AĞIRLIKLI UZAYLARDA BAZI LİNEER POZİTİF OPERATÖRLER

AĞIRLIKLI UZAYLARDA BAZI LİNEER POZİTİF OPERATÖRLER
Hakan ADIGÜZEL
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
TEMMUZ 2012
ANKARA
Hakan ADIGÜZEL tarafından hazırlanan “AĞIRLIKLI UZAYLARDA BAZI
LİNEER POZİTİF OPERATÖRLER” adlı bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun
olduğunu onaylarım.
Doç. Dr. H. Gül İNCE İLARSLAN
…….…………………….
Tez Danışmanı, Matematik Anabilim Dalı
Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Yüksek
Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.
Prof. Dr. Ahmet Ali ÖÇAL
…….…………………….
Matematik Anabilim Dalı, G.Ü.
Doç. Dr. H. Gül İNCE İLARSLAN
…….…………………….
Matematik Anabilim Dalı, G.Ü.
Yrd. Doç. Dr. Cafer ÇOŞKUN
…….…………………….
Matematik Anabilim Dalı, A.Ü.
Tarih: 13/07/2012
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini
onamıştır.
Prof. Dr. Bilal TOKLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
…….…………………….
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu
çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf
yapıldığını bildiririm.
Hakan ADIGÜZEL
iv AĞIRLIKLI UZAYLARDA BAZI LİNEER POZİTİF OPERATÖRLER
(Yüksek Lisans Tezi)
Hakan ADIGÜZEL
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Temmuz 2012
ÖZET
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır.
İkinci bölümde lineer pozitif operatörler ve q - Analiz ile ilgili genel bilgiler
verilmiştir. Üçüncü bölümde q - Meyer-König ve Zeller operatörlerinin bazı
yaklaşım özellikleri, sürekli fonksiyonların ağırlıklı uzaylarında ağırlıklı
Korovkin teoremi yardımıyla incelenmiştir. Bu operatörlerin yaklaşım hızları
süreklilik modülü ve ağırlıklı süreklilik modülü yardımıyla elde edilmiştir.
Ayrıca bu operatörler için q - türev ile ilgili bir diferensiyel denklem ve daha
sonra Stancu-tip kalanı verilmiştir. Son bölümde
q - Szasz-Mirakjan
operatörlerinin yaklaşım özellikleri incelenerek bu operatörlerin yaklaşım
hızları süreklilik modülü ve ağırlıklı süreklilik modülü yardımıyla elde
edilmiştir. Ayrıca bu operatörler için bir Voronovskaja-tip sonuç verilmiştir.
Bilim Kodu
: 204.1.095
Anahtar Kelimeler
: Korovkin tip teoremler, lineer pozitif operatörler, q Szasz-Mirakjan operatörleri, q -Meyer-König ve Zeller
operatörleri, süreklilik modülü, ağırlıklı süreklilik
modülü, Voronovskaja-tip formülü
Sayfa Adedi
: 62
Tez Yöneticisi
: Doc. Dr. H. Gül İNCE İLARSLAN
v SOME LINEAR POSITIVE OPERATORS IN WEIGHTED SPACES
(M.Sc. Thesis)
Hakan ADIGÜZEL
GAZİ UNİVERSITY
INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
July 2012
ABSTRACT
The thesis consist of four chapters. The first chapter has been devoted to the
introduction. In the second chapter, general informations about the linear
positive operators and q - analysis are given. In the third chapter, a
generalization of the Meyer-König ve Zeller operators based on q -integers are
introduced and some convergence properties of these operators are investigated
in weighted spaces of continous functions with the help of weighted Korovkintype theorem. In addition, the rates of approximation of these operators are
obtained with the help of the modulus of continuity and the weighted modulus
of continuity. Moreover an application to differential equation related to q derivatives and later a Stancu-type remainder are given. In the fourth chapter,
a generalization of the Szasz-Mirakjan operators based on q - integers are
introduced and some convergence properties of these operators are given.
Therefore, the rates of approximation of these operators are obtained by means
of modulus of continuity and the weighted modulus of continuity.
Voronovskaja-type formula for these operators is discussed.
vi Science Code
: 204.1.095
Key Words
: Korovkin- type teorems, linear positive operators, q - MeyerKönig and Zeller operators, q - Szsaz-Mirakjan operators,
modulus of continuity, weighted modulus of continuity,
Voronovskaja-type formula Page Number : 62
Adviser
: Assoc. Prof. Dr. H. Gül İNCE İLARSLAN
vii TEŞEKKÜR
Çalışmalarım boyunca değerli yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren, bilgi ve
birikimlerinden yararlanma fırsatı veren değerli Hocam Doc. Dr. H. Gül İNCE
İLARSLAN’a ve bu süreçte beni hiç yalnız bırakmayan maddi ve manevi desteğini
eksik etmeyen sevgili aileme teşekkürü bir borç bilirim.
viii İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET .......................................................................................................................... iv
ABSTRACT ................................................................................................................. v
TEŞEKKÜR ............................................................................................................... vii
SİMGELER VE KISALTMALAR ............................................................................ iix
1. GİRİŞ ....................................................................................................................... 1
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER ....................................................................... 4
2.1. Lineer Pozitif Operatörler…….……………………………………………….4
2.2. q - Analizi……..……………….……………………………………………...7
3. q - MEYER- KÖNİG VE ZELLER OPERATÖRLERİ ........................................ 10
3.1. q - Meyer- König ve Zeller Operatörlerinin Tanımı…….…………………...10
3.2. q - Meyer- König ve Zeller Operatörlerinin Yaklaşım
Özellikleri……………………………………………………………………10
3.3. q - Meyer- König ve Zeller Operatörlerinin Diferensiyel Denklemlere
Uygulanması………………………….……………………………………..29
3.4. q - Meyer- König ve Zeller Operatörlerinin Bir Stancu- tip Kalanı…………32
4. q - SZASZ- MİRAKJAN OPERATÖRLERİ ........................................................ 37
4.1. q - Szasz- Mirakjan Operatörlerinin Tanımı.……………………...………...37
4.2. q - Szasz- Mirakjan Operatörlerinin Yaklaşım Özellikleri………………….47
4.3. q - Szasz- Mirakjan Operatörleri için Voronovskaja- tip Sonucu…………..57
KAYNAKLAR .......................................................................................................... 60
ÖZGEÇMİŞ............................................................................................................ 62
ix SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte
aşağıda sunulmuştur.
Simge
Açıklama
L( f ; x)
L operatörünün f fonksiyonuna uygulanması
`
Doğal sayılar kümesi
\
Reel sayılar kümesi
C [ a, b ]
[ a, b] deki sürekli fonksiyonların uzayı
⋅ C [ a ,b ]
C [ a, b ] uzayında f
C [ a ,b ]
= max f ( x ) ile tanımlı
a ≤ x ≤b
olan norm
B [ 0, ∞ )
[0, ∞ ) da tanımlı sınırlı fonksiyonlar uzayı
Bm [ 0, ∞ )
[0, ∞ )
da tanımlı
f ( x ) ≤ M f (1 + x m ) şartını
sağlayan fonksiyonlar uzayı
Bρ [ 0, ∞ )
[0, ∞ )
da
tanımlı
f (x) ≤ M f ρ (x)
şartını
sağlayan fonksiyonlar uzayı
C m [ 0, ∞ )
Bm [ 0, ∞ ) uzayındaki sürekli fonksiyonlar uzayı
C ρ [ 0, ∞ )
Bρ [ 0, ∞ ) uzayındaki sürekli fonksiyonlar uzayı
C [ 0, ∞ )
[ 0, ∞ ) da tanımlı sürekli fonksiyonlar uzayı
C(X )
X de sürekli fonksiyonlar uzayı
x Simge
Açıklama
C m* [ 0, ∞ )
Cm [ 0, ∞ ) dan olan ve lim
x →∞
f ( x)
1 + xm
< ∞ şartını
sağlayan fonksiyonlar uzayı
C ρ0 [ 0, ∞ )
Cρ [ 0, ∞ ) dan olan ve lim
x →∞
f ( x)
ρ ( x)
<∞
şartını
sağlayan fonksiyonlar uzayı
⋅m
Cm [ 0, ∞)
ve
Bm [ 0, ∞ )
uzaylarında
⋅
ile tanımlı olan norm
m
x∈[ 0, ∞ ) 1 + x
⋅ m = sup
⋅ρ
Cρ [ 0, ∞)
⋅ ρ = sup
x∈[0, ∞ )
ve
⋅
ρ ( x)
Bρ [ 0, ∞ )
uzaylarında
ile tanımlı olan norm
ω ( f ;δ )
Süreklilik modülü
Ω ( f ;δ )
C ρ0 [ 0, ∞ ) uzayındaki ağırlıklı süreklilik modülü
Ωm ( f ; δ )
C m* [ 0, ∞ ) uzayındaki ağırlıklı süreklilik modülü
( An )
n ∈ ` olmak üzere An operatörlerinin dizisi
[ r ]q
r tamsayısının q - genelleşmesi
[ k ]q !
⎧⎪[1]q [ 2]q ⋅⋅⋅ [ r ]q , r ≥ 1
⎨
, r =1
⎪⎩1
⎡n⎤
⎢r ⎥
⎣ ⎦q
q - binom katsayıları
xi Simge
Açıklama
n −1
( x, q ) n
∏ (1 − q x )
1
( x, q ) n
∑⎢
⎡ n + k − 1⎤ k
x
k ⎥⎦
k =0 ⎣
Dq f
f fonksiyonunun q türevi
(L )
q - Meyer-König ve Zeller operatörleri dizisi
(S )
q - Szasz-Mirakjan operatörleri dizisi
f [ x0 , x1 , ⋅⋅⋅, xn ]
f fonksiyonunun bölünmüş farkları
E ( z)
e z üstel fonksiyonunun q -genelleşmesi
n ,q
n ,q
s
s =0
∞
1 1. GİRİŞ
Yaklaşım teorisinin amacı, keyfi bir fonksiyonun daha basit, daha kullanışlı olan
diğer fonksiyonlar cinsinden bir gösterimini elde etmektir. Böyle bir gösterim
fonksiyon hakkında daha kolay bilgi elde etmenin bir yolunu verir. Bu nedenle 1885
yılında Weierstrass
[ a, b]
aralığında sürekli her f fonksiyonuna bir polinomla
yaklaşılabileceğini ifade etmiştir, [1]. Bu ifade yaklaşımlar teorisinin temelini teşkil
etmektedir. Daha sonra 1912 yılında Bernstein, Weierstrass ın bu ifadesinin bir ispatı
olarak, bir
f
fonksiyonuna yakınsayan polinomları, toplam biçiminde lineer
operatörler dizisi şeklinde göstermiş ve böylece lineer operatörler teorisinin
oluşmasını sağlamıştır, [2]. 1951 yılında Bohman lineer pozitif operatörlerin [ 0,1]
kapalı aralığında sürekli bir fonksiyona düzgün yakınsaması için yalnızca üç koşulu
gerçeklemesi gerektiğini ifade ve ispat etmiştir, [3]. Daha sonra 1953 yılında
Korovkin, Bohman ın bu ifadesini [ a, b ] aralığına genellemiştir, [4]. Bohman ve
Korovkin teoremleri lineer pozitif operatörler teorisinin gelişmesine büyük katkı
sağlamıştır. Bu teoremlerin şartlarını sağlayan çok sayıda operatör tanımlanmış ve bu
operatörlerin yaklaşım özellikleri incelenmiştir.
Yaklaşımlar teorisinde q - genelleşme kavramı ise ilk kez Lupaş tarafından 1987
yılında yapılmıştır, [5]. Lupaş, Bernstein polinomlarının bir q tipli genelleşmesini
yapmıştır. Daha sonra, 1996 yılında, Phillips klasik Bernstein polinomlarının farklı
bir q tipli genelleşmesini tanımlamıştır. Bu genelleşme bu gün q -Bernstein
polinomları olarak literatüre geçmiştir. Ayrıca Phillips, q -Bernstein polinomlarının
yaklaşım özelliklerini incelemiştir, [6].
1960 yılında Meyer-König ve Zeller tarafından
⎧∞ ⎛
k
n +1
⎞⎛ n + k ⎞ k
⎪∑ f ⎜
⎟ ⎜ k ⎟ x (1 − x ) , 0 ≤ x < 1 ise
M n ( f ; x ) = ⎨ k =1 ⎝ n + k + 1 ⎠ ⎝
⎠
⎪f 1
, x = 1 ise
⎩ ( )
(1.1)
2 şeklinde tanımlanan Meyer-König ve Zeller operatörlerinin [7], q -genelleşmesi ilk
olarak 2000 yılında Trif tarafından tanımlanmış, yaklaşım ve monotonluk özellikleri
incelenmiştir, [8].
(1.1) Meyer-König ve Zeller operatörlerinin farklı bir genelleşmesini ise 2007 yılında
Rempulska ve Skorupka tanımlamışlardır. Bu operatörler sırasıyla
bn
= 0 olmak üzere n ∈ ` , x ∈ [ 0, bn ) için
n →∞ n
1 ≤ bn < bn +1 , lim bn = ∞ , lim
n →∞
⎛
x⎞
M n ( f , bn ; x ) = ⎜1 − ⎟
⎝ bn ⎠
n +1
⎛ k
⎞⎛ n + k ⎞⎛ x ⎞
f⎜
bn ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⎝ n + k ⎠ ⎝ k ⎠ ⎝ bn ⎠
∞
∑
k =0
k
(1.2)
şeklinde tanımlanır. Rempulska ve Skorupka ağırlıklı uzaylarda diferensiyellenebilir
fonksiyonlar için bu operatörlerin bazı yaklaşım özelliklerini incelemişlerdir, [9].
2012 yılında Erencin, İnce ve Olgun (1.2) operatörlerinin q -genelleşmesini
tanımlamış
ve
ağırlıklı
uzaylarda
bu
operatörlerin
yaklaşım
özelliklerini
incelemişlerdir. Bu operatörler ise
( bn )
pozitif artan ve sınırsız bir dizi olmak üzere q ∈ ( 0,1) , n ∈ ` ve x ∈ [ 0, bn ) için
⎛ [ k ]q
⎞ ⎡ n + k ⎤ ⎛ x ⎞k
f⎜
b ⎟
⎜ [ n + k ] n ⎟ ⎢⎣ k ⎥⎦ q ⎜⎝ bn ⎟⎠
q
⎝
⎠
(1.3)
2006 yılında Szasz-Mirakjan operatörlerinin [11], 0 ≤ x <
bn
, f ∈ C [ 0, ∞ )
(1 − q ) [ n ]q
⎛
x⎞∞
Ln ,q ( f ; x ) = ∏ ⎜1 − q s ⎟∑
bn ⎠ k =1
s =0 ⎝
n
şeklinde tanımlanmıştır, [10].
ve lim bn = ∞ olmak üzere
n →∞
⎛ [n]
S n ,q ( f ; x ) = E ⎜ − q
⎜
bn
⎝
x⎞ ∞
⎟∑
⎟ k =0
⎠
⎛ [ k ] bn
f⎜ q
⎜ [n]
q
⎝
⎞ [ n ]q x k
⎟
⎟ [ k ] !bnk
⎠ q
k
(1.4)
3 şeklinde tanımlanan bir q - genelleşmesi Aral tarafından tanımlanarak, yaklaşım
özellikleri verilmiştir, [12]. Daha sonra Aral ve Gupta, q -türev yardımıyla bu
operatörlerin farklı özelliklerini çalışmışlardır, [12,13].
2010 yılında Mahmudov tarafından Szasz-Mirakjan operatörlerinin, x ∈ [ 0, ∞ ) ,
0 < q < 1 ve f ∈ C [ 0, ∞ ) olmak üzere
S n,q ( f ; x ) =
∞
1
∞
∏ (1 + (1 − q ) q [ n] x )
j
∑
k =0
⎛ [ k ] ⎞ k ( k2−1) [ n ] x k
f ⎜ k −2
q
⎜ q [ n ] ⎟⎟
[ k ]!
⎝
⎠
k
(1.5)
j =0
şeklinde tanımlanan farklı bir q -genelleşmesi tanımlanmış ve ağırlıklı uzaylarda bu
operatörlerin yaklaşım özellikleri incelenmiştir, [14].
Operatörlerin q genelleşmelerini çalışmaktaki amaç q nun seçimiyle daha iyi bir
yaklaşım derecesi elde etmektir. Bu nedenle operatörlerin q genelleşmeleri
yapılırken q = 1 seçildiğinde klasik operatöre dönüşmesine dikkat edilir.
Bu tezde ilk olarak, Erencin, İnce ve Olgun tarafından tanımlanan q - Meyer- König
ve Zeller operatörleri tanıtılarak, bu operatörlerin ağırlıklı uzaylarda yaklaşım
özellikleri incelenecek, diferensiyel denklemlere bir uygulaması ve Stancu- tip kalanı
verilecektir. Daha sonra, Mahmudov tarafından tanımlanan q - Szasz- Mirakjan
operatörlerinin, ağırlıklı uzaylarda yaklaşım özellikleri incelenecek ve son olarakta
bu operatörler için bir Voronovskaja- tip sonuç verilecektir.
4 2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Bu bölümde lineer pozitif operatörler ve sahip olduğu temel özellikler verilecektir.
2.1. Lineer Pozitif Operatörler
2.1.1. Tanım [15]:
X ve Y normlu iki fonksiyon uzayı olsun. Eğer X den alınmış herhangi f
fonksiyonuna Y de bir g fonksiyonu karşılık getiren bir L kuralı varsa bu L
kuralına X den Y ye bir operatör denir.
f ∈ X , g ∈ Y ve x , g nin tanım kümesine ait olmak üzere
L( f ; x) = g ( x)
ya da daha açık biçimde; t , f nin x , g nin tanım kümesine ait olmak üzere
L ( f (t ) ; x) = g ( x)
şeklinde gösterilir.
2.1.2 Tanım [15]:
L : X → Y bir operatör olsun. Eğer L operatörü ∀f1 , f 2 ∈ X ve ∀α , β ∈ \ için
L(α f1 + β f 2 ; x) = α L( f1; x) + β L( f 2 ; x)
koşulunu sağlıyor ise, L operatörüne lineer operatör denir.
2.1.3. Tanım [15]:
L : X → Y bir operatör ve f ∈ X olsun. Eğer f ≥ 0 iken L ( f ) ≥ 0 gerçekleniyorsa
L operatörüne pozitif operatör denir. Lineerlik ve pozitiflik koşullarını sağlayan L
operatörüne, lineer pozitif operatör denir.
5 2.1.4. Lemma [15]:
L : X → Y bir lineer pozitif operatör olsun. f , g ∈ X olmak üzere f ≤ g ise
L ( f ; x ) ≤ L ( g ; x ) dir. Buna L lineer operatörünün monotonluk özelliği denir.
2.1.5. Lemma [15]:
L : X → Y bir lineer pozitif operatör olsun. Bu durumda
L( f ; x) ≤ L( f ; x)
dir.
2.1.6. Tanım [16]:
[ a, b ]
kapalı ve sonlu aralığında tanımlı, sürekli fonksiyonlar uzayı C [ a, b] ile
gösterilir. C [ a, b] ,
f
C [ a ,b ]
= max f ( x )
a ≤ x ≤b
normu ile bir lineer normlu uzaydır.
2.1.7. Tanım [17,18]:
x ∈ [ 0, ∞ ) ve m > 0 için
f ( x ) ≤ M f (1 + x m )
koşulunu sağlayan fonksiyonların uzayı Bm [ 0, ∞ ) ile gösterilir. Burada M f , f
fonksiyonuna bağlı pozitif bir sabittir
Bm [ 0, ∞ ) uzayındaki sürekli fonksiyonların uzayı da Cm [ 0, ∞ ) ile gösterilir. Başka
bir deyişle
Cm [ 0, ∞ ) := Bm [ 0, ∞ ) ∩ C [ 0, ∞ )
6 dir. Burada C [ 0, ∞ ) , [ 0, ∞ ) daki sürekli fonksiyonların uzayıdır. Ayrıca 1 + x m ye
ağırlık fonksiyonu, Bm [ 0, ∞ ) ve Cm [ 0, ∞ ) uzaylarına da ağırlıklı uzaylar denir.
Cm [ 0, ∞ ) uzayında
lim
x →∞
f ( x)
1 + xm
<∞
koşulunu gerçekleyen tüm f fonksiyonlarının uzayı ise Cm* [ 0, ∞ ) ile gösterilir.
Açıktır ki Cm* [ 0, ∞ ) ⊂ Cm [ 0, ∞ ) ⊂ Bm [ 0, ∞ ) dır. Bm [ 0, ∞ ) ve Cm [ 0, ∞ ) uzayı
f
m
= sup
x∈[0, ∞ )
f ( x)
1 + xm
normu ile birer lineer normlu uzaydır.
Burada özel olarak m = 2 seçilirse, ρ ( x ) = 1 + x 2 olmak üzere B2 [ 0, ∞ ) = Bρ [ 0, ∞ ) ,
C2 [ 0, ∞ ) = Cρ [ 0, ∞ ) ve C2* [ 0, ∞ ) = Cρ0 [ 0, ∞ ) şeklinde gösterilir.
2.1.8. Tanım [19]:
f ∈ C [ a, b] olsun. Herhangi bir δ > 0 için
ω ( f ; δ ) = sup f ( t ) − f ( x ) t , x∈[ a ,b ]
t − x ≤δ
ile tanımlanan ω ( f ; δ ) ifadesine f fonksiyonunun süreklilik modülü denir.
2.1.9. Lemma [19]:
Süreklilik modülü aşağıdaki özelliklere sahiptir.
i ) ω ( f ;δ ) ≥ 0
7 ii ) δ1 ≤ δ 2 ise ω ( f ; δ1 ) ≤ ω ( f ; δ 2 )
iii ) m ∈ ` için ω ( f ; mδ ) ≤ mω ( f ; δ )
iv ) Her λ ∈ \ + için ω ( f ; λδ ) ≤ ( λ + 1) ω ( f ; δ )
v ) lim+ ω ( f ; δ ) = 0
δ →0
vi ) f ( t ) − f ( x ) ≤ ω ( f ; t − x )
⎛ t−x
⎞
+ 1⎟ ω ( f ; δ )
vii ) f ( t ) − f ( x ) ≤ ⎜
⎝ δ
⎠
2.2. q Analizi
2.2.1 Tanım [20]:
Herhangi sabit q > 0 reel sayısı için negatif olmayan bir r tamsayısının, q genelleşmesi [ r ]q ve q - faktöriyeli [ r ]q ! ile gösterilir ve sırasıyla
[ r ]q
⎧1 − q r
,q ≠1
⎪
= ⎨ 1− q
⎪r
,q = 1
⎩
ve
⎧[1] [ 2] ...[ r ]q
[ r ]q ! = ⎨⎪ q q
⎪⎩1
, r ≥1
,r =0
şeklinde tanımlanır. Ayrıca
n −1
( x, q )n = ∏ (1 − q s x )
s =0
ve q - binom katsayıları da
(2.1)
8 [ n ]q !
⎡n⎤
⎢r ⎥ = r ! n − r ! , n ≥ r ≥ 0
]q
⎣ ⎦ q [ ]q [
olarak tanımlıdır. Ayrıca
∞
⎡ n + k − 1⎤ k
1
= ∑⎢
x ,
( x, q )n k =0 ⎣ k ⎥⎦ q
x <1
(2.2)
olup, k ≥ 0 için aşağıdaki ifadeler geçerlidir.
[ k ]q = q [ k − 1]q + 1
(2.3)
[ k ]q = q 2 [ k − 2 ]q + q + 1
(2.4)
[ k ]q = q 3 [ k − 3]q + q 2 + q + 1
(2.5)
2.2.2. Tanım [20]:
Bir f fonksiyonunun q - türevi Dq f ile gösterilir ve
f qx − f x
( D f ) ( x ) := ( ( q )− 1) x( ) ,
q
x ≠ 0,
( D f ) ( 0) := lim ( D f ) ( x )
q
x →0
q
(2.6)
olarak tanımlıdır.
Belirtelim ki
lim Dq f ( x ) =
q →1
df ( x )
dx
olur. Yani q → 1 durumunda klasik türev tanımına denktir. Ayrıca çarpımın ve
bölümün türevi
Dq ( u ( x ) v ( x ) ) = Dq ( u ( x ) ) v ( x ) + u ( qx ) Dq ( v ( x ) )
ve
(2.7)
9 Dq
u ( x ) v ( qx ) Dq ( u ( x ) ) − u ( qx ) Dq ( v ( x ) )
=
v ( x)
v ( x ) v ( qx )
(2.8)
olup, özel olarak f ( x ) = x n için
Dq x n = [ n]q x n−1
olur.
(2.9)
10 3. q - MEYER- KÖNİG VE ZELLER OPERATÖRLERİ
Bu bölümde q - Meyer- König ve Zeller operatörlerinin tanımı, yaklaşım özellikleri,
diferansiyel denklemlere uygulanması ve Stancu tip kalanı verilecektir.
3.1. q - Meyer- König ve Zeller Operatörlerinin Tanımı
3.1.1. Tanım [10]:
n ∈ ` , q ∈ ( 0,1) , ( bn
) artan ve sınırsız pozitif bir sayı dizisi ve x ∈ [ 0, bn ) olsun.
⎛ [ k ]q
⎞ ⎡n + k ⎤ ⎛ x ⎞k
Ln , q ( f , x ) = Pn , q ( x)∑ f ⎜
b ⎟
⎜ [ n + k ] n ⎟ ⎢⎣ k ⎥⎦ q ⎜⎝ bn ⎟⎠
k =0
q
⎝
⎠
∞
(3.1)
şeklinde tanımlanan operatörler, Meyer-König ve Zeller operatörlerinin q n
⎛
x⎞
genelleşmesi olarak adlandırılır. Burada Pn , q ( x) = ∏ ⎜1 − q s ⎟ dir.
bn ⎠
s =0 ⎝
Açıktır ki x ∈ [ 0, bn ) ve q ∈ ( 0,1) için (3.1) ile tanımlı Ln , q operatörleri lineer ve
pozitiftir.
( bn )
sınırsız bir dizi olduğundan Ln , q operatörlerinin tanım bölgesi [ 0, bn ) , n → ∞
için sonsuza genişler. Bu durumda Ln , q operatörlerinin yaklaşım özellikleri
maksimum norm yardımıyla incelenemez. Bu yüzden ağırlıklı norm ile pozitif yarı
eksen üzerinde sürekli fonksiyonların ağırlıklı uzaylarında bazı yaklaşım özellikleri
incelenecektir.
3.2. q - Meyer- König ve Zeller Operatörlerinin Yaklaşım Özellikleri
3.2.1. Lemma [10]:
n ∈ ` , q ∈ ( 0,1) ve x ∈ [ 0, bn ) olsun. Bu durumda (3.1) ile verilen Ln , q operatörleri
için aşağıdaki ifadeler gerçeklenir.
11 Ln.q (1; x ) = 1
(i)
Ln.q ( t; x ) = x
(ii)
x 2 ≤ Ln, q ( t 2 ; x ) ≤ qx 2 +
bn
x
[ n]q
(iii)
İspat:
(2.2) de n yerine n + 1 ve x yerine
x
alınırsa,
bn
k
∞
⎡n + k ⎤ ⎛ x ⎞
1
1
= ∑⎢
⎜ ⎟ =
⎥
( x, q )n +1 k =0 ⎣ k ⎦ q ⎝ bn ⎠ Pn , q ( x )
elde edilir. Buradan
⎡n + k ⎤ ⎛ x ⎞
Ln , q (1; x ) = Pn , q ( x ) ∑ ⎢
⎥ ⎜ ⎟
k = 0 ⎣ k ⎦ q ⎝ bn ⎠
1
= Pn , q ( x )
Pn , q ( x )
∞
k
=1
eşitliği görülür ve
∞
Ln , q ( t ; x ) = Pn , q ( x ) ∑
[ k ]q
⎡n + k ⎤ ⎛ x ⎞
bn ⎢
⎥ ⎜ ⎟
⎣ k ⎦ q ⎝ bn ⎠
k
[ n + k ]q
∞
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞k −1
= Pn , q ( x ) ∑bn
[ k − 1]q ![ n]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠ ⎜⎝ bn ⎟⎠
k =1
k −1
∞ [ n + k − 1] !
⎛ x⎞
q
= xPn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟
k =1 [ k − 1]q ![ n ]q ! ⎝ bn ⎠
k =0
12 [ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k
Ln , q ( t ; x ) = xPn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟
k = 0 [ k ]q ![ n ]q ! ⎝ bn ⎠
∞
⎡n + k ⎤ ⎛ x ⎞
= xPn , q ( x ) ∑ ⎢
⎥ ⎜ ⎟
k = 0 ⎣ k ⎦ q ⎝ bn ⎠
1
= xPn , q ( x )
Pn , q ( x )
∞
k
=x
olur. Ayrıca
∞
Ln , q ( t ; x ) = Pn , q ( x ) ∑
2
[ k ]q
2
⎡n + k ⎤ ⎛ x ⎞
b ⎢
⎥ ⎜ ⎟
⎣ k ⎦ q ⎝ bn ⎠
k
2
n
[ n + k ]q
∞
[ k ]q 2 [ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
= Pn , q ( x ) ∑
bn
[ n ]q ![ k − 1]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠
k = 0 [ n + k ]q
2
k =0
(2.3) den
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k −2 ⎛ x ⎞2
bn2
Ln, q ( t ; x ) = qPn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
k = 2 [ n + k ]q [ n ]q ![ k − 2]q ! ⎝ bn ⎠
⎝ bn ⎠
∞
2
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k −1 ⎛ x ⎞
bn2
+ Pn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
k =1 [ n + k ]q [ n ]q ![ k − 1]q ! ⎝ bn ⎠
⎝ bn ⎠
∞
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k −2
1
= qx Pn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟
k = 2 [ n + k ]q ! [ n ]q ![ k − 2 ]q ! ⎝ bn ⎠
2
∞
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k −1
1
+bn xPn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟
k =1 [ n + k ]q [ n ]q ![ k − 1]q ! ⎝ bn ⎠
∞
Ln , q ( t ; x ) = qx
2
2
[ n + k + 1]q ⎡ n + k ⎤ ⎛ x ⎞k
Pn , q ( x ) ∑
⎢
⎥ ⎜b ⎟
k = 0 [ n + k + 2 ]q ⎣ k
⎦q ⎝ n ⎠
∞
⎡n + k ⎤ ⎛ x ⎞
1
+bn xPn , q ( x ) ∑
⎢
⎥ ⎜b ⎟
k = 0 [ n + k + 1]q ⎣ k
⎦q ⎝ n ⎠
∞
k
(3.2)
13 [ n + k + 1]q < [ n + k + 2 ]q , [ n ]q < [ n + k + 1]q
olduğundan
[ n + k + 1]q
[ n + k + 2]q
< 1 ve
1
1
dir. Bunları (3.2) de kullanırsak
<
[ n + k + 1]q [ n ]q
Ln , q ( t 2 ; x ) ≤ qx 2 +
bn
x
[ n]q
(3.3)
bulunur. Yine benzer şekilde (3.2) de [ n + k + 1]q =
[ n + k + 1]q < [ n + k + 2 ]q
Ln , q ( t ; x ) ≥ qx
2
2
q
eşitliği ve
eşitsizliği kullanılırsa
[ n + k + 2]q − 1 ⎡ n + k ⎤ ⎛ x ⎞k
Pn , q ( x ) ∑
⎢
⎥ ⎜ ⎟
k = 0 q [ n + k + 2 ]q ⎣ k ⎦ q ⎝ bn ⎠
∞
∞
1
+bn xPn , q ( x ) ∑
k = 0 [ n + k + 2 ]q
⎡n + k ⎤ ⎛ x ⎞
= x Pn , q ( x ) ∑ ⎢
⎥ ⎜ ⎟
k = 0 ⎣ k ⎦ q ⎝ bn ⎠
∞
2
[ n + k + 2]q − 1
⎡n + k ⎤ ⎛ x ⎞
⎢ k ⎥ ⎜b ⎟
⎣
⎦q ⎝ n ⎠
k
⎡n + k ⎤ ⎛ x ⎞
1
− x Pn , q ( x ) ∑
⎢
⎥ ⎜ ⎟
k = 0 [ n + k + 2 ]q ⎣ k ⎦ q ⎝ bn ⎠
2
∞
(3.4)
k
⎡n + k ⎤ ⎛ x ⎞
1
+bn xPn , q ( x ) ∑
⎢
⎥ ⎜ ⎟
k = 0 [ n + k + 2 ]q ⎣ k ⎦ q ⎝ bn ⎠
∞
k
k
bulunur. (3.4) eşitsizliğinin sağ tarafındaki toplamın son kısmı
x
∈ [ 0,1) ile
bn
çarpılırsa
Ln , q ( t 2 ; x ) ≥ x 2
(3.5)
elde edilir. (3.3) ve (3.5) den
x 2 ≤ Ln , q ( t 2 ; x ) ≤ qx 2 +
bn
x
[ n ]q
14 bulunur. Bu da ispatı tamamlar.
3.2.2. Lemma [10]:
n ∈ ` , q ∈ ( 0,1) ve x ∈ [ 0, bn ) olsun. Bu durumda (3.1) ile tanımlı Ln , q operatörü
için
Ln , qn
((t − x ) ; x ) ≤ ( q
4
6
n
+ 6qn − 7 ) x 4
(
)
(
(
)
2
n
)
b
+ ⎡ 1 + [ 2]q + [3]q qn3 − 4 1 + [ 2]q + 6 ⎤ n x3
n
n
n
⎣
⎦ [ n]
q
(3.6)
n
3
n
2
b
b
+ ⎡ 1 + [ 2]q + [ 2]q qn ⎤ 2 x 2 + 3 x
n
n
⎣
⎦ [ n]
[ n]q
q
n
n
gerçeklenir.
İspat:
Ln , q
((t − x ) ; x ) = L (t ; x ) − 4 xL (t ; x ) + 6 x L (t ; x )
4
4
3
n, q
2
n, q
2
n, q
− 4 x 3 Ln , q ( t ; x ) + x 4 Ln , q (1; x )
(3.7)
olduğu biliniyor. Böylece
[ k ]q
3
⎡n + k ⎤ ⎛ x ⎞
Ln , q ( t ; x ) = Pn , q ( x ) ∑
b ⎢
⎜ ⎟
3
k ⎥⎦ q ⎝ bn ⎠
k =0 [ n + k ]
⎣
q
3
∞
k
3
n
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
3
b
= Pn , q ( x ) ∑
2 n
[ n]q ![ k − 1]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠
k =1 [ n + k ]
q
∞
[ k ]q
2
olup (3.8) eşitliğinde (2.3) kullanılırsa
(3.8)
15 [ k ]q q [ k − 1]q 3 [ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
L ( t ; x ) = Pn , q ( x ) ∑
bn
2
[ n]q ![ k − 1]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠
k =1
[ n + k ]q
∞
[ k ]q 3 [ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
+ Pn , q ( x ) ∑
b
2 n
[ n]q ![ k − 1]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠
k =1 [ n + k ]
q
∞
3
∞
[ k ]q
k =2
[ n + k ]q
= qPn , q ( x ) ∑
∞
+ Pn , q ( x ) ∑
2
q
2
[ k ]q
k =2
[ n + k ]q
2
∞
+ qPn , q ( x ) ∑
k =2
k =1
b
[ n + k ]q
2
1
[ n + k ]q
2
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
[ n]q ![ k − 1]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
[ n]q ![ k − 2]q ! ⎝⎜ bn ⎠⎟
3
n
1
∞
+ Pn , q ( x ) ∑
3
n
[ n + k ]q
∞
L ( t ; x ) = qPn , q ( x ) ∑
b
( q [k − 1] + 1) b
k =1
3
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
[ n]q ![ k − 2]q ! ⎝⎜ bn ⎠⎟
3
n
3
n
b
3
n
b
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
[ n]q ![ k − 2]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠
(3.9)
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
[ n]q ![ k − 1]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠
(2.4), (3.9) eşitliğinde kullanılırsa
∞
Ln , q ( t ; x ) = q Pn , q ( x ) ∑
3
3
k =3
1
[ n + k ]q
2
∞
+ q ( q + 2 ) Pn , q ( x ) ∑
3
n
b
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
[ n]q ![ k − 3]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠
1
3
n
b
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
[ n]q ![ k − 2]q ! ⎝⎜ bn ⎠⎟
[ n + k ]q
∞
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
1
3
+ Pn , q ( x ) ∑
b
2 n
[ n]q ![ k − 1]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠
k =1 [ n + k ]
q
k =2
2
elde edilir. Bu eşitliğin sağ tarafındaki toplamın birinci kısmında k yerine k + 3 ,
ikinci kısmında k yerine k + 2 ve üçüncü kısmında k yerine k + 3 alınırsa
16 [ n + k + 2]q [ n + k + 1]q 3 [ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k ⎛ x ⎞3
Ln, q ( t ; x ) = q Pn , q ( x ) ∑
bn
2
[ n]q ![ k ]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠ ⎜⎝ bn ⎟⎠
k =0
[ n + k + 3]q
∞ [ n + k + 1]
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k ⎛ x ⎞2
q
3
b
+ q ( q + 2 ) Pn, q ( x ) ∑
2 n
[ n]q ![ k ]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠ ⎜⎝ bn ⎟⎠
k = 0 [ n + k + 2]
q
3
∞
3
∞
1
+ Pn , q ( x ) ∑
[ n + k + 1]q
2
k =0
3
n
b
(3.10)
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k ⎛ x ⎞
[ n]q ![ k ]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠ ⎜⎝ bn ⎟⎠
bulunur. (3.10) eşitliğinin sağ tarafındaki toplamın birinci kısmında
[ n + k + 2]q =
[ n + k + 3]q − 1
q
eşitsizliği ve üçüncü kısımda
eşitliği, ikinci kısmında
1
>
1
1
[ n + k + 1]q [ n + k + 3]q
2
>
1
[ n + k + 2]q [ n + k + 3]q
2
2
2
eşitsizliği kullanılırsa
[ n + k + 1]q [ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k 3
Ln , q ( t ; x ) ≥ q Pn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟ x
k = 0 [ n + k + 3]q [ n ]q ![ k ]q ! ⎝ bn ⎠
∞ [ n + k + 1]
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k 3
q
2
−q Pn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟ x
2
k = 0 [ n + k + 3] [ n ]q ![ k ]q ! ⎝ bn ⎠
q
3
∞
2
[ n + k + 1]q [ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k 2
+ q Pn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟ x bn
2
k = 0 [ n + k + 3] [ n ]q ![ k ]q ! ⎝ bn ⎠
q
∞ [ n + k + 1]
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k 2
q
+2q Pn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟ x bn
2
k = 0 [ n + k + 3] [ n ]q ![ k ]q ! ⎝ bn ⎠
q
∞
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k 2
1
+ Pn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟ xbn
2
k = 0 [ n + k + 3] [ n ]q ![ k ]q ! ⎝ bn ⎠
q
2
∞
bulunur. (3.11) eşitsizliğinin üçüncü kısımda x 2bn > x 3 olduğu dikkate alınırsa
(3.11)
17 [ n + k + 1]q [ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k 3
Ln , q ( t ; x ) ≥ q Pn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟ x
k = 0 [ n + k + 3]q [ n ]q ![ k ]q ! ⎝ bn ⎠
∞ [ n + k + 1]
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k 2
q
+2q Pn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟ x bn
2
k = 0 [ n + k + 3] [ n ]q ![ k ]q ! ⎝ bn ⎠
q
∞
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k 2
1
+ Pn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟ xbn
2
k = 0 [ n + k + 3] [ n ]q ![ k ]q ! ⎝ bn ⎠
q
3
∞
2
(3.12)
elde edilir. (3.12) eşitsizliğinin birinci ve ikinci toplam ifadesinde
[ n + k + 1]q =
[ n + k + 3]q − q − 1
q2
eşitliği kullanılırsa
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k 3
Ln , q ( t ; x ) ≥ Pn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟ x
k = 0 [ n ]q ![ k ]q ! ⎝ bn ⎠
∞
3
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k 3
1
− (1 + q ) Pn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟ x
k = 0 [ n + k + 3]q [ n ]q ![ k ]q ! ⎝ bn ⎠
∞
∞
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k 2
2
1
+ Pn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟ x bn
q
k = 0 [ n + k + 3]q [ n ]q ![ k ]q ! ⎝ bn ⎠
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k 2
⎜ ⎟ x bn
n, q ( x ) ∑
2
k = 0 [ n + k + 3] [ n ]q ![ k ]q ! ⎝ bn ⎠
q
(1 + q ) P
−2
q
∞
1
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k 2
+ Pn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟ xbn
2
k = 0 [ n + k + 3] [ n ]q ![ k ]q ! ⎝ bn ⎠
q
∞
1
olur. (3.13) eşitsizliği düzenlenirse Lemma 3.2.1 (i) den
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k 3
1
Ln , q ( t ; x ) ≥ x − (1 + q ) Pn ,q ( x ) ∑
⎜ ⎟ x
k = 0 [ n + k + 3]q [ n ]q ![ k ]q ! ⎝ bn ⎠
3
∞
3
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k 2
−2 Pn ,q ( x ) ∑
⎜ ⎟ x bn
2
k = 0 [ n + k + 3] [ n ]q ![ k ]q ! ⎝ bn ⎠
q
∞
1
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k 2
+ Pn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟ xbn
2
k = 0 [ n + k + 3] [ n ]q ![ k ]q ! ⎝ bn ⎠
q
∞
1
(3.13)
18 olup xbn2 > x 2bn olduğu göz önüne alınırsa
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k 3
1
Ln, q ( t ; x ) ≥ x − (1 + q ) Pn ,q ( x ) ∑
⎜ ⎟ x
k = 0 [ n + k + 3]q [ n ]q ![ k ]q ! ⎝ bn ⎠
3
∞
3
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k 2
− Pn,q ( x ) ∑
⎜ ⎟ x bn
2
k = 0 [ n + k + 3] [ n ]q ![ k ]q ! ⎝ bn ⎠
q
∞
1
(3.14)
elde edilir. (3.14) eşitsizliğinin sağ tarafındaki son toplamda x 2bn > x 3 ,
1
[ n + k + 3]q
2
<
1
eşitsizlikleri kullanılırsa
[ n + k + 3]q
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k 2
1
Ln , q ( t ; x ) ≥ x − ( 2 + q ) Pn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟ x bn
k = 0 [ n + k + 3]q [ n ]q ![ k ]q ! ⎝ bn ⎠
3
∞
3
elde edilir. (3.15) eşitsizliğinde
(3.15)
1
1
eşitsizliği kullanılırsa Lemma
<
[ n + k + 3]q [ n ]q
3.2.1 (i) den
Ln , q ( t 3 ; x ) ≥ x 3 − ( 2 + q ) x 2
bn
[ n ]q
(3.16)
bulunur. Benzer şekilde
∞
[ k ]q
k =0
[ n + k ]q
∞
[ k ]q
k =1
[ n + k ]q
Ln, q ( t ; x ) = Pn , q ( x ) ∑
4
= Pn , q ( x ) ∑
olup (2.3) den
4
n
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k
[ n]q ![ k ]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠
4
n
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
[ n]q ![ k − 1]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠
4
4
b
3
3
b
19 ∞
[ k ]q
k =2
[ n + k ]q
∞
[ k ]q
k =1
[ n + k ]q
4
n
b
3
2
+ Pn, q ( x ) ∑
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
[ n]q ![ k − 2]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠
2
Ln ,q ( t ; x ) = qPn , q ( x ) ∑
4
3
(3.17)
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
4
bn
[ n]q ![ k − 1]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠
bulunur. (3.17) nin sağ tarafındaki birinci toplamda (2.4) ve (3.17) nin sağ
tarafındaki ikinci toplamda (2.3) kullanılırsa
∞
[ k ]q
k =3
[ n + k ]q
Ln ,q ( t ; x ) = q Pn , q ( x ) ∑
4
3
3
∞
+ q ( q + 2 ) Pn, q ( x ) ∑
4
n
b
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
[ n]q ![ k − 3]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠
[ k ]q
4
n
b
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
[ n]q ![ k − 2]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠
(3.18)
[ n + k ]q
∞
[ k ]q 4 [ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
b
+ Pn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟
3 n
n ]q ![ k − 1]q ! ⎝ bn ⎠
[
k =1 [ n + k ]
q
3
k =2
elde edilir. (3.18) eşitliğinin sağ tarafındaki birinci toplamında (2.5), ikinci toplamda
(2.4) ve üçüncü toplamda da (2.3) kullanırsa,
∞
Ln , q ( t ; x ) = q Pn , q ( x ) ∑
4
6
k =4
1
[ n + k ]q
3
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
[ n]q ![ k − 4]q ! ⎝⎜ bn ⎠⎟
4
n
b
∞
+ ( q + 2q + 3q ) Pn , q ( x ) ∑
5
4
3
k =3
1
[ n + k ]q
3
4
n
b
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
[ n]q ![ k − 3]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
1
3
2
4
b
+ ( q + 3q + 3q ) Pn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟
3 n
n ]q ![ k − 2]q ! ⎝ bn ⎠
[
k =2 [ n + k ]
q
∞
∞
+ Pn , q ( x ) ∑
k =1
1
[ n + k ]q
3
4
n
b
[ n + k − 1]q ! ⎛ x ⎞k
[ n]q ![ k − 1]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠
(3.19)
bulunur. (3.19) eşitliğinin sağ tarafındaki toplamın birinci kısmında k yerine k + 4 ,
ikinci kısmında k yerine k + 3 , üçüncü kısmında k yerine k + 2 ve dördüncü
kısımda k yerine k + 1 alınırsa,
20 [ n + k + 3]q [ n + k + 2]q [ n + k + 1]q [ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k
Ln , q ( t ; x ) = q x Pn , q ( x ) ∑
3
[ n]q ![ k ]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠
k =0
[ n + k + 4]q
∞ [ n + k + 2 ] [ n + k + 1]
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k
q
q
5
4
3
3
+ ( q + 2q + 3q ) x bn Pn , q ( x ) ∑
3
[ n]q ![ k ]q ! ⎜⎝ bn ⎟⎠
k =0
[ n + k + 3]q
∞ [ n + k + 1]
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k
q
3
2
2 2
+ ( q + 3q + 3q ) x bn Pn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟
3
k = 0 [ n + k + 2 ] [ n ]q ![ k ]q ! ⎝ bn ⎠
q
∞
[ n + k ]q ! ⎛ x ⎞k
1
3
+ xbn Pn , q ( x ) ∑
⎜ ⎟
3
k = 0 [ n + k + 1] [ n ]q ![ k ]q ! ⎝ bn ⎠
q
4
6
4
∞
elde edilir. Buradan
[ n + k + 3]q [ n + k + 2]q [ n + k + 1]q
3
[ n + k + 4]q
[ n + k + 2]q [ n + k + 1]q 1
<
3
[ n]q
[ n + k + 3]q
< 1,
,
[ n + k + 1]q 1
< 2
3
[ n + k + 2]q [ n]q
ve
1
<
1
[ n + k + 1]q [ n]q
3
3
oldukları göz önüne alınırsa,
Ln , q ( t 4 ; x ) ≤ q 6 x 4 + x 3
2
bn
bn3
5
4
3
2 bn
3
2
(3.20)
q
+
q
+
q
+
x
q
+
q
+
q
+
x
2
3
3
3
(
)
)
2 (
3
[ n ]q
[n]
[n]
q
q
elde edilir. Lemma 3.2.1 (i), (ii), (iii), (3.16) ve (3.20) den (3.7) düzenlenirse,
21 (
)
Ln , q ( t − x ) ; x ≤ ( q 6 + 6q − 7 ) x 4
4
bn
[ n]q
+ ⎡⎣(1 + 1 + q + 1 + q + q 2 ) q 3 − 4 ( 2 + q ) + 6 ⎤⎦ x3
+ ⎡⎣(1 + 1 + q + 1 + 2q + q 2 ) q ⎤⎦ x 2
bn2
[ n]q
2
+x
bn3
[ n]q
3
= ( q 6 + 6q − 7 ) x 4
(
)
(
)
(
)
b
+ ⎡ 1 + [ 2]q + [3]q q 3 − 4 1 + [ 2]q + 6 ⎤ x3 n
⎣
⎦ [ n]
q
2
n
3
n
b
b
2
+ ⎡ 1 + [ 2]q + [ 2]q q ⎤ x 2 2 + x 3
⎣
⎦ [ n]
[ n]
q
q
elde edilir.
1
dir. Bu yüzden Ln , q
1− q
0 < q < 1 olacak şekilde bir q seçilirse lim [ n ]q =
n →∞
operatörlerinin yakınsaklığını garanti etmek için q yerine ∀n ∈ ` için 0 < qn < 1 ve
lim qn = 1 olacak şekilde bir ( qn ) dizisi seçilecektir. Böylece
n →∞
Ln , qn
((t − x ) ; x ) ≤ ( q
4
6
n
+ 6qn − 7 ) x 4
(
)
(
)
b
+ ⎡ 1 + [ 2]q + [3]q qn3 − 4 1 + [ 2]q + 6 ⎤ n x3
n
n
n
⎣
⎦ [ n]
qn
(
)
2
3
2
b
b
+ ⎡ 1 + [ 2]q + [ 2]q qn ⎤ n2 x 2 + n3 x
n
n
⎣
⎦ [ n]
[ n]
qn
olur. Bu da ispatı tamamlar.
3.2.3. Önerme [17,18]:
∀n ∈ ` için An lineer pozitif operatörleri için
An : Cρ [ 0, ∞ ) → Bρ [ 0, ∞ )
olması için gerek ve yeter şart
An ( ρ ; x )
ρ
≤ Mρ
qn
22 olmasıdır. Burada ρ ( x ) = 1 + x 2 ve M ρ bir pozitif sabittir.
3.2.4. Teorem [17,18]:
∀n ∈ ` için An : Cρ [ 0, ∞ ) → Bρ [ 0, ∞ ) lineer pozitif operatörleri verilsin. Eğer
ρ ( x ) = 1 + x 2 olmak üzere ( An ) lineer pozitif operatör dizisi için,
lim An ( tν ; x ) − xν
n →∞
ρ
ν = 0,1, 2
= 0,
şartı sağlanırsa bu durumda herhangi bir f ∈ Cρ0 [ 0, ∞ ) için
lim An ( f ; x ) − f ( x )
n →∞
ρ
=0
olur.
3.2.5. Lemma [10]:
( qn ) ,
∀ n ∈ ` için 0 < qn < 1 ve lim qn = 1 olacak şekilde bir dizi olsun. Eğer
n →∞
bn
2
= 0 ise bu durumda ρ ( x ) = 1 + x olmak üzere ∀ n ∈ ` için
n →∞ [ n ]
q
lim
(L ) ,
n , qn
n
Cρ [ 0, ∞ ) uzayından Bρ [ 0, ∞ ) uzayına giden bir lineer pozitif operatör dizisidir.
İspat:
Ln , qn ( ρ ; x ) = Ln , qn (1 + t 2 ; x ) = Ln , qn (1; x ) + Ln , qn ( t 2 ; x ) dir. Lemma 3.2.1 (i) ve (iii)
den
sup
x∈[0, bn )
Ln , qn ( ρ ; x )
1 + x2
= sup
x∈[0, bn )
≤ sup
Ln , qn (1; x ) + Ln, qn ( t 2 ; x )
1 + x2
b
1 + qn x 2 + n x
[ n]q
x∈[0, bn )
= 1 + qn +
n
1 + x2
bn
[ n]q
n
23 olur. lim qn = 1 ve lim
n →∞
n →∞
bn
b
= 0 olduğundan her n ∈ ` için qn + n < M olacak
[ n]q
[ n]q
n
n
şekilde bir pozitif M sabiti vardır. Buradan sup
x∈[0, bn )
Ln,qn ( ρ ; x )
1 + x2
< 1 + M dir. O halde
Önerme 3.2.3 den ispat tamamlanır.
Belirtelim ki,
qn =
n
ve bn = n alınırsa Lemma 3.2.5 in şartları sağlanır.
n +1
3.2.6 Teorem [10]:
( qn ) ,
∀ n ∈ ` için 0 < qn < 1 ve lim qn = 1 olacak şekilde bir dizi olsun. Eğer
n →∞
bn
0
= 0 ise bu durumda her f ∈ Cρ [ 0, ∞ ) için,
n →∞ [ n ]
q
lim
n
lim sup
Ln, qn ( f ; x ) − f ( x )
1 + x2
n →∞ x∈[ 0, b )
n
=0
eşitliği sağlanır.
İspat:
Her n ∈ ` için Önerme 3.2.3 den Ln, qn : Cρ [ 0, ∞ ) → Bρ [ 0, ∞ ) dir.
⎧⎪ Ln ,q ( f ; x ) , x ∈ [ 0, bn )
An ( f ; x ) = ⎨ n
, x ≥ bn
⎪⎩ f ( x )
şeklinde tanımlanan An operatörünü ele alalım. Teorem 3.2.4 den
lim sup
n →∞ x∈[ 0, b )
n
Ln , qn ( tν ; x ) − xν
1 + x2
= 0,
ν = 0,1, 2
olduğunu göstermek yeterlidir. Lemma 3.2.1 (i), (ii) ve (iii) den
24 lim sup
Ln , qn ( tν ; x ) − xν
ν = 0,1
= 0,
1 + x2
n →∞ x∈[0, b )
n
ve
Ln , qn ( t ; x ) − x
2
sup
1 + x2
x∈[ 0, bn )
qn x 2 +
2
≤ sup
bn
x − x2
[ n]q
n
1 + x2
x∈[ 0, bn )
( qn − 1) x 2 +
= sup
n
1+ x
x∈[ 0, bn )
sup
Ln , qn ( t 2 ; x ) − x 2
1+ x
x∈[0, bn )
2
bn
x
[ n]q
≤ 1 − qn +
2
bn
[ n ]q
n
bn
= 0 olduğundan son eşitsizlikten
n →∞ [ n ]
q
elde edilir. qn ∈ ( 0,1) , lim qn = 1 ve lim
n →∞
n
lim sup
n →∞ x∈[ 0, b )
n
Ln , qn ( t 2 ; x ) − x 2
1 + x2
=0
olur. Bu da ispatı tamamlar.
3.2.7. Teorem [10]:
( qn ) ,
∀ n ∈ ` için 0 < qn < 1 ve lim qn = 1 olacak şekilde bir dizi olsun. Eğer
n →∞
bn
0
= 0 ise bu durumda her f ∈ Cρ [ 0, ∞ ) için,
n →∞ [ n ]
q
lim
n
sup
x∈[0, bn )
Ln, qn ( f ; x ) − f ( x )
1 + x2
(
≤ 2ω f ; δ n , qn
)
eşitsizliği sağlanır. Burada ω ( f ; δ ) , Tanım 2.1.8 ile tanımlanmış süreklilik
modülüdür ve δ n , qn = 1 − qn +
bn
dir.
[ n ]q
n
25 İspat:
Ln , qn operatörünün lineerlik ve monotonluk özellikleri ve Lemma 2.1.5 den
Ln , qn ( f ; x ) − f ( x ) ≤ Ln, qn
( f (t ) − f ( x) ; x)
(3.21)
olur. Bu durumda Lemma 2.1.9 (vii), Lemma 3.2.1 (i) ve Ln ,qn operatörünün lineerlik
özelliğinden
⎛⎛
⎞
t−x ⎞
Ln , qn ( f ; x ) − f ( x ) ≤ Ln , qn ⎜ ⎜1 +
ω ( f ;δ ) ; x ⎟
⎟
⎜
⎟
δ ⎠
⎝⎝
⎠
⎛ t−x
⎞
= Ln , qn (ω ( f ; δ ) ; x ) + Ln , qn ⎜
ω ( f ;δ ) ; x ⎟
⎝ δ
⎠
1
⎛
⎞
= ω ( f ; δ ) ⎜1 + Ln , qn ( t − x ; x ) ⎟
⎝ δ
⎠
bulunur. Ln ,qn ( t − x ; x ) ifadesinde Cauchy- Schwarz eşitsizliği kullanılırsa, Lemma
3.2.1 (i) den
⎛ 1
Ln, qn ( f ; x ) − f ( x ) ≤ ω ( f ; δ ) ⎜1 +
Ln , qn
⎝ δ
elde edilir. Ln , qn
Ln , qn
2
((t − x ) ; x ) ifadesi düzenlenirse Lemma 3.2.1 (i), (ii) ve (iii) den,
2
((t − x ) ; x ) = ⎣⎡ L (t ; x ) − x ⎦⎤ − 2 x ⎡⎣ L
2
2
2
n , qn
n , qn
= Ln , qn ( t 2 ; x ) − x 2
≤ (1 − qn ) x 2 +
bn
x
[ n]q
n
olur. Buradan da
sup
((t − x ) ; x ) ⎞⎟⎠
x∈[ 0, bn )
Ln , qn
((t − x ) ; x ) ≤ 1 − q +
2
(1 + x )
2 2
n
bn
[ n]q
n
( t; x ) − x ⎤⎦
26 olur. Eğer δ = δ n , qn = 1 − qn +
sup
Ln, qn ( f ; x ) − f ( x )
x∈[ 0, bn )
1 + x2
bn
[ n ]q
seçilirse,
n
(
≤ 2ω f ; δ n, qn
)
elde edilir.
3.2.8. Tanım [21]:
f ∈ Cρ0 [ 0, ∞ ) olsun. Herhangi bir δ > 0 için
Ω ( f ;δ ) =
sup
h ≤δ , x∈[ 0, bn )
f ( x + h) − f ( x)
(1 + h )(1 + x )
2
2
şeklinde tanımlı Ω ( f ; δ ) ifadesine f
fonksiyonunun
f ∈ Cρ0 [ 0, ∞ ) uzayında
ağırlıklı süreklilik modülü denir.
3.2.9. Lemma [21]:
f ∈ Cρ0 [ 0, ∞ ) için ağırlıklı süreklilik modülü aşağıdaki özelliklere sahiptir.
i ) Ω ( f ;δ ) ≥ 0
ii ) δ1 ≤ δ 2 ise Ω ( f ; δ1 ) ≤ Ω ( f ; δ 2 )
iii ) lim+ Ω ( f ;δ ) = 0
δ →0
iv ) m∈ ` için Ω ( f ; mδ ) ≤ 2 m (1 + δ 2 ) Ω ( f ; δ )
v ) Herhangi λ > 0 için Ω ( f ; λδ ) ≤ 2 (1 + λ ) (1 + δ 2 ) Ω ( f ; δ )
(
)
vi ) f ( t ) − f ( x ) ≤ (1 + x 2 ) 1 + ( t − x ) Ω ( f ; t − x )
2
27 t−x ⎞
⎛
2
vii ) f ( t ) − f ( x ) ≤ 2 1 + δ 2 1 + x 2 ⎜1 +
⎟ 1 + (t − x ) Ω ( f ;δ )
δ ⎠
⎝
(
)(
(
)
)
3.2.10. Teorem [10]:
( qn ) ,
∀ n ∈ ` için 0 < qn < 1 ve lim qn = 1 olacak şekilde bir dizi olsun. Bu
n →∞
durumda eğer lim
n →∞
bn
0
= 0 ise, her f ∈ Cρ [ 0, ∞ ) için,
[ n ]q
n
sup
Ln , qn ( f ; x ) − f ( x )
(1 + x )
2 3
x∈[0, bn )
(
≤ M Ω f ; K n1/4, qn
)
sağlanır. Burada M , n den bağımsız pozitif bir sabit, Ω ( f ; δ ) , Tanım 3.2.8 ile
tanımlı ağırlıklı süreklilik modülü ve
⎧⎪
b
K n , qn = max ⎨qn6 + 6qn − 7, ⎡ 1 + [ 2]q + [3]q qn3 − 4 1 + [ 2]q + 6 ⎤ n ,
n
n
n
⎣
⎦ [ n]
⎪⎩
qn
2
3 ⎫
⎡ 1 + [ 2] + [ 2]2 q ⎤ bn2 , bn3 ⎪⎬
n
qn
qn
⎣
⎦ [ n]
[ n]qn ⎪⎭
qn
(
(
)
(
)
)
dir.
İspat:
Ln , qn operatörünün lineerlik özelliği kullanılarak, Lemma 2.1.5 ve Lemma 3.2.9 (vii)
den
Ln , qn ( f ; x ) − f ( x ) ≤ 2 (1 + δ 2 )(1 + x 2 ) Ω ( f ; δ )
⎛⎛
⎞
t−x ⎞
2
× Ln , qn ⎜ ⎜ 1 +
⎟ 1 + ( t − x ) ; x ⎟⎟
⎜
δ ⎠
⎝⎝
⎠
(
elde edilir. Diğer yandan
)
(3.22)
28 t−x ⎞
⎛
2
S ( x ) = ⎜1 +
⎟ 1 + (t − x )
δ ⎠
⎝
(
)
seçilirse, bu durumda
i ) t − x ≤ δ n ise
ii ) t − x ≥ δ n ise
t−x
≤ 1 olup S ( x ) ≤ 2 (1 + δ n2 ) dir.
δn
t−x
δn
≥ 1 dir. Böylece 1 ≤
t−x
δn
(t − x)
≤
δ n2
2
olup
⎛ ( t − x )2 ( t − x )2 ⎞⎛ ( t − x )2
⎞
2
+
+
−
S ( x) ≤ ⎜
t
x
⎟⎜
⎟
(
)
2
⎜ δ n2
⎟⎜ δ n2
⎟
δ
n
⎝
⎠⎝
⎠
2
2
2
( t − x ) ⎛⎜ ( t − x ) + δ n2 ( t − x ) ⎞⎟
=2
⎟
δ n2 ⎜⎝
δ n2
⎠
(t − x )
=2
δ
4
4
n
(1 + δ )
2
n
bulunur. Böylece
⎧ 2 (1 + δ n2 )
, t − x ≤ δn
⎪⎪
4
S ( x) ≤ ⎨
2 (t − x)
, t − x ≥ δn
⎪2 (1 + δ n )
δ n4
⎪⎩
olup her x ∈ [ 0, bn ) ve t ∈ [ 0, ∞ ) için
⎧⎪ ( t − x )4 ⎫⎪
S ( x ) ≤ 2 (1 + δ ) ⎨1 +
⎬
δ n4 ⎪⎭
⎪⎩
2
n
(3.23)
olur. (3.23) eşitsizliği (3.22) de kullanılırsa
(
)
2
1
4
⎡
⎤
Ln , qn ( f ; x ) − f ( x ) ≤ 4 (1 + δ 2 ) Ω ( f ; δ ) (1 + x 2 ) ⎢1 + 4 Ln , qn ( t − x ) ; x ⎥
⎣ δ
⎦
1
4
⎡
⎤
≤ 16Ω ( f ; δ ) (1 + x 2 ) ⎢1 + 4 Ln , qn ( t − x ) ; x ⎥
⎣ δ
⎦
(
)
(3.24)
29 olur. Lemma 3.2.2, (3.24) de kullanılırsa
1
⎡
⎤
Ln, qn ( f ; x ) − f ( x ) ≤ 16Ω ( f ; δ ) (1 + x 2 ) ⎢1 + 4 K n, qn ( x 4 + x3 + x 2 + x ) ⎥
⎣ δ
⎦
elde edilir. δ = K n1/,4qn seçilirse bu durumda;
(
)
Ln, qn ( f ; x ) − f ( x ) ≤ 16Ω f ; K n1/,4qn (1 + x 2 ) ⎡⎣1 + ( x 4 + x3 + x 2 + x ) ⎤⎦
olup
sup
x∈[ 0, bn )
Ln , qn ( f ; x ) − f ( x )
(1 + x )
2 3
(
≤ M Ω f ; K n1/,4qn
)
bulunur. Bu da ispatı tamamlar.
3.2.11. Sonuç:
Teorem 3.2.7 de Ln , qn operatörünün Cρ [ 0, ∞ ) uzayındaki yaklaşımının derecesi,
süreklilik modülü yardımıyla hesaplanmıştır. Teorem 3.2.10 da ise
Ln , qn
operatörünün C ρ 3 [ 0, ∞ ) uzayındaki yaklaşımının derecesi, ağırlıklı süreklilik modülü
yardımıyla hesaplanmıştır.
3.3. q - Meyer- König ve Zeller Operatörlerinin Diferensiyel Denklemlere
Uygulanması
Bu kısımda (3.1) ile verilen Ln , q operatörleri için q - türevle ilgili bir fonksiyonel
diferensiyel denklem verilecektir.
3.3.1. Teorem [10]:
0 < q < 1 için g n ( t ) =
qnt
, f ∈ Cρ0 [ 0, ∞ ) ve x ∈ [ 0, bn ) olsun. Bu durumda
bn − qn t
∀ n ∈ ` için (3.1) ile tanımlı Ln , qn operatörü
30 q n [ n + 1]q
⎛
qn ⎛
x⎞
n +1 x ⎞
x 1−
D L ( f ; x ) − ⎜1 − q
xL ( f ; x ) = 0
⎟ Ln , q ( fg n ; x ) +
bn ⎠
[ n]q ⎜⎝ bn ⎟⎠ q n, q
[ n]q bn n, q
⎝
diferensiyel denklemini sağlar.
İspat:
q - türevin tanımından
qn ⎛
x⎞
qn ⎛
x ⎞ ⎡ Ln , q ( f ; x ) − Ln , q ( f ; qx ) ⎤
x ⎜ 1 − ⎟ Dq Ln , q ( f ; x ) =
x ⎜1 − ⎟ ⎢
⎥
(1 − q ) x
[ n]q ⎝ bn ⎠
[ n]q ⎝ bn ⎠ ⎣⎢
⎦⎥
=
qn
(1 − q ) [ n]q
−
⎛
x
⎜1 −
⎝ bn
qn
(1 − q ) [ n]q
⎞
⎟ Ln , q ( f ; x )
⎠
⎛
x⎞ n ⎛
s +1 x ⎞
−
1
⎜
⎟ ∏ ⎜1 − q
⎟
bn ⎠
⎝ bn ⎠ s =0 ⎝
k
⎛ [ k ]q
⎞ ⎡n + k ⎤
k ⎛ x ⎞
×∑ f ⎜
b ⎟
q
⎜ [ n + k ] n ⎟ ⎢⎣ k ⎥⎦ q ⎜⎝ bn ⎟⎠
k =0
q
⎝
⎠
∞
olur. Burada
⎛
x⎞ n ⎛
s +1 x
1
−
⎜
⎟ ∏ ⎜1 − q
bn
⎝ bn ⎠ s =0 ⎝
n
⎞ ⎛
⎛
n +1 x ⎞
s x ⎞
q
1
=
−
⎟ ⎜
⎟ ∏ ⎜1 − q
⎟
bn ⎠ s =0 ⎝
bn ⎠
⎠ ⎝
⎛
x
= ⎜1 − q n +1
bn
⎝
⎞
⎟ Pn , k ( x )
⎠
olup
qn
[ n]q
⎛
x
x ⎜1 −
⎝ bn
⎞
qn
=
;
D
L
f
x
(
)
⎟ q n, q
(1 − q ) [ n]q
⎠
−
⎛
x
⎜1 −
⎝ bn
qn
(1 − q ) [ n]q
⎞
⎟ Ln , q ( f ; x )
⎠
⎛
n +1 x
⎜1 − q
bn
⎝
⎞
⎟ Pn , k ( x )
⎠
k
⎛ [ k ]q
⎞ ⎡n + k ⎤
k ⎛ x ⎞
×∑ f ⎜
b ⎟
q
⎜ [ n + k ] n ⎟ ⎢⎣ k ⎥⎦ q ⎜⎝ bn ⎟⎠
k =0
q
⎝
⎠
∞
yazılabilir. q tamsayılarının tanımından
(3.25)
31 q k = ( q − 1) [ k ]q + 1
eşitliği (3.25) de kullanılırsa
qn
[ n]q
⎛
x
x ⎜1 −
⎝ bn
⎞
qn
;
=
D
L
f
x
(
)
⎟ q n, q
(1 − q ) [ n]q
⎠
+
qn
[ n]q
⎛
x⎞
⎜1 − ⎟ Ln , q ( f ; x )
⎝ bn ⎠
⎛
n +1 x ⎞
⎜1 − q
⎟ Pn , k ( x )
bn ⎠
⎝
k
⎛ [ k ]q
⎞ ⎡n + k ⎤
⎛ x⎞
b ⎟
×∑ f ⎜
[k ]
⎜ n + k ] n ⎟ ⎣⎢ k ⎦⎥ q q ⎝⎜ bn ⎠⎟
k =0
q
⎝[
⎠
∞
−
qn
(1 − q ) [ n]q
⎛
n +1 x ⎞
⎜1 − q
⎟ Pn , k ( x )
bn ⎠
⎝
∞
⎛ [ k ]q
⎞ ⎡n + k ⎤ ⎛ x ⎞k
bn ⎟ ⎢
×∑ f ⎜
⎜ n + k]
⎟ k ⎦⎥ q ⎝⎜ bn ⎠⎟
k =0
q
⎝[
⎠⎣
qn
[ n]q
⎡⎛
⎤
⎛
x⎞
qn
x⎞ ⎛
n +1 x ⎞
x ⎜1 − ⎟ Dq Ln , q ( f ; x ) =
⎢⎜ 1 − ⎟ − ⎜ 1 − q
⎟ ⎥ Ln , q ( f ; x )
bn ⎠ ⎦
(1 − q ) [ n]q ⎣⎝ bn ⎠ ⎝
⎝ bn ⎠
∞
⎛
x⎞
+ ⎜1 − q n +1 ⎟ Pn , k ( x ) ∑ f
bn ⎠
k =0
⎝
⎡n + k ⎤ ⎛ x ⎞
×⎢
⎥ ⎜ ⎟
⎣ k ⎦ q ⎝ bn ⎠
⎛ [ k ]q
⎞ q n [ k ]q
⎜
b ⎟
⎜ [ n + k ] n ⎟ [ n]
q
q
⎝
⎠
k
⎛
qn
x n +1
x⎞
=
q − 1) Ln , q ( f ; x ) + ⎜1 − q n +1 ⎟ Pn , k ( x )
(
bn ⎠
(1 − q ) [ n]q bn
⎝
⎛ [ k ]q
⎞ q n [ k ]q ⎡ n + k ⎤ ⎛ x ⎞ k
×∑ f ⎜
b ⎟
⎜ [ n + k ]q n ⎟ [ n ]q ⎢⎣ k ⎥⎦ q ⎜⎝ bn ⎟⎠
k =0
⎝
⎠
n
q [ n + 1]q
⎛
x⎞
=−
xLn , q ( f ; x ) + ⎜ 1 − q n +1 ⎟ Pn , k ( x )
bn ⎠
[ n]q bn
⎝
∞
⎛ [ k ]q
⎞ q n [ k ]q
×∑ f ⎜
b ⎟
⎜ [ n + k ]q n ⎟ [ n ]q
k =0
⎝
⎠
∞
⎡n + k ⎤ ⎛ x ⎞
⎢ k ⎥ ⎜b ⎟
⎣
⎦q ⎝ n ⎠
k
⎛ [ k ]q
⎞ q n [ k ]q
elde edilir. Burada g n ⎜
olup bu da ispatı tamamlar. Yani,
b ⎟=
⎜ [n + k ] n ⎟
n ]q
[
q
⎝
⎠
32 qn
[ n]q
⎛
x
x ⎜1 −
⎝ bn
q [ n + 1]q
⎞
⎛
x
D
L
f
;
x
+
xLn, q ( f ; x ) − ⎜1 − q n+1
(
)
⎟ q n, q
bn
[ n]q bn
⎠
⎝
n
⎞
⎟ Ln, q ( fgn ; x ) = 0
⎠
olur.
3.4. q -Meyer- König ve Zeller Operatörlerinin Bir Stancu- Tip Kalanı
Bu bölümde bölünmüş farklar yardımıyla Ln , qn operatörü için Stancu- tip kalanı
verilecektir.
3.4.1. Tanım [13]:
x0 , x1 , ⋅⋅⋅, xn , f in tanım kümesinin ayrık noktaları olmak üzere f fonksiyonunun
bölünmüş farkları
f ( xr )
n
f [ x0 , x1 , ⋅⋅⋅, xn ] = ∑
r =0
n
∏( x
r
j ≠r
− xj )
şeklinde tanımlanır. Burada r sabit kalır ve j , 0 dan n e kadar r dışındaki tüm
değerleri alır.
3.4.2. Teorem [10]:
⎧⎪ [ k ]q
⎫⎪
Eğer x ∈ [ 0, bn ) \ ⎨
bn ; k = 0,1, 2...⎬ ise bu durumda
n + k ]q
⎩⎪ [
⎭⎪
⎡
[ k ]q
[ k + 1]q ⎤
qk
Ln , q ( f ; x ) − f ( x ) = bn xPn , q ( x ) ∑
f ⎢ x,
bn ,
b ⎥
[ n + k + 1]q n ⎥⎦
⎢⎣ [ n + k ]q
k = 0 [ n + k + 1]q
∞
⎡ n + k − 1⎤ ⎛ x ⎞
×⎢
⎥ ⎜ ⎟
⎣ k ⎦ q ⎝ bn ⎠
sağlanır.
k
33 İspat:
Ln , q operatörünün lineerliğinden
⎧⎪
Ln , q ( f ; x ) − f ( x ) = Pn , q ( x ) ∑ ( −1) ⎨ f ( x ) −
k =0
⎪⎩
∞
⎧⎪
= − Pn , q ( x ) ∑ ⎨ f ( x ) −
k =0 ⎪
⎩
∞
⎛ [ k ]q
⎞ ⎫⎪ ⎡ n + k ⎤ ⎛ x ⎞ k
f⎜
b ⎟
⎜ [ n + k ] n ⎟ ⎬⎪ ⎢⎣ k ⎥⎦ q ⎜⎝ bn ⎟⎠
q
⎝
⎠⎭
⎛ [ k ]q
⎞ ⎫⎪ ⎡ n + k ⎤ ⎛ x ⎞ k
f⎜
b ⎟⎬
⎜ [ n + k ] n ⎟ ⎪ ⎢⎣ k ⎥⎦ q ⎜⎝ bn ⎟⎠
q
⎝
⎠⎭
yazılır.
⎛ [ k ]q
⎞ ⎛
[ k ]q
f ( x) − f ⎜
bn ⎟ = ⎜ x −
⎜ [ n + k ]q ⎟ ⎜
[ n + k ]q
⎝
⎠ ⎝
⎛
[ k ]q
=⎜x−
⎜
[ n + k ]q
⎝
⎧
⎛ [ k ]q
⎞⎫
⎪
f⎜
bn ⎟ ⎪
⎜ [n + k ]
⎟⎪
⎞ ⎪⎪
f ( x)
q
⎠⎪
bn ⎟ ⎨
+ ⎝
⎬
⎟⎪
k
[ k ]q
⎠ x − [ ]q b
bn − x ⎪⎪
n
⎪
n + k ]q
n + k ]q
[
[
⎪⎩
⎭⎪
⎞ ⎡
[ k ]q ⎤
bn ⎟ f ⎢ x,
b⎥
⎟ ⎢ [n + k ] n ⎥
q
⎠ ⎣
⎦
ve
⎡n + k ⎤ [ k ]q
⎡ n + k − 1⎤
b
=
n
⎢
⎥
⎢ k − 1 ⎥ bn
⎣ k ⎦ q [ n + k ]q
⎣
⎦q
eşitlikleri (3.26) da kullanılırsa,
⎡
[ k ]q ⎤ [ k ]q ⎡ n + k ⎤ ⎛ x ⎞k
Ln , q ( f ; x ) − f ( x ) = Pn , q ( x ) ∑ f ⎢ x,
bn ⎥
bn
⎜ ⎟
n + k ]q ⎥ [ n + k ]q ⎢⎣ k ⎥⎦ q ⎝ bn ⎠
[
k =0 ⎢
⎣
⎦
∞
⎡
[ k ]q ⎤ ⎡ n + k ⎤ ⎛ x ⎞k
− Pn , q ( x ) ∑ f ⎢ x,
bn ⎥ x
⎜ ⎟
n + k ]q ⎥ ⎣⎢ k ⎦⎥ q ⎝ bn ⎠
[
k =0 ⎢
⎣
⎦
∞
⎡
[ k ]q ⎤ ⎡ n + k − 1⎤ ⎛ x ⎞k
= bn Pn , q ( x ) ∑ f ⎢ x,
bn ⎥
⎜ ⎟
n + k ]q ⎥ ⎢⎣ k − 1 ⎥⎦ q ⎝ bn ⎠
[
k =1 ⎢
⎣
⎦
∞
⎡
[ k ]q ⎤ ⎡ n + k ⎤ ⎛ x ⎞k
− xPn , q ( x ) ∑ f ⎢ x,
bn ⎥
⎜ ⎟
n + k ]q ⎥ ⎣⎢ k ⎦⎥ q ⎝ bn ⎠
[
k =0 ⎢
⎣
⎦
∞
(3.26)
34 ∞
⎡
[ k + 1]q ⎤ ⎡ n + k ⎤ ⎛ x ⎞k
x
Ln , q ( f ; x ) − f ( x ) = bn Pn , q ( x ) ∑ f ⎢ x,
bn ⎥
⎜ ⎟
bn
n + k + 1]q ⎥ ⎢⎣ k ⎥⎦ q ⎝ bn ⎠
[
k =1 ⎢
⎣
⎦
∞
⎡
[ k ]q ⎤ ⎡ n + k ⎤ ⎛ x ⎞k
− xPn , q ( x ) ∑ f ⎢ x,
bn ⎥
⎜ ⎟
n + k ]q ⎥ ⎣⎢ k ⎦⎥ q ⎝ bn ⎠
[
k =0 ⎢
⎣
⎦
⎧⎪
= xPn , q ( x ) ∑ ⎨ f
k =1 ⎪
⎩
∞
⎡n + k ⎤ ⎛ x ⎞
×⎢
⎥ ⎜ ⎟
⎣ k ⎦ q ⎝ bn ⎠
⎡
[ k + 1]q ⎤ ⎡ [ k ]q ⎤ ⎫⎪
bn ⎥ − f ⎢ x,
bn ⎥ ⎬
⎢ x,
⎢⎣ [ n + k + 1]q ⎥⎦
⎢⎣ [ n + k ]q ⎥⎦ ⎭⎪
(3.27)
k
elde edilir. Diğer yandan
⎡
[ k + 1]q ⎤ ⎡ [ k ]q
f ⎢ x,
bn ⎥ − f ⎢ x,
⎢⎣ [ n + k + 1]q ⎥⎦
⎢⎣ [ n + k ]q
⎛ [ k + 1]q
⎞
f⎜
bn ⎟
⎜ [ n + k + 1]
⎟
⎤
f ( x)
q
⎝
⎠
+
bn ⎥ =
[ k + 1]q
[ k + 1]q
⎥⎦
x−
bn
b −x
[ n + k + 1]q
[ n + k + 1]q n
−
x−
f ( x)
[ k ]q
⎛ [ k ]q
⎞
f⎜
bn ⎟
⎜ [n + k ]
⎟
q
⎠
− ⎝
[ k ]q
bn
b −x
[ n + k ]q n
[ n + k ]q
⎛ [ k + 1]q
[ k ]q ⎞
f ( x)⎜
bn −
bn ⎟
⎜ [ n + k + 1]
⎟
n
+
k
[
]
q
q
⎝
⎠
=
⎛
[ k + 1]q ⎞ ⎛
[ k ]q ⎞
⎜x−
bn ⎟ ⎜ x −
bn ⎟
⎜
n + k + 1]q ⎟ ⎜
n + k ]q ⎟
[
[
⎠
⎝
⎠⎝
⎛ [ k + 1]q
⎞
⎛ [ k ]q
⎞
f⎜
bn ⎟ f ⎜
bn ⎟
⎜ [ n + k + 1]
⎟
⎜ [n + k ]
⎟
q
q
⎝
⎠
⎝
⎠
+
−
[ k + 1]q
[ k ]q
bn − x
b −x
[ n + k + 1]q
[ n + k ]q n
35 ⎡
[ k + 1]q ⎤ ⎡ [ k ]q
f ⎢ x,
bn ⎥ − f ⎢ x,
n + k + 1]q ⎥
⎢⎣ [ n + k ]q
⎣⎢ [
⎦
⎧
⎪
⎤ ⎪⎪
f ( x)
bn ⎥ = ⎨
⎛
⎞⎛
⎞
⎦⎥ ⎪ ⎜ x − [ k + 1]q b ⎟ ⎜ x − [ k ]q b ⎟
n
n
⎪⎜
[ n + k + 1]q ⎟⎠ ⎜⎝ [ n + k ]q ⎟⎠
⎩⎪ ⎝
⎛ [ k + 1]q
⎞
f⎜
bn ⎟
⎜ [ n + k + 1]q ⎟
⎝
⎠
+
⎛ [ k + 1]q
⎞ ⎛ [ k + 1]q
[ k ]q ⎞
⎜
bn − x ⎟ ⎜
bn −
b ⎟
⎜ [ n + k + 1]q
⎟ ⎜ [ n + k + 1]q
[ n + k ]q n ⎟⎠
⎝
⎠⎝
⎫
⎛ [ k ]q
⎞
⎪
f⎜
bn ⎟
⎜ [n + k ]
⎟
⎪⎪
q
⎝
⎠
+
⎬
⎞⎛ [ k ]q
⎛ [ k ]q
[ k + 1]q ⎞ ⎪
⎜
b −
b ⎟
b − x ⎟⎜
⎟⎜ [ n + k ] n [ n + k + 1] n ⎟ ⎪
⎜ [n + k ] n
q
q
q
⎠⎝
⎠ ⎭⎪
⎝
⎧⎪ [ k + 1]q
[ k ]q ⎫⎪
bn −
b ⎬
×⎨
[ n + k ]q n ⎪⎭
⎪⎩ [ n + k + 1]q
⎡
[ k ]q
[ k + 1]q ⎤
= f ⎢ x,
bn ,
b ⎥
[ n + k + 1]q n ⎥⎦
⎢⎣ [ n + k ]q
⎧⎪ [ k + 1]q
[ k ]q ⎫⎪
×⎨
−
⎬ bn
n + k + 1]q [ n + k ]q ⎪
⎩⎪ [
⎭
bulunur. Eşitliğin sağ tarafında
[ k + 1]q
−
[ k ]q
[ n + k + 1]q [ n + k ]q
1 − q k +1 1 − q n + k 1 − q k 1 − q n + k +1
−
1− q 1− q
1− q 1− q
=
[ n + k ]q [ n + k + 1]q
q k ( −q n (1 − q ) + 1 − q )
(1 − q )(1 − q )
[ n + k ]q [ n + k + 1]q
q k [ n ]q
=
[ n + k ]q [ n + k + 1]q
=
eşitliği kullanılırsa,
36 ⎡
[ k + 1]q ⎤ ⎡ [ k ]q ⎤ ⎡ [ k ]q
[ k + 1]q ⎤
f ⎢ x,
bn ⎥ − f ⎢ x,
bn ⎥ = f ⎢ x,
bn ,
b ⎥
[ n + k + 1]q n ⎥⎦
⎢⎣ [ n + k + 1]q ⎥⎦
⎢⎣ [ n + k ]q ⎥⎦
⎢⎣ [ n + k ]q
q k [ n ]q
×
b
[ n + k ]q [ n + k + 1]q n
(3.28)
elde edilir. Son olarak (3.28), (3.27) de yerine yazılırsa,
⎡
[ k ]q
[ k + 1]q ⎤
qk
f ⎢ x,
bn ,
b ⎥
[ n + k + 1]q n ⎥⎦
⎢⎣ [ n + k ]q
k = 0 [ n + k + 1]q
∞
Ln , q ( f ; x ) − f ( x ) = bn xPn , q ( x ) ∑
⎡ n + k − 1⎤ ⎛ x ⎞
×⎢
⎥ ⎜ ⎟
⎣ k ⎦ q ⎝ bn ⎠
k
eşitliğini elde ederiz ki bu da ispatı tamamlar.
3.4.3. Tanım [15]:
( a, b )
aralığında tanımlanmış f ( x ) fonksiyonunun bu aralıkta olan keyfi ( n + 1)
noktadaki n - inci bölünmüş farkları pozitif ise f ( x ) fonksiyonuna n - inci
basamaktan konveks, negatif ise f ( x ) fonksiyonuna n - inci basamaktan konkav,
sıfır ise f ( x ) fonksiyonuna n - inci basamaktan sabit fonksiyon denir.
3.4.4. Sonuç:
Eğer
f,
[0, bn )
⎧⎪ [ k ]q
x ∈ [ 0, bn ) \ ⎨
bn ;
⎪⎩ [ n + k ]q
aralığında
konveks
ise
bu
durumda
0 < q < 1,
⎫⎪
k = 0,1, 2, ⋅⋅⋅⎬ ve her n ∈ ` için Ln,qn ( f ; x ) − f ( x ) ≥ 0 dır.
⎪⎭
3.4.5. Sonuç:
(3.1) ile tanımlı Ln , q operatörü için q = 1 durumunda da tüm sonuçlar geçerlidir, [9].
37 4. q - SZASZ- MİRAKJAN OPERATÖRLERİ
Bu bölümde ağırlıklı uzaylarda q - Szasz- Mirakjan operatörlerinin tanımı, yaklaşım
özellikleri ve Voronovskaja tip sonucu verilecektir.
4.1. q -Szasz- Mirakjan Operatörlerinin Tanımı
4.1.1. Tanım [20]:
e z üstel fonksiyonunun iki tane q - genelleşmesi vardır:
∞
zk
1
,
=
∞
k = 0 [ k ]q !
1
1
q
z
−
−
( ( ) )q
e( z) = ∑
z <
1
,
1− q
q <1,
ve
∞
E ( z ) = ∏ (1 + (1 − q ) q j z )
j =0
∞
= ∑ q k ( k −1) /2
k =0
∞
zk
= (1 + (1 − q ) z )q ,
[ k ]q !
q <1
dir. Ayrıca q -türev tanımından
Dq E ( ax ) = aE ( qax )
(4.1)
dir.
4.1.2. Tanım [14]:
q ∈ ( 0,1) , n ∈ N ve f : [ 0, ∞ ) → R olsun. Bu durumda q - Szasz- Mirakjan
operatörleri
⎛ [ k ]q
Sn, q ( f ; x ) =
f
∑ ⎜ k −2
E [ n ]q x k =0 ⎜⎝ q [ n ]q
(
1
∞
)
⎛ [ k ]q
= ∑ f ⎜ k −2
⎜ q [ n]
k =0
q
⎝
∞
⎞
⎟ snk ( q; x )
⎟
⎠
⎞ k ( k −1) /2 [ n ]q x k
⎟q
⎟
[ k ]q !
⎠
k
(4.2)
38 şeklinde tanımlanır. Burada
snk ( q; x ) =
(
1
E [ n ]q x
)
q
[ n]q xk
,
[ k ]q !
k
k ( k −1)
2
n = 1, 2,...
olup
∞
∑ s ( q; x ) = E
k =0
nk
∞
1
([ n ] x )
∑q
q
k ( k −1)
k =0
2
([ n]q x )
[ k ]q !
k
=1
(4.3)
olur ve açıktır ki S n , q operatörü lineer ve pozitiftir.
4.1.3. Lemma [14]:
q ∈ ( 0,1) olsun. Bu durumda (4.2) ile verilen S n , q operatörleri için
Sn, q ( t
m +1
m
⎛m⎞
x
; x ) = ∑ ⎜ ⎟ 2 j − m −1 m − j S n , q ( t j ; x )
j =0 ⎝ j ⎠ q
[ n ]q
(4.4)
rekürans formülü geçerlidir.
İspat:
(4.2) de [ k ]q = [ k − 1]q + q k −1 eşitliği kullanılırsa
Sn, q ( t
m +1
; x) =
=
=
(
1
E [ n ]q x
(
1
E [ n ]q x
(
1
E [ n ]q x
)
∑ q(
k =0
∑ q(
k =1
∞
)
k − 2 )( m +1)
k ( k −1)
[ n ]q
m +1
q [ k ]q
m
∞
)
[ k ]q
m +1
∞
k − 2)m
[ n]q
m
([k − 1]
q
q
k ( k −1)
− k +1
2
+ q k −1
q
∑
q ( k − 2)m [ n ]q
k =1
q
2
m
)
m
[ n]q x k
[ k ]q !
k
[ n ]q x k
[ k − 1]q !
k −1
( k −1)( k − 2 )
q
2
[ n ]q x k
[ k − 1]q !
k −1
(
⎛ m ⎞ ( k −1)( m − j )
1
j
1
q
k
q
=
−
[ ]q ( k −2)m m
∑∑ ⎜ ⎟
q
E [ n ]q x k =1 j =0 ⎝ j ⎠
[ n ]q
(
q
∞
)
m
k −1)( k − 2 )
2
[ n ]q x k
[ k − 1]q !
k −1
39 Sn, q ( t
m +1
⎛m⎞
1
; x) =
∑
⎜ ⎟ 2 j −m m− j
E [ n ]q x j =0 ⎝ j ⎠ q
[ n]q
(
m
q
)
⎛m⎞
x
=
∑
⎜ ⎟ 2 j −m m− j
E [ n ]q x j =0 ⎝ j ⎠ q
[ n]q
(
m
q
)
[ k − 1]q ( k −1)(2k −2) [ n]q x k
q
∑
j
( k −3) j
[ k − 1]q !
k =1 q
[ n]q
k −1
j
∞
k ( k −1) n
[ k ]q
[ ]q x k
2
q
∑
j
( k −2) j
[ k ]q !
k =0 q
[ n]q
∞
j
k
m
⎛ m⎞
x
= ∑ ⎜ ⎟ 2 j − m −1 m − j S n , q ( t j ; x )
j =0 ⎝ j ⎠ q
[ n]q
elde edilir.
4.1.4. Lemma [14]:
q ∈ ( 0,1) için,
Sn,q (1; x ) = 1
(i)
Sn,q ( t; x ) = qx
(ii)
S n , q ( t 2 ; x ) = qx 2 +
S n ,q ( t 3 ; x ) =
S n ,q ( t 4 ; x ) =
q3 x
[ n ]q
2
q4 x
[ n ]q
3
q2
x
[ n ]q
(iii)
+ ( 2q 2 + q )
x2
+ x3
n
[ ]q
+ ( 3q 3 + 3q 2 + q )
(iv)
x2
[ n ]q
2
eşitlikleri geçerlidir.
İspat:
Sn,q (1; x ) =
(4.3) den
(
1
E [ n ]q x
∞
)
∑q
k =0
k ( k −1)
2
[ n]q xk
[ k ]q !
k
⎛
1 ⎞ x3
x4
+ ⎜ 3q + 2 + ⎟
+ 2
q ⎠ [ n ]q q
⎝
(v)
40 Sn,q (1; x ) = 1
olur.
[ k ]q k ( k2−1) [ n]q x k
Sn ,q ( t ; x ) =
∑ k −2 q
[ k ]q !
E ([ n]q x ) k =0 q [ n]q
=
(
1
∞
1
∞
E [ n ]q x
)
∑q
k
( k −1)( k − 2)
2
k =1
[ n]q x k
q
[ k − 1]q !
k −1
son eşitlikte k yerine k + 1 alınırsa (4.3) den
Sn,q ( t; x ) = qx
bulunur. (4.4) rekürans formülü kullanılırsa (i) ve (ii) den
Sn,q ( t 2 ; x ) =
=
q2 x
S (1; x ) + xS n ,q ( t ; x )
[ n ]q n,q
q2
x + qx 2
n
[ ]q
olur. (i), (ii) ve (iii) den
S n ,q ( t 3 ; x ) =
=
=
q3 x
[ n ]q
2
q3 x
[ n]q
2
q3 x
[ n]q
2
S n , q (1; x ) + 2
+
qx
x
S n,q ( t ; x ) + S n ,q ( t 2 ; x )
q
[ n ]q
2q 2 x 2 x ⎛ 2 q 2 x ⎞
⎟
+ ⎜ qx +
[ n ]q q ⎜⎝
[ n]q ⎟⎠
+ ( 2q 2 + q )
x2
+ x3
n
[ ]q
olup ve (i), (ii), (iii) ve (iv) den
S n,q ( t 4 ; x ) =
q4 x
[ n ]q
3
S n , q (1; x ) + 3
q2 x
[ n ]q
2
S n ,q ( t ; x ) + 3
x
x
S n ,q ( t 2 ; x ) + 2 S n,q ( t 3 ; x )
q
[ n ]q
41 S n ,q ( t ; x ) =
4
=
q4 x
[ n]q
3
q4 x
[ n]q
3
+3
q3 x2
[ n]q
2
3x
+
[ n]q
⎞
⎛
q 2 x ⎞ x ⎛⎜ q 3 x
x2
2
3⎟
⎜ qx 2 +
⎟+ 2
+ ( 2q + q )
+x
⎜
⎟
[ n]q ⎟⎠ q ⎜⎝ [ n]2q
[ n]q
⎝
⎠
x2
+ ( 3q 3 + 3q 2 + q )
[ n]q
2
⎛
1 ⎞ x3
x4
+ ⎜ 3q + 2 + ⎟
+ 2
q ⎠ [ n ]q q
⎝
elde edilir. Bu da ispatı tamamlar.
4.1.5. Lemma [14]:
( qn ) , ∀n ∈ `
n
için 0 < qn < 1 , lim qn = 1 ve lim qn = a olacak şekilde bir dizi olsun.
n→∞
n →∞
Bu durumda her x ∈ [ 0, ∞ ) için,
lim [ n]q Sn,qn ( t − x; x ) = ( a −1) x
n→∞
(4.5)
n
lim [ n]q Sn ,qn
(( t − x ) ; x ) = (1 − a ) x
lim [ n]q Sn,qn
( ( t − x ) ; x ) = 3x
n →∞
n
2
n →∞
n
2
4
2
2
+x
(4.6)
+ 6 (1 − a ) x3 + 3 (1 − a ) x 4
2
(4.7)
eşitlikleri sağlanır.
İspat:
Lemma 4.1.4 (i), (ii), (iii), (iv) ve (v) den
S n ,qn
((t − x ) ; x ) = S (t ; x ) − 4 xS (t ; x ) + 6 x S (t ; x ) − 4 xS
4
4
n,q
=
q4 x
[ n]q
3
3
2
n,q
+ ( 3q 3 + 3q 2 + q )
2
n,q
x2
[ n]q
2
n,q
( t; x ) + x 4
⎛
1 ⎞ x3
x4
+ ⎜ 3q + 2 + ⎟
+ 2
q ⎠ [ n ]q q
⎝
⎛ q3 x
⎞
⎛
x2
q2 x ⎞
⎟ − 4qx 4 + x 4
− 4 x ⎜ 2 + ( 2q 2 + q )
+ x3 ⎟ + 6 x 2 ⎜ qx 2 +
⎜
⎜ [ n]
⎟
n
n
[ ]q
[ ]q ⎟⎠
⎝
⎝ q
⎠
42 S n , qn
(
)
(t − x ) ; x =
4
q4 x
[ n]q
3
+ ( 3q 2 + q − q 3 )
x2
[ n]q
2
⎛
⎞ x3
1
+ ⎜ 2 + − q − 2q 2 ⎟
q
⎝
⎠ [ n ]q
⎛ 1
⎞
+ x 4 ⎜ 2 + 2q − 3 ⎟
⎝q
⎠
(4.8)
bulunur. Böylece [ n ]q ( qn − 1) = qnn − 1 olduğundan hipotezden
n
lim [ n]q Sn,qn ( t − x; x ) = lim [ n]q ( qn − 1) x
n →∞
n →∞
n
n
= lim ( qnn − 1) x
n →∞
= ( a − 1) x
lim [ n ]q S n ,qn
n →∞
n
(
⎛
qn2 x
2
2
⎜
−
=
−
+
t
x
x
n
q
x
;
lim
1
( )
[ ]qn ⎜ ( n )
n →∞
[ n]qn
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
)
(
= lim (1 − qnn ) x 2 + qn2 x
x →∞
)
= (1 − a ) x 2 + x
ve (4.8) den
lim [ n]q Sn ,qn
2
n →∞
n
(
⎛ q4 x
⎞
⎜ n + ( 3qn2 + qn − qn3 ) x 2 ⎟
( t − x ) ; x = lim
n →∞ ⎜ [ n ]
⎟
⎝ qn
⎠
4
)
2
2
⎛ [ n ] (1 − qn2 ) ( 2qn + 1)
n ]q (1 − qn ) ( 2qn + 1) 4 ⎞
[
qn
2
n
x +
x ⎟
+ lim ⎜
n →∞ ⎜
⎟
qn
qn2
⎝
⎠
= 3x 2 + 6 (1 − a ) x3 + 3 (1 − a ) x 4
elde edilir. Bu da ispatı tamamlar.
2
4.1.6. Lemma [14]:
Her 0 < q < 1 , x ∈ [ 0, ∞ ) , n ∈ ` ve k ≥ 0 için
⎛ x⎞
⎛ x⎞
⎛ x⎞
xDq snk ⎜ q; ⎟ = [ k ]q snk ⎜ q; ⎟ − xq k −1 [ n ]q snk ⎜ q; ⎟
⎝ q⎠
⎝ q⎠
⎝ q⎠
(i)
43 ⎛ x⎞
q
q k snk ⎜ q; ⎟ =
snk ( q; x )
n
⎝ q ⎠ q + (1 − q ) x
(ii)
[ n]q
[ n]q x
⎛
x⎞
m +1
−
xDq S n ,q ⎜ t m ; ⎟ =
S
t
;
x
Sn,q ( t m ; x )
(
)
,
n
q
n
n
q + (1 − q ) x
⎝ q ⎠ q q + (1 − q ) x
(iii)
(
)
özdeşlikleri geçerlidir.
İspat:
(i) Tanım 2.2.2, (2.8), (2.9) ve (4.1) kullanılarak
⎛ x⎞
xDq snk ⎜ q; ⎟ = xq
⎝ q⎠
k ( k −1)
2
= [ k ]q q
k
[ n]q E ([ n]q x ) [ k ]q xk −1 − q k −1 [ n]q xk E ([ n]q x )
[ k ]q !
q k E ([ n ]q x / q ) E ([ n ]q x )
k ( k −1)
2
k ( k −1) n
[ n]q
[ ]q
xk
xk
− xq k −1 [ n]q q 2
[ k ]q ! q k E ([ n]q x / q )
[ k ]q ! q k E ([ n]q x / q )
k
k
⎛ x⎞
⎛ x⎞
= [ k ]q snk ⎜ q; ⎟ − xq k −1 [ n]q snk ⎜ q; ⎟
⎝ q⎠
⎝ q⎠
bulunur.
(ii)
⎛ x⎞
q snk ⎜ q; ⎟ =
⎝ q⎠
k
k ( k −1)
1
⎛
[ n]q x ⎞
j
+
−
1
1
q
q
⎜
⎟
(
)
∏
⎜
q ⎟⎠
j =0 ⎝
∞
q
2
[ n]q xk
[ k ]q !
k
⎛ x⎞
1
q snk ⎜ q; ⎟ =
q
[ n]q x ⎞ ∞
⎝ q⎠ ⎛
⎜1 + (1 − q )
⎟ ∏ 1 + (1 − q ) q j [ n ]q x
⎜
⎟ j =0
q
⎝
⎠
q
=
snk ( q; x )
q + (1 − q n ) x
k
(
olur.
)
k ( k −1)
2
[ n]q x k
[ k ]q !
k
44 (iii) (i) den
⎛ x ⎞ ∞ ⎛ [ k ]q ⎞
⎟
xDq Sn ,q ⎜ t m ; ⎟ = ∑ ⎜ k −2
⎜
⎟
q
q
n
[
]
0
k
=
⎝
⎠
q ⎠
⎝
m
([ k ] − q
k −1
q
)
⎛ x⎞
x [ n]q snk ⎜ q; ⎟
⎝ q⎠
⎛ [ k ]q ⎞
⎛ [k ]
⎞ ⎛ x⎞
⎟ [ n]q q k −2 ⎜ k −2 q − qx ⎟ snk ⎜ q; ⎟
= ∑ ⎜ k −2
⎜ q [ n]
⎟ ⎝ q⎠
[ n]q ⎟⎠
k =0 ⎜ q
q
⎝
⎝
⎠
m
∞
⎛ [ k ]q ⎞
⎟
= [ n]q ∑ ⎜ k −2
n]q ⎟
[
k =0 ⎜ q
⎝
⎠
∞
m +1
⎛ x⎞
q k −2 snk ⎜ q; ⎟
⎝ q⎠
⎛ [k ] ⎞
⎛ x⎞
− [ n]q x∑ q k −1 ⎜ k −2 q ⎟ snk ⎜ q; ⎟
⎜ q [ n] ⎟
k =0
⎝ q⎠
q ⎠
⎝
m
∞
olur. (ii) den
⎛
x⎞
q
xDq S n ,q ⎜ t m ; ⎟ = [ n ]q 2
q q + (1 − q n ) x
⎝ q⎠
(
⎛ [ k ]q
⎜ k −2
∑
[ n]q
k =0 ⎜ q
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
∞
)
⎛ [ k ]q
⎜ k −2
− [ n ]q x
∑
q + (1 − q n ) x k =0 ⎜⎝ q [ n ]q
(
=
[ n]q
(
∞
1
q q + (1 − q
n
)
) x)
S n ,q ( t m +1 ; x ) −
m +1
snk ( q; x )
m
⎞
⎟ snk ( q; x )
⎟
⎠
[ n]q x
q + (1 − q n ) x
Sn ,q ( t m ; x )
olarak bulunur. Bu da ispatı tamamlar.
4.1.7. Lemma [14]:
0 < q < 1 ve m∈ ` için
xj
m
S n , q ( t m ; x ) = ∑ am , j ( q )
j =1
(4.9)
[ n ]q
m− j
eşitliği sağlanır. Burada
am+1, j ( q ) =
[ j ] am, j ( q ) + am, j −1 ( q )
q j −2
, m ≥ 0, j ≥ 1,
45 a0,0 ( q ) = 1, am,0 ( q ) = 0, m > 0, am, j ( q ) = 0, m < j.
(4.10)
olup, S n , q ( t m ; x ) , sabit bir terimi olmaksızın m . dereceden bir polinomdur.
İspat:
Lemma 4.1.4 (ii) ve (iii) den S n ,q ( t ; x ) = qx, S n ,q ( t 2 ; x ) = qx 2 +
q2 x
olduğundan
[ n ]q
m = 1, 2 için a2,1 = q 2 , a1,1 = q olup (4.9) geçerlidir.
Şimdi kabul edelim ki (4.9) m için sağlansın. Lemma 4.1.6 (iii) den
Sn ,q ( t m +1 ; x )
(
= q q + (1 − q n ) x
) [ nx]
q
(
= q q + (1 − q n ) x
=q
2
m
∑[ j]
q
j =1
=q
x
[ n]q
m
m
)
x
[ n]q
am , j ( q )
⎛ x⎞
Dq Sn,q ⎜ t m ; ⎟ + qxSn ,q ( t m ; x )
⎝ q⎠
x j −1
m
∑ [ j ]q am, j ( q )
j =1
xj
q j [ n ]q
q j [ n ]q
m
m − j +1
m− j
+ q ∑ am, j ( q )
j =1
xj
m
+ qx∑ am , j ( q )
j =1
x j +1
[ n]q
m− j
m
[ n]q
m− j
am,1 ( q ) + qx m+1am,m ( q ) + q (1 − q ) x m +1 [ m]q
+ q (1 − q ) ∑ [ j ]q am , j ( q )
j =1
1
am ,m ( q )
qm
(
+ ∑ q 2 [ j ]q am, j ( q ) q − j + qam , j −1 ( q ) + q (1 − q ) [ j − 1]q am , j −1 ( q ) q − j +1
j =2
= qam ,1 ( q )
j =1
m − j +1
q
x
+
m
m
1
a
q x m +1 + ∑
m −1 m , m ( )
[ n]q q
m +1 [ j ] a
( q ) + am, j −1 ( q )
q m, j
=∑
) [ n]
xj
q j −2
olur. Bu da ispatı tamamlar.
j =2
xj
[ n]q
m − j +1
[ j ]q am, j ( q ) + am, j −1 ( q )
q j −2
xj
[ n]q
m − j +1
x j +1
q j [ n ]q
m− j
46 4.1.8. Lemma [14]:
m ∈ ` ∪ {0} ve q ∈ ( 0,1) sabit olsun. Bu durumda
S n ,q (1 + t m ; x )
m
≤ Km ( q ) , n ∈ `
(4.11)
olacak şekilde bir K m ( q ) pozitif sabiti vardır. Ayrıca her f ∈ Cm* [ 0, ∞ ) için
Sn , q ( f )
m
≤ Km ( q ) f
m
, n∈`
(4.12)
eşitsizliği geçerlidir. Yani herhangi bir m ∈ ` ∪ {0} için S n , q , Cm* [ 0, ∞ ) dan
Cm* [ 0, ∞ ) a bir lineer pozitif operatördür.
İspat:
(4.11) eşitsizliği m = 0 için açıktır. m ≥ 1 olsun. Bu durumda (4.9) ve Lemma 4.1.4
(i) den
1
1
1
+
S n ,q (1 + t m ; x ) =
m
m
1+ x
1+ x
1 + xm
m
∑ am , j ( q )
j =1
xj
[ n ]q
m− j
≤ 1 + cm ( q ) = K m ( q )
olup K m ( q ) , m ve q ya bağlı pozitif bir sabittir. Diğer taraftan her f ∈ Cm* [ 0, ∞ )
için
Sn,q ( f
)m≤
f
m
S n ,q (1 + t m )
olup (4.11) den
Sn,q ( f )
m
elde edilir.
≤ Km ( q ) f
m
m
47 4.2. q - Szasz- Mirakjan Operatörlerinin Yaklaşım Özellikleri
Bu bölümde q- Szasz- Mirakjan operatörlerinin yaklaşım özellikleri incelenecektir.
Öncelikle bu kısımda, kullanılacak olan ifade ve önermeler verilecektir.
4.2.1. Tanım [22]:
P bir küme olsun. P üzerinde tanımlı “ ≤ ” bağıntısı aşağıdaki özellikleri sağlıyor
ise, “ ≤ ” bağıntısına sıralama bağıntısı ve ( P, ≤ ) ikilisine de sıralı küme denir. Her
x, y, z ∈ P için,
i) x≤ x,
ii ) x ≤ y ve y ≤ x ise x = y ,
iii ) Her x, y, z ∈ M için x ≤ y ve y ≤ z ise x ≤ z .
Bu koşullar sırasıyla yansıma, ters simetri ve geçişme özelliği olarak adlandırılır.
4.2.2. Tanım [22]:
P boştan farklı ve sıralı bir küme olsun. Eğer her x, y ∈ P için
sup { x, y} := x ∨ y
ve
inf { x, y} := x ∧ y
olmak üzere sup{ x, y} ∈ P , inf { x, y} ∈ P ise P ye bir latis denir.
4.2.3. Tanım [19]:
E bir reel vektör uzayı ve E üzerinde vektör işlemleri ile uyumlu “ ≤ ” kısmi
sıralama bağıntısı tanımlı olsun. Eğer her x, y ∈ E için x ≤ y olmak üzere aşağıdaki
şartlar sağlanırsa, E uzayına sıralı vektör uzayı denir.
i ) Her z ∈ E için x + z ≤ y + z
48 ii ) Her α ∈ \ ve α ≥ 0 için α x ≤ α y
4.2.4. Tanım [19]:
Sıralı bir ( E, ≤ ) vektör uzayı aynı zamanda bir latis ise, E ye vektör latis denir.
Bu durumda, bir vektör latiste x := sup {− x, x} , x + := sup { x, 0} ve x − := sup {− x,0}
elemanlarına sırasıyla x in mutlak değeri, pozitif kısmı ve negatif kısmı denir.
4.2.5. Tanım [19]:
E bir vektör latis olsun. Her f , g ∈ E için f ≤ g ⇒ f ≤ g şartını sağlayan
norma latis normu denir.
4.2.6. Tanım [23]:
E bir Banach uzayı, ( E, ≤ ) bir vektör latis ve E üzerindeki norm latis normu ise E
ye bir Banach latis denir.
C2* [ 0, ∞ ) bir Banach latisdir.
4.2.7. Tanım [22]:
L ve K birer latis ve f : L → K bir lineer operatör olsun. Her a, b ∈ L için,
f ( a ∨ b) = f ( a ) ∨ f (b)
ve
f ( a ∧ b) = f ( a ) ∧ f (b)
ise, yani f sup ve inf işlemlerini koruyorsa, f ye bir latis homomorfizmi denir.
4.2.8. Tanım [23]:
E bir Banach latis ve H , E nin bir alt kümesi olsun. E ‘den E ’ye her ( Ln )n≥1
lineer pozitif operatörler dizisi için,
49 i) sup Ln < ∞
n ≥1
ve
ii) Her g ∈ H için, lim Ln ( g ) = g
n →∞
koşulları sağlanıyorken, her f ∈ E için
lim Ln ( f ) = f
n →∞
oluyorsa, H ye E nin bir Korovkin alt kümesi denir.
4.2.9. Önerme (Lineer Pozitif Operatörlere Göre Genel Korovkin Tip Özellik) [19]:
X kompakt bir uzay, H , C ( X ) in bir Korovkin alt kümesi ve f ∈ C ( X ) olsun.
Eğer E bir Banach latis, S : C ( X ) → E bir latis homomorfizmi ve ( Ln ) , C ( X ) den
E ye bir lineer pozitif operatör dizisi ise, bu durumda her h ∈ H için
lim Ln ( h ) = S ( h )
n →∞
ise
lim Ln ( f ) = S ( f )
n →∞
dir.
4.2.10. Önerme [19]:
{1, t , t } , C [0, ∞ ) için bir Korovkin alt kümedir.
2
*
2
4.2.11. Teorem [14]:
(
qn ∈ ( 0,1) olsun. Her f ∈ C2* [ 0, ∞ ) için Sn ,qn
)
dizisinin f e [ 0, A] da düzgün
yakınsak olması için gerek ve yeter şart lim qn = 1 olmasıdır.
n →∞
50 İspat:
⇐ : lim qn = 1 ve A > 0 olsun. TA : C [ 0, ∞ ) → C [ 0, A] , TA ( f ) := f |[0, A] şeklinde
n →∞
tanımlanan TA bir latis homomorfizmidir. Açıktır ki Lemma 4.1.4 (i), (ii) ve (iii) den
(
)
(
)
TA Sn ,qn (1) = TA (1)
TA Sn ,qn ( t ) → TA ( t )
(
)
TA Sn,qn ( t 2 ) → TA ( t 2 )
olup bu yakınsamalar [ 0, A] aralığında düzgün yakınsaktır. Diğer yandan Önerme
4.2.10 dan {1, t , t 2 } , C2* [ 0, ∞ ) için bir Korovkin alt kümedir ve C2* [ 0, ∞ ) , C [ 0,1] e
izomorftur, [19, Önerme 4.2.5]. Böylece Önerme 4.2.9 dan f ∈ C2* [ 0, ∞ ) ve A > 0
için
lim S n ,qn ( f ; x ) − f ( x )
n →∞
C [0, A]
=0
olur.
⇒ : Kabul edelim ki ( qn ) dizisi 1 e yakınsamasın. Bu durumda ( qn ) dizisinin,
( )
α ≠ 1 ve α ∈ [ 0,1) olmak üzere qnk → α , ( k → ∞ ) olacak şekilde bir qnk ⊂ ( 0,1)
alt dizisi vardır. Böylece
1
=
[ nk ]q
nk
1 − qnk
( )
1 − qnk
nk
→ 1 − α , ( k → ∞)
olup
S n ,qn ( t ; x ) − x = ( qn − 1) x +
2
2
2
(
qn2k 1 − qnk
(1 − q )
nk
nk
)x
→ (α − 1) x 2 + α 2 (1 − α ) x ≠ 0
51 olur. Bu ise hipotezle çelişir. Bu çelişkiye lim qn ≠ 1 olduğunu kabul etmekle
n →∞
düşüldü. Dolayısıyla lim qn = 1 dir.
n →∞
4.2.12. Teorem [14]:
f ∈ Cm* [ 0, ∞ ) ve
f * ( z ) = f ( z 2 ) , z ∈ [ 0, ∞ )
olsun. Bu durumda her t > 0 ve x ≥ 0 için
⎛
S n , qn ( f ; x ) − f ( x ) ≤ 2ω ⎜ f * ;
⎜
⎝
(1 − qn ) x +
qn2 ⎞⎟
[ n ]qn ⎟⎠
(
dir. Eğer f * düzgün sürekli ise bu durumda Sn ,qn
[0, A] da
)
lineer pozitif operatör dizisi
f e düzgün yakınsar.
İspat:
Sabit bir f ∈ Cm* [ 0, ∞ ) seçilsin. Bu durumda t > 0 , x ∈ [ 0, ∞ ) için f * ın tanımından
( ( t ); x)
Sn ,qn ( f ; x ) = Sn ,qn f *
olur. Böylece
( ( t ); x) − f ( x )
Sn ,qn ( f ; x ) − f ( x ) = Sn ,qn f *
*
⎛ ⎛
[ k ]qn
⎜ f*⎜
∑
⎜ ⎜ qnk − 2 [ n ]
k =0
qn
⎝ ⎝
⎞
⎟− f *
⎟
⎠
⎛ ⎛
[ k ]q
≤ ∑ ⎜ f * ⎜ k −2 n
⎜ ⎜ qn [ n ]
k =0
qn
⎝ ⎝
⎞
⎟− f *
⎟
⎠
=
∞
∞
olup. (4.13) de Lemma 2.1.9 (vi) kullanılırsa
⎞
x ⎟ snk ( qn ; x )
⎟
⎠
( )
⎞
x ⎟ snk ( qn ; x )
⎟
⎠
( )
(4.13)
52 ⎛
⎞
[ k ]qn
*
⎜
− x ⎟ snk ( qn ; x )
Sn ,qn ( f ; x ) − f ( x ) ≤ ∑ ω f ;
k −2
⎜
⎟
q
n
[
]
k =0
n
qn
⎝
⎠
⎛
[ k ]qn
⎜
− x
⎜
qnk − 2 [ n ]q
∞
n
= ∑ω ⎜ f *;
S n , qn
t − x ;x
⎜
k =0
S n ,qn
t − x ;x
⎜
⎜
⎝
∞
(
)
(
)
⎞
⎟
⎟
⎟ s (q ; x)
⎟ nk n
⎟
⎟
⎠
elde edilir. Lemma 2.1.9 (vii) den
(
Sn ,qn ( f ; x ) − f ( x ) ≤ ω f * ; S n,qn
⎛
[ k ]qn
⎜
− x
qnk − 2 [ n ]q
∞ ⎜
n
t − x ; x ∑ ⎜1 +
⎜
k =0
S n,qn t − x ; x
⎜
⎜
⎝
))
(
(
= 2ω f * ; Sn,qn
(
t − x ;x
))
olur. İspatı tamamlamak için her t > 0 ve x > 0 için
S n , qn
(
)
t − x ;x ≤
(1 − qn ) x +
qn2
[ n ]q
n
olduğu gösterilmelidir.
(
)
⎞
⎟
⎟
⎟ s (q ; x)
⎟ nk n
⎟
⎟
⎠
(4.14)
53 S n,qn
(
)
∞
t − x ;x = ∑
k =0
[ k ]q
qnk − 2 [ n ]q
− x snk ( qn ; x )
n
n
[ k ]q
∞
qnk − 2 [ n ]q
=∑
k =0
[ k ]q
qnk − 2 [ n ]q
n
−x
snk ( qn ; x )
n
n
+ x
n
≤
[ k ]qn
1 ∞
− x snk ( qn ; x )
∑
k −2
x k =0 qn [ n ]qn
olup son eşitsizliğin sağ tarafına Cauchy- Schwarz eşitsizliği uygulanırsa
[ k ]qn
[ k ]qn
1 ∞
1 ∞
1/ 2
−
=
− x s1/2
x
s
q
x
;
(
)
∑
∑
nk
n
nk ( qn ; x ) snk ( qn ; x )
k −2
k −2
x k =0 qn [ n ]qn
x k =0 qn [ n ]qn
1
x
[ k ]q
∑
k −2
[ n]q
k = 0 qn
∞
n
n
1
≤
x
[ k ]q
∑
k −2
[ n]q
k = 0 qn
1
− x snk ( qn ; x ) ≤
x
[ k ]q
∑
k −2
[ n]q
k = 0 qn
=
2
∞
− x snk ( qn ; x )
n
n
∞
n
∞
∑ s (q ; x)
k =0
nk
n
2
− x snk ( qn ; x )
(4.15)
n
1
S n , qn
x
((t − x ) ; x )
2
bulunur. Lemma 4.1.4 (i),(ii) ve (iii), (4.15) de kullanılırsa
[ k ]qn
1 ∞
1
− x snk ( qn ; x ) ≤
S n,qn ( t 2 ; x ) − 2 xSn ,qn ( t ; x ) + x 2 Sn ,qn (1; x )
∑
k −2
q
n
x k =0 n [ ]qn
x
1
=
x
q2
(1 − qn ) x 2 + n x =
[ n]q
n
q2
(1 − qn ) x + n
[ n]q
elde edilir. Böylece (4.16), (4.14) de yerine yazılırsa ispat tamamlanır.
n
(4.16)
54 İyi bilinir ki, eğer [ 0, ∞ ) aralığında f düzgün sürekli değilse δ → 0 için Tanım
2.1.8 ile tanımlı süreklilik modülü ω ( f ; δ ) sıfıra yaklaşmaz. Bu nedenle aşağıda
verilecek teoremle Cm* [ 0, ∞ ) uzayında direkt bir yaklaşım teoremi ve ağırlıklı
süreklilik modülü yardımıyla bir yaklaşım derecesi verilecektir.
4.2.13. Tanım [24]:
Her f ∈ Cm* [ 0, ∞ ) ve m ∈ ` için
Ω m ( f ; δ ) = sup
f ( x + h) − f ( x)
x ≥ 0,0 < h ≤δ
1+ ( x + h)
m
ifadesine f fonksiyonun Cm* [ 0, ∞ ) uzayında ağırlıklı süreklilik modülü denir.
4.2.14. Lemma [24]:
Ağırlıklı süreklilik modülü aşağıdaki özelliklere sahiptir.
i ) Ωm ( f ; δ ) ≥ 0
ii ) δ1 ≤ δ 2 ise Ωm ( f ; δ1 ) ≤ Ωm ( f ; δ 2 )
iii ) lim+ Ωm ( f ; δ ) = 0
δ →0
iv ) Her λ ∈ [ 0, ∞ ) için Ωm ( f ; λδ ) ≤ ( λ + 1) Ωm ( f ; δ )
4.2.15. Teorem [14]:
Eğer f ∈ Cm* [ 0, ∞ ) ise
⎛
≤ k Ωm ⎜ f ;
Sn ,q ( f ) − f
m +1
⎜
⎝
1
[ n]q
⎞
⎟
⎟
⎠
eşitsizliği sağlanır ve burada k , f ve n den bağımsız bir sabittir.
55 İspat:
Tanım 4.2.13 de δ = t − x alınırsa, Tanım 4.2.13 ve Lemma 4.2.14 (iv) den
(
f (t ) − f ( x ) ≤ 1+ ( x + t − x )
(
≤ 1+ ( 2x + t )
m
m
) ⎛⎜⎝ t −δ x + 1⎞⎟⎠ Ω ( f ;δ )
m
) ⎛⎜⎝ t −δ x + 1⎞⎟⎠ Ω ( f ;δ )
m
olur. Bu durumda S n , q operatörünün lineerlik özelliğinden ve Lemma 2.1.5 den
S n ,q ( f ; x ) − f ( x ) ≤ S n ,q
( f (t ) − f ( x ) ; x )
) )
((
⎛
⎛
⎞⎞
m
m t − x
≤ Ωm ( f ; δ ) ⎜ S n ,q 1 + ( 2 x + t ) ; x + S n ,q ⎜ 1 + ( 2 x + t )
; x⎟⎟
⎜
⎟
δ
⎝
⎠⎠
⎝
(
)
elde edilir. Bu eşitsizliğin sağ tarafındaki ikinci kısma Cauchy- Schwarz eşitsizliği
uygulanırsa
⎛
[k ]
⎛
⎞ ∞ ⎜ ⎛
m t−x
Sn ,q ⎜ 1 + ( 2 x + t )
; x ⎟ = ∑ 1 + ⎜ 2 x + k −2 q
q [ n ]q
δ
⎝
⎠ k =0 ⎜ ⎜⎝
⎝
(
⎞
⎟
⎟
⎠
m
⎛ ⎛
[k ]
≤ ∑ ⎜1 + ⎜ 2 x + k −2 q
⎜ ⎜
q [ n ]q
k =0
⎝ ⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
)
∞
×
∞
∑
[ k ]q
−x
k −2
q [ n ]q
(
⎛
= ⎜ Sn ,q ⎛⎜ 1 + ( 2 x + t )
⎝
⎝
olur. Böylece
m
δ
1/2
s1/2
nk ( q; x ) snk ( q; x )
2
⎞
⎟ s ( q; x )
⎟ nk
⎠
2
δ2
k =0
⎞
⎟
⎟
⎠
[ k ]q
−x
q [ n ]q
k −2
snk ( q; x )
)
m 2
1/2
⎛ t − x 2 ⎞⎞
⎞ ⎜⎛
⎞
; x ⎟ ⎟ Sn ,q ⎜
; x⎟⎟
⎜ δ2
⎟⎟
⎠⎠ ⎜
⎝
⎠⎠
⎝
1/2
56 ( ((
S n ,q ( f ; x ) − f ( x ) ≤ Ωm ( f ; δ ) S n ,q 1 + ( 2 x + t )
(
m
⎛
+ ⎜ S n , q ⎜⎛ 1 + ( 2 x + t )
⎝
⎝
)
m
); x)
1/ 2
2
1/ 2
⎛ t − x 2 ⎞⎞
⎞ ⎜⎛
⎞
; x⎟⎟
Sn,q ⎜
; x⎟⎟
⎜ δ2
⎟⎟
⎠⎠ ⎜
⎝
⎠⎠
⎝
⎞
⎟
⎟⎟
⎠
(4.17)
bulunur. Diğer yandan Lemma 4.1.7 ve Lemma 4.1.8 den
((
Sn ,q 1 + ( 2 x + t )
); x) ≤ K
m
(
m
⎛
⎛
⎜ S n,q ⎜ 1 + ( 2 x + t )
⎝
⎝
)
2
m
( q ) (1 + x m )
1/ 2
⎞
; x ⎞⎟ ⎟
⎠⎠
≤ K m1 ( q ) (1 + x m )
(4.18)
olacak şekilde K m ( q ) ve K m1 ( q ) sabitleri vardır. Ayrıca Lemma 4.1.4 (i),(ii) ve (iii)
den
1/2
⎛
⎛ t − x 2 ⎞⎞
⎜ Sn ,q ⎜
; x⎟⎟
⎜ δ2
⎟⎟
⎜
⎝
⎠⎠
⎝
=
=
≤
≤
1
δ
1
δ
S n ,q ( t 2 ; x ) − 2 xS n ,q ( t ; x ) + x 2 Sn , q (1; x )
(1 − q ) x 2 +
1
δ
[ n]q
q2 x 1 1 − qn 2 q2 x
x +
=
[ n]q δ [ n]q
[ n]q
(4.19)
x2 + x
1+ x
δ
[ n]q
olup (4.17), (4.18) ve (4.19) dan
Sn,q ( f ; x ) − f ( x )
⎛
1 + x m ) (1 + x ) ⎞
(
m
1
⎜
⎟
≤ Ωm ( f ; x ) K m ( q ) (1 + x ) + K m ( q )
⎜
⎟
δ [ n ]q
⎝
⎠
⎛
1 + x m +1
≤ Ωm ( f ; x ) ⎜ K m ( q ) (1 + x m ) + K m1 ( q ) K1
⎜
δ [ n ]q
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
(4.20)
57 elde edilir. Burada
1 + x m + x + x m +1
K1 = sup
1 + x m +1
x≥0
olup, (4.20) de δ = δ n = [ n ]
−1/ 2
seçilirse istenen sonuç elde edilir.
4.3. q - Szasz- Mirakjan Operatörleri için Voronovskaja- Tip Sonucu
Şimdi q - Szasz- Mirakjan operatörleri için Voronovskaja- tip sonucu verelim.
4.3.1. Teorem [14]:
∀n ∈ `
için
qn ∈ ( 0,1) ,
lim qn = 1
n →∞
ve
lim qnn = a
n→∞
olsun.
Bu
durumda
f ', f " ∈ C2* [ 0, ∞ ) olacak şekildeki herhangi bir f ∈ C2* [ 0, ∞ ) için
(
)
lim [ n]q Sn,qn ( f ; x ) − f ( x ) = ( a − 1) x f ' ( x ) +
n→∞
n
1
f '' ( x ) ( (1 − a ) x 2 + x )
2
olup bu yakınsama A > 0 için [ 0, A] da düzgündür.
İspat:
f , f ', f " ∈ C2* [ 0, ∞ ) ve x ∈ [ 0, ∞ ) verilsin. Bu durumda Taylor formülünden
f ( t ) = f ( x ) + f ' ( x )( t − x ) +
1
2
2
f "( x )( t − x ) + r ( t; x )( t − x )
2
(4.21)
yazılır. Burada r ( t; x ) kalan terimin Peano formudur, r ( t; x ) ∈ C2* [ 0, ∞ ) ve
lim r ( t; x ) = 0 dır. S n , qn , (4.21) e uygulanır ve eşitliğin her iki tarafı [ n ]q ile
t →x
çarpılırsa
n
58 [ n]q
n
( S ( f ( t ) − f ( x ) ) ) = f ' ( x ) [ n]
n , qn
qn
+
Sn ,qn ( t − x ; x )
((t − x ) ; x )
( r (t ; x )(t − x ) ; x )
1
f " ( x ) [ n]q Sn , qn
n
2
+ [ n ]q Sn ,qn
n
2
(4.22)
2
(
)
elde edilir. Bu eşitliğin son kısmındaki Sn,qn r ( t ; x )( t − x ) ; x ifadesine Cauchy2
Schwarz eşitsizliği uygulanırsa
S n ,qn
(
2
⎛ ⎛ [k ]
⎞⎞
2
2
qn
⎜
⎜
r ( t ; x )( t − x ) ; x ≤ ∑ r k − 2
; x ⎟ ⎟ ( s1/2
n , k ( qn ; x ) )
[ n]qn ⎟⎠ ⎟⎠
k = 0 ⎜ ⎜ qn
⎝ ⎝
)
∞
⎛ [ k ]q
⎞
2
× ∑ ⎜ k − 2 n − x ⎟ ( s1/n ,2k ( qn ; x ) )
[ n]qn ⎟⎠
k = 0 ⎜ qn
⎝
4
∞
= S n ,qn ( r 2 ( t ; x ) ; x ) S n , qn
(4.23)
((t − x ) ; x )
4
bulunur. Diğer yandan r 2 ( x ; x ) = 0 ve r 2 ( t ; x ) ∈ C2* [ 0, ∞ ) olup böylece lim qn = 1
n →∞
olduğundan Teorem 4.2.11 den [ 0, A] aralığında
S n , qn ( r 2 ( t ; x ) ; x ) = r 2 ( x ; x ) ( n → ∞ ) (düzgün),
(4.24)
olur. Bu durumda (4.23), (4.24) ve (4.7) den
(
)
lim [ n]q Sn,qn r ( t; x )( t − x ) ; x ≤ lim Sn,qn ( r 2 ( t; x ) ; x )
n →∞
n
2
n →∞
× lim [ n]q
n →∞
Sn,qn
n
((t − x ) ; x)
4
= lim Sn,qn ( r 2 ( t ; x ) ; x )
(4.25)
n →∞
× lim [ n]q Sn,qn
2
n →∞
n
((t − x ) ; x)
4
= 0. 3x 2 + 6 (1 − a ) x3 + 3 (1 − a ) x 4
2
=0
59 (
)
elde edilir. Yani lim [ n]q Sn,qn r ( t ; x )( t − x ) ; x = 0 olup, böylece (4.22), (4.25),
n →∞
n
2
(4.5) ve (4.6) dan
(
)
lim [ n]q Sn,qn ( f ; x ) − f ( x ) = ( a − 1) x f ' ( x ) +
n→∞
n
elde edilir.
1
f "( x ) ( (1 − a ) x 2 + x )
2
60 KAYNAKLAR
1. Weierstrass, K., “Über die analytische Darstellbarkeit sogennanter
willkürlicher Funktionen reler Argumente”, Sitzungsberichte der Acad.,
Berlin, 633-639, 789-805 (1885).
2. Bernstein, S.N., “Demonstration du theoreme de Weierstrass fondee sur la
calcul des probabilities”, Comm. Soc. Math. Charkow Ser., 2(13):1-2 (1912).
3. Bohman, H., “On approximation of continuous and analytic functions”, Arkif
Für Math., 2(3): 43-56 (1951).
4. Korovkin, P.P., “On convergence of linear positive operators in the space of
continous functions”, Dokl. Akad. Nauk. SSSR (N.S.), 90: 961-964 (1953).
5. Lupaş, A., “A q -analogue of the Bernstein operator”, University of ClujNapoca, Seminar on Numerical and Statistical Calculus, No.9 (1987).
6. Phillips, G.M., “Bernstein polynomials based on the q -integers”, Annals
Num. Math., 4:511-518 (1997).
7. Meyer-König, W.-Zeller, K., “Bernsteinsche potenzreihen”, Studia Math.,
19:89-94 (1960).
8. Trif, T., “Meyer-König ve Zeller operators based on q -integers”, Rev. Anal.
Numer. Theory Approx., 29:221-229 (2000).
9. Rempulska, L., Skorupka, M., “Approximation by generalized MKZoperators in polynomial weighted spaces”, Anal. Theory Appl., 23:64-75
(2007).
10. Erencin, A., Ince, H.G., Olgun, A., “A class of linear positive operators in
weighted spaces”, Math. Slovaca, 62(1): 63-76 (2012).
11. Szasz, O., “Generalization of S. Bernstein’s polynomials to the infinite
interval”, J. Research Nat. Bur. Standards, 45:239-245 (1950).
12. Aral, A., “A generalization of Szasz-Mirakjan operators based on q integers”, Mathematical and Computer Modelling, 47(9-10): 1052-1062
(2008).
61 13. Aral, A., Gupta, V., “The q -derivative and applications to q -Szasz-Mirakjan
operators”, Calcolo, 43(3): 151-170 (2006).
14. Mahmudov, N.I., “On q -Parametric Szasz-Mirakjan Operators”, Mediterr. J.
Math., 7:297-311 (2010).
15. Hacısalihoğlu, H., Hacıyev, A., “Lineer Pozitif Operatör Dizilerinin
Yakınsaklığı”, Ankara, 1-16 (1995).
16. Musayev, B., Alp, M., “Fonksiyonel Analiz”, Balcı Yayınları, Kütahya, 2783 (2000).
17. Gadjiev, A.D., “On P.P. Korovkin type theorems”, Math. Zametki, 20:781786 (1976), Math. Notes, 20:995-998 (1976).
18. Gadjiev, A.D., “The convergence problem for a sequence of positive linear
operators on unbounded sets and theorems analogous to that of P.P.
Korovkin”, Soviet Math. Dokl., 15:1433-1436 (1974).
19. Altomare, F., Campiti, M., “Korovkin-type Approximation Theory and its
Applications”, de Gruyter Studies in Mathematics, 17. Walter de Gryter,
Berlin, New York, xii+627 (1994).
20. Andrews, G.E., Askey, R., Roy, R., “Special Functions”, Cambridge
University Press, (1999).
21. İspir, N., “On modified Baskakov operators on weighted spaces”, Turk. J.
Math., 25:355-365 (2001).
22. Davey, B.A., Priestley, H.A., “Introduction to Lattices and Order”,
Cambridge University Press, 1-2, 33-43 (2002).
23. Altomare, F., “Korovkin-type Theorems and Approximation by Positive
Linear Operators”, Surveys in Approximation Theory, 5: 92-164 (2010).
24. Lopez-Moreno, A.-J., “Weighted simaltaneous approxmation with Baskakov
type operators”, Acta Math. Hungar., 104(1-2): 143-151 (2004).
62 ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, Adı
: ADIGÜZEL, Hakan
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve Yeri : 30.11.1987 Antalya
e-mail
: [email protected]
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Mezuniyet tarihi
Yüksek lisans
Gazi Üniversitesi /Matematik Bölümü
Lisans
Atatürk Üniversitesi/ Matematik Bölümü
2010
Lise
Antalya Atatürk Lisesi
2005
Yabancı Dil
İngilizce
Hobiler
Kitap okumak, müzik dinlemek, gitar çalmak, dans etmek, satranç, sinema, tiyatro.