Topoloji 1 Ö dev Soruları 2 – Tabanlar ve Su reklilik

Topoloji 1 Ödev Soruları 2 – Tabanlar ve Sureklilik
1.
2.
} ailesinin üzerinde bir topolojinin noktasında komşuluk tabanı
)
olmak üzere ( ) {[
olduğunu gösteriniz. (Bu aile Sorgenfrey topolojik uzayında komşuluk tabanını oluşturur.)
(
uzayı olduğunu gösteriniz.
[ ) ) Sorgenfrey topolojik uzayının
4.
5.
6.
{
} kümesi verilsin.
}} ailesinin
{{ } { } { } {
üzerinde bir topolojinin tabanı olduğunu
gösteriniz ve bu topolojiyi bulunuz.
ailesi bir topolojisinin tabanı ve
ailesi de
koşulunu sağlıyorsa
ailesi de nun bir tabanıdır.
{
} kümesi üzerinde
} { }} ailesinin bir topolojinin tabanı olup olmadığını belirleyiniz.
{{ } { } {
{(
} ailesinin (
) ( )
) iki boyutlu Öklid topolojik uzayının bir tabanı olduğunu gösteriniz.
7.
(
3.
) de her
için
( )
{(
)
} ailesinin
noktasında bir komşuluk tabanı olduğunu
gösteriniz.
} ailesinin
(
) de ( ) sıfıra yakınsayan bir dizi olmak üzere her
)
için ( ) {(
noktasında bir komşuluk tabanı olduğunu gösteriniz.
{(
} ailesinin
) de ( ) sıfıra yakınsayan bir dizi olmak üzere
)
9. (
nin bir tabanı
olduğunu gösteriniz.
{
} olmak üzere
{
} {
} topolojisi veriliyor. Buna göre
10.
üzerinde, her
için
) topolojik uzayının
(a) (
ve ayrılabilir uzay olup olmadığını belirleyiniz
{ } ailesinin 4, 5 ve 6 noktalarının hangisinin veya hangilerinin komşuluk tabanı olduğunu nedenleriyle
(b)
açıklayınız.
(c) Çift doğal sayılar kümesinin ve tek doğal sayılar kümesinin bu uzayda yoğun olup olmadığını belirleyiniz.
) bir topolojik uzay ve
11. (
olsun. Bu takdirde
Her yoğun
kümesi için
dir. İspatlayınız.
12. (
) topolojik uzayının
ve
uzayı olduğunu ispatlayınız.
8.
13. (
14. (
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
) diskret topolojik uzayı için
{{ }
} ailesinin en dar taban olduğunu ispatlayınız.
) Öklid ve (
[ ) ) Sorgenfrey topolojik uzayları göz önüne alındığında
[ ) olduğunu gösteriniz. (Yol
gösterme: Öncelikle Sorgenfrey topolojik uzayındaki açık kümeler belirlenmelidir.)
Sorgenfrey topolojik uzayının ayrılabilir uzay olduğunu gösteriniz.
(
) topolojik uayının ayrılabilir uzay olduğunu ispatlayınız.
(
) topolojik uayının ayrılabilir uzay olmadığını gösteriniz. (Yol gösterme: Bu uzaydaki kapalı kümeleri
belirleyiniz)
Ayrılabilir uzayın her açık alt uzayının ayrılabilir olduğunu ispatlayınız.
Bir ayrılabilir uzayın her alt uzayının ayrılabilir olması gerekmez. Neden?
{
} kümesi üzerinde alt tabanı
} { }} olan topolojiyi bulunuz. (Yol gösterme: öncelikle
{{ } { } {
ailesinin ürettiği taban bulunur.)
{[
]
} ailesinin üzerindeki diskret topolojinin bir alt tabanı olduğunu gösteriniz. (Yol gösterme: 4.
Soru ve diskret topolojinin en dar tabanından yararlanılabilir.)
{ { }
} ailesinin
üzerinde
topolojisinin bir alt tabanı olduğunu gösteriniz.
,
deki tüm doğruların ailesi olsun. Alt tabanı ailesi olan topolojinin diskret topoloji olduğunu gösteriniz.
{
}
{ }{
}{
}}
{
}
üzerinde
{
topolojisi
ve
üzerinde
{ }{ }{
}{
}} topolojileri veriliyor. Bu takdirde, aşağıdaki gibi tanımlanan
(
) (
)
{
fonksiyonlarının
ve noktalarında sürekli olup olmadığını belirleyiniz.
(
)
𝑎.
𝑥.
𝑎.
𝑥.
𝑏.
𝑦.
𝑏.
𝑦.
𝑐.
𝑧.
𝑐.
𝑧.
𝑑.
𝑤.
𝑑.
𝑤.
(
) fonksiyonu
noktasında süreklidir
Her
( ( )) için
( )
( ) dir. İspatlayınız.
için ( )
26. Her
{
olarak tanımlanan
(
)
(
) fonksiyonunun 0 noktasında sürekli diğer
hiçbir noktada sürekli olmadığını gösteriniz. (*)
(
)
(
), ( )
27.
fonksiyonunun sürekli olup olmadığını belirleyiniz.
(
) (
), ( )
28.
fonksiyonunun sürekli olup olmadığını belirleyiniz.
(
)
(
), ( )
29.
fonksiyonunun sürekli olup olmadığını belirleyiniz.
30. (
) bir topolojik uzay ve
olsun. Bu takdirde
( )
{
olarak tanımlanan
(
)
(
fonksiyonunun sürekli olması için gerek ve yeter şart kümesinin hem açık hem kapalı olmasıdır. İspatlayınız.
(
) (
) bir fonksiyon ve
bir taban olsun. Bu takdirde
( )
süreklidir Her
için
dur. İspatlayınız.
(
) (
) bir fonksiyon ve
32.
bir alt taban olsun. Bu takdirde
( )
süreklidir Her
için
dur. İspatlayınız.
} ve {
(
)
(
)
( )
( )
33.
fonksiyonun sürekli olması için gerek ve yeter koşul her
için {
kümelerinin açık olmasıdır. ( Sorudaki iki küme belirlenerek bir önceki sorudan yararlanılabilir. )
)
31.
34. Her
için
( )
{
(
olarak tanımlanan
)
(
( ])
(
}
) fonksiyonunun sürekli olmadığını
gösteriniz.
35. Her
için
( )
{
olarak tanımlanan
için
( )
{
olarak tanımlanan
(
( ])
fonksiyonunun sürekli olduğunu
gösteriniz.
36. Her
(
)
(
) fonksiyonunun sürekli olduğunu
gösteriniz.
37. Topolojik uzaylar arasında sürekli iki fonksiyonun bileşkesinin de sürekli olduğunu gösteriniz.
{
} kümesinin kapalı olduğunu gösteriniz.
(
) (
) sürekli bir fonksiyon ise
( )
38.
{
{
(
) (
) sürekli iki fonksiyon ise
( )
( )} kümesinin kapalı,
( )
39.
( )} kümesinin açık küme olduğunu gösteriniz.
(
) (
) fonksiyonunun sürekli olduğunu gösteriniz.
40. ve sonsuz birer küme olmak üzere birebir
(
) (
), ( )
41.
fonksiyonunun sürekli olup olmadığını belirleyiniz.
(
) (
42.
fonksiyonunun sürekli olup olmadığını belirleyiniz.
[ ) ), ( )
{
} olmak üzere
{
} {
} topolojisi veriliyor. Buna göre
43.
üzerinde, her
için
(
) (
), ( )
fonksiyonunun sürekli olup olmadığını belirleyiniz.
(
) (
), ( )
44.
fonksiyonunun sürekli olup olmadığını belirleyiniz.
(
)
(
),
(
)
45.
fonksiyonunun sürekli olup olmadığını belirleyiniz.
(
) (
), ( )
46.
fonksiyonunun açık olup olmadığını belirleyiniz.
(
) (
) sürekli bir fonksiyon
47.
yoğun bir küme olsun. Eğer her
için ( )
ise her
için
( )
olur.
48. Bir yoğun kümenin homeomorfizm altındaki görüntüsünün de yoğun olduğunu ispatlayınız.
(
) (
) birebir örten bir fonksiyon olsun. Bu takdirde
49.
(a)
homeomorfizmdir
Her
için (
)
( ( )) dir. İspatlayınız.
homeomorfizmdir Her
için ( ) ( ( )) dir. İspatlayınız.
50.
ve ayrılabilir uzay olma özelliklerinin birer topolojik özellik olduğunu ispatlayınız. (Yol gösterme: Ayrılabilirlik
için yukarıdaki sorunun (b) şıkkı kullanılabilir.)
(b)