Kareköklü Sayılar

KAREKÖKLÜ SAYILAR
Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı
doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır.
Karesi 2 olan c doğal sayısını ele alalım.
2
a = 2 ise a sayısını a = 2 şeklinde gösterebilir ve ‘karekök iki ‘diye okuyabiliriz.Acaba bu
sayısı hangi sayılar arasındadır?Bunu inceleyelim:
2
1 =1 × 1=1
2
(1,5) = 1,5 × 1,5=2.25 tir
2
2 sayısı;1< 2 <1,5
Buna göre 2 sayısı 1 ile 1,5 arasındadır,sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel sayı değildir;çünkü
O halde
iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamaz.
Đşte sayı ekseni üzerinde görüntüsü olduğu halde,rasyonel olmayan 2 , 5 , π ,… gibi sayılara
irrasyonel(rasyonel olmayan) sayılar denir.I ile gösterilir.
Đrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesinin birleşim kümesine de reel (gerçek) sayılar
denir.
R=Q U I
Q ∩ I =O
I ⊂R
N⊂ Ζ⊂ Q ⊂R
+
R =Pozitif reel sayılar
R =Negatif reel sayılar
+
R= R U {0} U R
Reel sayılar sayı eksenini tamamen doldurur.Sayı doğrusunda her noktaya bir reel sayı karşı gelir,yani sayı doğrusu
ile reel sayılar kümesi bire bir eşlenebilir.
a bir pozitif reel sayı olmak üzere;
a = b ifadesine kareköklü ifade denir.
a bir gerçek(reel) sayı ve m ,1 den büyük bir tamsayı ise
sayısına da kökün derecesi denir.
m
a sayısına ,a sayısının m inci kuvvetten kökü denir.m
a da, kök derecesi 2 dir.
m
a sayısının reel sayı olup olmama durumlarını inceleyelim:
m, pozitif tek tamsayı ve a ∈ R ise m a sayısı bir reel sayıdır.
3
5 , 3 − 2 , 7 − 64 reel sayılardır.
+
m
a sayısı bir reel sayıdır.
-
m
a sayısı bir reel sayı değildir.
m,pozitif çift tamsayı ve a ∈ R ise
4
6
5 , 12 , 2 reel sayılardır.
m pozitif çift tamsayı ve a ∈ R ise
− 4 , 4 − 1 , 6 − 3 reel sayılar değildir.
NOT:
− 1 , − 4 , − 9 sayıları reel sayı değildir ;çünkü hiçbir reel sayının karesi –1,-4 ve –9 değildir.
25
48,4
625 2 × 2 =45
-4
225
2345
5
-16
225
745
-704
×
4100
4 × 2=88
× 8
704
48 x 2=964
× 4
5856
KAREKÖK ĐÇĐNDEKĐ ĐFADENĐN KÖK DIŞINA ÇIKARILMASI
Karekök içinde çarpım veya bölüm durumunda verilen ifadeler 2 veya 2 nin katı kuvvetinde yazılabilirse karekök
dışına çıkarılabilirler.
a 2m = a2m/2 = am
+
a,b ∈ R ve b ≠ 0 ise
a 2.b2 = a.b
+
a ∈ R ,m ∈ Z ise
+
a,b ∈ R ve n ∈ Z olmak üzere ;
Örnekler:
a 2/b2 = a/b dir.
a 2n.b = an. b
2 2 = 22/2 = 2
4=
3 10 = 310/2 =35=243
7 2.2/52.4 =72/54
7 4 /58 =
a ∈ R için,
a2= a
(−3) 2 =
32=3
9 =
KAREKÖKLÜ BĐR SAYIYI a
b ŞEKLĐNDE YAZMAK :
48 işleminin sonucu kaçtır?
48 2
2 2.22.3
= 2.2 3
=4 3
48 =
24 2
12 2
6
3
1
2
3
3 504 işleminin sonucu kaçtır?
504 2
252
2
126
2
63
21
7
1
3
3
7
504 =3 2 2.2.32.7
= 3.2.3. 2.7
= 18 14
3
UYARI:Karekök dışına çıkarılan sayılar kökün önünde bulunan sayı ile çarpılarak yazılır.
KAREKÖK DIŞINDAKĐ ÇARPANIN KÖK ĐÇĐNE ALINMASI
Kareköklü bir sayının katsayısını kök içine almakiçin katsayının karesini kök içindeki sayı ile çarpar,kök içine yazarız.
a
b=
a 2.b
Örnek:
2
2
2 .3 =
3=
4.3 = 12
RASYONEL SAYILARIN KAREKÖKÜ
+
a,b ∈ R olmak üzere ,
a/b
=
a/ b
Örnekler:
9 / 16 =
9 / 16 =
3
2
/
2
4 =
50 / 72 = 25 / 36 = 5 2/ 62 =
1
9
16
25
=
16
=
/
52
3
4
5
6
2
4 =
5
1
=1
4
4
UYARI:Tam sayılı olan kesirler birleşik kesire çevrilerek pay ve paydanın ayrı ayrı karekökleri alınır.
ONDALIK SAYILARIN KAREKÖKÜ
Ondalık sayıların virgülden sonraki basamak sayıları çift ise tam karekökleri olabalir:
Örnek:
0.09 =
9
3
=
100
10
16
4
=
100000000
10000
0.00000016 =
2 .5 =
25
=5
10
/
10
NOT: 0.04 sayısının karekökünü pratik olarak şöyle alırız.Virgül yokmuş gibi kabul edersek,
virgülden sonraki her iki basamk için bir basamak sayıyı virgülle sağdan sola doğru ayırırız.
4 =2 dir.Oaha sonra
0.04 =0.2
Örnek:
0.000009 = 0.000009 =0,003
1
2 3
KAREKÖKLÜ SAYILARDA DÖRT ĐŞLEM
1)Toplama-Çıkarma
Kareköklü sayılarda toplama-çıkarma işlemi yapılırken karekök içindeki sayıların aynı olması veya aynı hale getirilmesi
gerekir.Sonra ortak çarpan parantezine alınarak işlem yapılır.
a x + b x - c x = x (a+b-c)
a + b ≠ a+b
Örnekler:
-2 3- 5 3 + 3
2 3- 5 3+
işleminin sonucu nedir?
3 = (2 − 5 + 1) 3
=
−2 3
- 2 28 - 3 6 + 63 - 24 işleminin sonucu nedir?
Kök içlerini aynı yapmaya çalışmalıyız.
2 4 .7 - 3 6 +
9.7 -
4 .6 = 2 .2 7 - 3 6 + 3 7 - 2 6
=
4 7 + 3 7- 3 6- 2 6
=
7 7- 5 6
2)Çarpma
Körekök içinde verilen sayılar çarpılıp kök içine yazılır.Mümkünse kök dışına çıkarma işlemi yapılır.
+
a. b=
a,b ∈ R ise ,
a.b ;
a. a=
2
a =a ve a x . b y = ab xy
Örnekler:
- 5 . 3 = 5.3 = 15
- 3 . 15 = 45 = 3.3.5 = 3 5
- 2 5 . 3 8 = (2.3) 5.8
=
6 40
= 6.
2.2.10
= 12 10
Kareköklü sayının n kuvveti kök içindeki sayının n kuvvetidir.
2
( a) =
Örnek:
(
( a x )n = an
5 )4 = 5 4 =
NOT: (
Örnek:
(
a2
7+
x n (x >0)
5.5.5.5 = 5.5 = 25
a + b ). ( a - b ) = ( a )2 – ( b )2 = a – b
3 ). ( 7 - 3 ) = ( 7 )2 – ( 3 )2 = 7-3 = 4
3)Bölme
Karekök içinde verilen sayılar bölünüp kök içine yazılır.Sadeleştirmeler yapılıp,mümkünse kök dışına çıkarılır.
a,b
∈ R+ ve b ≠ 0 ise
a/ b=
a / b ve a x / b y =
a
b
x / y dır.
Örnekler:
- 32 / 4 = 32 / 4
- 2 / 5 : 8 / 25 = 2 / 5: 8 / 25 = 5 / 4
- 3 10 / 2 5
=
3
3
10 / 5 =
2
2
=
5 /2
2
PAYDAYI RASYONEL YAPMA
Bölüm şeklindeki kareköklü bir ifadede, paydayı karekökten kurtarmaya, paydayı rasyonel yapmak denir.Paydayı
kökten kurtarmak için ;pay ve paydayı ,paydanın eşleniği ile çarparız.
a nın eşleniği
a ve
a . a =a dır.
(
a + b ) nin eşleniği ( a - b ) ve ( a + b ). ( a - b ) = a – b dir.
(
a-
(
a - b) nin eşleniği ( a + b) dir.
b ) nin eşleniği ( a + b ) dir.
3
3
a - b nin eşleniği 3
3
a + b nin eşleniği 3 a 2 a nin eşleniği n a...... dir.
a m nin eşleniği n a n-m
n
n
a2+
3
3
ab +
3
ab +
3
3
b 2 dir.
b 2 dir.
a varsa:
1)Paydada
a ile çarparız.
Pay ve paydayı
Örnekler:
- 1/ 2 = 1. 2 / 2 . 2 = 2 /2
- 5/ 2 5 = 5. 5 / 2 5 . 5 = 5 5 /10 = 5 / 2
a + b varsa :
2)Paydada
a - b ile çarparız.
Pay ve paydayı
Örnek:
5
3)
5. (2 =
2+ 3
(
2 + 3 ). (2 -
= 5. (2 2
2 –(
=
10 -
3)
3)
3 )2
5 3
4-3
=10 -
5 3 = 5(2 -
3)
BAZI KURALLAR:
1) m
a n = an/m
2) m
a = x , xm =a
3)
m
a .m b =
4)
m
a:
5)
a n x - b n x + c n x = (a – b + c) n x
m
b=
m
m
a.b
a:b
6) a > 0, b > 0, c > 0
m
a
2
. b=a
m,n,k pozitif tam sayıdır.
n
b
7)
8)
n m
n
9)
nm
a
a m bk c
n
10)
a=
mkn
x : n x : n x... =
2
.b
k
.c
x
n +1
x
a )n = a
n
12) (
a
n −1
x n x n x... =
n
11)(
=
n
a )m =
n
am
13) a ∈ R+ ise a.n b =
n
14) a....r a
p
=
n .r
n
a n. b
a.....x..a =
n. r
a.........
a + a + a + ..... =x ise x= 1+ 1 + 4a
2
15)
16) a(a + 1) + a(a + 1) ...... =a+1
17)
p
q
a... a....r a
k
=
pqr
a.........x.r + k