x. ex dx in eşiti nedir? - Soruhane.com

www.matematikclub.com, 2006
MC
Cebir Notları
Gökhan DEMĐR, [email protected]
Đntegral
Belirsiz Đntegral (Bir fonksiyonun ilkeli)
Trigonometrik fonksiyonların integrali
Tanım:
10.
∫
sinxdx = cosx + c
11.
∫
cosxdx = sinx + c
12.
∫
tanxdx = –lncosx + c
13.
∫
(1+tan2x)dx = tanx + c
14.
∫
1
cos2x dx = tanx + c
15.
∫
sec2xdx = tanx + c
16.
∫
cotxdx = lnsinx + c
17.
∫
(1+cot2x)dx = –cotx + c
18.
∫ sin 2 x dx = cotx + c
19.
∫
20.
∫
Bir fonksuyonu türev kabul eden fonksiyona bu fonksuyonun bir ilkel fonksiyonu ya da bu fonksiyonun belirsiz
integrali denir.
Örneğin
y = 4x3 – 3x2 + 8x – 5 fonksiyonunu türev kabul eden
y1 = x4 – x3 + 4x2 – 5x + 10,
y2 = x4 – x3 + 4x2 – 5x –85
y3 =
x2
–
x3
+
4x2
– 5x + 25
............................................
fonksiyonlarının her biri y = 4x3 – 3x2 + 8x – 5 fonksiyonunun bir belirsiz integralidir. Bu belirsiz integraller arasındaki fark sabit sayılardır. O halde
y = 4x3 – 3x2 + 8x – 5 fonksiyonunun belirsiz integrali
y = x4 – x3 + 4x2 – 5x + c (c
integral simgesi :
∫
∫
R) biçiminde olur.
(....) dx dir.
(4x3 – 3x2 + 8x – 5) dx = x4 – x3 + 4x2 – 5x + c
belirsiz integrali bulunmuş olur.
Đntegral verilen fonksuyonu türev kabul eden fonksiyon
olduğu için şu integral listesini verebiliriz.
1.
2.
3.
∫
∫
∫
1
adx = ax + c (a ∈ R)
axn+1
axndx = n+1 + c (n ≠ –1)
ax–1 dx = a. lnx + c
cos ec2x dx = –cotx + c
1
1 − x2
dx = arc sinx + c
= -arc cosx + c
4.
∫
(u + v)dx =
∫
u dx +
1
udx
21.
1
∫ 1 + x 2 dx = arc tanx + c
= –arc cotx + c
3
2 2
x +c
3
5.
∫
6.
∫
exdx = ex + c
7.
∫
ax dx = ax .logae + c
8.
∫
1
eax dx = a eax + c
9.
∫
1
1
ax+b = a ln |ax + b| + c
x dx =
∫
x 2 dx =
∫
22.
∫
a .f(x) dx = a ∫ f(x)dx
www.matematikclub.com
Çözüm :
ÖRNEK :
∫
(x3
4
A)
x
4
1
3
+ + x + 1) dx integrali nedir?
x
43
B) x4+ lnx + 3 x4 + x + c
x4
4
D)
x3
3
+ lnx + x
3
E)
x3
(x2 – 3x + 5) dx = 3 –
3x2
2
+ 5x + c bulunur.
Ancak x = 0 için y = 4 olacağı için c = 4 dür.
Đstenen integral :
x3 3x2
y = 3 – 2 + 5x + 4 bulunur.
33
+ lnx + 4 x4 + x + c
C)
∫
y=
Yanıt : A
33
+ lnx + 4 x + x + c
x4
4
ÖRNEK :
+x+c
∫
1
43
+ x lnx + 3 x + x + c
ex+5 dx integrali nedir?
A) ex+5 .(x + 5) + c
B) x . ex+5 + c
C) ex + 5 + c
D) ex (x + 5
E)
ex
.5
Çözüm :
∫
(x 3 +
1
+
x
3
1
x + 1)dx =
x4
3
=
+ ln x + x
4
4
4
3
(x 3 + x −1 + x 3 + x) dx
∫
Çözüm :
∫
+x+c
∫
e5 exdx = e5
∫
exdx = e5 . ex + c
= ex + 5 + c
bulunur.
Yanıt : C
Yanıt : A
ÖRNEK :
1
∫ (x + 4
ex+5dx =
ÖRNEK :
1
+ x2 + 1 ) dx integralini bulunuz?
∫
(2sinx + 3cosx) dx integrali nedir?
A) lu |x + 4| + ln (x2 + 1) + c
A) –2cosx + 3sinx + c
B) 2cosx + 3sinx + c
B) lu |x + 4| + arc tanx + c
C) –2cosx + 3x + c
D) 2cosx + sinx + c
C) lu |x + 4| + arc sinx + c
E) –2cosx – sinx + c
D) lu |x + 1| + x2 + 1 + c
E) lu (x + 4) + arc cosx + c
Çözüm :
∫
Çözüm :
1
1
(x + 4 + x2 + 1 ) dx =
∫
1
x + 4 dx +
∫
1
x2+1 dx
= ln |x + 4| + arc tanx + c
∫
(2sinx + 3cosx) dx =
∫
2sinx dx +
∫
3cosx dx
= –2cosx + 2sinx + c
Yanıt : A
Yanıt : B
ÖRNEK :
ÖRNEK :
y = x2 – 3x + 5 fonksiyonunun x = 0 için 4 e eşit
olan integrali nedir?
x3 3x2
x3 3x2
A) 3 – 2 + 5x + 4
B) 3 – 2 + 5x + 16
x3
C) x3 – 3x2 + 5x + 4
D) 3 – 3x2 + 5x + 4
E) x3 – 3x2 + 5x + 8
∫
12x2 + 19
dx integrali nedir?
3x2 + 3
7
3
A) 4x + 3 arc cotx + c B) 4x – 7 arc cosx + c
7
C) 4x = 7arc cosx3 + cD) 4x + 3 arc tanx + c
x
E) 5x + 7 arc tan3 + c
www.matematikclub.com
Çözüm :
Çözüm :
12x2 + 19
3x2 + 3 ifadesinde payı paydaya bölelim ve kesri basit biçime getirelim.
12x 2 + 19
2
∓ 12x ∓ 12
+7
3x 2 + 3
12x2+19
7
→ 3x2+3 = 4 + 3(x2+1)
4
cosx sin3x dx için u = sinx
alınarak du = cosx dx bulunur.
u4
∫ cosx sin3xdx = ∫ u3du = 4 + c
sin4x
= 4 +c
Yanıt : A
O halde
12x2 + 19
∫ 3x2 + 3 dx =
=
∫
∫
∫
ÖRNEK :
7
(4 + 3(x2 + 1) ) dx
4dx +
∫
∫
1
7
3 . x2 + 1 dx
1
dx integrali nedir?
x.lnx
A) lnx(sinx) + c
7
= 4x + 3 arc tanx + c bulunur.
B) ln(lnx)+ c
1
D) 2 lnx (lnx)2
C) ln x2
Yanıt : A
E) ln (lnx2)
Çözüm :
1
ĐNTEGRAL HESABINDA DEĞĐŞKEN DEĞĐŞTĐRME
YÖNTEMĐ :
Çarpanlardan biri diğerinin türevi ile ilgili olan bir çarpımın
integralinde veya bir bölümün integralinde bölen ile bölünenden biri diğerinin türevi ile ilgili ise değişkeni değiştiririz.
Örneğin;
∫
(2x + 3) (x2 + 3x + 4)2 dx integralinde
∫ ln x dx integralinde u = lnx değişimini uygulayalım.
1
du = x dx
1
∫ x ln x dx = ∫
1
x dx
lnx =
du
u = ln u + c
O halde
1
∫ x ln x dx = ln (lnx) + c
x2 + 3x + 4 = u alınırsa
du
2x + 3 = dx → (2x + 3) dx = du olur.
∫
bulunur.
Yanıt : B
Đntegral
∫
(2x + 3) (x2 + 3x + 472 dx =
∫
u2 du
ÖRNEK :
1
= 3 u3 + c bulunur.
n ≠ –1 için
O halde
∫
(2x + 3) (x2 + 3x + 4)2
(x
dx =
2
+ 3x + 4 )
cosx .
+ c olur.
∫
(ax + b)n dx integrali nedir?
A) (ax + b)n+1 + c
a
B) n+1 (ax + b) n+1
C) a(ax + b)n+1 + c
1
D) a(n+1) (ax + b) n+1 + c
ÖRNEK :
∫
3
3
E) (a + b)
sin3x
sin4x
4 +c
cos3x
C) 3
+c
A)
E) sin4x + c
dx integrali nedir?
sin3x
3 +c
cos4x
D) 4
B)
Çözüm :
ax + b = u dönüşümünü uygularsak
1
adx = du ♠ dx = a du
1
∫ (ax + b)n dx = ∫ a un du
1
1
1
n
n+1 + c bulunur.
a ∫ u du = a . n+1 (ax + b)
Yanıt : D
www.matematikclub.com
ÖRNEK :
ÖRNEK :
1
∫
1
A) 2 arc sinx + c
1
B) 2 arc cot2x + c
C) arc cos2x + c
1
E) 2 arc cot2x + c
D) arc tan2x + c
R2 
x 1
x
arcsin + sin 2(arcsin )  + c
2 
R 2
R 
R2 
x
x
B)
+c
arcsin + arccos
2 
R
R
πR 2
C)
+c
2
R2 
x 1
x
D)
arcsin − arccos 
2 
R 2
R
A)
Çözüm :
x
E) R 2  arcsin 

r
2x = u , 2dx = du dönüşümünü uygulanırsa
1
1− u
.
2
du 1
1
= ∫
du
2 2 1− u2
R 2 − x 2 dx integrali nedir?
∫
1− 4x 2 dx integrali nedir?
1
= 2 arc sinu + 1
Çözüm :
x = R sin θ değişken değişikliğini uygulayalım.
O halde
dx = R cos θ dθ dır.
1
1
1− 4x 2 dx = 2 arc sin2x + c bulunur.
∫
∫
R 2 − R 2 sin 2 θ .Rcosθ dθ
∫
R 2 − x 2 dx =
Yanıt : A
= R2
= R2
= R2
ÖRNEK :
1− x
∫
1+ x
dx
integralinde u =
x dönüşümü yapı-
1+u
1 1+ u
du B) ∫
du C)
du
1−u
2 ∫ 1− u
1− x
1+ u
u(1 + u)
D) 2 ∫
du E) 2 ∫
du
1− u
1− u
∫
cos2 θ dθ
1
2 (1 + cos2q) dθ
1
1
= R2 2 (q + 2 sin2q) + c
lırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
A)
∫
∫
∫
 1 − sin 2 θ cos θ  dθ


1+ x
bulunur.
x
x = R sin θ → θ = arc sin R olduğu için,
∫
R2
x
1
x
R 2 − x 2 dx = 2 [arc sinR + 2 sin2 (arc sin R )]
biçiminde yazılablir.
Yanıt : A
(1994 – ÖYS)
KISMĐ (PARÇASAL) ĐNTEGRALLEME YÖNTEMĐ :
Çözüm :
x =u♠
∫
1
2 x
dx = du buradan dx = 2u du bulunur.
1+ x
1− x dx =
bulunur.
Yanıt : E
∫
1+u
1–u 2u du = 2
∫
u(1+u)
1–u du
Bir çarpımın türevini hatırlayınız.
d(u.v) du
dv
dx = dx . v + dx . du
d(u.v) = v.du + u.dv
Her iki yanı integrallersek
∫
d(uv) =
u.v=
∫
∫
v. du +
v. du +
∫
∫
u . dv
u . dv bulunur.
Değişken değiştirmeyi şu biçimde yaparız.
∫
.u . dv = u . v –
∫
v.du ve bu
integrallemeye kısmi integral metodu denir.
www.matematikclub.com
ÖRNEK :
∫
ÖRNEK :
x ex dx integrali nedir?
I=
A) xex – ex + c
B) xex + ex + c
C) xex – x + c
D) ex – xex + c
B) ex (sinx – cosx) + c
ex
C) 2 (sinx – cosx) + c
Çözüm :
D) ex sinx – cosx + c
x = u ve ex dx = dv döşünüşümünü yaparsak;
E) ex (sinx + cosx) + c
dx = du ve ex = v bulunur.
u. dv = u . v –
∫
v . du formülünden,
x . ex dx = x . ex –
∫
Çözüm :
I =
ex dx
∫
ex = u ve sinx dx = dv ise
Yanıt : A
ex dx = du ve –cosx = v olur.
I=
∫
ex sinx dx = –ex cosx +
Tekrar
I=
ÖRNEK :
C) x2 sinx – 2xcosx + 2sinx + c
Çözüm :
x2 sinx dx integrali kısmi integralleme (iki kez) uygu-
u=
v . du
dv = sinx dx ise
du = 2xdx ve v = –cosx tir.
∫
∫
x2 sinx dx = –x2 cosx +
∫
2x . cosx dx
2x cosx dx ise
2dx = du sinx = v bulunur.
Buradan
x2 sinx dx = –x2 cosx + 2x . sinx –
∫
2sinx dx
= –x2 cosx + 2xsinx + 2cosx + c
Yanıt : A
∫
I
BASĐT KESĐRLERE AYIRMA YÖNTEMĐ :
P(x)
dx biçiminde olan integrallerde (P(x) ve Q(x) biQ(x)
∫
Basit kesirler payın derecesi paydanın derecesinden küçük olan kesirlere basit kesir deyimi kullanılır.
P
P
p, a, b R ise (ax + b) , (ax + b)n birer basit kesir ya
da
Px + k
b2 – 4ac < 0 ise (ax2 + bx + c)n bir basit kesir denir.
P(x)
bulunmuş olur.
sinx –
ex
sin
xdx
Örneğin;
2
1
4x – 6
(6x – 1)2 , 12x + 1 , x2 + x + 1 birer basit kesirdir.
2x = u; cosx dx = dv alınırsa
∫
cosx +
ex
rer polinom) kullanılan bir yöntemde basit kesirlere ayırma
yöntemidir.
lanarak bulunur.
x2;
sinx dx =
–ex
Yanıt : C
E) x2 cosx – 2xsinx + 2cosx + c
∫
ex cosx dx e kısmi integral uygularsak
∫
D) x2 cosx + gcosx + c
u . dv = u. v–
ex
ex cosx dx
Buradan,
1
I = 2 ex (sinx – cosx) + c
1
Yani
ex sinx dx = 2 ex (sinx – cosx) + c bulunur.
B) –x2 cosx + 2cosx + c
∫
∫
∫
∫
I = –ex cosx + ex sinx – I bulunur.
x2 sinx dx integrali nedir?
A) –x2 cosx + 2xsinx + 2cosx + c
∫
Rx sinx dx integralini bulmak için kısmi integ-
relleme metodunu uygulayalım.
= x . ex – ex + c bulunur.
∫
ex sinx dx integrali neye eşittir?
1
A) 2 ex (sinx + cosx) + c
E) x2 ex – xex + c
∫
∫
∫
Q(x)
B(x)
R(x)
P(x)
ise
Q(x) ifadesi
P(x)
R(x)
G(x) =B(x)+ Q(x) biçimine getirilir. Ayrı ayrı integrali alınır.
Eğer payda çarpanlarına ayrılıyorsa, herbirinin paydası
çarpanlardan biri olan bir ifadeye dönüştürülür.
www.matematikclub.com
ÖRNEK :
∫
Çözüm :
2x2 – 5
x2 – 1
A ) 2 x + ln
C) 2 x + ln
dx in integralini bulunuz.
x +1
x −1
x − 1
B) 2x + ln
 x + 1
 x − 1
 x + 1
3
D) 2x + ln
 x + 1
 x − 1
x+2
dx integralinde payda çarpanlarına ayx − 5x + 4
∫
3
2
rıldığı için ifade basit kesirlere ayrılır.
3
+c
x+2
=
x − 5x + 4
2
E) 2x + ln (x 2 − 1) 3 + c
=
x=2
A
(x – 4) (x – 1) = x – 4
B
+ x–1
Ax – A + Bx – 4B
den
x2 – 6x + 1
x + 2 = (A + b) x – A – 4B eşitliğinden
A+B=1 
A =2
 ⇒
− A − 4B = 2 
B = −1
O halde
Çözüm :
2x 2 – 5
2
∓ 2x ± 2
–3
x2 – 1
2
2
= ln
1 = (a + b) x + a – b → a + b = 0 ve a – b = 1 den
1 
 1
 2 − 2 
 x − 1 x + 1
1
1
–3


a = 2 ; b = – 2 ve x2–1 = –3
olur.
2
1
(x–4 – x – 1 ) dx
= 2 ln (x – 4) → ln(x – 17 + c
2x2–5
3
→ x2–1 = 2 – x2–1 dir.
1
a
b
ax + a + bx – b
den
x2 – 1 = x – 1 + x + 1 =
x2 – 1
( x − 4)
2
x −1
+ c bulunur.
Yanıt : A
Eğer payda çarpanlarına ayrılmıyorsa; o zaman kendi
basit kesir olur, değişken değiştirme metodu uygulanır.
ÖRNEK :
O halde,
2 x2 − 1
dx
x2 −1
∫
x+2
dx = ∫
x − 5x + 4
∫
=
∫

2 −


1 
 1
2
2

  dx
3
−
 x − 1 x + 1 


2
1
dx integrali nedir?
+ 2x + 2
A) arc tan(x + 2) + c
B) arc tan(x – 1) + c
3
3
= 2x – 2 ln (x–1) + 2 ln (x+1) + c
= 2x + ln
∫x
 x + 1
 x − 1
3
C) arc tan(x + 1) + c
D) arc cot (x + 1) + c
E) arc sin(x + 1)
+ c bulunur.
Yanıt : D
Çözüm :
x2 + 2x + 2 = 0 , ∆ = 4 – 8 yani ∆ < 0
olduğu için x2 + 2x + 2 çarpanlarına ayrılmaz. Değişken
değiştirmeyi uygularız.
∫x
ÖRNEK :
∫
1
dx =
+ 2x + 2
∫
1
(x + 1)2 + 1 dx
∫
du
u2 + 1 = arc tanu + c
x = 1 = u ♠ dx = du
x+2
dx integrali nedir?
2
x − 5x + 4
(x – 4)2
A) ln x – 1
(x = 4)2
C) ln x – 1 + c
x–1
E) ln x – 4 + c
2
(x – 4)
B) ln (x – 1)2 + c
x–4
D) ln x – 1
∫x
2
1
dx =
+ 2x + 2
= arc tan (x + 1) + c bulunur.
Yanıt : C
www.matematikclub.com
SINIRLI ĐNTEGRAL (BELĐRLĐ ĐNTEGRAL) :
Çözüm :
3
3
∫
Belirli Đntegralin Temel Özellikleri :
d
dx
1.
1
x
∫a
x3
(x2 + 2x – 2) dx = 3 + x2 – 2x
33
3
f(t) dt = f(x)
2.
d
dx
∫
3.
d
dx
∫k(x)
4.
b
a
h(x)
a
1
3
=(
+ 32 – 6) – (
+ 1 – 2)
2 38
= 12 + 3 = 3 bulunur.
f(t) dt = f(h(x)) . h'(x)
Yanıt : C
h(x)
f(t) dt = f(h(x)) . h'(x) – f(k(x)) . k'(x)
ÖRNEK :
d ( x3 )
in değeri nedir?
x3 + 1
1
∫
1
c f(x) dx = c
b
a
∫
∫
f(x) dx
0
A) ln2
B) ln3
C) ln4
D) ln5
E) ln6
a
∫a
5.
f(x) dx = 0
Çözüm :
x3
b
a
∫
6.
7.
f(x) dx = –
a
b
∫
du
∫ u + 1 = lu |u + 1| + c
f(x) dx
d ( x3 )
= ln |x3 + 1|
∫ 3
0 x +1
1
a < b < c ise
b
a
∫
f(x)dx +
= u ise
c
b
∫
f(x)dx =
c
a
∫
f(x)dx
1
0
= ln2 – ln1
= lu2 + c bulunur.
Yanıt : A
b
b
∫a (f(x) + g(x) )dx = ∫a
8.
9.
f(x)dx +
b
∫a
g(x)dx
ÖRNEK :
f(x) in [a, b] kapalı aralığında en büyük değeri M, en
küçük değeri m ise
π
4
∫
b
m(b − a) ≤
∫
sin3x .cosx dx in eşiti nedir?
1
1
1
1
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
f(x)dx ≤ M(b − a )
0
a
eşitsizliği yazılabilir.
10.
[a, b] kapalı aralığında bulunan en az bir c sayısı için
m≤ f(c) ≤ M den
Çözüm :
∫
sin3x cosx dx integralinde
∫
u3
b
∫
a
f(x) dx = (b–a) . f(c) dir. Yani
f(x) dx
b – a = f(c) dir.
π
4
∫
(Đntegral için ortalama değer teoremi)
sinx = u ise cosx dx = du
u4
du = 4 + c
sin3x . cosx dx =
0
4
 2
π


sin
4
sin 0  2 
4
=
+
=
4
4
4
3
(x2 + 2x – 2) dx integralinin değeri kaçtır?
1
A) 12
sin4x
4
π
4
4
4
ÖRNEK :
∫
1
E) 18
37
B) 3
38
C) 3
D) 13
40
E) 3
bulunur.
Yanıt : C
+0
1
= 16
www.matematikclub.com
Çözüm :
ÖRNEK :
Temel teoremden
a
g (x)
∫
x4–1
9
1
x3 dx = 8
5
A) 2 B) 2 C) 3
ve a > 1 ise a kaçtır?
7
D) 2
E) 4
d
dx
∫
f (x)
( f(t)) dt = g'x . f(g(x)) – h'(x) (f(h(x)))
olduğu için
2x 2
Çözüm :
a
a
4
x −1

1 
dx = ∫ x − 3 dx
3

x
x 
1
∫
1
=
x2
1
+
2
2x 2
a
=
1
1  2
1  1 
a + 2 − 1+ 
 1 
2 
a
9
eşiti 8 olduğu için,
1
9
1 2 9
1
2 (a2 + a2 – 2) = 8 ♠ (a – a ) = 4
1 3
a – a = 2 ♠ a = 2 bulunur.
d
dx
∫
x+3
(t2+2) dt = 4x . [(2x)2+2] + 1 [(x+3)2+2]
= 4x (4x2+2) + (x2+6x+11)
= 16x3 + x2 + 14x + 11 bulunur.
Yanıt : E
ĐNTEGRALĐN GEOMETRĐK ANLAMI :
y=f(x)
y
Yanıt : A
x
∆x x1 x2 x3 x 4 ..... b
a
ÖRNEK :
a=x o
x
d
F(x) = dx
2
A) 1 B) 3
∫
t+1
t2+2 dt ise F(1) kaçtır?
3
4
5
C) 2
D) 5
E) 2
5
xK = a + k∆x
x2 = a + 2∆x
.
x3 = a + 3∆x
.
.....................
xn = a + n . ∆x = b
b
x
∫
∫
a
x1 = a + ∆x
Dikdörtgenlerin alanları toplamı yaklaşık olarak eğri altında kalan alanı verir.
Çözüm :
d
dx
b=x n
f(t) dt = F(x) olduğu için,
d
F(x) = dx
∫
5
b
∫
x
t+1
x+1
t2+2 dt = x2+2
1+1 2
F(1) = 3 = 3
f(x) dx ≅ ∆x.f(x1) + ∆x.f(x2) + ... + ∆x.f(xn–1)
a
n =1
f(x)dx ≅ bx ∑ f(x k )
k =a
a
n bölme sayısı sonsuza yaklaştıkça bu toplam integrali
verecektir.
n
b
Yanıt : B
∫
a
f(x) dx = lim
nƕ
b–a
n
∑
k=1
f(x k )
b
∫
Buna göre a f(x) dx ın anlamı y = f(x) fonksiyonunda x
= a, x = b sınırları, x ekseni ve eğrisinin sınırladığı y = f(x)
alanıdır.
ÖRNEK :
2x 2
d
dx
∫
x+3
y
y=f(x)
(t2+2) dt nin eşiti nedir?
A) 16x3 + 8x2 + 14x + 11
b
f(x) dx
a
B) 16x3 + 6x2 + 14x + 11
C) 16x3 + 2x2 + 14x + 11
D)
16x3
+ 11
E) 16x3 + x2 + 14x + 11
a
b
x
www.matematikclub.com
Not:
Eğrinin x ekseni ile sınırladığı alanlardan x ekseninin
üzerinde bulunanlar (+), x ekseninin altında bulunan alanlar
ise (–) işaretlidir.
Đki Eğri ile x = a ve =x = b sınırları arasında kalan bölgenin alanı :
a)
Şekildeki gibi ise,
y
y
y=f(x)
y=g(x)
A1
+
a
b
x
c A2
–
a
y=f(x)
b
(f(x) – g(x)) dx
b
a
∫
Şekildeki
x
b
a
f(x) dx
ın değeri A1 ve A2 alanlarının far-
kına eşittir.
b)
Eğer y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonları kesişiyorsa
Eğriler ve kesişme noktaları ile sınırlanan bölgenin alanını bulmak için kesişme noktaları bulunur. Bu noktaların apx2
∫
sisleri x1, x2 ise istenen alan
ÖRNEK :
( f(x) − g(x)dx
x1
in integrali ile
bulunur.
y
y
y=f(x)
15
A
(-2,0)
(3,0)
B
C(5,0)
4
y=g(x)
x2
(f(x) – g(x)) dx
x1
x
x1
Şekilde y = f(x) grafiği verilmiştir. x– ekseninin AB yayı
ile sınırladığı bölgenin alanı 15 birimkare ve BC yayının sınırladığı bölgenin alanı 4 birimkare olduğuna gö5
Eğer y = f(x) ile y = g(x) fonksiyonları ikiden fazla noktada
kesişirse örneğin A, B, C gibi noktalarda kesişsinler. (Şekilde
verildiği gibi)
∫
re,
−2
x
y=f(x)
x2
y
f(x) dx değeri kaçtır?
A) 83
B) 67
A
C) 60
D) 19
C
B
y = f(x)
y = g(x)
E) 11
(ÖYS – 1989)
0
Çözüm :
x
x
x3
2
Bu eğrilerin sınırladığı bölgenin alanını bulmak için f(x) –
g(x) farkı bulunur. [x1, x2] ve [x2 x3] aralıklarında f(x) – g(x) in
5
∫
−2
x1
f(x) dx = 15 – 4 = 11 bulunur.
integrallerinin mutlak değerleri alınır, toplanır.
Yanıt : E
x2
Eğer y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin y ekseni ile sınırladığı bölgenin alanı aranırsa bu bölgenin alanı
A=
∫
x3
( f(x) − g(x))dx +
x1
∫
( f(x) − g(x))dx
x2
d
∫
x dy ile hesaplanır.
c
y
d
c
y=f(x)
ÖRNEK :
d
x. dy
c
x
y
x2
y = 4x = 3 parabolü ile
y=x
+ 3 doğrusunun
sınırdalığı alanı kaç
br2 dir?
A) 125
125
B) 4
B
A
A
0 1
125
C) 6
125
D) 7
3 5
123
E) 4
x
www.matematikclub.com
Çözüm :
Çözüm :
f(x) = x2 – 4x + 3 ile g(x) = x + 3 ise
Eğri x eksenini kesmez.
+2
f(x) – g(x) = x2 – 5x dir.
Bu ifadenin kökleri x1 = 0, x2 = 5 tir.
∫
x +4
Buna göre alan; −2
dx dir.
5
5
1
dx = ∫
dx in teğetine
∫ 2
2
4
x +4
 x  +1
 2
O halde aranılan bölgenin alanı :
5
A=
∫
0
A=
(x
2
)
− 5x dx
x 3 5x 2
−
3
2
5
integralidir.
x
2 = u dünüşümünü uygulayalım.
1
2 x = du ♠ dx = 2 du
5
1
5
2du
5
dx = ∫
=
∫
2
2
4
4
u +1 2
 x  +1
2
125 125 
= 
−
−0
 3
2 
0
125 125
= −
=
6
6
5
2
bulunur.
Yanıt : C
=
5
x
arctan
2
2
+2
−2
5
= 2 (arc tan1 – arc tan(–1))
5 p
p
5 p 5
= 2 (4 – (– 4) ) = 2 . 2 = 4 π bulunur.
ÖRNEK :
Yanıt : A
y 2 = x ve y = x2 parabollerinin sınırladığı
bölgenin alanı kaç birim karedir?
y
A
0
x
x1
ÖZEL TANIMLI FONKSĐYONLARDA ĐNTEGRAL :
1
A) 2
1
B) 3
1
C) 4
1
D) 5
1
E) 6
Çözüm :
Bu iki eğrinin kesişme noktalarını bulalım.
y2 = x ∅ y1 =
y1 – y2 =
Bir aralıkla fonksiyonun integralinden sözedebilmek için
fonksiyon 0 aralıkta sürekli olması gerekir.
û f(x) ô fonksiyonu f(x) Z de süreksizdir. Verilen aralık
parçalara ayrılarak sürekli aralıklar bulunur. Bunların integrali
alınır.
x , y2 = x2
x – x2 dir.
ÖRNEK :
Bu ifadenin kökleri x1 = 0 ve x2 =
4
1 dir. O halde içteki alanı şu integralle bulunur.
1
1
∫
( y 1 − y 2 )dx = ∫
0
0
1
 1

2
2
 x − x  dx =


∫
0
(
∫
)
1
x − x 2 dx dır.
1
2 x
3
−
x
3
û x ô dx in değeri kaçtır?
A) 4 B) 5
1
=
0
1 1
−
2 3
=
C) 6
D) 7
E) 8
1
6
Çözüm :
bulunur.
Yanıt : E
2
∫
4
∫
3
û x ô dx =
1
4
∫
û x ô dx +
2
∫
û x ô dx +
3
û x ô dx
1
(Aralıklarda [| x|] in değerleri alınır.)
ÖRNEK :
5
y=
eğrisi ile x = –2 ve x = 2 doğrularının x
x2 + 4
ekseninin sınırladığı bölgenin alanı ne kadar birim
karedir?
5
4
2
5
5
A) 4 π
B) 5 π
C) 3 π
D) 3 π
E) 2 π
2
=
∫
3
4
2
1dx + ∫ 2dx + ∫ 3dx = x
1
2
3
3
+ 2x
1
2
= (2–1) + (6–4) + (12–9) = 1 + 2 + 3 = 6
Yanıt : C
4
+ 3x
3
www.matematikclub.com
ĐNTEGRALĐN HACĐM HESAPLARINA
ÖRNEK :
UYGULANMASI :
5
∫
0
[ab] aralığında sürekli bir f(x) fonksiyonu verilsin. x=a, x =
b ve x ekseni ile eğrinin sınırladığı bölgenin x ekseni etrafında dönmesinden oluşan cismin hacmi Vx ise
sgn (x2 – 4) dx kaçtır?
A) 1 B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
y
y=f(x)
:
b
Vx =š y 2dx
a
x
x2 – 4 = 0 → x1 = –2; x2 = +2 dir.
5
2
0
[0, 5] olduğu için
sgn (x2 – 4) =
5
∫
2
sgn (x2 – 4) dx +
∫
2
sgn (x2 – 4) dx veya
2
Vx =
0
∫
–1 dx +
2
b
a
a
y ekseni y = c ve y = d ile sınırlanan y = f(x) eğrisinin sınırladığı bölgenin y ekseni etrafında dönmesinden oluşan
cismin hacmi Vy ise
5
∫
sgn (x2 – 4) dx =
∫
b
π ∫ y 2dx = π ∫ [f(x)] 2 dx
0
5
b
a
∫
1 dx
d
0
2
π ∫ x 2dy
5
+x
0
–x
2
Vy =
= (–2 + 0) + (5 – 2) =1
y
Not : Alan sorulursa mutlak değerler toplamı alınır. Örneğin, yukarıdaki örnekte alan +2 +3 = 5 tir.
d
Yanıt : A
c
c
y=f(x)
d
Vy =š x 2dy
c
x
( x = f–1 (y) dir. Yanı f(x) denkleminden x'i y cinsinden bulursak istenen x değeri bulunur.
ÖRNEK :
6
∫
2
|x – 4| dx ın değeri kaçtır?
A) 10
B) 8
C) 6
D) 4
E) 2
y = x2 parabolünün x = 0, x = 1 doğruları ile x ekseninin sınırladığı bölgenin alanı x ekseni etrafında
dönmesinden oluşan cismin kaç birim küptür?
p
p
p
p
p
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Çözüm :
x – 4 = 0 → x = 4 tür.
6
∫
4
2
4
=
6
|x − 4|dx = ∫ |x − 4|dx + ∫ |x − 4|dx
2
∫
= −
4
6
+
2
x2
− 4x
2
4
1
V x = π∫ x 4dx = π
=
 16
  4
  36
  16

−
+ 16 − − + 8 +
− 24 −
− 16
 2
  2
  2
  3

=
16
− 6 + (−6 + 8) = 2 + 2 = 4
2
Yanıt : D
y=x 2
0
6
4
y
V x = π∫ y 2dx
4
x2
+ 4x
2
Çözüm :
1
(−x + 4)dx + ∫ (x − 4)dx
2
ÖRNEK :
bulunur.
0
x5
5
p
= 5 br3 bulunur.
Yanıt : D
1
x
0
www.matematikclub.com
ÖRNEK :
ÖRNEK :
y= x2 + 1 parabolünün y = 1 ve y = 3 doğrularının y
ekseni (x ≥ 0) ile oluşan alanın y ekseni etrafında
dönmesinden oluşan cismin hacmi kaç birim küptür?
3p
2p
A) π
B) 2π
C) 3π
D) 2
E) 3
y = 4x – x2 fonksiyonunun y = 3 doğrusunun üzerinde sınırlanan bölgesinin y = 3 doğrusu etrafında
dönmesinden oluşan cismin hacmi ne kadardır?
16
17p
A) 3π
B) 5 π C) 5
D) 6π
E) 7π
Çözüm :
Çözüm :
3
y
3
y = 3 doğrusu y = 4x – x2 ,
eğrisini A ve B noktalarında
kesiyorsa
3 = 4x – x2 → x1 = 1, x2 = 3 bulu-
1
nur.
V y = π ∫ x 2dy ve
y=x 2+1
1
fonksiyondan
x2 = y – 1 dir.
x
¦2
3
2
y

V y = π ∫ ( y − 1)dy = π
− y
2


1
y
M
A
B
c
4
1
2
3
x
y=4x-x
|MC| = y – 3 den
MC = 4x – x2 – 3 olur.
3
Aranılan hacim
1
3
3
1
1
V x = π∫ |MC|2 dx = π∫ (− x 2 + 4x − 3)2 dx
 9
1

3 1
π   − 3 −  − 1  = π +  = 2 π
2 2
  2 
 2
3
V = π∫ (x 4 − 8 x 3 + 22x 2 − 24x + 19)dx
bulunur.
1
Yanıt : B
 x5

22 3
= π
− 2 x4 +
x − 12 x 2 + 19 x 
5
3


3
=
1
16
π
5
bulunur.
Yanıt : B
ÖRNEK :
ÖRNEK :
y2 = x ve x = 1 doğrusu ile sınırlanan bölgenin x = 1
doğrusu etrafında dönmesinden oluşan cismin
hacmi kaç birim küptür?
12
13
14
16
A) 5 π
B) 5 π C) 5 π D) 5 π E) 4π
y = sinx eğrisinin x ekseninin üzerinde [0, π] ile sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında dönmesinden
oluşan cismin hacmi kaçtır?
p2
p2
p2
p2
A) π2
B) 3
C) 2
D) 4
E) 5
Çözüm :
Çözüm :
y = sinx grafiğinde istenilen
hacim
y
=π
0
1
(1 − cos 2x)dx =
2
1
1

x − sin 2x

2
2
Yanıt : C
1
(x,y) M
A
2
y =x
C
x
0
0
kesişme noktaları ise
x=1
M(x, y) ise |MC| = 1 – x
y=sinα
π
= π∫
y
A(1, 1) B(1, –1) dir.
V x = π ∫ sin 2 x dx
π
|MC| = 1 – x A ve B
π
=
0
š
2
š
x
–1
+1
+1
−1
−1
B
V = π ∫ (1− x) 2 dy = π ∫ (1− y 2 ) 2 dy
π
π2
(π − 0 ) =
2
2
+1
bulunur.
π
∫
−1

2y 2 y 5 
(1− 2 y 2 + y 4 )dy = π  y =
+

3
5 


2 1
2 1 
π  1 − +  −  −1− −  

3 5 
3 5 
36
12
=
π=
π br 3
bulunur.
15
5
Yanıt : A
+1
−1
www.matematikclub.com
KONU TESTĐ – 1
∫
1.
A)
B)
C)
D)
E)
3
6.
x. ex dx in eşiti nedir?
B) x ex – ex + c
D) x. ex + c
1
dx in integrali nedir?
x lnx
∫
A) x lnx + c B) ln (lnx) + c
1
C) ln x2 + c D) 2 (lnx) 2 + c
E) lnx + xlnx + c
+ 2x – 3 lnx0 + 5x + c
7.
2.
∫
A) x ex + ex + c
1
C) 2 (x ex – ex) + c
1
E) 2 x2 ex + c
2
2 x + 2 x − 3x + 5
dx integrali neye eşittir?
x2
x2
+ 2x – 3lnx + 5x + c
2
x2
+ 2 – 3lnx + 5x + c
2
x3
+ 2x 2 – 3lnx + 5x + c
3
x3
+ 2x – lnx + 5x + c
3
x2
5.
1
dx ifadesinin tanımlı olduğu aralıkta eşi3x + 2
ti nedir?
1
A) 3 ln |3x + 2| + c
B) 3 ln |3x + 2| + c
1
1
C) 2 ln |3x + 2| + c
D) 2ln (3x + 2)
∫
∫
x2 x3–1 dx integralinde u = x3 – 1
yapılsa integral hangi biçime dünüşür?
1
1
1 ∫ 2
1
A) 3
u du
B) 3 u du
C) ∫ 2
1
D) 3
∫
u2 du
dönüşümü
u
1
2
du
1
2
u du
E) 2 ∫
E) ln |3x + 2| + c
3.
∫
cos (5x + 4) dx in belirsiz integrali neye eşittir?
1
A) 5 sin (5x + 4) + c
8.
A)
1
dx tanımlı olduğu aralıkta integrali ne1 + 4x2
dir?
A) arc sin(1 + 2x) + c
B) arc tan(1 + 2x) + c
C)
1 + 4x + c
1
D) 2 arc tan2x + c
1
E) 3 arc tan 3x + c
∫
sin t dt
C) – ∫ cos2t dt
D) 5 cos(5x + 4) + c
1
E) 4 sin(5x + 4) + c
∫
1 – 4x2 dx in tanımlı olduğu değerler için 2
x = cost değişimi yapılsa integral hangi biçimde
olur?
B) 5 sin (5x + 4) + c
1
C) 5 cos (5x + ) + c
4.
∫
B)
∫
sint. cost dt
D) – ∫ sin2 + dt
E) sin2 + dt
9.
∫
cos2 dx in eşiti hangisi olabilir?
1
1
A) 2 (x + 2 sin2x) + c
1
1
B) 2 (x + 2 cos2x) + c
1
1
C) 2 (x – 2 sin2x) + c
1
1
D) 2 (x – 2 cos2x) + c
1
E) x – 2 sin2x + c
www.matematikclub.com
10.
2x + 3
dx in tanımlı olduğu değerler için eşiti
2x + 1
nedir?
∫
A) x + ln |2x + 1| + c
C) x + ln |2x + 3|
14.
B) x – ln |2x + 1| + c
1
D) x – 2 ln |2x + 3|
E) ln x . |x + 1| + c
15.
11.
4x – 3
dx ifadesinin tanımlı olduğu de2x2 – 3x – 2
ğerler için eşiti nedir?
(2x + 1)2
A) ln x – 2 + c
∫
B) ln | (2x + 1) (x – 2) | + c
|2x + 1|
C) ln |x – 2| + c
1
D) ln (2x + 1) + 2 ln |x – 2| + c
E) ln ((2x +
1)2
. |x – 2| ) + c
dx
ın tanımlı olduğu aralıkta eşiti hangi6 (3x–1)2
sidir?
1
1
A) 18(1 – 3x) + c
B) 18(3x – 1) + c
–1
1
C) 6(3x – 1) + c
D) 6(3x – 1) + c
(3x–1)–3
E)
+c
18
∫
∫
lnx dx in eşiti hangisi olabilir?
A) xlnx + c
C) (x – 1) lnx + c
E) x ln0x + lnx + c
16.
∫
B) x(lnx – 1) + c
D) x.(lnx + 1) + c
3
x2.ex dx ifadesinin eşiti hangisi olabilir?
1 3
A) 3 ex + c
3
C) ex + c
1
3
B) 3x2 . ex + c
1 3
D) 6 ex + c
E) (ex)3 + c
sin x
12.
∫
x
dx
ifadesinin tanımlı olduğu değerler
için eşiti nedir?
A) cos x + c
1
C) 2 sin x + c
B) –2cos x + c
17.
D) 2cos x + c
E) 2sin 2 x + c
13.
∫
x
dx ın eşiti hangisi olabilir?
1+4x2
1
A) arc tan 2x + c
B) 2 arc tan 2x + c
2
1
1
C) 4 1+ 4x
D) 8 ln (1+4x2) + c
2
1
E) 8 1+ 4x + c
∫
1
dx ın eşiti hangisi olabilir?
ex+e–x
ex–e–x
A) ex+e–x + c
B) arc tan ex + c
C) arc tan ex + c
ex
D) ex–e–x + c
2 ex
E) ex+e–x + c
18.
∫
A)
B)
C)
D)
x
dx tanımlı olduğu aralıkta eşiti nedir?
4x + 2
1
1
4 x – 8 ln |4x + 2| + c
1
8 ln (4x + 2) + c
1
1
4 x + 8 ln(4x + 2) + c
1
4 ln (2x + 1) + c
E) x(4x + 1) = c
www.matematikclub.com
3
KONU TESTĐ – 2
∫
6.
3
∫
1.
1
ûx + 2ô dx ın değeri nedir?
A) 7 B) 8
3x 2dx
C) 9
D) 10
E) 11
1
ifadesinin eşiti nedir?
26
28
A) 8 B) 25 C) 26
D) 3
E) 3
2
∫
7.
x
2.
d
dx
∫
5
t2.e3tdt nin eşiti hangisidir?
1
A) 3 x2e3x
B) x2 e3x
D) x2 e4x
E) x e3x
0
3x2
dx
x3 + 16
ın değeri nedir?
2
A) ln 16
3
B) 2ln 2
5
D) ln 4
E) ln 216
3
C) ln 2
C) xe3x
2
6
∫
8.
π
3
∫
3.
0
0
|x–3| dx ifadesinin değeri nedir?
15
13
A) 2
B) 2
C) 2
D) 7
(1+tan2x) dx in eşiti nedir?
2
A) 2 B) 2 C) 3
D) 1
E) 0
2
∫
9.
+5
∫
4.
1
E) 32
x3dx in değeri nedir?
1
2
A) 0 B) 3 C) 3
D) 1
4 − x2
0
ın değeri nedir?
3
B) π
C) 4
A) 2
−5
5
D) 4
5
E) 2
E) 2
ln 5
∫
ln 8
10.
∫
5.
ln 5 exdx
A) 1 B) 2
in değeri nedir?
C) 3
D) 4
E) 5
1
x ex dx ın değeri nedir?
A) 5.(ln5–1)
B) 4 ln5
D) 2 ln5
E) ln5
C) 3 ln5
www.matematikclub.com
3
6
∫
11.
∫
sgn (x2–9) dx ın eşiti nedir?
0
A) 6 B) 4
C) 2
D) 0
16.
E) –1
(Sgn x + 3x) dx
1
A) 2
∫
13.
C) 28
D) 36
E) 0
∫
1
3
4
B) 27
π
6
∫
12.
(x2 + 6x – 3) dx ın değeri kaçtır?
A) 26
1
3
−
0
4
B) 3
17.
ın eşiti nedir?
4
D) – 3
C) 2
E) 0
0
tanx dx integrali nedir?
3
A) ln 3
2
B) ln 2
D) ln 3
3
E) ln 2
C) 2 ln3
16 − x 2
0
dx neye eşittir?
A) 4π
B) 8π
C) 2π
D) 4
E) 8
ln 5
∫
18.
25
∫
14.
4
2x + x
2x
A) 40
e–x dx ın değeri nedir?
3
3
5
A) 1 B) 10 C) 5
D) lu 2
ln 2
2
E) 5
dx değeri kaçtır?
B) 44
C) 42
D) 66
23
E) 4
2
∫
19.
1
∫
15.
( 4x 3 + 4)
0
x 4 + 4x
dx değeri nedir?
5 5
A) 4
D)
( |x| + sgn3x) dx integrali nedir?
9
A) 4 B) 6 C) 8
D) 2
E) –3
−2
10 5
3
B)
25 5
6
3
E)
25
6
5
C) 6
3
∫
20.
1
( |x+2| + ûx + 2ô ) dx integrali neye eşittir?
15
A) 12
B) 13
C) 2
D) 15
E) 16
www.matematikclub.com
ln 8
∫
1
∫
21.
0
(x2+3)
(x2+3)2+1 dx in integralinin değeri nedir?
17
A) ln 10
10
D) ln 17
1
17
B) 3 ln 10
1
17
E) 2 ln 5
26.
ln 3
ex dx ın değeri kaçtır?
A) 3 B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
17
C) ln 10
π
3
∫
27.
x
∫
22.
f(x) = 7
x3
A) x4+4
2x2
D) x4+4
t +4
(1 + tan2x) dx in eşiti nedir?
1
A) 3
t3
4
0
3
B) 3
3
C) 2
D)
3
E) 3
dt f'(x) ın eşiti nedir?
x3
x3
B) x3+4
C) 3x3+4
3x2
E) 3x4+4x
+1
∫
28.
(x3 + x) dx integrali nedir?
1
1
1
A) 4
B) 2
C) 0
D) – 2
−1
1
E) – 4
2
∫
23.
5x dx integrali nedir?
A) 24 log5e B) 24
0
D) 8 ln5
C) ln24
E) 9 ln5
3
∫
29.
2
û3x + 2ô neye eşittir?
A) 16
B) 12
C) 10
D) 8
e5
∫
24.
e
1
dx değeri nedir?
x lnx
A) ln5
5
B) ln e
1
D) ln5
E) 0
C) ln (ln5)
e7
∫
30.
e2
dx
ın eşiti nedir?
x
A) 7 B) 6
1
2
∫
25.
0
A) 3
1
1− x 2
dx in değeri nedir?
B) 6
C) 2
D) 4
E) 0
C) 5
D) 3
E) 2
E) 4
www.matematikclub.com
5.
KONU TESTĐ – 3
1.
y = x2 – 3x + 2 eğrisi ile
y = 2 doğrusunun sınırladığı bölgenin alanı
ne kadardır?
96
A) 5
32
B) 3
y=x -4x+3
y=3
8
D) 3
4
A) 3
5
B) 3
C) 2
A
0
B
x
16
C) 3
y
y = x – 1 doğrusunun
sınırlıdığı bölgenin alanı
ne kadardır?
y
2
y = x – x2 eğrisi ile
+1
x
-1
1
D) 3
2
E) 3
E) 32
y
6.
2.
Yandaki şekilde
y=f(x) fonksiyonu-nun grafiği
verilmiştir.
AB yayı ile sınırlanan bölgenin
alanı 6 br2 BC
yayının sınırladığı alan 4 br2 dir.
x = 3 doğrusunın sınırladığı bölgenin alanı ne kadardır?
y
y=f(x)
2
6 br
A
-2
B
2
2
4 br
C
2
3 br
D
x
3
x
6
3
y2 = x + 1 parabolü ile
16
A) 3
8
B) 3
32
C) 3
64
E) 3
D) 8
6
∫
−2
f(x) dx ın değeri kaçtır?
A) 13
B) 12
C) 9
D) 7
E) 5
7.
3.
y = ex ve y = e–x aralıkları
şekilde verilmiştir. Taralı
bölgenin alanı ne kadardır?
y
y = ex
y=e -x
-3
A) 2(e3 – 1)
D)
e3+e2+2
e3
0
4.
x2
(x–3)2
y = 9 – ve y =
eğrilerinin sınırladığı
bölgenin alanı ne kadardır?
16
A) 3
B) 4
73
A) 3
56
D) 3
1
E) e3 + e3 – 3
y
8
C) 3
2
y=(x-3)
9
x
3
2
y=9-x
4
D) 3
y
5
2
3
x
x
3
e3+1
C) e3
B) (e3 – 1)2
x2 + y2 = 25 çemberi
x = 2 ve x = 3 doğrularının
sınırladığı bölgenin x ekseni etrafında oluşan
cismin hacmi ne kadardır?
8.
Şekilde x = y – y2 parabolü ile y = x + 1 doğrusu
verilmiştir. Bu eğri ile
doğrunun sınırladığı
bölgenin alanı ne kadardır?
4
A) 3
E) 1
74
B) 3
28
E) 3
B) 1
5
C) 3
58
C) 3 π
x=y-y
x
y
2
1
y=x+1
x
D) 2
7
E) 3
www.matematikclub.com
9.
y = x2 – x eğrisi x = 1 ve x
= 2 doğruları ile sınırlanan
bölgenin x ekseni etrafında
dönmesinden oluşan cismin hacmi ne kadardır?
12.
y
A
x =
1
x
2
0
y = tanx fonksiyonunda
π
4
y=tanx
doğrusunun eğri ile sınır-
lanan bölgenin alanı ne kadardır?
š
4
2
A) ln 2
C) ln 2
š
2
B
182
A) 15
29
D) 30
41
B) 5 π
16 E) 15
31
C) 30 π
D) ln
13.
10.
y2
Şekilde x =
parabolü ile
x = 1 doğrusunun sınırladığı taralı bölgenin y ekseni etrafında dönmesinden
oluşan cismin hacmi ne
kadardır?
A)
11.
π
3
y = cosx
B)
2π
3
C) π
grafiğinin [0
y
-1
D)
π
2
x=y
1
1
3π
2
E)
2
x
π
6
,] aralığında sınırlanan
bölgesinin x ekseni etrafında dönmesinden oluşan
cismin hacmi ne kadardır?
A)
π2
6
B)
π2
2
C)
π2
4
D)
π2
E)
π2
3
B) ln 2
π
E) ln
4
π
2
y = ûxô fonksiyonunun gösterdiği grafiğin x = 1 ve x =
2 doğruları ile sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında
dönmesinden oluşan cismin hacmi kaç birim küptür?
A) π
B)
π
2
C) 2π
D) 1
E) 2