Untitled - Gazi Üniversitesi Açık Arşiv

MEET VE JOİN MATRİSLERİ
Merve GENÇ ARSLAN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
HAZİRAN 2014
Merve GENÇ ARSLAN tarafından hazırlanan “MEET VE JOİN MATRİSLERİ” adlı tez çalışması
aşağıdaki jüri tarafından OY BİRLİĞİ ile Gazi Üniversitesi Matematik Anabilim Dalında
YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Danışman: Doç. Dr. Ercan ALTINIŞIK
Matematik, Gazi Üniversitesi
Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum
...…………………
Başkan : Prof. Dr. Dursun TAŞCI
Matematik, Gazi Üniversitesi
Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum
…………………...
Üye : Doç. Dr. Devrim ÇAKMAK
İlköğretim Matematik Eğitimi, Gazi Üniversitesi
Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum
Tez Savunma Tarihi:
…………………...
24/06/2014
Jüri tarafından kabul edilen bu tezin Yüksek Lisans Tezi olması için gerekli şartları yerine
getirdiğini onaylıyorum.
…………………….…….
Prof. Dr. Şeref SAĞIROĞLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
ETİK BEYAN
Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Tez Yazım Kurallarına uygun olarak
hazırladığım bu tez çalışmasında;

Tez içinde sunduğum verileri, bilgileri ve dokümanları akademik ve etik kurallar
çerçevesinde elde ettiğimi,

Tüm bilgi, belge, değerlendirme ve sonuçları bilimsel etik ve ahlak kurallarına uygun
olarak sunduğumu,

Tez çalışmasında yararlandığım eserlerin tümüne uygun atıfta bulunarak kaynak
gösterdiğimi,

Kullanılan verilerde herhangi bir değişiklik yapmadığımı,

Bu tezde sunduğum çalışmanın özgün olduğunu,
bildirir, aksi bir durumda aleyhime doğabilecek tüm hak kayıplarını kabullendiğimi beyan
ederim.
Merve GENÇ ARSLAN
24/06/2014
iv
MEET VE JOİN MATRİSLERİ
(Yüksek Lisans Tezi)
Merve GENÇ ARSLAN
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Mayıs 2014
ÖZET
Bu çalışmada, meet ve join matrisleri ile literatürdeki ilgili bazı sonuçlar derlenmiştir.
Özellikle bu matrislerin determinantları ve tersleri üzerinde durulmuştur. Son olarak yeni
bir meet-join matrisi için bu sonuçlar genelleştirilmeye çalışılmıştır.
Bilim Kodu
Anahtar Kelimeler
Sayfa Adedi
Danışman
:
:
:
:
204.1.025
Meet ve join matrisleri
57
Doç. Dr. Ercan ALTINIŞIK
v
MEET AND JOIN MATRİCES
(M. Sc. Thesis)
Merve GENÇ ARSLAN
GAZİ UNIVERSITY
GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
June 2014
ABSTRACT
In this study, we summarize some results on meet and join matrices in the literature. We
particularly focus on their determinants and inverses. Finally we try to generalize these
results for a new type of meet-join matrix.
Science Code
Key Words
Page Number
Supervisor
:
:
:
:
204.1.025
Meet and join matrices
57
Assoc. Prof. Dr. Ercan ALTINIŞIK
vi
TEŞEKKÜR
Bu tezin hazırlanmasında ve tamamlanmasında değerli yardım ve katkılarıyla beni
yönlendiren, faydalı tavsiyelerde bulunan ve kendisinden çok şey öğrendiğim kıymetli
hocam Doç. Dr. Ercan ALTINIŞIK’ a, ayrıca manevi desteklerinden dolayı tüm
arkadaşlarıma, canım kardeşime, sevgili eşime ve beni bu günlere getiren maddi manevi
desteklerini esirgemeyen aileme sonsuz teşekkürü bir borç bilirim.
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET ..............................................................................................................................
iv
ABSTRACT ....................................................................................................................
v
TEŞEKKÜR ....................................................................................................................
vi
İÇİNDEKİLER ..............................................................................................................
vii
ŞEKİLLERİN LİSTESİ ..................................................................................................
ix
SİMGELER VE KISALTMALAR.................................................................................
x
1. GİRİŞ.......................................................................................................
1
2. TEMEL KAVRAMLAR ve TEOREMLER ......................................................................
3
3. MEET MATRİSLERİ..............................................................................................................................
5
3.1. Meet Matrisleri ile İlgili Çalışmalar ....................................................................
5
3.1.1. Meet matrisinin tanımı ..............................................................................
5
3.1.2. Meet matrisinin determinantı ....................................................................
9
3.1.3. Meet matrisinin alt ve üst sınırları ............................................................
16
3.1.4. Meet matrisinin tersi .................................................................................
19
3.1.5. İncidence fonksiyonları yardımıyla meet matrisleri .................................
21
4. JOİN MATRİSLERİ .................................................................................................................................
31
4.1. Join Matrisleri ile İlgili Çalışmalar .....................................................................
31
4.1.1. Join matrisinin tanımı ................................................................................
31
4.1.2. Join matrisinin determinantı ......................................................................
35
4.1.3. Join matrisinin alt ve üst sınırları ..............................................................
37
4.1.4. Join matrisinin tersi ...................................................................................
41
5. YARI- ÇARPIMSAL FONKSİYONLAR İLE MEET VE JOİN
MATRİSLERİ ...........................................................................................................
43
viii
Sayfa
5.1. Yarı-Çarpımsal Fonksiyonların ile Meet ve Join Matrislerinin İncelenmesi ......
43
5.1.1.Yarı-çarpımsal fonksiyonların tanımı ........................................................
43
5.1.2. Yarı-çarpımsal fonksiyonlar ile join matrisleri .........................................
44
5.1.3. Yarı-çarpımsal fonksiyonlar ile meet matrisleri........................................
48
6. SONUÇ VE ÖNERİLER ....................................................................................
53
KAYNAKLAR ...............................................................................................................
55
ÖZGEÇMİŞ ....................................................................................................................
57
ix
ŞEKİLLERİN LİSTESİ
Sayfa
Şekil 3. 1. ⟨
⟩ nin Hasse diyagramı. ................................................................................. 5
Şekil 3. 2. ⟨
⟩ nin Hasse diyagramı. ............................................................................... 11
Şekil 4. 1. ⟨
⟩ nin Hasse diyagramı. ............................................................................... 31
x
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış simgeler, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur.
Simgeler
Açıklamalar
Möbius fonksiyonu
Zeta fonksiyonu
Genelleştirilmiş toplam fonksiyonu
Euler
fonksiyonu
Delta fonksiyonu
ve
nin Dirichlet konvolüsyonu
x meet y
join
[
]
(
)
[
]
(
[
)
ve
nin en büyük ortak böleni
ve
nin en küçük ortak katı
nin
altındaki görüntüsü
] nin
altındaki görüntüsü
nin
altındaki görüntüsü
nin
altındaki görüntüsü
meet matrisi
join matrisi
kümesinin infimumu
kümesinin supremumu
nin üst sınırlarının kümesi
̅
nin alt sınırlarının kümesi
yi kapsayan minimal meet-yarı latis
1
1. GİRİŞ
{
} elemanları pozitif tamsayılar olan bir küme olmak üzere
tamsayılarının en büyük ortak bölenini göstersin.
(
,
) matrisine
ve
üzerinde
tanımlı en büyük ortak bölen matrisi denir. En büyük ortak bölen matrisleri ile ilgili ilk
{
çalışma 1876 yılında Smith’ in
} üzerinde tanımlı
matrisi için
, Euler
olduğunu gösterdiği çalışmadır
fonksiyonu olmak üzere
. Bu matrisler Beslin ve Ligh tarafından 1989 yılında tekrar ele alınarak literatürde
yeniden çalışılmaya başlanmıştır
tanımlamıştır
. 1991 yılında Beslin en küçük ortak kat matrislerini
. 1992 yılında Bourque ve Ligh en büyük ortak bölen ve en küçük ortak
kat matrislerinin determinantları ve tersleri ile ilgili sonuçlar elde etmişlerdir
.
Bu çalışmaların yanında 1991 yılında Bhat en büyük ortak bölen matrisinin kısmi sıralı
kümeler üzerine genelleştirmesini sunmuştur
{
},
üzerinde tanımlı kompleks değerli bir
nin bir alt kümesi ve ,
fonksiyon olmak üzere
(
tipinden
bir meet yarı-latis ve
. Haukkanen
) matrisini
üzerinde tanımlı
meet matrisi olarak adlandırmış ve bu matrisin determinantı ve tersleri için formüller
vemiştir
.
aritmetik fonksiyonu için (
Hong,
) ve ( [
determinantı için birer alt sınır ve birer üst sınır elde etmiştir
2001 yılındaki çalışmalarında,
]) matrislerinin
. Korkee ve Haukkanen
bir incidence fonksiyonu iken meet yarı latis üzerinde
tanımlı meet matrislerinin determinantının sınırları için Hong’un bu çalışmalarının soyut
genellemelerini vermişlerdir. Bunun yanında
bir incidence fonksiyonu iken meet-kapalı
kümeler üzerinde meet matrisinin tersi için bir formül elde etmişlerdir
. Haukkanen ve
Korkee daha sonra bu çalışmalarının devamında benzer olarak en küçük ortak kat
matrislerinin soyut genellemeleri olan, latisler üzerinde tanımlı join matrislerini
incelemişlerdir.
bir latis ve
{
}
nin bir alt kümesi olsun. ,
üzerinde
(
)
tanımlı kompleks değerli bir fonksiyon olmak üzere
üzerinde tanımlı join matrisi olarak adlandırmışlardır.
matrisini
alıp
tipinden
yi
nin dual latisini ele
nin duali olarak yorumlamışlardır. Ayrıca join-kapalı kümeler üzerinde
join matrisi için bir formül sunmuşlardır
.
2
Bu tez çalışmasında en büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat matrislerinin soyut
genellemeleri olan meet ve join matrisleri ile ilgili şimdiye kadar yapılan temel çalışmalar
sunulmuştur. İkinci bölümde konuya hazırlık olması açısından sıra ve latis kavramlarına
ilişkin tanımlar ve özellikler verilmiştir.
Üçüncü bölümde meet matrisleri üzerine Haukkanen ve Korkee tarafından elde edilen
sonuçlar derlenmiştir. Sonra yine Haukkanen ve Korkee tarafından sunulan join matrisinin
determinantı ve tersi için formüller ve meet matrisi ile join matrisinin birbirleri cinsinden
ifadeleri verilmiştir
.
Son bölümde bu tezin amacı olan
(
) matrisinin özelliklerinin elde
edilmesi ve ayrıca meet ve join matrisleri ile ilişkisinin araştırılması problemini çözmek
için başarısız girişimlerimiz tartışılmıştır.
3
2. TEMEL KAVRAMLAR VE TEOREMLER
bir kısmi sıralı küme ve
olsun. Her
için
olacak şekilde bir
varsa ,
nin bir üst sınırı ve benzer şekilde her
için
olacak şekilde bir
varsa ,
nin bir alt sınırıdır denir.
{
nin tüm üst sınırlarının kümesi
} şeklinde tanımlanır.
{
ile gösterilir ve
kümesinin en kü ük üst sınırı
nin bir en büyük elemanı varsa bu elemana
} yerine
kullanılır ve
kullanılır ve
yerine
kullanılır ve join
yerine
varsa
yerine
ve benzer şekilde
kullanılır ve meet
için
ve
mevcut ise
ye bir tam latis denir. Her
olarak okunur. Aynı şekilde
join
olarak okunur
de mevcutsa
{
}
kümesinin supremumu varsa
kümesinin infimumu
.
ye bir latis, her
için
yarı latis denir. Benzer şekilde her
denir.
nin en büyük alt sınırına infimum da
olarak okunur. Benzer şekilde
Her
latis denir
ü
olarak okunur. Ayrıca
meet
nun bir en küçük
kümesinin en büyük alt sınırı
nin en küçük üst sınırına supremum benzer şekilde
{
nin tüm alt sınırlarının kümesi
} şeklinde tanımlanır.
elemanı varsa bu elemana
denilir.
ile gösterilir ve
için
mevcut ise
için
mevcut ise
{
},
ve
kümesine meet
kümesine join yarı
.
kümesi bir sonlu latis ve
Her
için
denir. Her
için
şekilde her
için
küme ve her
olduğunda
ve
oluyorsa
oluyorsa
kümesine alt-kapalı küme
kümesine meet-kapalı küme denir. Benzer
olduğunda
ve
için
oluyorsa
nin bir alt kümesi olsun.
oluyorsa
kümesine üst-kapalı
kümesine join-kapalı küme adı verilir. Bir
alt-kapalı küme meet-kapalıdır ve bir üst-kapalı küme join-kapalıdır fakat bu
gerektirmelerin karşıtları doğru değildir
bir latis ve ,
,
için
{
sırasıyla
.
nin boştan farklı bir alt kümesi olsun. Her
olduğunda
}
oluyorsa
ve
için
ye bir ideal denir.
olmak üzere
{
tarafından üretilen sıra ideali ve dual sıra ideali denir.
ve
}
,
kümelerine
yi kapsayan
4
minimal alt-kapalı kümedir ve aynı şekilde
,
yi kapsayan minimal üst-kapalı kümedir
.
den kompleks sayılara tanımlanan
nin bir incidence fonksiyonu,
şeklinde tanımlanan bir fonksiyondur.
olmak üzere
ve ,
de
iken
nin incidence fonksiyonları
nin toplam ve konvolüsyonu sırasıyla
ve
ve
∑
şeklinde tanımlanır. Gerçekten
nin incidence fonksiyonlarının kümesi bu toplam ve
konvolüsyon çarpımı ile birlikte birimli bir halkadır. Bu halkanın birimi
{
ile tanımlanan
incidence fonksiyonudur.
nin zeta fonksiyonu ile gösterilir ve
nin möbius fonksiyonu
{
ve
∑
{
şeklinde tanımlanır ve ,
fonksiyonunun tersidir
.
ile gösterilir.
5
3. MEET MATRİSLERİ
3.1. Meet Matrisleri ile İlgili Çalışmalar
Bu bölümde meet matrisleri ile ilgili literatürdeki çalışmalar sunulacaktır.
kümesinin alt-
kapalı veya meet-kapalı olması durumlarında meet matrislerinin determinantları ve tersleri
için formüller verilecektir. Ayrıca
kümesi üzerine herhangi bir koşul konulmadan meet
matrisinin determinantı için sınırlar verilecektir. Bu bölümün son kısmında bu sonuçlar
üzerindeki incidence fonksiyonları yardımıyla tekrar sunulacaktır.
3.1.1. Meet matrisinin tanımı
3.1.1. Tanım
{
},
nin bir alt kümesi ve ,
(
fonksiyon olsun. O zaman
matrisi
kümesinin
üzerinde tanımlı kompleks değerli bir
) olmak üzere
fonksiyonu ile tanımlı meet matrisidir
tipinden
(
)
.
Örnek
{
} kümesi üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısı Şekil 3.1 deki
Hasse diyagramı ile verilsin.
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
Şekil 3. 1. ⟨
⟩ nin Hasse diyagramı.
6
Şimdi
{
nin bir
} alt kümesi ve ,
üzerinde tanımlı kompleks değerli
matrisi aşağıdaki gibidir.
bir fonksiyon olsun.
(
)
(
)
olduğundan simetrik matris elde edilir.
Şimdi
matrisinin determinantını hesaplamak ve tersini bulmak için kullanılacak olan
bir fonksiyon tanıtılacak ve sonra bu fonksiyonun sağladığı bir eşitlik sunulacaktır.
3.1.2. Tanım
{
},
fonksiyon olsun.
( )
{
( )
üzerinde tanımlı
( )
şeklindedir ve
nin bir alt kümesi ve ,
,
∑
e genelleştirilmiş toplam fonksiyonu denir
} meet-kapalı olmak üzere
∑
üzerinde tanımlı kompleks değerli bir
.
( ) fonksiyonu için
( )
eşitliği geçerlidir. Şimdi bu eşitlik ispatlanacaktır. Genelliği bozmadan
olduğunu kabul edilsin.
iken
7
( )
∑∑
Burada ,
. Eş. 3.3 te verilen
nin Möbius fonksiyonudur
, Eş. 3.2 yi sağladığı
gösterilecektir. Yani
( )
∑ ∑∑
olduğu gösterilecektir. Her
∑
formülü gereği
∑
∑
için
yazılsın. Möbius inversiyon
olduğu açıktır. Bu durumda şimdi
∑ ∑
olduğu gösterilecektir. Eş. 3.4 te herbir
yalnızca bir kere sayılır. Eş. 3.4 ün sağ
tarafındaki toplam göz önüne alınsın.
ve
yüzden Eş. 3.4 ün sağ tarafında geçen her
sol tarafındaki toplamda
indis
olsun. O zaman
iken
minimalliğinden
ya da
dir. Bu
sol tarafında da olur. Diğer taraftan Eş. 3.4 ün
olduğunu farzedelim.
olur.
dir. Ayrıca
için
olsun. O zaman
ve
olacak şekideki en küçük
meet-kapalı olduğundan herhangi
olduğundan
elde edilir. Bu yüzden
dir.
nin
olması
olmasını gerektirir. O halde Eş. 3.4 ün sol tarafında görülen her bir z sağ tarafında da
görünür. Bu Eş. 3.3 ün ispatını tamamlar.
Şimdi
fonksiyonunun
kümesine getirilen kısıtlamalarla hangi biçimi aldığı
incelenecektir.
{
olduğundan
} alt-kapalı bir küme olsun. O zaman her alt-kapalı küme meet-kapalı
8
( )
∑
(
eşitliği elde edilir
{
)
.
},
her
ile bir zincir olsun. O zaman
( )
için
{
( )
(
) olacaktır
} karşılaştırılamaz küme ve
ve her
{
} ve
{
}
.
{
( )
için
ve
} olsun. O zaman
( )
olacaktır
nin iki alt kümesi olsun.
.
meet
matrisinin özelliklerini incelemek için
{
olmak üzere
tipinden
incidence matrisi tanımlansın
.
3.1.1. Teorem
{
},
,
{
(
şeklindedir
İspat
} yi kapsayan meet-kapalı bir küme olsun. O zaman
) ve
.
⁄
olmak üzere
9
Teoremin
şeklinde iki iddiası bulunmaktadır. Burada
ve
⁄
. Ayrıca
√
{
( )
olmak üzere
yazılabilir. Buradan
∑
∑
∑
(
)
elde edilir. Son eşitlik Eş. 3.2 den elde edilmiştir.
(
⁄
(
) olduğundan
⁄
)
⁄
⁄
de
⁄
yazılırsa ve
dır. Buradan da
olduğu görülür.
Bu teorem çoğu kez yapı teoremi olarak adlandırılır ve meet matrislerinin özellikleri
eşitliğinden kolayca elde edilir.
3.1.2. Meet Matrisinin Determinantı
Bu bölümde Teorem 3.1.1 den yararlanılarak meet matrisinin determinantı ile ilgili
hesaplamalar sunulacaktır.
3.1.2. Teorem
10
meet-kapalı ise o zaman
∏
şeklindedir
İspat
alınıp ve
Teoremde
nin elemanları düzenlenirse
olan bir alt üçgen matris olur. Teorem 3.1.1 gereği
olduğundan
∏
elde edilir.
3.1. Sonuç
meet-kapalı ise o zaman
∏∑∑
şeklindedir
İspat
Teorem 3.1.2 de
∏
, köşegen elemanları 1 e eşit
11
elde edilmişti.
meet-kapalı olduğu için Eş. 3.3 ten
∏∑∑
olduğu görülür.
Örnek
{
} kümesi üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısı Şekil 3.2 deki
Hasse diyagramı ile verilsin.
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
Şekil 3.2. ⟨
,
⟩ nin Hasse diyagramı.
üzerinde tanımlı kompleks değerli bir fonksiyon olsun ve
olarak tanımlansın.
meet-kapalı bir alt kümesi olmak üzere
(
)
(
matrisi
)
{
},
nin
12
şeklindedir. Teorem 3.1.2 den
∏
olduğundan ve
kümesi meet-kapalı olduğunda
nin tanımından
bulunur ve buradan da
olur.
3.1.2. Sonuç
S alt-kapalı ise o zaman
∏ ∑
olduğu görülür
.
İspat
Her alt-kapalı küme, meet-kapalı olduğundan Teorem 3.1.2 deki
formül
alt-kapalı olduğunda da geçerlidir. Teorem 3.1.2 de
yazılırsa istenen sonuç elde edilir.
Örnek
için verilen
yerine Eş. 3.5
13
kümesi Şekil 3. 2 deki Hasse diyagramı ile verilsin.
alt kümesi olmak üzere
(
{
},
nin alt-kapalı bir
matrisi
)
(
)
şeklindedir ve
∏
olduğundan ve
kümesi alt-kapalı olduğunda
nin tanımından
bulunur ve buradan da
olur.
3.1.3. Sonuç
{
}
∏
olur
İspat
.
ile bir zincir olsun. O zaman
14
{
}
ile bir zincir olduğunda
in değeri
cinsinden yukarıda verilmişti. Bunlar yerine yazılırsa istenen eşitlik elde edilir.
3.1.3. Teorem
{
},
olsun.
{
nin
} yi kapsayan meet-kapalı bir alt kümesi
olmak üzere
∑
şeklindedir
(
Burada
;
)
(
)
(
)
sütunlarından oluşan bir alt
nin
matrisidir.
İspat
kümesi
,…,
,
olacak şekilde yeniden düzenlensin. Teorem
olduğundan
3.1.1 den
∑
(
)
(
)
(
)
bulunur.
Son eşitlik Cauchy-Binet formülünden elde edilmiştir. Cauchy-Binet formülüne göre;
,
tipinden bir matris ve
için
,
olsun
tipinden bir matris olsun.
,
nın sütunlarından oluşan alt matris,
nin satırlarından oluşan alt matris olmak üzere
∑
(
)
,
15
dir.
3.1.4. Sonuç
{
} karşılaştırılamaz bir küme ise
(
)
bulunur
İspat
{
} karşılaştırılamaz bir küme ve
{
} olsun.
nin
olacak şekilde yeniden düzenlenirse Teorem
elemanları
3.3 teki
matrisi
(
)
biçiminde olacaktır.
matrislerinin determinantları hesaplandığında
[
]
[
(
]
[
elde edilir. Burada
parantezine alınırsa
]
(
(
)
)
)
ler yerlerine yazılıp {
(
)
(
(
)
(
(
)
)
(
)
)
}
16
(
)
elde edilir.
3.1.3. Meet matrisinin determinantının alt ve üst sınırları
Bu bölümde
kümesinin meet-kapalı ve alt-kapalı olması durumlarında meet matrislerinin
determinantının alt ve üst sınırlarına dair çalışmalara yer verilecektir.
3.1.4. Teorem
{
},
{
{
} i kapsayan meet-kapalı bir küme ve her
} için ∑
olsun. O zaman
∏
elde edilir
İspat
Genelliği bozmadan
farzedilsin.
olduğu ve
iken
matrisinin ilk n sütunundan oluşan matris ve
,
matrisinin diğer sütunlarından oluşan matris olmak üzere
biçiminde parçalansın.
,
tipinden bir köşegen matris ve
,
zaman Teorem 3.1.1 den
olup
∑
olan
köşegen elemanı
tipinden bir köşegen matris olmak üzere
,
matrisi
∑
köşegen elemanı
olduğu
için
olan
ve
olsun. O
dir. Teoremin hipotezinden ve her
⁄
⁄
ve
⁄
için
⁄
olarak
17
yazılabileceği göz önüne alınırsa
nin pozitif tanımlı ve
nin pozitif yarı-tanımlı olduğu
görülür. Minkowski eşitsizliği uygulanırsa
∏
olduğu görülür.
Minkowski Eşitsizliği:
ve
tipinde reel simetrik matris
pozitif yarı-tanımlı ise o zaman
olmalıdır.
pozitif tanımlı ve
ve eşitliğin sağlanması için
nin alt sınırını hesaplamak için verilen formülü elde ederken bu
eşitsizlikten yararlanılmıştır
.
3.1.5. Sonuç
{
},
{
{
} yi kapsayan alt-kapalı bir küme ve her
} için ∑
olsun. O zaman
∏
olduğu görülür
İspat
Her alt-kapalı küme aynı zamanda meet-kapalı olduğundan ve Teorem 3.1.4 ten açıktır.
3.1.6. Sonuç
{
} ve her
{
} için ∑
kapsayan minimal meet-kapalı küme olmak üzere
∏
̅
olsun. ̅,
yi
18
olduğu görülür
İspat
{
}
̅ } olduğu açıktır. Öyleyse Teorem 3.1.4 te
{
̅
alınarak ispat elde edilir.
3.1.5. Teorem
{
},
∑
nin
bir
alt
kümesi
ve
her
{
}
için
pozitif tanımlıdır
olsun. O zaman
İspat
Sonuç 3.1.6 ve
nin tanımından
olduğu görülür. Buradan
matrisi
pozitif tanımlıdır.
3.1.7. Sonuç
Teorem 3.1.5 in varsayımları altında
dir
İspat
İspat n üzerinden tümevarımla yapılacaktır.
|
|
Bu eşitsizlik
için
|
|
için doğru olsun.
{
matrisinin pozitif tanımlı olduğu gösterilmişti. Dolayısıyla
} olsun. Teorem 3.1.5 te
de pozitif tanımlıdır ve
19
[
]
yazılabilir. Genelleştirilmiş Hadamard eşitsizliği ve sonra tümevarım hipotezi kullanılırsa
[
]
elde edilir.
3.1.4. Meet matrisinin tersi
Teorem 3.1.5 gereği
nin herhangi bir
∑
şartını sağlayan
{
alt kümesi ve her
nin reel değerli her
fonksiyonu için
olduğu bilinmektedir. O halde bu şartlar altında herhangi bir
tersinirdir. Bu bölümde alt-kapalı kümeler üzerinde
} için
meet matrisi
meet matrisinin tersi ile ilgili
çalışmalardan bahsedilecektir.
3.1.6. Teorem
{
},
zaman
için
olsun. O
tersinirdir ve tersi
∑
olmak üzere
İspat
nin bir alt-kapalı alt kümesi ve her
(
)
matrisidir. Burada ,
nin Möbius fonksiyonudur
.
20
Hipotezden her
olduğundan Sonuç 3.1.2 gereği
için
tersinirdir. Diğer yandan
olduğu
tanımından açıktır. Burada , başta tanımlandığı gibi
[
]
gösterilebilir.
olduğu
nin
(
matrisinin ve
matrisi
fonksiyonunun
nin zeta fonksiyonudur. Ayrıca
nın tersi olması gerçeğinden hareketle
) olmak üzere Teorem 3.1.1 den
olduğundan
elde edilir. Bu eşitlik teoremin ispatını tamamlar.
Örnek
{
kümesi Şekil 3.2 deki Hasse diyagramı ile verilsin.
},
nin alt-kapalı bir
alt kümesi olmak üzere
(
)
(
) matrisinin tersini hesaplayalım.
∑
+
+
∑
∑
olur ve benzer şekilde
,
,
,
,
,
bulunur.
21
(
)
olur.
3.1.5. İncidence fonksiyonları yardımıyla meet matrisleri
Bu bölümde meet matrisinin determinantı ve tersi ile ilgili bulunan sonuçlar
tanımlı incidence fonksiyonları yardımıyla tekrar sunulacaktır. Şimdi,
nin minimum elemanı
ve
nin bir sonlu alt kümesi ve
iken
latis,
olmak üzere
nin herhangi bir
gösterilsin. Örneğin:
üzerinde
bir meet-yarı
nin bütün esas sıra idealleri sonlu olsun. ,
olmak üzere
{
incidence fonksiyonu için
ise
olacaktır. Burada
,
} olsun.
,
ile
sayılar
teorisinin klasik Möbius fonksiyonudur.
3.1.3. Tanım
Her
şartını sağlayan
için
sınıfı
nin
incidence fonksiyonlarının
{
ile gösterilsin. Kısaca
} şeklinde tanımlanır
.
3.1.4. Tanım
,
nin bir incidence fonksiyonu ise o zaman
(
olmak üzere
)
(
tipinden
meet matrisi olarak adlandırılır
.
) matrisi
kümesinin
fonksiyonu ile tanımlı
22
3.1.1. Lemma
,
nin bir incidence fonksiyonu olsun. Her
için
∑
şeklindedir
İspat
Lemma 3.1.1,
formülünün bir sonucudur. Gerçekten formülden
∑
(
)
∑
∑
olur ve ispat tamamlanır.
3.1.2. Lemma
,
nin bir incidence fonksiyonu ve
{
} kümesinde
olsun.
√
{
(
Olmak üzere
şeklindedir
)
tipinden
.
matrisi tanımlansın. O zaman
iken
23
İspat
olduğu açıktır.
olmak üzere
∑
∑
∑
(
elde edilir. Lemma 3.1.1 den
Şimdi ispatsız olarak
ve
)
(
) olduğu görülür.
in meet-kapalı olduğu durumda Sonuç 3.1.1 de verilen
değeri yeniden elde edilecektir.
3.1.7. Teorem
ve
meet-kapalı ise o zaman
∏∑
olur
Yine benzer şekilde Teorem 3.1.4 teki eşitsizlik aşağıdaki teoremde yeniden elde
edilmiştir.
3.1.8. Teorem
ise o zaman
24
∏∑
olur
.
İspat
{
için
için
} olarak tanımlansın. O zaman
dir. Aksi halde
olduğundan
olmak üzere
alınsın. O zaman bir için
dir. Bunu görmek için
aralığı sonludur. Böylece
ve
olması ile çelişir. Açıkça
elde edilir ve bu
iken
dir.
dir. Varsayımlar gereği
olacak şekilde minimal k bulunabilir. Bu yüzden
anlamına gelir ve böylece
dir. Bu
olduğu
görülür.
Her
{
için
} dır. Burada
dır. Her
için
dir. Açıkça
iken
ve her
için
{
olsun. O zaman
zaman
iken
olmak üzere
dir. Aynı şekilde
için
için
dir.
ise o zaman
gösterilmiş olur.
√
{
(
)
olmak üzere
için
ve
{
} dir.
vardır, öyleki
olacak şekilde
olduğundan
olsun. O
için
ve
vardır. Burada
dir. Eğer
ise
olur.
dir. Böylece ikinci durum
25
olmak üzere
dır. Şimdi {
{
matrisi tanımlansın. Lemma 3.2 den
tipinden
},
matrisinin satır vektörlerinin sistemini göstersin.
}, Gram-Schmidt ortagonalleştirme işlemi kullanılarak {
elde edilen ortagonal sistemi olsun.
{
olur.
∑
⟨
⟨
için
⟩
⟩
leri satır kabul eden
algoritmasından
tipinden matrise
olacak şekilde bir tersinir
ve
olur. Diğer yandan {
[⟨
diyelim. Ortagonalleştirme
matrisi bulunur. Böylece
} kümesi ortagonaldir. Bu yüzden
⟩]
⟨
⟩⟨
⟩
ve
⟩
∏⟨
olur.
Eş. 3.11, Eş. 3.13, Eş. 3.14 ve Eş. 3.15 ten
∏⟨
} den
⟩
⟨
⟩
26
matrisinin tanımından
elde edilir.
(√
(
√
(
√
)
(
için
(
)
√
)
),
(
)
olacaktır. Ortagonalleştirme sonucunda
(√
(
√
( ⏟
elde edilir.
⟨
⟩
)
√
(
(
)
)
∑
√
)
olmak üzere
) ⏟
),
(
)
)
için
∑
(
∏⟨
⟩
ve
∏∑
olur ve bu yüzden (3.9) sağlanır.
için Teorem 3.1.8 den hareketle aşağıdaki lemma elde edilir ki bu lemma aynı
zamanda Teorem 3.1.9 un ispatı için bir araçtır.
27
3.1.3. Lemma
ise o zaman
pozitif tanımlıdır
.
İspat
Teorem 3.1.8 ve
olduğundan
olmasından açıktır.
dır.
olsun. O zaman
olmak üzere
{
ve
}. O zaman
Teorem 3.1.8 den
∏∑
bulunur ve burada
dir ve
nin esas minörleri pozitiftir. Dolayısıyla
pozitif-tanımlıdır.
3.1.9. Teorem
ise o zaman
olur
.
3.1.4. Lemma
ise o zaman her
.
için
. Üstelik
ve
olduğunda
28
İspat
ve
olsun. O zaman her
∑
için
. Bu yüzden Lemma 3.1.1 den
olsun. O zaman
∑
∑
∑
Şimdi bu lemma yardımıyla aşağıdaki teorem ispatlanacaktır.
3.1.10. Teorem
ise o zaman
(
(
olur
olduğunda
ve
(
)
)
(
)
)∏
.
İspat
olsun.
ve
kümesi tanımlansın.
olsun. Ayrıca
[
[ (
]
olacak şekilde
)] olmak üzere
{
olmak üzere
{
}
}
29
pozitif tanımlıdır.
olsun. Lemma 3.1.3 ten
permütasyon matrisi vardır.
olacak şekilde bir
pozitif tanımlıdır. Fisher Eşitsizliği ve
ve
Teorem 3.1.9 dan
(
)(
)
(
)∏ (
)
elde edilir. Diğer yandan
∑
(
Burada toplam
nin
)
(
)
permütasyonu üzerinden alınmaktadır ve açıkça
tane
{
Her bir tipin permütasyonlarının sayısının
)
(
(
)
(
dir.
)
ve
(
)
(
)
tek olsun.
)]
için
) elde edilir. O halde
3.1.4 ten her bir
[ (
çift olsun.
olduğundan Lemma 3.1.4 ten bütün
ve
(
olduğu açıktır.
ve
(
için
(
)
)
(
)
(
olduğundan Lemma
). O halde
30
∑
( (
)
(
(
)
[ (
)
(
)
)] )
Bu yüzden
(
( (
(
)
)
(
)
(
[ (
)
(
)
(
)
)] ) ∏
)∏
olur ve ispat tamamlanır.
Bu teoremin ispatında Fisher eşitsizliği kullanılmıştır. Fisher eşitsizliğine göre;
[
]
pozitif tanımlı bir matris öyleki B ve C boştan farklı karesel matrisler
, D nin eşlenik traspozu olsun. O zaman detA
(detB)(detC) şeklindedir
.
3.1.11. Teorem
{
} bir meet-kapalı küme ve
∑
dir. Burada
olsun. O zaman
(
∑
ve
, nin
)
üzerine kısıtlanmışıdır
.
tersinirdir ve
31
4. JOIN MATRİSLERİ
4.1. Join Matrisleri ile İlgili Çalışmalar
Bu bölümde join matrisleri ile ilgili literatürdeki çalışmalar sunulacaktır. Meet matrisleri
kümesi join-kapalı ve üst-kapalı iken join
ile ilgili sunulan sonuçlara benzer olarak
matrislerinin determinantları ve tersleri için formüller verilecektir.
bir sonlu latis olsun.
olsun. Bu durumda
{
{
} için
}
olur
iken
olmak üzere
nin alt kümesi,
iken
{
}
ve ayrıca
.
4.1.1. Join matrisinin tanımı
4.1.1. Tanım
{
}
nin bir alt kümesi ve
fonksiyon olsun. O zaman
kümesinin
,
üzerinde tanımlı kompleks değerli bir
olmak üzere
fonksiyonu ile tanımlı join matrisidir
tipinden
matrisi
.
Örnek
{
} kümesi üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısı Şekil 4.1 deki
Hasse diyagramı ile verilsin.
32
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
Şekil 4.1. ⟨
Şimdi
⟩ nin Hasse diyagramı.
{
nin bir
bir fonksiyon olsun.
} alt kümesi ve ,
üzerinde tanımlı kompleks değerli
matrisi aşağıdaki gibidir.
[
]
[
]
eşitliği
nin bir
ilişkilendirir. Burada
nin bir
dir
kısıtlanmış incidence fonksiyonunu
. Benzer şekilde
kısıtlanmış incidence fonksiyonunu
ile
eşitliği
ile ilişkilendirir. Burada
.
nin elemanları
olsun. O zaman (
,
sağlanır. Açık olarak
ise
fonksiyonları olmak üzere
ve
.
{
olarak yeniden isimlendirilsin ve
. Üstelik
sırasıyla
}
nin dual latisidir ve
ve , sırasıyla
nin Zeta ve Möbius
nün Zeta ve Möbius fonksiyonlarıdır
33
Aynı şekilde
deki
fonksiyonları
ve
,
olduğundan her
ve
şeklindedir
ve
fonksiyonunun bir kısıtlanmışıdır.
için
.
4.1.1. Lemma
,
nin bir incidence fonksiyonu olsun. O zaman her
için
∑
olur
.
İspat
eşitliğinin doğrudan bir sonucudur.
4.1.2. Lemma
iken
olmak üzere
{
} olsun ve
aşağıdaki gibi tanımlansın
√
{
şeklinde tanımlansın. O zaman
İspat
ve
∑
olmak üzere
eşitliği sağlanır
.
tipinden
matrisi
34
∑
∑
(
)
(
bulunur. Buradan Lemma 4.1.1 gereği
)
(
) elde edilir.
4.1.3. Lemma
Her
ve (
için
)
(
) şeklindedir
İspat
Her
(
için
)
{
dir. Buradan
(
)
{
elde edilir. Lemmanın diğer iddiası benzer şekilde ispat edilir.
4.1.4. Lemma
Her
için
(
)
eşitliği sağlanır
İspat
olmasından ve Lemma 4.1.3 ten
.
.
35
∑
∑
(
)
(
(
)
)
elde edilir.
4.1.2. Join matrisinin determinantı
Bu bölümde
kümesi join-kapalı ve alt-kapalı iken join matrisinin determinantı için
formüller verilecektir.
4.1.1. Teorem
join-kapalı ise
∏∑
olur
.
İspat
{
}
{
{
[
}
} olur.
]
matrisi tanımlansın. Buradan
join-kapalı
tipinden
olsun.
O
zaman
36
(
)
(
)
elde edilir. Bu yüzden
ve
dir.
meet-kapalı
olduğundan meet-kapalı kümeler için determinant formülünden ve Lemma 4.1.3 ten
∏
∑
∏
yazılırsa ve
ve
∑
(
)
olduğu ele alınırsa
∏∑
elde edilir. Böylece ispat tamamdır.
4.1.5. Lemma
üst-kapalı bir küme ve
zaman her
için
∑
eşitliği sağlanır
.
,
üzerinde tanımlı kompleks değerli bir fonksiyon olsun. O
37
İspat
,
ve
herhangi
olsun.
üst-kapalı ve
olarak alınabilir.
için
olduğundan,
için
olur
bu ispatı tamamlar.
4.1.1. Sonuç
üst-kapalı ise o zaman
∏
olur
.
İspat
üst-kapalı ise Lemma 4.1.5 te
yerine
alınırsa o zaman Teorem 4.1.1 den ispat
kolayca elde edilir.
4.1.3. Join matrisinin determinantının alt ve üst sınırları
Bu bölümde ilk olarak join matrisinin alt sınırları ile ilgili çalışmalar sunulacaktır. Meet
matrisinin alt sınırları için sunulan Teorem 3.1.8 in iddiasının duali verilecektir. Aynı
zamanda bu bölümde join matrisinin üst sınırlarıyla ilgili yapılan bazı çalışmalara yer
verilecektir.
.
4.1.2. Tanım
iken
koşulunu sağlayan
ile gösterilsin. Açıkça
{
}
incidence fonksiyonlarının kümesini
38
şeklinde tanımlı olup burada
fonksiyonlarıdır
fonksiyonları
nin kısıtlanmış incidence
.
4.1.6. Lemma
olacak şekilde her
olsun. O zaman
için
dir
.
İspat
olacak şekilde
ve
şekilde her
olsun. O zaman
ve
olacak
dır. Bu yüzden Lemma 4.1.1 den
için
∑
∑
olur ve ispat tamamlanır.
4.1.3. Tanım
koşulunu sağlayan
iken
kümesini
incidence fonksiyonlarının
ile gösterilsin. Açıkça
{
}
şeklinde tanımlı olup burada
fonksiyonlarıdır ve
dir
fonksiyonları
.
4.1.7. Lemma
ise o zaman
dir
.
nin kıstlanmış incidence
39
İspat
olsun.
olmak üzere
olsun.
ve
dır. Lemma 4.1.4 den ve
için
olduğundan
elde
edilir.
4.1.2. Teorem
ise o zaman
∏∑
dır. Üstelik eşitliğin geçerli olması için gerek ve yeter şart
in join-kapalı olmasıdır.
.
İspat
dür. Teorem 4.1.1 in ispatındaki gibi
olsun. Lemma 4.1.7 den
dir. O halde Teorem 3.1.8 den
∏
∑
ve eşitliğin sağlanması için gerek ve yeter şart
olmasıdır. Tekrar Teorem 4.1.1 in ispatından
∏ ∑
{
}
-kapalı
40
{
elde edilir. Üstelik eşitliğin geçerli olması için gerek ve yeter şart
}
kümesinin -kapalı olmasıdır.
4.1.8. Lemma
ise o zaman
pozitif tanımlıdır
.
İspat
olsun. O zaman her
{
dır.
için
} olarak tanımlansın.
için
ve Teorem 4.1.2 den
için
∏∑
bulunur. O halde
nin esas minörlerinin determinantı pozitiftir. Bu
nin pozitif
tanımlı olduğunu gösterir.
4.1.3. Teorem
eşitliği sağlanır
ise o zaman
.
İspat
Sonuç 3.1.7 den yararlanılırsa
olmak üzere
olur. Teorem 4.1.1 in ispatından
olduğundan
eşitsizliği elde edilir.
4.1.4. Teorem
olsun. O zaman
ve
olmak üzere
ve
ise
41
(
(
olur
)
(
)
(
)
)∏
.
4.1.4. Join matrisinin tersi
join-kapalı olduğunda
Bu bölümde
üzerine kısıtlanmışı
kısıtlanmışı
için formül sunulacaktır. Daha önce nin
olarak tanımlanmıştı. Aynı şekilde
olarak tanımlanır
nün
üzerine
.
4.1.5. Teorem
olsun. O zaman
∑
eşitliği sağlanır
tersinirdir. Üstelik
join-kapalı ise
(
∑
)
.
İspat
{
} -kapalı ve
-kapalı ve Lemma 4.1.7 den
olsun. O zaman
dür.
{
, Eş. 4.4 te tanımlanan matris olmak üzere
Teorem 4.1.1 in ispatından
sağlanır. Bu yüzden Teorem 3.1.11 ve
Lemma 4.1.3 ten
(
∑
}
)
(
)
∑
(
)
42
∑
(
∑
)
bulunur. Böylece ispat tamamlanır.
4.1.9. Lemma
,
nin üst-kapalı alt kümesi
sırasıyla
ve
ın
ve
tersinirdir ve
de
Teorem 4.1.5 de,
,
nin incidence fonksiyonları olsun.
üzerine kısıtlanmışları olsun. O zaman
nin
sırasıyla
ve
üzerine kısıtlanmışıdır
üst-kapalı olsun. Lemma 4.1.9 dan
alınabilir. Lemma 4.1.5 ten de her
için
∑
olacaktır
4.1.2. Sonuç
ise
(
)
şeklindedir
tersinirdir. Üstelik
∑
üst kapalı ise
(
.
ve
üzerindeki kısıtlanmışlarıdır. Üstelik
in
)
ve
,
de
tersinir ise
de
.
(
) yerine
(
)
43
5. YARI-ÇARPIMSAL FONSİYONLAR İLE MEET VE JOİN
MATRİSLERİ
5.1. Yarı-Çarpımsal Fonksiyonlar ile Meet ve Join Matrislerinin İncelenmesi
Bu bölümde meet-kapalı kümeler üzerinde join matrisleri ve join kapalı kümeler üzerinde
meet matrisleri incelenecektir. Bunu gerçekleştirmek için
üzerinde tanımlı özel bir
fonksiyon kullanılacaktır.
5.1.1. Yarı çarpımsal fonksiyonların tanımı
5.1.1. Tanım
,
ise
üzerinde tanımlı kompleks değerli fonksiyon her
ye yarı-çarpımsal fonksiyon denir
Bu kısımda
için
.
fonksiyonlarının yarı-çarpımsal olduğu ve her
için
olduğu
kabul edilecektir.
,
olarak tanımlı kompleks değerli bir fonksiyondur. Eğer ,
üzerinde
bir incidence fonksiyonu ise o zaman benzer şekilde
olarak tanımlanır.
olmalıdır
de
nin
nin bir incidence fonksiyonu
nin yarı-çarpımsal olması için gerek ve yeter şart
de yarı-çarpımsal
.
Aşağıdaki lemma yardımıyla verilen bir meet matrisi yardımıyla join matrisinin nasıl
inceleneceği görülür.
44
5.1.1. Lemma
şeklindedir
olmak üzere
İspat
(
(
olduğundan
)
)
elde edilir
5.1.2. Yarı-çarpımsal fonksiyonlar ile join matrisleri
Bu bölümde yarı-çarpımsal fonksiyonlar kullanılarak join matrislerinin determinantı, alt ve
üst sınırları ve tersleri ile ilgili formüller sunulacaktır.
5.1.1. Teorem
meet-kapalı ise o zaman
∏
eşitliği sağlanır
∑ (( )
)
.
İspat
Lemma 5.1.1 den ve Teorem 3.1.7 den
45
(∏
)
∏ ∑ (( )
(
∏
∑ (( )
)
)
)
5.1.1. Sonuç
S alt-kapalı ise o zaman
∏
olur
(( )
)
.
İspat
Her alt–kapalı küme aynı zamanda bir meet-kapalı küme olduğundan Teorem 5.1.1 den
ispat kolayca elde edilir.
5.1.2. Teorem
( )
olsun. O zaman
∏
∑ (( )
)
olur. Üstelik eşitliğin geçerli olması için gerek ve yeter şart
meet-kapalı olmasıdır
.
46
İspat
Lemma 5.1.1 den ve Teorem 3.1.8 den
∏
∏
∑ (( )
∑ (( )
)
)
elde edilir.
5.1.3. Teorem
( )
olsun. O zaman
ve
(
(
(
)
)
(
)
olmak üzere
)∏
olur
İspat
( )
(∏
için Lemma 5.1.1 den ve Teorem 3.1.10 dan
)
(
(
(
(
)
)
(
)
)∏
(
(
)
)
(
)
)∏
47
elde edilir.
5.1.4. Teorem
( )
olsun. O zaman
∑
eşitliği sağlanır
tersinirdir. Üstelik
∑
(( )
meet-kapalı ise
)
.
İspat
(
ve burada
den
nin tersi vardır. Üstelik
∑
∑
(( )
) dir. ( )
meet-kapalı olduğu için Teorem 3.1.11 den
)
elde edilir.
5.1.2. Sonuç
( )
olsun. O zaman
( )
∑
olsun. Teorem 3.1.8
tersinirdir. Üstelik
(
(( )
)
)
alt-kapalı ise
48
eşitliği sağlanır
.
Aşağıdaki lemma yardımıyla verilen bir join matrisi kullanılarak meet matrisinin nasıl
inceleneceği görülür.
5.1.2. Lemma
{
} olmak üzere
şeklindedir
.
İspat
olur ve
elde edilir.
5.1.3. Yarı-çarpımsal fonksiyonlar ile meet matrisleri
Bu bölümde yarı-çarpımsal fonksiyonlar kullanılarak meet matrislerinin determinantı, alt
ve üst sınırları ve tersleri ile ilgili formüller sunulacaktır.
5.1.5. Teorem
join-kapalı bir küme olsun. O zaman
∏
eşitliği sağlanır
∑(
( ) )
.
İspat
Lemma 5.1.2 den ve Teorem 4.1.1 den
49
(∏
)
∏∑(
( ) )
∏
(
)
elde edilir.
5.1.3. Sonuç
üst-kapalı bir küme ise o zaman
∏
(
( ) )
) (∏ (
( ) )
eşitliği sağlanır
.
İspat
(∏
∏
(
( ) )
olur.
5.1.6. Teorem
( )
olsun. O zaman
)
∑(
( ) )
50
∏
∑(
( ) )
eşitsizliği sağlanır
İspat
(∏
)
∏∑(
( ) )
(
∏
)
∑(
( ) )
5.1.7. Teorem
( )
olsun. O zaman
(
(
ve
)
(
)
)∏
eşitsizliği sağlanır
İspat
(∏
)
(
(
)
(
)
)∏
olmak üzere
51
(
(
(
)
)
(
)
)∏
elde edilir.
5.1.8. Teorem
( )
olsun. O zaman
( )
eşitsizliği sağlanır
tersinirdir. Üstelik
∑
(
∑
(
join-kapalı ise
)
( ) )
.
İspat
( )
(
olsun. O zaman
)
(
( )
∑
tersinirdir. Lemma 5.1.2 den ve Teorem 4.1.5 den
)
(
∑
(
)
( ) )
elde edilir.
5.1.4. Sonuç
( )
olsun. O zaman
tersinirdir. Üstelik
üst-kapalı ise
52
( )
eşitliği sağlanır
∑
(
(
)
( ) )
.
İspat
( )
(
olsun. O zaman
)
(
( )
elde edilir.
∑
tersinirdir. Üstelik
)
(
(
( ) )
)
üst-kapalı ise
53
6. SONUÇ VE ÖNERİLER
Bu tezde meet ve join matrislerinin özellikle determinant ve terslerine ilişkin temel
çalışmalar derlenmiştir. Yaptığımız derleme sonucunda
,
kısmi sıralı kümesinin
nin kompleks değerli bir fonksiyonu olmak üzere
herhangi bir alt kümesi ve ,
join matrisinin tersinin elemanlarının formüle edilemediği
meet matrisinin tersinin ve
ve halen bir açık problem olarak durduğu görülmüştür.
Aslında bu tez çalışmamızda
,
ile tanımlanan
Daha açık olarak
-elemanı
matrisinin özelliklerini incelemeyi amaçlamıştık.
matrisinin determinantı için bir formül elde etmeye ve
konulacak uygun koşullar altında
olsaydık
nin bir incidence fonksiyonu olmak üzere
üzerine
in tersini bulmaya çalıştık. Bunları gerçekleştirmiş
incidence fonksiyonunu özelleştirerek daha önce meet ve join matrisleri ile
ilgili üçüncü, dördüncü ve beşinci bölümde derlenen bir çok sonucu genellemiş olacaktık.
Ancak bu çerçevede şu ana kadar kayda değer bir sonuç elde edemedik. Buna rağmen
çalışmamızın bu konu üzerinde çalışanlara küçük bir ışık tutacağı ümidini taşıyoruz.
54
55
KAYNAKLAR
1. Beslin, S. and Ligh, S. (1989). Greatest common divisor matrices. Linear Algebra and
Its Applications, 118, 69-76.
2. Beslin, S. (1991). Reciprocal GCD matrices and LCM matrices. Fibonacci Quart. 29,
271-274.
3. Bourque, K. and Ligh, S. (1992). On GCD and LCM matrices. Linear Algebra and Its
Applications,174, 65-74.
4. Davey, B.A. and Priestly, H.A. (2001). “Ordered Sets, Lattices and Complete
Lattices”, Introduction to Lattices and Order (Second edition). Cambridge: Cambridge
University Press,
5. Haukkanen, P.(1996). On meet matrices on posets. Linear Algebra and Its
Applications, 249, 111-123.
6. Haukkanen, P. and Korkee, I. (2001). Bounds for determinants of meet matrices,
associated with incidence functions. Linear Algebra and Its Applications, 329, 77-88.
7. Haukkanen, P. and Korkee, I. (2003). On meet matrices and join matrices associated
with incidence functions. Linear Algebra and Its Applications, 372, 127-153.
8. Horn, R. A. and Johnson, C. R. (1990). Matrix Analysis. Cambridge Universty Press.
9. Hong, S (1998). Bounds for Determinants Matrices associated with Classes of
Arithmetical Functions. Linear Algebra and Its Aplications, 281, 311-322.
10. Rajama Bhat, B. V. (1991). On greatest common divisor matrices and their
applications. Linear Algebra and Its Applications, 158, 77-97.
11. Smith, H. J. S. (1876). On the value of a certain arithmetical determinant. Proceedings
of the London Mathematical Society, 7, 208-212.
56
57
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: GENÇ ARSLAN, Merve
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri
: 02.05.1987, Ankara
Medeni hali
: Evli
Telefon
: 0 (505) 771 14 21
e-mail
: [email protected]
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Mezuniyet tarihi
Lisans
Gazi Üniversitesi / Fen Fakültesi
2010
Lise
Cumhuriyet Lisesi (Y. D. A.)
2005
Yabancı Dil
İngilizce
GAZİ GELECEKTİR...