Fourier Serileri ve Fourier Transformu

Devre Teorisi Ders Notu
Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
BÖLÜM XIII
FOURİER SERİLERİ VE FOURİER TRANSFORMU
Periyodik fonksiyon
f (t ) = f (t  nT ), n = 1, 2,... ve T periyot.
f (to ) - f (to - T ) = f (to + T ) - f (to + 2T )...

Pratikte birçok elektriksel kaynak periyodik dalga formları üretir. Örneğin,
sinüzoidal bir kaynakla sürülen filtrelenmemiş doğrultucular (tam dalga veya
yarı dalga) sinüzoidal olmayan ama periyodik çıkış üretirler.

Laboratuarlarda sıkça kullandığımız osilatörler, sinyal jeneratörleri kare dalga,
üçgen dalga veya dikdörtgen dalga periyodik işaretler üretirler.

Bir başka pratik örnek, güç jeneratörleridir. Her ne kadar sinüzoidal dalga
üretmeleri için tasarlansa da tam sinüzoidal işaret üretmezler.

Ayrıca, sinüzoidal olmayan periyodik fonksiyonlar elektriksel olmayan
sistemlerde de önemlidir. Mekanik titreşim, sıvı akışı, ısı akışı hepsi periyodik
fonksiyonlarla ilişkilidir. Fourier (1768-1830) bir periyodik fonksiyonun
trigonometrik seri temsilini ısı akışı için kullanmış ve böylece periyodik
uyartıma (elektrik devrelerinin) kalıcı-durum (steady-state) cevabı bulmada bir
başlangıç olmuştur.
Periyodik f (t ) fonksiyonu için Fourier serisi;
¥
f (t ) = av + å (an cos(nwo t ) + bn sin(nwo t )), n = 1, 2,3... olarak ifade edilir.
n=1
Burada av , an ve bn Fourier katsayıları olup f (t ) kullanılarak hesaplanır.
wo =
2p
ise f (t ) periyodik fonksiyonun temel (fundamental) frekansıdır.
T

wo ’ın katları 2wo ,3wo , 4wo ,... f (t ) ’nin harmonik frekanslarıdır.

2wo  2’inci harmonik, 3wo  3’üncü harmonik, nwo  n’inci harmonik vs.
Bir periyodik fonksiyonun Fourier serisine açılabilmesi için (yani yakınsak Fourier
serisi için) Dirichlet koşullarının sağlanması gerekir.
i.
f (t ) , tek-değerli (single-valued) olmalıdır.
ii.
f (t ) , bir periyotta sonlu sayıda süreksizlik noktasına sahip olmalıdır.
iii.
f (t ) , bir periyotta sonlu sayıda maksima ve minima içermelidir.
1
Devre Teorisi Ders Notu
Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
iv.
ò
to +T
to
f (t ) dt < ¥ olmalıdır (mutlak integrali alınabilir).
Dirichlet koşulları yeter koşullardır, gerek koşullar değildir. Böylece,
f (t ) bu
özellikleri taşıyorsa Fourier serisine açılabilir. f (t ) ’nin gerek koşullar bilinmemektedir.

av , an ve bn Fourier katsayıları bulunduktan sonra, periyodik kaynak; av DC
kaynağı ve an ve bn ’den oluşan AC kaynakların toplamı olarak devreyi (lineer)
sürer.

Süperpozisyon tekniği uygulanarak sırayla kararlı-durum (steady-state) cevabı
bulunabilir. Her bir kaynağa karşılık gelen cevaplar toplanarak sonuca gidilir.
Her bir kaynak dediğimiz Fourier’in temsili kaynaklarıdır.

Periyodik ama sinüzoidal olmayan kaynak, Fourier serisi ile sinüzoidal hale
getirilmiştir. Bu yüzden kararlı durum cevabı, fazör analizi ile kolaylıkla
bulunabilir.
13.1 Fourier Sabitleri
av =
1 to +T
f (t )dt
T òto
ak =
2 to +T
f (t ) cos( kwot )dt
T òto
bk =
2 to +T
f (t ) sin(kwo t )dt
T òto
Çift-fonksiyon simetrisi (even-function): Tek-fonksiyon simetrisi (odd-function)
f (t ) = - f (-t )
f (t ) = f (-t )
av =
ak =
av = 0
2 T2
f (t ) dt
T ò0
ak = 0, " k
4 T2
f (t ) cos( kwot ) dt
T ò0
bk =
bk = 0, " k .
2
4 T2
f (t ) sin( kwot ) dt
T ò0
Devre Teorisi Ders Notu
Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
13.2 Fourier Serisinin Eksponansiyel (Üstel) Formu
¥
åCe
f (t ) =
n
jnwo t
n=-¥
Cn =
1
T
ò
to +T
to
f (t )e- jnwot dt
Not: Euler denklemlerinden ( e jq = cos q  j sin q ) önceki forma geçilebilir.
MSE:
f (t ) =
 S N (t ) =
N
åCe
n
jnwo t
n=- N
e(t ) = f (t ) - S N (t )
e2 =
1
T
ò
to +T
to

e 2 (t ) dt
f (t ) ’nin
kısmi
toplamının
katsayıları
Fourier
katsayıları
ise
MSE
minimumudur.
ÖZET:

Fourier serisi, bir sistem periyodik bir sinyalle uyarılırsa, o sistemin steady-state
cevabını tahmin etmek için kullanılır.

Fourier serisi, sonsuz bir seridir ve sonsuz sayıda harmonik ilişkili sinüs ve
kosinüs toplamlarından oluşur.

Fourier serisi steady-state cevabın (periyodik uyartıma karşılık) bulunmasında
analizi frekans domenine taşımamıza müsaade eder.
13.3 Fourier Transformu
Fourier transformu periyodik olmayan işaretlerin frekans domeninde tanımlanmasını
sağlar.

Fourier transformu, çift yanlı Laplace transformunun özel halidir. Burada
kompleks frekansın reel kısmı sıfıra kurulur.

Fourier transformu, Fourier serisinin sınırlı halidir.
F ( w) = F{ f (t )} = ò
¥
-¥
f (t ) =
f (t )e- jwt dt
1 ¥
F ( w)e jwt dw
2p ò-¥
Fourier transformu için;
i.
f (t ) tam-davranan (well-behaved) fonksiyon olmalıdır.
3
Devre Teorisi Ders Notu
Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
¥
2
ii.
ò
iii.
f (t ) ’nin süreksizlik sayısı sonlu olmalıdır.

-¥
f (t ) dt < ¥
Pratikte, Fourier transformunun (strict sense’de) olmadığı fonksiyonların
mevcuttut. Bunlar; sabitler, Ku (t ) basamak fonksiyonu, sinüzoidal fonksiyonlar
( cos( wot ) )’dır. Fakat bu tip fonksyionlar, devre analizinde önemli bir yere
sahiptir. Bu yüzden bu fonksiyonlara en yakın fonksiyon tanımlanır ve FT
alınarak limitine bakılır.
i.
Bir Sabitin Fourier Transformu ( -¥ , ¥ ):
Bir sabite üstel bir fonksiyonla yaklaşılabilir.
-e t
f (t ) = Ae
,e > 0
e  0, f (t )  A . Böylece mümkün olduğunca küçük bir ( e > 0 ) ile f (t ) sabit
A olarak temsil edilir.
F ( w) = ò
0
-¥
F ( w) =
Ae et e- jwt dt + ò
¥
0
Ae-et e- jwt dt
A
A
2e A
+
= 2
e - jw e + jw e + w2
¥
2e A
dw
e
dw
4
A
=
ò-¥ e2 + w2
ò0 e 2 + w2 = 2p A
¥
f (t ) ’nin limitinde f (t ) A’ya yaklaşır. F ( w) ise, 2p Ad ( w) darbe fonksiyonuna
yaklaşır.
F{ A} = 2p Ad ( w)
4
Devre Teorisi Ders Notu
Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
ii.
Limitte Fourier Transformu:
a) sgn(t ) ’nin Fourier Transformu:
+1
t
0
-1
ì+1, t > 0ï
ü
ï
ï
sgn(t ) = ïí
ý
ï
ï-1, t < 0ï
ï
î
þ
sgn(t ) = u (t ) - u (-t )
sgn(t ) = lim[e-et u (t ) - eet u (-t )]
e 0
Not: Limitte sgn(t ) ’ye yaklaşan fonksiyon tanımla FT al. sgn(t ) ’nin Fourier
transformu var çünkü Fourier integrali yakınsıyor.
e-et u (t )
+1
t
0
-et
e u (-t )
-1
f (t ) tek fonksiyon;
F{ f (t )} =
1
1
s + e s= jw s + e s=- jw
=
1
1
-2 jw
= 2
jw + e - jw + e w + e 2
e  0, f (t ) = sign(t )
F{sgn(t )} =
2
jw
5
Devre Teorisi Ders Notu
Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
b) u (t ) ’nin Fourier Transformu:
u (t ) =
1 1
+ sgn(t )
2 2
F{ A} = 2pd ( w)
F{sgn(t )} =
2
jw
1
1
F{u (t )} = F{ } + F{ sgn(t )}
2
2
F{u (t )} = pd ( w) +
1
jw
c) F{e jwot } = 2pd ( w - wo )
F{cos( wot )} =
1
F{e jwot } + F{e- jwot })
(
2
1
= [ 2pd ( w - wo ) + 2pd ( w + wo ) ]
2
= [pd ( w - wo ) + pd ( w + wo ) ]
13.4 Laplace Transformundan Fourier Transformunu Bulmak
F ( s ) ’in bütün kutupları s-düzleminin sol tarafında ise Fourier integrali yakınsar. Eğer
sağ tarafta veya jw ekseninde kutup varsa
i)
ò
¥
-¥
2
f (t ) dt > ¥ olur.
Eğer f (t ) = 0, t £ 0+ ise; s = jw ile FT alınır.
F{ f (t )} = L{ f (t )}s= jw
ii)
Eğer f (t ) = 0, t ³ 0+ ise; s = - jw ile FT alınır.
F{ f (t )} = L{ f (-t )}s=- jw
iii)
Eğer f (t ) çift fonksiyon ise;
F{ f (t )} = L{ f (t )}s= jw + L{ f (t )}s=- jw
Eğer f (t ) çift fonksiyon ise;
F{ f (t )} = L{ f (t )}s= jw - L{ f (t )}s=- jw
6
Devre Teorisi Ders Notu
Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
Örnek:
3W
ig (t )
1W
ig (t )
1H
ig (t ) = 20 sgn(t ) A ise; io (t ) = ?
æ 2 ö 40
I g ( w) = F {20sgn(t )} = 20 çç ÷÷÷ =
çè jw ÷ø jw
H ( w) =
Io
1
=
I g 4 + jw
æ 40 öæ 1 ÷ö
÷
I o ( w) = I g ( w) H ( w) = çç ÷÷÷çç
çè jw ÷øèç 4 + jw ÷÷ø
I o ( w) =
K1 =
40
K
K2
= 1+
jw(4 + jw)
jw 4 + jw
40
40
= 10, K 2 = - = -10
4
4
I o ( w) =
10
10
jw 4 + jw
io (t ) = F-1 {I o ( w)} = 5sgn(t ) -10e-4t u (t )
io (t )
5sgn(t )
5
5sgn(t )
io
0
t
-5
10e-4t
-10
Örnek: Bir önceki örnekte kaynak ig (t ) = 50 cos(3t ) A olması durumunda io (t ) ’yi FT
kullanarak bulunuz.
ig ( w) = 50p [d ( w - 3) + d ( w + 3) ]
H ( w) =
1
4 + jw
7
Devre Teorisi Ders Notu
Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
I o ( w) = 50p
d ( w - 3) + d ( w + 3)
4 + jw
io (t ) = F-1 {I o ( w)} =
50p ¥ é d ( w - 3) + d ( w + 3) ù jwt
ê
ú e dw
2p ò-¥ ëê
4 + jw
ûú
æ e j 3t
e- j 3t ö÷
÷
= 25çç
+
çè 4 + j 3 4 - j 3 ÷÷ø
æ e j 3t e j 36.87 e- j 3t e j 36.87 ö÷
÷÷
= 25çç
+
çè
5
5
ø÷
= 5[ 2 cos(3t - 36.87) ]
io (t ) = 10 cos(3t - 36.87)

Fazör analizi ile de çözülerek sonuç doğrulanabilir.
13.5 Parseval Teoremi
Parseval teorem sonlu enerjisi olan zaman domenine ilişkin enerji ile fonksiyonun
frekans domenine ilişkin Fourier transformu arasındaki ilişkiyi belirler. Yani zaman
domenindeki sonlu enerji, frekans domenindeki karşılığı arasındaki ilişkiyi tanımlar.
f (t ) ’nin 1W ’luk bir direnç üzerinden geçen bir akım veya üzerine düşen bir gerilim
olarak düşünürsek;
Bu f (t ) ’ye ilişkin enerji;
W1W = ò
¥
f 2 (t ) dt olur.
-¥
Parseval Teoremi bunu FT ile;
ò
¥
-¥
f 2 (t ) dt =
1 ¥
2
F ( w) dw
ò
-¥
2p
ilişkilendirir. Yani her iki domende de enerji (her iki integral olmak şartı ile)
hesaplanabilir.
Örnek: 40W ’luk bir dirençten geçen akım i = 20e-2t u (t ) A ise 0 £ w £ 2 3 rad / sn
frekans bandına ilişkin harcanan enerji oranı ( 40W üzerinde) nedir?
40W ’da harcanan toplam enerji
W40W = 40 ò
¥
-¥
400e-4 t dt
e-4t
= 16000
-4
¥
= 4000 J
0
Parseval teoremi ile doğrularsak;
8
Devre Teorisi Ders Notu
Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
F ( w) =
20
2 + jw
F ( w) =
W40W =
=
20
4 + w2
¥
40 ¥ 400
16000 æç 1 -1 w ö÷÷
ç
=
dw
tan
÷
2p ò0 4 + w2
p çèç 2
2 0 ÷ø÷
8000 æç p ö÷
ç ÷ = 4000 J
p çè 2 ÷ø
0 £ w £ 2 3 rad / sn
W40W =
=
h=
2
40 2 3 400dw 16000 æçç 1 -1 w
=
tan
ç
p çèç 2
2p ò0 4 + w2
20
3
ö÷
÷÷÷
ø÷
8000 æç p ö÷ 8000
J
ç ÷=
p çè 3 ÷ø
3
8000 3
100 = 66.67 %
4000
Kaynak
J. W. Nilsson and S. Riedel, Electric Circuits, Pearson Prentice Hall.
9