ANKARA ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ YÜKSEK L

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
q-MEYER-KÖNİG VE ZELLER OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM
ÖZELLİKLERİ
Reyhan CANATAN
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2008
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
q-MEYER-KÖNİG VE ZELLER OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
Reyhan CANATAN
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Doç. Dr. Ogün DOĞRU
Bu yüksek lisans tezi dört bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölümde, lineer pozitif operatörlere ait tanımlar temel özellikleri ile birlikte
verilmiştir. Ayrıca daha sonraki bölümlerde de kullanacağımız Korovkin teoremi bu
bölümde verilmiştir.
İkinci bölümde q-Meyer-König ve Zeller operatörlerinin tanımı yapılmış ve yaklaşım
özellikleri Korovkin teoremi kullanılarak incelenmiştir.
Üçüncü bölümde q-Meyer-König ve Zeller operatörlerinin yaklaşım hızları süreklilik
modülü, Peetre-K fonksiyoneli ve Lipschitz tipli maksimal fonksiyon yardımıyla
incelenmiştir.
Son bölümde ise q-Meyer-König ve Zeller operatörlerinin monotonluk özelliği
incelenmiş ve bu operatörlerin açık formülleri elde edilmiştir.
Ocak 2008, 42 sayfa
Anahtar Kelimeler: Lineer pozitif operatör, Korovkin teoremi, q-Meyer-König ve
Zeller operatörü, süreklilik modülü, Peetre-K fonksiyoneli, Lipschitz tipli maksimal
fonksiyon
i
ABSTRACT
Master Thesis
APPROXIMATION PROPERTIES OF q-MEYER-KÖNİG AND ZELLER
OPERATORS
Reyhan CANATAN
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ogün DOĞRU
This master thesis consists of four chapters.
In the first chapter, the definitions of linear positive operators are given with their
fundamental properties. In addition, Korovkin theorem which we will use following
chapters, is given in this chapter.
In the second chapter, q-Meyer-König and Zeller operators’ definition is given and their
approximation properties are examined with using Korovkin theorem.
In the third chapter, the speed of approximation of q-Meyer-König and Zeller operators
is examined with the help of modulus of continuity, K-functionel of Peetre and the
Lipschitz type maximal function.
In the last chapter, monotonicity properties of q-Meyer-König and Zeller operators are
investigated and the explicit formulas of q-Meyer-König and Zeller operators are
obtained.
January 2008, 42 pages
Key Words: Linear positive operator, Korovkin theorem, q-Meyer-König and Zeller
operator, Modulus of continuity, Peetre’s K-functionel, Maximal function with type of
Lipschitz.
ii
TEŞEKKÜR
Bu tez konusunu bana sağlayan, çalışmalarımda bilgileri, önerileri ve
yönlendirmeleriyle destek veren saygıdeğer hocam, Sayın Doç. Dr. Ogün DOĞRU
(Gazi Üniversitesi Fen Fakültesi)’ ya sonsuz saygılarımı ve teşekkürlerimi sunarım.
Bu tez çalışması Tübitak tarafından desteklenmiştir.
Reyhan CANATAN
Ankara, Ocak 2008
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET.................................................................................................................................. i
ABSTRACT ....................................................................................................................... ii
TEŞEKKÜR ...................................................................................................................... iii
SİMGELER DİZİNİ ......................................................................................................... v
1. GİRİŞ ............................................................................................................................. 1
1.1 Temel Kavramlar ........................................................................................................ 1
2. q-MEYER-KÖNİG VE ZELLER OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM
ÖZELLİKLERİ ............................................................................................................ 8
2.1 q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Tanımı .................................................. 8
2.2 q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Düzgün Yakınsaklığı ........................... 10
3. q-MEYER-KÖNİG VE ZELLER OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM HIZI...... 22
3.1 Süreklilik Modülü ....................................................................................................... 22
3.2 q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Süreklilik Modülü ile Yaklaşım
Hızı................................................................................................................................ 22
3.3 q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Peetre-K Fonksiyoneli ile
Yaklaşım Hızı .............................................................................................................. 25
3.4 q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Lipschitz Tipli Maksimal
Fonksiyon ile Yaklaşım Hızı....................................................................................... 29
4. q-MEYER-KÖNİG VE ZELLER OPERATÖRLERİNİN MONOTONLUĞU
VE AÇIK FORMÜLLERİ ......................................................................................... 32
4.1 q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Monoton Azalanlığı ............................. 32
4.2 q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Açık Formülleri ................................... 37
KAYNAKLAR .................................................................................................................. 41
ÖZGEÇMİŞ....................................................................................................................... 42
iv
SİMGELER DİZİNİ
C
C [a, b]
C 2 [ a, b]
( f n (x ))
K ( f ;δ )
Lip M (α )
(Ln ( f ; x ))
→
Ln ( f ; x ) f ( x )
→
M n ( f ; q; x )
n 
k 
 q
ϕ n, s
ω( f ;δ )
.
.
C [a ,b ]
C 2 [a , b ]
Kompleks sayılar kümesi
[a,b] aralığında tanımlı sürekli ve reel değerli fonksiyonlar cümlesi
g , g ′, g ′′ ∈ C [a, b] olan fonksiyon uzayı
n ∈ N olmak üzere bir fonksiyon dizisi
f fonksiyonunun Peetre-K fonksiyoneli
Lipschitz sınıfı fonksiyonlar
n ∈ N olmak üzere bir operatör dizisi
Ln operatör dizisinin f fonksiyonuna düzgün yakınsaklığı
q-Meyer-König ve Zeller operatörü
q-binom açılımı
s-yinci merkezi moment
f fonksiyonunun süreklilik modülü
C [a, b] uzayında . = max . ile tanımlı norm
a ≤ x ≤b
g
C 2 [a , b ]
= g C [ a ,b ] + g ′
C [a ,b ]
v
+ g ′′ C [a ,b ] ile tanımlı norm
1.GİRİŞ
Bu bölümde lineer pozitif operatörlerin tanımı sağladıkları özelliklerle birlikte verilecek
ve daha sonraki bölümlerde de kullanacağımız tanımlar açıklanacaktır. Bunlara ek
olarak lineer pozitif operatörlerle ilgili olan Korovkin teoremi de bu bölümde yer
alacaktır.
1.1 Temel Kavramlar
Tanım 1.1.1 Tanım ve değer kümesi fonksiyonlardan oluşan dönüşümlere operatör adı
verilir.
Tanım 1.1.2 α, β skaler ve f ve g birer fonksiyon olmak üzere bir L lineer operatörü;
L(αf + βg ) = αL( f ) + βL(g )
şeklinde tanımlıdır.
Tanım 1.1.3 f bir fonksiyon ve L bir operatör olmak üzere eğer;
f ≥0 olduğunda L( f ) ≥ 0
gerçekleniyorsa L operatörüne pozitif operatör denir.
Tanım 1.1.4 Lineerlik ve pozitiflik koşullarını sağlayan L operatörüne, lineer pozitif
operatör denir.
Lemma 1.1.1 Lineer pozitif operatörler monoton artandır.
İspat: f ve g fonksiyonları için,
1
f ≤ g iken L( f ) ≤ L( g )
olduğunu göstermek ispatımız için yeterlidir.
f ≤ g olduğunu kabul edelim. Buradan g − f ≥ 0 olup L nin pozitifliğinden,
L(g − f ) ≥ 0
diyebiliriz. Ayrıca L lineer bir operatör olduğundan,
L( g ) − L( f ) ≥ 0 olup L( g ) ≥ L( f )
olup L nin monoton artanlığı ispatlanmış olur.
Lemma 1.1.2 L lineer pozitif bir operatör ise;
|L( f )| ≤ L(| f |)
gerçeklenir.
İspat: Herhangi bir f fonksiyonu için;
−|f |≤ f ≤ |f |
olduğu açıktır. L lineer pozitif operatörü monoton artan olduğundan;
L(− | f |) ≤ L( f ) ≤ L(| f |)
ve L nin lineerliğinden,
− L(| f |) ≤ L( f ) ≤ L(| f |)
2
yazabiliriz. O halde;
|L( f )| ≤ L(| f |)
dir.
Tanım 1.1.5 Bir [a,b] kapalı aralığında tanımlı, sürekli ve reel değerli tüm
fonksiyonların oluşturduğu kümeye C[a,b] fonksiyon uzayı denir. C[a,b] fonksiyon
uzayında tanımlı olan norm ise;
f
C [a,b ]
= amax
| f (x )|
≤ x ≤b
dir.
Tanım 1.1.6 n ∈ IN olmak üzere ( f n ( x )) dizisine fonksiyon dizisi denir.
Tanım 1.1.7 n ∈ IN olmak üzere (Ln ( f; x )) dizisine operatör dizisi denir.
Tanım 1.1.8 ∀x ∈ [a,b] için;
lim f n − f
n →∞
koşulunu sağlayan
( fn )
C [ a ,b ]
= lim
n→∞
max
a ≤ x ≤b
| f n (x ) − f (x )| = 0
fonksiyonlar dizisi f fonksiyonuna C[a,b] normunda düzgün
yakınsaktır denir ve,
fn → f
→
ile gösterilir.
(
)
Tanım 1.1.9 ϕ n , s = Ln (t − x ) : x , { s=0,1,2,...}
s
şeklinde tanımlı olan ifadeye (Ln ) operatör dizisinin s-yinci merkezi momenti denir.
3
Teorem 1.1.1 P. P. Korovkin Teoremi (1953): f ∈ C [a,b] ve tüm reel eksende
| f (x )| ≤ M f
(1.1.1)
olmak üzere ∀x ∈ [a,b] ve Ln lineer pozitif operatörü için,
i.
Ln (1; x ) →
→1
ii. Ln (t; x ) →
→x
2
iii. Ln (t 2 ; x ) →
→x
koşulları sağlanıyorsa o taktirde her f ∈ C [a,b] için
Ln ( f; x ) →
→ f (x ) ,
a≤ x≤b
dir.
İspat: Kabul edelim ki, f ∈ C [a, b] olsun. Sürekli fonksiyon tanımından dolayı her
pozitif ε sayısına karşılık öyle bir δ bulunabilir ki, t − x ≤ δ için,
f (t ) − f (x ) < ε
olur. (1.1.1) ve üçgen eşitsizliğinden
f (t ) − f ( x ) ≤ f (t ) + f ( x ) ≤ 2 M f
yazabiliriz. Eğer, t − x > δ ise
t−x
δ
(1.1.2)
> 1 olacağından
(t − x )2
δ2
4
>1
(1.1.3)
olur. (1.1.2) ve (1.1.3) den,
f (t ) − f ( x ) ≤ 2 M f
(t − x )2
δ2
yazabiliriz. O halde,
t − x ≤ δ için f (t ) − f (x ) < ε
t − x > δ için f (t ) − f ( x ) ≤ 2 M f
(t − x )2
δ2
olur. Dolayısıyla her x, t ∈ [a, b] için,
f (t ) − f ( x ) < ε + 2 M f
(t − x )2
δ2
gerçeklenir. (i), (ii), (iii) koşullarını gerçekleyen (Ln ) operatör dizisinin
lim Ln ( f (t ); x ) − f ( x ) C [a ,b ] = 0
n →∞
eşitliğini sağladığını göstermek ispatı tamamlayacaktır. Bu eşitliğin sağlandığını
gösterelim.
Ln ( f (t ); x ) − f ( x ) = Ln ( f (t ); x ) − f ( x ) + Ln ( f ( x ); x ) − Ln ( f ( x ); x )
= Ln ( f (t ); x ) − Ln ( f ( x ); x ) + Ln ( f ( x ); x ) − f ( x )
= Ln ( f (t ) − f ( x ); x ) + f ( x )(Ln (1; x ) − 1)
olur. Üçgen eşitsizliği uygulanırsa;
Ln ( f (t ); x ) − f ( x ) ≤ Ln ( f (t ) − f ( x ); x ) + f ( x ) Ln (1; x ) − 1
5
(1.1.4)
yazılabilir. Lemma 1.1.2 den;
Ln ( f (t ); x ) − f ( x ) ≤ Ln ( f (t ) − f ( x ) ; x ) + f ( x ) Ln (1; x ) − 1
olur. (1.1.1) bu eşitsizlikte kullanılırsa;
Ln ( f (t ); x ) − f ( x ) ≤ Ln ( f (t ) − f ( x ) ; x ) + M f (Ln (1; x ) − 1)
yazılabilir. (Ln ) monoton artan olduğundan ve (1.1.4) den ;
Mf


2
Ln ( f (t ); x ) − f ( x ) ≤ Ln  ε + 2 2 (t − x ) ; x  + M f (Ln (1; x ) − 1)
δ


olur. (Ln ) lineer olduğundan;
Mf


 Mf

2
2
Ln  ε + 2 2 (t − x ) ; x  = Ln (ε ; x ) + Ln  2 2 (t − x ) ; x 
δ


 δ

= εLn (1; x ) + 2
Mf
= εLn (1; x ) + 2
Mf
(
Ln t 2 − 2 xt + x 2 ; x
δ2
{L (t ; x ) − x
2
δ2
= εLn (1; x ) + 2
2
+ 2x 2
}
{(L (t ; x ) − x )
Mf
δ
2
n
2
− 2 xLn (t ; x ) + x 2 Ln (1; x ) − x 2
= εLn (1; x ) + 2
− x 2 + 2x 2
}
{L (t ; x ) − x
Mf
δ
2
n
− 2 xLn (t ; x ) + x 2 Ln (1; x )
)
2
2
n
2
+ 2 x( x − Ln (t ; x )) + x 2 (Ln (1; x ) − 1)
yazılabilir. Son ifade (1.1.5) de kullanılırsa;
6
}
(1.1.5)
Ln ( f (t ); x ) − f ( x ) ≤ εLn (1; x ) + 2
Mf
δ2
{(L (t ; x ) − x ) + 2 x(x − L (t; x ))
2
2
n
n
+ x 2 (Ln (1; x ) − 1) } + M f (Ln (1; x ) − 1)
(1.1.6)
(i), (ii), (iii) koşullarının (1.1.6) da kullanılmasıyla,
{
}
lim Ln ( f ) − f := lim max Ln ( f (t ); x ) − f ( x ) = 0
n →∞
n → ∞ a ≤ x ≤b
olup ispat tamamlanır.
7
2. q-MEYER-KÖNİG VE ZELLER OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM
ÖZELLİKLERİ
Bu bölümde q- Meyer- König ve Zeller tipli operatörlerin önce T. Trif daha sonra da O.
Doğru ve O. Duman tarafından yapılan iki farklı tanımı verilecek ve bu tanımlardan
ikincisi için yaklaşım özellikleri, Korovkin teoremi kullanılarak elde edilecektir.
2.1 q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Tanımı
Tanım 2.1.1 Bir k doğal sayısının q-genelleşmesi 0 < q ≤ 1 olmak üzere [k ]q biçiminde
gösterilir ve
[k ]q
 1− qk

1− q

=


 k
;q ≠ 1
;q = 1
n 
şeklinde tanımlanır. Ayrıca, q- binom katsayısı   şeklinde gösterilir ve,
r  q
[n]q
n 
 r  = [r ] ![n − r ] !
 q
q
q
; r = 0,1 ,2 , ...
Biçiminde tanımlanır. Burada [r ]q ! ;
[r ]q [r − 1]q ...[2]q [1]q

[r ]q != 


1
8
; r = 1,2,3,..
; r=0
şeklinde tanımlanır. Verilen bu ifadelerle birlikte x ∈ [0, a ] , a ∈ (0,1) , f ∈ C [0, a ] ,
n ∈ IN , 0 < q ≤ 1 olmak üzere; Trif (2000) tarafından tanımlanan q- Meyer- König ve
Zeller tipli operatör;
∞
 [k ]q
M n,q ( f; x ) = u n,q ( x )∑ f 

k =0  [k + n ]q
 n + k  k

x
  k 
q

; 0 ≤ x <1
(2.1.1)
şeklinde ve Doğru and Duman (2006) tarafından tanımlı diğer bir q-Meyer-König ve
Zeller tipli operatör ise;
∞
 q n [k ]q
M n ( f; q; x ) = u n,q ( x )∑ f 

k =0  [k + n ]q
 n + k  k

x
  k 
q

(2.1.2)
şeklinde olup her iki tanımda da,
n
(
u n,q ( x ) = ∏ 1 − xq s
)
s=0
dir. Her iki şekilde de tanımlı bu operatörlerde q = 1 aldığımızda
M n ( f; x ) = (1 − x )
n+1
∞
 k  n + k  k
 x ; 0 ≤ x < 1
 k 
∑ f  k + n 
k=0
şeklinde tanımlanan klasik Meyer-König ve Zeller operatörlerini elde ederiz.
T. Trif’in (2.1.1) ile verdiği genelleşmeden sonra M n (ei ; q, x) ; i = 0,1,2 şeklindeki
ifadeler için açık formüllerin elde edilebilmesi amacıyla Doğru and Duman (2006)
tarafından (2.1.2) şeklinde ikinci bir genelleşme yapılmıştır.
9
2.2 q- Meyer- König ve Zeller Operatörlerinin Düzgün Yakınsaklığı
Lemma 2.2.1 ∀n ∈ IN , x ∈ [0, a ] (0 < a < 1) ve ∀ 0 < q ≤ 1 için;
M n (1; q; x ) = 1
dir.
İspat:
 N + k − 1 k
1
x
; x <1

N −1
k
k =0 
 q (1 − x )... 1 − xq
∞
∑
(
)
eşitliği bilinmektedir (Andrews et al. 1999). Bu eşitlikte N yerine n+1 alırsak;
n + k  k
1
x =
=

(1 − x )... 1 − xq n
k=0  k  q
∞
∑
(
)
1
∏ (1 − xq )
n
s
s=0
elde edilir. O halde,
∞
k + n  k
M n (1; q; x ) = u n,q ( x )∑ 
 x
k =0  k  q
n
(
= ∏ 1 − xq s
s=0
)
1
∏ (1 − xq )
n
s
s=o
=1
olup, istenilen elde edilir.
Lemma 2.2.2 n ∈ IN , x ∈ [0, a ] (0 < a < 1) ve ∀ 0 < q ≤ 1 için;
M n (t; q; x ) = q n x
10
dir.
İspat:
∞
M n (t; q; x ) = u n;q ( x )∑
k=0
∞
= u n,q ( x )∑
k =1
q n [k ]q k + n  k
x
[k + n]q  k  q
q n [k ]q
[k + n]q ! k
x
[k + n]q [k ]q ![n]q !
∞
= u n,q ( x )∑ q n
k=1
∞
= u n,q ( x )∑ q n
k=0
[k + n − 1]q ! k
x
[k − 1]q ![n]q !
[k + n]q ! k+1
x
[k ]q ![n]q !
∞
k + n k
= q n xu n,q ( x )∑ 
 x
k=0  k  q
n
=q x
olup, istenilen elde edilir.
Lemma 2.2.3 ∀n ∈ IN , x ∈ [0, a ] ve 0 < a < 1 , ∀ 0 < q ≤ 1 için;
(q
2n
)
(
)
(
)
− 1 x 2 ≤ M n t 2 ; q; x − x 2 ≤ q 2n+1 − 1 x 2 +
q 2n x
[n]q
dir.
İspat: Öncelikle 0 < q ≤ 1 için;
q[k − 1]q = [k ]q − 1
(2.2.1)
[k + n −1]q ≤ [k + n]q
(2.2.2)
[n]q ≤ [k + n]q
(2.2.3)
11
olduklarını gösterelim.
[k ]q = 1 − q
k
1− q
olduğunu biliyoruz. Buradan;
[k ]q − 1 = 1 − q
k
1− q
−1=
(
)
1 − q k − 1 + q q − q k q 1 − q k −1
=
=
= q[k − 1]q
1− q
1− q
1− q
olup, (2.2.1) eşitliği gerçeklenir.
[k + n − 1]q
=
1 − q k +n−1
1− q
olup, 0 < q ≤ 1 için;
1 − q k +n −1 1 − q k +n
≤
= [k + n]q
1− q
1− q
dir. Buradan;
[k + n −1]q ≤ [k + n]q
eşitsizliği gerçeklenir. Benzer şekilde,
[n]q = 1 − q
n
1− q
≤
1 − q n+k
= [n + k ]q
1− q
olup;
[n]q ≤ [n + k ]q
12
(2.2.3) eşitsizliği gerçeklenir. Şimdi bu eşitsizlikleri kullanarak Lemma 2.2.3 ü
ispatlayalım.
(
)
∞
M n t ; q; x = u n,q ( x )∑
2
k=0
∞
= u n,q ( x )∑
k =1
∞
= u n,q ( x )∑
q 2n [k ]q k + n k
x
[k + n]q 2  k  q
2
q 2n [k ]q
[k + n]q ! k
x
[k + n]q [k ]q ![n]q !
2
2
q 2n ([k ]q − 1+ 1) [k + n − 1]q !
[k + n]q
k =1
[k − 1]q ![n]q !
xk
[k ]q − 1 [k + n − 1]q ! k
x
[k + n]q [k − 1]q ![n]q !
∞
= q 2n u n,q ( x )∑
k =1
[k + n − 1]q ! k
1
x
[k + n]q [k − 1]q ![n]q !
∞
+ q 2n u n,q ( x )∑
k =1
q[k − 1]q [k + n − 1]q !
∞
= q 2n u n,q ( x )∑
[k + n]q [k − 1]q ![n]q !
k =1
xk
[k + n − 1]q ! k
1
x
[k + n]q [k − 1]q ![n]q !
∞
+ q 2n u n,q ( x )∑
k =1
[k + n − 1]q [k + n − 2]q ! k
x
[k + n]q [k − 2]q ![n]q !
∞
= q 2n+1u n,q ( x )∑
k=2
[k + n − 1]q ! k
1
x
k =1 [k + n ]q [k − 1]q ![n ]q !
∞
+ q 2n u n,q ( x )∑
∞
= q 2n+1 x 2 u n,q ( x )∑
k=0
∞
+ q 2n xu n,q ( x )∑
k=0
[k + n +1]q k + n k
x
[k + n + 2]q  k  q
k + n k
1
x
[k + n + 1]q  k  q
olduğundan, (2.2.2) ve (2.2.3) eşitsizliklerinden dolayı,
∞
k + n  k
M n t 2 ; q; x ≤ q 2n+1 x 2 u n,q ( x )∑ 
 x
k=0  k  q
(
)
13
(2.2.4)
1 k + n  k
x
[n]q  k  q
∞
+ q 2n xu n,q ( x )∑
k=0
= q 2n+1 x 2 + q 2n x
1
[n] q
elde edilir. Dolayısıyla;
(
)
(
)
M n t 2 ; q; x − x 2 ≤ q 2 n +1 − 1 x 2 +
q 2n
x
[n]q
(2.2.5)
dir. Diğer taraftan (2.2.4) eşitliğinden,
(
)
∞
M n t 2 ; q; x = q 2n u n,q ( x )∑ q
k =0
[k + n +1]q k + n k+2
x
[k + n + 2]q  k  q
k + n  k+1
1
x
[k + n + 1]q  k  q
∞
+ q 2n u n,q ( x )∑
k=0
olup, (2.2.1) de k yerine k+n+2 alınırsa;
q[k + n + 1]q = [k + n + 2]q − 1
elde edilir. Bu son eşitlik (2.2.6) da yerine yazılırsa,
(
)
[k + n + 2]q − 1 k + n k+2
x
[k + n + 2]q  k  q
∞
M n t 2 ; q; x = q 2n u n,q ( x )∑
k=0
k + n  k+1
1
x
[k + n + 1]q  k  q
∞
+ q 2n u n,q ( x )∑
k=0
∞
k + n k
= q 2n x 2 u n,q ( x )∑ 
 x
k=0  k  q
∞
− q 2n x 2 u n,q ( x )∑
k =0
k + n  k
1
x
[k + n + 2]q  k  q
14
(2.2.6)
k + n k
1
x
[k + n + 1]q  k  q
∞
+ q 2n xu n,q ( x )∑
k=0
bulunur. Son eşitlikteki ikinci ifadede (2.2.2) eşitsizliğini uygularsak x ∈ [0, a ]
(0 < a < 1) olduğundan;
(
)
M n t 2 ; q; x ≥ q 2n x 2
∞
− q 2n x 2 u n,q ( x )∑
k =0
∞
+ q 2n x 2 u n,q ( x )∑
k =0
k + n k
1
x
[k + n + 1]q  k  q
k + n k
1
x
[k + n + 1]q  k  q
2n 2
=q x
elde ederiz. Buradan;
(
)
(
)
M n t 2 ; q; x − x 2 ≥ q 2n − 1 x 2
(2.2.7)
olup (2.2.5) ve (2.2.7) den Lemma 2.2.3 ün ispatı tamamlanır.
Teorem 2.2.1 0 < q n ≤ 1 olup lim q nn = 1 ve lim
n→ ∞
n →∞
1
= 0 limitleri sağlanıyorsa (2.1.2)
[n]q
şeklinde tanımlanan M n ( f; qn ; x ) , q-Meyer-König ve Zeller operatörü [0, a ] (0 < a < 1)
aralığında sürekli ve tüm IR de sınırlı olan f fonksiyonuna bu aralıkta düzgün
yakınsar.
İspat: Önce M n ( f; q; x ) in lineer ve pozitif bir operatör olduğunu gösterelim:
i. M n ( f; q; x ) lineerdir.
∀α , β ∈ IR ve f, g ∈ C [0, a ] , (0 < a < 1) için;
∞ 
 q n [k ]q
M n (αf (t )+ βg (t ); q; x ) = u n,q ( x )∑  αf 
  [k + n ]q
k =0
 
15
 q n [k ]q

 + βg 

 [k + n ]
q


  k + n  k

x
   k 
q

∞
 q n [k ]q
= u n,q ( x )∑ α f 
 [k + n]
k =0
q

∞
 q n [k ]q
+ u n,q ( x )∑ β g 
 [k + n]q
k=0

 k + n k

x
 k 
q

 k + n  k

x
  k 
q

∞
 q n [k ]q
= αu n,q (x )∑ f 

k=0  [k + n ]q
 k + n  k

x
  k 
q

∞
 q n [k ]q
+ βu n,q ( x )∑ g 

k =0  [k + n ]q
 k + n  k

x
  k 
q

= αM n ( f; q; x ) + βM n ( g; q; x )
olup (M n ) lineer bir operatördür.
ii. M n ( f; q; x ) pozitiftir.
∞
M n ( f; q; x ) = u n,q ( x )∑
k=0
 q n [k ]q
f
 [k + n]q

n
(
u n,q ( x ) = ∏ 1 − xq s
 n + k  k

x
  k 
q

)
s=0
∏ (1 − xq ) ≥ 0 (x ∈ [0, a]; 0 < a < 1; 0 < q ≤ 1)
n
s
s=o
ve;
k + n  k
 k  x ≥0

q
olup;
 q n [k ]q
f ≥ 0 iken f 
 [k + n]q

16

≥0


olacağından ;
M n ( f; q; x ) ≥ 0
olup
(M n )
operatörü pozitif bir operatördür. O halde Korovkin teoreminin
hipotezlerinin geçerli olduğunu göstermek ispatı tamamlayacaktır.
∀n ∈ IN , x ∈ [0, a ] (0 < a < 1) ve ∀0 < q ≤ 1 için;
i. M n (1; q; x ) = 1
ii. M n (t; q; x ) = q n x
iii. (q 2n − 1)x 2 ≤ M n (t 2 ; q; x ) − x 2 ≤ (q 2n+1 − 1)x 2 +
q 2n x
[n]q
ifadelerinde q = (q n ) dizisi seçilirse (0 < q n ≤ 1) ;
lim q nn = 1 ve lim
n →∞
n→ ∞
1
= 0
[n]q
için;
i. M n (1; q n ; x )→
→1
ii. M n (t; q n ; x )→
→x
2
iii. M n (t 2 ; q n ; x )→
→x
sağlanır ve Korovkin teoreminden dolayı ispat tamamlanır. Şimdi gerçekten de bu
teoremin hipotezine uyan (q n ) dizilerinin bulunabileceğini görelim.
17
r
r
r
1


 r
Örnek 2.2.1 e n 1 −  ≥ e n 1 −  ; r ≥ 1 ve r < n
 n
 n
(2.2.8)
dir.
r
Gerçekten e n > 0 olduğundan;
r
 1
 r
1 −  ≥ 1 − 
 n
 n
olduğunu göstermek ispat için yeterli olacaktır.
r ≥ 1 ve r < n
olmak üzere;
n −1 ≥ n − r
dir. ln artan bir fonksiyon olduğundan;
ln(n − 1) ≥ ln (n − r )
ln(n − 1) − ln (n ) ≥ ln (n − r ) − ln(n )
 n −1
n−r
ln
 ≥ ln

 n 
 n 
 n −1
n−r
rln
 ≥ ln

 n 
 n 
 1 r 
 r
ln 1 −   ≥ ln1 − 
 n  
 n


r
r
 1
1 −  ≥ 1 −
n
 n
18
(2.2.9)
r
r
1
r
1
r




 r
e n 1 −  ≥ e n 1 −  ≥ e n 1 − 
 n
 n
 n
olup, ispat tamamlanır.
1
1
 1
Örnek 2.2.2 q n = e n 1 −  seçersek 0 < q n ≤ 1 olup lim q nn = 1 ve lim
=0
n→ ∞
n →∞ [n ]q
 n
koşulları sağlanır.
Gerçekten,
n
 1

 n  1 
n
lim q n = lim e 1 −  = ee −1 = 1
n→ ∞
n→ ∞
  n 


olup, (2.2.8) eşitsizliğinden dolayı,
[n]q
n
= 1+ q n + q n2 + ... + q nn−1
=1 + e
1
n
1
1
1


 2
 n −1
≥ 1+ e n 1 −  + e n 1 −  + ... + 1 −

n 
 n
 n

n −1
2
(2.2.12)
ve dolayısıyla da,
0<
1
≤
[n] q
olur. Sıkıştırma teoremi gereğince
1
1
n −1
1+ e n
2
n → ∞ için limit aldığımızda
lim
n →∞
gerçeklenir.
19
1
=0
[n]q
Teorem 2.2.2 q-Meyer-König ve Zeller operatörlerinin ilk üç merkezi momentleri;
i. ϕ n,0 (x ) = 1
ii. ϕ n,1 (x ) = x(q n − 1)
iii. ϕ n ,2 ( x ) ≤ x 2 (q n − 1) +
2
q 2n x
[n]q
şeklindedir.
(
İspat: ϕ n,0 (x ) = M n (t − x ) ; q; x
0
)
= M n (1; q; x )
=1
olup (i) ifadesi gerçeklenir.
ϕ n ,1 ( x ) = M n (t − x; q; x )
= M n (t; q; x ) − M n ( x; q; x )
= M n (t; q; x ) − xM n (1; q; x )
n
= q x− x
(
)
= x q n −1
olup, (ii) ifadesi gerçeklenir.
(
ϕ n,2 ( x ) = M n (t − x )2 ; q; x
)
ϕ n,2 ( x ) = M n (t 2 ; q; x ) − 2xM n (t; q; x ) + x 2 M n (1; q; x )
ϕ n,2 ( x ) ≤ q 2n+1 x 2 +
q 2n x
− 2xq n x + x 2
[n]q
20
(
) q[n] x
= x 2 q 2n+1 − 2q n +1 +
2n
q
ϕ n,2 (x ) ≤ x 2 (q n − 1) +
2
q 2n x
[n]q
olup, (iii) ifadesi gerçeklenir.
21
3. q-MEYER-KÖNİG VE ZELLER OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM HIZI
Bu bölümde (2.1.2) şeklinde tanımlanan q-Meyer-König ve Zeller tipli operatörlerin
yaklaşım hızlarını Süreklilik modülü, Peetre-K fonksiyoneli ve Lipschitz tipli maksimal
fonksiyon yardımıyla yaklaşım hızlarına ait özellikler incelenecektir.
3.1 Süreklilik Modülü
f ∈ C [a,b] ve ∀ δ > 0 için;
ω( f; δ ) = sup | f (t ) − f ( x )|
x ,t∈[a ,b ]
x − t ≤δ
(3.1.1)
ile tanımlanan ω( f; δ ) ifadesine f fonksiyonunun süreklilik modülü denir. Süreklilik
modülü aşağıdaki özelliklere sahiptir:
i. ω( f; δ ) ≥ 0
ii. δ1 ≤ δ2 ise ω( f; δ1 ) ≤ ω( f; δ2 )
iii. m ∈ IN için ω( f; mδ ) ≤ mω( f; δ )
iv. λ ∈ IR + için ω( f; λδ ) ≤ ( λ + 1)ω( f; δ )
v. lim ω( f; δ ) = 0
δ →0
vi. | f (t ) − f ( x )| ≤ ω( f;|t − x|)
 |t − x| 
vii. | f (t ) − f ( x )| ≤ 
+1ω( f; δ )
 δ

3.2 q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Süreklilik Modülü ile Yaklaşım Hızı
Bu kısımda (2.1.2) ile verdiğimiz q-Meyer-König ve Zeller operatörlerinin yaklaşım
hızını (3.1.1) şeklinde tanımlanmış olan süreklilik modülünü kullanarak hesaplayacağız.
22
Teorem 3.2.1 0 < q n ≤ 1 ve ∀n ∈ IN için;
f ∈ C [0, a] , (0 < a < 1) olmak üzere;
M n ( f; q n ; x ) − f
C [0 , a ]
≤ 2ω( f; δn )
(3.2.1)
aq n2n
[n]q
(3.2.2)
sağlanır. Burada;
(1 − q )
n 2
n
δn =
a2 +
dir.
İspat: f ∈ C [0, a ] , (0 < a < 1) ve ∀n ∈ IN olmak üzere M n ( f; qn ; x ) operatörlerinin
lineer ve pozitifliğinden dolay;
|M n ( f; q n ; x ) − f (x )| = |M n ( f (t ) − f (x ); q n ; x )|
|M n ( f; qn ; x;) − f (x )| ≤ M n (| f (t ) − f (x )|; qn ; x )
yazılabilir. Süreklilik modülünün (vii) özelliği ve operatörün monotonluğundan dolayı,
|M n ( f; qn ; x ) − f (x )| ≤ M n  ω( f; δ ) |t − x| +1; qn ; x 

 δ


elde edilir. Operatörün lineerliğinden,
|M n ( f; qn ; x ) − f (x )| ≤ ω( f; δ ) M n (|t − x|; qn ; x )+ ω( f; δ )M n (1; qn ; x )
δ
yazabiliriz.
23
(3.2.3)
∞  q n [k ]
k + n  k
q
n
M n (|t − x|; q n ; x ) = u n,q ( x )∑
− x
 x
n
k
k =0[k + n ]q
q

∞  q n [k ]

k + n  k
q
n
= ∑
− xu n,q ( x )
 x
n
k
k =0[k + n ]q

q

1
 q [k ]q
= ∑
k =0[k + n ]q
∞
1

k + n  k  2 
k + n  k  2
(
)
− x u n,q ( x )
x
u
x
x
 n  k 
  n,qn  k 


q
q
 

n
n
Burada Cauchy-Schwarz eşitsizliği uygulanırsa;
1
1
2
 ∞  q n [k ]

k + n  k  2  ∞
k + n  k  2
q
n



M n (|t − x|; q n ; x ) ≤  ∑
x
u
(
x
)
x
− x u n,q ( x )
∑
n,
q
n

k  q   k=0 n  k  q 
 k=0  [k + n]q




[ (
= M n (t − x ) ; q n ; x
2
)]2
1
= (ϕ n , 2 ( x ))2
1
dir. Bu eşitsizliği (3.2.3) de yerine yazarsak;
|M n ( f; q n ; x ) − f (x )| ≤ ω( f; δ ) [ϕ n,2 (x )]2 + ω( f; δ )
1
δ
1
q n2n x  2
2
ω( f; δ )  2 n
|M n ( f; q n ; x ) − f (x )| ≤
+ ω( f; δ )
 x qn − 1 +
[n]q 
δ 
(
)
1



 
2n 
2
qn x 2 
1 2 n
 +1
|M n ( f; qn ; x ) − f (x )| ≤ ω( f; δ )  x qn − 1 +
[n]q  
 δ 


(
M n ( f; q n ; x ) − f ( x ) C [0, a ]
)
1


2n
 1 
q a  2 
2
≤ ω( f; δ ) a 2 q nn − 1 + n  + 1
[n]q  
 δ 


(
)
24
bulunur. Burada δ = δn =
(1 − q )
n 2
n
aq n2n
seçilmesiyle;
a +
[n]q
2
1

M n ( f; q n ; x ) − f ( x ) C [0,a ] ≤ ω( f; δ n ) δ n + 1 ,
 δn

yani,
M n ( f; q n ; x ) − f ( x ) C [0,a ] = 2ω( f; δ n )
bulunur.
3.3 q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Peetre-K Fonksiyoneli ile Yaklaşım
Hızı
Bu kısımda Peetre-K fonksiyonelinin tanımı yapılacak ve bu tanım kullanılarak qMeyer-König ve Zeller operatörlerinin bu fonksiyonel ile yaklaşım hızı bulunacaktır.
Tanım 3.3.1 (Peetre-K Fonksiyoneli):
f ∈ C [a,b] , δ ≥ 0 olmak üzere;
K ( f; δ ) = in2 f
g∈C [a ,b ]
{ f −g
C [a ,b ]
+δ g
C 2 [ a ,b ]
}
(3.3.1)
şeklinde tanımlanan ifadeye Peetre-K fonksiyoneli denir. Burada
g
C 2 [ a ,b ]
= g
C [a,b ]
+ g'
dir.
25
C [a,b ]
+ g ''
C [a,b ]
(3.3.2)
Lemma 3.3.1 (İntegral Bağıntısı): g ( x ) fonksiyonu [0, a ] aralığında ikinci basamaktan
sürekli türevlenebilir bir fonksiyon ise;
t
g (t ) − g ( x ) = g (x )(t − x )+ ∫ g '' (s )(t − s )ds
'
(3.3.3)
x
sağlanır.
İspat:
t
∫ g (s )(t − s )ds
''
x
integraline kısmi integrasyon uygulayalım;
t − s = u ise − ds = du
olup,
g '' (s )ds = dv ise g ' (s ) = v
bulunur. Bunun (3.3.4) de yerine konulmasıyla;
t
t
t
∫ g (s )(t − s )ds = (t − s )g (s ) Ix + ∫ g (s )ds
''
x
'
'
x
= (t − t )g ' (t ) − (t − x )g ' ( x )+ g (t ) − g ( x )
ve buradan da,
t
g (t ) − g ( x ) = g ' (x )(t − x )+ ∫ g '' (s )(t − s )ds
x
26
(3.3.4)
elde edilir.
Teorem 3.3.1: (q n ) dizisi 0 < q n ≤ 1 ∀n ∈ IN , ∀f ∈ C [0, a ] , 0 < a < 1 için;
M n ( f; q n ; x ) − f
C [0 , a ]
≤ 2K ( f; δ n )
dir. Burada;
δn
(1 − q )a + (1 − q ) a
=
n 2
n
n
n
2
2
4
+
q n2n a
4[n ]q
dir.
İspat: Lemma 3.3.1 ile verilen integral bağıntısının kullanılmasıyla;
t
 '


M n ( g (t ) − g ( x ); q n ; x ) = M n  g ( x )(t − x ) + ∫ g '' (s )(t − s )ds; q n ; x 
x


t

= M n (g ' ( x )(t − x ); q n ; x )+ M n  ∫ g ′′(s )(t − s )ds; q n ; x 
x

olur. Son eşitliğin her iki yanından mutlak değer alır ve üçgen eşitsizliğini kullanırsak;
  t ''

|M n (g (t ) − g (x ); qn ; x )| ≤ M n g (x )(t − x ); q n ; x +M n  ∫ g (s )(t − s )ds; q n ; x 

 x
| (
)|
'
ve dolayısıyla da,
|M n (g (t ) − g (x ); q n ; x )| ≤
g ′ C [0,a ] |M n (t − x; q n ; x )|
 t

+ g
M n  ∫ (t − s )ds; q n ; x 
C [0 , a ]

 x
''
27
= g'
C [0, a ]
|ϕ (x )|+ 1
n ,1
2
g ''
C [0, a ]
|ϕ (x )|
(3.3.5)
n ,2
elde ederiz. Teorem 2.2.2 den,
ϕ n ,1 ( x ) = x(q nn − 1) ise |ϕ n ,1 ( x )| ≤ x (1 − q nn )
(3.3.6)
ve,
ϕ n ,2 ( x ) ≤ x 2 (q nn − 1) +
2
(
ise |ϕ n ,2 ( x )| ≤ x 2 1 − q nn
q n2n x
[n]q
) + q[n] x
2n
n
2
(3.3.7)
q
eşitsizliklerinin sağlandığı açıktır. Bu eşitsizlikleri (3.3.5) de yerine yazarsak;
|M n (g (t ) − g (x ); q n ; x )| ≤
(
)
g ′ C [0,a ] x 1 − q nn +
1 ''
g
2
 2
n
 x 1 − qn
C [0, a ]

(

) + q[n] x 

2
2n
n
(3.3.8)
q
olup, (3.3.2) eşitliğinin de (3.3.8) de kullanılmasıyla;
(

x 2 1 − q nn
n
|M n (g (t ) − g (x ); qn ; x )| ≤  x 1 − qn +
2

(
)
)
2
q n2n x 
+
g
2[n]q 
(3.3.9)
C 2 [0 , a ]
elde edilir. Diğer taraftan (3.3.8) den;
|M n ( f; qn ; x ) − f (x )| = M n ( f ; q n ; x ) − f (x ) + M n (g ; q n ; x ) − M n (g ; q n ; x ) + g (x ) − g (x )
|M n ( f; qn ; x ) − f (x )| ≤ |M n ( f
− g ); q n ; x|+ |M n ( g; q n ; x ) − g ( x )| + | f ( x ) − g ( x )|
|M n ( f; qn ; x ) − f (x )| ≤
C [0, a ]
f −g
|M n (1; qn ; x )|
) (
)
2

1 − q nn x 2 q n2n x 
n
+  x 1 − qn +
+
g
2
2[n ]q 

(
olup;
28
C 2 [0 ,a ]
+ f −g
C [0 , a ]
(3.3.10)
) (
)
2

1 − q nn x 2 q n2n x 
n
|M n ( f; qn ; x ) − f (x )| ≤ 2 f − g C [0,a ] +  x 1 − qn +
+
 g
2
2[n]q 

(
C 2 [0 ,a ]
bulunur. Son eşitsizlikte g ∈ C 2 [0, a ] üzerinden infimum alırsak;
M n ( f; q n ; x ) − f ( x ) C 2 [0,a ] ≤ 2K ( f; δ n )
elde edilir. Burada;
δn
(1 − q )a + (1 − q ) a
=
n 2
n
n
n
2
4
2
+
q n2n a
4[n ]q
dir.
3.4 q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Lipschitz Tipli Maximal Fonksiyon
ile Yaklaşım Hızı
Bu kısımda öncelikle Lipschitz sınıfındaki fonksiyonlar ve B.Lenze tarafından
tanımlanan Lipschitz tipli maximal fonksiyon kavramları hatırlatılacaktır.
Tanım 3.4.1 (Lipschitz sınıfından olan fonksiyonlar): 0 < α ≤ 1 olmak üzere
| f (t ) − f (x )| ≤ M |t − x|α
(3.4.1)
koşulunu sağlayan fonksiyonlara Lipschitz sınıfından olan fonksiyonlar denir. Bu
tanımda geçen M sabiti ise Lipschitz sabiti olarak adlandırılır. Lipschitz sınıfında olan
fonksiyonlar f ∈ Lip M (α ) ile gösterilir.
Tanım 3.4.2 (Lipschitz tipli maximal fonksiyon): 0 < α ≤ 1 , f ∈ Lip M (α ) olmak
üzere;
29
f (t ) − f ( x)
ω~α ( f ; x ) = sup
t−x
t≠x
t∈[0 ,a ]
α
; x ∈ [0, a ]
(3.4.2)
ifadesine Lipschitz tipli maximal fonksiyon denir. Bu fonksiyon B. Lenze tarafından
tanımlanmıştır (Lenze 1990). Açıkça görülmektedir ki ω~ ( f ; x ) in sınırlı olması f nin
α
Lipschitz sınıfından olmasını gerektirir.
Teorem 3.4.1: f ∈ Lip M (α ) , 0 < α ≤ 1 , 0 < q n ≤ 1 olmak üzere;
α


|M n ( f; q n ; x ) − f (x )| ≤ (q nn − 1)2 x 2 + q x 2 ω~α ( f ; x)
[n]q 

2n
n
İspat: |M n ( f; q; x ) − f ( x )| = |M n ( f (t ) − f ( x ); q; x )|
  q n [k ]q
= u n ,q ( x )∑  f 

k =0 
  [k + n ]q
∞
 k + n k

 − f ( x ) 
 x

  k  q

n
(
f ∈ C [0, a] , a ∈ (0,1) , 0 < q ≤ 1 , n ∈ IN , u n,q ( x ) = ∏ 1 − xq s
s=0
ve,
| f (t ) − f (x )| ≤ ω~ ( f ; x)
α
|t − x|α
ifadelerini (3.4.3) de kullanırsak;
30
)
(3.4.3)
 q n [k ]q

k + n k
|M n ( f; q; x ) − f (x )| ≤ u n,q (x )∑
− x ω~α ( f ; x) 
 x
k
k =0[k + n ]q

q

α
∞
∞ q n [k ]
k + n k
q
~
= ωα ( f ; x)∑
− x u n,q ( x) 
 x
k = 0 [k + n ]q
 k q
α
p=
2
α
, q=
(3.4.4)
2
1 1
seçersek + = 1 olur. (3.4.4) eşitsizliğine Hölder eşitsizliği
2 −α
p q
uygulanırsa ;
α
2
2
 ∞  q n [k ]

k + n k 

q
~
|M n ( f; q; x ) − f (x )| ≤ ωα ( f ; x)∑ 
− x  u n,q ( x) 
 x 

k
 k =0  [k + n ]q

 q 


2−α

k + n k 
. ∑ u n,q ( x )
 x 
 k=0
 k  q 
∞
2
α
|M n ( f; q; x ) − f (x )| ≤ ω~α ( f ; x)[ϕ n, 2 (x )] 2
α
2n  2

|M n ( f; q; x ) − f (x )| ≤ ω~α ( f ; x) x 2 q n − 1 2 + q x 
[n]q 

(
)
(3.4.5)
Bu bölümde verilen Teorem 3.2.1, Teorem 3.3.1 ve Teorem 3.4.1 de elde edilen
ifadelerde, q = q n , 0 < q n ≤ 1 , lim q nn = 1 ve lim
n→ ∞
n→∞
f ( x ) e yaklaşım hızı elde edilir.
31
1
= 0 seçilirse M n ( f ; q n ; x ) in
[n]q
4. q-MEYER-KÖNİG VE ZELLER OPERATÖRLERİNİN MONOTONLUĞU
VE AÇIK FORMÜLLERİ
Bu bölümde q-Meyer-König ve Zeller operatörlerinin monoton azalan olduğunu
göstereceğiz ve bu operatörlerin momentleri için açık formüller elde edeceğiz.
4.1 q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Monoton Azalanlığı
Öncelikle aşağıdaki Lemmayı verelim:
Lemma 4.1.1: Eğer α :=
[n +1]q
[n + k +1]q
ve β :=
q n+1 [k ]q
[n + k +1]q
α + β =1
olur.
İspat:
α+ β =
=
[n + 1]q
+
q n+1 [k ]q
[n + k +1]q [n + k + 1]q
[n +1]q + q n+1 [k ]q
[n + k +1]q
(
1 − q n+1 q n+1 1 − q k
+
1− q
1− q
=
[n + k + 1]q
)
1 − q k +n+1
1− q
=
[n + k + 1]q
=
[n + k + 1]q
[n + k + 1]q
=1
bulunur.
32
seçilirse;
Tanım 4.1.1: α , β ∈ [0,1] ve α + β = 1 olmak üzere;
f (αx + βy ) − αf ( x ) − βf ( y ) ≤ 0
koşulunu sağlayan f fonksiyonuna konvekstir denir.
Teorem 4.1.1: ∀n ∈ IN , 0 < q ≤ 1 ve x ∈ [0, a ] olmak üzere eğer, f :[0, a ] → IR + bir
(M n ( f; q; x ))n≥1 operatörü
konveks ve artan bir fonksiyon ise
de n indisine göre
monoton azalandır.
İspat: M n ( f; q; x ) − M n+1 ( f; q; x ) ≥ 0 olduğunu göstermek ispat için yeterli olacaktır.
M n ( f; q; x ) − M n+1 ( f; q; x ) = ∏ (1 − xq
s
k=0
s=0
(
n+1
− ∏ 1 − xq
)∑
∞
n
)∑
∞
s
k=0
s=0
∏ (1 − xq )∑
∞
n
=
s
k=0
s=0
(
n
− ∏ 1 − xq
k=0
s=0
n
(
s
k=0
s=0
s
k=0
s=0
s
s=0
(
= ∏ 1 − xq
s=0
)∑
∞
n
n
)∑
∞
n
+ ∏ (1 − xq
)∑
∞
= ∏ 1 − xq
− ∏ (1 − xq
)∑
∞
s
k=0
)∑
∞
s
k=0
 q n [k ]q
f
 [n + k ]q

 n + k  k

x
  k 
q

 q n+1 [k ]q
f
 [n + k + 1]q

 q n [k ]q
f
 [n + k ]q

 n + k 

xk
  k 
q

 q n+1 [k ]q
f
 [n + k + 1]q

 q n [k ]q
f
 [n + k ]q

 n + k + 1 k

x
  k 
q

 n + k + 1 k

x 1 − xq n+1
  k 
q

(
 n + k  k

x
  k 
q

 q n+1 [k ]q
f
 [n + k + 1]q

 n + k + 1 k

x
  k 
q

 q n+1 [k ]q
f
 [n + k + 1]q

 n + k + 1 n+1 k +1

q x
  k 
q

 q n [k ]q
f
 [n + k ]q

33
 n + k  k

x
  k 
q

)
n
(
− ∏ 1 − xq
k=0
s=0
n
)∑
∞
s
(
+ ∏ 1 − xq s
s=0
 q n+1 [k ]q
f
 [n + k + 1]q

)∑ f  q [n +[k k−]1]
∞

k =1

q
q
)
 n 0
  x
 0
 q
n
∞
 q n [k ]q
+ ∏ (1 − xq s )∑ f 

k =1  [n + k ]q
s=0
n
 q n+1 [0]q
− ∏ 1 − xq s f 
 [n + 1]q
s=0

n
(
)∑ f  [nq+ k[+k ]1]
 n + k + 1 k

x
  k 
q

)∑ f  q [n [+k k−]1]
 n + k  n +1 k

q x
  k − 1 

q
(
+ ∏ 1 − xq s
s =0
(
= ∏ 1 − xq
(
− ∏ 1 − xq

k =1

∞

k =1

)∑
k =1
+ ∏ (1 − xq
q
n +1
 q n [k ]q
f
 [n + k ]q

q
q
 n + k  k

x
  k 
q

 n + k +1 k

x
  k 
q

)∑
 q n+1 [k − 1]q
f
 [n + k ]q

 n + k  n+1 k

q x
  k − 1 
q

∞
s
q
)∑
k =1
n
n+1
 q n+1 [k ]q
f
 [n + k +1]q

∞
s
s=0
s=0
∞
∞
s
s=0
n
 n + 1 0

x
  0 
q

)
s=0
n
 n + k  k

x
  k 
q

(
− ∏ 1 − xq s
n
 n + k  n+1 k

q x
  k − 1 
q

n+1
n
 q n [0]q
= ∏ 1 − xq s f 
 [n]q
s=0

(
 n + k + 1 k

x
  k 
q

k =1
(4.1.1)
[n + k ]q !
[n + k +1]q ![n +1]q
[n +1]q n + k +1
n + k 
 k  = [k ] ![n ] ! = [n + k + 1] [n +1] ![k ] ! = [n + k + 1]  k 

q
q
q
q
q
q
q
q 
(4.1.2)
[n + k ]q !
[n + k + 1]q ![k ]q
[k ]q n + k +1
n + k 
=
=
=
 k − 1



 q [k − 1]q ![n + 1]q ! [n + k + 1]q [k ]q ![n + 1]q ! [n + k + 1]q  k  q
(4.1.3)
olup;
34
(4.1.1) de yerine konulursa;
M n ( f; q; x ) − M n+1 ( f; q; x ) = ∏ (1 − xq
s
s=0
n
(
− ∏ 1 − xq
)∑
∞
s
k =1
s=0
+ ∏ (1 − xq
s=0
)∑ [n + k +1]
k =1
s
q
 q n+1 [k ]q
f
 [n + k + 1]q

q n+1 [k ]q
)∑ [n + k +1]
∞
n
[n + 1]q
∞
n
k =1
q
 q n [k ]q
f
 [n + k ]q

 n + k + 1 k

x
  k 
q

 n + k + 1 k

x
  k 
q

 q n+1 [k − 1]q
f
 [n + k ]q

 n + k + 1 k

x (4.1.4)
  k 
q

f artan olduğundan;
[n + 1]q
M n ( f; q; x ) − M n+1 ( f; q; x ) ≥ ∏ (1 − xq s )∑
n
n
∞
s=0
k =1
(
− ∏ 1 − xq s
)∑
s=0
∞
k =1
+ ∏ (1 − xq s )∑
α :=
n
∞
s=0
k =1
[n +1]q
[n + k +1]q
, β :=
[n + k + 1]q
 q n+1 [k ]q
f
 [n + k + 1]q

q n+1 [k ]q
[n + k + 1]q
q n+1 [k ]q
[n + k +1]q
αx + βy =
=
q n+1 [k ]q
+
 q n+1 [k − 1]q
f
 [n + k ]q

,x=
q n+1 [k ]q
[n + k ]q
q n+1 [k ]q q n+1 [k − 1]q
[n + k +1]q [n + k ]q [n + k +1]q [n + k ]q
q n+1 [k ]q
{
1
[n +1]q + q n+1 [k − 1]q
[n + k +1]q [n + k ]q
q n+1 [k ]q
1
=
[n + k + 1]q [n + k ]q
}
k −1
1 − q n+1

n+1 1 − q
+q


1− q 
 1− q
35
 n + k + 1 k

x
  k 
q

 n + k + 1 k

x
  k 
q

seçilirse;
[n +1]q
 q n+1 [k ]q
f
 [n + k ]q

 n + k + 1 k

x
  k 
q

, y=
q n+1 [k − 1]q
[n + k ]q
(4.1.5)
=
=
=
q n+1 [k ]q
1 1 − q n+1 + q n+1 − q n+k
[n + k + 1]q [n + k ]q
1− q
q n+1 [k ]q
1
[n + k ]q
[n + k + 1]q [n + k ]q
q n+1 [k ]q
(4.1.6)
[n + k +1]q
olup (4.1.5) te uygulanırsa;
n
(
M n ( f; q; x ) − M n+1 ( f; q; x ) ≥ ∏ 1 − xq s
s=0
n
(
)∑ {αf (x )+ βf ( y )}n +kk +1
− ∏ 1 − xq s
s=0
∞

k=1
q
)∑ f (αx + βy )n +kk +1
xk
∞

k =1
q
olur ki f konveks olduğundan αf ( x )+ βf ( y ) − f (αx + βy ) ≥ 0 ,
xk
∏ (1 − xq ) ≥ 0
n
s
s=0
ve,
n + k + 1 k
 k  x ≥0

q
oldukları göz önünde bulundurulursa;
M n ( f; q; x ) − M n+1 ( f; q; x ) ≥ 0
olur ve ispat tamamlanır.
36
4.2 q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Açık Formülleri
ν
 x 
eν ( x ) = 
 ; ν =1,2
1− x 
kullanarak elde edilecek olan açık formüller aşağıdaki teoremlerle ifade edilecektir.
Teorem 4.2.1: ∀n ∈ IN , x ∈ [0, a ] , (0 < a < 1) , ∀ 0 < q ≤ 1 için;
 t 
 [n + 1]q
xq n
M n  
;
q;
x

=


[n]q 1 − xq n+1

1− t 
olur.
İspat: Teoremin ispatından önce ;
q n [k ]q
[k + n]q
q n [k ]q
1−
[k + n]q
=
q n [k ]q
[n]q
olduğunu gösterelim.
q n [k ]q
[k + n]q
q n [k ]q
1−
[k + n]q
=
=
q n [k ]q
[k + n]q
[k + n]q [k + n]q − q n [k ]q
q n [k ]q
1 − q k +n
1− qk
− qn
1− q
1− q
37
(4.2.1)
=
=
q n [k ]q
1 − q k +n − q n + q k +n
1− q
q n [k ]q
[n]q
olup, böylece (4.2.1) in ispatı tamamlanır. (4.2.1) in kullanılmasıyla,
∞
q n [k ]q k + n  k
 t 

M n  
x
; q; x  = u n,q ( x ) ∑
[n]q  k  q
k=0
1− t 

∞
[k + n]q ! k
qn
=
u n,q ( x ) ∑ [k ]q
x
[n]q
[k ]q ![n]q !
k =1
∞
[k + n]q ! k
qn
=
u n,q ( x ) ∑
x
[n]q
k =1 [k − 1]q ![n ]q !
∞
[k + n + 1]q ! k+1
qn
=
u n,q ( x ) ∑
x
[n]q
[k ]q ![n]q !
k=0
=
∞
[n + 1]q q n x
k + n + 1
u n,q ( x ) ∑ 
k  q
[n]q
k=0 
=
∞
[n + 1]q q n x n
(
1 − xq s ) ∑
∏
[n]q s=0
k=0
=
∞
[n + 1]q q n x n+1
n
(
1
−
xq
)
∑
[n]q (1 − xq n+1 ) ∏
k=0
s=0
=
[n +1]q q n x
[n]q (1 − xq n+1 )
elde edilir ki bu da ispatı tamamlar.
38
xk
k + n + 1 k
 k  x

q
k + n + 1 k
 k  x

q
Teorem 4.2.2: ∀n ∈ IN , x ∈ [0, a ] (0 < a < 1) ∀ 0 < q ≤ 1 için;
 t 2
 [n + 2]q [n + 1]q 2n+1
x2
M n 
; q; x  =
q

1− t 

1 − xq n+2 1 − xq n+1
[n]q 2


(
+
)(
)
[n + 1]q 2n
x
q
2
(1 − xq n+1 )
[n]q
dir.
İspat:
∞
 t 2

M n 
; q; x  = u n,q ( x ) ∑

1− t 

k =0


 q n [k ]q

 [k + n]q

n
 1 − q [k ]q
 [k + n ]
q

2


 k + n  k
 
 x
  k q


olup (4.2.1) eşitliğinin kullanılmasıyla;
∞
 t 2

M n 
; q; x  = u n,q ( x ) ∑

1− t 

k=0


∞
= u n,q ( x ) ∑
k =1
=
=
+
[n]q 2
2
[k + n]q ! k
x
[k − 1]q ![n]q !
u n,q ( x ) ∑ [k ]q
k =1
2
u n,q ( x ) ∑
([k ]
q
− 1)
k =1
∞
q 2n
[k + n]q ! k
x
[k ]q ![n]q !
2
[n]q 2
∞
q 2n
[n]q
q 2n [k ]q
2
 k + n k
 
x
  k 
q

∞
q 2n
[n]q
 q n [k ]q

 [n]q

u n,q ( x ) ∑
k =1
[k + n]q ! k
x
[k − 1]q ![n]q !
[k + n]q ! k
x
[k − 1]q ![n]q !
olup (2.2.1) eşitliği kullanılırsa;
39
∞
 t 2
 q 2n
[k + n]q ! k
M n 
; q; x  =
u
(
x
)
q
[
k
−
1
]
x

∑
q
1− t 
 [n] 2 n,q
[k − 1]q ![n]q !
k=2
q


+
[n]q
+
u n,q ( x ) ∑
2
k =1
[n]q
+
=
+
=
+
u n,q ( x ) ∑
2
k=2
[k + n]q ! k
x
[k − 1]q ![n]q !
∞
q 2n
u n,q ( x ) ∑
[n]q 2
=
[k + n]q ! k
x
[k − 2]q ![n]q !
∞
q 2n+1
=
[k + n]q ! k
x
[k − 1]q ![n]q !
∞
q 2n
k =1
q 2n+1
[n]q
2
[k + n + 2]q ! k+2
x
[k ]q ![n]q !
∞
u n,q ( x ) ∑
k=0
[n]q
[k + n + 1]q ! k+1
x
[k ]q ![n]q !
∞
q 2n
2
u n,q ( x ) ∑
k=0
q 2n+1
[n]q
2
q 2n
[n]q
2
q 2n+1
[n + 2]q [n + 1]q x 2 ∏ (1 − xq s ) ∑
n
∞
s=0
k=0
[n +1]q x ∏ (1 − xq s ) ∑
n
∞
s=0
k=0
[n + 2]q [n + 1]q x 2
[n]q 2 (1 − xq n+2 )(1 − xq n+1
[n + 1]q x
q 2n
[n]q (1 − xq
2
= q 2n+1
+ q 2n
n+1
k + n + 1 k
 k  x

q
(1 − xq ) ∑
)∏
∞
n+2
s
s=0
) ∏ (1 − xq ) ∑
∞
n+1
s
k=0
s=0
 k + n + 2 k
 k
 x

q
k =0
k + n + 1 k
 k  x

q
[n + 2]q [n + 1]q
x2
(1 − xq n+2 )(1 − xq n+1 )
[n]q 2
[n +1]q
x
2
[n]q (1 − xq n+1 )
elde edilir ve ispat tamamlanmış olur.
40
k + n + 2 k
 k
 x

q
KAYNAKLAR
Alkemade, J.A.H. 1984. The second moment fort he Meyer-König and Zeller operators.
J. Approx. Theory, 40; 261-273.
Andrews, G.E., Askey, R. and Roy, R. 1999. Special Functions. Cambridge University,
664, United Kingdom.
Doğru, O. and Duman, O. 2006. Statistical approximation of Meyer-König and Zeller
operators based on q-integers. Publ. Math. Debrecen, 68(1-2); 199-214
Doğru, O. and Gupta, V. 2006. Korovkin-type approximation properties of bivariate qMeyer-König and Zeller operators. Calcolo, 43; 51-63.
Korovkin, P.P. 1960. Linear Operators and Approximation Theory, Delhi.
Lenze, B. 1990. Bernstein-Baskakov-Kontorovich operators and Lipschitz-type
maximal functions. Approx. Th. Kecskemét, Hungary, Collog. Math. Soc.
János Bolyai, 58; 469-496.
Lorentz, G. G. 1953. Bernstein Polynomialt. Univ. of Toronto Pres, Toronto.
Phillips, G.M. 2000. Interpolation and Approximation by Polynomials. Springer, 308,
Berlin.
Trif, T. 2000. Meyer-König and Zeller operators based on the q-integers, Rev. Anal.
Numer. Theor. Approx., 29; 221-229.
41
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: Reyhan CANATAN
Doğum Yeri : Bursa
Doğum Tarihi: 26. 01. 1983
Medeni Hali : Bekar
Yabancı Dili : İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise
: Eryaman Lisesi (1997-2001)
Lisans
: Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (2001-2005)
Yüksek Lisans: Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
(Eylül 2005-Ocak 2008)
42