çanakkale onsekiz mart üniversitesi fen bilimleri enstitüsü yüksek

T.C.
ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
ESNEK TOPOLOJİ ÜZERİNE
Tuğçe AYDIN
Matematik Anabilim Dalı
ÇANAKKALE
Not: Tez kapağı yüksek lisans tezlerinde “Turkuaz”, doktora tezlerinde “Mavi”
T.C.
ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
ESNEK TOPOLOJİ ÜZERİNE
Tuğçe AYDIN
Matematik Anabilim Dalı
Tezin Sunulduğu Tarih: 08/01/2016
Tez Danışmanı:
Yrd. Doç. Dr. Serdar ENGİNOĞLU
ÇANAKKALE
TEZ SINAV SONUÇ FORMU
Tuğçe AYDIN tarafından Yrd. Doç. Dr. Serdar ENGİNOĞLU yönetiminde
hazırlanan ve 08/01/2016 tarihinde aşağıdaki jüri karşısında sunulan “Esnek Topoloji
Üzerine” başlıklı çalışma, Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak oybirliği ile kabul
edilmiştir.
JÜRİ
Yrd. Doç. Dr. Serkan KARATAŞ
……………………
Başkan
Yrd. Doç. Dr. Çetin CAMCI
……………………
Üye
Yrd. Doç. Dr. Serdar ENGİNOĞLU
……………………
Üye
Unvanı, İsim SOYİSİM
……………………
Üye (5 üyeli jürilerde)
Unvanı, İsim SOYİSİM
……………………
Üye (5 üyeli jürilerde)
Prof. Dr. Levent GENÇ
Müdür
Fen Bilimleri Enstitüsü
Sıra No:
Bu tez çalışması BAP tarafından 646 numaralı projeden desteklenmiştir.
ii
İNTİHAL (AŞIRMA) BEYAN SAYFASI
Bu tezde görsel, işitsel ve yazılı biçimde sunulan tüm bilgi ve sonuçların akademik ve
etik kurallara uyularak tarafımdan elde edildiğini, tez içinde yer alan ancak bu
çalışmaya özgü olmayan tüm sonuç ve bilgileri tezde kaynak göstererek belirttiğimi
beyan ederim.
Tuğçe AYDIN
iii
TEŞEKKÜR
Bu tezin gerçekleştirilmesinde, çalışmam boyunca benden bir an olsun yardımlarını
esirgemeyen saygı değer danışman hocam Yrd. Doç. Dr. Serdar ENGİNOĞLU’na, duygu
ve düşüncelerini benimle paylaşmaktan çekinmeyen sevgili arkadaşlarım Hilal
DÖNMEZ’e, Ayşe AYRAN’a ve hayatımın her evresinde bana destek olan değerli aileme
sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Tuğçe AYDIN
Çanakkale, Ocak 2016
iv
SİMGELER VE KISALTMALAR
Evrensel küme
Parametreler kümesi
( )
’nun kuvvet kümesi
( )
üzerinde
parametre kümesi yoluyla tanımlanan tüm esnek
kümelerin kümesi
üzerinde bir esnek küme
Boş esnek küme
-evrensel esnek küme
Evrensel esnek küme
⊆
Esnek alt küme
⊇
Esnek üst küme
∪
Esnek birleşim
∩
Esnek kesişim
∖
Esnek fark
̃
Esnek tümleyen
⊆
Klasik alt küme
∪
Klasik birleşim
∩
Klasik kesişim
∖
Klasik fark
.
Klasik tümleyen
∈
Ait olma
∉
Ait olmama
∈
Esnek ait olma
∉
Esnek ait olmama
.
Esnek eleman
esnek kümesinin yaklaşım fonksiyonu
∪
∪
esnek kümesinin yaklaşım fonksiyonu
∩
∩
esnek kümesinin yaklaşım fonksiyonu
∖
∖
esnek kümesinin yaklaşım fonksiyonu
̃
( )
esnek kümesinin yaklaşım fonksiyonu
esnek kümesinin esnek kuvvet kümesi
v
| |
Kardinalite
( , ̃)
Esnek topolojik uzay
Esnek taban
, ̃
Esnek topolojik alt uzay
̃
∘
için esnek taban
esnek kümesinin esnek içi
esnek kümesinin esnek kapanışı
esnek kümesinin tüm esnek limit noktalarının esnek birleşimi
esnek kümesinin tüm esnek sınır noktalarının esnek birleşimi
,
ℕ
( )
’nın esnek komşuluklar ailesi
( )
’nın esnek açık komşuluklar ailesi
İndis kümesi
Doğal sayılar kümesi
vi
ÖZET
ESNEK TOPOLOJİ ÜZERİNE
Tuğçe AYDIN
Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Serdar ENGİNOĞLU
08/01/2016, 45
Esnek küme kavramı, çeşitli belirsizlik türleri ile başa çıkmak için matematiksel bir
araç olarak ilk kez Molodtsov (1999) tarafından ortaya atıldı. Bu tez çalışmasında, ilk
olarak Çağman ve ark. (2010a) tarafından yeniden tanımlanan esnek küme işlemleri ve
bazı özellikleri verildi. Daha sonra, Çağman ve ark. (2011) tarafından bir esnek kümenin
esnek alt kümelerini kullanarak, bir esnek küme üzerinde tanımlanan esnek topoloji
kavramı geliştirildi. Buna ek olarak, esnek eleman kavramı yoluyla tanımlanan esnek
uzaylar, esnek regüler ve esnek normal uzay tanımları (Nazmul ve Samanta, 2014) verildi
ve onların temel özellikleri incelendi. Son olarak, Çağman ve ark. (2011) ve Shabir ve Naz
(2011) tarafından ortaya atılan esnek topoloji kavramları üzerine bir tartışmaya yer verildi.
Anahtar sözcükler: Esnek Kümeler, Esnek Topoloji, Esnek Açık Kümeler, Esnek
Tek Nokta Kümesi, Esnek Limit Noktası, Esnek Ayırma Aksiyomları.
vii
ABSTRACT
ON SOFT TOPOLOGY
Tuğçe AYDIN
Çanakkale Onsekiz Mart University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Master of Science Thesis in Mathematics Science
Advisor: Asst. Prof. Dr. Serdar ENGİNOĞLU
08/01/2016, 45
The concept of soft sets was firstly introduced by Molotdsov (1999) as a
mathematical tool for dealing with some kinds of uncertainty. In this thesis, firstly the
operations and some properties of soft sets redefined by Çağman et al. (2010a) are given.
Afterwards, the concept of soft topology on a soft set by using the subsets of it defined by
Çağman et al. (2011) is developed. Furthermore, the definitions of soft
spaces, soft
regular space and soft normal space (Nazmul and Samanta, 2014) defined by means of the
concept of soft element are given and basic properties of them are investigated. Finally,
concepts of soft topology propounded by Çağman et al. (2011) and Shabir and Naz (2011)
are discussed later on works.
Keywords: Soft Sets, Soft Topology, Soft Open Sets, Soft Single Point Sets, Soft
Limit Point, Soft Separation Axioms.
viii
İÇİNDEKİLER
Sayfa No
TEZ SINAV SONUÇ FORMU ......................................................................................... ii
İNTİHAL (AŞIRMA) BEYAN SAYFASI ....................................................................... iii
TEŞEKKÜR ..................................................................................................................... iv
SİMGELER VE KISALTMALAR .................................................................................... v
ÖZET .............................................................................................................................. vii
ABSTRACT................................................................................................................... viii
BÖLÜM 1 ......................................................................................................................... 1
GİRİŞ................................................................................................................................ 1
BÖLÜM 2 ......................................................................................................................... 4
ESNEK KÜMELER .......................................................................................................... 4
BÖLÜM 3 ....................................................................................................................... 13
ESNEK TOPOLOJİ ........................................................................................................ 13
BÖLÜM 4 ....................................................................................................................... 33
ESNEK AYIRMA AKSİYOMLARI ............................................................................... 33
BÖLÜM 5 ....................................................................................................................... 41
SONUÇ VE ÖNERİLER................................................................................................. 41
KAYNAKLAR ............................................................................................................... 42
ÖZGEÇMİŞ ....................................................................................................................... I
ix
BÖLÜM 1
GİRİŞ
Esnek kümeler kavramı mühendislik, fizik, bilgisayar bilimleri, ekonomi, sosyal
bilimler ve tıp bilimleri gibi birçok alanda belirsizlik içeren problemleri modellemek için
yeni bir matematiksel araç olarak ilk kez Molodtsov (1999) tarafından ortaya atıldı.
Molodtsov esnek küme kavramını sürekli diferansiyellenebilir fonksiyonlar, oyun
teorisi, Riemann integrasyonu, Perron integrasyonu, olasılık ve ölçüm teorisi gibi pek çok
alana başarılı bir şekilde uyguladı (Molodtsov ve ark., 2006).
Daha sonra bu kavramın birçok versiyonu geliştirildi ve bu kavram cebirden karar
verme problemlerine kadar pek çok alana uygulandı.
Maji ve ark., (2002, 2003) esnek küme işlemlerini tanımladı ve bu kavramı karar
verme problemi üzerine uyguladı. Pei ve Miao (2005) bu çalışmayı geliştirdi ve esnek
kümelerin özel bilgi sistemlerinin bir sınıfı olduğunu gösterdi. Buna ek olarak Çağman ve
Enginoğlu (2010a), esnek küme işlemlerini yeniden tanımlayarak, bu yeni işlemler ile uniint karar verme metotunu inşa etti. Daha sonra, esnek matrisler tanımlandı ve esnek maxmin karar verme metotu ortaya atıldı (Çağman ve Enginoğlu, 2010b). Bu karar verme
metotları belirsizlikler içeren birçok probleme başarılı bir şekilde uygulandı. Böylece
esnek küme teorisi üzerine yapılan çalışmalar hızla arttı (Kovkov ve ark., 2007; Majumdar
ve Samanta, 2008; Ali ve ark., 2009; Jiang ve ark., 2010; Qin ve Hong, 2010; Sezgin ve
Atagün, 2011).
Esnek cebirsel yapılar ilk olarak Aktaş ve Çağman (2007) tarafından ortaya atıldı.
Onlar bu çalışmalarında esnek grup kavramı ve onların temel özellikleri üzerine çalıştı.
Ayrıca esnek kümelerin cebirsel yapıları üzerine literatürde Feng ve ark., (2008); Jun ve
Park, (2009); Acar ve ark., (2010); Jun ve ark., (2010) gibi pek çok çalışma yer almaktadır.
Esnek küme kavramı üzerine çalışılan alanlardan biri de Çağman ve ark. (2011)
tarafından ortaya atılan Esnek Topolojidir. Onlar bu çalışmalarında, esnek topolojiyi
verilen bir esnek kümenin esnek alt kümelerini kullanarak, bu esnek küme üzerinde
tanımladı. Ayrıca aynı dönemde Shabir ve Naz (2011) evrensel esnek kümenin esnek alt
kümelerini kullanarak, evrensel küme üzerinde esnek topoloji kavramını ortaya attı.
Min (2011), Shabir ve Naz (2011) tarafından verilen esnek topolojik uzay ile ilgili
bazı sonuçların hatalı olduğunu ve esnek topolojik uzaylar için genel özelliklerin
incelenmesini engelleyen sorunu gösterdi. Ayrıca Shabir ve Naz (2011)’ın tanımladığı
esnek ayırma aksiyomlarını, özellikle de esnek regüler uzayların özelliklerini inceledi.
1
Daha sonra Peyghan ve ark. (2014), Min (2011)’in çalışmasında yer alan bazı teoremlerin
sağlanmadığını örnekler vererek gösterdi ve devamında genel topolojide sağlanan bazı
özelliklerin Shabir ve Naz (2011) tarafından tanımlanan esnek topoloji kavramına göre
Min (2011) tarafından verilen bazı teoremlerin sağlanmadığını gösterdi. Ayrıca esnek
kompaktlık ve sayılabilir esnek kompaktlık kavramları ile ilgili bazı sonuçlar elde etti.
Buna ek olarak, özel bir esnek topolojik uzay inşa ederek, genel topolojideki bazı klasik
sonuçların esnek topolojik uzaylarda sağlanmadığını gösterdi.
Zorlutuna ve ark. (2012) çalışmasında esnek nokta kavramını tanımlayarak, esnek iç
nokta, esnek iç, esnek komşuluk, esnek süreklilik gibi kavramları tanımladı ve bu
kavramlar ile ilgili teoremlere yer verdi. Ne var ki bu kavram esnek limit noktası ile ilgili
teoremlerin açıklanmasında bir takım zorluklara sahiptir.
Aygünoğlu ve Aygün (2011), esnek çarpım topolojisini ortaya attı ve esnek
kompaktlık olarak adlandırılan esnek uzaylarda kompaktlığın çeşitli versiyonlarını
tanımladı. Hazra ve ark., (2012) esnek alt kümelerin topolojisi ve esnek topoloji olarak
adlandırılan iki kavram üzerine çalıştı. Onlar bu iki kavram arasındaki temel farkları ve bu
iki topolojide esnek dönüşümlerin sürekliliğini tanımlayarak, bazı özelliklerini inceledi.
Daha sonra, esnek topoloji ile ilgili kavramlar üzerine pek çok çalışma yapıldı (Atmaca,
2010; Aygünoğlu, 2011; Hussain ve Ahmad, 2011; Ahmad ve Hussain, 2012; Karataş,
2012; Varol ve ark., 2012; Georgiou ve ark., 2013; Peyghan ve ark., 2013; Varol ve
Aygün, 2013; Georgiou ve Megaritis, 2014; Li ve Xie, 2014; Min, 2014; Roy ve Samanta,
2014; Şenel ve Çağman, 2015).
Bu tez çalışmasında ilk olarak, esnek küme kavramı ve esnek topoloji ile ilgili
literatür çalışmasına yer verildi.
İkinci bölümde, Çağman ve Enginoğlu (2010a)’nda verilen esnek küme kavramı ile
ilgili temel kavramlar verildi.
Üçüncü bölümde, Çağman ve ark. (2011)’ında verilen esnek topoloji kavramı
geliştirildi ve devam çalışmaları için uygun hale getirildi. Burada, esnek topolojinin
bulanık parametreli bulanık esnek topoloji gibi diğer türleri göz önüne alındığında bazı
yeni düzenlemeler gerekebileceğine dikkat edilmelidir. Ayrıca yapılan bu temellendirme
çalışmasının bir bölümü makale olarak yayımlandı (Enginoğlu ve ark., 2015).
Dördüncü bölümde, Çağman ve ark. (2011) tarafından tanımlanan esnek topoloji
kavramı üzerine bir devam çalışması olarak Nazmul ve Samanta (2014) tarafından esnek
eleman yoluyla tanımlanan esnek ayırma aksiyomları verildi ve ilgili özellikleri incelendi.
Böylece genel topolojide yer alan bazı teoremlerin esnek topolojide de sağlandığı görüldü.
2
Son olarak, Çağman ve Enginoğlu (2011) ve Shabir ve Naz (2011) tarafından
tanımlanan esnek topoloji kavramları arasında bir karşılaştırmaya yer verildi.
Bu çalışma boyunca genel topoloji kavramları için Mucuk O., 2010 ve Koçak M.,
2011 kitaplarından yararlanılmıştır.
3
BÖLÜM 2
ESNEK KÜMELER
Bu bölümde, esnek kümeler (Molodtsov, 1999) ile ilgili temel kavramlar (Çağman
ve Enginoğlu, 2010a) ve esnek küme ailelerine ait birtakım özellikler (Zorlutuna ve ark.,
2012) verildi.
Bu çalışma boyunca, evrensel küme , parametreler kümesi , ’nun kuvvet kümesi
( ) ve
üzerinde
parametre kümesi yoluyla tanımlanan tüm esnek kümelerin kümesi
( ) ile gösterilsin.
⊆
Tanım 2.1.
fonksiyonunun grafiğine
∉
olmak üzere
( ) = ∅ ile tanımlı
iken
üzerinde bir esnek küme denir ve
∶
→ ( )
ile gösterilir (Molodtsov,
1999).
Diğer bir ifadeyle,
=
üzerinde bir esnek küme
,
( ) ∶
∈
biçiminde
sıralı ikililerin bir kümesidir.
Burada,
fonksiyonu
esnek kümesinin yaklaşım fonksiyonu olarak adlandırılır.
( )’in değeri keyfi olabilir. Bu kümelerin bazıları boş olabilir, bazıları boştan farklı
arakesite sahip olabilir.
Bir şirkette var olan boş bir pozisyona başvuran adayların kümesini
Örnek 2.1.
göz önüne alalım ve
={
,
,
,
,
,
,
} parametreler kümesi olmak üzere
={ ,
Burada,
,
} ile gösterelim.
,
( ∈ {1,2,3,4,5})
parametreleri sırasıyla bir adayın “deneyim”, “bilgisayar bilgisi”, “genç”, “yüksek eğitim”,
“sağlıklı” durumlarını göstersin. Bu durumda, bir esnek küme tanımlamak verilen
parametreler yoluyla adayları deneyimli çalışanlar, bilgisayar bilen çalışanlar vb. olarak
ifade etmek anlamına gelir.
={ ,
tanımlı
∶
,
}⊆
olmak üzere
( )={
,
},
( )=
ve
→ ( ) yaklaşım fonksiyonunu göz önüne alalım. O halde
= {( , {
,
}), ( , ∅), ( , ), ( , ∅), ( , ∅)}
,
}), ( , )}
ya da kısaca
= {( , {
biçimindedir.
4
( ) = ∅ ile
esnek kümesi,
∈ ( ) olsun. Eğer her
Tanım 2.2.
kümesine boş esnek küme denir ve
( ) = ∅ ifadesi
∈
( ) = ∅ ise
için
esnek
ile gösterilir.
∈
’nun hiçbir elemanının
parametresini sağlamadığı
anlamına gelir. Bu nedenle, kısalığın hatırına ( , ∅) gibi elemanlar bir esnek kümede
gösterilmemektedir.
∈ ( ) olsun. Eğer her
Tanım 2.3.
kümesine -evrensel esnek küme denir ve
=
Eğer
ise
∈
( )=
için
ise
esnek
ile gösterilir.
-evrensel esnek kümesine evrensel esnek küme denir ve
ile
gösterilir.
={ ,
Örnek 2.2.
,
,
,
} evrensel kümesini ve
={ ,
,
,
}
parametreler kümesi göz önüne alalım.
={ ,
∶
tanımlı
,
} olmak üzere
→ ( )
( )={
yaklaşım
},
,
fonksiyonu
( ) = ∅ ve
( )=
= {( , {
için
ile
}), ( , )}
,
biçimindedir.
={ ,
} olmak üzere
=
yaklaşım fonksiyonu için
={ ,
( ) = ∅ ve
( )=
=
esnek kümesi
( )=
∶
→ ( )
=
∈
ile tanımlı
( )=
için
∈
esnek kümesi
( )⊆
için
⊆
esnek kümesinin esnek alt kümesidir denir ve
Diğer bir ifadeyle,
ile tanımlı
∶
→
biçimindedir.
∈ ( ) olsun. Eğer her
,
Tanım 2.4.
→ ( )
biçimindedir.
( ) yaklaşım fonksiyonu için
⊇
ve
ve ∈ {1,2,3,4} olmak üzere her
=
∶
biçimindedir.
} olmak üzere
yaklaşım fonksiyonu için
( ) = ∅ ile tanımlı
( ) ise
ile gösterilir.
esnek kümesinin esnek üst kümesidir denir ve
ile gösterilir.
⊆
Yorum 2.1.
ifadesi
esnek kümesinin her elemanının
esnek
kümesinin de bir elemanı olmasını gerektirmez. Dolayısıyla, klasik alt küme kavramı
esnek alt küme kavramından farklıdır.
Örneğin,
={ ,
,
} evrensel kümesini ve
,
kümesini göz önüne alalım. Eğer
{( , {
⊆
,
,
}), ( , {
elde edilir. Fakat
,
= { },
})} ise her
,
( ) ∈
∈
iken
5
={ ,
={ ,
},
( )⊆
için
,
( ) ∉
= {( , {
} parametreler
,
,
})} ve
=
( ) sağlanır. Dolayısıyla,
biçimindedir.
i.
⊆
ii.
⊆
iii.
⊆
iv.
⊆
∈ ( ) olsun. O halde
,
Önerme 2.1.
⊆
⇒
⊆
⇒
( )⊆
( )
( )⇒
( )⊆
( )
ve
önermeleri sağlanır.
∈
İspat. Her
i.
ii.
için
( )⊆
∅⊆
iii.
( )=
( )⇒
( )⊆
( )
iv.
( )⊆
( ) ve
( )⊆
( )⇒
( )⊆
( )
biçimindedir.
∈ ( ) olsun. Eğer her
,
Tanım 2.5.
=
esnek kümeleri esnek eşittir denir ve
için
( )=
( ) ise
ve
ile gösterilir.
∈ ( ) olsun. O halde
,
Önerme 2.2.
∈
i.
=
ve
=
⇔
=
ii.
⊆
ve
⊆
⇔
=
önermeleri sağlanır.
İspat. Her
∈
için
i.
( )=
( ) ve
( )=
( )⇔
( )=
( )
ii.
( )⊆
( ) ve
( )⊆
( )⇔
( )=
( )
biçimindedir.
Tanım 2.6.
∈
için
( )=
∈ ( ) olsun. O halde
esnek kümesinin esnek tümleyeni her
( ) yaklaşım fonksiyonu yoluyla tanımlanır ve
6
̃
ile gösterilir.
( ),
Burada
∈
( ) kümesinin
( )=
için
( ) biçimindedir.
∖
∈ ( ) olsun. O halde
Önerme 2.3.
̃
̃
i.
̃
ii.
’ya göre tümleyenidir. Diğer bir ifadeyle, her
=
=
eşitlikleri sağlanır.
∈
İspat. Her
için
i.
( )
ii.
( )=
=
( )
∖
( )=
=
( )
( )=
∖
∖∅=
=
( )
biçimindedir.
∈
birleşimi her
ve
∪
∈ ( ) olsun. O halde
,
Tanım 2.7.
için
( )=
∪
( )∪
ve
esnek kümelerinin esnek
( ) yaklaşım fonksiyonu yoluyla tanımlanır
ile gösterilir.
,
Önerme 2.4.
i.
∪
=
ii.
∪
=
iii.
∪
=
iv.
∪
v.
∪
vi.
(
̃
=
=
∪
∈ ( ) olsun. O halde
,
∪
)∪
=
∪(
∪
)
eşitlikleri sağlanır.
İspat. Her
∈
için
i.
∪
( )=
( )∪
( )=
( )
ii.
∪
( )=
( )∪
( )=
( )∪∅ =
( )
iii.
∪
( )=
( )∪
( )=
( )∪
=
iv.
∪
( )=
( )∪
( )=
=
7
=
( )
( )
v.
( )=
∪
vi.
( )∪
( )∪
=
( ∪ )∪
( )=
( )∪
( ) ∪
( )=
( )=
( )∪
∪
( )
( )∪
( ) =
∪( ∪ )
biçimindedir.
∈
kesişimi her
ve
∩
∈ ( ) olsun. O halde
,
Tanım 2.8.
için
( )=
∩
( )∩
ve
esnek kümelerinin esnek
( ) yaklaşım fonksiyonu yoluyla tanımlanır
ile gösterilir.
,
Önerme 2.5.
i.
∩
=
ii.
∩
=
iii.
∩
=
iv.
∩
v.
∩
(
vi.
̃
=
=
∩
)∩
∩
∈ ( ) olsun. O halde
,
=
∩(
)
∩
eşitlikleri sağlanır.
İspat. Önerme 2.4 için verilen ispata benzer biçimde yapılabilir.
∈ ( ) olsun. O halde
,
Önerme 2.6.
i.
(
∪
)̃=
̃
∩
̃
ii.
(
∩
)̃=
̃
∪
̃
eşitlikleri sağlanır.
İspat.
i.
Her
( ∪ )
∈
( )=
için
∪
( )=
( )∪
( )
biçimindedir.
ii.
İspatı benzer şekilde yapılabilir.
8
=
( )
∩
( )
=
∩
( )
∈ ( ) olsun. O halde
,
Önerme 2.7.
i.
∪(
∩
)=(
∪
)∩(
∪
)
ii.
∩(
∪
)=(
∩
)∪(
∩
)
eşitlikleri sağlanır.
İspat.
i.
∈
Her
için
∪( ∩ ) (
) =
( )∪
=
( )∪
( )∪
=
=
=
∩
∪
( )∩
( )
( )∩
( )
( ) ∩
( )
( )
∪
( ∪ )∩( ∪ ) (
( )∪
)
biçimindedir.
ii.
İspatı benzer şekilde yapılabilir.
farkı her
∖
∈
∈ ( ) olsun. O halde
,
Tanım 2.9.
için
( )=
∖
( )∖
ve
esnek kümelerinin esnek
( ) yaklaşım fonksiyonu yoluyla tanımlanır ve
ile gösterilir.
∈ ( ) olsun. O halde
,
Önerme 2.8.
i.
∖
=
∩
ii.
∖
=
⇔
iii.
∩
=∅⇒
̃
⊆
∖
=
∖
ve
=
önermeleri sağlanır.
İspat. Her
∈
için
i.
∖
( )=
( )∖
( )=
( )∩
ii.
∖
( )=
( )∖
( )=
( )=∅⇔
9
( )=
∩
( )⊆
( )
( )
∩
iii.
∖
= ∅ olsun. Buradan
( )=
( )∖
( )=
( ) ve
∖
( )=
( )∖
( )=
( )
biçimindedir.
,
Önerme 2.9.
(
)∖
∪
,
=
∈ ( ) olsun. O halde
∖
∪
∖
eşitliği sağlanır.
İspat. Her
( ∪ )∖
∈
( ) =
için
∪
( )∖
( )
=
( )∪
( ) ∖
=
( )∖
( ) ∪
=
∖
( )∪
∖
( )
( )∖
( )
( )
biçimindedir.
∈
Tanım 2.10.
için
ailesi olsun. O halde ∈ için
⋃∈
( )=
∈ ( ) olmak üzere
∶
∈
esnek kümelerin esnek birleşimi her
esnek kümelerin bir
∈
için
( )
∈
yaklaşım fonksiyonu yoluyla tanımlanır ve ⋃ ∈
∈
Tanım 2.11.
için
ailesi olsun. O halde ∈ için
⋂∈
( )=
ile gösterilir (Zorlutuna ve ark., 2012).
∈ ( ) olmak üzere
∶
∈
esnek kümelerin esnek kesişimi her
esnek kümelerin bir
∈
için
( )
∈
yaklaşım fonksiyonu yoluyla tanımlanır ve ⋂ ∈
10
ile gösterilir (Zorlutuna ve ark., 2012).
∈ ( ) ve ∈ için
Önerme 2.10.
∈ ( ) olmak üzere
kümelerin bir ailesi olsun. O halde
i.
∩ ⋃∈
=⋃∈
∩
ii.
∪ ⋂∈
=⋂∈
∪
iii.
∖ ⋃∈
=⋂∈
∖
iv.
∖ ⋂∈
=⋃∈
∖
v.
∪ ⋃∈
=⋃∈
∪
vi.
∩ ⋂∈
=⋂∈
∩
eşitlikleri sağlanır (Zorlutuna ve ark., 2012).
İspat.
i.
Her
∈
∩ ⋃∈
için
( ) =
=
( )∩
( )
⋃∈
( )∩ ⋃∈
( )∩
=⋃∈
=⋃∈
( )
∩
( )
( )
biçimindedir.
ii.
İspatı benzer şekilde yapılabilir.
iii.
Her
∈
∖ ⋃∈
için
( ) =
=
( )∖
( )
⋃∈
( )∖ ⋃ ∈
( )
( )∖
( )
=⋂∈
=⋂∈
∖
( )
biçimindedir.
11
∶
∈
esnek
iv.
İspatı benzer şekilde yapılabilir.
v.
Her
∈
∪ ⋃∈
için
( ) =
=
( )∪
⋃∈
( )∪ ⋃∈
( )∪
=⋃∈
=⋃∈
∪
( )
biçimindedir.
vi.
İspatı benzer şekilde yapılabilir.
12
( )
( )
( )
BÖLÜM 3
ESNEK TOPOLOJİ
Bu bölümde, Çağman ve ark. (2011)’ında verilen esnek topoloji kavramı geliştirildi
ve devam çalışmaları için uygun hale getirildi. Burada, esnek topolojinin bulanık
parametreli bulanık esnek topoloji gibi diğer türleri göz önüne alındığında bazı yeni
düzenlemeler gerekebileceğine dikkat edilmelidir. Ayrıca yapılan bu temellendirme
çalışmasının bir bölümü makale olarak yayımlandı (Enginoğlu ve ark., 2015).
∈ ( ) olmak üzere,
Tanım 3.1.
∶
kümesine
⊆
, ∈
esnek kümesinin esnek kuvvet kümesi denir ve ( ) ile gösterilir (Çağman
ve ark., 2011).
∈ ( ) olmak üzere, 2∑
Tanım 3.2.
|
( )|
( ) kümesinin
sayısına
( ) ile gösterilir (Çağman ve ark., 2011).
kardinalitesi denir ve
Burada, | ( )| sayısı
( )’in kardinalitesidir.
={ ,
Örnek 3.1.
kümesini,
∈
={ ,
}⊆
ve
,
} evrensel kümesini,
= {( , { ,
önüne alalım. O halde
= {( , {
})}
= {( , {
})}
= {( , { ,
= {( , {
})}
= {( , {
})}
= {( , {
,
})}
})}
13
}), ( , {
={ ,
,
,
} parametreler
})} esnek kümesini göz
= {( , { }), ( , {
})}
= {( , { }), ( , {
})}
= {( , { }), ( , {
,
})}
= {( , {
}), ( , {
})}
= {( , {
}), ( , {
})}
= {( , {
}), ( , {
,
})}
= {( , { ,
}), ( , {
})}
= {( , { ,
}), ( , {
})}
=
=
esnek kümeleri
Ayrıca
esnek kümesinin tüm esnek alt kümeleridir.
( ) = 2 = 16 biçimindedir (Çağman ve ark., 2011).
∈ ( ) olsun. O halde aşağıdaki koşulları sağlayan
Tanım 3.3.
kümesinin esnek alt kümelerinin bir ̃ koleksiyonuna
esnek
üzerinde bir esnek topoloji denir
(Çağman ve ark., 2011).
i.
,
∈ ̃
ii.
⊆
∶ ∈
⊆ ̃⇒⋃∈
iii.
⊆
∶1≤ ≤ ,
∈ ̃
∈ℕ ⊆ ̃⇒⋂
∈ ̃
Burada ( , ̃ ) sıralı ikilisi bir esnek topolojik uzay olarak adlandırılır (Çağman ve
ark., 2011).
14
Örnek 3.1’de verilen
Örnek 3.2.
önüne alalım. O halde
koleksiyonları
{
̃ ={
,
},
esnek kümesinin esnek alt kümelerini göz
̃ = ( ) ve
,
,
,
,
esnek kümesi üzerinde esnek topolojilerdir (Çağman ve ark., 2011).
} ve ( ) koleksiyonları sırasıyla
,
̃ =
esnek kümesi üzerinde ayrık olmayan
esnek topoloji ve ayrık esnek topoloji olarak adlandırılır (Enginoğlu ve ark., 2015).
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay olsun. O halde ̃ ’nun her elemanına
Tanım 3.4.
bir esnek açık küme ya da kısaca ̃ ’da esnek açık denir (Çağman ve ark., 2011).
Açıktır ki
esnek kümeleri ̃ ’da esnek açıktır (Çağman ve ark., 2011).
ve
Tanım 3.5.
( , ̃ ) ve ( , ̃ ) esnek topolojik uzaylar olsun. O halde
i.
Eğer ̃ ⊇ ̃ ise ̃ esnek topolojisi ̃ ’den esnek incedir denir.
ii.
Eğer ̃ ⊃ ̃ ise ̃ esnek topolojisi ̃ ’den kesin olarak esnek incedir denir.
iii.
Eğer ya
̃ ⊇ ̃
ya da
̃ ⊆ ̃
̃
ise
ile
̃
esnek topolojileri
karşılaştırılabilirdir denir (Çağman ve ark., 2011).
Örnek 3.3.
Örnek 3.2’de verilen
esnek kümesi üzerindeki esnek topolojileri
göz önüne alalım. O halde ̃ esnek topolojisi ̃ ve ̃ esnek topolojilerinden esnek incedir
̃
ve
esnek topolojisi ̃
esnek topolojisinden esnek incedir. Üstelik,
̃ , ̃
ve
̃
karşılaştırılabilir esnek topolojilerdir (Çağman ve ark., 2011).
Tanım 3.6.
elemanı
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
⊆ ̃ olsun. Eğer ̃ ’nun her
’nin elemanlarının esnek birleşimi olarak yazılabilirse
’ye,
̃ esnek
topolojisinin bir esnek tabanı denir (Çağman ve ark., 2011).
Tanım 3.7.
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
, ̃ ’nun bir esnek tabanı olsun.
’nin her elemanına esnek taban elemanı denir (Çağman ve ark., 2011).
Örnek 3.4.
,
,
,
,
Teorem 3.1.
halde ̃ ,
Örnek 3.1 ve Örnek 3.2’yi göz önüne alalım. Burada
=
koleksiyonu ̃ için bir esnek tabandır (Çağman ve ark., 2011).
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
, ̃ için bir esnek taban olsun. O
’nin elemanlarının tüm esnek birleşimlerinin koleksiyonuna eşittir (Çağman ve
ark., 2011).
İspat. Esnek taban tanımından açıktır.
Tanım 3.8.
∩
∶
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
∈ ̃, ∈
15
⊆
olmak üzere
üzerinde bir esnek alt uzay topolojisi denir ve ̃
koleksiyonuna
ile gösterilir (Çağman
ve ark., 2011).
sıralı ikilisi ( , ̃ ) esnek topolojik uzayının bir esnek topolojik alt
, ̃
Ayrıca
uzayı olarak adlandırılır (Çağman ve ark., 2011).
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
Teorem 3.2.
⊆
olsun. O halde
üzerinde bir esnek alt uzay topolojisi bir esnek topolojidir (Çağman ve ark., 2011).
İspat. ( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
⊆
olmak üzere ̃
,
üzerinde bir
esnek alt uzay topolojisi olsun.
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay olduğundan
i.
∩
alt uzay topoloji tanımından,
ii.
,
∈ ̃
̃=
∶
=
,
∈ ̃ dır.
⊆
∩
olur. O halde
ve
=
ve esnek
elde edilir.
⊆
, ∈
~
sonlu esnek kesişimler altında kapalı olduğu için,
~
=⎛
∩
⎞∩
⎝
⎠
elde edilir. O halde ̃ sonlu esnek kesişimler altında kapalıdır.
̃=
iii.
∶
⊆
, ∈
∼
keyfi esnek birleşimler altında kapalı olduğu için,
∼
∩
=
∩
∈
∈
elde edilir. O halde ̃ keyfi esnek birleşimler altında kapalıdır.
Sonuç olarak ̃
,
Örnek 3.5.
Örnek 3.2’de verilen
∩
O halde
∩
̃
=
=
,
=
olduğu için
,
üzerindeki ̃ esnek topolojisini ve
= {( , { }), ( , {
=
olmak üzere
üzerinde bir esnek topolojidir.
,
,
∩
,
=
⊆
})} esnek kümesi göz önüne alalım.
,
∩
=
∩
,
=
ve
esnek kümesi üzerindeki esnek alt uzay topolojisi
biçimindedir. Dolayısıyla
, ̃
, ( , ̃ ) esnek topolojik
uzayının bir esnek topolojik alt uzayıdır (Çağman ve ark., 2011).
Teorem 3.3.
( , ̃ ) ve ( , ̃ ) esnek topolojik uzay ve
16
ve
sırasıyla ̃ ve ̃
⊆
esnek topolojileri için esnek tabanlar olsun. Eğer
ise ̃ , ̃ esnek topolojisinden
esnek incedir (Çağman ve ark., 2011).
İspat. ( , ̃ ) ve ( , ̃ ) esnek topolojik uzay,
topolojileri için esnek tabanlar ve
~
⊆
sırasıyla ̃ ve ̃ esnek
ve
olsun. O halde her
∈ ̃ ve
∈
için
~
=
=
∈
∈
∈ ̃ elde edilir. Sonuç olarak ̃ ⊆ ̃ olduğundan ̃ esnek
biçimindedir. Dolayısıyla
topolojisi ̃ esnek topolojisinden esnek incedir.
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay olsun. Eğer
Teorem 3.4.
, ̃ esnek topolojisi
için bir esnek taban ise
=
∩
koleksiyonu ̃
∶
∈
, ∈
için bir esnek tabandır (Çağman ve ark., 2011).
İspat. ( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
∈ ̃
olsun. Esnek alt uzay topoloji tanımından
∈ ̃ olduğundan
biçimindedir.
=⋃
∼
=
∩
“
∈ ̃
⇒
=
∩
biçiminde yazılabilir. Buradan,
∈
∩
=
∩
∈
Yorum 3.1.
∈ ̃ olmak üzere
ve
∼
=
elde edilir. Sonuç olarak
, ̃ esnek topolojisi için bir esnek taban
∈
, ̃
için bir esnek tabandır.
Çağman ve ark. (2011) makalesinde verilen Teorem 5’deki
∈ ̃”
koşulunun sağlanmadığı görülür. Bu nedenle teorem aşağıdaki gibi güncellendi.
Teorem 3.5.
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
uzayın bir esnek topolojik alt uzayı olsun. Eğer
17
, ̃
, ̃
bu esnek topolojik
de esnek açık ise
⊆
olacak
biçimde ∃
İspat.
∈ ̃ vardır (Enginoğlu ve ark., 2015).
∈ ̃
∈ ̃ olmak üzere
olsun. Tanım 3.8’den
yazılır. Bu durumda her
∈ ̃
⊆
için
olacak biçimde ∃
=
∩
biçiminde
∈ ̃ vardır.
Çağman ve ark. (2011) makalesinde verilen Teorem 6 (i.)’deki “
Yorum 3.2.
evrensel esnek kümesi ve
̃
esnek kapalı kümelerdir.” önermesinin aynı makalede verilen
Tanım 13’e göre sağlanmadığı görülür. Bunun yanı sıra, ( , ̃ ) esnek topolojik uzayında
bir esnek kümenin
’ya göre esnek tümleyeni
evrensel esnek kümesine göre esnek
tümleyenden daha yararlı ve anlamlıdır. Bu nedenle esnek kapalı küme tanımı aşağıdaki
gibi güncellendi.
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
Tanım 3.9.
esnek kümesi ̃ da esnek açık ise
⊆
olsun. Eğer
∖
esnek kümesine bir esnek kapalı küme ya da kısaca
̃ ’ya göre esnek kapalı denir (Enginoğlu ve ark., 2015).
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay olsun. O halde aşağıdaki koşullar
Teorem 3.6.
sağlanır (Enginoğlu ve ark., 2015).
i.
ve
esnek kapalı kümelerdir.
ii.
Esnek kapalı kümelerin keyfi esnek arakesitleri esnek kapalıdır.
iii.
Esnek kapalı kümelerin sonlu esnek birleşimleri esnek kapalıdır.
İspat.
i.
Esnek kapalı küme tanımından,
açıktır. O halde
∶
ii.
∖
ve
∈ ̃, ∈
∽
∖
=
ve
=
∖
esnek kapalıdır.
Benzer olarak, eğer = 1,2, … ,
için
⎝
∽
⎞=
̃ ’da esnek
esnek kapalı kümelerin bir koleksiyonu ise
∈
∽
=
esnek kapalıdır.
esnek açıktır. Bu nedenle ⋂ ∈
∖⎛
∖
∽
∈
iii.
∖
∖
⎠
18
esnek kapalı ise
esnek açıktır. Bu nedenle ⋃
esnek kapalıdır.
Çağman ve ark. (2011) makalesinde verilen Teorem 12-17 ve aynı
Yorum 3.3.
makaledeki bazı tanımların birtakım uyuşmazlıklara sahip olduğu görüldü. Bu zorlukların
üstesinden gelmek için yukarıda bahsedilen teoremler esnek eleman (Nazmul ve Samanta,
2013) yoluyla güncellendi.
∈ ( ) ve
Tanım 3.10.
elemanı denir ve
∖ { } için
∈
tek nokta kümesi ve
∈
⊆
ya da kısaca
olsun. Eğer
( ) = ∅ ise
∈
( ) sadece bir
esnek kümesine
∈
için bir
’nın esnek
ile gösterilir (Nazmul ve Samanta, 2013).
Bu çalışmada, esnek eleman kavramı esnek tek nokta kümesi olarak da adlandırıldı
ve
( ) ∈
,
biçiminde de gösterildi.
Örnek 3.1’de verilen
Örnek 3.6.
önüne alalım. O halde
,
,
esnek kümesinin esnek alt kümelerini göz
ve
esnek kümeleri
kümeleridir. Kısaca bu esnek kümeler sırasıyla
,
,
ve
’nın esnek tek nokta
ile gösterilir (Enginoğlu
ve ark., 2015).
⊆
Yorum 3.4.
ifadesi
esnek kümesinin her esnek elemanının
kümesinin de bir esnek elemanı olmasını gerektirir. Diğer bir ifadeyle, her
⊆
⇔( ∈
⇒
)
∈
biçimindedir.
,
Yorum 3.5.
̃
∈ ( ) olmak üzere, esnek küme işlemleri
∪
={ ∶
∈
∨
∈
}
∩
={ ∶
∈
∧
∈
}
∖
=
∶
∈
∧
∉
=
∶
∉
∧
∈
biçiminde esnek eleman yoluyla da tanımlanabilir.
Teorem 3.7.
,
∈ ( ) ve
⊆
19
olsun. O halde
için
esnek
∈
⇔
∉
∖
önermesi sağlanır (Nazmul ve Samanta, 2013).
⊆
İspat.
∈
⇔
=
ve
∈
( ) olsun. O halde
,
∧
∈
⇔∀ ∈
için
( )⊆
( )∧∀ ∈
için
( )⊆
( )
⇔∀ ∈
için
( )⊆
( )∧∃ ∈
için
( )⊈
( )∖
⇔
∖
∉
biçimindedir.
(
)⇔( ∈
=
∈ ( ) olsun. O halde
,
Teorem 3.8.
⇔
)
∈
önermesi sağlanır (Enginoğlu ve ark., 2015).
İspat. Açıktır.
,
Teorem 3.9.
,
∈ ( ) olsun. O halde
,
i.
(
⊆
∧
⊆
)⇒(
∩
⊆
∩
)
ii.
(
⊆
∧
⊆
)⇒(
∪
⊆
∪
)
∈
⊆
önermeleri sağlanır (Enginoğlu ve ark., 2015).
İspat.
i.
⊆
∈
∧
∩
⊆
olsun. O halde
⇒
∈
∧
⇒
∈
⊆
⇒
∈
∩
biçimindedir. Buradan,
ii.
∈
∧
∩
⊆
İspatı benzer şekilde yapılabilir.
20
∩
elde edilir.
( )
,
Teorem 3.10.
∩
=
∈ ( ) ve
,
⇔
⊆
,
⊆
olsun. O halde
∖
önermesi sağlanır.
İspat.
(⇒):
∩
∈
⇒
=
olsun. O halde
∉
⇒
∈
∖
⇒
⊆
∖
(⇐): Kabul edelim ki
⊆
∖
iken
olur.
⊆
biçimindedir.
∈
∩
∈
için
∈
biçimindedir. Bu durumda,
⊆
yanlıştır. Dolayısıyla,
ve
∖
=
⇔
∈
∖
∩
iken
Teorem 3.10’da
Sonuç 3.1.
∩
∈
ve
=
∩
≠
∖
olsun. O halde her
olduğundan
∈
∖
olması bir çelişkidir. O halde kabul
=
biçimindedir.
olarak alınırsa teorem
̃
⊆
biçiminde ifade edilir.
Tanım 3.11.
∈
⊆
ve
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay,
olacak biçimde ∃
noktası denir.
ve
∈
olsun. Eğer
esnek kümesinin bir esnek iç
esnek kümesinin tüm esnek iç noktalarının esnek birleşimine
∘
kümesinin esnek içi denir ve
Ayrıca
∈ ̃ varsa ’ya,
⊆
esnek
ile gösterilir (Nazmul ve Samanta, 2013).
esnek kümesinin esnek içi,
∘
birleşimidir. Diğer bir ifadeyle,
’nin tüm esnek açık alt kümelerinin esnek
esnek kümesi
tarafından esnek kapsanan en büyük
esnek açıktır (Çağman ve ark., 2011).
Örnek 3.7.
= {( , {
=
Örnek 3.2’de verilen ̃ esnek topolojisini ve
}), ( , {
esnek kümenin esnek içi,
∘
,
=
⊆
olmak üzere
})} esnek kümesini göz önüne alalım. O halde
∪
∪
=
biçimindedir (Çağman ve ark.,
2011).
Teorem 3.11.
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
21
⊆
olsun.
esnek açıktır
∘
=
gerek ve yeter koşul
olmasıdır (Çağman ve ark., 2011).
İspat.
(⇒):
bir esnek açık küme olsun. O halde
esnek açık küme
(⇐):
=
eşitliğinden
∘
∘
olsun. O halde
∘
elde edilir.
esnek kümesi esnek açık olduğundan
∘
=
esnek açıktır.
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
Teorem 3.12.
i.
=
’ye eşittir. Bu nedenle
tarafından esnek kapsanan en büyük
∘ )°
(
⊆
olsun. O halde
∘
=
⊆
ii.
,
⇒
∘
⊆
∘
iii.
∘
∩
∘
=(
∩
)∘
iv.
∘
∪
∘
⊆(
∪
)∘
önermeleri sağlanır (Çağman ve ark., 2011).
İspat.
i.
∘
=
Dolayısıyla (
⊆
ii.
∘ )°
∘
=
∘
esnek kümesi
⇒
∘
∘
⊆
Esnek iç tanımından,
∘
∩
∘
⊆
⊆
∘
∘
olmasıdır.
⊆
∘
ve
⊆
biçimindedir.
elde edilir.
∘
ve
elde edilir. (
∩
∘
tarafından esnek kapsanan en büyük esnek açık
⊆
kümedir. O halde
=
elde edilir.
olsun. Esnek iç tanımından,
Ayrıca
iii.
∈ ̃ gerek ve yeter koşul
olsun. Bu durumda,
⊆
biçimindedir. Buradan,
)∘ esnek kümesi
∩
∩
esnek
kümesi tarafından esnek kapsanan en büyük esnek açık kümedir. Bu nedenle
∘
∩
∘
⊆(
∩
)∘
olur.
biçimindedir. O halde (
nedenle, (
)∘ ⊆
∩
∘
∘
)∘ ⊆
∩
∩
∩
Tersine,
∘
ve (
⊆
)∘ ⊆
∩
olur. Sonuç olarak
∘
∩
ve
∩
∘
∘
⊆
elde edilir. Bu
=(
∩
)∘ elde
edilir.
iv.
Esnek iç tanımından,
elde edilir. (
∪
∘
⊆
ve
∘
⊆
)∘ esnek kümesi
∪
en büyük esnek açık kümedir. Dolayısıyla
Tanım 3.12.
gösterilir (Çağman ve ark., 2011).
22
∪
∘
⊆
∪
esnek kümesini esnek kapsayan
∘
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
tüm esnek kapalı üst kümelerinin esnek kesişimine
∘
olur. O halde
∪
∘
⊆
⊆(
∪
)∘ elde edilir.
olsun. O halde
’nin
’nin esnek kapanışı denir ve
ile
Ayrıca
esnek kümesi
esnek kümesini esnek kapsayan en küçük esnek kapalı
kümedir (Çağman ve ark., 2011).
Örnek 3.2’de verilen ̃ esnek topolojisini göz önüne alalım. Burada
Örnek 3.8.
= {( , { }), ( , {
=
= {( , { ,
ve
∩
=
}), ( , {
,
})} esnek kümesi için
,
})}
= {( , { }), ( , {
})}
,
=
esnek kapalı üst kümelerdir. O halde
biçimindedir (Enginoğlu ve ark., 2015).
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
Teorem 3.13.
=
kümedir gerek ve yeter koşul
⊆
olsun.
esnek kapalı
olmasıdır (Çağman ve ark., 2011).
İspat.
(⇒):
bir esnek kapalı küme olsun. O halde
kapalı küme
(⇐):
eşitliğinden
’ye eşittir. Bu nedenle
=
=
esnek kümesi esnek kapalı olduğundan
olsun. O halde
⊆
elde edilir.
=
esnek kapalıdır.
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
Teorem 3.14.
∘
’yi esnek kapsayan en küçük esnek
⊆
⊆
olsun. O halde
esnek kapsama sağlanır (Çağman ve ark., 2011).
İspat.
∘
=⋃
∶
∈ ̃,
=⋂
( ) ve
∶
∖
∘
Teorem 3.15.
∈ ̃,
⊆
, ∈
⊆
⊆
ii.
∖
iii.
⊆
(
∩
∪
∘
⊆
=
)⊆
=(
için
( )⊆
∘
∖
⊆
∩
∪
)
önermeleri sağlanır (Çağman ve ark., 2011).
23
( )
elde edilir.
olduğundan her
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
⇒
∈
⊆
∈
için
elde edilir.
elde edilir.
=
i.
v.
olduğundan her
( ) biçimindedir. Bu nedenle
( )⊆⋂∈
Dolayısıyla
iv.
, ∈
( ) biçimindedir. Bu nedenle
( )⊆
ve ⋃ ∈
⊆
,
⊆
olsun. O halde
( )⊆
İspat.
=
olsun. Bu durumda
=
olmasıdır. Dolayısıyla
i.
esnek kapalı kümedir gerek ve yeter koşul
=
elde edilir (Çağman ve ark.,
2011).
ii.
Esnek kapanış ve esnek iç tanımlarından,
∖
=
∼
⎛
∖⎜
~
⎞
⎟=
∖
⊇
⎝
∖
∖
⎠
∈
⊇
∖
=
∘
∖
∖
∈
elde edilir (Enginoğlu ve ark., 2015).
⊆
iii.
⊆
olsun. Esnek kapanış tanımından,
bir ifadeyle,
⊆
⊆
ve
biçimindedir.
⊆
ve
esnek kümesi
⊆
kapsayan en küçük esnek kapalı küme olduğu için
⊆
kapsaması sağlanır. Bu nedenle
iv.
Esnek
∩
kapanış
⊆
elde edilir. (
∩
’yi esnek
⊆
esnek
elde edilir (Çağman ve ark., 2011).
⊆
tanımından,
olur. Diğer
⊆
ve
olur.
) esnek kümesi
∩
O
halde
∩
esnek
kümesini esnek kapsayan en küçük esnek kapalı küme olduğu için
(
v.
∩
Esnek
∪
)⊆
∩
kapanış
⊆
elde edilir (Çağman ve ark., 2011).
⊆
tanımından,
elde edilir. (
∪
⊆
ve
olur.
) esnek kümesi
∪
O
halde
∪
esnek
kümesini esnek kapsayan en küçük esnek kapalı küme olduğu için
(
∪
)⊆
∪
⊆
⊆(
∪
) olur. Bu nedenle,
∪
=(
Dolayısıyla
Teorem 3.16.
elde
edilir.
∪
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
i.
∈
ii.
, ̃ için bir esnek taban olsun. O halde
olacak biçimde ∀
∈
,
⊆(
∪
)
∪
ve
) biçimindedir.
) elde edilir (Çağman ve ark., 2011).
∪
∈
gerek ve yeter koşul
⊆(
⊆
Tersine,
∩
⊆
olacak biçimde ∀
≠
24
,
∈
olsun. O halde
∈ ̃,
∩
gerek ve yeter koşul
≠
.
∈
biçimindedir (Çağman ve ark. 2011).
İspat.
Mantıksal olarak; hipotez “ ∉
i.
olacak biçimde ∃
(⇒): Eğer
∈
biçimde ∃
∃
∘
∩
ve
=
esnek açık kümesi vardır.” ifadesine denktir.
∉
∖
∈
gerek ve yeter koşul
∈
ise
∖
olur. Teorem 3.15 (ii.)’den
∈
elde edilir. Esnek iç tanımından,
∈ ̃ vardır. Dolayısıyla
∈
⊆
∩
ve
∖
=
olacak
olacak biçimde
∈ ̃ vardır.
(⇐): Eğer
∈
⊆
var ise
∩
ve
∖
=
olacak biçimde ∃
∖
olacak biçimde
⊆
Esnek kapanış tanımından,
∖
esnek açık kümesi
bir esnek kapalı kümedir.
∉
olur. Dolayısıyla,
elde
edilir (Enginoğlu ve ark., 2015).
(⇒):
ii.
∈
∈
olacak biçimde
ve
∈
∈
olacak biçimde ∀
tanımından ve Teorem 3.16 (i.)’den
∩
(⇐):
≠
∈
olsun. Esnek taban
∈
,
elde edilir.
olacak biçimde ∀
olacak biçimde ∀
∈ ̃,
∩
∈
∩
,
≠
≠
∈
ise bu nedenle
∈
olur. Dolayısıyla
elde edilir
(Enginoğlu ve ark., 2015).
Örnek 3.9.
= {( , {
Örnek 3.2’de verilen ( , ̃ )
}), ( , {
= {( , { })},
})}
esnek
= {( , {
kümesini
})},
= {( , {
esnek topolojik uzayını
göz
})} ve
önüne
= {( , {
alalım.
ve
Burada
})} biçimindedir.
O halde Teorem 3.16 gereğince,
,
∩
∈ ̃
olmak üzere
≠
olduğundan
∈ ̃
olmak üzere
∈
∈
∩
için
≠
∈
ve
için
elde edilir.
∈
∩
için
=
∉
olduğundan
elde
edilir.
,
∩
≠
,
∩
≠
∈ ̃
olmak üzere
olduğundan
∈ ̃
∈
olmak üzere
olduğundan
∈
∈
için
∩
≠
∈
ve
için
elde edilir.
∈
için
∩
≠
∈
ve
için
elde edilir.
=
Ayrıca esnek kapanış tanımından,
görülür.
25
= {( , {
}), ( , {
,
})} olduğu
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay
Tanım 3.13.
∈
⊆
olacak biçimde bir
esnek komşuluğu denir.
∶
ve
esnek açık kümesi var ise
∈
olsun. Eğer
esnek kümesine
’nın tüm esnek komşuluklarının kümesine
komşuluklarının ailesi denir ve
( )={
⊆
∈ ̃ ∧
’nın
’nın esnek
( ) ile gösterilir. Diğer bir ifadeyle,
∈
}
⊆
biçimindedir (Nazmul ve Samanta, 2013).
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay
Tanım 3.14.
{
∈ ̃∶
⊆
ve
∈
olmak üzere
}
∈
kümesine ’nın esnek açık komşuluklarının ailesi denir ve
( ) ile gösterilir (Enginoğlu
ve ark, 2015).
Örnek 3.2’de verilen ( , ̃ ) esnek topolojik uzayını ve
Örnek 3.10.
( ,{
}) ∈
,
,
esnek tek nokta kümesini göz önüne alalım. O halde
ve ( ) =
,
,
olması için gerek ve yeter koşul ∀ ∈
biçimde bir
∈
⊆
olsun.
’nin esnek açık
∈ ( ) olmak üzere
için
⊆
olacak
esnek kümesi olmasıdır.
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay
Tanım 3.15.
∀
( )=
biçimindedir (Enginoğlu ve ark., 2015).
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
Sonuç 3.2.
=
( ) için
∩
∖
≠
ise ’ya,
,
⊆
ve
∈
olsun. Eğer
esnek kümesinin bir esnek limit noktası
denir (Nazmul ve Samanta, 2013).
Burada,
esnek kümesinin tüm esnek limit noktalarının esnek birleşimi
ile
gösterilir.
Örnek 3.2’de verilen ( , ̃ ) esnek topolojik uzayını ve
Örnek 3.11.
kümesini göz önüne alalım. O halde
∩
∩
∖
∖
=
=
∩
∩
=
=
≠
≠
26
esnek
∩
∖
∩
=
∖
∩
=
∖
∩
∩
=
=
=
∖
=
∩
=
∖
∩
∩
≠
∩
=
∩
≠
=
≠
=
≠
olduğu için
~
=
,
,
=
elde edilir (Enginoğlu ve ark., 2015).
Teorem 3.17.
∪
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
⊆
olsun. O halde
=
eşitliği sağlanır (Çağman ve ark., 2011).
İspat. Eğer
∈
∈
ise
∈
∪
durumda,
∈
∈
Tanım 3.15’den ∀
olduğu için
∈
∈
∪
∈ ( ) için
∪
∈
biçimindedir. Bu durumda, eğer
∈ ( ) için
ise ∀
∈ ( ) için
elde edilir. Tersine,
ise
∨
∈
olur. Eğer
biçimindedir ve bu nedenle ∀
(i.)’den
∈
ise
∩
∈
≠
=
∩
∨
∉
olduğu açıktır. Eğer
∩
∖
≠
olur. Dolayısıyla Teorem 3.16
∈
ise
∩
∖
elde edilir. Sonuç olarak
∉
biçimindedir. Bu
ise Teorem 3.16 (i.)’den ve
≠
∈
olur. Bu nedenle,
∪
=
eşitliği sağlanır
(Enginoğlu ve ark., 2015).
Örnek 3.12.
Örnek 3.2’de verilen ( , ̃ ) esnek topolojik uzayını ve
kümesini göz önüne alalım. Örnek 3.11’den
olduğu görülür. Ayrıca
esnek kümesi
=
= {( , { }), ( , {
esnek
,
})}
’ün en küçük esnek kapalı üst kümesi
27
olduğundan
=
esnek kümesinin esnek kapanışı
∪
gereğince
=
Teorem 3.18.
biçimindedir.
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
⊆
kapalıdır gerek ve yeter koşul
esnek kapalıdır ⇔
İspat.
Teorem 3.19.
i.
⊆
ii.
⊆
elde edilir. Teorem 3.17
olsun. O halde
esnek
olmasıdır (Çağman ve ark., 2011).
=
⇔
=
∪
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
⇒
⊆
⇔
,
⊆
⊆
.
olsun. O halde
⊆
iii.
(
∩
) ⊆
∩
iv.
(
∪
) =
∪
önermeleri sağlanır (Çağman ve ark., 2011).
İspat.
i.
Tanım 3.15 ve Teorem 3.16 (i.)’den
∈
⇒∀
∈ ( ),
∩
∖
⇒∀
∈ ( ),
∩
≠
⇒
≠
⊆
biçimindedir (Enginoğlu ve ark., 2015).
⊆
ii.
∈
olsun.
⇒∀
∈ ( ),
∩
∖
≠
⇒∀
∈ ( ),
∩
∖
≠
⇒
⊆
O halde
∩
iii.
(
∩
∈
⊆
) ⊆
elde edilir (Enginoğlu ve ark., 2015).
ve
∩
⊆
olduğu
elde edilir. O halde (
için
(
∩
) ⊆
) ⊆
∩
∩
ve
bulunur
(Enginoğlu ve ark., 2015).
iv.
⊆
∪
ve
⊆
∪
28
olduğu
için
⊆(
∪
)
ve
⊆(
) elde edilir. O halde
∪
) bulunur.
∪
∈ ( ) için
Tersine, ∀
∈(
⊆(
∪
)
∪
⇔
∩ (
∪
)∖
≠
⇔
∩
∖
∪
∖
⇔
Bu nedenle (
∩
∖
⇔
∈
∨
⇔
∈
∪
) ⊆
∪
∪
∪
≠
∩
∖
≠
∈
bulunur. Dolayısıyla (
∪
) =
∪
elde edilir (Enginoğlu ve ark., 2015).
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
Tanım 3.16.
( ) için
denir.
∩
≠
ve
∩
∖
≠
ise
⊆
’ya
olsun. Eğer her
∈
’nin bir esnek sınır noktası
’nin tüm esnek sınır noktalarının esnek birleşimine
’nin esnek sınırı denir ve
ile gösterilir (Enginoğlu ve ark., 2015).
Diğer bir ifadeyle,
=
’nin esnek sınırı
∩
∖
biçiminde de ifade edilir
(Çağman ve ark., 2011).
Örnek 3.13.
ve
∖
=
Örnek 3.8’i göz önüne alalım.
=
=
esnek kümesi için
=
∩
∖
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
⊆
olsun. O halde
biçimdedir. O halde
=
∩
elde edilir (Enginoğlu ve ark., 2015).
Teorem 3.20.
i.
⊆
ii.
=
∖
iii.
=
∖
∘
önermeleri sağlanır (Çağman ve ark., 2011).
İspat.
i.
Esnek sınır noktası tanımından,
29
=
=
∈
∈
∩
⇒
∈
∧
⇒
∈
⊆
O halde
ii.
⇒
∖
∈
∖
elde edilir (Enginoğlu ve ark., 2015).
Esnek sınır noktası tanımından,
∈
⇔∀
∈ ( ),
∩
≠
∧
⇔∀
∈ ( ),
∩
∖
∖
⇔
∈
iii.
∖
≠
≠
∧
∩
∖
≠
∖
=
O halde
∩
∖
elde edilir (Enginoğlu ve ark., 2015).
Esnek kapanış ve esnek iç tanımlarından,
∖
∘
=
∩
∖
∖
⎝
=
⊆
∼
⎛
∩⎜
⎜
⎛
∖⎜
⎝
⎝
∖
⎞
⎟=
∼
⎛
∩⎜
=
∘
⎞⎞
⎟⎟
⎟
⊆
∈
⎠⎠
∩
∖
∖
⎠
∈
=
elde edilir (Enginoğlu ve ark., 2015).
Örnek 3.2’de verilen ( , ̃ )
Örnek 3.14.
= {( , {
}), ( , {
,
})} esnek kümesini göz önüne alalım.
esnek içi,
~
∘
=
,
esnek topolojik uzayını
=
30
ve
esnek kümesinin
biçimindedir. Gerçekten,
= ( ,{
}) için
∈
⊆
olacak biçimde bir
= ( ,{
}) için
∈
⊈
ve
= ( ,{
}) için
∈
⊆
olacak biçimde bir
esnek kümesi
∈
⊈
∈ ̃ vardır.
olduğu için
=
biçimindedir.
esnek kümesinin tüm esnek limit noktalarının esnek birleşimi,
~
,
,
=
olarak bulunur. Gerçekten,
∩
∖
∩
=
∖
∩
=
∖
∩
=
∖
∩
∩
=
biçimindedir.
≠
=
=
∩
∩
≠
=
∩
=
∖
=
=
∩
=
∖
∩
∩
=
∖
∩
∩
≠
≠
=
=
≠
≠
esnek kümesinin esnek sınırı,
~
=
,
=
31
°
dir.
∈ ̃ vardır.
’nin en küçük esnek kapalı üst kümesi olduğundan
kümesinin esnek kapanışı
=
∉
esnek
olarak bulunur. Gerçekten,
,
∈ (
) için
=
≠
∩
∩
=
,
≠
,
,
∩
,
=
≠
∈ (
) için
=
≠
∩
∩
,
∩
ve
∈ (
=
≠
∈ (
) için
=
≠
∩
ve
∩
∖
∖
=
=
∩
∩
=
=
≠
≠
) için
ve
∩
∖
=
∩
=
ve
∩
∖
=
∩
=
=
≠
∩
=
ve
∩
ve
∖
∩
=
∖
biçimindedir (Enginoğlu ve ark., 2015).
32
∩
=
≠
BÖLÜM 4
ESNEK AYIRMA AKSİYOMLARI
Bu bölümde, esnek ayırma aksiyomları verildi ve ilgili özellikleri incelendi.
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay olsun. Eğer
Tanım 4.1.
∀
,
∈
∈ (
için
biçimde ∃
) ve
(
∉
) veya
(
∉
≠
) ve
∈ ̃ varsa ( , ̃ ) esnek topolojik uzayına bir esnek
,
olmak üzere
∈ (
) olacak
uzay denir (Nazmul
ve Samanta, 2014).
Örnek 3.2’de verilen ( , ̃ ) esnek topolojik uzayı bir esnek
Örnek 4.1.
≠
uzay değildir. Gerçekten,
olmak üzere ∀
,
∈
için tek esnek açık
esnek
kümesidir.
Bir ( , ̃ ) esnek topolojik uzayı esnek
Teorem 4.1.
≠
koşul
olmak üzere ∀
,
∈
≠
için
uzaydır gerek ve yeter
olmasıdır.
İspat.
(⇒): ( , ̃ ) bir esnek
∈ (
) ve
) veya
(
∉
vardır. Burada,
∈ (
(
∉
(
) ve
) olduğundan
∩
∉
,
∈
için
(⇐):
≠
olmak üzere ∀
∉
(i.)’den
≠
≠
) olacak biçimde ∃
=
∉
∩
,
,
=
∈
Örnek
Örnek 4.2.
̃=
,
,
,
,
,
,
,
∈
,
∈
≠
∈ (
için
3.1’de
,
,
Bir esnek
İspat. ( , ̃ ) bir esnek
veya
∉
tanımından,
veya
∩
(
) ve
≠
∉ (
≠
∈ (
∈ (
∈ ̃
olmak
) ve
verilen
) vardır. Dolayısıyla
(
∉
) olacak biçimde
uzaydır.
esnek
kümesi
=
⊆
uzay ve
olmak üzere ∀
=
,
=
,
,
∈
olmak üzere
, ̃
,
∈
∈ (
için
∈
için
,
∩
uzaydır.
bir esnek topolojik
(
) ve
∉
(
)
∈ ̃ vardır. Esnek alt uzay
∈ (
) olacak biçimde ∃
33
=
ve
uzaydır.
) olacak biçimde ∃
∩
üzerinde
koleksiyonu bir esnek topolojidir. Ayrıca farklı
uzayın her esnek alt uzayı da bir esnek
olmak üzere ∀
) ve
,
olsun. O halde Teorem 3.16
olacak biçimde ∃
olduğundan Teorem 4.1 gereğince, ( , ̃ ) bir esnek
alt uzay olsun. O halde
için
≠
olur. Dolayısıyla
için
esnek elemanları için
Teorem 4.2.
∈
biçimindedir. Aynı zamanda
∈ ̃ vardır. O halde ( , ̃ ) esnek topolojik uzayı bir esnek
∃
,
elde edilir.
olduğunda
olmak üzere ∀
olmak üzere ∀
∈ (
) olduğundan Teorem 3.16 (i.)’den
üzere ∀
≠
uzay olsun. O halde
) ve
∩
∩
,
∉
∩
(
∈ ̃
)
, ̃
vardır. O halde
,
∈
∈ (
için
biçimde ∃
uzaydır.
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay olsun. Eğer
Tanım 4.2.
∀
bir esnek
) ve
∉
(
) ve
∉
(
≠
) ve
∈ ̃ varsa ( , ̃ ) esnek topolojik uzayına bir esnek
,
olmak üzere
∈ (
) olacak
uzay denir (Nazmul
ve Samanta, 2014).
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay olsun. O halde aşağıdaki ifadeler
Teorem 4.3.
denktir.
i.
( , ̃ ) esnek topolojik uzayı esnek
ii.
Her esnek tek nokta kümesi esnek kapalıdır.
iii.
∀ ∈
için ⋂ ( ) =
uzaydır.
biçimindedir.
İspat.
(i.)⇒(ii.)
( , ̃ ) bir esnek
∈
uzay ve
biçimindedir. Burada ( , ̃ ) bir esnek
∉
(
) ve
) olacak biçimde ∃
=
ve
⊆
∖
,
∖
∈ (
uzay olduğundan
∈ (
∩
olduğundan
∈
olsun. O halde
) ve
∉
∉
ve
∈ ̃ vardır.
≠
için
biçimindedir. Sonuç 3.2’den
(
) ve
∈
∖
esnek
esnek kapalıdır. Sonuç olarak ( , ̃ ) bir esnek
kümesi esnek açıktır. Dolayısıyla
uzay ise her esnek tek nokta kümesi esnek kapalıdır.
(ii.)⇒(iii.)
Her esnek tek nokta kümesi esnek kapalı olsun. Bir
∈
esnek tek nokta kümesi
∈
her esnek açık komşuluğunun esnek elemanı olduğundan
∈⋂ (
⇒
)
biçiminde yazılabilir.
Kabul edelim ki,
durumda ∀
∈ (
∈⋂ (
) için
∩
) ve
≠
≠
olmak üzere
∈⋂ (
=
elde edilir. Her
∈
∉
∈
olur. O halde Teorem 3.16 (i.)’den
biçimindedir. Ancak her esnek tek nokta kümesi esnek kapalı olduğundan
sağlanır. Diğer bir ifadeyle,
) olsun. Bu
=
eşitliği
biçimindedir. Bu ise bir çelişkidir. Dolayısıyla
için ⋂ ( ) =
biçimindedir.
(iii.)⇒(i.)
≠
halde
∈ (
esnek tek nokta kümeleri için ⋂ (
) ve
∉ (
) ve
∉
(
) ve
)=
∈ (
̃ vardır. Buradan ( , ̃ ) esnek topolojik uzayının bir esnek
Örnek 4.3.
ve ⋂ (
)=
olsun. O
) olacak biçimde ∃
,
∈
uzay olduğu görülür.
Örnek 3.2’de verilen ( , ̃ ) ve ( , ̃ ) esnek topolojik uzayları
34
göz önüne alalım. ( , ̃ ) esnek topolojik uzayı için her esnek tek nokta kümesi esnek
kapalı olduğundan ( , ̃ ) bir esnek
= ( ,{
uzayı için
}) ve
uzaydır. Diğer taraftan ( , ̃ ) esnek topolojik
= ( ,{
}) esnek tek nokta kümelerinin birbirini
içermeyen bir esnek açık komşulukları olmadığından ( , ̃ ) bir esnek
Bir esnek
Teorem 4.4.
İspat. ( , ̃ ) bir esnek
(
) ve
∩
∉
O halde
, ̃
) ve
,
∈
,
∈
) olacak biçimde ∃
,
∈ (
∩
bir esnek
∈
∩
için
) ve
∉
∈ ̃ vardır. Esnek alt uzay
∈ (
∩
için
∈ (
için
,
uzaydır.
bir esnek topolojik
) olacak biçimde ∃
) ve
∩
,
∩
(
∉
)
∩
∈ ̃
≠
olmak üzere
vardır.
uzaydır.
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay olsun. Eğer
Tanım 4.3.
∀
∈ (
, ̃
olmak üzere
olmak üzere ∀
olmak üzere ∀
(
⊆
uzay ve
) ve
≠
tanımından,
ve
(
∉
uzayın her esnek alt uzayı da bir esnek
≠
alt uzayı olsun. O halde
uzay değildir.
=
∈ (
olacak biçimde ∃
) ve ∃
( , ̃ ) esnek topolojik uzayına bir esnek Hausdorff uzay (esnek
∈ (
) varsa
uzay) denir (Nazmul ve
Samanta, 2014).
Örnek 3.2’de verilen ( , ̃ ) esnek topolojik uzayını göz önüne
Örnek 4.4.
alalım. Her
∈
∈ ̃ biçimindedir. Diğer bir ifadeyle, her
için
dır. ∀ için
⊆
,
biçimindedir. Örneğin,
∩
=
≠
ve esnek eleman tanımından
∈
olacak biçimde
∈
olduğunda
olmak üzere
= ( , { }) ve
∈ (
∈ (
) ve
∈ ( )
için
∩
= ( ,{
=
}) için
) vardır. Dolayısıyla ( , ̃ )
esnek topolojik uzayı bir esnek Hausdorff uzaydır.
Örnek 3.2’de verilen ( , ̃ ) esnek topolojik uzayındaki
Örnek 4.5.
kümesinin
= ( ,{
∩
alalım. Burada
}) ve
=
= ( ,{
esnek
}) esnek tek nokta kümelerini göz önüne
olacak biçimde ∃
∈ (
) ve ∃
∈ (
) bulunamadığı
için ( , ̃ ) bir esnek Hausdorff uzay değildir.
Teorem 4.5.
Bir esnek Hausdorff uzayda her esnek tek nokta kümesi esnek
kapalıdır.
İspat. ( , ̃ ) bir esnek Hausdorff uzay ve
≠
olsun. O halde esnek Hausdorff uzay tanımından,
∩
(
) ve ∃
∈ (
) vardır.
elde edilir. Bu nedenle, ∀
≠
∩
için
edilir. Sonuç olarak Teorem 3.13’den
=
,
olacak biçimde
=
olacak biçimde ∃
olduğundan Teorem 3.16 (i.)’den
∉
olur. Diğer bir ifadeyle,
esnek kapalıdır.
35
∈
=
∈
∉
elde
Bir esnek Hausdorff uzayın her esnek alt uzayı da bir esnek
Teorem 4.6.
Hausdorff uzaydır.
İspat. ( , ̃ ) bir esnek Hausdorff uzay ve
≠
topolojik alt uzay olsun. O halde
∈ (
olacak biçimde ∃
∀
,
∃
için (
∈
∈ (
∩
)∩(
∈ (
) vardır. O halde
, ̃
,
∈
bir esnek
∩
için
=
) vardır. Esnek alt uzay tanımından,
)=
∩
, ̃
olmak üzere
olmak üzere ∀
) ve ∃
∩
⊆
olacak biçimde ∃
∈ (
∩
) ve
bir esnek Hausdorff uzaydır.
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay olsun. O halde aşağıdaki ifadeler
Teorem 4.7.
denktir.
( , ̃ ) bir esnek Hausdorff uzaydır.
i.
≠
ii.
olmak üzere ∀
∈
∈
=
biçimindedir.
için
ve
∉
olacak biçimde
∈ ̃ vardır.
bir
∀ ∈
iii.
,
için ⋂
∈ ( )
İspat.
(i.)⇒(ii.)
( , ̃ ) bir esnek Hausdorff uzay olsun. O halde
∩
için
=
∈
(i.)’den
bir
∩
ve
≠
Dolayısıyla
∈ (
olacak biçimde ∃
=
) ve ∃
olacak biçimde ∃
olmak üzere ∀
,
∈
≠
olmak üzere ∀
∈ (
∈
ve
∈
) vardır. Teorem 3.16
∈ ̃ olduğundan
için
,
∉
∉
elde edilir.
olacak biçimde
∈ ̃ vardır.
(ii.)⇒(iii.)
≠
olmak üzere ∀
⋂
∈ (
=
)
∈
∈ (
∈ ̃ var olsun. Buradan,
∉
edilir. Diğer taraftan
,
∈
için
) için
∈
∉⋂
olduğundan
∉
ve
olduğundan
∈ (
olacak biçimde bir
∈⋂
∈ (
olur. O halde ∀
)
)
elde
∈
için
biçimindedir.
(iii.)⇒(i.)
∀
∈
durumda,
(
için ⋂
∉⋂
∈ (
) vardır. Burada
olduğundan
∈
∖
=
≠
ve
olmak üzere
∈ (
)
)
olur. Diğer bir ifadeyle,
∖
esnek kapalı olduğundan
ve aynı zamanda
( , ̃ ) bir esnek Hausdorff uzaydır.
36
∩
∉
∖
,
∈
olsun. Bu
olacak biçimde ∃
∈ ̃ olur. Üstelik,
=
∈
∉
biçimindedir. O halde
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay olsun.
Teorem 4.8.
i.
( , ̃ ) bir esnek
uzay ise ( , ̃ ) bir esnek
ii.
( , ̃ ) bir esnek Hausdorff uzay ise ( , ̃ ) bir esnek
uzaydır.
uzaydır.
(Nazmul ve Samanta, 2014).
İspat. Esnek
,
ve Hausdorff uzay tanımlarından açıktır.
Ancak Teorem 4.8’in tersi her zaman sağlanmamaktadır.
̃=
Örnek 4.6.
,
verilen ( , ̃ ) bir esnek
∈ (
elemanları için
∃
,
,
,
,
uzaydır. Ancak
) ve
(
∉
) ve
∈ ̃ bulunamadığından ( , ̃ ) bir esnek
,
,
= ( ,{
(
∉
olmak üzere Örnek 4.2’de
}) ve
) ve
= ( ,{
∈ (
}) esnek
) olacak biçimde
uzay değildir.
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay olsun. Esnek kapalı her
Tanım 4.4.
∉
kümesi ve
,
özelliğindeki her
olacak biçimde ∃
∈
⊆
için
∈
,
esnek
∩
ve
=
∈ ̃ varsa ( , ̃ ) esnek topolojik uzayına bir esnek regüler uzay
,
denir (Nazmul ve Samanta, 2014).
Bir esnek topolojik uzayda her esnek açık küme esnek kapalı ise bu
Teorem 4.9.
esnek topolojik uzay esnek regüler uzaydır.
İspat. ( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve bu uzaydaki her esnek açık küme esnek
kapalı olsun. Esnek kapalı
esnek kümesi ve
∉
verilsin. Bu durumda,
̃ elde edilir. Aynı zamanda
⇒
∈
,
∖
ve
∖
ve
∈
özelliğinde
esnek elemanı
∖
esnek kapalı olduğundan
esnek kapalı kümesi ̃ ’da esnek açık olduğundan
olur. O halde esnek kapalı her
⊆
∈
∉
∉
esnek kümesi ve
∩
∖
=
∈
özelliğindeki her
olacak biçimde ∃
,
∖
∈
⊆
için
∈ ̃ vardır.
Dolayısıyla ( , ̃ ) bir esnek regüler uzaydır.
Örnek 3.1’de verilen
Örnek 4.7.
̃=
,
,
,
,
,
esnek kümesinin esnek alt kümeleri için
olmak üzere ( , ̃ ) bir esnek regüler uzaydır. Gerçekten,
,
esnek kümeleri ̃ ’da hem esnek açık hem de esnek kapalıdır.
Teorem 4.10.
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
⊆
olmak üzere
⊆
bu esnek topolojik uzayın bir esnek topolojik alt uzayı olsun. O halde
kümesi ̃
’de esnek kapalıdır gerek ve yeter koşul
esnek kapalı bir
=
∩
, ̃
esnek
olacak biçimde ̃ ’da
esnek kümesi vardır.
İspat. ( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve
topolojik alt uzay olsun.
37
⊆
olmak üzere
, ̃
bir esnek
(⇒):
⊆
esnek kümesi ̃ ’de esnek kapalı olsun. Bu durumda,
∈ ̃ olmak üzere
olur. Esnek alt uzay tanımından,
=
Buradan,
(⇐):
∖
∩
=
∩
olsun. Buradan,
∖
esnek kümesi ̃
∖
olacak biçimde
∖
=
∩
∈ ̃
biçimindedir.
, ̃ ’da esnek kapalıdır.
esnek kümesi ̃ ’da esnek kapalı bir küme
olacak biçimde
=
∖
∖
∩
∖
olduğundan
∈ ̃
elde edilir. O halde
’de esnek kapalıdır.
Bir esnek regüler uzayın her esnek alt uzayı da bir esnek regüler
Teorem 4.11.
uzaydır.
İspat. ( , ̃ ) bir esnek regüler uzay,
⊆
topolojik alt uzay ve
⊆
∉
olmak üzere
=
∉
∩
⇒
∉
⊆
uzay olduğundan
∩
Üstelik,
∃
∩
,
⊆
∩
∩
∈ ̃
∩
∉
olur. Buradan,
,
∈
ve
∩
∈
∩
ve (
=
, ̃
vardır. O halde
için
∩
∉
bir esnek
, ̃
’de bir
esnek kümesi ̃ ’da esnek
∉
biçimindedir.
∨
,
∈
özelliğinde
esnek kapalı küme olsun. Bu durumda, Teorem 4.10’dan
kapalı bir küme olmak üzere
, ̃
olmak üzere
olduğundan
ve ( , ̃ ) bir esnek regüler
olacak biçimde ∃
,
)∩(
olacak biçimde
)=
∩
∈ ̃ vardır.
esnek topolojik alt uzayı bir esnek
regüler uzaydır.
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay olsun. Eğer ( , ̃ ) esnek topolojik
Tanım 4.5.
uzayı bir esnek
esnek
uzay ve bir esnek regüler uzay ise ( , ̃ ) esnek topolojik uzayına bir
uzay denir.
Örnek 3.2’de verilen ( , ̃ ) ve ( , ̃ ) esnek topolojik uzayları
Örnek 4.8.
göz önüne alalım.
( , ̃ ) esnek topolojik uzayı için her esnek tek nokta kümesi esnek kapalı
olduğundan ( , ̃ ) bir esnek
uzaydır. Üstelik, ( , ̃ ) esnek topolojik uzayındaki her
esnek açık esnek kapalı olduğundan ( , ̃ ) bir esnek regüler uzaydır. Bu nedenle, ( , ̃ )
bir esnek
uzaydır.
( , ̃ ) esnek topolojik uzayı için her esnek tek nokta kümesi esnek kapalı
olmadığından ( , ̃ ) bir esnek
uzay değildir. Ayrıca ( , ̃ ) bir esnek regüler uzay
değildir. Bu nedenle, ( , ̃ ) bir esnek
Teorem 4.12.
Her esnek
İspat. ( , ̃ ) bir esnek
( , ̃ ) bir esnek
uzay değildir.
uzay bir esnek Hausdorff uzaydır.
uzay ve
uzay olduğundan
≠
olmak üzere
,
∈
olsun. O halde
esnek tek nokta kümesi esnek kapalıdır. Diğer bir
38
=
ifadeyle
⊆
regüler uzay olduğundan
∩
vardır. Dolayısıyla,
∈
,
=
elde edilir. Ayrıca, ( , ̃ ) bir esnek
∉
biçimindedir. Buradan
∩
ve
=
olacak biçimde ∃
∈ (
olacak biçimde ∃
) ve ∃
,
∈ ̃
∈ (
)
olduğundan ( , ̃ ) bir esnek Hausdorff uzaydır.
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay olsun. Eğer
Tanım 4.6.
,
özelliğindeki her
⊆
olacak biçimde ∃
⊆
esnek kapalı kümeleri için
⊆
,
∩
=
∩
ve
=
∈ ̃ varsa ( , ̃ ) esnek topolojik uzayına bir esnek normal
,
uzay denir (Nazmul ve Samanta, 2014).
Örnek 3.2’de verilen ( , ̃ ) esnek topolojik uzayını göz önüne
Örnek 4.9.
,
alalım.
,
,
,
,
esnek kümeleri
∩
esnek kapalı kümeleri
⊆
⊆
,
∩
ve
̃ ’deki esnek kapalı kümelerdir. Burada
=
özelliğini sağlamaktadır. Fakat,
olduğundan ( , ̃ ) bir esnek normal uzay
≠
değildir.
Bir esnek topolojik uzayda her esnek açık küme esnek kapalı ise bu
Teorem 4.13.
esnek topolojik uzay esnek normal uzaydır.
İspat. ( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay ve bu uzaydaki her esnek açık küme esnek
∩
kapalı olsun. O halde
⊆
için
⊆
,
ve
=
∩
özelliğindeki her
=
,
⊆
esnek kapalı kümeleri
,
∈ ̃ bulunabildiği için
olacak biçimde ∃
( , ̃ ) bir esnek normal uzaydır.
Örnek 3.1’de verilen
Örnek 4.10.
̃=
,
,
,
,
,
esnek kümesinin esnek alt kümeleri için
olmak üzere ( , ̃ ) bir esnek normal uzaydır. Gerçekten,
,
esnek kümeleri ̃ ’da hem esnek açık hem de esnek kapalıdır.
Ancak Teorem 4.13’ün tersi her zaman sağlanmamaktadır.
Örnek 3.1’de verilen
Örnek 4.11.
̃=
,
,
topolojik uzayda
,
ve
,
,
olmak üzere ( , ̃ ) bir esnek topolojik uzaydır. Bu esnek
,
= {( , { ,
özelliğindeki
olacak biçimde
= {( , {
}), ( , {
ve
,
esnek kümesinin esnek alt kümeleri için
}), ( , {
})},
= {( , {
}), ( , {
})} esnek kümeleri esnek kapalıdır. Burada
esnek kapalı kümeleri için
⊆
,
⊆
ve
∩
,
})}
∩
=
=
∈ ̃ vardır. Benzer şekilde diğer esnek kapalı kümeler içinde bu
koşul sağlanmaktadır. O halde ( , ̃ ) bir esnek normal uzaydır. Fakat ( , ̃ ) esnek
topolojik uzayında her esnek açık esnek kapalı değildir.
Teorem 4.14.
Bir esnek normal uzayın esnek kapalı her esnek alt uzayı da bir
39
esnek normal uzaydır.
İspat. ( , ̃ ) bir esnek normal uzay,
, ̃
esnek kümesi ̃ ’da esnek kapalı olmak üzere
∩
bir esnek topolojik alt uzay ve
kümeleri ̃
=
olacak
biçimde
(
)∩(
, ̃
∃
,
∈ ̃
)=
∩
vardır.
,
,
⊆
∩
∩
,
∈ ̃
∩
ve
⊆
=
∩
ve
vardır. O halde
bir esnek normal uzaydır.
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay olsun. Eğer ( , ̃ ) esnek topolojik
Tanım 4.7.
uzay ve bir esnek normal uzay ise ( , ̃ ) esnek topolojik uzayına bir
uzayı bir esnek
esnek
uzay denir.
( , ̃ ) bir esnek topolojik uzay olsun. Eğer ( , ̃ ) bir esnek
Teorem 4.15.
ise ( , ̃ ) bir esnek
∉
uzay ve
kapalı küme olsun. O halde ( , ̃ ) bir esnek
olduğundan
özelliğindeki
⊆
,
kapalı her
∩
için
bir esnek
ve esnek normal uzaydır. ( , ̃ ) bir esnek
∩
=
esnek kapalı kümeleri için ( , ̃ ) esnek normal uzay olduğundan
ve
∩
=
olacak biçimde ∃
Sonuç olarak ( , ̃ ) bir esnek
olacak biçimde ∃
∉
esnek kümesi ve
=
∈
özelliğinde
esnek tek nokta kümesi esnek kapalıdır. Buradan
,
⊆
uzay
uzaydır.
İspat. ( , ̃ ) bir esnek
ve
esnek
⊆
⊆
∩
⊆
esnek kümeleri ̃ ’da esnek
Buradan
olacak biçimde ∃
,
,
’de esnek kapalı olsun. Örnek 4.10’dan
kapalıdır. ( , ̃ ) bir esnek normal uzay olduğundan
∩
özelliğinde
özelliğindeki her
,
,
∈ ̃ vardır. O halde esnek
∈
için
⊆
,
∈
∈ ̃ olduğundan ( , ̃ ) bir esnek regüler uzaydır.
uzaydır.
40
BÖLÜM 5
SONUÇ VE ÖNERİLER
Çağman ve ark. (2011) herhangi bir esnek kümenin esnek alt kümelerini kullanarak,
bu esnek küme üzerinde esnek topoloji kavramını tanımladı. Daha sonra Enginoğlu ve ark.
(2015) tarafından kendi içinde tutarlı hale getirilen bu çalışmanın yayımlandığı dönemde,
Shabir ve Naz (2011) evrensel esnek kümenin esnek alt kümelerini kullanarak, evrensel
küme üzerinde esnek topoloji kavramını ortaya attı.
Bu iki esnek topoloji kavramı hakkında ilk olarak bahsedilmesi gereken ayrıntı
Çağman ve ark. (2011)’nın yeniden tanımlanmış esnek küme işlemlerini (Çağman ve ark.,
2010) kullanırken Shabir ve Naz (2011)’ın yaygın olarak kullanılan tanımları tercih
ettiğidir.
Diğer bir ayrıntı, her iki topolojinin de farklı amaçlar için ortaya atıldığıdır. Çağman
ve ark. (2011)’nın bir esnek kümenin üzerinde bir esnek topoloji inşa ederek bu esnek
kümeyi daha iyi anlama çabası varken, Shabir ve Naz (2011)’ın bir klasik küme üzerinde
bilinen topolojinin yanı sıra bir esnek topolojiye sahip olması yoluyla bu klasik kümeyi
daha iyi anlama çabası mevcuttur. Bu nedenle, tanımlanan bu esnek topolojilerin esnek
eleman, esnek iç, vb. argümanlarında farklılıklar arz etmektedir. Burada, hangi esnek
topoloji kavramının biçimsel olarak diğerinden daha genel ve kullanışlı olduğu,
topolojilerin kullanım alanlarına göre farklılık arz ettiğine dikkat edilmelidir.
Bahsi geçen bu iki esnek topoloji kavramı arasındaki farkların açıkça ortaya konması
çalışılmaya değer bir konudur.
41
KAYNAKLAR
Acar U., Koyuncu F., Tanay B., 2010. Soft Sets and Soft Rings. Computers and
Mathematics with Applications, 59: 3458-3463.
Ahmad B., Hussain S., 2012. On Some Structures of Soft Topology. Mathematical
Sciences, DOI: 10.1186/2251-7456-6-64.
Aktaş H., Çağman N., 2007. Soft Sets and Soft Groups. Information Sciences, 177: 27262735.
Ali M.I., Feng F., Liu X., Min W.K., Shabir M., 2009. On Some New Operations in Soft
Set Theory. Computers and Mathematics with Applications, 57: 1547-1553.
Atmaca S., 2010. Fuzzy, Rough, Soft Kümeler ile Topolojileri Üzerine. Yüksek Lisans
Tezi. Cumhuriyet Üniversitesi, Türkiye.
Aygünoğlu A., Aygün H., 2011. Some Notes on Soft Topological Spaces. Neural
Computing and Applications, DOI: 10.1007/s00521-011-0722-3.
Aygünoğlu A., 2011. Esnek Topolojik Uzaylar. Doktora Tezi. Kocaeli Üniversitesi,
Türkiye.
Çağman N., Enginoğlu S., 2010a. Soft Set Theory and uni-int Decision Making. European
Journal of Operational Research, 207: 848-855.
Çağman N., Enginoğlu S., 2010b. Soft Matrix Theory and Its Decision Making. Computers
and Mathematics with Applications, 59: 3308-3314.
Çağman N., Karataş S., Enginoglu S., 2011. Soft Topology. Computers and Mathematics
with Applications, 62: 351-358.
Enginoğlu S., Çağman N., Serkan K., Aydın T., 2015. On Soft Topology. El-Cezerî
Journal of Science and Engineering, 2 (3): 23-38.
Feng F., Jun Y.B., Zhao X., 2008. Soft Semirings. Computers and Mathematics with
Applications, 56: 2621-2628.
Georgiou D.N., Megaritis A.C., Petropoulos V.I., 2013. On Soft Topological Spaces.
Applied Mathematics and Information Sciences, 7 (5): 1889-1901.
42
Georgiou D.N., Megaritis A.C., 2014. Soft Set Theory and Topology. Applied General
Topology, 15 (1): 93-109.
Hazra H., Majumdar P., Samanta S.K., 2012. Soft Topology. Fuzzy Information and
Engineering, 1: 105-115.
Hussain S., Ahmad B., 2011. Some Properties of Soft Topological Spaces. Computers and
Mathematics with Applications, 62: 4058-4067.
Jiang Y., Tang Y., Chen Q., Wang J., Tang S., 2010. Extending Soft Sets with Description
Logics. Computers and Mathematics with Applications, 59: 2087-2096.
Jun Y.B., Park C.H., 2009. Applications of Soft Sets in Hilbert Algebras. Iranian Journal
of Fuzzy Systems, 6 (2): 75-86.
Jun Y.B., Lee K.J., Khan A., 2010. Soft Ordered Semigroups. Mathematical Logic
Quarterly, 56 (1): 42-50.
Karataş S., 2012. Esnek Topolojik Yapılar. Doktora Tezi. Gaziosmanpaşa Üniversitesi,
Türkiye.
Koçak M., 2011. Genel Topolojiye Giriş ve Çözümlü Alıştırmalar (3. Baskı). Kampüs
Yayıncılık, Kütahya, 1-207.
Kovkov D.V., Kolbanov V.M., Molodtsov D.A., 2007. Soft Sets Theory-Based
Optimization. Journal of Computer and Systems Sciences International, 46 (6): 872880.
Li Z., Xie T., 2014. The Relationship Among Soft Sets, Soft Rough Sets and Topologies.
Soft Comput, 18: 717-728.
Maji P.K., Roy A.R., Biswas R., 2002. An Application of Soft Sets in a Decision Making
Problem. Computers and Mathematics with Applications, 44: 1077-1083.
Maji P.K., Biswas R., Roy A.R., 2003. Soft Set Theory. Computers and Mathematics with
Applications, 45: 555-562.
Majumdar P., Samanta S.K., 2008. Similarity Measure of Soft Sets. New Mathematics and
Natural Computation, 4 (1): 1-12.
Min W.K., 2011. A Note on Soft Topological Spaces. Computers and Mathematics with
43
Applications, 62: 3524-3528.
Min W.K., 2014. Soft Sets Over a Common Topological Universe. Journal of Intelligent
and Fuzzy Systems, 26: 2099-2016.
Molodtsov D., 1999. Soft Set Theory-First Results. Computers and Mathematics with
Applications, 37: 19-31.
Molodtsov D., Leonov V.Y., Kovkov D.V., 2006. Soft Sets Technique and Its Application.
Nechetkie Sistemy i Myagkie Vychisleniya, 1 (1): 8-39.
Mucuk O., 2010. Topoloji ve Kategori (2. Baskı). Nobel Yayın Dağıtım Tic. Ltd. Şti.,
Ankara, 1-228.
Nazmul S.K., Samanta S.K., 2013. Neighbourhood Properties of Soft Topological Spaces.
Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, 6 (1): 1-15.
Nazmul S.K., Samanta S.K., 2014. Some Properties of Soft Topologies and Group Soft
Topologies. Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, 8 (4): 645-661.
Pei D., Miao D., 2005. From Soft Sets to Information Systems, In: Proceedings of
Granular Computing (Eds: X. Hu, Q. Liu, A. Skowron, T.Y. Lin, R.R. Yager,
B.Zhang), (Vol. 2, pp. 617-621). IEEE.
Peyghan E., Samadi B., Tayebi A., 2013. About Soft Topological Spaces. Journal of New
Results in Science, 2: 60-75.
Peyghan E., Samadi B., Tayebi A., 2014. Some Results Related to Soft Topological
Spaces. Series Mathematics and Informatics, 29 (4): 325-336.
Qin K., Hong Z., 2010. On Soft Equality. Journal of Computational and Applied
Mathematics, 234: 1347-1355.
Roy S., Samanta T.K., 2014. A Note on a Soft Topological Space. Journal of Mathematics,
46 (1): 19-24.
Sezgin A., Atagün A.O., 2011. On Operations of Soft Sets. Computers and Mathematics
with Applications, 61: 1457-1467.
Shabir M., Naz M., 2011. On Soft Topological Spaces. Computers and Mathematics with
Applications, 61: 1786-1799.
44
Şenel G., Çağman N., 2015. Soft Topological Subspaces. Annals of Fuzzy Mathematics
and Informatics, 10 (4): 525-535.
Varol B.P., Shostak A., Aygün H., 2012. A New Approach to Soft Topology. Hacettepe
Journal of Mathematics and Statistics, 41 (5): 731-741.
Varol B.P., Aygün H., 2013. On Soft Hausdorff Spaces. Annals of Fuzzy Mathematics and
Informatics, 5 (1): 15-24.
Zorlutuna İ., Akdağ M., Min W.K., Atmaca S., 2012. Remarks on Soft Topological
Spaces. Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, 3 (2): 171-185.
45
ÖZGEÇMİŞ
KİŞİSEL BİLGİLER
Adı Soyadı: Tuğçe AYDIN
Doğum Yeri: Çatalca/İSTANBUL
Doğum Tarihi: 24/08/1990
EĞİTİM DURUMU
Lisans Öğrenimi: Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi, 2013
Yüksek Lisans Öğrenimi: Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi
Bildiği Yabancı Diller: İngilizce
BİLİMSEL FAALİYETLERİ
a) Yayınlar -SCI -Diğer
Enginoğlu S., Çağman N., Karataş S., Aydın T., 2015. On Soft Topology. El-Cezerî
Journal of Science and Engineering, 2: (3), 23-38.
b) Bildiriler -Uluslararası -Ulusal
Enginoğlu S., Çağman N., Karataş S., Aydın T., Esnek Topoloji Üzerine Bir
Değerlendirme. 10. Ankara Matematik Günleri ODTÜ, Haziran 2015.
c) Katıldığı Projeler
Enginoğlu S., Aydın T., Esnek Topoloji Üzerine, BAP, 646.
İLETİŞİM
E-posta Adresi: [email protected]
I