PowerPoint Sunusu

LİMİTTE BELİRSİZLİK
DURUMLARI
0
0
BELİRSİZLİĞİ
Trigonometrik Fonksiyonların Limiti


BELİRSİZLİĞİ

0.
BELİRSİZLİĞİ
BELİRSİZLİĞİ
Limit hesaplamalarında karşılaşılan 0 ,  ,   ,0.,00 ,  0 ve1
0 
biçimindeki ifadelere belirsiz
ifadeler denir. Bu bölümde
0 
,
,   ve0.
0 
belirsizliklerini inceleyeceğiz.
0
BELİRSİZLİĞİ
0
Bu belirsizlik halini şöyle açıklayabiliriz:
0
0
Bölme işlemi yapılınca, bölüme her reel sayı
yazılabilir.
lim
x a
lim f ( x)
f ( x)
 xa
g ( x)
lim g ( x)
lim f ( x)  0
Limiti hesaplanırken;
x a
ve
x a
lim g ( x)  0
x a
ise
0
0
belirsizliği oluşur. Bu durumda f(x) ve g(x) ifadeleri, (x-a)
çarpanına sahiptir. Yani f (x) = (x-a).f1 (x) ve g(x) = (x-a). g1 (x)
olacağından,
f ( x)
( x  a). f1 ( x)
f1 ( x)
lim
 lim
 lim
x a g ( x)
x  a ( x  a ). g ( x )
x a g ( x)
1
1
olur. Bu limitte yine
0
0
belirsizliği varsa, aynı işlemler tekrar edilir.
ÖRNEK:
x  4x  4
lim 2
x 2 x  5 x  6
2
değerini bulalım.
ÇÖZÜM:
x  4 x  4 2  4.2  4 4  8  4 0
lim 2
 2


x 2 x  5 x  6
2  5.2  6 4  10  6 0
2
2

x  2
x2 0
 lim
 lim

0
x 2  x  2  x  3
x 2 x  3
1
2
TRİGONOMETRİK
FONKSİYONLARIN LİMİTİ
Teorem: a  R olmak üzere:
1.
lim sin x = sin a dır.
x a
2.
lim cos x = cos a dır
x a
3.
lim sin x  1 dir.
x a
x
İSPAT: Bir çemberde 1'in ve 2'nin doğruluğu kolayca görülebilir.
Biz 3'ün ispatını yapalım. Şekildeki orijin merkezli birim
çemberde, AOP açısının ölçüsüne x radyan dersek; PR = sin x,
OR=cos x ve AC = tan x olur.
OPR üçgeninin alanı, OAP daire diliminin alanı, OAC
üçgeninin alanı arasındaki sıralama;
A(OPR) < A(OAP) < A(OAC)
1
1
2 x
sin x. cos x   .1 .
 .1. tan x
2
2 2
sin x. cos x < x < tan x olur.
y
B(0,1)
C
P
1
sin x
x
O
tan x
A(1,0)
cos x
x
i. x  0  için sin x > 0’dır. Eşitsizliğinin her üç yanını sin x ile
x
1
bölelim: cos x >
>
olur. Her üç tarafın limitini
sin x cos x
alalım.
x
1
lim cos x  lim
 lim
x 0
x 0 sin x
x 0 cos x
x
1  lim
1
x 0 sin x
ise;
x
lim
1
x 0 sin x
bulunur.
ii.
x0

için, sin x < 0’dır. Eşitsizliğin her üç yanını sin x’e
x
1
bölelim: cos x >
>
olur. Her üç tarafın limitini
sin x cos x
alalım:
x
1
lim cos x  lim
 lim
x 0
x 0 sin x
x 0 cos x
x
1  lim
1
x 0 sin x
ise;
x
lim
1
x 0 sin x
Soldan ve sağdan limitler eşit olduğu için;
sin x
lim
1
x 0
x
x
lim
1
x 0 sin x
olduğunu gösterelim:
sin x
1
1
1
lim
 lim

 1
x 0
x 0
x
x
x
1
lim
sin x x0 sin x
bulunur.
olur.
SONUÇLAR:
1.
sin x a
lim

x 0 bx
b
sin
ax
a
3. lim

x 0 sin bx
b
sin
ax
a
4. lim

x 0 tan bx
b
tan ax a

x 0
bx
b
2. lim
ve
tan ax a
lim

x 0 tan bx
b
ve
tan ax a
lim

x 0 sin bx
b

BELİRSİZLİĞİ


un belirsizliğini şöyle açıklayabiliriz:

1
  şeklinde yazarsak; 0
belirsizliğine dönüşür.

0
 1

Bunun için


da belirsiz bir ifadedir.
f ( x)  a x  a x  ...  a
n 1
n
n 1
n
0
g ( x)  b x  b x  ...  b
m 1
m
m
m 1
0
Birer polinom fonksiyonu olduğuna göre;
lim f ( x)   
x  
f ( x)
lim
g ( x)
x  
ve
lim g ( x)   
x  








limitinin hesabında
,
,
,
   
belirsizliklerinden biri ile karşılaşılır.bu durumda


ise;
belirsizliği vardır, denir.
Bu belirsizliği yok etmek için, pay ve paydan yüksek
dereceli x parantezine alınıp, kısaltmalar yapılarak limit
hesabına geçilir.

1
x a  a  ...  a  
f ( x)
 x

 lim
lim
g ( x)

1
x b  b  ...  b  
x


Bu durumda;
n
n
n
x 
n 1
0
x 
m
m
lim
x 
m 1
0


ax

lim
bx



n
n
m
an

, m = n ise

bm
n
a x
f ( x)

, m > n ise
 lim n m  
0
g ( x) x bm x
veya   , m < n ise olur.


x 
m
m
Örnek:
lim
x  
x 4  5x
?
3
2 x
Çözüm:
x 4  5 x     5    


3
3
2 x

2    
4
lim
x  
5

x 1  3 
 x 
lim
2


x 3  3  1 x
x

4
lim
x  
x 4  5x
 lim
3
2 x
x  
Belirsizliği bulunur. Bu
durumda;

  1  0  


 
0  1
1
5

x  1  3 
 x 
 2

 3  1
x

 -  BELİRSİZLİĞİ
 -  un belirsiz olduğunu şöyle açıklayabiliriz:
ları eşit düşünürsek sonuç 0, ilk  u daha büyük düşünürsek
pozitif bir değer; ikinci  u daha büyük kabul edersek sonuç negatif
bir değerdir. Bu durumda kesin bir şey söylenemediği için
 -  belirsiz bir ifadedir.
lim ( f ( x)  g ( x))    
x a
ya da
lim ( f ( x)  g ( x))    
x  
0

belirsizliği genellikle;
ya da
belirsizliklerinden birine
0

dönüşür.
ÖRNEK:
1 
 2

 2
 değerini hesaplayalım,
lim
x 1 
x 1  x  1
ÇÖZÜM:
1 
2
1
2 1
 2
belirsizliği











lim
2
2
x

1
x

1
1
1 1 1 0 0

x 1 
 2  x 1 
 1 x
 0
1 
 2
  lim 
 
 2 
  lim 
lim
x  1  x1  x  1x  1  x1  x  1x  1  0
x 1  x  1
belirsizliğine dönüşür.
 1 x

1 1
bulunur.

  lim

lim
2
x 1   x  1 x  1 
x 1 x  1
ÖZELLİK
a > 0 olmak üzere;
lim
x  
b
ax  bx  c  a . lim  x 
2a
x  
2
dır.
0. BELİRSİZLİĞİ
un
0. belirsiz olduğunu şöyle açıklayabiliriz: Sıfır çarpma
işleminin yutan elemanı olduğunadan,çarpma işlemini buna göre
yaparsak ; 0. = 0 olur. Çarpma işlemini  a göre yaparsak;
.0 =  olur. Buna göre çarpma işleminin sonucu sıfır mıdır; sonsuz
mudur? Kesin bir şey söyleyemediğimiz için .0 işleminin sonucu
belirsizdir.
lim ( f ( x).g ( x))  0.
x a
veya
lim ( f ( x).g ( x))  0.
x  
lim ( f ( x).g ( x))  0.
x a
veya
lim ( f ( x).g ( x))  0.
x  
belirsizliğinin oluşması durumuında;
lim ( f ( x).g ( x))  lim
x a
xa
lim ( f ( x).g ( x))  lim
x a
Not:
x a
x  
f ( x) 0

1
0
g ( x)
veya
g ( x) 

biçimine dönüştürülerek
1
 limit hesabı yapılır.
f ( x)
olması durumunda da aynı işlem yapılır.
Örnek:
1
 3x  1  ?
lim
x  x  4
Çözüm:
lim
x 
1
 3x  1  0   belirsizliği vardır.
x4
3x  1 

belirsizşliğine dönüştürülür.
lim

x  x  4
3x  1
 3 olarak bulunur.
lim
x  x  4
Örnek:
4
x
  sin   ?
lim
x
x    2
Çözüm:
4 
4
x
 sin
   sin 0  0   belirsizliği vardır.
  sin  
lim
x
2

x    2
4
sin
x  0 belirsizliğine x   için 1
olduğundan;

0
lim
dönüşür.
2
0
x  
x
x
4
4
sin
sin
x 
x  2  1  2  2 bulunur.
lim
lim
2
4
1
x  
0
2
x
x
Örnek:
  2 x   tan 3x  ?
lim

 
x  
2

Çözüm:
lim   2 x  tan 3x  0   belirsizliği vardır.  - 2x = h diyelim.
 
x  
2

h

x 
olur. x 
2 2
2

iken
h  0 dır. Değerleri yerine yazalım:
   h 
 3 3h 
  2 x  tan 3x  lim h. tan 3      lim h. tan   
lim

2
 2 2   h 0
 2
h 0

 
x  
2
3h
h
0
  3h 
belirsizliğine
 lim h. tan     lim h. cot
 lim

3h 0
2
 2 2  h 0
h 0
h 0
dönüşür.
tan
2
3h
2  2  1 2  2 bulunur.
lim
3h 3
3 3
h 0
tan
2