DS9 Donme, Tork, Denge

Fizik 103
Ders 9
Dönme, Tork Moment,
Statik Denge
Dr. Ali ÖVGÜN
DAÜ Fizik Bölümü
www.aovgun.com
Dönme Kinematiği
s
2π =
r
s = (2π )r
q
θ‘nın birimi radyan (rad)’dır. Bir
radyan, yarçapla eşit uzunluktaki bir
yay parasının yarıçapa oranı ile elde
edilen acıdır. :
s
θ=
r
2π (rad ) = 360!
r
s
θ
π (rad ) = 180!
π
θ ( rad ) =
θ (degrees )
180°
180!
360°
θ (deg rees ) =
θ (rad )
1 rad =
= 57.3
December
26,°2016
2π
π
Açısal Yer değiştirme
hız ve ivme
December 26, 2016
Örnek 1:
Açısal ve Doğrusal Nicelikler
s =θr
v = ωr
v 2 (rω ) 2
2
ar = =
= rω
r
r
a = αr
December 26, 2016
a = a + a = r α + r 2ω 4 = r α 2 + ω 4
2
t
2
r
2
2
Örnek 2:
December 27, 2016
Dönme Kinetik Enerjisi
q Ki
q vi
= ½ mivi2
= ωri
I = mr
2
1
K R = ∑ K i = ∑ mi ri 2ω 2
i
i 2
1⎛
1 2
2⎞ 2
K R = ⎜ ∑ mi ri ⎟ω = Iω
2⎝ i
2
⎠
December 26, 2016
Örnek 3:
December 27, 2016
Tork
q
Bir F kuvvetinin bir cismi bir eksen etrafında
döndürme etkisine tork τ denir.
! !
τ = r ×F
!
τ = rF
τ = rF sin θ
December 27, 2016
Net Tork
Στ = τ1 + τ2 = F1d1 – F2d2
q Eğer Στ ≠ 0, cisim O
noktası etrafında döner.
q Eğer Στ = 0, cismin dönüş
oranı değişmez yani
açısal ivmesi sıfır olur.
q
December 26, 2016
Dönen cisimler ve Newton
Yasaları
Στ = Iα
∑ F = ma
Örnek 4:
December 26, 2016
Örnek 5:
q
q
Düşen Cisimler
Kütlesi M = 2.5 kg ve yarıçapı R = 0.2
m olan katı içi dolu silindir şekildeki gibi
kuydan su çekmek için kullanılıyor.
Kütlesi m = 1.2 kg olan bir kova
silindire bağlanıyor. Buna göre (a)
ipteki gerilim kuvveti T ve kovanın
ivmesi a nedir?
(b) Eğer cisim serbest halden düşüşe
başlarsa ve 3 saniye sonra suya
ulaşırsa, kuyu ne kadar derindir?
December 26, 2016
Çözüm
SCD çiz
q Sadece silindir dönüyor
tork uygula
Σ τ = Iα
q Kova dönmeden aşağıya
iniyor kuvvet denklemini
kullan
Σ F = ma
q Unutma a = αr ve
denklemleri çöz
q
r
a
mg
December 26, 2016
• m = 1.2 kg, M = 2.5 kg, r =0.2 m
kova için SCD
:
y
T
mg
∑F
y
= ma = mg − T
T = m( g − a )
r
Bilinmeyenler: T, a
Silindir için SCD:
N
T
Mg
∑τ
0
= + Tr = Iα
α=
I=
Tr m( g − a)r
= 1 2
Mr
I
2
a
1
Mr 2
2
Bilinmeyenler: a, α
mg
a = αr
2mgr 2mα r 2
α=
−
2
Mr
Mr 2
⎛
⎝
α ⎜1 + 2
m
M
⎞ 2mg
⎟=
⎠ Mr
α=
mg
(= 24 rad / s 2 )
r (m + M / 2)
December 26, 2016
• m = 1.2 kg, M = 2.5 kg, r =0.2 m
Kütle m için
SCD:
y
T
mg
∑F
y
= ma = mg − T
T = m( g − a )
r
Unknowns: T, a
mg
(= 24 rad/s2 )
r (m + M / 2)
mg
a=
(= 4.8 m/s2 )
(m + M / 2)
α=
a
T = m( g − a) = 1.2(9.8 − 4.8) = 6 N
mg
1
1
x f − xi = vi t + at 2 = 0 + (4.8 m/s 2 )(3 s) 2 = 21.6 m
2
2
December 26, 2016
Örnek 6:
Çözüm:
Verilen kuvvet ve yer değişimi için torku
hesaplayınız.
!
!
F = (2iˆ + 3 ˆj ) N
r = (4iˆ + 5 ˆj )m
! ! !
τ = r × F = (4iˆ + 5 ˆj ) × (2iˆ + 3 ˆj )
= 4iˆ × 2iˆ + 4iˆ × 3 ˆj + 5 ˆj × 2iˆ + 5 ˆj × 3 ˆj
iˆ ˆj kˆ
r r
A× B = 4 5 0
2 3 0
= 0 + 4iˆ × 3 ˆj + 5 ˆj × 2iˆ + 0 = 12 kˆ − 10 kˆ = 2kˆ (Nm)
i
j
December 26, 2016
k
Statik ve Denge
Bir sistemin dengede olmasının şartı
üzerine etki eden kuvvetlerin
bileşkesinin ve bir noktaya göre
momentinin(torkun) sıfır olmasıdır.
Fnet , x = ∑ Fext , x = 0
Fnet , y = ∑ Fext , y = 0
τ net , z = ∑ τ ext, z = 0
12/27/16
Örnek 7:
December 27, 2016
Örnek 8:
12/26/16
December 27, 2016
Örnek 9:
A) Kızın kütlesi m, Babanın kütlesi M ve
tahtaravallinin kütlesi mp ise. Kız merkeze 2
metre uzağa oturmuştur. Cisim tarafından
uygulanan normal kuvveti bulunuz.
B) Sistem dengede ise M kütlesine sahip
babanın nereye oturması gerektiğini bulunuz.
December 27, 2016
Fnet , y = n − mg − Mg − m pl g = 0
n = mg + Mg + m pl g
τ net , z = τ d + τ f + τ pl + τ n
= mgd − Mgx + 0 + 0 = 0
mgd = Mgx
2m
⎛m⎞
x = ⎜ ⎟d =
< 2.00 m
M
⎝M ⎠
Fnet , x = ∑ Fext , x = 0
Fnet , y = ∑ Fext , y = 0
τ net , z = ∑ τ ext, z = 0
12/26/16
Babanın oturması gereken yeri bulunuz.
Dönme noktası olarak O
τ net , z = τ d + τ f + τ pl + τ n
Dönme noktası olarak P
τ net , z = τ d + τ f + τ pl + τ n
= mgd − Mgx + 0 + 0 = 0
= 0 − Mg (d + x) − m pl gd + nd = 0
mgd = Mgx
− Mgd − Mgx − m pl gd + ( Mg + mg + m pl g )d = 0
2m
⎛m⎞
x = ⎜ ⎟d =
M
⎝M ⎠
mgd = Mgx
P
2m
⎛m⎞
x = ⎜ ⎟d =
M
⎝M ⎠
O
Fnet , x = ∑ Fext , x = 0
Fnet , y = ∑ Fext , y = 0
τ net , z = ∑ τ ext , z = 0
12/26/16
Örnek 10: Dayalı Merdiven
Fnet , x = ∑ Fext , x = 0
q
Uzunluğu l olan bir
Fnet , y = ∑ Fext , y = 0
merdiven denge halinde τ net , z = ∑τ ext, z = 0
bir duvara dayalı olarak
duruyor. Merdivenin kütlesi
m ve yer ile arasındaki
statik sürtünme katsayısı
µs = 0.40 ise merdivenin
kaymaması için
dayamamız gereken θ
açısını bulunuz..
12/27/16
q
Aşağıdaki serbest cisim diagramlarından hangisi
doğrudur?
A
B
D
C
12/27/16
q
µs = 0.40. Merdiven kaymıyorsa θ açısını bulunuz?
∑ Fx = f x − P = 0
∑ Fy = n − mg = 0
P = fx
n = mg
P = f x ,max = µ s n = µ s mg
mg
12/27/16
Dönme noktası nerede seçilirse soru
daha kolay çözülür?
B)
A)
O
C)
D)
O
O
mg
mg
mg
mg
O
12/27/16
q
µs = 0.40.
∑τ O = τ n +τ f +τ g +τ P
l
= 0 + 0 + Pl sin θ min − mg cosθ min = 0
2
sin θ min
mg
mg
1
= tan θ min =
=
=
cosθ min
2 P 2 µ s mg 2 µ s
θ min
1
1
−1
= tan (
) = tan [
] = 51!
2µ s
2(0.4)
−1
mg
12/27/16
Örnek 11: Dengedeki Yatay Çubuk
q
Uzunluğu l = 8.00 m ve ağırlığı Wb
= 200 N olan bir tahta duvara
monte ediliyor. Diğer ucundan ise
bir iple duvarın üstüne φ = 53°
açısı ile dengeleniyor. Tahtanın
üzerinde duran işçinin ağırlığı Wp =
600 N ve duvara uzunluğu d =
2.00 ise ipteki gerilme kuvveti T ve
duvardaki tepki kuvvetini bulunuz?
12/27/16
SCD
12/26/16
l
∑ τ z = (T sin φ )(l ) − W p d − Wb ( ) = 0
2
l
W p d + Wb ( )
2 = (600 N )(2m) + (200 N )(4m) = 313N
T=
l sin φ
(8m) sin 53!
∑ Fx = R cosθ − T cos φ = 0
∑ Fy = R sin θ + T sin φ − W p − Wb = 0
W p + Wb − T sin φ
R sin θ
= tan θ =
R cosθ
T sin φ
⎛ W p + Wb − T sin φ ⎞
⎟⎟ = 71.7 !
T sin φ
⎝
⎠
θ = tan −1 ⎜⎜
T cos φ (313N ) cos 53!
R=
=
= 581N
!
cosθ
cos 71.7
12/26/16
Dönen Cisimlerin Toplam
Enerjisi
U = Mgh
1
Kt = Mv 2
2
Kr =
E=
1 2
Iω
2
1
1
Mv 2 + Mgh + Iω 2
2
2
December 26, 2016
Örnek 12: Eğik Düzlemdeki
Dönen Top
q
Kütlesi M ve yarıçapı R olan bir top hareketsiz bir halde
h yüksekliğinden dönerek aşağıya doğru 30° açılı bir
eğik düzlemde iniyor. En altta ulaştığındaki hızı nedir?
2
I = MR 2
1 2
1 2 1
1
5
2
2
mvi + mgyi + Iωi = mv f + mgy f + Iω f
2
2
2
2
1
1
2
2
0 + Mgh + 0 = Mv f + 0 + Iω f
2
2
vf
2
2
I = MR ω f =
5
R
2
v
1
1
2
1
1
10 1/ 2
2
2
2
2 f
Mgh = Mv f +
MR 2 = Mv f + Mv f
v f = ( gh)
2
25
R 2
5
7
December 26, 2016
Örnek 13: Dönen Cisimler ve
Enerjileri
q
q
Hareketsiz bir şekilde A noktasından bir top
dönerek B ye doğru harekete başlıyor.
Dönmeden giden kutu mu yoksa dönerek
giden topmu daha önce B noktasına ulaşır?
Dönen Top:
1
1 2 1
1
2
2
2
mvi + mgyi + Iωi = mv f + mgy f + Iω f
2
2
2
2
1
1
mgh = mv f 2 + I ω f 2 = 1 mv f 2 + 1 ⎛ 2 mR 2 ⎞ (v f / R)2 = 7 mv f 2
⎜
⎟
2
2
2
2⎝5
10
⎠
q
Kayan Kutu: 1 mvi 2 + mgyi = 1 mv f 2 + mgy f
2
1
sliding: mgh = mv f 2
2
2
rolling: mgh =
7
mv f 2
10
Örnek 14: Makaralı Kutu
q
Kütleleri m1 ve m2 olan iki kutu birbirlerine
iple yarıçapı R, eylemsizlik(atalet) momenti I
olan ve dönen bir makara aracılığıyla
bağlıdır. Sistem hareketsiz halden serbest
bırakılıyor.
q
Kutu 2 h kadar aşağıya indiğinde Kutuların
öteleme hızı ne olur?
Makaranın açısal dönme hızı ne olur?
q
December 26, 2016
K rot , f + K cm, f + U f = K rot ,i + K cm,i + U i
1
1
1
2
2
2
( m1v f + m2v f + Iω f ) + (m1 gh − m2 gh) = 0 + 0 + 0
2
2
2
1
I
(m1 + m2 + 2 )v 2f = m2 gh − m1 gh
2
R
⎡ 2(m2 − m1 ) gh ⎤
vf = ⎢
2⎥
m
+
m
+
I
/
R
⎣ 1 2
⎦
ωf =
vf
R
=
1/ 2
1 ⎡ 2(m2 − m1 ) gh ⎤
⎢
⎥
R ⎣ m1 + m2 + I / R 2 ⎦
1/ 2
December 26, 2016
December 26, 2016
December 26, 2016
December 26, 2016
December 26, 2016