küme kavramı ve sayma yöntemleri

BÖLÜM I: KÜME KAVRAMI VE SAYMA
YÖNTEMLERİ
Küme teorisi, matematiğin geliştirilmesi ve öğretiminde gittikçe daha fazla yararlanılan konulardan
biridir. Bu bölümde amaç, olasılık konusunda kullanılacağı kadarı ile, kümelerle ilgili kavramların,
küme işlemlerinin ve olasılığın temel araçlarından olan sayma yöntemlerinin açıklanmasıdır.
1.1 KÜME KAVRAMI
Kümeler genellikle büyük harflerle isimlendirilir ve gösterilirler. Örneğin, A kümesi gibi. Küme
kavramına pek çok örnek verilebilir. Siyasal Bilgiler Fakültesinde okuyan öğrenciler, kitaplığın en üst
rafında yer alan kitaplar, nüfus sıklığı, gelir düzeyi Türkiye ortalamasının üzerinde olan iller,
alfabedeki sesli harfler, 1 ile 2 arasındaki reel sayılar, bir çember üzerindeki noktalar vb birer küme
teşkil ederler. Bunların her birinde küme tarifinin iki unsuru açıkça görülebilir:
- Bir araya gelmiş nesneler,
- Bunları başka nesnelerden kesin şekilde ayıran ve kümenin sınırlarını tayin eden bir kural.
Aşağıda bazı örnekler verilmiştir
Küme Belirtmez
Küme Belirtir
Uzun boylu insanlar
Boyu 1.50 m'den uzun öğrenciler
Bazı hayvanlar
Birkaç gün
Uçan hayvanlar
P harfi ile başlayan günler
Tanım (Küme): Kendisine ait olan elemanları ayırt eden bir kural ile birlikte tanımlanmış herhangi bir
nesneler topluluğuna küme adı verilir. Başka bir ifade ile iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme
denir. Buradaki iyi tanımlanmış, herkes tarafından aynı şekilde bilinen, belirli olan varlıklar demektir.
1.1.1 Kümelerin Gösterimi
Kümeyi oluşturan varlıklara veya sembollere eleman denir. Bir kümenin eleman sayısı genellikle n
harfi ile gösterilir. Örneğin, A kümesinin eleman sayısı n(A) biçiminde gösterilir. Burada n(A) negatif
olmayan tamsayıdır. Kümeler, liste yöntemi, ortak özellik yöntemi ve Venn şeması yöntemi olmak
üzere üç farklı biçimde gösterilir. Küme içinde eleman tekrarı yapılmaz. Örneğin ATATÜRK
kelimesinin harflerinin oluşturduğu küme { A, T, Ü, R, K } olur.
Liste Yöntemi: Kümenin elemanları küme parantezi içine yani
  sembolünün içine alınıp her bir
elemanın arasına virgül konularak yazılmasına liste yöntemi denir. Örneğin,
A  a, b, c
A kümesin eleman sayısı, n(A)=3
B  abc, a,1, p
B kümesinin eleman sayısı n(B)=4’dür.
Ortak Özellik Yöntemi: Kümenin elemanlarını daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde,
gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.
A   x : Küme üyeligi için kural , x ' in özelligi 
1
Burada “x:” ifadesi “öyle x’lerden oluşur ki” biçiminde okunur. Bu ifade “x|” biçiminde de
yazılabilmektedir. Örneğin,
A   x | x  5, x    veya A   x   | x  5 
Venn Şeması Yöntemi: Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına
elemanın adı yazılarak gösterilir. Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.
Venn diyagramları genellikle üç olaya kadar kullanışlıdır. Bu yüzden ispatlarda kullanılmazlar. Üçten
daha fazla olaylar için bu diyagram çakışmaları göstermede yetersiz olabilir.
1.1.2 Küme Yapıları
Kümeler
elemanlarının
özellikleri
açısından
ele
alındıklarında
genel
olarak
üç
sınıfta
değerlendirilebilirler.
Sayılabilir Sonlu Elemanlı Küme: Sonlu elemana sahip bir kümenin her bir elemanına bir tek doğal
sayı karşılık getirilebiliyorsa yani kümenin elemanları numaralandırılabiliyorsa bu kümeye sayılabilir
sonlu elemanlı küme adı verilir. Örneğin,
A  1,8,27, S  YT , TT , TY , YY 
kümeleri sayılabilir sonlu elemanlı kümelerdir.
Sayılabilir Sonsuz Elemanlı Küme: Sonsuz elemana sahip bir kümenin her bir elemanına bir tek doğal
sayı karşılık getirilebiliyorsa yani kümenin elemanları numaralandırılabiliyorsa bu kümeye sayılabilir
sonsuz elemanlı küme adı verilir. Örneğin:


A  1,8,27,64,..., n 3 ,...
kümesi sayılabilir sonsuz elemanlı bir kümedir. Tam sayılar kümesi Z sayılabilir sonsuz elemanlı bir
kümedir.
Sayılamaz Sonsuz Elemanlı Küme: Elemanları numaralandırılamayan küme sayılamaz. Örneğin,
reel sayılar kümesi sayılamaz
A   x : 0  x  1, x   
ve aynı zamanda sonsuz elemanlı bir kümedir.
1.1.3.Eşit ve Denk Kümeler
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Elemanları arasında bire bir (1-1) eşleme
(karşılama) olan kümeler ise birbirlerine denktirler Diğer bir ifade ile aynı sayıda elemana sahip olan
kümeler denktir. Fakat bu, aynı sayıda elemana sahip olmalarının iki kümenin denkliği için gerekli şart
2
olduğu anlamına gelmez. Sınırsız elemana sahip olan kümelerde denklik için kesinlikle bir eşleme
bulunmalıdır. Örneğin; sınırsız elemanı olan,
R = {1,2,3,4,…}
ve
E = {2,4,6,8,…}
kümelerini göz önüne alınsın.
R kümesindeki her eleman 2 ile çarpılarak E kümesi elde edilmiştir. Aralarındaki eşleme kuralı bu
şekildedir. Bundan dolayı R ve E kümeleri denktir. Diğer bir taraftan eleman sayısının eşitliği kriter
olarak alınsaydı bu iki kümenin denk olduğu gösterilemezdi.
A = { 1, 2, 3 } , B = { 1, 2, 3 } ve C = { a, b, c }
A kümesi ile B kümesi eşittir. Bu durumun sembolle gösterimi
A = B.
şeklindedir. A kümesi ile C kümesi denktir. Sembolle gösterimi genellikle:
C º D veya C  D
Her eşit küme denktir fakat her denk küme eşit değildir.
Tanım (Kapsama): Eğer A kümesinin her elemanı B kümesi tarafından içeriliyor ise B kümesi A
kümesini kapsar ve A kümesi B kümesinin bir alt kümesidir.
A  B  x A xB
Diğer bir gösterim ise A  B şeklindedir.
Tanım (Eşitlik): Eğer iki küme tamamen aynı elemanlara sahip ise eşittir.
A  B  A  B ve B  A
1.1.4 Boş Küme
Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme {} veya  sembolü ile gösterilir. Her
kümenin mutlaka tek bir boş kümesi vardır. Boş küme ancak bir tanedir, yani birden çok boş küme
düşünülemez. (bkz: Ek1.1). Boş kümenin eleman sayısı sıfırdır.
n()=0
1.1.5 Alt Küme
A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A kümesine B kümesinin alt kümesi denir
kümesi B kümesinin alt kümesi ise A  B biçiminde gösterilir. A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B
kümesi A kümesini kapsıyor biçiminde de ifade edilebilir. B  A biçiminde gösterilir. C kümesi D
kümesinin alt kümesi değilse C  D biçiminde gösterilir. Örneğin,
    
Alt Kümenin Özelikleri

Her küme kendisinin alt kümesidir. A  A

Boş küme her kümenin alt kümesidir.   A

(A  B ve B  A) ise A = B dir. A = B ise (A  B ve B  A) dir.
3

(A  B ve B  C) ise A  C dir.

n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı 2 n dir.

n elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı 2 n  1
1.1.6 Kuvvet Kümesi
A, sınırlı sayıda elemanı içeren bir küme olsun. A'nın bütün alt kümelerinin teşkil ettiği kümeye
Kuvvet kümesi denir ve FA şeklinde gösterilir. Örneğin,
A  1,2, c
olsun. A kümesinin kuvvet kümesi
FA   , 
1 , 2, c, 1,2, 1, c, 2.c, 1,2, c
biçimindedir.
1.1.7 Evrensel Küme
Kümelerle ilgili diğer önemli bir kavram ise evrensel kümedir. Genellikle “E” sembolü ile gösterilir.
Boş kümenin tekliğine karşılık, evrensel küme, her konu veya örnek ile ilgili olarak ayrı ayrı
düşünülmesi gereken bir kavramdır. Meselâ sadece IIBF öğrencileri üzerinde yapılması düşünülen bir
araştırma bakımından IIBF öğrencileri evrensel kümeyi teşkil ederler. Bununla birlikte konu örneğin
Türkiye'deki bütün yüksekokul öğrencilerinin serbest zaman faaliyeti olsaydı evrensel kümeyi de ona
göre genişletmemiz gerekecekti. Herhangi bir konuda evrensel küme belli iken, aynı konuda
düşünülebilecek diğer bütün kümeler bir küme içinde kalırlar. Bu durum bir kümenin başka bir
kümeyi tamamen kapsaması veya başka bir kümenin tamamen içinde bulunması hallerinin
incelenmesini gerektirir.
Evrensel küme Örnekleri:
K = { a, b, c } ise bu kümenin evrensel kümesi E = { a, b, c, d } olabilir.
D = { +, - , x } ise bu kümenin evrensel kümesi E = { +, -, x, / } olabilir.
A = { 1, 7, 9 } ve B = { 11, 13 }
olsun. Bu kümelerin evrensel kümesi Tek Sayılar veya tüm sayılar kümesi olabilir.
1.1.8 Tümleyen küme
Bir A kümesinin tümleyen kümesi
A c = {x : x  A }
biçiminde tanımlanır. A ' notasyonu ile de ifade edilebilmektedir. Tümleyen küme, evrensel küme
içinde A’nın elemanı olmayan bütün elemanları kapsayan kümedir. A ve A c birlikte evrensel kümeyi
teşkil ederler. A c ’nin belirlenebilmesi için E’nin tanımlanmış olması gerekir.
Siyasal Bilgiler Fakültesi öğrencileri E kümesini, üçüncü sınıftaki öğrenciler A kümesini teşkil
etsinler. A c kümesi bu durumda SBF'nin 1,2, ve 4'üncü sınıflarındaki öğrencilerden meydana
gelecektir.
4
Tümleyen Kümenin Özellikleri
Ec  
c  E
A 
c c
A
özdeşlikleri geçerlidir.
Tanım (Tümleyen): A kümesinin tümleyeni, A kümesinde olmayan tüm elemanların kümesidir.
Bir olayın tümleyeni, o olayın tersidir. Olay neyi temsil ediyorsa, tümleyeni o olayın
gerçekleşmemesidir.
1.2 KÜMELER ÜZERİNDE TANIMLI İŞLEMLER
Kümeler üzerinde tanımlanan üç temel işlem, kesişim, birleşim ve fark işlemleridir. Bu işlemler
aşağıda kısaca açıklanmıştır.
1.2.1 Kesişim İşlemi
A ve B kümelerinin kesişimi A  B şeklinde gösterilir ve matematiksel olarak aşağıdaki biçimde
tanımlanır.
A  B  x : x  A ve x  B
Küme kesişimi için önceki örnek ele alınsın. Üçüncü sınıf öğrencileri
kümesini temsil ediyordu.
kümesi ise SBF'deki kız öğrenciler olsun. A  B kümesi, üçüncü sınıftaki kız öğrencilerden meydana
gelecektir. Bu kümenin elemanları, hem üçüncü sınıf öğrencisi olmaları dolayısıyla
olmaları dolayısıyla
, hem de kız
kümesinin elemanlarıdır. Eğer iki küme hiç ortak eleman içermezse bu iki
küme ayrık veya aynı anda imkânsızdır denir. Böyle iki kümenin kesişimi hiç bir eleman
içermediğinden boş kümeyi verir. A  B   ifadesi A ve B kümelerinin ayrık oluşunun gerekli ve
yeterli şartıdır.
Ayrık kümeler için SBF 1 ye 3'üncü sınıf öğrencileri birer örnek olabilir, çünkü bu fakültede sınıf
geçme usulü yürürlükte olduğundan bir öğrenci aynı anda iki sınıfın birden öğrencisi olamaz.
5
Kesişimin Özellikleri

A 

A A  A

A B  B  A

A  B  C    A  B   A  C 

A E  A
Teorem: Verilen A1, A2,… kümeleri eğer tüm i≠j için AiAj= ise ikişerli olarak ayrık kümelerdir.
İkiden fazla kümenin, örneğin A, B, C çifterli olarak ayrık olmaları,
A B 
AC 
B C 
durumunda onların hepsinin de ayrık olduğu
A B C 
söylenebilir. Bunun tersi geçerli değildir.
1.2.2 Birleşim İşlemi:
A ve B kümelerinin birleşimi A  B şeklinde gösterilir ve matematiksel olarak aşağıdaki biçimde
tanımlanır.
A  B  x : x  A veya x  B
6
Önceki örnek dikkate alınırsa A  B kümesi üçüncü sınıf öğrencilerini ve diğer sınıflardaki kız
öğrencileri kapsar.
Birleşim İşleminin Özellikleri

A  A

A A  A

A B  B  A

A  B  C    A  B   A  C 

A E  E
1.2.3 Fark İşlemi ve Simetrik Fark
A ve
kümelerinin farkı A  B (veya A / B )şeklinde gösterilir ve matematiksel olarak aşağıdaki
biçimde tanımlanır.
A  B  A   A  B  A  B c  x : x  A ve x  B
A  B kümesinin elemanları,
A kümesinin elemanı olan fakat B kümesinin elemanı olmayan
elemanlardan oluşur. Bu işlem değişme ve birleşme özelliklerine sahip değildir. Örneğin birleşme
özelliğinin geçerli olmadığı,
 A / B / C  A /B / C 
ifadesinden görülebilir.
A ve B kümelerinin simetrik farkı AB biçiminde gösterilir. Matematiksel olarak anlamı A veya B
kümelerinden sadece bir tanesinin elemanlarından meydana gelecektir. Başka deyişle, A  B ’den
A  B ’ nin çıkarılması işlemiyle bulunur. Matematik diliyle ifade edilirse;
AB  x : x  A ve x  Bveya x  B ve x  A
AB   A  B B  A
7
Teorem: Örnek uzayı S üzerinde üç olay (küme) A, B, C tanımlanmış olsun. Burada parantezler işlem
sırasını tanımlar ve oldukça önemlidir. Örneğin (AB)C kümesi A(BC) kümesinden farklıdır.
Değişme (Commutativity):
A B  B  A
A B  B  A
A  B  C    A  B  C
Birleşme (Associativity) :
A  B  C    A  B  C
Dağılma (Distributive)
:
A  B  C    A  B   A  C 
A  B  C    A  B   A  C 
De Morgan
:
 A  Bc  Ac  B c
 A  Bc  Ac  B c
İspat için bkz. Ek1.2.
Tanım (Sıralı ikili): Herhangi iki x ve y elemanını (x,y) biçiminde yazmaya sıralı ikili ya da ikili denir.
x’e sıralı ikilinin birinci bileşeni, y’ye ise sıralı ikilinin ikinci bileşeni denir.
(a,b) ≠ (b,a) yer değiştiğinde eşit olmaz.
(a,b)=(c,d) burada a=c ve b=d olur.
Tanım (Kartezyen Çarpım): A ve B kümeleri için, birinci bileşen A’dan, ikinci bileşen B’den alınarak
oluşturulacak tüm sıralı ikililerin kümesine A ve B kümelerinin kartezyen çarpımı, kısaca kartezyen
çarpım denir. AB ile gösterilir.
AB={(x,y)│xϵA ve yϵB}
Örneğin A={1,2,3} B={a,b} kümeleri için kartezyen çarpım:
AB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}
8
Örneğin a, b ve c ile gösterilen üç farklı markaya ait bebek maması satan bir dükkan ele alınsın. Bu
dükkanın sahibi belirli bir müşteri tarafından satın alınan marka ile ilgilenmektedir. Müşteri tarafından
her seferinde satın alınan mama, bu rassal deneyin bir denemesidir. Herhangi bir deneme için örnek
uzayı a, b, c’dir. Belirli bir müşteri için bu rassal deneye ait üç başarılı deneme ele alınsın. Bu üç
denemeye ait örnek uzayı Kartezyen çarpım kümesi olarak düşünülebilir:
E  S1  S 2  S 3  a, b, c a, b, c a, b, c
a, a, a 
a, b, a 

 a, c, a 

b, a, a 

  b, b, a 
 b, c, a 

 c, a, a 

 c, b, a 
 c, c, a 
a, a, b 
a, b, b 
a, c, b 
b, a, b 
b, b, b 
b, c, b 
c, a, b 
c, b, b 
c, c, b 
a, a, c 
a, b, c 
a, c, c 
b, a, c 
b, b, c 
b, c, c 
c, a, c 
c, b, c 
c, c, c 
Bu durumda S1  S2  S3 ’dir. Böylece S1  S 2  S3 Kartezyen çarpımı kümesi E  S i3 (i = 1,2,3 için)
ile gösterilebilir. Eğer S1  S2 fakat S3  S1 veyaS2 olsaydı, S1  S 2  S3
Kartezyen çarpımı
kümelerin çarpımında sıralama önemli olduğu için S 2j  S3 ile gösterilebilir fakat S3  S 2j ile
gösterilemezdi.
Tanım (Kümenin atomları): Herhangi bir A kümesi için evrensel küme
E  A  Ac
şeklinde iki yönlü sınıflanabilir. Bu sınıflama evrensel kümeyi iki ayrık kümeye ayırmıştır. Benzer
şekilde herhangi A ve B kümeleri için dört yönlü bir sınıflama,

 


 
E  A  Ac  B  B c
 
  A  B   A  B c  Ac  B  Ac  B c

ve A ve B olayları üzerine üçüncü bir C olayının tanımlanması ile,herhangi bir sekiz yönlü sınıflama,
iki ayrık olayın tanımlanması,

 
 

  A  B  C   A  B  C   A  B
 A  B  C   A  B  C   A
E  A  Ac  B  B c  C  C c
c
c
c
c
c
 
 

c
 C  Ac  B  C  Ac  B c  C =(Ac
c
 Bc  C c

olarak elde edilir.
Böyle bir sınıflamanın bileşenleri atom olarak adlandırılır. Tüm atomlar birbirinden çifterli olarak
ayrıktır. Yukarıdaki örneklerde sırası ile 2, 4, 8 adet atom vardır. Genel olarak n adet küme için 2n adet
9
atom vardır. Bu örnek uzayı üzerine tanımlanan herhangi bir küme bazı atomların birleşimi olarak
yazılabilir.
1.3 SAYMA YÖNTEMLERİ
İstatistik problemlerinde belirli bir durumda, olanaklı bütün seçenekleri ortaya koymak ya da en
azından kaç farklı olanak bulunduğunu belirlemek gereklidir
Sayma yöntemlerinin en sık kullanıldığı problemler, sonlu elemana sahip kümeler üzerine tanımlanan
olaylara bir olasılık atanması durumudur. Genelde sayma problemleri karmaşıktır bu nedenle saymayı
basitleştirmek üzere problem basit parçalara ayrılır. Bu formüller iki temel prensip üzerine
kurulmuştur:
Tanım (Toplama): A ve B ayrık kümeler olmak üzere, bir A kümesi toplam m farklı elemanlı ve B
kümesi ise n farklı elemanlı şekilde tanımlanmış ise (AB) kümesi m+n farklı eleman içerir.
n A  B   m  n
(1.1)
Tanım (Çarpma): A kümesi m elemanlı ve B kümesi ise n elemanlı ise ve kümeler ayrık değilse
(eşanlı olarak oluşabiliyor ise), AB kümesi mn eleman içerir.
.
n A  B   m  n
(1.2)
Tanım (Faktöriyel): Bir pozitif tam sayı n için, n (n faktöriyel) n değerine eşit ve küçük tüm tam
sayıların çarpımıdır.
n! n  n  1    3  2  1
(1.3)
Burada,
10
n  1!  n!
n
olduğundan, n  1 için 0!  1 olduğu görülebilir. Sayılar büyüdükçe faktöriyel değerini hesaplamak
zorlaşır. Bu nedenle yaklaşık bir hesaplama değeri Stirling tarafından verilmiştir:
n! 2 e n n
n
1
2
(1.4)
Daha güvenilir bir yaklaşım için e-n yerine
e n1 / 12n 
kullanılabilir.
1.3.1 Örnekleme ve Örnek Uzayındaki Eleman Sayısı Üzerine Etkisi
Kullanılacak sayma yöntemleri elemanların kümeden seçim (örnekleme) yöntemine
a. İadeli seçim (örnekleme)
b. İadesiz seçim (örnekleme)
ve seçim (örneğe çıkış) sırasına
c. Seçim (örneğe çıkış) sırası önemsiz
d. Seçim (örneğe çıkış) önemli
bağımlıdır.
Bir torbada 1’den n’e kadar işaretlenmiş n adet top olduğu ve bunlardan r adedinin farklı koşullar
altında çekildiği varsayılsın. Her bir farklı koşul için tüm mümkün çıktıların sayısının belirlenmesi
aşağıda incelenmiştir:
Durum I. Yerine Koymadan seçim ve sıralama önemli:
Torbadan r adet top çekilir. Fakat her bir çekilen top daha sonraki çekilişten önce torbaya iade
edilmez.. Bu durumda oluşan sıralı r adet (a1,…,ar) sayıda her bir aj farklı sayıdan oluşacaktır gibi
bir kısıt konulmuştur. Sıralama içinde aynı sayı tekrar edemeyeceği için bu sıralama bir
permütasyondur. Diğer bir kısıt ise r  n olmalıdır. Bu tip problemlere “Saymanın Temel Kuralı”
doğrudan uygulanmamakla birlikte çözüm,
nn  1n  r  1  nr
benzerdir.
Bu eşitliğin sol tarafında r adet çarpan vardır. Eşitliğin sağındaki
n r
sembolü n
sayısından birer küçülerek giden r adet sürekli çarpımı belirtmektedir.
Durum I permütasyon problemi olarak adlandırılan problemin özel halinin tanımlamaktadır.
11
Tanım (İadesiz seçim/Örnekleme): Bir kümeden örnek alırken alınan bir birimlik örnek eğer bir
sonraki seçimde tekrar kümeye dahil edilmiyorsa yani bir sonraki örnekte gözlenme şansı yoksa bu tip
örneklemeye iadesiz örnekleme denir.
Tanım (Permütasyon): Bir S kümesindeki elemanların iadesiz seçiminde ortaya çıkan her bir farklı
sıralamaya verilen isimdir.
Örneğin S  1,2,3 kümesi için permütasyonlarının oluşturduğu küme:
S p  1,2,3, 1,3,2, 2,1,3, 2,3,1, 3,2,1, 3,1,2
Kümenin her bir elemanı bir permütasyona karşılık gelmektedir. Kümenin elemanları incelendiğinde
örneğe çıkış sırasının önemli olduğu görülebilir. Permütasyon Türkçeye seçme ve sıralama olarak
çevrilebilir.
Tanım (Kümenin permütasyon sayısı): Bir S kümesinde n adet eleman var ise farklı seçme ve
sıralamalarının (permütasyonların) sayısı:
n
Pn  n(n  1)...2.1  n!
(1.5)
Kümeden örneğe çekilen eleman sayısı r<n koşulu ile sadece r adet ise farklı seçme ve sıralamalarının
(permütasyonların) sayısı:
n
Pr  n(n  1)...n  r  1 
n!
 n r
n  r !
(1.6)
Nesneler bir dairenin etrafında sıralanınca ortaya çıkan permütasyonlara daire permütasyonları denir.
Permütasyon ve faktöriyel arasındaki ilişki ise,
n! n  n  1   n  r  1  n  r    1
 n Pr  n  r !
Teorem: Bir daire çevresinde sıralanan n farklı nesnenin permütasyon sayısı
n  1!
ile hesaplanır.
Durum II. Yerine Koymadan ve Sıralama Önemsiz
Bu örnekleme yapısında çekilen toplar torbaya iade edilmez ve çekiliş sırası önemsiz olup kayıt
edilmez. Sonuç olarak r adet top bir defada çekilmiş olarak düşünülebilir. Böyle bir örnekleme
yapısında n elemanlı bir kümeden elde edilen r elemanlı alt kümeler ile ilgilenilir. Alt kümelerin
sayısını bulabilmek amacıyla ilk olarak Durum I ile bir karşılaştırma yapılması faydalı olacaktır. Eğer
12
r adet top iade edilmeksizin birer birer çekilip sıralanır ise mümkün sıralama sayısı r! olacaktır.
Örneğin n=5, r=3 için 3,2,5 alt kümesi;
S p  2,3,5, 2,5,3, 3,2,5, 3,5,2, 5,2,3, 5,3,2
3!=6 farklı şekilde çekilebilir. Sırlama önemsiz olduğundan n adet eleman içinden r eleman;
n!
r!n  r !
farklı şekilde çekilebilir.
Tanım (Kombinasyon): Bir S kümesindeki elemanların iadesiz örneklemedeki tüm farklı seçimlerine
verilen isimdir.
Örneğin S  1,2,3 kümesi için üç elemanlı farklı seçimlerin (kombinasyonların) oluşturduğu küme:
S k  1,2,3
iki elemanlı farklı seçimlerin (kombinasyonların) oluşturduğu küme:
S k  1,2, 1,3, 2,3
Gerçekte kombinasyon, altküme ile aynı anlamı taşır.
Tanım (Kombinasyon sayısı): Bir S kümesinde n adet eleman var ise nr olmak üzere r adet elemanın
n
faklı seçimlerinin sayısı,   sembolü ile tanımlanır ve n içinden r adet seçim olarak okunur:
r
n Cr
 n
P
n!
    n n 
 r  n  r ! n  r !r!
n Cr

(1.7)
ya da
Pn
r Pr !
n
eşitlikleri ile tanımlanır.
Bu sayılar aynı zamanda binom katsayıları olarak da adlandırılır. Kombinasyonlar üzerindeki
tartışmaya yakından bakıldığında, aşağıdaki ilişkileri gözlemlenebilir.
 n
n!
  
n
 1  1!n  1!
(1.8)
 n
n!
n!
  

1
 n  n !n  n ! n !0 !
(1.9)
13
Son ilişki n adet nesneden alınan r hacimli kombinasyonlarının sayısının, yine n adet nesneden alınan
n  r hacimli kombinasyonlarının sayısına eşit olduğunu belirtmektedir. Bu sürpriz değildir, çünkü
n’den r hacim seçildiğinde geriye n  r adet eleman kalmıştır.
Permütasyon tüm mümkün seçimlerin (kombinasyonların) kendi içindeki tüm mümkün farklı
düzenlemelerini de bir eleman olarak sayar. Örneğin abc ve acb aynı kombinasyon farklı bir
permütasyondur. Bununla birlikte abc ve abd farklı kombimasyonlardır.
Durum III. Yerine Konarak Örnekleme ve Sıralama Önemli:
Torbadan r adet top çekilir. Fakat her bir çekilen top daha sonraki çekilişten önce torbaya iade edilir.
Topların üzerindeki sayılar çıkış sırasına göre kayıt edilir. Sonuç olarak her r adetlik çekiliş için r adet
sayıdan oluşan bir (a1,…,ar) sıralaması elde edilir. Burada her bir aj, 1 ile r arasındaki herhangi bir
sayı olabilir. Sıralama içinde aynı sayı tekrar edebileceği için bu sıralama bir permütasyon değildir.
Tüm mümkün durumların sayısının elde edilmesi için “Saymanın Temel Kuralı” uygulanarak,
nE n r
(1.10)
bulunur. Torbadan topun çekilmesi ile altı zarın atılması ya da tek bir zarın arka arkaya altı defa
atılması arasında herhangi bir fark yoktur.
Tanım (İadeli seçim): Bir kümeden örnek alırken alınan bir birimlik örnek eğer bir sonraki seçimde
tekrar kümeye dahil ediliyorsa yani örneğe girme şansı yine varsa bu tip örneklemeye iadeli örnekleme
denir.
Durum IV. Gruplara Ayrılabilen n Elemanın Permütasyonu
Torbadaki toplardan n1 adedinin Renk 1, n2 adedinin Renk 2,…, nr adedinin Renk r ile boyandığı
varsayılsın. Renklerin ayırt edilebidiği fakat aynı renkli topların ayırt edilemediği bilinmektedir. Renk
gruplarındaki eleman sayılarının toplamı
n1  n2    nk  n
torbadaki top sayısına eşittir. Bu n adet topun ayrıştırılabilir kaç düzenlemesi vardır?
Örnek olarak n1=2, n2=2, n=4 ve renkler de sarı ve lacivert olsun. Elde edilebilecek farklı
düzenlemelerin sayısı 6 olarak belirlenir:
Yukarıdaki soruyu analitik olarak cevaplamak için tüm topların ayrıştırılabildiği Durum I ile bir
karşılaştırma yapılabilir. Renklendirilen toplar aynı zamanda numaralandırılır ise hepsi birbirinden
ayrıştırılabilir hale gelir. Bu durumda tüm mümkün düzenlemelerin toplam sayısı, Durum I
kullanılarak, n! olarak belirlenir. Renk 1 ile boyanan n1 adet top numaralar yardımı ile n1! adet farklı
düzenlemeye, Renk 2 ile boyananlar ise n2! adet farklı düzenlemeye sahip olacaktır. Bir renk için elde
edilen her bir düzenleme bir diğer rengin herhangi bir düzenlemesi için serbestçe birleştirilebileceği
14
için “Saymanın Temel Kuralı” kullanılarak birlikte oluşturabilecekleri düzenleme sayısı (işaretler
dikkate alındığında) n1!n2!... nr! bulunabilir. Araştırılan konu işaretlerin olmadığı sadece renklerin
olduğu bir durumdaki düzenleme sayısı olduğundan bu sayı,
n
P n1 ,n2 ,,nr  
n!
n1! n2 ! nr !
(1.11)
formülü ile elde edilir, bkz. E1.3.
Eğer 1.11 eşitliliğinde r ve n  r adet iki tip nesne varsa, bu eşitlik çok özel bir durum haline gelir;
n Pr ,n r 

n!
 n Cr
r !n  r !
(1.12)
Yani n adet nesnenin r ve n  r adet iki farklı permutasyonlarının sayısı, n adet nesnenin r hacimli
kombinasyonlarının sayısına eşittir.
 n   n

   
n  r r 
Bu sonuç önceki verilen durumu desteklemektedir.
Teorem: Herhangi bir pozitif tam sayı n ve r = 0,1,2,…,n için
 n  n 
   

r  n  r
(1.13)
elde edilir, bkz. E1.4
 4
Örnek:    1 ,
0
 4
 4
 4
   4 verilmişken,   ve   değerlerini bulunuz.
1
 3
 4
 4  4   4
 4  4   4
   
     4 ve    
     1
 3   4  3  1 
 4  4  4  0
Alternatif olarak, n elemandan herhangi biri ele alınsın. Eğer bu eleman seçilen r elemana dahil
 n  1
 farklı şekilde seçilebilir. Eğer dahil edilirse diğer r-1 adet eleman
edilmez ise bu r adet eleman 
 r 
 n  1

 farklı şekilde seçilebilir. Böylece, r adet eleman
 r  1
 n  1  n  1

  
 farklı şekilde seçilebilir.
 r   r  1
Teorem: Herhangi bir pozitif tam sayı n ve r = 0,1,2,…,n-1 için
 n   n  1  n  1
   
  

 r   r   r  1
(1.14)
elde edilir, bkz. E1.5
Açıkça görülmektedir ki bir kümeden, o kümedeki elemandan daha fazla elemana sahip bir alt küme
seçilemez. n ve r pozitif bir tam sayı ve r > n ise
n
   0
r
15
sonucu elde edilir.
Teorem: Herhangi bir pozitif tam sayı n ve r = 0,1,2,…,n için
  n   n  n  1  n  k  1
  
k!
 k 
elde edilir, bkz. E1.6.
(1.15)
Durum V. Yerine Konarak ve Sıralama Önemsiz
Torbadan r adet top çekilir. Fakat her bir çekilen top daha sonraki çekilişten önce torbaya iade edilir.
Topların üzerindeki sayılar çıkış sırası dikkate alınmadan kayıt edilir. Bu problemin çözümü için
farklı bir yaklaşım gereklidir. Aşağıda bu yaklaşım bir örnek üzerinde açıklanacaktır. Örnek için
n  r  3 alınsın. Tüm mümkün durumlar aşağıdaki Tablo 1.1’de listelenmiştir.
Her çekim işleminden sonra çekilen numara sütununa bir kontrol işareti () konur. İşaret
sayısı deneme sayısına r eşit olup bu değer top sayısından n fazla olabilir. Numaralara ait
kontrol işaretleri arasındaki boşlukları belirtmek amacıyla çubuklar (|) kullanılmıştır. Ortadaki üç
sütun son sütunda özetlenmiştir. Bu sütun incelendiğinde üç kontrol ve iki çubuk için tüm mümkün
durumların dikkate alındığı görülmektedir. Toplam sayı, Durum III n=5, r=3, ya da Durum IV n=5,
n1=3, n2=2 ile elde edilebilir. Sonuç olarak 5!/3!2!=10.
Durum V deki problem r adet kontrol ve n-1 adet çubuğun tüm mümkün düzenlemeleri problemine
dönüştürülerek çözülmüştür. Eğer n adet mümkün durum var ise ve bu mümkün durumların her biri
tabloda olduğu gibi bir kutu ile tanımlanmışlar ise kutular arasında n-1 adet çubuk vardır. Durum IV
için tanımlanan formüller uygulandığında çıktıların mümkün sayısı:
 n  r  1  n  r  1
  

nE   
r

  n 1 
(1.16)
ile elde edilebilir.
Tablo 1.1
1
2
111

112

113

122


123


133

3

||

||

||
||

||

||
222

223


||
233


||

||
333
||
16

Yukarıda açıklandığı üzere kullanılacak sayma yöntemleri gerçekleştirilen seçim yöntemine faklılık
gösterebilir. Farklı seçim durumları için örnek uzayındaki eleman sayıları aşağıdaki şekilde
hesaplanabilir.
İadesiz Örnekleme
İadeli Örnekleme
Sıra Önemli
n!
(n  r )!
nr
Sıra Önemsiz
n
 
r
 n  r  1


r


Tabloda verilen durumları açıklamak amacıyla aşağıda 44 adet sayı içinden çekilebilecek 6 adet sayı
için karşılaşılabilecek farklı örnek uzaylarının eleman sayıları hesaplanmıştır:
a. İadesiz sıralama önemli: Temel sayma teoremine göre ilk sayı 44 farklı şekilde, iadesiz olduğundan
ikincisi 43 farklı şekilde seçilebileceğine göre altı adet sayı;
444342414039=(44!/38!)=5.082.517.440
farklı şekilde belirlenebilir. Bu sonuç genellendiğinde,
n!
(n  r )!
bulunur.
b. İadeli sıralama önemli: Seçilen sayı tekrar iade edildiği için her bir çekiliş 44 farklı şekilde
yapılabileceğinden altı adet sayı,
444444444444=446=7.256.313.856
farklı şekilde belirlenebilir. Bu sonuç genellendiğinde,
nr
bulunur.
c. İadesiz sıralama önemsiz: Sıralamanın önemsiz olduğu durumlarda, örnek uzayındaki eleman sayısı
azalır. Altı adet sayı 654321 farlı şekilde ortaya çıkabilir. Eğer sıralama önemsiz ise bu
durumların tümü örnek uzayındaki tek bir elemana karşılık geldiğinden, bu sayı sıralamanın önemli
olduğu durumda karşılaşılan örnek uzayından bölünerek düşülür ve sonuç olarak sıralama önemsiz ise
altı adet sayı,
17
44  43  42  41 40  39 44!

 7.059.052
6  5  4  3  2 1
38!6!
farklı şekilde belirlenebilir. Bu sonuç genellendiğinde,
 n
n!
  
 r  n  r ! r!
bulunur.
d. İadeli sıralama önemsiz: Örnek uzayı belirlemenin en zor olduğu durumdur. Cevap olarak hemen
446/654321 olduğu söylenebilir, fakat bu sonuç yanlıştır. Bu durumu saymak için 44 adet sayı
yan yana yerleştirilmiş her biri bir diğerinden bir karton ile ayrılmış kutular olarak düşünülebilir ve altı
adet sayı kağıtlara yazılıp kutuların içine konulur. Mümkün durumların sayısı, 44 kutu içine konacak 6
adet kağıdın farklı mümkün durumlarının sayısına eşit olacaktır. Kutuları ayıran kartonlardan ilki ve
sonuncusunun oynadığı bir rol yoktur. 44 adet kutu 45 adet kartona sahiptir fakat 43 adet karton
dikkate alınır. Bunlara ilave olarak 6 adet kağıt mevcuttur. Sonuç olarak 43+6=49 adet nesne vardır ve
bunlar 49! Kadar farklı yerleşime sahiptir. Bununla birlikte sıralama önemli olmadığından kağıtlar için
6! ve kartonlar için 43! kadar durum elenmelidir. Sonuç olarak sıralama önemsiz ise altı adet sayı,
49!
 13.983.816
6!43!
farklı şekilde belirlenebilir.
1.4.2 İki terimli (Binom) ve Çok terimli (Multinomial) Teoremleri
Pozitif bir tam sayı olan n için x  y n ifadesinin tüm elemanları yan yana çarpıldığında, ortaya çıkan
her terim x’lerin ve y’lerin çarpımından oluşur. Örneğin,
x  y 3  x  y x  y x  y 
 xxx  xxy  xyx  xyy  yxx  yxy  yyx  yyy
 x3  3x 2 y  3xy 2  y3
ifadesinin ortaya çıkan terimleri x3, x2y, xy2 ve y3 formundadır. Katsayıları 1, 3, 3 ve 1’dir. Örneğin
 3
xy2’nin katsayısı    3 ’tür. Bu sayı y’nin ikinci kuvvetini içeren faktörün kaç farklı şekilde
 2
 3
seçilebileceğini göstermektedir. Benzer şekilde x2y’nin katsayısı    3 ’tür. Bu sayı y’nin birinci
 2
kuvvetini içeren faktörün kaç farklı şekilde seçilebileceğini göstermektedir. x3 ve y3’ün katsayıları ise
 3
 3
   1 ve    1 ’dir.
 0
 3
18
Daha genel bir ifadeyle, n pozitif tam sayısı için
x  y n
ifadesinin tüm elemanları yan yana
n
çarpıldığında x nr y r teriminin katsayısı   ’dir. Bu da y’nin r-inci kuvvetini içeren faktörün kaç
r
n
farklı şekilde seçilebileceğini göstermektedir. Burada   ifadesine binom katsayısı denmektedir. İki
r
terimli x  y n ifadesinin açılımı basit kombinasyon metodu kullanılarak gerçekleştirilip daha sonra
çok terimli durum için genelleştirilecektir.
Gerçekte bu problem iki gruba bölünmüş (x ve y) n adet çarpanın ortaya çıkış sayısını bulmak olarak
da tanımlanabilir.
Teorem: Pozitif n tam sayısı için
x  y n   
n  nr r
x y
r 0  r 
n
(1.17)
elde edilir, bkz. E1.7.
 5
Örnek:    1 ,
 0
 5
 5
 5
   5 ve    10 verilmişken,   ,
 2
1
 3
 5  5   5 
   
     10 ,
 3  5  3  2 
5
5
  ve   değerlerini bulunuz.
 4
5
 5  5   5
 5   4   5
     1
   
     5 ve    
 5  5  5  0
 4  5  4 1
elde edilir.
Teorem: Pozitif n ve m tam sayıları için
 m  n   m  n 

k 
r 0
k
  r  k  r   
(1.18)
elde edilir, bkz. E1.8.
Binom katsayılarına ait bazı özel durumlar aşağıda verilmiştir:
1  y n   
n r
y
r 0  r 
(1.19)
1  y n     1r y r
(1.20)
n
n
n
r 0  r 
2n 
n
n
  r 
(1.21)
r 0
0
n
r  n
  1  r 
(1.22)
r 0
İki terimli açılım, çok terimli açılım,
x1  x2    xk n
için genellenebilir. Açılımın k adet bileşenin çarpımından oluşan terimlerin,
19
cx1n1 x2n2  xknk
önündeki c katsayısı eşitlik (1.11) kullanılarak,
n!
n1!n2 ! nr !
ve sonuç olarak açılım
x1  x2    xk n


n1 , n2 ,nk
n!
x1n1 x2n2  xknk
n1!n2 ! nk !
(1.23)
şeklinde elde edilir.
20
BÖLÜM 1 EKLER
Ek1.1Teorem: Boş küme ancak bir tanedir
İspat: Boş kümenin tek oluşunu göstermek için,  ve 'nın birer boş küme olduğunu varsayılsın. 
'nun  içinde bulunmayan herhangi bir elemanı olmadığından    dır. Benzer şekilde    da
yazılabilir. Oysa bu iki ifadenin aynı anda sağlanması ancak    olması, yani boş kümenin tekliği
halinde mümkündür
Ek1.2 De Morgan teoreminin ispatı
Sadece
De
Morgan
Kuralların
ilki
ispatlanacaktır.
İspat
iki
aşamalıdır.
İlk
adımda
 A  Bc  Ac  B c olduğu gösterilsin:
x   A  B  olsun. Bu durumda x   A  B  olmalıdır. Sonuç olarak; x  A ve x  B .
c
Bu nedenle x  Ac ve x  B c , diğer bir deyişle; x  Ac  B c bulunur. İlk adımın sonucu:
 A  Bc  Ac  B c
İkinci adımda Ac  B c   A  B  olduğu gösterilsin:
c
x  Ac  B c olsun. Bu durumda x  Ac ve x  B c olmalıdır. Sonuç olarak; x  A ve
x  B . Bu nedenle x   A  B  , diğer bir deyişle; x   A  B  bulunur. İkinci adımın sonucu:
c
Ac  B c   A  B 
c
Her iki adımın sonucu birlikte değerlendirildiğinde:
Ac  B c   A  B  .
c


n!
 
 n1 , n2 ,, nk  n1!n2 ! nk !
E1.3İspat: 
n
 n  n  n1  n  n1  n2   n  n1  n2    nk 1 



  
n
n
n
n
3
k
1
2
 

 

21

n  n1  n2    nk 1 !
n  n1 !
n  n1  n2 !
n!

n1!n  n1 ! n2 !n  n1  n2 ! n3 !n  n1!  n2  n3 ! nk !n  n1  n2    nk 1  nk !

n!
n1!n2 ! nk !
E1.4 İspat: birbirinden farklı n elemandan oluşan bir kümeden r adet elemandan oluşan bir alt küme
seçildiğinde, geriye n-r elemandan oluşan küme kalır. Dolayısıyla r adet elemanı seçme yolu kadar n-r
elemanı bırakma yolu vardır. Teoremin ispatı cebirsel olarak şu şekilde yapılabilir:
 n 
n!
n!

 

 n  r  n  r !n  n  r ! n  r !r!

 n
n!
  
r!n  r !  r 
n çift olduğunda r = 0,1,2,…,
n
n 1
için ve tek olduğunda da r = 0,1,2,…,
için binom katsayıları
2
2
hesaplandığında, geriye kalan binom katsayıları bu teorem ile elde edilebilir.
E1.5 İspat: x  y n ifadesinde x = 1 alındığında
1  y n  1  y 1  y n1  1  y n1  y1  y n1
yazılabilir ve 1  y n ’deki yr’nin katsayısı ile en son elde edilen 1  y n1  y1  y n1 ifadesindekinin
n
katsayıları birbirine eşitlenebilir. İlkinde yr’nin katsayısı   ve ikincisinde ise yr’nin 1  y n1
r
 n  1
 n  1
 ve yr-1’in 1  y n1 ifadesindeki katsayısı 
 ’in toplamına eşittir.
ifadesindeki katsayısı 
 r 
 r  1
Böylece,
 n   n  1  n  1
   
  

 r   r   r  1
elde edilir ve ispat tamamlanır.
  n
nn  1 n  k  1
E1.6 İspat:     1k
k
k!
 
k  n  k  1

  1 
 k 
y

n
E1.7 İspat: x  y   x n 1  
x

n
Burada z=y/x alınarak
x  y n  x n 1  z n
22
1  z r
çarpanı r=1, 2,…,n için açılarak,
1  z   1  z
 1  1
      z
 0  1
1  z 2  1  2z  z 2
 2  2  2
      z    z 2
 0  1  2
1  z 3  1  3z  3z 2  z 3
 3   3  3 
 3
      z    z 2    z 3
 0 1  2
 3
1  z n  1  nz    z n
 n  n  n
 n
      z    z 2      z n
 0  1  2
 n
Sonuç olarak:
1  z n  nr0 
n r
z
r
x n 1  z   x n
n
n
n
 n r
 z
 

n
r 0  r 
y
x 1    x n
x

 n  y 
  
r 0  r  x
  

n
r
n
 n   n  y  n  y 2
 n y n 
y
x 1    x n         2      n 
x

 n x 
 0   1  x  2  x
n
x  y n  nr0 
n  nr r
x y
r
elde edilir.
E1.8 İspat: Bir önceki teorem ile aynı teknik kullanılarak aşağıdaki denklemin her iki tarafındaki yk
ifadesinin katsayıları bir birine eşitlenebilir.
1  y mn  1  y m 1  y n
1  y mn
m  n
 ’dur. 1  y m 1  y n ’de yk ifadesinin katsayısı ise
teriminde yk ifadesinin katsayısı 
k


 m  m
 m    n   n 
 n 
    y      y m        y      y n 
 m    0   1 
 n 
 0   1 
1  y m 1  y n  
ilk faktördeki ve ikinci faktördeki terimlerin çarpımlarının toplanmasıyla elde edilir. Böylece yk
ifadesinin katsayısı
23
 m  n   m  n   m  n 
 m  n 
     
   
      
 0  k   1  k  1  2  k  2 
 k  0 

k
 m  n 
  r  k  r 
r 0
elde edilir ve ispat tamamlanır.
24