ξ , X ], Y ) − g ( X ,[ξ , Y ])
= g ( Dξ X , Y ) + g ( Dξ Y , X ) − g ( Dξ X , Y )
+ g ( DX ξ , Y ) − g ( Dξ Y , X ) + g ( DY ξ , X )
( Lξ g )( X , Y ) = g ( DX ξ , Y ) + g ( X , DY ξ )
(3.6.6)
(3.6.5) ifadesi (3.6.6) da yerine yazılırsa
g ( DX ξ , Y ) + g ( X , DY ξ ) = 0
elde ederiz.
(ii ) ⇒ (iii ) g ( DX ξ , Y ) + g ( X , DY ξ ) = 0 olsun. Dolayısıyla
g ( DX ξ , Y ) = − g ( X , DY ξ )
(3.6.7)
olur. (3.6.7) ifadesi (3.6.4) de yerine yazılırsa
2d η( X , Y ) = 2 g ( DX ξ , (Y ))
d η( X , Y ) = g ( DX ξ , Y ) = g ( X , φ(Y ))
elde edilir. ϕ anti-simetrik olduğundan
54
(3.6.8)
g ( X , φ(Y )) = − g (φ( X ), Y ) = g ( DX ξ , Y )
bu eşitlik ∀X , Y ∈ χ ( M ) için sağlandığından
DX ξ = − φ( X )
sonucuna ulaşılır.
(iii ) ⇒ (i ) ∀X ∈ χ ( M ) için hipotezden bildiğimiz DX ξ = − φ X eşitliği (3.6.6) da
yerine yazılırsa
( Lξ g )( X , Y ) = g (− φ( X ), Y ) + g ( X , − φ(Y ))
; φ anti-simetrik
( Lξ g )( X , Y ) = g ( X , φ(Y ) − g ( X , φ(Y ))
( Lξ g )( X , Y ) = 0
∀X ∈ χ ( M ) için doğru olduğundan
Lξ g = 0
dır. Böylece ξ Killing vektör alanı ve M manifoldu K-kontak manifold dur.
O halde (i ) ⇒ (ii ), (ii ) ⇒ (iii ), (iii ) ⇒ (i ) önermeleri doğru olduğundan (i), (ii), (iii)
önermeleri denktir.
Teorem 3.6.2
(2n+1)-boyutlu M manifoldu, (φ, ξ ,η , g ) kontak metrik yapısı ile
verilsin. Bu durumda N 2 = N 4 = 0 dır. Ayrıca, N 3 = 0 ⇔ ξ Killing vektördür (Camcı
2003) .
İspat :
M , kontak metrik manifold olduğundan
d η( X , Y ) = g ( X , φ(Y ))
dir. Burada X yerine φ( X ) , Y yerinede φ(Y ) yazılırsa
d η(φ( X ), φ(Y )) = g (φ( X ), φ 2 (Y ))
= − g ( X , φ3 (Y )) ; φ3 (Y ) = − φ(Y )
= − g ( X , − φ(Y )) ; φ3 (Y ) = − φ(Y )
= g ( X , φ(Y ))
55
Dolayısıyla
d η(φ( X ), φ(Y )) = d η( X , Y )
(3.6.9)
elde edilir. Ayrıca (3.6.9) da Y yerine φ(Y ) yazılırsa
d η(φ( X ), φ 2 (Y )) = d η( X , φ(Y ))
d η(φ( X ), −Y + η(Y )ξ ) = d η( X , φ(Y ))
− d η(φ( X ), Y ) + η(Y )d η( φ( X ), ξ ) = d η( X , φ(Y ))
burada
d η(φ( X ), ξ ) = g (φ( X ), φ(ξ ))
ve
φ(ξ ) = 0
olduğundan
d η(φ( X ), Y ) + (d η( X , φ(Y )) = 0
(3.6.10)
elde edilir. Ayrıca N 2 ( X , Y ) = 2d η(φ( X ), Y ) + 2d η( X , φ(Y )) olduğundan
N2 = 0
olur. Diğer taraftan
d η( X , ξ ) = g ( X , φ(ξ )) = 0
ve
1
d η( X , ξ ) = ( Xη (ξ ) − ξη ( X ) − η ([ X , ξ ]) ; η (ξ ) = 1 ve X (1) = 0
2
ξη ( X ) − η ([ X , ξ ]) = 0
elde edilir. Buradan
N 4 ( X ) = ( Lξη ) X
= ξη ( X ) − η ([ξ , X ])
=0
olur. Böylece birinci kısmın ispatı biter. İkinci kısmın ispatı için bazı hazırlıklar
yapalım.
( Lξ g )( X , ξ ) = ξ g (ξ , X ) − g ([ξ , X ], ξ ) − g ( X ,[ξ , ξ ])
= ξη ( X ) − η ([ξ , X ])
= ( Lξη )( X )
=0
56
elde edilir. Biliyoruz ki η ile dη Lie türevi altında invaryant olduğundan Lξ dη ≡ 0 dır.
Dolayısıyla ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
( Lξ dη )( X , Y ) = 0
ξ dη ( X , Y ) − dη ([ξ , X ], Y ) − dη ( X ,[ξ , Y ]) = 0
olur. dη ( X , Y ) = g ( X , φ(Y )) olduğundan
ξ g ( X , φ(Y )) − g ([ξ , X ], φ(Y )) − g ( X , φ([ξ , Y ])) = 0
(3.6.11)
olur. Diğer taraftan
( Lξ g )( X , φ(Y )) = g (φ(Y ), X ) − g ([ξ , X ], φ(Y )) − g ( X ,[ξ , φ(Y )])
g ( X , ( Lξ φ)(Y )) = g ( X ,[ξ , φ(Y )]) − g ( X , φ([ξ , Y ]))
eşitliklerini taraf tarafa toplarsak
( Lξ g )( X , φ(Y )) + g ( X , ( Lξ φ)(Y )) = ξ g (φ(Y ), X ) − g ([ξ , X ], φ(Y )) − g ( X , φ([ξ , Y ])
elde edilir. (3.6.11) den
( Lξ g )( X , φ(Y )) + g ( X , ( Lξ φ)(Y )) = 0
olur.
(⇒) N 3 = 0 ise
( Lξ g )( X , φ(Y )) = 0
elde edilir. Bu eşitlik ∀X , Y ∈ χ ( M ) için doğru olduğundan Lξ g ≡ 0 ’dır. Dolayısıyla ξ
Killing vektör alanıdır.
(⇐) ξ Killing vektör alanı ise Lξ g ≡ 0 olacağından g ( X , ( Lξ φ)(Y )) = 0 olur. Bu eşitlik
∀X ∈ χ ( M ) için sağlandığından N 3 = 0 dır.
Teorem 3.6.3 (2n + 1) -boyutlu bir M Riemann manifoldunun bir K-kontak manifoldu
olması için gerek ve yeter şart aşağıdaki koşulların sağlanmasıdır.
i. M bir birim ξ Killing vektör alnına sahiptir.
ii. M nin herhangi bir noktasında ξ ’yı kapsayan düzlem kesitlerin kesitsel eğriliği 1 e
eşittir (Yano and Kon 1984).
57
İspat :
M bir K-kontak manifold olsun. O zaman ξ ’ye dik bir birim vektör alanı X olmak
üzere
g ( R ( X , ξ )ξ , X ) = g (− φ 2 ( X ), X ) = g ( X , X ) = 1
(3.6.11)
dır. Tersine M nin (i) ve (ii) koşullarını sağladığını düşünelim. ξ bir Killing vektör
alanı olduğundan
R ( X , ξ )Y = DX DY ξ − DD Y ξ
X
olur.
η ( X ) = g( X ,ξ )
ve
− DX ξ = φ( X )
eşitlikleri göz önüne alındığında
φ(ξ ) = 0
olur. ξ ye dik bir birim vektör alanı X ∈ χ ( M ) olmak üzere 3.6.12 den
g ( R ( X , ξ )ξ , X ) = 1 = − g (φ 2 ( X ), X )
elde edilir. Bu yüzden ξ ye dik ∀X ∈ χ ( M ) vektör alanı için
φ2 ( X ) = − X
olduğu görülür. Halbuki ∀Y ∈ χ ( M ) vektör alanı için
φ 2 (Y ) = −Y + η (Y )ξ
dir. Üstelik
1
dη ( X , Y ) = ( g ( DX ξ , Y ) − g ( DY ξ , X ))
2
= − g ( DY ξ , X )
= g ( X , φ(Y ))
dir. Sonuç olarak (φ, ξ ,η , g ) yapısı M üzerinde bir K-kontak yapısıdır.
Ayrıca (3.6.12) den
1
R ( X , ξ )ξ = − φ 2 X = − X − η ( X )ξ
2
58
(3.6.13)
elde edilir. Böylece M nin (3.6.12) eşitliğini sağlayan ξ birim Killing vektör alanına
sahip olan (2n + 1) -boyutlu bir K-kontak manifold olduğu görülür.
59
4. SASAKİAN MANİFOLD
Bu bölümde Sasakian manifold tanımlandıktan sonra M ( c ) Sasakian uzay formunun
c = −3 , c > −3 ve c < −3 durumları incelenmiştir. Ayrıca Sasakian uzay formu üzerinde
ricci tensör alanının özelikleri verilecektir.
4.1 Sasakian Manifoldlar
Tanım 4.1.1 M , kontak metrik yapısı (ϕ , ξ ,η , g ) olan (2n+1)-boyutlu bir kontak
metrik manifold olsun. Eğer M nin kontak metrik yapısı normal ise
(ϕ , ξ ,η , g )
yapısına Sasakian yapı ( veya normal metrik yapı ) ve ( M , ϕ , ξ ,η , g ) ye de Sasakian
manifold (veya normal kontak metrik manifold ) denir (Yano and Kon 1984).
Sasakian manifoldu şu şekilde tanımlayabiliriz.
Tanım 4.1.2 (2n+1)-boyutlu bir M Riemann manifoldu ve üzerindeki g Riemann
metriği aşağıdaki koşulları sağlıyorsa ( M , g ) ikilisine bir Sasakian manifold denir.
∀X , Y ∈ χ ( M ) için
g (ϕ ( X ), ϕ (Y )) = g ( X , Y ) −η ( X )η (Y )
i.
burada
lineer
φ : χ (M ) ⎯⎯⎯⎯⎯
→ χ (M ) ,
anti − simetrik
lineer
η : χ (M ) ⎯⎯⎯→
C ∞ (M , \)
dif .bilir
öyleki ∀X ∈ χ ( M ) için η ∧ (dη) n ≠ 0 ve φ 2 (X ) = − X + η( X )ξ dır.
g (ξ , X ) =η ( X )
ii.
burada ξ ∈ χ ( M ) için η (ξ ) ve ϕ (ξ ) = 0 dır.
N (1) = Nϕ + 2dη ⊗ ξ = 0
iii.
burada
Nϕ : χ ( M ) × χ ( M ) ⎯⎯
→ χ (M )
( X ,Y )
⎯⎯
→ Nϕ ( X , Y ) = ϕ 2 ([ X , Y ]) + [ϕ ( X ), ϕ (Y )] − ϕ ([ϕ ( X ), Y ]) − ϕ ([ X , ϕ (Y )])
dır.
iv.
g (ϕ ( X ) , Y ) = dη ( X , Y )
60
Teorem 4.1.1 (2n+1)-boyutlu bir M Riemann manifoldu üzerinde bir (ϕ , ξ ,η , g )
hemen hemen kontak metrik yapısı bir Sasakian yapıdır ⇔ ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
( D ϕ ) Y = g ( X , Y )ξ −η (Y ) X
(4.1.1)
D X ( ϕ ( Y ) ) = ( D X ϕ ) Y + ϕ ( DX Y )
(4.1.2)
X
dır (Yano and Kon 1984).
Burada
dır.
Sonuç 4.1.1 M bir Sasakian manifold ise M nin bir Riemann eğrilik tensörü R olmak
üzere
R ( X , Y ) ξ =η (Y ) X −η ( X )Y
(4.1.3)
dır (Yano and Kon 1984).
İspat
M bir Sasakian manifold olsun. Bu takdirde ∀X , Y ∈ χ ( M ) ve ∀ξ ∈ χ ( M ) Killing
vektör alanı için R eğrilik tensörü
R ( X , Y ) ξ = DX DY ξ − DY DX ξ − D[ X ,Y ]ξ
= DX ( DY ξ ) − DY ( DX ξ ) − D[ X ,Y ]ξ
dır. (3.6.2) den
(
R ( X , Y ) ξ = DX ( −ϕ (Y ) ) − DY ( −ϕ ( X ) ) − −ϕ ([ X , Y ])
)
= − DX (ϕ (Y ) ) + DY (ϕ ( X ) ) + ϕ ([ X , Y ])
dır. (4.1.2) den
R ( X , Y ) ξ = − ( DX ϕ )Y − ϕ ( DX Y ) + ( DY ϕ ) X + ϕ ( DY X ) + ϕ ([ X , Y ])
= − ( DX ϕ )Y + ( DY ϕ ) X − ϕ ( DX Y − DY X − [ X , Y ])
= − ( DX ϕ )Y + ( DY ϕ ) X
elde edilir. Ayrıca (4.1.1) eşitliği yardımı ile
R ( X , Y ) ξ = − g ( X , Y )ξ + η (Y ) X + g (Y , X )ξ −η ( X )Y
=η (Y ) X −η ( X )Y
61
bulunur. Bu ise istenen eşitliktir.
Teorem 4.1.2 (2n+1)-boyutlu bir Riemann manifoldu M ve M üzerinde bir Killing
vektör alanı ξ verilsin. M nin eğrilik tensörünü R ile gösterelim. Bu durumda M bir
Sasakian manifolddur ⇔ ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
R ( X , ξ ) Y = − g ( X , Y )ξ + η (Y ) X
(4.1.4)
dır (Yano and Kon 1984).
İspat
M bir Sasakian manifold olsun. Bu durumda ∀X , Y ∈ χ ( M ) ve ∀ξ ∈ χ ( M ) Killing
vektör alanı için R eğrilik tensörü
R ( X , ξ ) Y = DX DY ξ − DDX Y ξ
= DX ( DY ξ ) − DDX Y ξ
dır. (3.6.2) den
R ( X , ξ ) Y = DX ( −ϕ (Y ) ) − ( −ϕ ( DX Y ) )
= − DX ( ϕ ( Y ) ) + ϕ ( D X Y )
dır. (4.1.2) den
R ( X , ξ ) Y = − DX (ϕ ) Y − ϕ ( DX Y ) + ϕ ( DX Y )
= − DX ( ϕ ) Y
elde edilir. Ayrıca (4.1.1) eşitliği yardımı ile
R ( X , ξ ) Y = − g ( X , Y )ξ + η (Y ) X
eşitliğini sağlar. Tersine, M üzerinde bir ξ Killing vektör alanı seçilirse (4.1.4)
sağlandığından Teorem 4.1.1 gereğince M nin bir Sasakian manifold olduğu görülür.
Sonuç 4.1.2 M bir Sasakian manifold olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) ve bir ξ Killing vektör
alanı olmak üzere
R ( X , ξ ) Y = − ( DX ϕ ) Y
dır (Yano and Kon 1984).
62
(4.1.5)
Sonuç 4.1.3 M bir Sasakian manifold olsun. Bir ξ Killing vektör alanına ortogonal
olan X birim vektörleri için
R ( X ,ξ ) X =ξ
(4.1.6)
dır (Yano and Kon 1984).
Teorem 4.1.3 (2n+1)-boyutlu bir Riemann manifoldu M ve M üzerinde bir Killing
vektör alanı ξ verilsin. M nin eğrilik tensörünü R ile gösterelim. Bu durumda
∀X , Y ∈ χ ( M ) için
R ( X , Y ) ξ = g (ξ , Y ) X − g (ξ , X )Y
oluyorsa M bir Sasakian manifolddur.
İspat
M bir Sasakian manifold olsun. Bu durumda ∀X , Y ∈ χ ( M ) ve ∀ξ ∈ χ ( M ) Killing
vektör alanı için R eğrilik tensörü
R ( X , ξ ) Y = DX DY ξ − DDX Y ξ
= DX ( DY ξ ) − DDX Y ξ
dır. (3.6.2) den
R ( X , ξ ) Y = DX ( −ϕ (Y ) ) − ( −ϕ ( DX Y ) )
= − DX ( ϕ ( Y ) ) + ϕ ( D X Y )
dır. (4.1.2) den
R ( X , ξ ) Y = − DX (ϕ ) Y − ϕ ( DX Y ) + ϕ ( DX Y )
= − DX ( ϕ ) Y
elde edilir. (4.1.3) ve g (ξ , X ) =η ( X ) olduğundan
g (( DX ϕ )Y , Z ) = g (− R ( X , ξ ) Y , Z )
= g ( R (ξ , X ) Y , Z )
= g ( R (Y , Z ) ξ , X )
= g (η ( Z )Y −η (Y ) Z , X )
=η ( Z ) g (Y , X ) − g ( Z ,η (Y ) X )
= g ( g (Y , X ) ξ , Z ) − g (η (Y ) X , Z )
= g ( g (Y , X ) ξ −η (Y ) X , Z )
63
elde edilir. Bu ifade ∀Z ∈ χ ( M ) için sağlandığından ve g metriği non-dejenere
olduğundan
( D ϕ ) Y = g ( X , Y )ξ −η (Y ) X
X
olur. (4.1.1) den M nin Sasakian manifold olduğunu söyleyebiliriz.
Sonuç 4.1.4 Sasakian yapısı (ϕ , ξ ,η , g ) olan (2n+1)-boyutlu bir Sasakian manifold M
olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için R eğrilik tensörü
R ( X , Y ) ϕ ( Z ) = ϕ ( R ( X , Y ) Z ) + g (ϕ ( X ) , Z ) Y − g ( Y , Z ) ϕ ( X ) + g ( X , Z ) ϕ ( Y )
− g (ϕ ( Y ) , Z ) X
(4.1.7)
dır (Yano and Kon 1984).
Sonuç 4.1.5 Sasakian yapısı (ϕ , ξ ,η , g ) olan (2n+1)-boyutlu bir Sasakian manifold M
olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için R eğrilik tensörü
R ( X , Y ) Z = − ϕ ( R ( X , Y ) ϕ ( Z ) ) + g ( Y , Z ) X − g ( X , Z ) Y − g (ϕ ( Y ) , Z ) ϕ ( X )
+ g (ϕ ( X ) , Z ) ϕ ( Y )
(4.1.8)
dır (Yano and Kon 1984).
İspat
(4.1.7) denkleminin her iki tarafına ϕ dönüşümünü uygularsak
ϕ ( R ( X , Y ) ϕ ( Z ) ) = ϕ 2 ( R ( X , Y ) Z ) + g (ϕ ( X ) , Z ) ϕ ( Y ) − g ( Y , Z ) ϕ 2 ( X )
+ g ( X , Z ) ϕ 2 ( Y ) − g (ϕ ( Y ) , Z ) ϕ ( X )
elde ederiz. Böylece (3.2.2) den
ϕ ( R ( X , Y ) ϕ ( Z ) ) = − R ( X , Y ) Z + g (ϕ ( X ) , Z ) ϕ ( Y ) + g ( Y , Z ) X
− g ( X , Z ) Y − g (ϕ ( Y ) , Z ) ϕ ( X )
R ( X , Y ) Z = − ϕ ( R ( X , Y ) ϕ ( Z ) ) + g (ϕ ( X ) , Z ) ϕ ( Y ) + g ( Y , Z ) X
− g ( X , Z ) Y − g (ϕ ( Y ) , Z ) ϕ ( X )
dır.
64
4.2 M (c ) Sasakian Uzay Formu
Tanım 4.2.1
(M , g)
Riemann manifoldunun Riemann eğrilik tensör alanı R ile
gösterilsin. TM ( x) tanjant uzayının herhangi bir
{ X1, X 2}
ortonormal alt cümlesi ile
gerili P düzlemi için K ( P ) kesit eğriliği
K ( P) = R ( X 1 , X 2 , X 1 , X 2 ) = g ( R ( X 1 , X 2 ) X 2 , X 1 )
ile tanımlanır (Yano and Kon 1984).
Tanım 4.2.2 n-boyutlu bir Riemann manifoldu M
olsun. Eğer TM ( x) tanjant
uzayındaki her P düzlemi ve M nin her x noktası için K ( P) sabit eğrilikli ise o
zaman M sabit eğrilikli bir uzaydır denir. Sabit eğrilikli bir Riemann manifoldu bir
uzay formu olarak adlandırılır (Verstraelen and Vrancken 1988).
Önerme 4.2.1 X , Y ve Z vektör alanları olmak üzere sabit eğriliği k olan uzay için
R ( X , Y ) Z = k ( g (Y , Z ) X − g ( X , Z )Y )
eşitliği vardır (Yano and Kon 1984).
Tanım 4.2.3 Sasakian yapısı (ϕ , ξ ,η , g ) olan (2n+1)-boyutlu bir Sasakian manifold M
olsun. ξ Killing vektör alanına ortogonal olan bir X birim vektörü
{ X , ϕ ( X )}
ortonormal alacak şekilde bulunabiliyor ise { X , ϕ ( X )} düzlemi ile M nin ara kesitine
M de bir ϕ -kesit adı verilir. Bu durumda
K ( X , ϕ ( X )) = g ( R ( X , ϕ ( X ) ) ϕ ( X ), X )
kesit eğriliğine M nin bir ϕ -kesit eğriliği adı verilir (Yano and Kon 1984).
Tanım 4.2.4 Eğer Sasakian yapısı (ϕ , ξ ,η , g ) olan (2n+1)-boyutlu bir Sasakian
manifold M ve sabit ϕ -kesit eğriliğine sahip ve bu eğrilik c ise M (c) ile gösterilir ve
bir Sasakian uzay formu olarak adlandırılır (Verstaelen and Vrancken 1988).
65
Teorem 4.2.1 M (c) Sasakian uzay formunun R eğrilik tensörü için ∀X , Y ∈ χ ( M )
olmak üzere
1
R ( X , Y ) Z = (c + 3) [ g (Y , Z ) X − g ( X , Z )Y ]
4
1
− (c − 1)[η ( X )η ( Z )Y −η (Y )η ( Z ) X
4
+ g ( X , Z )η (Y )ξ − g (Y , Z )η ( X )ξ
(4.2.1)
+ g (ϕ (Y ) , Z )ϕ ( X ) − g (ϕ ( X ) , Z )ϕ (Y ) + 2 g (ϕ ( X ) , Z )ϕ ( Z )]
dır (Yano and Kon 1984).
Uygulama:
Aşağıda M ( c ) Sasakian uzay formunun c = −3 , c > −3 ve c < −3 durumlarını
inceleyeceğiz.
i. c = −3 hali: ( x1 , y1 , z ) koordinatlarını seçelim. g metriği
n
1⎡
2
2 ⎤
g = ⎢η ⊗η + ∑ ( dx1 ) . ( dy1 ) ⎥
4⎣
i =1
⎦
(
)
ile birlikte \ 2 n +1 bir Sasakian yapıya sahiptir. Bu metrik ile \ 2 n +1 , ϕ -kesit eğriliği
c = −3 olan bir Sasakian uzay formudur.Burada
η=
n
1⎛
⎞
dz
yi dxi ⎟
−
∑
⎜
2⎝
i =1
⎠
dir (Verstraelen and Vrancken 1988).
ii. c > −3 hali: ^ 2 n +1 de S 2 n +1 birim küresini göz önüne alalım. ^ 2 n +1 in J doğal
kompleks yapısının kullanılması ile S 2 n +1 üzerindeki bir Sasakian yapıyı aşağıdaki gibi
tanımlayabiliriz.
S 2 n +1 birim küresi üzerinde ^ 2 n +1 den indirgenmiş metrik g olsun (Böylece S 2 n +1
küresinin sabit kesit eğriliği 1 dir).
p ∈ S 2 n +1 noktasındaki birim normal N olmak
üzere
ξp = JpN
dir. Bütün p ∈ S 2 n +1 için
66
η ( X ) = g( X ,ξ )
ϕ =sDJ
,
dir. Burada
T^2 n + 1 ( p ) ⎯⎯
→ TS 2 n + 1 ( p )
dönüşümü bir ortogonal izdüşümdür. Böylece S 2 n +1 sabit ϕ -kesit eğriliği 1 olan bir
Sasakian uzay formudur. Bir pozitif α sabiti için
gα = α g + α (α − 1)η ⊗ η
,
ηα = αη
,
1
ξα = ξ
α
diyelim. O zaman ( S 2 n +1 , gα , ϕα , ξα ,ηα ) sabit ϕ -kesit eğriliği
,
ϕα = ϕ
4
olan bir Sasakian
α −3
uzay formudur (Verstraelen and Vrancken 1988).
iii. c < −3 hali: ^ n de bir birim küre D ve sabit holomrfik kesit eğriliği k < 0 olan
kompleks uzay formu ( D, g , J ) nin II. temel formu ψ olsun. O zaman D × \ üzerinde
η = π ∗ w + dt
ve
g = π ∗ g + η ×η
dır. Burada π , D üzerinde bir izdüşümdür. φ = dw ve t de \ nin koordinat
fonksiyonudur. O zaman D , ϕ -kesit eğriliği k − 3 olan bir Sasakian uzay formudur
(Verstraelen and Vrancken 1988).
Tanım 4.2.5 ∀X , Y ∈ χ ( M ) için P kesit eğriliği
P ( X , Y ; Z , W ) = g (ϕ ( R( X , Y ) Z ), W ) − g ( R ( X , Y )ϕ ( Z ), W )
= g (Y , Z ) g (ϕ ( X ),W ) − g (ϕ ( X ), Z ) g (Y ,W )
+ g (ϕ (Y ), Z ) g ( X ,W ) − g ( X , Z ) g (ϕ (Y ),W )
ile tanımlanır (Yano and Kon 1984).
Önerme 4.2.2: P kesit eğriliği için
P( X , Y ; Z ,W ) = − P( Z ,W ; X , Y )
dir.
67
İspat
P ( X , Y ; Z ,W ) = g (W , X ) g (ϕ ( Z ), Y ) − g (ϕ ( Z ), X ) g (W , Y )
+ g (ϕ (W ), X ) g ( Z , Y ) − g ( Z , X ) g (ϕ (W ), Y )
= − g (W , X ) g ( Z , ϕ (Y )) + g ( Z , ϕ ( X )) g (W , Y )
− g (W , ϕ ( X )) g ( Z , Y ) + g ( Z , X ) g (W , ϕ (Y ))
= − P( X , Y ; Z ,W )
dir.
Açıklama:
Eğer { X , Y } ortogonal vektör çifti, ξ vektör alanına dik ve
g ( X , ϕ (Y ) ) = cos θ
; ( 0 ≤θ ≤ π )
ise o zaman
P ( X , Y ; X , Y ) = − sin 2 θ
elde ederiz. Şu andan itibaren
(
K ( X , ) = g R ( X ,ϕ ( X ))ϕ ( X ) , X
)
ϕ -kesit eğriliği H ( X ) ile gösterilecektir. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
B ( X ,Y ) = g ( R ( X ,Y )Y , X )
ve ξ vektör alanına dik her bir X vektör alanı için
D ( X ) = B ( X ,ϕ ( X ))
eşitlikleri yardımı ile B ve D tanımlandığında aşağıdaki sonuçlar elde edilir (Yano and
Kon 1984).
Sonuç 4.2.1 ξ vektör alanına dik her bir X ve Y vektör alanları için
B ( X ,Y ) =
1
[3D ( X + ϕ (Y ) ) + 3D ( X − ϕ (Y ) ) − D ( X + Y )
32
− D ( X − Y ) − 4 D ( X ) − 4 D (Y ) − 24 P( X , Y ; X , ϕ (Y ))]
dir (Yano and Kon 1984).
68
İspat
İlk önce
D ( X + Y ) + D ( X − Y ) = 2[ D ( X ) − D (Y ) + 2 B ( X , ϕ (Y ))
(
)
+ 2 g ( R ( X , ϕ ( Y ) ) ϕ ( X ) , Y )]
+ 2 g R ( X , ϕ ( X ) ) ϕ (Y ) , Y
olup bu denklemde Y yerine ϕ (Y ) yazılırsa
D ( X + ϕ (Y ) ) + D ( X − ϕ (Y ) ) = 2[ D ( X ) − D (ϕ (Y ) ) + 2 B( X , Y )
(
+ 2 g R ( X , ϕ ( X ) ) ϕ (Y ) , Y
)
+ 2 g ( R ( X , Y ) ϕ ( Y ) , ϕ ( X ) )]
elde ederiz. D (Y ) = D (ϕ (Y ) ) olduğundan
3D ( X + ϕ ( Y ) ) + 3D ( X − ϕ ( Y ) ) − D ( X + Y ) + D ( X − Y ) − 4 D ( X ) − 4 D ( Y )
(
= 12 B( X , Y ) − 4 B( X , ϕ (Y )) + 8 g R ( X , ϕ ( X ) ) ϕ (Y ) , Y
(
)
)
+ 12 g ( R ( X , Y ) ϕ (Y ) , ϕ ( X ) ) + 4 g R ( X , ϕ (Y ) ) Y , ϕ ( X ) ]
dir. Diğer taraftan (4.1.7) eşitliği ile birinci Bianchi özdeşliğinden
(
)
8 g R ( X , ϕ ( X ) ) ϕ (Y ) , Y = 8 ⎡⎣ B( X , Y ) + B( X , ϕ (Y )) + 2 P( X , Y ; X , ϕ (Y )) ⎤⎦
dir. Ayrıca
(
)
12 g R ( X , ϕ ( X ) ) ϕ (Y ) , ϕ ( X ) = 12 ⎡⎣ B( X , Y ) + P( X , Y ; X , ϕ (Y )) ⎤⎦
(
)
4 g R ( X , ϕ (Y ) ) Y , ϕ ( X ) = 4 ⎡⎣ − B( X , ϕ (Y )) + P( X , ϕ (Y ) ; X , Y ) ⎤⎦
dir. Bu denklemler ile iddaamız ispatlanmış olur.
Açıklama:
i. X birim vektör alanıdır ⇔ D ( X ) = H ( X )
ii. { X , Y } ortonormaldir ⇔ B ( X , Y ) = K ( X , Y )
dir (Yano and Kon 1984).
69
Sonuç 4.2.2 Bir M Sasakian manifold verilsin. ξ ∈ N ( M ) ve X , Y ∈ χ ( M ) dik vektör
alanları için
g ( X , ϕ (Y ) ) = cos θ
; ( 0 ≤θ ≤ π )
ise
⎛ X + ϕ (Y )
1
2
K ( X , Y ) = [3 + (1 + cos θ ) H ⎜
⎜ X + ϕ (Y )
3
⎝
⎛ X +Y
− H ⎜⎜
⎝ X +Y
⎞
⎛ X −Y
⎟⎟ − H ⎜⎜
⎠
⎝ X −Y
⎞
⎛ X − ϕ (Y )
2
⎟ + 3 (1 − cos θ ) H ⎜
⎟
⎜ X − ϕ (Y )
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
2
⎟⎟ − H ( X ) − H (Y ) + 6sin θ ]
⎠
dir. Burada N ( M ) , M nin ortonormal vektör alanlarının uzayını gösterir (Yano and
Kon 1984).
İspat
Her bir Z = X + ϕ (Y ) için
⎛Z ⎞
4
D ( Z ) = Z H ⎜⎜ ⎟⎟
⎝Z ⎠
olduğundan
⎛ X + ϕ (Y ) ⎞
4
D ( X + ϕ (Y ) ) = X + ϕ (Y ) H ⎜
⎟
⎜ X + ϕ (Y ) ⎟
⎝
⎠
⎛ X + ϕ (Y ) ⎞
2
= 4 (1 + cos θ ) H ⎜
⎟
⎜ X + ϕ (Y ) ⎟
⎝
⎠
olduğunu görürüz. Benzer şekilde
⎛ X − ϕ (Y )
2
D ( X − ϕ (Y ) ) = 4 (1 − cos θ ) H ⎜
⎜ X − ϕ (Y )
⎝
⎛ X +Y
D ( X + Y ) = 4 H ⎜⎜
⎝ X +Y
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎛ X −Y
⎟⎟ ve D ( X − Y ) = 4 H ⎜⎜
⎠
⎝ X −Y
⎞
⎟⎟
⎠
elde ederiz. Bu eşitlikler ve Teorem 4.2.1 den istenilen sonuç elde edilir.
70
4.3 Sasakian manifoldlarda Ricci Tensör Alanının Özelikleri
Aşağıdaki kısımda bir Sasakian manifoldun Ricci rensör alanının özeliklerini
inceleyeceğiz. İlk önce M , kontak yapısı (ϕ , ξ ,η , g ) olan ( 2n + 1) -doyutlu bir K kontak manifoldu olsun. S ve r , sırası ile, M nin Ricci tensör alanını ve Ricci
operatörünü göstersin.
Tanım 4.3.1 M bir Riemann manifoldu ve E1 , E2 ,..., En vektörleri de TM ( x ) in bir
ortonormal bazı olmak üzere ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
n
S ( X , Y ) = ∑ g ( R ( Ei , X ) Y , Ei )
i =1
n
= ∑ R ( Ei , Y , Ei , X )
i =1
şeklinde tanımlanan ( 0, 2 ) -tipindeki tensör alanına Ricci tensör alanı denir. Ayrıca
n
r = ∑ S ( Ei , Ei )
i =1
eşitliğine skalar eğrilik adı verilir.
Tanım 4.3.2 M , n-boyutlu bir Riemann manifoldu olsun. Eğer M nin S Ricci tensörü
S = ag
(4.3.1)
formunda ise M ye bir Einstein manifoldu adı verilir.
Burada a pozitif bir sabittir (Yano and Kon 1984).
Tanım 4.3.3 M , kontak metrik yapısı (ϕ , ξ ,η , g ) olan bir ( 2n + 1) -boyutlu manifold
olsun. Eğer S Ricci tensörü için
S = ag + bη ( X ) ⊗η (Y )
(4.3.2)
eşitliği sağlanıyor ise M ye η - Einstein manifoldu adı verilir. Burada a ve b , M
üzerinde birer fonksiyondur (Yano and Kon 1984).
71
Tanım 4.3.4 M , n -boyutlu bir Riemann manifoldu olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için M nin
Weyl conformal eğrilik tensör alanı
1
[ S ( X , Z ) Y − S (Y , Z ) X + g ( X , Z ) δ (Y )
n−2
(4.3.3)
r
− g ( Y , Z ) δ ( X )] −
⎡ g ( X , Z ) Y − g (Y , Z ) X ⎤⎦
( n −1)( n − 2 ) ⎣
C ( X ,Y ) Z = R ( X ,Y ) Z +
ile tanımlanır. Burada δ , Ricci eğrilik operatörüdür (Yano and Kon 1984).
Açıklama:
C , (1,3) -tipide bir tensör alanı olup n = 3 için C = 0 dır (Yano and Kon 1984).
Örnek 4.3.1 E 4 Kaehler manifoldunun 3-boyutlu reel bir hiperküresi S 3 olsun. J ile
E 4 ün hemen hemen kompleks tensör alan yapısını gösterelim. E 4 de S 3 ün bir birim
normali C ile gösterilecektir.
JC = − ξ
Tanımlayalım. O zaman ξ , S 3 üzerinde3 bir birim vektör alanı olu. Yani ξ ∈ χ ( S 3 )
dir. S 3 e teğet her bir X vektör alanı için η ( X ) = g ( X , ξ ) olmak üzere η , 1-formu iyi
tanımlanır. Üstelik η ( X ) =1 dir. Diğer taraftan,
J ( X ) = ϕ ( X ) +η ( X ) C
eşitliği ile ϕ lineer dönüşümü tanımlayalım. Buna göre ∀p = ( p1 , p2 , p3 , p4 )∈ S 3 için
⎡0
J =⎢
⎣ I2
⎡0
− I 2 ⎤ ⎢0
=⎢
0 ⎥⎦ ⎢1
⎢
⎣0
0 −1 0 ⎤
0 0 −1⎥⎥
0 0 0⎥
⎥
1 0 0⎦
yapısı yardımı ile;
J ( C ( p ) ) = J ( p1 , p2 , p3 , p4 ) = ( − p3 , − p4 , p1 , p2 ) = − ξ
elde edilir.
72
Burada
⎡ p3 ⎤
⎢ p ⎥
ξ =⎢ 4 ⎥
⎢ − p1 ⎥
⎢
⎥
⎣ − p2 ⎦
dir. Şimdi g ( X , ξ )ξ için
⎡ x1 ⎤ ⎡ p3 ⎤
⎢x ⎥ ⎢ p ⎥
g ( X , ξ )ξ = ⎢ 2 ⎥ , ⎢ 4 ⎥
⎢ x3 ⎥ ⎢ − p1 ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎣ x4 ⎦ ⎣ − p2 ⎦
⎡ p3 ⎤
⎢ p ⎥
⎢ 4 ⎥
⎢ − p1 ⎥
⎢
⎥
⎣ − p2 ⎦
⎡ p3 ⎤
⎢ p ⎥
= ( x1 p3 + x2 p4 − x3 p1 − x4 p2 ) ⎢ 4 ⎥
⎢ − p1 ⎥
⎢
⎥
⎣ − p2 ⎦
eşitliği elde edilir. Böylece
λ = ( x1 p3 + x2 p4 − x3 p1 − x4 p2 )
olmak üzere
g ( X , ξ )ξ = λξ
eşitliği elde edilir. Ayrıca
ϕ (ϕ ( X ) ) = J (ϕ ( X ) ) − η (ϕ ( X ) ) C
⎡ − x3 ⎤
⎡ p1 ⎤
⎢− x ⎥
⎢p ⎥
4⎥
⎢
= J(
− λ ⎢ 2 ⎥ ) _ g ( J ( X ) −η ( X ) C , ξ ) C
⎢ x1 ⎥
⎢ p3 ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎣ x2 ⎦
⎣ p4 ⎦
⎡ − x1 + λ p3 ⎤
⎡ x3 − λ p1 ⎤ ⎡ p3 ⎤ ⎡ p1 ⎤
⎢− x + λ p ⎥
⎢ x −λ p ⎥ ⎢ p ⎥ ⎢ p ⎥
4⎥
2 ⎥ ⎢
4 ⎥
=⎢ 2
−< ⎢ 4
> ⎢ 2⎥
,
⎢ − x3 − λ p1 ⎥
⎢ − x1 − λ p3 ⎥ ⎢ − p1 ⎥ ⎢ p3 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣ − x4 − λ p2 ⎦
⎣ − x2 − λ p4 ⎦ ⎣ − p2 ⎦ ⎣ p4 ⎦
73
⎡ − x1 ⎤ ⎡ − λ p3 − ⎡⎣( x3 − λ p1 ) p3 + ( x4 − λ p2 ) p4 + ( x1 + λ p3 ) p1 + ( x2 + λ p4 ) p2 ⎤⎦ p1 ⎤
⎢ − x ⎥ ⎢ − λ p − ⎡( x − λ p ) p + ( x − λ p ) p + ( x + λ p ) p + ( x + λ p ) p ⎤ p ⎥
⎢
4
1
3
4
2
4
1
3
1
2
4
2⎦ 2⎥
⎣ 3
ϕ (ϕ ( X ) ) = ⎢ 2 ⎥ − ⎢
⎢ − x3 ⎥ − λ p1 − ⎡⎣( x3 − λ p1 ) p3 + ( x4 − λ p2 ) p4 + ( x1 + λ p3 ) p1 + ( x2 + λ p4 ) p2 ⎤⎦ p3 ⎥
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎣ − x4 ⎦ ⎢⎣ − λ p2 − ⎣⎡( x3 − λ p1 ) p3 + ( x4 − λ p2 ) p4 + ( x1 + λ p3 ) p1 + ( x2 + λ p4 ) p2 ⎦⎤ p4 ⎥⎦
⎡ x1 ⎤
⎡ p3 ⎤
⎢x ⎥
⎢ p ⎥
=−⎢ 2⎥+λ ⎢ 4 ⎥
⎢ x3 ⎥
⎢ − p1 ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎣ x4 ⎦
⎣ − p2 ⎦
olduğundan
ϕ 2 ( X ) = − X +η ( X ) ξ
elde edilir. Bununla birlikte
ϕ ( ξ ) = J ( ξ ) −η ( ξ ) C
olduğundan
⎡0
⎢0
ϕ (ξ ) = ⎢
⎢1
⎢
⎣0
0 −1 0 ⎤ ⎡ p3 ⎤ ⎡ p1 ⎤ ⎡ p1 ⎤ ⎡ p1 ⎤
0 0 −1⎥⎥ ⎢⎢ p4 ⎥⎥ ⎢⎢ p2 ⎥⎥ ⎢⎢ p2 ⎥⎥ ⎢⎢ p2 ⎥⎥
_
−
=
=0
0 0 0 ⎥ ⎢ − p1 ⎥ ⎢ p3 ⎥ ⎢ p3 ⎥ ⎢ p3 ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎥⎢
1 0 0 ⎦ ⎣ − p2 ⎦ ⎣ p4 ⎦ ⎣ p4 ⎦ ⎣ p4 ⎦
bulunur. Böylece
η (ϕ ( X ) ) = g (ϕ ( X ) , ξ )
= g ( J ( X ) −η ( X ) C , ξ )
=0
olduğu açıkça görülebilir.
Sonuç olarak (ϕ , ξ ,η , g ) yapısı S 3 üzerinde bir hemen hemen kontak metrik yapısı
oluşturur.
74
KAYNAKLAR
Blair, D.E. 1976. Contac Manifolds in Riemannian Geometry, Lecture Notes in Math.
Volume 509, Springer-Verlag
Blair, D.E. 2002. Riemannian Geometry of Contac and Simplectic Manifolds,
Birkhauser-Boston
Camci, C. 2003. “Kontak Geometride Legendre Eğrileri”, Doktora Semineri, Ankara
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Hacısalihoğlu, H.H. 1993. “Diferensiyel Geometri” Ankara Üniversitesi
Kobayashı, S. and NOMIZU, K. 1963. “Foundations of Differential Geometry”
Kocayigit, H. 2004. “Lorentz 3-Manifoldlarında Biharmonik Eğriler ve Kontak
Geometri”, Doktora tezi, Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Perrone, D. 1990. “Torsion and Critical Metrics on Contact Manifolds”, Kodai Math. J.
Vol. 13
Verstraelen, L. and Vrancken, L. 1988. “Pinching Theorems for C-Totally Real
Submanifolds of Sasakian Space Forms”, Journal of Geometry, Vol. 33
Yano, K. and Kon, M. 1983. “Structures on Manifolds”, Series in pure mathematics,
volume 3, Singapore
Yıldırım, A. 2004. “Homogen Uzaylarda Eğrilerin Diferensiyel Geometrisi” ”, Doktora
Semineri, Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
75
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: Ufuk ÖZTÜRK
Doğum Yeri
: ANKARA – ÇAMLIDERE
Doğum Tarihi : 1980
Medeni Hali
: Bekar
Yabancı Dili
: İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise
: Ankara Gazi Lisesi – 1998
Lisans
: Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü – 2003
Yüksek Lisans
: Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik
Anabilim Dalı – ( 2003 - 2006)
76