www.geometri.ogretmeni.com

Proje 1
4. Eşlik ve Benzerlik teoremi
AKA, KAK, KKK eşlik teoremleri ve AA, KAK, KKK benzerlik
teoremleri dışında başka bir eşlik ve benzerlik teoremi var
mıdır?
Büyük olduğu bilinen
kenarların karşısındaki
açılar eş ise üçgenlerin eş
olduğunu söyleye biliriz.
4. Eşlik teoremi (BKA eşliği)
D
A
B
C
E
F
ˆ  m(E)
ˆ ise
AB  DE AC  DF ve AB  AC olmak üzere, m(B)
B A C  E D F dir.
İSPAT
Verilenlere göre BC  EF olduğunu gösterirsek KKK eşliğine göre
BAC üçgeni ile EDF üçgeninin eş olduğunu göstermiş oluruz.
BC  EF olsa ya BC  EF ya da EF  BC olması gerekir. Şimdi
bu iki durumun olmadığını gösterelim
EF  BC olsa [BC] üzerinde BD’  EF olacak şekilde bir D'
noktası bulunur. Bu durumda KKK eşliğine göre D'BA ile FED
üçgenleri eş olacak dolayısıyla AD’  AC olacaktır yani D'CA
ikizkenar üçgeninin taban açıları dar olacağından AD'B geniş açıdır.
Bu durumda B açısı da geniş olmak zorunda olacağından bir çelişki
meydan gelir çünkü bir üçgenin iki açısı birden geniş olamaz.
O halde EF  BC olamadığına göre geriye BC  EF veya
BC  EF olma durumları kalır.
BC  EF olsa [BC üzerinde BD’  EF olacak şekilde bir D' noktası
bulunur. Bu durumda KKK eşliğine göre D'BA ile FED üçgenleri eş
olacak dolayısıyla AD'  AC olacaktır yani D'AC ikizkenar üçgeninin
taban açıları dar olacağından ACB geniş açıdır. ABC üçgeninde
küçük kenarın karşısına geniş açı gelmiş olur ki bu da bir çelişkidir
çünkü bir üçgenin iki açısı geniş olamaz. Aynı şartlarda [CB üzerinde
alınacak D' noktası zaten teorem verilerine uymaz.
O halde BC < EF ve EF <
BC
olması
mümkün
olmadığına göre BC  EF
olması gerekir. Bu durumda
da KKK eşlik teoremi gereği
BAC ile DEF üçgenleri eştir.
4. Benzerlik teoremi (BKA benzerliği)
D
A
Her
eşlik
teoremine
karşılık
gelen
bir
benzerlik
teoremi
olduğuna
göre
BKA
benzerlik
teoremi
de
olabilir.
Peki, böyle bir teorem
varsa nasıl ifade edilebilir
ve ispatlanır?
E
B
F
C
| AB | | AC |

ve |DE| < |DF| olmak üzere
| DE | | DF |
m B̂   m Ê  ise B A C
E D F dir.
İSPAT İÇİN YOL GÖSTERME
Diğer benzerlik teoremlerinde olduğu gibi olmayana ergi metodu
dediğimiz yöntemle ispat yapmak mümkündür. Teoremde verilen
orantının sabiti k olsa; k>1, k<1 ve k=1 olması göz önünde tutularak
3 aşamada inceleme yapılmalıdır. 1. aşamada küçük olan üçgen
büyük olan üçgene taşınır ve temel orantı gösterilir. 2. aşamada
küçük olan üçgenin kenar uzunluklarına büyük üçgen taşınır ve temel
orantı gösterilir. 3. aşama eşlik olduğundan zaten ispatını yukarıda
yapmıştık.
Değerli arkadaşlar 4. eşlik ve benzerlik teoremleri değişik biçimlerde de karşımıza gelebilir;
Örneğin yukarıdaki benzerlik teoreminde DE  DF şartı yerine E geniş açı (veya dik açı)
şartının verilmesi durumlarında da teoremimiz doğru olacaktır. Teoremin ifadesini ve ispatını
geometri severlere bırakıyorum.
Hayal gücünüzü kullanarak bu proje ile ilgili güzel sorular yazabilirsiniz.
Eyüp Kamil YEŞİLYURT
www.tmoz.info