Örnek Problem - Google Groups

Periyot Üzerine Örnekler
Muharrem Şahin
Bir f fonksiyonunda, f  x  T   f  x 
Çözüm
eşitliğini, x’in her değeri için sağlayan
en küçük T pozitif reel sayısına f
fonksiyonunun periyodu denir.
f x  T   f x
 cos3x  T   cos3x  2  
 cos3x  3T   cos3x  2  
Bu T sayısının tam katlarına da periyod
denilebilir.
 3T  2  
2
T
3
Farkı belirtebilmek için, periyotların en
küçüğüne esas periyot da denir.
Ancak;
özel
olarak
belirtilmediği
durumlarda,
“periyot”
denildiğinde
“esas periyot” anlaşılmalıdır.
Temel
trigonometrik
peri-yotlarının
nasıl
örneklerle gösterelim:
Örnek Problem - 3
fonksiyonların
bulunduğunu


f x   tan 2 x   fonksiyonunun periyo3

dunu bulunuz.
Öncelikle;
gx   cos x
f  x   sin x ,
fonksiyonları-
nın periyotlarının 2   ;
h  x   tan x , k  x   cot x
Çözüm
fonksiyonları-
nın periyotlarının  olduğu birim
çemberden ya da bunların grafiklerinden hemen görülebilir.
f x  T   f x



 tan2x  T     tan 2x 
3






 tan 2x  2 T    tan 2 x 
3



T
2
Örnek Problem - 1
f  x   sin x
fonksiyonunun
periyodunu


 
3



 
3

bulunuz.
Çözüm
Bu ilk örneklerdeki gibi davranılarak,
f x  T   f x
f  x   a  b  sin mx  k  ve
gx   a  b  cosmx  k  fonksiyonlarının
 sinx  T   sin x
 sinx  T   sinx  2  
periyotlarının T 
 T  2
2
;
m
h  x   a  b  tan mx  k  ve
r  x   a  b  cot mx  k  fonksiyonlarının
periyotlarının T 
Örnek Problem - 2
f  x   cos 3x
fonksiyonunun periyodunu
bulunuz.
1

olduğu bulunur.
m
Periyot Üzerine Örnekler
Muharrem Şahin
Örnek Problem - 4
f  x   2 sin 4x  cos 6x
Çözüm
fonksiyonunun
Önce; verilen fonksiyonu 1. dereceden
terimlerle ifade edelim.
peri-yodunu bulunuz.
f  x   2(sin2 x  cos2 x)  cos2 x
 f  x   2  cos2 x
Çözüm
5 1
  cos 2x
2 2

 T  2
2
 T   bulunur.
 f x  
g  x   2 sin 4x ’in periyodu T1  2 
h  x   cos 6x ’in
periyodu
 
 ;
4 2
T2  2 
 

6 3
tür.
g fonksiyonunun grafiği, boyu
Temel trigonometrik fonksiyonların
yüksek kuvvetlerinin periyotlarını
bulmak için –bazı genellemeler
önerilse de- en yanıltmayan yol,
terimlerin
derecelerini
1’e
indirgemektir.

’nin
2
katları olan aralıklarda;

’ün
3
katları olan aralıklarda kendini tekrar
edecektir.
h fonksiyonunun grafiği, boyu
Bu önerimiz; kuralları toplam, çarpım bölüm gibi her türlü işlemi
içeren fonksiyonlar için de geçerlidir.
Öyleyse; f fonksiyonunun kendini tekrar
ettiği en dar aralığın boyu, yani f’nin
periyodu T1 ve T2 ’nin EKOK’u olacaktır.
Bu tür karmaşık kurallı fonksiyonlarda temel trigonometrik fonksiyonların ayrı ayrı periyotlarının
OKEK’i fonksiyonun bir periyodu
olur. Ancak; bu periyot, esas periyot
olmayabilir.
  
T  EKOK ,   
2 3
Birinci dereceden temel trigonometrik fonksiyonların toplamları olarak
verilen fonksiyonların periyotları,
toplamı oluşturan terimlere karşılık
gelen
fonksiyonların,
ayrı
ayrı
periyotlarının OKEK’idir.
Bu uyarıları gözden uzak tutmamak
koşuluyla şu genellemeler yapılabilir:
f x   sin n mx  k  ve
g  x   cosn mx  k 
fonksiyonlarının esas periyotları
n tek ise
2

, n çift ise
dir.
m
m
Örnek Problem - 5
hx   tann mx  k 
f  x   2 sin2 x  3 cos2 x
fonksiyonlarında n tek de olsa çift

de olsa esas periyot
olur.
m
fonksiyonunun
periyodunu bulunuz.
2
ve
r x   cot n mx  k 
Periyot Üzerine Örnekler
Muharrem Şahin
Örnek Problem - 6
Çözüm
f  x   2  cos 3x  3  sin x  4  sin3 x
Burada da genellemelere aldanırsak,
fonksiyonunun periyodunu bulunuz.
g  x   sin4 x ’in periyodu T1   ;
hx   cos 4 x ’in periyodu T2   olduğun-
dan T   diyebiliriz.
Ancak; öyle olmadığını gösterelim:
Çözüm


f  x   sin2 x  cos2 x  2  sin2 x  cos2 x
Ayrıntılara
bakarsak,
inmeden
terim
g  x   2 cos 3x ’in periyodu T1  2 
terim
 f x   1  2  sin 2 x  cos 2 x
1
 f x   1   sin 2 2x ve
2

;
3
h  x   3 sin x ’in periyodu T2  2   ;
sin 2 2x 
r  x   4 sin3 x ’in periyodu T3  2  
olduğundan bunların
T  2   diyebiliriz.
OKEK’ini
bulup
T  2

4
1 1
 cos 4 x olduğu hatırlanırsa,
2 2
 T

bulunur.
2
Ancak; biraz dikkat edersek, 2. ve 3.
terimler toplamının, sin3x’in açınımı
olduğunu görürüz.
Örnek Problem - 8
f  x   2  cos 3x  3  sin x olup
g  x   2 cos 3x ’in periyodu T1  2 

;
3
t  x   sin3x ’in
T2  2 
periyodu
f  x   cos  tan x 
fonksiyonunun periyo-
dunu bulunuz.

3
olduğundan
Çözüm

T  2  bulunur.
3
h,
periyodik bir fonksiyon ise,
f  x    gh  x  fonksiyonu da periyo-
diktir ve h ile f fonksiyonlarının
periyotları birbirine eşittir.
Örnek Problem - 7
f x   sin 4 x  cos 4 x
g  x   cos x ,
h  x   tan x
f  x   cos  tan x 

h  x   tan x
fonksiyonunun
olduğundan,
periyodunu bulunuz.
dersek,
f(x)   gh  x 
fonksiyonunun periyodu 
f  x   cos  tan x 
fonksiyonu-nun periyodu da ’dir.
3
olur.
Periyot Üzerine Örnekler
Muharrem Şahin
Bunu biraz açıklayalım:
g  x   cos x ,
h  x   tan x
f  x    gh  x 
Çözüm
olmak üzere,
fonksiyonunda
Trigonometrik
fonksiyonların
periyotları-nı bulmak için; fonksiyon,
olabildiğince
temel
trigonometrik
fonksiyonların
toplamı
biçimine
getirilmelidir.
g’nin
tanım kümesi ile h’nin değer kümesinin
kesişimi, x değerlerinin
1  tan x  1

3 sin 3x  4 sin 3 3x
sin 9x

cos 3x
cos 3x
koşulunu sağladığı aralıklardır.
f x  
f fonksiyonu, x’in bu koşula uyduğu
aralıklarda tanımlıdır.
f x   3 tan 3x  4 sin 2 3x  tan 3x



f x   3 tan 3x  4 1  cos 2 3x  tan 3x
Bu aralıklar da; k  Z olmak üzere,
f x   3 tan 3x  4 tan 3x  4 sin 3x  cos 3x
f x    tan 3x  2 sin 6 x

 
3
5 

k  2  4 ,k  2  4   k  2  4 ,k  2  4 

 

  
T  OKEK ,  
olur.
3 3 3
biçiminde gösterilebilir.
Bu kümede k’ya değerler verilerek, f
fonksiyonunun tanımlı olduğu periyodik
aralıklar bulunur.
f fonksiyonu, boyu 2   olan, örneğin;
  7 
 4 , 4 


Örnek Problem -10
     3 5 
 4 , 4    4 , 4 

 

aralığının
kıs-mında tanımlı, bunun dışındaki
kısımla-rında tanımsızdır.
h  x   tan x
fonksiyonunun
değer
f x   cos 3x 
sin x
1  sin 2x
fonksiyonunun periyodunu bulunuz.
kümesi
  
 4 , 4 


ve
 3 5 
4 , 4


alt aralıklarında
aynı olur. Buna göre; f fonksiyonu
  3 
 4 , 4 


aldığı
aralığının
değer-leri,
  
 4 , 4 


 3 7 
4 , 4


Çözüm
kısmında
aralığının
Burada ikinci terim sorun yaratıyor.
y  gx  ’in periyodu T ise
 3 5 
 4 , 4  kısmın-da tekrar edecektir.


y  hx  
Buna göre; şöyle yapabiliriz:
Örnek Problem - 9
sin 9x
cos 3x
bulunuz.
f x  
1
’in periyodu da T’dir.
g x 
sin x
in
1  sin 2x 
1
 2 cos x olur.
sin x
fonksiyonunun periyodunu
4
çarpımsal
tersi
Periyot Üzerine Örnekler
Muharrem Şahin
(1) sistemindeki f(t  3)  f(t  4) eşitliği,
f fonksiyonunun esas periyodunun en
çok 1 olduğunu gösterir.
y  sin x ’in periyodu 2,
y
1
in periyodu 2,
sin x
Yalnız verilen bilgiye dayanılarak f’nin
esas periyodunun 1 olduğu söylenemez.
y  cos x ’in periyodu 2 olduğundan
y
y
Örneğin;
1
 2 cos x periyodu 2 olup
sin x
sin x
1  sin 2x 
f(x)  sin(2x) fonksiyonu verilen eşitliği
sağlar ve periyodu 1’dir.
T1 

3
da
verilen
eşitliği sağlar. Ancak; bunun periyodu
T2  2 olur.
y  cos 3x
fonksiyonu
f(x)  sin(4x)
fonksiyonunun periyodu
fonksiyonunun
olduğundan
f
1
’dir.
2
periyodu
fonksiyonunun
periyodu T  2 olur.
Örnek Problem -12
a. y  f(x)
ise,
fonksiyonunun
y  f(mx  n)
periyodunun
Örnek Problem -11
fonksiyonunun periyodu T
T
olduğunu gösteriniz.
m
 3x  4 
 fonksiyonunun periyodu
 5 
b. y  f 
Reel sayılarda tanımlı bir f fonksiyonu,
her x reel sayısı için,
 5x  3 
 fonksiyo 4 
T olduğuna göre; y  f 
 2x  3 
 2x  12 
 2x  15 
f
  f
  f

3
3
3






nunun periyodunu bulunuz.
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre; f fonksiyonunun
periyodu en çok kaçtır?
esas
Çözüm
Çözüm
a. g  x   f(mx  n) fonksiyonunun periyodu T  olsun.
 2x  3 
 2x  12 
 2x  15 
f
  f
  f

3
3
 3 




g(x  T)  g(x)
 g(x  T)  f[m(x  T)  n]  f(mx  n)
 2x

 2x

 2x

 f
 1  f 
 4  f 
 5
 3

 3

 3

 f(mx  n  mT)  f(mx  n) olur.
mx  n  t diyelim.
2x
 1  t diyelim.
3
f(t  mT)  f(t) olur.
f  t   f  t  3   f  t  4  olur. (1)
5
Periyot Üzerine Örnekler
Muharrem Şahin
f
fonksiyonunun periyodu T olarak
verildiğinden,
mT  T olup
T 
T
m
bulunur.
4
 3x  4 
3
  f x  
5
 5 
5
b. y  f 
nun
periyodu
fonksiyonunun
T
ise,
periyodu
3
 5x  3 
5
y  f
  f x 
4
 4 
4
fonksiyonuy  f(x)
3T
5
ve
fonksiyonunun
periyodu da
3T
5  12T olur.
5
25
4
6