Slide 1

MEKANİK SİSTEMLERİNİN TEMEL ELEMANLARI
Titreşim yapan sistemlerde potansiyel ve kinetik enerji depolayan elemanlar ile
sönümlü sistemlerde enerji sönümünü sağlayan elemanlar mevcuttur. Bu
elemanlara ait denklemler aşağıda verilmiştir.
a) Elastik Elemanlar (Yaylar): Yaylar titreşim sistemlerindeki kütleleri birbirine
bağlayan ve kütlelerin bağıl hareketlerini sağlayan elemanlardır. Yaylar lineer
ve nonlineer karakteristiğe sahip olabilirler. Lineer karakteristiğe sahip yaylar
Hooke yasasına uygun davranırlar ve yayda oluşan elastik kuvvet yaydaki şekil
değişimi ile orantılıdır. Fakat titreşim genliklerinin yüksek olduğu zaman ve/veya
metal olmayan malzemeler kullanıldığında yaylar lineer davranışa sahip
olmayabilirler. Şekil 10’da bazı yay karakteristikleri gösterilmiştir.
1
b) Atalet Elemanları : Atalet elemanları kinetik enerji depolayan elemanlardır.
Atalet elemanları öteleme ve dönme hareketlerini ayrı ayrı yapabilecekleri gibi,
hem öteleme hem de dönme hareketini birlikte gerçekleştirilebilirler. Atalet
elemanlarına ait eleman denklemi aşağıda verilmiştir.
ω
m, I
1 2
Ek  I 
2
T
d
TI
 I
dt
2
c) Sönüm elemanları : Sönümlü sistemlerde enerji yutumunu sağlayan
elemanlardır. Amortisör tipi elemanlar akışkan sürtünmesi ile enerji kaybını
sağlarlar ve titreşim genliklerinin exponansiyel olarak azaltırlar. Sönüm
elemanlarında mekanik enerji ısı enerjisine dönüşür. Eleman denklemi aşağıda
verilmiştir.
3
Titreşim yapan mekanik sistemlerde homojen ince çubuk tipi elemanlar sıkça
kullanılmaktadır. Bu elemanlar belirli bir noktasından geçen eksen etrafında
dönüş hareketi yapabilecekleri gibi, bir düzlem içerisinde hem öteleme hem
de dönme hareketi yapabilirler. Sadece dönüş hareketi yaptıklarında dönme
noktasından geçen eksen etrafındaki kütle atalet momentleri, hem dönme
hem de öteleme hareketi yaptıklarında ise hem ötelenen çubuk kütlesi hem
de çubuğun kütle merkezinden geçen eksen etrafındaki kütle atalet momenti
dikkate alınır.
4
Homojen ince çubuk şekilde görülen bir B noktası etrafında dönüyor ise, dönüş
eksenine göre kütle atalet momenti paralel eksenler teoremi (Steiner teoremi) ile
hesaplanabilir.
Dönme hareketi yapan bir çubuk için kinetik enerji ifadesi
Burada I dönme noktasından geçen eksen etrafındaki kütle atalet momenti,
.
IG kütle merkezinden geçen eksen etrafındaki kütle atalet momenti, xG kütle
merkezinin hızıdır.
5
TİTREŞİM PROBLEMLERİNİN DOĞRUSALLAŞTIRILMASI
(KÜÇÜK YER DEĞİŞTİRMELER)
Titreşim problemleri, küçük ötelemeler ve küçük yer dönmeler kabulü ile
doğrusal diferansiyel denklemler ile incelenmektedir. Büyük yer değiştirmeler
söz konusu olduğunda doğru çözüm için diferansiyel denklemlerin nonlinear
formları göz önünde bulundurulmalı ve çözümler bu şekilde yapılmalıdır.

x
k
tan  
x

R
R
sin  x

cos  R
sin 
xR
cos 
Burada sin ifadesi Taylor serisine açılır ise
 <<1 için, küçük açılar için
sin   
cos ifadesi için Taylor serisi yazılır ise
 <<1 için , küçük açılar için
cos   1
1 3 5
sin      
1! 3! 5!
2 4
cos   1 


2! 4!
xR

 R
1
6
Bir nokta etrafında dönüş hareketine sahip kirişler için de
benzer ifadeler geçerlidir.
A
O

xA
xA
sin  
OA
x A  OA sin   OA 
F(t)
HAREKET DENKLEMİ OLUŞTURMA YÖNTEMLERİ
Hareket analizi yapılacak sistemin matematik
modelinin oluşturulmasını takiben literatürde mevcut
yöntemlerden biri kullanılarak sistemin hareketini
tanımlayan
diferansiyel
denklemler
(hareket
denklemleri)
oluşturulur.
Hareket
denklemleri
oluşturulur iken farklı yöntemler kullanılabilir. Bu
yöntemlerden sık kullanılanları aşağıda verilmiştir.
m
x(t)
g
k
c
1. Newton’un 2. yasası ile: Şekilde görülen sistem tek serbestlik dereceli
sistemdir ve m kütlesinin hareketi x koordinatı ile tanımlanabilir.
Newton’un 2. yasası gereği cisme etkiyen kuvvetlerin toplamı cismin kütlesi
ile ivmesinin çarpımına eşittir.
7
Serbest Cisim Diyagramı
x(t)  x s  x d (t )
x ( t )  x d
F(t)
mg
m
x( t )  x d
x(t)=xs+xd(t)
k(xs+xd)
cx d
xs: m kütlesinin statik çökmesi
xd: m kütlesinin statik çökme sonrasındaki yer değiştirmesi
Newton’un 2. yasası gereği öteleme yapan sistemler için
 F  m x
Dönme hareketi yapan sistemler için

M

I

8
F(t )  mg  k x s  x d   cx d  mx
mg
F( t )  mg  k
 kx d  cx d  mx d
k
mx d  cx d  kx d  F( t )
xd  x
Yer değiştirme statik çökme etrafındaki yer değiştirmedir.
m x  cx  kx  F( t )
d2x
dx
m 2  c  kx  f ( t )
dt
dt
2. Dinamik Denge Yöntemi (d’Alembert Prensibi):
Bu yöntemde cisme etki eden atalet kuvvetleri de serbest cisim diyagramında
gösterilir ve cisim statik dengede kabul edilerek
F  0
veya
M  0
eşitlikleri kullanılır.
9
d’Alembert veya atalet kuvveti
F(t)
mg
mx d
m
x(t)=xs+xd(t)
k(xs+xd)
cx d
mg
F( t )  mg  k
 kx d  cx d  mx d  0
k
yine x=xd ile
m x  cx  kx  F( t )
10
3. Enerji Yöntemi :
Bu
metod
ile
enerjinin
korunumu
prensibi
uygulanır.
Bir
sistemin
toplam
enerjisinin artış hızı sisteme verilen güce eşittir.
dE t
 Pnet
dt
Burada Et sistemin potansiyel ve kinetik enerjilerinin toplamı, Pnet ise
sisteme verilen net toplam güç olup; dış kuvvetler ve momentlerin sisteme
verdikleri güç + işaretli, sistemin dışarıya verdiği mekanik güç ve
sönümleyici elemanlar tarafından çevreye yayılan ısı gücü – işaretlidir.
Pnet   Pg   Pv   Pd
Sisteme verilen
mekanik güçlerin
toplamı
Sistemin dışarıya
verdiği mekanik
güçlerin toplamı
Sönümleyici
elemanlardan dışa
atılan ısıl
güçlerin toplamı
11
1
E k  mx 2
2
Ep 
1 2
kx
2
Et 
1
1
mx 2  kx 2
2
2
Pnet  F(t )x  cx x
d 1
1 2
2

 mx  kx   F( t ) x  cx x
dt  2
2

m x x  kxx  F( t ) x  cx x
mx  cx  kx  F( t )
4. Lagrange Yöntemi:
Bu yöntemde de incelenen sisteme ait kinetik ve potansiyel enerjiler dikkate
alınır. Ayrıca Sanal İş ilkesi ile dış kuvvetlerin ve sönüm kuvvetlerinin
sistemin genel koordinatlarında gerçekleştirmiş oldukları sanal işler dikkate
alınarak türetilen genel kuvvetler hareket denkleminin türetilmesi için
kullanılır.
Sisteme ait Lagrange ifadesi kinetik enerji ile potansiyel enerji farkına eşittir.
L  Ek  Ep
d  L  L

 
 Qi
dt  q i  q i
12
d  E k E p


dt  q i
q i
 E k E p
 

 Qi
 q i q i
Burada qi bir sistemin i. genel koordinatını, Qi ise bu koordinata etki eden
kuvvetlerin toplamını (Genel Kuvvet) ifade eder. Genel kuvvet ifadesi Sanal İş
ile elde edilir.
Genel olarak kinetik enerjinin genel koordinat hızı ve potansiyel enerjinin
genel koordinat ile ilişkili olduğu düşünüldüğünde Lagrange denklemi
aşağıdaki basit formunu alır.
d  E k

dt  q i
 E p
 
 Qi
 q i
Bununla
birlikte
bazı
mekanik
uygulamalarda
kinetik
enerji
genel
koordinatın bir fonksiyonu olabilir. Bu
durumda
Lagrange
denkleminin
genel
ifadesindeki
3.
terim
dikkate
alınmalıdır.
O
l
g
θ
m
Bu denklem öteleme yapan sistemler için bir kuvvet, dönme yapan sistemler için
13
ise bir moment dengesidir.
Genel kuvveti elde etmek için dış zorlamaların ve sönümleyici kuvvetlerin genel
koordinatlar üzerindeki sanal işleri dikkate alınır. Genel koordinatlarda
zamandan bağımsız olarak küçük değişimler dikkate alınarak () bu kuvvetlerin
yaptığı iş
W  F(t) q i  cq i q i
W  Qi q i
1
E k  mx 2
2
Ep 
1
k x2
2
W  F(t)x  cx x  F(t)  cx x
d   1
   1

  mx 2     kx 2   F( t )  cx
dt  x  2
  x  2

Qx
d
mx   kx  F( t )  cx
dt
 x  mx  kx  F( t )  cx
m
mx  cx  kx  F( t )
14
Örnek: Şekildeki tek serbestlik dereceli sistem için hareket denklemini elde ediniz.
15
Örnek: Şekildeki iki serbestlik dereceli sisteme ait hareket
denklemlerini elde ediniz.
1
1
2

E k  mx1  2mx 22
2
2
Ep 
1 2 1
1
kx1  2k x 2  x1 2  kx 22
2
2
2
W  f1x1  cx 2  x 1  x 2  x1 
Çok serbestlik dereceli sistemlerde Lagrange denklemi her bir genel koordinat
için yazılır.
x1 için Lagrange denklemi yazılır ise,
d  E k

dt  x 1
 E p
 
 Qx1
 x1
16
mx1  kx1  2k(x 2  x1 )  f1  c(x 2  x 1 )
mx1  cx 1  cx 2  3kx1  2kx 2  f1
x2 için Lagrange denklemi yazılır ise,
d  E k

dt  x 2
 E p
 
 Qx 2
 x 2
2mx 2  2k(x 2  x1 )  kx 2  c(x 2  x 1 )
2mx 2  cx 1  cx 2  2kx1  3kx 2  0
Hareket denklemleri matris formunda yazılır ise
Lineer sistemler için Kütle, Sönüm ve Direngenlik matrisleri simetriktir.
17
Örnek: Aşağıdaki iki serbestlik dereceli sistemin hareket denklemlerini yazınız.
 
1
E k  m1 L 1
2
2

1
 m 2 L 2
2

2
1 L
L 
E p  m1gL 1  cos 1   m 2 gL 1  cos  2   k  2  1 
2 2
2 
W  0
2
18
Lagrange denklemi θ1 için uygulanır ise,
m1L2 1  m1gL sin 1  k
m1L2 1
LL
L 
  2  1   0
22
2 
L2
L2
k
1  k
 2  m1gL 1  0
4
4
Lagrange denklemi θ2 için uygulanır ise,
m 2 L2  2  m 2 gL sin  2  k
LL
L 


1   0

2
22
2 
L2
L2
m 2L 2  k
1  k
 2  m 2 gL  2  0
4
4
2 
m1L2

 0
 L2
0   1  k 4  m1gL

2   
L2
m 2 L   2  
  k 4

L2
k
  1  0
4
    
2
0
L
 
k
 m 2 gL   2   
4

19