KÜTLE-YAY SİSTEMİ: Mekanik titreşimleri incelemek için

KÜTLE-YAY SİSTEMİ:
Mekanik titreşimleri incelemek için; bir ucu tavana sabitlenmiş ağırlığı
önemsenmeyen L uzunluğunda bir yay ve bunun ucuna bağlanmış kütlesi m olan bir
cisimden oluşan sisteme kütle-yay sistemi denir. Bu sistemde yayın F geri çağrıcı
kuvveti, yaya uygulanan kuvvete eşit ve ters yöndedir Uygulanan kuvvetten
dolayı yayın
uzaman (sıkışma) miktar ile doğru orantılıdır.
Yani F  k ’dir. Burada k orantı sabitini göstermektedir ve genellikle yay sabiti
olarak adlandırılır.
Örnek: Ağırlı ihmal edilen bir yay asılı durmaktadır. Kütlesi m kg olan bir
cisim ucuna bağlanmıştır. Eğer kütle yayın, uzamadığı bir anda v0 ms 1 ile hareket
ediyorsa cismin v hızını, yayın uzamasını X (m) olarak ifade ediniz.
Çözüm: Hook kanununa göre, yay kuvvetini(yayın gerilmesine mani olan)
yayın uzaması ile doğru orantılıdır. Böylece
F  ma  m
mv
dv
dv dx
dv
m
 mv
dt
dx dt
dx
(
dx
 v)
dt
dv
 mg  kx
dx
mv2  2mgx  kx 2  C
bulunur. x=0 iken v  v0 uygulanırsa C  mv02 sonucu genel çözümde yazılırsa
mv2  2mgx  kx2  mv02
olarak elde edilir.
SICAKLIK PROBLEMLERİ:
Newton’un ısınmaya da uygulanabilen soğuma kanunu, bir cismin sıcaklığının
zamanla değişim hızının, cisimle onu çevreleyen ortam arasındaki sıcaklık farkına
bağlı olduğunu ifade eder.
T cismin sıcaklığını, Tm ’ de ortam sıcaklığını göstersin o zaman cismin sıcaklığının
zamanla değişim hızı
dT
dır. Newton‘un soğuma yasası,
dt
dT
 k T  Tm 
dt
veya
dT
 kT  kTm
dt
olarak verilebilir. Burada k, pozitif bir orantı sabitidir.
Örnek: Sıcaklığı bilinmeyen bir cisim 30 0 F sabit sıcaklıkta tutulan bir
odaya yerleştiriliyor. Eğer 10 dakika sonra cismin sıcaklığı 00 F , 20 dakika sonra
150 F ise, cismin ilk sıcaklığını bulunuz.
Çözüm:
dT
 kT  kTm
dt
veya
dT
 kT  30k
dt
birinci mertebeden lineer diferensiyel denklemi çözülürse
T  Ce kt  30
elde edilir. t  10 ’da T  0 veriliyor. Böylece
0  Ce10k  30
veya
Ce10k  30
Ayrıca t  20 de T  15 olduğundan
15  Ce20k  30
Ce20k  15
Bu iki eşitlikten
k
1
n2  0.069 ve C  30e10k  30(2)  60
10
Sonuçta herhangi bir t anında cismin sıcaklığı
T  60e0.069t  30
olur. Bizden t  0 anındaki T ’ yi istediğinden
T0  60e0.069(0)  30  60  30  300 F
istenen sonuç olarak karşımıza çıkar.