matrislerde işlemler

KAYNAKLAR
1) ‘Lineer Algebra’; Schaum’s Outline of Theory and Problems, Seymour
Lipschutz, McGraw-Hill International Book Company, New York, 1974.
2) ‘Matrices’; Schaum’s Outline of Theory and Problems, Frank Ayres,
McGraw-Hill International Book Company, New York, 1980.
3) ‘Applied Numerical Analysis’; Curtis F. Gerald, Patrick O. Wheatley,
Addison –Wesley Publishing Company, New York, 1989.
4) ‘Sayısal Analiz’; Galip Oturanç, Aydın Kurnaz, Mehmet Eyüp Kiriş,
Dizgi Ofset Matbaacılık, Konya, 2003.
5) ‘Lineer Cebir ve Matlab Uygulamaları’; Aynur Uysal, Mithat Uysal, Beta
Yayınları, İstanbul, 2000.
6) ‘Lineer Cebir’; Fahrettin Akbulut, E.Ü. Fen Fakültesi Ofset Merkezi,
1976, İzmir(Cilt I).
7) ‘Lineer Cebir’; Fahrettin Akbulut, E.Ü. Fen Fakültesi Ofset Merkezi,
1981, İzmir(Cilt I, 3. Baskı).
8) ‘Lineer Cebir’; Fahrettin Akbulut, E.Ü. Fen Fakültesi Ofset Merkezi,
1976, İzmir(Cilt I).
9) ‘Lineer Cebir’; Fahrettin Akbulut, E.Ü. Fen Fakültesi Ofset Merkezi,
1974, İzmir(Cilt II).
10)‘Basic Linear Algebra’; Cemal Koç, Matematik Vakfı Yayınları, ODTÜ,
1995, Ankara.
11)
1. MATRİ SLER VE MATRİ SLERLE İ LGİ Lİ İŞ LEMLER
Matrisler satır ve sütunlardan oluşan iki boyutlu dizilere denilmektedir.
Matrisler tek satır veya tek sütundan meydana geldiğinde buna vektör veya tek
boyutlu dizi adı verilmektedir. Matrislerle ilgili işlemler mühendislik
konularının içerisinde çok sıkça karşılaşılan problemlerdendir.
Matrisler genelde [ ], ( ) ; [A], (A) veya A şeklinde gösterilirler.
 a11

 a21
[ A] =  a31
..

 ai 1
a12 a13 . . a1 j 

a22 a23 . . a2 j 
a32 a33 . . a3 j 

.. .. .. .. 

ai 2 ai 3 . . ai j 
(1)
Matris satır ve sütunlardan oluştuğuna göre yukarıdaki [A] matrisinin satır
sayısı ( i ) ve sütun sayısı ( j ) ile gösterilmiştir. Fiziksel olaylarla ilgili
tanımlamalarda ve gösterimlerde matrisler genelde kare matrisler olarak
karşımıza çıkar.
i = j olduğunda matris kare matris0
i ≠ j olduğunda dikdörtgen matris
i = 1 satır ve j = sütun matrise satır matris,
i = satır ve j = 1 sütun matrise sütun matris adı verilmektedir.
1. 1. 1 ALT ve ÜST ÜÇGEN MATRİS
Matrisin köşegeni üstündeki elemanları sıfıra eşitse alt üçgen matris, matrisin
köşegeni altındaki elemanları sıfıra eşitse üst üçgen matris olarak tanımlanır.
Aşağıda sırasıyla üst ve alt üçgen matrisler gösterilmiştir.
 a11

 a21
L= [ A] =  a
31

..
a
 i1
0 0 .. 0 

a22 0 . . 0 
a32 a33 . . 0  (2)

.. .. .. .. 
ai 2 ai 3 . . ai j 
 a11

0

U= [ A] = 0

..

 0
a12 a13 . . a1 j 

a22 a23 . . a2 j 
0 a33 . . a3 j 

.. .. .. .. 

0 0 . . a1 j 
(3)
1.1.2 BİRİM ve KÖŞEGEN MATRİS
Birim matris köşegeni üzerindeki elemanları (1) olan matrise denilir. Köşegen
matris (diagonal) ise sadece köşegeni üzerinde değer bulunan diğer elemanları
sıfır (0) olan matrise denilmektedir. Aşağıda sırasıyla birim ve köşegen matris
gösterilmiştir.
1
0

I= [ A] =  0

..
 0
0 0 . . 0
1 0 . . 0 
0 1 . . 0  (4)

. . . . . . . .
0 0 . . 1 
 a11

0
diag [ A] =  0

..
0

0 0 .. 0 

a22 0 . . 0 
0 a33 . . 0 

.. .. .. .. 
0 0 . . ai j 
(5)
1. 1. 3 BANT MATRİS
Matris elemanlarının köşegen etrafında belli bir disipline göre dizilmesinden
oluşan matrise bant matris denilir. Genelde kısmi türevli denklemlerin
çözümünde bu tür matrislerle karşılaşırız. Aşağıda bant matrisin genel yapısı
gösterilmiştir.
 a 1 ,1

 a 2 ,1
a
 3,1
0
[ A] = 
 ...

 ...
0

 0


a 2,4 0
0
0 0 
a 3, 4 a 3 , 5 0
0 0 

a 4, 4 a 4,5 a 4,6
0 0 


...
... ...
... ...

...
... ...
... ...

0 a i − 1, j− 3 a i − 1, j− 2 a i − 1, j− 1 a i − 1, j 

0
0
a i , j− 2 a i , j− 1 a i , j 
a 1, 2 a 1, 3 0
a 2, 2 a 2,3
a 3, 2 a 3 , 3
a 4, 2 a 4,3
...
...
...
...
0
0
0
0
(6)
1. 1. 4 DEVRİK (transpoze) MATRİS
Bir matrisin satır ve sütunlarını değiştirerek elde edilen matrise o matrisin
transpozesi denilir ve [A]T ile gösterilir. Simetrik bir matrisin transpozesi
kendisine eşittir.
1
[ A] = 4

 7
2
5
8
3
6

9
(7)
 1 4 7
T

[ A] =  2 5 8
 3 6 9
DEVRİK MATRİS ÖZELLİKLERİ (TRANSPOZE)
1) (AT) T = A
2) ( A + B )T = AT + BT
3) (λ A )T = λ AT
4) (A . B)T = BT . AT
1. 1. 5 SİMETRİK MATRİS
(8)
Bir matrisin transpozesi kendisine eşitse o matris simetrik matris olarak
tanımlanmaktadır. Yani birebir satır ve sütun elemanları birbirine eşit matrise
denilmektedir.
1
T
A = [ A] =  2
 3
2
5
6
3
6
9
(9)
1. 1. 6 KOFAKTÖR MATRİS
Bir matrisin herhangi bir elemanının bulunduğu satır ve sütun silinerek elde
edilen matrisin işaretli determinantı o elemanın kofaktörü veya minörü olarak
tanımlanmaktadır. Bu işlem bütün elemanlar için tekrarlanır ve yerlerine
konulursa elde edilen yeni matris kofaktör matris olarak bilinir.
 a1,1 a1,2 a1,3 
 
[ A] =  a2,1 a2,2 a2,3
a a a 
 3,1 3,2 3,3 
(10)
( ai,j ) = [A] matrisinin ( i ). satır ve ( j ). sütunlu elemanını göstermek üzere,
1. ( aij )’ nin bulunduğu satır ve sütun silinir.
2. Geri kalan matrisin işaretli determinantı hesaplanır.
3. Böylece ( aij )’ nin kofaktörü (minörü = Mij) bulunmuş olur. Bir diğer
şekilde a ij Kofaktörünü bulmak için aşağıdaki eşitliği kullanabiliriz.
4. Kofaktör ( a ij ) = ( - 1 )i+j . M ij bulunur.
Bu işlem adımları bütün elemanlar için tekrar edilerek sonuca gidilir.
 a11 a12 a13 
[ A] = a a a 
 21 22 23 
 a31 a32 a33 
(11)
a22 a23
Kofaktör ( a1,1 ) = (-1)1+1
(12)
a32 a33
a12 a13
Kofaktör ( a21 ) = (-1)2+1
a32 a33
(13)
Böyle devam edilerek matrisin bütün elemanları için aynı işlemler yapılarak
aşağıda gösterildiği gibi bulunan değerler yerlerine konularak Kofaktör A
matris elde edilir.
Kofaktör
 K. f .( a11 ) K. f .( a12 ) K. f .( a13 ) 


[ A] =  K. f .( a21) K. f .( a22 ) K. f .( a23 ) 
 K. f .( a31 ) K. f .( a32 ) K. f .( a33 ) 
(14)
1. 1. 7 EK MATRİS ( Adjoint )
Kofaktör matrisin satır ve sütunlarının yer değiştirilmesinden (transpozesine)
meydana gelen matrise ek matris denilmektedir.
Ek matris (Adjoint) [A] = { Kofaktör [A] }T= Ek(A)= Adj (A)
(15)
EK MATRİSİN ÖZELLİKLERİ
1) A . Adj(A) = diag( A,A ,..., A ) = A. I = Adj(A) . A
2) A. Adj(A)= An = Adj(A). A
3) Eğer A tekil olmayan bir n-kare matris ise; Adj(A) = An-1 dir.
4) Eğer A, bir n-kare tekil matris ise, A . Adj(A) = Adj(A) . A = 0 dır.
5) Eğer A ve B, n-kare matrisler ise; Adj(A . B) = Adj(A) . Adj(B) dir.
1. 1. 8 TERS MATRİS (INVERSE)
A ve B n-kare matrisler olsun. Eğer A . B = B . A = I ise B ye A nın tersi ( B =
A-1 ) ve A ya da B nin tersi ( A = B-1) denir.
I-
Bir n-kare A matrisinin tersinin olması için gerek ve yeter koşul
(g.v.y.k), tekil olmamasıdır yani det(A) sıfırdan farklı olmalı).
II-
Eğer A tekil değil ise, A . B = A . C ; B = C olur. Tekil olmayan bir
diag(k1, k2, ..., kn) matrisinin tersi diag(1/k1, 1/k2, ..., 1/kn) köşegen
matrisidir.
Eğer A1, A2, ..., As tekil olmayan matrisler ise, diag(A1, A2, ..., As) direkt
toplamının tersi, diag(A-11, A-12, ..., A-1s) olur.
Genel olarak tekil olmayan bir matrisin tersi aşağıdaki yollardan hesaplanabilir.
I-
EK MATRİS (ADJOINT) İLE TERS BULMA:
Bir matrisin ek matrisinin o matrisin determinantına bölünmesi ile elde edilen
matrise o matrisin ters matrisi [ A ] – 1 denilir.
Adj.[ A]
A−1 =
A
(16 )
II-
ARTTIRILMIŞ MATRİS (AUGMENTED) İLE TERS BULMA:
[A: I] ≈ [ I : A-1 ] Burada A matrisine I birim matris ilave edilerek satır (sütun)
işlemleri ile A matrisi yerinde I birim matris oluştuğunda I birim matrisinin
yerinde ters matris elde edilmiş olur.
III-
CAYLEY HAMİLTON TEOREMİ YARDIMI İLE TERS BULMA:
Cayley-Hamilton teoremi: her kare matris kendi karakteristik denklemini sağlar.
IV-
TANIMDAN HAREKETLE TERS MATRİS BULMA İŞLEMİ:
A, n-kare matrisinin tersini bulmak için n-kare boyutlu bilinmeyenlerden oluşan
bir matris alınarak; A . B = B . A = I özelliğini sağlayan n2xn2 boyutlu sistemin
çözümü ile aranılan değerler bulunarak, matrisin tersi bulunmuş olur.
TERS MATRİS ÖZELLİKLERİ (INVERSE)
1) A . B = B . A = I ise B = A-1 (inverse matrix) ters matris
2) (A . B)-1 = B-1 . A-1
3) A nın tersi varsa A . B = 0 ⇒B = 0 dır.
4) A . A-1 = I
1. 1. 9 ORTOGONAL MATRİS
Genellikle eksen dönüşümlerinde kullanılan bu matris tanımlamasında bir
matrisin ortogonal olabilmesi için matrisin transpozesinin tersine eşit olması
gerekir.
[A] = [AT] – 1 ise [A] matrisi ortogonaldir.
1. 1.1. 10 BİR MATRİSİN İZİ(TRACE)
Bir A n-kare matrisinin a11, a22, ..., ann elemanlarına köşegen elemanları, bu
n
elemanların toplamına da A nın izi denir ve İz A = ∑a ii ile gösterilir.
i =1
BİR MATRİSİN İZİ İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
1) İz ( A + B ) = İz A + İz B
2) C skaler olmak üzere; İz (cA) = c İz A
3) İz (AB) = İz (BA)
4) İz ( AAT) ≥ 0
1. 1. 11 MATRİSLERDE TOPLAMA
Matrislerin toplanması aynı boyuttaki matrisini aynı konumdaki elemanlarının
toplanmasıyla gerçekleştirilir.
A(mxn) ve B(mxn) türünde iki matris olsun. A + B = C (mxn) türünde olur.
aij + bij = cij kuralına göre toplama işlemi gerçekleşir.
 a11 a12 a13 
[ A] = a a a 
 21 22 23 
 a31 a32 a33 
(17)
 b11 b12 b13 


[ B] =  b21 b22 b23
 b31 b32 b33 
 a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 


[ A] + [ B] =  a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23
 a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 
TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ:
1) A + B = B + A = C
2) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
3) A + 0 = 0 + A = A
4) A + (- A ) = 0
(18)
(19)
1. 1. 12 MATRİSLERDE ÇARPMA
Matrislerin birbirleriyle çarpılabilmesi için, birinci matrisin satır elemanlarıyla
ikinci matrisin sütunları çarpılarak çarpım sonucu elde edilir. A(mxn) ve B(nxm)
türünde iki matris olsun. A B = C (mxm) türünde olur.
n
aip . bpj = cij = ∑a ip .b pj kuralına göre çarpma işlemi gerçekleşir.[ Aij] ile [ Bmn ]
p =1
çarpma işleminin gerçekleşebilmesi için (j = m) olmalıdır.
 a11 a12 a13 
[ A] = a a a 
 21 22 23 
 a31 a32 a33 
 b11 b12 b13 


[ B] =  b21 b22 b23
 b31 b32 b33 
 C11 = a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 
C = a b + a b + a b 
 12 11 12 12 22 13 32 
 C13 = a11 b13 + a12 b23 + a13 b33 


 C 21 = a 21 b11 + a 22 b21 + a 23 b31 


[ C ] = [ A ] . [ B ] ⇒  C 22 = a 21 b12 + a22 b22 + a23 b32 
C = a b + a b + a b 
 23 21 13 22 23 23 33 
 C31 = a31 b11 + a32 b21 + a33 b31 


 C32 = a31 b12 + a32 b22 + a33 b32 
 C33 = a31 b13 + a32 b23 + a33 b33 
ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ:
1) kA = [kaij] , k∈R
2) (k1 + k2 ) B = k1 B + k2 B , k1∈R, k2∈R
3) λ (A + C) = λA + λC , λ ∈R
4) 0 . A = 0
5) I . A = A, I (unity matrix)
6) λ ≠ 0 ve λ . A = 0 ⇒A = 0 dır.
7) A . B ≠ B . A
( 20 )
8) A . ( B . C ) = ( A . B ) . C
9) aij = bij ⇒A = B
Matrislerde bölme işlemi yoktur. Ancak matris herhangi bir sayıya bölünebilir.
İki matrisin çarpılmasına ilişkin m x n boyutundaki [A] matrisi ile nx1
boyutundaki [B] matrisinin çarpımı için program deyimleri aşağıda
gösterilmiştir.
[C] = [A]mxn . [B]nx1
(21)
DO i =1 TO m
DO
j=1 TO 1
SUM=0.0
DOFOR k=1 TO n
T=T + a ( i , k )*b ( k , j )
ENDDO
c ( i,j ) = T
ENDDO
ENDDO
MATRİLER İLE İLGİLİ ÖRNEKLER
Örnek:
4
A=
2
Çözüm:
Örnek:
− 3
− 2
,B = 

− 1 2 x 2
2
− 3
− 2
+
−1 2 x 2  2
4
A +B = 
2
− 2
B +A = 
 2
1
A =
3
2
4
5
⇒A +B = B+A =C
3 2 x 2
5
4
+
3 2 x 2 2
−1
− 2
,B = 

0
0 

6
5
4 + (−2)
=
3 2 x 2  2 + 2
− 3
(−2) + 4
=
−1 2 x 2  2 + 2
3 
− 4
 ⇒A +B = ?
5 

olduğunu gösteriniz.
− 3 + 5
2
=
−1 + 3  2 x 2 4
5 + (−3)
2
=
3 + (−1)  2 x 2 4
2
2 2 x 2
2
2 2 x 2
Çözüm: A(2x3), B(3x2) türünde olduğu için toplanmaz. Anlamsızdır denir.
Örnek:
− 3
A =
1
4
−2
3
0
,B = 

1
− 4
1
−3
olduğunu gösteriniz.
− 3
A +B = 
1
2
2
,C = 

0
− 6
3
4
4
⇒ A + ( B + C) = ( A + B) + C
0
3  0
1
2 − 3
5
5
+
=


− 2 1 − 4 − 3 0  − 3 − 5 1

1
2  2
3 4  2
4 6
0
B +C = 
+
=



− 4 − 3 0  − 6 4 0  −10 1 0
Çözüm: (A + B) + C = − 3 5 5 +  2 3 4 = −1 8 9
− 3 − 5 1 − 6 4 0  − 9 −1 1

 
 

4
3  2
3 4 −1 8 9
− 3
A + ( B + C) = 
+
=


− 2 1 − 6 4 0 
1
 − 9 −1 1
4
⇒ ( A + B) + C = A + (B + C)
Örnek:
− 3
A=
1
Çözüm:
Örnek:
4 3
⇒ A + ( −A ) = (−A ) + A = [ 0]
− 2 1
− 3
A =
1
3
 3 − 4 − 3
,−A = 

− 2 1
−1
−1 2

4
3  3 − 4 − 3 0
− 3
⇒ A + ( −A ) = 
+
=
− 2 1
−1
1
 −1 2
 0
3
A =
− 3
4
2
−4
3
3
Örnek: A = 0

0
0
0
0

1
⇒ 3A = ?
0 2 x 3
2
−4
Çözüm: 3A = 3− 3
Çözüm:
olduğunu gösteriniz.
1
 3*3
=

0 2 x 3 3 * ( −3)
3* 2
3 * (−4)
3 *1  9
=
3 * 0
 − 9
6
−12
−1
6 
, B =   ⇒ A.B = ?, B.A = ?

2
− 3
3
A.B = 
0
−1  6  18 + (−1) * (−3)   21 
*
=
=
⇒ B 2 x1 .A 2 x 2
2  − 3  0 * 6 + ( −3) * 2  − 6 2 x1
olduğundan
çarpılamaz. B nin sütun sayısı ile A nın satır sayısına eşit değildir.
− 2

Örnek: A =  1
0

3
0

3
−1
−3
4
2

5, B = 
4

1
6

−1
−3
1
1
6
 ⇒ A.B = ?, B.A = ?

0
Çözüm:
− 2
A.B = 
1
0

−1
−3
1
2
B.A = 
4
1

4 2

5
 * 4
 
1
6
−1
−3
1
1  − 4 +12 + 4

6
 =  2 −4 +5
 
 0 −12 + 6
0
− 2 +18 + 0 12

1 −6 +0 
= 3
 
− 6
0 −18 + 0 
−3
7
15
16 
−5 

−18

1 − 2

6
*  1
 
0
0
3
−1
−3
4 − 4 −1 + 0
6 +1 − 3
4 −5 + 6   −5



5  = − 8 − 3 + 0 12 + 3 −18 16 −15 + 36
 = −11
 
 −1 +1 + 0
 
 −1
6
3 −1 + 0
4 +5 +0 
4
−3
2
5
37 

9

3
−1
−3
2 −9 + 4
−1 + 3 + 5
0 +9 +6
A.B ≠ B.A
Örnek:
 3 4
2
2
3
A=
 ⇒ A.A = A = ?, A( A ) = A = ?
−
2
1


Çözüm:
16 
 3 4  3 4  9 − 8 12 + 4   1
A.A = A 2 = 
*
=
=




− 2 1 − 2 1 − 6 − 2 − 8 + 1 − 8 − 7 
16   3 − 32 48 − 28  − 29
 3 4  1
A (A 2 ) = A 3 = 
*

=
=
− 2 1  − 8 − 7 − 2 − 8 − 32 − 7   −10
3
Örnek: A = −1

Çözüm:
Örnek:
− 2
⇒ A.I = I.A = A
4 

3
A.I = 
−1
1
I.A = 
0
− 2 1 0  3
*
=
4 
 0 1 −1
0  3 − 2  3
*
=
1
 −1 4  −1
x + 2
A =
 −3
4
3
,B = 

z
− 3
t +1
2 

20 
− 39
olduğunu gösteriniz.
− 2
=A
4 

− 2
=A
4 

olmak üzere A = B olması için x, z, t ne
olmalıdır?
Çözüm: a11= x + 2
a11= x + 2
a22 = z
b11 = 3 ⇒ x + 2 = 3
b11 = 3 ⇒ x + 2 = 3
b22 = 2 ⇒
⇒x = 1
⇒x = 1
⇒z = 2
Örnek: A = [ r
1 –2] , B = [ 8 2 -1] matrisleri A . BT = 0 eşitliğini
sağlayacak şekilde bir r değeri bulunuz.
Çözüm: A . BT = [ r
/2
olarak bulunur.
1 –2] * [ 8 2 -1]T = 8r + 2 + 2 = 0 , buradan r = -1
Örnek:
x 2
A =
 3
2 x −1
− 2
, B = 
0 
 3
−2

y − 5 y + 6
2
olmak üzere A = B olması için x,
y ne olmalıdır?
x 2
−2

− 2 2x − 1
=
2
y − 5 y + 6
0   3
Çözüm: A = B ⇒  3

⇒
x2 = 2x – 1
0 = y2 – 5y + 6
[ [ x ] ] 0 
x=1
⇒
y = 2 ve y = 3
[ [ 2 x ] ] 0 
⇒ x∈R
x 
Örnek:  − 1 x  =  − 1

 
kümesini bulunuz.
Çözüm: [[ x]] = [[ 2x ]] ve x = x
[[ x]] = [[ 2x ]] ⇒
0≤x<1
⇒ [[ x ]] = 0 ,x ∈ [0, 1/2) olur.
0 ≤ x < 1/2 ⇒ [[ 2x ]] = 0
Örnek:
 Cosθ Sinθ 
A =
An
⇒
−
Sin
θ
Cos
θ


bulunuz.
Çözüm:
Cos 2 θ − Sin 2 θ
2CosθSinθ   Cos 2θ Sin 2θ
A2 = 
=

2
2 
 − 2CosθSinθ Cos θ − Sin θ
 − Sin 2θ Cos 2θ

 Cos 2θCosθ −Sin 2θSinθ
A3 = A 2A = 
− Sin 2θCosθ − Cos 2θSinθ

Cos 2θSinθ + Sin 2θCosθ   Cos3θ Sin 3θ
=

−Sin 2θSinθ + Cos 2θCosθ
 −Sin 3θ Cos3θ
 Cosnθ Sinnθ
An = 

− Sinnθ Cosnθ
olarak elde edilir.
Örnek:
3
A =
−1
Çözüm: A
−1
3a + 2c = 1
-a + 6c = 0
a
=
c
2
6

matrisinin tersini bulunuz.
b
 3 2 a
⇒ A −1 .A = A.A −1 = 

* 
d
−1 6 c
b  1
=
d  0
0
=I
1
3b + 2d = 0
-b + 6d = 1
-a + 6c = 0 dan a = 6c ⇒3a + 2c = 1 dan 3(6c) + 2c =1⇒c = 1/20,
a = 3/10
3b + 2d = 0 dan b = -2d/3 ⇒-b + 6d = 1 dan –(-2d/3) + 6d =1⇒d = 3/20,
b = -1/10
3 / 10
A −1 = 
1 / 20
Örnek:
−1 / 10
3 / 20 

7
A =
4
Çözüm: A
−1
4
2

a
=
c
olarak bulunur.
matrisinin tersini bulunuz.
b
7
⇒ A −1 .A = A.A −1 = 

d
4
4 a
*
2 c
b  1
=
d  0
0
=I
1
7a + 4c = 1 7b + 4d = 0
4a + 2c = 0 4b + 2d = 1
-7a - 4c = -1
8a + 4c = 0 ⇒a = -1 c = 2
-7b – 4d = 0
8b + 4d = 2 ⇒b = 2 d = -7/2
2 
−1
A −1 = 

 2 − 7 / 2
Örnek:
−1
A =
3
olarak bulunur.
2
3
,B = 

4
−1
− 2
1 

olmak üzere (A.B)-1 = B-1. A-1 olduğunu
gösteriniz.
Çözüm:
−1 2 a b  − a + 2c − b + 2d  1 0
− 2 / 5 1 / 5 
−1
A.A −1 = 
 * c d  =  3b + 4c 3b + 4d  = 0 1  ⇒ A =  3 / 10 1 / 10
3
4

 
 
 



 3 − 2 a b  3a − 2c 3b − 2d  1 0
1 2
−1
B.B −1 = 
 * c d  =  − a + c − b + d  = 0 1 ⇒ B = 1 3
−
1
1

 
 
 



a
c

b
d

−1
=
d
1
ad − bc 
− c
− b
a 

−1 2  3 − 2 − 5 4 
A.B = 
* 
=
− 2
 3 4 −1 1   5

−
2
−
4
1
/
5
2
/
5




1
(A.B) −1 =
=


−10 − 5 − 5 1 / 2 1 / 2 

1
2
−
2
/
5
1
/
5
1
/
5





B −1.A −1 = 
*
=


1 3  3 / 10 1 / 10 1 / 2
2 / 5
1/ 2 

3

Örnek: A =  − 1
− 2
Çözüm:
Örnek:
AT
4
0 ⇒ A T = ?
2
3 −1 − 2
=
olarak
2 
4 0

bulunur.
1 3 − 2
T T
A=
 ⇒ (A ) = ?
2
0
−
1


Çözüm:
(A T ) T
3
2
A
=
Örnek:


0
1
=
3

− 2
2
0

−1

T
−1
4
− 2
1
,
B
=



4

− 4
1
=
2
3
0
− 2
=A
−1 

olur.
0
T
T
T
3
 ⇒ ( A + B) = A + B
1

olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
−1  4
0  7
−1
7 0




T
1  + − 2 3 =  0
4
 ⇒ ( A + B ) = −1 4

4
 
− 4 1
 
− 4 5 

 3 2 0 4 − 2 − 4  7 0 − 4
=
=
+
3
1 
5 
−1 1 4 0
 −1 4

3
A+B =
2

0
AT + B T
olarak bulunur.
− 4
5 
