Dönüşümler - 80.251.40.59
advertisement
5.Ders Dönüşümler Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı Bu kısımda olasılık dağılımı bilinen bir rasgele değişkenin fonksiyonları olan rasgele değişkenlerin olasılık dağılımlarının bulunması ile ilgileneceğiz. X, Ω, U, P olasılık uzayında bir rasgele değişken ve g : R R fonksiyonu ∀ B ∈ B için x : gx ∈ B ∈ B özelliğine sahip ise Y = g ∘ X = gX fonksiyonu da Ω, U, P uzayında bir rasgele değişkendir. Y nin olasılık dağılımını X in dağılım veya olasılık (yoğunluk) fonksiyonu yardımıyla belirleyeceğiz. Bir X rasgele değişkenini başka bir Y rasgele değişkenine dönüştüren g fonksiyonunu tanım kümesi XΩ yı kapsamalıdır. Dönüşüm fonksiyonunun tanım kümesi açık olarak verilmediğinde, R olduğunu varsayacağız. Kesikli bir X rasgele değişkeninin değer kümesi XΩ ve olasılık fonksiyonu f X olsun. g : XΩ R olmak üzere Y = gX rasgele değişkeni de kesiklidir ve Y nin olasılık fonksiyonu, f Y y = PY = y = PgX = y = PX ∈ x : gx = y = ∑ f X x, y ∈ YΩ x:gx=y dır. Örnek: X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu, fx = 1 , x ∈ −2, −1, 0, 1, 2 5 olsun. Y = X 2 rasgele değişkenin olasılık fonksiyonunu bulalım. Y = Ω = 0, 1, 4 f Y y = ∑ fx , y ∈ YΩ x:x 2 =y olmak üzere, f Y 0 = 1 , f Y 1 = 2 , f Y 4 = 2 5 5 5 dır. Sürekli X rasgele değişkenin değer kümesi XΩ olsun. g : A R ve XΩ ⊂ A olmak üzere, Y = gX rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu, F Y y = PY ≤ y = Pgx ≤ y, −∞ < y < ∞ olacaktır. Örnek: X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, fx = 1 3 , −1 ≤ x ≤ 2 0 , d. y. olsun. a) Y = X 2 rasgele değişkenin olasılık dağılımını bulalım. Y nin dağılım fonksiyonu, F Y y = PY ≤ y = PX 2 ≤ y 0 , y<0 , y≥0 = P − y ≤X≤ 0 y y<0 , y ∫ fxdx , 0 ≤ y < 1 − y = y ∫ fxdx , 1≤y<4 , y≥4 −1 1 0 , y<0 2 y 3 , 0≤y<1 y +1 , 1≤y<4 1 , y≥4 = 1 3 olmak üzere olasılık yoğunluk fonksiyonu, f Y y = dır. F Y ve f Y fonksiyonlarının grafikleri, 1 3 y , 0<y<1 1 6 y , 1<y<4 0 , d. y. dır. b) 0 , x<0 1 , x≥0 gx = olmak üzere U = gX rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu, F U u = PU ≤ u = PgX ≤ u 0 , u<0 PX < 0 , 0≤u<1 PX < 0 + PX ≥ 0 , u≥1 = = 0 , u<0 1 3 , 0≤u<1 1 , u≥1 dır. c) |x| , −1 ≤ x ≤ 1 1 , 1<x≤2 gx = olmak üzere V = gX rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu F V v = PV ≤ v = PgX ≤ v = = 0 , v<0 P|X| ≤ v , 0≤v<1 1 , v≥1 0 , v<0 2v 3 , 0≤v<1 1 , v≥1 dır. d) gx = 2x + 2, fonksiyonu, x ∈ R olmak üzere Z = gX rasgele değişkenin dağılım F Z z = PZ ≤ z = P2X + 2 ≤ z = P X ≤ z − 2 2 0 = z−2 2 ∫ 1 dx 3 −1 1 = , z − 2 < −1 2 , −1 ≤ z − 2 < 2 2 , z−2 ≥ 2 2 0 , z<0 z 6 , 0≤z<6 1 , z≥6 dır. Z nin olasılık yoğunluk fonksiyonu f Z z = 1 6 , 0<z<6 0 , d. y. dır. X rasgele değişkenin dört farklı dönüşümünün olasılık dağılımını belirledik. Bazı özel hallerde, dönüşüm sonucu elde edilen rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun belirlenmesinde yararlı olacak bir teorem verelim. b Teorem: Sürekli X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu f ve ∫ fxdx = 1 a olsun. a, b nin ayrık a 1 , b 1 , a 1 , b 2 … a k , b k alt aralıkları için g : a, b R fonksiyonunun a i , b i , i = 1, 2, 3, … , k aralıklarına kısıtlamaları olan, g i : a i , b i c, d , i = 1, 2, 3, … , k fonksiyonları, artan (yada azalan), sürekli ve g −1 1 : c, d a 1 , b 1 , i = 1, 2, 3, … , k türevlenebilir olmak üzere, k x : gx ∈ c, d = ∪ a i , b i i=1 ise, Y = gX rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, c < y < d için k dg −1 i y dy f Y y =∑ fg −1 i y i=1 dır. Đspat: y ∈ c, d için k x : c < gx ≤ y = ∪ g −1 i c, y i=1 dır. Burada g −1 i c, y = x : g i x ∈ c, y, i = 1, 2, . . , k dır. Eğer g i fonksiyonu artan ise −1 g −1 i c, y = a i , g i y azalan ise −1 g −1 i c, y = g i y, b i olacaktır. Buna göre, PX ∈ g −1 i c, y Pa i < X < g −1 i y , g i artan ise Pg −1 i y ≤ X < b i , g i azalan ise = Fg −1 i y − Fa i , g i artan ise Fb i − Fg −1 i y , g i azalan ise = dır. y ∈ c, y olmak üzere, Fg −1 i y − Fa i , g i artan ise Fb i − Fg −1 i y , g i azalan ise G g i y = fonksiyonu için F in türevlenebildiği yerlerde, dG g i y dg −1 i y = fg −1 , i y dy dy i = 1, 2, … , k olacaktır. Şimdi Y = gX rasgele değişkenin y ∈ c, d için dağılım fonksiyonunun değerini bulalım. F Y y = PY ≤ y = PY ≤ c + Pc < Y ≤ y k = PY ≤ c + P X ∈ ∪ g −1 i c, y i=1 k = PY ≤ c +∑ PX ∈ g −1 i c, y i=1 k = PY ≤ c +∑ G g i y i=1 Buradan, y ∈ c, d için k k dG g i y dg −1 i y f Y y =∑ =∑ fg −1 i y dy dy i=1 i=1 dır. b Sonuç: Sürekli X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu f ve ∫ fxdx = 1 a olsun. g : a, b c, d ⊂ R fonksiyonu artan veya azalan sürekli bir fonksiyon ve g −1 türevlenebilir ise Y = gX rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, dg −1 y dy fg −1 y f Y y = 0 , c<y<d , diğer yerlerde dır. Örnek: X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, fx = 1 3 , −1 ≤ x ≤ 2 0 , d. y. olsun. Y = X 2 rasgele değişkenin olasılık dağılımını bulalım. a, b = −1, 2 olmak üzere, x ∈ −1, 2 için gx ∈ 0, 4 g 1 : −1, 0 0, 1 x g −1 1 : 0, 1 y g 1 x = x g 2 : 0, 1 0, 1 2 g −1 1 y = − y g 3 x = x 2 g −1 3 : 1, 4 1, 2 y g −1 3 y = g 2 x = x 2 g −1 2 : 0, 1 0, 1 −1, 0 g 3 : 1, 2 1, 4 x x y y g −1 2 y = y fg −1 1 y f Y y = dg −1 dg −1 1 y 2 y + fg −1 y 2 dy dy , 0<y<1 dg −1 3 y dy , 1<y<4 , d. y. fg −1 3 y 0 1 −1 3 2 y = 1 + 1 3 2 y 1 1 3 2 y 0 = 1 3 y , 0<y<1 1 6 y , 1<y<4 0 , d. y. , 0<y<1 , 1<y<4 , d. y. Örnek: X , rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 1 x2 − 1 fx = e 2 , −∞ < x < ∞ 2π olsun. Y = X 2 rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu nedir? g : −∞, ∞ 0, ∞ x x2 g 1 : −∞, 0 0, ∞ g 1 x = x x g −1 1 g 2 : 0, ∞ 0, ∞ 0, ∞ 2 x g −1 0, ∞ 0, ∞ 2 −∞, 0 g −1 1 y = − y y g 2 x = x 2 y g −1 1 y = y fonksiyonlarını göz önüne alarak, Y = gX = X 2 için, fg −1 1 y f Y y = dg −1 dg −1 1 y 2 y + fg −1 y 2 dy dy 0 = 1 y 1 y− 2 e− 2 2π 0 , 0<y<∞ , d. y. , 0<y<∞ , d. y. elde edilir. Örnek: X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu f olsun. Y = 3X + 1 rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. Sürekli ve artan, g −1 : R R g: R R y−1 3 fonksiyonları yardımıyla, Y = gX = 3X + 1 rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu x gx = 3x + 1 y g −1 y = f Y y = fg −1 y dg −1 y dy = 1 fg −1 y 3 , y∈R , y∈R elde edilir. Bir dönüşümün olasılık dağılımının bulunmasında olasılık yoğunluk forksiyonunun doğrudan belirlenmesi yöntemine Değişken Değiştirme Tekniği ve önce dağılım fonksiyonunun belirlenmesi yöntemine de Dağılım Fonksiyonu Tekniği dendiğini hatırlatalım. Şimdi ilginç olan dönüşümlerden birini ele alalım. Sürekli X rasgele değişkeni-nin dağılım fonksiyonu F olmak üzere Y = FX rasgele değişkeninin olasılık dağılımı nedir? Bu dönüşüme olasılık integral dönüşümü denir. F Y y = PY ≤ y = PFX ≤ y = 0 , y<0 PFX ≤ y , 0≤y<1 1 , y≥1 Burada y ∈ 0, 1 olmak üzere x 0 ∈ R için Fx 0 = y olsun. Bu durumda, PX ≤ x 0 = PFX ≤ y = Fx 0 = y olacağından F Y y = 0 , y<0 y , 0≤y<1 0 , y≥1 1 , 0<y<1 0 , d.y. ve f Y y = elde edilir. Sürekli X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu F olsun. Öyle bir Z = gX dönüşümü bulalım ki sürekli Z rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu önceden bilinen bir G fonksiyonu olsun. G fonksiyonu bir dağılım fonksiyonu olduğundan değerleri 0, 1 aralığındadır. y ∈ 0, 1 için G −1 y = z ∈ R : Gz = y olmak üzere, Z rasgele değişkenini, Z = G −1 FX olarak tanımlayalım. Şimdi Z nin dağılım fonksiyonunun G olduğunu gösterelim. F Z z = PZ ≤ z = PG −1 FX ≤ z = PFX ≤ Gz FX rasgele değişkeni bir integral dönüşümü olduğu için PFX ≤ Gz = Gz olacaktır. Buradan F Z = G dir. Böylece yukarıda verilen g = G −1 ∘ F fonksiyonu ile belirlenen Z = gX rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu G dir. Örnek: X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 2x , 0<x<1 0 , d. y. fx = olsun. Bir Y = gX rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu Gy = 0 , y<1 y − 1 2 9 , 1≤y<4 1 , y≥4 olacak şekilde g fonksiyonunu belirleyiniz. X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu Fx = 0 , x<0 x2 , 0≤x<1 1 , x≥1 dır. g = G −1 ∘ F : 0, 1 R fonksiyonunu göz önüne alalım. x ∈ 0, 1 için Fx ∈ 0, 1, gx = G −1 FX = G −1 x 2 olacaktır. G fonksiyonu 1, 4 aralığında birebirdir ve G : 1, 4 0, 1 y Gy = G −1 : 0, 1 1, 4 y − 1 2 9 t G −1 t = 3 t + 1 olmak üzere, gx = G −1 x 2 = 3x + 1 dır. Böylece g : 0, 1 R x 3x + 1 olmak üzere Y = gX = 3X + 1 rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu G dir. Örnek: X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, fx = 1 2 , 0<x<2 0 , d. y. olsun. Bir Y = gx rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu, 0 , y<0 1 − e −y , y≥0 Gy = olacak şekilde g fonksiyonunu belirleyiniz. X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu, Fx = 0 , x<0 x 2 , 0≤x<2 1 , x≥2 dır. y > 0 için Gy ∈ 0, 1 ve t ∈ 0, 1 için G −1 t = ln 1 1−t dir. Şimdi g = G −1 ∘ F : 0, 2 ℝ fonksiyonunu göz önüne alalım. x ∈ 0, 2 için gx = G −1 Fx = G −1 x 2 2 = ln 2−x dır. Y = ln 2 2−X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu G dir. Rasgele Vektörlerin Dönüşümleri Kesikli rasgele değişkenlerin dönüşümlerinde olduğu gibi kesikli n −boyutlu rasgele vektörlerin dönüşümlerinin olasılık dağılımının bulunmasında bir sorun yoktur. X 1 , X 2 , … , X n n −boyutlu kesikli rasgele vektörün değer kümesi D X 1 ,X 2 ,…,X n ve olasılık fonksiyonu f X 1 ,X 2 ,…,X n olmak üzere Y 1 = u 1 X 1 , X 2 , … , X n Y 2 = u 2 X 1 , X 2 , … , X n ⋮ Y m = u m X 1 , X 2 , … , X n dönüşümü sonucu elde edilen Y 1 , Y 2 , … , Y m , m −boyutlu rasgele vektörü de kesiklidir ve olasılık fonksiyonu, y 1 , y 2 , … , y m ∈ D Y1 ,Y2 ,…,Ym için, f Y1 ,Y2 ,…,Ym y 1 , y 2 , … , y m = = P Y i = y i , i = 1, 2, … , m = P u i X 1 , … , X n = y i , i = 1, 2, … , m = P X 1 , … , X n ∈ x 1 , … , x n : u i x 1 , … , x n = y i , i = 1, 2, … , m ∑ = f X 1 ,…,X n x 1 , … , x n x 1 ,…,x n :u i x 1 ,…,x n =y i , i=1,2,…,m dır. Sürekli rasgele değişkenlerin dönüşümlerinde olduğu gibi sürekli rasgele vektörler ile ilgili dönüşümlerde izlenebilecek iki yol vardır. Birincisi: dağılım fonksiyonu denen teknik, yani dönüşüm sonucu elde edilen rasgele vektörün dağılım fonksiyonunun bulunması ve buradan, dağılım sürekli ise türev alarak yoğunluk fonksiyonunun bulunması, ikincisi: yoğunluk fonksiyonu denen teknik, yani dönüşüm sonucundaki rasgele vektörün olasılık yoğunluk fonksiyonunun doğrudan, dönüştürülen vektörün olasılık yoğunluk fonksiyonundan elde edilmesidir. Yoğunluk fonksiyonu tekniği çok katlı integrallerde değişken değiştirme yöntemine dayanmaktadır. X 1 , X 2 , … , X n n −boyutlu sürekli rasgele vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu f X 1 ,X 2 ,…,X n olsun. Y 1 = u 1 X 1 , X 2 , … , X n Y 2 = u 2 X 1 , X 2 , … , X n ⋮ Y n = u n X 1 , X 2 , … , X n olmak üzere, i = 1, 2, … , n için ui : Rn R x 1 , x 2 , … , x n u i x 1 , x 2 , … , x n fonksiyonları herbir değişkene göre kısmi türevlere sahip, ∂u 1 , u 2 , … , u n = det ∂x 1 , x 2 , … , x n ∂u 1 ∂x 1 ∂u n ∂x 1 ∂u 1 ∂x 2 ⋮ ∂u n ∂x 2 … ∂u 1 ∂x n ≠0 ∂u n ∂x n ve u 1 , u 2 , … , u n : R n R n dönüşümü D X 1 ,X 2 ,…,X n kümesi üzerinde birebir olsun. u 1 , u 2 , … , u n fonksiyonunun D X 1 ,X 2 ,…,X n kümesine kısıtlamasının ters fonksiyonu, h 1 , h 2 , … , h n : D Y1 ,Y2 ,…,Yn D X 1 ,X 2 ,…,X n olsun. Bu durumda Y 1 , Y 2 , … , Y n n −boyutlu rasgele vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu g için, y 1, y 2 , … y n ∈ D Y1 ,Y2 ,…,Yn olduğunda, gy 1 , y 2 , … , y n = f X 1 ,…,X n h 1 y 1 , … , y n , … h n y 1 , … , y n ∂h 1 , … , h n ∂y 1 , … , y n ve y 1 , y 2 , … , y n ∈ D Y1 ,Y2 ,…,Yn olduğunda, gy 1 , y 2 , … , y n = 0 dır. Örnek: X 1 , X 2 nin olasılık fonksiyonu f X 1 ,X 2 x 1 , x 2 = n1 x1 n 2 p x 1 +x 2 q n 1 +n 2 −x 1 −x 2 , x2 x 1 = 0, 1, 2, … , n 1 x 2 = 0, 1, 2… , n 2 olsun. Burada 0 < p < 1, q = 1 − p ve n 1 ile n 2 doğal sayıdır. X 1 ve X 2 bağımsız ve marjinal olasılık fonksiyonları sırasıyla f X 1 x 1 = nx 11 p x 1 p n 1 −x 1 , x 1 = 0, 1, 2, … , n 1 f X 2 x 2 = n 2 p x 2 q n 2 −x 2 , x2 x 2 = 0, 1, 2, … , n 2 dır. Aşağıdaki dönüşümü göz önüne alalım. Y1 = X1 + X2 Y2 = X2 Bu dönüşümle tanımlanan Y 1 ve Y 2 rasgele değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonunu bulalım. D X 1 ,X 2 = x 1 , x 2 : x 1 = 0, 1, 2, … , n 1 ve x 2 = 0, 1, 2, … , n 2 = 0, 1, 2, … , n 1 × 0, 1, 2, … , n 2 D Y1 ,Y2 = = y 1 , y 2 : y 1 = x 1 + x 2 , y 2 = x 2 , x 1 , x 2 ∈ D X 1 ,X 2 y 1 , y 2 : y 1 = 0, 1, . . . , n 1 + n 2 ve max0, y 1 − n 1 ≤ y 2 ≤ miny 2 , n 2 olmak üzere, f Y1 ,Y2 y 1 , y 2 = PY 1 = y 1 , Y 2 = y 2 , y 1 , y 2 ∈ D Y1 ,Y2 = PX 1 + X 2 = y 1 , X 2 = y 2 = PX 1 = y 1 − y 2 , X 2 = y 2 = PX 1 = y 1 − y 2 PX 2 = y 2 = n1 y 1 −y 2 n 1 −y 1 −y 2 n 2 y 2 n 2 −y 2 q y1 − y2 p y2 p q = n1 y1 − y2 n 2 p y 1 q n 1 +n 2 −y 1 y2 dır. Y 1 in marjinal olasılık fonksiyonu, f Y1 y 1 = PY 1 = y 1 =∑ f Y1 ,Y2 y 1 , y 2 y2 miny 1 ,n 2 ∑ = p y 1 q n 1 +n 2 −y 1 y 2 =max0,y 1 −n 1 = n 1 + n 2 p y 1 q n 1 +n 2 −y 1 , y1 n1 y1 − y2 n2 y2 y 1 = 0, 1, 2, … , n 1 + n 2 olmak üzere, Y 1 = y 1 bilindiğinde Y 2 nin koşullu olasılık fonksiyonu, n1 n2 y1 − y2 y2 f Y2 /Y1 =y 1 y 2 = PY 2 = y 2 /Y 1 = y 1 = n1 + n2 y1 olarak elde edilir. Örnek: X 1 , X 2 nin olasılık yoğunluk fonksiyonu 1 , 0 < x 1 < 1, 0 < x 2 < 1 0 , d. y. f X 1 ,X 2 x 1 , x 2 = olsun. a) Y = X 1 + X 2 rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu, F Y y = PY ≤ y = PX 1 + X 2 ≤ y = ∫∫ x 1 ,x 2 :x 1 +x 2 ≤y ve f X 1 ,X 2 x 1 , x 2 dx 1 dx 2 0 , y<0 ∫ ∫ dx 2 dx 1 , 0≤y<1 , 1≤y<2 , y≥2 y y−x 1 ∫∫ 0 0 f X 1 ,X 2 x 1 , x 2 dx 1 dx 2 = 1 x 1 ,x 2 :x 1 +x 2 ≤y 1 1 − ∫ ∫ dx 2 dx 1 y−1y−x 1 1 olmak üzere, 0 , y<0 y2 2 , 0≤y<1 , 1≤y<2 , y≥2 F Y y = 1− 2 − y 2 2 1 dır. Y nin olasılık yoğunluk fonksiyonu, y f Y y = , 0<y<1 2−y , 1 < y < 2 0 , d. y. dır. b) Y1 = X1 + X2 Y2 = X1 dönüşümü ile tanımlanan Y 1 ve Y 2 nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulalım. X 1 , X 2 nin değer kümesi D X 1 ,X 2 = x 1 , x 2 : 0 < x 1 < 1, 0 < x 2 < 1 olmak üzere, y1 = x1 + x2 y2 = x1 dönüşümü altında bu küme şekilde gösterilen, y 1 , y 2 : 0 < y 1 ≤ 1, 0 < y 2 < y 1 ∪ y 1 , y 2 : 1 < y 1 < 2, y 1 − 1 < y 2 < 1 kümesine (D Y1 ,Y2 dönüşmektedir. Dönüşüm birebirdir. Ters dönüşüm x1 = y2 x2 = y1 − y2 ve ∂x 1 ∂y 1 ∂x 2 ∂y 1 ∂x 1 , x 2 = det ∂y 1 , y 2 ∂x 1 ∂y 2 ∂x 2 ∂y 2 0 = det 1 1 −1 = −1 olmak üzere Y 1 , Y 2 nin olasılık yoğunluk fonksiyonu, f X 1, X 2 y 2 , y 1 − y 2 f Y1 ,Y2 y 1 , y 2 = ∂x 1 , x 2 ∂y 1 , y 2 0 1 , y 1 , y 2 ∈ D Y1 ,Y2 0 , d. y. = dır. Y 1 in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu, , y 1 , y 2 ∈ D Y1 ,Y2 , d. y. y1 ∫ 1 × dy 2 0 < y1 < 1 , 0 f Y1 y 1 = 1 ∫ 1 × dy 2 , 1 < y 1 < 2 y 1 −1 0 = , d. y. y , 0 < y1 < 1 2 − y1 , 1 < y1 < 2 0 , d. y. olarak elde edilir. c) Y 1 = X 1 X 2 rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulalım. Böyle durumlarda, bir yardımcı Y 2 değişkeni tanımlanır, Y 1 ile Y 2 nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu bulunur ve buradan Y 1 in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu elde edilir. Yardımcı değişken Y 2 = X 2 olarak tanımlanırsa, y1 = x1x2 y2 = x2 dönüşümü için D Y1 ,Y2 kümesi aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Dönüşüm birebir olup ters dönüşüm, y x 1 = y 12 x2 = y2 ve ∂x 1 , x 2 = det ∂y 1 , y 2 1 y2 −y 1 y2 0 1 = y12 dır. Böylece, f Y1 ,Y2 y 1 , y 2 = ve 1 y2 , 0 < y1 < y2 < 1 0 , d. y. 1 ∫ y12 dy 2 , 0 < y 1 < 1 y1 f Y1 y 1 = 0 , d. y. − ln y 1 , 0 < y1 < 1 0 , d. y. = dır. D X 1 ,X 2 = x 1 , x 2 : 0 < x 1 < 1, 0 < x 2 < 1 D Y1 ,Y2 = y 1 , y 2 : 0 < y 1 < y 2 < 1 d) Y 1 = X 1 /X 2 Y2 = X1X2 dönüşümü ile tanımlanan Y 1 ve Y 2 nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulalım. y 1 = x 1 /x 2 y2 = x1x2 dönüşümü altında D X 1 ,X 2 kümesi, D Y1 ,Y2 = y 1 , y 2 : 0 < y 2 < y 1 < 1 ∪ y 1 , y 2 : y 1 > 1, 0 < y 2 < 1/y 1 kümesine dönüşmektedir. Ters dönüşüm, x 1 = y 1 y 2 1/2 x 2 = y 1 /y 2 1/2 olmak üzere, ∂x 1 , x 2 = det ∂y 1 , y 2 1 2 y2 y1 −1 2 y2 y 31 1/2 1/2 1 2 1 2 y1 y2 1 y1y2 1/2 1/2 = 1 2y 1 dır. Böylece Y 1 , Y 2 nin olasılık yoğunluk fonksiyonu, y2 y1 f X 1 ,X 2 y 1 y 2 1/2 , f Y1 ,Y2 y 1 , y 2 = 1/2 1 2y 1 0 = 1 2y 1 , y 1 , y 2 ∈ D Y1 ,Y2 0 , d. y. , y 1, y 2 ∈ D Y1 ,Y2 , d. y. olarak elde edilir. e) Y 1 = minX 1 , X 2 Y 2 = maxX 1 , X 2 dönüşümü ile tanımlanan Y 1 ve Y 2 nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulalım. D Y1 ,Y2 = y 1 , y 2 : 0 < y 1 ≤ y 2 < 1 A 1 = x 1 , x 2 : 0 < x 1 < x 2 < 1 A 2 = x 1 , x 2 : 0 < x 2 < x 1 < 1 A 3 = x 1 , x 2 : 0 < x 1 = x 2 < 1 olmak üzere, D X 1 ,X 2 = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 yazabiliriz. Ancak , PX 1 , X 2 ∈ A 3 = 0 olduğundan, A 3 kümesini dönüşümde gözönüne almayabiliriz. y 1 , y 2 : A 1 ∪ A 2 D Y1 ,Y2 x 1 , x 2 y 1 , y 2 = minx 1 , x 2 , maxx 1 , x 2 y1 = x1 y2 = x2 , x 1 , x 2 ∈ A 1 , x 1 , x 2 ∈ A 2 = y1 = x2 y2 = x1 olmak üzere, ayrık A 1 ve A 2 kümelerinin herbirinde dönüşüm birebirdir. Ters dönüşümler, u 1 , u 2 : D Y1 ,Y2 \y 1 , y 2 : 0 < y 1 = y 2 < 1 A 1 y 1 , y 2 y 1 , y 2 s 1 , s 2 : D Y1 ,Y2 \y 1 , y 2 : 0 < y 1 = y 2 < 1 A 2 y 1 , y 2 y 2 , y 1 olmak üzere, ∂u 1 , u 2 = det ∂y 1 , y 2 1 0 ∂s 1 , s 2 = det ∂y 1 , y 2 0 1 0 1 1 0 =1 = −1 dır. Böylece, Y 1 , Y 2 nin olasılık yoğunluk fonksiyonu, y 1 , y 2 ∈ D Y1 ,Y2 için, f Y1 ,Y2 y 1 , y 2 = fu 1 y 1 , y 2 , u 2 y 1 y 2 ∂u 1 , u 2 ∂s 1 , s 2 + fs 1 y 1 , y 2 , s 2 y 1 y 2 ∂y 1 , y 2 ∂y 1 , y 2 ve y 1 , y 2 ∈ D Y1 ,Y2 için f Y1 ,Y2 y 1 , y 2 = 0 dır. Buradan, 2 , 0 < y1 < y2 < 1 0 , d. y. f Y1 ,Y2 y 1 , y 2 = olarak elde edilir. Y 1 ve Y 2 nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları, 1 ∫ 2dy 2 , 0 < y 1 < 1 y1 f Y1 y 1 = 0 , d. y. 21 − y 1 , 0 < y1 < 1 0 , d. y. = ve y2 f Y2 y 2 = ∫ 2dy 1 , 0 < y 2 < 1 0 0 , d. y. 2y 2 , 0 < y2 < 1 0 , d. y. = dır. f Y 1 = −2 ln X 1 1/2 cos2πX 2 Y 2 = −2 ln X 1 1/2 sin2πX 2 dönüşümü (Box-Muller dönüşümü) ile tanımlanan Y 1 ve Y 2 rasgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulalım. Bu dönüşüm D X 1 ,X 2 = x 1 , x 2 : 0 < x 1 < 1, 0 < x 2 < 1 kümesini, D Y1 ,Y2 = kümesine dönüştürmekte ve olmaktadır. Ters dönüşüm, y 1 , y 2 : −∞ < y 1 < ∞, − ∞ < y 2 < ∞ y 1 , y 2 : y 1 = 0 veya y 2 = 0 kümesi dışında birebir y 21 + y 22 2 x1 = e − y x 2 = 1 arctan y 21 2π ve − y 21 + y 22 2 −y 1 e −y 2 /y 21 2π1 + y 22 /y 21 ∂x 1 , x 2 = det ∂y 1 , y 2 y 21 + y 22 2 −y 2 e 1/y 1 2π1 + y 22 /y 21 − y 21 + y 22 2 = −e 2π − olmak üzere, − f Y1 Y2 y 1 , y 2 = 1 e 2π y 21 + y 22 2 , −∞ < y 1 < ∞, − ∞ < y 2 < ∞ dır. Örnek: X 1 , X 2 nin olasılık yoğunluk fonksiyonu f X 1 ,X 2 x 1 , x 2 = β−1 −x 1 −x 2 1 x α−1 1 x2 e ΓαΓβ , x 1 > 0, x 2 > 0 0 , d. y. olsun. Burada α ile β sabit ve α > 0, β > 0 dır. Y1 = X1 + X2 Y2 = X1 X1 + X2 dönüşümü ile verilen Y 1 ve Y 2 rasgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu ve marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulalım. y1 = x1 + x2 y 2 = x x+1 x 1 2 dönüşümü sonucu D X 1 ,X 2 kümesi D Y1 ,Y2 = y 1 , y 2 : 0 < y 1 < ∞, 0 < y 2 < 1 kümesine dönüşmektedir. Dönüşüm birebirdir. Ters dönüşüm, x1 = y1y2 x 2 = y 1 1 − y 2 ve ∂x 1 , x 2 = det ∂y 1 , y 2 y2 y1 = −y 1 1 − y 2 −y 1 olmak üzere f Y1 ,Y2 y 1 , y 2 = = y 1 y 2 α−1 y1 − y 2 β−1 e −y 1 y 1 ΓαΓβ , 0 , β−1 α+β−1 −y 1 y α−1 y1 e 2 1 − y 2 ΓαΓβ , 0 , y1 > 0 0 < y2 < 1 d. y. y1 > 0 0 < y2 < 1 d. y. 1 ∫ f Y1 ,Y2 y 1 , y 2 dy 2 , y 1 > 0 f Y1 y 1 = 0 0 , α+β−1 = d. y. 1 y1 e −y 1 β−1 ∫ y α−1 dy 2 2 1 − y 2 ΓαΓβ , y1 > 0 0 , d. y. 0 = = α+β−1 −y 1 ΓαΓβ y1 e ΓαΓβ Γα + β , y1 > 0 0 , d. y. 1 y α+β−1 e −y 1 Γα + β 1 , y1 > 0 0 , d. y. ∞ f Y2 y 2 = ∫ f Y1 ,Y2 y 1 , y 2 dy 1 , 0 < y 2 < 1 0 0 , d. y. ∞ = = β−1 y α−1 2 1 − y 2 ∫ y α+β−1 e −y 1 dy 1 1 ΓαΓβ , 0 < y2 < 1 0 , d. y. 0 Γα + β α−1 y 1 − y 2 β−1 ΓαΓβ 2 , 0 < y2 < 1 0 , d. y. olarak elde edilir. Örnek: X 1 , X 2 , X 3 , 3 −boyutlu rasgele vektörün olasılık yoğunluk fonksiyonu, e −x 1 −x 2 −x 3 , x 1 > 0, x 2 > 0, x 3 > 0 0 , d. y. f X 1 ,X 2 ,X 3 x 1 , x 2 , x 3 = olsun. Y1 = X1 X1 + X2 Y2 = X1 + X2 X1 + X2 + X3 Y3 = X1 + X2 + X3 dönüşümü ile verilen Y 1 , Y 2 ve Y 3 rasgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulalım. Bu dönüşüm altında D X 1 ,X 2 ,X 3 kümesi D Y1 ,Y2 ,Y3 = y 1 , y 2 , y 3 : 0 < y 1 < 1, 0 < y 2 < 1, y 3 > 0 kümesine dönüşmektedir. Ters dönüşüm, x1 = y1y2y3 x 2 = −y 1 y 2 y 3 + y 2 y 3 x 3 = −y 2 y 3 + y 3 olmak üzere, ∂x 1 , x 2 , x 3 = det ∂y 1 , y 2 , y 3 y2y3 y1y3 y1y2 −y 2 y 3 −y 1 y 3 + y 3 −y 1 y 2 + y 2 −y 3 0 = y 2 y 23 −y 2 + 1 ve y 2 y 23 e −y 3 , 0 < y 1 < 1, 0 < y 2 < 1, y 3 > 0 0 , d. y. f Y1 ,Y2 ,Y3 y 1 , y 2 , y 3 = dır. Buradan, marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları sırasıyla, ∞1 ∫ ∫ y 2 y 23 e −y 3 dy 2 dy 3 , 0 < y 1 < 1 f Y1 y 1 = 00 0 1 ∞ 0 0 , d. y. ∫ y 2 dy 2 ∫ y 23 e −y 3 dy 3 , 0 < y 1 < 1 = 0 = , d. y. 1 Γ3 2 , 0 < y1 < 1 0 , d. y. ∞1 ∫ ∫ y 2 y 23 e −y 3 dy 1 dy 3 , 0 < y 2 < 1 f Y2 y 2 = 00 0 , 2y 2 , 0 < y2 < 1 0 , d. y. d. y. = ve 11 ∫∫ y 2 y 23 e −y 3 dy 1 dy 2 , y 3 > 0 f Y3 y 3 = 00 0 1 2 y 23 e −y 3 , , y3 > 0 , d. y. d. y. = 0 olarak elde edilir. Örnek: A = a ij , reel sayıların n × n tipinde bir matrisi ve detA ≠ 0 olsun. X 1 , X 2 , … , X n rasgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu g olmak üzere, n Y 1 = a 11 X 1 + a 12 X 2 + ⋯ + a 1n X n =∑ a 1k X k k=1 n Y 2 = a 21 X 1 + a 22 X 2 + ⋯ + a 2n X n =∑ a 2k X k k=1 ⋮ n Y n = a n1 X 1 + a n2 X 2 + ⋯ + a nn X n =∑ a nk X k k=1 dönüşümü ile tanımlanan Y 1 , Y 2 , … , Y n rasgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulalım. A −1 = a ij olmak üzere ilgili ters dönüşüm, n x 1 = a y 1 + a y 2 + ⋯ + a y n =∑ a 1k y k 11 12 1n k=1 n x 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + ⋯ + a 2n y n =∑ a 2k y k k=1 ⋮ n x 3 = a y 1 + a y 2 + ⋯ + a y n =∑ a nk y k n1 n2 nn k=1 ve ∂x 1 , x 2 , … , x n 1 = detA −1 = detA ∂y 1 , y 2,…,y n dır. Böylece Y 1 , Y 2 , … , Y n nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, n n n k=1 k=1 k=1 fy 1 , y 2 , … , y n = g ∑ a 1k y k , ∑ a 2k y k , … , ∑ a nk y k 1 detA dır. A matrisinin ortogonal A ′ A = AA ′ = I olması durumunda |detA| = 1 ve A −1 = A ′ = a ji olmak üzere n n n k=1 k=1 k=1 fy 1 , y 2 , … , y n = g ∑ a k1 y k , ∑ a k2 y k , … , ∑ a kn y k olacaktır. Bu durumda, ayrıca n ∑ n n =∑ Y 2i j=1 ∑ a ik X k i=1 n 2 k=1 n n n =∑ n i=1 n n ∑ a ij X j ∑ a ik X k j=1 k=1 n n =∑∑∑ a ij a ik X j X k =∑∑ X j X k ∑ a ij a ik i=1 j=1 k=1 j=1 k=1 i=1 n =∑ X 2j j=1 n n i=1 i=1 elde edilir. (j = k için ∑ a ij a ik = 1 ve j ≠ k için ∑ a ij a ik = 0 Örnek: X 1 , X 2 , … , X n rasgele değişkenleri sürekli, bağımsız ve aynı dağılımlı (bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu f ve dağılım fonksiyonu F olsun. a) Y n = maxX 1 , X 2 , … , X n rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. Y n nin dağılım fonksiyonu, F Yn y n = PY n ≤ y n = PX 1 ≤ y n , X 2 ≤ y n , … , X n ≤ y n = PX 1 ≤ y n PX 2 ≤ y n ⋯PX n ≤ y n = Fy n n olmak üzere, olasılık yoğunluk fonksiyonu, f Yn y n = nFy n n−1 fy n , −∞ < y n < ∞ dır. b) Y 1 = minX 1 , X 2 , … , X n rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. Y 1 in dağılım fonksiyonu, F Y1 y 1 = PY 1 ≤ y 1 = 1 − PY 1 > y 1 = 1 − PX 1 > y 1 , X 2 > y 1 , … , X n > y 1 = 1 − 1 − Fy 1 n olmak üzere, olasılık yoğunluk fonksiyonu, f Y1 y 1 = n1 − Fy 1 n−1 fy 1 , − ∞ < y1 < ∞ dır. c) Y 1 , Y n nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. Y 1 , Y n nin ortak dağılım fonksiyonu, F Y1 ,Yn y 1 , y n = PY 1 ≤ y 1 , Y n ≤ y n , − ∞ < y 1 < y n < ∞ = PY n ≤ y n − PY n ≤ y n , Y 1 > y 1 = PY n ≤ y n − P y 1 < X j ≤ y n , j = 1, 2, … , n n = PY n ≤ y n −∏ Py 1 < X j ≤ y n j=1 = Fy n n − Fy n − Fy 1 n olmak üzere, f Y1 ,Yn y 1 , y n = ∂ 2 F Y1 ,Yn y 1 , y n ∂y 1 ∂y n = nn − 1Fy n − Fy 1 n−2 fy 1 fy n , ∞ < y 1 < y n < ∞ dır. d) R = Y n − Y 1 rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. Z = Y 1 yardımcı değişkeni ile birlikte, R = Yn − Y1 Z = Y1 dönüşümü için, ∂y 1 , y n = det ∂r, z 0 1 1 1 = −1 olmak üzere, nn − 1Fr + z − Fz n−1 frfz , 0 , f R,Z r, z = r>0 −∞ < z < ∞ d. y. dır. Burada z üzerinden integral alarak R nin olasılık yoğunluk fonksiyonu bulunur. PROBLEMLER 1. X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu 2 fx = x , x = −2, −1, 0, 1, 2 10 olsun. Y = X + 2 ve U = |X| rasgele değişkenlerinin olasılık fonksiyonlarını bulunuz. 2. X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu fx = 1 3 x−1 2, 3 x = 1, 2, 3, … olsun. a) Y = X − 1 b) U = 1 X rasgele değişkenlerinin olasılık fonksiyonlarını bulunuz. 3. X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 6x1 − x , 0<x<1 0 , d. y. fx = olsun. Y = X 3 rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. 4. X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu fx = olsun. a) Y = |X| b) U = X 2 +π c) V = X π 1 2π , −π < x < π 0 , d. y. d) Z = sin X sin x , x<0 e) gx = için W = gX cos x , x≥0 rasgele değişkenlerin olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz ve grafiklerini çiziniz. 5. X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, fx = 1 5 , −2 < x < 3 0 , d. y. olsun. a) Y = 9 X + 2 5 b) U = X 2 |x| , |x| ≤ 2 c) gx = için V = gX 0 , |x| > 2 d) W = SgnX, Sgnx = −1 , x<0 0 , x=0 1 , x>0 rasgele değişkenlerinin dağılım fonksiyonlarını bulunuz. 6. X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 1 , 0<x<1 0 , d. y. fx = olsun. a) gx = 1x , x>0 b) gx = − ln x, c) gx = − ln x , 0<x<1 0<x<1 olmak üzere Y = gX rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. 7. X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 1 , 0<x<1 0 , d. y. fx = olsun. Bir Y = gX rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu, 0 , y<0 1 − e −y , y≥0 a) Gy = 0 , y<0 , y≥0 b) Gy = 1 − e −y c) Gy = 2 0 , y<0 1 5 , 0≤y<5 1 , y≥5 0 d) Gy = y− 1 y2 4 , y<0 , 0≤y<2 , y≥2 arctany e) Gy = 1 + , π 2 −∞ < y < ∞ olacak şekilde g fonksiyonunu belirleyiniz. 8. X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu f olsun. a ≠ 0 olmak üzere Y = aX + b rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunun y−b , −∞ < y < ∞ f Y y = 1 f a |a| olduğunu gösteriniz. 9. X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu f ve dağılım fonksiyonu F olsun. |X| ve X 2 rasgele değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonlarını f ve dağılım fonksiyonlarını F fonksiyonu yardımıyla ifade ediniz. 10. Bir X rasgele değişkeni için, X ile −X in olasılık dağılımları aynı ise X e simetrik rasgele değişken denir. Buna göre, a) X rasgele değişkeni simetrik X in f olasılık fonksiyonu çift bir fonksiyon X in F dağılım fonksiyonu için Fx = 1 − F−x, x ∈ R, olduğunu gösteriniz. b) Sürekli X rasgele değişkeni simetrik ise PX ≤ 0 = 1 2 olduğunu gösteriniz. c) Problem 9 u , X in simetrik olması hali için çözünüz. 11. X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonlarının grafikleri aşağıda gösterilmiştir. g : R R fonksiyonunun, a) gx = |x| b) gx = x 2 c) gx = Sgnx d) gx = x + a, e) gx = a∈R b , x≥b x , −b < x < b −b , x≤b durumları için Y = gX rasgele değişkenin dağılım fonksiyonunun grafiğini biçimsel olarak çiziniz. Y sürekli ise olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiğinide çiziniz. 12. Belli bir ölçü aleti ile ölçümlerde yapılan hata, E (birim) olmak üzere E nin olasılık yoğunluk fonksiyonu fe = 1 2 , −1 < e < 1 0 , d. y. dır. Gerçek kenar uzunluğu, a = 10(birim) olan bir karenini kenarı bu aletle ölçüldüğünde bulunan ölçüm değeri X olmak üzere, X = a+E dır. X in olasılık dağılımını bulunuz. Ölçüm değerine dayanarak hesaplanan alan, Y = X 2 olmak üzere Y nin olasılık dağılımını bulunuz ve P|X − 10| > 0. 5 ile P|Y − 100| < 10 olasılığını hesaplayınız. 13. Teorik fizikteki Maxwell-Boltzman kanununa göre gaz moleküllerinin hızının büyüklüğü, V nin olasılık yoğunluk fonksiyonu, σ2 kv e 2 2 fv = v2 0 , v>0 , d. y. C × T , T −mutlak sıcaklık, M −molekülün kütlesi, C −Boltz-man M sabitidir. k sabitinin değerini ve kinetik enerji E = 1 mv 2 2 nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. dır. Burada, σ = 14. X 1 , X 2 nin olasılık fonksiyonu, fx 1 , x 2 = x 1 +x 2 2 3 1 3 2−x 1 −x 2 , x 1 , x 2 = 0, 1 olsun. Y1 = X1 + X2 Y2 = X1 − X2 dönüşümü ile tanımlanan Y 1 ve Y 2 nin ortak ve marjinal olasılık fonksiyonlarını bulunuz. 15. X 1 , X 2 nin olasılık fonksiyonu, x 1 +x 2 fx 1 , x 2 = 1 1 , x 1 , x 2 = 1, 2, 3, … 4 2 olsun. Y = maxX 1 , X 2 olmak üzere, a) Y rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonunu bulunuz. b) X 1 , Y rasgele vektörünün olasılık fonksiyonunu bulunuz. 16. X 1 , X 2 nin olasılık (yoğunluk) fonksiyonu, a) fx 1 , x 2 = b) fx 1 , x 2 = 1 9 1 4 , 0 < x 1 < 2, 0 < x 2 < 2 0 , d. y. , x 1 , x 2 = −1, 0, 1 c) fx 1 , x 2 = 1 e −2x 1 −3x 2 6 , x 1 > 0, x 2 > 0 0 , d. y. x 21 + x 22 2 d) fx 1 , x 2 = 1 e 2π − , −∞ < x 1 < ∞, −∞ < x 2 < ∞ olmak üzere; i) Y = X 1 + X 2 ii) Y = X 1 − X 2 iii) Y = minX 1 , X 2 iv) Y = maxX 1 , X 2 rasgele değişkenlerinin olasılık (yoğunluk) fonksiyonlarını bulunuz. 17. X, Y nin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 2x + y , 0<x≤y<1 0 , d. y. fx, y = olsun. Z = X + Y nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. 18. X, Y nin olasılık yoğunluk fonksiyonu, x+y , 0 < x < 1, 0 < y < 1 0 , d. y. fx, y = olsun. Z = XY nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. 19. X, Y nin olasılık yoğunluk fonksiyonu, y2 1 ye 2 π 1 − x2 , −1 < x < 1, y > 0 0 , d. y. − fx, y = olsun. Z = XY nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. 20. X 1 , X 2 nin olasılık yoğunluk fonksiyonu, − fx 1 , x 2 = 1 e 2π x 21 + x 22 2 , − ∞ < x 1 < ∞, − ∞ < x 2 < ∞ olsun. a) Y1 = X1 + X2 Y2 = X1 − X2 b) Y 1 = X 21 + X 22 Y 2 = X 1 /X 2 olmak üzere, Y 1 , Y 2 nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. Y 1 ile Y 2 nin bağımsızlığını araştırınız. 21. X 1 , X 2 , X 3 ün olasılık yoğunluk fonksiyonu, 8x 1 x 2 x 3 , 0 < x 1 < 1, 0 < x 2 < 1, 0 < x 3 < 1 0 , d. y. fx 1 , x 2 , x 3 = olsun. Y1 = X1 Y2 = X1X2 Y3 = X1X2X3 dönüşümü ile tanımlanan Y 1 , Y 2 , Y 3 ün ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. 22. X 1 , X 2 , X 3 vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu, x1 > 0 fx 1 , x 2 , x 3 = 1 x α 1 −1 x α2 2 −1 x α3 3 −1 e −x 1 −x 2 −x 3 Γα 1 Γα 2 Γα 3 1 , 0 , olsun α 1 > 0, α 2 > 0, α 3 > 0 . x2 > 0 x3 > 0 d. y. Y1 = X1 X1 + X2 + X3 Y2 = X2 X1 + X2 + X3 Y3 = X1 + X2 + X3 olmak üzere, Y 1 , Y 2 , Y 3 ve Y 1 , Y 2 nin olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz. 23. X 1 , X 2 , … , X n rasgele değişkenleri bağımsız ve herbirinin sahip olduğu olasılık dağılımının yoğunluk fonksiyonu, a) fx = 1 4 , 0<x<4 0 , d. y. e −x , x>0 0 , d. y. b) fx = olsun. Y 1 = minX 1 , X 2 , … , X n Y n = maxX 1 , X 2 , … , X n W = Yn − Y1 olmak üzere, Y 1 , Y n , Y 1 , Y n , W nun olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz. 24. X 1 , X 2 , … , X n rasgele değişkenleri bağımsız ve herbirinin sahip olduğu olasılık dağılımının yoğunluk fonksiyonu, 1 , 0<x<1 0 , d. y. a) fx = 2x , 0<x<1 0 , d. y. b) fx = olsun. Y 1 = minX 1 , X 2 , … , X n Y n = maxX 1 , X 2 , … , X n W = Yn − Y1 olmak üzere: i) Y 1 , Y n , Y 1 , Y n , W nun olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz. ii) n = 5 ve n = 10 için, PY 1 ≤ 0. 1 , PY n ≥ 0. 9 , P Y 1 ≤ 0. 1 ve Y n ≥ 0. 9 P Y 1 ≤ 0. 1 ve Y n ≤ 0. 9 , PW > 0. 9 olasılıklarını hesaplayınız. iii) PY n ≥ 0. 99 ≥ 0. 95 olacak şekilde en küçük n değerini bulunuz.
