BAZI İNTEGRAL TİPLİ LİNEER POZİTİF OPERATÖR DİZİLERİNİN

BAZI İNTEGRAL TİPLİ LİNEER POZİTİF
OPERATÖR DİZİLERİNİN
q − GENELLEŞMELERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
Mediha ÖRKCÜ
DOKTORA TEZİ
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MAYIS 2011
ANKARA
Mediha ÖRKCÜ tarafından hazırlanan “BAZI İNTEGRAL TİPLİ LİNEER
POZİTİF OPERATÖR DİZİLERİNİN q − GENELLEŞMELERİNİN YAKLAŞIM
ÖZELLİKLERİ” adlı bu tezin Doktora tezi olarak uygun olduğunu onaylarım.
Doç. Dr. Ogün DOĞRU
……………………………….
Tez Danışmanı, Matematik Anabilim Dalı
Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Doktora
tezi olarak kabul edilmiştir.
Prof. Dr. İbrahim Ethem ANAR
……………………………….
Matematik Anabilim Dalı, G.Ü.
Doç. Dr. Ogün DOĞRU
……………………………….
Matematik Anabilim Dalı, G.Ü.
Prof. Dr. Nurhayat İSPİR
……………………………….
Matematik Anabilim Dalı, G.Ü.
Prof. Dr. Oktay DUMAN
……………………………….
Matematik Anabilim Dalı, TOBB ETÜ
Doç. Dr. Nuri ÖZALP
……………………………….
Matematik Anabilim Dalı, A.Ü.
Tarih: 27/05/2011
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Doktora derecesini
onamıştır.
Prof. Dr. Bilal TOKLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
……………………………….
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu
çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf
yapıldığını bildiririm.
Mediha ÖRKCÜ
iv
BAZI İNTEGRAL TİPLİ LİNEER POZİTİF
OPERATÖR DİZİLERİNİN
q − GENELLEŞMELERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
(Doktora Tezi)
Mediha ÖRKCÜ
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Mayıs 2011
ÖZET
Korovkin tipli yaklaşım teoremleri yaklaşımlar teorisinde önemli bir yere
sahiptir. İstatistiksel yakınsaklık kavramı yardımıyla Korovkin tipli yaklaşım
teoremleri geliştirilmiştir [Gadjiev ve Orhan, 2002; Duman ve ark. 2003]. Bu
teoremler kullanılarak birçok lineer pozitif operatörün q − genelleşmelerinin
veya integral tipli genelleşmelerinin yaklaşım özellikleri araştırılabilmiştir. Bu
tezde ise, Aral ve Gupta (2006) tarafından tanımlanan q − Szasz-Mirakjan
operatörlerinin Kantorovich tipli genelleşmesi verilmiş ve istatistiksel yaklaşım
özellikleri
incelenmiştir.
Yaklaşım
teorisinde
operatörlerin
düzgün
yakınsaklığının araştırılması kadar bu yakınsamanın hızının değerlendirilmesi
de oldukça önemli bir konudur. Bu tezde, ilk olarak oluşturulan operatörler
dizisi için Voronovskaja tipli teorem bu yüzden verilmiştir. Daha sonra
süreklilik modülü yardımıyla istatistiksel yaklaşım hızı elde edebilmek için
q − Szasz-Mirakjan operatörlerinin yeni bir Kantorovich tipli genelleşmesi
oluşturulmuştur. Ayrıca pozitif bir operatör olan Riemann tipli q − integral
yardımıyla q − Szasz-Mirakjan-Kantorovich operatörleri geliştirilip ağırlıklı
süreklilik modülü yardımıyla yaklaşım oranı elde edilmiştir. Bunun yanında
Riemann tipli q − integral yardımıyla oluşturulan operatörlerin iki değişkenli
genelleşmesinin istatistiksel yaklaşım özellikleri de verilmiştir. Yukarıda sözü
v
edilen operatörlerin q = 1 olması durumunda klasik operatörlerin integral tipli
genelleşmelerine dönüşmesi ve q yerine (qn ) dizisi alınarak bu dizinin seçimine
göre yaklaşım hızının uygun şekilde ayarlanabilir olması tezin önemini
artırmaktadır.
Bilim Kodu
: 204.1.138
Anahtar Kelimeler : Korovkin tipli teoremler, Szasz-Mirakjan operatörler,
q − genelleşmeler, Kantorovich tipli operatörler,
İstatistiksel yakınsaklık.
Sayfa Adedi
: 75
Tez Yöneticisi
: Doç. Dr. Ogün DOĞRU
vi
THE APPROXIMATION PROPERTIES OF q − GENERALIZATIONS OF
SOME LINEAR POSITIVE OPERATOR SEQUENCES
(Phd. Thesis)
Mediha ÖRKCÜ
GAZİ UNIVERSITY
INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
May 2011
ABSTRACT
Korovkin type approximation theorems have fundamental role in the
approximation theory. By the aid of the concept of statistical approximation,
Korovkin type theorems are developed [Gadjiev and Orhan, 2002; Duman et
all, 2003]. Using these theorems, the approximation properties of the
q − generalizations and integral-type generalizations of many linear positive
operators can be investigated. In this thesis, Kantorovich-type generalization of
q − Szasz-Mirakjan operators defined by Aral and Gupta (2006) is given and
statistical approximation properties of this generalization are investigated. In
the approximation theory, evaluation of approximation rate is as important
subject as an investigation of uniform convergence of operators. Hence,
Voronovskaja type theorem is given for constructed operators’ sequence in this
thesis. Then, a new Kantorovich type generalization of the q − Szasz-Mirakjan
operators is defined to obtain statistical approximation rate by means of
modulus
of
continuity.
Furthermore,
q − Szasz-Mirakjan-Kantorovich
operators are developed with the aid of Riemann type q − integral and the
approximation rate is obtained by the weighted modulus of continuity. Also,
statistical approximation properties of two variable generalizations of operators
constructed by the Riemann type q − integral are given. In the case of q = 1 ,
since our operators are reduced to the integral type generalization of the
vii
classical operators, and since the approximation rate can properly be calibrated
by a proper choose of (qn ) instead of q , increase the importance of this thesis.
Science Code
Keywords
Page Number
Adviser
: 204.1.138
: Korovkin type theorems, Szasz-Mirakjan operators
q − generalizations, Kantorovich type operators,
Statistical approximation.
: 75
: Assoc. Prof. Dr. Ogün DOĞRU
viii
TEŞEKKÜR
Çalışmalarım boyunca yakın ilgi ve önerileriyle beni yönlendiren saygıdeğer hocam,
Sayın Doç. Dr. Ogün DOĞRU’ya teşekkürlerimi bildirmeyi bir borç bilirim. Ayrıca
doktora öğrenciliğim sürecinde burs aldığım TÜBİTAK’a teşekkürlerimi, manevi
destekleriyle beni hiçbir zaman yalnız bırakmayan eşime, anneme ve babama en
içten saygı ve sevgilerimi sunarım.
ix
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET .......................................................................................................................... iv
ABSTRACT................................................................................................................ vi
TEŞEKKÜR..............................................................................................................viii
İÇİNDEKİLER ...........................................................................................................ix
SİMGELER VE KISALTMALAR..............................................................................x
1. GİRİŞ ...................................................................................................................... 1
2. TEMEL KAVRAMLAR......................................................................................... 5
2.1. Lineer Pozitif Operatörler ................................................................................ 5
2.2. q − Analiz......................................................................................................... 9
3. q − SZASZ-MIRAKJAN OPERATÖRLERİNİN KANTOROVICH TİPLİ
MODİFİKASYONUNUN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ ...................................13
3.1. Ağırlıklı İstatistiksel Yaklaşım Özellikleri .....................................................17
3.2. Voronovskaja Tipli Yaklaşım Hızı .................................................................24
4. KANTOROVICH TİPLİ q − SZASZ-MIRAKJAN OPERATÖRLERİNİN
YAKLAŞIM ORANI .............................................................................................30
4.1. Noktasal Yaklaşım Oranı ................................................................................38
5. RIEMANN TİPLİ q − İNTEGRAL İLE q − SZASZ-MIRAKJANKANTOROVICH OPERATÖRLERİ ...................................................................45
5.1. İstatistiksel Yaklaşım Hızı ..............................................................................53
5.2. İki Değişkenli q − Szasz-Mirakjan-Kantorovich Operatörleri........................61
KAYNAKLAR ..........................................................................................................69
ÖZGEÇMİŞ ...............................................................................................................74
x
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur.
Simgeler
Açıklama
K
K kümesinin eleman sayısı
δ
Yoğunluk fonksiyonu
Tn ( f ; x )
n ∈ ` olmak üzere bir operatörler dizisi
em
em ( x ) = x m , m ≥ 0
ψ xk
ψ xk ( t ) = ( t − x ) k -yıncı merkezi moment
C [ a,b ]
[ a,b]
k
aralığında tanımlı ve sürekli tüm reel fonksiyonların
uzayı
f
C [ a ,b ]
C [ a,b ] uzayında
f
= maks f ( x ) ile tanımlı norm
C [ a ,b ]
x∈[ a ,b ]
ρ ( x)
ρ ( x ) ≥ 1 \ m de sürekli fonksiyon ve lim ρ ( x ) = ∞
Bρ ( \ m )
\ m de f ( x ) ≤ M f ρ ( x ) eşitsizliğini gerçekleyen
x →∞
fonksiyonların uzayı
Cρ ( \ m )
f
ρ
ω ( f ;δ )
Ωα ( f , δ )
Bρ ( \ m ) deki tüm sürekli fonksiyonların uzayı
Bρ ( \ m ) uzayında f
ρ
= sup
x∈\ m
f ( x)
ρ ( x)
f fonksiyonunun süreklilik modülü
Ağırlıklı süreklilik modülü
ile tanımlı norm
1
1. GİRİŞ
Analiz ve fonksiyonlar teorisinde yer alan araştırma alanlarından biri de lineer pozitif
operatörlerle yaklaşım konusudur ve matematiğin birçok dalıyla ilişkilidir.
Alman matematikçi Weierstrass (1885) sonlu aralıkta sürekli olan her fonksiyona bu
aralıkta yakınsayan bir polinomun varlığını ispatlamıştır. 1912 yılında ise Rus
matematikçi Bernstein varlığı bilinen bu polinomun, x ∈ [0,1] için
n
⎛ k ⎞⎛ n ⎞
n−k
Bn ( f ; x ) = ∑ f ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎟ x k (1 − x )
k = 0 ⎝ n ⎠⎝ k ⎠
şeklinde olduğunu ispatlamıştır.
Bohman (1952) ve Korovkin (1953) lineer pozitif operatörlerin sonlu aralıkta sürekli
fonksiyona yaklaşımına ilişkin çok önemli teoremler vermişlerdir. Korovkin’in kendi
adıyla anılan teorem bu konudaki çalışmalara büyük katkı sağlamıştır.
1.1. Teorem (Korovkin, 1953)
f ∈ C [ a, b ] ve tüm reel eksende sınırlı olsun. Eğer Tn lineer pozitif operatörler dizisi
i) lim Tn (1) − 1 C[ a ,b] = 0
n →∞
ii) lim Tn (t ) − x
n →∞
C [ a ,b ]
iii) lim Tn (t 2 ) − x 2
n →∞
=0
C [ a ,b ]
=0
koşullarını sağlıyorsa bu durumda [a, b] aralığında lim Tn ( f ) − f
n →∞
C [ a ,b ]
= 0 dır.
2
Korovkin teoremi yardımıyla yaklaşım özellikleri incelenebilen birçok lineer pozitif
operatörler
(Meyer-König-Zeller
operatörleri,
Szasz-Mirakjan
operatörleri,
Bleimann-Butzer-Hahn operatörleri gibi) tanımlanmıştır.
Operatörler tanımlandıktan sonra bu operatörlerin çeşitli genelleşmeleri de ele
alınmıştır. Durrmeyer tipli ve Kantorovich tipli genelleşmeler olarak bilinen integral
tipli genelleşmeler oldukça önem kazanmıştır [Kantorovich, 1930; Durrmeyer, 1967;
Derriennic, 1981]. Örneğin, 1950 yılında Szasz tarafından tanımlanan
Sn ( f ; x ) = e
− nx
∞
∑
k =0
⎛ k ⎞ ( nx )
f⎜ ⎟
, x ∈ [ 0, ∞ )
⎝ n ⎠ k!
k
Szasz operatörlerinin Kantorovich tipli genelleşmesi ise, Totik (1983) tarafından
x ∈ [ 0, ∞ ) için
K n ( f ; x ) = ne
− nx
∞
∑
k =0
( nx )
k!
k
( k +1)
∫
n
f ( t ) dt ,
k n
olarak tanımlanmıştır.
Lineer pozitif operatörlerin diğer bir genelleşmesi de q − teori ile ilgilidir.
Yaklaşımlar teorisinde q − genelleşme kavramı ilk kez Lupaş (1987) tarafından
Bernstein polinomlarına uygulanmış ve Ostrovska (2006), bu operatörlerin düzgün
yakınsaklığını incelemiştir. Phillips (1997) üzerinde daha sıklıkla çalışılan
q − Bernstein polinomlarını tanımlamış ve yaklaşım özelliklerini incelemiştir.
Ayrıca q − Bernstein polinomları ile ilgili Oruç ve Tuncer (2002), Ostrovska (2003)
ve Phillips (2000)’in çalışmaları da vardır.
3
Daha sonra q − genelleşme kavramı ile birçok operatörün
verilmiştir.
Bunlara
örnek
olarak
Meyer-König-Zeller
q − genelleşmesi
operatörlerinin
q − genelleşmesi Trif (2000) tarafından tanımlanmış ve yaklaşım özellikleri
incelenmiştir. İkinci momentlerinin açıkça elde edilmesi için Doğru ve Duman
(2006), q − Meyer-König-Zeller operatörlerinin yeni bir genelleşmesini yapmışlardır.
Aral ve Gupta (2006), Szasz-Mirakjan operatörlerinin q − genelleşmesini yaparak
yaklaşım özelliklerini incelemişlerdir. Agratini ve Doğru (2010) ise q − SzaszMirakjan
operatörlerinin
modifikasyonunun
ağırlıklı
istatistiksel
yaklaşım
özelliklerini elde etmişlerdir.
Derriennic tarafından Bernstein polinomlarının diğer bir integral tipli genelleşmesi
olan Durrmeyer tipli genelleşmenin q − Bernstein polinomlarına genişletilmesi yine
Derriennic tarafından yapılmıştır [Derriennic, 2004]. Gupta (2007), q − Durrmeyer
operatörlerinin yaklaşım özelliklerini incelemiştir. Diğer taraftan Kantorovich
tarafından
verilen
Bernstein
polinomlarının
integral
tipli
genelleşmesinin
q − Bernstein polinomlarına genişletilmesi Radu (2008) tarafından yapılmış ve
istatistiksel yaklaşım özellikleri incelenmiştir. İspir (2001) ağırlıklı uzayda Baskakov
operatörlerinin yaklaşım özellerini incelemiştir. Gupta ve Radu (2009) ise
q − Baskakov-Kantorovich operatörlerini tanımlamışlar ve bu operatörlerin ağırlıklı
istatistiksel yaklaşım özelliklerini incelemişlerdir. Dalmanoğlu ve Doğru (2010),
q − Meyer-König-Zeller operatörleri için Kantorovich tipli genelleşme vermişlerdir.
Szasz-Mirakjan, Szasz-Mirakjan-Kantorovich, Szasz-Schurer ve Szasz-SchurerKantorovich operatörlerinin q − genelleşmeleri Mahmudov (2010) tarafından ayrıca
incelenmiştir.
Bu tezde, Aral ve Gupta (2006) tarafından tanımlanmış olan q − Szasz-Mirakjan
operatörlerinin Kantorovich tipli genelleşmesi verilmiş ve yaklaşım özellikleri
incelenmiştir.
Ayrıca
q − Szasz-Mirakjan
operatörlerinin
Kantorovich
tipli
modifikasyonu Riemann tipli q − integral yardımıyla geliştirilmiş ve oluşturulan
operatörlerin ağırlıklı istatistiksel yaklaşım özellikleri verilmiştir. Yukarıda sözü
4
edilen operatörlerin q = 1 olması durumunda klasik operatörlerin integral tipli
genelleşmelerine dönüşmesi ve q yerine (qn ) dizisi alınarak bu dizinin seçimine
göre yaklaşım hızının amaca uygun şekilde ayarlanabilir olması tezin önemini
artırmaktadır.
Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır.
İkinci bölümde, tezde ihtiyaç duyulan temel teoremlerden ve tanımlardan
bahsedilmiştir.
Üçüncü
q − Szasz-Mirakjan
bölümde,
modifikasyonu
tanımlanmış
ve
ağırlıklı
operatörlerinin
istatistiksel
Kantorovich
yaklaşım
tipli
özellikleri
incelenmiştir. Ayrıca oluşturan operatörler için Voronovskaja tipli teorem verilmiştir.
Dördüncü
bölümde,
Szasz-Mirakjan-Kantorovich
operatörlerinin
yeni
bir
q − genelleşmesi tanımlanmış ve q − integral için bir lemma verilerek oluşturulan
operatörlerin noktasal yaklaşım oranı süreklilik modülü ile elde edilmiştir. Bunun
yanında yeni oluşturulan operatörlerinin bazı test fonksiyonlarını koruyan iki farklı
modifikasyonu tanımlanmıştır.
Beşinci
bölümde
ise
q − Szasz-Mirakjan
operatörlerinin
Kantorovich
tipli
modifikasyonu Riemann tipli q − integral yardımıyla geliştirilmiş ve bu operatörlerin
ağırlıklı süreklilik modülü yardımı ile yaklaşım hızı incelenmiştir. Ayrıca Riemann
tipli q − integral ile tanımlanan operatörlerin iki değişkenli genelleşmesi oluşturulup
istatistiksel yaklaşım özellikleri de elde edilmiştir.
5
2. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde, tezde ihtiyaç duyulan temel teoremlere ve tanımlara yer verilmiştir.
2.1. Lineer Pozitif Operatörler
X ve Y reel değerli iki fonksiyon uzayı olsun. Eğer X den alınmış herhangi f
fonksiyonuna Y de bir Tf fonksiyonu karşılık getiren T kuralına operatör denir ve
Tf fonksiyonunun x noktasında aldığı değer için T ( f ; x ) gösterimi kullanılır.
Her f , g ∈ X ve her α , β ∈ \ için
T (α f + β g ) = α T ( f ) + β T ( g )
koşulu sağlanıyor ise T operatörüne lineer operatör denir.
T
operatörü pozitif bir
f
fonksiyonunu pozitif bir
Tf
fonksiyonuna
dönüştürüyorsa; yani D f , DT ( f ) sırası ile f ve T ( f ) nin tanım kümeleri ve ∀t ∈ D f
için
f ( t ) ≥ 0 iken ∀x ∈ DT ( f ) için T ( f ; x ) ≥ 0 sağlanıyorsa ise T operatörüne
pozitiftir denir.
Lineer pozitif operatörler monotondur.
A ⊂ \ olmak üzere
( fn )
A üzerinde tanımlı reel değerli fonksiyon dizisi olsun.
∀ε > 0 sayısı ve her bir x ∈ A noktasına karşılık öyle bir n0 = n0 ( ε , x ) ∈ ` var ise
öyle ki ∀n > n0 olduğunda
fn ( x ) − f ( x ) < ε
fonksiyonuna noktasal yakınsak denir.
ise
( fn )
fonksiyon dizisi
f
6
∀ε > 0 sayısına karşılık öyle bir n0 = n0 ( ε ) ∈ ` varsa öyle ki ∀n > n0 ve ∀x ∈ A
için
fn ( x ) − f ( x ) < ε
ise
( fn )
fonksiyon dizisi
fonksiyonuna düzgün
f
yakınsaktır denir.
(X, )
bir fonksiyon uzayı ve
( fn ) ⊂ X
ve f ∈ X olsun. ∀ε > 0 sayısına karşılık
öyle bir n0 = n0 ( ε ) ∈ ` varsa öyle ki ∀n > n0 için f n − f
X
< ε ise
( fn )
fonksiyon
dizisi X deki norma göre f fonksiyonuna yakınsaktır denir.
( f n ) ⊂ C [ a, b] dizisinin C [ a, b]
f
C [ a ,b ]
deki
= maks f ( x )
x∈[ a ,b ]
normuna göre f fonksiyonuna yakınsaklığı, f fonksiyonuna düzgün yakınsaklığına
denktir.
Sonsuz bölgelerde sürekli ve polinomsal büyüyen fonksiyon uzayları aşağıdaki gibi
tanımlanır [bkz. Hacıyev ve Hacısalihoğlu, 1995].
ρ ( x ) ≥ 1 tüm \ m uzayında sürekli bir fonksiyon ve lim ρ ( x ) = ∞ olsun. Bu
x →∞
durumda \ m uzayında
f ( x ) ≤ M f ρ ( x ) eşitsizliğini gerçekleyen fonksiyonlar
kümesi Bρ ( \ m ) ile, Bρ ( \ m ) uzayındaki tüm sürekli fonksiyonlar kümesi de
Cρ ( \ m ) ile gösterilir. Burada M f , f fonksiyonuna bağlı sabit bir sayıdır.
f
ρ
= sup
x∈\ m
f ( x)
ρ ( x)
7
normu ile Bρ ( \ m ) ve Cρ ( \ m ) lineer normlu uzaylardır. Burada ρ fonksiyonuna
ağırlık fonksiyonu, Cρ , Bρ uzaylarına da ağırlıklı uzaylar denir. Özel durumda ϕ ( x )
tüm reel eksende monoton artan bir fonksiyon olmak üzere m = 1 olması halinde
ρ ( x ) = 1 + ϕ 2 ( x ) şeklinde göz önüne alınabilir.
⎧⎪
⎫⎪
f ( x)
= k f < ∞⎬
Cρk = ⎨ f ∈ Cρ : lim
x →∞ ρ ( x )
⎪⎩
⎪⎭
Cρ uzayının bir alt uzayıdır. Özel olarak k f = 0 olduğunda Cρ0 alt uzayı elde edilir
ki bu uzayın elemanları için lim
x →∞
f ( x)
ρ ( x)
= 0 olur.
Teorem 1.1 (Korovkin Teoremi) lineer pozitif operatörlerin sonlu aralıkta sürekli
fonksiyona yaklaşımıyla ilişkilidir. Yani basit fonksiyonlar üzerinde operatörler
dizisi düzgün yakınsak ise uzayın keyfi fonksiyonu içinde aynı norma göre
yakınsaklık sağlanır. Gadjiev (1974) tarafından sınırsız bölgelerde tanımlanmış
operatör dizileri için böyle bir teoremin geçerli olmadığı ispatlanmıştır ve
ρ − normlu uzaylarda yakınsaklık teoreminin nasıl verilmesi gerektiği gösterilmiştir.
[bkz. Hacıyev ve Hacısalihoğlu, 1995]
2.1. Teorem (Gadjiev, 1974)
Keyfi m ≥ 1 için öyle (Tn ) lineer pozitif operatörler dizisi tanımlanabilir öyle ki,
ρ ( x) = 1+ x
2
(x =
için
lim Tn (1) − 1 ρ = 0
n →∞
x12 + x22 + ... + xm2
)
için Cρ ( \ m ) den Bρ ( \ m ) ye dönüşümü
8
lim Tn ( t j ) − x j
ρ
n →∞
( )− x
lim Tn t
n →∞
şeklinde
2
= 0; j = 1, 2,..., m
2
ρ
=0
şartları sağlansın. Bu durumda Cρ ( \ m ) uzayında öyle bir f *
( m + 2)
fonksiyonu bulunabilir ki n → ∞ için
Tn ( f * ) − f *
ρ
≥1
olur.
2.2. Teorem (Gadjiev, 1974)
ρ1 ( x ) ve ρ 2 ( x ) sürekli ve 1 ’den küçük olmayan keyfi fonksiyonlar lim
x →∞
koşulunu sağlasın.
Tn ’in
Cρ1 ( \ m ) ’den
ρ1 ( x )
=0
ρ2 ( x )
Bρ2 ( \ m ) ’ye tanımlı lineer pozitif
operatörlerin bir dizisi olduğu varsayılsın. Keyfi f ∈ Cρ1 ( \ m ) fonksiyonu olmak
üzere
lim Tn ( f ) − f
n →∞
ρ2
=0
olması için gerek ve yeter şart x ∈ \ m olmak üzere
F0 =
1
1+ x
2
ρ1 ( x )
9
Fj =
xj
1+ x
Fm +1 =
x
2
ρ1 ( x ) ; j = 1, 2,..., m
2
1+ x
2
ρ1 ( x )
fonksiyonları için
lim Tn ( Fj ) − Fj
n →∞
ρ1
= 0; j = 0,1, 2,..., m, m + 1
( m + 2 ) şartın sağlanmasıdır.
2.2. q − Analiz
q − analiz birçok konunun (hipergeometrik seriler, kompleks analiz, parçacık fiziği
gibi…) genelleşmesidir. Matematiğin birçok farklı alanında; sayılar teorisi, ortogonal
polinomlar, kombinatorik gibi, diğer alanlarda ise görecelik teorisinde, mekanikte
uygulama alanı bulmuştur.
Jackson, q − analizin en önemli isimlerinden biridir. XX. yy başlarında q − türev ve
q − integral tanımlarıyla, q − analizin sistematik şekilde ilerlemesine önderlik
etmiştir. Son yıllarda klasik analizde bilinen birçok tanım ve teoremin
q − genelleşmeleri üzerine çalışılmaktadır [Gauchman 2004, Marinkovich ve ark.
2002, 2008].
q − analizin temel ifadeleri, Kac ve Cheung’un (2002) Quantum Calculus adlı
kitabında, detaylar ise Andrews ve Askey’in (1999) Special Functions adlı kitabında
yer almaktadır.
10
q > 0 olmak üzere, negatif olmayan r tamsayısı için,
[ r ]q
⎧1 − q r
⎪
= ⎨ 1− q
⎪ r
⎩
, q ≠1
, q =1
ifadesine r ’nin q − tamsayısı denir.
q > 0 olmak üzere, r ∈ ` için r nin q − tamsayısı,
⎧1 + q + ... + q r −1 , q ≠ 1
r
, q =1
⎩
[ r ]q = ⎨
şeklinde yazılabilir.
q > 0 olmak üzere, r ∈ `
⎧[1] [ 2] . . . [ r ]q ,
[ r ]q ! = ⎪⎨ q q
⎪⎩1
r = 1, 2, . . .
, r = 0.
ifadesine r ’nin q − faktöriyeli ve n ≥ r ≥ 0 olmak üzere
[ n]q !
⎡n⎤
⎢r ⎥ = n − r ! r !
]q [ ]q
⎣ ⎦q [
ifadesine de q − binom katsayısı denir. q = 1 durumunda klasik binom katsayısını
verir.
q ∈ ( 0,1) ∪ (1, ∞ ) olmak üzere, q − diferensiyel operatörü
11
Dq f ( x ) =
f ( x ) − f ( qx )
, x ≠ 0; Dq f ( 0 ) = lim Dq f ( x )
x →0
(1 − q ) x
ile tanımlıdır. Bu tanımdan
Dq x n = [ n ]q x n −1
(2.1)
olduğu açıkça görülür.
Tanımdan hareketle iki fonksiyonun çarpımının q − diferensiyeli de
Dq ( u ( x ) v ( x ) ) = Dq ( u ( x ) ) v ( x ) + u ( qx ) Dq ( v ( x ) )
şeklinde olur. Diğer taraftan
n ≥ 1 için ( x − a )q = ( x − a )( x − qa ) ... ( x − q n −1a ) olmak üzere
n
Dq
(( x − a ) ) = [n] ( x − a )
n
n −1
q
q
olduğu açıkça görülür.
f ’nin [ 0,b] aralığında q − integrali
b
∫
∞
f ( t ) d q t = (1 − q ) b∑ f ( q j b ) q j , 0 < q < 1
0
j =0
olarak tanımlanmıştır [Jackson, 1910].
[0,b] aralığında
f fonksiyonu Riemann integrallenebilir ise
(2.2)
12
b
∫
0
b
f ( t ) dt = lim− ∫ f ( t ) d q t
q →1
0
dir.
[ a, b] aralığında
b
f fonksiyonunun q − integrali,
b
a
∫ f (t ) d t = ∫ f (t ) d t − ∫ f (t ) d t
q
q
q
0
a
0
∞
(
)
= (1 − q ) ∑ bf ( q j b ) − af ( q j a ) q j
j =0
ile tanımlanır.
f ’nin [a, b] aralığında Riemann tipli q − integrali
b
∫
∞
f ( t ) d qR t = (1 − q )( b − a ) ∑ f ( a + ( b − a ) q j )q j , 0 < q < 1
j =0
a
olarak tanımlanmıştır [Stankovich ve ark., 2006]. Riemann tipli q − integral lineer ve
pozitif bir operatördür. Bu integral Hölder eşitsizliğini sağlar. Yani:
α , β > 1 ve
1
α
+
1
β
b
= 1 için
eşitsizliği geçerlidir.
∫
a
1α
⎛b
⎞
α
f ( t ) g ( t ) d t ≤ ⎜ ∫ f ( t ) d qR t ⎟
⎝a
⎠
R
q
1β
⎛b
⎞
β
R
⎜ ∫ g ( t ) dq t ⎟
⎝a
⎠
13
3. q − SZASZ-MIRAKJAN OPERATÖRLERİNİN KANTOROVICH TİPLİ
MODİFİKASYONUNUN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
Bernstein operatörlerinin farklı iki q − genelleşmesi Lupaş (1987) ve Phillips (1996)
tarafından verilmiştir. Bu çalışmalardan sonra q − parametrik operatörler üzerinde
çok yoğun çalışmalar yapılmıştır. Aral ve Gupta (2006) her pozitif tamsayı n için,
Szasz-Mirakjan operatörlerinin q − tipli genelleşmesini
⎛
x⎞ ∞
S nq ( f ; x ) = Eq ⎜ − [ n ]q ⎟ ∑
bn ⎠ k =0
⎝
⎛ [ k ]q bn
f⎜
⎜ [ n]
q
⎝
(
)
k
⎞ [ n ]q x
⎟
,
⎟ [ n ] !( b )k
⎠ q n
(3.1)
şeklinde tanımlamışlardır. Burada, f ∈ C [ 0, ∞ ) , 0 ≤ x <
∞
olacak şekilde bir pozitif sayı dizisi ve Eq ( x ) = ∑ q
n ( n −1) 2
n=0
bn
, bn ise lim bn = ∞
n →∞
1 − qn
xn
dir.
[ n]q !
Bu bölümde Eş. 3.1 ile verilen q − Szasz-Mirakjan operatörlerinin Kantorovich tipli
bir modifikasyonu aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır.
Her pozitif tamsayı n ve q ∈ ( 0,1) için,
(
)
k
[ n ]q x
⎛
x⎞ ∞
K n* ( f ; q; x ) = [ n ]q Eq ⎜ − [ n ]q ⎟ ∑ q − k
k
bn ⎠ k =0
[ k ]q !( bn )
⎝
şeklinde tanımlansın. Burada,
fonksiyondur. Ayrıca 0 ≤ x <
∞
[0, ∞ )
[ k ]q
∫
[ n]q
f ( bnt ) d q t ,
(3.2)
aralığında sürekli ve azalmayan
bn
, bn ise lim bn = ∞ olacak şekilde bir pozitif sayı
n →∞
1− qn
dizisidir ve Eq ( x ) = ∑ q n( n −1) 2
n=0
f,
[ k +1]q [ n]q
xn
dir.
[ n]q !
14
K n* ( f ; q; x ) operatörlerinin tanımdan lineer ve pozitif olduğu görülmektedir.
K n* ( f ; q; x ) operatörlerinin yaklaşım özelliklerini inceleyebilmek için gerekli olan
lemma aşağıda verilmiştir.
3.1. Lemma (Örkcü ve Doğru, 2011)
n ∈ ` olsun. ei ( x ) = xi , i = 0,1, 2 olmak üzere
K n* ( e0 ; q; x ) = 1 ,
(3.3)
K n* ( e1 ; q; x ) = x +
1 bn
,
[ 2]q [ n]q
K ( e2 ; q; x ) = qx
[ 2]q + [ 2]q bn
1 bn2
+
x+
,
[3]q [ n]q [3]q [ n]q2
(3.4)
2
*
n
2
(3.5)
sağlanır.
İspat
q − tamsayının tanımından dolayı
[ k + 1]q − [ k ]q = q k
∞
∑q
j =0
j
=
1
, 0 < q <1
1− q
eşitlikleri geçerlidir.
(3.6)
(3.7)
15
Eş. 3.6, Eş. 3.7 ve q − integral tanımından dolayı
[ k +1]q [ n]q
∫
[ k ]q [ n]q
[ k +1]q [ n]q
∫
dqt =
[ k ]q [ n]q
dqt −
0
dqt
0
= (1 − q )
=
∫
[ k + 1]q ∞ j
[ k ]q ∞ j
q
−
−
q
q
1
(
)
[ n]q ∑
[ n]q ∑
j =0
j =0
qk
[ n]q
yazılabilir.
Buradan, K n* ( e0 ; q; x ) = 1 olduğu görülür. Diğer taraftan
[ k +1]q [ n]q
∫
[ k ]q [ n]q
bntd q t = (1 − q ) bn
=
[ k + 1]q ∞ 2 j [ k + 1]q
[ k ]q ∞ 2 j [ k ]q
q
− (1 − q ) bn
q
∑
[ n]q j =0
[ n]q
[ n]q ∑
[ n]q
j =0
q k bn
1 + q [ n ]2
([k ] (1 + q ) + 1)
q
q
olduğundan
(
)
(
)
k
[ n]q x
⎛
x⎞ ∞
K n* ( e1 ; q; x ) = [ n ]q Eq ⎜ − [ n ]q ⎟ ∑ q − k
k
bn ⎠ k =0
[ k ]q !( bn )
⎝
⎧ qk b
⎪
n
⎨
2
⎪⎩ [ 2]q [ n ]q
k
⎛
x ⎞ ∞ [ k ]q bn [ n ]q x
= Eq ⎜ − [ n ]q ⎟ ∑
bn ⎠ k =1 [ n ]q [ k ] !( bn )k
⎝
q
(
)
k
⎛
x ⎞ ∞ [ n ]q x
1 bn
+ Eq ⎜ − [ n ]q ⎟ ∑
k
bn ⎠ k =0 [ k ] !( bn ) [ 2]q [ n ]q
⎝
q
= x+
1 bn
[ 2]q [ n]q
(
⎫
k
2
1
+
[ ]q [ ]q ⎪⎬
⎭⎪
)
16
elde edilir. Son olarak q − integral için benzer işlemler yapılarak
[ k +1]q [ n]q
∫
[ k ]q [ n]q
bn2t 2 d q t =
bn2
qk
3
[ n]q 1 + q + q 2
([k + 1] + [k ] [k + 1] + [ k ] )
2
2
q
q
q
q
ifadesi bulunur. Bu ifadeden ve Eş. 3.6, Eş. 3.7 den yararlanarak da,
(
)
k
⎧∞
n ]q x
[
⎛
⎞
x
1
⎪
K n* ( e2 ; q; x ) = 2
Eq ⎜ − [ n ]
q [ k ]q + 1
⎟ ⎨∑
k
[ n]n [3]q ⎝ q bn ⎠ ⎪ k =0 [ k ]q !( bn )
⎩
bn2
(
)
2
([ n]q x ) q2 [k − 1] + q + 1
+∑
)
k (
q
k =1 [ k − 1] !( bn )
q
k
∞
([ n ] x )
⎫
⎪
q [ k − 1]q + 1 ⎬
+∑
k
k =1 [ k − 1] !( bn )
⎪
q
⎭
2
⎛
x⎞
1 bn
Eq ⎜ − [ n ]q ⎟
=
2
bn ⎠
[3]q [ n] ⎝
∞
k
(
q
)
n
(
)
(
)
(
)
k
k
k
⎧∞
∞
∞
n
x
n
x
n
x
[
]
[
]
[
]
q
q
q
⎪
× ⎨∑
q 2 [ k ]q + 2∑
q+∑
k
k
k
1
!
1
!
−
−
k
b
k
b
k
k
k = 0 [ k ] !( bn )
=
=
1
1
(
)
(
)
[
]
[
]
⎪
n
n
q
q
q
⎩
∞
([ n ] x )
k =2
[ k − 2]q !( bn )
∞
([ n ] x )
k =2
[ k − 2]q !( bn )k
+∑
+∑
∞
([ n ] x )
k =1
[ k − 1]q !( bn )
k
q
k
k
q2 + ∑
q
([ n ] x )
([ n ] x )
k
k =1
[ k − 1]q !( bn )
q+∑
k
q
eşitliği elde edilir. Eş. 3.6 ve Eş. 3.7 den tekrar yararlanarak
K n* ( e2 ; q; x ) =
1
1
[ n]q [3]q
2
{[n] q x
2
q
3 2
k
q
⎫
⎪
q+∑
k ⎬
k =1 [ k − 1] !( bn ) ⎪
q
⎭
∞
q
∞
k
+ bn [ n ]q q 2 x + 2bn [ n ]q qx + bn2
k
17
}
= [ n ]q q 2 x 2 + bn [ n ]q qx + bn [ n ]q x + [ n ]q qx 2 + bn [ n ]q x
2
2
olur. Bu ifade düzenlendiğinde,
K n* ( e2 ; q; x ) = qx 2 +
q 2 + 3q + 2 bn
1 bn2
x+
[3]q [ n]q [3]q [ n ]q2
ede edilir ki bu da ispatı tamamlar.
3.1. Ağırlıklı İstatistiksel Yaklaşım Özellikleri
İstatistiksel yakınsaklık kavramı ilk olarak Fast (1951) tarafından geliştirilmiştir.
Toplanabilme Teorisi, Fonksiyonel Analiz, Fourier Serileri, Sayılar Teorisi, Ölçü
Teorisi, İstatistik, Optimizasyon Teorisi ve Yaklaşımlar Teorisi gibi birçok alanda
kullanılan bu kavram Salat (1980), Connor (1988) ve Fridy (1985) gibi birçok
matematikçinin ilgisini çekmiştir. Öncelikle bu kavramın tanımını hatırlatalım.
K ⊂ ` kümesi için K n := {k ≤ n : k ∈ K } olmak üzere K n kümesinin eleman sayısı
K n ile gösterilsin. Eğer
1
Kn
n →∞ n
lim
limiti mevcut ise, bu limit değerine K kümesinin doğal yoğunluğu denir ve δ ( K )
ile gösterilir [Niven ve ark. 1980].
Örnek
δ ( ` ) = 1, δ
({ n
2
)
: n ∈ `} = 0,
18
δ ({2n : n ∈ `} ) = δ ({2n + 1: n ∈ `} ) =
1
2
olduğu yoğunluk tanımından elde edilir. Doğal sayıların her bir sonlu alt kümesi sıfır
yoğunlukludur. Ayrıca K kümesinin yoğunluğu mevcut ise ` / K kümesinin
yoğunluğu
δ ( ` / K ) = 1 − δ ( K ) olacaktır.
( xk )
dizisinin L sayısına istatistiksel yakınsak olması, her ε > 0 için
1
{k ≤ n : xk − L ≥ ε } = 0
n →∞ n
δ ( k ∈ ` : xk − L ≥ ε ) = lim
olması demektir ve st − lim xn = L ile gösterilir [Fast, 1951].
n
İstatistiksel yakınsaklık tanımından anlaşılabildiği gibi, eğer
( xk )
dizisi bir L
sayısına istatistiksel yakınsak ise, bu durumda L sayısının herhangi bir ε > 0
komşuluğunda dizinin sonsuz çoklukta terimi bulunurken bu komşuluğun dışında da,
indis kümesinin yoğunluğu sıfır olmak koşuluyla, yine diziye ait sonsuz çoklukta
terim bulunabilir. Bu durumda, istatistiksel yakınsaklığı bilinen bir dizi klasik
anlamda yakınsak olmayabilir. Diğer taraftan
( xk )
dizisi bir L sayısına klasik
anlamda yakınsak ise herhangi bir ε > 0 dışında dizinin sonlu elemanı olması bu
elemanların yoğunluğunun sıfır olması demektir. Buradan klasik anlamda yakınsak
olan her dizinin istatistiksel yakınsak olduğu görülmektedir. Dolayısıyla yakınsak
diziler uzayı c ile ve istatistiksel yakınsak diziler uzayı da st ile gösterilirse, bu
durumda c ⊂ st olduğu görülür.
19
Örnek
⎪⎧ k , k = m 2 ise
xk = ⎨
( m = 1, 2,3,...)
2
⎪⎩ 0, k ≠ m ise
şeklinde
( xk )
dizisi tanımlansın. Burada st − lim xk = 0 olmasına rağmen
k
( xk )
dizisinin bir alt dizisi lim k = ∞ ıraksak olduğundan ( xk ) dizisi yakınsak değildir.
k →∞
Yakınsak her dizi sınırlıdır. Fakat istatistiksel yakınsak dizilerin örnekte olduğu gibi
sınırlı olması gerekmez.
Gadjiev ve Orhan (2002) tarafından istatistiksel yakınsaklık kavramı ile Korovkin
tipli bir teorem ispatlanmıştır.
3.1. Teorem (Gadjiev ve Orhan, 2002)
Tn : CB [ a, b ] → B [ a, b ] lineer pozitif operatörler dizisi için
st − lim Tn ( em ;.) − em
n
C [ a ,b ]
= 0, em ( t ) = t m , m = 0,1, 2
koşulları sağlanıyor ise her f ∈ CB [ a, b ] için
st − lim Tn ( f ;.) − f
n
C [ a ,b ]
=0
dır. Burada, B [ a, b ] , [ a, b ] aralığında sınırlı, CB [ a, b ] , [ a, b ] aralığında sürekli ve
tüm pozitif eksende sınırlı fonksiyonların kümesidir.
20
Eş. 3.2 ile verilen q − Szasz-Mirakjan-Kantorovich operatörlerin tanım kümesi
⎡
bn ⎞
⎢ 0, 1 − q n ⎟ , n → ∞ için çok büyür. Bilinen Korovkin teoremi sınırsız aralıklarda
⎣
⎠
çalışmadığı için Gadjiev (1974) sınırsız aralıklarda yaklaşım özelliklerini elde
edebilmek için ağırlıklı uzayda Korovkin tipli bir teorem vermiştir. Duman ve Orhan
(2004, 2005) ise ağırlıklı uzayda istatistiksel yaklaşım özelliklerini incelememizi
sağlayacak bir teorem elde etmişlerdir. Agratini ve Doğru (2010) ise Duman ve
Orhan (2004) deki teoremlerinden yararlanarak aşağıdaki teoremi vermişlerdir.
3.2. Teorem (Agratini ve Doğru, 2010)
Tn : C1+ x2 [ 0, ∞ ) → B1+ x2+λ [ 0, ∞ ) , λ > 0 , lineer pozitif operatörler dizisi olsun. Her
f ∈ C1+ x2 [ 0, ∞ ) olmak üzere
st − lim Tn ( f ;.) − f
n
1+ x 2+λ
=0
olması için gerek ve yeter şart
st − lim Tn ( em ;.) − em
n
1+ x 2
= 0 , m = 0,1, 2
olmasıdır.
Bu kısmın asıl amacı Eş. 3.2 ile verilen operatörlerin ağırlıklı istatistiksel yaklaşım
özelliklerini Teorem 3.2 yardımı ile elde etmektir.
( qn ) , ( 0,1)
aralığında
st − lim qn = 1 ve st − lim
n
n
bn
=0
[ n]q
n
(3.8)
21
koşullarını sağlayan bir dizi olsun. Eş. 3.2, q ile ( qn ) yer değiştirirse
K
*
n
( f ; qn ; x ) = [ n]q
n
(
)
k
⎛
x ⎞ ∞ − k [ n ]qn x
Eqn ⎜ − [ n ]q
⎟ ∑ qn
k
n
bn ⎠ k =0
[ k ]qn !( bn )
⎝
[ k +1]qn [ n]qn
[ k ]q
n
∫
[ n]q
f ( bn t ) d qn t ,
(3.9)
n
operatörler dizisine dönüşür.
3.3. Teorem (Örkcü ve Doğru, 2011)
( qn ) , Eş. 3.8 koşullarını sağlayan bir dizi olsun. Eş. 3.9 ile tanımlanan
K n* ( f ; qn ; x )
operatörler dizisini göz önüne alalım. Bu durumda her f ∈ C1+ x2 [ 0, ∞ ) , λ > 0 ,
0≤ x<
bn
için st − lim K n* ( f ; qn ;.) − f
n
1 − qnn
1+ x 2+λ
= 0 dır.
İspat
⎡
b ⎞
Lemma 3.1’in sonucu olarak x ∈ ⎢ 0, n n ⎟ için C pozitif sabit olmak üzere
⎣ 1 − qn ⎠
K n* (1 + t 2 ; qn ; x ) ≤ C (1 + x 2 )
olduğundan,
tanımlı lineer pozitif operatörler dizisidir.
Eş. 3.3’den görülebilir ki,
st − lim K n* ( e0 ; qn ;.) − e0
n
dır.
Eş. 3.4 den ise
1+ x 2
=0
{K ( f ; q ; x )} ,
*
n
n
C1+ x2 ’den
B1+ x2+λ ’ya
22
K ( e1 ; qn ; x ) − e1 ( x )
sup
0≤ x <
x+
*
n
1+ x
bn
1− q n
= sup
2
0≤ x <
n
1− q n
= sup
=
bn
1− q n
n
2
1
1 bn
2
1 + x [ 2]q [ n ]q
n
n
1 bn
[ 2]q [ n]q
n
yazılabilir. Dolayısıyla st − lim
n
1+ x
bn
0≤ x <
1 bn
−x
[ 2]q [ n]q
n
bn
= 0 olduğu için st − lim K n* ( e1 ; qn ;.) − e1
n
n
[ ]q
1+ x 2
=0
n
dır. Benzer olarak Eş. 3.5 den
K n* ( e2 ; qn ; x ) − e2 ( x )
sup
0≤ x <
1 + x2
bn
1− q n
[ 2]q + [ 2]q bn
+
[3]q [ n]q
2
qn x
= sup
0≤ x <
2
n
n
n
1+ x
bn
1− q n
[ 2]q + [ 2]q bn
≤ (1 − qn ) +
2 [3]q
[ n]q
2
n
x+
n
n
n
n
1 bn2
− x2
2
[3]qn [ n]q
n
2
1 bn2
+
[3]qn [ n]q2
n
bulunur ve böylece
[ 2]q + [ 2]q bn
≤ (1 − qn ) +
2 [3]q
[ n]q
2
K ( e2 ; qn ;.) − e2 ( x )
*
n
n
1+ x 2
n
elde edilir.
+
n
n
1 bn2
[3]qn [ n]q2
(3.10)
n
23
Diğer yandan, her ε > 0 için aşağıdaki kümeleri tanımlayalım:
{
D := n : K n* ( e2 ; qn ;.) − e2 ( x )
1+ x 2
}
≥ε ,
ε⎫
⎧
D1 := ⎨n :1 − qn ≥ ⎬ ,
3⎭
⎩
⎧ [ 2] + [ 2]2 b
ε ⎫⎪
⎪
qn
qn
n
D2 := ⎨ n :
≥ ⎬,
n ]q
2 [3]q
3⎪
[
⎪⎩
n
n
⎭
⎧
1 bn2
ε ⎫⎪
⎪
D3 := ⎨n :
≥ ⎬.
2
⎪⎩ [3]qn [ n ]qn 3 ⎪⎭
O taktirde Eş. 3.10 dan D ⊆ D1 ∪ D2 ∪ D3 olduğu görülür ve dolayısıyla
({
δ n ≤ n0 : K n* ( e2 ; qn ;.) − e2 ( x ) 1+ x ≥ ε
2
}) = δ ( D ) ≤ δ ( D ) + δ ( D ) + δ ( D )
1
2
3
[ 2]q + [ 2]q bn
st − lim
n →∞
2 [3]q
[ n]q
2
yazılabilir. Eş. 3.8 koşulundan st − lim1 − qn = 0 ,
n →∞
n
n
n
1 bn2
= 0 olup, buradan
2
n →∞ [ 3]
qn [ n ]q
st − lim
n
δ ( D1 ) + δ ( D2 ) + δ ( D3 ) = 0
elde edilir. Yukarıdaki eşitsizlik göz önüne alındığında
st − lim K n* ( e2 ; qn ;.) − e2
n
1+ x 2
=0
n
= 0 ve
24
olur ki bu da ispatı tamamlar.
3.2. Voronovskaja Tipli Yaklaşım Hızı
Bu bölümde Eş. 3.9 verilen operatörler dizisi için Voronovskaja tipli bir teorem
verilmiştir.
lim an = 0 ise
n →∞
( an )
dizisine sonsuz küçülen denir.
( an ) ve ( bn )
dizisi sonsuz
küçülen diziler olsun.
i) lim
n →∞
an
= 0 ise,
bn
( an )
dizisinin sıfıra yaklaşma hızı
( bn )
dizisininkinden daha
hızlıdır denir.
an
= ∞ ise, ( bn ) dizisinin sıfıra yaklaşma hızı ( an ) dizisininkinden daha
n →∞ b
n
ii) lim
hızlıdır denir.
an
= 1 ise ( an ) ve ( bn ) dizilerinin sıfıra yaklaşma hızları aynıdır.
n →∞ b
n
iii) lim
an
= c ise c ye asimptotik değer, ( bn ) dizisine de ( an ) dizisinin asimptotik
n →∞ b
n
iv) lim
hızı denir. Yani
belirlenir.
( an )
nin 0 ’a yaklaşma hızı
( bn )
nin 0 ’a yaklaşma hızı ile
25
3.4. Teorem [Örkcü ve Doğru, 2011]
( qn ) , Eş. 3.8 koşullarını sağlayan bir dizi ve
f ∈ C [ 0, ∞ ) , sınırlı ve azalmayan bir
⎡
b ⎞
fonksiyon ve yeterince büyük n ler için x ∈ ⎢ 0, n n ⎟ noktasında Dq2n f ( x ) ikinci
⎣ 1 − qn ⎠
mertebeden türevi mevcut ise o taktirde
lim
[ n]q
n
bn
n →∞
( K ( f ; q , x ) − f ( x ) ) = 12 ( lim D f ( x ) + x lim D f ( x ) )
*
n
n
qn →1
qn
qn →1
2
qn
dır.
İspat
f
için q − Taylor Formülünden [Rajkovich ve ark. 2002 ], 0 < q < 1 ve
( t − x )q = ( t − x )( t − qx )
2
olmak üzere
f ( t ) = f ( x ) + Dq f ( x )( t − x ) +
1
2
2
Dq2 f ( x )( t − x )q + φq ( x, t )( t − x )q
[ 2]q
yazılabilir. q − L’Hospital Kuralı [bkz. Aral, 2008] uygulandığında öyle bir
qˆ1 ∈ ( 0,1) sayısı vardır ki her q ∈ ( qˆ1 ,1) için Eş. 2.1 ve Eş. 2.2 den
lim φq ( x, t ) = lim
t→x
Dq f ( t ) − Dq f ( x ) − Dq2 f ( x )( t − x )
t→x
[ 2]q ( t − x )
yazılabilir. Tekrar q − L’Hospital Kuralı uygulandığında qˆ2 ∈ ( 0,1) ( qˆ1 < qˆ2 ) sayısı
vardır ve her q ∈ ( qˆ2 ,1) için
26
lim φq ( x, t ) = lim
t→x
Dq2 f ( t ) − Dq2 f ( x )
[ 2]q
t→x
=0
sağlanır. Sonuçta her q ∈ ( qˆ2 ,1) için φq ( x, t ) fonksiyonunun sınırlı olduğu göz
önüne alınarak,
[ n]q
bn
n
( K ( f ; q , x ) − f ( x )) = D f ( x )
*
n
n
[ n]q
n
qn
+
bn
Dq2n f ( x ) [ n ]qn
[ 2]q
[ n]q
n
bn
= Dqn f ( x )
(
K n* ( t − x )q ; qn , x
bn
n
+
K n* ( ( t − x ) ; qn , x )
2
n
(
K n* φqn ( x, t )( t − x )q ; qn , x
[ n]q
2
n
)
)
K n* ( ( t − x ) ; qn , x )
n
bn
Dq2n f ( x ) [ n ]qn
)
[ 2]q bn
[ n]q ⎧⎪ Dq2 f ( x )
+
x (1 − qn ) K n* ( ( t − x ) ; qn , x )
⎨
bn ⎪ [ 2]q
⎩
+
(
K n* ( t − x ) ; qn , x
2
n
n
(
n
n
+ K n* φqn ( x, t )( t − x )q ; qn , x
yazılabilir. Eş. 3.3-3.5 ten
lim
n →∞
lim
n →∞
[ n]q
n
bn
[ n]q
n
bn
1
K n* ( ( t − x ) ; qn , x ) = ,
2
(
)
K n* ( t − x ) ; qn , x = x
dir ve böylece
2
2
n
)}
27
lim
[ n]q
n
bn
n →∞
( K ( f ; q , x ) − f ( x ) ) = 12 ( lim D f ( x ) + x lim D f ( x ) )
*
n
n
qn →1
+ lim
qn
[ n]q
n
bn
n →∞
qn →1
2
qn
(
K n* φqn ( x, t )( t − x )q ; qn , x
2
n
(3.11)
)
elde edilir. lim φqn ( x, t ) = 0 olduğundan her ε > 0 için, en az bir δ ( ε ) > 0 sayısı
t→x
⎡
b ⎞
vardır öyle ki yeterince büyük n ler için x ∈ ⎢ 0, n n ⎟ olmak üzere
⎣ 1 − qn ⎠
t − x < δ iken φqn ( x, t ) < ε
sağlanır. Diğer yandan sınırlılıktan dolayı t − x ≥ δ iken M > 0 sabit sayı olmak
üzere
φq ( x, t ) ≤
n
M
δ
2
(t − x )
2
eşitsizliği geçerlidir. Dolayısıyla
[ n]q
bn
n
(
)
K n* φqn ( x, t )( t − x )q ; qn , x =
2
n
[ n]q
bn
+
≤ε
(
K n* φqn ( x, t )( t − x ) ; qn , x
n
[ n]q
n
bn
[ n ]q
n
bn
2
(
x (1 − qn ) K n* φqn ( x, t )( t − x ) ; qn , x
{K ( ( t − x ) ; q , x )
)
2
*
n
n
(3.12)
}
+ x (1 − qn ) K n* ( ( t − x ) ; qn , x )
+
)
M [ n ]qn
4
K n* ( t − x ) ; qn , x
2
δ bn
{ (
(
+ x (1 − qn ) K n* ( t − x ) ; qn , x
3
)
)}
28
yazılabilir. Diğer yandan Eş. 3.3-3.5 kullanıldığında
(
)
K n* ( t − x ) ; qn , x = x 4 ( qn6 − 4qn3 + 6qn − 3)
4
+ x3
{ (
) (
)
bn
qn3 1 + [ 2]q + [3]q − 4 1 + [ 2]q qn + 6
n
n
n
[ n]q
n
−
(
)
3[3]q − [ 2]q − 1 qn
2 [ 2]q − 1
4
n
n
n
+6
−4
[ 2]q
[ 4]q
[3]q
n
n
n
( 4[4] − (1 + [2]
+
qn
+x
2
+ [3]q
n
4
n
2
)) q ⎫⎪
n
{2q + q (1 + [2]
bn2
[ n]q
[5]q
qn
n
qn
3
n
⎬
⎪
⎭
+ [ 2]
2
qn
n
−
(
) − 4 + [36]
qn
(
4 [ 4]q − 1 + [ 2]q + [3]q
4
2
n
n
n
3[ 2]q − [ 2]q +
n
n
[ 4]q
[5]q
(
)
n
n
4q + [ 2] ( 2 [ 2] − 1) ) q ⎫
(
⎪
+
⎬
n
qn
[5]q
n
qn
⎪
⎭
n
3
qn3 + 3[ 2]q ⎫⎪ b 4 1
bn3 ⎧⎪
4
n
n
+ x 3 ⎨1 −
+
⎬+ 4
[5]qn ⎪⎭ [ n]qn [5]qn
[ n]qn ⎪⎩ [ 4]qn
yazılabilir. Ayrıca lim bn = ∞ için
n →∞
⎛ qn6 − 4qn3 + 6qn − 3 ⎞
(1 − q ) ⎜
⎟
[ n]qn ( qn6 − 4qn3 + 6qn − 3)
1 − qn
⎝
⎠ =0
= lim
lim
n →∞
n →∞
bn
bn
n
n
⎡
b ⎞
olduğundan x ∈ ⎢ 0, n n ⎟ ve yeterince büyük n ler için
⎣ 1 − qn ⎠
)) (1 + [2] ) q
qn
n
29
lim
n →∞
[ n]q
n
bn
(
)
K n* ( t − x ) ; qn , x = 0
4
(3.13)
elde edilir. Benzer olarak
lim (1 − qn )
n →∞
[ n]q
n
bn
(
)
K n* ( t − x ) ; qn , x = 0
3
(3.14)
⎡
b ⎞
olacağından, x ∈ ⎢ 0, n n ⎟ ve yeterince büyük n ler için Eş. 3.12-3.14 den
⎣ 1 − qn ⎠
lim
n →∞
[ n]q
n
bn
(
)
K n* φqn ( x, t )( t − x )q ; qn , x = 0
2
n
elde edilir ve Eş. 3.11 den dolayı ispat tamamlanır.
Uyarı
Teorem 3.4 ün koşulları altında Eş. 3.9 ile verilen operatörler dizisinin
⎛ b
fonksiyonuna noktasal yakınsama oranı Ο ⎜ n
⎜ [ n ]q
n
⎝
⎞
⎟ dir.
⎟
⎠
f
30
4. KANTOROVICH TİPLİ q − SZASZ-MIRAKJAN OPERATÖRLERİNİN
YAKLAŞIM ORANI
Bu bölümde Szasz-Mirakjan-Kantorovich operatörlerinin yeni bir q − genelleşmesi
tanımlanmıştır. Bunun yanında yeni oluşturulan q − Szasz-Mirakjan-Kantorovich
operatörlerinin bazı test fonksiyonlarını koruyan iki farklı modifikasyonu verilmiştir.
Bilinen diğer operatörler için bu tipli modifikasyonlar King (2003), Agratini (2006),
Duman ve Özarslan (2007), Özarslan ve Duman (2007), Duman, Özarslan ve Della
Vechia (2009), Doğru ve Örkcü (2009), Doğru ve Örkcü (2010), Agratini ve Doğru
(2010) çalışmalarında bulunabilir.
Her pozitif tamsayı n ve q ∈ ( 0,1) için,
(
)
k
⎛
x ⎞ ∞ [ n ]q x
K nq ( f ; x ) = [ n ]q Eq ⎜ − [ n ]q ⎟ ∑
q ⎠ k =0 [ k ]q !q k
⎝
[ k +1]q [ n]q
∫
q[ k ]q
[ n]q
f ( t ) dqt
(4.1)
şeklinde q − Szasz-Mirakjan-Kantorovich operatörlerini tanımlayalım [Örkcü ve
Doğru, baskıda]. Burada f , [ 0, ∞ ) aralığında sürekli ve azalmayan fonksiyondur.
Ayrıca 0 ≤ x <
n
∞
1
n ( n −1) 2 x
,
ve
E
x
=
q
dir. Öncelikle Eş. 4.1 ile verilen
∑
q( )
1 − qn
[ n]q !
n=0
K nq ( f ; x ) lineer pozitif operatörleri için aşağıdaki lemmayı verelim.
4.1. Lemma
x ≥ 0 ve n ∈ ` olsun. O taktirde
K nq ( e0 ; x ) = 1,
31
K nq ( e1 ; x ) =
2 2
1 1
x +
,
[ 2]q
[ 2]q [ n]q
K nq ( e2 ; x ) =
3 [ 2]q 1
3q
1 1
x+
x+
[3]q
[3]q [ n]q [3]q [ n]q2
eşitlikleri sağlanır.
İspat
[ k + 1]q = q [ k ]q + 1,
∫
q[ k ]q
[ n]q
∫
q[ k ]q
2q [ k ]q
[ k +1]q [ n]q
td q t =
[ k +1]q [ n]q
+
[ 2]q [ n]q
2
[ n]q
dqt =
1
olduğundan K nq ( e0 ; x ) = 1 dir.
[ n]q
1 1
[ 2] [ n]2
q
ifadesi kullanılarak
(
)
k
⎛
x ⎞ ∞ 2q [ k ]q [ n ]q x
K nq ( e1 ; x ) = Eq ⎜ − [ n ]q ⎟ ∑
q ⎠ k =0 [ 2]q [ n ]q [ k ]q !q k
⎝
(
)
k
⎛
x ⎞ ∞ 1 1 [ n ]q x
+ Eq ⎜ − [ n ]q ⎟ ∑
q ⎠ k =0 [ 2]q [ n ]q [ k ]q !q k
⎝
=
2
1 1
x+
[ 2]q [ 2]q [ n]q
elde edilir.
[ k +1]q [ n]q
∫
q[ k ]q
[ n]q
t 2dqt =
1
[3]q [ n]q
3
(3q [k ] + 3q [k ] + 1) ifadesi kullanılarak
2
2
q
q
32
(
)
k
2
⎛
x ⎞ ∞ 3q [ k ]q [ n ]q x
q
K n ( e2 ; x ) = Eq ⎜ − [ n ]q ⎟ ∑
q ⎠ k =0 [3] [ n ]2 [ k ]q !q k
⎝
q
q
2
3q [ k ]q
([ n ] x )
k
⎛
x⎞
q
+ Eq ⎜ − [ n ]q ⎟ ∑
2
q ⎠ k =0 [3] [ n ] [ k ]q !q k
⎝
q
q
∞
([ n ] x )
k
⎛
x⎞
1
q
+ Eq ⎜ − [ n ]q ⎟ ∑
2
q ⎠ k =0 [3] [ n ] [ k ]q !q k
⎝
q
q
∞
elde edilir. Terimler düzenlendiğinde,
K nq ( e2 ; x ) =
3 ⎛ 2
q
⎜ qx +
[3]q ⎜⎝
[ n]q
⎞ 3 1
1 1
x⎟+
x+
⎟ [3]q [ n ]q
[3]q [ n]2q
⎠
bulunur ki bu da ispatı tamamlar.
Uyarı
Lemma 4.1 de
q = 1 alınırsa, Szasz-Mirakjan-Kantorovich operatörlerinin
momentleri elde edilebilir [Gupta ve ark. 2006].
Bilinen birçok lineer pozitif operatörler birinci ve ikinci test fonksiyonlarını korur.
Yani, ei ( x ) = x i , i ≥ 0 olmak üzere Tn ( e0 ) = e0 ve Tn ( e1 ) = e1 , n ∈ ` dir. Örneğin bu
koşulları Bernstein polinomları, Baskakov operatörleri, Szasz-Mirakjan operatörleri
sağlar [Altomare ve Campiti, 1994]. King ise e0 ve e2 test fonksiyonlarının koruyan
Vn lineer pozitif operatörlerin bir dizisini tanımlamıştır. Ayrıca 0 ≤ x ≤
1
için Vn
3
operatörlerinin klasik Bernstin polinomlarından daha iyi yakınsaklık oranına sahip
olduğunu göstermiştir [King, 2003]. Duman ve Özarslan ise bir lineer pozitif
operatörler dizisi tanımlayıp bu operatörler dizisinin klasik Szasz-Mirakjan
33
operatörlerinden daha iyi yakınsaklık oranına sahip olduğunu göstermişlerdir
[Duman ve Özarslan, 2007]. Daha sonra Agratini ve Doğru, q − Szasz-Mirakjan
operatörlerinin King tipli modifikasyonunu tanımlamış ve bu operatörler dizisinin
klasik Szasz-Mirakjan operatörlerinden daha iyi yakınsaklık oranına sahip olduğunu
göstermişlerdir [Agratini ve Doğru, 2010]. Doğru ve Örkcü ise Meyer-König-Zelller
operatörler dizisinin King tipli modifikasyonunu tanımlamış ve bu operatörler
dizisinin klasik Meyer-König ve Zeller (MKZ) operatörler dizisinden daha iyi
yakınsaklık oranına sahip olduğunu göstermişlerdir. Ayrıca
q − MKZ operatörler
dizisinin King tipli modifikasyonunun klasik MKZ operatörler dizisinin King tipli
modifikasyonundan daha iyi yakınsaklık oranına sahip olduğunu ispatlamışlardır
[Doğru ve Örkcü, 2009]. Özarslan ve Duman ise klasik MKZ operatörler dizisinin
⎡1 ⎞
farklı bir modifikasyonu vermiş ve ⎢ ,1⎟ aralığında daha iyi yakınsaklık oranına
⎣2 ⎠
sahip olduğunu ispatlamışlardır [Özarslan ve Duman, 2007]. Daha sonra Doğru ve
Örkcü, q − MKZ operatörler dizisinin farklı bir modifikasyonu vermişler ve
⎡1 ⎞
⎡⎣α n ,1 ) ⊂ ⎢ ,1⎟
⎣2 ⎠
aralığında
daha
iyi
yakınsaklık
oranına
sahip
olduğunu
ispatlamışlardır [Doğru ve Örkcü, 2010].
Burada ise q − Szasz-Mirakjan-Kantorovich operatörlerinin bazı test fonksiyonlarını
koruyan iki farklı modifikasyonu verilmiştir [Örkcü ve Doğru, baskıda].
{r ( x )} , [0, ∞ )
n
rn ( x ) :=
[ 2]q
2
x−
aralığında reel değerli sürekli fonksiyon dizisi olmak üzere
⎡ 1 1
1 1
1
, n ∈ `, x ∈ ⎢
,
n
2 [ n ]q
⎢⎣ [ 2]q [ n ]q 1 − q
⎞
⎟
⎟
⎠
şeklinde tanımlansın. Açıktır ki 0 ≤ rn ( x ) < ∞ dur. Aşağıdaki lineer pozitif
operatörler dizisini tanımlayalım:
34
(
∞
[ n]q rn ( x )
jq f ; x = n E ⎛ − n rn ( x ) ⎞
K
) [ ]q q ⎜ [ ]q
⎟∑
n (
q ⎠ k =0 [ k ]q !q k
⎝
)
k
[ k +1]q [ n]q
∫
q[ k ]q
[ n]q
f ( t ) dqt
Burada f , [ 0, ∞ ) aralığında sürekli ve azalmayan bir fonksiyondur.
4.2. Lemma
Eş. 4.2 deki operatörleri göz önüne alalım. Her bir
1 1
1
≤x<
için
1 − qn
[ 2]q [ n]q
jq e ; x = 1 ,
K
)
n ( 0
jq e ; x = x ,
K
)
n ( 1
⎛
jq e ; x = 3q [ 2]q x 2 + 3 [ 2]q 1 x − ⎜ 3q + 1
K
)
n ( 2
⎜ 4 [3] 2 [3]
4 [3]q
2 [3]q [ n ]q
q
q
⎝
2
⎞ 1
⎟ 2
⎟ [ n]
⎠ q
sağlanır.
İspat
Lemma 4.1 in ispatı göz önüne alınarak
n r x
jq e ; x = n E ⎛ − n rn ( x ) ⎞ ([ ]q n ( ) )
K
(
)
[
]
[
]
⎜
⎟
∑
0
n
q
q
q
q ⎠ k =0 [ k ]q !q k
⎝
∞
olduğu görülür. Diğer taraftan
k
[ k +1]q [ n]q
∫
q[ k ]q
[ n]q
dqt = 1
(4.2)
35
(
∞
[ n]q rn ( x )
jq e ; x = n E ⎛ − n rn ( x ) ⎞
K
(
)
[
]
[
]
⎟∑
1
n
q⎜
q
q
q ⎠ k =0 [ k ]q !q k
⎝
r ( x) ⎞
⎛
= [ n ]q Eq ⎜ − [ n ]q n
⎟∑
q ⎠ k =0
⎝
∞
=
)
k
[ k +1]q [ n]q
∫
q[ k ]q
([ n ] r ( x ) )
[ n]q
td q t
k
⎛ 2q [ k ]
1 1 ⎞⎟
q
⎜
+
⎜ [ 2] [ n ]2 [ 2] [ n ]2 ⎟
q ⎠
⎝ q q
k
[ k +1]q [ n]q
q n
[ k ]q !q k
2
1 1
rn ( x ) +
[ 2]q
[ 2]q [ n]q
2 ⎛ [ 2]q
1 1
⎜
x−
2 [ n ]q
[ 2]q ⎜⎝ 2
=x
=
⎞ 1 1
⎟+
⎟ [ 2] [ n ]
q
q
⎠
elde edilir. Ayrıca
(
)
(
)
∞
[ n]q rn ( x )
jq e ; x = n E ⎛ − n rn ( x ) ⎞
K
) [ ]q q ⎜ [ ]q
⎟∑
n ( 2
q ⎠ k =0 [ k ]q !q k
⎝
r ( x ) ⎞ ∞ [ n ]q rn ( x )
⎛
= [ n ]q Eq ⎜ − [ n ]q n
⎟∑
q ⎠ k =0 [ k ]q !q k
⎝
=
∫
q[ k ]q
k
[ n]q
t 2dqt
⎛
1
2
⎜
3q 2 [ k ]q + 3q [ k ]q + 1
3
⎜ [3] [ n ]
⎝ q q
(
)
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞ 3 1
3 ⎛ 2
q
1 1
⎜ qrn ( x ) +
rn ( x ) ⎟ +
rn ( x ) +
⎟ [3] [ n ]
[3]q ⎜⎝
[ n]q
[3]q [ n]2q
q
q
⎠
⎛ 3q
3q [ 2]q 2 3 [ 2]q 1
1
=
x +
x−⎜
+
⎜ 4 [3] 2 [3]
4 [3]q
2 [3]q [ n ]q
q
q
⎝
2
⎞ 1
⎟ 2
⎟ [ n]
⎠ q
eşitliği sağlanır ki bu da ispatı tamamlar.
jq lineer pozitif operatörleri lineer fonksiyonları korur.
Lemma 4.2 den görülür ki, K
n
⎡
jq h; x = h x , x ∈ ⎢ 1 1 , 1
Yani h ( t ) = ct + d (c,d reel sayı) için K
(
)
(
)
n
2 n 1 − qn
⎣⎢ [ ]q [ ]q
⎞
⎟ dır.
⎟
⎠
36
{u ( x )} , [0, ∞ )
n
aralığında reel değerli sürekli fonksiyon dizisi olmak üzere
⎡
⎞
1
1
1 ⎟
⎢
için
n ∈ `, x ∈
,
⎢ [3] [ n ]q 1 − q n ⎟
q
⎣
⎠
[ 2]q
[ 2]q [3]q 2
1
1
un ( x ) := −
+
+
x −
2
2
2
2q [ n ]q
4q [ n ]q 3q
3q [ n ]q
2
şeklinde tanımlansın ve bu fonksiyon dizisi yardımıyla
u ( x ) ⎞ ([ n ]q un ( x ) )
⎛
K nq ( f ; x ) = [ n ]q Eq ⎜ − [ n ]q n
⎟∑
q ⎠ k =0 [ k ]q !q k
⎝
∞
k
[ k +1]q [ n]q
∫
q[ k ]q
[ n]q
f ( t ) dqt
(4.3)
lineer pozitif operatörünü tanımlayalım. Burada f , [ 0, ∞ ) aralığında sürekli ve
azalmayan bir fonksiyondur.
4.3. Lemma
Eş. 4.3 ile tanımlı operatörleri göz önüne alalım. Her bir
1
[3]q
K nq ( e0 ; x ) = 1,
2
K ( e1 ; x ) =
[ 2]q
q
n
K nq ( e2 ; x ) = x 2
[ 2]q [3]q 2
1
+
x −
2
2
2
4q [ n ]q 3q
3q [ n ]q
2
−
1
1
,
q [ 2]q [ n ]q
1
1
≤x<
için
1 − qn
[ n]q
37
sağlanır.
İspat
Lemma 4.1 in ispatındaki gibi
(
⎛
u ( x ) ⎞ ∞ [ n ]q un ( x )
K nq ( e0 ; x ) = [ n ]q Eq ⎜ − [ n ]q n
⎟∑
q ⎠ k =0 [ k ]q !q k
⎝
)
k
[ k +1]q [ n]q
∫
q[ k ]q
dqt = 1
[ n]q
eşitliği kolayca görülür. Ayrıca
u ( x) ⎞
⎛
K ( e1 ; x ) = [ n ]q Eq ⎜ − [ n ]q n
⎟∑
q ⎠ k =0
⎝
∞
q
n
([ n ] u ( x ) )
q
n
(
q[ k ]q
)
k
[ n]q
td q t
⎛ 2q [ k ]
1 1
q
⎜
+
2
⎜ [ 2] [ n ] [ 2] [ n ]2
q
⎝ q q
⎞
⎟
⎟
⎠
2
1 1
un ( x ) +
[ 2]q
[ 2]q [ n]q
2
=
[ 2]q
2
⎛ [ 2]
[ 2]q [3]q 2
1
⎜− q 1 +
x
+
−
2
2
⎜⎜ 2q [ n ]
4q 2 [ n ]q 3q
3q [ n ]q
q
⎝
[ 2]q [3]q 2
1
+
x
−
2
2
4q 2 [ n ]q 3q
3q [ n ]q
2
=
[ k +1]q [ n]q
∫
[ k ]q !q k
u ( x ) ⎞ ∞ [ n ]q un ( x )
⎛
= [ n ]q Eq ⎜ − [ n ]q n
⎟∑
q ⎠ k =0 [ k ]q !q k
⎝
=
k
−
⎞
⎟+ 1 1
⎟⎟ [ 2] [ n ]
q
q
⎠
1
1
q [ 2]q [ n ]q
eşitliği geçerlidir. Diğer taraftan K nq operatörlerinin e2 ( x ) test fonksiyonunu
koruduğu aşağıdaki gibi gösterilir.
38
(
u ( x ) ⎞ ∞ [ n ]q un ( x )
⎛
K nq ( e2 ; x ) = [ n ]q Eq ⎜ − [ n ]q n
⎟∑
q ⎠ k =0 [ k ]q !q k
⎝
⎛
u ( x) ⎞
= [ n ]q Eq ⎜ − [ n ]q n
⎟∑
q ⎠ k =0
⎝
∞
=
)
([ n ] u ( x ) )
q
n
[ k ]q !q k
k
[ k +1]q [ n]q
∫
q[ k ]q
k
[ n]q
t 2 dqt
⎛
1
2
⎜
3q 2 [ k ]q + 3q [ k ]q + 1
3
⎜ [3] [ n ]
⎝ q q
(
)
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞ 3 1
3 ⎛ 2
q
1 1
⎜ qun ( x ) +
un ( x ) ⎟ +
un ( x ) +
⎟ [3] [ n ]
[3]q ⎜⎝
[ n]q
[3]q [ n]2q
q
q
⎠
= x2
eşitliğinin sağlanması ise ispatı tamamlar.
4.1. Noktasal Yaklaşım Oranı
Yaklaşımlar teorisinde operatörlerin düzgün yakınsaklığının yanı sıra bu
yakınsamanın oranının değerlendirilmesi de önemli bir konudur. Bu değerlendirme
genellikle
süreklilik
modülü
ve
Hölder
eşitsizliğinden
faydalanarak
yapılabilmektedir. q − integralin [ 0,b ] ve [ 0, a ] aralığındaki iki q − integral farkı
olarak tanımlanmasından ortaya çıkan zorluk nedeniyle, q − integral için Hölder
eşitsizliği genel durumda geçerli değildir. Bu yüzden Kantorovich tipli
operatörlerinin
q − genelleşmeleri,
q − integrali
içerdiğinden
yaklaşım
oranı
kolaylıkla hesaplanamaz. Bu zorluğu gidermek için, aşağıdaki Lemma 4.4
ispatlanmış ve bu lemma yardımıyla oluşturulan q − Szasz-Mirakjan-Kantorovich
operatörler dizisinin yaklaşım oranı hesaplanmıştır.
4.4. Lemma (Örkcü ve Doğru, baskıda)
0 < q < 1 ve a ∈ [ 0, bq ] , b > 0 için
12
12
⎛b
⎞ ⎛b
⎞ ⎛b
⎞
2
⎜ ∫ t − x dqt ⎟ ≤ ⎜ ∫ ( t − x ) dqt ⎟ ⎜ ∫ dqt ⎟
⎝a
⎠ ⎝a
⎠ ⎝a
⎠
39
eşitsizliği geçerlidir.
İspat
k = 0,1, 2 için
b
∞
∞
a
j =0
j =0
k
kj
j
kj
j
∫ t dqt = (1 − q ) b∑ q bq − (1 − q ) a∑ q aq
= ( b k +1 − a k +1 )
1− q
1 − q k +1
b
dır. Buradan
b+a
∫ t − x d t = (b − a ) 1 + q − x
q
ve
a
⎛b
⎞⎛ b
⎞
2
t
−
x
d
t
) q ⎟ ⎜ ∫ dqt ⎟
⎜∫(
⎝a
⎠⎝ a
⎠
2
2
⎛
⎞
b + a + ab
b+a
= ⎜ (b − a )
− 2x (b − a )
+ x2 (b − a ) ⎟ (b − a )
2
1+ q + q
1+ q
⎝
⎠
elde edilir. Yukarıdaki eşitlikler kullanılarak,
2
2
⎛
⎛b
⎞ ⎛b
⎞⎛ b
⎞
b 2 + a 2 + ab ⎞
2
2 ⎛b+a⎞
⎟
−
⎜ ∫ t − x d q t ⎟ − ⎜ ∫ ( t − x ) d q t ⎟ ⎜ ∫ d q t ⎟ = ( b − a ) ⎜⎜ ⎜
⎟
2
⎟
q
q
q
1
1
+
+
+
⎝
⎠
⎝a
⎠ ⎝a
⎠⎝ a
⎠
⎝
⎠
yazılır. Eğer
ϕ ( a ) := −b 2 q + ab + abq 2 − a 2 q
40
dersek, ϕ ( 0 ) < 0, ϕ ( bq ) = 0 ve
[0, bq ] aralığında
ϕ fonksiyonu monoton artan
olduğundan ∀a ∈ [ 0, bq ] , b > 0, q ∈ ( 0,1) için ϕ ( a ) ≤ 0 dır. Bu da gösterir ki;
∀a ∈ [ 0, bq ] , b > 0, q ∈ ( 0,1) için
2
⎛b
⎞ ⎛b
⎞⎛ b
⎞
2
t
−
x
d
t
−
t
−
x
d
t
) q ⎟ ⎜ ∫ dqt ⎟ ≤ 0
⎜∫
⎜∫(
q ⎟
⎝a
⎠ ⎝a
⎠⎝ a
⎠
dır. Bu ise ispatı tamamlar.
f ∈ CB [ 0, ∞ ) ( [ 0, ∞ ) da sürekli ve sınırlı fonksiyonlar uzayı) ve x ≥ 0 , δ > 0
ω ( f , δ ) = sup
x −δ ≤t ≤ x +δ
f (t ) − f ( x )
ile tanımlanan ω ( f ; δ ) ifadesine f fonksiyonunun süreklilik modülü denir.
Süreklilik modülü aşağıdaki özelliklere sahiptir.
i)
ω ( f ;δ ) ≥ 0
ii)
δ1 ≤ δ 2 ise ω ( f ; δ1 ) ≤ ω ( f ; δ 2 )
iii)
m ∈ ` için ω ( f ; mδ ) ≤ mω ( f ; δ )
iv)
λ ∈ \ + için ω ( f ; λδ ) ≤ ( λ + 1) ω ( f ; δ )
v)
lim ω ( f ;δ ) = 0
δ →0
41
vi)
f (t ) − f ( x ) ≤ ω ( f ; t − x )
vii)
⎛ t−x
⎞
f (t ) − f ( x ) ≤ ⎜
+ 1⎟ ω ( f ; δ )
⎝ δ
⎠
Lemma 4.1 den ψ xk ( t ) = ( t − x ) olmak üzere
k
⎛ 3q
⎞
⎛ 3[ 2]q
4
2 ⎞ 1
1 1
⎟
−
+ 1⎟ x 2 + ⎜
−
K nq (ψ x2 ; x ) = ⎜
x+
⎜ [3]q [ 2]q
⎟
⎜ [3]q [ 2]q ⎟ [ n ]q
[3]q [ n]q2
⎝
⎠
⎝
⎠
(4.4)
elde edilir.
( qn ) , ( 0,1)
aralığında
lim qnn = 1 ve lim
n →∞
n →∞
1
=0
[ n]q
(4.5)
n
koşullarını sağlayan bir dizi olsun. Örneğin
( qn )
⎛ 1⎞
dizisi qn = e1 n ⎜1 − ⎟ olarak
⎝ n⎠
seçildiğinde Eş. 4.5 koşulları sağlanır.
4.1. Teorem
( qn ) ,
Eş. 4.5 koşullarını sağlayan bir dizi olsun. f ∈ CB [ 0, ∞ ) da azalmayan bir
fonksiyon ve 0 ≤ x <
1
olduğunda
1- qnn
K nqn ( f ; x ) − f ( x ) ≤ 2ω ( f , δ n )
42
sağlanır. Burada δ n ( x ) := K nqn (ψ x2 ; x ) dır [Örkcü ve Doğru, baskıda].
İspat
f ∈ CB [ 0, ∞ ) da azalmayan bir fonksiyon ve 0 ≤ x <
1
için K nq ( f ; x ) in
n
1- q
lineerliğini ve monotonluğunu kullanarak, δ > 0 ve n ∈ ` olmak üzere
(
K nq ( f ; x ) − f ( x ) ≤ K nq f ( t ) − f ( x ) ; x
)
⎧ 1
⎫
≤ ω ( f , δ ) ⎨1 + K nq ( t − x ; x ) ⎬
⎩ δ
⎭
yazılabilir. K nq ( e0 ; x ) = 1 ve a = q [ k ]q
[ n]q , b = [ k + 1]q [ n]q
olmak üzere Lemma
4.4 göz önüne alınarak
(
)
k
⎧
∞ [ n] x
⎛
x⎞
q
⎪ 1
K nq ( f ; x ) − f ( x ) ≤ ω ( f , δ ) ⎨1 + [ n ]q Eq ⎜ − [ n ]q ⎟ ∑
q ⎠ k =0 [ k ]q !q k
⎝
⎪ δ
⎩
12
12
[ k +1]q [ n]q
⎫
⎛ [ k +1]q [n]q
⎞
⎛
⎞
2
⎪
⎜
( t − x ) dqt ⎟ ⎜ ∫ dqt ⎟ ⎬
⎜ q[ k ] ∫ [ n ]
⎟ ⎜ q[ k ] [ n ]
⎟ ⎪
⎝ q q
⎠ ⎝ q q
⎠ ⎭
elde edilir. Buradan toplam için Hölder eşitsizliği kullanıldığında
(
)
k
⎧
⎛
∞
n
x
[
]
⎛
x⎞
q
⎪ 1⎜
= ω ( f , δ ) ⎨1 + ⎜ [ n ]q Eq ⎜ − [ n ]q ⎟ ∑
q ⎠ k =0 [ k ]q !q k
⎝
⎪ δ⎜
⎝
⎩
(
)
[ k +1]q [ n]q
∫
q[ k ]q
[ n]q
12
k
⎛
⎞
[ k +1]q [ n]q
∞
n
x
[
]
⎛
x⎞
q
⎜
⎟
dqt ⎟
∫
⎜ [ n ]q Eq ⎜ − [ n ]q q ⎟ ∑ [ k ] !q k
⎝
⎠ k =0
q[ k ]q [ n ]q
⎜
⎟
q
⎝
⎠
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
12
⎞
2
( t − x ) d qt ⎟⎟
⎟
⎠
43
12⎫
⎧ 1
= ω ( f , δ ) ⎨1 + ( K n ((t − x) 2 ; q; x) ) ⎬
⎩ δ
⎭
olur. Eş. 4.4 göz önüne alınarak, q = qn Eş. 4.5 koşullarını sağlayan dizi ve
δ = δ n ( x ) seçildiğinde ispat tamamlanır.
Lemma 4.2 den her bir
1 1
1
≤x<
için,
1 − qn
[ 2]q [ n]q
⎛ 3q [ 2]2 ⎞
⎛ 3q
3[ 2]q 1
1
q
q
2
j
K n (ψ x ; x ) = ⎜
x−⎜
− 1⎟ x 2 +
+
⎜ 4 [3]q 2 [3]q
2 [3]q [ n ]q
⎜ 4 [3]q
⎟
⎝
⎝
⎠
⎞ 1
⎟ 2
⎟ [ n]
⎠ q
(4.6)
sağlanır.
4.2. Teorem
( qn ) ,
Eş. 4.5 koşullarını sağlayan bir dizi olsun. f ∈ CB [ 0, ∞ ) da azalmayan bir
fonksiyon
1
1
1
≤x<
1- qnn
[ 2]q [ n]q
n
için
n
qn
k
K
n ( f ; x ) − f ( x ) ≤ 2ω ( f , α n )
qn
k
2
sağlanır. Burada α n ( x ) := K
n (ψ x ; x ) dir.
Lemma 4.3 den her bir
1
[3]q
1
1
≤x<
için,
1 − qn
[ n]q
44
(
K nq (ψ x2 ; x ) = 2 x x − K nq ( e1 ; q; x )
)
⎛
1
1
2
= 2x ⎜ x +
−
⎜⎜
q [ 2]q [ n ]q [ 2]q
⎝
⎞
[ 2]q [3]q 2
1 ⎟
+
x −
2
2
4q 2 [ n ]q 3q
3q [ n ]q ⎟⎟
⎠
2
(4.7)
olur.
4.3. Teorem
( qn ) ,
Eş. 4.5 koşullarını sağlayan bir dizi olsun. f ∈ CB [ 0, ∞ ) da azalmayan bir
fonksiyon
1
[3]q
n
1
1
≤x<
1- qnn
[ n]q
için
n
K nqn ( f ; x ) − f ( x ) ≤ 2ω ( f , δ n* )
olur. Burada δ n* ( x ) := K nqn (ψ x2 ; x ) dir.
Teorem 4.2 ve 4.3 ün ispatı; Teorem 4.1 dekine benzer adımlar izlenerek ve Eş. 4.6
ve Eş. 4.7 göz önüne alınarak kolayca yapılabilir.
45
5.
RIEMANN
TİPLİ
q − İNTEGRAL
İLE
q − SZASZ-MIRAKJAN-
KANTOROVICH OPERATÖRLERİ
Bu bölümde q − Szasz-Mirakjan operatörlerinin Kantorovich tipli modifikasyonu
Riemann tipli q − integral yardımıyla geliştirilmiş ve oluşturulan operatörlerin
ağırlıklı süreklilik modülü yardımı ile yaklaşım hızı elde edilmiştir.
Her pozitif tamsayı n ve q ∈ ( 0,1) için,
(
)
⎛
x ⎞ ∞ [ n ]q x
Lqn ( f ; x ) = [ n ]q Eq ⎜ − [ n ]q ⎟ ∑
q ⎠ k =0 [ k ]q q k
⎝
k
[ k +1]q [ n]q
∫
q[ k ]q
operatörlerini tanımlayalım. Burada 0 ≤ x <
∞
Eq ( x ) = ∑ q
n=0
n ( n −1) 2
[ n]q
f ( t ) d qR t ,
(5.1)
q
ve
1 − qn
xn
[ n]q !
(5.2)
dir. Riemann tipli q − integral tanımından dolayı Lqn operatörleri pozitif ve lineerdir.
Aşağıdaki lemma ile Eş. 5.1 deki q − Szasz-Mirakjan-Kantorovich operatörleri için,
bir indirgeme bağıntısı elde edeceğiz.
5.1. Lemma
em ( x ) = x m , m ≥ 0 olsun. q ∈ (0,1) , 0 ≤ x <
q
için
1− qn
46
r ( r −1)
j ( j −1)
m −1 r −1 m [ n ]
qr− j
⎛ m ⎞ [ n ]q
⎛ ⎞
q
r
2
L ( em ; x ) = ∑ ⎜ ⎟
q
x + ∑∑ ⎜ ⎟
Sq ( r , j ) q 2 x j (5.3)
r = 0 ⎝ r ⎠ [ m − r + 1]q
r = 2 j =1 ⎝ r ⎠ [ m − r + 1]q
r −m
m
q
n
j −m
dır. Burada
Sq ( r , j ) =
j
1
[ j ]q !q
−1 q
) ∑( )
j ( j −1
2
i
i ( i −1)
2
i =0
⎡ j⎤
r
⎢ i ⎥ [ j − i ]q
⎣ ⎦q
Sq ( r + 1, j ) = [ j ]q Sq ( r , j ) + Sq ( r , j − 1)
Sq ( 0, 0 ) = 1; Sq ( r , 0 ) = 0, r > 0; Sq ( r , j ) = 0, j > r
indirgeme bağıntısını sağlayan ikinci çeşit q − Stirling polinomlarıdır.
İspat
[k + 1]q − q[k ]q = 1 olduğundan
[ k +1]q [ n]q
∫
q[ k ]q
1
t d t = (1 − q )
[ n]q
m
[ n]q
R
q
⎛ q [ k ]q
1 j⎞ j
⎜
q ⎟ q
+
∑
n ]q ⎟
[
j = 0 ⎜ [ n ]q
⎝
⎠
m
∞
1
= (1 − q )
[ n]q
r
⎛ m ⎞ q [ k ]q 1
q ( m − r +1) j
∑∑
⎜ ⎟
r
m−r
r
j =0 r =0 ⎝
⎠ [ n ]q [ n ]q
1
= (1 − q )
[ n]q
r
⎛ m ⎞ q [ k ]q 1 ∞ ( m − r +1) j
q
∑
⎜ ⎟
r
m−r ∑
n
r =0 ⎝ r ⎠ [ n ]
j =0
[
]
q
q
1
=
[ n]q
∞
m
r
m
r
q r [ k ]q
⎛m⎞ 1
1
∑
⎜ ⎟ m−r
[ m − r + 1]q [ n]rq
r =0 ⎝ r ⎠ [ n ]
q
m
elde edilir. Buradan da
r
47
(
)
k
⎛
x ⎞ ∞ [ n ]q x
Lqn ( em ; x ) = Eq ⎜ − [ n ]q ⎟ ∑
q ⎠ k =0 [ k ]q !q k
⎝
q r [ k ]q
⎛ m ⎞ [ n ]q
∑
⎜ ⎟
r
r = 0 ⎝ r ⎠ [ m − r + 1]q
[ n]q
r −m
m
r
r
r
⎛m⎞
⎛
x ⎞ ([ n ]q x ) q [ k ]q
.
= ∑⎜ ⎟
Eq ⎜ − [ n ]q ⎟ ∑
q ⎠ k =0 [ k ]q !q k [ n ]r
r = 0 ⎝ r ⎠ [ m − r + 1]q
⎝
q
k
[ n]q
r −m
m
∞
yazılabilir.
f fonksiyonunun j. mertebeden q − fark operatörü
j
∆ jq f k = ∑ (− 1) q
i
i =0
i (i −1)
2
⎡ j⎤
⎢ i ⎥ f k + j −i
⎣ ⎦q
(5.4)
∆ jq+1 f k = ∆ jq f k +1 − q j ∆ jq f k
şeklinde tanımlıdır. Burada f k , f in tanım kümesinin belli bir alt aralığına ait xk
noktasındaki değeridir [Phillips, 2003].
Eş. 5.2 ve iki serinin çarpımı için
⎛ ∞ ⎞⎛ ∞ ⎞ ∞ n
⎜ ∑ an ⎟ ⎜ ∑ bn ⎟ = ∑∑ ak bn − k
⎝ n=0 ⎠ ⎝ n=0 ⎠ n=0 k =0
şeklinde verilen Cauchy Kuralını [bkz. Aral, 2008] kullanarak
⎛ m ⎞ [ n ]q
Lqn ( em ; x ) = ∑ ⎜ ⎟
r = 0 ⎝ r ⎠ [ m − r + 1]q
r −m
m
∞
∑∑ ( −1) q
r −m
i
j =0 i =0
⎛ m ⎞ [ n ]q
= ∑⎜ ⎟
r = 0 ⎝ r ⎠ [ m − r + 1]q
m
j
⎛ [ n ]q
⎜
∑
⎜ q
j =0
⎝
∞
j
i ( i −1)
2
q r [ j − i ]q
([ n ] x )
r
[ n]q
r
⎞ j r
xj
t
0
∆
⎟ q ( )
⎟
[ j ]q !
⎠
q
j
q [i ]q ![ j − i ]q !
j
48
yazılabilir. Burada xk =
j
∆ t ( 0 ) = ∑ ( −1) q
j r
q
i
i ( i −1)
2
i =0
[ k ]q q
[ n]q
olmak üzere Eş. 5.4 göz önüne alındığında
r
⎡ j ⎤ q [ j − i ]q
⎢i ⎥
r
⎣ ⎦ q [ n ]q
r
olduğu görülür. Ayrıca
j ( j −1)
2
∆ f (0 ) = q
j
q
⎛ q
D f (ξ )⎜
⎜ [n]
⎝ q
j
q
⎛ q[ j ]q
⎞
⎟ , ξ ∈ ⎜ 0,
⎜ [n ]
⎟
q
⎝
⎠
j
∆ jq t r (0 ) = 0, j > r
olduğundan
ve
⎞
⎟
⎟
⎠
∆rqt r (0 ) = q
r ( r −1)
2
⎛
⎞
[r ]q !⎜⎜ q ⎟⎟
⎝ [n]q ⎠
yardımıyla da
r ⎛ [ n]
⎛ m ⎞ [ n ]q
q
Lqn ( em ; x ) = ∑ ⎜ ⎟
⎜
∑
⎜ q
r = 0 ⎝ r ⎠ [ m − r + 1]q j = 0
⎝
r −m
m
j
⎞ j r xj
⎟ ∆ q t0
⎟
[ j ]q !
⎠
r ( r −1)
⎛ m ⎞ [ n ]q
q 2 xr
= ∑⎜ ⎟
r = 0 ⎝ r ⎠ [ m − r + 1]q
m
r −m
⎛ m ⎞ [ n ]q
+ ∑⎜ ⎟
r =1 ⎝ r ⎠ [ m − r + 1]q
m
r −m
⎛ [ n ]q
⎜
∑
⎜ q
j =0
⎝
r −1
j
⎞ j r xj
⎟ ∆ q t0
⎟
[ j ]q !
⎠
r ( r −1)
⎛ m ⎞ [ n ]q
q 2 xr
= ∑⎜ ⎟
r = 0 ⎝ r ⎠ [ m − r + 1]q
m
r −m
⎛ m ⎞ [ n ]q
+ ∑⎜ ⎟
r = 2 ⎝ r ⎠ [ m − r + 1]q
m
r −m
⎛ q
⎜
∑
j =1 ⎜ [ n ]q
⎝
r −1
⎞
⎟
⎟
⎠
r− j
yazılabilir ki bu da ispatı tamamlar. Burada
Sq ( r , j ) q
j ( j −1)
2
xj
r
sağlanır. Bunun
49
Sq ( r , j ) =
1
[ j ]q !q
j
∑ ( −1) q
i
j ( j −1)
i =0
2
i ( i −1)
2
⎡ j⎤
r
⎢ i ⎥ [ j − i ]q
⎣ ⎦q
Sq ( r + 1, j ) = [ j ]q Sq ( r , j ) + Sq ( r , j − 1)
indirgeme bağıntısını sağlayan ikinci çeşit q − Stirling polinomlarıdır.
5.2. Lemma
Lqn operatörler dizisi için, 0 ≤ x <
q
olduğunda
1− qn
i) Lqn ( e0 ; x ) = 1 ,
ii) Lqn ( e1 ; x ) = x +
1 1
,
[ 2]q [ n]q
⎛
2
iii) Lqn ( e2 ; x ) = qx 2 + ⎜ q +
⎜
[ 2]q
⎝
⎞ 1
1 1
⎟
x+
,
⎟ [ n ]q
3]q [ n ]2
[
⎠
q
⎛
3q
iv) Lqn ( e3 ; x ) = q 3 x3 + ⎜ q 3 + 2q 2 +
⎜
[ 2]q
⎝
⎞ 1
⎛
3q
3 ⎞ 1
1 1
⎟
⎟ 2 x+
+
x2 + ⎜ q2 +
,
⎟ [ n ]q
⎜
2]q [3]q ⎟ [ n ]
4]q [ n ]3
[
[
⎠
⎝
⎠ q
q
v)
⎛
4q 3 ⎞ 1 3
⎟
Lqn ( e4 ; x ) = q 6 x 4 + ⎜ q 6 + 2q 5 + 3q 4 +
x
⎜
2]q ⎟ [ n ]q
[
⎝
⎠
⎛
4 ( q 3 + 2q 2 ) 6q
5
4
3
+ ⎜ q + 3q + 3q +
+
⎜
2]q
[
[3]q
⎝
⎞ 1
⎟ 2 x2
⎟ [ n]
⎠ q
⎛
4q 2 6q
4 ⎞ 1
1 1
⎟ 3 x+
+ ⎜ q3 +
+
+
⎜
[ 2]q [3]q [ 4]q ⎟⎠ [ n]q [5]q [ n]4q
⎝
50
eşitlikleri geçerlidir.
İspat
Lemma 5.2 nin ispatı için Eş. 5.3 de m = 0, 1, 2, 3, 4 alınması yeterlidir.
5.1. Teorem
( qn ) ,
qn ∈ ( 0,1) olmak üzere st − lim qnn = 1 ve st − lim
n
n
1
= 0 koşullarını
[ n]q
n
sağlayan bir dizi olsun. λ > 0 , 0 ≤ x <
st − lim Lqnn ( f ;.) − f
n
1+ x 2+λ
qn
ve herhangi bir f ∈ C1+ x2 [ 0, ∞ ) için
1 − qnn
= 0 dır.
İspat
⎡
q ⎞
Lemma 5.1’in bir sonucu olarak, x ∈ ⎢ 0, n n ⎟ (burada n yeterince büyük bir sayı)
⎣ 1 − qn ⎠
{
}
için Lqnn (1 + t 2 ; x ) ≤ C (1 + x 2+ λ ) olduğundan Lqnn ( f ;.) , C1+ x2 ’den B1+ x2+λ ’ye tanımlı
lineer pozitif operatörlerin bir dizisidir. Lemma 5.2 (i) den
st − lim Lqnn ( e0 ;.) − e0
n
1+ x 2
=0
olduğu açıkça görülebilir. Lemma 5.2 (ii) den ise
sup
0≤ x <
qn
1− qnn
qn
n
L
( e1; x ) − e1 ( x )
1+ x
2
x+
= sup
0≤ x <
qn
1− qnn
1
1
−x
[ 2]q [ n]q
n
1+ x
n
2
51
= sup
0≤ x <
=
elde edilir. st − lim
n
qn
1− qnn
1
[ 2]q
n
1
1
1
2
1 + x [ 2]q [ n ]q
n
n
1
[ n]q
n
1
= 0 olduğundan st − lim Lqnn ( e1 ;.) − e1
n
[ n]q
1+ x 2
= 0 olur. Benzer
n
olarak, Lemma 5.2 (iii) den
sup
0≤ x <
qn
1− qnn
Lqnn ( e2 ; x ) − e2 ( x )
1 + x2
= sup
0≤ x <
⎛
2
qn x 2 + ⎜ qn +
⎜
[ 2]qn
⎝
qn
1− qnn
⎛q
1
≤ (1 − qn ) + ⎜ n +
⎜ 2 [ 2]q
n
⎝
⎞ 1
1
1
⎟
x+
− x2
2
⎟ [ n ]q
[3]qn [ n]qn
n
⎠
1 + x2
⎞ 1
1
1
⎟
+
⎟ [ n ]q [3]q [ n ]2
qn
n
n
⎠
elde edilir. Dolayısıyla da,
Lqnn ( e2 ;.) − e2
1+ x 2
⎛q
1
≤ (1 − qn ) + ⎜ n +
⎜ 2 [ 2]q
n
⎝
⎞ 1
1
1
⎟
+
⎟ [ n ]q [3]q [ n ]2
qn
n
n
⎠
olur.
Şimdi her ε > 0 için aşağıdaki kümeleri tanımlayalım:
{
D = k : Lqkk ( e2 ;.) − e2
1+ x 2
}
≥ε ,
(5.5)
52
ε⎫
⎧
D1 = ⎨k : (1 − qk ) ≥ ⎬ ,
3⎭
⎩
⎧⎪ ⎛ q
1
D2 = ⎨k : ⎜ k +
⎪⎩ ⎜⎝ 2 [ 2]qk
⎞ 1
ε ⎫⎪
⎟
≥ ⎬,
⎟ [ n ]q
3⎪
k
⎠
⎭
⎧ ⎛
1
1
⎪
D3 = ⎨k : ⎜
2
⎪⎩ ⎜⎝ [3]qk [ n ]qk
⎞ ε⎫
⎟ ≥ ⎪⎬ .
⎟ 3⎪
⎠
⎭
Eş. 5.5 den, D ⊆ D1 ∪ D2 ∪ D3 olduğu açıktır ve bu durum her k ∈ N için
δ
({ n ≤ n : L
0
qn
n
( e2 ;.) − e2 1+ x
2
≥ε
}) = δ ( D ) ≤ δ ( D ) + δ ( D ) + δ ( D )
1
2
3
olmasını gerektirir.
st − lim qnn = 1
n
ve
st − lim
n
1
=0
[ n]q
olduğundan
st − lim (1 − qn ) = 0 ,
n
n
⎛q
1
st − lim ⎜ n +
n ⎜ 2
[ 2]qn
⎝
⎛ 1
⎞ 1
1
⎟
= 0 ve st − lim ⎜
2
n ⎜ [ 3]
⎟ [ n ]q
n
n
⎠
⎝ qn [ ]qn
⎞
⎟ = 0 sağlanır. Diğer yandan
⎟
⎠
istatistiksel yakınsaklık tanımından
δ ( D1 ) + δ ( D2 ) + δ ( D3 ) = 0
olduğu görülür ve böylece st − lim Lqnn ( e2 ;.) − e2
n
tamamlar.
1+ x 2
= 0 elde edilir. Bu ise ispatı
53
Uyarı
⎧ e− n
, k ≠ m2
⎪1 −
qn = ⎨
n
⎪ 0,
k = m2
⎩
( m = 1, 2,3,...)
şeklinde seçilen bir dizi Teorem 5.1 deki
koşulları sağlar. Fakat klasik anlamda yakınsak değildir.
5.1. İstatistiksel Yaklaşım Hızı
Sınırlı olmayan fonksiyonlara operatörler dizisinin yaklaşım hızı, Freud (1973)’ün
tanımladığı
Ωα ( f , δ ) =
sup
x ≥ 0, 0 < h ≤δ
f ( x + h) − f ( x)
1+ ( x + h)
α
, α∈
(5.6)
ağırlıklı süreklilik modülü ile hesaplanabilmektedir.
5.3. Lemma (Lopez, 2004)
f ∈ C1k+ xα [ 0, ∞ ) ise, Eş. 5.6 ile tanımlı süreklilik modülü için aşağıdaki ifadeler
sağlanır.
i) Ωα ( f , δ ) , δ ’nın monoton artan bir fonksiyonudur,
ii) lim Ωα ( f , δ ) = 0 dır,
δ →0
iii) Herhangi bir λ ∈ [ 0, ∞ ) için, Ωα ( f , λδ ) ≤ (1 + λ ) Ωα ( f , δ ) ’dir.
54
İspat
i) δ1 < δ 2 için 0 < h ≤ δ 2 kümesinin eleman sayısı 0 < h ≤ δ1 kümesinin eleman
sayısından daha büyük olduğu açıktır ve küme büyüdükçe bu küme üzerinden alınan
supremum da büyüyeceğinden ispat tamamlanır.
ii) f ∈ C1k+ xα [ 0, ∞ ) ise lim
x →∞
f ( x)
1 + xα
olduğundan verilen her ε > 0 için
= k, k ∈
∃ x0 > 0 reel sayısı vardır ki, x ≥ x0 için
f ( x)
ε
− k < dir.
α
1+ x
2
x1 ≥ x0 + δ olacak biçimde sabit bir x1 sayısı için
Ωα ( f , δ ) ≤
≤
f ( x + h) − f ( x)
sup
1+ ( x + h)
α
0≤ x ≤ x1 , 0< h ≤δ
sup
0 ≤ x ≤ x1 , 0 < h ≤δ
+
f ( x + h) − f ( x) +
= ω[0, x1 ] ( f , δ ) +
sup
f ( x + h) − f ( x)
sup
1+ ( x + h)
α
x ≥ x1 , 0< h ≤δ
f ( x + h) − f ( x)
sup
1+ ( x + h)
α
x ≥ x1 , 0< h ≤δ
f ( x + h) − f ( x)
x ≥ x1 , 0 < h ≤δ
1+ ( x + h)
α
ve x ≥ x1 için
f ( x + h) − f ( x)
1+ ( x + h)
α
≤
f ( x + h)
1+ ( x + h)
α
−k +
f ( x)
1+ ( x + h)
α
−k
55
<
≤
ε
1 + xα
+
2 1 + ( x + h )α
ε
2
ε
+
2
=ε + k
f ( x)
1 + xα
+
k
1
−
α
1 + xα
1+ ( x + h)
( x + h ) − xα
α
1+ ( x + h)
α
+k
⎛α ⎞
xα − i
hi
∑
⎜ ⎟
α
i =1 ⎝ i ⎠ 1 + ( x + h )
α
α
⎛α ⎞
≤ ε + k δ ∑ ⎜ ⎟ δ i −1
i =1 ⎝ i ⎠
dir. Böylelikle
α
⎧
⎫
⎛α ⎞
Ωα ( f , δ ) ≤ maks ⎨ω[0, x1 ] ( f , δ ) , ε + k δ ∑ ⎜ ⎟ δ i −1 ⎬
i =1 ⎝ i ⎠
⎩
⎭
elde
edilir.
[0, x1 ]
kapalı
aralığında
f
fonksiyonu
sürekli
olduğundan
δ → 0 iken ω[0, x ] ( f , δ ) → 0 ve böylece de lim Ωα ( f , δ ) ≤ ε olur. ε keyfi küçük bir
δ →0
1
sayı olduğundan ispat tamamlanır.
iii) Ağırlıklı süreklilik modülünün tanımdan her m ∈
Ωα ( f , mδ ) =
sup
x ,t ≥ 0, x −t ≤ mδ
f (t ) − f ( x )
1 + tα
yazılabilir.
t − x ≤ mδ ⇒ x − mδ ≤ t ≤ x + mδ
olup, t = x + mh seçimiyle h ≤ δ ve
için
56
Ωα ( f , mδ ) = sup
f ( x + mh ) − f ( x )
1 + ( x + mh )
α
x ≥ 0, h ≤δ
≤ sup
f ( x + mh ) − f ( x )
1 + ( x + mh )
α
x ≥ 0, h ≤δ
= sup
x ≥ 0, h ≤δ
m −1
1
1 + ( x + mh )
α
m −1
≤ ∑ sup
k = 0 x ≥ 0, h ≤δ
∑ ⎡⎣ f ( x + ( k + 1) h ) − f ( x + kh )⎤⎦
k =0
1
1 + ( x + ( k + 1) h )
α
f ( x + ( k + 1) h ) − f ( x + kh )
= mΩα ( f , δ )
(5.7)
olur. Böylelikle de
Ωα ( f , mδ ) ≤ mΩα ( f , δ )
elde edilir.
Herhangi bir λ ∈ [ 0, ∞ ) sayısının tam kısmını λ ile gösterilirse
λ ≤ λ ≤ λ +1
eşitsizlikleri geçerlidir. Bu eşitsizliklerin ve Lemma 5.3 ün (ii) özelliğinde ki
Ωα ( f , δ ) nın artan fonksiyon olması kullanılırsa
(
Ωα ( f , λδ ) ≤ Ωα f , ( λ + 1) δ
eşitsizliği yazılabilir. λ
tarafına Eş. 5.7 uygulanırsa
)
pozitif bir tam sayı olduğundan üstteki eşitsizliğin sağ
57
(
)
Ωα f , ( λ + 1) δ ≤ ( λ + 1) Ωα ( f , δ )
eşitsizliği elde edilir. Ayrıca her λ ∈
+
için
λ +1 < λ +1
olduğu göz önüne alınırsa
(
)
Ωα f , ( λ + 1) δ ≤ ( λ + 1) Ωα ( f , δ )
eşitsizliği geçerli olur. Sonuç olarak
Ωα ( f , λδ ) ≤ ( λ + 1) Ωα ( f , δ )
yazılır ki, bu da ispatı tamamlar.
Ωα ( f , λδ ) ≤ ( λ + 1) Ωα ( f , δ )
eşitsizliğinde λ =
t−x
δ
alınırsa
⎛ t−x
⎞
Ωα ( f , t − x ) ≤ ⎜
+ 1⎟ Ωα ( f , δ )
⎝ δ
⎠
elde edilir.
Ωα ( f , t − x ) =
sup
x ,t ≥ 0, t − x ≤ t − x
f (t ) − f ( x )
1 + tα
(5.8)
58
ifadesi yardımıyla ise
(
f (t ) − f ( x ) ≤ 1 + ( x + t − x )
α
)Ω ( f , t − x )
α
yazılabilir. Eşitsizliğin sağ tarafına Eş. 5.8 uygulanırsa
(
f (t ) − f ( x ) ≤ 1 + ( x + t − x )
α
) ⎛⎜⎝ t −δ x + 1⎞⎟⎠ Ω ( f , δ )
α
elde edilir.
(1 + ( x + t − x ) ) ≤ (1 + ( 2 x + t ) )
α
α
eşitsizliği kullanılarak
(
f (t ) − f ( x ) ≤ 1 + ( 2x + t )
α
) ⎛⎜⎝1 + t −δ x ⎞⎟⎠ Ω ( f , δ )
(5.9)
α
eşitsizliği elde edilir.
{
}
Burada ağırlıklı süreklilik modülü yardımı ile f fonksiyonuna Lqnn ( f ;.) dizisinin
yaklaşım hızını elde edilmesi amaçlanmaktadır.
5.2. Teorem
Her pozitif tamsayı n ve q ∈ ( 0,1) , f ∈ C10+ x2 [ 0, ∞ ) için
Lqn ( f ;.) − f
1+ x3
≤ K Ω2 ( f , δ )
59
⎧
q
⎪
olur. Burada, 0 ≤ x <
, δ = maks ⎨
n
1− q
⎩⎪
q
,
[ n]q
1
[3]q
⎫
1 ⎪
⎬ ve K , f den bağımsız
[ n ]q ⎭⎪
pozitif sabittir.
İspat
Eş. 5.9 da α = 2 için
t−x ⎞
2 ⎛
f ( t ) − f ( x ) ≤ 1 + ( 2 x + t ) ⎜1 +
⎟ Ω ( f ,δ )
δ ⎠ 2
⎝
(
)
⎛ 1
⎞
:= µ x ( t ) ⎜1 + ψ x ( t ) ⎟ Ω2 ( f , δ )
⎝ δ
⎠
yazılabilir. Buradan,
⎛
⎞
1
Lqn ( f ; x ) − f ( x ) ≤ ⎜ Lqn ( µ x ; x ) + Lqn ( µ xψ x ; x ) ⎟ Ω2 ( f , δ )
δn
⎝
⎠
elde edilir. Hölder eşitsizliğini uygulayarak,
1 q 2
⎛
⎞
Lqn ( f ; x ) − f ( x ) ≤ ⎜ Lqn ( µ x ; x ) +
Ln ( µ x ; x ) Lqn (ψ x2 ; x ) ⎟ Ω2 ( f , δ )
δ
⎝
⎠
elde edilir. Lemma 5.1 den
Lqn ( µ x ; x ) ≤ K1 (1 + x 2 )
Lqn ( µ x2 ; x ) ≤ K 2 (1 + x 2 )
(5.10)
60
olacak şekilde bir K1 ve K 2 pozitif sabitleri vardır.
Ayrıca,
Lqn (ψ x2 ; x ) = ( q − 1) x 2 +
≤
q
1 1
x+
[ n]q [3]q [ n]q2
q
1 1
x+
[ n]q [3]q [ n]q2
eşitsizliği geçerlidir.
Eş. 5.10 dan
⎛
1
L ( f ; x ) − f ( x ) ≤ (1 + x ) ⎜ K1 + K 2
⎜⎜
δ
⎝
q
n
2
⎧
⎪
elde edilir. δ = maks ⎨
⎪⎩
(1 + x )
2
q
,
[ n]q
1
[3]q
⎞
q
1 1 ⎟
x+
Ω ( f ,δ )
[ n]q [3]q [ n]2q ⎟⎟ 2
⎠
⎫
1 ⎪
⎬ alınırsa
[ n]q ⎪⎭
1 + x ≤ (1 + x 2 ) (1 + x )
≤ 2 (1 + x 3 )
eşitsizliği sağlandığından
Lqn ( f ; x ) − f ( x ) ≤ (1 + x 3 ) ( K1 + 2 K 2 ) Ω 2 ( f , δ )
elde edilir. K = K1 + 2 K 2 seçildiğinde istenilen sonuca ulaşılmış olur.
61
Uyarı
Teorem 5.2 de st − lim qnn = 1 ve st − lim
n
n
1
= 0 koşullarını sağlayan bir q = ( qn )
[ n]q
n
dizisi alınırsa Lqnn operatörler dizisinin istatistiksel yaklaşım hızı elde edilir.
5.2. İki Değişkenli q − Szasz-Mirakjan-Kantorovich Operatörleri
Bu kısımda Eş. 5.1 ile tanımlanan operatörlerin iki değişkenli genelleşmesinin
oluşturulması amaçlanmaktadır.
n∈
, 0 < q1 , q2 < 1 , 0 ≤ x <
q1
q
ve 0 ≤ y < 2 n için, Lqn ( f ; x ) operatörlerinin
n
1 − q1
1 − q2
iki değişkenli genelleşmesini
⎛
⎛
x⎞
y⎞
Lqn1 ,q2 ( f ; x, y ) = [ n ]q [ n ]q Eq1 ⎜ − [ n ]q ⎟ Eq2 ⎜ − [ n ]q
⎟
1
2
1
2
q1 ⎠
q2 ⎠
⎝
⎝
([ n ] x ) ([ n ] y )
k
×
∞
∞
∑∑ [ k ]
k =0 j =0
[ j +1]q
×
2
∫
q2 [ j ]q
2
q1
q1
q2
k
1
!q
[ j ]q
2
[ n]q [ k +1]q [ n]q
2
[ n]q
j
1
∫
q [k ]
2 1 q1
1
[ n]q
!q2j
f ( t , s )d qR sd qR t
2
1
1
olarak tanımlayalım. Burada q − integral;
b d
∫ ∫ f (t, s ) d
R
q2
sd qR1 t = (1 − q1 )(1 − q2 )( b − a )( c − d )
a c
∞
∞
× ∑∑ f ( a + ( b − a ) q1i , c + ( c − d ) q2 j )q2 j q1i
i =0 j = 0
(5.11)
62
ile tanımlıdır. Eş. 5.11 Lqn1 ,q2 ( f ; x, y ) operatörlerinin lineer ve pozitif olduğu
görülmektedir.
Lqn1 ,q2 ( f ; x, y ) operatörlerinin yaklaşım özelliklerini inceleyebilmek için gerekli olan
lemma aşağıda verilmiştir.
5.4. Lemma
( i, j ) ∈
0
×
0
ve i + j ≤ 2 olmak üzere, eij = x i y j iki boyutlu test fonksiyonları
olsunlar. Eş. 5.11 ile verilen operatörler için,
i) Lqn1 ,q2 ( e00 ; x, y ) = 1 ,
ii) Lqn1 ,q2 ( e10 ; x, y ) = x +
1
1
,
[ 2]q [ n]q
1
iii) Lqn1 ,q2 ( e01 ; x, y ) = y +
1
1
1
,
[ 2]q [ n]q
2
2
⎛
2
iv) Lqn1 ,q2 ( e20 ; x, y ) = q1 x 2 + ⎜ q1 +
⎜
[ 2]q1
⎝
⎞ 1
1
1
⎟
,
x+
⎟ [ n ]q
3]q [ n ]q
[
1
1
1
⎠
⎛
2
v) Lqn1 ,q2 ( e02 ; x, y ) = q2 y 2 + ⎜ q2 +
⎜
[ 2]q2
⎝
⎞ 1
1
1
⎟
y+
⎟ [ n ]q
[3]q2 [ n]q2
2
⎠
eşitlikleri doğrudur.
63
İspat
q − integral tanımından dolayı
[ k +1]q1 [ n]q1 [ j +1]q2 [ n]q2
⎛ [ k + 1]q q1 [ k ]q
R
R
1
1
⎜
d
sd
t
=
−
q2
q1
∫
∫
⎜
n
n
[ ]q1
q1 [ k ]q [ n ]q q2 [ j ]q [ n ]q
⎝ [ ]q1
1
1
2
2
=
⎞ ⎛ [ j + 1]q q2 [ j ]q
2
2
⎟⎜
−
⎟ ⎜ [ n ]q
n
[ ]q2
2
⎠⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
[ n]q [ n]q
1
2
elde edilir. Buradan Lqn1 ,q2 ( e00 ; x, y ) = 1 olduğu görülür. Diğer taraftan
[ k +1]q1 [ n]q1 [ j +1]q2 [ n]q2
∫
q1 [ k ]q
1
[ n]q1
∫
q2 [ j ]q
2
[ n]q
td qR sd qR t = (1 − q1 )(1 − q2 )
2
1
1
[ n]q [ n]q
1
2
2
∞ ∞ ⎛ q [k ]
⎞
1
1
q1
× ∑∑ ⎜
+
q1i ⎟q2 j q1i
[ n]q1 ⎟⎠
i =0 j = 0 ⎜ [ n ]q
1
⎝
=
1 ⎛⎜ q1 [ k ]q1
1
1 ⎞⎟
+
[ n]q2 ⎜⎝ [ n]2q1 [ n]q21 1 + q1 ⎟⎠
ifadesi kullanılarak
⎛
⎛
x⎞
y⎞
Lqn1 ,q2 ( e10 ; x, y ) = Eq1 ⎜ − [ n ]q ⎟ Eq2 ⎜ − [ n ]q
⎟
1
2
q1 ⎠
q2 ⎠
⎝
⎝
⎛ q1 [ k ]q
1
1
1
× ∑∑ ⎜
+
[ 2] q1 [ n]q1
k = 0 j = 0 ⎜ [ n ]q
⎝
1
∞
= x+
∞
1
1
[ 2] q [ n]q
1
1
(
)
k
⎞ [ n ]q x
1
⎟
⎟ [ k ]q !q1k
⎠
1
([n]q y )
[ j ]q !q2j
2
2
j
64
elde edilir. Benzer olarak Lqn1 ,q2 ( e01 ; x, y ) = y +
1
1
eşitliği de sağlanır.
[ 2]q [ n]q
2
2
[ k +1]q1 [ n]q1 [ j +1]q2 [ n]q2
⎛ q 2 [ k ]2 2q1 [ k ] 1
1
1 1 ⎞⎟
q1
q1
1
2 R
R
⎜
t
d
sd
t
=
+
+
q2
q1
3
3
∫
∫
[ n]q2 ⎜⎝ [ n]3q1
n ]q [ 2] q1 [ n ]q [3] q1 ⎟
[
q1 [ k ]q [ n ]q q2 [ j ]q [ n ]q
1
1
⎠
1
1
2
2
ifadesi kullanılarak
⎛
⎛
x⎞
y⎞
Lqn1 ,q2 ( e20 ; x, y ) = Eq1 ⎜ − [ n ]q ⎟ Eq2 ⎜ − [ n ]q
⎟
1
2
q1 ⎠
q2 ⎠
⎝
⎝
(
)
k
⎛ q 2 [ k ]2 2q1 [ k ] 1
1 1 ⎞⎟ [ n ]q1 x
q1
q1
1
× ∑∑ ⎜
+
+
2
2
2
k =0 j =0 ⎜ [ n]
[ n]q1 [ 2] q1 [ n]q1 [3] q1 ⎟⎠ [ k ]q1 !q1k
q1
⎝
∞
∞
= q1 x 2 +
([n]q y )
[ j ]q !q2j
j
2
2
q1
2
1
1
1
x+
x+
[ n]q1 [ 2] q1 [ n]q1 [3] q1 [ n]q2
1
⎛
2
elde edilir. Benzer olarak Lqn1 ,q2 ( e02 ; x, y ) = q2 y 2 + ⎜ q2 +
⎜
[ 2]q2
⎝
⎞ 1
1
1
⎟
y+
⎟ [ n ]q
[3]q2 [ n]q2
⎠
2
eşitliği de sağlanır ki bu da ispatı tamamlar.
İki değişkenli fonksiyonlar için Korovkin tipli bir teorem Volkov (1957) tarafından
verilmiştir. Erkuş ve Duman (2000) ise istatistiksel yakınsaklık kavramı kullanarak
çok değişkenli fonksiyonlar için Korovkin tipli teorem vermişlerdir.
Gadjiev (1980) ise çok değişkenli fonksiyonlar için ağırlıklı yaklaşımlar üzerine
teorem vermiştir.
Bw , f ( x, y ) ≤ M f w ( x, y ) sınırlılık koşularını sağlayan ve
reel değerli fonksiyonlar uzayı olsun.
w ( x, y ) ,
2
2
üzerinde tanımlı bir
üzerinde sürekli ve
65
lim
x 2 + y 2 →∞
w ( x, y ) = ∞ olan bir fonksiyon ise, her
( x, y ) ∈
2
için w ( x, y ) ≥ 1 bir
ağırlık fonksiyonu olarak isimlendirilir. Bw üzerindeki
f
w
f ( x, y )
= sup
( x , y )∈
w ( x, y )
2
normlu tüm sürekli fonksiyonların uzayını Cw ile gösterilsin.
5.3. Teorem (Gadjiev, 1980)
w1 ( x, y ) , w2 ( x, y ) ,
w1 ( x, y )
= 0 koşullarını sağlayan ağırlık fonksiyonları
x 2 + y 2 →∞ w2 ( x, y )
lim
ve Tn ’in Cw1 ’den Bw2 ’ye tanımlı lineer pozitif operatörlerin bir dizisi olsun. Her
f ∈ Cw1 için,
lim Tn Fν − Fν
w1
n →∞
= 0 , (ν = 0, 1, 2 )
ise
lim Tn f − f
n →∞
w2
=0
olur. Burada, F0 ( x, y ) =
F3 ( x, y )
2
0
(x
=
2
w1 ( x, y )
y w1 ( x, y )
x w1 ( x, y )
, F1 ( x, y ) =
, F2 ( x, y ) =
,
2
2
2
2
1+ x + y
1+ x + y
1 + x2 + y2
+ y 2 ) w1 ( x, y )
1 + x2 + y 2
’dır.
= {( x, y ) ∈ R 2 : x ≥ 0, y ≥ 0}
olmak
üzere
w1 ( x, y ) = 1 + x 2 + y 2 ve w2 ( x, y ) = (1 + x 2 + y 2 )
1+ λ
λ >0
ve
( x, y ) ∈
2
0
için
fonksiyonlarını göz önüne alalım.
66
q1 ve q2 , 0 < q1, n < 1 ve 0 < q2,n < 1 olmak üzere
1
⎫
= 0⎪
[ n]q1,n ⎪
⎬
1
= 1 ve st − lim
= 0⎪
n [ n]
⎪
q2,n
⎭
st − lim q1,n n = 1 ve st − lim
n
n
st − lim q
n
2, n
n
(5.12)
şeklinde seçersek aşağıdaki teoremi verebiliriz.
5.4. Teorem
( q ) ve ( q )
1, n
Eş. 5.12 koşulları sağlayan diziler olsun. λ > 0 , 0 ≤ x <
2, n
q2,n
0≤ y<
olmak
1− q
n
2, n
st − lim Lqn1 ,q2 f − f
n
(1+ x
2
+ y2
üzere,
)
1+λ
her
hangi
bir
f ∈ C1+ x2 + y 2
q1,n
1 − q1,n n
( )
2
0
ve
için
= 0 olur.
İspat
Lemma
q
Ln1,n
, q2,n
5.4
(1 + t
2
⎡
q
x ∈ ⎢0, 1,nn
⎣⎢ 1 − q1,n
den,
+ s 2 ; x, y ) ≤ C (1 + x 2 + y 2 )
1+ λ
C1+ x2 + y 2 ’den B
(1+ x
2
+ y2
)
1+λ
q
n
, q2,n
ve
dir.
⎡
⎞
q
y ∈ ⎢0, 2, nn ⎟
⎢⎣ 1 − q2, n ⎠⎟
Dolayısıyla
{L
q1,n , q2,n
n
’ya tanımlı lineer pozitif operatörlerin bir dizisidir.
Lemma 5.4 (i) eşitliğinden
st − lim Ln1,n
⎞
⎟⎟
⎠
( e00 ;.) − e00 1+ x + y
2
2
=0
için
( f ;.)} ,
67
olduğu açıkça görülebilir. Lemma 5.4 (ii) eşitliğinden
q1,n , q2,n
n
L
sup
0≤ x <
q1,n
1− q1,n n
,0 ≤ y <
( e10 ;.) − e10
1+ x + y
2
q2,n
x+
=
2
0≤ x <
n
1− q2,
n
=
1− q1,n n
,0≤ y <
=
q1,n
1− q1,n n
1
[ 2]q
1,n
1,n
1+ x + y2
2
q2,n
n
1− q2,
n
1
sup
0≤ x <
1
−x
[ n]q
1,n
sup
q1,n
1
[ 2]q
,0 ≤ y <
q2,n
n
1− q2,
n
1
1 + x + y [ 2]q
2
2
1,n
1
[ n]q
1,n
1
[ n]q
1,n
1
q ,q
= 0 olduğundan, st − lim Ln1,n 2,n ( e10 ;.) − e10
n
[ n]q
elde edilir. st − lim
n
1+ x 2 + y 2
= 0 olur.
1,n
Ayrıca, st − lim
n
1
[ n]q
q
= 0 olduğundan, st − lim Ln1,n
, q2,n
n
( e01;.) − e01 1+ x + y
2,n
Benzer olarak, Lemma 5.4 (iv) eşitliğinden dolayı da
q
Ln1,n
sup
0≤ x<
q1,n
1− q1,n n
=
,0 ≤ y <
q2,n
(
q1,n
1− q1,n n
≤ 1 − q1,n
,0≤ y <
)
( e20 ;.) − e20
1 + x2 + y 2
n
1− q2,
n
sup
0≤ x <
, q2,n
q2,n
⎛
2 ⎞⎟ 1
1
1
q1,n x 2 + ⎜ q1,n +
x+
− x2
2
⎜
[ 2]q1,n ⎟⎠ [ n]q1,n [3]q1,n [ n]q1,n
⎝
1 + x2 + y 2
n
1− q2,
n
⎛q
1
+ ⎜ 1,n +
⎜ 2 [ 2]q
1,n
⎝
⎞
1
⎟ 1 + 1
.
⎟ [ n ]q
3]q [ n ]2
[
q
1,n
1,n
⎠
1,n
2
2
= 0 olur.
68
elde
edilir.
Buradan
st − lim q1,n n = 1
ve
n
st − lim
n
1
=0
[ n]q
olduğundan,
1,n
⎛q
1
st − lim (1 − q1,n ) = st − lim ⎜ 1, n +
n
n ⎜ 2
[ 2]q1,n
⎝
q
Buradan, st − lim Ln1,n
n
Benzer
olarak,
, q2,n
⎛
⎞ 1
1
1
⎟
= st − lim ⎜
2
n ⎜ [ 3]
⎟ [ n ]q
q1,n [ n ]q
1,n
⎠
1,n
⎝
( e20 ;.) − e20 1+ x + y
2
st − lim q2,n n = 1
n
2
⎞
⎟=0
⎟
⎠
= 0 elde edilir.
ve
st − lim
n
1
[ n]q
=0
olduğundan,
2,n
q
st − lim Ln1,n
n
, q2,n
( e02 ;.) − e02 1+ x + y
2
2
sağlanır.
= 0 yazılabilir ki bu da ispatı tamamlar.
69
KAYNAKLAR
Agratini, O., Linear Operators That Preserve Some Test Functions, Int. J. Math. Sci.
Art., 94136 1-11 (2006).
Agratini, O., Doğru, O., “Weighted Statistical Approximation by q − Szasz Type
Operators That Preserve Some Test Functions” Taiwan. J. Math., 14(4): 1283-1296
(2010).
Altomare, F., Campiti, M., “Korovkin-Type Approximation Theory and Its
Applications”', de Gruyter Stud. Math., 17, Walter de Gruyter , Berlin, New York
141-265, (1994).
Andrews, G.E., Askey, R., Roy, R., Special Functions, Cambridge Univ. Press, 481542, (1999).
Aral, A., Gupta, V., “The q − derivative and Application to q − Szasz–Mirakyan
Operators”, Calcolo, 43: 151-170 (2006).
Aral, A., “A Generalization of Szasz–Mirakyan Operators Based on q − integers”,
Math. Comput. Modelling, 47: 1052–1062 (2008).
Bernstein, S.N., “Démonstration du Théorem de Weierstrass Fondée sur le Calculu
des Probabilités”, Comp. Comm. Soc. Mat. Charkow Sér., 13(2): 1-2 (1912).
Bohman, H., “On Approximation of Continuous and Analytic Functions”, Arkiffür
Math., 2(3): 43-56 (1951).
Connor, J., “The Statistical and Strong p-Cesaro Convergence of Sequences”,
Analysis, 8: 47-63 (1988).
Dalmanoğlu, Ö., Doğru O., “Statistical Approximation Properties of Kantorovich
type q − MKZ operators”, Creat. Math. Inform., 19: 15-24 (2010).
Derriennic, M.M., “Sur l’approximation de Functions Intégrables sur [0,1] par des
Polynomes de Bernstein Modifies”, J. Approx. Theory, 31: 325-343 (1981).
Derriennic, M.M., “Modified Bernstein Polynomials and Jacobi Polynomials in
q − calculus”, Arxiv Math., 0410206 (2): 1-24 (2004).
70
Doğru, O., Duman, O., “Statistical Approximation of Meyer-König and Zeller
operators Based on The q-integers”, Publ. Math. Debrecen, 68: 199-214 (2006).
Doğru, O., Örkcü, M., “King-Type Modification of Meyer-König and Zeller
Operators Based on q − integers”, Math. Comput. Modelling, 50:7-8 1245-1251
(2009).
Doğru, O., Örkcü, M., “Statistical Approximation by a Modification of q − MeyerKönig and Zeller Operators”, Appl. Math. Lett., 23:3 261-266 (2010).
Duman, O., Khan, M.K., Orhan, C., “ A-statistical convergence of approximating
operators”, Math. Ineq. Appl., 6 689-699 (2003).
Duman, O., Orhan C., “Statistical Approximation by Positive Linear Operators”,
Studia Math., 161(2): 187-197 (2004).
Duman, O., Orhan, C., “Rates of A − Statistical Convergence of Positive Linear
Operators”, Appl. Math. Lett., 18: 1339-1344 (2005).
Duman, O., Özarslan M.A., “Szasz-Mirakyan Type Operators Providing a Beter
Error Estimation”, Appl. Math. Lett., 20: 1184-1188 (2007).
Duman, O., Özarslan M.A., Della Vechia B., “Modified Szasz-MirakyanKantorovich Operators Preserving Linear Functios”, Turkish J. Math., 33: 151-158
(2009).
Durrmeyer, J.L., “Une Formule D’inversion de la Transformeé de Laplace:
Applications a la Theorie des Moments”, Thése de 3e cycle, Facultié des Sciences
de l.Université de Paris, (1967).
Erkuş, E., Duman O., A Korovkin Type Approximation Theorem in Statistical Sense,
Studia Sci. Math. Hungar., 43(3): 285-294 (2000).
Fast, H., “Sur la Convergence Statistique”, Collog. Math., 2: 241-244 (1951).
Freud, G., “Investigations on Weighted Approximation by Polynomials”, Studia Sci.
Math. Hungar., 8: 285-305 (1973).
Fridy, J.A., “On Statistical Convergence”, Analysis, 5: 301-313 (1985).
71
Gadjiev, A.D., “The Convergence Problem for A Sequence of Positive Linear
Operators on Unbounded Sets, And Theorems Analogous To That of P.P.
Korovkin”, Soviet Math. Dokl., 15(5): 1433-1436 (1974).
Gadjiev, A.D., “Positive Linear Operators in Weighted Spaces of Functions of
Several Variables”, Izv. Akad. Nauk. SSR Ser. Fiz-Tekhn. Math. Nauk, 4: 32-37
(1980).
Gadjiev, A.D., Orhan, C., “Some Approximation Theorems via Statistical
Convergence”, Rocky Mountain J. Math., 32 (1): 129-138 (2002).
Gasper G. , Rahman M. , “Basic Hypergeometric Series”, Cambridge Univ. Press, 530, (1990).
Gauchman, H., “Integral Inequalities in Calculus”, Comput. Math. Appl., 47: 281300 (2004).
Gupta, V., “Some Approximation Properties of q − Durrmeyer operators”, Appl.
Math. Comput., 172-178 (2007).
Gupta, V., Radu C., “Statistical Approximation Properties of
Kantorovich Operators”, Cent. Eur. J. Math., 7(4): 809-818 (2009).
q − Baskokov-
Hacıyev, A., Hacısalihoğlu, H.H.,. “Lineer Pozitif Operatör Dizlerinin Yakınsaklığı”,
Ankara Üniv. Yayın., Ankara, 17-63, (1995).
İspir N., On Modified Baskakov Operators on Weighted Spaces, Turk J. Math., 25:
355-365 (2001).
Jackson, F.H., “On the q − definite Integrals”, Quart. J. Math., 41: 193-203 (1910).
Kac, V., Cheung, P., “Quantum Calculus”, Universitext. Springer-Verlag, New
York, 1-85, (2002).
Kantorovich, L.V., “Sur Certains Developpements Suivant les Polynomesde la
Forme de S. Bernstein”, I, II, C.R. Acad. USSR, 563-568, 595-600 (1930).
King, J.P., “Positive Linear Operators Which Preserve x 2 , Acta Math. Hungar.”, 99:
203-208 (2003).
72
Korovkin, P.P., “On Convergence of Linear Positive Operators in the Space of
Continuous Functions”, Dokl. Akad. Nauk, 90: 961-964 (1953).
Lopez-Moreno, A.J., “Weighted Simultaneous Approximation with Baskakov Type
Operators”, Acta Math. Hungar, 104 (1-2): 143-151 (2004).
Lupaş, A., “A q − analogue of the Bernstein operator”, University of Cluj-Napoca,
Seminar on Numerical and Statistical Calculus, 9 (1987).
Mahmudov, N.I., “On q-parametric Szász-Mirakjan;Operators”, Mediterr. J. Math.,
7(3): 297-311 (2010).
Marinkovich, S., Rajkovich, P., Stankovich, M.,. The Inequalities for Some Types of
q − integrals, Comput. Math. Appl, 56: 2490-2498 (2008).
Niven, I., Zuckerman, H.S., Montgomery, H., “An Introduction to the Theory of
Numbers”, 5th Ed., Wiley, New York, 10-24, (1980).
Oruç, H., Tuncer N., “On the Convergence and Iterates of q − Bernstein
Polynomials”, J. Approx. Theory, 117: 301-313 (2002).
Ostrovska, S., “ q − Bernstein Polynomials and Their Iterates”, J. Approx. Theory.,
123: 232-255 (2003).
Ostrovska, S., “On the Lupaş q − analogue of the Bernstein Operator”, Rocky
Mountain. J. Math., 36 (5): 1615-1629 (2006).
Örkcü M., Doğru O., “Weighted Statistical Approximation by Kantorovich Type qSzasz-Mirakjan Operators”, Appl. Math. Comput., 217: 7913-7919 (2011).
Örkcü M., Doğru O., “ q − Szasz-Mirakyan-Kantorovich Type Operators Preserving
Some Test Functions”, Appl. Math. Lett.,.24: 1588-1593 (2011). Özarslan, M.A., Duman, O., “MKZ type Operators Providing a Better Estimation on
[1/2,1)”, Canad. Math. Bull., 50: 434-439 (2007).
Phillips, G.M., “On Generalized Bernstein Polynomials”, D.F. Griffits, G.A. Watson
(Eds.), Numerical Analysis World Science, Singapore, 263-269 (1996).
73
Phillips, G.M., “Bernstein Polynomials Based on the q-integers”, Ann. Numer.
Math., 4: 511-518 (1997).
Phillips, G.M., “A Generalization of the Bernstein Polynomials Based on the
q − integers”, Anziam J., 42: 79-86 (2000).
Phillips, G.M., “Interpolation and Approximation by Polynomials”, Springer-Verlag,
247-296, (2003).
Radu, C., “Statistical Approximation Properties of Kantorovich Operator Based on
q − integers”, Creat. Math. Inform., 17(2): 75-84 (2008).
Rajkovich, P.M., Stankovich M.S., Marinkovic, S.D., “Mean Value Theorems in qCalculus”, Math. Vesnic, 54: 171–178 (2002).
Salat, T., “On Statistically Convergent Sequences of Real Numbers”, Math. Slovaca,
30(2): 139-150 (1980).
Stankovic, M.S., Rajkovic, P.M., Marinkovic, S.D., “Inequalities Which Include q–
Integrals”, Bulletin T. CXXXIII de l’Academie serbe des sciences et des arts, Classe
des Sciences mathématiques et naturelles, Sciences Mathématiques, 31: 137–146
(2006).
Szasz, O., “Generalization of S. Bernstein Polynomials to the Infinite Interval” J.
Res. Nat. Bur. Standards, 45: 239-245 (1950).
Trif, T., “Meyer-König and Zeller Operators Based on the q − integers”, Rev. Anal.
Numer. Theor. Approx. 29: 221-229 (2000).
Totik,
V.,. “Approximation by Szasz–Mirakjan–-Kantorovich
L ( p > 1) ”, Analysis Mathematica, 9 (2): 147–167 (1983).
operators
in
p
Volkov, V.I., “On The Convergence Sequences of Linear Positive Operators In The
Space of Continuous Functions of Two Variables”, (Russian) Dok. Akad. Nauk.,
115: 17-19 (1957).
Weierstrass, K., “Über die Aanalytische Darstellbarkeit Sogenannter Willküricher
Funktionen Einer Reellen Veranderlichen”, Sitzungsberichte der Akademiezu
Berlin, 633-639, 789-805 (1885).
74
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: ÖRKCÜ, Mediha
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri
: 25.09.1981 Eskişehir
Medeni hali
: Evli
Telefon
: 0 (312) 202 10 83
e-mail
: [email protected]
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Mezuniyet tarihi
Yüksek lisans
Anadolu Üniversitesi /Matematik ABD
2007
Lisans
Anadolu Üniversitesi/ Matematik B.
2004
Lise
Yunus Emre Lisesi
1999
İş Deneyimi
Yıl
Yer
Görev
2005-
Gazi Üniversitesi
Araştırma Görevlisi
Yabancı Dil
İngilizce
Yayınlar ve Bildiriler
1. Doğru, O., Örkcü, M., "King Type Modification of Meyer-König and Zeller
Operators Based on the q-integers", Mathematical and Computer Modelling, 50:7-8
1245-1251 (2009).
2. Doğru, O., Örkcü, M., "Statistical Approximation by a Modification of q-MeyerKönig and Zeller Operators", Applied Mathematics Letters, 23:3 261-266 (2010).
75
3. Örkcü M., Doğru O., “Weighted Statistical Approximation By Kantorovich Type
q − Szasz-Mirakjan Operators”, Applied Mathematics and Computation, 217:79137919 (2011).
4. Örkcü M., Doğru O., “ q − Szasz-Mirakyan-Kantorovich Type Operators
Preserving Some Test Functions”, Applied Mathematics Letters, 24: 1588-1593
(2011). 5. Doğru, O., Örkcü, M,“Szasz-Mirakjan-Kantorovich Operatör Dizisinin
q − Genelleşmesi”, V. Ankara Matematik Günleri Sempozyumu, TOBB Ekonomi
ve Teknoloji Üniversitesi, Ankara, 3-4 Haziran 2010.
İlgi Alanları
Yaklaşımlar teorisi, İstatistiksel yakınsaklık