Matematik Eğitimi Literatüründe Kavram Yanılgıları

Matematik Eğitimi Literatüründe
Kavram Yanılgıları
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu
İlköğretim Matematik Eğitimi
KAVRAM
(concept)
nedir?
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu
•
•
•
•
•
•
•
•
Üçgen
Doğru
Kesir
Sayı
Karekök
Alan
Hacim
…
Özel Öğretim Yöntemleri
Matematik Eğitimi Literatüründe İki Temel
Araştırma Teması
• Problemi belirleme ve anlamlandırma
▫ Belli bir konudaki öğrenci zorluklarının araştırılması
• Çözüm üretme
▫
▫
▫
▫
▫
Çoklu temsillerin kullanılması
Teknolojinin kullanılması
Etkinlik tasarımı
Öğretmen eğitimi
…
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu
Özel Öğretim Yöntemleri
Literatürde Karşılaşılan Farklı Terimler
• Zorluk (difficulty)
▫ Matematik öğrenme sürecinde karşılaşılan güçlüklerin genel
ifadesi
• Kavram yanılgısı (misconception)
▫ “Bir konuda uzmanların üzerinde hemfikir oldukları görüşten
uzak kalan algı yada kavrayış (conception)” (Zembat, 2008)
▫ Sistematik bir şekilde hata üreten öğrenci kavrayışı
▫ Basit hatadan çok sistemli bir şekilde insanı hataya teşvik eden
algı biçimi
• Hata
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu
Özel Öğretim Yöntemleri
ÖRNEK: Ondalık sayıların büyüklüklerinin karşılaştırılması
(Nesher ve Peled, 1984; Nesher, 1987)
• 6., 7., 8. ve 9. sınıf öğrencileri
• Tarama testi ve mülakat
• Öğrenci cevapları – I:
▫ 0,4 < 0,234
▫ 0,4 < 0,675
 Hata mı? Kavram yanılgısı mı?
 Kavram yanılgısı I: Çok rakam içeren (uzun) sayı daha büyüktür
• Öğrenci cevapları – II:
▫ 0,4 > 0,234
▫ 0,4 > 0,675
 Hata mı? Kavram yanılgısı mı?
 Kavram yanılgısı II: Onda birler binde birlerden daha büyüktür, bu
yüzden sadece onda birlere sahip az basamaklı (kısa) sayı daha
büyüktür
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu
Özel Öğretim Yöntemleri
Örneklerde sıradan
ve basit bir hata
değil, hataya yol açan
kavram yanılgılarının
varlığı söz konusudur
Kavram yanılgıları
her zaman hata değil,
bazen doğru sonuçlar
da üretebilmektedir
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu
Özel Öğretim Yöntemleri
Kavram Yanılgısı
Türleri
Aşırı Genelleme
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu
Aşırı Özelleme
Özel Öğretim Yöntemleri
Kavram Yanılgısı Türleri:Aşırı Genelleme
• Matematiğin sadece bir alanında veya konusunda geçerli olabilecek
bir kuralın diğer alan ve konularda da geçerliliğinin düşünülmesi
▫ ÖRNEK 1: Doğal sayılarda çarpma ve bölme işlemine ait “kavrayış”:
 “Çarpım, çarpan ve çarpılandan daha büyük değerdedir”
 “Bölüm, bölünenden daha küçük değerdedir”
Bu kavrayışlar Z,Q elemanlarına uygulandığında kavram yanılgısına
dönüşür ve hataya yol açar: 1  1  1
2 3
6
▫ ÖRNEK 2: Ondalık kesirlerde sıralama ile ilgili örneklerdeki “uzun
sayılar değerce daha büyüktür” kavram yanılgısı doğal sayılardaki
sıralamanın aşırı genellemesi sonucu oluşmuştur.
 4,25 >4,1 sıralaması doğru iken 4,25 >4,3 sıralaması yanlış sonuç
vermektedir.
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu
Özel Öğretim Yöntemleri
Kavram Yanılgısı Türleri: Aşırı Özelleme
• Bir kuralın, prensibin veya kavramın kısıtlı bir kavrayışa
indirgenerek düşünülmesi ve kullanılmasıdır.
▫ ÖRNEK 1: stereotip şekiller
Farklı pozisyonlarda dik üçgenin tanınamaması ve dik üçgen
olmadığının düşünülmesi aşırı özellemeye örnektir.
Kare şeklinin bir dikdörtgen olmadığı düşünülmektedir.
5
▫ ÖRNEK 2: rasyonel sayılar:
rasyonel sayı iken 5 ve 6 rasyonel sayı
6
değildir.
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu
Özel Öğretim Yöntemleri
Kavram Yanılgılarının
Nedenleri
Epistemolojik
(Epistemological)
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu
Psikolojik
(Psycological)
Pedagojik
(Didactic)
Özel Öğretim Yöntemleri
Epistemolojik Nedenler
• Epistemolojik zorluk/engellerin (Bachelard,1938) iki
temel özelliği:
▫ Epistemolojik engeller kaçınılmazdır ve öğrenilecek bilginin
temel bir parçasını oluşturur.
▫ Bu engellerin en azından bir kısmı ile ilgili kavramın tarihsel
gelişiminde karşılaşılmıştır.
Epistemolojik engeller kavramın doğasında ve tarihsel
gelişiminde bulunmaktadır.
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu
Özel Öğretim Yöntemleri
• ÖRNEK 1: İrrasyonal sayıların sunduğu epistemolojik engeller
(Sertöz, 2002): “Tüm sayılar tam sayıların oranı olarak yazılabilir.
√2 = 1,4142135… sonsuz olan irrasyonellere,
akıldışı, mantığa aykırı denmiştir.
1
1
İrrasyonal sayılar tarihte olduğu gibi öğrencilerin de anlamakta
zorluk çektiği bir konudur. Örneğin
1
 0,333333... algılanabilirken
3
1
algılanması daha zordur.
0,333333... 
3
• ÖRNEK 2: Sonsuz basamağa sahip 0,3333... veya π sayısı sayı
doğrusu üzerinde gösterilebilir mi?
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu
Özel Öğretim Yöntemleri
Psikolojik Nedenler
• Biyolojik, bilişsel ve duyuşsal boyutları içeren kişisel gelişimle
alakalıdır.
• Etki eden faktörler:
▫
▫
▫
▫
Öğrencinin kavrama yeteneği
Öğrencinin becerisi
Öğrencinin gelişim aşaması
Hazır bulunuşluk düzeyi
• “Öğrenmeyi etkileyen en önemli faktör öğrencinin o zamana kadar
ne bildiğidir”(Ausubel, 1968)
• Okul yaşantıları dışında ve boyunca elde edilen kavrayışlar
öğrencilerin kavram yanılgılarına düşmelerine neden
olabilmektedir.
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu
Özel Öğretim Yöntemleri
Okul yaşantıları dışında edinilen bilgilerin etkisi
• ÖRNEK: Singer ve Voica (2003), 10-14 yaş öğrencilerine sonsuzluk
kavramını ifade etmelerini istemiş ve sezgisel kavramları ortaya
çıkarmışlardır.
▫ Sürekli artan, çok büyük, sınırsız, sayılabilen ve zamana bağlı olarak
değişen bir kavramdır.
▫ Kavram yanılgıları:
 KY 1: sürekli azalan her şey sonsuz değildir.
 KY 2: küçük sayılar sonsuz değildir.
 KY 3: sınırlı bir aralıkta verilen her şey sonsuzdur.
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu
Özel Öğretim Yöntemleri
Okul yaşamı boyunca edinilen bilgilerin etkisi
• ÖRNEK: (Van Lehn, 1982) çıkarma işlemi
263 – 128 = 145
546 – 375 =231
▫ KY: (3-8 , 8-3 sonucu aynıdır). Büyük sayıdan küçük sayı çıkartılır.
Kaynağı nedir?
 Çıkarma işleminde değişme öz. olduğu düşünülmez (Davis, 1984).
 Oliver (1938): öğrencilerin ilk önce doğal sayılar kümesi içersinde
büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarma şeklinde yapmaları, aşırı
genellemeye gitmeleri.
 Bazen öğrencinin kullandığı örnekler: “ Ahmet ile Ayşe’nin yaşları
farkı 2’dir.” hangisinden hangisini çıkarırsak fark 2’dir yanılgısına
götürebilir.
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu
Özel Öğretim Yöntemleri
Pedagojik Nedenler
• Öğretim modelleri
• Öğretmenin kullandığı metafor ve analojiler
• Ders kitaplarında konu/kavramların ele alınış sıraları ve biçimleri
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu
Özel Öğretim Yöntemleri
• ÖRNEK 1: 10 sayısı ile çarpma
▫ “10 ile çarpmak, çarpılanın soluna bir sıfır ilave etmek demektir” Doğal
sayılarda geçerli olan bu kural, ondalıklı sayılarda aşırı genelleme
oluşturur (Tanner, 2000).
 2,3 x 10 =2,30
▫ Daha çok şu ifadeler kullanılmalıdır: “10 sayısı,çarpılan pozitif sayıyı 10
kat büyütür”
• ÖRNEK 2: 3a+5b (öğretmenlerin meyve-salata cebiri yaklaşımı; 3
armut 5 elma)
▫ Böylece a’nın armut mu yoksa armutların sayısı mı ; b’nın elma mı yoksa
elmaların sayısı mı olacağı konusunda bir karışıklığa sebep
olabilmektedir.
▫ “a bir değişkendir, sayıyı ifade eder.”
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu
Özel Öğretim Yöntemleri
Kavram Yanılgıları Nasıl Aşılır?
• Ders İşlenişi Aşaması
• Ders Planlanması Aşaması
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu
Özel Öğretim Yöntemleri
Senaryo 1 : Ders İşlenişi Aşaması (Swan, 2001)
• Öğretmen için iki farklı yaklaşım:
▫ Didaktik yaklaşım:
Öğrenciye doğrudan hatanın söylenmesi ve düzeltilmesi
▫ Bilişsel çatışma yöntemi:
▫ Problem: Bir alışveriş merkezinde tanesi 50 TL olan gömlekler %20
indirim ile satılmaktadır. İki gömlek alan bir müşterinin sizce toplamda
kaç TL ödemesi gerekmektedir?
 Öğrenci cevabı: 60 TL.
▫ Sorular sorularak kendisinin hatayı fark etmesi sağlanır:
“Peki eğer müşteri 2 yerine 5 gömlek alsaydı; kaç lira öderdi?”
[5 x %20 = %100 ucuz, bedava anlamına gelirdi]
▫ Bir çelişkiye düşülmemesi durumunda başka sorularla öğrencinin
dikkati çekilebilir.
▫ Öğrencinin yaptığı hata “bir avantaja” dönüştürülmeli ve sınıfta
tartışılmalıdır (Zembat, 2008; Wood, 1988)
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu
Özel Öğretim Yöntemleri
Senaryo 2 : Ders Planlanması Aşaması
• Ders planı öğrencilerin sahip olabileceği kavram yanılgıları veya
hata ile karşılaşıldığında sınıfta bu zorlukların nasıl ele alınabileceği
ile ilgili bilgiler içerir.
• Ders planı 3 aşamadan oluşur:
▫ Ι) Öğrenci kavrayışlarının açığa çıkartılması
▫ Ц) Metodların paylaşılması ve “çatışma tartışmasının”
oluşturulması
▫ Ш) Çatışmaların ya da uzlaşmazlıkların tartışma aracılığıyla
çözülmesi
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu
Özel Öğretim Yöntemleri
ÖRNEK: Ondalık sayıların kesirli sayılarla karşılaştırılması
• I) Öğrenci kavrayışlarının açığa çıkartılması
1) Aşağıdaki ondalık sayıları küçükten büyüğe sıralayınız ve nedenini açıklayınız
0,25
0,4
0,375
0,25
0,125
0,04
0,8
2) Aşağıdaki kesirleri küçükten büyüğe sıralayınız ve nedenini açıklayınız.
¾
3/8
2/5
8/10
¼
1/25
1/8
Öğrencilere bireysel çözmeleri için yeterince zaman verilmeli fakat herhangi
bir dönüt verilmemelidir.
• Ц) Metodların paylaşılması ve “çatışma tartışmasının”
oluşturulması
 Öğrenciler grup halinde çalıştırılır. 1. ve 2. sorulara farklı cevaplar verenler
aynı gruba alınır.
 Sayıların farklı temsillerinden oluşturulan kart kümeleri (Şekil 1.5) öğrencilere
dağıtılır ve aynı sayıyı temsil eden kartların gruplandırılması istenir.
 Öğrenciler genelde A-C, B-D kart kümelerindeki sayıları rahatlıkla
karşılaştırabilirler. Fakat hepsi için pek kolay olmayabilir.
 Eğer zorluk yaşandığı görülürse E kümesi devreye sokulur.
Yrd. Doç. Dr. Nuray Çalışkan Dedeoğlu
Özel Öğretim Yöntemleri