∑ ∑ ∫∫

Bölüm 4
øNL .DWOÕøQWHJUDOOHU
%X E|OPQ DPDFÕ
iki NDWOÕ LQWHJUDOOHUL WDQÕPODPDN YH oHúLWOL IRQNVL\RQODUÕQ IDUNOÕ E|OJHOHU
]HULQGHNLLNLNDWOÕLQWHJUDOOHULQLKHVDSODPDNWÕU
øNL.DWOÕøQWHJUDOOHU
). z = f ( x, y ) VÕQÕUOÕ D ⊂ R 2 bölgesiQGH WDQÕPOÕ ROVXQ D
bölJHVLQL ùHNLO ¶GH J|VWHULOGL÷L JLEL x- ve y-HNVHQOHULQH SDUDOHO GR÷UXODUOD DOW E|OJHOHUH
D\ÕUDOÕP D¶QLQ GLNG|UWJHQVHO SDUoDODQÕúÕ YH elde edilen alt bölgeleri, 1’den n’ye kadar
QXPDUDODQGÕUDOÕP D E|OJHVLQLQDODQÕ A olmak üzere, D¶QLQ SDUoDODQÕúÕQGDNi i-ci alt bölgenin
*
*
DODQÕQÕ ∆A ile gösterelim. ùLPGL ( x , y ) ile i-ci alt bölge içerisindeki her hangi bir nokta\Õ
i
i
i
göstererek
7DQÕP øNL .DWOÕ øQWHJUDO
n
∑ f ( x , y )∆A
*
i
*
i
(1)
i
i =1
D’nin soQVX]SDUoDODQÕúÕLoLQ n → ∞ WRSODPÕWHN ELUVRQOX
VOLPLWLQH\DNÕQVDUVDEXOLPLWH z = f ( x, y ) fonksiyonunun, DE|OJHVLQGHNLLNLNDWOÕLQWHJUDOL
denir ve
WRSODPÕQÕROXúWXUDOÕP(÷HU
ùHNLO
∫∫
D
4.1
n
f ( x, y )dxdy = lim ∑ f ( xi* , yi* )∆Ai
n →∞
(2)
i =1
ile gösterilir.
159
Not. D E|OJHVLQLQ SDUoDODQÕúÕQGD NXOODQGÕ÷ÕPÕ] GR÷UXODU EXUDGDNL JLEL x- ve y-eksenlerine
paralel ROPDN ]RUXQGD GH÷LOGLU hVWHOLN SDUoDODQPD G|UWJHQVHO ROPDN ]RUXQGD GD GH÷LOGLU
Ancak, H÷HU, dörtgensel parçalanma uygulanacaksa, matemaWLN DoÕGDQ E\N NROD\OÕN
VD÷OD\DFD÷ÕQGDQ x- ve y-HNVHQOHULQH SDUDOHO GR÷UXODUÕQ NXOODQÕOPDVÕ WHUFLK HGLOLU gUQH÷LQ
uoODNNRRUGLQDWODUNXOODQÕOGÕ÷ÕQGDLVHparçalama için, sabit r ve sabit θH÷UileriNXOODQÕOÕU
4.2øNL.DWOÕøQWHJUDOin Geometrik AQODPÕ
z = f ( x, y ) sürekli fonksiyonunun, i-FL DOW E|OJH LoHULVLQGHNL HQ NoN GH÷HUL mi , en büyük
GH÷HULGH M olsun. Bu durumda,
i
mi ∆Ai ≤ f ( xi* , yi* ) ∆Ai ≤ M i ∆Ai
(1)
,
HúLWVL]OL÷LQL \D]DELOLUL] (úLWVL]OL÷LQ VRO YH VD÷ WDUDIODUÕ WDEDQ DODQODUÕ
∆Ai ve yükseklikleri,
mi ve M i RODQ GLN SUL]PDODUÕQ KDFLPOHULQH HúLWWLU (1 HúLWVL]OL÷L GLNNDWH DOÕQÕUVD
önceki kesimdeki WRSODPÕQÕ
VÕUDVÕ\OD
n
n
n
i =1
i =1
i =1
∑ mi ∆Ai ≤ ∑ f ( xi* , yi* )∆Ai ≤ ∑ M i ∆Ai
(2)
. D E|OJHVLQLQ VRQVX] SDUoDODQÕúÕ
durumunda, ∆Ai DODQODUÕ VÕIÕUD \DNODúÕUNHQ z = f ( x, y ) fonksiyonunun, her bir alt bölgedeki
úHNOLQGH DOWWDQ YH VWWHQ VÕQÕUOD\DELOLUL] EN] ùHNLO HQ NoN YH HQ E\N GH÷HUOHUL GH GR÷DO RODUDN ELUELUOHULQH \DNODúDFDNWÕU 'ROD\ÕVÕ\OH
n
n
∑ m ∆A
i
ve
i
i =1
∑ M ∆A
i
i WRSODPODUÕD\QÕELUOLPLWH\DNÕQVD\DFDNYHEXOLPLW
inGH÷HUL de, WDEDQÕ
i =1
D bölgesi olan dik silindirin, z = f ( x, y ) \]H\L LOH VWWHQVÕQÕUODQPDVÕ\OD HOGHHGLOHQ FLVPLQ
KDFPL RODFDNWÕU(÷HU, bu hacmi V ile gösterirsek, (2HúLWVL]OL÷LQGHQ n → ∞ için limite geçer
YHVDQGYLoNXUDOÕQÕdikkate alÕUVDN
n
∑ f ( x , y )∆A = ∫∫ f ( x, y )dxdy = lim = V
*
i
i =1
*
i
i
D
(3)
n →∞
yazabiliriz. Buna göre, z = f ( x, y ) fonksiyonunun, bir D E|OJHVL ]HULQGHQ DOÕQDQ LNL NDWOÕ
integraliWDEDQÕ bu D bölgesi olan YHWDYDQÕda z = f ( x, y ) yüzeyi ile belirlenen dik silindirin
hacPLQHHúLWWLU
7DQÕP .
∫∫ f ( x, y)dxdy
úHNOLQGH YHULOHQ LNL NDWOÕ LQWHJUDOGH
x ve y’ye “integrasyon
D
GH÷LúNHQOHUL”, f ( x, y ) ’ye “integrand” ve D bölgesine de “integrasyon bölgesi” denir.
160
Teorem 2. (Birinci Fubini Teoremi). z = f ( x, y ) fonksiyonu,
D = {( x, y ) a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } ⊂ R 2
E|OJHVLQGHWDQÕPOÕYHVUHNOLROVXQ%XGXUXPGD
∫∫ f ( x, y )dxdy
LNLNDWOÕLQWHJUDOL
D
∫∫
D
d b
b d




f ( x, y )dxdy = ∫  ∫ f ( x, y )dx dy = ∫  ∫ f ( x, y )dy dx
c a
a c


(4)
,
úHNOLQGHWHNNDWOÕ DUGÕúÕNLQWHJUDOOHUELoLPLQGHKHVDSODQDELOLU
øVSDW
.
∫∫ f ( x, y )dxdy
LQWHJUDOL WDEDQÕ
x=a, x=b, y=c ve y=d
GR÷UXODUÕ LOH EHOLUOHQHQ
D
GLNG|UWJHQ YH WDYDQÕ GD
z = f ( x, y ) yüzeyi ile belirlenen cismin
KDFPL RODFDNWÕU %X KDF
mi,
ekil 2’deki JLEL WDEDQÕQÕQ VRQVX] SDUoDODQPDVÕ\OD HOGH HGLOHQ GLN SUL]PD úHNOLQGHNL KDFLP
elemanODUÕQÕQWRSODPÕRODUDNGúQbiliriz.
ù
ùHNLOGHNL
KLMNE|OJHVLQLQDODQÕ
d
A( KLMN ) = ∫ f ( x, y )dy
(5)
c
ve KLMNPQRS cisminin hacmi de
b d


V = H ( KLMNPQRS ) = ∫  ∫ f ( x, y )dy dx
a c

olur. Bu sefer KPQLE|OJHVLQLGLNNDWHDOÕUVDN
161
(6)
b
A( KPQL) = ∫ f ( x, y )dx
(7)
a
ve KLMNPQRS cisminin hacmi de
d b


V = H ( KLMNPQRS ) = ∫  ∫ f ( x, y )dx dy
c a

(8)
ROXU6RQXoRODUDNLNLNDWOÕLQWHJUDOLQKHVDSODQPDVÕLoLQ
d b
b d




V = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫  ∫ f ( x, y )dx dy = ∫  ∫ f ( x, y )dy dx
D
c a
a c


(9)
úHNOLQGHDUGÕúÕNLQWHJUDOIRUPOOHULQLHOGHHGHUL]
Not øNL NDWOÕ LQWHJUDOLQ DUGÕúÕN LQWHJUDOOHU LOH KHVDSODQPDVÕ LoLQ WDQÕP NPHVLQLQ PXWODND
GLNG|UWJHQE|OJHROPDVÕ]RUXQOXGH÷LOGLUùLPGLEXQXQODLOJLOi teoremi verelim.
Teorem 3 øNLQFL )XELQL 7HRUHPL u ( x) ve v( x) , [a, b ] NDSDOÕ DUDOÕ÷ÕQGD WDQÕPOÕ YH VUHNOL
fonksiyonlar ve z = f ( x, y ) de,
D = {( x, y ) a ≤ x ≤ b, u ( x ) ≤ y ≤ v ( x)} ⊂ R 2
basit
GúH\ E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ YH VUHNOL IRQNVL\RQ ROVXQ %X GXUXPGD
∫∫ f ( x, y )dxdy
iki
D
NDWOÕLQWHJUDOL
∫∫
D
b v(x)

f ( x, y )dxdy = ∫  ∫ f ( x, y )dy dx

a 
u ( x )
(10)
úHNOLQGHWHNNDWOÕDUGÕúÕNLQWHJUDOELoLPLQGHKHVDSODQDELOLU
. Burada, D basit bölgesi ile z = f ( x, y )
\]H\LQLQ
WDQÕPODGÕ÷Õ
FLVPLQ
xy-düzlemindeki
WDEDQÕQÕQ ùHNLO 4¶GH J|UOG÷ JLEL DOW YH VW
NHQDUODUÕ VÕUDVÕ\OD u ( x ) ve v ( x ) IRQNVL\RQODUÕ LOH
belirlenen ve y-HNVHQLQH SDUDOHO RODQ úHULWOHUH
E|OQG÷ YDUVD\ÕOÕU %X úHULWOHU ile
z = f ( x, y )
øVSDW
\]H\LQLQ EHOLUOHGL÷L KDFLP HOHPDQODUÕQÕQ WRSODPÕ
aranan hacmi verecektir.
z = f ( x, y ) fonksiyonu,
%HQ]HU
RODUDN
162
H÷HU
D = {( x, y ) u ( y ) ≤ x ≤ v ( y ), c ≤ y ≤ d } ⊂ R 2
EDVLW\DWD\E|OJHVLQGHWDQÕPODQPÕúVDLNLNDWOÕ
∫∫
D
integral
v( y)

f ( x, y )dxdy = ∫  ∫ f ( x, y )dx dy
u ( y )
c 

d
úHNOLQGH KHVDSODQDELOLU %XUDGD GD
D
KDFPLQ EX úHULWOHU LOH
hacim elemDQODUÕQÕQ
(12)
, x4.4) ve toplam
WDQÕP NPHVL
HNVHQLQH SDUDOHO úHULWOHUH E|OQPú ùHNLO
z = f ( x, y ) \]H\LQLQ EHOLUOHGL÷L
WRSODPÕQD HúLW ROGX÷X dikkate
DOÕQPÕúWÕU
Örnek 1. z = xy fonksiyonunun,
x


D = ( x, y ) 1 ≤ x ≤ 3, ≤ y ≤ 2 x  ⊂ R 2
2


EDVLWGúH\E|OJHVLQGHNLLNLNDWOÕLQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. D E|OJHVL ùHNLO .5¶GH J|VWHULOGL÷L JLEL ELU
GúH\ EDVLW E|OJH olup, y-HNVHQLQH SDUDOHO úHULWOHUGHQ
ROXúWX÷XGúQOUVH
∫∫
D
(11)
3 2x


f ( x, y )dxdy = ∫  ∫ xydy dx
1 x/2

\D]DELOLUL]gQFHLoWHNLLQWHJUDOLDOÕUVDN
3 2x
3


1
2
=
=
xydxdy
xydy
dx
∫∫D
∫1  x∫/ 2  2 ∫1 xy
3
=
dx
x/2
2
1
x
x (4 x 2 − )dx
∫
21
4
3
=
2x
1 15 x3
2
∫
1
)
4
dx =
15
8
3
∫ x dx
3
1
elde ederiz. Buradan da
163
∫∫ xydxdy =
D
=
3
15 3
15 4 3
x dx =
x
∫
8 1
32 1
15 4 4 15
75
(3 − 1 ) = × 80 =
32
32
2
sonucunu elde ederiz.
Örnek 2. z = e x + y fonksiyonunun,
D = {( x, y ) y ≤ x ≤ 2 y , 0 ≤ y ≤ 2} ⊂ R 2
EDVLW\DWD\E|OJHVLQGHNLLNLNDWOÕLQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. DE|OJHVLEDVLW\DWD\E|OJHRODUDNWDQÕPODQGÕ÷ÕQGDQ
2 2 y

x+ y
x+ y
e
dxdy
=
∫∫D
∫0  ∫y e dx dy


yazabiliriz. Buna göre
∫∫ e
2
2 y x+ y 
dxdy = ∫  ∫ e dx dy = ∫ e x + y
y
0 
0

2
x+ y
D
2y
y
dy
2
2
1
1
= ∫ (e3 y − e 2 y )dy = ( e3 y − e2 y )
3
2
0
0
1
1
1 1
= ( e6 − e 4 ) − ( − )
3
2
3 2
1
1
1
= e6 − e 4 +
3
2
6
sonucunu elde ederiz.
Örnek 3. D bölgesi, y = x 2 parabolü ile y = 2 x GR÷UXVXDUDVÕQGDNDODQE|OJHROGX÷XQDJ|UH,
z = 2 x + y − 1 fonksiyonunun D bölgesindeki LNLNDWOÕLQWHJUDOLQL basit yatay bölge formülü ile
KHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. y = x 2 parabolü ile y = 2 x GR÷UXVXQXQ NHVLP QRNWDODUÕ (0,0) ve (2,4)’tür. D
E|OJHVLQLùHNLO4¶GDJ|UOG÷JLELELUEDVLW\DWD\E|OJHRODUDNGLNNDWHDOÕUVDN
164
4  y

x
y
dxdy
x
y
dx
dy
(2
1)
(2
1)
+
−
=
+
−


∫∫D
∫0  y∫/ 2



yazabiliriz. Buna göre
4
2
∫∫ (2 x + y − 1)dxdy = ∫ ( x + xy − x)
D
0
y
y/2
dy
4

y2 y2 y 
= ∫  ( y + y 3/ 2 − y1/ 2 ) − ( +
− ) dy
4
2 2 
0 
4
 3y2 3y

= ∫−
+
+ y 3/ 2 − y1/ 2 dy
4
2

0
4
y 3 3 y 2 2 y 5/ 2 2 y 3/ 2
)
= (− +
+
−
4
4
5
3 0
43 3 × 4 2 2 × 45 / 2 2 × 43/ 2
+
+
−
4
4
5
3
64 16
= −16 + 12 + −
5 3
52
=
15
=−
VRQXFXQD XODúÕUÕ] (÷HU
, D bölgesi,
ùHNLO
4.7’deki gibi bLU EDVLW GúH\ E|OJH RODUDN VHoLOirse,
bu durumda da
2 2x


x
y
dxdy
(2
+
−
1)
=
∫∫D
∫0  ∫2 (2 x + y − 1)dy dx
x

2
2x
y2
= ∫ (2 xy +
− y ) dx
2
0
x2
2


x4
= ∫  (4 x 2 + 2 x 2 − 2 x) − (2 x3 + − x 2 ) dx
2

0 
2
= ∫ (−
0
x4
− 2 x 3 + 7 x 2 − 2 x)dx
2
2
x5 x 4 7 x3
=− − +
− x2
10 2
3
0
25 24 7 × 23
− +
− 22
10 2
3
16 56
= − + − 12
5 3
52
=
15
=−
165
elde edilirdi. Bu örnekten GH J|UOG÷ JLEL øNL NDWOÕ ELU LQWHJUDOLQ KHVDSODQPDVÕ
D WDQÕP NPHVLni, integral hesaEÕ daha kolay yapPDN DPDFÕ\ODGúH\
ya da yatay basit bölge olarak alabiliriz.
D\QÕ VRQXo
VÕUDVÕQGD LQWHJUDQGÕQ
Teorem 4. Di (i = 1, 2,..., n) ’ler,
küme olan bölgeler ve
VÕQÕU oL]JLOHUL KDULo ROPDN ]HUH LNLúHU LNLúHU DUDNHVLWOHUL ERú
n
D = *Di
(13)
i =1
olmak ]HUHH÷HU z = f ( x, y ) fonksiyonu, Di (i = 1, 2,..., n) alt bölgelerinin her birindHWDQÕPOÕ
ve sürekli ise
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x, y )dxdy + ∫∫ f ( x, y )dxdy + ... + ∫∫ f ( x, y )dxdy
D
D1
D2
(14)
Dn
olur.
øVSDW
.
∫∫ f ( x, y)dxdy
D
integralinin, D bölgesi ile f ( x, y ) \]H\LDUDVÕQGDNDODQFLVPLQKDFPLROGX÷XGúQOUVHEX
hacmin, (14) deki gibi, arakesitlerL ERú NPH RODQ n WDQH FLVPLQ KDFLPOHUL WRSODPÕ úHNOLQGH
\D]ÕODELOHFH÷LNROD\FDDQODúÕOÕU
7HRUHP JHUH÷LQFH ELU LNL NDWOÕ LQWHJUDO KHVDSODQÕUNHQ LQWHJUDQG E|OJHVL DUDNHVLWOHUL ERú
NPH RODQ VRQOX VD\ÕGD EDVLW E|OJHQLQ ELUOHúLPL RODUDN GúQOHELOLU ùLPGL EXQD ELU |UQHN
verelim.
Örnek 4. DWDQÕP E|OJHVL y = 2 x y = − x + 6 GR÷UXODUÕLOH x
olmak üzere
∫∫ xydxdy
D
LQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. ùHNLO4.8’de göUOG÷]HUH
D = D1 ∪ D2 ve D1 ∩ D2 = ∅ ROGX÷XQGDQ
166
GR÷UXVXQXQ EHOLUOHGL÷LE|OJH
∫∫ xydxdy = ∫∫ xydxdy + ∫∫ xydxdy
D
D1
D2
olur. Her iki bölge de,úHNLOGHJ|VWHULOGL÷LJLEL,EDVLWGúH\E|OJHOHURODUDNGLNNDWHDOÕQÕUVD
2 2x
6 − x +6




xydxdy
xydy
dx
xydy
=
+



dx
∫∫D
∫0  ∫0
∫
∫
2  0


2x
2
− x +6
6
xy 2
xy 2
= ∫(
) dx + ∫ (
)
2 0
2 0
0
2
2
6
0
2
= 2 ∫ x3 dx + ∫
x(− x + 6)2
dx
2
4 2
x
=
2
dx
6
1 x4
+ ( − 4 x3 + 3 x 2 )
2 4
0
2

1  64
24
= 8 +  ( − 4 × 63 + 3 × 6 2 ) − ( − 4 × 2 3 + 3 × 2 2 ) 
2 4
4

1
= 8 + (−432 − 16) = −216
2
sonucunu elde ederiz.
øNL.DWOÕøQWHJUDOOHULQ'L÷HUg]HOOLNOHUL
i) f ( x, y ) ve g ( x, y ) ’ler, D E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ YH VUHNOL LNL IRQNVL\RQ YH h ile k keyfi iki
sabit olmak üzere
∫∫ [hf ( x, y) + kg ( x, y)] dxdy = h∫∫ f ( x, y)dxdy + k ∫∫ g ( x, y)dxdy
D
D
(1)
D
olur.
ii)(÷HU'E|OJHVLQLQKHU\HULQGH f ( x, y ) ≤ g ( x, y ) ise
∫∫ f ( x, y )dxdy ≤ ∫∫ g ( x, y )dxdy
D
(2)
D
HúLWVL]OL÷LVD÷ODQÕU
iii) (øNL .DWOÕ øQWHJUDO KHVDEÕQ RUWDODPD GH÷HU WHRUHPL). f ( x, y ) fonksiyonunun, D
bölgesindeki en NoNYHHQE\NGH÷HUOHULVÕUDVÕ\ODm ve M ve DE|OJHVLQLQDODQÕA olmak
üzere,
mA < ∫∫ f ( x, y )dxdy < MA
(3)
D
167
ve f ( x, y ) VUHNOL
( x0 , y0 ) ∈ D QRNWDVÕEXOXQDELOLUNL, bu nokta için
HúLWVL]OLNOHUL \D]ÕODELOHFH÷LQGHQ
ELU IRQNVL\RQ ROGX÷XQGDQ |÷OH ELU
∫∫ f ( x, y )dxdy = f ( x , y ) A
(4)
1
f ( x, y )dxdy
A ∫∫
D
(5)
0
0
D
ya da
f ( x0 , y0 ) =
, f ( x0 , y0 ) ’nin
\D]ÕODELOLU%XUDGD
m < f ( x0 , y0 ) < M
(6)
HúLWVL]OL÷LQL VD÷OD\DQ ELU VD\Õ ROGX÷XQD GL
kkat edilmelidir. (5) ile verilen f ( x0 , y0 ) GH÷HULQH
f ( x, y ) fonksiyonunun, DE|OJHVLQGHNLRUWDODPDGH÷HULGHQLU
iv) f ( x, y ) , DE|OJHVLQGHWDQÕPOÕYHVUHNOLELr fonksiyon olmak üzere
∫∫ f ( x, y )dxdy ≤ ∫∫
D
f ( x, y ) dxdy
(7)
D
.
HúLWVL]OL÷LYDUGÕU
v) DE|OJHVLQLQDODQÕA ise, f ( x, y ) = 1 DOÕQarak,
A = ∫∫ dxdy
(8)
D
elde edilir.
Örnek 1. f ( x, y ) = x 2 + y 2 fonksiyonunun, x = 0, x = 2, y = 0, y = 1 belirlenen DE|OJHVL]HULQGHQRUWDODPDVÕQÕEXOXQX]
GR÷UXODUÕ
ile
Çözüm. ( x0 , y0 ) ∈ D olmak üzere, f ( x, y ) = x 2 + y 2 fonksiyonunun, söz konusu bölgedeki
RUWDOD GH÷HUL f ( x , y ) olsun. Bu durumda, LNL NDWOÕ LQWHJUDO KHVDEÕQ RUWDODma GH÷HU WHRUHPL
0
0
JHUH÷LQFH
f ( x0 , y0 ) =
1
f ( x, y )dxdy
A ∫∫
D
yazabiliriz. DE|OJHVLQLQDODQÕ
168
A = 2 br 2
ROGX÷XQDJ|UH
1 2

1
1 
f ( x0 , y0 ) = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫  ∫ ( x 2 + y 2 )dx dy
AD
2 0 0

2
1
=
1
1 x3
1 8
( + xy 2 ) dy = ∫ ( + 2 y 2 )dy
∫
20 3
20 3
0
1
1 8 y 2 y3
1 8 2 5
f ( x0 , y0 ) = ( +
) = ( + )=
2 3
3 0 6 3 3 9
elde edilir. O halde, D bölgesinde
f ( x0 , y0 ) = x0 2 + y0 2 =
5
9
r = 5 / 3 olan çemberin, D
f ( x, y ) = x 2 + y 2 fonksiyonu
E|OJHVL LoHULVLQGH NDODQ \D\Õ ]HULQGHNL QRNWDODUÕQ KHSVLQGH,
GHQNOHPLQL VD÷OD\DQ QRNWDODU
da yani, merkezi (0,0)
YH \DUÕoDSÕ
RUWDODPDGH÷HULQHVDKLSWLUYHEXGH÷HU¶GXU
Not: Bir fonksiyon, belli bir D
E|OJHVLQGHNL RUWDODPD GH÷HULQL E|OJHQLQ \DOQÕ]FD ELU
QRNWDVÕQGD DODELOHFH÷L JLEL \XNDUÕGDNL |UQHNWH ROGX÷X JLEL E|OJHQLQ ELUGHQ
çok noktaVÕQGD
da alabilir.
Örnek 2.
ùHNLO
4.9’da verilen D
E|OJHVLQLQ DODQÕQÕ
KHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. Önce GR÷UXQXQGHQNOHPLQLEXODOÕP
x y
+ =1⇒ y = x + 2 .
−2 2
ùLPGLGHSDUDEROLOHGR÷UXQXQNHVLPQRNWDODUÕQÕEXODOÕP
3DUDEROYHGR÷UXIRQNVL\RQODUÕQÕHúLWOHUVHN
x 2 = x + 2 ⇒ x 2 − x − 2 = 0 ⇒ ( x + 1)( x − 2) = 0
⇒ x1 = −1, x2 = 2
elde ederiz. O halde,
NHVLP QRNWDODUÕ VÕUDVÕ\OD
E|OJHRODUDNGLNNDWHDOÕUVDN
A(-1, 1) ve (2,4)’dU %XQD J|UH EDVLW GúH\
DE|OJHVLQLQDODQÕ
169
2
2
 x+2 
x+2
A = ∫∫ dxdy = ∫  ∫ dy  dx = ∫ y x 2 dx = ∫ ( x + 2 − x 2 )dx
D
−1 
−1
−1
 x2 
2
x2
x3
= + 2x −
2
3
2
=(
−1
22
23
(−1) 2
(−1)3
7
)=
+ 2× 2 − ) − (
+ 2 × (−1) −
2
3
2
3
2
olur.
4.4øNL.DWOÕøQWHJUDOOHUGH'H÷LúNHQ'H÷LúWLULOPHVL%|OJH'|QúPOHUL
uv-düzleminde bir B bölgesinin ùHNLO 4.10D¶GD J|VWHULOGL÷L JLEL koordinat eksenlerine
SDUDOHOGR÷UXODUODVRQVX]SDUoDODQÕúÕ ile bu SDUoDODQÕúÕQELU K ′L′M ′N ′ DODQHOHPDQÕQÕ GLNNDWH
DODOÕPuv-düzleminden, xy-dü]OHPLQHELUE|OJHG|QúP
 x = x(u , v )
T ≡
 y = y (u , v)
(1)
uv-düzlemindeki bir B bölgesi, T G|QúP LOH xy′
düzlemindeki bir D bölgesine ve K L′M ′N ′ alan elemDQÕGDKLMNDODQHOHPDQÕQDG|QúVQ
ùHNLO 4.10(b)’de, K QRNWDVÕQÕQ NRRUGLQDWODUÕ K ( x, y ) = K ( x (u , v ), y (u , v )) olsun. Bu durumda,
G|QúP IRUPOOHUL LOH YHULOVLQ
SDUoDODQÕúÕQ VRQVX] ROPDVÕ QHGHQL\OH LNLQFL PHUWHEHGHQ WUHYOHUL LoHUHQ WHULPOHUL LKPDO
edersek, L, ve N
QRNWDODUÕQÕQ
NRRUGLQDWODUÕQÕ
VÕUDVÕ\OD
,
L( x +
∂x
∂y
dv, y + dv )
∂v
∂v
ve
∂x
∂y
du , y + du ) úHNOLQGH \D]DELOLUL] KLMN DODQ HOHPDQÕQÕQ DODQÕ dA , KLN üçgen
∂u
∂u
DODQÕQÕQ LNL NDWÕGÕU KLN oJHQLQLQ DODQÕ N|úHOHULQLQ \XNDUÕGD YHUGL÷LPL] NRRUGLQDWODUÕ
cinsinden
N (x +
170
x
∂x
dA = x + dv
∂v
∂x
x + du
∂u
y
1
∂y
y + dv 1
∂v
∂y
y + du 1
∂u
(2)
úHNOLQGHLIDGHHGLOHELOLU'HWHUPLQDQWDoÕOÕUYHG]HQOHQLUVH
dA =
∂x ∂y ∂x ∂y
dudv = J dudv
−
∂u ∂v ∂v ∂u
(3)
elde edilir. Burada J, TG|QúPQQ-DFRELGHWHUPLQDQWÕ olup
∂x
∂ ( x, y ) ∂u
=
J=
∂ (u , v ) ∂x
∂v
∂y
∂u
∂x
∂v
(4)
DE|OJHVLQGHWDQÕPOÕYHVUHNOLELU z = f ( x, y ) fonksiyonunun
LNL NDWOÕ LQWHJUDOLQL VRQVX] SDUoDODQÕúÕQ x- ve y-HNVHQOHULQH SDUDOHO GR÷UXODUOD \DSÕOGÕ÷Õ
ED÷ÕQWÕVÕ\ODWDQÕPODQÕUùLPGL
GXUXPGLNNDWHDODOÕPYHEXLQWHJUDOL
I = ∫∫ f ( x, y )dxdy
(5)
D
LOHJ|VWHUHOLP+DOEXNLùHNLO
4.10E¶GHNLSDUoDODQÕúÕGLNNDWHDOGÕ÷ÕPÕ]GDI integralini
I = ∫∫ f ( x(u , v), y (u , v))dA
(6)
B
dA ùHNLO 4.10E¶GH J|VWHULOHQ VRQVX] SDUoDODQÕúÕQ DODQ
elHPDQÕQÕQDODQÕROXSIRUPOLOHEHOOLGLU2KDOGHLIDGHVLQL6)’da yerine yazar ve (5)
úHNOLQGH \D]PDPÕ] JHUHNLU %XUDGD
LOHHúLWOL÷LQLGLNNDWHDOÕUVDNLNLNDWOÕLQWHJUDOLoLQGH÷LúNHQGH÷LúWLUPHIRUPOGHGL÷LPL]
I = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(u , v), y (u , v )) J dudv
D
(7)
B
,
( x, y ) → (u , v) úHNOLQGH ELU GH÷LúNHQ GH÷LúLPL \DSÕODFDNVD dxdy yerine dudv GH÷LO J dudv
ED÷ÕQWÕVÕQÕ HOGH HGHU
iz. Sonuç olarak,
H÷HU LNL NDWOÕ ELU LQWHJUDOGH LOH YHULOGL÷L JLEL
\D]ÕOPDOÕGÕU
Örnek 1. D bölgesi, x + y = 1,
x + y = 2, x − y = 2,
171
x − y = 1 GR÷UXODUÕLOHYHULOPHNWHGLU
u = x+ y
v = x− y
G|QúPIRUPOOHULLOH
D bölgesi, uv-düzlemindeki bir BE|OJHVLQHG|QúWUOPHNWHGLU%XQD
göre
I = ∫∫ ( x − y ) 2 dxdy
D
integralini, yeni GH÷LúNHQOHUFLQVLQGHQKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. D E|OJHVL ùHNLO 4.11(a)), u = x + y , v = x − y G|QúPOHUL
4.10(b)’deki BE|OJHVLQHG|QúU%XQDJ|UHG|QúPQ-DFRELGHWHUPLQDQWÕ
DOWÕQGD
ùHNLO
∂ ( x, y )
1
1
1
=
=
=−
∂
(
u
,
v
)
1 1
∂ (u , v )
2
∂ ( x, y ) 1 −1
J=
ROGX÷XQGDQ
I = ∫∫ ( x − y ) 2 dxdy = ∫∫ v 2 J dudv
D
B
2 2
=
2
2
2
1
1
1
1 2 7
v 2 dudv = ∫ v 2 (u )dv = ∫ v 2 dv = v 3 =
∫
∫
1
211
21
21
6 1 6
sonucu elde edilir. øQWHJUDOL GH÷LúNHQ GH÷LúWLUPH LúOHPLQL X\JXODPDGDQ GR÷UXGDQ D bölgesi
]HULQGHQ KHVDSODPD\D oDOÕúDUDN X\JXQ ELU úHNLOGH \DSÕODQ GH÷LúNHQ GH÷LúWLUPHQLQ VD÷ODGÕ÷Õ
kola\OÕNJ|UOHELOLU
172
4.4. Uçlak Koordinatlarda øNL.DWOÕøQWHJUDOOHU
f ( x, y ) fonksiyonunun, D ⊂ R 2 E|OJHVL ]HULQGHQ LNL NDWOÕ
LQWHJUDOLQL GLNNDWH DODOÕP %D]HQ EX LQWHJUDOLQ KHVDEÕ XoODN NRRUGLQDWODrda oldukça kolay
olabilir. Böylesi durumda, integrale
'LN NRRUGLQDWODUGD WDQÕPOÕ ELU
x = r cos θ 

y = r sin θ 
(1)
%XUDGDGLNNRRUGLQDWVLVWHPLQLQ RULMLQL XoODNNRRUGLQDWVLVWHPLQLQXoODNQRNWDVÕ YH
x-ekseni
GH XoODN HNVHQL RODUDN VHoLOPLúWLU ']OHPLQ KHU KDQJL ELU QRNWDVÕQÕ GLNNDWH DOGÕ÷ÕPÕ]GD
r YH \DUÕoDS
YHNW|UQQXoODNHNVHQLLOHSR]LWLI\|QGH\DSWÕ÷ÕDoÕGD θ ¶GÕU%|\OHFe, D bölgesi üzerinden
LNLNDWOÕLQWHJUDOi, uçlak koordinatlarda,
XoODN QRNWDVÕQÕ V|] NRQXVX QRNWD\D ED÷OD\DQ \DUÕoDS YHNW|UQQ E\NO÷
I = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(r ,θ ), y (r ,θ ))dA
D
(2)
D
Burada, dA, XoODNNRRUGLQDWODUGDVHoLOHQDODQHODPDQÕQÕQDODQÕGÕU8oODN
NRRUGLQDWODUGD DODQ HODPDQÕ r = sabit ve θ =sabit H÷ULOHUL LOH ROXúWXUXOXU ùHNLO ùLPGL
dA¶QÕQGH÷HULQLKHVDSOD\DOÕPùHNLO2’deki KLMNDODQHOHPDQÕQÕGLNNDWHDODOÕP%XDODQÕQ
DOWYHVWNHQDUODUÕVÕUDVÕ\OD r ve r+dr\DUÕoDSOÕoHPEHU\D\ODUÕ YHNHQDUODUÕGDVÕUDVÕ\OD θ ve
θ + dθ GR÷UXODUÕQGDQ ROXúPDNWDGÕU Böylece, sonsuz parçalanma durumunda bir dikdörtgen
úHNOLQGH\D]DELOLUL]
RODUDNGúQHELOHFH÷LPL]./01DODQHOHPDQÕQÕQDODQÕ
dA = rdrdθ
(3)
olur. (÷HU(3) ile verilen DODQHODPDQÕQÕ, (2) integralinde yerine yazarsak
I = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(r ,θ ), y (r ,θ ))rdrdθ
D
LQWHJUDOG|QúPIRUPO
D
nü elde ederiz. Burada
173
(4)
J =
x
∂ ( x, y )
= r
yr
∂ ( r ,θ )
xθ
=r
yθ
(5)
ROGX÷X NROD\FD J|VWHULOHELOLU (÷HU DODQ HODPDQÕ
a ≤ r ≤ b ve α ≤ θ ≤ β için tüm D DODQÕQÕ
WDUDPÕúROXUVDLOHYHULOHQLQWHJUDOLDUGÕúÕNLQWHJUDOOHUFLQVLQGHQ
∫∫
D
β b


f ( x(r ,θ ), y (r ,θ ))rdrdθ = ∫  ∫ f ( x(r ,θ ), y (r ,θ ))rdr dθ
α a

b β


= ∫  ∫ f ( x(r ,θ ), y (r ,θ ))rdθ dr
a α

(6)
úHNOLQGH\D]DELOLUL]
Örnek 1. 8oODNNRRUGLQDWODU\DUGÕPÕ\OD D =
∫∫ y
{( x, y ) 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 x} bölgesi üzerinden
x 2 + y 2 dxdy
D
LQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ]
(atan(2)=1.1071 rad=63o.435).
Çözüm. ùHNLO 3¶GHQ J|UOHFH÷L ]HUH D bölgesi,
y=0 ve y=2x GR÷UXODUÕ LOH x=1 ve x GR÷UXODUÕ
WDUDIÕQGDQ
VÕQÕUODQPÕúWÕU
.DUWH]\HQ
YH
XoODN
koordinatlDUDUDVÕQGD
x = r cos θ
y = r sin θ
ya da
r = x 2 + y 2 , tan θ =
y
x
G|QúP IRUPOOHUL ROGX÷XQD J|UH
D bölgesinin
XoODNNRRUGLQDWODUGDNLVÕQÕUODUÕLoLQ
0 ≤ tan θ ≤ 2 ⇒ 0 ≤ θ ≤ 1.1071rad ve
1
2
≤r≤
cos θ
cos θ
yazabiliriz. Uçlak koordinaWODUD G|QúPGH -DFREL GHWHUPLQDQWÕ J = r ROGX÷XQdan aranan
integral
174
2
2
∫∫ y x + y dxdy =
1.1071 2 / cosθ
1.1071
2 / cosθ




2
r
r
rdr
d
r 3 dr dθ
sin
sin
=
θ
θ
θ
 ∫


∫
∫
0 
1/ cosθ
 1/ cosθ


∫
0
D
1
=
4
1.1071
1
4
1.1071
=
=
∫
0
∫
sin θ (r 4 ) 2 / cosθ dθ

1/ cosθ 

sin θ (
0
15
4
1.1071
∫
0
16
1
)dθ
−
4
cos θ cos 4 θ
sin θ
dθ
cos 4 θ
olur. Burada, u = cos θ GH÷LúNHQGH÷LúWLUPHVL\DSDUak da
∫∫ y
x 2 + y 2 dxdy = −
D
=
15 du 5 1
=
4 ∫ u4 4 u3
1.1071
5 1
4 cos3 θ
=
0
5
(11.1803 − 1)
4
= 12.7254
VRQXFXQDXODúÕUÕ]
Örnek 2. D bölgesi, 2 x 2 + 6 xy + 5 y 2 = 1 HOLSVLLOHWDQÕPODQGÕ÷ÕQDJ|UH
x = 2u − v
y = −u + v
G|QúPIRUPOOHUL\DUGÕPÕ\OD
∫∫
2 x 2 + 6 xy + 5 y 2 dxdy
D
LQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. $QDOLWLNJHRPHWULGHQELOLQGL÷L]HUHNDUWH]\HQNRRUGLQDtlarda genel konik denklemi
Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0
úHNOLQGHGLU.RQL÷LQDVDOHNVHQLQLQ
tan 2θ =
x-HNVHQLLOHSR]LWLI\|QGH\DSWÕ÷Õ θ DoÕVÕ
2B
A−C
ED÷ÕQWÕVÕLOHYHULOLU$úD÷ÕGDYHULOHQ
d ve D determinantlarÕNRQL÷LQWUQEHOLUOHU
175
A B
d=
,
B C
A B
D= B C
D E
D
E.
F
Buna göre, konikleriúXúHNLOGHVÕQÕIODQGÕUDELOLUL]
Hiperbol,
D<0
D=0
D>0
D<0
D=0
D>0
D<0
D=0
D>0
d<0
d=0
d>0
,
.HVLúHQLNLGR÷UX+LSHUEROLNGR÷UXODU
Hiperbol,
Parabol,
,
3DUHOHOLNL'R÷UX
Parabol,
Elips,
Nokta,
Sanal elips.
gUQH÷LPL]HG|QHUVHN
2 3
d=
= 1 > 0,
3 5
2 3
D= 3 5
0
0 = −1 < 0
0 0 −1
2 x 2 + 6 xy + 5 y 2 = 1 ifadesi bir elips göstermektedir. Söz konusu elipsin asal
ekseninin, x-HNVHQLLOHSR]LWLI\|QGH\DSWÕ÷Õ θ DoÕVÕ ise
ROGX÷XQGDQ
tan 2θ =
2B
6
=
= −2
A−C 2−5
LOH EHOOLGLU %X KDWÕUODWPDODUGDQ VRQUD SUREOHPLQ o|]PQH JHOHOLP
D
E|OJHVL ùHNLO
D¶GDNLJLELELUHOLSWLNE|OJHGLU(÷HUYHULOHQHOLSVGHQNOHPLQHLOJLOLG|QúPIRUPOOHULQL
uygularsak
2 x 2 + 6 xy + 5 y 2 = 1 ⇒
2(2u − v) 2 + 6(2u − v)( −u + v) + 5(−u + v )2 =
= (8u 2 − 8uv + 2v 2 ) + (−12u 2 + 18uv − 6v 2 ) + (5u 2 − 10uv + 5v 2 )
= u 2 + v2 = 1 ≡ B
elde ederiz. O halde, xy-düzlemindeki D eliptik bölgesi, uv-düzleminde birim çemberin
B bölgesine G|QúPHNWHGLUùHNLOE'|QúPQ-DFRELGHWHUPLQDQWÕLVH
EHOLUOHGL÷L
J =
x
∂ ( x, y )
= u
yu
∂ (u , v)
xv
2 −1
=
=1
yv
−1 1
176
dir. O halde,
∫∫
D
2 x 2 + 6 xy + 5 y 2 dxdy = ∫∫ u 2 + v 2 dudv
B
yazabiliriz. ùLPGL GH XoODN NRRUGLQDWODUD G|QúP \DSDUVDN -DFREL GHWHUPLQDQWÕQÕQ J = r
ROGX÷XGLNNDWHDOÕQÕUVD
∫∫
D
2 x 2 + 6 xy + 5 y 2 dxdy = ∫∫ u 2 + v 2 dudv = ∫∫ r 2 rdrdθ
B
B
= ∫∫ r 2 drdθ =
B
2π
=
∫
0
3 1
2π

0
r
1
dθ =
3 0
3
%HOLUWLOHQ
E|OJH
ùHNLO
2
0
2π
∫ dθ =
0
Örnek 3. r = 1 + cos θ NDUGL\RGLQLQ GÕúÕQda ve
r oHPEHULQLQ LoLQGH NDODQ E|OJHQLQ DODQÕQÕ
bulunuz.
J|VWHULOPLúWLU

∫  ∫ r dr dθ
elde edilir.
Çözüm.
1
¶GH
Buna göreWDUDOÕbölgenin DODQÕ
177
2π
3
A = ∫∫ rdrdθ =
D
3π
2
∫
π
2
1
=
2
=−
=−
=−
2π
 1

1
1
rdr
d
r2
dθ
θ
=
 ∫

∫
2 0 1+cosθ
1+cosθ

3π
2
∫ 1 − (1 + cosθ )
2
π
2
1
2
1
2
1
2
 dθ
3π
2
∫ 2 cos θ + cos
π
2
3π
2

1

1
2
θ  dθ

∫ 2 cos θ + 2 (1 + cos 2θ ) dθ
π
2
2π
1

∫  2 cosθ + 2 + 2 cos 2θ ) dθ
0
3π
1
1
1
2
= −  2sin θ + θ + sin 2θ 
2
2
4
π
2
1
3π
π

= −  ( −2 +
+ 0) − (2 + + 0) 
2
4
4

1
4 −π
= − (−4 + π ) =
2
2
olur.
4.5. øQFH%LU/HYKDQÕQ.WOHVL
xy-düzleminde verilen bir D bölgesiQL E|OJOHUH D\ÕUDOÕP D E|OJHVLQLQ DODQÕ A ve bölgülerin
DODQÕ GD ∆A (i = 1, 2,..., n) ROVXQ %|OJOHULQ KHU ELULQLQ Lo NÕVPÕQGDNL KHU KDQJL ( x , y )
i
i
i
QRNWDODUÕQÕ GLNNDWH DODOÕP YH EX QRNWDODUGDNL \R÷XQOXNODUÕ ρ ( x , y ) ile gösterelim. (÷HU i-ci
i
i
bölgünün kütlesini ∆M i ile gösterirsek
∆M i = ρ ( xi , yi )∆Ai
(1)
úHNOLQGHLIDGHHGHELOLUL]%|OJVD\ÕVÕQÕQVRQVX]ROPDVÕGXUXPXQGDH÷HU
n
lim ∑ ρ ( xi , yi )∆ Ai
n →∞
(2)
i =1
limiti sonlu ELU VD\Õ\D \DNÕQVÕ\RUVD EX OLPLWH, D E|OJHVLQL NDSVD\DQ LQFH OHYKDQÕQ NWOHVL
denir. O halde, iNLNDWOÕLQWHJUDOWDQÕPÕQGDQ\DUDUODQDUDNsöz konusu lHYKDQÕQNWOHVLQL
178
M = ∫∫ ρ ( x, y ) dxdy
(3)
D
.
úHNOLQGH\D]DELOLUL]
Örnek 1. D bölgesi x=0, x=2, y=0 ve y GR÷UXODUÕ LOH EHOLUOHQHQ LQFH OHYKD ROXS OHYKDQÕQ
\R÷XQOX÷Xy-HNVHQLQHX]DNOÕNODGR÷UXRUDQWÕOÕGÕU/HYKDQÕQNWOHVLQLKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm 2UDQWÕ NDWVD\ÕVÕ k olmak üzere, bölge içerisindeki her hangi bir (x,y QRNWDVÕQGDNL
\R÷XQOX÷X
ρ ( x, y ) = kx
úHNOLQGHLIDGHHGHELOLUL]2KDOGHV|]NRQXVXOHYKDQÕQNWOHVL
2 2
2
2
x2
M = ∫∫ ρ ( x, y )dxdy = ∫ ∫ kxdxdy = k ∫
dy
2 0
D
0 0
0
2
= 2k ∫ dy = 4k
0
olur.
Örnek 2. D bölgesiPHUNH]OHULQRNWDVÕQGDEXOXQDQr=2 ve r \DUÕoDSOÕLNLHúPHUNH]OL
dDLUH DUDVÕQGD NDODQ E|OJH ROXS E|OJH LoHULVLQGHNL \R÷XQOXN RUMLQH RODQ X]DNOÕNOD WHUV
RUDQWÕOÕGÕUDE|OJHVLQLQWDQÕPODGÕ÷ÕLQFHOHYKDQÕQNWOHVLQLKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm ' E|OJHVL ùHNLO ¶GD J|VWHULOGL÷L JLELGLU
ùLPGL D bölgesini kapsayan ince levKD\Õ GLNNDWHDODOÕP
( x, y ) ∈ D QRNWDVÕQGDNL
/HYKDQÕQ
KHU
KDQJL
ELU
\R÷XQOX÷XNRUDQWÕVDELWLROPDN]HUH
1
ρ=k ,
r
r = x2 + y 2
úHNOLQGHLIDGHHGLOHELOLU2KDOGHOHYKDQÕQNWOHVLLoLQ
M = ∫∫ ρ ( x, y )dxdy = ∫∫
D
D
k
x + y2
2
dxdy
yazabiliriz8oODNNRRUGLQDWODUDG|úP\DSDUYH J = r ROGX÷XQXda KDWÕUODUVDN
179
2π 4
2π
2π
k
4
M = ∫∫ rdrdθ = k ∫ ∫ drdθ =k ∫ r 2 dθ = 2k ∫ dθ = 4π k
r
D
0 2
0
0
GH÷HULQLHOGHHGHUL]
4.6. %LU/HYKDQÕQ0RPHQWLYH$÷ÕUOÕN0HUNH]L
Bir D E|OJHVL LOH WDQÕPODQDQ LQFH ELU OHYKDQÕQ NRRUGLQDW HNVHQOerine göre momentleri, iki
NDWOÕLQWHJUDOOHU\DUGÕPÕ\ODLIDGHHGLOHELOLU%XUDGDKDUHNHWQRNWDVÕ,ELUOHYKDQÕQKHUKDQJLELU
HNVHQHJ|UHWRSODPPRPHQWLQLQOHYKD\ÕROXúWXUDQVRQVX]E|OJGHNLKHUELUNWOHHOHPDQÕQÕQ
söz konusu eksene göre mementleri toplamÕQDHúLWROGX÷XGXUgQFHNLNHVLPGHROGX÷XJLEL D
E|OJHVLQLQELUE|OJVQGLNNDWHDODOÕPi-FLE|OJQQDODQÕQÕ ∆A (i = 1, 2,..., n) \R÷XQOX÷XQX
i
ρ ( xi , yi ) ile gösterir ve bölgü içerisindeki keyfi bir ( xi , yi ) noNWDVÕQÕGLNNDWHDOÕUVDNEXNWOH
HOHPDQÕQÕQx- ve y-HNVHQOHULQHJ|UHPRPHQWOHULVÕUDVÕ\OD
∆M x = yi ρ ( xi , yi )∆Ai 

∆M y = xi ρ ( xi , yi )∆Ai 
(1)
úHNOLQGH WDQÕPODQÕU %|\OHFH VRQVX] E|OQú GLNNDWH DOÕQDUDN
D OHYKDVÕQÕQ HNVHQOHU J|UH
toplam momentleri için
M x = ∫∫ y ρ ( x, y )dxdy 

D

M y = ∫∫ x ρ ( x, y )dxdy 

D
LNLNDWOÕLQWHJUDOOHULQLHOGHH
(2)
deriz.
. Kütlesi M olan bir D OHYKDVÕQÕQ x- ve y-eksenlerine göre
Mx ve My olsun. MNWOHOLQRNWDVDOELUFLVPLQ'OHYKDVÕ\ODD\QÕ Mx ve
MyPRPHQWOHULQHVDKLS ROPDVÕ LoLQVDKLSROPDVÕ JHUHNHQNRRUGLQDWODUÕQD DOHYKDVÕQÕQ D÷ÕUOÕN
merkezi denir.
7DQÕP $÷ÕUOÕN 0HUNH]L
PRPHQWOHULVÕUDVÕ\OD
D OHYKDVÕQÕ, istersek tüm
NWOHVL D÷ÕUOÕN PHUNH]LQGH WRSODQPÕú JLEL dikkate DODELOHFH÷LPL] DQODúÕOÕU O halde, a÷ÕUOÕN
PHUNH]LQLQNRRUGLQDWODUÕQÕ ( x , y ) LOHJ|VWHULUVHN7DQÕPJHUH÷LQFH
%X WDQÕPD J|UH IL]LNVHO ED]Õ SUREOHPOHULQ o|]P VÕUDVÕQGD ELU
M x = My 

M y = Mx 
(3)
\DGDED÷ÕQWÕODUÕQÕGDGLNNDWHDODUDND÷ÕUOÕNPHUNH]LQLQNRRUGLQDWODUÕLoLQ
180
x=

1
M
∫∫ x ρ ( x, y)dxdy 
D
(4)


y
x
y
dxdy
ρ
(
,
)
∫∫D

1
y=
M
yazabiliriz. Burada, M’nin, DOHYKDVÕQÕQNWOHVLROGX÷XQXYH önceki kesimin (3) nolu formülü
LOHYHULOGL÷LQLKDWÕUODWDOÕP
Örnek 1. DE|OJHVLPHUNH]LQRNWDVÕQGDRODQr \DUÕoDSOÕGDLUHQLQI. bölgedeki, dörtte
ELUOLN NÕVPÕ ROGX÷XQD J|UH D E|OJHVLQL NDSVD\DQ KRPRMHQ \R÷XQOXNOX LQFH OHYKDQÕQ D÷ÕUOÕN
PHUNH]LQLKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. D
E|OJHVLQL NDSVD\DQ KRPRMHQ \R÷XQOXNOX LQFH
OHYKDQÕQùHNLONWOHVL
1
π
M = (π r 2 ) ρ = ρ
4
4
GLU ùLPGL V|] NRQXVX OHYKDQÕQ D÷ÕUOÕN PHUNH]LQLQ
x
NRRUGLQDWÕQÕKHVDSOD\DOÕP
x=
ρ
1
M
4
∫∫ x ρ ( x, y)dxdy = M ∫∫ xdxdy = π ∫∫ xdxdy .
D
D
D
(÷HUXoODNNRRUGLQDWODUDJHoHUVHN
4
4
x = ∫∫ r cosθ rdrdθ =
π D
π
=
π /2
4
3π
4
π /2
∫
0
∫ cosθ dθ = 3π sin θ
1 2 
 ∫ r dr  cosθ dθ
0

π /2
0
0
=
4
3π
elde ederiz. Simetri nedeniyle de
y=
4
3π
,
ROGX÷X DQODúÕOÕU2KDOGH V|]NRQXVXOHYKDQÕQD÷ÕUOÕNPHUNH]L
OHYKDQÕQ
(
4 4
, ) QRNWDVÕQGDGÕU$\QÕ
3π 3π
x-HNVHQLQHJ|UHPRPHQWLLVHYHED÷ÕQWÕODUÕQGDQ\DUDUODQÕODUDN
M x = ∫∫ y ρ ( x, y )dxdy = My =
D
π
4 ρ
=
ρ
4 3π 3
181
ρ
3
olarak elde edilir. Yine simetri nedeniyle, M y =
RODFD÷ÕDoÕNWÕU
Örnek 2. D E|OJHVL PHUNH]L QRNWDVÕQGD RODQ r \DUÕoDSOÕ oHPEHU LOH PHUNH]L QRNWDVÕQGD RODQ r \DUÕoDSOÕ oHPEHU DUDVÕQGD NDODQ E|OJH RODUDN WDQÕPODQÕ\RU D bölgesini
kapsayan homojen \R÷XQOXNOX LQFH OHYKDQÕQ Mx ve My PRPHQWOHUL LOH D÷ÕUOÕN PHUNH]LQL
KHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. D
E|OJHVL ùHNLO ¶GH J|VWHULOGL÷L JLELGLU
ùHNLOGHQGHJ|UOHFH÷LJLEL
D = D1 ∪ D2 ∪ D3
Mx momentini, bu üç alt bölgenin momentleri
toSODPÕRODUDN
ROGX÷XQGDQ
3
M x = ∫∫ y ρ ( x, y )dxdy = ∑ ∫∫ y ρ ( x, y )dxdy
i =1 Di
D
úHNOLQGH
\D]DELOLUL]
ROGX÷XQGDQ
/HYKD
KRPRMHQ
\R÷XQOXNOX
ρ ( x, y ) = ρ DODUDN YH XoODN NRRUGLQDWODUÕQÕ
kullanarak
3
3
M x = ρ ∑ ∫∫ r sin θ rdrdθ = ρ ∑ ∫∫ r 2 sin θ drdθ
i =1 Di
i =1 Di
yazabiliriz. D1 ve D2 E|OJHOHULVLPHWULNROGX÷XQGDQ
M x1 = M x2 = ρ ∫∫ r 2 sin θ drdθ
D1
ROXUùLPGL
D1 E|OJHVLQLQVÕQÕUODUÕQÕEHOLUOH\HOLP.oNoHPEHULQGHQNOHPL
x 2 + ( y − 1)2 = 1 ⇒ (r cosθ )2 + (r sin θ − 1)2 = 1
r 2 − 2r sin θ + 1 = 1 ⇒ r = 2sin θ
iken büyük çemberin denklemi r=2’dir. O halde,
M x1 = M x2 = ρ ∫∫ r 2 sin θ drdθ = ρ
D1
π /2
=ρ
∫
0
π /2
2
∫ ∫
r 2 sin θ drdθ
0 2sin θ
π
 2 2 
ρ /2 3 2
θ
θ
r
dr
sin
d
r
sin θ dθ
=
 ∫

2sin θ
3 ∫0
 2sinθ

182
ρ
3
M x1 = M x2 =
π /2
∫ (8 − 8sin
3
θ ) sin θ dθ =
0
π /2
π /2

8 
ρ  ∫ sin θ dθ − ∫ sin 4 θ dθ 
3 0
0

=
HOGHHGHUL]<DUÕPDoÕIRUPOOHULNXOODQÕODUDN
3 1
1
sin 4 θ = − cos 2θ + cos 4θ
8 2
8
ROGX÷XNROD\FDJ|VWHULOHELOLU2KDOGH
π /2
π /2

8 
3 1
1
ρ  ∫ sin θ dθ − ∫ ( − cos 2θ + cos 4θ )dθ 
3 0
8 2
8
0

M x1 = M x2 =
π /2
=
8 
3
1
1

ρ  − cos θ − θ − sin 2θ + sin 4θ 
3 
8
4
32
0
=
8
3π
ρ (1 − )
3
16
HOGHHGLOLUùLPGLGHOHYKDQÕQ
D3 E|OJHVLQGHNLNÕVPÕQÕQPRPHQWLQLKHVDSOD\DOÕP
M x3 = ρ ∫∫ r 2 sin θ drdθ = 2 ρ
D3
3π / 2
= 2ρ
∫
π
=
16 ρ
3
=−
3π / 2 2
∫ ∫r
π
2
sin θ drdθ
0
3π / 2
2 2 
2
2ρ
r 3 sin θ dθ
 ∫ r dr  sin θ dθ =
∫
0
3 π
0

3π / 2
∫
sin θ dθ = −
π
16 ρ
3π / 2
cos θ π
3
16 ρ
16 ρ
[0 − (−1)] = −
3
3
Sonuç olarak, x-eksenine göre toplam moment
8
3π 16 ρ
M x = M x1 + M x2 + M x3 = 2 × ρ (1 − ) −
3
16
3
= −πρ
olur. /HYKDQÕQNWOHVL
M = πρ ( 2 2 − 12 ) = 3πρ
ROGX÷XQDJ|UHD÷ÕUOÕNPHUNH]LQLQ RUGLQDWÕLoLQ
183
y=
Mx
πρ
1
=−
=−
M
3πρ
3
GH÷HULQL EXOXUX] 6LPHWUL QHGHQL\OH
x = 0 RODFD÷Õ DoÕNWÕU 2 KDOGH V|] NRQXVX OHYKDQÕQ
1
D÷ÕUOÕNPHUNH]L (0, − ) QRNWDVÕQGDGÕU
3
Örnek 3. y = sin x , x ∈ [0, π ] H÷ULVLLOHx-HNVHQLDUDVÕQGDNDODQKRPRMHQ\R÷XQOXNOXOHYKDQÕQ
D÷ÕUOÕNPHUNH]LQLEXOXQX]
Çözüm ùHNLO ¶GDQ J|UOG÷ ]HUH
y = sin x H÷ULVL x = π GR÷UXVXQDJ|UHVLPHWULNWLU
π
Bu nedenle, x = ¶GLU ùLPGL y GH÷HULQL
2
EXOPD\D oDOÕúDOÕP Bunun için, (3) formüllerine
göre D bölgesinin kütlesi ile x-eksenine göre
PRPHQWLQL KHVDSODPDPÕ] JHUHNLU gQFH NWOHVLQL
KHVDSOD\DOÕP
π sin x
M = ∫∫ ρ dxdy = ρ ∫
0
D
∫
dydx
0
π
π
0
0
= ρ ∫ sin xdx = − ρ cos x = − ρ (−1 − 1) = 2 ρ .
ùLPGLGH
D bölgesinin, x-HNVHQLQHJ|UHPRPHQWLQLKHVDSOD\DOÕP
π sin x
M x = ∫∫ ρ ydxdy = ρ ∫
0
D
π
=
∫
ydydx
0
π
ρ
ρ 1
sin 2 xdx = ∫ (1 − cos 2 x)dx
∫
20
202
π
Mx =
ρ
ρπ
1
( x − sin 2 x) =
.
4
2
4
0
%|\OHFHD÷ÕUOÕNPHUNH]LLoLQ
ρπ
Mx
π
y=
= 4 =
M
2ρ 8
HOGHHGHUL]%XQDJ|UHV|]NRQXVXOHYKDQÕQD÷ÕUOÕNPHUNH]L
184
π
(0, ) QRNWDVÕQGDGÕU
8
4.7. %LU/HYKDQÕQ(\OHPVL]OLN0RPHQWL
D ⊂ R 2 E|OJHVLQGHWDQÕPODQDQELUOHYKD ile
d ≡ ax + by + cz + d = 0 X]D\ GR÷UXVX YHULOVLQ D OHYKDVÕQÕQ ELU NWOH HOHPDQÕQÕ
dmi = ρ ( xi , yi )dAi ile ve bu elema QÕQ d GR÷UXVXQD RODQ GLN X]DNOÕ÷ÕQÕ GD ri ile gösterelim.
7DQÕP(NVHQH*|UH(\OHPVL]OLN0RPHQWL
Böylece elde edilen ri 2 dmi GH÷HULQH NWOH HOHPDQÕQÕQ d GR÷UXsuna göre eylemsizlik
momenti denir. 7P OHYKDQÕQ d GR÷UXVXQD J|UH H\OHPVL]OLN PRPHQWL D bölgesinin sonsuz
SDUoDODQÕúÕQGDNL EWQ NWOH HOHPDQODUÕQÕQ H\OHPVL]OLN PRPHQWOHULQLQ WRSODPÕQD HúLWWLU YH Id
LOHJ|VWHULOLU2KDOGHLNLNDWOÕLQWHJUDOWDQÕPÕQÕGDNXOODQÕUVDN
n
I d = lim ∑ ri 2 dmi = ∫∫ r 2 dm = ∫∫ r 2 ρ ( x, y )dxdy
n →∞
i =1
D
(1)
D
D’nin, x- ve y-eksenlerinH SDUDOHO GR÷UXODUOD SDUoDODQGÕ÷Õ
DE|OJHVLQH\HUOHúWLULOHQOHYKDKRPRMHQ\R÷XQOXNOXLVHLIDGHVLQL
HOGH HGHUL] %XUDGDNL VRQ HúLWOLNWH
YDUVD\ÕOPÕúWÕU(÷HU
I d = ρ ∫∫ r 2 dxdy
(2)
D
úHNOLQGH\D]DELOLUL]8oODNNRRUGLQDWODUÕGLNNDWHDOÕUVDNH\OHPVL]OLNPRPHQWLQL
I d = ρ ∫∫ r 3 drdθ
(3)
D
úHNOLQGH\D]DELOHFH÷LPL]NROD\FDJ|VWHULOHELOLUùLPGLKRPRMHQ\R÷XQOXNOXELUOHYKDQÕQED]Õ
özel eksenlere göre eylemsizlik momentlerini inceleyelim
i) z-eksenine göre eylemsizlik momenti:
Bu durumda
r 2 = x2 + y 2
(4)
, (2) ve (3) formülleri
RODFD÷ÕQGDQ
I z = ρ ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy = ρ ∫∫ r 3drdθ
D
úHNOLQ
(5)
D
de \D]ÕODELOLU
ii) x-eksenine göre eylemsizlik momenti:
D bölgesindeki her hangi bir (x,yQRNWDVÕQÕQx-HNVHQLQHX]DNOÕ÷Õr=y’dir. UçODNNRRUGLQDWODUÕ
GLNNDWHDOÕUVDN ( x = r cos θ , y = r sin θ ) , eylemsizlik momenti için
I x = ρ ∫∫ y 2 dxdy = ρ ∫∫ r 3 sin 2 drdθ
D
(6)
D
ED÷ÕQWÕVÕQÕHOGHHGHUL]
185
iii) y-eksenine göre eylemsizlik momenti:
D bölgesindeki her hangi bir (x,yQRNWDVÕQÕQy-HNVHQLQHX]DNOÕ÷Õr=x¶GLU8oODNNRRUGLQDWODUÕ
GLNNDWHDOÕUVDN ( x = r cos θ , y = r sin θ ) , eylemsizlik momenti için
I y = ρ ∫∫ x 2 dxdy = ρ ∫∫ r 3 cos 2 drdθ
D
(7)
D
ED÷ÕQWÕVÕQÕHOGHHGHUL]
Teorem 1. xy-düzlemindeki bir D E|OJHVLQH \HUOHúWLULOPLú KRPRMHQ \R÷XQOXNOX ELU OHYKDQÕQ
x-, y- ve z-HNVHQOHULQHJ|UHH\OHPVL]OLNPRPHQWOHULVÕUDVÕ\ODIx, Iy ve Iz olsun. Bu durumda
Iz = Ix + I y
(8)
dir.
øVSDW<XNDUÕGDYHULOHQYHED÷ÕQWÕODUÕGLNNDWHDOÕQDUDNWHRUHPLQGR÷UXOX÷XNROD\FD
gösterilebilir.
Örnek 1. x 2 + y 2 = 1 ile verilen D E|OJHVLQH \HUOHúPLú KRPRMHQ \R÷XQOXNOX LQFH OHYKDQÕQ
eksenlere göre eylemsizlik momentlerini bulunuz.
Çözüm8oODNNRRUGLQDWODUGDoDOÕúÕUVDN, z-eksenine röre eylemsizlik momenti
2π 1
I z = ρ ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy = ρ ∫∫ r 3 drdθ = ρ ∫ ∫ r 3 drdθ
D
=
ρ
4
0 0
D
2π
∫ dθ =
0
ρπ
2
olur. Simetri nedeniyle x- ve y-HNVHQOHULQH J|UH H\OHPVL]OLN PRPHQWOHUL HúLW RODFDNWÕU ùLPGL
x-eksenine göre eylemsizlik momentinLKHVDSOD\DOÕP
2π 1
I x = ρ ∫∫ y 2 dxdy = ρ ∫∫ r 3 sin 2 θ drdθ = ρ ∫ ∫ r 3 sin 2 θ drdθ
D
Ix =
ρ
4
∫ sin
0
0 0
D
2π
2
θ dθ =
ρ
4
2π
1
∫ 2 (1 − cos 2θ )dθ
0
2π
=
ρ
ρπ
1
(θ − sin 2θ ) =
8
2
4
0
Sonuç olarak,
186
Iz =
ρπ
ρπ
ρπ
, Ix =
, Iy =
2
4
4
elde ederiz. Buradan da I z = I x + I y ROGX÷XJ|UOU
Örnek 2. 'LN NHQDU X]XQOXNODUÕ a ve b olan bir dik üçgen içerisine \HUOHúPLú KRPRMHQ
\R÷XQOXNOX LQFH OHYKDQÕQ a uzunluklu dik kenarODUÕQD YH GLN NHQDUODUÕQ NHVLP QRNWDVÕQGDQ
levha düzlemine dik olarak geçen eksene göre eylemsizlik momentlerini bulunuz.
Çözüm .RRUGLQDW VLVWHPLQL ùHNLO ¶GHNL JLEL
seçelim.
Bu durumda, aranan eylemsizlik momentleri,
y-eksenine ve zúHNLOGHNL OHYKDQÕQ x-eksenine,
HNVHQLQH J|UH H\OHPVL]OLN PRPHQWOHULGLU /HYKDQÕQ
hipotenüsünün denklemi
y=−
b
x+b
a
dir. Önce, x-HNVHQLQHJ|UHH\OHPVL]OLNPRPHQWLQL\D]DOÕP
 − ba x +b

a
b
− x +b
ρ


2
2
I x = ρ ∫∫ y dxdy = ρ ∫  ∫ y dy dx = ∫ ( y 3 ) a dx
0
30
D
0
 0

a
b
b3 3 3b3 2 3b3
ρ
ρ
3
x
b
dx
x + 2 x −
x + b3 )dx
−
+
=
−
(
)
(
a
a
3 ∫0 a
3 ∫0 a 3
a
=
a
a

ρ  b3 x 4 3b3 x3 3b3 x 2
ρ ab3
I x = − 3
.
+ 2
−
+ b3 x  =
a 2
3 a 4 a 3
12
0
%HQ]HURODUDNH÷HU
Iy =
y-HNVHQLQHJ|UHH\OHPVL]OLNPRPHQWL\D]ÕOÕUVD
ρ ba 3
12
elde edilir. BXUDGDQGDOHYKDQÕQz-eksenine göre eylemsizlik momenti
Iz = Ix + Iy =
ρ ab3 ρ ba 3 ρ
+
= ab(a 2 + b 2 )
12
12
12
olur.
187
Örnek 3. D bölgesi, y = x 2 parabolü ile y = 2 x H÷ULVL DUDVÕQGD NDODQ H÷ULOHUùHNLO ¶GHNL
KRPRMHQ \R÷XQOXNOX LQFH OHYKDQÕQ a) D÷ÕUOÕN PHUNH]LQL b) x-eksenine göre eylemsizlik
momentini bulunuz.
Çözüm. a) øONRODUDNLNLH÷ULQLQNHVLPQRNWDODUÕQÕEXODOÕP
x 2 = x ⇒ x1 = 0, x2 = 1.
DOHYKDVÕQÕQNWOHVL
1 x
M = ∫∫ ρ dxdy = ρ ∫ ∫ dydx
0 x2
D
1
ρ
1 1
= ρ ∫ ( x − x 2 )dx =ρ ( − ) =
2 3
6
0
ùLPGLGHVÕUDVÕ\OD
x ve yHNVHQOHULQHJ|UHPRPHQWOHULQLKHVDSOD\DOÕP
1 x
M x = ∫∫ ρ ydxdy = ρ ∫ ∫ ydydx
0 x2
D
1
=
1
x
ρ
ρ
ρ 1 1
ρ
( y 2 ) 2 dx = ∫ ( x 2 − x 4 )dx = ( − ) = ,
∫
x
20
20
2 3 5 15
1 x
M y = ∫∫ ρ xdxdy = ρ ∫ ∫ xdydx
D
1
0 x2
1
1 1
ρ
x
= ρ ∫ x ( y ) x2 dx =ρ ∫ ( x 2 − x 3 )dx =ρ ( − ) = .
3 4 12
0
0
Buna göre, DOHYKDVÕQÕQD÷ÕUOÕNPHUNH]LQLQNRRUGLQDWODUÕ
ρ
1
x=
= 12 = ,
ρ 2
M
6
My
ρ
M x 15 2
y=
=
=
ρ 5
M
6
1 2
DOHYKDVÕQÕQD÷ÕUOÕNPHUNH]L ( , ) QRNWDVÕQGDGÕU
2 5
GÕU<DQL
b) DOHYKDVÕQÕQx-eksenine göre eylemsizlik momenti
1 x
1


x
ρ
I x = ρ ∫∫ y 2 dxdy = ρ ∫  ∫ y 2 dy dx = ∫ ( y 3 ) 2 dx
x
30
 x2
D
0 

188
Ix =
ρ1 3 6
ρ 1 1
ρ
( x − x )dx = ( − ) =
∫
30
3 4 7
28
dir.
Örnek 4. D ⊂ R 2 E|OJHVLQH\HUOHúPLú MNWOHOLELU LQFHOHYKDQÕQD÷ÕUOÕNPHUNH]LQLQNRQXP
G
vektörü rG ROVXQ (÷HU OHYKDQÕQ G D÷ÕUOÕN PHUNH]L YH z-eksenine görere eylemsizlik
moPHQWOHULVÕUDVÕ\OD, I G ve I z ise
I z = I G + MrG2
RODFD÷ÕQÕJ|VWHULQL]
Çözüm. D
E|OJHVLQLQ HNVHQOHUH SDUDOHO GR÷UXODUOD VRQVX] SDUoDODQÕúÕQGDNL
G
i-ci kütle
ri , kütlesi ∆mi = ρ ( xi , yi )∆xi ∆yi YH EX NWOH HOHPDQÕQÕQ D÷ÕUOÕN
G
G G
G
G G
G
merkezine göre konum vektörü de r*i olsun. Bu durumda, rG , ri ve r*i DUDVÕQGD, ri = r*i + rG
LOLúNLVLQL\D]DELOLUL]%|\OHFH,OHYKDQÕQz-eksenine göre eylemsizlik momenti
HOHPDQÕQÕQ NRQXP YHNW|U
G2
G
G
I z = ∫∫ r 2 dm = ∫∫ r dm = ∫∫ (r* + rG )2 dm
D
D
D
G G
(*)
G G
= ∫∫ r* dm + 2 ∫∫ rG r* dm + rG2 ∫∫ dm = I G + MrG2 + 2 ∫∫ rG r* dm
2
D
D
D
D
olur. 6D÷WDUDIWDNLVRQLQWHJUDOi
G G
G
G
∫∫ r r dm = r ∫∫ r dm
G *
*
G
D
D
úHNOLQGH\D]DOÕPùLPGL
G
rG =
1
M
G
GD÷ÕUOÕNPerkezini, vektörel formda,
1
G
∫∫ rdm = M ∫∫ (r
G
D
D
G
+ r* )dm =
1 G
1
rG ∫∫ dm +
M D
M
G
G
∫∫ r dm = r
*
D
G
+
1
M
G
∫∫ r dm
*
D
úHNOLQGHWDQÕPODUVDN
G
∫∫ r dm = 0
*
D
ROGX÷X DQODúÕOÕU EX VRQ LQWHJUDOLQ DQODPÕQÕ GúQQ] %|\OHFH HúLWOL÷LQH JHUL
dönecek olursak
I z = I G + MrG2
sonucuna ulDúÕUÕ]
189
Örnek 4. ( x − 1)2 + y 2 = 1 oHPEHULQLQ NDSODGÕ÷Õ DODQD \HUOHúPLú KRPRMHQ \R÷XQOXNOX LQFH
OHYKDQÕQa) kütle merkezine göre, b) orijine göre eylemsizlik momentlerini bulunuz.
Çözüm. a) /HYKDQÕQ D÷ÕUOÕN PHUNH]LQLQ G QRNWDVÕ ROGX÷X DoÕNWÕU (÷HU D÷ÕUOÕN
merkezini orijin kabul eden yeni bir koordinat sistemi tasarlar ve dm NWOH HOHPDQÕQÕQ EX
sistemdeki konum vektörünü
G
G
G G
r* = x*i + y* j , r* = r* , x* = r* cos θ , y* = r* sin θ ,
ile gösterirsek
2π 1


I G = ∫∫ r*2 dm = ρ ∫∫ r*2 dxdy = ρ ∫∫ r*2 r*dr* dθ =ρ ∫  ∫ r*3dr*  dθ
D
D
D
0 0

1 πρ
= 2πρ =
4 2
HOGH HGHUL] /HYKDQÕQ NWOHVL
M = π R 2 ρ = πρ YH \DUÕoDSÕ R
EU ROGX÷XQGDQ \XNDUÕGDNL
ifade
1
1
I G = πρ = MR 2
2
2
M kütleli ve R \DUÕoDSOÕ, homojen, ince, dairesel bir OHYKDQÕQ
dairenin merkezine göre (\DQL OHYKDQÕQ D÷ÕUOÕN PHUNH]LQH J|UH Hylemsizlik momenti, kütlesi
LIDGHVLQH HúGH÷HUGLU 2 KDOGH
LOH\DUÕoDSÕQÕQNDUHVLQLQoDUSÕPÕQÕQ\DUÕVÕQDHúLWWLU
KWOH PHUNH]LQLQ RULMLQH X]DNOÕ÷Õ rG = 1 ROGX÷XQGDQ |QFHNL |UQHNWHQ \DUDUODQDUDN OHYKDQÕQ
z-eksenine göre (bu örnekte, koordinat sisteminin orijinine göre) eylemsizlik momentini
I z = I G + MrG2 =
πρ
3
+ πρ = πρ
2
2
olarak buluruz.
190