f ` (x)

MATEMATİK DÖNEM
ÖDEVİ
TÜREV
TANIM
Varsa, lim f(x)-f(xo) limitinin değerine f fonksiyonunun xo noktasındaki
x- x
x – xo
türevi denir. Bu türev f ’ (xo) veya df (xo) biçiminde gösterilir.
dx
UYARI
f ‘(x) = lim f(x) – f(x0)
xx0 x – x0
eşitliğinde,
x – x0 = h yazılırsa tanım;
f ‘(x0) = lim f (x0 + h) – f (x0) ,
h0
h
x – x0 = x, f (x) – f (x0) = f yazılırsa ,
f ‘(x0) = lim
f biçimine dönüşür.
 x0 x
ÖRNEK :
3
f (x) = Vx olduğuna göre , f ‘ (1) = ?
ÇÖZÜM :
f ‘ (1) = lim f (x) – f (1)
x 1
x–1
3
= lim
x 1
V x - 1 olur.
x–1
3
V x = h alınırsa ,
f ‘ (1) = lim h - 1 = lim
h 1 h - 1 h 1
h–1
= 1 olur.
(h-1) (h + h + 1) 3
ÖRNEK :
f ( x) = lnx ise , f ‘ (x0) = ?
ÇÖZÜM :
f ‘ (x0) = lim ln (x0 + h ) – lnx0 = lim
1 . ln ( x0 + h ) = lim 1 . (1 + h ) = lim ( 1 + h )1/h olur.
h 0
h
h 0 h
x0
h 0 h
x0
h 0
x0
e
f ‘ (x0) = lim
u
ln [(1+1u )u ] 1x =
0
lim
u
1 ln ( 1 + 1 )u = 1 . lne = 1 olur.
x0
u
x0
x0
SAĞDAN TÜREV – SOLDAN TÜREV
lim f ( x0 + h ) – f ( x0) limitine x0 noktasındaki soldan türev , lim f ( x0 + h ) – f ( x0) limitine de
h0-
h0+
h
h
x0 noktasındaki sağdan türev denir.
f fonksiyonunun x0 noktasında türevli olması için sağdan türevin soldan türeve eşit olması
gerekir.
ÖRNEK :
f (x) = x2 – 4 fonksiyonu , x0 = 2 de türevlimidir?
ÇÖZÜM :
Soldan türev: lim x2 – 4 - 0 = lim
- x2 + 4 = - 4
x 2- x – 2
x 2- x – 2
Sağdan türev: lim x2 – 4 - 0 = 4 tür.
x 2+
x-2
O halde f ‘(2) yoktur.
BİR FONKSİYONUN TÜREV FONKSİYONU
A
A
Bir f fonksiyonu x0C ( a , b ) için türevliyse, x C ( a , b )için bir f ‘ ( x0 ) değeri elde
edilecektir. Burada f ‘ (x0) , x0 ın bir fonksiyonudur.
ÖRNEK :
f ( x ) = 3x2 – 4x ise, f ‘ (x) = ?
ÇÖZÜM:
F ‘(x0) = lim 3x2 – 4x –3x0 – 4x0 = lim 3 (x – x0) (x + x0) – 4 (x – x0)
x x0
x – x0
x x0
x – x0
= lim ( x – x0 ) ( 3x +3x0 – 4)
x x0
x – x0
= 6x0 – 4 olur.
f ‘ ( x0 ) = 6x0 – 4 olduğundan , f ‘ (x) = 6x – 4 bulunur.
UYARI : Tek fonksiyonun türevi çift, çift fonksiyonun türevi tek fonksiyondur.
BAZI FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ VE TÜREV ALMA METOTLARI
1.
Sabit fonksiyonun türevi sıfırdır. f (x) = V 2 ise, f ‘ (x) = 0 dır.
2.
Birim fonksiyonun türevi 1 dir.
3.
f (x) = a.x ise, f ‘(x) = a dır. ( a C R)
4.
f (x) = a.x n ise, f ‘(x) = a.n..x n-1 ( nC R)
5.
y = a.f (x) ise, y ‘ = a.f ‘ (x) ( aC R)
6.
y = f (x) + g (x) ise, y ‘ = f ‘ (x) + g ‘ (x)
7.
y = f (x) . g (x) ise, y ‘ = f ‘ (x) . g (x) + g ‘ (x) . f (x)
8.
y = f ( x ) ise, y ‘ = f ‘ (x) . g (x) – g ‘ (x) . f (x)
g (x)
(g (x) )2
I (x) = x ise, I ‘ (x) = 1 dir.
ÖRNEKLER
1.
f (x) = 3 x5 ise, f ‘(x) = 3 . 5 . x5-1 = 15 x4 tür.
f (x) = 4 ise, f (x) = 4 . x -3 olduğundan, f ‘ (x) = - 3 . 4 .x –3 – 1 = - 12 . x – 4 = - 12 bulunur.
x3
x4
3. f (x) = 1 = 1 = x –1/3 olduğundan, f ‘(x) = - 1 . x - 1/3 – 1 = - 1 . x –4/3 = -1 = -1 olur.
3 V x x 1/3
3
3
3 .3 Vx4 3x 3Vx
2.
4. f (x) = 5 x2 + 1 = 5 x2 + x –1 olduğundan, f ‘(x) = 10x – x -2 = 10 x - 1 dir.
x
x2
5. f (x) = Vx . (x3 – 2x) f ‘(x) = (Vx )’. (x3 – 2x) + (x3 – 2x)’ . Vx = 1 . (x3 – 2x) + (3x2 – 2) .Vx bulunur.
2 Vx
6. y = x - 1 ise, y ‘ =
x2 – 2x
(x – 1)’ . (x2 – 2x) – (x2 – 2x)’ . (x – 1) = 1 . (x2 – 2x) – (2x – 2) . (x – 1) olur.
(x2 – 2x)2
(x2 – 2x)2
7. f (x) = sin x ise, f ‘(x) = cos x
8. f (x) = cos x ise, f ‘(x) = - sin x
9. f (x) = tan x ise, f ‘(x) = 1 + tan2 x =
1
= sec2 x
2
cos x
10. f (x) = cot x ise, f ‘(x) = - (1 + cot2 x) = 1 2 = - cosec2 x
sin x
ÖRNEK:
y=
sin x + 1
cos x – 1
ise,
y ‘= (sinx + 1)’ .(cosx – 1) – (cosx –1)’ . (sinx + 1) = + cosx (cosx – 1) + sinx (sinx + 1)
(cosx – 1)2
(cosx – 1)2
2
2
+ cosx
= cos x + sin x + sinx
(cosx – 1)2
=
1 + sinx – cosx
(cosx – 1)2
olur.
TERS FONKSİYONUN TÜREVİ
f, (a , b) de türevli ve bire – bir , f –1 fonksiyonu da f (a , b) de türevli ise, f (x0) = y0 iken,
11. (f –1)’ (y0) =
1
olur.
f ‘(x0)
ÖRNEK :
–1)’ (1) = ?
4x
+
1
ise,
(f
f (x) =
2x – 3
ÇÖZÜM :
y0 = 1 olduğundan 4x0 + 1 = 1
2x0 – 3
 x0 = - 2 bulunur.
f ‘(x) = 4 (2x – 3) – 22 (4x + 1) = - 14 2
(2x – 3)
(2x – 3)
(f –1 )’ (1) =
1 = 1
f ‘(-2) -2
7
=
f ’(-2) =
-7 bulunur.
2
- 14 = - 2_
49
7
TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARI
f (x) = sin x fonksiyonu R de bire-bir değildir. Ancak uygun bir tanım kümesi seçilerek
seçilen aralıkta bire-bir olması sağlanabilir. İşte f (x) = sin x fonksiyonunun bire-bir
olduğu bir aralıkta;
f –1 (x) = sin –1 x ters fonksiyonu vardır ve y = arcsin x biçiminde gösterilir. Aynı
biçimde y = arccos x, y = arctan x ve y = arccot x fonksiyonları elde edilebilir.
Burada; arcsin 1
2
 , arc tan 1  ... v.s. yazılabilir.
6
4
Ayrıca, arc sin (sin x) = sin – 1 (sin x) = x
arc cot (cot x) = cot –1 (cot x) = x ...v.s. olur.
ÖRNEK
tan (arc sin x) = ?
ÇÖZÜM
}
arc sin x = y olsun. sin y = x olacaktır. Yandaki şekilden;
y
tan (arc sin x) = tan y
x
1
x
y
V 1 – x2
bulunur.
V 1 – x2
ÖRNEK
tan (2 . arc sin x) = ?
ÇÖZÜM
}
arc sin x = y olsun. sin y = x olur.
y
2x__
tan (2.arc sin x) = tan (2y) = 2 tan y = V 12–
1 - __x __2
1–x
2
2x__
. 1 – x bulunur.
=
1 – 2x2
V 1 – x2
x2
1
y
V 1 – x2
x
TÜREVİ
12. f (x) = arc sin x ise, f ‘(x) =
13. f (x) = arc cos x ise, f ‘(x) =
14. f (x) = arc tan x ise, f ‘(x) =
15. f (x) = arc cot x ise, f ‘(x) =
1
.
V 1 – x2
-1
.
V 1 – x2
1
.
1 + x2
-1
olur.
1 + x2
BİLEŞKE FONKSİYONUN TÜREVİ VE TÜREVDE ZİNCİR KURALI
f, x0 da, g de f (x0) da türevli fonksiyonlar olsun. Bu durumda, (gof) ‘(x0) = g ‘(f (x0)). f ‘(x0) olur.
Örneğin; y = 3 (x2 – 3x)5 fonksiyonu f (x) = x2 – 3x ve g (x) = 3x5 olmak üzere y = (gof) (x)
fonksiyonudur.
g ‘(x) = 15x4, g ‘(f(x)) = 15(x2 – 3x)4 , f ‘(x) = 2x – 3 olduğundan,
y ‘ = g ‘(f(x)).f ‘(x) = 15(x2 – 3x)4 .(2x – 3) bulunur.
Daha çok fonksiyonun bileşkesi için;
y = f (g (h (t (x) ) ) )
y ‘ = f ‘ (g (h (t (x) ) ) ) . g ‘(h (t (x) ) ) . h ‘(t (x) ) . t ‘(x) bulunur.
y = sin3 (x2 + x) ise,
ÖRNEK
y ‘= 3 sin2 (x2 + x) . cos (x2 + x) .(2x + 1) olur.
ÖRNEK
y sin2 V cos (2x) ise, y ‘ = 2 sin V cos 2x . Cos V cos 2x . _____1____ . (- sin 2x) .2 olur.
2 V cos 2x
UYARI
y = g (f (h (t (x) ) ) ) için:
u = t (x)  y = g (f (h (u) ) )
v = h (u)  y = g (f (v) )
z = f (v)  y = g (z)
k = g (z)  y = k yazılırsa, dy/dx = dy/dk . dk/dz . dz/dv . dv/du . du/dx eşitliği
yardımıyla da türev alınabilir.
ÖRNEK
f (x) = sin3 (cos x) ise, f ‘(x) = ?
ÇÖZÜM
u = cos x  f (u) = sin3u, v = sin u  f (v) = v3 df/dx= df/dv . dv/du . du/dx
= 3v2 . cos u . (- sin x) = (- 3 sin2u . cos (cos x) . sin x
= - 3 sin2 (cos x) . cos (cos x) . sin x olur.
Buna göre türev kuraları;
1. y = (f (x) )n ise, y ‘ = n . (f(x) )n – 1 . f ‘(x)
2. y = V f (x) ise, y ‘ = _____f ‘(x)____
2 . V f (x)
3. y = nV(f(x))m ise, y ‘ = _____ f ‘ (x) _____
4. y = cos f (x) = ise, y ‘ = - f ‘(x) . sin f (x)
n
n . V f (x)n – m
6. y = arc sin (f (x) ) = ise, y ‘ = ____f ‘(x)___
5. y = sin(f (x) ) =ise, y ‘ = f ‘(x) . cos f (x)
V 1 – f 2 (x)
7. y = tan(f (x) ) = ise, y ‘ = f ‘(x) . ( 1 + tan2 (f (x) )
8. y = arc tan x ise, y ‘ = ____f ‘(x)____
1 + f 2 (x)
ÖRNEK
f (x) = arc tan V x ise, f ‘(x) = ?
ÇÖZÜM
___1___
2Vx
f ‘(x) = ______________
1+x
olur.
KAPALI FONKSİYONLAR VE TÜREVİ
F (x,y) = 0 biçimindeki bağıntılara kapalı fonksiyon denir. Burada, y = f (x) tir.
y3x2 + 2x2y + 3x – 5y2 +2 = 0 yx – x + y = 0 gibi.
ÖRNEK
y .x2 + 5y2 x – x2 + 3y + 2 = 0 ise, y ‘ = ?
ÇÖZÜM
y = f (x) olduğundan fonksiyon,
f (x) . x2 + 5 . (f (x) )2 . x – x2 + 3 f (x) + 2 = 0 biçiminde yazılabilir.
f ‘(x) . x2 + 2x .f (x) + 5 . 2f (x). f ‘(x) . x + 5 . (f (x) )2 – 2x + 2f ‘(x) = 0
f ‘(x) (x2 + 10x f (x) + 3) = -2x f (x) – 5 (f (x) )2 + 2x
2 + 2x
2x
f
(x)
–
5
(f
(x)
)
f ‘(x) = ___________________________
x2 + 10x f (x) + 3
olur.
y‘
UYARI
y sabit düşünülerek alınan türev f ‘(x) ,
x sabit düşünülerek alınan türev f ‘(y) ise;
- f ‘(x)
olur.
y ‘ = _________
f ‘(y)
=
- 2xy – 5y2 + 2x
_______________
x2 + 10xy + 3
bulunur.
LOGARİTMİK FONKSİYONLARDA TÜREV
1. y = lnx ise, y ‘ = 1/x
2. y = lnf (x) ise, y ‘ = f ‘(x)
3. y = log a x ise, y ‘ = 1/x . log a e
/ f (x)
4. y = log a f (x) ise, y ‘ = f ‘(x) / f (x) . log a e
ÖRNEK
f (x) = ln (cos2x) ise f ‘(/8) = ?
ÇÖZÜM
f ‘(x) =
- 2 sin 2x
_____________
= - 2 tan 2x
cos 2x


f ‘( __ ) = - 2 tan __ = - 2 bulunur.
8
4
ÜSTEL FONKSİYONLARDA TÜREV
1. y = e x ise, y ‘ = e x
2. y = e f (x) ise, y ‘ = f ‘(x) . e f (x)
3. y = a x ise, y ‘ = a x . lna
4. y = a f (x) ise, y ‘=f ‘(x) . a f (x) . lna
ÖRNEK
y = (2x2 + 1)sin x ise, y ‘ = ?
ÇÖZÜM
Her iki tarafın doğal logaritması alınırsa
lny = ln (2x2 + 1)sin x  lny = sin x . Ln (2x2 + 1)
y‘
4x
__________
___
cos
x
.
ln
(2x2
+
1)
+
. sin x
y
2x2 + 1
4x . sin x
y ‘ = (2x2 + 1)sin x . [cos x . ln (2x2 + 1) + ____________ bulunur.
2x + 1
YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER ( ARDIŞIK TÜREV )
Bir y = f (x) fonksiyonun türevinin türevine 2 nci türev, onun da türevine 3 ncü
türev denir.
d 3 f biçiminde gösterilir.
y = f (x) in 3 ncü türevi y’’’ = f ‘’’(x) veya _______
dx3
ÖRNEK
f (x) = 2x4 + 5x3 + 7 ise ,
2f
5f
3f
4f
df
_____
_____
d
____
d
____
____
d
3
2
2
d
8x
+15x
,
24x
+15x
,
48x
+15
,
48
,
=
=
= 0 bulunur.
=
4
5
3
dx =
dx2
dx
dx
dx
TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
y
f (x) – f (x0)
____________
oranı, AB kirişinin Ox ile pozitif
x – x0
yönde yaptığı açının tanjantı yani
AB nin eğimidir. x x0 olması
durumunda AB kirişi eğriye A
noktasında çizilen teğete yaklaşır.
f (x) – f (x0)
O halde, f ‘(x0) = lim ____________
x – x0
x x0
çizilen teğetin eğimini vermektedir.
y = f (x)
f (x)
f (x0)
A
B

.
x – x0
f (x) – f (x0)
C

x
x0
değeri y = f (x) eğrisine, x = x0 da
x
ÖRNEK
Vx
2x – 1
alanı nedir ?
f (x) =
eğrisine x0 = 1 de çizilen teğetin eksenlerle oluşturduğu üçgenin
ÇÖZÜM
x0 = 1  y =
V1
2–1
= 1, A (1,1)
_____
1 . (2x – 1) – 2 . V x
2 Vx
f ‘(x) = ___________________________
(2x – 1)2
___
1 .1–2
3
2
1 - 2 = - ___
m = f ‘(1) = _____________ = ___
2
2
1
değerleri y – y0 = m (x – x0) da yerine yazılırsa;
5 olur.
3 x + ___
3 (x – 1)  y = - ___
___
y–1 =
2
2
2
5
5 . ___
___
___
_________
3
___
5
25
___
= 12 olur.
x = 0  y = , y = 0  x = 53 ve A = 2
2
2
ÖRNEK
y = x2 + 2x eğrisinin y = 4x + 1 doğrusuna paralel teğetinin A değme noktasının
koordinatları nedir ?
ÇÖZÜM
y = 4x + 1 doğrusunun eğimi m = 4 olduğundan, teğetin eğimi de 4 olmalıdır.
f ‘(x0) = 4  2x0 + 2 = 4  x0 = 1
x0 = 1  y0 = 12 + 2 .1 = 3 ve A(1,3) olur.
ÖRNEK
Bir cisim 20m/sn ilk hızla dikey olarak fırlatılıyor. Bu cisim kaç metre yüksekliğe ulaşır?
ÇÖZÜM
1 at2 + V . t den, x(t) = -5t2 + 20t olur.
x(t) = - ____
0
2
Cisim maksimum yüksekliğe ulaştığında hızı sıfırdır.

x’(t) = - 10t + 20 = 0  t = 2. saniye ve x(2) = -5.4 + 20.2 = 20 m yüksekliğe ulaşır.
ÖRNEK
Yandaki şekilde birbirini dik kesen iki yolda, iki
10m
 5 m/sn I.
aracın başlangıç durumları verilmiştir. Aynı
anda ok yönünde 2m/sn ve 5m/sn hızlarla
hareket eden bu iki aracın 1. Saniyede
2 m/sn
birbirlerinden uzaklaşma hızı ne olur ?
II.
ÇÖZÜM
I . hareketli x(t) = 10 + 5t , II . hareketli x(t) = 2t kuralı ile yol alır. Aralarındaki uzaklık ;
l(t) = V 4t2 + (10 + 5t)2 l(t) = V 29t2 + 100t + 100
79
______
158 = ______
m/sn bulunur.
ve l’(1) =
V
229
2 . V229

58t + 100
l(t) = ________________
2 V 29t2 + 100t + 100
TÜREVİN HAREKET PROBLEMLERİNE UYGULANMASI
Zaman yol fonksiyonu verilen bir hareketlinin,
t1 saniyede aldığı yol x (t1) olsun.
x (t) – x (t1)
____________
oranı t1, t zaman aralığındaki
t – t1
ortalama hızı, t  t1 için limitte t1 anındaki ani hızı verir.
x (t) – x (t1)
x
____________
, V (t1) = lim _____
Vort =
t  t1  t = x’ (t1) olur.
t – t1
Yani, yolun zamana göre türevi hızı verir. Benzer düşünülürse hızın
zamana göre türevinin (yolun zamana göre 2. türevi) anlık ivmeyi verdiği
bulunur.
TÜREVİN UYGULAMALARI
TANIM: Bir fonksiyonun [a,b] aralığında aldığı en büyük ve en küçük değerlere maximum
ve minimum veya extramum değerler denir.
TANIM: Bir f(x) fonksiyonu C > 0 için, (x1 - C , x1 + C) aralığında extramum
değer alıyorsa, bu değerlere yerel maximum ve minimum denir.
y
A
Yandaki şekilde f:[a,b]  R,
y = f(x) fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
a
x1
x2
0 x3
b
x
1. [a,b] aralığında, x = a için fonksiyonun minimum değeri, x = x3 için maximum
değeri elde edilir.
2. x = x1 ve x = x3 için yerel maximum, x = x2 için yerel minimum var.
TEOREM: f:[a,b] R, fonksiyonu [a,b] de sürekli, (a,b) de türevli olsun. Bu
fonksiyon x1 C (a,b) de extramum değer alıyorsa, f ‘(x1) = 0 dır.
TANIM: x1 < x2  f(x1) < f(x2) ise, artan
x1 < x2  f(x1) > f(x2) oluyorsa, f(x) azalan fonksiyon dur.
TEOREM: Bir fonksiyonun artan olduğu aralıkta türev pozitif, azalan olduğu
y=f(x)
aralıkta türev negatiftir.
y
f:[a,b]  R
1. x1 ve x3 te yerel minimum, x2
de yerel maximum var. f ‘(x1) =
f ‘(x2) = f ‘ (x3) = 0 dır.
a x1
x6
x2 x4
x3
x5 b
x
2. f, (a,x1), (x2,x3) aralıklarında azalan. Bu nedenle f ‘(x4)<0, f ‘(0)<0 dır.
3. f, (x1,x2), (x3,b) aralıklarında artan. Bu nedenle f ‘(x6) >0, f ‘(x5)>0 olur.
İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
İkinci türevin pozitif olduğu aralıklarda eğri içbükey, negatif olduğu aralıklarda
eğri dışbükey dir. F “(x0) = 0 için, x0 da ikinci türev işaret değiştiriyorsa, x = x0 da
dönüm noktası vardır denir.
Öğrendiklerimizi aşağıdaki grafikte özetleyelim.
y
y=f(x)
D.N
D.N
x1 x2 x3 x4 x5
D.N
x6 x7 x8 x
1. f(x1) = 0, f ‘(x1)> 0, f “(x1)< 0
2. f “(x4) = f “(0) = 0, f ‘(x3) = f ‘(x5) = f ‘(x6),= f ‘(x8) = 0
3. f(x2) > 0, f ‘(x2)> 0, f “(x2) < 0
SONUÇLAR
I. f ‘(x1) = 0, f “(x1) > 0 ise, x1 de yerel minimum vardır.
II. f ‘(x2) = 0, f “(x1) < 0 ise, x2 de yerel maximum vardır.
ÖRNEK
f(x) = x3 – 6x2 – 1 fonksiyonunun artan – azalan olduğu aralıklar, extramum
noktalar ve dönüm noktasını bulunuz.
ÇÖZÜM
x
0
2
4
y’=3x2-12x
+
-
-
+
y’’=6x-12
-
-
+
+
Artan dış Azalan dış
Azalan
Artan iç
bükey max. bükey
iç bükey
bükey
D.N
min
ÇÖZÜMLÜ TESTLER
SORU - 1
1) = ?
f(x) =[x+1]+x2-x-6 +sgn x ise f ‘( ___
2
B) – 1
A) 0
C) 1
D) –
___
1
2
E)
ÇÖZÜM
1 civarında; [x+1] = 1, x2-x-6 = -x2+x-6 ve sgn(x) = 1 olduğundan,
x = ___
2
1 +1 = 0 bulunur.
1) = -2 . ___
f ‘(x) = 0-2x+1+0 = -2x+1 ve f ‘( ___
2
2
YANIT : A
___
1
2
SORU - 2
 )=?
f(x) =x2 , g(x) = 6x – 1 ve h(x) = sinx olduğuna göre (fogoh)’( _____
6
A) 12 V 3
B) 6 V 3
C) 3 V 3
D) 2 V 3
E) 3
ÇÖZÜM
(fogoh)’(x) = f ‘(g(h(x))) . g’(h(x)) . h’(x) olduğundan,
f ‘(x) = 2x  f ‘(g(h(x))) = 2 . (6sinx – 1) g ‘(x) = 6  g‘(h(x)) = 6, h’(x) = cosx
olduğundan,

 ) 2 . (6sin___

(fogoh) ‘(x) = 2 . (6sinx – 1) . 6 . Cosx ve (fogoh) ‘ (___
- 1) . 6 . cos ___
6
6
6
1
V 3 = 12V 3
2 . (6. ___ -1) . 6 ._____
olur.
2
2
YANIT : A
SORU - 3
1 - arctan _____
1
x = arctan _____
olduğuna göre, sin x = ?
2
3
1
A) _____
7 B)
1
_____
V7
V7
C)_____
2
_____
5
D) V 2
E)
_____
1
5V2
ÇÖZÜM
1 - arctan _____
1
x = arctan _____
her iki tarafın tanjantı alınırsa;
2
3
1 ) – tan(arctan __
1 )
1
1
tan(arctan __
_____
_____
1
_____
_____________________________
2
3
tanx =
3
2
_______________
________
6
1
tanx
1
=
__
=
__
1 + tan(arctan 2 ) . tan(arctan )
1
1
1
3
1 + _____ . _____ 1 + _____
2
3
6
1 olur.
1 . ____
6
_____
_____
= 7
= 6
7
YANIT : E
1
sinx = _____
5V2
bulunur.
SORU - 4
lim _____________
sinx
= ?
x2+ x2 – 4x + 4
1
A) - ___
2
B)
1
- ___
4
C) - 1
D) + 
ÇÖZÜM
lim _____________
 . cos  x = + 
lim _____________
sinx
=
x2+
2x - 4
x2+ x2 – 4x + 4
YANIT : D
E) - 
SORU - 5
y
y= f(x)
B
y = 9x – 16 doğrusunu apsisi – 4 olan A
noktasından kesen ve aynı doğruya B
noktasında teğet olan üçüncü derece
fonksiyonu hangisidir ?
A) f (x) = x3 – 3x
B) f (x) = x3 – 3x – 2
D) f (x) = x3 – 3x – 1
E) f (x) = x3 – 3x – 3
ÇÖZÜM
0
-4
x
2
A
C) f (x) = x3 – x + 1
f (x) = x3 + ax2 + bx olur. x = 2  f (x) = 2 ve 4a + 2b = - 6  2a + b = - 3 ( I )
Ayrıca, ortak çözüm x = - 4 için sağlanmalıdır. Buna göre; x3 + ax2 + bx = 9x - 16
ifadesinde; x = - 4 ise, - 64 + 16 – 4b = - 36 – 16  4a – b = 3 ( II )
2a + b = - 3  a = 0, b = - 3 ve f (x) = x3 – 3x olur.
4a – b = 3
YANIT A
y
SORU - 6
f : [0 , 6]  R olmak üzere üçüncü
dereceden y = f (x) polinom fonksiyonunun
grafiği yandaki şekilde verilmiştir.
Aşağıdakilerden hangisi YANLIŞTIR ?
A) f (3) < 0
B) f ‘(3) < 0
D) f ‘(1) > 0
E) f “(1) > 0
2
4
5
6 x
0
D.N
C) f “(3) < 0
ÇÖZÜM
f , x = 1 civarında dış bükey olduğundan f ”(1) < 0 olmalıdır. Oysa, E çeldiricisinde
bunun tersi yazılıdır.
YANIT E
SORU - 7
x2 + ax + 2
f (x) =
x2 + 2x
A) – 2
B) – 1
eğrisinin – 1 apsisli noktasında extramumu vardır. a = ?
C) 0
D) 1
E) 2
ÇÖZÜM
(2x+a)(x2+2x) – (2x+2) (x2+ax+2)
f ‘(x) =
(x2+2x)2
x = - 1  f ‘(x) = 0 olduğundan, (- 2 + a) (1 - 2) – (-2 + 2) (1 - a + 2) = 0  - 2 + a = 0
 a = 2 olur.
YANIT E
SORU - 8
f (x) = x
A)
x2 - 1
1
2
ise f ’ (1) = ?
B)
C) 2
D) 0
ÇÖZÜM
x2 – 1
y1 = 2x l nx +
y=x
olsun. l ny = (x2 –1) . l nx
y
f ’(x) = x
x2 – 1
E) 1
1
.(x2 – 1). l nx
x
. [ 2x.l nx+ x2-1 ] f ’(1)=10.[2.1.0.0]=0 bulunur.
x
YANIT D
SORU - 9
e f (x) + e – f (x) = 2x ve f (1) = 2 olduğuna göre f ‘(1) = ?
2
A)
e2 – e-2
2e
B) 2 -2
e –e
C)
e4
–
e2
e2
D) 2
e –1
E) e
ÇÖZÜM
(ef (x) + e-f (x))’ = (2x)’ f ‘(x) . ef (x) - f ‘(x) . e-f (x) = 2 f ‘(x) =
f ‘(1) =
2
e2 – e-2
YANIT D
2
ef (x)
–
e-f (x)
olur.