Parçacik Fizigine Giris

LOGO
Parçacık Fiziğine Giriş
Orhan Çakır
Ankara Üniversitesi
Hızlandırıcı ve Parçacık Fiziğinde Bilgisayar Uygulamaları, 26-30 Ocak 2009, Ç.Ü, Adana
Başlarken
O.Çakır
1
Madde, Temel Etkileşmeler ve Parçacıklar
2
Partonik
üreçler
Partonikve
veHadronik
HadronikSSüreçler
3
Kinematik,Bozunma/Sa
çılma SSüreçleri
üreçleri
Kinematik,Bozunma/Saçılma
4
Ek
-MC Rastgele
ı ÜÜretimi
retimi
Ek-MC
RastgeleSay
Sayı
2
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Madde Nedir ?
• Parçacık Fiziği
maddenin temel
yapıtaşlarını ve onlar
arasındaki etkileşmeleri
inceler.
Hadronlar
Hadronlar
BaryonlarMezonlar
Mezonlar
Baryonlar
qqq
qqq
Madde
Madde
Leptonlar
Leptonlar
Yüklü
Yüklü
Nötrinolar
Nötrinolar
• Madde parçacıklardan
oluşmuştur. Bu parçacıklar
arasındaki etkileşmeler
kuvvet taşıyılar ile
gerçekleşir.
Kuvvetler
Kuvvetler
kütleçekim
kütleçekim
Zayıf
Zayıf
q⎯q
q⎯q
Güçlü
Güçlü
EM
EM
Kuarklar
O.Çakır
3
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Temel Parçacıklar
Ölçek
O.Çakır
4
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
SM Parçacıklarının Özellikleri
Yine de SM
mükemmel
değil !
• Kütlenin
kaynağı?
• Üç mutlu aile?
• diğer?
O.Çakır
5
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Doğanın Kuvvetleri
Etki/ba
ğlaşım
Taşıyıcı
Menzil
Şiddet
Kararlıs
istem
Ind.
reaksiy
on
Güçlü
Kuark ve
gluonlar/
renk yükü
Gluonlar
(farklı 8
adet)
10-15 m
1
Hadronlar
, çekirdek
Nükleer
reaksiyon
Zayıf
Fermiyonl
ar/hipery
ük
Bozonlar, <10-17 m
W+, W-, Z0
<10-5
Yok
βbozunma
Foton, γ
Elektrom Yüklü
parçacıkla
agnetik
Uzun eriş.
F ∝1/r2
1/137
Atomlar,
molekülle
r
Kimyasal
reaksiyonl
ar
Kütleçekim
Uzun eriş.
F∝1/r2
~10-39
Güneş
sistemi
Cisimlerin
düşmesi
r/elektrik
yükü
O.Çakır
Bütün
parçacıkla
r/kütle/Eρ tensör
Graviton,
G (henüz
gözlenme
di)
6
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Parçacık Fiziğinin Standart Modeli (özet)
™ Parçacıklar ve SU(3) X SU(2) X U(1) kuantum sayıları
™ Lagrangian:
ayar etkileşmeleri
maddesel fermiyonlar
Yukawa etkileşmeleri
Higgs potansiyeli
O.Çakır
7
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Etkileşmeler
SM
Diyagramlarla
O.Çakır
8
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
e+e-Æγ/Z0/Z’0Æμ+μ− Süreci
+
SM
BSM
Sembolik Hesap: REDUCE,
FORM, Mathematica paketleri*
M = M γ + M Z + M Z ' Toplam Genlik
O.Çakır
9
* OC, IWPBSM2005
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Otomatikleştirme:
Sembolik / Sayısal Hesap
CalcHEP/CompHEP/MadGraph
¾ Girdi: etkileşme köşeleri (lagrangian)
¾Çıktı: Sembolik ve/veya sayısal sonuç, olay dosyası
PYTHIA
¾Girdi: matris elemanları, spektrum
¾Çıktı: sayısal sonuç, olay bilgisi
MC
+ Diğerleri...
Genellikle Çıktılar:
Diyagram, Bozunma genişliği, dallanma oranı, dif. tesir kesiti
(dağılım), toplam tesir kesiti, olay bilgisi
O.Çakır
10
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Bu arada
“Feynman Diyagramları”
Yüksek enerji fiziği süreçleri genelde karmaşıktır, yani
ışımalar içerir, halkalar içerir, vs. Ancak ilk yaklaşım olarak
bu süreçler, temel parçacıklar (leptonlar, kuarklar ve ayar
parçacıkları) arasındaki temel seviyede etkileşmeler olarak
alınabilir. Feynman diyagramları fizik süreçlerinin şekilsel
gösterimidir. Burada Feynman diyagramları JaxoDraw ile
çizilmiştir.
e+ e-ÆZ0Æq⎯q
JaxoDraw Program Dosyaları
•jaxodraw-2.0-0_bin.tar.gz
•axodraw4j_2008_11_19.tar.gz
(LaTeX axodraw.sty dosyası)
ggÆH0Æb⎯b
Çalıştırma
java –jar jaxodraw-2.0-0.jar
*JaxoDraw2.0, http://jaxodraw.sourceforge.net/
O.Çakır
11
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Feynman Diyagramları – JaxoDraw*
* D. Binosi et al., JaxoDraw2.0, http://jaxodraw.sourceforge.net/
O.Çakır
12
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Partonik/Hadronik Süreçler
Partonların (1,2) taşıdığı
momentum kesirleri
k
x1 = p(1) / p( A), x2 = p(2) / p(B)
Q 2 = −k 2 = −[ p(1) − p(3)]2
Parton dağılım
fonksiyonları
Toplam
tesir kesiti
O.Çakır
13
Altsüreç dif.
tesir kesiti
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Hadronik Süreçler
Gelen demetler: parton yoğunlukları
O.Çakır
14
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Hadronik Süreçler
Alt süreç: matris elemanları ile tanımlanabilir
O.Çakır
15
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Hadronik Süreçler
Rezonans bozunma: alt süreç ile korelasyon
O.Çakır
16
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Hadronik Süreçler
İlk durum ışıması: uzaysal parton sağanakları
O.Çakır
17
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Hadronik Süreçler
Son durum ışıması: zamansal parton sağanakları
O.Çakır
18
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Hadronik Süreçler
Çoklu parton-parton etkileşmeleri
O.Çakır
19
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Lepton-Lepton Çarpışması
™Benzer durum ilk durum ışıması (ISR) ve demet
ışıması (beamstrahlung-BS) nedeniyle meydana
gelir
+
e
e
dσ ( s ) = ∫ ∫ dxa dxb F ( xa , Q ) F ( xb , Q )dσˆ ( sˆ)
Fizik için önemli etkileri:
• kütle merkezi enerjisi (√sÆ√s’)
• ışınlık spektrumu (LÆdL/dτ)
Æ (demet dinamiği, optimizasyon)
Fiziksel ışınlık L1=L(Ecm ≥0.99Ecm,0), opt.
O.Çakır
20
ISR, BS
fonksiyonları
ISR: Kuraev&Fadin85;
Jadach1991
BS: Chen1992
L1 ∝ η / σ z σ y
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Biraz Kinematik
Eğer S ve S’ gibi iki eylemsiz çerçevemiz varsa, ve
bunlardan S’ çerçevesi S ye göre v hızı ile hareketli ise, bu
iki çerçevede bir olayın uzay-zaman koordinatları Lorentz
dönüşümleri ile tanımlanır. S den S’ ye geçtiğimizde bu
olayın koordinatlarının özel bir birleşimi değişmez kalır:
I ≡ ( x 0 ) 2 − ( x1 ) 2 − ( x 2 ) 2 − ( x 3 ) 2 = ( x 0' ) 2 − ( x1' ) 2 − ( x 2 ' ) 2 − ( x 3' ) 2
Bir eylemsiz sistemde değeri aynı kalan bir niceliğe
değişmez (invariant) denir (bu anlamda, r2=x2+y2+z2 niceliği
dönmeler altında değişmez kalır). Bu ifade aşağıdaki
formda yazılabilir
3
3
I = ∑∑ g μν x μ xν
μ =0 ν =0
burada metrik tensor g
O.Çakır
μν
Æ
21
⎛1 0 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 −1 0 0 ⎟
g=⎜
0 0 −1 0 ⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 0 − 1⎟
⎝
⎠
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Bu değişmez nicelik I, “covariant” dörtlü-vektor xμ and
“contravariant” dörtlü-vektor xμ yardımıyla yazılabilir
I = xμ x
μ
x0 = x 0 = ct
x1 = − x1 = − x
x2 = − x 2 = − y
x3 = − x 3 = − z
a ve b dörtlü-vektörlerinin skaler
çarpımı:
μ
a bμ = a b0 + a b1 + a b2 + a b3
r r
0 0
= a b − a ⋅b
r2
μ
2
0 2
a aμ = a ⋅ a = a = ( a ) − a
0
1
2
3
Eğer p, m kütleli bir parçacığın enerji-momentum dörtlüvektörü ise, onun “contravariant” ve “covariant” biçimleri
⎛E
⎞
⎛E
⎞
p μ = ⎜ ,− p x ,− p y ,− p z ⎟
p = ⎜ , px , p y , pz ⎟
c
⎝
⎠
⎝c
⎠
2
⎛E
r2 ⎞
μ
2
pμ p = p ⋅ p = p = ⎜⎜ 2 − p ⎟⎟ = m 2 c 2
⎝c
⎠
μ
O.Çakır
22
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Parçacık Bozunumu
Bütün kararsız parçacıklar etkileşmelerin ve kinematiğin
kurallarına göre bozunacaklardır. Verilen bir süreç için
bozunma hızı “Fermi’s Golden Rule” a göre faz uzayı (Φ) ve
genlik (M) ile tanımlanabilir.
Bozunma 1Æ2:
m kütleli bir a parçacığı, m1 ve m2 kütleli a1 ve a2
parçacıklarına bozunursa, bu aÆa1+a2 süreci için
diferensiyel bozunma genişliği aşağıdaki gibi yazılabilir.
<| M | >
dΓ =
dΦ Lorentz değişmezi faz uzayı aşağıdaki
2m
gibidir:
3r
3r
d p1
d p2
4 4
dΦ = (2π ) δ ( p − p1 − p2 )
(2π ) 3 2 E1 (2π ) 3 2 E2
2
O.Çakır
23
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Parçacıkların Enerji-Momentumu (1Æ2)
aÆa1+a2 sürecine energy-momentum korunumu uygularsak,
p = p1 + p2 ⇒ m 2 = m12 + m22 + 2 p1 ⋅ p2
p1 = p − p2 ⇒ m12 = m 2 + m22 − 2 p ⋅ p2
p2 = p − p1 ⇒ m22 = m 2 + m12 − 2 p ⋅ p1
a parçacığının durgun olduğu çerçevede (p=0) p ⋅p1 ve p ⋅p2
çarpımları aşağıdaki gibidir
r r
p ⋅ p1 = EE1 − p ⋅ p1 = mE1
r r
p ⋅ p2 = EE2 − p ⋅ p2 = mE2
2
2
2
m 2 + m12 − m22
+
−
m
m
m
2
1
E1 =
E2 =
2m
2m
r
r
2
2 1/ 2
2
2 1/ 2
| p1 |=| p2 |= m − (m1 + m2 )
m − (m1 − m2 )
/ 2m
[
O.Çakır
] [
24
]
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Faz Uzayının Hesabı (1Æ2)
İki-parçacık faz uzayı elemanı
r
3r
r
d p1
d p2
4 3 r
dΦ = (2π ) δ ( p1 + p2 )δ ( E1 + E2 − m)
(2π ) 3 2 E1 (2π ) 3 2 E2
3
p2 üzerinden integral momentum korunumu δ(p1+p2)
yardımıyla alınabilir. Burada, |p1|=|p2|. p1 integrasyonu için
de küresel koordinatlara geçerek ve açılar üzerinden
integral alarak (d3p1=p1dp1sinθdθdφ=4πp1dp1) aşağıdaki
ifadeleri buluruz. ∞
r2
r2
2
2
Φ=∫
0
δ ( p1 + m1 + p1 + m2 − m) r
r2
4π p1 + m12
r
| p1 | δ ( E − m)
=∫
dE
4πE
0
∞
O.Çakır
25
r2
p1 + m22
r
| p1 | d | p1 |
r
| p1 |
⇒Φ=
4πm
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Bozunma 1Æ3:
aÆa1+a2+a3 bozunumunda, energy-momentum korunum
yasasına göre p=p1+p2+p3 ifadesi bozunma ürünlerinin enerji
ve momentumlarını tam belirlemez. Böyle bir bozunmayı
“Dalitz plot” da göstermek uygun olmaktadır. “Dalitz plot”
m yüksekliğindeki bir eşkenar üçgendir. Bunun içindeki her
nokta E1+E2+E3=m olan enerji değerlerine karşılık gelir.
Momentumların modulleri ise üçgen eşitsizliğine uymalıdır,
r
r
r
r
r
| p2 | − | p3 | ≤| p1 |≤| p2 | + | p3 |
Bunun karesini alarak,
r2 r2
r r
r2 r2 r2
r r
p2 + p3 − 2 | p2 || p3 |≤ p1 ≤ p2 + p3 + 2 | p2 || p3 |
ve tekrar karesini alarak,
r4 r4 r4
r2 r2
r2 r2
r2 r2
p1 + p2 + p3 − 2 p1 p2 − 2 p1 p3 − 2 p2 p3 ≤ 0
r2
pi = Ei2 − mi2
O.Çakır
26
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Üç-parçacık faz uzayı
r
3r
3r
r r
r
d p3
d p1
d p2
dΦ = (2π ) 4 δ 3 ( p1 + p2 + p3 )δ ( E1 + E2 + E3 − m)
(2π ) 3 2 E1 (2π ) 3 2 E2 (2π ) 3 2 E3
3
p3 üzerinden integral δ(p1+p2+p3) fonksiyonu ile alınabilir;
d3p1=4πp12dp1 ve d3p2=2πp22dp2dcosθ alarak, burada θ, p1
and p2 arasındaki açıdır, faz uzayı elemanı
p12 dp1 p22 dp2 d cosθ
dΦ = δ ( E1 + E2 + E3 − m)
32π 3 E1 E2 E3
burada p1, 2 dp1, 2 = E1, 2 dE1, 2 , Faz uzayı elemanının “Dalitz
dE1dE2
dΦ =
3
32π
plot” da alan elemanı ile orantılı
olduğunu buluruz.
E1
E3
O.Çakır
27
E2
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Parçacık Üretimi (2Æ1)
Rezonans Üretim (2Æ1): (1Æ2) şeklindeki bozunma
sürecinin tersi. Kütle merkezi çerçevesinde, (a1+a2Æa) süreci
için bir-parçacık faz uzayı
r
r
d p
π
4
dΦ = (2π ) δ ( p )δ (m − E1 − E2 )
= δ (m − s )
3
(2π ) 2 E m
3
Gerçekte, a1+a2Æa reaksiyonu değil, bir a ara durumu
aracılığıyla a1+a2ÆaÆf reaksiyonu tartışılmalıdır. Böyle bir
ara durumun varlığı, √s≈m değerinde, a1+a2->f sürecinin tesir
kesitinde bir pik gösterir. Belirsizlik bağıntısına göre kararsız
bir parçacığın kütlesi 1/τ= Γ duyarlılığında belirlenebilir.
Diferensiyel tesir kesiti dσ(a1+a2Æf) sonlu bozunma genişliği
dikkate alınarak Breit-Wigner formunda elde edilir,
Γi dΓ f
n
dσ = r 2
| p | n1n2 ( s − m 2 ) 2 + m 2 Γ 2
π
O.Çakır
28
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Saçılma (2Æ2)
a1a2Æa3a4 süreci için enerji-momentum korunum yasası
p1+p2 =p3+p4, iki serbest parametre daha bırakır (enerji ve
kütle merkezi sisteminde saçılma açısı). 2Æ2 saçılması
genellikle Lorentz değişmezi “Mandelstam variables”
(s,t,u) ile tanımlanır. “Mandelstam plot” (h=s+t+u
yüksekliğinde eşkenar üçgen) aşağıda gösterilmiştir.
s
s = ( p1 + p2 ) 2 = ( p3 + p4 ) 2
t = ( p1 − p3 ) 2 = ( p2 − p4 ) 2
u = ( p1 − p4 ) 2 = ( p2 − p3 ) 2
Bunlar bağımsız değildir:
s + t + u = m12 + m22 + m32 + m42
O.Çakır
u
29
t
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Kütle Merkezi Enerjisi(Ecm=√s), Saçılma Açısı(θ)
Eşit enerjili iki protonun çarpışmasını düşünelim, kütle
merkezi enerjisi nedir?
p1
p2
2
2
2
s = ( p1 + p2 ) = p1 + p2 + 2 p1 ⋅ p2
r r
2
2
= m1 + m2 + 2( E1 E2 − p1 ⋅ p2 )
Protonların kütlelerini ihmal edersek,
r2
2
s = 2( E + p1 ) = 4 E1 ⇒ Ecm = s = 2 E1
2
1
Kütle merkezi sisteminde saçılma açısı nedir?
t = ( p1 − p3 ) 2 = p12 + p32 − 2 p1 ⋅ p3
r r
2
2
= m1 + m3 − 2( E1E3 − | p1 || p3 | cos θ )
p3
p1
p4
θ
p2
⇒ −1 ≤ cos θ < 0 geri yönde; 0 < cos θ ≤ 1 ileri yönde
O.Çakır
30
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Diferensiyel Tesir Kesiti (2Æ2)
p1+p2Æp3+p4 süreci için diferensiyel tesir kesiti
S <| M |2 >
dσ =
dΦ
4F
Kütle merkezi sisteminde, Lorentz değişmezi parçacık akısı
F aşağıdaki gibi yazılabilir
[
]
r r
2
2 2 1/ 2
F = E1 E2 | v1 − v2 |= ( p1 ⋅ p2 ) − m1 m2
ve faz uzayı
r
3r
d p3
d p4
4 4
dΦ = (2π ) δ ( p3 + p4 − p1 − p2 )
(2π )3 2 E3 (2π )3 2 E4
3
r
r r
r
Burada p1 = − p2 , p3 = − p4 . Sonuçta aşağıdaki ifadeyi
elde ederizr
r
⎧⎪| p1 |2 = λ ( s, m12 , m22 ) / 4s
⎨ r 2
⎪⎩| p3 | = λ ( s, m32 , m42 ) / 4s
λ (a, b, c) = (a − b − c) 2 − 4bc
O.Çakır
31
dσ S <| M |2 > | p3 | ⎫
=
r ⎪
2
64π
| p1 | ⎪
dΩ
⎬
2
dσ S <| M | >
⎪
=
r 2
⎪⎭
dt 64πs | p1 |
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
“Inclusive” Reaksiyonlar
Z-ekseni için bir yön seçelim (genellikle demet yönü),
buna göre bir parçacığın enerji ve momentumu aşağıdaki
gibi yazılabilir
E = mT cosh y, p x , p y , p z = mT sinh y
burada mT enine kütle
m =m + p + p
2
T
2
2
x
ve y hızlılık (rapidity)
2
y
⎛ E + pz ⎞
1 ⎛ E + pz ⎞
−1 ⎛ p z ⎞
⎟⎟ = ln⎜⎜
⎟⎟ = tanh ⎜ ⎟
y = ln⎜⎜
2 ⎝ E − pz ⎠
⎝E⎠
⎝ mT ⎠
p>>m için, aşağıdaki ifade şeklinde yazılabilir
1 ⎛ cos 2 (θ / 2) + m 2 / 4 p 2 + ... ⎞
⎟⎟ ≈ − ln tan(θ / 2) ≡ η
y = ln⎜⎜ 2
2
2
2 ⎝ sin (θ / 2) + m / 4 p + ... ⎠
burada cos θ=pz/p ve η “pseudorapidity” olarak tanımlanır.
O.Çakır
32
LOGO
“Inclusive” Hadronik Reaksiyonlar
Bir-parçacık “inclusive” tesir kesitleri, burada z-ekseni için bir
yön seçilmiştir (genelde demet yönü), p momentumlu bir
parçacığın üretimi için Ed3σ/d3p ifadesi hızlılık ve enine
momentum cinsinden ifade edilir
d 3σ
d 3σ
E 3 =
d p dφdypT dpT
Hadronik tesir kesiti, partonik tesir kesitinin dağılımlar
üzerinden integrali olarak hesaplanabilir.
σ hadronik = ∑ ∫
i, j
x2max
x2min
∫
x1max
x1min
f i ( x1 , Q ) f j ( x2 , Q )dx1dx2σˆ partonik
2
2
burada fi(x,Q2) parton dağılım fonksiyonu (pdf), x ise hadron
içindeki partonun momentum kesri, Q ise partonik süreçdeki
momentum aktarımıdır.
O.Çakır
33
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Hadronik ve Partonik Değişkenler
A ve B ilk durum hadronlarıdır ve pA and pB momentumlarını taşırlar.
Burada a partonu A hadronunun momentumunun xa kesrini taşır,
benzer tanımlama b için de geçerlidir ancak momentum kesri xb dir.
xa=pa/pA ve xb=pb/pB.
X
a
A
b
Y
B
C
c
d
xb s
pb = Eb (1,0,0,−1) =
(1,0,0,−1)
2
μ
Hadronik Mandelstam
değişkenleri aşağıdaki gibidir.
Partonik Mandelstam değişkenleri
“şapkalı” tanımlanmıştır
t = ( p A − pC ) 2
sˆ = ( p a + p b ) 2 = ( p c + p d ) 2
tˆ = ( p a − p c ) 2 = ( p b − p d ) 2
u = ( p B − pC )
uˆ = ( p a − p d ) 2 = ( p b − p c ) 2
s = ( p A + pB )
O.Çakır
a ve b için dörtlü-momentum
vektörleri
xa s
μ
(1,0,0,1)
pa = Ea (1,0,0,1) =
2
2
2
34
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Kütle Merkezi Çerçevesinde İlk Durum ve Son
Durum Parçacıklarının Momentumu
Saçılan parton c, enine momentum pcT ye sahipse ve
rapidity yc ise, böylece 4-momentum nicelikler
pc = (mcT cosh yc , pcT cos φ , pcT sin φ , mcT sinh yc )
pb
pa
θ
O.Çakır
z
pd
z
x
θ
pc
φc
y
pc
pcT
φd
y
pcT
φc
x
pdT
35
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
Enine Momentum, Değişmez Kütle, Hızlılık
™4-Momentum
ƒ p≡(E,px,py,pz)
(el ile hesapta, sembolik hesapta kullanılan)
ƒ Veya p(i,j)≡{p(i,1),p(i,2),p(i,3),p(i,4),p(i,5)}
(PYTHIA’da tanımlanan)
™Enine momentum, pT=[px2+py2]1/2
™Değişmez kütle,
mab=[(pa+pb)2]1/2=[pa2+pb2+2pa⋅pb]1/2
™Açısal dağılım, cosθ=pz/(px2+py2+pz2)1/2
™Hızlılık dağılımı, y=log((E+pz)/mT); η=log(tan(θ/2)) burada mT2=m2+pT2 .
O.Çakır
36
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
ÖDEV
™İki parçacığın dörtlü momentumlarının
biliniyor olması, hangi fiziksel niceliklerin
belirlenebilmesini sağlar ?
™Son
durumda
iki
parçacığın
4momentumlarını
kullanarak
değişmez
kütlesini veren bağıntıyı çıkarınız.
™Gerçek parçacık ve sanal parçacık nedir ?
O.Çakır
37
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
HPFBUO,
26-30/01/09
LOGO
EKLER
O.Çakır
39
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
E-1: Rastgele Sayı Üretimi
Düzgün sayı üreticiler bilimsel hesaplamada oldukça önemlidir.
Diğer tür rastgele sayı üreticileri oluşturmak için bunları
kullanırız.
•Düzgün dağılım f(y)=1 , y ∈[0,1]
• Bunun üstel dağılım ile bağlantısı f(y)dy= p(x)dx= exp(-x)dx
ve y(x)-y(0)=1-exp(-x). y(0)=0 alınırsa, x=-ln[1-y] elde edilir.
•Fizikte kullanılan diğer kullanışlı bir dağılım da Gaussian
dağılımıdır g(x)=exp(-x2/2σ2)/√2πσ. Burada bir düzgün dağılım
f(φ)=1, φ∈[0,2π] ve bir de üstel dağılım p(t)=exp(-t), t∈[0,∞]
kullanırsak iki Gaussian dağılım elde ederiz, g(x) ve g(y).
•Bu dağılımların çarpımı f(φ)dφp(t)dt/2π=g(x)dxg(y)dy ⇒exp(t)dtdφ=exp([-x2+y2]/2)dxdy şeklinde yazılabilir. Değişken
değiştirerek (ρ,φ) [burada ρ=√2t] Æ (x,y) Gaussian dağılımlar
x=√2tcosφ ve y=√2tsinφ olacaktır. Üstel rastgele sayı
üreticisinin kendisi de düzgün rastgele sayı üreticisinden elde
edilebilir.
O.Çakır
40
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
E-2: Verilen Algoritmaya Uygun Subroutine
Altprogramı
subroutine grnf(x,y)
Gaussian rastgele iki sayıyı (x,y),
[0,1] aralığında iki düzgün rastgele
sayıdan üretebiliriz.
pi=4.0*atan(1.0)
r1=-alog(1.0-rand())
r2=2.0*pi*rand()
x = − 2 log[1 − rand()] cos[2πrand()]
r1=sqrt(2*r1)
x=r1*cos(r2)
y=r1*sin(r2)
y = − 2 log[1 − rand()] sin[2πrand()]
G (σ , x ) = 2σ − ln(1 − R1 ) sin 2πR2 + x
O.Çakır
41
return
end
Gaussian dağılım: yarı-genişlik
σ ve ortalama değer ⎯x.
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09
E-3: Enerji Çözünürlüğü
Parçacık enerjisi Gaussian
dağılımına G(σ,⎯x) göre
smear olacaktır, burada
ortalama değer ⎯x etrafında
σ
yarı-genişliği
bulunmaktadır.
Enerji çözünürlüğü
σ (E)
E
A
=
+B
E
Örnek:⎯x=250 br, σ=5 br
O.Çakır
42
HPFBUO,LOGO
26-30/01/09