trıgonometrık fonksıyonların grafıklerı _ters trıgonometrık dahıl

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
A. PERİYODİK FONKSİYONLAR
Ay, dünya ve güneşin hareketleri, ay ve güneş tutulmaları her 76 yılda bir Halley kuyruklu yıldızının
dünyamızı ziyareti periyodik olarak meydana gelen olaylardır. Bu periyodik olaylara benzer şekilde,
matematikteki bazı fonksiyonlar, belirli aralıklarda tekrar tekrar aynı değerleri alarak kendilerini yinelerler.
Tekrarlama özelliğine sahip bu tür fonksiyonlara periyodik fonksiyonlar denir.
Tanım : A ⊂ ℝ için f : A → B bir fonksiyon olsun. ∀x ∈ A için, f ( x + T ) = f ( x ) eşitliğini sağlayan
bir T reel sayısı varsa, f fonksiyonuna periyodik fonksiyon T reel sayısına da f fonksiyonun periyodu denir.
f ( x + T ) = f ( x ) eşitliğini sağlayan T pozitif reel sayılarından en küçük olanına da f fonksiyonunun
esas periyodu denir.
Örneğin, x ∈ ℤ olmak üzere f ( x ) = “ x ’in 5 ile bölümünden kalan” şeklinde verilen fonksiyonu
inceleyelim. Herhangi bir tamsayının 5 ile bölümünden kalan 0,1,2,3 veya 4 olduğundan tanım kümesi ℤ olan
f ( x ) fonksiyonun görüntü kümesi B = {0,1, 2,3, 4} olur.
Bu sonucu koordinat sistemine taşıdığımızda, tanım kümesinin elemanlarının, 5 birim ara ile aynı
elemanlara eşlendiğini görürüz.
Yani, f fonksiyonu her x tamsayısı için, f ( x + 5 ) = f ( x ) eşitliğini sağlar. Bu durumda, 5,10,15,….
Sayıları f fonksiyonun birer periyodudur. Bu periyotlar arasından en küçük pozitif reel sayı olanı 5
olduğundan, f ( x ) fonksiyonun esas periyodu 5 tir.
O halde, k ∈ ℤ için f ( x + 5k ) = f ( x ) yazılır.
Ör : y = f ( x ) fonksiyonun esas periyodu T ise, a, b ∈ ℝ için g ( x ) = f ( ax + b ) fonksiyonun esas
periyodunun
T
olduğunu gösteriniz.
a
Çözüm : f fonksiyonun periyodu T ise,
f ( x ) = f ( x + T ) → f ( ax + b ) = f ( ax + b + T ) olur. ( i )
g fonksiyonun periyodu T ' ise, g ( x + T ' ) = g ( x ) olur.
(
g ( x ) = f ( ax + b ) → g ( x + T ' ) = f a ( x + T ' ) + b
→ g ( x ) = f ( ax + aT ' + b )
→ f ( ax + b ) = f ( ax + aT ' + b )
1
)
Yukarıdaki denklemlerden f ( ax + b + T ) = f ( ax + aT ' + b )
→ ax + b + T = ax + aT ' + b
→ T = aT '
T
→T' =
a
olarak bulunur. Esas periyodun pozitif olması gerektiğinden T ' =
T
olur.
a
 3x − 8 
Ör : h ( x ) = f 
 olmak üzere f fonksiyonun esas periyodu 9 ise, h fonksiyonun esas periyodunu
 4 
bulunuz.
Çözüm:
 3( x + T ) − 8 
 3x − 8 3T 
T , h fonksiyonun esas periyodu olsun h ( x + T ) = h ( x ) ise, h 
+
 = h
 bulunur.
4
4 
 4


3T
f fonksiyonun esas periyodu 9 olduğundan,
= 9 → T = 12 olur.
4
II. Yol :
T
 3x − 8 
3

'
f ( x ) için T = 9 ise, h ( x ) = f 
 = f  x − 2  için T = 3 = 12 olarak bulunur.
 4 
4

4
Not: f fonksiyonun periyodu T ise,
1
in periyodu da T dir.
f
∀x ∈ ℝ ve k ∈ ℤ için, sin ( x + k .2π ) = sin x ve cos ( x + k .2π ) = cos x olduğundan, sinüs ve kosinüs
fonksiyonları da periyodiktir. Bu fonksiyonların periyodu k .2π , esas periyodu 2π dir.
π

∀∈ ℝ −  + k .π  için, tan ( x + k .π ) = tan x ve
2

∀∈ ℝ − {k .π } için, cot ( x + k .π ) = cot x olduğundan,
tanjant ve kotanjant fonksiyonları da periyodiktir. Bu fonksiyonların periyodu k .π , esas periyodu π
dir. Sekant ve Kosekant fonksiyonların periyotları k .2π , esas periyotları 2π dir.
1
1 

, cos ecx =
 sec x =

cos x
sec x 

Ör: Aşağıdaki fonksiyonların esas periyotlarını bulunuz.
a. f ( x ) = 4.Sin5 x (c:
2π
)
5
b. g ( x ) = 3 − 2 cot ( 4 x − 8 ) (c:
2
π
4
)
Kural:
n sıfırdan farklı bir tamsayı ve a, b, c, d ∈ ℝ olmak üzere,
1. y = a + bCos n ( cx + d )
y = a + bSin n ( cx + d )
y = a + bSec n ( cx + d )
y = a + bCosec n ( cx + d ) fonksiyonlarının esas periyodu;
i. n tek ise,
ii. n çift ise,
2π
c
π
c
dir.
2. y = a + bTan n ( cx + d )
y = a + bCot n ( cx + d )
i. n tek ise,
ii. n çift ise,
π
c
π
c
dir.
3. Bir ifade birden fazla trigonometrik fonksiyon içeriyor ise; içerdiği fonksiyonların esas
periyotlarının ortak katlarının en küçüğünün (O.K.E.K.) her bir tam katı bu fonksiyonun periyodudur.
Ör: Aşağıda verilen fonksiyonların periyotlarını bulunuz.
a. Cos 4 ( 3x − 2 )
b. 2 + 3Sin3 ( 7 x + 5)
c. 2 − 7 tan ( 3x − 1)
d. 2.Cot 3 ( 6 x )
e.
2
tan ( 2 x − 7 )
4 tan 2 x
h.
+ Sec 6 4 x
Cos5 x
f. Sec ( 5 − 5 x )
g. 2Cos 3 4 x + Sin 2 3 x
i. Cos 7 x.Cos3 x
Uyarı: Bölüm ve çarpım şeklindeki ifadeleri önce trigonometrik özdeşliklerden faydalanılarak toplam haline
getirilir. Sonra elde edilen periyotların Ekok (Okek) ları alınır.
Çözüm:
1
π
π
[Cos10 x + Cos 4 x ] den Cos10 x in periyodu T1 = , Cos 4 x in periyodu T2 = dir.
2
5
2
( 2,5 )okek π
f ( x ) in periyodu; T =
= π bulunur.
10
i. Cos 7 x.Cos3 x =
Soru: f ( x ) = Sin 2 ( 2 x + 3) fonksiyonunun periyodunu bulunuz.
 3x 
Soru: g ( x ) = Cos 3  + 1 fonksiyonunun periyodunu bulunuz.
 2

3
 3x 
Soru: h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) = Sin 2 ( 2 x + 3) + Cos 3  + 1 fonksiyonunun periyodunu bulunuz.
 2

Soru: f ( x ) = 3.Cos 2 ( 5π x + 7 ) + 2 fonksiyonunun periyodunu bulunuz.
Soru: f ( x ) = Sin ( 8π x ) + Cos ( 6π x + 5) fonksiyonunun periyodunu bulunuz.
Soru: f ( x ) = Sin 2 3 x + Cos5 x + Sin
3x
fonksiyonunun periyodunu bulunuz.
2
Soru: f ( x ) = (1 − Sin3x )(1 + Sin3x ) fonksiyonunun periyodunu bulunuz.
Soru: f ( x ) = Cos 7 x.Cos3x fonksiyonunun periyodunu bulunuz.
4
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
Trigonometrik fonksiyonların periyodik olduğunu grafiklerinden de görmek mümkündür.
Bir trigonometrik fonksiyonun grafiğini, aşağıda verilen işlem sırasını izleyerek çizebiliriz.
1. Önce fonksiyonun esas periyodu bulunur.
2. Bulduğumuz periyoda uygun bir aralık seçeriz.
3. Seçilen aralıkta fonksiyonun değişimini inceleriz.
Bunun için fonksiyonun bazı özel reel sayılarda alacağı değerlerin bir tablosunu yaparız. Sonra,
fonksiyonun hangi aralıklarda arttığını veya azaldığını belirleriz.
Tabloda fonksiyonun arttığı aralıklar “ ”, azaldığı aralıklar “
” işaretleri ile gösterilebilir.
4. Esas periyoda uygun olarak seçilen aralıkta fonksiyonun grafiğini çizeriz.
Oluşan grafiği diğer periyodik aralılarda da tekrarlayarak fonksiyonun en genel grafiğini çizmiş oluruz.
1. Sinüs Fonksiyonun Grafiği
Analitik düzlemde C = {( x, y ) = ( x, sin x ) : x, y ∈ ℝ} kümesinin elemanlarının gösterdiği noktaların
geometrik yeri y = sin x fonksiyonun grafiğidir.
Yukarıdaki sıraya göre;
1. y = sin x fonksiyonun esas periyodu 2π dir.
2. Grafiği çizmek için [ 0, 2π ] aralığını seçelim.
3π
, x = 2π özel değerleri için, y = sin x fonksiyonu aşağıda tabloda
2
2
gösterilen değerleri alır. y = Sinx fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıklar birim çember yardımı ile
bulunabilir.
3. x = 0, x =
π
,x =π,x =
y = Sin x fonksiyonunun grafiği:
Periyodu 2π olduğundan [ 0, 2π ] aralığında değişimini inceleyelim.
f : [ 0, 2π ] → [ −1,1] , f ( x ) = Sinx
π
x
0
Sinx
0
2
1
π
3π
2
2π
0
-1
0
5
y
3π
2
π
2
−2π
−π
3π
−
2
π
π
0
2π
x
2
Soru: f ( x ) = Sin2 x fonksiyonunun [ 0, 2π ] aralığında grafiğini çiziniz.
f ( x ) fonksiyonunun periyodu; T =
Aralık boyu
π
4
2π
= π dir. Buna göre grafiği [ 0, π ] aralığında çizebiliriz.
2
olur.
π
π
x
0
4
2
Sinx
0
2
2
1
Sin2 x
0
1
3π
4
π
2
2
0
0
-1
0
y
1
0
π
π
3π
2
2
-1
6
2π
x
Sorular:
Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
1.
a. y = 4 Sinx
b. y = Sin 4 x
c. y = Sin
x
4
d. y = 5 − 4Sin ( 3 x )
2. Kosinüs Fonksiyonun Grafiği
Analitik düzlemde C = {( x, y ) = ( x, cos x ) : x, y ∈ ℝ} kümesinin elemanlarının gösterdiği noktaların
geometrik yeri y = cos x fonksiyonun grafiğidir.
Yukarıdaki sıraya göre;
1. y = cos x fonksiyonun esas periyodu 2π dir.
2. Grafiği çizmek için [ 0, 2π ] aralığını seçelim.
3π
, x = 2π özel değerleri için, y = cos x fonksiyonu aşağıda tabloda
2
2
gösterilen değerleri alır. y = cos x fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıklar birim çember yardımı ile
bulunabilir.
3. x = 0, x =
π
,x =π,x =
y = Cosx fonksiyonunun grafiği:
Periyodu 2π olduğundan [ 0, 2π ] aralığında değişimini inceleyelim.
f : [ 0, 2π ] → [ −1,1] , f ( x ) = Cosx , Aralık boyu:
x
Cosx
π
0
1
2π π
= olur.
4
4
2
π
3π
2
2π
0
-1
0
1
y
π
−2π
3π
−
2
−π
2
π
0
2
7
π
3π
2
2π
x
Soru: y = 2 + 3.Cosx fonksiyonunun [ 0, 2π ] aralığında grafiğini çiziniz.
Çözüm:
f ( x ) fonksiyonunun periyodu 2π dir. Aralık Boyu:
π
2π π
= olur.
4
2
3π
2
x
0
2
π
Cosx
1
0
-1
0
1
2 + 3.Cosx
5
-1
2
5
2
2π
y
5
4
3
2
1
0
-1
π
2
π
3π
2
-2
8
2π
x
Soru: y = 2 − 4.Cos3 x fonksiyonunun uygun bir aralıkta grafiğini çiziniz.
Çözüm:
f ( x ) fonksiyonunun periyodu
Aralık Boyu:
2π
dir. O zaman grafiği
3
 2π 
0, 3  aralığında çizebiliriz.
2π 1 π
. = olur.
3 4 6
−1 ≤ Cos3 x ≤ 1 den, 4 ≥ −4Cos3 x ≥ −4 → −2 ≤ 2 − 4Cos3 x ≤ 6 bulunur.
π
x
0
6
Cos ( 3 x )
1
0
2 − 4.Cos3 x
-2
3π
6
4π
6
-1
0
1
6
2
-2
2π
6
2
y
6
5
4
3
2
1
0
-1
π
π
π
6
3
2
-2
9
2π
3
x
Sorular:
Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
1.
a. y = 1 + 2Cosx
π

c. y = 3 + Cos  x − 
2

b. −2 + 2 Sin3 x
d. y = 3 − 5Cos ( 3x )
y = tan x fonksiyonunun grafiği:
Periyodu π olduğundan [ 0, π ] aralığında değişimini inceleyelim. Artan fonksiyondur.
π 
f : [ 0, π ] −   → ℝ , f ( x ) = tan x
2
π
x
0
2
tan x
0
+∞ −∞
π
x=
π
’ de tanımsız.
2
Düşey asimptota sahip.
0
y
−π
−
x=−
π
2
π
2
π
0
π
3π
2
2
x=
π
2
10
x=
3π
2
x
y = Cotx fonksiyonunun grafiği:
Periyodu π olduğundan [ 0, π ] aralığında değişimini inceleyelim. Azalan fonksiyondur.
f : ( 0, π ) → ℝ , f ( x ) = Cotx
x
π
0
tan x
0
+∞
x = 0 ve x = π ’ de tanımsız.
Düşey asimptota sahip.
π
2
−∞
y
−π
−
x = −π
π
2
0
π
π
2
x=0
x =π
11
3π
2
2π
x
y = Secx fonksiyonunun grafiği:
Periyodu 2π olduğundan [ 0, 2π ] aralığında değişimini inceleyelim.
1
olduğundan Cosx = 0 olan yerlerde y = Secx tanımsızdır. Cosx artarken, Secx azalır. Cosx
Cosx
azalırken Secx artar.
y = Secx =
Cosx > 0 iken Secx > 0 , Cosx < 0 iken Secx < 0
 π 3π 
f : [ 0, 2π ] −  ,  → ℝ , f ( x ) = Secx
2 2 
π
x
0
2
π
3π
2
2π
Cosx
1
0
-1
0
1
Secx =
1
Cosx
1
-1
+∞
1
−∞
+∞
−∞
y
1
−π
−
3π
2
−
π
π
0
2
2
-1
x=−
π
2
x=
π
2
12
π
3π
2
2π
x=
3π
2
x
y = Co sec x fonksiyonunun grafiği:
Periyodu 2π olduğundan [ 0, 2π ] aralığında değişimini inceleyelim.
1
olduğundan Sinx olan yerlerde y = Co sec x tanımsızdır. Sinx artarken, Co sec x azalır.
Sinx
Sinx azalırken Co sec x artar.
y = Co sec x =
Sinx > 0 iken Co sec x > 0 , Sinx < 0 iken Co sec x < 0
f : ( 0, 2π ) − {π } → ℝ , f ( x ) = Co sec x
π
x
0
2
π
Sinx
0
1
0
Co sec x =
1
Sinx
3π
2
2π
0
-1
-1
1
+∞
+∞
−∞
−∞
y
1
−π
−2π
3π
−
2
−
π
2
0
-1
π
π
2
x =π
x = −π
13
3π
2
2π
x = 2π
x
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TERS FONKSİYONLARI
1.
SİNÜS FONKSİYONUNUN TERS FONKSİYONU (ARK SİNÜS – (Arcsin) )
f : ℝ → [ −1,1] , f ( x ) = Sinx fonksiyonu bire – bir ve örten değildir. Ancak tanım kümesini ℝ ’nin bir
 π π
alt kümesi olan  − ,  olarak seçersek birebir ve örtenliğini sağlamış oluruz. Bu durumda ters fonksiyonu
 2 2
mevcuttur.
 π π
f :  − ,  → [ −1,1] , f ( x) = Sinx fonksiyonunun ters fonksiyonu;
 2 2
 π π
f −1 : [ −1,1] →  − ,  , f −1 ( x ) = Arc sin x dir.
 2 2
y = Sinx ⇔ x = Arc sin y
 π π
x ∈  − ,  ∧ y ∈ [ −1,1] dir.
 2 2
y
y=x
y=x
y
π
1
2
y = Sinx
−
π
2
−1
1
π
−1
x
1
2
−1
−1
−
1
ise, y = ?
2
3

y = tan  arcsin  ise, y = ?
5

 1
x = arcsin  −  ise, x = ?
 2

3
Cos  arcsin
 işleminin sonucu nedir?
2 

5
3

A = cos  arcsin + arcsin  ise A = ?
13
5

Soru: y = arcsin
Soru:
Soru:
Soru:
Soru:
f −1 ( x ) = arcsin x
1
14
π
2
x
2. KOSİNÜS FONKSİYONUNUN TERS FONKSİYONU (ARK KOSİNÜS– (arccos) )
f : [ 0, π ] → [ −1,1] , f ( x ) = Cosx fonksiyonu bire – bir ve örten bir fonksiyondur.
Bu fonksiyonun tersi olan fonksiyon;
f −1 : [ −1,1] → [ 0, π ] , f −1 ( x ) = arccos x dir.
y = Cosx ⇔ x = arccos y
x ∈ [ −1,1] ∧ y ∈ [ 0, π
] dir.
y
y=x
π
y
f
1
y=x
2
π
2
0
( x ) = arccos x
π
π
−1
−1
x
1
1
−1
−1
y = Cosx
0
−1
  π 
Soru: y = arccos  sin  −   ise, y = ?
  4 
7 

Soru: y = cot  arccos  işleminin sonucu nedir?
25 

π

Soru: x = arccos  cos  ise, x = ?
6

15
1
x
3. TANJANT FONKSİYONUNUN TERS FONKSİYONU (ARK TANJANT– arctan )
 π π
f :  − ,  → ℝ , f ( x ) = tan x fonksiyonu birebir ve örten fonksiyondur. Bu fonksiyonun tersi olan
 2 2
fonksiyon;
 π π
f −1 : ℝ →  − ,  , f −1 ( x) = arctan x fonksiyonudur.
 2 2
y = tan x ⇔ x = arctan y
 π π
y ∈ ℝ ∧ x ∈  − ,  dir.
 2 2
y
y
π
f −1 ( x ) = arctan x
2
−
π
0
2
π
x
0
2
−
y = tan x
Soru: arctan 3 ifadesinin değeri nedir?
Soru: sin ( arctan ( 2, 4 ) ) ifadesinin değeri nedir?
16
π
2
x
4. KOTANJANT FONKSİYONUNUN TERS FONKSİYONU ( ARK KOTANJANT - arccot )
f : ( 0, π ) → ℝ , f ( x ) = cot x fonksiyonu birebir ve örtendir. Bu fonksiyonun tersi olan fonksiyon;
f −1 : ℝ → ( 0, π ) , f −1 ( x ) = arc cot x fonksiyonudur.
y ∈ ℝ ∧ x ∈ ( 0, π ) dir.
y = cot x ⇔ x = arc cot y
y
y
y = cot x
π
0
π
π
π
x
2
2
0
Soru: arc cot1 ifadesinin değeri nedir?
Soru: x = arc sec 2 → tan x = ?
Soru: f ( x) =
1
fonksiyonunun tanım kümesi nedir?
arcsin x
Soru: f ( x) = arcsin x fonksiyonunun tanım kümesi nedir?
17
f −1 ( x ) = arc cot x
x
UYGULAMALAR:
1
1+ 2 2
= x ise, Cos 2 x + Sin 2 x = ? (
)
3
3
1
2. arccos 2 x = arcsin x denkleminde x = ? (
)
5
1
 1
3. arcsin + arcsin  −  = ? (0)
3
 3
4. −2Sin ( 3 x ) + 7 fonksiyonunun grafiğini çiziniz?
1. arcsin
5. 2 + Cos ( −3x + 5) fonksiyonunun grafiğini çiziniz?
6. 5 tan ( 2 x + 7 ) fonksiyonunun grafiğini çiziniz?
 3
1
 1
7. θ , α , β ∈ [ 0, π ] olmak üzere α = Arc cos   , β = Arc cos  −  ve θ = Arc cos 
 verildiğine göre,
2
 2
 2 
1
Sin (θ + β + α ) = ? ( − )
2
4 5 + 3 15
2
1

8. Sin  Arc cos  + Cos ( Arc sin ) = ? (
)
12
3
4

2
 π 3π 
1
9. x ∈  ,  ve x = Arc tan   ise, Cosx = ? ( −
)
5
2 2 
2
1

10. 3. Arc cos  2 x 2 − 2 x +  − π = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
2

1
11. f ( x ) = 3.tan   − 2 ise, f −1 ( −5 ) = ?
x
π
 x
 3 
−1  π 
12. f ( x ) = Arc sin   ve g ( x ) = Arc tan 
 ise, ( fog )   = ? ( − )
6
2
 2− x
4
x
13. f ( x − 4 ) = 3. Arc tan ( x − 1) ise, f −1 ( x ) = ? ( f −1 ( x ) = arctan   − 3 )
3
1
1 π

14. Cos  arctan +  = ? ( −
)
2 2
5

15. arctan x + arc cot x =
16. tan ( arcsin x ) =
π
2
x
1 − x2
olduğunu gösteriniz.
olduğunu gösteriniz.
2
π

17. Sin  arc cot 2 −  = ? ( −
)
2
5

18
1
1

18. Sin  arctan  = ? (
)
2
5

19. f ( x ) = arctan
x
π 
ise, f −1   = ? (2)
2
4
 x
20. f ( x ) = 2.arcsin   ise, f −1 ( π ) = ? (3)
3
21. arccos x = arctan
1
3
ise, x = ? (
)
3
10
 π π
22. f : A →  − ,  , f ( x ) = arcsin ( 2 x − 1) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ( [ 0,1] )
 2 2
 3x − 1 
 1 
23. f : B → [ 0, π ] , f ( x ) = arccos 
 fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. (  − ,1 )
 2 
 3 
24. arcsin 2 x = arccos x ise, x = ? ( ∓
1
)
5
2
π

25. Sin  arc cot 2 −  ifadesinin eşiti nedir ? ( −
)
2
5

19
UYARI:
arcsin (0) = 0
1 π
arcsin   =
2 6

arcsin 



arcsin 


arccos (0) =
arccos  1  = π
2
2  π
=
2  4
π
2
arcsin (− 1) = −
π
2

3  5π
arccos  −
 2 = 6



2  3 π
arccos  −
 2 = 4


 1  2π
arccos  −  =
3
 2

3 
π
arcsin  −
 2 =−3



2 
π
arcsin  −
 2 = −4


π
 1
arcsin  −  = −
6
 2
arctan (0) = 0
arccot (0) =

π
 =
6
3 

arctan  1


(

arctan  −

arccot
)
3 = −
arctan (− 1 ) = −

π
 =
3
3 
arccot (1 ) =
( 3 ) = π3
arctan −
π
2
arccot  1
π
arctan (1 ) =
4
arctan
3
 2 π

arccos 
 2 = 4


 3 π

arccos 
 2 = 6


arccos (1) = 0
arccos (− 1) = π
3  π
=
2  3
arcsin (1) =
π
2
π
3
( 3 ) = π6
(
arccot −
π
4
π
4
)
3 =
arccot (− 1 ) =

π
 = −
6
3 
5π
6
3π
4
1
arccot  −

20

2π
 =
3
3 
1
Dosya adı:
TRIGONOMETRIK FONKSIYONLARIN GRAFIKLERI
(TERS TRIGONOMETRIK DAHIL)
Dizin:
C:\Users\TOLGA\Desktop\INTERNET\TRIGONOMETRI
Şablon:
C:\Users\TOLGA\AppData\Roaming\Microsoft\Templates\Nor
mal.dotm
Başlık:
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
Konu:
Yazar:
EGESU
Anahtar Sözcük:
Açıklamalar:
Oluşturma Tarihi:
09.01.2017 21:15:00
Düzeltme Sayısı:
2
Son Kayıt:
09.01.2017 21:15:00
Son Kaydeden:
TOLGA
Düzenleme Süresi: 3 Dakika
Son Yazdırma Tarihi: 09.01.2017 21:15:00
En Son Tüm Yazdırmada
Sayfa Sayısı:
20
Sözcük Sayısı:
2.579(yaklaşık)
Karakter Sayısı: 14.704(yaklaşık)