T.C. SELÇUK ÜNİVERİSTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CAUCHY-TOEPLİTZ ve CAUCHY-HANKEL MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR Salih ÇELİK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Konya, 2007 T.C. SELCUK ~ ~ ~ V E R & T E S I FEN BEMLERI E N S ~ T U S U ~ S E L~SANS K TEZi MATEMATIK ANABILIM DALI Bu lez 24.05.2007 tarihinde w d a k i jiiri &dm # /- oy birligi ile kabul ÖZET Yüksek Lisans Tezi CAUCHY-TOEPLITZ VE CAUCHY-HANKEL MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR Salih ÇELİK Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Ali A. SİNAN 2007, 96 sayfa Jüri: Prof. Dr. Ali A. SİNAN : Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL : Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI Cauchy-Toeplitz matrislerinin singüler değerleriyle G.Szegö ilgilenmiş ve bununla ilgili bir problem ortaya koymuştur. Daha sonra bu matrisler Moler’ in dikkatini çekmiş ve Moler deneysel olarak bu matrislerin singüler değerlerinin π ’ ye yaklaştığını tespit etmiş, ama bu analitik olarak S. V. Parter tarafından çözülmüştür. E. E. Trytyshnikov g = 1 / 2 ve h = 1 özel durum için bir alt sınır bulmuştur. D.Bozkurt bu matrisin genel halinin Euclide normu için bir alt ve üst sınır bulmuştur. R. Türkmen genel Cauchy-Toeplitz matrisleri için bir alt ve üst sınır bulmuştur. Yine aynı şartlar altında Cauchy-Hankel matrisleri için bir üst sınır tespit etmiştir.Ayrıca , Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel matrislerinin Hadamard çarpımlarının Euclide normu için bir alt ve üst sınır bulmuştur. S. Solak genel Cauchy-Toeplitz matrislerinin spektral normu için bir alt ve üst sınır bulmuştur. Ayrıca , Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel matrislerinin Hadamard çarpımlarının spektral ve A p normları için birer üst sınır bulmuştur. ANAHTAR KELİMELER: Matris normu, Cauchy-Toeplitz matrisleri, CauchyHankel matrisleri, spektral norm, Euclide norm, A p norm, Hadamard çarpım, Singüler değerler. ABSTRACT The Post Graduate Thesis ON THE BOUNDS FOR THE NORMS OF CAUCHY-TOEPLITZ AND CAUCHY-HANKEL MATRICES Salih ÇELİK Selçuk Üniversty Graduate School of Natural and Applied Science Department of Mathematics Danışman: Prof. Dr. Ali A. SİNAN 2007, 96 page Jüri: Prof. Dr. Ali A. SİNAN : Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL : Assistant Prof. Dr. Ayşe NALLI G. Szegö interested in the singular values of Cauchy-Toeplitz matrix and forward a problem. Later, these matrices attaracted the attention of C. Moler, who had experimentaly discovered that most of their singular values are clustered near π Recently S. V. Parter gave an explanation of this phenomenon. E.E. Trytshnikov obtained a lower bound for the spectral norm of Cauchy-Toeplitz matrix such that g = 1 / 2 and h = 1 . D. Bozkurt , found a lower and upper bound for the general condition of Euclidean norm of Cauchy-Toeplitz matrices. R. Türkmen, established a lower and an upper bound for the spectral norms of the general Cauchy-Toeplitz matrix.Again in same position that found to upper bound for the Cauchy-Hankel matrices. İn adition that found a lower and upper bound for the Cauchy–Toeplitz and Cauchy-Hankel matrices Hadamard product . S. Solak found a lower and upper bound for the spectral norm of general Cauchy- Toeplitz matrices. İn adition that found to upper bound for the spectral and A p norm of Cauchy–Toeplitz and Cauchy-Hankel matrices Hadamard product . KEY WORDS: Matrix norm, Cauchy-Toeplitz matrices, Cauchy-Hankel matrices, spectral norm, Euclidean norm, A p norm, Hadamard product, Singular values. ÖNSÖZ Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü öğretim üyesi Prof. Dr. Ali SİNAN yönetiminde yapılarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimler Enstitüsü’ne Yüksek Lisans tezi olarak sunulmuştur. Bu çalışma Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel Matrislerinin normlarının alt ve üst sınırları üzerine hazırlanmıştır.Çalışmanın birinci bölümünde matris ve iç çarpım hakkında genel tanım ve teoremler verildi.İkinci bölümde vektör normları, matris normları ve normlar arasındaki bağıntılar ile ilgili tanım ve teoremler verildi.Üçüncü bölümde ise Hadamard çarpım ve özellikleri ile ilgili tanım ve teoremler verildi. Dördüncü bölümde Gamma, Psi, Riemann Zeta fonksiyonu verildi. Ayrıca Cauchy-Toeplitz ve Cauchy Hankel formları, singüler değerler ile ilgili tanım ve teoremler verildi. Beşinci ve altıncı bölümde ise çalışmanın esasını teşkil eden Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel Matrislerinin normları ve Hadamard çarpımları için sınırlar verilmiştir. Bu tez çalışmamda anlattığı ders ve verdiği tavsiyeler ile yol gösteren, boş zamanlarında da bana kapısını açan çok değerli hocam sayın Prof. Dr. Ali SİNAN’ a teşekkür ederim. Salih ÇELİK Konya, 2007 İÇİNDEKİLER 1. GENEL BİLGİLER ……………………………………………………………...1 1.1. Matris…………………………………………………………………………..1 1.2. İç Çarpım ……………………………………………………………………...5 2. NORMLAR ………………………………………………………………………7 2.1. Vektör Normları..……………………………………………………………...7 2.2. Matris Normları..……………………………………………………………..16 2.3. Matris Normu Arasındaki Bağıntılar ………………………………………..24 3. HADAMARD ÇARPIM VE ÖZELLİKLERİ ………………………………..27 4. CAUCHY-TOEPLİTZ ve CAUCHY-HANKEL MATRİSLERİ …………...34 4.1. Gamma, Psi ve Riemann Zeta Fonksiyonu …………………………………..34 4.2. Cauchy, Hankel ve Toeplitz Formları ………………………………………..36 4.3. Toeplitz Matrislerinin Öz Değerlerinin ve Singüler Değerlerinin Dağılımı …40 5. CAUCHY-TOEPLİTZ ve CAUCHY-HANKEL MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR…………………………………………………...43 5.1. Cauchy-Toeplitz Matrislerinin Normları İçin Sınırlar ……………………….43 5.2. Cauchy-Hankel Matrislerinin Normları İçin Sınırlar ………………………..62 6. MATRİSLERİN HADAMARD ÇARPIMLARININ NORMLARI İÇİN SINIRLAR ………………………………………………..72 6.1. Hadamard Çarpım İle Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel Matrislerinin Normları İçin Sınırlar……………………………………..72 6.2. Cauchy-Toeplitz Matrislerinin Hadamard Çarpımlarının Normları İçin Sınırlar ………………………………………………………..78 7. SONUÇ ve ÖNERİLER ………………………………………………………..89 KAYNAKLAR ………………………………………………………………….90 1 1.GENEL BİLGİLER n Bu çalışmada ⎡ ⎤ 1 Tn = ⎢ ⎥ ⎣ g + (i − j )h ⎦ i , j =1 Cauchy-Toeplitz ve n ⎡ ⎤ 1 Hn = ⎢ Cauchy-Hankel matrislerinin ve bu matrislerin değişik ⎥ ( ) g i j h + + ⎣ ⎦ i , j =1 formları için Euclidean, Spektral, p normları için alt ve üst sınırlar üzerinde duruldu ve Hadamard çarpım yoluyla elde edilen sınırlarını verdik.Daha sonra bu matrislerin Hadamard çarpımlarının normları için elde edilen sınırları verdik. Bu çalışmamızda kullanacağımız temel bilgileri verelim. 1.1. Matris Günümüzde elemanter matris cebiri, teorik matematik, istatistik için olduğu kadar sosyoloji, kimya, fizik, elektrik ve bilgisayar mühendisliği gibi çeşitli teknik alanlar için de gerekli matematiksel bilginin ayrılmaz parçası haline gelmiştir. Matris kavramı, 19. yüzyıl ortalarından beri bilinmektedir. İngiliz matematikçi Sylvester, 1850 yılında “matris” kavramını kullanmıştır. 1853 yılında İngiliz bilgini Hamilton “Linear and Vector Functions” isimli çalışmasında matrislerin bazı özelliklerinden faydalanmış fakat matris ismini kullanmamıştır. Yine bir İngiliz matematikçisi Cayley, 1858 yılında çok meşhur olan “Memorie On The Theory of Matrices” isimli çalışmasında Matris Cebirinin modern esaslarını kurmuştur. Daha sonraları Fransız Laguerre ve Alman Frobenius matrislerle ilgili yeni kavram ve teoremler üzerinde durmuşlardır. Tanım 1.1.1. m, n ∈ Z + ve 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n olmak üzere (i, j ) ikililerin cümlesi M olsun. F herhangi bir cisim, f :M → F (i, j ) → f (i, j ) = aij olmak üzere aij ∈ F değerleri ile 2 ⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ . A=⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ ⎣⎢a m1 a12 a 22 . . . am2 . . . a1n ⎤ . . . a 2 n ⎥⎥ . . . . ⎥ ⎥ . . . . ⎥ . . . . ⎥ ⎥ . . . a mn ⎦⎥ m×n (1.1) şeklinde düzenlenen tabloya matris denir. Bir matrisi oluşturan değerlere matrisin elemanları denir. Genelde m × n [ ] tipindeki bir matris (1.1) ile verilir. ve bu gösterim A = aij m× n [ ] veya A = aij ile de ifade edilir. Bu gösterimde, aij matrisinin genel elemanlarının gösterimi olup i satırı ve j ‘de sütunu belirtir. i indisi 1’den m ’ye kadar herhangi bir pozitif tamsayı değerini alırken, j indisi ise 1’den n ’ye kadar herhangi bir pozitif tamsayı değerini alabilir. Böylece, i=2 ve j=3 ise aij ; a 23 haline gelir, 2. satır ve 3. sütundaki elemanı gösterir. Eğer bir matrisin satır ve sütunları eşit ise, yani m = n ise matrise kare matris [ ] denir ve A = aij n×n biçiminde gösterilir. A matrisinin kare matris olması durumunda, a11 , a 22 ,..., a nn elemanları esas köşegen üzerinde bulunurlar. Bir matrisin elemanları fonksiyonlar, operatörler ve hatta bir matris de olabilir. Yani ⎡ 1 (t 2 + 1)dt t 2 ⎢⎣ ∫0 ⎡ sin θ 3t ⎤ , ⎢ ⎥⎦ ⎣− cos θ cos θ ⎤ sin θ ⎥⎦ ve ⎡ ⎢x 2 ⎢ x ⎢e ⎢ ⎢5 ⎣⎢ ⎤ x3 ⎥ ⎥ d ln x e 2 x ⎥ dx ⎥ 1 ⎥ x+2 x ⎦⎥ x matrislere birer örnektir. Sonuç olarak matrislerin birer sayısal değer olmadıklarına dikkat edilmelidir. 3 Tanım 1.1.2. ⎡λ1 ⎢0 ⎢ ⎢. ⎢ A=⎢ . ⎢. ⎢ ⎢ ⎢0 ⎣ 0 λ2 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 0⎤ 0 ⎥⎥ . ⎥ ⎥ . ⎥ . ⎥ ⎥ ⎥ λ n ⎥⎦ tipindeki n × n matrisine köşegen matris denir ve A = köş (λ1 , λ 2 ,..., λ n ) ile gösterilir. Tanım 1.1.3. Esas köşegeni üzerinde elemanları 1 ve diğer bütün elemanları 0 olan köşegen matrise birim matris denir ve I n veya I ile gösterilir. O halde birim matris ⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ In = ⎢. ⎢. ⎢ ⎢. ⎢0 ⎣ 0 0 . . . 1 0 0 1 . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ .⎥ .⎥ ⎥ .⎥ 1⎥⎦ şeklinde olur. Tanım 1.1.4. Bir kare matrisin esas köşegeninin üstündeki (altındaki) elemanlarının hepsi 0 ise, böyle matrislere alt (üst) üçgen matris denir. ⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢⎣ a31 0 a 22 a32 0⎤ 0 ⎥⎥ , a33 ⎥⎦ ⎡a11 ⎢0 ⎢ ⎢⎣ 0 a12 a 22 0 a13 ⎤ a 23 ⎥⎥ a33 ⎥⎦ matrisleri bu matrislere örnektirler. Tanım 1.1.5. Bir köşegen matrisin esas köşegeni üzerindeki elemanların hepsi birbirine eşit, diğer elemanları sıfır ise , yani i = j için aij = λ , i ≠ j için aij = 0 ise böyle matrislere skaler matris denir ve 4 ⎡λ 0 0 ⎢0 λ 0 ⎢ ⎢0 0 λ [λ ] = ⎢⎢ . ⎢. ⎢ ⎢. ⎢0 0 0 ⎣ . . . . . . . . . 0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ .⎥ .⎥ ⎥ .⎥ λ ⎥⎦ biçiminde gösterilir. [ ] Tanım 1.1.6. A = aij , n × n tipinde bir matris olsun . O takdirde AB = BA = I olacak şekilde n × n tipinde B matrisi var ise , B ’ye A matrisinin tersi denir ve B = A −1 şeklinde gösterilir. Tanım 1.1.7. [ ] A = aij , m × n tipinde bir matris olsun. A matrisinin satır ve sütunlarının yer değiştirmesiyle elde edilen ve AT ile gösterilen matrise , A matrisinin transpozesi denir. Yani, i = 1,2,..., m ve j = 1,2,..., n olmak üzere AT = (a ji ) dir. Tanım 1.1.8. n × n tipinde bir A matrise ; i) AT = A ise simetrik matris ii) AT = − A ise ters-simetrik matris iii) AT A = AAT = I n ise ortogonal matris denir. Örnek 1.1.1. ⎡1 2 3⎤ ⎢ 2 1 4⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣3 4 1 ⎥⎦ simetrik matris a b⎤ ⎡ 0 ⎢− a 0 − c ⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣ − b − c 0 ⎥⎦ ters simetrik matris ve 5 2⎤ ⎡1 2 1⎢ 2 1 − 2⎥⎥ ⎢ 3 ⎢⎣2 − 2 1 ⎥⎦ ortogonal matrislere örnek olurlar. Uyarı 1.1.1. 1. Bir simetrik matriste, elemanlar matrisin esas köşegenine göre simetrik dizilmişlerdir. 2. Bir ters-simetrik matriste, esas köşegen elemanları sıfırdır. 3. A bir ortogonal matris ise, AT = A −1 ’dir. Tanım 1.1.9. Bir A kare matrisinde determinantında aij ’ aij elemanları yerine bu matrisin lere tekabül eden Aij kofaktörleri (işaretli minörleri) konulduğunda elde edilen matrisin transpozesine, A matrisinin Adjoint’i denir ve A∗ ile gösterilir. 1.2.İç Çarpım Tanım 1.2.1. V, F cismi üzerinde vektör uzayı olsun. Buna göre I :V ×V → F dönüşümü , I1) ∀x ∈ V için ( x, x) ≥ 0, ( x, x) = 0 ⇔ x = 0 I2) ∀a ∈ F , ∀x, y ∈ V için (ax, y ) = a ( x, y ) I3) ∀a ∈ F , ∀x, y ∈ V için ( x, y ) = ( y, x), ( x, ay ) = a( x, y ) I4) ∀x, y, z ∈ V için ( x + y, z ) = ( x, z ) + ( y, z ) şartlarını sağlıyorsa buna bir iç çarpım denir. F cismi kompleks sayılar cismi ise ( x, ay ) = a ( x, y ) dır. Tanım 1.2.2. Bir vektör uzayı üzerinde iç çarpım tanımlanmışsa bu uzaya iç çarpım uzayı denir. Ayrıca herhangi bir υ vektörü için uzunluk (veya norm) υ olarak gösterilir ve 6 υ = (υ,υ)1/2 = (υ12 +υ22+…+υn2)1/2 dır. Eğer x,y∈ℜn ise, o takdirde xi,yi∈ℜ (1≤ i ≤n ) olmak üzere x= (x1,x2,…,xn) ve y= ( y1,y2,…,yn ) olarak alabiliriz. Bu durumda x ve y vektörlerinin iç çarpımı n (x,y)= x1.y1 + x2.y2 + … + xn.yn = ∑ xi y i i =1 şeklinde tanımlanır. 7 2. NORMLAR ℜ üzerinde tanımlanan mutlak değer fonksiyonu ile; sayıların büyüklükleri, dizilerin yakınsaklığı, fonksiyonların sürekliliği, limitleri ve verilen bir reel sayı için bu sayıya en yakın asal ve tamsayıyı bulma gibi yaklaşım problemleri çözülebilir. Aynı şeyler bir vektör uzayı üzerinde tanımlanan norm için de geçerlidir.V reel vektör uzayı olmak üzere bu uzayda tanımlanan bir norm ile vektör normlarını karşılaştırabiliriz. Vektör dizilerinin yakınsaklığı irdelenebilir, dönüşümlerin sürekliliği ve limitleri çalışılabilir, verilen bir vektör için V vektör uzayının bir alt uzayı veya bir alt cümlesindeki en yakın elemanını bulmak gibi yaklaşım problemleri düşünülebilir. Bu problemler genellikle analiz, Lie teori, nümerik analiz, diferansiyel denklemler, Markov zincirleri, ekonometri, biyoloji ve sosyolojide popülasyon modellemede, fizik ve kimyada denge durumlarında ortaya çıkar. Ayrıca, normlar; singüler değer ayrışımında (SVD) Ax=b probleminin analizinde önemli rol oynarlar. Bu bölümde öncelikle vektör normları üzerinde, daha sonra da matris normları üzerinde duracağız. Norm işlemi , a sembollerinden birisi ile gösterilecektir. a ise normun çeşidini belirten sabittir. 2.1. Vektör Normları Tanım2.1.1. F reel yada kompleks sayılar cismi ve V, F cismi üzerinde tanımlanmış vektör uzayı olmak üzere; . : V→ℜ+∪{0} v→ v şeklinde ifade edilen ve i) Her v ∈ V için , i a) v ≠ 0 ise , v > 0 dır, i b) v=0 olması için gerek ve şart v = 0 olmasıdır, 8 ii) α ∈ F ve v ∈ V için , αv = α v dir, iii) u, v ∈ V için , u + v ≤ u + v dir, aksiyomlarını sağlayan . dönüşümüne, vektör normu denir. Yani vektör normu, her x vektörüne karşılık gelen, x şeklinde gösterilen negatif olmayan bir sayıdır. Diğer bir ifade ile x vektörünün pozitif bir sayıya dönüştürülmesi işlemine norm denir. Tanım 2.1.2. Üzerinde norm tanımlanmış bir vektör uzayına normlu uzay denir. Teorem 2.1.1. V, F cismi üzerinde tanımlanmış bir normlu uzay ve x,y∈V olmak üzere x − y ≤ x− y dır. İspat: ( N3) aksiyomunu göz önüne alırsak x = x− y+ y ≤ x− y + y ifadesinden x − y ≤ x− y (2.1) eşitsizliğini elde ederiz. Benzer şekilde y = y−x+x ≤ y−x + x veya y − x ≤ y−x eşitsizliğini yazarız. Halbuki x − y = − 1( y − x) = − 1 y − x = y − x olduğundan y − x ≤ x− y yazabiliriz. Sonuçta (2.1) ve (2.2) eşitsizliklerinden x − y ≤ x− y (2,2) 9 yazılabilir ki ispat tamamlanır. Teorem 2.1.2. [46] V bir iç çarpım uzayı ve x∈V için ƒ:x→ x = ( x, x)1 / 2 dönüşümü V üzerinde bir normdur. İspat: N1) İç çarpımın birinci aksiyomundan, ∀x∈V için (x,x)≥0 ve x = ( x, x )1 / 2 olduğundan x ≥ 0 olur. x = 0 , (x,x)=0 olmasını gerektirir. O halde (x,x)=0 ise x=0 bulunur. Diğer taraftan x=0 ise (x,x) ve dolayısıyla x = 0 dır. Böylece tanımlanan dönüşüm, vektör normunun pozitiflik özelliğini sağlar. N2) ∀a∈F , ∀x∈V için ax→ ax = (ax, ax)1 / 2 = [aa ( x, x)] 1/ 2 [ 2 = a ( x, x ) ] 1/ 2 = a ( x, x ) 1 / 2 =a x Olur ki homojenlik özelliği de sağlanır. N3) ∀x,y∈V için x+y→ x + y = ( x + y, x + y )1 / 2 x+ y 2 = ( x + y, x + y ) =(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y) = x 2 + 2Re(x,y) + y 2 ≤ x +2 x y + y 2 2 10 ≤(x + y ) 2 Olur ki , buradan üçgen eşitsizliği de sağlanmış olur. Sonuç olarak; ƒ:x→ x = ( x, x)1 / 2 Dönüşümü vektör normu özelliklerini sağladığı için V üzerinde bir normdur. Teorem 2.1.3. (Paralelkenar Kuralı) V bir iç çarpım uzayı olmak üzere u,v∈V için 2 u+v + u−v 2 2 2 = 2( u + v ) dir. İspat: 2 u+v + u−v 2 = (u + v, u + v) + (u − v, u − v) =(u,u)+(u,v)+(v,u)+(v,v)+ (u,u)-(u,v)-(v,u)+(v,v) =2(u,u)+2(v,v) 2 2 = 2( u + v ) olur ve ispat tamamlanır. Teorem 2.1.4. x ve y herhangi iki vektör olsun. Bu takdirde ( x, y ) ≤ x 2 y 2 (Schwarz Eşitsizliği) eşitsizliği geçerlidir. İspat. x ve y vektörleri verilsin. İç çarpım tanımını kullanarak 0 ≤ x + αy 2 2 = ( x, x) + ( x, αy ) + (αy, x) + (αy, αy ) 2 = x 2 + α ( x, y ) + α ( x, y ) + αα y 2 2 Yazarız. (x,y)=0 ise Schwarz eşitsizliği sağlanmış olur. (x,y)≠0 ise (2.3) 11 α =− x 2 2 ( x, y ) seçersek , (2.3) ifadesi 4 x y 2 ( x, y ) 2 2 2 ≥ x 2 2 olur. Buradan x 4 y 2 x 2 2 2 ≥ ( x, y ) 2 2 olup x 2 y 2 2 2 ≥ ( x, y ) 2 olur. Her iki tarafın karekökünü alırsak, x y 2 2 ≥ ( x, y ) olur ki, bu da istenendir. Teorem 2.1.5. [46] x ve y herhangi iki vektör olsun. x+ y 2 ≤ x2+ y 2 (Üçgen eşitsizliği) eşitsizliği geçerlidir. İspat: x+ y 2 2 2 = x 2 + ( x, y ) + ( y , x ) + y 2 = x 2 + 2 Re( x, y ) + y 2 ≤ x 2 +2 x 2 y2+ y ≤ ( x 2 + y 2 )2 olur. Her iki tarafın karekökünü alırsak, 2 2 2 2 2 2 12 x+ y 2 ≤ x2+ y 2 elde edilir ki, ispat tamamlanır. Buraya kadar genel anlamda vektör normu tanımı ve özellikleri verildi. Şimdi de vektör normlarının çeşitlerinden bahsedelim. a)Toplam normu: x bir vektör olmak üzere n x 1 = x1 + x 2 + ... + x n = ∑ xi i =1 şeklinde tanımlanır. b)Euclide normu(Frobenius normu): x bir vektör olmak üzere n x 2 = ( x1 + x2 + ... + xn )1/ 2 = (∑ xi )1/ 2 2 2 2 2 i =1 olarak tanımlanır. c) Maksimum normu: x herhangi bir vektör olmak üzere x ∞ = max xi i ile tanımlanır. (a) ve (b) de verilen normlar genel olarak 1<p<∞ olmak üzere x p = ( x1 p + x2 n p p + ... + x n )1 / p = (∑ xi )1 / p p (2.4) i =1 Hölder normu ( p normu) olarak adlandırılır. Tanım 2.1.3. Eşitlik (2.4) ile verilen Hölder ( normlarının klasik bir sonucu olarak p ) normuna p-normu da denir. p- 1 1 + = 1 olmak üzere p q ( x, y ) ≤ x p y p 13 ile tanımlanan eşitsizliğe Hölder Eşitsizliği denir. x herhangi bir vektör olmak üzere normlar arasında; a) x b) x c) x 2 ∞ ∞ ≤ x1≤ n x ≤ x 2 2 ≤ n x ≤ x1≤nx ∞ bağıntıları mevcuttur.[46] ∞ Teorem 2.1.6. Bir vektör uzayında tanımlanan x 2 = x12 + x 22 + ... + x n2 , x 1 = x1 + x 2 + ... + x n , x ∞ = max( x1 , x 2 ,..., x n ) normları arasında 1 x ≤ x n 1 2 ≤ n x ∞ bağıntısı geçerlidir. İspat: n x 1 = ∑ xi toplamında i =1 x1 , x 2 ,…, x n ‘lerin en büyüğü x ∞ ile tanımlanmıştı. O halde xi ≤ x ∞ ( i=1,2,…,n) olup x 1 = x1 + x 2 + ... + x n ≤ x olur. Diğer taraftan x ∞ ∞ + x ∞ + ... + x ∞ =nx ∞ (2.5) normu x1 , x 2 ,…, x n sayılarından x k gibi bir tanesine eşit olacağından x ∞ = x k = x1 + x 2 + ... + x n = x 1 elde edilir. (2.5) ve (2.6) ‘dan (2.6) 14 x ≤ x1≤nx ∞ (2.7) ∞ bulunur. Diğer taraftan xk 2 2 2 ≤ x1 + x 2 + ... x k 2 + ... + x n 2 olup buradan x ∞ = x k ≤ x12 + x 22 + ... + x n2 = x 2 (2.8) olur. O halde x 2 = x12 + x 22 + ... + x n2 ≤ x k2 + x k2 + ... + x k2 olup x 2 ≤ n xk = n x ∞ (2.9) elde edilir. (2.8) ve (2.9) ‘den x ∞ ≤ x 2 ≤ n x ∞ ve (2.7) ile (2.10)’den de 1 x ≤ x n 1 2 ≤ n x ∞ bağıntısı elde edilir ki ispat tamamlanmış olur. Örnek 2.1.1. x=[1,2,3]T vektörü için yukarıdaki norm özelliklerini sağlatınız. Çözüm: x 2 = 12 + 2 2 + 3 2 = 1 + 4 + 9 = 14 ≅ 3,74 x1 =1+ 2 + 3 =6 ve (2.10) 15 x ∞ = max xi = 3 i elde edilir. O halde x 2 ≤ x1≤ n x x ∞ ≤ x ⇒ 3.74≤6≤1,73×3,74=6,47 , 2 ≤ n x 2 ∞ ⇒ 3≤3,74≤1,73×3=5,19 ve x ∞ ≤ x1≤nx ∞ ⇒ 3≤6≤3×3=9 olur ki , norm özellikleri gerçeklenmiş olur. Örnek 2.1.2. x=[1,-2,3,5]T vektörü için yukarıdaki norm özelliklerini sağlatınız. Çözüm: x 2 = 12 + (−2) 2 + 3 2 + 5 2 = 1 + 4 + 9 + 25 = 39 ≅ 6,24 x 1 = 1 + − 2 + 3 + 5 = 11 ve x ∞ = max xi = 5 i elde edilir. O halde x 2 ≤ x1≤ n x x ∞ ≤ x 2 2 ⇒ 6,2≤11≤2×6,2=12,4 , ≤ n x ∞ ⇒ 5≤6,24≤2×5=10 ve x ∞ ≤ x1≤nx olur ki , norm özellikleri gerçeklenmiş olur. ∞ ⇒ 5≤11≤4×5=20 16 2.2. Matris Normları Tanım.2.2.1. F, reel ya da kompleks sayılar cismi, Mn(F); bileşenleri F cisminin elemanları olan n-kare mertebeli karesel matrislerin cümlesi olmak üzere ; . : M n ( F ) → R + ∪ {0} A→ A şeklinde ifade edilen ve i) A∈Mn(F) için, i a) A≠0 ise, A > 0 dir. i b) A=0 olması için gerek ve yeter şart A =0 olmasıdır, ii) a∈F ve A∈Mn(F) için, aA = a A dır, iii) A,B∈Mn(F) için, A + B ≤ A + B dir, iv) A,B∈Mn(F) için, AB ≤ A B dir, aksiyomlarını sağlayan . dönüşüme, matris normu denir. Tanım 2.2.2. F, reel ya da kompleks sayılar cismi, Mn,m(F); bileşenleri F cisminin elemanları olan n×m mertebeli matrislerin cümlesi olmak üzere ; . : M n ,m ( F ) → R + ∪ {0} A→ A şeklinde ifade edilen ve i) A∈Mn,m(F) için, i a) A≠0 ise, A > 0 dir. 17 i b) A=0 olması için gerek ve yeter şart A =0 olmasıdır, ii) a∈F ve A∈Mn,m(F) için, aA = a A dır, iii) A,B∈Mn,m(F) için, A + B ≤ A + B dir, aksiyomlarını sağlayan . dönüşüme, genelleştirilmiş matris normu denir. O halde bir matris normu daima genelleştirilmiş matris normudur. Fakat bunun tersi doğru değildir. Örneğin toplam normu ∑a ij genelleştirilmiş bir matris i, j normudur, fakat bir matris normu değildir. Ayrıca x herhangi bir vektör olmak üzere matris normları ile vektör normları arasında Ax ≤ A x şeklinde bir ilişki vardır. Bu eşitsizliği sağlayan A matris normuna , x vektör normu ile uygundur denir. Herhangi bir vektör normundan, vektör normuyla uygun olan bir matris normu Ax ≤ A x eşitsizliğinden her x≠0 için sup, en küçük üst sınır olmak üzere A ≤ sup x ≠0 olarak elde edilir. Burada z = Ax x x alırsak, z = 1 olacağından x A ≤ sup Az z =1 eşitliği yazılabilir. 18 Teorem 2.2.1. A bir matris ve z herhangi bir vektör olmak üzere A = max Az z =1 ifadesi matris normudur. İspat: İspat için A normunun, matris normu şartlarını sağladığını göstermemiz gerekir. i) A≠0 ise z = 1 olmak üzere Az≠0 olacak şekilde daima bir z vektörü bulunabilir. Öyle ki A ≥ 0 ’dır. A=0 ise z = 1 olacak şekilde her z için Az = 0 olmasını gerektirir. z’yi birim vektör olarak seçersek Az , A matrisinin sütunlarına karşılık gelir. Halbuki A matrisinin sütunlarının normları sıfırdır. Bu nedenle A matrisinin sütunları sıfırdır, yani A=0’dır. ii) Herhangi bir c skaleri için cA = max cAz z =1 = c max Az z =1 =c A elde edilir. iii) zo, z 0 = 1 ve ( A + B ) z 0 = A + B olacak şekilde bir vektör olsun. Bu takdirde A + B = ( A + B) z 0 ≤ Az 0 + Bz 0 19 ≤ A z0 + B z0 ≤ A + B olur. iv) zo, z 0 = 1 ve ABz 0 = AB olacak şekilde bir vektör ise AB = ABz 0 = A( Bz 0 ) ≤ A Bz 0 ≤ A B z0 olur. z 0 = 1 yerine yazılırsa AB ≤ A B elde edilir ki bu da istenendir. Sonuç olarak A = max Az ile tanımlı A , matris normu olur. z =1 Tanım 2.2.3. A , m×n matris olmak üzere, m A 1 = max ∑ aij j i =1 ile tanımlanan matris normuna sütun normu denir. Tanım 2.2.4. A , m×n matris olmak üzere, A n ∞ = max ∑ a ij i ile tanımlanan matris normuna satır normu denir. j =1 20 Tanım 2.2.5. A , m×n matris olmak üzere, A E ⎛ m = ⎜∑ ⎜ i =1 ⎝ 2 n ∑a j =1 ij ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1/ 2 = iz ( A H A) = iz ( AA H ) = r ∑σ i =1 2 i ( A) r: rank ile verilen norma Euclide normu denir. Bazen Euclide norm yerine Frobenius normu, Schur norm veya HilbertSchmidt normu ifadeleri de kullanılır. Tanım 2.2.6. Herhangi bir A matrisinin AT transpozesini alalım. Bu AT matrisinin elemanlarının her biri yerine elemanın kompleks konjugesini koymakla elde edilen ( ) matrisine A matrisinin hermitian(eşlenik) transpozesi denir ve A H yeni AT ile gösterilir. Tanım 2.2.7. A = ( a ij ) m×n ve AHA nın özdeğerlerinin kareköküne A’nın singüler değerleri denir ve σ ( A) = { λi : λi , AHA nın özdeğerleri } dir. Tanım 2.2.8. A , m×n matris ve AH matrisi A matrisinin eşlenik transpozesi olmak üzere AHA çarpım matrisinin spektral normu denir ve A 2 ile gösterilir. Yani; A 2 = {λ: λ, AHA’nın mutlak değerce en büyük özdeğerinin karekökü} A 2 = λ max( A H A) = σ max ( A) 21 olarak tanımlanır. Tanım 2.2.9. A, m×n matris olmak üzere, A P ⎛ m = ⎜∑ ⎜ i =1 ⎝ P n ∑a j =1 ij şeklinde tanımlanan norma A matrisinin ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1/ P P (1<p<∞) normu denir. Örnek 2.2.1. ⎡ 1 0 − 3⎤ A = ⎢⎢ 0 1 0 ⎥⎥ ⎢⎣− 2 1 2 ⎥⎦ matrisinin normlarını bulunuz. m Çözüm: İlk olarak A 1 = max ∑ aij sütun normunu bulalım. j i =1 A 1 = max{(1 + 0 + − 2 ), ( 0 + 1 + 1 ), ( − 3 + 0 + 2 )} =max{3,2,5}=5 olarak bulunur. İkinci olarak A A ∞ n ∞ = max ∑ a ij satır normunu bulacak olursak, i j =1 = max{(1 + 0 + − 3 ), ( 0 + 1 + 0 ), ( − 2 + 1 + 2 )} =max{4,1,5}=5 elde edilir. A A E E ( ⎛ m = ⎜∑ ⎜ i =1 ⎝ 2 2 2 n ∑a j =1 ij ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2 1/ 2 Euclide normu ise 2 2 2 2 2 = 1 + 0 + −3 + 0 + 1 + 0 + −2 + 1 + 2 2 ) = 20 = 4,472136 olur. A 2 = {λ: λ, AHA’nın mutlak değerce en büyük özdeğerinin karekökü} olduğundan 22 A 2 = 9 + 73 = 9 + 8,5440037 = 17,5440037 = 4,1885563 elde edilir. Teorem 2.2.2. [46] Genelleştirilmiş bir matris normu daima matrisin elemanlarına bağımlıdır. Yani ε>0 olmak üzere her i,j için aij − bij < δ iken A − B <ε olacak şekilde ε’a bağlı bir δ>0 vardır. İspat: A ve B , n-kare matrisler olsun. Eij eij=1 ve diğer bütün elemanları sıfır ( Eij=eieTj ) olan bir matris ise A − B = ∑ (aij − bij )Eij i, j olur. m = max Eij i, j alırsak matris normunun M1) aksiyomundan m>0 olacaktır. M2) ve M3) aksiyomlarından da A − B ≤ ∑ aij − bij Eij ≤ m∑ aij − bij i, j i, j elde edilir. Herhangi bir ε>0 için δ = ε mn 2 alalım. Eğer A ve B matrislerini i,j=1,2,…,n için aij − bij < δ olacak şekilde seçersek A − B < mn 2 = ε elde ederiz. aij − bij < δ ve A − B ≥ A − B olduğundan A− B <ε olur ki, ispat tamamlanır. 23 Teorem 2.2.3. [46] A, n-kare matris, A α ve A β genelleştirilmiş iki matris normu olsun. Sadece normların seçimine bağlı m≤ Aα A ≤M β olacak şekilde bir m ve M pozitif sayıları mevcuttur. İspat: Eij , eij=1 ve diğer bütün elemanları sıfır (Eij=eieTj ) olan bir matris olmak üzere k 2 = max Eij i, j α ve a = max aij olarak seçelim. Matris normunun M2) ve M3) i, j aksiyomlarından A α ≤ ∑ aij Eij i, j α ≤ ak 2 (2.11) olur. a=1 olacak şekilde bütün matrislerin cümlesini ℑ ile gösterip k1 = min B B∈ℑ α seçersek Teorem (2.3.1.) den B α , B matrisinin elemanlarına bağlı olduğundan k 1 = B0 α olacak şekilde bir B0 ∈ ℑ vardır. M1) aksiyomundan k1>0 ve k1, A matrisinden bağımsızdır. a n = a ve B ∈ ℑ olmak üzere A matrisini A=anB olarak seçersek Aα =aB α ≥ ak1 (2.12.) olur. (2.11) ve (2.12) ‘ den ak1 ≤ A α ≤ ak 2 (2.13) elde ederiz. Benzer şekilde . β normuna bağlı olarak ah1 ≤ A β ≤ ah2 (2.14) 24 olacak şekilde h1, h2 pozitif sayıları vardır.(2.13) ve (2.14) eşitsizliklerini taraf tarafa bölersek A α k2 k1 ≤ ≤ h1 B β h2 elde edilir ve m = k1 k ve M = 2 dersek ispat tamamlanmış olur. h1 h2 Tanım 2.2.10. A, n-kare matris olmak üzere A matrisinin mutlak değerce en büyük özdeğerine A’nın spectral yarıçapı denir ve ρ ( A) ile gösterilir. O halde herhangi bir λi özdeğeri için λi ≤ ρ ( A) olacaktır ve en az bir i (1 ≤ i ≤ n) değeri için λi = ρ ( A) olacaktır. Ayrıca, bir A kare matrisinin spektral yarıçapı, o matrisin normuna eşit veya küçüktür. Yani; ρ ( A) ≤ A dır. 2.3. Matris Normları Arasındaki Bağıntılar Matris normlarında , . 1 satır normunu , . 2 spektral normunu , . ∞ sütun normunu bir önceki kısımda görmüştük. Ayrıca A , m×n matrisi için olsun. Bu durumda bu normlar arasında 1) A 2 ≤ A 2) A Δ E ≤ n. A 2 ≤ A 2 ≤ m.n . A Δ A Δ = max aij 25 3) A 2 ≤ 1 4) ∞ . A ∞ ≤ A 2 ≤ m. A ∞ n 1 5) A 1. A m . A 1 ≤ A 2 ≤ n. A 1 bağıntıları geçerlidir.[46] Örnek 2.3.1. 0 2⎤ ⎡1 ⎢ 1 0 ⎥⎥ A=⎢ 4 ⎢⎣− 3 − 2 − 1⎥⎦ matrisi için yukarıdaki bağıntıları gekçekleyelim. Çözüm: Yukarıdaki bağıntılarda verilen normları hesaplarsak n A 1 = max ∑ aij = max{(1 + 4 + − 3 ), ( 0 + 1 + − 2 ), ( 2 + 0 + − 1 )} j i =1 = max{8,3,3} = 8 , n A A ∞ E = max ∑ aij = max{(1 + 0 + 2 ), ( 4 + 1 + 0 ), ( − 3 + − 2 + − 1 )}=6 i ⎛ m = ⎜∑ ⎜ i =1 ⎝ j =1 2 n ∑a j =1 ij ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1/ 2 ⎛ = ⎜ ⎝ 1 2 + 0 2 + 2 2 + 4 2 + 1 2 + 0 2 = 36 =6 , A2= 57 13 + = 3,7749172 + 1,8027756 = 5,5776928 2 2 ve A Δ = max aij = 4 elde edilir. + −3 2 + −2 2 + −1 2 ⎞ ⎟ ⎠ 1 / 2 26 Şimdi bağıntıları gerçekleyelim. 1) A2≤ A E ≤ n. A 2 5,5776928 ≤ 6 ≤ 3.(5,5776928) 5,5776928 ≤ 6 ≤ 9,6608473 , A 2) Δ ≤ A 2 ≤ m.n . A Δ 4 ≤ 5,5776928 ≤ 3.3.4 = 12 , 3) A2≤ A 1. A ∞ 5,5776928 ≤ 8.6 = 6,9282032 , 4) 1 n 1 3 . A ∞ ≤ A 2 ≤ m. A ∞ .6 ≤ 5,5776928 ≤ 3.6 , 5) 1 m 1 3 olarak elde edilir. . A 1 ≤ A 2 ≤ n. A 1 .8 ≤ 5,5776928 ≤ 3.8 = 13,856406 , 27 3.HADAMARD ÇARPIM VE ÖZELLİKLERİ Bu bölümde, bilinen matris çarpımından daha basit olan bir matris çarpımı üzerinde duracağız. [ ] [ ] Tanım.3.1. A = aij ∈ M m ,n ve B = aij ∈ M m,n matrisleri verilsin. [ A B = aij bij ] şeklinde tanımlanan çarpıma A ve B matrislerinin Hadamard Çarpımı denir. Hadamard çarpımı için uygun şartlar iki matrisin aynı mertebeye sahip olması gerektiğidir ve bilinen matris toplamında olduğu gibi karşılıklı aynı indisli elemanların çarpımı şeklindedir. Hadamard çarpımı alanındaki ilk sonuçlar Issai Schur tarafından elde edildiği için bu çarpım Schur çarpımı olarak da adlandırılır. Bu alandaki çalışmaların çoğunluğu Hadamard çarpımı altında pozitif yarı tanımlı matrislerin durumu ile alakalıdır. [ ] Tanım 3.2. A = aij ∈ M m,n matrisi verilsin. ⎛ n ri ( A) = ⎜⎜ ∑ aij ⎝ j =1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1/ 2 i=1,2,…,m ve 2⎞ ⎛ m c j ( A) = ⎜ ∑ aij ⎟ ⎝ i =1 ⎠ 1/ 2 j=1,2,…,n şeklindeki normlara sırayla A matrisinin Euclidean satır ve sütun normları denir.[46]. Yukarıda tanımlanan ri ( A) , c j ( A) değerlerini, r1 ( A) ≥ r2 ( A) ≥ ... ≥ rm ( A) c1 ( A) ≥ c 2 ( A) ≥ ... ≥ c n ( A) { } kümesi AA∗ matrisinin {c ( A) , c ( A) ,..., c ( A) } kümesi de A∗ A matrisinin olarak sıralayalım. Bu durumda r1 ( A) , r2 ( A) ,..., rm ( A) esas köşegen elemanları ve 2 2 1 2 2 2 2 n 2 28 esas köşegen elemanlarıdır. Ayrıca σ 1 ( A) , A matrisinin en büyük singüler değeri olmak üzere daima r1 ( A) ≤ σ 1 ( A) (3.1) c1 ( A) ≤ σ 1 ( A) dır. [46]. Lemma 3.1.1. [46] A, B ∈ M m ,n Eğer ve D∈Mm ve E ∈ M n köşegen matrisler ise D( A B) E = ( DAE ) B = ( DA) ( BE ) ( AE ) ( DB) = A ( DBE ) dir. Lemma 3.1.2. [46] D x = köş ( x1 , x 2 ,..., x n ) (i=1,…,m) A, B ∈ M m ,n x∈Cn ve olmak üzere AD x B T olsun. x ∈ C n vektörü için matrisinin i. köşegen elemanı ( A B) x vektörünün i. bileşeni ile çakışır. [ ] [ ] İspat. Eğer A = aij , B = aij [ ] ve x = x j ise i=1,…,m için n n j =1 j =1 ( AD x B T ) ii = ∑ aij x j bij =∑ aij bij x j = [( A B )x ]i olur ki, istenendir. Lemma 3.1.3. [46] A, B, C ∈ M m ,n olsun. i=1,…,m için ( A B)C T matrisinin i. köşegen elemanı ( A C ) B T matrisinin i. köşegen elemanı ile çakışır. Lemma 3.1.4. [46] A, B, C ∈ M m ,n ve x, y ∈ C n için ( y ∗ ( A B )x = iz D y∗ AD x B T ) dir. İspat. e=[1,1,…,1]T olmak üzere Dxe=x olduğunu göz önüne alarak [( )] ( y ∗ ( A B )x = e T D y∗ ( A B )x = e T D y∗ A B x = iz D y∗ AD x B T ) olduğu gösterilmiş olur. İkinci eşitlik Lemma 3.1.1 ve Lemma 3.1.2 den elde edilmiştir. Örnek 3.1.1. ( ) x ∗ ( A B )x = iz D x∗ AD x B T = D x∗ AD x B olduğu açıktır. 29 Tanım 3.3. A, n-kare Hermityen matris olsun. Sıfırdan farklı ∀x ∈ C n vektörü için x ∗ Ax > 0 ise A matrisine pozitif tanımlı matris denir. Eğer x ∗ Ax ≥ 0 ise bu takdirde A matrisine pozitif yarı tanımlı matris denir. Eğer A Hermityen matrisi pozitif tanımlı ise aynı zamanda pozitif yarı tanımlıdır. Teorem 3.1.1.(Schur Teoremi) Eğer A, B ∈ M n pozitif yarı tanımlı matrisler ise o zaman A B matrisi de pozitif yarı tanımlıdır. Ayrıca B matrisi pozitif tanımlı ve A matrisinin köşegen elemanları sıfırdan farklı ise A B pozitif tanımlıdır. Özellikle, A ve B matrislerinin her ikisi de pozitif tanımlı ise A B pozitif tanımlıdır. İspat. Lemma 3.1.4 den herhangi bir x ∈ C n için ( ) x ∗ ( A B )x = iz D x∗ AD x B T [( = iz ⎡(A ⎢⎣ = iz B 1 / 2 ) 1/ 2 ( T D x∗ A1 / 2 A1 / 2 D x B 1 / 2 ( Dx B1/ 2 ) ) (A T ∗ 1/ 2 ) T ( ] Dx B1 / 2 ) T )⎤⎥⎦ ≥ 0 olacağından istenilen bulunmuştur. Teorem 3.1.2. [46] Herhangi A, B ∈ M m ,n matrisleri için, σ 1 ( A) A matrisinin singüler değeri olmak üzere σ 1 ( A B ) ≤ σ 1 ( A)σ 1 (B ) dir. Teorem 3.1.3. [46] Herhangi A, B ∈ M m ,n matrisleri için ⎧r ( A)σ 1 (B ) ⎫ σ 1 ( A B ) ≤ σ 1 ( A)c1 (B ) ≤ ⎨ 1 ⎬ ≤ σ 1 ( A)σ 1 (B ) ⎩σ 1 ( A)c1 (B )⎭ dir. İspat. Yalnızca birinci eşitsizliği göstereceğiz. Her x,y birim vektörleri için σ 1 ( A B ) = max x ∗ ( A B ) y x ∗ ( A B )y olduğundan x∈Cn ve değerini hesaplayalım. x ∗ ( A B )y = ∑x a b i i, j ij ij yi y ∈Cn vektörleri için 30 ⎛ ≤ ⎜⎜ ∑ xi aij ⎝ i, j ⎛ = ⎜⎜ ∑ xi ⎝ i 2 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1/ 2 ∑a ⎛ ⎜ ∑ bij x j ⎜ ⎝ i, j 2 ij j ⎛ ⎞ 2 = ⎜ ∑ xi ri 2 ( A)⎟ ⎝ i ⎠ 2 1/ 2 1/ 2 ⎛ 2 2⎞ ≤ ⎜ ∑ xi r1 ( A) ⎟ ⎝ i ⎠ = r1 ( A)c1 (B ) x ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1/ 2 ⎛ ⎜∑ y j ⎜ ⎝ j ∑b 2 ⎛ ⎞ 2 ⎜ ∑ y j c 2j ( B ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ j ⎠ 1/ 2 1/ 2 y 2 2 ij ⎛ ⎞ 2 ⎜ ∑ y j c1 ( B ) 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ j ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1/ 2 1/ 2 2 olur ki, eşitsizlik elde edilir. Birinci eşitsizliğe Cauchy-Schwarz eşitsizliği denir. Şimdi de singüler değerlerin toplamı olarak tanımlanan Ky Fan k-normunu kullanarak teorem 3.1.2 deki eşitsizliğin genel halini verelim. Teorem 3.1.4. [46] Herhangi A, B ∈ M m ,n matrisleri için k k ∑ σ ( A B ) ≤ ∑ σ ( A)σ (B ) , i =1 i i i =1 i k=1,…,n dir. Teorem 3.1.5. [46] Herhangi A, B ∈ M m ,n matrisleri A B 2 ≤ A A 1/ 2 2 B B 1/ 2 2 ≤ A 2 B 2 dir. ( A , A matrisinin eşleniği.) Teorem 3.1.6. [46] A ∈ M n matrisi pozitif yarı tanımlı ve B ∈ M n herhangi bir matris olsun. d i ( A) , A matrisinin köşegen elemanları olmak üzere k k ∑ σ ( A B ) ≤ ∑ d ( A)σ (B ) i =1 i i =1 i i k=1,…,n ve eğer B matrisi de pozitif yarı tanımlı ise k k i =1 i =1 ∑ λi ( A B ) ≤ ∑ d i ( A)λi (B ) , k=1,…,n dir. 31 Teorem 3.1.2. [52] A, B, C ∈ M m ,n olsun. Eğer A = B C ise A 2 ≤ r1 ( A)c1 (C ) dir. Tanım 3.4. x = [xi ] ∈ R n y = [yi ]∈ R n ve vektörleri verilsin. Eğer x ve y vektörlerinin bileşenleri artan sırada olmak üzere k k i =1 i =1 ∑ xi ≤ ∑ yi , k=1,2,…,n ise x vektörü, y vektörü tarafından zayıf bir şekilde majorize edilmiştir denir ve xα w y şeklinde gösterilir. Hem xα w y hem de n n i =1 i =1 ∑ xi = ∑ y i ise x vektörü, y vektörü tarafından majorize ediliyor denir ve xα y şeklinde ifade edilir. Örnek 3.1.2. A ∈ M n matrisi Hermityen olsun. O zaman A matrisinin köşegen elemanlarının vektörü, özdeğerlerinin vektörünü majorize eder. Yani, k k i =1 i =1 ∑ λi ≤ ∑ aii k=1,…,n-1 olur. k=n durumunda eşitlik sağlanır. Lemma 3.1.7. [2] Eğer A, B T ∈ M m,n ise k k i =1 i =1 ∏ σ i ( AB ) ≤ ∏ σ i ( A)σ i (B ) , k=1,…,min{m,n} (3.2) eşitsizliği geçerlidir. Ayrıca, zayıf çarpanlanabilir majarizasyon eşitsizliği zayıf toplanabilir eşitsizliğini ifade eder. Lemma 3.1.8. [2] Eğer x1 ≥ x 2 ≥ ... ≥ x n ≥ 0 ve y1 ≥ y 2 ≥ ... ≥ y n ≥ 0 değerleri için k k i =1 i =1 ∏ xi ≤ ∏ yi , k=1,…,n (3.3) eşitsizliği sağlanıyor ise k k ∑x ≤ ∑y i =1 i i =1 i , k=1,…,n (3.4) 32 eşitsizliği de sağlanır. Tanım 3.1.3. A ∈ M n matrisi verilsin. Eğer A matrisinin en büyük singüler değeri 1 veya 1’den küçük ise A matrisine büzülme matrisi denir. Yani, σ 1 ( A) ≤ 1 dir. Lemma 3.1.9.[2] A, B ∈ M n matrisleri verilsin. Bu takdirde A = X ∗Y olacak şekildeki herhangi X , Y ∈ M r ,n matrisleri için k k i= i =1 ∑ σ i ( A B ) ≤ ∑ ci ( X )ci (Y )σ 1 (B ) , k=1,2,…,n (3.5) dir. Buradan şu sonuç çıkar. k k i =1 i =1 ∏ σ i ( A B ) ≤ ∏ ci ( X )ci (Y )σ 1 (B ) , k=1,2,…,n (3.6) Lemma 3.1.10. [2] Herhangi A, B, C ∈ M n için [( ) ] iz[( A B )C ] = iz A C T B T (3.7) Lemma 3.1.11. [2] A ∈ M n matrisi λ1 ( A) ≥ λ 2 ( A) ≥ ... ≥ λ n ( A) şartını sağlayan λ1(A),…,λn(A) öz değerlerine sahip olsun. Bu takdirde k k ∏ λ ( A) ≤ ∏ σ ( A) i i =1 i , k=1,…,n (3.8) i =1 dir. Lemma 3.1.8 den k k i =1 i =1 ∑ λi ( A) ≤ ∑ σ i ( A) , k=1,…,n (3.9) elde edilir. Lemma 3.1.12. [2] A, K r , K s ∈ M n matrisleri verilsin. σ 1 (K r ) = ... = σ r (K r ) , σ 1 (K s ) = ... = σ s (K s ) = 1 , σ r +1 (K r ) = ... = σ n = 0 ve σ s +1 (K s ) = ... = σ n (K s ) = 0 olsun.Bu takdirde X ∗Y = A olacak şekildeki herhangi X , Y ∈ M r ,n için iz[( A K r )K s ] ≤ dir. min {r , s } ∑ c ( X )c (Y ) i =1 i i (3.10) 33 Lemma 3.1.13. [2] B ∈ M n matrisi σ 1 (B ) ≥ σ 2 (B ) ≥ ... ≥ σ n (B ) ≥ 0 sıralı singüler değerlere sahip olsun. Bu takdirde her Kj bir rank j kısmi izometrisi, β j ≥ 0 , (j=1,…,n) ve n ∑β j =k Lemma 3.1.14. [2] j = σ k (B ) , k=1,…,n (3.11) C ∈ M n ve 1 ≤ k ≤ n şartını sağlayan herhangi bir pozitif k tamsayısı için k ∑ σ (C ) = iz (CC ) j =1 olacak şekilde bir C k ∈ M n i k rank k kısmi izometri vardır. 34 4.CAUCHY-TOPLİTZ VE CAUCHY-HANKEL MATRİSLERİ Bu bölüm, sonraki bölümler için gerekli temel tanımlardan oluşmaktadır. Öncelikle, çalışma boyunca kullanılacak olan polygamma fonksiyonu ve onun özellikleri hakkında kısaca bilgi verelim. 4.1.GAMMA,PSİ VE RİEMANN ZETA FONKSİYONU Tanım.4.1.1. Gamma fonksiyonu, ∞ Γ( x) = ∫ e −t t x −1 dt 0 olmak üzere, Ψ ( x) = Psi( x) = d {ln[Γ( x)]} dx şeklinde tanımlı fonksiyona psi ( veya digamma ) fonksiyonu denir. Psi fonksiyonun n. Mertebeden türevine de polygamma fonksiyonu denir ve Ψ ( n, x ) = dn dn ( ) Psi x = dx n dx n ⎡d ⎤ ⎢ dx ln[Γ( x)]⎥ ⎣ ⎦ şeklinde gösterilir. n≥0 dır. Eğer, n=0 ise Ψ (0, x) = Psi ( x) = d {ln[Γ( x)]} dx olur. [51]. x −1 Özellik.4.1.1. Δf ( x) = f ( x + 1) − f ( x) fark operatörü ve Δ−1 f ( x) = ∑ f (i ) i =0 fark operatörü olmak üzere Ψ (m, x) = d (ln[Γ( x + 1)]) dx m (m>0) ters 35 eşitsizliğinin her iki tarafına ileri fark operatörünü uygularsak, ΔΨ (m, x) = d Δ(ln[Γ( x + 1)]) dx m d Γ( x + 2) ln m Γ( x + 1) dx = = d ln( x + 1) dx m = d ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ dx m −1 ⎝ x + 1 ⎠ = (−1) m −1 (m − 1)! ( x + 1) m olur. Şimdi de her iki yana ters fark operatörünü uygularsak, ⎛ ( −1) m −1 (m − 1)! ⎞ 1 m −1 −1 ⎛ ⎟ ⎜⎜ ( 1 ) ( m 1 )! Ψ (m, x) = Δ−1 ⎜⎜ = − − Δ m m ⎟ ( x + 1) ⎝ ( x + 1) ⎝ ⎠ ⎞ ⎟⎟ ⎠ elde edilir. Buradan da ⎛ 1 Δ−1 ⎜⎜ m ⎝ ( x + 1) ⎞ (−1) m −1 ⎟⎟ = Ψ (m, x) ⎠ (m − 1)! x −1 yazılır. Ters fark operatörü Δ−1 f ( x) = ∑ f (i ) şeklinde tanımlı olduğu için (4.1.) i =0 ifadesi bir asimptotik serinin polygamma cinsinden değerini ifade eder. [57]. Özellik.4.1.2. a∈Ζ+ ,b herhangi bir sayı n∈Ζ+ olmak üzere, lim Ψ (a, n + b) = 0 n→∞ dır. .[57]. Tanım.4.1.2. s > 1 olmak üzere ∞ 1 s n =1 n ζ (s) = ∑ fonksiyonuna Riemann’ın zeta fonksiyonu denir. (4.1.) 36 4.2. CAUCHY,HANKEL VE TOEPLİTZ FORMLARI Tanım 4.2.1. xi ≠ y j ( xi , y j ∈ C ) ve 1 ≤ i. j ≤ n olmak üzere elemanları cij = [ ] ile tanımlı A = cij n 1 xi − y j (4.2) matrisine Cauchy matrisi denir. [47,84,27]. i , j =1 n ⎡ 1 ⎤ matrisi bir Cauchy matrisi olsun. Şimdi An matrisinin An = ⎢ ⎥ ⎣⎢ xi − y j ⎥⎦ i , j =1 determinantı için bir formül verelim. An matrisinin en son satırını önceki satırların her birinden çıkaralım ve bu işlemi sütunlar için de yapalım. Bunları yaptıktan sonra (n − 1). mertebeden An −1 alt matrisini sağdan ve soldan köşegen elemanları ile çarpalım. Buradan An matrisinin determinantını hesaplarsak det An = det An −1 1 xn − y n (xi − xn )( y n − yi ) i =1 i − y n )( x n − y i ) n −1 ∏ (x elde edilir. Sonuçta det An = ∏ (x 1≤i < j ≤ n i − xj ) ∏ (y ∏ (x − y ) j − yi ) 1≤i < j ≤ n i (4.3) j 1≤i , j ≤ n bulunur . xi ≠ x j ve y i ≠ y j ise An matrisi singüler değildir. z = [z1 ...z n ] ve b = [b1 ...bn ] T T olmak üzere An z = b lineer denklem sistemini göz önüne alalım. Bu sistemi Cramer kuralı ile çözersek (4.3)’e benzer z = (− 1) 1 det An n ∏ (x ∑ (− 1) b k =1 k k 1≤ i < j ≤ n i, j ≠k i − xj ) ∏ (x 1≤i < j ≤ n i≠k , j ≠ ∏ (y 1≤i < j ≤ n i, j≠ i − yj) j − yi ) 37 ifadesi elde edilir. (4.3)’deki det An değeri z ifadesinde yerine yazılıp, gerekli düzenlemeler yapılırsa n u = ∏ (x i ∏ (y i i =1 n −y −y ) ( ) = 1,2,3,..., n ) (4.4) (k = 1,2,3,..., n ) (4.5) i =1 i≠ ve ∏ (x n vk = k − yj ) j =1 ∏ (x n k − xj ) i =1 i≠ olmak üzere z =u n ∑x k =1 v k bk k − y ( = 1,2,3,..., n ) elde edilir. Tanım 4.2.2. n ≥ 1 olmak üzere H n −1 ( x, x ) = n −1 ∑h i , j =0 i+ j xi x j kuadratik formuna Hankel formu denir. Bu forma uyan matrise de Hankel matrisi denir ve H n −1 = (hi + j )i , j =0 n −1 (4.6) olarak gösterilir. [35,48]. Bir Hankel matrisinin açık gösterimi, H n −1 ⎡ h0 ⎢h ⎢ 1 ⎢ . ⎢ =⎢ . ⎢ . ⎢ ⎢ hn ⎢h ⎣ n +1 h1 . . . hn h2 . . . hn +1 . . . . . . . . . . . hn +1 . . . . . . . h2 n − 4 hn + 2 . . . h2 n − 3 hn −1 ⎤ hn + 2 ⎥⎥ . ⎥ ⎥ . ⎥ . ⎥ ⎥ h2 n − 3 ⎥ h2 n − 2 ⎥⎦ şeklindedir. Buradan görüldüğü gibi Hankel matrisleri simetriktir. Ayrıca sonsuz mertebeden bir Hankel matrisi de 38 H ∞ = (hi + j )i , j =0 ∞ olarak tanımlanır. Tanım 4.2.3. n ≥ 1 ve t i − j ler kompleks sayılar olmak üzere Tn −1 ( x, x ) = n −1 ∑t i , j =0 i− j xi x j kuadratik formuna Toeplitz formu denir. Bu forma tekabül eden Tn −1 = (t i − j )i , j =0 n −1 (4.7) biçimindeki matrise Toeplitz matrisi denir. [48]. Bir Toeplitz matrisini açık olarak Tn −1 ⎡ t0 ⎢t ⎢ 1 ⎢ . ⎢ =⎢ . ⎢ . ⎢ ⎢t n − 2 ⎢t ⎣ n −1 t −1 t0 . . . t −n+ 2 . . . t − n +3 . . . . . . . . . . . . . . . t n −3 t n−2 . . . . . . t0 t1 t − n +1 ⎤ t − n + 2 ⎥⎥ . ⎥ ⎥ . ⎥ . ⎥ ⎥ t −1 ⎥ t 0 ⎥⎦ şeklinde yazılır. Buradan görüldüğü üzere bir Toeplitz matrisinin elemanları esas köşegene paralel köşegenler boyunca aynıdır. Dolayısıyla bir Toeplitz matrisini, matrisin ilk satır vektörü ile ilk sütun vektörü temsil eder diyebiliriz. a 0 , a1 , b1 , a 2 , b2 ,..., a n , bn ,... katsayıları reel olmak üzere ∞ f ( x ) = a0 + 2∑ r n (a n cos nx + bn sin nx ) (4.8) n =1 Fourier serisini ele alalım. Bu seri kutupsal koordinatlarda bir harmonik fonksiyonun açılımıdır. Eğer t i − j = t m , t m = a n − ibn , t − m = t = a n + ibn (m = 0,∓1,∓2,...,∓ (n − 1)) olmak üzere t − m = t m ise Tn −1 matrisi hermityen olur ve bu matris Tn −1 ( x, x ) = n −1 ∑t i , j =0 i− j xi x j hermityen toeplitz formuna karşılık gelir. Ayrıca sonsuz mertebeden bir Toeplitz matrisi de 39 T∞ = (t i − j )i , j =0 ∞ olarak tanımlanır. Tanım 4.2.4. (4.2) ile verilen Cauchy matrisinde a ve b keyfi sayılar olmak üzere a ⎛ ⎞ ⎜ b ≠ 0, ∉ Ζ ⎟ x k = a + kb ve y j = jb alınarak elde edilen b ⎝ ⎠ n ⎡ ⎤ 1 Tn = ⎢ ⎥ ⎣ a + (k − j )b ⎦ k , j =1 (4.9) matrisine Cauchy-Toeplitz matrisi denir. Tn matrisinin elemanları 1 ts = 2π π ∫π f (x )e −isx (s = 0,∓1,∓2,...,∓ (n − 1)) dx (4.10) − eşitliği elde edilir. Burada f (x ) fonksiyonu f ( x ) = c(s )e i (a +b (k − j ))x (4.11) şeklinde tanımlı ve i ∈ C dir. [84,22,80]. Tanım 4.2.5. (4.2) ile verilen Cauchy matrisinde a ve b keyfi sayılar olmak üzere a ⎛ ⎞ ⎜ b ≠ 0, ∉ Ζ ⎟ x k = a + kb ve y j = − jb alınarak elde edilen b ⎝ ⎠ n ⎡ ⎤ 1 Hn = ⎢ ⎥ ⎣ a + (k + j )b ⎦ k , j =1 (4.12) matrisine Cauchy-Hankel matrisi denir. Hn matrisinin elemanları 1 hs = 2π π ∫π f (x )e −isx dx ( s = 2,3,...,2n) (4.13) − eşitliği ile elde edilir. Burada f ( x ) fonksiyonu f ( x ) = c(s )e i (a +b (k + j )) x şeklinde tanımlı ve i ∈ C dir. [84]. (4.14) 40 4.3. Toeplitz Matrislerin Öz Değerlerinin ve Singüler Değerlerinin Dağılımı f (θ ) ; reel değerli, sınırlı ölçülebilir ve 2π periyotlu bir fonksiyon olmak üzere Tn [ f ] , Toeplitz matrislerini temsil etsin. 1920’de [69] G. Szegö f (θ ) ∈ L∞ (− π , π ) ( L∞ ölçülebilir sınırlı fonksiyonların uzayı ) olmak üzere Tn [ f ] ’nin öz değerlerinin dağılımı ile ilgili bir temel teoremi ispat etmiştir. Fakat basit örnekler göstermiştir ki; f (θ ) reel değerli değil ise bu sonuç geçerli değildir. Daha sonra S.V. Parter G.Szegö’nün bu teoreminden yola çıkarak Tn [ f ] nin singüler değerlerinin dağılımı için bu teoremi genişletmiştir. [61]. f (θ ) ∈ L∞ (− π , π ) olmak üzere f (θ ) ’nın Fourier serisi; ∞ f (θ ) = ∑ c k e ikθ −∞ olsun. Tn [ f ] de t ij = c j −i olmak üzere Tn [ f ] = (t ij ) i,j=0,1,…,n ile tanımlı (n + 1) × (n + 1) Toeplitz matrisini göstersin. Eğer f (θ ) reel değerli ise c k = c − k olup Tn [ f ] hermityen matris olur. x = ( x0 , x1 ,..., x n ) , y = ( y 0 , y1 ,..., y n ) t . t n n . x(θ ) = ∑ x k e −ikθ , y (θ ) = ∑ y k e −ikθ k =0 k =0 ⎛ n ⎜ ve y ∗ (θ ) , y (θ ) ‘nın kompleks eşleniği ⎜ y ∗ (θ ) = ∑ y k e ikθ k =0 ⎜ ⎝ y ∗Tn [ f ]x = olur ve buradan da 1 2π π ⎞ ⎟ ⎟ olsun. Bu durumda ⎟ ⎠ ∫π y (θ ). f (θ ).x(θ ).dθ − ∗ (4.15) 41 y∗ x = 1 2π π ∫π y(θ ).x(θ ).dθ − yazılır. f (θ ) reel değerli olduğunda bu formül ile birlikte Tn [ f ] ’in öz değerleri (λn+1 ≤ λn ≤ ... ≤ λ1 ) , m = inf f (θ ) , M = sup f (θ ) (4.15) olmak üzere m ≤ λi ≤ M (4.16) şeklinde bir dağılıma sahiptir. [61]. Teorem 4.3.1. (Szegö Teoremi). f (θ ) ∈ L∞ [− π , π ] reel değerli ve m, M değerleri (4.15) ile tanımlı olsun. F (λ ) ∈ C [m, M ] (sürekli fonksiyonların cümlesi) olmak üzere 1 n +1 1 F (λ j ) = ∑ n →∞ n + 1 2π j =1 π lim ∫π F ( f (θ )).dθ − dır. Üstelik sabit bir j ≥ 2 için , n → ∞ iken λi → M , λ n + 2 − j → m dır. [61,84,77]. Teorem 4.3.2. f (θ ) ∈ L∞ [− π , π ] ve Tn [ f ] nin singüler değerleri 0 ≤ σ n +1 ≤ σ n ≤ ... ≤ σ 1 olsun. Kabul edelim ki ; f 0 (θ ) reel değerli ve R0 (θ ) ’da R0 (θ ) = 1 şartı altında 2π periyotlu, sürekli periyodik bir fonksiyon olmak üzere f (θ ) = f 0 (θ ).R0 (θ ) (4.17) şeklinde yazılabilsin. Bu durumda M = sup f (θ ) ve F (λ ) ∈ C [0, M ] olmak üzere 1 n +1 1 F (σ j ) = ∑ n→∞ n + 1 2π j =1 lim π ∫π F ( f (θ ) ).dθ (4.18) − dır. [61,77]. Lemma 4.3.1. A , n × n tipinde kompleks bir matris ve A matrisinin singüler değerleri de 0 ≤ σ n +1 ≤ σ n ≤ ... ≤ σ 1 olsun. Bu durumda , σ k = max min dim S = k x∈S dir. Burada S , C n×n nin bir alt uzayıdır. [37,61]. Ax x 2 2 42 Sonuç 4.3.1. σ j ( j = 1,2,..., n + 1) , Tn [ f ] nin singüler değerleri ve M = sup f (θ ) olsun. Bu durumda 0≤σ j ≤ M dir. [61]. (4.19) 43 5.Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel Matrislerinin Normları İçin Sınırlar 5.1. Cauchy-Toeplitz Matrislerinin Normları İçin Sınırlar Teorem 5.1.1. [13] n ⎡ ⎤ 1 Tn = ⎢ ⎥ ⎣ g + (i − j )h ⎦ i , j =1 şeklinde bir Cauchy-Toeplitz matrisi olsun. O zaman s n > 0 ve s n = O(1 / n ) olmak üzere nπ − s n ≤ Tn ≤ h nπ h dir. İspat. 1 ⎡ ⎢ g ⎢ 1 ⎢ ⎢ Tn = ⎢. g + h . ⎢ . ⎢ 1 ⎢ ⎢⎣ g + (n − 1)h 1 ⎡ ⎢ g ⎢ h ⎢ 1 ⎢ ⎢ g 1⎢ +1 = h h⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢ 1 ⎢g ⎢ + (n − 1) ⎣h olduğu için . E 1 g −h 1 g . . 1 g + (n − 2)h 1 g −1 h 1 g h . . 1 g + (n − 2 ) h Euclide normu olmak üzere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ⎤ g − (n − 1)h ⎥ ⎥ 1 ⎥ g − (n − 2 )h ⎥ ⎥ . ⎥ . ⎥ 1 ⎥ ⎥⎦ g ⎤ ⎥ g − (n − 1) ⎥ h ⎥ 1 ⎥ ⎥ g − (n − 2 ) ⎥ h ⎥ . ⎥ ⎥ . ⎥ 1 ⎥ g ⎥ h ⎦ 1 44 Tn 2 E ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎜ ⎟⎥ ⎢ n −1 ⎜ 1 ⎢ n 1 1 ⎟⎥ = 2 + ∑ (n − k )⎜ + ⎟⎥ 2 2 2 h ⎢⎛ g ⎞ g g k =1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎢⎜ ⎟ ⎜ − k ⎟ ⎟⎟⎥ ⎜⎜ h + k⎟ ⎢⎣ ⎝ h ⎠ ⎝ ⎠ ⎝h ⎠ ⎠⎥⎦ ⎝ dir. Bu nedenle Tn 2 E ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎜ ⎟⎥ ⎢ n −1 ( n ⎢ 1 n − k)⎜ 1 1 ⎟⎥ + = 2 +∑ ⎜ ⎟ 2 2 2 n h ⎢⎛ g ⎞ k =1 ⎛g ⎞ ⎟⎥⎥ ⎜ ⎛⎜ g + k ⎞⎟ ⎢⎜ ⎟ ⎜ −k⎟ ⎟ ⎜ h ⎢⎣ ⎝ h ⎠ ⎠ ⎝h ⎠ ⎠⎥⎦ ⎝⎝ bulunur. ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ n −1 ( 1 1 1 ⎟ n − k)⎜ ≤π2 +∑ + ⎜ 2 2 2 ⎟ n k =1 ⎛g⎞ ⎛g ⎞ ⎜ ⎛⎜ g + k ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − k ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎝h⎠ ⎠ ⎝h ⎠ ⎠ ⎝⎝ h olduğu için Tn nπ h ≤ E elde edilir. Tn E için bir alt sınır elde etmek için ei , birim matrisinin i. sütununu belirtmek üzere Tn ei E ≤ Tn E eşitsizliğini kullanacağız. i = [n / 2] alınarak; Tn ei Tn ei 2 E 2 E n =∑ k =1 1 [g + (k − i )h]2 , g 1 n + − −1 ⎛ i− g − 3 h 2 4 ⎜ h 2 1 1 = 2⎜ ∑ + ∑ 2 h ⎜ k =0 (2k + 1) (2k + 1)2 k =0 ⎝ elde edilir. ∞ 1 ∑ (2k + 1) k =0 2 = π2 8 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 45 olduğu için n → ∞ için Tn e[n / 2 ] 2 E → π2 h2 sonucu elde edilir. ⎛ ∞ ∞ 4 ⎜ 1 1 + sn = 2 ⎜ ∑ ∑ 2 2 h ⎜ ⎡ n g 1 ⎤ (2k + 1) ⎡ n g 1 ⎤ (2k + 1) k =⎢ − − ⎥ k =⎢ − − ⎥ ⎣2 h 2⎦ ⎝ ⎣2 h 2⎦ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ olsun. s n ≤ π / h olduğu için nπ − sn ≤ h nπ 2 − s n ≤ Tn h2 E elde edilir ki bu da ispatı tamamlar. Teorem 5.1.2. [13] n ⎡ ⎤ 1 Tn = ⎢ ⎥ ⎣ g + (i − j )h ⎦ i , j =1 şeklinde bir Cauchy-Toeplitz matrisi olsun. Bu takdirde lim Tn−1 n→∞ E =∞ (5.1) ve −1 n E T = n −1 nπ ⎛⎜ ⎛ 2 g ⎞ ⎞⎟ O ⎜ ⎟ ⎜⎝ h ⎠ ⎟ h ⎝ ⎠ dir. İspat: w = (1,...,1) olsun. n → ∞ için T Tn−1 w w E → ∞ olduğunu göstermeliyiz. E u m ; U n = köş (u1 , u 2 ,..., u n ) , Vn = köş (v1 , v 2 ,..., v n ) An düzgün bir Cauchy (xi ≠ y j ) matrisi olmak üzere An−1 = U n AnT Vn (5.2) ve An [u1 ...u n ] = [1...1] T T dir. u m bu şekilde alınırsa, Tn−1 w = (u1 , u 2 ,..., u n ) T elde edilir. g ≥ 2 kabul edelim. Gamma-fonksiyon teorisinden 2h (5.3) 46 m −1 [ g / 2 h ] 1 ⎞ ⎛g ⎞ g ⎛ − = i 1− ⎟ ⎜ ⎟ ∏ m −1 ∏ ⎜ 2k ⎠ ⎠ h i =1 ⎝ h k =1 ⎝ m −1 ve m −1 [ g / 2 h ] 1 ⎞ ⎛ ⎛g ⎞ g ⎜ + i ⎟ = m −1 ∏ ⎜1 + ⎟ ∏ 2k ⎠ ⎠ h i =1 ⎝ h k =1 ⎝ m −1 bulunur. u l = um 1 l −1 ⎛ 1 ⎞ n −l ⎛ 1⎞ − 1 ⎜ ⎟∏ ⎜1 + ⎟ , l = 1,2,..., n ‘den ∏ 2 i =1 ⎝ 2i ⎠ i =1 ⎝ 2i ⎠ n −1 n −1 ⎡ ⎛ ( g / h )n −1 ⎞ ⎛ ⎞⎤ ( − 1) 1 n −1 2 ⎛ g ⎞ ⎟ + O⎜ ⎟ = gh ⎢ ⎜ ⎟ + O⎜⎜ 2 ⎟⎥ ⎜ ⎟ (m − 1)!(n − m )! ⎢⎣ π ⎝ h ⎠ ⎝ [g / 2h] ⎠⎥⎦ ⎝ [g / 2h] ⎠ elde edilir ki, bu u m2 = ⎡ 4 ⎛ g ⎞ 2n−2 ⎛ ( g / h )2 n − 2 O + ⎜⎜ ⎢ ⎜ ⎟ [(m − 1)!(n − m )!]2 ⎣⎢ π 2 ⎝ h ⎠ ⎝ [g / 2h] g 2 h 2n−2 ⎞ ⎛ ( g / h )n − 1 ⎞ ⎤ ⎟ + O⎜ ⎟ ⎟ ⎜ [g / 2h]2 ⎟⎥ ⎠ ⎝ ⎠⎦⎥ sonucunu doğurur. Böylece , C1 ve C 2 pozitif sabitler olmak üzere U m2 ≥ ⎛ 4 g 2n g 2n g n +1 ⎞ ⎜⎜ 2 − C1 ⎟ − C 2 n −1 [g / 2h] h [g / 2h] ⎟⎠ ⎝ π 1 [(m − 1)!(n − m )!]2 (5.4) eşitsizliği elde edilir. (5.2) eşitsizliğinin her iki yanının m üzerinden toplamını alırsak ⎛ 4 g 2n g 2n g n +1 ⎞ n 1 ⎜ ⎟⎟∑ − C 2 n −1 U ≥ ⎜ 2 − C1 ∑ [g / 2h] h [g / 2h] ⎠ m =1 [(m − 1)!(n − m )!]2 m =1 ⎝ π n 2 m elde edilir. h ≤ 1 , h ≠ 0 ve g ≥ 2 olduğu için 2h ⎛ 4 g 2n g 2n g n +1 ⎞ n 1 ⎟⎟∑ − C 2 n −1 →∞ lim⎜⎜ 2 − C1 n→∞ [g / 2h] h [g / 2h] ⎠ m =1 [(m − 1)!(n − m )!]2 ⎝ π dır. Bu nedenle Tn−1 w w E ≤ Tn−1 E E dir ve böylece (5.1) ispatlanmış olur. (5.2) ‘den Tn−1 = U nTnT Vn yazılır. Buradan Tn−1 E = U nTnT Vn E ≤ Un E TnT Vn E (5.5) 47 dir. Aynı zamanda Teorem 5.1.1.’den Tn−1 E nπ Un h ≤ E Vn (5.6) E eşitsizliği elde edilir.. u m ve v k tanımlarından Un E n −1 ⎞ ⎛ ⎜ ⎛ 2g ⎞ 2 ⎟ = O⎜ ⎜ ⎟ ⎟ , Vn ⎜⎝ h ⎠ ⎟ ⎠ ⎝ E n −1 ⎞ ⎛ ⎜ ⎛ 2g ⎞ 2 ⎟ = O⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎝ h ⎠ ⎟ ⎠ ⎝ (5.7) bulunur. (5.7)’deki değerleri (5.6)’de yerlerine koyarsak −1 n E T n −1 nπ ⎛⎜ ⎛ 2 g ⎞ ⎞⎟ O ⎜ ⎟ ⎜⎝ h ⎠ ⎟ h ⎝ ⎠ = elde edilir ki bu da ispatı tamamlar. Teorem [73] 0 < a < 1 5.1.3. , 1< b∈Z+ ve a/b∉Z olmak üzere n ⎡ ⎤ 1 ile tanımlı Cauchy-Toeplitz matrisinin spektral normu için Tn = ⎢ ⎥ ⎣ a + (k − j )b ⎦ k , j =1 9π ⎛ πa ⎞ 10 b sin ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠ ≤ Tn 2 ≤ π sin (πa ) (5.8) alt ve üst sınırları geçerlidir. İspat: Euclid norm tanımından , Tn 2 E ⎧⎪ 1 n −1 ⎛ 1 1 = ⎨n 2 + ∑ (n − s )⎜⎜ + 2 (a + sb )2 ⎪⎩ a s =1 ⎝ (a − sb ) ⎞⎫⎪ ⎟⎬ ⎟⎪ ⎠⎭ (5.9) yazılır. Burada sağ toplam ifadelerini polygamma fonksiyonuna bağlı olarak ifade edersek, Tn 2 E ⎧ 1 1 ⎛ a ⎞⎫ a ⎞ (a + bn ) ⎛ a⎞ 1 ⎛ a ⎞ (a − bn ) ⎛ ⎪n a 2 − b 2 Ψ⎜ n − b ⎟ + b 3 Ψ ⎜1, n − b ⎟ − b 2 Ψ ⎜ n + b ⎟ − b 3 Ψ ⎜1, n + b ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎪ 1 ⎪ (a − bn ) Ψ⎛1,1 − a ⎞ + 1 Ψ⎛1 + a ⎞ + (a + bn ) Ψ⎛1,1 + a ⎞ a ⎪+ 2 Ψ ⎛⎜1 − ⎞⎟ − ⎪ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎪⎩ b ⎪⎭ b ⎠ b2 ⎝ b ⎠ b⎠ b3 b3 ⎝ ⎝ ⎝ b⎠ olur. Bu eşitliğin her iki yanını n ile böler ve sağ tarafın n → ∞ için limitini polygamma fonksiyonun özelliklerinden faydalanarak alırsak, 48 ⎧⎪ 1 n −1 ⎛ 1 1 s ⎞⎛ lim ⎨ 2 + ∑ ⎜1 − ⎟⎜⎜ + 2 n→∞ a n ⎠⎝ (a − sb ) (a + sb )2 ⎪⎩ s =1 ⎝ ⎞⎫⎪ π2 ⎟⎬ = ⎟⎪ ⎠⎭ b 2 sin 2 ⎛⎜ πa ⎞⎟ ⎝ b ⎠ elde ederiz. Dolayısıyla 1 Tn n 2 E → π2 (5.10) ⎛ πa ⎞ b sin ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠ 2 2 yazılır. (5.10) ifadesinin karekökünü alırsak 1 n olur. Bu eşitsizlik Tn E → π (5.11) ⎛ πa ⎞ b sin ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠ n → ∞ için limit durumunda elde edildiğinden, n’nin küçük değerleri için (5.11)’in sağ tarafındaki değer Tn 2 değerini çok az geçmektedir. Bunun için (5.11) eşitsizliğinin sağ tarafındaki ifadeyi 9/10 gibi bir katsayı ile çarpmak bu sıkıntıyı giderecektir. O halde 9π ⎛ πa ⎞ 10 b sin ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠ 1 r ≤ Tn A E ≤ A2≤ A E den (5.12) 2 yazılır. Diğer taraftan t m , Tn matrisinin elemanlarını temsil etmek üzere tm = 1 2π π ∫π f (x )e −imx dx (m = 0,∓1,∓2,...,∓ (n − 1)) (5.13) − olacak şekilde bir f ( x ) fonksiyonu bulmalıyız. O halde (4.10) ve (4.11) den 1 1 tm = = a + mb 2π π ∫π c(m)e ( a + mb )ix e − mix dx (5.14) − yazılır. Burada c(m ) , m’nin bir fonksiyonudur. A = a + mb alırsak (5.14) den 1 1 = A 2π π ∫π c(m)e − = yazılır. Buradan iAx e − mix c(m ) e i ( A− m ) x dx = 2πi( A − m ) c(m ) 2i sin[( A − m )π ] 2πi ( A − m ) π , −π 49 c(m ) = π ( A − m) A sin[( A − m )π ] bulunur ve bu değeri f ( x ) fonksiyonunda yerine yazarsak , f (x ) = π ( A − m) A sin[( A − m )π ] e Aix olur. Bu durumda (4.17) den f1 ( x ) = π ( A − m) A sin[( A − m )π ] = π (a + m(b − 1)) (a + mb )sin[((a + m(b − 1))π )] elde edilir. Burada a, b ve m değerleri için daima a + m(b − 1) ≤ 1 ve sin[(a + m(b − 1))π ] = sin (aπ ) a + mb 0< olduğundan π (a + m(b − 1)) (a + mb )sin[((a + m(b − 1))π )] ≤ π sin (aπ ) eşitsizliğini elde ederiz. O halde f (x ) = f1 (x ) ≤ π sin (aπ ) (5.15) olur ve (4.19) eşitsizliğinden de Tn 2 ≤ π sin (πa ) (5.16) elde edilir. Böylece (5.12) ve (5.16) den teoremin ispatı tamamlanır. Teorem 5.1.4. [10,14,30] 0 < g / h < 1 ve (1 ≤ p < ∞ ) olmak üzere n ⎤ ⎡ 1 Tn = ⎢ Cauchy-Toeplitz matrisinin ⎥ ⎣ g + (i − j )h ⎦ i , j =1 Tn p p normu için alt ve üst sınırlar 1/ p p ⎧⎡ ⎤ ⎛ ⎞ h g ⎪⎢− ⎜ ⎟ + ζ ⎛⎜ p,− ⎞⎟⎥ , p tek ise ⎪⎢ ⎜⎝ g ⎟⎠ h ⎠⎥ ⎝ ⎦ ⎣ 1 ⎪⎪ ≥ ⎨ h⎪ 1/ p p g ⎞⎤ ⎛ ⎪ ⎡⎛ h ⎞ ⎪ ⎢⎜⎜ g ⎟⎟ + ζ ⎜⎝ p,− h ⎟⎠⎥ , p çift ise ⎥⎦ ⎪⎩ ⎢⎣⎝ ⎠ 50 Tn p 1/ p p ⎧⎡ ⎤ ⎛ ⎞ h g g ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⎢− ⎜ ⎟ + ζ ⎜ p,− ⎟ + ζ ⎜ p, ⎟⎥ , p tek ise ⎪⎢ ⎜⎝ g ⎟⎠ h⎠ ⎝ ⎝ h ⎠⎥⎦ ⎣ 1 ⎪⎪ ≤ ⎨ h⎪ 1/ p p ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ h g g ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪ ⎢⎜⎜ g ⎟⎟ + ζ ⎜⎝ p,− h ⎟⎠ + ζ ⎜⎝ p, h ⎟⎠⎥ , p çift ise ⎥⎦ ⎪⎩ ⎢⎣⎝ ⎠ şeklindedir. İspat: Tn matrisinin p normunu alırsak 1/ p Tn p n −1 n−2 n−3 1 ⎧ 1 ⎫ + + + ... + p p p p ⎪ ⎪n g + g −h g − 2h g − 3h g − (n − 1)h ⎪ ⎪ =⎨ ⎬ 1 ⎪+ n − 1 + n − 2 + n − 3 + ... + ⎪ p ⎪ g + h p g + 2h p g + 3h p ⎪ g + (n − 1)h ⎩ ⎭ elde ederiz. Bunu da toplam sembolü ile gösterirsek p Tn p n −1 ⎧⎪ n −1 n − k n − k ⎫⎪ = ⎨∑ + ∑ p p ⎬ k =1 g + kh ⎪ ⎪⎩ k =0 g − kh ⎭ olur. Bu toplamı Tn Tn p p p p n −1 n −1 n −1 ⎧⎪ n −1 ⎫⎪ n k n k = ⎨∑ − + − ∑ ∑ ∑ p p p p ⎬ k = 0 g − kh k =1 g + kh k =1 g + kh ⎪ ⎪⎩ k =0 g − kh ⎭ n −1 ⎛ n −1 1 1 = n⎜ ∑ + p ⎜ k =0 g − kh p ∑ k =1 g + kh ⎝ n −1 ⎞ ⎛ n −1 k k ⎟−⎜ + ∑ p p ⎟ ⎜∑ k =1 g + kh ⎠ ⎝ k =0 g − kh ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ şeklinde ayırabiliriz. Bu ifadenin sağ tarafını h parantezine alırsak Tn p ⎧ ⎛ ⎪ ⎜ 1 ⎪ ⎜ n −1 1 = ⎨ n⎜ ∑ h ⎪ k =0 g ⎜ −k ⎪ ⎜⎝ h ⎩ n −1 +∑ p k =1 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ k 1 ⎟ ⎜ n −1 − ⎜∑ p ⎟ g k =0 g + k ⎟⎟ ⎜⎜ −k h h ⎠ ⎝ 1/ p n −1 p +∑ k =1 ⎞⎫ ⎟⎪ k ⎟⎪ p ⎟⎬ g + k ⎟⎟⎪ h ⎠⎪⎭ (5.17) olur. (5.17) ifadesinin her iki yanını n − p ile çarparsak 1 Tn np p ⎧⎛ ⎪⎜ 1 ⎪⎜ n −1 1 = p ⎨⎜ ∑ h ⎪⎜ k =0 g −k ⎪⎜⎝ h ⎩ n −1 p +∑ k =1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 k ⎟ 1 ⎜ n −1 − ⎜∑ p ⎟ n k =0 g g ⎜ −k + k ⎟⎟ ⎜ h h ⎝ ⎠ 1/ p n −1 p +∑ k =1 ⎞⎫ ⎟⎪ k ⎟⎪ p ⎟⎬ g + k ⎟⎟⎪ h ⎠⎪⎭ (5.18) 51 elde ederiz. (5.18)’nın sağ tarafındaki 1 / n ’li ifadesinin n → ∞ için limiti alınırsa, ifade sıfır olur. Yani ⎛ ⎜ 1 ⎜ n −1 k lim ⎜ ∑ n→∞ n ⎜ k =0 g − k ⎜ h ⎝ n −1 +∑ p k =1 ⎞ ⎟ k ⎟ =0 p ⎟ g + k ⎟⎟ h ⎠ (5.19) olur. 0 < g / h < 1 olduğundan diğer toplamlar ∞ ∑ k =0 1 g k− h p −h = g p ∞ +∑ k =1 1 g⎞ ⎛ ⎜k − ⎟ h⎠ ⎝ p (5.20) ∞ ∑ k =1 ∞ 1 g k+ h p =∑ k =1 1 g⎞ ⎛ ⎜k + ⎟ h⎠ ⎝ p olarak yazılabilir. Riemann –Zeta(veya Hurwitz-Zeta) fonksiyonu tanımından ∞ g⎞ ⎛ ≤ ζ ⎜ p ,− ⎟ h⎠ ⎝ k =1 ⎛ g⎞ ⎜k − ⎟ h⎠ ⎝ ∑ 1 (5.21) p ve ∞ ⎛ g⎞ ≤ ζ ⎜ p, ⎟ ⎝ h⎠ k =1 ⎛ g⎞ ⎜k + ⎟ h⎠ ⎝ ∑ 1 (5.22) p olur. O halde (5.19), (5.21) ve (5.22) ifadelerinden n −1 / p Tn p 1 ≤ h ⎛ h ⎜− ⎜ g ⎝ p g⎞ ⎛ g ⎞⎞ ⎛ + ζ ⎜ p,− ⎟ + ζ ⎜ p, ⎟ ⎟ h⎠ ⎝ h ⎠ ⎟⎠ ⎝ 1/ p elde edilir. Bu da istenen üst sınırdır. Alt sınırı bulmak için (5.20)’deki ilk iki toplamdan ikincisi ihmal edilirse ⎛ ⎜ 1⎜ ∞ 1 ∑ ⎜ p h k =0 ⎛ ⎜ ⎜ k − g ⎞⎟ ⎜ h⎠ ⎝ ⎝ elde edilir. (5.17)’den ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1/ p ≤ n −1 / p Tn p 52 1 h ⎛⎛ h ⎞ p ⎞ ⎜ ⎜ − ⎟ + ζ ⎛⎜ p,− g ⎞⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ g ⎟⎠ h ⎠⎟ ⎝ ⎝ ⎠ 1/ p ≤ n −1 / p Tn p bulunur. Böylece alt sınırı da tayin etmiş oluruz. Bu alt ve üst sınırları p’ye göre irdelersek, Tn Tn p p 1/ p p ⎧⎡ ⎤ ⎛ ⎞ h g ⎛ ⎞ ⎪⎢− ⎜ ⎟ + ζ ⎜ p,− ⎟⎥ , p tek ise ⎪⎢ ⎜⎝ g ⎟⎠ h ⎠⎥ ⎝ ⎦ ⎣ 1 ⎪⎪ ≥ ⎨ h⎪ 1/ p p g ⎞⎤ ⎛ ⎪ ⎡⎛ h ⎞ ⎪ ⎢⎜⎜ g ⎟⎟ + ζ ⎜⎝ p,− h ⎟⎥ , p çift ise ⎠⎥⎦ ⎪⎩ ⎢⎣⎝ ⎠ 1/ p p ⎧⎡ ⎤ ⎞ ⎛ h g g ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⎢− ⎜ ⎟ + ζ ⎜ p,− ⎟ + ζ ⎜ p, ⎟⎥ , p tek ise ⎪⎢ ⎜⎝ g ⎟⎠ h⎠ ⎝ ⎝ h ⎠⎥⎦ ⎣ 1 ⎪⎪ ≤ ⎨ h⎪ 1/ p p g⎞ ⎪ ⎡⎛ h ⎞ ⎛ ⎛ g ⎞⎤ ⎪ ⎢⎜⎜ g ⎟⎟ + ζ ⎜ p,− h ⎟ + ζ ⎜ p, h ⎟⎥ , p çift ise ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦ ⎪⎩ ⎢⎣⎝ ⎠ olur ve ispat tamamlanır. Teorem 5.1.5. [84] Herhangi bir n için α n > 0 , α n = O(1 / n ) ve Tn in g = 1/ 2 , h = 1 özel durumu göz önüne alınırsa Tn matrisi n ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ 1 olmak üzere Tn = ⎢ ⎥ ⎢ 1 + (i − j ) ⎥ ⎥⎦ i , j =1 ⎢⎣ 2 π − α n ≤ Tn 2 ≤π dir. İspat: Üst sınırın π olduğu C.Moler tarafından iddia edilmiş ve S.V. Parter tarafından ispanlanmıştır.[61]. Bunun için ~ ⎡0 Tn = ⎢ ⎣Tn TnT ⎤ ⎥ 0⎦ simetrik matrisini göz önüne alalım. Tˆn ’i açık olarak yazacak olursak 53 ⎡ ⎢0 ⎢ ⎢2 ⎢ ⎢0 ˆ Tn = ⎢ ⎢2 ⎢ ⎢3 ⎢. ⎢. ⎢ ⎢⎣ . 2 0 2 3 0 −2 0 −2 0 2 0 0 2 0 −2 . . . . . . . . . . . . 0 2 3 − 2 ⎤ . . .⎥ 5 ⎥ 0 . . .⎥ ⎥ 2 . . .⎥⎥ 3 ⎥ 0 . . .⎥ ⎥ . . . .⎥ . . . .⎥ ⎥ . . . .⎥⎦ olur. Tek numaralı satırları imajiner i ile ve çift numaralı satırları imajiner –i ile çarparak ⎧ 0 , m çift ise ⎩i (2 / m ), m tek ise αm = ⎨ olacak şekilde [ ] A = α i− j 2 n −1 i , j =1 Hermityen Toeplitz matrisini elde ederiz. Yani, ⎧− π , − π ≤ x < 0 f (x ) = ⎨ 0≤ x≤π ⎩ π, (5.23) olmak üzere 1 αm = 2π π ∫π f (x )e −imx dx − yazabiliriz. w = [w0 ...w2 n −1 ] T vektörü için ( Aw, w) = 1 2π π ∫π w 0 + w1e ix + ... + w2 n −1e i (2 n −1)x 2 f (x )dx − ve (w, w) = 1 2π π ∫ 2 w0 + w1e ix + ... + w2 n −1e i (2 n −1)x dx −π elde edilir. (5.23)’deki f ( x ) ’i kullanarak 54 Tn bulunur. Tn 2 2 = A 2 = max w≠ 0 ( Aw, w) ≤ π (w, w) için bir alt sınır elde etmek için e j , birim matrisinin j. sütununu göstermek üzere Tn e j 2 ≤ Tn 2 eşitsizliğini kullanalım. [a] , a’nın tam değerini göstermek üzere j = [n / 2] için 2 Tn e j 2 n =∑ k =1 1 1⎞ ⎛ ⎜k − j + ⎟ 2⎠ ⎝ 2 n− j ⎛ j −2 1 1 = 4⎜⎜ ∑ + ∑ 2 2 ⎝ k =0 (2k + 1) k =0 (2k + 1) ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ olur. ∞ 1 ∑ (2k + 1) k =0 olduğu için n → ∞ için Tn e[n / 2 ] ⎛ ∞ 2 2 2 = π2 8 → π 2 olduğu görülür. 1 ∞ 1 ⎞ ⎟ + ∑ α n = 4⎜⎜ ∑ 2 2 ⎟ k =[n / 2 ]−1 (2k + 1) k = n −[n / 2 ]+1 (2k + 1) ⎝ ⎠ alınırsa α n = O(1 / n ) ve α n ≤ π olacağından π − α n ≤ π 2 − α n ≤ Tn 2 olduğu görülür ki , bu da ispatı tamamlar. α n için daha iyi tahmin S.V. Parter tarafından Fourier açılımlarını kullanılarak elde edilmiştir.[61] Teorem 5.1.6. [82] 1 < k ∈ Z − {0} olmak üzere g = 1 / k , h = 1 alınarak elde edilen n ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ 1 Tn = ⎢ ⎥ ⎢ 1 + (i − j ) ⎥ ⎥⎦ i , j =1 ⎢⎣ k biçimindeki Cauchy-Toeplitz matrisinin spektral normu 55 Tn 2 = π sin π k dır. İspat: n ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 Tn = ⎢ ⎥ ⎢ 1 + (i − j ) ⎥ ⎥⎦ i , j =1 ⎣⎢ k biçimindeki Cauchy-Toeplitz matrisini açık olarak yazarsak 1 ⎡ ⎢ 1 ⎢ k ⎢ 1 ⎢ ⎢ 1 +1 ⎢ k Tn = ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ 1 ⎢ ⎢1 ⎢⎣ k + (n − 1) 1 1 −1 k 1 1 k . . . 1 1 + (n − 2) k . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎤ ⎥ 1 − (n − 1) ⎥ k ⎥ 1 ⎥ ⎥ 1 − (n − 2 ) ⎥ k ⎥ . ⎥ ⎥ . ⎥ . ⎥ 1 ⎥ ⎥ 1 ⎥⎦ k 1 olur. Euclides normu tanımından ⎫ ⎡ ⎤ 1⎞ ⎛ ( ) − − kn n ψ 1 1 , ⎪ ⎜ ⎟ ⎢ n −1 ⎥ n −1 n−s n−s ⎥ 1 ⎞⎪ k⎠ 2 ⎛ ⎝ ⎢ = −ψ ⎜ n − ⎟ Tn E = ∑ +∑ 2 2 ⎢ s =0 ⎛ 1 k k ⎠⎪ ⎝ s =1 ⎛ 1 ⎞ ⎥ ⎞ ⎪ + s ⎢ ⎜ − s⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝k ⎠ ⎦⎥ ⎠ ⎣⎢ ⎝ k ⎪ ⎪ (kn − 1)ψ ⎛⎜1,− 1 ⎞⎟ (kn + 1)ψ ⎛⎜1, n + 1 ⎞⎟ ⎪ k⎠ k⎠ ⎛ 1⎞ ⎛1 ⎞ ⎝ ⎝ +ψ ⎜ − ⎟ − −ψ ⎜ + n ⎟ + + ⎬ (5.24) k k ⎝k ⎠ ⎝ k⎠ ⎪ ⎪ (kn + 1)ψ ⎛⎜1,1 + 1 ⎞⎟ ⎪ k⎠ ⎛ 1⎞ ⎝ ⎪ + ψ ⎜1 + ⎟ ⎪ k ⎝ k⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ bulunur. (5.24) ifadesinin her iki yanını n’e bölüp n → ∞ için limitini alırsak 56 1 Tn n →∞ n ⎛π ⎞ = π 2 + π 2 cot 2 ⎜ ⎟ ⎝k⎠ 2 lim E elde edilir. Eşitliğin her iki tarafın karekökünü alırsak 1 Tn n E π ⎛π ⎞ = π 1 + cot 2 ⎜ ⎟ = ⎝ k ⎠ sin π k elde edilir.Matris normları arasındaki 1 Tn n E ≤ Tn 2 bağıntısından π sin π ≤ Tn (5.25) 2 k şeklinde bir alt sınır bulunur. Üst sınır için αs = 1 1 +s k = 1 2π π ∫π f (x )e −isx dx , [ k ∈ Z + ve s = 0,∓1,∓2,...,∓ (n − 1) ] − olacak şekilde bir f ( x ) fonksiyonu bulmalıyız. O halde 1 2π π ∫π c(s )e ⎛1 ⎞ ⎜ + s ⎟ ix ⎝k ⎠ e −isx dx = − 1 1 +s k olacak şekilde bir c(s ) fonksiyonu değeri bulmalıyız. Bu eşitliğin sol tarafındaki integrali hesaplarsak 1 αs = 2π e −isx dx − 1 = bulunur. ∫π c(s )e ⎛1 ⎞ ⎜ + s ⎟ ix ⎝k ⎠ π π π π⎞ c(s ) k ix c (s ) k ⎛ e dx = ⎜ cos + i sin − cos + i sin ⎟ ∫ 2π −π 2π i ⎝ k k k k⎠ π = π kc(s ) π kc(s ) π 2i sin = sin k π k 2πi 57 αs = 1 1 +s k olması için π c (s ) = π ⎛1 ⎞ ⎜ + s ⎟k sin k ⎝k ⎠ olması gerekir. Buradan f (x ) = π π ⎛1 ⎞ ⎜ + s ⎟k sin k ⎝k ⎠ e −isx olur. f (x ) fonksiyonu , f 1 ( x ) reel değerli ve f 2 ( x ) = 1 olacak şekilde kompleks değerli f1 ( x ) ve f 2 (x ) fonksiyonlarının çarpımı şeklinde düşünülürse; . f1 (x ) = π ve f 2 ( x ) = e −isx π ⎛1 ⎞ ⎜ + s ⎟k sin k ⎝k ⎠ olur. Her s için 1 1 +s ≥ k k olacağından π ≤ π ⎛1 ⎞ ⎜ + s ⎟k sin k ⎝k ⎠ π 1 π k sin k k ≤ π sin π k olur. Buradan π sup f 1 ( x ) = sin π k olur. O halde Tn 2 Tn 2 ≤ sup f 1 ( x ) olduğundan ≤ π sin elde edilir. (5.25) ve (5.26) eşitsizliklerinden π k (5.26) 58 Tn 2 π = sin π k bulunur ve böylece teorem ispatlanmış olur. Teorem 5.1.7. [24] g = 1 / 2 , h = 1 alınarak elde edilen n ⎡ ⎤ 2 Tn = ⎢ ⎥ ⎣1 + 2(i − j ) ⎦ i , j =1 biçimindeki Cauchy-Toeplitz matrisinin p normu için, ζ ( p ) ( p > 1) Riemann-Zeta fonksiyonu olmak üzere [(2 p ] − 1)ζ ( p ) 1/ p ≤ n −1 / p Tn p [ ] ≤ 21 / p (2 p − 1)ζ ( p ) 1/ p şeklinde bir alt ve üst sınır vardır. İspat: n ⎡ ⎤ 2 Tn = ⎢ ⎥ ⎣1 + 2(i − j ) ⎦ i , j =1 matrisini açık olarak yazarsak ⎡ ⎢ 2 ⎢ 2 ⎢ ⎢ 3 ⎢ 2 Tn = ⎢ 5 ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ 2 ⎢ ⎣ 2n − 1 −2 − 2 5 2 − 3 − −2 2 2 3 . . . 2 2n − 3 elde ederiz. Şimdi (5.27)’nın 2 3 p 2 ⎤ 2n − 3 ⎥ 2 ⎥ ⎥ − 2n − 5 ⎥ 2 ⎥ − 2n − 7 ⎥ ⎥ ⎥ . ⎥ ⎥ . ⎥ 2 ⎥ ⎦ . . . − . . . 2 −2 . . . . . . 2 2n − 5 . . . 2 2n − 7 . . . . . . . . . . . . (5.27) ei (1 ≤ i ≤ n ) , ℜ n ’in birim normunu alırsak , vektörü olmak üzere An p ⎡ n p⎤ = ⎢ ∑ a ij ⎥ ⎣i , j =1 ⎦ 1/ P ( ⎡ n = ⎢∑ a1i ⎣ i =1 p ei p + a 2i p ei p + ... + a ni p ei p ) ⎤ ⎥ ⎦ 1/ p (5.28) yazabiliriz. (5.28) eşitliğini Tn matrisi için uygularsak , ei (1 ≤ i ≤ n ) n-bileşenli birim vektör olduğundan normları 1 olup 59 Tn p p p p p p ⎡ ⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎤ = ⎢(2n − 1)⎜ ⎟ + (2n − 3)⎜ ⎟ + (2n − 5)⎜ ⎟ + ... + 3⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝1⎠ ⎝3⎠ ⎝5⎠ ⎝ 2n − 3 ⎠ ⎝ 2n − 1 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ n ⎡ 2n − 2 k + 1⎤ = ⎢2 p ∑ p ⎥ ⎣ k =1 (2k − 1) ⎦ 1/ p 1/ p elde ederiz. Buradan , Tn Tn p p n −1 n −1 ⎤ ⎡ 1 1 p 2 = ⎢2 p +1 n∑ − ∑ p −1 ⎥ p k = 0 (2k + 1) k = 0 (2k + 1) ⎦ ⎣ ⎡ 1 ⎛ 2 n −1 1 = ⎢2 p +1 n⎜ ∑ p − p 2 ⎝ k =1 k ⎣ 2 n −1 1 ⎞ 1 1 p⎛ 2 − − p −1 ⎟ ⎜ ∑ ∑ p p −1 2 k =1 k ⎠ ⎝ k =1 k n −1 1/ p 1 ⎞⎤ ⎟ ∑ p −1 ⎥ k =1 k ⎠⎦ n −1 1/ p bulunur. Bu ifadenin her iki tarafını n −1 / p ile çarparsak n −1 / p Tn p ⎡ 1 ⎛ 2 n −1 1 = ⎢2 p +1 ⎜ ∑ p − p 2 ⎝ k =1 k ⎣ 1 ⎞ 2 p ⎛ 2 n −1 1 1 ⎟− ⎜ ∑ p −1 − p −1 ∑ p n ⎝ k =1 k 2 k =1 k ⎠ n −1 1 ⎞⎤ ⎟ ∑ p −1 ⎥ k =1 k ⎠⎦ n −1 1/ p (5.29) olur. (5.29)’da n → ∞ için limit alınırsa, lim n −1 / p n →∞ Tn p ⎡ ⎛ 2 n −1 1 1 = lim ⎢2 p +1 ⎜ ∑ p − p n →∞ 2 ⎝ k =1 k ⎣ 1 ⎞ 2 p ⎛ 2 n −1 1 1 ⎟− ⎜ ∑ p −1 − p −1 ∑ p n ⎝ k =1 k 2 k =1 k ⎠ n −1 1 ⎞⎤ ⎟ ∑ p −1 ⎥ k =1 k ⎠⎦ n −1 1/ p elde edilir. ∞ 1 n 1 1 ( ) = ζ p lim =0 ve ∑ ∑ p −1 p n→∞ n k =1 k k =1 k (5.30) olduğundan, n −1 / p Tn ⎡ ⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ζ ( p )⎥ ≤ ⎢2 p +1 ⎜⎜1 − ⎝ 2p ⎠ ⎣ ⎦ p [( 1/ p ] ) = 21 / p 2 p − 1 ζ ( p ) 1/ p (5.31) olur. Böylece üst sınır elde edilmiş olur. Alt sınır için de (5.29) ifadesinden ; ⎡ p ⎛ 2 n −1 1 1 ⎢2 ⎜ ∑ p − p 2 ⎣ ⎝ k =1 k n −1 1 ∑ p k =1 k ⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦ 1/ p ⎡ ⎛ 2 n −1 1 1 ≤ ⎢2 p +1 ⎜ ∑ p − p 2 ⎝ k =1 k ⎣ 1 ⎞ 2 p ⎛ 2 n −1 1 1 ⎟− ⎜ ∑ p −1 − p −1 ∑ p n ⎝ k =1 k 2 k =1 k ⎠ n −1 1 ⎞⎤ ⎟ ∑ p −1 ⎥ k =1 k ⎠⎦ n −1 olduğundan n −1 / p Tn p ⎡ ⎛ 2 n −1 1 1 ≥ ⎢2 p ⎜ ∑ p − p 2 ⎣ ⎝ k =1 k n −1 1 ∑ p k =1 k ⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦ 1/ p (5.32) 1/ p 60 olur. (5.30) ve (5.32) eşitsizliklerinden ; n −1 / p Tn p [ ] ≥ 21 / p (2 p − 1)ζ ( p ) 1/ p (5.33) elde edilir. Böylece (5.31) ve (5.33)’den teoremin ispatı tamamlanmış olur. Teorem 5.1.8. [30] a < b ve a, b ∈ ℜ + olmak üzere n ⎤ ⎡ 1 Tn = ⎢ ⎥ ⎣ a + (i − j )b ⎦ i , j =1 biçimindeki Cauchy-Toeplitz matrisi için n −1 / p Tn p ⎡ 1 1 a⎞⎤ a⎞ ⎛ ⎛ ≤⎢ p + Ψ ⎜ p − 1,1 − ⎟ + Ψ ⎜ p − 1,1 + ⎟ ⎥ p b⎠⎦ b⎠ ( p − 1)!b ⎝ ⎝ ⎣a 1/ p (5.34) n −1 / p Tn p ⎡ 1 ⎤ 1 1 ≥⎢ p + + p p ⎥ 2(b − a ) 2(b + a ) ⎦ ⎣a 1/ p biçiminde alt ve üst sınır vardır. İspat: n ⎤ ⎡ 1 Tn = ⎢ ⎥ ⎣ a + (i − j )b ⎦ i , j =1 matrisini açık olarak yazarsak 1 ⎡ ⎢ a ⎢ 1 ⎢ ⎢ a+b ⎢ 1 ⎢ ⎢ a + 2b 1 Tn = ⎢ ⎢ a + 2b ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ 1 ⎢ ⎢ a + (n − 1)b ⎣ 1 a −b 1 a 1 a+b 1 a + 2b . . 1 a − 2b 1 a −b 1 a 1 a+b . . . 1 a + (n − 2 )b . 1 a + (n − 3)b matrisini elde ederiz. (5.35)’nin p 1 a − 3b 1 a − 2b 1 a −b 1 a . . ... ... ... ... . . . 1 ... a + (n − 4 )b normunu hesaplarsak 1 ⎤ a − (n − 1)b ⎥ ⎥ 1 ⎥ a − (n − 2)b ⎥ ⎥ 1 ⎥ a − (n − 3)b ⎥ 1 ⎥ (5.35) a − (n − 4 )b ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ... ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ a ⎦ 61 p Tn p n = a−b p + (n − 1) + ... + (n − 1) 1 a−b 1 a+b p p + (n − 2) + (n − 2 ) 1 a − 2b 1 a + 2b p p + (n − 3) + (n − 3) 1 a − 3b 1 a + 3b p p + ... + + ... + 1 a − (n − 1)b p 1 a + (n − 1)b p olur. Eşitliğin sağındaki toplamları , toplam sembolü olarak ifade edersek, Tn ⎡ n n −1 ⎛ 1 = ⎢ p + ∑ (n − k )⎜ ⎜ ⎢a k =1 ⎝ kb − a ⎣ p p ⎞⎤ 1 ⎟⎥ + p ⎟ kb + a ⎠⎥⎦ 1/ p elde ederiz. Bu ifade düzenlenirse, Tn ⎡ n n −1 ⎛ 1 = ⎢ p + n∑ ⎜ ⎜ ⎢a k =1 kb − a ⎝ ⎣ p p ⎞ n −1 ⎛ 1 1 ⎟ − k⎜ + ∑ p ⎟ ⎜ kb + a ⎠ k =1 ⎝ kb − a p ⎞⎤ 1 ⎟⎥ + p kb + a ⎟⎠⎥⎦ 1/ p (5.36) elde edilir. (5.36) ifadesinin her iki yanını n −1 / p ile çarparsak n −1 / p Tn p ⎡ 1 n −1 ⎛ 1 = ⎢ p + ∑⎜ ⎜ kb − a ⎢a k =1 ⎝ ⎣ ⎞ n −1 k ⎛ 1 ⎟− ⎜ + ∑ p ⎟ kb + a ⎠ k =1 n ⎜⎝ kb − a 1 p ⎞⎤ ⎟⎥ + p ⎟ kb + a ⎠⎥⎦ 1/ p 1 p (5.37) olur. (5.37) eşitliğindeki toplamları Polygamma fonksiyonu ile ifade edersek , n −1 ⎛ 1 ∑ ⎜⎜ kb − a k =1 p ⎝ + ⎞ ⎟= kb + a ⎟⎠ 1 p (− 1) p ⎡− ψ ⎛ p − 1, n − a ⎞ − ψ ⎛ p − 1, n + a ⎞ + ψ ⎛ p − 1,1 − a ⎞ + ψ ⎛ p − 1,1 + a ⎞⎤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b⎠ b⎠ b⎠ b ⎠⎥⎦ ( p − 1)!b p ⎢⎣ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ elde ederiz. Bu ifadenin n → ∞ için limiti alınırsa, ⎛ 1 lim ∑ ⎜ n→∞ ⎜ kb − a k =1 ⎝ n −1 p ⎞ ( − 1) ⎟ = + p p kb + a ⎟⎠ ( p − 1)!b 1 p ⎡ ⎛ a⎞ a ⎞⎤ ⎛ ⎢ψ ⎜ p − 1,1 − b ⎟ + ψ ⎜ p − 1,1 + b ⎟⎥ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ve n −1 k⎛ 1 lim ∑ ⎜ n →∞ ⎜ kb − a k =1 n ⎝ p + ⎞ ⎟=0 p ⎟ kb + a ⎠ 1 olur. Elde ettiğimiz bu sonuçları (5.37)’de yazarsak n −1 / p Tn p p ⎧1 − 1) ( ≤⎨ p + ( p − 1)!b p ⎩a şeklinde üst sınırı elde etmiş oluruz. 1/ p ⎡ ⎛ a⎞ a ⎞⎤ ⎫ ⎛ − − + − + p p ψ 1 , 1 ψ 1 , 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎬ ⎢ b⎠ b ⎠⎥⎦ ⎭ ⎝ ⎣ ⎝ (5.38) 62 1/ p n −1 / p Tn p ⎧1 1 1 ⎫ ≥⎨ p + + ⎬ 2(b − a ) 2(b + a )⎭ ⎩a dir. Ayrıca (5.37) eşitliğinin sağ tarafında n = 2 alırsak , n −1 / p Tn p ⎡ 1 2−1 ⎛ 1 ≥ ⎢ p + ∑⎜ ⎜ kb − a ⎢a k =1 ⎝ ⎣ ⎞ 2−1 k ⎛ 1 ⎟− ⎜ + ∑ p ⎟ kb + a ⎠ k =1 2 ⎜⎝ kb − a 1 p ⎞⎤ ⎟⎥ + p ⎟ kb + a ⎠⎥⎦ 1/ p 1 p olur. Bu eşitsizliği düzenlersek n −1 / p Tn p ⎡ 1 ⎤ 1 1 ≥⎢ p + + p p ⎥ 2(b − a ) 2(b + a ) ⎦ ⎣a 1/ p (5.39) elde edilir. Böylece (5.38) ve (5.39)’den teoremin ispatı tamamlanmış olur. 5.2. Cauchy-Hankel Matrislerinin Normları İçin Sınırlar Teorem 5.2.1. [73,82] 0 < a ∉ Z ve b ∈ Z + olmak üzere n ⎡ ⎤ 1 Hn = ⎢ ⎥ ⎣ a + (k + j )b ⎦ k , j =1 ile tanımlı Cauchy-Hankel matrisinin spektral ve Euclidean normları için Hn E → ∞ , Hn 2 ≤ π sin (aπ ) (5.40) sınırları geçerlidir. İspat: Euclidean norm tanımından , Hn 2 E n −1 ⎫ ⎧n s n−s = ⎨∑ + ∑ 2 2 ⎬ s =1 (a + (s + 1)b ) ⎭ ⎩ s =1 (a + (s + 1)b ) ⎫ ⎧ (a + b ) ⎛ a+b⎞ 1 ⎛ a + b ⎞ (a + b ) ⎛ a+b⎞ ⎪ ⎪ b 3 ψ ⎜1, n + 1 + b ⎟ + b 2 ψ ⎜ n + 1 + b ⎟ − b 3 ψ ⎜1,1 + b ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎛ a + b ⎞ (2nb + a + b ) ⎛ 1 ⎛ a + nb + b ⎞ a + nb + b ⎞⎪ ψ ⎜1, n + 1 + = ⎨ − 2 ψ ⎜1 + ⎟− ⎟ − − 2 ψ ⎜n +1+ ⎟⎬ b ⎠ b b b3 b ⎝ ⎝ ⎠ ⎠⎪ ⎪ b ⎝ ⎪ ⎪ (2nb + a + b ) ⎛ a + nb + b ⎞ 1 ⎛ a + nb + b ⎞ 1 , 1 1 + + + ψ ψ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪+ 2 b b b3 ⎝ ⎠ b ⎝ ⎠ ⎭ ⎩ yazılır. a∈Ζ+ ,b herhangi bir sayı n∈Ζ+ olmak üzere, 63 lim Ψ (a, n + b) = 0 n→∞ den lim Ψ (n + 1 + n→∞ a+b )=∞ b olacağından Hn E →∞ (5.41) elde edilir. Teoremin diğer iddiasını ispat etmek için öncelikle hs , H n matrisinin elemanları olmak üzere hs = 1 2π π ∫π f (x )e −isx ( s = 2,3,...,2n) dx − olacak şekilde bir f ( x ) fonksiyonu bulmalıyız. Bu durumda (4.13) ve (4.14) ile 1 1 1 hs = = = a + b(k + j ) a + sb 2π π ∫π c(s )e ( a + sb )ix e −isx dx − yazılır. Burada c, s’nin bir fonksiyonudur. Bu eşitlikte B = a + b(k + j ) dersek 1 1 = B 2π π ∫π c(s )e iBx e − isx − = c (s ) dx = e i ( B − s )x 2πi (B − s ) π −π c (s ) 2i sin[(B − s )π ] 2πi(B − s ) elde edilir. Buradan c (s ) = π (B − s ) B sin[(B − s )π ] ifadesini f (x ) fonksiyonunda yerine yazarsak , f (x ) = π (B − s ) B sin[(B − s )π ] e Bix olur. (4.17) den f1 (x ) = π (B − s ) B sin[(B − s )π ] = π (a + s(b − 1)) (a + sb )sin[((a + s(b − 1))π )] yazarız. Burada a, b ve s değerleri için daima 0< olduğundan a + s(b − 1) ≤ 1 ve sin[(a + s (b − 1))π ] = sin (aπ ) a + sb (5.42) 64 f (x ) = f1 (x ) = π (a + s(b − 1)) (a + sb )sin[((a + s(b − 1))π )] ≤ π sin (aπ ) elde ederiz. Sonuç olarak (4.19) den Hn 2 ≤ π (5.43) sin (aπ ) yazarız. Böylece (5.41) ve (5.43) ispatı tamamlar. Teorem 5.2.2. [82] g = 1 , k ∈ Z + ve h = 1 alınarak elde edilen k n ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ 1 Hn = ⎢ ⎥ ⎢ 1 + (i + j ) ⎥ ⎥⎦ k , j =1 ⎢⎣ k Cauchy-Hankel matrisinin spektral normu için Hn 2 2π ≤ k sin π k üst sınır geçerlidir. İspat: H n matrisini açık olarak yazarsak ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ Hn = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢1 ⎢⎣ k 1 1 1 +2 k 1 1 +3 k . . . 1 1 +3 k 1 1 +4 k . . . 1 + (n + 1) 1 + (n + 2 ) k . . . . . . . . . . . . . . . . . . olur. Üst sınır için hs = olmak üzere 1 ( s = 2,3,4,...,2n) 1 +s k ⎤ ⎥ 1 + (n + 1) ⎥ k ⎥ 1 ⎥ ⎥ 1 + (n + 2 )⎥ k ⎥ . ⎥ ⎥ . ⎥ . ⎥ 1 ⎥ ⎥ 1 + 2n ⎥ k ⎦ 1 65 1 2π π ∫π g (x )e − isx dx = − 1 1 +s k olacak şekilde bir g ( x ) fonksiyonu bulmalıyız. Buradan 1 2π π ∫π c(s )e ⎛1 ⎞ ⎜ + s ⎟ ix ⎝k ⎠ 1 e −isx dx = 1 +s k − eşitliğini sağlayan c(s ) fonksiyonu bulalım. c(s ) ⎜⎝ k + s ⎟⎠ix −isx c (s ) k c (s ) k k π e e dx = e dx = e Ι −π 2π −∫π 2π −∫π 2π i π ⎛1 ⎞ π ix − c(s ) k ⎛⎜ k k − e e 2π i ⎜⎝ πi = = ix πi ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ c(s ) k ⎛ π π π π⎞ ⎜ cos + i sin − cos + i sin ⎟ k k k k⎠ 2π i ⎝ = kc(s ) π kc(s ) π 2i sin = sin k π k 2πi bulunur ve buradan yukarıdaki eşitliği sağlayan c(s ) fonksiyonu c (s ) = π ⎛1 ⎞ π k ⎜ + s ⎟ sin k ⎝k ⎠ elde edilir ve c(s ) fonksiyonuna bağlı olarak da g (x ) = π ⎞ π ⎛1 k ⎜ + s ⎟ sin k ⎠ ⎝k e ⎛1 ⎞ ⎜ + s ⎟ ix ⎝k ⎠ bulunur. g ( x ) fonksiyonunu, g 0 ( x ) reel değerli ve g1 ( x ) = 1 olacak şekilde kompleks değerli g 0 ( x ) ve g1 ( x ) iki fonksiyonun çarpımı olarak yazılırsa; g 0 (x ) = π ⎛1 ⎞ π k ⎜ + s ⎟ sin k ⎝k ⎠ ve g1 ( x ) = e ⎛1 ⎞ ⎜ + s ⎟ ix ⎝k ⎠ 66 bulunur. O halde g1 (x ) = 1 olduğundan yalnız g 0 (x ) = π ⎛1 ⎞ π k ⎜ + s ⎟ sin k ⎝k ⎠ fonksiyonunu maksimum yapan değeri bulmamız yeterli olacaktır. O halde k 1 1 2 ⇒ < = k k 2 1 + sk 2 1 + sk > bulunur. Buna bağlı olarak da g 0 (x ) ≤ 2π k sin elde edilir. H n 2 π k ≤ sup g 0 (x ) olduğundan Hn 2 ≤ 2π k sin π k bulunur ki, bu da istenendir. Teorem 5.2.3. [30,32] n ⎤ ⎡ 1 1 Hn = ⎢ matrisinde g = ve h = 1 alındığında ⎥ 2 ⎣ g + (i + j )h ⎦ k , j =1 n ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ 1 Hn = ⎢ ⎥ ⎢ 1 + (i + j ) ⎥ ⎥⎦ k , j =1 ⎢⎣ 2 biçimindeki Cauchy-Hankel matrisinin p normu için, ζ ( p ) ( p > 1) fonksiyonu olmak üzere Hn p ⎤ ⎡ 1⎞ ⎛ ≤ ⎢1 + 2 p −1 − 1 ζ ( p − 1) − ⎜ 2 p −1 − ⎟ζ ( p ) − ln 2⎥ 2⎠ ⎝ ⎦ ⎣ Hn ( p ) ⎤ ⎡⎛ 1⎞ 1⎞ ⎛ ≥ ⎢⎜ 2 p − 2 − ⎟ζ ( p − 1) − ⎜ 2 p − 2 − ⎟ζ ( p )⎥ 4⎠ 2⎠ ⎝ ⎦ ⎣⎝ 1/ p 1/ p Riemann-Zeta 67 olacak şekilde alt ve üst sınır vardır. İspat: p normu tanımından Hn p n −1 ⎡ ⎛ n k n−k = ⎢2 p ⎜⎜ ∑ + ∑ p p k =1 (2n + 2k + 1) ⎣⎢ ⎝ k =1 (2k + 1) ⎡1 n ⎛ 1 1 = 2 ⎢ ∑ ⎜⎜ − p −1 (2k + 1) p ⎢⎣ 2 k =1 ⎝ (2k + 1) ⎞⎤ ⎟⎥ ⎟ ⎠⎦⎥ 1/ p ⎞ n −1 ⎛ n−k ⎟ + ∑⎜ p ⎟ ⎜ ⎠ k =1 ⎝ (2n + 2k + 1) ⎞⎤ ⎟⎥ ⎟ ⎠⎥⎦ 1/ p (5.44) olur. (5.44)’deki toplamları Polygamma fonksiyonu cinsinden ifade edersek , n ⎛ k =1 ⎝ 1 ∑ ⎜⎜ (2k + 1) p −1 ⎡ (− 1) p ⎤ 3⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ ψ ⎜ p − 2, n + ⎟ + ⎜1 − p −1 ⎟ζ ( p − 1)⎥ ⎢ p −1 2⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ( p − 2 )! ⎝ ⎥ ⎞ ⎢ 1 ⎢ ⎥ ⎟ = − p ⎟ ⎢ ⎥ (2k + 1) ⎠ p ( − 1) 3⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎢ ⎥ ⎛ ⎢+ 2 p ( p − 1)!ψ ⎜ p − 1, n + 2 ⎟ + ⎜1 − 2 p ⎟ζ ( p ) ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ elde ederiz. Bu ifadenin n → ∞ için limitini alırsak, ⎛ 1 1 − lim ∑ ⎜⎜ p −1 n→∞ (2k + 1) p k =1 ⎝ (2k + 1) n ⎞ ⎡⎛ 1 1 ⎟ = ⎢⎜1 − p −1 ⎞⎟ζ ( p − 1) − ⎛⎜1 − p ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎣ ⎤ ⎞ ⎟ζ ( p )⎥ (5.45) ⎠ ⎦ olur. n−k n −1 lim ∑ n→∞ (2n + 2k + 1) p k =1 = 0 , ( p > 2) ve n −1 lim ∑ n→∞ k =1 n−k (2n + 2k + 1) 2 = 1 (1 − ln 2) 4 (5.46) olduğu için (5.45) ve (5.46)’dan Hn p ⎡ ⎤ 1⎞ ⎛ ≤ ⎢1 + 2 p −1 − 1 ζ ( p − 1) − ⎜ 2 p −1 − ⎟ζ ( p ) − ln 2⎥ 2⎠ ⎝ ⎣ ⎦ ( ) üst sınır bulunur. (5.44) ifadesinden Hn p ⎡ ⎛ n k ≥ ⎢2 p −1 ⎜⎜ ∑ p ⎝ k =1 (2k + 1) ⎣⎢ ⎞⎤ ⎟⎥ ⎟ ⎠⎦⎥ 1/ p n ⎛ ⎡ 1 1 = ⎢2 p − 2 ∑ ⎜⎜ − p −1 (2k + 1) p k =1 ⎝ (2k + 1) ⎢⎣ ve (5.45)’den ⎞⎤ ⎟⎥ ⎟ ⎠⎥⎦ 1/ p 1/ p (5.47) 68 Hn ⎡⎛ ⎤ 1⎞ 1⎞ ⎛ ≥ ⎢⎜ 2 p − 2 − ⎟ζ ( p − 1) − ⎜ 2 p − 2 − ⎟ζ ( p )⎥ 2⎠ 4⎠ ⎝ ⎣⎝ ⎦ p 1/ p (5.48) alt sınır bulunur. Böylece (5.47) ve (5.48) eşitsizlikleri ispatı tamamlar. Teorem 5.2.4. [30,32] c < d ve c, d ∈ R + olmak üzere n ⎡ ⎤ 1 Hn = ⎢ ⎥ ⎣ c − (i + j )d ⎦ k , j =1 matrisinin Hn normu için; p p 1⎡ 1 c−d c⎞ c ⎞⎤ ⎛ ⎛ ≤ ⎢ Ψ ⎜ p − 1,2 − ⎟ − Ψ ⎜ p − 2,2 − ⎟ ⎥ d ⎣ ( p − 2 )! ( p − 1)d ⎝ d⎠ d ⎠⎦ ⎝ Hn p ⎡ ⎤ 1 1 1 ≥⎢ + + ⎥ p (3d − c ) p (4d − c ) p ⎦ ⎣ (2d − c ) 1/ p 1/ p ( p > 2) ( p > 2) alt ve üst sınırları geçerlidir. İspat: H n matrisini açık olarak yazarsak, 1 ⎡ ⎢ c − 2d ⎢ 1 ⎢ ⎢ c − 3d . Hn = ⎢ ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢ 1 ⎢ ⎢⎣ c − (n + 1)d matrisini elde ederiz. Hn p p + ... + = . . . . . . . . . . . 1 c − (n + 2 )d p normu tanımından p + 1 c − 2d 1 c − 3d 1 c − 4d . 2 c − 3d n −1 c − (n + 2 )d p + p + . . . . . . . . . 3 c − 4d n−2 c − (n + 3)d p p + + 1 ⎤ c − (n + 1)d ⎥ ⎥ 1 ⎥ c − (n + 2 )d ⎥ ⎥ . ⎥ . ⎥ ⎥ . ⎥ 1 ⎥ c − 2nd ⎥⎦ 4 c − 5d p + ... + n−3 c − (n + 4 )d p (5.49) n c − (n + 1)d + ... + p 1 c − 2nd p olur. Eşitliğin sağındaki toplamları, toplam sembolü ile ifade edersek, Hn p ⎡ n ⎛ k = ⎢∑ ⎜ ⎢ k =1 ⎜⎝ (k + 1)d − c ⎣ p ⎞ n −1 ⎛ n−k ⎟− ⎜ ∑ ⎟ k =1 ⎜ (n + k + 1)d − c ⎠ ⎝ p ⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠⎦ 1/ p (5.50) 69 olur. (5.50) ile verilen ifadedeki toplamları Polygamma fonksiyonu cinsinden yazarsak, n k ∑ (k + 1)d − c k =1 p ⎧ (− 1) p (c − d ) ⎡ d − c ⎞⎤ ⎫ d −c⎞ ⎛ ⎛ − Ψ ⎜ p − 1, n + 1 + ⎟ + Ψ ⎜ p − 1,1 + ⎟ ⎪ ⎪ p +1 ⎢ d ⎠⎥⎦ ⎪ d ⎠ ⎝ ⎝ ⎣ ⎪ ( p − 1)! d ⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎪ ⎪ p ⎡ ⎛ d −c⎞ d − c ⎞⎤ ⎪ ⎛ ⎪+ (− 1) Ψ ⎜ p − 2, n + 1 + ⎟ − Ψ ⎜ p − 2,1 + ⎟ ⎪⎩ ( p − 2)! d p ⎢⎣ ⎝ d ⎠ d ⎠⎥⎦ ⎪⎭ ⎝ elde ederiz. Son elde ettiğimiz ifadenin n → ∞ için limiti alınırsa, n k k =1 (k + 1)d − c p lim ∑ n →∞ = (− 1) p ⎡ c − d Ψ⎛ p − 1,1 + d − c ⎞ − Ψ⎛ p − 2,1 + d − c ⎞⎤ (5.51) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ d ⎠ d ⎠⎥⎦ ( p − 2)!d p ⎢⎣ ( p − 1)d ⎝ ⎝ ve n−k n −1 lim ∑ n →∞ k =1 (n + k + 1)d − c p =0 (5.52) olur. (5.51)’deki bu değeri (5.50)’de yazarsak Hn p ⎧ (− 1) p ⎡ c − d d −c⎞ d − c ⎞⎤ ⎫ ⎛ ⎛ ≤⎨ p Ψ − + − Ψ − + p 1 , 1 2 , 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎬ ⎢ p d ⎠ d ⎠⎥⎦ ⎭ ⎝ ⎩ ( p − 2 )! d ⎣ ( p − 1)d ⎝ 1/ p elde ederiz. Bu eşitsizliği düzenlersek, Hn c−d c⎞ 1⎧ 1 c ⎞⎫ ⎛ ⎛ ≤ ⎨ Ψ ⎜ p − 1,2 − ⎟ − Ψ ⎜ p − 2,2 − ⎟ ⎬ d ⎩ ( p − 2)! ( p − 1)d ⎝ d⎠ d ⎠⎭ ⎝ p 1/ p (5.53) üst sınır elde edilmiş olur. Alt sınır için de (5.50) toplamının sağ tarafında n = 2 alırsak, Hn p ⎡ 2 ⎛ k ≥ ⎢∑ ⎜ ⎢ k =1 ⎜⎝ (k + 1)d − c ⎣ p ⎞ 2−1 ⎛ 2−k ⎟− ⎜ ∑ ⎟ k =1 ⎜ (2 + k + 1)d − c ⎠ ⎝ p ⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠⎦ 1/ p olur. Bu eşitsizliği düzenlersek Hn p ⎡ ⎤ 1 2 3 ≥⎢ + + p (3d − c ) p (4d − c ) p ⎥⎦ ⎣ (2d − c ) 1/ p elde edilir. Böylece (5.53) ve (5.54) ‘den teoremin ispatı tamamlanmış olur. Teorem 5.2.5.[82] h ≠ 0 , g / h ∉ Z olmak üzere (5.54) 70 n ⎡ ⎤ 1 Hn = ⎢ ⎥ ⎣ g + (i + j )h ⎦ i , j =1 biçimindeki Cauchy-Hankel matrisinde (i + j ) = k (mod n ) yazılırsa ⎡ 1 ⎤ Hn = ⎢ ⎥ k = 0,1,2,..., n − 1 ⎣ g + kh ⎦ n×n (5.55) şeklini alır. (5.55)’deki Cauchy-Hankel matrisi için 2 ≤ p ≤ ∞ ve g, h ∈ R + olmak üzere n −1 / p Hn p ⎛ (− 1) p ⎞ ≤ ⎜⎜ Ψ ( p − 1, g / h )⎟⎟ p ⎝ ( p − 1)!h ⎠ 1/ p şeklinde bir üst sınır vardır. İspat: H n matrisi için 1 Hn n p p n =∑ s =1 1 g + (s − 1)h p dir. Bu eşitliğin sağ tarafını değerlendirirsek n 1 ∑ [g + (s − 1)h] s =1 = p (− 1) p −1 [Ψ ( p − 1, n + g / h ) − Ψ ( p − 1, g / h )] ( p − 1)!h p ifadesini elde ederiz. a∈Ζ+ ,b herhangi bir sayı n∈Ζ+ olmak üzere, lim Ψ (a, n + b) = 0 n→∞ den ve yukarıdaki eşitlikten n lim ∑ n ←∞ s =1 1 [g + (s − 1)h] p = (− 1) p −1 Ψ ( p − 1, g / h ) ( p − 1)!h p eşitliğini elde ederiz. Sonuç olarak n −1 / p Hn p ⎛ (− 1) p ⎞ ≤ ⎜⎜ Ψ ( p − 1, g / h )⎟⎟ p ⎝ ( p − 1)!h ⎠ 1/ p dir. Teorem 5.2.6. [82] (5.55) deki H n matrisi için h ∈ Z + , g ∈ R + − Z + , h > g , n > 1 olmak üzere 1 ψ (1, g / h ) ≤ H n h2 2 71 alt sınırı vardır. İspat: Euclidean norm tanımından 1 Hn n 2 E n =∑ s =1 1 g + (s − 1)h 2 eşitliği yazılır. Bu eşitliğin sağ tarafını Polygamma fonksiyonu cinsinden yazarsak, n 1 ∑ [g + (s − 1)h] 2 s =1 = 1 [Ψ (1, g / h ) − Ψ (1, n + g / h )] h2 eşitliği yazılır. a∈Ζ+ ,b herhangi bir sayı n∈Ζ+ olmak üzere, lim Ψ (a, n + b) = 0 n→∞ den ve yukarıdaki eşitlikten n lim ∑ n →∞ s =1 1 [g + (s − 1)h] 2 = 1 Ψ (1, g / h ) h2 dir. Buradan da 1 n Hn E = 1 ψ (1, g / h ) h2 dir. Matris normu özelliklerinden , 1 n Hn E ≤ Hn 2 ≤ Hn eşitsizliğinden sonuç olarak 1 ψ (1, g / h ) ≤ H n h2 ifadesini elde ederiz ve ispat biter. 2 E 72 6. MATRİSLERİN HADAMARD ÇARPIMLARININ NORMLARI İÇİN SINIRLAR 6.1. Hadamard Çarpım İle Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel Matrislerinin Normları İçin Sınırlar Teorem 6.1.1. [83] n ⎛ ⎞ 2 ⎟⎟ Tn = ⎜⎜ ( ) 1 2 i j + − ⎝ ⎠ i , j =1 matrisi için 1 Tn n 2 ≤π dir. ⎛ ⎞ 1 ⎟⎟ ve B = (2 ) olmak üzere Tn = A B şeklinde yazarsak İspat: A = ⎜⎜ ⎝ 1 + 2(i − j ) ⎠ Teorem 3.1.2’den Tn 2 ≤ r1 ( A)c1 (B ) yazabiliriz. r1 ( A) = max i n ∑a j =1 2 ij ⎧ ⎪ ⎪⎪ =⎨ ⎪ ⎪ ⎩⎪ ( n −1) / 2 1 ∑ (2k − 1) k =1 2 + [n / 2 ]+1 1 ∑ (2k − 1) k =1 2 , n tek (6.1) n/2 1 2∑ (2k − 1)2 k =1 ve c1 (B ) = max j olur. (6.1)’deki toplamları hesaplarsak, n ∑b i =1 ij 2 =2 n , n çift 73 ⎧ 1 ⎛ n ⎞ π 2 1 ⎛ ⎡n⎤ ⎞ − ψ ⎜1, + 1⎟ , n tek ⎪ − ψ ⎜1, ⎟ + 4 ⎝ 2 ⎠ 4 4 ⎜⎝ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎟⎠ ⎪⎪ r1 ( A) = ⎨ ⎪ 1 ⎛ n 1⎞ π 2 ⎪ − ψ ⎜1, + ⎟ + , n çift ⎪⎩ 4 ⎝ 2 2⎠ 4 (6.2) ve c1 (B ) = 2 n (6.3) elde edilir. (6.2) ve (6.3)’den Tn 2 ⎧ ⎛ ⎡n⎤ ⎞ ⎛ n⎞ ⎪ n − ψ ⎜1, ⎟ + π 2 − ψ ⎜⎜1, ⎢ ⎥ + 1⎟⎟ , n tek ⎝ 2⎠ ⎪⎪ ⎝ ⎣2⎦ ⎠ ≤ r1 ( A)c1 (B ) = ⎨ ⎪ ⎛ n 1⎞ ⎪ n − 2ψ ⎜1, + ⎟ + π 2 , n çift ⎪⎩ ⎝ 2 2⎠ n ile bölüp sağ tarafından n → ∞ için bulunur. (6.4) eşitsizliğinin her iki yanını limitini alırsak ve (6.1)’i göz önüne alırsak 1 n Tn 2 ≤π elde edilir ki, bu da ispatı tamamlar. Teorem 6.1.2. [83] n ⎛ ⎞ 2 ⎟⎟ H n = ⎜⎜ ⎝ 1 − 2(i + j ) ⎠ i , j =1 matrisi için 1 n Hn 2 ≤ π2 2 −4 dir. ⎛ ⎞ 1 ⎟⎟ olmak üzere H n = A B şeklinde yazarsak İspat: A = (2 ) ve B = ⎜⎜ ⎝ 1 + 2(i − j ) ⎠ Teorem 3.1.2’den Hn olacaktır. 2 (6.4) ≤ r1 ( A)c1 (B ) 74 n r1 ( A) = max ∑a i j =1 2 ij =2 n (6.5) ve n c1 (B ) = max ∑ bij j 2 n 1 ∑ (2k + 1) = i =1 k =1 (6.6) 2 olur. (6.6)’deki toplamın değeri 1⎞ π ⎛ c1 (B ) = ψ ⎜1, n + ⎟ + −1 2⎠ 8 ⎝ 2 olacaktır. Bu değerleri H n 2 Hn ≤ r1 ( A)c1 (B ) eşitsizliğinde yerlerine yazarsak ⎞ ⎛ 1 ⎛ 3⎞ π 2 ⎜ ≤ 4n⎜ − ψ ⎜1, n + ⎟ + − 1⎟⎟ 2⎠ 8 ⎠ ⎝ 4 ⎝ 2 ve buradan 1 n Hn 2 ⎞ ⎛ 1 ⎛ 3⎞ π 2 ≤ 4⎜⎜ − ψ ⎜1, n + ⎟ + − 1⎟⎟ 2⎠ 8 ⎠ ⎝ 4 ⎝ ⎛ = − ψ ⎜1, n + ⎝ 3⎞ π 2 −4 ⎟+ 2⎠ 2 (6.7) elde edilir.(6.7) eşitsizliğinin sağ tarafından n → ∞ için limitini alınırsa 1 n Hn 2 π2 ≤ 2 −4 elde edilir. Böylece ispat tamamlanmış olur. Teorem 6.1.3. [83] ⎡ 1 T =⎢ ⎣⎢1 / 2 + i − n ⎤ ⎥ j ⎦⎥ i , j =1 (6.8) ve n ⎡ ⎤ 1 H =⎢ ⎥ ⎣1 / 2 + (i + j ) ⎦ i , j =1 (6.9) matrisleri için 1 n Tn ≤ π −4 , 2 2 1 n Hn 2 ≤ π2 2 − 40 9 75 üst sınırları geçerlidir. ⎡ 1 İspat: A = [2]n×n ve B = ⎢ ⎢⎣1 + 2 i − ⎤ seçersek T = A B olur. Teorem 3.1.2’den, ⎥ j ⎥⎦ n×n r1 ( A) = max i n ∑a j =1 2 = 4n ij ve c1 (B ) = max j n ∑b i =1 ij 2 ⎧ ⎪ ⎪⎪ =⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩ 2 ( n −1) / 2 1 ∑ (2s + 1) s =1 n / 2 +1 1 ∑ (2s − 1) s =1 2 + 2 n / 2 −1 +1 , n tek (6.10) 1 ∑ (2s + 1) s =1 2 , n çift elde ederiz. (6.10) eşitliğinin sağ tarafını hesaplarsak, ( n −1) / 2 1 ∑ (2s + 1) s =1 n / 2 +1 1 ∑ (2s − 1) s =1 2 2 = = π2 1 − 1 − ψ (1, n / 2 + 1) , 8 4 π2 1 − ψ (1, (n + 3) / 2 ) , 8 4 (6.11) (6.12) ve n / 2 −1 1 ∑ (2s + 1) s =1 2 = π2 1 − 1 − ψ (1, (n + 1) / 2 ) , 8 4 (6.13) elde ederiz. Buradan ⎧ ⎡π 2 ⎤ 1 ⎪ − 1 − ψ (1, n / 2 + 1)⎥ + 1 2⎢ , n tek 4 ⎪⎪ ⎣ 8 ⎦ c1 (B ) = ⎨ ⎪ 2 ⎪ π − 1 − 1 [ψ (1, (n + 3) / 2 ) + ψ (1, (n + 1) / 2 )] , n çift ⎪⎩ 4 4 olacaktır. Tn T 2 2 ≤ r1 ( A)c1 (B ) olduğundan dolayı , ⎧ ⎛ ⎡π 2 ⎤ ⎞ 1 ⎪ 4n⎜⎜ 2⎢ − 1 − ψ (1, n / 2 + 1)⎥ + 1⎟⎟ , n tek 8 4 ⎪ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎪ ≤ r1 ( A)c1 (B) = ⎨ (6.14) ⎪ 2 ⎪ 4n⎛⎜ π − 1 − 1 [ψ (1, (n + 3) / 2) +ψ (1, (n + 1) / 2)]⎞⎟ , n çift ⎜ 4 ⎟ ⎪⎩ 4 ⎝ ⎠ 76 olur. Eğer (6.3) eşitsizliğinin her iki tarafını 1 n T 2 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ≤⎨ ⎪ ⎛ 2 ⎪ 4⎜ π ⎪⎩ ⎜⎝ 4 n ile bölersek , bu durumda ⎛ ⎡π 2 ⎤ ⎞ 1 4⎜⎜ 2⎢ − 1 − ψ (1, n / 2 + 1)⎥ + 1⎟⎟ 4 ⎦ ⎠ ⎝ ⎣8 −1 − , n tek (6.15) 1 [ψ (1, (n + 3) / 2) + ψ (1, (n + 1) / 2)]⎞⎟⎟ , n çift 4 ⎠ olur. (6.15) eşitsizliğinin sağ tarafındaki ifadenin n → ∞ için limiti alınırsa, 1 n Tn ≤ π2 −4 2 (6.16) bulunur. ⎡ ⎤ 1 seçersek A = [2]n×n ve B = ⎢ ⎥ ⎣1 + 2(i + j ) ⎦ n×n H = A B olur. Teorem 3.1.2’den, r1 ( A) = max i n ∑a j =1 2 ij = 4n ve n c1 (B ) = max ∑ bij j olur. H n 2 2 n 1 ∑ (2s + 3) = i =1 s =1 2 = π2 8 − 10 1 − ψ (1, n + 5 / 2) 9 4 (6.17) ≤ r1 ( A)c1 (B ) eşitsizliğinden, Hn 2 ⎡ π 2 10 1 ⎤ ≤ r1 ( A)c1 (B ) = 4n ⎢ − − ψ (1, n + 5 / 2 )⎥ 9 4 ⎣ 8 ⎦ bulunur. Benzer şekilde, (6.18) eşitsizliğinin her iki yanı 1 n Hn 2 (6.18) n ile bölünürse ⎡ π 2 10 1 ⎤ ≤ 4⎢ − − ψ (1, n + 5 / 2 )⎥ 9 4 ⎣ 8 ⎦ (6.19) olur. (6.19)’deki eşitliğin sağ tarafının n → ∞ için limiti alınırsa, 1 n Hn 2 ≤ π2 2 − 40 9 elde edilir. (6.16) ve (6.20)’den ispat tamamlanır. (6.20) 77 Teorem 6.1.4. [83] ⎡ 1 T =⎢ ⎢⎣1 / 2 + i − i) n ⎤ ⎥ j ⎥⎦ i , j =1 matrisi olsun. Bu durumda 2 ≤ p < ∞ olmak üzere n −1 / p T [ ≤ 2ζ ( p )(2 p − 1) − 2 p p ] 1/ p , n ⎡ ⎤ 1 H =⎢ ⎥ ⎣1 / 2 + (i + j ) ⎦ i , j =1 ii) matrisi için 3 ≤ p < ∞ olmak üzere H ( p ) ⎡ ⎤ 3 2 p −1 ≤ ⎢2 P − ζ ( p ) + 2 p −1 − 1 ζ ( p − 1)⎥ 2 ⎣ ⎦ ( ) 1/ p üst sınırları geçerlidir. İspat: i) p normu tanımından T matrisini yazarsak p T p n −1 p ⎛ 2 ⎞ p = 2∑ ⎜ ⎟ (n − s ) + n 2 s =1 ⎝ 2 s + 1 ⎠ n −1 ⎡ n −1 ⎤ s 1 = 2 p ⎢ 2n ∑ − + n⎥ 2 ∑ p p s =1 (2 s + 1) ⎣ s =1 (2 s + 1) ⎦ (6.21) olur. (6.21) eşitsizliğinin her iki tarafını n ile bölersek 1 T n p p ⎡ n −1 ⎤ s 1 2 n −1 = 2 p ⎢ 2∑ − + 1 ⎥ ∑ p n s =1 (2 s + 1) p ⎣ s =1 (2 s + 1) ⎦ elde edilir. s 2 n −1 →0 ∑ p n→∞ n s =1 (2 s + 1) lim ve 2 n −1 1 1 ⎛ 2 n −1 1 = lim ⎜∑ p − p ∑ p → ∞ n→∞ n n 2 s =1 (2 s + 1) ⎝ s =1 s lim n −1 1 ∑s s =1 p 1 ⎞ ⎡ ⎛ − 1⎟ = ⎢ζ ( p )⎜1 − p ⎝ 2 ⎠ ⎣ olduğu için n −1 T olup p p ⎧ ⎡ 1 ⎞ ⎤ ⎫ ⎛ ≤ 2 p ⎨2 ⎢ζ ( p )⎜1 − p ⎟ − 1⎥ + 1⎬ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎭ ⎩ ⎣ ⎞ ⎤ ⎟ − 1⎥ ⎠ ⎦ 78 n −1 / p T p [ ( ) ≤ 2ζ ( p ) 2 p − 1 − 2 p ] 1/ p elde edilir. ii) p normu tanımından H matrisini yazarsak H p p n −1 ⎡ n ⎤ s n−s = 2 p ⎢∑ + ∑ p p ⎥ s =1 (2 s + 2n + 3) ⎦ ⎣ s =1 (2 s + 3) olur. n −1 lim ∑ n→∞ s =1 s (2s + 3) p = 1− ( ) 3 2 p −1 2 p −1 − 1 ( ) ζ p + ζ ( p − 1) 2 p +1 2p ve n−s n −1 lim ∑ n→∞ s =1 (2s + 2n + 3) p →0 olduğundan dolayı H p p ( ) ⎡ ⎤ 3 2 p −1 ≤ ⎢2 P − ζ ( p ) + 2 p −1 − 1 ζ ( p − 1)⎥ 2 ⎣ ⎦ ( ) olur ki, bu da istenendir. 6.2. CAUCHY-TOEPLİTZ VE CAUCHY-HANKEL MATRİSLERİNİN HADAMARD ÇARPIMLARININ NORMLARI İÇİN SINIRLAR Teorem 6.2.1. [83] n n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2 ⎟⎟ ⎟⎟ Tn = ⎜⎜ ve H n = ⎜⎜ matrisleri için ⎝ 1 + 2(i − j ) ⎠ i , j =1 ⎝ 1 − 2(i + j ) ⎠ i , j =1 Tn H n 2 π4 ≤ 2 − 4π 2 eşitsizliği geçerlidir. İspat: Teorem 3.1.3’den ri (Tn ) = max i n ∑ t ij 2 , ci (H n ) = max j =1 üzere k k i =1 i =1 ∑ σ i (Tn H n ) ≤ ∑ ri (Tn )ci (H n ) k = 1,2,..., n j n ∑h i =1 ij 2 olmak 79 olur. Bu eşitsizlik k = 1 özel durumu için σ 1 (Tn H n ) ≤ r1 (Tn )c1 (H n ) (6.22) eşitsizliğine dönüşür. Buradan, r1 (Tn ) = max i n ∑t j =1 ⎧ ⎪ ⎪⎪ =⎨ ⎪ ⎪ ⎩⎪ 2 ij ( n −1) / 2 4 ∑ (2k − 1) k =1 2 + [n / 2 ]+1 4 ∑ (2k − 1) k =1 2 , n tek (6.23) n/2 8 ∑ (2k − 1) k =1 , n çift 2 ve n c1 (H n ) = max ∑ hij j i =1 2 = n 4 ∑ (2k + 1) k =1 (6.24) 2 elde ederiz. Eğer (6.23) ve (6.24) ‘deki toplamlar hesaplanırsa ( n −1) / 2 4 ∑ (2k − 1) k =1 [n / 2 ]+1 4 ∑ (2k − 1) k =1 n/2 2 8 ∑ (2k − 1) k =1 2 2 2 ⎛ n⎞ π = − ψ ⎜1, ⎟ + , ⎝ 2⎠ 2 ⎛ ⎡n⎤ ⎞ π 2 , = − ψ ⎜⎜1, ⎢ ⎥ + 1⎟⎟ + ⎝ ⎣2⎦ ⎠ 2 ⎛ n 1⎞ = − 2ψ ⎜1, + ⎟ + π 2 ⎝ 2 2⎠ ve n 4 ∑ (2k + 1) k =1 2 3⎞ π2 ⎛ = − ψ ⎜1, n + ⎟ − 4 + 2⎠ 2 ⎝ elde edilir. Böylece 2 ⎧ ⎛ ⎡n⎤ ⎞ π 2 ⎛ n⎞ π − ψ ⎜⎜1, ⎢ ⎥ + 1⎟⎟ + ⎪ − ψ ⎜1, ⎟ + ⎝ 2⎠ 2 ⎪⎪ ⎝ ⎣2⎦ ⎠ 2 r1 (Tn ) = ⎨ ⎪ ⎛ n 1⎞ ⎪ − 2ψ ⎜1, + ⎟ + π 2 ⎪⎩ ⎝ 2 2⎠ , n tek (6.25) , n çift ve π2 3⎞ ⎛ c1 (H n ) = − ψ ⎜1, n + ⎟ − 4 + 2⎠ 2 ⎝ (6.26) olur. (6.25) ve (6.26)’deki eşitsizliklerin sağ taraflarının n → ∞ için limitleri alınırsa 80 r1 (Tn ) = π , c1 (H n ) = π2 2 −4 (6.27) olarak elde edilir. (6.27)’de elde ettiğimiz değerleri (6.22) de yerine yazarsak, σ 1 (Tn H n ) ≤ r1 (Tn )c1 (H n ) ≤ π olur. Aynı zamanda σ 1 (Tn H n ) ≤ Tn H n Tn H n 2 ≤ π2 −4 2 olduğundan 2 π4 2 − 4π 2 bulunur. Bu da ispatı tamamlar. Sonuç 6.2.1. [83] n n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2 ⎟⎟ ⎟⎟ Tn = ⎜⎜ ve H n = ⎜⎜ matrisleri için ⎝ 1 + 2(i − j ) ⎠ i , j =1 ⎝ 1 − 2(i + j ) ⎠ i , j =1 n −1 / p Tn H n p [ ][ ] ≤ 21 / p {(2 p − 1)ζ ( p ) 1 + (2 p − 1)ζ ( p − 1) − (2 p −1 − 1 / 2 )ζ ( p ) − ln 2 } 1/ p eşitsizliği geçerlidir. İspat: Teorem 5.1.7. ve 5.2.3.’den n −1 / p Tn p [ ] ≤ 21 / p (2 p − 1)ζ ( p ) 1/ p (6.28) ve Hn p ⎡ ⎤ 1⎞ ⎛ ≤ ⎢1 + 2 p −1 − 1 ζ ( p − 1) − ⎜ 2 p −1 − ⎟ζ ( p ) − ln 2⎥ 2⎠ ⎝ ⎣ ⎦ ( ) 1/ p (6.29) olur. Tn H n p ≤ Tn p Hn (6.30) p olduğu için, (6.30)’deki eşitsizliğin her iki tarafını n −1/ p ile çarparsak n −1 / p Tn H n p ≤ n −1 / p Tn p Hn p olur. (6.28) ve (6.29)’den , n −1 / p Tn H n p [ ][ ] ≤ 21 / p {(2 p − 1)ζ ( p ) 1 + (2 p − 1)ζ ( p − 1) − (2 p −1 − 1 / 2 )ζ ( p ) − ln 2 } bulunur ve ispat biter. 1/ p 81 Sonuç 6.2.2. [83] ⎡ 1 T =⎢ ⎢⎣1 / 2 + i − n n ⎤ ⎡ ⎤ 1 matrisleri için ⎥ , H =⎢ ⎥ j ⎥⎦ i , j =1 ⎣1 / 2 + (i + j ) ⎦ i , j =1 Tn H n 2 ≤ ⎛ π 2 40 ⎞ π − 4 ⎜⎜ − ⎟⎟ 9 ⎠ ⎝ 2 ( ) 2 üst sınırı geçerlidir. İspat: Maksimum satır uzunluğu normunun tanımından r1 (T ) = max i n ∑t j =1 2 ij ⎧ ⎡ (n −1) / 2 ⎤ 1 ⎪ + 1 4⎢2 ∑ ⎥ 2 ⎪ s =1 (2 s + 1) ⎣ ⎦ ⎪ =⎨ ⎪ ⎡ n / 2+1 n / 2 −1 ⎤ 1 1 ⎪ 4⎢ ∑ + ∑ 2 2 ⎥ ⎪⎩ ⎣ s =1 (2s − 1) s =1 (2 s + 1) ⎦ , n tek , n çift ve (6.11), (6.12), (6.13)’den ⎧ ⎡π 2 ⎤ 1 ⎪ 4⎢ − 1 − ψ (1, n / 2 + 1)⎥ , n tek 4 4 ⎪ ⎣ ⎦ ⎪ r1 (T ) = ⎨ ⎪ ⎛π 2 ⎞ 1 ⎪ 4⎜ ⎟⎟ , n çift ( ( ) ) ( ( ) ) 1 1 , n 3 / 2 1 , n 1 / 2 − − + + + [ ψ ψ ] 4 ⎪⎩ ⎜⎝ 4 ⎠ (6.31) olur. Benzer düşünce ile, maksimum sütun uzunluğu norm tanımı ve (6.17)’den n c1 (H ) = max ∑ hij j 2 i =1 bulunur. T H ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ T H 2 ≤⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩ 2 = n 1 ∑ (2s + 3) s =1 2 π2 = 8 − 10 1 − ψ (1, n + 5 / 2) 9 4 (6.32) ≤ r1 (T )c1 (H ) eşitsizliği, (6.31) ve (6.32)’den ⎡π 2 ⎤ ⎡π 2 10 1 ⎤ 1 4⎢ −1− ψ (1, n / 2 +1)⎥4⎢ − − ψ (1, n + 5 / 2)⎥ 4 ⎣4 ⎦ ⎣8 9 4 ⎦ , n tek ⎤ ⎞ ⎡π 2 10 1 ⎛π 2 1 4⎜⎜ −1− [ψ (1, (n + 3) / 2) +ψ (1, (n +1) / 2)]⎟⎟4⎢ − − ψ (1, n + 5 / 2)⎥ , n çift 4 ⎦ ⎠ ⎣8 9 4 ⎝4 elde edilir. Yukarıdaki eşitsizliğin sağ tarafındaki n → ∞ için limitleri alınırsa Tn H n elde edilir. Bu da istenendir. 2 ≤ (π 2 ⎛ π 2 40 ⎞ − 4 ⎜⎜ − ⎟⎟ 9 ⎠ ⎝ 2 ) 82 Sonuç 6.2.3. [83] n ⎡ 1 T =⎢ ⎢⎣1 / 2 + i − n −1 / p T H n ⎤ ⎡ ⎤ 1 matrislerinin Hadamard çarpımı için ⎥ , H =⎢ ⎥ j ⎥⎦ i , j =1 ⎣1 / 2 + (i + j ) ⎦ i , j =1 ( p ) ⎡⎛ ⎤ ⎞ 3 2 p −1 ≤ ⎢⎜⎜ 2 P − ζ ( p ) + 2 p −1 − 1 ζ ( p − 1)⎟⎟ 2ζ ( p ) 2 p − 1 − 2 p ⎥ 2 ⎠ ⎣⎝ ⎦ ( ) ( ( ) ) 1/ p eşitsizliği geçerlidir. İspat: A B ≤ A B eşitsizliğinden yararlanarak n −1 / p T H p ≤ n −1 / p T p H p yazabiliriz. Teorem 6.1.4’deki(i-ii) istenen elde edilir. Teorem 6.2.2. [30] n n ⎛ ⎞ 2 ⎟⎟ Tn = ⎜⎜ ⎝ 1 + 2(i − j ) ⎠ i , j =1 çarpımlarının p ve ⎛ ⎞ 2 ⎟⎟ H n = ⎜⎜ ⎝ 1 − 2(i + j ) ⎠ i , j =1 matrislerinin Hadamard normu için 1/ p Tn H n p ⎧ 1 ⎡ 1 1⎞ ⎤ ⎛ 5 ⎞⎫ ⎛ ≥⎨ ψ ⎜ p − 1, ⎟ − 1⎥ψ ⎜ p − 1, ⎟⎬ ⎢ p 2⎠ ⎦ ⎝ 4 ⎠⎭ ⎩ ( p − 1)! ⎣ 2 ( p − 1)! ⎝ ve 1/ p Tn H n p ⎧ 1 3⎞ 1 ⎡ 1 1⎞ ⎤ ⎛ 5 ⎞⎫ ⎛ ⎛ ≤⎨ ψ ⎜ p − 1, ⎟ + ψ ⎜ p − 1, ⎟ − 1⎥ψ ⎜ p − 1, ⎟⎬ ⎢ p 4 ⎠ ( p − 1)! ⎣ 2 ( p − 1)! ⎝ 2⎠ ⎦ ⎝ 4 ⎠⎭ ⎩ ( p − 1)! ⎝ alt ve üst sınırları vardır. İspat: Tn ve H n matrislerinin Hadamard çarpımını formüle edersek, 83 Tn 4 ⎡ − ⎢ 3 ⎢ 4 ⎢ − ⎢ 3 .5 ⎢ 4 − ⎢ 5 .7 Hn = ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢ 4 ⎢− − 2 1 2 n + 1) ( )( n ⎣ 4 5 4 − 7 4 − 3 .9 . 4 3 .7 4 9 4 − 11 . . . . − (2 n − 3)(2n + 3) p ... ... . 4 − 4 (2 n − 5 )(2 n + 5 ) 1 1 1 ⎡ − ⎢ 3 5 3.7 ⎢ 1 1 1 ⎢ − − ⎢ 3.5 7 9 ⎢ 1 1 1 − − − ⎢ 5.7 3.9 11 = 4⎢ . . . ⎢ ⎢ . . . ⎢ ⎢ . . . ⎢ 1 1 1 . − − ⎢− (2n − 3)(2n + 3) (2n − 5)(2n + 5) ⎣ (2n − 1)(2n + 1) elde ederiz. (6.33) ifadesinin ... . . . 4 ⎤ (2 n − 3)(2 n + 1) ⎥⎥ 4 ⎥ (2 n − 5 )(2 n + 3) ⎥ ⎥ 4 ⎥ (2 n − 7 )(2 n + 5 )⎥ . ⎥ ⎥ . ⎥ ⎥ . ⎥ 4 ⎥ (4n − 1) ⎦ 1 ⎤ (2n − 3)(2n + 1) ⎥⎥ 1 ⎥ ... (2n − 5)(2n + 3) ⎥ ⎥ 1 ... ⎥ (6.33) (2n − 7 )(2n + 5)⎥ . ⎥ ⎥ . ⎥ ⎥ . ⎥ 1 . . ⎥ (4n − 1) ⎦ ... normu, 1/ p Tn H n p 1 1 1 1 1 ⎫ ⎧1 ⎪ ⎪ 3 p + 7 p + ... + (4n − 1) p + 5 p + 9 p + ... + (4n − 1) p ⎪ ⎪ = 4⎨ ⎬ 1 1 1 ⎪ ⎪+ 1 + ... + ... + + + ⎪⎩ 3 p 7 p (2n − 3) p (2n + 1) p 3 p 5 p (2n − 1) p (2n + 1) p ⎪⎭ olur. Bu toplamlar, toplam sembolü ile ifade edilirse, Tn H n p n −1 ⎡⎛ ⎧⎪ n 1 1 1 = 4⎨∑ + + ⎢⎜⎜ ∑ p p (2s + 1) p s =1 ⎢ ⎪⎩ k =1 (4k − 1) ⎣⎝ (2s − 1) 1/ p ⎤ ⎫⎪ ⎞ n− s 1 ⎟∑ ⎟ (4k + 2s − 1) p ⎥ ⎬ ⎥⎦ ⎪⎭ ⎠ k =1 elde edilir. Bu eşitlikteki son toplamda s = 1 alırsak, bu denklemin sağ tarafı büyür. Yani, Tn H n p n −1 ⎡⎛ ⎧⎪ n 1 1 1 ≤ 4⎨∑ + ∑ ⎢⎜⎜ + p p (2s + 1) p s =1 ⎣ ⎪⎩ k =1 (4k − 1) ⎢⎝ (2s − 1) 1/ p ⎤ ⎫⎪ ⎞ n −1 1 ⎟∑ ⎟ (4k + 1) p ⎥ ⎬ ⎠ k =1 ⎦⎥ ⎪⎭ olacaktır. (6.34) eşitsizliği Polygamma fonksiyonu cinsinden ifade edilirse n 1 ∑ (4k − 1) k =1 p = ⎡ 1 (− 1) p −1ψ ⎛⎜ p − 1, n + 3 ⎞⎟ + (− 1) pψ ⎛⎜ p − 1, 3 ⎞⎟⎤⎥ , ⎢ 4⎠ 4 ⎠⎦ 2 ( p − 1)! ⎣ ⎝ ⎝ 2p (6.34) 84 p −1 ⎡ 1 ⎡ ⎛ 1⎞ 1⎞ 1⎞ ⎤ 1 ⎤ (− 1) ⎛ ⎛ ψ ⎜ p − 1, n − ⎟ + ψ ⎜ p − 1, n + ⎟ + ψ ⎜ p − 1, ⎟ − 1⎥ + = p ⎢ ∑ ⎢ p p⎥ 2⎠ 2⎠ 2⎠ ⎦ (2s + 1) ⎦ 2 ( p − 1)! ⎣ ⎝ ⎝ ⎝ s =1 ⎣ (2s − 1) n−1 ve n −1 1 ∑ (4k + 1) k =1 p = ⎡ 1 (− 1) p −1ψ ⎛⎜ p − 1, n + 1 ⎞⎟ + (− 1) pψ ⎛⎜ p − 1, 5 ⎞⎟⎤⎥ ⎢ 4⎠ 4 ⎠⎦ 2 ( p − 1)! ⎣ ⎝ ⎝ 2p olur. (6.34) eşitsizliğinde n → ∞ için limitleri alırsak, (− 1) ψ ⎛ p − 1, 3 ⎞ 1 = 2p ⎜ ⎟ p n→∞ 4⎠ 2 ( p − 1)! ⎝ k =1 (4k − 1) p ∞ lim ∑ (6.35) p −1 ⎡ 1 ⎡ ⎛ ( 1 ⎤ 1⎞ ⎤ − 1) lim ∑ ⎢ ψ ⎜ p − 1, n − ⎟ − 1⎥ + = p ⎢ p p ⎥ n→∞ 2⎠ ⎦ (2s + 1) ⎦ 2 ( p − 1)! ⎣ ⎝ s =1 ⎣ (2s − 1) ∞ (6.36) ve ∞ lim ∑ n→∞ k =1 1 (4k + 1) p = 5⎞ 1 ⎛ ψ ⎜ p − 1, ⎟ 4⎠ 2 ( p − 1)! ⎝ (6.37) 2p elde ederiz. (6.35), (6.36) ve (6.37) ‘yi (6.34)’de yerine yazarsak 1/ p Tn H n p ⎫ ⎧ 1 3⎞ ⎛ ⎪ ⎪ ( p − 1)!ψ ⎜ p − 1, 4 ⎟ + ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ≤⎨ ⎬ 1 1⎞ ⎤ ⎛ 5 ⎞⎪ ⎛ ⎪ 1 ×⎡ ψ ⎜ p − 1, ⎟ − 1⎥ψ ⎜ p − 1, ⎟ ⎪ ( p − 1)! ⎢⎣ 2 p ( p − 1)! ⎝ 2⎠ ⎦ ⎝ 4 ⎠⎪⎭ ⎩ (6.38) şeklinde bir üst sınır elde edilir. (6.34) eşitsizliğinin sağ tarafındaki birinci toplamı ihmal edersek Tn H n p ⎧⎪ n −1 ⎡⎛ 1 1 ≥ 4⎨∑ ⎢⎜⎜ + p (2s + 1) p ⎪⎩ s =1 ⎣⎢⎝ (2s − 1) 1/ p ⎤ ⎫⎪ ⎞ n −1 1 ⎟∑ ⎟ (4k + 1) p ⎥ ⎬ ⎠ k =1 ⎦⎥ ⎪⎭ (6.39) olur. (6.36) ve (6.37) ‘yi (6.39)’de yerine yazarsak 1/ p Tn H n p ⎧ 1 ⎡ 1 1⎞ ⎤ ⎛ 5 ⎞⎫ ⎛ ≥⎨ ψ ⎜ p − 1, ⎟ − 1⎥ψ ⎜ p − 1, ⎟⎬ ⎢ p 2⎠ ⎦ ⎝ 4 ⎠⎭ ⎩ ( p − 1)! ⎣ 2 ( p − 1)! ⎝ bulunur. Böylece (6.38) ve (6.40)’den teoremin ispatı tamamlanmış olur.[4] (6.40) 85 Teorem 6.2.3. [30] n n ⎡ ⎤ 1 Tn = ⎢ ⎥ ve ⎣ a + (i − j )b ⎦ i , j =1 ⎡ ⎤ 1 Cauchy-Toeplitz Hn = ⎢ ⎥ ⎣ c − (i + j )d ⎦ k , j =1 ve Cauchy- Hankel matrisleri olsun. a < b , c < d ve a, b, c, d ∈ R + olmak üzere Tn H n matrislerinin p normu için 1/ p Tn H n p ⎧ ⎫ 1 c ⎞ ⎛ ψ ⎜ p − 1,1 + ⎟+ ⎪ p ⎪ 2d ⎠ 1 ⎪ a ( p − 1)! ⎝ ⎪ ≤ ⎨ ⎬ 2d ⎪ ⎡ ⎛ 1 c + d ⎞⎪ a ⎞⎤ ⎛ a⎞ ⎛ ψ p − 1,1 − ⎟ + ψ ⎜ p − 1,1 + ⎟⎥ψ ⎜ p − 1,1 + ⎟ ⎪ b p [( p − 1)!]2 ⎢⎣ ⎜⎝ 2d ⎠⎪⎭ b ⎠⎦ ⎝ b⎠ ⎝ ⎩ ve 1/ p Tn H n p ⎧⎪ 1 ⎡ ⎤ ⎡ 1 1 1 1 1 ⎤ ⎫⎪ ≥⎨ p ⎢ + + + ⎬ ⎥ ⎢ p (4d − c ) p ⎦ (3d − c ) p ⎣ (b − a ) p (b + a ) p ⎥⎦ ⎪⎭ ⎪⎩ a ⎣ (2d − c ) eşitsizlikleri geçerlidir. Teorem 6.2.4. [73] n ⎡ ⎤ 1 , Tn = ⎢ ⎥ ⎣ a + (k − j )b ⎦ k , j =1 n ⎡ ⎤ 1 Hn = ⎢ ⎥ ⎣ a + (k + j )b ⎦ k , j =1 Cauchy-Toeplitz ve Cauchy- Hankel matrisleri olsunlar. 2 ≤ p < ∞ , b > a ve a, b ∈ R − {0} olmak üzere bu matrislerin Hadamard çarpımlarının p normu için , ⎫ ⎧ (− 1) p a ⎞ ⎛ ψ ⎜ p − 1,1 + ⎟ + ⎪ ⎪ p p p 2b ⎠ ⎝ ⎪ ⎪ ( p − 1)!2 a b Tn H n p ≤ ⎨ ⎬ ⎡ ⎛ 1 a⎞ a ⎞⎤ a + b ⎞⎪ ⎛ ⎛ ⎪ ψ p − 1,1 − ⎟ + ψ ⎜ p − 1,1 + ⎟⎥ ×ψ ⎜ p − 1,1 + ⎟ ⎪ [( p − 1)!]2 2 p b 2 p ⎢⎣ ⎜⎝ b⎠ b ⎠⎦ 2b ⎠⎪⎭ ⎝ ⎝ ⎩ olacak şekilde bir üst sınır vardır. 1/ p Sonuç 6.2.4. [73] a ∈ R + − Z + ve b ∈ Z + olmak üzere n ⎡ ⎤ 1 Tn = ⎢ , ⎥ ( ) a k j b + − ⎣ ⎦ k , j =1 n ⎡ ⎤ 1 Hn = ⎢ ⎥ ⎣ a + (k + j )b ⎦ k , j =1 Cauchy-Toeplitz ve Cauchy- Hankel matrislerinin Hadamard çarpımlarının spektral normu için , 86 Tn H n ≤ 2 π2 sin 2 (πa ) olacak şekilde bir üst sınır vardır. İspat: Teorem 3.1.5.‘den Tn H n ≤ Tn Tn 2 1/ 2 2 Hn Hn vardır. Diğer taraftan Teorem 5.1.3.’den Tn Hn 2 ≤ 1/ 2 2 ≤ 2 ≤ Tn 2 Hn (6.41) 2 π ve Teorem 5.2.1.’den sin (πa ) π sin (aπ ) olup (6.41) ifadesi ile birlikte Tn H n 2 ≤ Tn Hn 2 2 ≤ π2 sin 2 (πa ) yazılır ve ispat tamamlanmış olur. Teorem 6.2.5. [82] 1 < k ∈ Z + olmak üzere n n ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k k Tn = ⎢ , Hn = ⎢ şeklinde tanımlı Cauchy-Toeplitz ve ⎥ ⎥ ⎣1 + (i − j )k ⎦ i , j =1 ⎣1 + (i + j )k ⎦ i , j =1 Cauchy-Hankel matrislerinin Hadamard çarpımlarının Euclide normu için Tn H n E 1⎞ 1 ⎞⎡ ⎛ k⎧ ⎛ ⎛ ≤ ⎨ψ ⎜1,1 + ⎟ ⎢ψ ⎜1,1 − ⎟ + ψ ⎜1,1 + 2k ⎠ ⎣ ⎝ 2⎩ ⎝ k⎠ ⎝ 1/ 2 1 ⎞ ⎤⎫ ⎟ +1 ⎬ k ⎠ ⎥⎦ ⎭ ve Tn H n E 1 ⎞⎡ ⎛ 1⎧ ⎛ ≥ ⎨ψ ⎜1,1 + ⎟ ψ ⎜1,1 + 2k ⎠ ⎢⎣ ⎝ 2⎩ ⎝ 1/ 2 1⎞ 1 ⎞⎤ ⎫ ⎛ ⎟ + ψ ⎜1,1 − ⎟⎥ ⎬ k⎠ k ⎠⎦ ⎭ ⎝ olacak şekilde alt ve üst sınır vardır. İspat: Tn ve H n matrislerinin Hadamard çarpımını yazarsak 87 Tn ⎡ k2 ⎢ 1 + 2k ⎢ k2 ⎢ ⎢ (1 + 3k )(1 + k ) Hn = ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ k2 ⎢ ⎢⎣ (1 + (n + 1)k )(1 + (n − 1)k ) 1 ⎡ ⎢ 1 + 2k ⎢ 1 ⎢ ⎢ (1 + 3k )(1 + k ) = k2⎢ . ⎢ . ⎢ . ⎢ 1 ⎢ ⎢ (1 + (n + 1)k )(1 + (n − 1)k ) ⎣ ⎤ k2 (1 + (n + 1)k )(1 − (n − 1)k ) ⎥⎥ k2 ⎥ (1 + (n + 2)k )(1 − (n − 2)k )⎥ ⎥ . ⎥ . . ⎥ . ⎥ . . . 2 ⎥ k ⎥ . . 1 + 2nk ⎥⎦ k2 .. . (1 + 3k )(1 − k ) k2 .. . 1 + 4k . . . 1 ⎤ (1 + (n + 1)k )(1 − (n − 1)k ) ⎥⎥ 1 ⎥ (1 + (n + 2)k )(1 − (n − 2)k )⎥ ⎥ . . . ⎥ . ⎥ . . . ⎥ 1 ⎥ . . ⎥ 1 + 2nk ⎦ 1 .. . (1 + 3k )(1 − k ) 1 .. . 1 + 4k . . . şeklinde formüle edebiliriz. Euclide normu tanımından Tn H n 2 E ⎧ ⎫ 1 1 1 + + ... + ⎪ 2 2 2 2 2 (1 + 3k ) (1 − k ) [1 + (n + 1)k ] [1 − (n − 1)k ] ⎪⎪ ⎪ (1 + 2k ) ⎪⎪ ⎪⎪ 1 1 1 = k 4 ⎨+ + + + ... ⎬ 2 2 (1 + 4k )2 [1 + (n + 2)k ]2 [1 − (n − 2)k ]2 ⎪ ⎪ (1 + 3k ) (1 + k ) ⎪ ⎪ 1 1 + + ... ⎪+ ⎪ ⎪⎩ [1 + (n + 1)k ]2 [1 + (n − 1)k ]2 ⎪⎭ (1 + 2nk )2 2 şeklinde yazılır. Bu ifadeyi toplam formunda yazarsak Tn H n 2 E 1 ⎧n + ⎪∑ 2 ( ) 1 2 ks + = 1 s ⎪ = k4⎨ n −1 1 1 ⎪ ⎡⎛⎜ + ⎢ ∑ 2 ⎜ ⎪ s =1 ⎢ (1 − sk ) (1 + sk )2 ⎩ ⎣⎝ ⎞⎛ n − s 1 ⎟⎜ ∑ ⎟⎜ (1 + (2t + s )k )2 ⎠⎝ t =1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎤ ⎞ ⎪ ⎟⎥ ⎟ ⎪ ⎠⎥⎦ ⎭ (6.42) olur. Bu eşitlikte n−s ∑ (1 + (2t + s )k ) t =1 n 1 2 <∑ t =1 1 (1 + 2kt )2 olduğundan, Tn H n n −1 ⎛ ⎡n 1 1 1 ⎜ ≤ k ⎢∑ + + ∑ 2 2 ⎜ (1 + sk )2 s =1 ⎝ (1 − sk ) ⎣⎢ s =1 (1 + 2ks ) 2 E ⎤ ⎞ n 1 ⎟∑ ⎟ (1 + 2kt )2 ⎥ ⎠ t =1 ⎦⎥ 1/ 2 (6.43) 88 elde edilir. Polygamma fonksiyon özelliğinden n 1 ∑ (1 + 2ks ) s =1 ⎛ n −1 1 ∑ ⎜⎜ (1 − sk ) ⎝ s =1 2 1 + (1 + sk )2 n 1 ∑ (1 + 2kt ) t =1 2 ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎞ ⎛ ⎢ψ ⎜1,1 + 2k ⎟ − ψ ⎜1, n + 1 + 2k ⎟⎥ , ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ 1 4k 2 = 2 ⎡ ⎛ 1⎞ 1⎞ ⎤ ⎛ ψ ⎜1,1 − ⎟ + ψ ⎜1,1 + ⎟ ⎥ ⎢ ⎞ 1 k⎠ k⎠ ⎥ ⎝ ⎟= 2 ⎢ ⎝ ⎟ k ⎢ ⎛ 1⎞ 1 ⎞⎥ ⎛ ⎠ ⎢− ψ ⎜1, n + ⎟ − ψ ⎜1, n − ⎟⎥ k⎠ k ⎠⎦ ⎝ ⎣ ⎝ 1 4k 2 = ve ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ 1 ⎞ ⎛ ⎢ψ ⎜1,1 + 2k ⎟ − ψ ⎜1, n + 1 + 2k ⎟⎥ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ elde ederiz. n → ∞ için limit alınırsa ∞ 1 ∑ (1 + 2ks ) s =1 ⎛ ∞ 1 ∑ ⎜⎜ (1 − sk ) s =1 ⎝ ∞ 2 + 2 = 1 (1 + sk ) 1 ∑ (1 + 2kt ) t =1 2 2 = 1 ⎞ 1 ⎛ ψ ⎜1,1 + ⎟ , 2 2k ⎠ 4k ⎝ (6.44) ⎞ 1 ⎡ ⎛ 1 ⎟ = 2 ⎢ψ ⎜1,1 − ⎞⎟ + ψ ⎛⎜1,1 + ⎟ k k⎠ ⎝ ⎣ ⎝ ⎠ 1 ⎞⎤ ⎟ k ⎠⎥⎦ (6.45) 1 ⎞ 1 ⎛ ψ ⎜1,1 + ⎟ 2 2k ⎠ 4k ⎝ (6.46) elde edilir. Bu değerler (6.42) eşitliğinde yerine konulursa Tn H n 2 E ⎧ 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ≤ k ⎨ 2 ψ ⎜1,1 + ⎟+ 4 2k ⎠ 4 k ⎝ ⎩ 4k 2 ⎡ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎢ψ ⎜1,1 − k ⎟ + ψ ⎜1,1 + ⎠ ⎝ ⎣ ⎝ 1/ 2 1⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎫ ⎟ ⎬ ⎟ψ ⎜1,1 + 2k ⎠⎥⎦ ⎭ k⎠ ⎝ bulunur. (6.44) , (6.45) ve (6.46)’den 1/ 2 Tn H n E 1 ⎞⎡ 1 ⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎤⎫ k⎧ ⎛ ≤ ⎨ψ ⎜1,1 + ⎟ ⎢ 2 ψ ⎜1,1 − ⎟ + 2 ψ ⎜1,1 + ⎟ + 1⎥ ⎬ 2k ⎠ ⎣ k 2⎩ ⎝ k⎠ k k ⎠ ⎦⎭ ⎝ ⎝ olur. Böylece Tn H n E için bir üst sınır elde ettik. Alt sınır elde etmek için (6.41) eşitliğinde ilk toplamı ihmal edersek, ⎡ n −1 ⎛ 1 1 ≥ k ⎢∑ ⎜⎜ + 2 (1 + sk )2 ⎣⎢ s =1 ⎝ (1 − sk ) 2 Tn H n E ⎤ ⎞ n 1 ⎟∑ ⎟ (1 + 2kt )2 ⎥ ⎠ t =1 ⎦⎥ 1/ 2 elde ederiz. (6.45) ve (6.46)’den 1/ 2 Tn H n E 1⎞ 1 ⎞⎤ ⎫ 1 ⎞⎡ ⎛ 1⎧ ⎛ ⎛ ≥ ⎨ψ ⎜1,1 + ⎟ ⎢ψ ⎜1,1 + ⎟ + ψ ⎜1,1 − ⎟⎥ ⎬ 2k ⎠ ⎣ ⎝ 2⎩ ⎝ k⎠ k ⎠⎦ ⎭ ⎝ elde edilir ve ispat tamamlanır. (6.47) 89 7. SONUÇ VE ÖNERİLER Bu çalışmada , Cauchy-Toeplitz ve Cauchy Hankel matrislerin normlarının sınırları için yapılan sınır çalışmalarının bir özeti çıkarıldı.Hadamard çarpım yardımıyla elde edilen Cauchy-Toeplitz ve Cauchy Hankel matrislerin normları için sınırlar özetlendi.Ayrıca Cauchy-Toeplitz ve Cauchy Hankel matrislerin Hadamard çarpımları için yapılmış olan sınır çalışmalarının özeti çıkarıldı. İnterval matrislerin Hadamard çarpımlarının sınırları üzerine çalışılabilir.Toeplitz ve Hankel formuna uyan yeni formda bir matris tanımlayarak bunun üzerine sınır değerleri araştırması yapılabilir. Ayrıca yapılan bu tezin nümerik uygulamaları yapılarak sınırların karşılaştırılması yapılabilir. 90 KAYNAKLAR. 1. Altınışık, Ercan.(1991). Doktara tezi, Selçuk Üniversitesi. 2. Ando, T.,Horn, Roger A. and Johnson, Charles R. (1987). The Singular Values of a Hadamard Product: A Basic İneguality, Linear and Multilinear Algebra. 21: 345-365. 3. Apostol, Tom M. (1976). Introduction to Analytic Number Theory, SpringerVerlag, New York Inc. 4. Barnett, S. (1990). Matrices, Methods and Applications, Clarendon Pres, Oxford. 5. Belitskii, G.R., Lyubıch, Y.I. 1988. Matrix norms and Their Applications, Birkha user Verlag, Basel. 6. Ben, A, Shalon,T.(1986) On Inversion of Toeplitz and Close to Toeplitz Matrices. Linear Algebra and Its Applications 75:173-192. 7. Bini, D., Capovani, M. (1983). Spektral and Computational Properties of Band Symmetric Toeplitz Matrices. Linear Algebra and Its Applications.52/53:99-126. 8. Bozkurt, D., (1994). On the Inverses of Toeplitz and Hankel Matrices, Jour. Inst. Math. Comp. Sci. (Math. Ser.), Vol:7, No:1,pp:1-9.. 9. Bozkurt, D., (1995). Almost Cauchy-Toeplitz Matrislerinin p Normları Üzerine , VIII . Ulusal Matematik Sempozyumu, Çukurova Üniversitesi, Adana. 10. Bozkurt, D., (1995). Cauchy-Toeplitz Matrislerinin p Normları Üzerine , Ord. Prof. Dr. Cahit Arf’ın 85. Doğum Günü Onuruna Matematik Sempozyumu. 11. Bozkurt, D. ve Çelik, H. A.(1996). On the Distributions of the Eigenvalues of a Non-Symmetric Matrix. The Journal of Interdiscipilinary Studies 9:87-90. 12. Bozkurt, D., (1996). On the Bounds of Cauchy-Toeplitz Matrices. Siberian J.of Diff. Equations 2:B 125-131. 91 13. Bozkurt, D., (1996). On the Bounds of Cauchy-Toeplitz Matrices. Siberian J. Diff. Equations Vol:3, No:2, pp:135-142. 14. Bozkurt, D., (1996). On the Bounds of the Matrices. Proceeding of the p Norm of Cauchy-Toeplitz I . Symposiom on Mathematical and Computational Applications pp:30-36. 15. Bozkurt, D., (1996). On the p Norms of Cauchy-Hankel Matrices. Journal of Scientific Research Foundation, Vol:1, No:2, pp:27-32. 16. Bozkurt, D., (1996). On the Norm of Almost Cauchy-Toeplitz Matrices, p Tr. J. of Mathematics, 20:545-552.Tübitak.. 17. Bozkurt, D., (1996). Genel Cauchy-Hankel Matrislerinin p Normları için Sınırlar. 9. Ulusal Matematik Sempozyumu Bildiri Özetleri (İ.T.Ü.). 18. Bozkurt, D., (1997). On the p Norms of Hadamard Product of Cauchy- Toeplitz Matrices and Cauchy-Hankel Matrices, Linear and Multilinear Algebra, Vol:45, pp:333-339 19. Bozkurt, D., (1997). Cauchy-Toeplitz Matrislerinin Normları İçin Sınırlar. Sakarya Matematik Sempozyumu. 20. Bozkurt, D.,(1998). On the p Norms of Cauchy-Toeplitz Matrices.Linear and Multilinear Algebra Vol. 33:231-236. 21. Bozkurt, D.,(1998). On the p Norms of Cauchy-Toeplitz Matrices.Linear and Multilinear Algebra Vol:44, pp:341-346. 22. Bozkurt, D., (1998). Cauchy-Toeplitz Matrislerinin Normları için Sınırlar. 11. Matematik Sempozyumu. 23. Bozkurt, D.,(1999). On the p Norms of Hadamard Product of Cauchy- Toeplitz and Cauchy-Hankel Matrices. Linear and Multilinear Algebra Vol.35:231-236. 24. Bozkurt, D.,(1999). On the p Norms of Hadamard Product of Cauchy- Toeplitz and Cauchy-Hankel Matrices. Linear and Multilinear Algebra Vol.45:341-346. 25. Bozkurt, D. ve Türen, B. 2000. Lineer Cebir, Sel-Ün Yayınları,Konya. 26. Bozkurt, D. ve Türen, B. 2001. Lineer Cebir, Sel-Ün Yayınları,Konya. 92 27. Calvetti, D., Reichel L. 1997. Factorizations of Cauchy matrices. Journal of computation and applied mathematics 86:103-123. 28. Civciv, H. (2005). Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel Matrislerinin KhatriRao ve Trach-Singh Çarpımlarının Normları Üzerine. Yüksek Lisans Tezi, S.Ü. Fen Bil. Ent. Konya. 29. Cramer,H. (1946). Mathematical Methods in Statistics, Princeton University Pres, Princeton 30. Çatak, Ö. (2001). Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel Matrislerinin p Normları İçin Sınırlar.Yükek Lisans Tezi. S. Ü. Fen Bil. Enst. Konya. 31. Çelik, H.A., Bozkurt, D. (1996). An upper Bound fort he spektral norms of Non-Negative Symmetric Toeplitz Matrices. The Journal of Interdiscipilinary Studies 9:91-94. 32. Dal, R.V. ve ark. 1996. Hamiltonian properties of Toeplitz graphs. Discrete mathematics 159:69-81 33. Fejer, L. (1918). Über die Eindeutigkeit der Lösüng der Linearen Partillen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Math. Zeit 1:70-79. 34. Fuhrmann, P. A. (1986). Remarks on the Inversion of Hankel Matrices. Linear Algebra and Its Applications 81:89-104. 35. Gantmacher,F.R. 1960, The Theory of Matrices, Volume One, Chelsea Publishing Company, New York. 36. Garloff, J. 1986. On power-boundness of interval matrices. Journal of computational and applied mathematics 14:353-360. 37. Golub, G.H., Loan, C.F.V. 1983. Matrix Computations, North Oxford Academic Publishing. 38. Gunzburger, M. D. (1982). Stability of Gaussian Elimination Without Pivoting On Tridiagonal Toeplitz Matrices. Linear Algebra and its Applications, 45:21-28. 39. Güngör, A. D. (2004). Singüler ve Norm Değerleri İçin Sınırlar. Doktora Tezi, S.Ü. Fen Bil. Enst. Konya. 40. Hadamard.(1899). Theoreme sur les Series Entieres. Acta. Math. 22:55-63. 41. Heining, G., Rost, K. (1989). Matrix Representation of Toeplitz-plus-Hankel Matrix Inverse. Linear Algebra and its Applications, 113:65-78. 93 42. Horn, A. on the singular values of a product of completely continuous operators, Proc. National Acad. Science, 26 (1950),273-275. 43. Horn R.A., ve Johnson C.R. (1985). Matrix Analysis, Cambridge University Pres. 44. Horn R.A., ve Johnson C.R. , Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Pres, New York , 1987. 45. Horn R.A., ve Johnson C.R. (1990). Matrix Analysis, Cambridge University Pres. 46. Horn R.A., ve Johnson C.R. (1991). Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Pres, New York. 47. Horn, R.A.,Kıttaneh F. 1998. Two applications of a bound on the Hadamard product with a Cauchy matrix. The electronic journal of linear albebra 3:4-12. 48. Iohvidov, I.S. 1982. Hankel and Toeplitz Matrices and Forms, BirkHauser, Boston. 49. Jansson, C., Rohn J. 1999. An Algorithm for checking regularity of interval matrices. SIAM Journal of matrix analysis and applications. 20:756-776. 50. Johnson, C. R. (1988). Inegualities Relating Unitarily Invariant Norm and the Numerical Radius. Linear Algebra and its Applications, 23:183-191. 51. Kölbig, K.S. 1972. Programs for computing the logarithm of the gamma function and the gamma function, for complex arguments, Computer phys. Comm.4:221-226 52. Mathias, R. (1990).The Spectral Norm of a Nonnegative Matrix, Linear 53. Algebra and its Applications, 131:269-284. 54. Mathias, R.1992. The singular values of the Hadamard product of a positive semidefinite and a skew-symetric matrix. Linear and multilinear algebra 31:57-70 55. Mathias, R. (1993). The Hadamard operatör norm of a Circulant and Applications. Siam J. Matrix Aanl. Appl. Vol:14, No:4, 1152-1167. 56. Mayer, G. 1984. On tthe converge of powers of interval matrices. Linear algebra and its applications 58:201-206. 57. Moenck, R. 1977. On computing closed forms for summations. Proc.MACSYMA users conf. 225-236. 94 58. Moutard, Th.(1894). Notes sur les Derivees Partielles. J. De L’Ecole Polytechnigue 64:55-69. 59. Noble, B. 1969. Applied Linear Algebra, Prentice-Hall, New Jersey. 60. Noble, B. And Daniel, J. W. (1998). Applied Linear Algebra , Prentice-Hall International Inc. 61. Parter, S.V. 1986. On the Distribution of Singular Values of Toeplitz Matrices. Linear Algebra and Its Applications 139:1-18. 62. Rex, G., Rohn J. 1998. Sufficient conditions for regularity and singularity of interval matrices. SIAM Journal of matrix analysis and applications.20:437447. 63. Roch, S. And Silbermann, B.1998. A note on Singular Values of Cauchy Toeplitz Matrices. Linear Algebra and Its Applications 175-176:521-526. 64. Roch, S. And Silbermann, B.1998. A note on Singular Values of Cauchy Toeplitz Matrices. Linear Algebra and Its Applications 275-276:531-536. 65. Rohn; J. (Technical report no:686) Czech Republic. 1996. Checking properties of interval matrices. 66. Schur I., Bemerkungen zur Theorie der beschrankten Bilinearformen mit unendlich vielen Veranderlichen, J. Für reine und Angewandte Math. 130 (1911) , 1-18. 67. Schur I., Bemerkungen zur Theorie der beschrankten Bilinearformen mit unendlich vielen Veranderlichen, J. Für reine und Angewandte Math. 140 (1911) , 1-28. 68. Scott, Belsin and Steve, Ligh.(1989). Greatest Common Divisors Matrices, Linear Algebra and Its Application, 118:69-76. 69. Seymour, V. P. (1986). On the Distribution of the Singular Values of Toeplitz Matrices, Linear Algebra and Its Applications, 80:115-130. 70. Silbermann, B. (1993). On the Limiting Set of Singular Values of Toeplitz Matrices. Linear Algebra and Its Applications 182:35-43. 71. Sinan, A. A.(1979). Matrislerin Mutlak Değeri En Büyük Olan Öz Değeri İçin Sınırlar. Doçentlik Tezi, Atatürk Üniversitesi. 72. Smith, H.J.S. (1876). On the value of certain arithmetical determinant. Proc. London math. Soc., 7:208-212. 95 73. Solak, S. (2001). Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel Matrislerin Spektral Normları İçin Sınırlar ve Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel İnterval Matrislerin Normları , Doktara Tezi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Konya. 74. Sun, J. 1996. On the variation of the spectrum of a normal matrix. Linear algebra and its applications 246:215-223. 75. Taşçı, D. (1999). Lineer Cebir, Sel-Ün Yayınları, Konya. 76. Tekin, H. (1996). Cauchy-Toeplitz Matrislerinin p Normları için Sınırlar, Yüksek Lisans Tezi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Konya. 77. Tilli, P. 1998. Locally Toeplitz sequences:spectral properties and applications. Linear algebra and its applications 278:91-89. 78. Tilli, P. 1998. Singular values and eigenvector of non-Hermitian block Toeplitz matrices. Linear algebra and its applications 275:59-89. 79. Tismenetsky, M.(1987). Determinant of Block-Toeplitz Band Matrices. Linear Algebra and its Applications, 85:165-184.. 80. Trench, W.F. 1999. Asymptomatic distribution of the evn and odd spectra of real symmetric Toeplitz matrices. Linear algebra and its applications 302303:155-162. 81. Türkmen, R. (1999). Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel Matrislerin Normları İçin Sınırlar, Yüksek Lisans Tezi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Konya. 82. Türkmen R., ve Bozkurt D., On the bounds fort he norms of Cauchy-Toeplitz and Cauchy-Hankel Matrices. Applied Mathematics and Computation 132 (2002) 633-642 83. Türkmen, R. (2003). Matrislerin Hadamard Çarpımlarının Normları ve Singüler Değerleri, Doktora Tezi, S.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Konya. 84. Tyrtyshnikov, E.E. (1991). Cauchy-Toeplitz Matrices and Some Applications, Linear Algebra and Its Applications, Vol:149, pp:1-18. 85. Tyrtyhnikov, E.F. 1994. Influence of matrix operations on the distribution of eigenvalues and singular values of Toeplitz matrices . Linear algebra and its applications 207:225-249. 86. Visick, G. 2000. A quantitative version of the observation that the Hadamard product is a principal submatrix of the Kronecker product. . Linear algebra and its applications 304:45-68. 96 87. Wang, B. and Zhang, F. (1997). Schur Complement and Matrix Inegualities of Hadamard Products. Linear and Multilinear Algebra Vol:43:315-326. 88. Weyl, H., (1939),.Inequalities between the two kinds of eigenvalues of a linear transformation, Proc. National Acad. Science, 25,308-311. 89. Weyl, H., (1949). Inequalities between the two kinds of eigenvalues of a linear transformation, Proc. National Acad. Science, 35, 408-411. 90. Z. Xıngzhı, Inegualities For The Singular Values of Hadamard Products 91. Yıldırım M.Ö.E., Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel Matrislerin Singüler Değerleri.Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Yüksek Lisans Tezi (2004). 92. Wang, B. and Zhang, F. (1988). Another Prof of a Singular Value Ineguality concerning Hadamard Products of Matrices. Linear and Multilinear Algebra Vol:22:341-346. 93. Zhang, F.(2001) Matrix inegualities by means of block matrices. Mathematical Inegualities and Applications Vol:4,481-490. 94. Zielke, G. 1988. Some remarks on matrix norms, condition numbers and error estimates for linear equations. . Linear algebra and its applications 110:29-41. 95. Zurhmul, R. 1978. Matrisler ve Mühendislik Problemlerine Uygulamaları, (Çev:Birkan,İ.İ.T.Ü. İstanbul)