Geometri Notları

www.mustafayagci.com, 2005
Geometri Notları
Mustafa YAĞCI, [email protected]
Üçgen
A
b
c
a
B
C
A, B, C doğrudaş olmayan (aynı
doğru üzerinde bulunmayan) üç
nokta ise [BC], [CA], [AB] doğru parçalarının birleşimine ABC
üçgeni denir.
∆
ABC veya ∆ABC ile gösterilir.
∆ABC = [ AB ] ∪ [ BC ] ∪ [CA]
Söyleyemeyeni derse almam, ona göre!
Üçgenin tanımında da ne yazık ki meslektaşlarımızın büyük bir bölümü hata yapmakta. Tıpkı benim de mesleğimin ilk yıllarında yaptığım gibi.
Büyük Üstat Tahsin Çizenel’in 1959 yılında kaleme aldığı ‘Çözümlü Düzlem Geometri Problemleri’ isimli dev yapıtının sonsözünde yazmış olduklarını burada yinelemek istiyorum.
Kulağımıza küpe olsun!
‘’…okumuş bir kimseyle okumamışı birbirinden ayıran geniş düşünce, ileri görüşe sahip olma ve sağlam muhakeme
edebilme nitelikleri, lüzumsuz zannettiğiniz dersler sayesinde kazanılır. Bu dersler, okuyanlar için bir çeşit zihin talimidir. Matematik öğretimi ise, bu nitelikleri en iyi geliştiren bir
vasıta olarak yüzyıllar boyunca bütün insanlık tarafından
çok önemli tutulmuştur. Bu öğretimin bir amacı da, insanı
gelişigüzel konuşma alışkanlığından kurtarmak, kelimeleri
tam ve yerinde kullanma yeteneğini kazandırmaktır. Örnek
olarak, ‘’Üçgeni tanımla’ dediğimiz bir öğrenci ‘üç noktanın
birleştirilmesinden meydana gelen şekil üçgendir’’ derse;
öğretmen hemen buna itiraz eder: ‘Üç nokta bir doğru üzerinde olamaz mı? Bu üç nokta ne çeşit çizgilerle birleştirilecek? Bu ihtimalleri hesaba katmadan konuştun. Sonra; matematiksel tanımlar ‘denir’ veya ‘adı verilir’ kelimeleri ile
biterler; sen ise, ‘…dir’ takısı ile bitirdin, ‘…dir, olur’ gibi
takı ve kelimeler ispatlanacak hükümlerin sonuna gelirler.
İşte böylece matematik derslerinde bütün tanım ve ispatlarda
her ihtimali hesaplayarak ve yerinde kelimeler kullanarak
açık vermemeye gayret ede ede pratik hayatta da aynı niteliklere sahip bir kimse olursunuz. Eğer matematik derslerinden tam nasibinizi alabilirseniz rasgele konuşma alışkanlığınızdan kurtulursunuz. Bu sayede örnek olarak; bir konu üzerinde tartışılırken o konu hakkında bir fikriniz yoksa susmayı, varsa itiraza meydan vermeyecek şekilde konuşmayı öğrenirsiniz.
Okulu bitirip pratik hayata atılınca elbette okuduğunuz derslerin konularını unutacaksınız fakat sizde adına kültür dediğimiz öyle bir iz, öyle bir hazine kalır ki bu sayede okumamışa nazaran para ile elde edilemeyecek bir üstünlüğe sahip
olursunuz…’’.
Satırda değil de hatırda kalması dileğiyle…
Biz kaldığımız yerden devam edelim. ABC üçgenini oluşturduğumuz bu A, B, C noktalarına üçgenin köşeleri, bu doğru parçalarına üçgenin kenarları ve böylece oluşan BAC, CBA, ACB açılarına da üçgenin iç açıları denir. Kenarlar genellikle a, b, c gibi küçük harflerle, köşeler ve açılar
ise genelde A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.
Kenarlar ve açılar üçgenin temel elemanlarıdır.
Üçgen kapalı bir şekil olup (konveks), açılarının iç
bölgelerinin arakesitine üçgenin iç bölgesi veya
içi denir. Dışına da dış bölgesi veya dışı denir.
Üçgenin kendisi ile iç bölgesinin birleşimine de
üçgensel bölge denir.
Soru tipi. Üçgen ve üçgensel bölgenin farkını
ayırt etmek gereken soru tipleri sorulur.
Çözüm yolu: Üçgenin üç doğru parçasının birleşimi ama üçgensel bölgenin o doğru parçaları ve
onlar arasında kalan bölge olduğunu bilmek gerekir.
Örnek. Yandaki ABC üçgeni
ile DEF açısının kesişimi neK
dir?
B
L
C Çözüm: Üçgen doğru parçaM
larından, açı da ışınlardan
oluşuyordu. Doğru parçasıyla
E
ışının kesişimi bir nokta olacağından cevabımız K, L, M, N noktalarıdır.
D
F
N
A
D
F
N
A
K
B
L
M
E
C
Örnek. Yandaki ABC üçgeni
ile DEF açısal bölgesinin kesişimi nedir?
Çözüm: Açısal bölgeye açının içi de dahil olduğundan
Mustafa YAĞCI
Üçgen
cevabımız [KN] ile [LM] olmalıdır.
Bir üçgende bu üç doğru parçasına üçgenin yardımcı elemanları denir.
Bir üçgende 3 tane yükseklik, 3 tane iç açıortay, 3
tane kenarortay vardır. Yükseklikler ha, hb, hc, iç
açıortaylar nA, nB, nC, kenarortaylar va, vb, vc veya
ma, mb, mc ile gösterilir.
Örnek. Yandaki ABC üçgensel bölgesi ile DEF açısal
K
bölgesinin kesişimi nedir?
B
L
C Çözüm: Bu sefer hem açının
M
hem de üçgenin içi dahil olduğundan cevabımız KLMN
E
dörtgensel bölgesi olmalıdır.
Dikkat edin, KLMN dörtgeni değil!
F
N
D
A
F
N
D
A
K
B
L
M
E
C
Yükseklik ve kenarortayların indislerini küçük
harflerle fakat iç açıortayların indislerini büyük
harflerle yazdığımıza dikkat ediniz. Zira, yükseklik ve kenarortaylar kenarlarla ama iç açıortaylar
açılarla alakalıdır.
Örnek. Yandaki ABC üçgensel bölgesi ile DEF açısının
kesişimi nedir?
Çözüm: Üçgensel bölgeye
üçgenin içi de dahil olduğundan cevabımız [KL] ile [MN]
olmalıdır.
Bu yardımcı elemanlar daima kendi aralarında
noktadaştır (tek noktada kesişir). Yüksekliklerin
kesiştiği yere üçgenin diklik merkezi (H) denir.
İç açıortayların kesiştiği yer üçgenin içteğet çemberinin merkezi (I), kenarortayların kesiştiği yer
de üçgensel bölgenin ağırlık merkezidir (G).
Üçgenin kenarlarından birine taban diyecek olursak, öteki iki kenara yan kenarlar, taban karşısındaki açıya tepe açısı, öteki iki açıya da taban açıları denir.
Bir üçgende kenarortaylar ve iç açıortaylar daima
üçgen içinde kesişirler fakat yükseklikler üçgenin
dışında da kesişebilir.
Üçgenler kenarlarına göre sınıflandırılırlar. Kenarları farklı uzunlukta olanlara çeşitkenar üçgen, iki
kenarı eşit olanlara ikizkenar üçgen ve üç kenarı
eşit olanlara da eşkenar üçgen denir.
Bir üçgenin kenar orta dikmelerinin (kenarın tam
ortasından dik keserek geçen doğrular) kesiştiği
yer, üçgenin çevrel çember merkezidir (O).
Benzer bir sınıflama üçgenin açılarına göre de yapılabilir. Çeşitaçı üçgen, ikizaçı üçgen, eşaçı üçgen gibi…
Açılarının ölçülerine göre de bir sınıflama yapılabilir. Dar açılı üçgen, dik üçgen, geniş açılı üçgen gibi…
Bu özel noktaların her biri kendi konusunda detaylı olarak işlenecek ve hüküm bildiren kısımlar kanıtlanacaktır.
Üçgende açılar konusunda bilmemiz gerekenler. Şimdi yavaş yavaş işlemler yapmaya ve dolayısıyla geometrinin güzelliklerini görmeye başlayacağız. Aşağıda kanıtlarıyla birlikte vermiş olduğumuz teoremler düzlem geometrinin temelleri
olduğundan iyice kavranmalı, yeterince hatta fazlasıyla pratiğe dökülmelidir. Bunlar tam kavranmadan ilerideki konulara geçmemenizi şiddetle
tavsiye ederiz.
Temel elemanlar olur da yardımcılar olmaz
mı? Bir üçgende bir köşeden karşı kenarı dik kesecek şekilde çizilen doğru parçasına bu köşeye ait
yükseklik, bir köşeye ait açıyı ortalayan doğrunun
üçgen içinde kalan doğru parçasına bu köşeye ait
içaçıortay, bir köşeyi karşı kenarın ortasına birleştiren doğru parçasına da bu köşeye ait kenarortay
denir.
A
A
A
ha
nA
Teorem. Bir üçgende iç açıların
ölçüleri toplamı 180o’dir.
Kanıt: Herhangi bir köşeden geβ
θ
çen ve bu köşenin karşısındaki
kenara paralel olan bir doğru çizilir ve iç-ters açılar gereği yapılırsa, üç açının bir doğru açı oluşturduğu çıkar. Dolayısıyla α + β + θ = 180o.
βα θ
va
Yukarıdaki şekillerden bir ABC üçgeninin A köşesine ait yükseklik, açıortay ve kenarortayına bakabilirsiniz.
2
Mustafa YAĞCI
Üçgen
Kanıt: 2α + 2θ = 180o olduğundan α + θ = 90o
olduğu rahatlıkla görülebilir.
Teorem. Bir üçgende dış açıların ölçüleri toplamı
360o’dir.
Kanıt: α + β + θ = 180o olduğu kanıtlandığından
dış açılar olan 180o − α, 180o – β, 180o – θ değerleri toplanarak 540o – (α + β + θ) = 540o – 180o =
360o eşitliğine kolayca ulaşılır.
Teorem. Yandaki şekilde
içe dönük açıların topa
lamları, dışa dönük olan
d
D
açıya eşittir. Yani; a + b
b
c
+ c = d.
B
C
A
Kanıt: AD doğrusunun
a
BC doğrusunu kestiği
noktaya E diyelim. Bir
d
D
üçgende iki iç açının öla+b c
b
çüleri toplamı, üçüncü
B
C
E
açının dış ölçüsüne eşit
olacağından m(AEC) = a + b’dir. Yine aynı sebepten; m(ADC) = m(DEC) + m(ECD) olmalıdır. O
halde; a + b + c = d eşitliği kanıtlanmış demektir.
Biz buna ‘’Şalvar kuralı’’ diyeceğiz.
A
Teorem. Bir dış açının ölçüsü kendine komşu olmayan
iki iç açının ölçülerinin toplamıdır.
Kanıt: Gerek iç açıların ölçüleri toplamından gerekse yandaki gibi bir paralel doğru çizilerek, sonra iç-ters açı görülerek rahatlıkla kanıtlanabilir.
Teorem. Komşu iki eş
açının kollarını kesen bir
A y
başka doğrunun oluşturB z
duğu açı dizisi (yan şekilO
C
deki x, y, z açıları) bir
x
aritmetik dizidir.
A y
Yani; z – y = y – x veya x
y-x
+
z = 2y.
x
B z
D
y-x
Kanıt: Oldukça kolay!
O
C
m(AOB) = m(BOC) = α
olsun. m(OAB) = x olduğundan OAB üçgeninde
bir önceki teorem gereği x + α = y’dir. Diğer yandan m(OBC) = y olduğundan OBC üçgeninde bir
önceki teorem gereği y + α = z’dir. Her iki eşitlikten α’lar çekilir eşitlenirse z – y = y – x eşitliğine
ulaşılır ki bu da x + z = 2y demektir. Bu soruyu
doğruda açılar bilgisi ile de şöyle çözebilirsiniz:
O’dan geçen AC’ye paralel doğru çizilir. m(DOC)
= m(DOA) + m(AOC) = 2y – x = z.
x
Teorem. Bir yıldızıl beşgenin köşe açılarının ölçüE
B
e
b
leri toplamı 180o’dir.
a + b + c + d + e = 180o.
c
d
Kanıt: AC ile AD doğrulaA
C
D
a
rının BE doğrusunu kestiği
c+e
b+d
E
B
e
noktalar sırasıyla K ve P
b
olsun.
Bir üçgende iki iç
c
d
açının ölçüleri toplamı
C
D
üçüncü açının dışının ölçüsünü vermesi gerektiğinden m(AKE) = c + e ve
m(APB) = b + d olur. AKP üçgeninde iç açıların
ölçüleri toplanırsa a + b + c + d + e = 180o eşitliğine ulaşılır.
A
a
Teorem. Bir üçgenin iki iç
A
açıortayından oluşan gen
niş açının ölçüsü, üçgenin
D
kullanılmayan açısının öla
m
b
a
o
b
çüsünün yarısının 90 faz- B
C
lasıdır.
Kanıt: BAC ve BDC üçgenlerinin iç açılarının ölçüleri toplamına bakalım. 2a + 2b + n = 180o ve a
+ b + m = 180o eşitlikleri birlikte çözülürse m =
n
90o +
bulunur. m değerinin daima geniş olduğu
2
dikkate alınmalıdır. İleride lazım olacak.
Teorem. Bir ABC üçgeninin iç
A
bölgesindeki her O noktası
O
için
L
m(BOC) > m(BAC)’dir.
B
C
Kanıt: Bir üçgende bir dış açı
ölçüsünün kendisine komşu olmayan iç açı ölçüleri toplamına eşit olduğunu dolayısıyla her birinden
büyük olduğunu göz önüne alırsak; m(BOL) >
m(BAL) ve m(COL) > m(CAL) olur, o halde
m(BOC) > m(BAL) + m(CAL) = m(BAC).
A
α θ
θ
α
Teorem. Bir üçgende aynı
köşeye ait iç ve dış açıortaylar birbirine diktir.
n
B
a
a
b b
m
D
3
Teorem. Bir üçgenin iki dış açıortayından oluşan dar açı ile üçgenin kullanılmayan açısının yarısı birbirinin tümleridir.
Mustafa YAĞCI
Üçgen
Teorem. A açısı dik olan
A
bir ABC dik üçgeninin
D
N
B’ye ait iç açıortayı AC’yi
N’de kessin. C’den BC
doğrusuna çıkılan dikme
B
C
BN’yi D’de kesiyorsa |CD|
A
= |CN|’dir.
D
θ Nθ θ
Kanıt: Boş durmayın!
α
α
m(ABN) = m(NBC) = α olB
C
o
sun. α + θ = 90 olmak
üzere; ANB açısının ölçüsüne θ dersek; ters açılar
eşittir teoremi gereğince m(CND) = θ olur. BCD
dik üçgen olduğundan CDB açısının ölçüsü de θ
olur. m(CND) = m(CDN) olduğundan kanıt tamamlanmış olur.
Kanıt: BAC ve BDC üçgenlerinin iç açılarının ölçüleri toplamına bakalım. 180o – 2a + 180o – 2b +
n = 180o ve a + b + m = 180o eşitlikleri birlikte
n
olduğu görülür. Burada da
çözülürse m = 90o –
2
m değerinin her halükarda dar olduğu dikkate
alınmalıdır. Zira bu da ileride çokça lazım olacak.
Hatta BCD daima dar açılı üçgen olur.
Teorem. Bir üçgenin
bir iç açısının açıortan
D
yı ile bir başka açısım
a
b
nın dış açıortayından
a
b
oluşan dar açının ölB
C
çüsü, üçgenin kullanılmayan açısının ölçüsünün yarısıdır.
Kanıt: n + 2a = 2b ve m + a = b eşitlikleri ortak
n
çözülerek istenilen eşitlik yani m = bulunur.
2
Ek bilgi: BCD üçgeni C açısından dolayı daima
geniş açılı bir üçgen olur.
A
Teorem. Bir üçgende bir
köşeye ait yükseklikle, iç
x
açıortay arasında kalan
açının ölçüsü kullanılmab
c
B H N
C yan köşelerdeki iç açı ölçülerinin pozitif farkının
A
yarısıdır.
y x x+y
Kanıt: Çok çok kolay!
m(ABH) = y olsun.
b
c
o
B H N
C y + b = 90 ve 2x + y + c
o
= 90 eşitliklerinden y =
o
o
90 – b = 90 – 2x – c olur.
b−c
b = 2x + c olduğu için x =
’dir. Böyle bir
2
açı, BAC üçgeni ikizkenar değilse oluşur.
A
Teorem. Bir üçgende iki
yükseklik arasındaki açı ile
kullanılmayan köşedeki açı
θ
eşit ya da bütünlerdir.
α
Kanıt: Bahsi geçen açıların
içinde bulunduğu dörtgenin iç açılar toplamı hesaplanırsa kanıt biter. Eğer yüksekliklerin arasındaki θ açısı şekildeki gibi geniş olan değil de dar
olan seçilirse θ = α olur.
4
Mustafa YAĞCI
Üçgen
4.
Çıkmış ÖSS-ÖYS soruları
1.
Bir üçgende m(A) = 45o ve m(B) − m(C) = 35o olduğuna göre, m(B) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 45
o
B) 50
o
o
C) 67 30′
D) 85
o
Verilen şekilde ABC açısının ölçüsü 50o ve aynı
harflerle gösterilen açılar birbirine eşittir.
x – y = 10o olduğuna göre, BCA açısının ölçüsü
kaç derecedir?
o
E) 72 30′
1968 ÜSS
A) 55o
B) 60o
C) 65o
D) 70o
E) 75o
1981 ÖYS
B) 110o C) 120o
D) 130o
E) 140o
1982 ÖSS
2.
5.
Şekilde gösterilmiş pozitif yönlü a + b + c + d açı
ölçülerinin toplamı kaç dik açıdır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
A) 100o
E) 8
1977 ÜSS
6.
3.
Şekilde BAˆ C açısının ölçüsü α olduğuna göre,
BHC açısının ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2αo
B) 90 o +
D) 180 −
o
αo
2
αo
2
her birinin ölçüsü 36o’dir. |AB| = x, |BD| = y olduğuna göre, |AC|’nin x ve y cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
C) 90o + αo
A) 2y
B)
3x
y
C) x + y
D) 2x − y E) 3y − x
1983 ÖYS
E) 180o − αo
1981 ÖYS
5
Mustafa YAĞCI
Üçgen
7.
10.
Aşağıdaki ABC ikizkenar üçgeninde
A) 90o + αo
o
ABC açısının ölçüsü kaç derecedir?
3α o
2
E) 180o − 2αo
C) 90o + 2αo
B) 90 o +
o
D) 180 − α
A) 45o
B) 60o
C) 72o
D) 75o
1984 ÖSS
11.
8.
A) 80o
E) 80o
1986 ÖYS
Aşağıdaki şekilde AD // BC, |BC| = |DC|’dir.
B) 70o
C) 60o
D) 50o
E) 40o
1985 ÖYS
ABD açısının ölçüsü 30o,
BAD açısının ölçüsü 100o,
BCD açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) 80o
B) 85o
C) 90o
D) 95o
9.
E) 100o
1987 ÖSS
Aşağıdaki şekilde, DC // EA’dır.
12.
Aşağıdaki ABC üçgeninde |DC| = |DA|’dır.
EBA açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) 15o
B) 30o
C) 45o
D) 60o
E) 75o
1986 ÖSS
A) 45o
6
B) 40o
C) 35o
D) 30o
E) 25o
1987 ÖSS
Mustafa YAĞCI
Üçgen
13.
16.
Aşağıdaki şekilde ABC ve ADC ikizkenar üçgendir.
Yukarıdaki ABC ikizkenar üçgeninde BCA taban
açısının ölçüsü kaç derecedir?
Buna göre m(BAD) kaç derecedir?
A) 11o
B) 9o
C) 7o
D) 5o
A) 74o
E) 3o
1987 ÖYS
B) 75o
C) 76o
D) 77o
E) 78o
1990 ÖYS
14.
17.
Şekildeki ABC ikizkenar üçgeninde A tepe açısının ölçüsü kaç derecedir?
Yukarıdaki verilere göre, DBA açısının ölçüsü
kaç derecedir?
A) 15o
A) 30o
B) 20o
C) 25o
D) 30o
E) 35o
1989 ÖSS
B) 35o
C) 40o
D) 45o
E) 50o
1990 ÖYS
18.
15.
Taban açıları 24o olan ikizkenar bir ABC üçgeninde, tepe açısını üç eş parçaya bölen ışınların belirttiği açının ölçüsü açı kaç derecedir?
A) 36o
B) 38o
C) 40o
D) 42o
Şekildeki ABC üçgeninde A açısının α türünden
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 100o − 2αo
D) 2αo – 20o
E) 44o
1990 ÖYS
B) 100o − αo
E) αo + 10o
C) 2αo – 10o
1991 ÖSS
7
Mustafa YAĞCI
Üçgen
19.
23.
Şekildeki verilere göre, α açısı kaç derecedir?
Yukarıdaki verilere göre, BAC açısını ölçüsü kaç
derecedir?
A) 25o
B) 30o
C) 35o
D) 40o
E) 45o
1992 ÖSS
A) 150o
B) 140o C) 130o D) 120o E) 110o
1994 ÖSS
20.
24.
Yukarıdaki verilere göre, ACB açısının ölçüsü
kaç derecedir?
A) 30o
B) 40o
C) 45o
D) 50o
Yukarıdaki şekilde |AB| = |AC| olduğuna göre,
x’in a türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
E) 60o
1992 ÖYS
A) ao + 10o
ao
+ 40 o
D)
2
21.
B) ao + 40o
ao
E)
+ 10 o
2
C) 2ao – 40o
1996 ÖSS
Yukarıdaki verilere göre, m(PAC) = α kaç derecedir?
A) 7o
B) 8o
C) 9o
D) 10o
25.
E) 11o
1993 ÖSS
22.
Yukarıdaki şekilde |AB| = |AC| olduğuna göre,
m(AFD) = x kaç derecedir?
Yukarıdaki verilere göre, m(ABC) = α kaç derecedir?
A) 138o
B) 146o C) 148o
A) 30o
D) 152o E) 154o
1994 ÖSS
8
B) 35o
C) 40o
D) 45o
E) 50o
1997 ÖSS
Mustafa YAĞCI
Üçgen
26.
29.
Yukarıdaki şekilde ABC bir eşkenar üçgen olduğuna göre, m(AFE) = α kaç derecedir?
A) 110o
B) 105o
C) 100o
Yukarıdaki verilere göre, m(DEF) = α kaç derecedir?
D) 95o E) 90o
1997 ÖYS
A) 50o
B) 54o
C) 58o
D) 60o E) 64o
1999 ÖSS1
30.
27.
Yukarıdaki şekilde ABC ve ABD birer ikizkenar
üçgendir.
|AB| = |AC| ve |AD| = |BD| olduğuna göre,
m(ADB) = α kaç derecedir?
|AB| = |BC| = |BD| = |CD| =DE|
Yukarıdaki verilere göre, m(CED) = α kaç derecedir?
A) 90
o
B) 60
o
C) 45
o
D) 30
o
A) 95o
o
E) 20
1998 ÖSS
B) 100o
C) 105o D) 110o
E) 115o
1999ÖSS2
31.
ABC bir üçgen
28.
Yukarıdaki verilere göre, m(ABC) + m(ACE) toplamı kaç derecedir?
A) 60o
Şekilde |AB| = |AC| ve |BD| = |BC| olduğuna göre,
m(BDC) = α kaç derecedir?
A) 35o
B) 40o
C) 45o
D) 50o
B) 75o
C) 90o
D) 135o
E) 150o
2001 ÖSS
CEVAP ANAHTARI
1
6
11
16
21
26
31
E) 55o
1998 ÖSS
9
D
C
A
C
C
E
C
2
7
12
17
22
27
32
C
C
B
E
B
C
3
8
13
18
23
28
33
E
D
D
D
B
C
4
9
14
19
24
29
34
D
B
B
D
E
B
5
10
15
20
25
30
35
C
C
E
D
D
B