ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
Fatma ÇİNAR
BAZI DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARININ DOĞURAYLARI VE RANKI
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ADANA, 2011
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
BAZI DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARININ DOĞURAYLARI VE RANKI
Fatma ÇİNAR
DOKTORA TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Bu tez …/…/2010 tarihinde aşağıdaki jüri üyeleri tarafından oybirliği/oyçokluğu ile
kabul edilmiştir.
………………....................
…………………………..
……................................
Prof. Dr. Hayrullah AYIK
Prof. Dr. Yusuf ÜNLÜ
Prof. Dr. Bilal Vatansever
DANIŞMAN
ÜYE
ÜYE
...………………...............
...………………………..
Doç. Dr. Gonca AYIK
Yrd. Doç. Dr. Ersin KIRAL
ÜYE
ÜYE
Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır.
Kod No:
Prof. Dr. İlhami YEĞİNGİL
Enstitü Müdürü
Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve fotoğrafların
kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere
tabidir.
ÖZ
DOKTORA TEZİ
BAZI DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARININ DOĞURAYLARI VE RANKI
Fatma ÇİNAR
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Danışman :Prof. Dr. Hayrullah AYIK
Yıl: 2011, Sayfa: 55
Jüri
:Prof. Dr. Hayrullah AYIK
:Prof. Dr. Yusuf ÜNLÜ
:Prof. Dr. Bilal Vatansever
:Doç. Dr. Gonca AYIK
:Yrd. Doç. Dr. Ersin KRAL
Doğal sıralı X n = {1, 2,K , n} kümesi üzerindeki tüm tam dönüşümlerin
yarıgrubunu Tn ile, ve tüm kısmi dönüşümlerin yarıgrubunu PTn ile gösterelim. Biz
bu tez de PTn nin elemanlarını çarpanlara ayıran bir algoritma verdik. Bu
algoritmayı kullanarak tüm kısmi dönüşümler yarıgrubu için bazı doğuray kümeleri
elde ettik.
Tn in tüm sıra koruyan elemanlarının oluşturduğu yarıgrubu On
On = {α ∈ Tn \ S n : x ≤ y ⇒ xα ≤ yα
( ∀x, y ∈ X n )}
ve PTn ’nin tüm kısmi sıra koruyan elemanlarının oluşturduğu yarıgrubunu POn ile
POn = On ∪ {α ∈ PTn \ Tn : x ≤ y ⇒ xα ≤ yα
( ∀x, y ∈ domα )}
gösterelim. Ayrıca bu algoritmayı kullanarak On ve POn yarıgrupları için bazı
doğuray kümeleri elde ettik.
Anahtar Kelimeler: Kısmi dönüşüm yarıgrubu, sırakoruyan dönüşüm, kısmi
sırakoruyan dönüşüm, m − patika ve rank.
I
ABSTRACT
PhD THESIS
SOME TRANSFORMATION SEMIGROUP’S GENERATORS AND
RANKS
Fatma ÇİNAR
ÇUKUROVA UNIVERSITY
INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
DEPARTMENT OF MATHEMATİCS
Supervisor :Prof. Dr. Hayrullah AYIK
Year: 2010, Pages: 55
Jury
:Prof. Dr. Hayrullah AYIK
:Prof. Dr. Yusuf ÜNLÜ
:Prof. Dr. Bilal Vatansever
:Assoc. Prof. Dr. Gonca AYIK
:Asst. Prof. Dr. Ersin KRAL
Let PTn and Tn denote the semigroups of all partial transformations
semigroup and of all transformations semigroup on the natural ordered set
X n = {1, 2,K , n} , respectively. In this thesis we give an algorithm to obtain a
factorization of the elements of PTn . We use this factorization to obtain information
about generating sets for the semigroup of all partial transformations semigroup.
Let On denote the semigroup of all order-preserving elements
On = {α ∈ Tn \ S n : x ≤ y ⇒ xα ≤ yα
( ∀x, y ∈ X n )}
of Tn , and let POn denote the semigroup of all partial order-preserving elements
POn = On ∪ {α ∈ PTn \ Tn : x ≤ y ⇒ xα ≤ yα
( ∀x, y ∈ domα )}
of PTn . We also use this factorization to obtain information about generating sets for
On and POn .
Key Words: Partial transformation semigroup, order-preserving transformation,
partial order-preserving transformation, m − path, and rank.
II
TEŞEKKÜR
Çalışmamın her aşamasında desteğini esirgemeyen, yapıcı ve yönlendirici
fikirleri ile bana rehberlik eden Sayın Danışman Hocam, Prof. Dr. Hayrullah AYIK a
bitmek tükenmek bilmeyen sabrı için sonsuz teşekkür ederim.
Doktora Tez İzleme Komitesi üyesi Sayın Doç. Dr. Gonca AYIK a
çalışmamın tüm aşamalarında yönlendirici ve olumlu katkılarından dolayı teşekkür
ederim. Doktora tez jüri üyeleri Sayın Prof. Dr. Yusuf ÜNLÜ, Sayın Prof. Dr. Bilal
VATANSEVER ve Sayın Yrd. Doç. Dr. Ersin KIRAL a teşekkürlerimi sunarım.
Yorulmadan, yılmadan büyük çabalarla sarfettikleri emeğin her merhalesine
vefa borcu hissettiğim güzel aileme teşekkürü bir borç bilirim.
III
İÇİNDEKİLER
SAYFA
ÖZ ........................................................................................................................ I
ABSTRACT ......................................................................................................... I
TEŞEKKÜR ...................................................................................................... III
İÇİNDEKİLER
SAYFA ................................................................................. IV
1. GİRİŞ .............................................................................................................. 1
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER................................................................ 3
2.1 Dönüşüm Yarıgrupları ............................................................................... 4
2.2 Dönüşüm Yarıgruplarının Çarpanlara Ayrılışı ve Doğuraylarıı ................... 8
3. KISMİ DÖNÜŞÜM YARIGRUBUNDA ÇARPANLARA AYRILIŞ............ 15
3.1 Çarpanlara Ayırma ................................................................................... 16
3.2 Çarpanlara Ayrılış Teoremi ...................................................................... 22
4.ÜRETEÇLER VE (m, r ) -PATİKA-DEVİRLERİN CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ
.......................................................................................................................... 29
4.1 Üreteç Kümeleri....................................................................................... 29
4.2 Cebirsel Özellikler ................................................................................... 32
5. KISMİ SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜM YARIGRUBU .................................. 39
5.1 Sırakoruyan Dönüşüm Yarıgrubu ............................................................. 39
5.1 Kısmi Sırakoruyan Dönüşüm Yarıgrubu................................................... 43
5.2.1 Kısmi m-patika Doğuray Kümesi ...................................................... 45
KAYNAKLAR .................................................................................................. 53
ÖZGEÇMİŞ ...................................................................................................... 55
IV
V
1. GİRİŞ
Fatma ÇİNAR
1. GİRİŞ
Yarıgrup Teorisi, son 60 yıldır matematiğin önemli çalışma alanlarından biri
olmuştur. Özellikle de dönüşüm yarıgrubları yoğun bir şekilde çalışılmaktadır. Bu
yarıgrupların yapısı, bazı elemanların sayısı, doğurayları, takdimleri ve rankları hala
yaygın bir şekilde çalışılmaktadır.
Dönüşüm yarıgruplarının doğurayları ile ilgili ilk çalışmalardan biri singüler
dönüşüm yarıgrubunun idempotentler tarafından doğrulduğunu gösteren J.M. Howie
nin, 1966 yılında yayımlan çalışması olmuştur. Tüm tam dönüşümler yarıgrubunun
idempotentlerinin eleman sayıları ilk defa Tainiter in 1968 yılında yayınlanan
çalışmasında bulunmuştur.
Ayrıca, Howie 1971 yılında sırakoruyan dönüşüm
yarıgrubunun idempotent elemanlarının sayısının 2n-inci Fibonacci sayısına eşit
olduğunu göstermiştir. Gomes ve Howie, 1992 yılında sırakoruyan ve kısmi
sırakoruyan dönüşüm yarıgruplarının idempotentler tarafından doğrulduğunu ifade
etmiş ve doğuray kümelerinin minimal eleman sayısını hesaplamıştır. G. Ayık, H.
Ayık ve J. M. Howie (2005) singüler dönüşüm yarıgrubunun doğuray kümesinin
idempotentler dışında m-patika ve (m,r)-patika olabileceğini de göstermiştir.
G. Ayık, H. Ayık ve J. M. Howie 2005 yılında tam dönüşüm yarıgrubunun
elemanlarını bir çarpanlarına ayırma algoritmasını geliştirerek, tam dönüşüm
yarıgrubunun elemanları ve altyarıgrupları ile ilgili bazı yeni sonuçlar elde etmiştir.
Çalışmaya kolaylık sağlaması açısından, X n = {1, 2,K , n} üzerindeki tüm tam
dönüşümler yarıgrubunu Tn ile, tüm kısmi dönüşümler yarıgrubunu ise PTn ile
göstereceğiz. Ayrıca Tn yarıgrubunun tüm sırakoruyan dönüşümlerinin oluşturduğu
yarıgrubu On , tüm kısmi sırakoruyan dönüşümlerin oluşturduğu yarıgrubu POn ile
göstereceğiz.
Önce tüm tam dönüşüm yarıgrubu Tn için G. Ayık, H. Ayık ve J. M. Howie
tarafından
2005
yılında
yayınlanan
çalışmalarındaki
çarpanlarına
ayırma
algoritmasını vereceğiz. Bu çalışmadan yola çıkarak, tüm tam dönüşüm
yarıgrubundaki çarpanlarına ayırma algoritmasını tüm kısmi dönüşüm yarıgruplarına
genelleyeceğiz. Elde edilenler doğrultusunda çarpanların ayrık ya da bir ortak
1
1. GİRİŞ
Fatma ÇİNAR
elemanlı olduğunu çarpanlarına ayrılış teoremi ile vereceğiz. Burada güzel olan
çarpanların bir ortak elemanlarının olması durumunda ikinci çarpanın yapısının
belirgin olması yani m-patika olmasıdır.
Dördüncü bölümde, tüm kısmi singüler dönüşüm yarıgrubu SPTn = PTn \ S n
nin m-patikalar tarafından doğrulacağını göstereceğiz. Bu bölümde ayrıca çarpanlara
ayrılışın cebirsel özelliklerini vereceğiz. Bununla birlikte her farklı yapıdaki (m,r)patika-devirlerinin doğurduğu monojenik altyarıgrup yapılarını vereceğiz.
Beşinci bölümde, kısmi sırakoruyan dönüşüm yarıgrubu POn deki defekti
(noksanlığı) 1 olan elemanların kısmi m-patika yapısında olacağını vereceğiz. POn
yarıgrubundaki kısmi m-patikalar çarpımının idempotentleri verdiğini göstereceğiz.
Amacımız, kısmi m-patikalar kümesinin POn nin doğuray kümesi olduğunu
göstermektir.
2
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Fatma ÇİNAR
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Bu bölümde ileride kullanacağımız bazı tanım ve teoremleri vereceğiz.
Tanım 2.1 S boş olmayan bir küme olsun. O zaman
o:S ×S → S
şeklinde tanımlı dönüşümüne S üzerinde bir ikili işlem ve ( S , o ) ikilisine de bir
grupoid denir. Her a, b ∈ S için ( a, b ) nin ikili işlem altındaki görüntüsünü a o b ile
göstereceğiz.
Tanım 2.2 ( S , o ) bir grupoid olsun. Her a, b, c ∈ S için
a o (b o c ) = ( a o b ) o c
ise ( S , o ) ikilisine bir yarıgrup denir.
( S , o)
bir yarıgrup olsun. Biz işlemlerde kolaylık sağlamak adına ( S , o ) ikilisi
yerine S ve her a, b ∈ S için a o b yerine ab ifadelerini kullanacağız.
Tanım 2.3 S bir yarıgrup ve e ∈ S olsun. Her a ∈ S için ea = a ise e ye S nin bir
sol birim elemanı, her a ∈ S için ae = a ise e ye S nin bir sağ birim elemanı denir.
Hem sağ hem de sol birim olan bir elemana birim eleman denir.
Bir yarıgrupda birden fazla sağ veya sol birim eleman olabilir. Fakat bir
yarıgrupda birim eleman varsa kolayca gösterilebilir ki birim eleman tektir. Mevcut
ise birim elemanı 1 ile göstereceğiz.
Tanım 2.4 Birim elemanlı bir yarıgruba bir monoid denir.
Tanım 2.5 S bir yarıgrup ve z ∈ S olsun. Her a ∈ S için za = z ise z ye S nin bir
sol sıfır elemanı, her a ∈ S için az = z ise z ye S nin bir sağ sıfır elemanı denir.
Hem sol hem de sağ sıfır olan elemana sıfır eleman denir.
3
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Fatma ÇİNAR
Bir yarıgrupda birden fazla sağ veya sol sıfır eleman olabilir. Fakat bir
yarıgrupda sıfır eleman varsa kolayca gösterilebilir ki sıfır eleman tektir ve biz bunu
0 ile göstereceğiz.
Tanım 2.6 S bir yarıgrup ve e ∈ S olsun. Eğer e 2 = e ⋅ e = e ise e ye S ’nin bir
idempotent elemanı denir. Ayrıca her elemanı idempotent olan yarıgruba bir band
denir.
Sol sıfır, sağ sıfır, sıfır, sol birim, sağ birim ve birim elemanların idempotent
olduğu kolayca gösterilebilir.
S herhangi bir yarıgrup olsun.
1∈ S
 S
S1 = 
 S ∪ {1} 1∉ S
olarak tanımlansın. S 1 üzerinde ikili işlemi her s , t ∈ S 1 için
s, t ∈ S
t =1
s =1
s = t =1
 st
s

st = 
t
 1
şeklinde tanımlanırsa S 1 bir monoid olup, S 1 e gerekir ise birim eleman eklenerek S
den elde edilmiş monoid denir.
Tanım 2.7 S bir yarıgrup ve T ⊆ S olsun. Her a, b ∈ T için ab ∈ T ise T ye S nin
bir altyarıgrubu denir ve T ≤ S ile gösterilir.
2.1 Dönüşüm Yarıgrupları
Tanım 2.8 X boş olmayan bir küme olsun. X × X kartezyen çarpımının her alt
kümesine X üzerinde bir bağıntı denir. X üzerindeki tüm bağıntıların kümesini B X
ile göstereceğiz.
4
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Fatma ÇİNAR
Önerme 2.9 Her α , β ∈Bx için
α o β = {( x, y ) ∈ X × X : z ∈ X için ( x, z ) ∈ α ve ( z , y ) ∈ β }
şeklinde tanımlanan ikili işlem ile B X bir yarıgrupdur. Ayrıca birim elemanı,
1X = {( x, x ) : x ∈ X }
olan bir monoid olur. Herbir α ∈Bx elemanının görüntü kümesi, tanım kümesi ve
tersi sırasıyla
im (α ) = { y ∈ X : ( x, y ) ∈ α }
dom (α ) = { x ∈ X : ( x, y ) ∈ α }
α −1 = {( y, x ) ∈ X × X : ( x, y ) ∈ α }
şeklinde tanımlıdır.
Tanım 2.10 α ∈Bx olsun. Her x ∈ dom (α ) için xα = 1 ise α bağıntısına bir kısmi
dönüşüm denir. X üzerindeki tüm kısmi dönüşümlerin kümesini PTX
ile
göstereceğiz. Böylece α ∈ PTX ise her x, y1 , y2 ∈ X için ( x, y1 ) ∈ α ve ( x, y2 ) ∈ α
olduğunda y1 = y2 olur.
Önerme 2.11 Tüm kısmi dönüşümlerin kümesi PTX , tüm bağıntılar yarıgrubu B X in
bir altyarıgrubudur.
İspat: α , β ∈ PTX ve ( x, y1 ) , ( x, y2 ) ∈ αβ olsun. O zaman
( x, z1 ) ∈ α , ( z1 , y1 ) ∈ β
ve ( x, z2 ) ∈ α ,
( z 2 , y2 ) ∈ β
olacak şekilde z1 , z 2 ∈ X mevcuttur. Böylece α ∈ PTX olduğundan z1 = z2 , ve
dolayısıyla β ∈ PTX olduğundan y1 = y2 olup αβ ∈ PTX olur.
5
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Fatma ÇİNAR
Tanım 2.12 α ∈ PTX için dom (α ) = X ise α ya bir tam dönüşüm denir. X
üzerindeki tüm tam dönüşümlerin kümesini Τ X ile göstereceğiz.
Önerme 2.13 Tam dönüşümlerin kümesi TX , tüm kısmi dönüşümler yarıgrubu PTX
■
in bir altyarıgrubudur.
Tanım 2.14 TX yarıgrubuna X üzerindeki tam dönüşümler yarıgrubu denir. TX in
herhangi bir altyarıgrubuna da (tam) dönüşümler yarıgrubu denir.
Tanım 2.15 α ∈ TX olsun. Eğer her x ∈ X için xα −1 = 1 ise α ya bir permütasyon
denir. X üzerindeki tüm permütasyonların kümesini S X ile göstereceğiz.
Tanım 2.18 Tüm permütasyonların kümesi S X , tam dönüşümler yarıgrubu TX in bir
alt yarıgrubu olup S X e X üzerinde simetrik grup (permütasyon grubu) denir.
X = n ise X = X n = {1, 2,K , n} olarak kabul edip, B X , PTX , TX , S X yerine
sırasıyla Bn , PTn , Tn , S n ifadelerini kullanacağız. Bu durumda
S n ≤ Tn ≤ PTn ≤ Bn
olur.
Her bir α ∈ PTn için
fix (α ) = { x ∈ X n : xα = x}
shift (α ) = X n − fix (α ) = { x ∈ X n : xα ≠ x}
şeklinde tanımlıdır.
Tanım 2.19 S bir yarıgrup ve X ⊆ S olsun. S nin X i içeren tüm altyarıgruplarının
kesişimine, X in doğurduğu altyarıgrup denir. Bu altyarıgrup X
ile gösterilir.
Eğer S = X ise X ’e S nin bir doğurayı (doğuray kümesi) denir. Burada X sonlu
ise S ye sonlu doğuraylı yarıgrup denir. Eğer S sonlu doğuraylı yarıgrup ise
6
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Fatma ÇİNAR
rank ( S ) = min { X : X ⊆ S , S = X
}
değerine S nin rankı denir.
S bir yarıgrup ve X ⊆ S için X = I {U : U ≤ S ve X ⊆ U} olduğu tanımdan
görülür. Buradan
(i)
X ⊆ X ve
(ii)
U ≤ S ve X ⊆ U ise X ⊆ U
olur.
Tanım 2.20 S bir yarıgrup ve E = E ( S ) de S deki tüm idempotentlerin kümesi
olsun. Eğer bir X ⊂ E için S = X ise X e bir idempotent doğuray denir.
Teorem 2.21 S bir yarıgrup ve T ≤ S olsun. S − T , S nin bir ideali ise S nin her
X doğurayı için öyle bir Y ⊆ X vardır ki Y de T nin doğurayıdır.
İspat: S nin her X doğurayı için Y = X ∩ T alındığında S − T , S nin bir ideali
olduğundan kolayca gösterilir ki Y de T nin doğurayı olur.
■
Permütasyon olmayan tam dönüşümlere singüler dönüşüm diyeceğiz.
X n = {1, 2,K , n} olmak üzere tüm singüler dönüşümlerin kümesini STn ile
göstereceğiz. Böylece STn = Tn − S n olur.
Burada α , β , θ , γ ∈ PTn dönüşümleri aşağıdaki şekilde tanımlayalım.
1 2 3 L n
α = 12 1 = 

2 1 3 L n
 1 2 L n −1 n 
β = 12,K , n 1 = 
1 
2 3 L n
1 2 3 L n
θ = 12 2  = 

 2 2 3 L n
7
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Fatma ÇİNAR
 1 2 3 L n
γ = 1 − − = 

− 2 3 L n
Teorem 2.22 Yukarda ki notasyonlar ile S n = {α , β } olur. Ayrıca n ≥ 3
için rank ( Sn ) = 2 olur.
İspat: İspatı için Rotman (1994) e bakınız.
■
Teorem 2.23 Yukarda ki notasyonlar ile Tn = {α , β , θ } olur. Ayrıca n ≥ 3 için
rank (Tn ) = 3 olur.
İspat: İspatı için Howie (1995) e bakınız.
■
Teorem 2.24 Yukarda ki notasyonlar ile PTn = {α , β , θ , γ } olur. Ayrıca n ≥ 3 için
rank ( PTn ) = 4 olur.
İspat: İspatı için Howie (1995) e bakınız.
■
2.2 Dönüşüm Yarıgruplarının Çarpanlara Ayrılışı ve Doğurayları
Bu kısımda X n = {1, 2,..., n} ve Tn de X n üzerindeki tüm tam dönüşümler
yarıgrubunu gösterecektir.
Bir α ∈ Tn için X = { x1 , x2 ,..., xm } ⊆ X n olmak üzere
x1α = x2 , x2α = x3 , ..., xm −1α = xm , xmα = xr
ve her x ∈ X n − X
xα = x
ise α ya bir ( m, r ) − patika − devir denir; ve
α =  x1 , x2 ,..., xm xr 
8
( xr ∈ X )
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Fatma ÇİNAR
şeklinde gösterilir. Burada m ye α nın indeksi (uzunluğu) ve r ye α nın periyodu
denir. Özel olarak,
(i)
eğer r = m ise α ya bir m − patika;
(ii)
eğer m ≥ 2 ve r=1 ise α ya bir m − devir;
(iii)
eğer m=r=1 ise α ya birim patika
denir.
Eğer α bir birim patika ise birim dönüşüm olup, birim dönüşümü daima
α = 11 olarak yazacağız. Ayrıca α =  x1 ,..., xm −1 , x x  şeklindeki bir m − patikaya
bir x e patikadır diyeceğiz.
Eğer α =  x1 , x2 , ..., xm xr 
r1 (α ) = { x1 , x2 ,..., xm } olarak
ise
tanımlanır.
Herhangi iki α , β ∈ Tn patika-devirleri için
r1 (α ) ∩ r1 ( β ) = ∅
ise α ve β ya ayrık patika-devirler denir. Eğer r1 (α ) ∩ r1 ( β ) kümesi sadece bir
elemandan oluşuyor ise α ve β ya 1-bağlı patika-devirler denir.
Şimdi Tn nin elemanları için G. Ayık, H. Ayık ve J. M. Howie nin 2005
yılında yayınlanan makalelerinde ifade ettikleri algoritmayı verelim:
2.2.1 Algoritma
α ∈ Tn olsun. Eğer α birim dönüşüm ise α = 11 olur. α birim dönüşüm değil ise
x ∈ X n için
9
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Fatma ÇİNAR
x, xα , xα 2 , xα 3 , ..., xα m , ...
şeklindeki dizileri göz önüne alalım. Bu dizilerdeki tüm elemanlar birbirinden farklı
olamayacağından bazı elemanlar belli bir adımdan sonra tekrar etmek zorundadır.
Dolayısıyla, her bir x ∈ shift (α ) için
x, xα ,..., xα kx
elemanları birbirinden farklı, fakat
{
xα k x +1 ∈ x, xα ,..., xα kx
}
olacak şekilde bir k x ∈ Z + vardır. Böylece, her bir x ∈ shift (α ) için
α x =  x, xα ,..., xα k x xα kx +1 
şeklinde bir patika-devir tanımlanır, ve bunlara α nın bir çarpanı denir. Ayrıca α nın
indeksi (uzunluğu) en büyük olan çarpanına birinci çarpan denir, ve α1 ile gösterilir.
(Eğer aynı uzunluğa sahip birden fazla birinci çarpan var ise x i en küçük olan α x i
α1 olarak seçeceğiz.) Eğer
α (1) : X n → X n
dönüşümü, her x ∈ X n için
 x, x ∈ r1 (α1 )
x α (1) = 
 xα , x ∉ r1 (α1 )
10
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Fatma ÇİNAR
olarak tanımlanır ise
α = α1α (1)
olup, α (1) dönüşümüne α nın birinci böleni denir. α nın ikinci çarpan α 2 ve ikinci
böleni α ( 2) de α (1) in birinci çarpanı ve birinci böleni olarak tanımlanır. Benzer
şekilde çarpanlar ve bölenler tanımlanmaya
α p ≠ 11 ve α ( ) = 11
p
elde edilinceye kadar devam edilir. Böylece
α = α1α 2 Lα p
olur. Bu durumda p ye α nın patika-devir rankı denir; ve pcr (α ) ile gösterilir.
Ayrıca, eğer α birim dönüşüm ise pcr (α ) = 0 olarak tanımlanır.
Eğer α ∈ S n ise α nın devirlerin çarpımı olarak yazılışı ile patika-devirlerin
çarpımı olarak yazılış çakışır. Ancak, grup teorideki notasyon ile ( x1 , x2 , ..., xm )
devri bu tezde kullanılan notasyon ile  x1 , x2 , ..., xm x1  şeklinde yazılır; ve
 x1 , x2 , ..., xm x1  =  x2 , x3 , ..., xm , x1 x2  = L =  xm , x1 , x2 , ..., xm −1 xm 
olur.
Bir α ∈ Tn yukarda ifade edilen algoritma ile patika-devirlerin bir çarpımı olarak
yazıldığında devirlerin sayısını cycl (α ) , devir olmayan patika-devirlerin sayısını
pr (α ) ile gösterilsin.
11
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Fatma ÇİNAR
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Örnek 2.25 α = 
 ∈ T10 ise
 4 7 9 6 7 4 10 4 3 7 
α = 1, 4, 6 4  2, 7,10 7  3,9 3 5, 7 7  8, 4 4 
olup, pcr (α ) = 5 , cycl (α ) = 1 ve pr (α ) = 4 olur.
Görüntüde olmayan elemanların sayısı, yani α nın noksanlığı (defekt)
def (α ) ile gösterilir ise
def (α ) = X − im (α )
olur. Kolayca görülür ki eğer α ∈ Tn bir devir olmayan patika-devir ise noksanlığı 1,
yani def (α ) = 1 olur.
Şimdi G. Ayık, H. Ayık ve J. M. Howie nin 2005 yılında yayınlanan
makalelerinde ifade ve ispat ettikleri teoremi verelim:
Teorem 2.26 α ∈ Tn olsun.
(i)
pcr (α ) = def (α ) + cycl (α ) = pr (α ) + cycl (α ) .
(ii)
α1 , α 2 ,..., α p , α nın çarpanları olsun. O zaman, her i, j ∈ {1, 2,..., p}
ve i < j için αi ve α j patika-devirleri ya ayrıktır ya da 1-bağlıdır
(diğer bir ifade ile r1 (α i ) ∩ r1 (α j ) = 0 veya 1 olur). Eğer bir x ∈ X n
için r1 (α i ) ∩ r1 (α j ) = { x} ise
a.
αi ve α j patika-devirlerinin her ikisi de devir değildir;
b. α i =  x1 , K , xm−1 , xm xr  ise x1 ≠ x olur; ve
c.
α j =  y1 , K , yq −1 , x x  şeklinde tanımlıdır.
12
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Fatma ÇİNAR
İspat: İspatı için Ayık, Ayık ve Howie (2005) ye bakınız.
■
Sonuç 2.27 Bir çarpana ayrılışta αi ve α j çarpanlarının değişmeli olması için gerek
ve yeter koşul αi ve α j lerin ya ayrık ya da aynı x e patika olmasıdır.
İspat: İspatı için Ayık, Ayık ve Howie (2005) ye bakınız.
■
Teorem 2.28 α ∈ STn olsun. O zaman α = β1 L β k olacak şekilde devir olmayan
β1 , K , β k patika-devirleri vardır.
İspat: İspatı için Ayık, Ayık ve Howie(2005) ye bakınız.
■
Singüler dönüşümler yarıgrubu STn idempotent elemanları tarafından
üretildiği iyi bilinmektedir (bkz Howie (1966). Bu gerçek yukarda ki notasyon ile
tekrar ifade ve ispat edildi.
Teorem 2.29 STn nin tüm 2 -patikalarının kümesi STn ni üretir.
İspat: Bu teoremin ispatı bizim için önemli olduğundan ispatı yapalım (ayrıca, bkz
Ayık, Ayık ve Howie (2005)). Her 2 ≤ r < m ≤ n için
 x1 , x2 ,..., xm xr  =  xm , xr −1 xr −1   x1 , x2 ,..., xm xm 
ve
 x1 ,..., xm−1 ,xm xm  =  xm −1 , xm xm   x1 , x2 ,..., xm −1 xm−1 
olduğundan
 x1 , x2 ,..., xm xr  =  xm , xr −1 xr −1   xm−1 , xm xm   xm −2 , xm −1 xm−1  L  x1 , x2 x2 
olur.
Böylece bir önceki teoremden istenilen sonuç elde edilir.
■
Teorem 2.30 2 ≤ m ≤ n için STn nin tüm m -patikalarının kümesi STn ni üretir.
İspat: Bu teoremin ispatı da bizim için önemli olduğundan ispatı yapalım (ayrıca,
bkz Ayık, Ayık ve Howie (2005)). Teorem 2.29 da m = 2 için yapıldı. Biz m > 2
13
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Fatma ÇİNAR
kabul edelim. Her hangi bir  x1 , x2 x2 
2 − patika verilsin. Herhangi farklı
x1 , x2 , x3 ,..., xm ∈ X n elemanları için
α =  xm , xm −1 ,K , x4 , x3 , x1 , x2 x2 
ve
β =  x1 , x3 , x4 ,..., xm −1 , xm , x2 x2 
alındığında αβ =  x1 , x2 x2  olur. Böylece m − patikalar, 2 − patikaları ve dolayısıyla
■
STn ni üretir.
Teorem 2.31 Eğer n ≥ m ≥ 2 ve m çift ise tüm 2-patika ve 2-devirlerin kümesi Tn i
doğurur. Ayrıca n ≥ m ≥ 3 ve m tek ise tüm 2-patika ve 2-devirlerin kümesi Tn deki
SAn = STn ∪ An kümesini doğurur (Buradaki An kümesi alterne grubudur).
İspat: İspatı için Ayık, Ayık ve Howie(2005) ye bakınız.
Teorem 2.32 2 ≤ m, r ≤ n için STn ,
■
( m, r ) − patika-devirleri tarafından doğrulur.
İspat: İspatı için Ayık, Ayık, Howie ve Ünlü (2005b) ye bakınız.
■
Tn tüm dönüşümler yarıgrubunun herhangi bir alt yarıgrubu S ve X de S nin
herhangi bir doğuray kümesi ve 1 ≤ m, r ≤ n olsun. Eğer X nin tüm elemanları
( m, r ) − patika-devirler ise
X e S nin bir ( m, r ) − doğurayı denir. Ayrıca
rankm ,r ( S ) = min { X : X , S nin bir ( m, r ) − doğurayı}
sayısına S nin bir ( m, r ) − rankı denir.
Teorem 2.33 n ≥ 3 ve n ≥ m ≥ r ≥ 2 için rankm ,r ( STn ) = n ( n − 1) / 2 dir.
İspat: İspatı için Ayık, Ayık, Ünlü ve Howie (2005b) ye bakınız.
14
■
3. KISMİ DÖNÜŞÜM YARIGRUBUNDA ÇARPANLARINA AYRILIŞ
Fatma ÇİNAR
3. KISMİ DÖNÜŞÜM YARIGRUBUNDA ÇARPANLARA AYRILIŞ
Bu bölümde kısmi dönüşümler yarıgrubunun elemanlarının çarpanlara ayrılış
yöntemi verilecektir.
X n = {1, 2,..., n}
sonlu
bir
küme
olsun.
Xn
üzerindeki
tüm
dönüşümlerin kümesini PTn şeklinde göstermiştik. Önceki bölümde
kısmi
Tn nin
elemanları için yapılan bazı tanımları kısmı dönüşümler yarıgrubunun elemanlarına
genelleyelim.
Herhangi
bir
α ∈ SPTn = PTn − Tn
elemanını,
bir
m −1
elemanlı
X = { x1 , x2 ,..., xm−1} ⊆ X n için
x1α = x2 , x2α = x3 , ..., xm − 2α = xm −1
xα = x
( ∀x ∈ X n − X )
ve xm−1α ∉ domα ise α ya bir kısmi m − patika denir; ve
α =  x1 , x2 ,..., xm−1 , − −
şeklinde gösterilir. Burada m ye α nın indeksi (uzunluğu) denir. Ayrıca, α nın
periyodu sıfır olarak tanımlanır. Ayrıca, bir kısmi m − patikaya bir
( m, 0 ) −
patika − devir de diyebiliriz. Biz hem ( m, r ) − patika-devirlerine hem de kısmi
m − patikalarına kısaca kısmi patika-devir diyeceğiz.
Eğer α =  x1 , x2 , ..., xm −1 , − − bir kısmi m − patika ise
r1 (α ) = { x1 , x2 ,..., xm−1}
15
3. KISMİ DÖNÜŞÜM YARIGRUBUNDA ÇARPANLARINA AYRILIŞ
Fatma ÇİNAR
olarak tanımlanır. Herhangi α , β ∈ PTn kısmi patika-devirleri için
r1 (α ) ∩ r1 ( β ) = ∅
ise α ve β
ya ayrık kısmi patika-devirler denir. Eğer r1 (α ) ∩ r1 ( β ) kümesi
sadece bir elemandan oluşuyor ise α ve β ya 1-bağlı kısmi patika-devirler denir.
3.1 Çarpanlara Ayırma
Bu bölümde PTn deki tüm elemanların kısmi patika-devirlerin bir çarpımı
olarak yazılabileceğini göstereceğiz. Önce Tn nin elemanları için Ayık, Ayık ve
Howie (2005) makalelerinde ifade ettikleri algoritmayı tüm kısmi dönüşümler
yarıgrubuna uygulanabilecek şekilde genelleyelim.
Birim olmayan herhangi bir α ∈ PTn dönüşümünü ele alalım. Eğer
x ∈ dom (α ) − fix (α )
{
xα k x +1 ∈ x, xα ,K xα k x
ve
her
k ∈ Z + ∪ {0}
için
xα kx ∈ dom(α )
ise
} olacak şekildeki en küçük k x ∈ Z+ için
α x =  x, xα ,..., xα k x xα kx +1 
şeklinde tanımlanır. Eğer x, xα ,K, xα
k x −1
∈ dom(α ) fakat xα kx ∉ dom(α )
olacak şekilde bir k x ∈ Z mevcut ise
+
α x =  x, xα ,..., xα k x , − − 
16
3. KISMİ DÖNÜŞÜM YARIGRUBUNDA ÇARPANLARINA AYRILIŞ
Fatma ÇİNAR
şeklinde tanımlanır. Son olarak, eğer x ∈ X n − dom(α ) ve x ∉ im (α ) ise
α x =  x, − −
şeklinde tanımlanır. Bu üç durumda α x kısmi patika devrine α nın bir (kısmi)
çarpanı denir. Benzer şekilde α nın indeksi en büyük olan çarpanına birinci çarpan
denir ve α1 ile gösterilir. (Eğer aynı uzunluğa sahip birden fazla birinci çarpan var
ise x i en küçük olan α x çarpanını α1 olarak seçeceğiz.)
α (1) : ( dom(α ) ∪ r1 (α ) ) → X n
dönüşümü, her x ∈ dom(α ) için
 x,
xα (1) = 
 xα ,
x ∈ r1 (α1 )
x ∉ r1 (α1 )
olarak tanımlanır. Dikkat edilecek olursa
α = α1α (1)
olup, α (1) çarpanına α nın birinci böleni denir. Benzer işlemler α (1) çarpanına
2
uygulanarak α nın ikinci çarpanı α 2 ve ikinci böleni α ( ) bulunur. Bu işlemlere
α p ≠ 11 ve α ( ) = 11
p
elde edilinceye kadar devam edilirse α ∈ PTn elemanı
α = α1α 2 Lα p
17
3. KISMİ DÖNÜŞÜM YARIGRUBUNDA ÇARPANLARINA AYRILIŞ
Fatma ÇİNAR
şeklinde çarpanlarına ayrılmış olur. Buradaki p ∈ ¢ sayısına α nın kısmi patika+
devir rankı denir ve yine pcr (α ) ile gösterilir. Daha önce tanımlandığı gibi
pr (α ) = pcr (α ) − cycl (α ) olur.
Kolayca görüleceği üzere eğer α sıfır (boş) dönüşüm ise bu algoritma ile
α = 1, − −  2, − − L  n, − −
şeklinde çarpanlara ayrılır. Böylece, eğer α sıfır dönüşüm ise pcr (α ) = n olur.
Biz kısaca sıfır dönüşümünü α = − − olarak da yazacağız.
Aşağıda n = 1, 2, 3 değerleri için PTn nin elemanlarının kısmi patika devirlere
parçalanışı verilmiştir.
•
n=1 için
1 
1  = 11
 
•
1
 −  = 1, − − = − −
 
n=2 için
1 2 
 1 1  =  2,11


1 2 
 1 2  = 11


1 2
 2 1  = 1, 2 1


1 2
 2 2  = 1, 2 2 


1 2 
1 −  =  2, − −


1 2
 2 −  = 1, 2, − −


 1 2
 − 1  =  2,1, − −


 1 2
 − 2  = 1, − −


18
3. KISMİ DÖNÜŞÜM YARIGRUBUNDA ÇARPANLARINA AYRILIŞ
Fatma ÇİNAR
 1 2
 − −  = 1, − −  2, − − = −
 −


•
n=3 için
1 2 3 
 1 1 1  =  2,11 3,11


1 2 3 
 1 1 2  = 3, 2,11


1 2 3 
 1 1 3  =  2,11


1 2 3 
 1 2 1  = 3,11


1 2 3 
 1 2 2  = 3, 2 2


1 2 3 
 1 2 3  = 11


1 2 3 
 1 3 1  =  2,3,11


1 2 3 
 1 3 2  =  2,3 2


1 2 3 
 1 3 3  =  2,3 3


 1 2 3
 2 1 1  = 3,1, 2 1


1 2 3
 2 1 2  = 3, 2,1 2 


 1 2 3
 2 1 3  = 1, 2 1


 1 2 3
 2 2 1  = 3,1, 2 2 


1 2 3
 2 2 2  = 1, 2 2  3, 2 2 


 1 2 3
 2 2 3  = 1, 2 2


 1 2 3
 2 3 1  = 1, 2, 3 1


1 2 3
 2 3 2  = 1, 2,3 2 


 1 2 3
 2 3 3  = 1, 2,3 3


 1 2 3
 3 1 1  =  2,1, 3 1


1 2 3
 3 1 2  = 1, 3, 2 1


1 2 3
 3 1 3  =  2,1,3 3


1 2 3
 3 2 1  = 1,3 1


1 2 3
 3 2 2  = 1,3, 2 2 


1 2 3
 3 2 3  = 1,3 3


19
3. KISMİ DÖNÜŞÜM YARIGRUBUNDA ÇARPANLARINA AYRILIŞ
Fatma ÇİNAR
1 2 3
 3 3 1  =  2,3,1 3


1 2 3
 3 3 2  = 1,3, 2 3


1 2 3
 3 3 3  = 1,3 3  2,3 3


1 2 3 
 1 1 −  =  2,11 3, − −


1 2 3 
 1 2 −  = 3, − −


1 2 3 
 1 3 −  =  2,3, − −


1 2 3
 2 1 −  = 1, 2 1 3, − −


1 2 3

 = 1, 2 2  3, − −
2 2 −
1 2 3
 2 3 −  = 1, 2,3, − −


1 2 3 
 3 1 −  =  2,1,3, − −


1 2 3 
 3 2 −  = 1,3, − −


1 2 3 
 3 3 −  = 1,3, − −  2,3 3


1 2 3 
 1 − 1  =  2, − − 3,11


1 2 3 
 1 − 2  = 3, 2, − −


1 2 3 
 1 − 3  =  2, − −


 1 2 3
 2 − 1  = 3,1, 2, − −


1 2 3
 2 − 2  = 1, 2, − − 3, 2 2 


 1 2 3
 2 − 3  = 1, 2, − −


1 2 3
 3 − 1  = 1, 3 1  2, − −


1 2 3

 = 1,3, 2, − −
3 − 2
1 2 3
 3 − 3  = 1,3 3  2, − −


 1 2 3
 − 1 1  =  2,1, − − 3,11


 1 2 3
 − 1 2  = 3, 2,1, − −


 1 2 3
 − 1 3  =  2,1, − −


 1 2 3
 − 2 1  = 3,1, − −


 1 2 3
 − 2 2  = 1, − − 3, 2 2 


 1 2 3
 − 2 3  = 1, − −


 1 2 3
 − 3 1  =  2,3,1, − −


 1 2 3
 − 3 2  = 1, − −  2,3 2 


 1 2 3
 − 3 3  = 1, − −  2, 3 3


20
3. KISMİ DÖNÜŞÜM YARIGRUBUNDA ÇARPANLARINA AYRILIŞ
Fatma ÇİNAR
1 2 3 
 1 − −  =  2, − − 3, − −


1 2 3
 2 − −  = 1, 2, − − 3, − −


1 2 3 
 3 − −  = 1,3, − −  2, − −


 1 2 3
 − 1 −  =  2,1, − − 3, − −


1 2 3
 − 2 −  = 1, − − 3, − −


 1 2 3
 − 3 −  =  2, 3, − − 1, − −


 1 2 3
 − − 1  = 3,1, − −  2, − −


 1 2 3
 − − 2  = 3, 2, − − 1, − −


 1 2 3
 − − 3  = 1, − −  2, − −


1 2 3
 − − −  = −
 −


Bir α ∈ PTn elemanı yukarda ki genelleştirilmiş algoritma ile (kısmi) patika
devirlerin bir çarpımı olarak yazıldığında kısmi m − patikaların sayısı kp (α ) ile
gösterilir.
Kolayca görülür ki eğer α ∈ PTn bir devir olmayan (kısmi) patika-devir ise
noksanlığı 1, yani def (α ) = 1 olur.
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Örnek 3.1. α = 
 ∈ PT12 ise
 3 4 − 5 7 4 4 − 3 11 12 10 
α =  2, 4, 5, 7 4  1,3, − − 10,11,12 10  6, 4 4 8, − − 9,3 3
olup, pcr (α ) = 6 , cycl (α ) = 1 , pr (α ) = 5 ve kp (α ) = 2 olur.
Algoritmada aynı uzunluğa sahip elemanlardan en küçük elemanla başlayanı
seçilmesi durumu göz ardı edilir ise parçalanış tek türlü değildir. Örneğin; yukarda ki
örnekte verilen kısmi döşüm aynı zamanda
21
3. KISMİ DÖNÜŞÜM YARIGRUBUNDA ÇARPANLARINA AYRILIŞ
Fatma ÇİNAR
α =  6, 4,5, 7 4  9, 3, − − 10,11,12 10  1,3 3  2, 4 4  8, − −
şeklinde de çarpanlarına ayrılır.
3.2. Çarpanlara Ayrılış Teoremi
Şimdi G. Ayık, H. Ayık ve J. M. Howie (2005), makalelerinde Tn nin
elemanları için buldukları bazı teorem ve sonuçları PTn nin elemanlarına
genelleyelim.
Teorem 3.2 α ∈ PTn olsun.
(i)
pcr (α ) = def (α ) + cycl (α ) = pr (α ) + cycl (α ) .
(ii)
α = α1α 2 Lα p olsun. O zaman, her i, j ∈ {1, 2,..., p} ve i < j için αi ve α j
patika
devirleri
ya
ayrıktır
ya
da
1-bağlıdır.
Eğer
bir
x ∈ X n için
r1 (α i ) ∩ r1 (α j ) = { x} ise
a.
αi ve α j çarpanlarının her ikisi de devir değildir,
b. α i =  x1 , K , xm−1 , xm xr  veya α i =  x1 , K , xm−1 , − − ise x1 ≠ x dir,
c.
(iii)
α j =  y1 , K , yq −1 , x x  şeklindedir.
kp (α ) = n − dom (α ) .
İspat: (i) α = α1α 2 Lα p olsun. i = 1, 2,.., p için αi çarpanı ya bir devir ya bir öz
patika-devir veya bir kısmi m -patikadır.
Eğer α i =  x1 , x2 ,..., xm xr  çarpanı bir devir ise xr = x1 olup x1 ∈ im(α ) olur.
Eğer α i =  x1 , x2 ,..., xm xr  çarpanı bir öz patika-devir ise xr ≠ x1 olur. Bu durumda
x1 ∉ im(α ) dir. Aksi halde x1 ∈ im(α ) olsaydı xα = x1 olacak şekilde bir x ∈ X n
22
3. KISMİ DÖNÜŞÜM YARIGRUBUNDA ÇARPANLARINA AYRILIŞ
Fatma ÇİNAR
mevcut olup αi den uzun  x, x1 , x2 ,..., xm xr  patika-devri elde edilir ki bu çarpanlara
ayrılış algoritması ile çelişir. O halde x1 ∉ im(α ) dir.
Eğer α i =  x1 ,..., xm −1 , − − kısmi m -patika ise benzer şekilde x1 ∉ im(α )
olduğu gösterilir. Her x ∈ X n − im(α ) için x ile başlayan bir çarpan algoritmanın
tanımı gereği mevcut olduğundan öz patika devir ve kısmi m -patikaların sayısı
def (α ) yı belirlemektedir. Diğer bir ifade ile devir olmayan çarpanların sayısı
pr (α ) , def (α ) ile aynı olur. Böylece
pcr (α ) = def (α ) + cycl (α ) = pr (α ) + cycl (α )
eşitliği elde edilir.
(ii) Çarpanlara ayırma algoritmasından dolayı αi ve α j patika devirleri ya
ayrıktır ya da 1-bağlıdır. Kabul edelim ki p ≥ 2 ve i < j için αi ve α j patika
devirleri 1-bağlı, yani bir x ∈ X n için r1 (α i ) ∩ r1 (α j ) = { x} olsun.
αi çarpanı bir devir olamaz. Aksi halde α i =  x1 , K , xm −1 , xm x1  bir devir
olsaydı
 x1 , K , xm−1 , xm x1  =  x2 , K , xm , x1 x2  = L =  xm , x1 ,K , xm−1 xm 
olduğundan x1 = x seçebiliriz. Yani genelliği bozmaksızın α i =  x, x2 K , xm −1 , xm x 
alabiliriz. α ( i ) tanımından her y ∈ r1 (α i ) = { x = x1 , x2 ,K , xm } için yα
x ∈ r1 (α j ) ⇒ xα (i ) = x
23
(i )
= y olup
3. KISMİ DÖNÜŞÜM YARIGRUBUNDA ÇARPANLARINA AYRILIŞ
Fatma ÇİNAR
dir. O halde xα j = x olacağından α j =  y1 , y2 ,..., yk , x x  şeklinde tanımlı olur. Bu
durumda
 y1 , y2 ,..., yk , x = x1 , x2 ,..., xm x 
devir-patikası α nın α i den daha uzun çarpanı olurdu ki bu durum çarpanlara
ayırma algoritması ile çelişir. Böylece αi bir devir olamaz.
O
halde
α i =  x1 , K , xm−1 , xm xr  (r ≠ 1)
veya
α i =  x1 , K , xm−1 , − −
şeklindedir. Eğer α i =  x1 , K , xm−1 , xm xr  devir olmayan bir öz patika-devir ise
benzer şekilde, x ∈ r1 (α i ) için xα
(i )
= x olup, x ∈ r1 (α i ) ∩ r1 (α j ) ve i < j
olduğundan α j =  y1 , y2 ,..., yk , x x  şeklindedir. Burada x1 ≠ x dir. Aksi halde
x1 = x olsaydı
 y1 , y2 ,..., yk , x = x1 , x2 ,..., xm −1 , xr xr 
devir-patikası α nın αi den daha uzun çarpanı olurdu ki bu durum çarpanlara
ayırma algoritması ile çelişir.
Eğer α i =  x1 , x2 ,..., xm −1 , − − bir kısmi m − patika ise bölen tanımından,
x ∈ r1 (α i )
için
xα (i ) = x olup, x ∈ r1 (α i ) ∩ r1 (α j ) ve i < j olduğundan
α j =  y1 , y2 ,..., yk , x x  şeklindedir. Burada x1 ≠ x dir. Aksi halde x1 = x olsaydı
 y1 , y2 ,..., yk , x = x1 , x2 ,..., xm −1 , − −
kısmi patikası α nın αi den daha uzun çarpanı olurdu ki bu durum çarpanlara
ayırma algoritması ile çelişir.
24
3. KISMİ DÖNÜŞÜM YARIGRUBUNDA ÇARPANLARINA AYRILIŞ
Fatma ÇİNAR
Dikkat edilecek olursa αi nin her iki durumunda da α j =  y1 , y2 ,..., yk , x x 
şeklindedir. Dolayısıyla αi ve α j çarpanlarının her ikisi de devir değildir.
(iii) Eğer α i =  x1 , x2 ,..., xm −1 , − − kısmi m − patikası α = α1α 2 Lα p nin bir
çarpanı ise xm−1 ∉ dom(α ) olur. (Fakat α
(i )
nin tanımdan xm−1 ∈ dom(α (i ) ) olur.)
Tersine bir y ∈ X n \ dom(α ) alalım. Eğer y ∉im(α ) ise algoritmadan
α i = [ y , − −] (1 ≤ i ≤ p )
bir çarpan olur.
Eğer y ∈im(α ) ise y1 = y ve y2α = y1 olacak şekilde bir
y2 ∈ X n
seçilir. Seçimden dolayı y2 ≠ y1 olur. Eğer y2 ∈im(α ) ise y3α = y2 olacak şekilde
bir
y3 ∈ X n seçilir. Seçimden dolayı y3 ≠ y1 ve y3 ≠ y2 olur. Böylece, her
1 < i ≤ m için yi ≠ y1 ,K , yi −1 olacak şekilde bir
ym → ym −1 → L → y2 → y1 = y
dizisi elde edilir. α sonlu bir küme üzerinde bir kısmi dönüşüm olduğundan bu
+
şekilde elde edilen dizi sonlu, yani ym ∉im(α ) olacak şekilde bir m ∈Z vardır.
Dolayısıyla algoritmadan
α i =  ym ,K , y2 , y, − − (1 ≤ i ≤ p )
bir çarpan olur. Böylece kp (α ) = n − dom (α ) eşitliği elde edilir.
25
■
3. KISMİ DÖNÜŞÜM YARIGRUBUNDA ÇARPANLARINA AYRILIŞ
Fatma ÇİNAR
Teorem 3.3 Bir α ∈ PTn nin çarpanlarına ayrılışında αi ve α j çarpanlarının
değişmeli olması için gerek ve yeter koşul αi ve α j lerin ayrık ya da aynı x ∈ X n ’e
patika olmasıdır.
İspat: (⇐) αi ve α j
ayrık olmaları durumu açıktır. Bir
{ x1 ,K , xm } ∩ { y1 ,,K , yr } = ∅
olmak
x0 ∈ X n
α i =  x1 , K , xm , x0 x0 
üzere
için
ve
α j =  y1 ,K , yr , x0 x0  olsun. Bu durumda, her x ∈ X n − ({ x1 ,K , xm } ∪ { y1 ,,K , yr } )
için
x(α iα j ) = x = x (α jα i )
olduğu da açıktır. Her bir 1 ≤ i ≤ m − 1 için
xi (α iα j ) = ( xiα i )α j = xi +1α j = xi +1 = xiα i = ( xiα j )α i = xi (α jαi )
ve
xm (αiα j ) = ( xmα i )α j = x0α j = x0 = xmα i = ( xmα j )α i = xm (α jα i )
olur. Benzer şekilde her 1 ≤ j ≤ r için y j (α iα j ) = y j (α jα i ) de olduğundan
α iα j = α jα i olur. Diğer bir ifade ile αi ve α j değişmelidir.
(⇒) Bu yönü olmayana ergi yöntemi ile ispatlayalım. αi ve α j lerin ayrık
olmasın, ve ayrıca, αi ve α j aynı x ∈ X n e patika olmasın. Şimdi genelliği
bozmaksızın i < j kabul edelim. Eğer α i =  x1 , K , xm−1 , − − ise Teorem 3.2 den α j
de
bir
patikadır.
α j =  y1 ,K , yq −1 , xr xr 
Ayrıca,
1 ≤ r ≤ m −1
şeklindedir. Böylece
olduğundan
26
için
r1 (α i ) ∩ r1 (α j ) = {xr }
xrα i = xr +1 veya
ve
xrα i ∉ dom(α i )
3. KISMİ DÖNÜŞÜM YARIGRUBUNDA ÇARPANLARINA AYRILIŞ
Fatma ÇİNAR
yq −1 (α jα i ) = ( yq −1α j )α i = xrα i ≠ xr = yq−1α j = ( yq −1α i )α j = yq −1 (α iα j )
elde edilir. Bu durumda α jα i ≠ α iα j dir.
Eğer
α i =  x1 ,K , xm xr 
r1 (α i ) ∩ r1 (α j ) = {x p }
ve
ise
benzer
α j =  y1 , K , yq −1 , x p x p 
x pα i = x p +1 ( p < m) veya x pα i = xr
şekilde
1≤ p ≤ m
şeklindedir.
için
Böylece
( p = m) ve kabulümüzden xr = xm ise xr ≠ x p
olduğundan
yq −1 (α jα i ) = ( yq −1α j )α i = x pα i ≠ x p = yq −1α j = ( yq −1α i )α j = yq −1 (α iα j )
olur. O halde α jα i ≠ α iα j olup ispat tamamlanır.
■
Bir çarpanlara ayırmada çarpanlardan devir olanlar diğerleri ile ayrıktır.
Ayrıca iki kısmi m − patika çarpan mevcut ise kısmi m − patika çarpanlar da ayrıktır.
Böylece aşağıdaki sonuca sahibiz.
Sonuç 3.4 Bir α ∈ PTn tüm çarpanları devir ya da kısmi patika ise α sıra
gözetmeksizin tek türlü çarpanlarına ayrılır.
■
Sonuç 3.5 Bir α ∈ PTn için def (α ) = 0 veya 1 ise α sıra gözetmeksizin tek türlü
çarpanlarına ayrılır.
İspat: Bir α ∈ PTn için def (α ) = 0 ise α bir permütasyon olup sonuç açıktır. Biz
def (α ) = 1 için gösterelim. Teorem 3.2 (i) den α ∈ PTn nin çarpanlarının sayısı
pcr (α ) = def (α ) + cycl (α ) = pr (α ) + cycl (α )
olup pr (α ) = 1 olur. Dolayısıyla, Teorem 3.2 (ii) den α nın tüm çarpanları ayrık
olur. Böylece α sıra gözetmeksizin tek türlü çarpanlarına ayrılır.
27
■
3. KISMİ DÖNÜŞÜM YARIGRUBUNDA ÇARPANLARINA AYRILIŞ
Fatma ÇİNAR
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Örnek 3.6. α = 
 ∈ PT12 olsun. O
 3 4 5 6 7 10 9 10 11 12 1 10 
zaman def (α ) = 2 ve
α = 1,3,5, 7,9,111  2, 4, 6,10,12 10 8,10 10 
olur. Fakat
β
=
1,3,5, 7, 9,111 8,10 10   2, 4, 6,10,12 10 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
= 

 3 4 5 6 7 10 9 12 11 12 1 10 
olup 8α = 10 ≠ 12 = 8β olur.
Dolayısıyla, bir α ∈ PTn için def (α ) ≥ 2 olduğunda α sıra gözetmeksizin
tek türlü çarpanlarına ayrılmayabilir.
28
4. ÜRETEÇLER VE (m,r)-PATİKA DEVİRLERİN CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ
Fatma ÇİNAR
4. ÜRETEÇLER VE (m, r ) -PATİKA-DEVİRLERİN CEBİRSEL
ÖZELLİKLERİ
Kısmi dönüşümler yarıgrubu PTn deki elemanların kısmi patika-devirlerin
çarpımı biçiminde yazılabildiğini bir önceki bölümde gördük. Şimdi ise bu
çarpanlara ayrılışın (parçalanışın) bazı cebirsel özelliklerini araştıracağız.
4.1. Üreteç Kümeleri
Bu
bölümde
bazı
kısmi
dönüşümler
yarıgrupları
SPn = PTn − Sn
ve
SPTn = PTn − Tn nin bazı üreteç kümelerini bulacağız.
Giriş
bölümünde
bahsedildiği
üzere
Singüler
Dönüşüm
Yarıgrubu
STn = Tn − S n , 2 -patikalar tarafından üretilir (Teorem 2.29). Önce bu teoremi Kısmi
Singüler Dönüşüm Yarıgrubu SPn ne genelleyelim.
Önerme 4.1 α ∈ SPn olsun. O zaman α = β1 L β k olacak şekilde devir olmayan
β1 , K , β k patika-devirleri vardır.
İspat: α ∈ SPn
ve yukarda tanımlanan algoritma ile α = α1 Lα p
şeklinde
çarpanlarına ayrılsın. Eğer tüm çarpanlar devir değil ise sonuç açık ( k = p ve
β1 = α1 ,K , β p = α p alınır). α ∈ SPn olduğundan çarpanlardan en az biri devir
değildir. Devir olmayan çarpanlardan biri αi olsun. O zaman Teorem 3.2 ve Teorem
3.3
den
devir
olan
tüm çarpanları αi
den
sonra
yazabiliriz.
Böylece
α i =  x1 ,...,xm xr  (r ≠ 1) ve α j =  y1 ,...,yq y1  bir devir ise α *j =  x1 , y1 ,...,yq y1 
olmak üzere α iα j = α iα *j olduğundan tüm α j devirleri devir olmayan α *j çarpanlar
ile değiştirilir. Benzer şekilde devir olmayan çarpan αi bir kısmi m -patika, yani
α i =  x1 ,...,xm−1 , − − ise αi den sonra gelen ilk devir α j ise
29
4. ÜRETEÇLER VE (m,r)-PATİKA DEVİRLERİN CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ
Fatma ÇİNAR
α j =  y1 ,...,yq y1  ve α *j =  x1 , y1 ,...,yq y1 
olmak üzere α iα j = α iα *j olduğundan devir olmayan α *j çarpanı ile değiştirilir. Varsa
sonraki devirler α j yerine α *j alınarak ilk durumdaki gibi devir olmayan çarpanlar
■
ile değiştirilirse istenilen elde edilir.
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Örnek 4.2 α = 
 ∈ PT12 ise
 3 4 5 8 − 7 9 10 6 12 5 2 
α =  2, 4,8,10,12 2 1,3,5, − −  6, 7,9 6 11,5 5
olur. Ayrıca, Teorem 3.2 den α = 1,3,5, − −  2, 4,8,10,12 2   6, 7,9 6  11,5 5
olduğundan, yukarda ki ispatta kullanılan yöntem ile
α = 1,3,5, − − 1, 2, 4,8,10,12 2  1, 6, 7,9 6  11,5 5
olur. (Ayrıca α = 1,3,5, − − 11,5 5 11, 2, 4,8,10,12 2  11, 6, 7,9 6
olur.)
Önerme 4.3 2 ≤ m ≤ n olmak üzere α ∈ SPTn bir kısmi m -patika olsun. O zaman
α kısmi dönüşümü sadece biri kısmi 2 -patika olmak üzere, m − 1 tane 2 -patikanın
çarpımı olarak yazılabilir.
İspat: 2 ≤ m olmak üzere α =  x1 ,K , xm−1 , − − olsun. O zaman kolayca kontrol
edileceği üzere
 x1 ,..., xm-1 , − − =  xm−1 , − −  x1 , x2 ,..., xm −1 xm −1 
ve
30
4. ÜRETEÇLER VE (m,r)-PATİKA DEVİRLERİN CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ
Fatma ÇİNAR
 x1 ,..., xr −1 ,xr xr  =  xr −1 , xr xr   x1 , x2 ,..., xr −1 xr −1 
olduğundan
 x1 ,..., xm-1 , − − =  xm−1 , − −  xm −2 , xm −1 xm−1   xm−3 , xm −2 xm− 2  L  x1 , x2 x2 
olur. Böylece α , m − 1 tane 2 -patikanın çarpımı olarak yazılabilir.
■
Önerme 4.1, Teorem 2.29 ve Önerme 4.3 ün bir sonucu olarak aşağıdaki
teoremi ifade edebiliriz.
Teorem 4.4 SPn ’nin tüm 2 -patikalarının kümesi SPn ni üretir.
■
Teorem 4.5 Her 2 ≤ m ≤ n için SPn nin tüm m -patikalarının kümesi SPn ni üretir.
İspat: Teorem 4.4 de m = 2 için yapıldı. Biz m > 2 kabul edelim. Ayrıca
 x1 , x2 x2  şeklindeki 2 -patikaların m -patikalar tarafından üretildiğini Teorem 2.30
dan biliyoruz. Böylece sadece kısmi 2 -patikaların  x1 , − − , (kısmi) m -patikalar
tarafından üretildiğini göstermek yeterlidir. Herhangi farklı x1 , x2 , x3 ,..., xm−1 ∈ X n
elemanları için
α =  xm −1 , xm −2 ,K , x2 , x1 , − −
ve
β =  x1 , x2 ,..., xm −2 , xm−1 , − −
alındığında αβ =  x1 , − − olur. Böylece m -patikalar, 2 -patikaları ve dolayısıyla
■
SPn ni üretir.
31
4. ÜRETEÇLER VE (m,r)-PATİKA DEVİRLERİN CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ
Fatma ÇİNAR
4.2. Cebirsel Özellikler
Daha önce tanımladığımız üzere α =  x1 , x2 , K , xm x1  şeklindeki bir patikadevir, bir m -devirdir ve
 x1 , x2 ,K , xm x1  =  x2 , x3 ,K , xm , x1 x2  = L =  xm , x1 ,K , xm −1 xm 
eşitliği sağlanır. Bununla beraber α =  x1 , x2 ,K , xm xr  ( r ≠ 1) bir (m, r ) -patikadevir veya α =  x1 , x2 ,K , xm −1 , − − bir kısmi m -patika ise yukarda ki gibi bir
eşitlikten söz edilemeyeceğinden aşağıdaki önermeye sahibiz.
Önerme 4.6
1. 1 ≤ m ≤ n için m -devir sayısı =
n!
;
( n − m )!m
2. 2 ≤ r ≤ m ≤ n için (m, r ) -patika-devir sayısı =
3. 2 ≤ m ≤ n + 1 için kısmi m -patika sayısı =
n!
( m − 1) ve
( n − m )!
n!
olur.
( n − m + 1)!
n=2 için kısmi patika devir yapıları ve sayıları:
1-devir sayısı = 1
11 ;
2 -devir sayısı = 1
1, 2 1 ;
(2, 2) -patika-devir sayısı = 2
1, 2 2 ,  2,11 ;
kısmi 2 -patika sayısı = 2
1, − − ,  2, − − ve
kısmi 3 -patika sayısı = 2
1, 2, − − ,  2,1, − − .
32
■
4. ÜRETEÇLER VE (m,r)-PATİKA DEVİRLERİN CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ
Fatma ÇİNAR
Ayrıca PT2 ’nin sıfır dönüşümü 1, − −  2, − − vardır.
n=3 için kısmi patika devir yapıları ve sayıları:
1-devir sayısı = 1
11 ;
2 -devir sayısı = 3
1, 2 1 , 1,3 1 ,  2,3 2  ;
(2, 2) -patika-devir sayısı = 6
1, 2 2 , 1,3 3 ,  2,11 ,  2,3 3 ,
3,11 , 3, 2 2  ;
kısmi 2 -patika sayısı = 3
1, − − ,  2, − − , 3, − − ;
3 -devir sayısı = 2
1, 2, 3 1 , 1,3, 2 1 ;
(3, 2) -patika-devir sayısı = 6
1, 2,3 2 , 1,3, 2 3 ,  2,1, 3 1 ,  2, 3,1 3 ,
3,1, 2 1 , 3, 2,1 2 ;
(3,3) -patika-devir sayısı = 6
1, 2,3 3 , 1, 3, 2 2  ,  2,1, 3 3 ,  2,3,11 ,
3,1, 2 2 , 3, 2,11 ;
kısmi 3 -patika sayısı = 6
1, 2, − − , 1,3, − − ,  2,1, − − ,  2,3, − − ,
3,1, − − , 3, 2, − − ,
kısmi 4 -patika sayısı = 6
1, 2,3, − − , 1,3, 2, − − ,  2,1, 3, − − ,
 2,3,1, − − , 3,1, 2, − − , 3, 2,1, − − .
Önce, her bir (m, r ) -patika-devir α =  x1 , x2 ,K , xm xr  için r2 (α ) = r1 (α ) − { xr }
olarak tanımlayalım.
Teorem 4.7 Bir α ∈ PTn
(n ≥ 2) tüm çarpanları, sırasıyla α1 ,K , α p olsun.
33
4. ÜRETEÇLER VE (m,r)-PATİKA DEVİRLERİN CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ
Fatma ÇİNAR
(i)
p ≤ n ve her 1 ≤ i ≤ p için αi nin indeksi mi ise m p ≤ L ≤ m2 ≤ m1 olur.
(ii)
dom(α ) = m olsun. Eğer kısıtlanmış α domα dönüşümü bir sabit dönüşüm ise
p = n − 1 olur.
(iii)
Eğer α ∈ Tn
( n ≥ 3) ,
p = 2 ve α1 ’nin indeksi m1 = n − 1 ise α 2 'nin indeksi
m2 = 2 olur. Ayrıca α1 ve α 2 devir değildir; ve α 2 =  x, y y  şeklinde olup
y ∈ r1 (α1 ) \ { x1}
ve
α1 =  x1 , K , xn−1 xr 
( 2 ≤ r ≤ n − 1)
şeklindedir.
Dolayısıyla α da bir permütasyon değildir.
(iv)
Eğer α ∈ Pn \ Tn , p = 2 ve α1 ’nin indeksi m1 = n ise α 2 'nin indeksi m2 = 2
olur. Üstelik α1 ve α 2 devir değildir. Ayrıca α1 =  x1 , K , xn−1 , − − iken
α 2 =  x, y y  veya α 2 =  x, − − şeklindedir ve x1 ∉ r1 (α 2 ) olur.
İspat: α1 ,K , α p (1 ≤ i ≤ p ) için α nın çarpanları olsun.
(i) m p ≤ L ≤ m2 ≤ m1 ifadesi algoritma gereğidir. Her bir α i (1 ≤ i ≤ p ) çarpanı ayrık
ya da 1-bağlı olduğundan p en fazla n değerini alır. Buradan p ≤ n elde edilir.
(ii) domα = m ve α domα bir sabit dönüşüm olsun. O zaman, her xi ∈ domα için
xiα = x0 olacak şekilde bir x0 ∈ X n vardır. Her x ∉ domα için  x, − − şeklinde
bir çarpan bulunmak zorunda olup bu tipte tam n − m tane çarpana ihtiyaç vardır.
Her x ∈ domα olmak üzere yazılacak çarpan için iki durum söz konusudur: ya
x0 ∈ domα veya x0 ∉ domα dır. Eğer x0 ∈ domα ise her bir xi ∈ domα (1 ≤ i ≤ m )
için
α i =  xi , x0 x0 
şeklinde
m −1
tane
çarpana
ihtiyaç
olacağından
p = m − 1 + n − m = n − 1 dir. Eğer x0 ∉ domα ise her bir xi ∈ domα (1 ≤ i ≤ m ) için
α i =  xi , x0 , − − şeklinde m tane çarpana ihtiyaç vardır. Bu durumda dikkat
edilirse yukarıda bahsedilen  x0 , − − şeklindeki çarpana ihtiyaç olmayıp
her x0 ≠ x ∉ domα için  x, − − şeklinde n − m − 1 tane çarpana ihtiyaç olup
p = m + n − m − 1 = n − 1 dir.
34
4. ÜRETEÇLER VE (m,r)-PATİKA DEVİRLERİN CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ
Fatma ÇİNAR
(iii) α ∈ Tn için p = 2 ve m1 = n − 1 ise r1 (α1 ) = n − 1 olur. O halde r1 (α1 ) ∩ r1 (α 2 ) ≠ ∅
olup Teorem 3.2 den α1 ve α 2 devir olamaz. Dolayısıyla α da devir değildir.
α1 =  x1 , K , xn −1 xr 
( 2 ≤ r ≤ n − 1)
için yine Teorem 3.2 den y ∈ r1 (α1 ) \ { x1}
olarak aldığımızda x ∉ r1 (α1 ) olmak üzere α 2 =  x, y y  şeklindedir.
Buradan
r1 (α 2 ) = 2 olup m2 = 2 dir.
(iv) α ∈ Pn \ Tn için p = 2 ve m1 = n olsun. p = 2 olduğundan r1 (α1 ) = n − 1 olup
α1 =  x1 , K , xn −1 , − −
bir
şeklinde olmak zorundadır. Eğer r1 (α1 ) ∩ r1 (α 2 ) ≠ ∅ ise
y ∈ r1 (α1 ) \ { x1} için x ∉ r1 (α1 ) olmak üzere α 2 =  x, y y 
olur. Eğer
r1 (α1 ) ∩ r1 (α 2 ) = ∅ ise x ∉ r1 (α1 ) olmak üzere α 2 =  x, − − olur. Her iki
durumda da α 2 'nin indeksi m2 = 2 olur. Üstelik α1 ve α 2 devir değildir. Ayrıca
α1 =  x1 , K , xn −1 , − − şeklinde iken α 2 =  x, y y  veya α 2 =  x, − − şeklindedir.■
S bir yarıgrup ve a ∈ S nin doğurduğu altyarıgrup a = {a, a 2 , a 3 ,K} olup a
ya S nin bir monojenik altyarıgrubu denir. Eğer bir a ∈ S için S = a ise S ye
monojenik yarıgrup denir. Ayrıca, her m, n ∈ N için a m = a n olduğunda m = n ise
a monojenik altyarıgrubu sonsuz elemanlı olur. Eğer a m = a n ve m ≠ n olacak
şekil de bir çift m ve n mevcut ise bazı elemanlar tekrar edeceğinden sonlu elemanlı
monojenik altyarıgrub elde edilir. Buradan
m, n ∈ N için a m + r = a m
eşitliğini sağlayan en küçük m sayısına monojenik yarıgrubunun indeksi, en küçük r
ye de monojenik yarıgrubunun periodu denir. Böylelikle a nın doğurduğu m
indeksli, r periodlu sonlu monojenik yarıgrup M ( m, r ) ile gösterilir ise
35
4. ÜRETEÇLER VE (m,r)-PATİKA DEVİRLERİN CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ
Fatma ÇİNAR
M ( m, r ) = a = {a, a 2 , a 3 ,K , a m + r −1}
olur. Ayrıca, kardinalitesi (eleman sayısı) a = M (m, r ) = m + r − 1 olur. Buradan
hareketle kısmi dönüşüm yarıgrubu PTn deki belirli yapıdaki elemanların doğurduğu
monojenik
altyarıgrupları
α =  x1 , K , xm x1 
ve
kardinalitelerini
m − devir, α =  x1 , K , xm xr 
inceleyelim.
(r ≠ 1)
PTn
’nin
(m, r ) − patika ve
α =  x1 ,K , xm −1 , − − m − kısmi patika şeklindeki elemanların doğurduğu monojenik
altyarıgrupları inceleyelim. Eğer α =  x1 , K , xm x1 
m − devir ise doğurduğu
monojenik altyarıgrup
α α m = I = {α , α 2 ,K , α m = I }
(I
birim dönüşüm )
olup α bir m elemanlı devirli gruptur. Ayrıca
α m = I ⇒ α 1+ m = α 1
olduğundan indeksi 1 ve periodu m olan M (1, m ) monojenik altyarıgruptur. Eğer
α =  x1 , K , xm xr  (r ≠ 1) yapısında ise α nın doğurduğu monojenik altyarıgrup
α α m = α r −1 = {α , α 2 ,K , α m −1}
olup kardinalitesi m − 1 olur. Ayrıca α = M ( ( r − 1) , m − ( r − 1) ) olur. Gerçekten,
αm =α
( r −1) + m − ( r −1) 
36
= α r −1
4. ÜRETEÇLER VE (m,r)-PATİKA DEVİRLERİN CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ
Fatma ÇİNAR
olur.
Eğer α =  x1 ,K , xm −1 , − − yapısında ise α nın doğurduğu monojenik
altyarıgrup
α α m−1 = 0 = {∅, α , α 2 , K , α m − 2 }
(burada ∅ = 1, − −  2, − − L  n, − − boş dönüşümdür; yani 0 sıfır elemandır).
Dolayısıyla α bir m − 1 elemanlı monojenik yarıgruptur. Ayrıca
α m −1 = 0 ⇒ α m = 0
α ( m−1)+1 = α m−1α = 0α = 0 = α m−1
olacağından α = M ( m − 1,1) indeksi m − 1 , periodu 1 olan monojenik altyarıgrup
olur.
Aşağıda PT2 ve PT3 yarıgrupların elenamlarının devir-patika yapıları,
sayıları ve doğurduğu monojenik altyarıgrubun kardinalitesi verilmiştir:
PT2
Yapısı
Sayısı
Kardinalitesi
1 1
1
1
1, 2 1
1
2
1, 2 2 
2
1
1, − −
2
1
1, 2, − −
2
2
1, − −  2, − −
1
1
PT3
37
4. ÜRETEÇLER VE (m,r)-PATİKA DEVİRLERİN CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ
Fatma ÇİNAR
Yapısı
Sayısı
Kardinalitesi
1 1
1
1
1, 2 1
3
2
1, 2 2 
6
1
1, 2,3 1
2
3
1, 2, 3 k  ( k ∈ {2,3})
12
2
1, 2 2  3, 2 2
3
1
1, − −
3
1
1, 2, − −
6
2
1, 2,3, − −
6
3
1, − −  2, − −
3
1
1, − −  2,3 3
6
1
1, − −  2,3 2 
3
2
1, 2, − − 3, − −
6
2
1, 2, − − 3, 2 2 
3
2
1, − −  2, − − 3, − −
1
1
38
5. KISMİ SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜM YARIGRUBU
Fatma ÇİNAR
5. KISMİ SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜM YARIGRUBU
X n = {1, 2, K , n} olmak üzere X n üzerindeki singüler dönüşümler yarıgrubu
Sing n ( STn ) olsun. O zaman
On = {α ∈ Sing n : ( ∀x, y ∈ X n ) x ≤ y ⇒ xα ≤ yα }
kümeside bileşke işlemi ile bir yarıgrup olup buna sırakoruyan dönüşüm yarıgrubu
denir (bkz. Howie, 1971). Benzer şekilde kısmi sırakoruyan dönüşüm yarıgrubu
POn = On U {α : domα ⊂ X n ( ∀x, y ∈ domα ) x ≤ y ⇒ xα ≤ yα }
n
 n  n + r − 1
şeklinde tanımlı olup POn = ∑  
 − 1 dir (Gomes ve Howie, 1992). Bu
r =1  r  n − 1 
bölümde sırakoruyan dönüşüm yarıgrubunda tanımlı bazı teoremleri ve m-patika
rankını verip, bunları kısmi sırakoruyan dönüşüm yarıgrubunda genelleyeceğiz.
5.1. Sırakoruyan Dönüşüm Yarıgrubu
Sırakoruyan dönüşüm yarıgrubu ile ilgili bazı kombinatorik hesaplamalar
 2n − 1
Howie tarafından 1971’de yapılmış. Örneğin; eleman sayısı On = 
 − 1 olarak
 n −1 
hesaplanmış, On ’nin tüm idempotentlerinin kümesinin eleman sayısı 2n .inci
Fibonacci sayısı f 2n ( f 0 = 0,
f1 = 1,
f n = f n− 2 + f n −1 (n ≥ 2) ) olmak üzere f 2 n − 1
olduğu ve On , defekti 1 olan idempotentlerinin kümesi
{
}
E1 = α ∈ On : α 2 = α ve im (α ) = n − 1
39
5. KISMİ SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜM YARIGRUBU
Fatma ÇİNAR
tarafından doğrulduğu göstermişlerdir.
Gomes ve Howie 1992’de yayınlanan çalışmalarında On nin rankının n (yani
rank ( On ) = n ) ve idempotent rankının 2n − 2 (yani idrank ( On ) = 2n − 2 ) olduğunu
göstermişlerdir.
A kümesi, STn deki m-patika devirlerin kümesi olsun. S ⊂ STn altyarıgrubu,
A kümesi tarafından doğruluyorsa; A ya S için bir m-patika doğuray kümesi denir.
Üstelik
m − rank ( S ) = min { A : A, S için m − patika doğuray kümesidir }
değerine S nin m-rankı denir.
Sırakoruyan dönüşüm yarıgrubunda defekti 1 olan her elemanının m-patikadevir olarak yazılabileceği Gomes ve Howie (1992) de gösterilmiştir. Burada, her
2 ≤ m ≤ n ve 1 ≤ i ≤ n − m + 1 için defekti 1 olan m − patika-devirlerini, Ayık, Ayık
ve Howie (2005) de kullandıkları notasyon ile aşağıdaki şekilde ifade edelim:
α m ,i = i, i + 1,K , i + m − 1 i + m − 1
β m ,i = i + m − 1, i + m − 2,K , i i 
m − patika-devirlerinin kümesini
Am = {α m,i , β m,i :1 ≤ i ≤ n − m + 1}
olarak alırsak Am = 2 ( n − m + 1) olur. Özel olarak m = 2 için
ε i = i, i + 1 i + 1
(1 ≤ i ≤ n − 1)
δ i = i, i − 1 i − 1
(2 ≤ i ≤ n)
40
5. KISMİ SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜM YARIGRUBU
Fatma ÇİNAR
defekti 1 olan idempotentlerin kümesi E1 = {ε i :1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {δ i : 2 ≤ i ≤ n} olur.
Ayrıca
γ =  n, n − 1,K , 2,11
olmak üzere A = {ε i :1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {γ } olsun. Bu notasyonlar ile Gomes ve Howie
(1992) aşağıdaki teoremi ifade ve ispat etmiştir.
Teorem 5.1 2 ≤ n için
(i)
On = A ve rank ( On ) = n dir; ve
(ii)
On = E1 ve idrank ( On ) = 2n − 2 dir.
■
Önerme 5.2 2 ≤ m ≤ n için
β m ,iα m,i = ε i
(1 ≤ i ≤ n − m + 1)
(1)
α m ,i β m,i = δ i + m −1
(1 ≤ i ≤ n − m + 1)
(2)
α m ,i +1β m ,i = ε i + m −1
(1 ≤ i ≤ n − m )
(3)
β m ,iα m,i +1 = δ i +1
(1 ≤ i ≤ n − m )
(4)
olur.
İspat: 2 ≤ m ≤ n olsun. O zaman, her 1 ≤ i ≤ n − m + 1 için
β m ,iα m,i
i + m − 1, i + m − 2,K , i i  i, i + 1,K , i + m − 1 i + m − 1
= i, i + 1 i + 1 = ε i
=
ve
41
5. KISMİ SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜM YARIGRUBU
Fatma ÇİNAR
i, i + 1,K , i + m − 1 i + m − 1 i + m − 1, i + m − 2,K , i i 
= i + m − 1, i + m − 2 i + m − 2 = δ i + m −1
α m ,i β m ,i
=
olur. Ayrıca, her 1 ≤ i ≤ n − m için
α m ,i +1β m,i
= i + 1, i + 2,K , i + m i + m  i + m − 1, i + m − 2,K , i i 
=
i + m − 1, i + m i + m  = ε i + m −1
β m ,iα m,i +1
= i + m − 1, i + m − 2,K , i i  i + 1, i + 2,K , i + m i + m 
= i + 1, i i  = δ i +1
ve
■
olur.
Teorem 5.3
Am = {α m,i , β m,i :1 ≤ i ≤ n − m + 1} kümesinin On için bir doğuray
kümesi olması için gerek ve yeter koşul m ≤
n+2
olmasıdır.
2
İspat: ( ⇒ ) Am kümesi On için doğuray kümesi olsun. O zaman rank ( On ) = n
olduğundan
Am = 2 ( n − m + 1) ≥ n
eşitsizliği gerçeklenir. Buradan da m ≤ ( n + 2 ) / 2 elde edilir.
(⇐)
Önerme 5.2 den defekti 1 olan idempotentler,
ε1 , ε 2 ,K , ε n − m+1 , ε m , ε m +1 ,K , ε n −1
δ 2 , δ 3 , K , δ n− m +1 , δ m , δ m +1 ,K , δ n
42
((1) ve ( 3) )
( ( 2 ) ve ( 4 ) )
5. KISMİ SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜM YARIGRUBU
Fatma ÇİNAR
Am kümesinin elemanlarıdır. Yukarıdaki listede defekti 1 olan tüm idempotentler
mevcut olacağından n − m + 1 ≥ m − 1 olması gerekir. Bu ise m ≤ ( n + 2 ) / 2 eşitsizliği
■
gerektirir.
{
}
Örnek 5.4 O3 deki 3-patikaların kümesi A3 = 1, 2,3 3 , 3, 2,11 olur. m >
olduğundan O3 ’ü doğurmaz. Gerçekten O3 = 9 ve
n+2
2
A3 = 7 dir.
5.2. Kısmi Sırakoruyan Dönüşüm Yarıgrubu
Kısmi sırakoruyan dönüşüm yarıgrubu POn ⊂ Pn olduğundan POn nin
elemanlarını da çarpanlarına ayırma metodunu kullanarak kısmi-patika-devirlerin
çarpımı biçiminde yazabiliriz.
α ∈ POn
ve
x∈ Xn
için
çarpanlarına
ayırma
metodu
gereği
x → xα → xα 2 → L → xα m biçiminde sonlu bir dizi mevcuttur. Buradan hareketle
kısmi sırakoruyan dönüşüm yarıgrubu POn nin elemanlarını kısmi patika devirler
olarak
α =  x, xα , xα 2 , K , xα m xα r 
veya α =  x, xα ,K , xα m −2 , − − 
şeklinde
yazabiliriz. Ayrıca x < xα için POn nin tanımından ( x ) α < ( xα ) α yani xα < xα 2
olup bu şekilde devam edildiğinde x < xα < xα 2 < L < xα m eşitsizlikleri elde edilir.
Benzer şekilde x > xα için de x > xα > xα 2 > L > xα m eşitsizlikleri elde edilir.
Teorem 5.5 α ∈ POn ve α = α1α 2 Lα p için def α = m ise pcrα = m olur.
İspat: 1 ≤ i ≤ p için αi , α nın bir çarpanı ve x ∈ X n olsun. Hiçbir çarpanın bir devir
olamayacağını göstermek yeterlidir.
Eğer
α i =  x, xα ,K , xα m −1 x 
x < xα < L < xα m = x
olur
şekilde α i =  x, xα ,K , xα m −1 x 
ki
ve
bu
ve
POn
x < xα < L < xα m−1
tanımı
ile
çelişir.
x > xα > L > xα m −1 > xα m = x
43
ise
Benzer
de olamaz.
5. KISMİ SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜM YARIGRUBU
Fatma ÇİNAR
Dolayısıyla αi bir devir olamaz yani, cyclα = 0 olur. Böylece pcrα = def α + cyclα
eşitliğinden pcrα = def α = m elde edilir.
■
Eğer sadece defekti 1 olan elemanlarla ilgilenilir ise her α ∈ POn ve
def (α ) = 1 için Sonuç 3.5 ve Teorem 5.5 den α bir tek çarpandan ibaret olup tek
türlü çarpanlarına ayrılır.
Teorem 5.6 α ∈ On için def (α ) = 1 ise α , bir m-patika dır.
İspat: α ∈ On ve def (α ) = 1 ise Teorem 5.5 den α bir patika-devir olup bir devir
olamaz. Dolayısıyla 1 < r ≤ m için α =  x, xα ,K , xα m xα r  biçimindedir. On nin
tanımından
xα m −1 < xα m
xα m ≤ xα m +1 = xα r
iken
olduğundan
r=m
ve
xα m −1 > xα m iken xα m ≥ xα m +1 = xα r olduğundan r = m olur. Böylece her iki
durumda da α bir m-patikadır (ayrıca bkz. Gomes ve Howie (1992)).
Gomes ve Howie (1992), On deki defekti 1 olan elemanların m-patika devir
yapısını
x∈ Xn
için
α =  x, x + 1,K , x + m − 1 x + m − 1
α =  x + m − 1, x + m − 2,K , x + 1, x x 
biçiminde
ya
göstermiştir.
da
Şimdi
α ∈ SPOn = POn − On için kısmi m-patika yapısını inceleyelim:
Teorem 5.7 α ∈ SPOn için def (α ) = 1 olsun. O zaman α bir kısmi m − patikadır,
ve
ayrıca,
bir
x∈ Xn
α =  x, x + 1,K , x + m − 2, − −
için
veya
α =  x, x − 1, K , x − m + 2, − − şeklindedir.
İspat: α ∈ SPOn ve def (α ) = 1 olsun. O zaman dom (α ) ≥ n − 1 ve dom (α ) ≠ X n
olduğundan dom (α ) = n − 1 olur. Böylece Teorem 5.5 den bir x ∈ X n için
α =  x, xα ,K , xα m −2 , − −  biçiminde olacaktır. Ayrıca, herhangi bir y ∈ X n için
yα = y olsun. Eğer1 ≤ k ≤ m − 2 için xα k < y < xα k +1 olsaydı POn nin tanımı gereği
44
5. KISMİ SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜM YARIGRUBU
Fatma ÇİNAR
xα k +1 < yα = y < xα k + 2 olur ki bu xα k +1 < y < xα k +1 çelişkisini verir. O halde, her
1 ≤ k ≤ m − 2 için xα k ile xα k +1 arasında öyle bir y ∈ X n yoktur. Buradan
x < xα < K < xα m − 2 ya da x > xα > K > xα m− 2 olduğundan
α =  x, x + 1,K , x + m − 2, − −
ya da
α =  x, x − 1,K , x − m + 2, − −
şeklindedir.
■
5.2.1. Kısmi m-patika Doğuray Kümesi
A , defekti 1 olan kısmi m-patika devirlerin kümesi olsun. Eğer bir S ⊂ POn
altyarıgrubu, A kümesi tarafından doğruluyor ise A ya S için bir kısmi m-patika
doğuray kümesi denir. Ayrıca
m − rank ( S ) = min { A : A, S için kısmi m − patika doğuray kümesidir }
sayısına S nin m − rankı denir. POn deki patikalar artan ya da azalan olduğundan
defekti 1 olan kısmi olmayan ve olan m − patika devirleri aşağıdaki gibi seçebiliriz:
Her 2 ≤ m ≤ n ve 1 ≤ i ≤ n − m + 1 için
α m ,i = i, i + 1,K , i + m − 1 i + m − 1
ve
β m ,i = i + m − 1, i + m − 2,K , i i 
olsun. Her 2 ≤ m ≤ n + 1 ve 1 ≤ i ≤ n − m + 2 için
45
5. KISMİ SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜM YARIGRUBU
Fatma ÇİNAR
ϕm ,i = i, i + 1,K , i + m − 2, − −
ve
φm,i = i + m − 2, i + m − 3, K , i, − −
olsun. Ayrıca, her 2 ≤ m ≤ n için
Am* = {α m,i , β m ,i 1 ≤ i ≤ n − m + 1} ∪ {ϕ m,i , φm ,i 1 ≤ i ≤ n − m + 2}
ve
{
}
An +1* = {ϕ n +1,1 , φn +1,1} = 1, 2,K , n, − − ,  n, n − 1,K ,1, − −
olarak tanımlansın. Bu durumda, her 2 ≤ m ≤ n + 1 için
Am* = 2 ( n − m + 1) + 2 ( n − m + 2 ) = 4n − 4m + 6
olur. Özel olarak POn deki defekti 1 olan idempotentlerin,
ε i = i, i + 1 i + 1
(1 ≤ i ≤ n − 1)
δ i = i, i − 1 i − 1
(2 ≤ i ≤ n)
γ i = i, − −
(1 ≤ i ≤ n )
kümesi E1* = {ε i :1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {δ i : 2 ≤ i ≤ n} ∪ {γ i :1 ≤ i ≤ n} olur.
Şimdi α1 ∈ SPOn dönüşümü dom(α1 ) = X n − {1} ve im(α1 ) = X n − {n} olarak
ve her i = 2,3,K , n için α i ∈ SPOn dönüşümlerini de dom(α i ) = X n − {i} ve
im(α i ) = X n − {i − 1}
olarak
tanımlayalım.
Her
i = 1, 2,K , n
için
dom(α i ) = im(αi ) ( = n − 1) olduğundan α i ∈ SPOn dönüşümleri tek türlü belirlidir.
Örneğin, n = 4 için
46
5. KISMİ SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜM YARIGRUBU
1
α1 = 
−
1
α3 = 
1
Fatma ÇİNAR
2 3 4
1 2 3 4
, α2 = 


1 2 3
 2 − 3 4
2 3 4
1 2 3 4 
 α4 = 

3 − 4
1 2 4 − 
olur. Yukarda ki notasyonlar ile
A* = {ε i :1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {α i :1 ≤ i ≤ n}
alınır ise Gomes ve Howie (1992) aşağıdaki teoremi ifade ve ispat etmiştir.
Teorem 5.8 2 ≤ n için
(i)
POn = A* ve rank ( POn ) = 2n − 1 dir; ve
(ii)
POn = E1* ve idrank ( POn ) = 3n − 2 dir.
■
Önerme 5.9 Her 2 ≤ m ≤ n için
β m ,iα m,i = ε i
(1 ≤ i ≤ n − m + 1)
(1)
α m ,i β m,i = δ i + m −1
(1 ≤ i ≤ n − m + 1)
(2)
α m ,i +1β m ,i = ε i + m −1
(1 ≤ i ≤ n − m )
(3)
β m ,iα m,i +1 = δ i +1
(1 ≤ i ≤ n − m )
(4)
ve
her 2 ≤ m ≤ n + 1 için
ϕm ,iφm,i = γ i + m −2
(1 ≤ i ≤ n − m + 2 )
(5)
φm,iϕ m,i = γ i
(1 ≤ i ≤ n − m + 2 )
(6)
47
5. KISMİ SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜM YARIGRUBU
Fatma ÇİNAR
olur.
İspat: (1)-(4) eşitliklerin ispatı Önerme 5.2 de yapıldı. Biz diğerlerini yapalım:
Her 2 ≤ m ≤ n + 1 ve 1 ≤ i ≤ n − m + 2 için
ϕm ,iφm,i
i, i + 1,K , i + m − 2, − − i + m − 2, i + m − 3,K , i, − −
= i + m − 2, − − = γ i +m − 2
=
ve
φm,iϕ m,i
i + m − 2, i + m − 3, K , i, − − i, i + 1,K , i + m − 2, − −
= i, − − = γ i
=
■
olur.
Önerme 5.10 α , β ∈ POn olsun. Ayrıca 1 ≤ i < k ≤ n ve 1 ≤ j < l ≤ n olmak üzere
α = i, i + 1,K , k − 1, k k  ve β =  j , j + 1,K , l − 1, l l 
olsun. Eğer i = l − 1 veya i = l ise αβ çarpımının da defekti 1 olur. Ayrıca αβ bir
artan ( k − j + 1) − patika -devirdir.
İspat: 1 ≤ i < k ≤ n ve 1 ≤ j < l ≤ n olmak üzere
α = i, i + 1,K , k − 1, k k  ve β =  j , j + 1,K , l − 1, l l 
olsun.
Eğer i = l − 1 ise
αβ
l − 1, l ,K , k − 1, k k   j , j + 1,K , l − 1, l l 
=  j, j + 1,K , l − 1, l , l + 1,K , k − 1, k k 
=
48
5. KISMİ SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜM YARIGRUBU
Fatma ÇİNAR
olup αβ bir artan ( k − j + 1) − patika -devirdir.
Eğer i = l ise
αβ
= l , l + 1, K , k − 1, k k   j , j + 1,K , l − 1, l l 
=  j, j + 1,K , l − 1, l , l + 1,K , k − 1, k k 
olup αβ bir artan ( k − j + 1) − patika -devirdir.
Önerme 5.11 α , β ∈ POn olsun. Ayrıca 1 ≤ k < i ≤ n ve 1 ≤ l < j ≤ n olmak üzere
α = i, i − 1,K , k + 1, k k  ve β =  j , j − 1,K , l + 1, l l 
olsun. Eğer i = l veya i = l + 1 ise αβ çarpımının da defekti 1 olur. Ayrıca αβ bir
azalan ( k − j + 1) − patika -devirdir.
İspat 1 ≤ k < i ≤ n ve 1 ≤ l < j ≤ n olmak üzere
α = i, i − 1,K , k + 1, k k  ve β =  j , j − 1,K , l + 1, l l 
olsun.
Eğer i = l ise
αβ
= l , l − 1,K , k + 1, k k   j , j − 1,K , l + 1, l l 
=  j, j − 1,K , l + 1, l , l − 1,K , k + 1, k k 
olup αβ bir azalan ( k − j + 1) − patika -devirdir.
Eğer i = l + 1 ise
49
■
5. KISMİ SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜM YARIGRUBU
αβ
Fatma ÇİNAR
= l + 1, l ,K , k + 1, k k   j , j − 1,K , l + 1, l l 
=  j, j − 1,K , l + 1, l , l − 1,K , k + 1, k k 
olup αβ bir azalan ( k − j + 1) − patika -devirdir.
■
Önerme 5.12 α , β ∈ POn olsun. Ayrıca 1 ≤ i < k ≤ n + 1 ve 1 ≤ j < l ≤ n + 1 olmak
üzere
α = i, i + 1,K , k − 1, − − ve β =  j , j + 1,K , l − 1, − −
olsun. Eğer i = l − 1 ise αβ çarpımının da defekti 1 olur. Ayrıca αβ bir artan kısmi
( k − j + 1) − patika dır.
İspat: 1 ≤ i < k ≤ n + 1 ve 1 ≤ j < l ≤ n + 1 olmak üzere
α = i, i + 1,K , k − 1, − − ve β =  j , j + 1,K , l − 1, − −
olsun.
Eğer i = l − 1 ise
αβ
= l − 1, l ,K , k − 1, − −  j , j + 1,K , l − 1, − −
=  j , j + 1, K , l − 1, l , l + 1, K , k − 1, − −
olup αβ bir artan kısmi ( k − j + 1) − patika dır.
Önerme 5.13 α , β ∈ POn olsun. Ayrıca 1 ≤ i < k ≤ n + 1 ve 1 ≤ j < l ≤ n + 1 olmak
üzere
α = i, i − 1,K , k + 1, − − ve β =  j , j − 1,K , l + 1, − −
50
■
5. KISMİ SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜM YARIGRUBU
Fatma ÇİNAR
olsun. Eğer i = l + 1 ise αβ çarpımının da defekti 1 olur. Ayrıca αβ bir azalan kısmi
( k − j + 1) − patika dır.
İspat: 0 ≤ k < i ≤ n ve 0 ≤ l < j ≤ n olmak üzere
α = i, i − 1,K , k + 1, − − ve β =  j , j − 1,K , l + 1, − −
olsun.
Eğer i = l + 1 ise
αβ
= l + 1, l ,K , k + 1, − −  j, j − 1,K , l + 1, − −
=  j, j − 1,K , l + 1, l , l − 1,K , k + 1, − −
olup αβ bir azalan kısmi ( k − j + 1) − patika dır.
■
Şimdi yukarda ki notasyonlar ile bu bölümün temel teoremini ifade ve ispat
edebiliriz:
Teorem 5.14 n ≥ 2 olsun. O zaman
Am* = {α m,i , β m ,i 1 ≤ i ≤ n − m + 1} ∪ {ϕ m,i , φm ,i 1 ≤ i ≤ n − m + 2}
kümesinin POn için bir doğuray kümesi olması için gerek ve yeter koşul m ≤
2n + 7
4
olmasıdır.
İspat:
(⇒ )
Am*
kümesi
POn
için
doğuray
kümesi
rank ( POn ) = 2n − 1 olduğundan
Am* = 4n − 4m + 6 ≥ 2n − 1
51
olsun.
O
zaman
5. KISMİ SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜM YARIGRUBU
Fatma ÇİNAR
 2n + 7 
eşitsizliği gerçeklenir. Buradan da m ≤ 
 elde edilir.
 4 
(⇐)
 2n + 7 
m≤
 olsun. O zaman Önerme 5.9 dan defekti 1 olan idempotentler,
 4 
δ 2 , δ 3 , K , δ n− m +1 , δ m , δ m +1 ,K , δ n
((1) ve ( 3) )
( ( 4 ) ve ( 2 ) )
γ 1 , γ 2 ,K , γ n − m+ 2 , γ m−1 , γ m , K , γ n
(( 6 ) ve ( 5) )
ε1 , ε 2 ,K , ε n − m+1 , ε m , ε m +1 ,K , ε n −1
 n + 2 2n + 7 
Am* kümesinin elemanları olur. Böylece 
<
 olup Teorem 5.3 de ki
4 
 2
gibi E1 ⊂ Am* olur. Ayrıca
2n + 1 2n − 1
 2n + 7 
n−m + 2 ≥ n −
>
≥ m−2
+2 =
4
4
 4 
olduğundan γ 1 , γ 2 ,K , γ n − m+ 2 , γ m −1 , γ m ,K , γ n ∈ Am*
olup E1* ⊂ Am*
olur. Böylece
Teorem 5.3 den POn = E1* olduğu bilindiğinden Am* kümesi POn için bir doğuray
■
kümesi olur.
52
KAYNAKLAR
AYIK, G., AYIK, H. and HOWIE, J.M., 2005. On Factorisations and Generators in
Transformation Semigroups. Semigroup Forum,70: 225—237
AYIK, G., AYIK, H., HOWIE, J.M. and ÜNLÜ, Y., 2005a. The Structure of
Elements in Finite Full Transformation Semigroups. Bull. Aust. Math. Soc.,
71: 69—74.
AYIK, G., AYIK, H., HOWIE, J.M. and ÜNLÜ, Y.,2005b. Rank Properties of the
Semigroup of Singular Transformations on a Finite Set. Communications in
Algebra, 36: 2581—2587.
GARBA, G.U., 1994a. On the Nilpotent Rank of Partial Transformation Semigroups.
Portugal.Math., 51(2):163-172.
,1994b. On The Idempotent Ranks of Certain Semigroups of Order-preserving
Transformations. Portugal.Math., 51(2):185—204.
GOMES, G.M.S. and HOWIE, J.M. , 1992. On The Ranks of Certain Semigroups of
Order-Preserving transformations. Semigroup Forum, 45:272—282.
HOWIE, J.M., 1971. Prodcuts of Idempotents in Certain Semigroups of
Transformations. Proc.Edingburg Math Soc., (2) 17:223—236.
HOWIE, J.M., 1995. Fundamentals of semigroup theory. London Mathematical
Society Monographs. New Series, 12. Oxford Science Publications. The
Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 351s.
ROTMAN, J. J. 1994. An Introduction to the Theory of Groups. Springer-Verlag,
New York, Berlin, Heidelberg, 536s.
TAINITER, M., 1968. A characterization of idempotent in semigroups. J.
Combinatorial Theory, (5):370—373.
53
54
ÖZGEÇMİŞ
05/03/1979 yılında Adana’da doğdu. İlk, orta ve lise öğrenimini Adana’da
tamamladı. 1998 yılında başladığı Balıkesir Üniversitesi, Eğitim Fakültesi,
Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği Bölümü’nden 2003 yılında mezun oldu ve
2004 yılında Çukurova Üniversitesi Matematik Bölümünde lisans üzerine doktora
eğitimine başladı ve halen devam etmektedir.
55